Benutzer:Mathemix/Artikelentwurf/Algebra

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoßen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit dem Autor Mathemix auf.

zu Körpererweiterungen / Separabilität und Charakteristik:

Für Körper der Charakteristik 0 ist jedes Polynom über K (?) separabel.

zu Körpererweiterung

Radikale Körpererweiterung

Die Frage, für welche Polynomgleichungen die Nullstellen durch Radikale - also geschachtelte Wurzelausdrücke - darstellbar sind, führt zum Begriff der radikalen Körpererweiterung. Für ein Polynom über dem Körper K, dessen Nullstellen durch Radikale ausgedrückt werden kann, kann der Körper K schrittweise durch Adjunktion von Wurzeln erweitert werden, so dass das Polynom über dem neuen Körper vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

Definition

Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt eine Radikalerweiterung, wenn es einen Körperturm

$K=K_{0}\subset K_{1}\subset \ldots \subset K_{n}=L$

gibt, bei dem $K_{i}$ aus $K_{i-1}$ durch Adjunktion einer $m.$-ten Wurzel entsteht.

Frage der Umkehrung Bezug zur Galoistheorie, auflösbare Gruppe

jede Erweiterung $K_{j-1}\subset K_{j}$ durch Adjunktion einer $m_{j}$-ten Wurzel entsteht, das heißt zu jedem $j\in \{1,\ldots n\}$ gibt es eine natürliche Zahl $m_{j}$ und ein Element $b_{j}\in K_{j}$ mit $b_{j}^{m_{j}}\in K_{j-1}$ und es ist $K_{j}=K_{j-1}(b_{j})$.

Quellen: van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag

Karpfinger/Meyberg, Algebra , Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-662-54721-2

zu Nullstellen:

Die Nullstellen des allgemeinen Polynoms fünften und höheren Grades können nicht durch Radikale dargestellt werden (Satz von Abel-Ruffini). Die Frage, für welche speziellen Polynome fünften oder höheren Grades die Nullstellen durch Radikale angegeben werden können, wird im Rahmen der Galoistheorie beantwortet.

Ergänzung: Nullstellen von Polynomen fünften und höheren Grades, Link zur Galoistheorie; Quelle: Karpfinger / Meyberg: Algebra

Literatur

• Klingenberg / Klein: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-54721-2. 

zu Algebraischer Abschluss

Separabler Abschluss ist ein Begriff aus der Algebra.

Definition

Ist $L/K$ eine separable algebraische Körpererweiterung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

• Jedes nicht-konstante separable Polynom in $L[X]$ zerfällt vollständig in Linearfaktoren.
• Ist $C$ ein algebraischer Abschluss von $K$ und ist $L$ eingebettet in $C$, dann ist die Erweiterung $C/L$ rein inseparabel.

Zu jedem Körper $K$ gibt es einen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten Körper $L$ mit den obigen Eigenschaften. Er wird auch mit $K_{\rm {sep}}$ bezeichnet und heißt separabler algebraischer Abschluss von $K$.

Kategorie:Körpertheorie

Original:

Separabler Abschluss ist ein Begriff aus der Algebra.

Definition

Ist $L/K$ eine separable algebraische Körpererweiterung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

• Jedes nicht-konstante separable Polynom in $L[X]$ zerfällt vollständig in Linearfaktoren.
• Ist $C$ ein algebraischer Abschluss von $K$ und ist $L$ eingebettet in $C$, dann ist die Erweiterung $C/L$ rein inseparabel.

Zu jedem Körper $K$ gibt es einen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten Körper $L$ mit den obigen Eigenschaften. Er wird auch mit $K_{\rm {sep}}$ bezeichnet und heißt separabler algebraischer Abschluss von $K$.

Kategorie:Körpertheorie

---

erledigt ---------------------------------------------------------------------

zu Skalarprodukt:

• Knabner, Barth: Lineare Algebra. Springer Spektrum, 2012, ISBN 978-3-662-55599-6. 

In der linearen Algebra

Unter Verwendung des Skalarproduktes kann man jede der $m$ Gleichungen eines linearen Gleichungssystems mit $n$ Variablen

$a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+\dotsb +a_{in}x_{n}=b_{i}\quad (i=1,\dotsc ,m)$

als Hyperebene deuten:

${\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {x}}=b_{i}\quad$ mit

${\vec {a}}_{i}={\begin{pmatrix}a_{i1}\\a_{i2}\\\vdots \\a_{in}\end{pmatrix}}\qquad$ und $\quad {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\quad (i=1\dotsc ,m)$.

Damit lässt sich die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems als Schnittmenge von Hyperebenen interpretieren. Siehe Beispiele zur Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems.

Anwendung des Skalarproduktes bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems; Quelle:Knabner / Barth, Lineare Algebra

In der Analytischen Geometrie

Mit Hilfe des Skalarproduktes kann man eine Gerade in der Ebene, eine Ebene im dreidimensionalen Raum oder allgemein eine Hyperebene in der Normalenform - also mit Hilfe eines Normalenvektors - darstellen:

$({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0$, mit Stützvektor ${\vec {p}}$ und Normalenvektor ${\vec {n}}$.

Eine Gerade, Ebene bzw. Hyperebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren ${\vec {x}}$ die Gleichung erfüllen. Im Gegensatz zur Punktrichtungsform handelt es sich hierbei um eine Gleichung ohne Parameter.

Anwendung des Skalarproduktes in der Normalenform einer Geraden- oder Ebenengleichung; Quelle:Knabner / Barth, Lineare Algebra

zu Normalenform:

Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

Jede Gleichung eines linearen Gleichungssystems lässt sich als Normalenform einer Hyperebene in einem n-dimensionalen Vektorraum deuten, wobei n die Anzahl der Variablen bzw. Unbekannten ist. Für n=2 sind dies Geraden in der Ebene, für n=3 Ebenen im Raum. Damit lässt sich die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems zurückführen auf ein Schnittproblem von Hyperebenen: Gesucht ist die Menge der gemeinsamen Punkte aller Hyperebenen. Aus der Lage der Normalenvektoren und damit der Hyperebenen zueinander kann auf die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems und auf die Anzahl der Lösungen geschlossen werden.

