Zylindrisches Maß

Ein zylindrisches Maß (seltener auch Zylindermaß) ist in der Maßtheorie eine Mengenfunktion auf der zylindrischen Algebra eines topologischen Vektorraumes, so dass diese auf jeder endlichen Restriktion des gewählten Funktionenraumes ein Maß ist. Zylindrische Maße sind der Prototyp einer Mengenfunktion auf unendlich-dimensionalen Räumen.

Im Allgemeinen ist ein zylindrisches Maß nur endlich additiv und nicht σ-additiv und nur auf den Unter-σ-Algebren ein Maß.

Definition

Sei $X$ ein topologischer Vektorraum über $\mathbb {R}$ und $X^{*}$ der algebraische Dualraum. Weiter sei $F$ ein Vektorraum von linearen Funktionalen auf $X$, das heißt $F\subseteq X^{*}$, und ${\mathcal {Zyl}}(X,F)$ die zylindrische Algebra, das heißt die Familie aller Zylindermengen.

Eine Mengenfunktion

$\nu :{\mathcal {Zyl}}(X,F)\to \mathbb {R} _{+}$

heißt zylindrisches Maß, falls für alle endlichen Mengen $G:=\{f_{1},\dots ,f_{n}\}\subseteq F$ mit $n\in \mathbb {N}$ und zylindrischen σ-Algebren ${\mathcal {E}}(X,G):=\sigma ({\mathcal {Zyl}}(X,G))$ die Restriktion

$\nu :{\mathcal {E}}(X,G)\to \mathbb {R} _{+}$

eine σ-additive Funktion ist, das heißt $\nu$ ist ein Maß.

Die Menge aller solchen Funktionen notiert man manchmal mit ${\mathcal {M}}(E)$.

Alternative Charakterisierung

Die Mengenfunktion $\nu$ ist ein zylindrisches Maß, wenn für jeden stetigen linearen Operator $T:X\to \mathbb {R} ^{n}$ die Mengenfunktion

$\nu \circ T^{-1}:B\mapsto \nu (T^{-1}(B)),\quad B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$

σ-additiv ist.

Beispiele

• Sei $\gamma ^{n}(dx)$ das kanonische gaußsche Maß, $X$ ein unendlich-dimensionaler topologischer Vektorraum, $X_{n}\subset X$ ein $n$-dimensionaler Unterraum und $T:X\to X_{n}$ die orthogonale Projektion auf diesen. Für jede Zylindermenge $C$ der Form

$C=T^{-1}(C_{n}),\quad C_{n}\in {\mathcal {B}}(X_{n}),$

definieren wir

$\nu (C)=\gamma ^{n}(C_{n}).$

Dann nennt man $\nu$ das (kanonische) zylindrische gaußsche Maß.

Literatur

• Wladimir I. Bogatschow: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 1-4704-1869-X. 
• N. N. Vakhania, V. I., Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987. 
• Oleg Smolyanow und Wladimir I. Bogatschow: Topological Vector Spaces and Their Applications. Hrsg.: Springer International Publishing. Deutschland 2017. 
• Xia Dao-Xing: Measure and Integration Theory on Infinite-Dimensional Spaces. In: Abstract Harmonic Analysis. Band 48, 1972. 

Siehe auch

• Zylindrische σ-Algebra