Benutzer:Andy386/max

Die Maxwellschen Gleichungen beschreiben die Erzeugung von elektrischen und magnetischen Feldern durch Ladungen und Ströme, sowie die Wechselwirkung zwischen diesen beiden Feldern, die bei zeitabhängigen Feldern als Zeitentwicklung in Erscheinung tritt. Sie sind die Grundlage der Elektrodynamik und der theoretischen Elektrotechnik und wurden in den Jahren 1861 bis 1864 von James Clerk Maxwell entwickelt. Im Wesentlichen fasste Maxwell die bis zu diesem Zeitpunkt entdeckten Gesetzmäßigkeiten

• das Ampèresche Gesetz,
• das Induktionsgesetz von Faraday und
• das Gaußsche Gesetz

in einer vereinheitlichten Theorie zusammen und ergänzte sie um den Maxwellschen Verschiebungsstrom, um Konsistenz mit der Kontinuitätsgleichung zu erhalten. Die Maxwellschen Gleichungen sind ein Beispiel für eine vereinheitlichte Theorie, die verschiedene Phänomene, hier magnetische und elektrische, in einer geschlossenen Form erklärt.

Für das Verständnis der folgenden Gleichungen sind Grundkenntnisse in Vektoranalysis erforderlich. Die Maxwellschen Gleichungen lassen sich in differentieller und integraler Form sowie in differentialgeometrischer Form darstellen. Die Äquivalenz integraler und differentieller Formulierungen beruht auf dem Satz von Stokes und dem Satz von Gauß. Daneben gibt es eine elegante vierdimensionale Formulierung, die sogenannte kovariante Form (s. u.), die z. B. in der Relativitätstheorie und der Quantenelektrodynamik verwendet wird. In der ursprünglichen Form bestand die Formulierung aus nur zwei (sehr schwer verständlichen) Gleichungen

Die differentielle und integrale Formulierung

Übersicht

Hier werden die Maxwellschen Gleichungen in SI-Einheiten angegeben. Formulierungen in anderen Einheitensystemen sind am Schluss aufgeführt bzw. werden durch Bemerkungen im Text erläutert.

Die im Folgenden in der rechten Spalte im Zentrum von einfachen oder zweifachen Integralen angegebenen Symbole betonen, dass man es mit geschlossenen  Kurven bzw. Flächen zu tun hat.

Maxwellsche Gleichungen in SI-Einheiten

differentielle Form	verknüpfender Integralsatz	Integralform
Physikalisches gaußsches Gesetz: Das ${}_{\boldsymbol {D}}$-Feld ist ein Quellenfeld. Die Ladung (Ladungsdichte ρ) ist Quelle des elektrischen Feldes.	Gauß	Der (elektrische) Fluss durch die geschlossene Oberfläche ${}_{\partial V}$ eines Volumens V ist gleich der elektrischen Ladung in seinem Inneren.
${\mbox{div}}\,{\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {D}}=\rho$	$\Leftrightarrow$	$\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset \mathbf {D} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =Q(V)$
Das ${}_{\boldsymbol {B}}$-Feld ist quellenfrei. Es gibt keine magnetischen Monopole.	Gauß	Der magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche eines Volumens ist gleich der magnetischen Ladung in seinem Inneren, nämlich Null, da es keine magnetischen Monopole gibt.
${\mbox{div}}\,{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {B}}=0$	$\Leftrightarrow$	$\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset \mathbf {B} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0$
Induktionsgesetz (Vorsicht: Die Integralformulierung ist an dieser Stelle allgemeiner.): Jede Änderung des ${}_{\boldsymbol {B}}$-Feldes führt zu einem elektrischen Gegenfeld. Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der zeitlichen Änderung der magnetischen Induktion abhängig.	Stokes	Die (elektrische) Zirkulation über der Randkurve ${}_{\partial A}$ einer Fläche A ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche. Hinweis: Die unten dargestellte Formel gilt, letztlich wegen der relativistischen Invarianz der Maxwell-Theorie, in der angegebenen Form auch bei zeitlich veränderlicher Fläche. Die Integralformulierung ist in diesem Punkt allgemeiner.
${\mbox{rot}}\,{\boldsymbol {E}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {E}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}=0$	$\Leftrightarrow$	$\oint _{\partial A}{\boldsymbol {E}}\;\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\iint _{A}{\boldsymbol {B}}\;\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {A}}\right)\equiv 0$
Verallgemeinertes Durchflutungsgesetz: (Hinweis: Bezüglich der größeren Allgemeinheit der Integralformulierung gilt Analoges wie beim Induktionsgesetz.) Die Wirbel des Magnetfeldes hängen von der elektrischen Leitungsstromdichte ${}_{{\boldsymbol {j}}_{l}}$ und von der elektrischen Flussdichte ${}_{\boldsymbol {D}}$ ab. Die zeitliche Änderung von ${}_{\boldsymbol {D}}$ wird auch als Verschiebungsstromdichte ${}_{{\boldsymbol {j}}_{v}}$ bezeichnet und ergibt als Summe mit der Leitungsstromdichte die totale Stromdichte ${}_{{\boldsymbol {j}}_{\,{\rm {total}}}={\boldsymbol {j}}_{l}+{\boldsymbol {j}}_{v}}$:	Stokes	(A ist eine Fläche mit Orientierung, $\partial A$ ihre Randkurve mit dem tangentialen Linienelement $\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}$;   $\mathrm {d} {\boldsymbol {A}}$ ist ein Flächenelement von A, multipliziert mit dem Vektor der äußeren Normalenrichtung.) Die magnetische Zirkulation über der Randkurve $\partial A$ einer Fläche A ist gleich der Summe aus dem (elektrischen) Strom und der zeitlichen Änderung des elektrischen Flusses durch die Fläche.
${\mbox{rot}}\,{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}_{l}+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}$	$\Leftrightarrow$	$\oint _{\partial A}{\boldsymbol {H}}\;\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\iint _{A}{\boldsymbol {j}}_{l}\;\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {A}}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\iint _{A}{\boldsymbol {D}}\;\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {A}}\right)$

Erläuterungen der umfassenden Wissensgebiete

In den obigen Gleichungen sind Vektoren und Vektorfelder durch Fettdruck angedeutet.

Elektrischer Strom

In der elektrischen Stromdichte ${}_{\boldsymbol {j}}$ kann rein formal sowohl die übliche Leitungsstromdichte entsprechend dem Fluss von elektrischen Ladungsträgern als auch der Verschiebungsstrom (die zeitliche Änderung des elektrischen Feldes) zusammengefasst werden, was eine wichtige Rolle bei der Entdeckung der Maxwellgleichungen durch Maxwell spielte. Üblicherweise wird aber der Verschiebungsstrom getrennt aufgeführt. Die elektrische Stromdichte ist über die Materialgleichungen der Elektrodynamik und der dabei auftretenden elektrischen Leitfähigkeit $\sigma$ mit der elektrischen Feldstärke ${}_{\boldsymbol {E}}$ verknüpft.

Elektrisches Feld

${}_{\boldsymbol {D}}$ ist die elektrische Flussdichte, historisch und etwas verwirrend auch als elektrische Verschiebungsdichte oder als elektrische Erregung bezeichnet. Dabei handelt es sich um die Dichte des elektrischen Flusses, welcher von elektrischen Ladungen ausgeht. Die elektrische Flussdichte ist über die Materialgleichungen der Elektrodynamik und die dabei auftretenden dielektrischen Leitfähigkeit ${}_{\varepsilon }$ mit der elektrischen Feldstärke ${}_{\boldsymbol {E}}$ verknüpft. Noch allgemeiner gilt ${}_{{\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}\,{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}}}$ mit der elektrischen Polarisation ${}_{\boldsymbol {P}}$, dem elektrischen Dipolmoment pro Volumen.