Quelle: Klingenberg / Klein: Lineare Algebra und analytische Geometrie (BI)

zu lineare Gleichungssysteme:

Geometrische Interpretation

Mit Hilfe des Skalarproduktes von Vektoren lässt sich jede der m Gleichungen eines linearen Gleichungssystems geometrisch als Normalenform einer Hyperebene in einem n-dimensionalen Vektorraum deuten, wobei n die Anzahl der Variablen bzw. Unbekannten ist. Spezialfälle von Hyperebenen sind Geraden in der Ebene und Ebenen im Raum.

Die i-te Gleichung eines linearen Gleichungssystems (i = 1,...,m)

$a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+\cdots +a_{in}x_{n}=b_{i}$

lässt sich darstellen als

${\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=b_{i}$ mit einem Normalenvektor ${\vec {n}}_{i}={\begin{pmatrix}a_{i1}\\a_{i2}\\\vdots \\a_{in}\end{pmatrix}}\qquad$ und einem Ortsvektor $\qquad {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$.

Damit lässt sich die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems zurückführen auf ein Schnittproblem von Hyperebenen: Gesucht ist die Menge der gemeinsamen Punkte aller Hyperebenen.

Quelle: Klingenberg / Klein: Lineare Algebra und analytische Geometrie (BI)

Die Aufgabe lässt sich auch geometrisch lösen, indem die beiden Zeilen des linearen Gleichungssystems als Geradengleichung interpretiert werden. Dabei werden die Variable v als x und die Variable s als y bezeichnet und beide Gleichungen nach y aufgelöst:

${\begin{matrix}I.&y&=&-x&+62\\{\mathit {II}}.&y&=&0,25x&+4,5\end{matrix}}$

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt $\textstyle (46\mid 16)$, wobei die erste Koordinate dem Alter des Vaters und die zweite dem Alter des Sohnes entspricht (siehe Grafik).

Klappbox

Beispiele für Lösbarkeit mit geometrischer Interpretation (Schnitt von zwei Geraden in der Ebene)

---

Die beiden Gleichungen des linearen Gleichungssystems werden jeweils als Normalenform einer Geradengleichung in der Ebene gedeutet.

• Eindeutige Lösung:

${\begin{matrix}2x_{1}&-x_{2}&=&4\\x_{1}&+3x_{2}&=&-5\\\end{matrix}}$

Die beiden Geradengleichungen lauten:

${\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}=4\quad$ und $\quad {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}=-5$.

Die beiden Normalenvektoren sind nicht kollinear, die beiden Geraden sind somit weder parallel noch identisch und schneiden sich deshalb in einem Punkt.

Der Schnittpunkt $\textstyle (1\mid -2)$ bedeutet, dass die Lösungen $x_{1}=1\quad und\quad x_{2}=-2$ sind. Die Lösungsmenge ist $\textstyle L=\{1,-2\}$.

• Keine Lösung:

${\begin{matrix}2x_{1}&-x_{2}&=&4\\4x_{1}&-2x_{2}&=&1\\\end{matrix}}$

Die entsprechenden Geradengleichungen sind

${\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}=4\quad$ und $\quad {\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}=1$.

Die Normalenvektoren sind kollinear. Da die beiden Geraden nicht identisch sind, sind sie parallel.

Es gibt somit keine Schnittpunkte und damit auch keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer: $\textstyle L=\{\}$.

• Unendlich viele Lösungen:

${\begin{matrix}2x_{1}&-x_{2}&=&4\\4x_{1}&-2x_{2}&=&8\\\end{matrix}}$

Die beiden Geradengleichungen lauten:

${\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}=4\quad$ und $\quad {\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}=8$.

Die Normalenvektoren sind kollinear, die beiden Geraden sind identisch.

Es gibt somit unendlich viele Schnittpunkte und damit auch unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge ist $\textstyle L=\{(x\mid y)\mid 2x_{1}-x_{2}=4\}$.

Entsprechende Überlegungen können auch auf Ebenen im Raum bzw. Hyperebenen im n-dimensionalen Vektorraum übertragen werden.

---

zu algebraische Gleichung

Die Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms - einem klassischen Problem der Algebra - führt zu einer algebraischen Gleichung, auch Polynomgleichung oder polynomiale Gleichung genannt. Mit ihrer Lösung beschäftigten sich Mathematiker wie Tartaglia, Cardano, Ferrari, Ruffini, Abel, Gauß und Galois.

Definition

Eine algebraische Gleichung vom Grad $n$ ($n\in \mathbb {N}$) über einem Ring oder Körper $K$ ist eine Gleichung

$P_{n}(x)=0$

mit einem Polynom $P_{n}(x)$ $n$-ten Grades über $K$, also eine Gleichung der Form

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=0$

mit Koeffizienten $a_{i}$ aus $K$ und $a_{n}\neq 0.$

Lösung

• Die Nullstellen von Polynomen werden auch als Wurzeln des Polynoms bezeichnet.

• Jede Lösung einer algebraischen Gleichung über den rationalen Zahlen heißt algebraische Zahl; bei algebraischen Gleichungen über einem beliebigen Körper heißen die Lösungen algebraische Elemente. Die Lösungen liegen im Körper selbst oder einem Erweiterungskörper, der durch eine algebraische Erweiterung - nämlich der Adjunktion aller Lösungen - aus dem ursprünglichen Körper hervorgeht.

• Jede algebraische Gleichung vom Grad $n$ mit komplexen Koeffizienten hat genau $n$ komplexe Lösungen - mit Vielfachheit gezählt. (Fundamentalsatz der Algebra).

