Bairesche σ-Algebra

Die bairesche σ-Algebra ist in der Maßtheorie die kleinste σ-Algebra eines topologischen Raumes, so dass die reellwertigen stetigen Funktionen messbar sind. Sie wird durch die Baire-Mengen erzeugt, diese sind Borel-Mengen, die keine pathologischen Eigenschaften besitzen. Die bairesche σ-Algebra ist somit eine Unter-σ-Algebra der borelschen σ-Algebra

${\mathcal {B}}_{0}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X).$

Die bairesche σ-Algebra ist nach René Louis Baire benannt. In der Literatur existieren unterschiedliche Definition der Baire-Mengen, die zum Teil nicht äquivalent sind. Folglich gibt es auch unterschiedliche Definitionen der baireschen σ-Algebra und des Baire-Maßes. Wir folgen Wladimir Igorewitsch Bogatschow.

Bairesche σ-Algebra

Sei $X$ ein topologischer Raum und $C(X,\mathbb {R} )$ der Raum der reellwertigen, stetigen Funktionen über $X$. Die bairesche σ-Algebra ${\mathcal {B}}_{0}(X)$ wird durch die Mengen

$\{x\in X\colon f(x)>0\}$

erzeugt, wobei $f\in C(X,\mathbb {R} )$.

Eigenschaften

• Die gleiche σ-Algebra wird durch die beschränkten, stetigen Funktionen erzeugt.
• Die σ-Algebra wird durch die Mengen $f^{-1}(\{0\})$ mit $f\in C(X,\mathbb {R} )$ erzeugt.

Vergleich zu anderen σ-Algebren

• In einem metrischen Raum $(X,d)$ gilt ${\mathcal {B}}(X)={\mathcal {B}}_{0}(X)$.
• Sei $T$ eine überabzählbare Menge und $X=\mathbb {R} ^{T}$ (beachte, $X$ ist nicht metrisierbar). Dann ist ${\mathcal {B}}_{0}(X)<{\mathcal {B}}(X)$, aber ${\mathcal {B}}_{0}(X)={\mathcal {E}}(X,X')$ wobei ${\mathcal {E}}(X,X')$ die zylindrische σ-Algebra bezeichnet.

Baire-Menge

Eine Menge in ${\mathcal {B}}_{0}(X)$ heißt Baire-Menge. Ein Maß $\mu :{\mathcal {B}}_{0}(X)\to \mathbb {R} _{+}$ heißt Baire-Maß.

Eigenschaften

• Jede Baire-Menge ist durch eine abzählbare Familie von Funktionen bestimmt, das heißt sie haben die Form

$\{x\colon (f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{n}(x),\dots )\in B\},\;f_{i}\in C(X,\mathbb {R} ),\;B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\infty }),$

und alle Mengen dieser Form sind Baire-Mengen und $C(X,\mathbb {R} )$ kann durch $C_{b}(X,\mathbb {R} )$ ersetzt werden.

Literatur

• Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, doi:10.1007/978-3-540-34514-5 (Kapitel 6). 
• R. F. Wheeler: A survey of Baire measures and strict topologies. In: Exposition. Math. Band 77, 1983, S. 97–190.