Magnetisches Feld

${}_{\boldsymbol {B}}$ ist die magnetische Flussdichte, auch historisch als Induktion bezeichnet. Dabei handelt es sich um die Dichte des magnetischen Flusses, welcher von bewegten elektrischen Ladungen oder von Permanentmagneten verursacht wird. Die magnetische Flussdichte ist über die Materialgleichungen der Elektrodynamik und die dabei auftretende magnetische Leitfähigkeit $\mu$ mit der magnetischen Feldstärke ${}_{\boldsymbol {H}}$ verknüpft. Noch allgemeiner gilt ${}_{{\boldsymbol {B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {H}}+{\boldsymbol {J}}}$ mit der magnetischen Polarisation ${}_{\boldsymbol {J}}$, dem magnetischen Dipolmoment pro Volumen (als Magnetisierung wird die im Weiteren zu ${}_{\boldsymbol {J}}$ äquivalente Größe ${}_{{\boldsymbol {M}}={\frac {\boldsymbol {J}}{\mu _{0}}}}$ bezeichnet).

Die magnetische Polarisation ${}_{\boldsymbol {J}}$ sollte nicht mit der Stromdichte ${}_{\boldsymbol {j}}$ (genauer: mit der Leitungsstromdichte) verwechselt werden. Vielmehr gilt:

${\rm {rot\,\,}}{\frac {{\boldsymbol {B}}-{\boldsymbol {J}}}{\mu _{0}}}={\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}$

Erläuterung zu den Maxwellgleichungen mit Materie

Die in allen drei Bereichen auftretenden Materialgleichungen werden nicht direkt zu den Maxwellschen Gleichungen gezählt, sondern die drei Gleichungssätze:

• Maxwellsche Gleichungen
• Materialgleichungen der Elektrodynamik
• Kontinuitätsgleichungen der Elektrodynamik

stellen gemeinsam und unter gegenseitiger Ergänzung das Fundament der elektrodynamischen Feldtheorie dar. Die Materialgleichungen gelten in der allgemeinen Form sowohl für den leeren Raum als auch für mit Materie ausgefüllte Raumbereiche.

Aus historischen Gründen und manchmal auch um bestimmte Berechnungsvorgänge spezifisch darzustellen, werden die Materiegleichungen und die darin auftretenden drei Leitfähigkeiten jeweils in den Anteil des leeren Raumes ${}_{\varepsilon _{0}}$ bzw. ${}_{\mu _{0}}$ und den Anteil der Leitfähigkeit, welcher durch die Materie verursacht wird, ${}_{\varepsilon _{r}}$ und ${}_{\mu _{r}}$ aufgespalten.

Für das elektrische Feld ergibt sich durch die Aufspaltung der dielektrischen Leitfähigkeit die Möglichkeit zur Einführung eines weiteren Vektorfeldes, der elektrischen Polarisation ${}_{\boldsymbol {P}}$ (eigentlich dielektrische Polarisation, die aber auch als elektrische Polarisation bezeichnet wird, da dem elektrischen Feld zugewiesen).

Analog dazu beschreibt die magnetische Polarisation ${}_{\boldsymbol {J}}$ die von den Eigenschaften des leeren Raumes losgelösten Verhältnisse in Materie für das magnetische Feld. Aus der magnetischen Polarisation ergibt sich die Magnetisierung ${}_{{\boldsymbol {M}}={\frac {\boldsymbol {J}}{\mu _{0}}}}$. (Im cgs-System sind die Verhältnisse verwirrender: ${}_{\boldsymbol {J}}$ und ${}_{\boldsymbol {M}}$ werden dort gleich bezeichnet, als cgs-Magnetisierung, und unterscheiden sich nur um einen Faktor ${}_{4\,\pi }$, je nachdem ob ${}_{\boldsymbol {B}}$ oder ${}_{\boldsymbol {H}}$ gemeint ist.)

Grundsätzlich kann ohne Verlust auf die Einführung der Vektorfelder der elektrischen Polarisation ${}_{\boldsymbol {P}}$ und der magnetischen Polarisation ${}_{\boldsymbol {J}}$ (bzw. der dazu äquivalenten Magnetisierung ${}_{\boldsymbol {M}}$) verzichtet werden. Statt dessen werden die Abhängigkeiten in den Materialgleichungen und den entsprechend allgemein gefassten Leitfähigkeiten in Form von Tensoren höherer Ordnung berücksichtigt. Weiterhin können die Leitfähigkeiten auch Funktionen darstellen, um nichtlineare Eigenschaften der Materie erfassen zu können. Diese können sogar von der Vorbehandlung abhängen, also explizit zeitabhängig sein. Diese Vorgangsweise empfiehlt sich auch für einen systematischen Zugang, wenn dieser über das SI-Einheitensystem erfolgt. Aus historischen Gründen, aber auch in bestimmten Teilbereichen der Physik, wird allerdings manchmal sehr intensiv von den ${}_{\boldsymbol {P}}$- und ${}_{\boldsymbol {J}}$- (bzw. ${}_{\boldsymbol {M}}$-) Vektorfeldern Gebrauch gemacht, weshalb im Folgenden dieser Sachverhalt näher dargestellt wird.

In Materie gilt allgemein

${\boldsymbol {D}}:=\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}}$

sowie

${\boldsymbol {H}}:={\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {B}}-{\boldsymbol {M}}$

bzw.

${\boldsymbol {B}}:=\mu _{0}({\boldsymbol {H}}+{\boldsymbol {M}})=\mu _{0}{\boldsymbol {H}}+{\boldsymbol {J}}$,

wobei sich im Spezialfall der Linearität bei Isotropie oder bei kubischen Systemen noch folgende Vereinfachung ergibt:

${\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\,{\boldsymbol {E}}$

und

${\boldsymbol {B}}=\mu _{0}\mu _{r}\,{\boldsymbol {H}}$.

In homogenen isotropen Materialien (d. h. die Größen $\varepsilon \,\,(=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r})\,$ und $\mu \,\,(=\mu _{0}\mu _{r})$ sind skalar und konstant) erhält man für die Maxwellgleichungen

• $\nabla \times {\boldsymbol {H}}=\varepsilon \,{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}+\sigma \,{\boldsymbol {E}}$
• $-\nabla \times {\boldsymbol {E}}=\mu \,{\frac {\partial {\boldsymbol {H}}}{\partial t}}$
• $\varepsilon \,\nabla \cdot {\boldsymbol {E}}=\rho$
• $\mu \,\nabla \cdot {\boldsymbol {H}}=0$.

In anisotroper nicht-kubischer linearer Materie werden die Skalare ${}_{\varepsilon _{r}}$ und ${}_{\mu _{r}}$ zu Tensoren 2. Stufe, wobei die Beziehungen weiterhin Gültigkeit behalten. In nichtlinearen Materialien hängen die Leitfähigkeiten von den jeweiligen Momentanwerten der Feldstärken oder im allgemeinsten Fall von deren gesamter Geschichte ab (siehe Hysterese). Die ${}_{\boldsymbol {P}}$- und ${}_{\boldsymbol {J}}$-Felder, elektrische bzw. magnetische Polarisation genannt, verschwinden außerhalb der Materie, was in den genannten Spezialfällen gleichwertig mit der Aussage ist, dass ${}_{\varepsilon _{r}=\mu _{r}=1}$ wird.

Die dielektrische Polarisation ist dann mit der elektrischen Suszeptibilität ${}_{\chi _{e}}$, bzw. der relativen Permittivität ${}_{\varepsilon _{r}}$ und der Vakuum-Permittivität (Dielektrizitätskonstante) ${}_{\varepsilon _{0}}$ folgendermaßen verknüpft (im SI-System, d. h. in der Einheit ${}_{\mathrm {\frac {A\,s}{V\,m}} }$):

${\boldsymbol {P}}:=\varepsilon _{0}\chi _{e}{\boldsymbol {E}}=\varepsilon _{0}\cdot ({\varepsilon _{r}}-1){\boldsymbol {E}}$,

mit

${\,\varepsilon _{r}}=1+{\chi _{e}}$.

