Zylindrische σ-Algebra

Die zylindrische σ-Algebra ist eine σ-Algebra, welche durch die Zylindermengen eines Vektorraumes erzeugt wird. Die Zylindermengen hängen von einem Raum von linearen Funktionalen ab, dies kann zum Beispiel der topologische Dualraum sein, die zylindrische σ-Algebra ist dann die kleinste σ-Algebra, so dass diese Funktionen messbar sind. Die zylindrische σ-Algebra ist eine Teilmenge der borelschen σ-Algebra und im Allgemeinen nicht gleich.

Definition

Sei $X$ ein reeller Vektorraum und $X^{*}$ sein algebraischer Dualraum. Weiter sei $F\subseteq X^{*}$ ein Vektorraum von linearen Funktionalen auf $X$ und ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ die borelsche σ-Algebra auf $\mathbb {R} ^{n}$.

Wir nennen eine Menge der Form

$Z_{f_{1},\dots ,f_{n},B}:=\{x\in X:(f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x))\in B\}$

für $f_{1},\dots ,f_{n}\in F$ und $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ eine $F$-Zylindermenge. Man nennt $B$ die Basis des Zylinders und $f_{1},\dots ,f_{n}$ seine Erzeuger.

Die Familie aller $F$-Zylindermengen notieren wir mit ${\mathcal {Zyl}}(X,F)$. Diese ist im Allgemeinen nur eine Algebra und wird zylindrische Algebra genannt. Die kleinste σ-Algebra, die ${\mathcal {Zyl}}(X,F)$ enthält, ist die σ-Algebra

${\mathcal {E}}(X,F):=\sigma (F)=\sigma ({\mathcal {Zyl}}(X,F))$

und wird zylindrische σ-Algebra oder auch $F$-zylindrische σ-Algebra genannt. Weiter gilt

${\mathcal {E}}(X,F)\subseteq {\mathcal {B}}(X).$

Schreibt man nur ${\mathcal {E}}(X),$ dann meint man in der Regel einfach die σ-Algebra aller Zylindermengen von $X$.

Wichtiger Spezialfall

Der wichtigste Spezialfall ist wenn $X$ ein lokalkonvexer Raum und $X'$ der topologische Dualraum ist, das heißt $F\subseteq X'$. Die zylindrische σ-Algebra ${\mathcal {E}}(X,X')$ ist gerade die kleinste σ-Algebra, so dass alle stetigen linearen Funktionale messbar sind.

Oder in anderen Worten, die σ-Algebra wird durch die Mengen der Form

$\{x\in X:f(x)<c\}$

mit $f\in X'$ und $c\in \mathbb {R}$ erzeugt.

Vergleich zu anderen σ-Algebren

Im Allgemeinen gilt

${\mathcal {E}}(X,F)\subseteq {\mathcal {B}}_{0}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X),$

wobei ${\mathcal {B}}_{0}(X)$ die bairesche σ-Algebra ist.

Ist zum Beispiel $X=\mathbb {R} ^{T}$ und $T$ überabzählbar, dann gilt ${\mathcal {E}}(X,F)<{\mathcal {B}}(X)$.

Für den topologischen Dualraum gilt

${\mathcal {E}}(X',X)\subseteq {\mathcal {E}}(X',X'')\subseteq {\mathcal {B}}(X').$

Gleichheit zur borelschen σ-Algebra

• Ein Lindelöf-Raum $X$ heißt erblich, wenn jeder seiner offenen Unterräume auch ein Lindelöf-Raum ist. Sei $X$ ein lokalkonvexer Raum, der hausdorff und auch ein erblicher Lindelöf-Raum ist. Dann gilt folgende Gleichheit

${\mathcal {E}}(X,X')={\mathcal {B}}(X).$

• Ist $X$ ein separabler Fréchet-Raum (insbesondere jeder separable Banach-Raum) und $\Gamma \subseteq X'$ eine Menge, welche die Punkte in $X$ trennt (d. h. für jedes $x\neq 0$ existiert ein $f\in \Gamma$ mit $f(x)\neq 0$), so gilt

${\mathcal {E}}(X,\Gamma )={\mathcal {B}}(X).$

Insbesondere gilt wegen des Satzes von Hahn-Banach für einen separablen Fréchet-Raum

${\mathcal {E}}(X,X')={\mathcal {B}}(X).$

• Ist $X$ ein polnischer Raum und $\Gamma \subseteq X'$ eine Menge, welche die Punkte in $X$ trennt, so gilt auch Gleichheit

${\mathcal {E}}(X,X')={\mathcal {B}}(X).$

Gleichheit zur baireschen σ-Algebra

Es gilt

${\mathcal {B}}_{0}(X)={\mathcal {E}}(X,C_{b}(X,\mathbb {R} )),$

wobei $C_{b}(X,\mathbb {R} )$ der Raum der stetigen und beschränkten Funktionen ist.

Literatur

• Wladimir I. Bogatschow: Measure Theory. Hrsg.: Physica-Verlag. Band 2, 2007. 
• N. N. Vakhania, V. I., Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987. 

Siehe auch

• Zylindrisches Maß