• Für die algebraische Gleichung 2., 3. und 4. Grades gibt es Lösungsformeln (siehe: quadratische Gleichung,kubische Gleichung, quartische Gleichung). Die allgemeinen Gleichungen 5. und höheren Grades sind nicht durch Radikale auflösbar (Satz von Abel-Ruffini). Die Frage, welche speziellen Gleichungen 5. oder höheren Grades durch Radikale auflösbar sind, wird im Rahmen der Galoistheorie beantwortet.

Siehe auch

• Differential-algebraische Gleichung

Literatur

• Karpfinger/Meyberg: Algebra. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-54721-2. 

Weblinks

Wikibooks: Mathematik: Algebra – Lern- und Lehrmaterialien

• Universität Frankfurt: Analytische Lösung algebraischer Gleichungen dritten und vierten Grades

---

Weblinks

Wikiversity: Vorlesung über Körper- und Galoistheorie – Kursmaterialien

• Fields and Galois Theory – eine Einführung in die Galoistheorie von J. S. Milne. (englisch, PDF, 971 KiB)
• Galois Theory – kurze Zusammenfassung der wichtigsten Ergebnisse der Galoistheorie (englisch)
• The Evariste Galois Archive – mehrsprachiges Projekt mit Originaldokumenten von Evariste Galois, einer Kurzbiographie über Galois, einer Liste von Monographien über Galois sowie etlichen Weblinks
• Die Ideen der Galois-Theorie – relativ elementare Einführung in die Galoistheorie von Jörg Bewersdorff

Weblinks

https://durus.gcsc.uni-frankfurt.de/~dlogashenko/dload/de_equat34.pdf

---

kopiert von algebraisch konjugiert zu primit. Elem.:

Eigenschaften

• Insbesondere sind endliche Galois-Erweiterungen von dieser Form und daher einfach. Ist $L=K(a)$ eine solche Erweiterung, so ist ein Element der Galoisgruppe, das heißt ein $K$-Automorphismus $\sigma$ von $L$, bereits eindeutig durch den Wert $\sigma (a)$ bestimmt.
• Sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung mit $L=K(b)$ für ein primitives Element $b\in L\setminus K$. Dann sind $a,b\in L$ genau dann algebraisch konjugiert über dem Körper $K$, wenn es ein Element $\sigma$ in der Galoisgruppe $\mathrm {Gal} (L/K)$ gibt mit $\sigma (a)=b$.
• Die Ordnung der Galoisgruppe ist gleich dem Grad des Minimalpolynoms eines primitiven Elementes.
• Alle algebraisch Konjugierten eines primitiven Elementes sind wiederum primitive Elemente.
• Mit Hilfe eines primitiven Elementes kann die Galoisgruppe eines Polynoms bzw. einer Körpererweiterung bestimmt werden.

zu Satz vom primit. Element:

• Die algebraisch Konjugierten des primitiven Elementes $t_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$, also die Nullstellen

$t_{2}=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$, $t_{3}={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$ und $t_{4}=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$,

sind ebenfalls primitive Elemente, d. h. es gilt:

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} (-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} (-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})$.

• Da $t_{1},t_{2},t_{3}$ und $t_{4}$ algebraisch konjugiert sind, gibt es zu je zwei dieser Nullstellen genau ein Element der Galoisgruppe, das die eine dieser beider Nullstellen auf die andere abbildet:

$\sigma _{1}'(t_{1})=t_{1}$, $\sigma _{2}'(t_{1})=t_{2}$, $\sigma _{3}'(t_{1})=t_{3}$, $\sigma _{4}'(t_{1})=t_{4}$, usw.

Sind umgekehrt ein primitives Element, sein Minimalpolynom und seine algebraisch Konjugierten bekannt, so ergibt sich hiermit eine weitere Methode, die Galoisgruppe zu bestimmen:

... ... $\sigma _{1}'(t_{1})=t_{1}$ $x_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$, ... ... Man sieht, dass unter $\sigma _{2}$ bei der Permutation der vier Nullstellen stets ${\sqrt {3}}$ und $-{\sqrt {3}}$ vertauscht werden. Der zugehörige Körperautomorphismus $\sigma _{2}'$ lautet somit:

$\sigma _{2}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}$.

- - - - - - - - - - - - - - - bereits erledigt - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - zu Galoistheorie:

Der Bezug zum klassischen Vorgehen von Galois ergibt sich, wenn man einen Automorphismus $\sigma$ der Galoisgruppe auf eine Nullstelle $\alpha$ des entsprechenden Polynoms $p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$ anwendet:

$p(\alpha )=\alpha ^{n}+a_{n-1}\alpha ^{n-1}+...+a_{0}=0$.

$p(\sigma (\alpha ))=(\sigma (\alpha ))^{n}+a_{n-1}(\sigma (\alpha ))^{n-1}+...+a_{0}$.

Weil $\sigma$ ein Körperhomomorphismus ist und außerdem die Koeffizienten des Polynoms als Elemente des Körpers $K$ fest lässt, ergibt sich:

$p(\sigma (\alpha ))=\sigma (\alpha ^{n}+a_{n-1}\alpha ^{n-1}+...+a_{0})=\sigma (p(\alpha )=\sigma (0)=0$.

Also ist $\sigma (\alpha )$ ebenfalls eine Nullstelle des Polynoms p. Dies bedeutet, dass der Automorphismus $\sigma$ die Nullstellen vertauscht. Die Galoisgruppe operiert somit auf der Menge der Nullstellen des Polynoms und wirkt dort als Permutation.

zu Galoistheorie:

..., der auf Richard Dedekind zurückgeht,

• Die zu $x_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ algebraisch Konjugierten erhält man wie folgt: aus

$x_{1}^{2}=5+2{\sqrt {6}}$, $\quad x_{1}^{3}=11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\quad$ und $\quad x_{1}^{4}=49+20{\sqrt {6}}$

ergibt sich das Minimalpolynom

$x^{4}-10x^{2}+1=\left(x^{2}-5\right)^{2}-24$.