Für die magnetische Polarisation ${}_{\boldsymbol {J}}$ bzw. die Magnetisierung ${}_{{\boldsymbol {M}}={\frac {\mathbf {J} }{\mu _{0}}}}$ gilt eine entsprechende Gleichung mit der magnetischen Suszeptibilität ${}_{\chi _{m}}$ bzw. der relativen Permeabilität ${}_{\mu _{r}}$ und der Vakuum-Permeabilität (magnetische Feldkonstante) ${}_{\mu _{0}}$ mit der Einheit ${}_{\mathrm {\frac {V\,s}{A\,m}} }$:

${\boldsymbol {J}}:=\mu _{0}\,\chi _{m}\,{\boldsymbol {H}}=\mu _{0}\cdot \left(\mu _{r}-1\right)\,{\boldsymbol {H}}$,

mit

$\,{\mu _{r}}=1+{\chi _{m}}$.

(Vorsicht: im cgs-System sind ${}_{\chi _{e}}$ und ${}_{\chi _{m}}$ mit ${}_{4\,\pi }$ zu multiplizieren!)

Weiter ergibt sich die Definition der Brechzahl mit

$n:={\sqrt {\varepsilon _{r}\,\mu _{r}}}$

und der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

$c_{0}:={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\,\mu _{0}}}}$,

was die Lichtgeschwindigkeit im Material mit den entsprechenden Konstanten in Verbindung bringt. So ist die Phasengeschwindigkeit im Medium

$c_{p}:={\frac {c_{0}}{n}}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{r}\,\mu _{r}}}}$,

die bei frequenzunabhängiger Brechzahl (ohne Dispersion) gleich der Gruppengeschwindigkeit im Medium ist.

Zusammenfassung

Maxwellgleichungen in Materie in SI-Einheiten

Ampèresches Gesetz	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {j}$
Faradaysches Gesetz	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
Coulombsches Gesetz	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$
Gaußsches Gesetz des Magnetismus	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
Siehe Erläuterung!	$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\,\mathbf {E} +\mathbf {P} \,(=\varepsilon \,\mathbf {E} )$
Siehe Erläuterung!	$\mathbf {B} =\mu _{0}\,(\mathbf {H} +\mathbf {M} )\,(=\mu \,\mathbf {H} )$

Erläuterung: Die zuletzt angegebenen, eingeklammerten Beziehungen gelten nur bei linearem Zusammenhang. Die davor angegebenen Definitionen von $\mathbf {P}$ und $\mathbf {M}$ sind dagegen allgemein.

Traditionell werden die beiden zuletzt angegebenen sogenannten Materialgesetze und das Ohm'sche Gesetz ${}_{{\boldsymbol {j}}={\boldsymbol {\sigma }}\,{\boldsymbol {E}}}$ (${}\sigma$ ist hier der spezifische elektrische Leitwert) meist nicht in die Maxwellgleichungen miteinbezogen. Die Kontinuitätsgleichung ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \,\mathbf {j} =0\,$ als Beschreibung der Ladungserhaltung folgt aus den Maxwellschen Gleichungen.

Die elektrischen Feldstärken $E$ sowie die magnetischen Flussdichten $B$ werden als physikalisch vorhandene Kraftfelder interpretiert. Schon Maxwell verband diese Kraftfelder mit dem elektrischen Potenzialfeld $\,\phi$ und dem Vektorpotenzial ${\boldsymbol {A}}$:

${\boldsymbol {E}}=-\nabla \,\phi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\,,$

${\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}\,.$

Der Zusammenhang zwischen Feldstärken und Potenzialen ist zwar nur bis auf Eichtransformationen definiert, den Potentialen kommt aber in der Quantentheorie eine fundamentale Bedeutung zu..

Maxwellsche Gleichungen in differentialgeometrischer Form

Die Beschreibung durch die Vektoranalysis hat den großen Nachteil, dass sie

• auf den flachen $\mathbb {R} ^{3}$ bzw.$\mathbb {R} ^{4}$ beschränkt ist
• prinzipiell „metrisch verseucht“ ist, da entweder die euklidische oder die Lorentz'sche Metrik in den Operatoren verbaut ist, obwohl die Maxwellgleichungen metrikfrei definiert sind
• die Wahl einer Karte der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit völlig unphysikalisch ist, da Naturgesetze unabhängig von den gewählten Koordinaten richtig sein müssen

Der 3-dimensionale Ansatz

Didaktisch ist es sinnvoll, die Invarianz der Maxwellgleichungen unter Lorentztransformationen erst einmal zu verbergen und mit einer 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit zu starten. Die Zeit wird als äußerer Parameter behandelt, wie aus der klassischen Mechanik gewohnt.

Die inhomogenen Maxwellgleichungen

Sei $\rho \in \Lambda ^{3}({\mathcal {M}})$ eine Differentialform auf der beliebigen glatten Mannigfaltigkeit ${\mathcal {M}}$ der Dimension 3 und $\mathrm {d}$ die äußere Ableitung. Dann ist

$\mathrm {d} \rho =0\quad \Leftrightarrow \quad \rho {\text{ ist eine geschlossene Differentialform}}\,,$

weil es keine von 0 verschiedene Differentialform vom Grad 4 auf einer 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit geben kann. Auf einem sternförmigen Gebiet sichert das Lemma von Poincaré, dass ein Potential $D\in \Lambda ^{2}({\mathcal {M}})$ existiert, sodass

$\mathrm {d} D=\rho \quad \Leftrightarrow \quad \int _{\mathcal {M}}\mathrm {d} D=\int _{\mathcal {M}}\rho \quad {\stackrel {\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow }}\quad \int _{\partial {\mathcal {M}}}D=\int _{\mathcal {M}}\rho \quad {\text{(Gesetz von Gauss)}}\,.$

Dieses „Gesetz von Gauß“ darf nicht mit dem Gauß’schen Integralsatz verwechselt werden, zumal letzterer nur ein Spezialfall des allgemeinen Satzes von Stokes ist.

Weiterhin wird postuliert, dass die zeitliche Ableitung der Ladung $\partial _{t}Q$ aus einer Mannigfaltigkeit einem Strom durch die Berandung entgegengesetzt ist (sprich: alles was aus dem „Volumen“ ${\mathcal {M}}$ heraus will, muss durch die Berandungsfläche $\partial {\mathcal {M}}$ fließen).

$\partial _{t}Q=-I\quad \Leftrightarrow \quad \partial _{t}\int _{\mathcal {M}}\rho +\int _{\partial {\mathcal {M}}}j=0\quad {\stackrel {\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow }}\quad \int _{\mathcal {M}}\underbrace {\left(\partial _{t}\rho +\mathrm {d} j\right)} _{\mathrm {Kontinuit{\ddot {a}}tsgleichung} }=0\,.$

Diese Aussage entspricht also dem zur Kontinuitätsgleichung gehörigen Erhaltungssatz für die Gesamtladung (die Beliebigkeit der Mannigfaltigkeit ${\mathcal {M}}$ sichert analog zum Gesetz von Gauß, dass dieser auch ohne Integrale gilt). $j\in \Lambda ^{2}({\mathcal {M}})$ wird Stromdichte(zweiform) genannt. Also:

$\partial _{t}\rho +\mathrm {d} j=0\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm {d} (\partial _{t}D+j)=0\quad \Leftrightarrow \quad (\partial _{t}D+j){\text{ ist eine geschlossene Differentialform}}\,.$

Diese mathematische Aussage impliziert aber nach dem Lemma von Poincaré, dass auf einem sternförmigen Gebiet eine Differentialform vom Grad 1 $H\in \Lambda ^{1}({\mathcal {M}})$ existiert, sodass

$\mathrm {d} H=\partial _{t}D+j\quad \Leftrightarrow \quad \int _{\mathcal {S}}\mathrm {d} H=\int _{\mathcal {S}}\left(\partial _{t}D+j\right)\quad {\stackrel {\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow }}\quad \int _{\partial {\mathcal {S}}}H=\int _{\mathcal {S}}\left(\partial _{t}D+j\right)\quad {\text{(Maxwell-Amp}}\mathrm {\grave {e}} {\text{re-Gesetz)}}\,.$

Anzumerken ist, dass das Gesetz von Gauß rein aus der Geometrie des Problems folgt, also letztlich keine physikalische Bedeutung hat: Der einzige physikalische Input ist die Existenz elektrischer Ladungen bzw. die Kontinuitätsgleichung, welche im Maxwell-Ampère-Gesetz mündet. Die inhomogenen Gleichungen sind also Folge der Ladungserhaltung. Nichtbetroffen ist im Grunde nur der sogenannte Spinmagnetismus, d. h. derjenigen magnetischen Phänomene, die nicht von den hier ausschließlich behandelten Ampèreschen Kreisströmen (den Wirbeln von j ) herrühren (siehe Mathematische Struktur der Quantenmechanik, speziell den Abschnitt über den Spin, sowie den Artikel über das sogenannte Gyromagnetische Verhältnis). Das betrifft den dominierenden Teil des sogenannte Permanent-Magnetismus. Das zeigt aber im Grunde nur, dass die klassische Elektrodynamik nicht in sich selbst abgeschlossen ist, obwohl es mathematisch und theoretisch-physikalisch so scheint.

