Wikipedia:Redaktion Physik/Qualitätssicherung/Archiv/2019/Februar

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Freifallzeit

Hallo, noch einmal etwas aus dem Bereich Allgemeine Relativitätstheorie: Freifallzeit, die Zeit, die ein Stern braucht, um zu kollabieren. Habe den Artikel gerade unter den Löschkandidaten gefunden, finde ihn aber ausbauwert. Aber wie immer gilt: Mehr als rudimentäre ART-Kenntnisse habe ich nicht vorzuweisen. Gesucht ist also jemand, der in den Artikel reinschreibt, was das für eine Zeit ist (ich gehe von "entfernter Beobachter" aus, der Verweis auf dynamische Zeit ist für mich in dem Zshg. vollkommen unverständlich) und wofür das wichtig ist sowie den ganzen Spaß ein bisschen motiviert. So richtig schön mit innerer Lösung der Schwarzschild-Metrik und dem ganzen pipapo. Oder vielleicht ist es auch wieder nur Newton, dann kann das auch ich :( --Blaues-Monsterle (Diskussion) 15:10, 14. Feb. 2019 (CET)

Das ist rein Newton'sch, keine Angst. Letztlich sogar nur drittes Kepler'sches Gesetz. Das Konzept selbst rechtfertigt wohl keinen Artikel (Einbau in Freier Fall wäre eine Option), interessanter sind die Anwendungen. Damit werden Zeitskalen für bestimmte Prozesse gesetzt, z.B. den anfänglichen Kollaps einer Molekülwolke zu einem Protostern. Eine Supernova müsste eigentlich auch kurz frei kollabieren, bevor andere Drücke relevant werden. Auch da bin ich nicht sicher, ob es nicht reicht, das an den entsprechenden Stellen zu erwähnen. --Wrongfilter ... 15:23, 14. Feb. 2019 (CET)

Wenn es 3. Kepler ist, dann ist es vollkommen falsch. 3. Kepler beruht auf der Außenlösung des Gravitationspotentials, hier haben wir es aber mit der Innenlösung zu schaffen. Die en-Wiki sagt, dass die beiden Resultate identisch seien, aber ... das ist wohl nur glücklicher Zufall. Ich denke schon, man muss unterscheiden zwischen "etwas fällt von außen auf etwas" oder "etwas fällt in sich zusammen". Wir schauen also entweder auf

$\Delta \phi =4\pi G\rho =4\pi GM\delta (r)\Rightarrow \phi \sim r^{-1}$

(nach Birkhoff) oder auf

$\Delta \phi =4\pi G\rho =3{\frac {GM}{R^{3}}}\Theta (R-r)\Rightarrow \phi \sim r^{2}$

--Blaues-Monsterle (Diskussion) 15:34, 14. Feb. 2019 (CET)

Mit Kepler 3 meine ich vor allem die Skalierung $t^{2}\propto r^{3}$. Beim Kollaps passt das, wenn man Kugelsymmetrie annimmt und voraussetzt, dass die Schalen sich nicht überkreuzen. Mit $r$ ist dann der Radius einer bestimmten Schale gemeint. Das ist mehr als Abschätzung zu verstehen denn als exakte Lösung. --Wrongfilter ... 15:48, 14. Feb. 2019 (CET)

(BK) Wenn etwas in sich zusammen fällt, ist die gesamte Masse immer innerhalb der äußersten Schicht, das Potential für diese ist also proportional zu 1/r. Wir können auch annehmen, dass die ganze Masse auf der Schale liegt. Woher kommt deine zweite Formel? Ich kenn nur für eine homogene Kugel mir Radius R:

$\Delta \phi =4\pi G\rho =4\pi GM\delta (r)\Rightarrow \phi \sim r^{-1}$ für $r\geq R$

$\Delta \phi =4\pi G\rho =4\pi GM\delta (r)\Rightarrow \phi \sim r$ für $r<R$ <- Nachträglich eingefügt: Diese Formel ist falsch. --Engie 16:23, 14. Feb. 2019 (CET)

--Engie 15:53, 14. Feb. 2019 (CET)