Durch zweifaches Wurzelziehen erhält man - zusammen mit der Beziehung $5\pm 2{\sqrt {6}}=({\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}})^{2}$ - die weiteren Nullstellen:

$x_{2}={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$,$\quad x_{3}=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$,$\quad x_{4}=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$.

Quelle:Nieper-Wißkirchen, Universität Augsburg (2013): Galoissche Theorie

Minimalpolynom

→ Hauptartikel: Minimalpolynom

Ist $a$ algebraisch über $K$, dann gibt es genau ein normiertes Polynom aus $K[X]$ mit kleinstem Grad n $\in \mathbb {N}$ und Nullstelle $a$, dieses heißt „das Minimalpolynom von $a$ über $K$“. Man bezeichnet $a$ auch als algebraisches Element vom Grad n bezüglich $K$. $K$$\left(a\right)$ hat als Vektorraum über $K$ die Dimension n, eine mögliche Basis ist {$1,a,a^{2},...,a^{n-1}$}. Deshalb ist der Erweiterungsgrad von $K\left(a\right)/K$ ebenfalls gleich n.

Beispiel

$a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ ist ein algebraisches Element vom Grad 4 über $\mathbb {Q}$, denn aus

$a^{2}=5+2{\sqrt {6}}$, $\quad a^{3}=11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\quad$ und $\quad a^{4}=49+20{\sqrt {6}}$

ergibt sich das Minimalpolynom

$\textstyle x^{4}-10x^{2}+1$,

also ein Polynom vom Grad 4. Damit ist {$1,a,a^{2},a^{3}$} eine Basis von $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})$ als Vektorraum über $\textstyle \mathbb {Q}$. Eine andere mögliche Basis ist {$\textstyle 1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}$}, d.h.

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})=\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \}$

und $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})/\mathbb {Q}$ ist eine Körpererweiterung vom Grad 4.

a: kursiv

• Beispielsweise ist ${\sqrt {2}}$ eine algebraische Zahl, denn sie ist eine Lösung der Gleichung $x^{2}-2=0$. Ebenso ist die imaginäre Einheit $i$ als Lösung von $x^{2}+1=0$ algebraisch.

• $a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ ist eine algebraische Zahl vom Grad 4 über $\mathbb {Q}$. (Siehe Beispiel für algebraisches Element)

• Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde bewiesen, dass die Kreiszahl $\pi$ und die Eulersche Zahl $e$ nicht algebraisch sind. Von anderen Zahlen, wie zum Beispiel $\pi +e$, weiß man bis heute nicht, ob sie algebraisch oder transzendent sind. Siehe dazu den Artikel Transzendente Zahl.

Weil das Ausgangspolynom $\textstyle x^{4}-5x^{2}+6=(x^{2}-2)(x^{2}-3)$ nicht irreduzibel über $\mathbb {Q}$ ist, operiert die Galoisgruppe nicht transitiv auf der Menge der Nullstellen dieses Polynoms: es gibt zum Beispiel kein Element der Galoisgruppe, das die Nullstelle ${\sqrt {2}}$ auf die Nullstelle ${\sqrt {3}}$ abbildet.

Nieper-Wißkirchen, "Galoissche Theorie", Universität Augsburg (2013), Folgerung 4.11, S.133 [1]

Beispiele

• Die Vierergruppe $V_{1}:=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ operiert transitiv auf der Menge $M:=\{1,2,3,4\}$, da die Ziffer 1 in jede andere übergeführt werden kann. Das gilt nicht für die Vierergruppe $V_{2}:=\{e,(12),(34),(12)(34)\}$, die isomorph zu $V_{1}$ ist.
• Die Galoisgruppe eines über $\mathbb {Q}$ irreduziblen, separablen Polynoms mit rationalen Koeffizienten operiert transitiv auf der Menge der Nullstellen des Polynoms.

Nieper-Wißkirchen, "Galoissche Theorie", Universität Augsburg (2013), Folgerung 4.11, S.133

Eigenschaften

Die algebraisch Konjugierten eines primitiven Elementes sind ebenfalls primitive Elemente.

• Die algebraisch Konjugierten des primitiven Elementes $t_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$, also die Nullstellen

$t_{2}=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$, $t_{3}={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$ und $t_{4}=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$,

sind ebenfalls primitive Elemente, d.h. es gilt:

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} (-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} (-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})$.

Quelle:Nieper-Wißkirchen, Universität Augsburg (2013): Galoissche Theorie

Beispiel1:

• Wichtig - insbesondere in der Galoistheorie - ist die Körpererweiterung von $\textstyle \mathbb {Q}$ durch Adjunktion eines oder mehrerer algebraischer Elemente. Der Erweiterungskörper kann dabei als Vektorraum über $\textstyle \mathbb {Q}$ aufgefasst werden. Für diese algebraischen Körpererweiterungen ist der Satz vom primitiven Element von großer Bedeutung.
  • $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}$ ist ein Körper mit Basis {$\textstyle 1,{\sqrt {2}}$}.
  • $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \}$ ist ein Körper mit Basis {$\textstyle 1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}$}.

• Weitere ausführliche Beispiele für die Berechnung einer Galoisgruppe
  • als Gruppe von Permutationen
  • als Gruppe von Körperautomorphismen
  • mit Hilfe des Satzes vom primitiven Element

Beispiel2:

Die Galoisgruppe des Polynoms $\left(x^{2}-5\right)^{2}-24$ soll über dem Körper der rationalen Zahlen bestimmt werden. Durch zweifaches Wurzelziehen ergeben sich - zusammen mit der Beziehung $5\pm 2{\sqrt {6}}=({\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}})^{2}$ - die Nullstellen:

$x_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$,

$x_{2}={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$,

$x_{3}=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$,

$x_{4}=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$.