Die homogenen Maxwellgleichungen

Ähnlich der Kontinuitätsgleichung wird das Induktionsgesetz postuliert. Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine Fläche ${\mathcal {S}}$ geht einher mit der Induktion einer entgegengesetzten Ringspannung auf ihrem Rand $\partial S$. Das ist völlig analog zur Kontinuitätsgleichung, nur eine Dimension tiefer.

$U=-\partial _{t}\Phi _{\text{mag}}\quad \Rightarrow \quad \int _{\partial {\mathcal {S}}}E=-\int _{\mathcal {S}}\partial _{t}B\quad {\stackrel {\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow }}\quad \int _{\mathcal {S}}\left(\mathrm {d} E+\partial _{t}B\right)=0\quad {\text{(Induktionsgesetz)}}$

Dabei ist $B\in \Lambda ^{2}({\mathcal {M}})$ die magnetische Flussdichte(zweiform) und $E\in \Lambda ^{1}({\mathcal {M}})$ das elektrische Feld. Die Beliebigkeit der Fläche ${\mathcal {S}}$ sichert, dass sich das Induktionsgesetz auch ohne Integral schreiben lässt:

$\mathrm {d} E+\partial _{t}B=0\quad {\stackrel {\mathrm {d} }{\Rightarrow }}\quad \underbrace {d^{2}} _{=0}E+\partial _{t}\mathrm {d} B=0\quad \Rightarrow \mathrm {d} B=f(x,y,z)$

Man erkennt also, dass $\mathrm {d} B$ nur von den (Raum)-Komponenten der Mannigfaltigkeit ${\mathcal {M}}$ abhängen kann, nicht aber von der Zeit. Jedoch hängt der Ausdruck links vom Gleichheitszeichen gar nicht von der Wahl der Koordinaten ab. Also muss f(x,y,z) verschwinden. Zusätzlich kann die Gleichung auch nur dann lorentzinvariant sein. Es folgt also die Quellfreiheit der magnetischen Flussdichte(zweiform) (d.h. die Nichtexistenz magnetischer Ladungen, siehe oben):

$\mathrm {d} B=0\quad \Leftrightarrow \quad \int _{\mathcal {M}}\mathrm {d} B=0\quad {\stackrel {\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow }}\quad \int _{\partial {\mathcal {M}}}B=0\quad {\text{(Quellfreiheit)}}$

Wieder geht lediglich ein Postulat ein, das Induktionsgesetz; die Quellfreiheit ist dann eine rein mathematische Konsequenz.

Relativistische Invarianz

Die relativistische Invarianz ergibt sich aus einem subtilen Punkt, den man u.U. leicht übersieht: Oben sind wir bei einem Integral der Form $\int \,\partial _{t}\,B$ gelandet, d.h. es sieht so aus, als ob nur dann „etwas passiert“ (d.h. eine Induktionsspannung auftritt), wenn sich das Magnetfeld selbst ändert. In Wirklichkeit besagt Faradays Induktionsgesetz, dass eine Induktionsspannung immer dann auftritt, wenn sich das Magnetfeld relativ zur Spule ändert. D.h., das Differential nach der Zeit kann nicht hinter dem Integral verbleiben, sondern muss vor  das Integral gezogen werden, so dass auch bei bloßer Änderung der Spule, bei festgehaltenem Magnetfeld, eine Induktionsspannung auftritt.

Die Materialgleichungen

Weil die Einsformen E und H nicht kompatibel mit den Zweiformen D und B sind, muss man eine Beziehung zwischen ihnen herstellen. Das geschieht mit dem Hodgeoperator $\star$, welcher auf einer 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit Einsformen und Zweiformen durch den Isomorphismus der Dualität verbindet (siehe oben).

$D=\varepsilon _{0}\star E\quad {\text{und}}\quad B=\mu _{0}\star H\quad {\text{(Materialgleichungen)}}$

Hier wird offensichtlich, warum H und B bzw. E und D schon aus mathematischen Gründen nicht einfach (bis auf einen Faktor) identifiziert werden können. H ist ja eine Einsform und wird über eine Kurve integriert, B ist eine Zweiform und braucht eine (2-dimensionale) Fläche zur Integration. (Zudem sind in polarisierbaren Medien die zugehörigen Vektorfelder auch physikalisch wesentlich verschieden.) Es kann also schon von der Mathematik her keine Proportionalität zwischen diesen Größen bestehen, wie es die Beschreibung durch die Vektoranalysis suggeriert. Gleiches gilt für E und D: Die erste Größe beschreibt eine Differentialform vom Grade 1, braucht zur Integration also eine Kurve, wie bei einem Kraft-Integral; die zweite Größe ist eine Zweiform, braucht also eine Fläche wie bei einem Fluss-Integral. Dieser Unterschied scheint pedantisch, ist aber fundamental.

Es sei bemerkt, dass erst mit dem Hodgeoperator die Metrik eine Rolle in den Gleichungen spielt. Die Maxwellgleichungen ohne die Materialgleichungen sind unabhängig von der Wahl der Metrik und sogar unabhängig von der Beschaffenheit der Mannigfaltigkeit, solange ${\mathcal {M}}$ dreidimensional ist. Lediglich die Wirkung von $\star$ in den Materialgleichungen würde sich verändern.

Der 4-dimensionale Ansatz

${\mathcal {N}}$ sei eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension 4 und ${\mathcal {M}}\subset {\mathcal {N}}$ eine glatte Untermannigfaltigkeit der Dimension 3 (aus dem 3-dimensionalen Ansatz) und $g\in {\mathcal {T}}_{2}^{0}({\mathcal {N}})$ der metrische Tensor mit Koeffizientendarstellung.

$g_{\mu \nu }=\left(\mathrm {diag} (-1,1,1,1)\right)_{\mu \nu }\quad {\text{(Minkowskimetrik)}}$

(Es gibt viele äquivalente Formen, die man z.B. durch Multiplikation mit einer Zahl vom Betrag 1 erhalten kann.) )

Die Metrik muss lediglich festgelegt werden, damit man das nun folgende Viererpotential $A\in \Lambda ^{1}({\mathcal {N}})$ explizit hinschreiben kann (Physik: „kontravariante Größen“), ohne den Umweg über die Koeffizienten eines Vektorfeldes (Physik: „kovariante Größen“) ${\mathcal {A}}\in {\mathcal {X}}({\mathcal {N}})$ zu gehen mit

$A=g({\mathcal {A}},\cdot )\quad {\text{wobei}}\quad {\mathcal {A}}=a^{\mu }\partial _{\mu }$.

Die Festlegung auf den Minkowskiraum, die man u.a. benötigt um „raumartige“ und „zeitartige“ Vektor- bzw. Tensorkomponenten zu unterscheiden, oder bei der Definition der Dualitätsoperation (siehe unten), ist also hier nicht erforderlich Man könnte die Metrik auch frei wählen, dann sehen die Komponenten der Einsform

$A=a_{\mu }dx^{\mu }\quad {\text{(Viererpotential)}}$

nur anders aus, denn

$a_{\mu }=g_{\mu \nu }a^{\nu }\quad {\text{(Transformation zwischen Vektorfeld und Differentialform)}}$.