(BK) @Wrongfilter: Ja. Kepler 3 basiert auf mechanischer Ähnlichkeit und die Kombination $t^{2}\sim r^{3}$ folgt (mehr oder minder) trivial aus $\phi \sim r^{-1},\partial _{t}\phi =0$. Aber hier haben wir im betrachteten Raumbereich $\phi \sim r^{2}$ nebst $\phi =\phi (t)$, da $R=R(t)$ (schließlich beschreiben wir hier einen Kollaps von $R_{0}>R>0$). Dass also hier auch $t^{2}\sim R_{0}^{3}$ herauskommt, ist wohl mehr Zufall als Gesetz. Was du quasi machst, ist eine kleine Probemasse ein infinitesimales Stück außerhalb der äußersten "Schale" des Sterns zu platzieren und dafür die äußere Lösung zu verwenden. Aber du vergisst zu zeigen, dass deine Probemasse in deinem Modell nicht plötzlich eine innere "Schale" überholt - wofür du wieder eine innere Lösung bräuchtest. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 16:03, 14. Feb. 2019 (CET)

@Engie: Deine Rechnung will ich sehen, aber bis aufs Iota. Und entschuldigung, die Annahme, ein Stern sei eine Hohlkugel, ist vollkommen absurd. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 16:03, 14. Feb. 2019 (CET)

@Blaues-Monsterle: Mit den Formeln hast du recht, die Abhängigkeit vom Potential ist tatsächlich quadratisch, hatte nur die lineare Abhängigkeit der Stärke des Gravitationsfeldes abgespeichert. Denkst du die Freifallzeit hängt von der Massenverteilung ab? Ich denke nicht, da die gesamte Fallzeit durch die Fallzeit der äußersten Schicht begrenzt ist und für diese gilt das Birkhoff-Theorem. --Engie 16:20, 14. Feb. 2019 (CET)

@Engie: Linear stimmt auch, aber für Hohlkugeln. Und ja, aber das gilt nur genau dann, wenn du auch zeigen kannst, dass die äußerste Schicht mit deinem (festgehaltenen!) Probeteilchen immer die äußerste Schicht bleibt. Und das kannst du meines Erachtens nur zeigen, wenn du zeigst, dass jedes Teilchen im Inneren mindestens genauso schnell fällt wie dein Probeteilchen auf der äußersten oder alternativ bei der Null ankommt, bevor es eingeholt wird. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 16:36, 14. Feb. 2019 (CET)

Reinquetsch: Hallo Blaues-Monsterle. Eine der Doktorandinnen hier auf dem Flur hat in ihrer Masterarbeit zufällig genau das untersucht: Bleiben beim Kollaps eines nicht-rotierenden Sterns notwendigerweise die Schalen in der gleichen Reihenfolge? Oder gibt es Masse-Verteilungen, für die äußere Schalen innere überholen? Das Ergenis war, dass es ein Überholen nicht geben kann. Bei Bedarf kann ich die Doktorandin nach Details fragen. Bei mir ist nach ihrem Vortrag vor etwa zwei Jahren im wesentlichen zwei Aussagen hängen geblieben. Erstens, diese Frage ist überraschenderweise nicht trivial zu beantworten. Und zweitens, das Problem ist keins der ungelösten Rätsel der Physik.---<)kmk(>- (Diskussion) 00:48, 15. Feb. 2019 (CET)

Siehe da. Dass die Frage nichttrivial ist, scheint hier aber irgendwie nur alle außer mich zu überraschen. Und dass die Frage irgendwer schon einmal untersucht hat, hätte ich mir auch fast gedacht ;) Es wäre wirklich super, wenn du mir die Arbeit besorgen könntest; selbst wenn sie hier nicht eingebaut wird, würde ich sie privat gerne lesen. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 01:01, 15. Feb. 2019 (CET)

Du hast Post. ---<)kmk(>- (Diskussion) 01:10, 19. Feb. 2019 (CET)

Da die Flugzeit mit r^3/2 geht, sind Teilchen weiter innen auch schneller im Mittelpunkt. --Engie 16:42, 14. Feb. 2019 (CET)

Nachtrag: Weitere Voraussetzung ist natürlich, dass für rotationssymmetrische Probleme, die Gravitationskraft auf einen Massenpunkt mit Radius r1, nur von der Masse mit r <= r1 abhängt. Und ich will die Formel hier keineswegs beweisen bzw herleiten, ich behaupte nur, dass der Zusammenhang mit dem dritten Kepler kein Zufall ist. --Engie 16:49, 14. Feb. 2019 (CET)

Aber die Flugzeit geht nur in der Außenlösung mit $r^{3/2}$ ... ihr macht hier eine petitio principii:

1. Wir nehmen an: Egal, was im Inneren passiert, wir können die Außenlösung verwenden.
2. Die Außenlösung sagt: $t\sim r^{3/2}$
3. Wir schließen: Was im Inneren passiert, kann uns egal sein, da $t\sim r^{3/2}$ und $r_{\text{innen}}<r_{\text{aussen}}$.