Es gibt $4!=24$ Möglichkeiten, diese vier Nullstellen zu permutieren (zu vertauschen):

$\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto ...$

Nr.	Permutation	Nr.	Permutation	Nr.	Permutation	Nr.	Permutation
1	$\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)$	7	$\left(x_{2},x_{1},x_{3},x_{4}\right)$	13	$\left(x_{3},x_{1},x_{2},x_{4}\right)$	19	$\left(x_{4},x_{1},x_{2},x_{3}\right)$
2	$\left(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}\right)$	8	$\left(x_{2},x_{1},x_{4},x_{3}\right)$	14	$\left(x_{3},x_{1},x_{4},x_{2}\right)$	20	$\left(x_{4},x_{1},x_{3},x_{2}\right)$
3	$\left(x_{1},x_{3},x_{2},x_{4}\right)$	9	$\left(x_{2},x_{3},x_{1},x_{4}\right)$	15	$\left(x_{3},x_{2},x_{1},x_{4}\right)$	21	$\left(x_{4},x_{2},x_{1},x_{3}\right)$
4	$\left(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2}\right)$	10	$\left(x_{2},x_{3},x_{4},x_{1}\right)$	16	$\left(x_{3},x_{2},x_{4},x_{1}\right)$	22	$\left(x_{4},x_{2},x_{3},x_{1}\right)$
5	$\left(x_{1},x_{4},x_{2},x_{3}\right)$	11	$\left(x_{2},x_{4},x_{1},x_{3}\right)$	17	$\left(x_{3},x_{4},x_{1},x_{2}\right)$	23	$\left(x_{4},x_{3},x_{1},x_{2}\right)$
6	$\left(x_{1},x_{4},x_{3},x_{2}\right)$	12	$\left(x_{2},x_{4},x_{3},x_{1}\right)$	18	$\left(x_{3},x_{4},x_{2},x_{1}\right)$	24	$\left(x_{4},x_{3},x_{2},x_{1}\right)$

Aber nicht alle diese Permutationen gehören auch zur Galoisgruppe. Dies liegt daran, dass alle algebraischen Gleichungen mit ausschließlich rationalen Koeffizienten, die die Variablen $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ und $x_{4}$ enthalten, auch unter den Permutationen der Galoisgruppe ihre Gültigkeit bewahren müssen. Betrachtet man beispielsweise

$x_{1}+x_{4}=0$,

so ist diese Gleichung nicht für alle Vertauschungen der Nullstellen erfüllt. Unter der Permutation, die $x_{1}$ und $x_{2}$ gleich lässt und $x_{3}$ und $x_{4}$ vertauscht, entsteht bei der Gleichung eine falsche Aussage, denn $x_{1}+x_{3}$ ist ungleich $0$. Deshalb gehört diese Permutation (Nr.2) nicht zur Galois-Gruppe. Entsprechendes gilt für die Permutationen Nr. 4, 5, 6 ,7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 23 in der Tabelle, denn als Summe von zwei der vier Nullstellen sind lediglich die Gleichungen $x_{2}+x_{3}=x_{3}+x_{2}=0$ und $x_{4}+x_{1}=0$ richtig.

Eine weitere algebraische Gleichung mit rationalen Koeffizienten, die die Nullstellen erfüllen, ist

$(x_{1}+x_{2})^{2}-8=0$.

Deshalb können zusätzlich die Permutationen Nr. 3, 11, 14 und 22 ausgeschlossen werden, denn es ist $(x_{1}+x_{3})^{2}-8\neq 0$, $(x_{2}+x_{4})^{2}-8\neq 0$, $(x_{3}+x_{1})^{2}-8\neq 0$ und $(x_{4}+x_{2})^{2}-8\neq 0$.

Übrig bleiben die Permutationen Nr. 1, 8, 17 und 24. Da es sich bei dem Polynom $\left(x^{2}-5\right)^{2}-24$ um ein über $\mathbb {Q}$ irreduzibles Polynom 4. Grades handelt, besteht auch die Galoisgruppe aus vier Elementen. Also bilden diese vier Permutationen die Galoisgruppe des Polynoms $\left(x^{2}-5\right)^{2}-24$:

$\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)$

$\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{2},x_{1},x_{4},x_{3}\right)$

$\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{3},x_{4},x_{1},x_{2}\right)$

$\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{4},x_{3},x_{2},x_{1}\right)$

oder in Zyklenschreibweise:

$\operatorname {id}$ (Identität), $(x_{1}x_{2})(x_{3}x_{4})$, $(x_{1}x_{3})(x_{2}x_{4})$ und $(x_{1}x_{4})(x_{2}x_{3})$.

Diese Gruppe ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe.

Alternativ kann die Galoisgruppe auch mit Hilfe eines primitiven Elementes bestimmt werden. Hier liegt ein Spezialfall vor, denn die Nullstelle x₁ ist - ebenso wie die Nullstelle x₂,x₃ oder x₄ - bereits solch ein primitives Element. Mit

$x_{1}^{2}=5+2{\sqrt {6}}$, $\quad x_{1}^{3}=11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\quad$ und $\quad x_{1}^{4}=49+20{\sqrt {6}}$

erhält man die Gleichungen:

$x_{1}^{3}-9x_{1}=2{\sqrt {2}}\quad$ und $\quad x_{1}^{3}-11x_{1}=-2{\sqrt {3}}$.

Damit lassen sich $\textstyle {\sqrt {2}}$ und $\textstyle {\sqrt {3}}$ als Polynom mit der Variablen x₁ ersetzen:

${\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}(x_{1}^{3}-9x_{1})$ und ${\sqrt {3}}=-{\tfrac {1}{2}}(x_{1}^{3}-11x_{1})$.