Sei also ab hier die Mannigfaltigkeit der flache Minkowskiraum, das heißt o.B.d.A. ${\mathcal {N}}=M^{4}=(\mathbb {R} ^{4},g)$. Dann ist das Vektorpotential gegeben durch

$A=-\phi /c\ \mathrm {d} t+a_{1}\ \mathrm {d} x+a_{2}\ \mathrm {d} y+a_{3}\ \mathrm {d} z\quad$ für das Vektorfeld $\quad {\mathcal {A}}=+\phi /c\ \partial _{t}+a^{1}\ \partial _{x}+a^{2}\ \partial _{y}+a^{3}\ \partial _{z}$.

Die homogenen Maxwellgleichungen

Sei nun die äußere Ableitung von A gegeben durch $F\in \Lambda ^{2}({\mathcal {N}})$, also durch den sogenannten Feldstärketensor (Faradayzweiform):

$F=\mathrm {d} A\quad {\stackrel {\mathrm {d} }{\Rightarrow }}\quad \mathrm {d} F=\underbrace {\mathrm {d} ^{2}} _{=0}A=0\quad {\text{(homogene Maxwellgleichungen)}}$.

Beeindruckend ist die Tatsache, dass die äußere Ableitung von F immer verschwindet, unabhängig davon, wie A aussieht. Das ergibt die sogenannte Eichfreiheit und begründet auch, warum die Einschränkung auf den Minkowskiraum die Allgemeinheit nicht verletzt. Da die Gleichungen jedoch ohne jeden physikalischen Input auskommen, folgt unmittelbar, dass die homogenen Maxwellgleichungen lediglich Folge der Geometrie des Raumes und des benutzten Formalismus sind (gleiches gilt ja auch für die Beziehung ${\rm {d}}^{2}\equiv 0\,$: eine geschlossene Differentialform ist ja noch weitgehend frei, nämlich bis auf das äußere Differential einer um einen Grad niedrigeren Form. ).

Die Materialgleichungen

Die Faradayzweiform lässt sich auch in den bereits bekannten Größen schreiben:

$F=E\wedge \mathrm {d} t+B\quad {\stackrel {\star }{\Rightarrow }}\star F=-{\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}G\quad {\text{(Materialgleichungen)}}$.

Die zu F duale Zweiform G heißt Maxwellzweiform und ist gegeben durch schon bekannten Größen, nämlich:

$G=D-H\wedge \mathrm {d} t$ .

In physikalischen Theorien entspricht F dem Feldstärketensor und G dessen dualem Tensor (siehe unten).

Die gesamten Maxwellgleichungen, mit nur zwei Differentialformen

Definiert man nun eine Dreiform $\mathbf {J} =\mathbf {\rho } -\mathbf {j} \wedge \mathrm {d} t\in \Lambda ^{3}({\mathcal {N}})$ , so ergibt deren äußere Ableitung

$\mathrm {d} \mathbf {J} =0\quad {\text{(Kontinuitaetsgleichung)}}\,.$

Das entspricht dem schon erwähnten Erhaltungssatz für die Gesamtladung.

Während nun die beiden homogenen Maxwell-Gleichungen (Maxwell I und II) durch die Aussage zusammengefasst werden können, dass die elektrischen bzw. magnetischen Felder ${\vec {E}}$ bzw. ${\vec {B}}$ durch eine einzige geschlossene Differentialform zweiter Stufe $\,\mathbf {F}$ repräsentiert werden ($\mathrm {d} \mathbf {F} =\mathbf {0}$), gilt für die verbleibenden inhomogenen Maxwell-Gleichungen III und IV die Aussage, dass die äußere Ableitung der dualen Form $\mathbf {G} \,:=\,*\mathbf {F}$ mit der Stromform $\mathbf {J}$ identisch ist. Also

$\mathrm {d} (*\mathbf {F} )=\mathbf {J} \quad {\text{(inhomogene Maxwellgleichungen, III und IV)}}\,.$.

Damit ist die Gesamtheit aller vier Maxwell-Gleichungen in mathematischer Kurzform durch nur zwei Differentialformen, $\mathbf {F}$ und $\mathbf {J}$, ausgedrückt. (Insbesondere folgt aus der letzten Gleichung sofort auch die Kontuitätsgleichung, weil die zweimalige äußere Ableitung immer Null ergibt.)

Erneut spielt die Metrik keine direkte Rolle (indirekt ist sie sehr wichtig, z. B. bei der Definition der Dualität, die bei der Berechnung der Ladungen und Ströme aus den Feldern benötigt wird) sowie bei der Angabe der expliziten Form der Lorentzinvarianz. Auch die Mannigfaltigkeit ${\mathcal {N}}$ ist beliebig, solange sie Dimension 4 hat. Letztlich ist aber physikalisch auch hier die Metrik wesentlich, nicht nur bei der gerade erwähnten Dualität. Sondern auch hier kommt es nicht allein auf die Vierdimensionalität der Mannigfaltigkeit an, sondern auch auf die Unterscheidung zwischen Raum- und Zeitkoordinaten (bzw. zwischen sogenannten raumartigen und zeitartigen Vektoren, Tensor- und Feldkomponenten), die sich ja mit Hilfe des metrischen Tensors ausdrücken. Dieser ist ja nicht gegeben durch $ds^{2}=+c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\,,$ sondern z. B. durch $ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\,.$ D.h. man hat es nicht mit einer $\mathbb {R} ^{4}-$ , sondern, wie schon gesagt, mit einer $\mathbb {M} ^{4}$ -Mannigfaltigkeit zu tun. Die Unterscheidung von „raumartigen“ und „zeitartigen“ Größen in der Metrik hängt auch mit dem Unterschied zwischen elektrischen und magnetischen Feldern zusammen. Obwohl die (insgesamt sechs) Feldkomponenten dieser Größen durch die Lorentz-Beziehungen ineinander transformiert werden können, ist die Charakterisierung eines Feldes als im Wesentlichen „elektrisch“ bzw. „magnetisch“ eine Invariante der Theorie, weil die Lagrange-Funktion, eine aus *F, F und J zusammengesetzte invariante Funktion, aus der sich die Bewegungsgleichungen (also die Maxwellschen Gleichungen) berechnen lassen, im cgs-System im Wesentlichen gleich B²-E² ist. (Bemerkung: Ein Minkowski-Vektor $\mathbf {v}$ ist raumartig bzw. zeitartig bzw. lichtartig, je nachdem ob $(ds)^{2}[\mathbf {v} ]$ positiv bzw. negativ bzw. Null ist. Analog ist ein elektromagnetisches Feld im Wesentlichen magnetisch bzw. elektrisch bzw. wellenartig je nachdem ob die Lagrangefunktion, für $\mathbf {J} =0$ , positiv bzw. negativ bzw. Null ist.)

Abstrakte Integralformulierung und Interpretation

Diese abstrakte differentielle Formulierung der Maxwellschen Gleichungen benutzt die Theorie der sogenannten alternierenden Differentialformen, insbesondere das sogenannte äußere Differential. Die zugehörige abstrakte Integralformulierung ergibt sich durch Anwendung des verallgemeinerten Stokesschen Satzes aus dieser mathematischen Theorie: Man konzentriert sich dazu in der angegebenen Drei-Mannigfaltigkeit V mit Minkowski-Metrik (z. B. eingebettet in den Raum $\mathbb {M} ^{4}\,)$ besonders auf deren Rand $\partial V\,,$ eine geschlossene Zwei-Mannigfaltigkeit, und erhält:

$(\int _{V}{\rm {d}}\mathbf {F} \equiv )\,\oint _{\partial V}\mathbf {F} =\mathbf {0}$

für alle V, sowie (mit $\mathbf {G} =*\mathbf {F} \,)$ :

$(\int _{V}{\rm {d}}\mathbf {G} \equiv )\,\oint _{\partial V}\mathbf {G} =\int _{V}\mathbf {J} \,.$

Dabei steht der eigentlich interessierende Teil hinter der Klammer und es wird durch das Zeichen $\oint$ im Sinne der Physik betont, dass das Integrationsgebiet $\partial V$ eine geschlossene Mannigfaltigkeit ist. Die erste der beiden angegebenen Gleichungen enthält das Faradaysche Induktionsgesetz und das Gesetz von der Nichtexistenz magnetischer Ladungen. In der letzten Gleichung ist das Maxwell-Ampèresche Gesetz und das Gesetz von Gauß enthalten. Beide Gesetze eines Paares gehören also jeweils zusammen. Das Gaußsche Gesetz z.B. besagt in der hier gegebenen abstrakten Formulierung: Der Fluss der elektromagnetischen Form $\mathbf {G}$ durch den Rand der Mannigfaltigkeit V ist gleich der gesamten in V enthaltenen „Ladung“, wie sie sich aus der Stromform $\mathbf {J}$ ergibt.