Ein Teilchen wird doch nicht dadurch zum äußeren Teilchen, nur weil wir ihm zur Zeit $t_{0}$ einmal den Stempel aufgedrückt haben. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 16:54, 14. Feb. 2019 (CET)

Siehe mein Nachtrag: Die Kraft auf ein inneres Teilchen hängt nicht von den Teilchen weiter außen ab (Newtonsches_Gravitationsgesetz#Ausgedehnte_Körper). Man kann also gedanklich mit einer sehr kleinen Kugel anfangen und diese langsam vergrößern und zeigen, dass äußere Schichten immer länger brauchen, sich also die einzelnen Schichten nicht überholten können. Ich werde mich aber jetzt hier aus der Diskussion ausklinken, da diese allgemeine Diskussion nicht wirklich dem möglichen Artikel dient. Grüße --Engie 17:01, 14. Feb. 2019 (CET)

Ja, so müsste das alternativ auch gehen. Damit mutet ihr dem Leser aber eine Menge Denkleistung zu. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 17:13, 14. Feb. 2019 (CET)

Ich habe mich heute ein wenig mit der Doktorandin unterhalten und dabei gelernt, dass das Ergebnis ihrer Masterarbeit komplizierter ist als ich es oben zusammengefasst habe. Das bei ihr betrachtete Modell ist eine nicht rotierende, kugelsymmetrische Wolke von zu Beginn ruhenden Massepunkten. Es wird nur die Gravitation betrachtet. Alle anderen Wechselwirkungen werden als so klein angenommen, dass sie als vergleichsweise kleine Störung betrachtet werden können. Also keine Strömungsdynamik, keine Reibung, keine Stöße und auch keine Elektrodynamik. Die Massepunkte im Modell verhalten sich also so, wie man es naiv von neutralem Staub erwarten würde.

Das Szenario wird erst rein mit Newton und dann mit ART betrachtet. Es stellt sich heraus, dass es für eine von außen nach innen monoton ansteigende Dichte tatsächlich keine "Überholvorgänge" gibt. Bei von außen nach innen stark fallender Dichte ("Hohlstern") ist das anders. Da beschleunigen die inneren Sphären so wenig, dass die äußeren an ihnen vorbei fallen. Die Grenze zwischen den beiden Fällen liegt nicht genau zwischen "monoton wachsende Dichte" und nicht-monoton wachsend. Tatsächlich ist die trennende Bedingung, ob für alle Radien die Dichte der weiter innen liegenden Sphären im Mittel gleich oder höher sind. Für die Masseverteilung realistischer Sterne ist es nicht wirklich plausibel, dass diese Bedingung nicht erfüllt ist -- Es gibt keine Mechanismen, die die Entwicklung von Hohlsternen vorhersagen.

Dieses Ergebnis ist für Newtonsche Mechanik soweit "wasserdicht". Es ergeben sich lösbare Differentialgleichungen. Wenn man Massedichten betrachtet, bei denen die ART relevant von Newton abweicht, ist das anders. Da stellte sich im Rahmen einer Doktorarbeit in der gleichen Arbeitsgruppe der für die Masterarbeit gewählte Weg nachträglich als Sackgasse heraus. Insgesamt ist es also trotz auf den ersten Blick besonders einfachem nicht rotierendem Staubstern-Szenario ein wenig unübersichlicher. ---<)kmk(>- (Diskussion) 02:13, 19. Feb. 2019 (CET)

Ja, mein pathologisches Szenario des Todes, an das ich gedacht hatte, waren zwei Hohlkugeln, von denen die innere sehr geringe Massendichte hat und sich deshalb so gut wie gar nicht bewegt, bis die schwere äußere an ihr vorbei ist. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 15:51, 20. Feb. 2019 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Blaues-Monsterle (Diskussion) 18:33, 18. Feb. 2019 (CET)