Somit ergeben sich auch die vier Nullstellen als Polynome p₁, p₂, p₃, p₄ mit der Variablen x₁:

$x_{1}=p_{1}(x_{1})=x_{1}$,

$x_{2}=p_{2}(x_{1})=x_{1}^{3}-10x_{1}$,

$x_{3}=p_{3}(x_{1})=-x_{1}^{3}+10x_{1}$,

$x_{4}=p_{4}(x_{1})=-x_{1}$.

Im allgemeinen Fall müssen zu dem primitiven Element das zugehörige Minimalpolynom sowie dessen weitere Nullstellen bestimmt werden. Bei diesem Beispiel ist jedoch das Minimalpolynom von x₁ das Ausgangspolynom mit den bereits bekannten weiteren Nullstellen x₂, x₃ und x₄. (Zum allgemeinen Vorgehen: siehe Beispiel zum Satz vom primitiven Element.) Ersetzt man nun in den Polynomen p₁, ... p₄ die Variable x₁ durch x₂, x₃ oder x₄, so ergeben sich wiederum die Nullstellen x₁,x₂,x₃,x₄ des Ausgangspolynoms, allerdings in einer anderen Reihenfolge. Diese Permutationen der Nullstellen bilden die Galoisgruppe. Einsetzen von x₁ liefert die Identität, die übrigen Beziehungen ergeben sich durch Nachrechnen:

$p_{1}(x_{1})=x_{1},\quad p_{2}(x_{1})=x_{2},\quad p_{3}(x_{1})=x_{3},\quad p_{4}(x_{1})=x_{4},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{1}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)$,

$p_{1}(x_{2})=x_{2},\quad p_{2}(x_{2})=x_{1},\quad p_{3}(x_{2})=x_{4},\quad p_{4}(x_{2})=x_{3},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{2}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{2},x_{1},x_{4},x_{3}\right)$,

$p_{1}(x_{3})=x_{3},\quad p_{2}(x_{3})=x_{4},\quad p_{3}(x_{3})=x_{1},\quad p_{4}(x_{3})=x_{2},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{3}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{3},x_{4},x_{1},x_{2}\right)$,

$p_{1}(x_{4})=x_{4},\quad p_{2}(x_{4})=x_{3},\quad p_{3}(x_{4})=x_{2},\quad p_{4}(x_{4})=x_{1},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{4}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{4},x_{3},x_{2},x_{1}\right)$.

{$\textstyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4}$} ist damit die Galoisgruppe des Polynoms $\left(x^{2}-5\right)^{2}-24$.

- - - - - - - - - - - - - - - -

Für das oben angegebene Beispiel sollen die Elemente der Galoisgruppe nun als Körperautomorphismen bestimmt werden. Die Nullstellen des Polynoms $\textstyle \left(x^{2}-5\right)^{2}-24$ sind

$x_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$,

$x_{2}={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$,

$x_{3}=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$,

$x_{4}=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$.

Der Zerfällungskörper ist somit $\mathbb {Q} (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$. Weil das Polynom irreduzibel und vom Grad 4 ist, handelt es sich bei $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ um eine algebraische Körpererweiterung vom Grad 4 über $\mathbb {Q}$. Eine Basis für $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ als Vektorraum über $\mathbb {Q}$ ist $\{1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}\}$, d. h. jedes Element aus $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ ist von der Form $a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}$ mit $a,b,c,d$ aus $\mathbb {Q}$. Die Ordnung der Galoisgruppe stimmt mit dem Grad der Körpererweiterung überein, ihre Elemente permutieren – wie oben gezeigt – die Nullstellen des Polynoms folgendermaßen:

$\sigma _{1}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)$

$\sigma _{2}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{2},x_{1},x_{4},x_{3}\right)$

$\sigma _{3}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{3},x_{4},x_{1},x_{2}\right)$

$\sigma _{4}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{4},x_{3},x_{2},x_{1}\right)$

$\sigma _{1}$ (als Permutation) bleibt die Identität, wird nun allerdings zu einem Körperautomorphismus $\sigma _{1}'$ von $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$:

$\sigma _{1}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}$.

Man sieht, dass unter $\sigma _{2}$ bei der Permutation der vier Nullstellen stets ${\sqrt {3}}$ und $-{\sqrt {3}}$ vertauscht werden. Der zugehörige Körperautomorphismus $\sigma _{2}'$ lautet somit:

$\sigma _{2}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}$.

Dabei bleibt der Körper $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ elementweise fest. Entsprechendes gilt bei $\sigma _{3}$ für ${\sqrt {2}}$ und $-{\sqrt {2}}$. Unter $\sigma _{4}$ ändert sich bei beiden Wurzeln das Vorzeichen. Die entsprechenden Körperautomorphismen sind:

$\sigma _{3}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}$ mit dem Fixkörper $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ und

$\sigma _{4}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}$ mit dem Fixkörper $\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$.

$\sigma _{2}'$, $\sigma _{3}'$ und $\sigma _{4}'$ sind zu sich selbst invers, bilden also zusammen mit der Identität jeweils eine Untergruppe der Galoisgruppe. Mehr echte Untergruppen gibt es nicht, denn die Hinzunahme eines weiteren Elementes würde bereits die ganze Galoisgruppe erzeugen. Die Hintereinanderausführung von $\sigma _{2}'$ und $\sigma _{3}'$ ergibt $\sigma _{4}'$, damit ist die Galoisgruppe isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und insbesondere kommutativ. Deshalb sind alle Untergruppen der Galoisgruppe auch Normalteiler. Also sind nach dem Hauptsatz der Galoistheorie $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$, $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ und $\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$ die einzigen Zwischenkörper der Körpererweiterung $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$. Die Zwischenkörper selbst sind Körpererweiterungen vom Grad 2 über $\mathbb {Q}$.

