Weil-Starrheit

In der Mathematik gibt der Weilsche Starrheitssatz eine berechenbare Bedingung für die lokale Starrheit (d. h. Nicht-Deformierbarkeit) von Darstellungen. Er ist von Bedeutung in verschiedenen Gebieten der Mathematik, meist im Zusammenhang mit Darstellungen diskreter Gruppen.

Tangentialraum der Darstellungsvarietät

Darstellungen einer Gruppe $\Gamma$ in eine Lie-Gruppe $G$ kann man als Punkte der Darstellungsvarietät auffassen. Deformationen einer Darstellung sind dann also Kurven in der Darstellungsvarietät und entsprechen somit Tangentialvektoren der Darstellungsvarietät.

Der Zariski-Tangentialraum der Darstellungsvarietät entspricht den 1-Kozykeln mit Werten in der adjungierten Darstellung:

$T_{\rho }\operatorname {Hom} (\Gamma ,G)=Z^{1}(\Gamma ,Ad\circ \rho )$.

Dabei entspricht ein Tangentialvektor einer Kurve $\rho _{t}$ (mit $\rho _{0}=\rho$) in $\operatorname {Hom} (\Gamma ,G)$ und der zugehörige 1-Kozykel $z\in Z^{1}(\Gamma ,G)$ ist gegeben durch

$z(\gamma )=\left.{\frac {d}{dt}}\right\vert _{t=0}\rho _{t}(\gamma )\rho _{0}^{-1}(\gamma )$.

Die durch Konjugation $\rho _{t}(\gamma )=g_{t}\rho (\gamma )g_{t}^{-1}$ (mit $g_{0}=e$) gegebenen Deformationen entsprechen genau den 1-Korändern.

Insbesondere ist $\rho \colon \Gamma \to G$ lokal starr, wenn

$H^{1}(\Gamma ,Ad\circ \rho )=0$

ist. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, sie gilt aber für halbeinfache Darstellungen $\rho$.

Weils Starrheitssatz

Sei $G$ eine zusammenhängende halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor und $\Gamma \subset G$ ein irreduzibles kokompaktes Gitter. Wenn $G$ nicht lokal isomorph zu SL(2,R) ist, dann ist

$H^{1}(\Gamma ,Ad)=0$.

Insbesondere ist die Inklusion $\iota \colon \Gamma \to G$ lokal starr.

Siehe auch

• Mostow-Starrheit

Literatur

• André Weil: On discrete subgroups of Lie groups. I: Ann. of Math.(2) 72, 369–384 (1960). pdf II: Ann. of Math.(2) 75, 578–602 (1962). pdf
• Yozô Matsushima, Shingo Murakami: On vector bundle valued harmonic forms and automorphic forms on symmetric riemannian manifolds. Ann. of Math.(2) 78, 365–416 (1963). pdf
• Armand Borel: Cohomologie et rigidité d'espaces compacts localement symétriques. Seminaire Bourbaki, 16e année: 1963/64, Fasc. 2, Exposé 265.
• André Weil: Remarks on the cohomology of groups. Ann. of Math.(2) 80, 149–157 (1964). pdf
• M. S. Raghunathan: On the first cohomology of discrete subgroups of semisimple Lie groups. Amer. J. Math. 87, 103–139 (1965). pdf
• M. S. Raghunathan: Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 68. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972.
• N. Bergeron, T. Gelander: A note on local rigidity. Geom. Dedicata 107, 111–131 (2004). pdf

Weblinks

• Besson: Calabi-Weil infinitesimal rigidity
• Fisher: Local rigidity of Group Actions: past, present, future
• Kapovich: Group cohomology and representation varieties