Die angegebene Eichfreiheit ergibt sich geometrisch daraus, dass man zu vorgegebenem Rand $\Gamma =\partial V$ viele verschiedene Mannigfaltigkeiten V finden kann, die darin „hineinpassen“.

Herleitung der Gleichungen

Coulomb'sches Gesetz

• Der elektrische Fluss ist definiert durch $\Phi _{el}={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\int _{V}\rho dV$.
• Alternative Definition des Flusses (durch das Innenprodukt aus Feld und Flächennormalvektor): $\Phi _{el}=\int _{V}<{\vec {E}},d{\vec {A}}>$.

Gleichsetzend er beiden Gleichungen liefert

${\frac {1}{\epsilon _{0}}}\int _{V}\rho dV=\int _{\partial V}<{\vec {E}},d{\vec {A}}>$

Aus dem Satz von Gauß ergibt sich

$\int _{Rd(V)}<{\vec {E}},d{\vec {A}}>=\int _{V}div{\vec {E}}dV$

und die Integralform

${\frac {1}{\epsilon _{0}}}\int _{V}\rho dV=\int _{V}div{\vec {E}}dV$

bzw. in differentieller Form

$div{\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

Gauß'sches Gesetz des Magnetismus

$\oint _{Rd(V)}<{\vec {B}},d{\vec {A}}>=0$

folgt daraus, dass alle magnetischen Feldlinien geschlossen sind, also durch eine geschlossenee Fläche genauso viele Feldlinien aus- wie eintreten. Der Gesamtfluss durch die Fläche verschwindet daher. Es folgt wieder aus dem Satz von Gauß

$\oint _{Rd(V)}<{\vec {B}},d{\vec {A}}>=\int _{V}div{\vec {B}}dV$

und daher insbesondere

$div{\vec {B}}=0$

Ampere'sches Gesetz

Man findet experimentell für von einem Strom I durchflossene geschlossene Leiterschleifen

$\oint _{Rd(V)}<{\vec {B}},d{\vec {s}}>=\mu _{0}I$,

$\mu _{0}$ heißt magnetische Induktionskonstante. Wegen

$I=\int <{\vec {j}},d{\vec {A}}>$

folgt sofort

$\mu _{0}\int _{A}<{\vec {j}},d{\vec {A}}>=\oint _{Rd(A)}<{\vec {B}},d{\vec {s}}>$

und nach dem Satz von Stokes

$\mu _{0}\int _{A}<{\vec {j}},d{\vec {A}}>=\int _{A}<rot{\vec {B}},d{\vec {A}}>$.

bzw. die differentielle Form

$rot{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}$.

Jedoch fehlt hier noch ein Term. Wir haben dafür zunächst den maxwell'schen Verschiebungsstrom zu definieren:

${\vec {j}}_{V}={\frac {dI}{d{\vec {A}}}}={\frac {d}{d{\vec {A}}}}{\frac {dQ}{dt}}$

Wir wissen, dass $Q=\epsilon _{0}<{\vec {A}},{\vec {E}}>$, und damit für den Verschiebungsstrom gilt (man beachte, das ${\frac {d{\vec {A}}}{dt}}=0$)

${\vec {j}}_{V}=\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Mit $rot{\vec {B}}=({\vec {j}}+{\vec {j}}_{V})\mu _{0}$ ergibt sich die Maxwell- Gleichung zu

$rot{\vec {B}}={\vec {j}}\mu _{0}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Induktionsgesetz

Wird eine Leiterschleife mit dem Flächenvektor $d{\vec {A}}$ in ein zeitlich veränderliches Magnetfeld ${\dot {\vec {B}}}\neq 0$ gebracht, so wird in der Leiterschleife eine Spannung $U_{ind}$ induziert. Es gilt

$U_{ind}=-{\frac {d}{dt}}\int _{A}<{\vec {B}},d{\vec {A}}>=-\int _{A}<{\dot {\vec {B}}},d{\vec {A}}>$.

Man beachte dabei, dass $d{\dot {\vec {A}}}=0$. Wir wissen aber auch, dass

$U_{ind}=\oint _{Rd(A)}<{\vec {E}},d{\vec {s}}>=\int _{A}<rot{\vec {E}},d{\vec {A}}>$

Setzen wir die beiden Ausdrücke für die Induktionsspannung gleich, so erhalten wir

$-\int _{A}<{\dot {\vec {B}}},d{\vec {A}}>=\int _{A}<rot{\vec {E}},d{\vec {A}}>$

beziehungsweise die differentielle Form

${\dot {\vec {B}}}=rot{\vec {E}}$

Quellen

Internet:

• http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fscher_Integralsatz
• http://de.wikipedia.org/wiki/Induktionsgesetz

Literatur

• Demtröder, Wolfgang: "Experimentalphyik 2 - Elektrizität und Optik"

Springer- Verlag, Berlin, Heidelberg 2009

5. Auflage

ISBN 978-3-540-68210-3

Besondere Formulierungen und Spezialfälle

Maxwellgleichungen für konstante Frequenzen $\omega$ in komplexer Schreibweise

Die in den Maxwellschen Gleichungen auftretenden Feldvektoren sind im allgemeinen nicht nur Funktionen des Ortes sondern auch der Zeit, beispielsweise ${}_{{\boldsymbol {H}}(x,y,z,t)}$. In den partiellen Differentialgleichungen tritt dann neben den Ortsvariablen auch die Zeitvariable auf. Zur vereinfachten Lösung dieser Differentialgleichungen beschränkt man sich in der Praxis oft auf harmonische (sinusförmige) Vorgänge. Diese Darstellung ist für die praktische Feldberechnung, beispielsweise bei der Berechnung von elektromagnetischen Schirmen oder für die Antennentechnik, von wesentlicher Bedeutung.

Mit Hilfe der komplexen Schreibweise lässt sich die Zeitabhängigkeit bei harmonischen Vorgängen vermeiden, da sich der komplexe Zeitfaktor ${}_{e^{j\,\omega \,t}}$ dabei heraushebt. Die in den Maxwellschen Gleichungen auftretenden Feldgrößen sind dann komplexe Amplituden und nur noch Funktionen des Ortes. An Stelle der partiellen Differentiation nach der Zeit tritt die Multiplikation mit dem imaginären Faktor ${}_{j\,\omega }$. Der Faktor $\omega$ wird auch als Kreisfrequenz bezeichnet.

Wie in der Elektrotechnik üblich, wird die imaginäre Einheit mit j bezeichnet (sie sollte nicht mit der häufig für die Stromdichte verwendeten Variable j verwechselt werden) – in der Mathematik und theoretischen Physik wird sie meist i geschrieben.

In komplexer Form - komplexe Größen sind zur Unterscheidung unterstrichen - , lauten die Maxwellschen Gleichungen in Differentialform:

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\underline {\boldsymbol {D}}}=\rho$

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\underline {\boldsymbol {B}}}=0$

${\boldsymbol {\nabla }}\times {\underline {\boldsymbol {E}}}=-j\,\omega \,{\underline {\boldsymbol {B}}}$

${\boldsymbol {\nabla }}\times {\underline {\boldsymbol {H}}}={\underline {\boldsymbol {J}}}=\left(\sigma +j\,\omega \,\varepsilon \right)\,{\underline {\boldsymbol {E}}}$

Kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen

In diesem Absatz wird, wie im übrigen Artikel, das SI-Einheitensystem verwendet. Dieses und die damit verbundenen Faktoren $\,\mu _{0}$, $\varepsilon _{0}$ etc. empfinden viele Theoretiker gerade bei der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik als unnatürlich und verwenden andere Systeme, etwa Gauß-Einheiten oder Heaviside-Lorentz-Einheiten, in denen die Grundgrößen der Elektrodynamik anders definiert werden. In der Literatur können deshalb, verglichen mit dieser Darstellung, Vorfaktoren wegfallen, hinzukommen oder an andere Stellen rücken.