Beispiel3:

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Q u e l l e :https://www.math.uni-augsburg.de/de/prof/alg/Downloads/Einfuehrung-in-die-Algebra.pdf

Mit Hilfe eines primitiven Elementes lässt sich auch die Galoisgruppe eines Polynoms bzw. einer Körpererweiterung berechnen.

Kopie:

• $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ ist eine Körpererweiterung über $\textstyle \mathbb {Q}$. Ein mögliches primitives Element $\textstyle t\in \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ ist

$t={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$,

denn mit

$t^{2}=5+2{\sqrt {6}}$, $\quad t^{3}=11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\quad$ und $\quad t^{4}=49+20{\sqrt {6}}$

ergibt sich, dass t Nullstelle des Polynoms $\textstyle x^{4}-10x^{2}+1$ und damit algebraisch über $\textstyle \mathbb {Q}$ ist.

Außerdem erhält man die Gleichungen:

$t^{3}-9t=2{\sqrt {2}}\quad$ und $\quad t^{3}-11t=-2{\sqrt {3}}$.

Damit lassen sich $\textstyle {\sqrt {2}}$ und $\textstyle {\sqrt {3}}$ durch Polynome mit der Variablen t ersetzen:

${\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}(t^{3}-9t)$ und ${\sqrt {3}}=-{\tfrac {1}{2}}(t^{3}-11t)$.

Also ist

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})$

und {1, t, t², t³} eine Basis von $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ als Vektorraum über $\textstyle \mathbb {Q}$. Eine andere mögliche Basis ist {$\textstyle 1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}$}, d.h.

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \}$ .

Es handelt sich also um eine algebraische Körpererweiterung vom Grad vier.

• Das Polynom $\textstyle x^{4}-5x^{2}+6=(x^{2}-2)(x^{2}-3)$ hat die Nullstellen $\textstyle x_{1}={\sqrt {2}},\quad x_{2}=-{\sqrt {2}},\quad x_{3}={\sqrt {3}},\quad x_{4}=-{\sqrt {3}}$ und hat somit $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ als Zerfällungskörper. Wie oben gezeigt, ist $\textstyle t_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ ein primitives Element und die vier Nullstellen können somit als Polynome p₁, p₂, p₃, p₄ mit der Variablen t₁ dargestellt werden:

$x_{1}=p_{1}(t_{1})={\tfrac {1}{2}}(t_{1}^{3}-9t_{1})$,

$x_{2}=p_{2}(t_{1})=-{\tfrac {1}{2}}(t_{1}^{3}-9t_{1})$,

$x_{3}=p_{3}(t_{1})=-{\tfrac {1}{2}}(t_{1}^{3}-11t_{1})$,

$x_{4}=p_{4}(t_{1})={\tfrac {1}{2}}(t_{1}^{3}-11t_{1})$,

Das primitive Element t₁ ist - wie oben berechnet - Nullstelle des über $\textstyle \mathbb {Q}$ irreduziblen Polynoms $\textstyle x^{4}-10x^{2}+1=\left(x^{2}-5\right)^{2}-24$. Die anderen Nullstellen dieses Polynoms erhält man durch zweimaliges Wurzelziehen - zusammen mit der Beziehung $5\pm 2{\sqrt {6}}=({\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}})^{2}$:

$t_{2}=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\quad t_{3}={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\quad t_{4}=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$.

Ersetzt man nun in den Polynomen p₁, ... p₄ die Variable t₁ durch t₂, t₃ oder t₄, so ergeben sich wiederum die Nullstellen x₁, x₂, x₃, x₄ des Ausgangspolynoms, allerdings in einer anderen Reihenfolge. Diese Permutationen der Nullstellen entsprechen jeweils einer Operation eines Elementes der Galoisgruppe auf diesen Nullstellen.

Einsetzen von t₁ liefert die Identität, die übrigen Beziehungen ergeben sich durch Nachrechnen:

$p_{1}(t_{1})=x_{1},\quad p_{2}(t_{1})=x_{2},\quad p_{3}(t_{1})=x_{3},\quad p_{4}(t_{1})=x_{4},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{1}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)$,

$p_{1}(t_{2})=x_{2},\quad p_{2}(t_{2})=x_{1},\quad p_{3}(t_{2})=x_{3},\quad p_{4}(t_{2})=x_{4},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{2}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{2},x_{1},x_{3},x_{4}\right)$,

$p_{1}(t_{3})=x_{1},\quad p_{2}(t_{3})=x_{2},\quad p_{3}(t_{3})=x_{4},\quad p_{4}(t_{3})=x_{3},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{3}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}\right)$,

$p_{1}(t_{4})=x_{2},\quad p_{2}(t_{4})=x_{1},\quad p_{3}(t_{4})=x_{4},\quad p_{4}(t_{4})=x_{3},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{4}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{2},x_{1},x_{4},x_{3}\right)$.

{$\textstyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4}$} ist die Galoisgruppe als Permutationsgruppe der Nullstellen, als Gruppe der Körperautomorphismen ergibt sie sich wie folgt:

Unter $\textstyle \sigma _{2}$ werden $\textstyle {\sqrt {2}}$ und $-{\sqrt {2}}$ vertauscht werden, entsprechendes gilt bei $\textstyle \sigma _{3}$ für $\textstyle {\sqrt {3}}$ und $\textstyle -{\sqrt {3}}$. Unter $\textstyle \sigma _{4}$ ändert sich bei beiden Wurzeln das Vorzeichen. Die Elemente der Galoisgruppe als Körperautomorphismen sind somit:

$\sigma _{1}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}$,

$\sigma _{2}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}$,

$\sigma _{3}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}$,

$\sigma _{4}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}$.

Man sieht, dass unter $\textstyle \sigma _{2}'$ neben dem Grundkörper $\textstyle \mathbb {Q}$ der Körper $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ elementweise fest bleibt. Bei $\textstyle \sigma _{3}'$ und $\textstyle \sigma _{4}'$ sind die Fixkörper $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ bzw. $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Beispiel4:

Man sieht, dass unter $\sigma _{2}$ bei der Permutation der vier Nullstellen stets ${\sqrt {2}}$ und $-{\sqrt {2}}$ vertauscht werden. Der zugehörige Körperautomorphismus $\sigma _{2}'$ lautet somit:

$\sigma _{2}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}$.

Dabei bleibt neben dem Grundkörper $\mathbb {Q}$ der Körper $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ elementweise fest. Entsprechendes gilt bei $\sigma _{3}$ für ${\sqrt {3}}$ und $-{\sqrt {3}}$. Unter $\sigma _{4}$ ändert sich bei beiden Wurzeln das Vorzeichen. Die entsprechenden Körperautomorphismen sind:

$\sigma _{3}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}$ mit Fixkörper $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ und

$\sigma _{4}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}$ mit Fixkörper $\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$.

$\sigma _{2}'$, $\sigma _{3}'$ und $\sigma _{4}'$ sind zu sich selbst invers, bilden also zusammen mit der Identität jeweils eine Untergruppe der Galoisgruppe. Mehr echte Untergruppen gibt es nicht, denn die Hinzunahme eines weiteren Elementes würde bereits die ganze Galoisgruppe erzeugen. Die Hintereinanderausführung von $\sigma _{2}'$ und $\sigma _{3}'$ ergibt $\sigma _{4}'$, damit ist die Galoisgruppe isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und insbesondere kommutativ. Deshalb sind alle Untergruppen der Galoisgruppe auch Normalteiler. Also sind nach dem Hauptsatz der Galoistheorie $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$, $\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ und $\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$ die einzigen Zwischenkörper der Körpererweiterung $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$. Die Zwischenkörper selbst sind Körpererweiterungen vom Grad 2 über $\mathbb {Q}$.

Beispiel5:

So ergeben sich die Nullstellen als Polynome p₁, p₂, p₃ und p₄ von t:

$a=p_{1}(t)=t$,

$b=p_{2}(t){\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$,

$c=p_{3}(t)-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$,

$d=p_{4}(t)-t$.. Da dies ein Polynom vom Grad 4 ist, ist auch die Körpererweiterung $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ über $\textstyle \mathbb {Q}$ vom Grad 4 und {${1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}}$} eine mögliche Basis.

denn wegen

${\frac {1}{t}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}={\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}$

gilt

${\sqrt {2}}={\frac {1}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)$ und ${\sqrt {3}}={\frac {1}{2}}\left(t+{\frac {1}{t}}\right)$.

Es lassen sich also ${\sqrt {2}}$ und ${\sqrt {3}}$ durch $t$ darstellen, das heißt, es gilt:

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})$.

Beispiel:

$\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ ist eine Körpererweiterung über $\textstyle \mathbb {Q}$.

Ein mögliches primitives Element $t\in \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ ist

$t={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$,

denn mit

$t^{2}=2+2{\sqrt {6}}+3$ und $t^{3}=11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}$

ergeben sich die Gleichungen

$t^{3}-9t=2{\sqrt {2}}$ und $t^{3}-11t=-2{\sqrt {3}}$.

Damit lassen sich $\textstyle {\sqrt {2}}$ und $\textstyle {\sqrt {3}}$ durch t ersetzen:

${\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}(t^{3}-9t)$ und ${\sqrt {3}}={\tfrac {1}{2}}(t^{3}-11t)$.

Also ist

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})$.

t ist Nullstelle des über Q irreduziblen Polynoms $\textstyle x^{4}-10x^{2}+1=\left(x^{2}-5\right)^{2}-24$, die anderen Nullstellen sind $\textstyle {\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$. Da dies ein Polynom vom Grad 4 ist, ist auch die Körpererweiterung $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ über $\textstyle \mathbb {Q}$ vom Grad 4 und {1, t, t², t³} eine Basis von $\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ als Vektorraum über $\textstyle \mathbb {Q}$. Eine andere mögliche Basis wäre {${1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}}$}.

---

$a=t$,

$b=-t$,

$c=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$,

$d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$

Damit ist

$Q({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=Q({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})$. Beispiel für Körper:

$\textstyle K=\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}$ ist ein Körper. Es genügt zu zeigen, dass das Inverse von $\textstyle a+b{\sqrt {2}}\neq 0$ auch von der angegebenen Form ist:

${\frac {1}{a+b{\sqrt {2}}}}={\frac {(a-b{\sqrt {2}})}{(a+b{\sqrt {2}})\cdot (a-b{\sqrt {2}})}}={\frac {(a-b{\sqrt {2}})}{(a^{2}-2b^{2})}}={\frac {a}{(a^{2}-2b^{2})}}+{\frac {-b}{(a^{2}-2b^{2})}}{\sqrt {2}}$

---

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Musik

Beispiel:

Mit $a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})$ ist $\mathbb {Q} (a)$ eine algebraische Körpererweiterung über $\mathbb {Q}$, denn mit

$a^{2}=5+2{\sqrt {6}}$, $a^{3}=11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}$ und $a^{4}=49+20{\sqrt {6}}$

ist a Nullstelle des Polynoms $\textstyle x^{4}-10x^{2}+1$ und somit algebraisch über $\mathbb {Q}$. Da es sich um ein Polynom vierten Grades handelt, ist auch der Grad der Körpererweiterung von $\mathbb {Q} (a)$ über $\mathbb {Q}$ vier. Wie für jedes algebraische Element ist damit {1,a,a²,a³} eine Basis von $\mathbb {Q} (a)$ als Vektorraum über $\mathbb {Q}$. Eine einfachere allerdings ist die Basis {${1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}}$}.

Quelle: Wikiversity, Prof. Brenner:Kurs Galoistheorie, Beispiel 17.8 , https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:K%C3%B6rper-_und_Galoistheorie_(Osnabr%C3%BCck_2018-2019)/Vorlesung_17

Test: Galois-Resolvente