Die Elektrodynamik, wie sie durch die Maxwellgleichungen beschrieben wird, ist im Gegensatz zur Newtonschen Mechanik verträglich mit der speziellen Relativitätstheorie. Dazu gehört, dass die Maxwellgleichungen in jedem Inertialsystem gelten, ohne dass sich beim Wechsel des Bezugssystems ihre Form ändert. Das spielte historisch für die Entwicklung der Relativitätstheorie durch Albert Einstein eine wichtige Rolle..

Technischer formuliert sind die Maxwellgleichungen relativistisch kovariant oder forminvariant, das heißt, dass sie ihre Gestalt unter Lorentz-Transformationen nicht ändern.

Diese Eigenschaft ist den Maxwellgleichungen in der oben beschriebenen Form jedoch nicht ohne weiteres anzusehen. Es kann deshalb nützlich sein, durch eine Umformulierung der Theorie die Forminvarianz herauszuarbeiten, anders ausgedrückt: die Theorie „manifest kovariant“ zu schreiben.

Dazu ist es zweckmäßig, die oben auftretenden Größen ${\boldsymbol {E}}$, ${\boldsymbol {B}}$ usw. durch Größen ausdrücken, die ein klar definiertes, einfaches Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen haben, also durch Lorentz-Skalare, Vierervektoren und Vierer-Tensoren höherer Stufen.

Ausgangspunkt für diese Umformulierung bilden die elektromagnetischen Potentiale $\,\phi$ (skalares Potential) und ${\boldsymbol {A}}$ (Vektorpotential), aus denen man die elektrischen und magnetischen Felder durch

• ${\boldsymbol {E}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi -\partial _{t}{\boldsymbol {A}}$
• ${\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}}$

erhält (siehe auch Elektrodynamik). Diese Größen lassen sich zu einem Vierervektor, dem Viererpotential

$A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\boldsymbol {A}}\right)$

zusammenfassen. Ebenso kann man aus Ladungsdichte $\,\rho$ und Stromdichte ${\boldsymbol {j}}$ die Viererstromdichte zusammensetzen, mit

$j^{\mu }=(c\rho ,{\boldsymbol {j}})$.

Aus dem Viererpotential wird der elektrodynamische Feldstärketensor abgeleitet, dessen Komponenten bis auf Vorzeichen und konstante Vorfaktoren, die vom Einheitensystem abhängen, gerade die der elektrischen und magnetischen Felder sind. Er hat die Form

$F^{\alpha \beta }=\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha }={\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\\\end{pmatrix}}$.

Man definiert nun den Vierergradienten, die relativistische Form der Ableitung, als

$\partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\nabla \right)$, also  $\partial _{\alpha }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},+\nabla \right)$, sowie die Differentiale $\,\mathrm {d} x^{\alpha }=(c\mathrm {d} t,\mathrm {d} x,\mathrm {d} y,\mathrm {d} z)$, die bei der Behandlung der Maxwellschen Gleichungen im Artikel Differentialformen benötigt werden, der an dieser Stelle auch empfohlen wird.

Mit diesen Größen kann man die beiden inhomogenen Maxwellgleichungen im Vakuum durch die kovariante Gleichung

$\,\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}j^{\beta }$

ersetzen. Dabei wird, wie üblich, die einsteinsche Summenkonvention benutzt, das heißt, über doppelt auftretende Indizes in Produkten (hier $\alpha$) wird summiert. Ferner erfolgt wie üblich das Herauf- und Herunterziehen von Indizes mit dem metrischen Tensor

${\mathbf {\eta } }={\begin{pmatrix}+1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}$.

Man beachte, dass wegen der Antisymmetrie des Feldstärketensors auch die Kontinuitätsgleichung (Verschwinden der Vierer-Divergenz) folgt

$\partial _{t}\rho +{\mbox{div}}\,{\boldsymbol {j}}=\mu _{0}\partial _{\beta }j^{\beta }=\partial _{\alpha }\partial _{\beta }F^{\alpha \beta }=-\partial _{\alpha }\partial _{\beta }F^{\beta \alpha }=-\partial _{\beta }\partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=0$.

Die beiden homogenen Maxwellgleichungen erhalten im Vakuum die manifest kovariante Form

$\,\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }=0$

Das wird auch häufig mit dem Levi-Civita-Symbol kompakter geschrieben als

$\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\partial _{\alpha }F_{\gamma \delta }=0$

oder

$\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0$

mit dem dualen Feldstärketensor

${\tilde {F}}^{\alpha \beta }:={\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta },$

dessen Komponenten man auch aus denen von $\,F^{\alpha \beta }$ erhalten kann, indem man die Vektoren ${\boldsymbol {E}}/c$ durch ${\boldsymbol {B}}$ und ${\boldsymbol {B}}$ durch $-{\boldsymbol {E}}/c$ ersetzt. Also

${\tilde {F}}^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&{\frac {E_{z}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}\\B_{y}&-{\frac {E_{z}}{c}}&0&{\frac {E_{x}}{c}}\\B_{z}&{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{x}}{c}}&0\\\end{pmatrix}}$.

Differentialformen ermöglichen eine besonders übersichtliche Darstellung der Maxwellgleichungen, die zudem automatisch kovariant ist, wenn man von Anfang an nicht im euklidischen Raum, sondern im Minkowski-Raum arbeitet. Dabei werden Viererpotential und Viererstromdichte durch die 1-Formen $\mathbf {A}$ und $\mathbf {j}$ dargestellt, der Feldstärketensor durch die 2-Form $\mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A}$ und sein Dual durch die 2-Form $*\mathbf {F}$ (das Symbol $\mathrm {d}$ steht bei Differentialformen für eine formale Ableitung und nicht etwa für ein unendlich kleines Differential). Die Maxwellgleichungen im Vakuum lauten dann (in Heaviside-Lorentz-Einheiten)  

$*\mathrm {d} *\mathbf {F} =\mathbf {j}$

und

$\mathrm {d} \mathbf {F} =0$.

Maxwellgleichungen unter Berücksichtigung hypothetischer magnetischer Monopole

Magnetische Monopole treten in einigen GUT-Theorien als mögliche oder notwendige Bestandteile auf. Mit ihnen ließe sich die Quantelung der elektrischen Ladung erklären, wie Paul Dirac schon 1931 erkannte. Bislang wurden magnetische Monopole nur als Quasiteilchen beobachtet. Reale Teilchen als Monopole wurden noch nicht gefunden. Daher wird in den oben genannten Maxwellgleichungen auch angenommen, dass keine magnetischen Monopole (magnetische Ladungen) existieren.

Sollten in der Zukunft dennoch solche magnetischen Ladungen gefunden werden, so lassen sich diese in den Maxwellgleichungen problemlos berücksichtigen.

Setzt man $\rho _{m}$ für die Monopolladungsdichte, ${\boldsymbol {j}}_{m}=\rho _{m}{\boldsymbol {v}}_{m}$ für die Stromdichte und ${\boldsymbol {v}}_{m}$ für die Geschwindigkeit der sich bewegenden magnetischen Monopolladungen, so ändern sich nur zwei der vier oben genannten Gleichungen in differentieller Form zu

${\mbox{div}}\,{\boldsymbol {B}}=\rho _{m}\,\,.$

Interpretation: Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte beginnen und enden in einer magnetischen Ladung.

${\mbox{rot}}\,{\boldsymbol {E}}=-\left({\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {B}}+{\boldsymbol {j}}_{m}\right)\,.$

Interpretation: Sich zeitlich ändernde magnetische Flussdichten oder das Vorhandensein von magnetischen Stromdichten führen zu elektrischen Wirbelfeldern.

Die anderen beiden Gleichungen bleiben unverändert, während sich aber natürlich für die beiden neuen differentiellen (d. h. lokalen) Gleichungen auch neue integrale (d. h. globalen) Darstellungen ergeben, die aber ohne weiteres mit den Integralsätzen von Gauß und Stokes berechnet werden können.

Der Fall der verschwindenden Monopole $\rho _{m}=0$ führt wieder auf die bekannten, oben angegebenen Gleichungen zurück.

Maxwellsche Gleichungen und Photonmasse

Die Photonmasse verschwindet gemäß der Maxwellschen Gleichungen. Diese Gleichungen sind der Grenzfall $m=0$ der allgemeineren Maxwell-Proca-Gleichungen mit einer nicht negativen Photonmasse $m$. Statt des Coulomb-Potentials ${}_{\frac {q}{r}}$ bewirkt in der Maxwell-Proca-Theorie eine elektrische Punktladung $q$ das Yukawa-Potential ${}_{{\frac {q}{r}}\,\mathrm {e} ^{-m\,r}}$ und hat nur noch eine Reichweite von etwa der Compton-Wellenlänge, die zu $m$ gehört.

Historische Betrachtungen

Die Formulierung der Gleichungen

Maxwell veröffentlichte seine Gleichungen 1865. Im Jahr 1873 brachte Maxwell seine Gleichungen in eine quaternionische Darstellung. Im Zuge dessen hat Maxwell auch das magnetische Potenzialfeld ${}_{\boldsymbol {\Omega }}$ und die magnetische Masse $m$ in seine Gleichungen eingeführt und diese Feldvariablen in die Gleichung für die elektromagnetische Kraft $F$ eingefügt. Maxwell rechnete allerdings nicht direkt in dieser Notation, sondern behandelte den Skalarteil und den Vektorteil getrennt.

Die heute gängigen Notationen wurden erst später von Oliver Heaviside und Josiah Willard Gibbs auf der Grundlage der ursprünglichen Maxwellschen Gleichungen von 1865 formuliert. Diese sind einfacher zu lesen und in den meisten Fällen auch einfacher anzuwenden, weshalb sie auch heute noch üblich sind. Es handelt sich jedoch um eine Untermenge der ursprünglichen Gleichungen.

Maxwellgleichungen in cgs-Systemen

In einer verbreiteten Version des gaußschen cgs-Systems lauten die Maxwellgleichungen:

Maxwellgleichungen im gaußschen cgs-System

Ampèresches Gesetz	$\nabla \times \mathbf {H} =4\pi {\frac {\mathbf {j} }{c}}+{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$
Induktionsgesetz	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
Coulombsches Gesetz	$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho$
Gaußsches Gesetz des Magnetismus	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

So werden die Maxwellgleichungen zum Beispiel im bekannten Lehrbuch von Jackson (das daneben noch das SI-System benutzt) geschrieben. Daneben gibt es auch Versionen des gaußschen cgs-Systems, die eine andere Definition der Stromstärke benutzen und in denen das Ampèresche Gesetz lautet (z. B. im verbreiteten Lehrbuch von Panofsky und Phillips):

$\nabla \times \mathbf {H} =4\pi \mathbf {j} +{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$

Für die Potenziale wird im cgs-System gesetzt:

${\boldsymbol {E}}=-\nabla \,\phi -{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}$ sowie ${\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}\,.$

Ferner gilt

${\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {E}}+4\pi {\boldsymbol {P}}$ und ${\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {H}}+4\pi {\boldsymbol {M}}\,.$

Bei der Formulierung der Maxwellgleichungen im cgs-System von Heaviside-Lorentz entfallen die Faktoren $4\pi$ in obigen Gleichungen nach Jackson und der Vorfaktor $\,{\frac {1}{c}}$ vor der $\,j$ entfällt. Bei der Formulierung in den sogenannten „natürlichen Einheiten“ muss in den obigen Gleichungen c=1 gesetzt und die Faktoren $\,4\pi$ müssen weggelassen werden.

Systematisches Transformationsverhalten (SI ↔ cgs)

Man kann in wenigen Zeilen das Transformationsverhalten zwischen SI- und cgs-Systemen systematisch beschreiben, obwohl die Transformationen schon deshalb nicht ganz trivial sind, weil das letztgenannte System drei Basisgrößen („Länge“, „Masse“, „Zeit“), das erstgenannte System aber vier davon hat (zusätzlich noch die „elektrische Stromstärke“).  In der Tat, im cgs-System üben zwei gleich-geladene Punktmassen, deren Abstand r beträgt, aufeinander die Coulomb-Kraft $q_{\,cgs}^{2}/r^{2}$ aus, während im SI-System die gleiche Kraft $q_{\,SI}^{2}/(4\pi \epsilon _{0}r^{2})$ beträgt.

• Es gilt also erstens: $q_{\,cgs}=q_{\,SI}/{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}\,.$ Nach einem ganz analogen Gesetz transformiert sich auch das elektrische Moment p bzw. die elektrische Polarisation (elektrisches Moment pro Volumen) P sowie die elektrische Stromdichte j  (=$\,\rho v)\,.$ Die elektrische Feldstärke dagegen transformiert sich komplementär zu q, weil das Produkt „Ladung mal Feldstärke“ invariant sein muss. Also:
• Zweitens gilt:   $E_{\,cgs}=E_{\,SI}\cdot {\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}\,.$
• Drittens ist: $D_{\,cgs}=D_{\,SI}\cdot {\sqrt {\frac {4\pi }{\epsilon _{0}}}}\,$  (weil im Vakuum $D_{\,SI}=\epsilon _{0}\,E_{\,SI}\,,$ aber $D_{\,cgs}=E_{\,cgs}$ ist ).

Für die entsprechenden magnetischen Größen (erstens: das magnetisches Moment m bzw. die magnetische Polarisation J=μ₀ M (Zusammenhang: m=JΔV=μ₀MΔV), zweitens: die magnetische Feldstärke H, drittens: die magnetische Induktion B) gelten ähnliche Gesetze, in denen $\mu _{0}$ an die Stelle von $\epsilon _{0}$ tritt.

Sowohl das Ampèresche Gesetz als auch Faradays Induktionsgesetz koppeln aber elektrische und magnetische Größen. An dieser Stelle kommt die Lichtgeschwindigkeit c ins Spiel, und zwar durch die fundamentale Beziehung $\epsilon _{0}\mu _{0}\equiv 1/c^{2}\,.$

Wenn man z. B. das Ampèresche Gesetz betrachtet, das im SI-System folgendermaßen lautet: $\mathbf {rot\,\,} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\,,$ so erhält man im cgs-System die erste der gerade in der Tabelle angegebenen Gleichungen.

Literatur

• Wolfgang Panofsky, Melba Phillips: Classical Electricity and Magnetism, Addison Wesley (zuerst 1955)
• John David Jackson: Classical Electrodynamics, John Wiley (zuerst 1962)
• Károly Simonyi: Theoretische Elektrotechnik, Harri Deutsch
• Lew Landau, Jewgeni Lifschitz: Theoretische Physik Bd. 2: Klassische Feldtheorie, Harri Deutsch
• Richard Becker, Fritz Sauter: Theorie der Elektrizität, Bd. 1 (Einführung in die Maxwellsche Theorie, Elektronentheorie, Relativitätstheorie), Teubner
• Richard Feynman: Lectures on Physics, Bd. 2, Addison-Wesley
• Günther Lehner: Elektromagnetische Feldtheorie für Ingenieure und Physiker. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 978-3-540-26550-4. 
• Uwe Krey, Anthony Owen: Basic Theoretical Physics: A Concise Overview. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-36804-5. 

Weblinks

Wikiversity: Maxwell-Einführung – Kursmaterialien

• Sehr umfangreiche Seite über die MAXWELL-Gleichungen
• Kompakte übersichtliche Darstellung der Maxwell-Gleichungen