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Separabler Raum (weitgehende Überarbeitung inkl. vieler Referenzen)

Der mathematische Begriff separabel bezeichnet in der Topologie und verwandten Gebieten eine häufig benutzte Abzählbarkeitseigenschaft von topologischen Räumen. Der Begriff ist dabei von besonderer Bedeutung in der Funktionalanalysis. Hier kann man beispielsweise zeigen, dass es in einem separablen Hilbertraum stets abzählbare Orthonormalbasen gibt.

Definition

Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine höchstens abzählbare Teilmenge gibt, die in diesem Raum dicht liegt.

Kriterien für separable Räume

• Besitzt ein topologischer Raum eine (höchstens) abzählbare Basis, so ist er separabel. (Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.)
• Für einen metrischen Raum $X$ gilt sogar:
  • Dafür, dass $X$ eine abzählbare Basis besitzt, ist es notwendig und hinreichend, dass $X$ separabel ist.
• Ein total beschränkter metrischer Raum $X$ ist stets separabel.
• Insbesondere ist jeder kompakte, metrisierbare Raum separabel. Genauer gilt:
  • Ist $X$ ein metrisierbarer topologischer Raum, so sind die drei Eigenschaften,
    • (1) eine abzählbare Basis zu besitzen,
    • (2) lindelöfsch zu sein,
    • (3) separabel zu sein,

  äquivalent.

• Ein topologischer Vektorraum ist genau dann separabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, sodass der davon erzeugte Untervektorraum dicht liegt.
• Ist $X$ ein Hilbertraum von unendlicher Dimension, so sind stets die folgenden drei Bedingungen gleichwertig:
  • (1) $X$ ist separabel.
  • (2) Alle Orthonormalbasen von $X$ sind abzählbar.
  • (3) In $X$ gibt es eine abzählbare Orthonormalbasis.
• Für eine unendliche und mit der Ordnungstopologie versehene linear geordnete Menge $X$ sind die folgenden drei Bedingungen stets gleichwertig:
  • (1) $X$ ist separabel und zusammenhängend.
  • (2) $X$ ist ordnungsisomorph zu einem Intervall von $\mathbb {R}$.
  • (3) $X$ ist homöomorph zu einem Intervall von $\mathbb {R}$.
• Ist ein metrischer Raum $X$ zusammenhängend und lokal euklidisch, so ist er lindelöfsch und damit separabel.

Beispiele

Beispiele für separable Räume sind etwa:

• Die Räume $\mathbb {R} ^{n}$ sind für $n\in \mathbb {N}$ separabel, da $\mathbb {Q} ^{n}$ abzählbar ist und dicht in $\mathbb {R} ^{n}$ liegt.
• Die Räume L^p($\Omega$) mit einer beschränkten, offenen Teilmenge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ und $1\leq p<\infty$ sind separabel.
• Die Folgenräume $\ell ^{p}$ für $1\leq p<\infty$ sind separabel.
• Der Raum $c_{0}$ der (reellen oder komplexen) Nullfolgen ist mit der Supremumsnorm ein separabler Banachraum.
• Der Raum $c_{00}$ der abbrechenden Folgen ($\forall x\in c_{00}\exists N\in \mathbb {N} :\forall n\geq Nx_{n}=0$) ist mit der $\ell ^{p}$-Norm für $1\leq p<\infty$ separabel.
• Für offene Teilmengen $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und natürliche Zahlen $k$ sind die Räume $C^{k}(\Omega )$ stets separabel.
• Jede unendliche Menge mit kofiniter Topologie ist separabel, weil eine beliebige abzählbar unendliche Teilmenge als einzige abgeschlossene Obermenge den gesamten Raum hat.
• Die Niemytzki-Ebene (oder Moore-Ebene) ist ein separabler Raum, da die enthaltene abzählbare (!) Teilmenge der Punkte mit rationalen Koordinaten darin dicht liegt.

Gegenbeispiele

Es gibt einige bekannte Beispiele für nicht-separable Räume:

• Der Banachraum $\ell ^{\infty }$ der beschränkten (reellen oder komplexen) Folgen ist nicht-separabel.
• Allgemein gilt, dass für eine unendliche Menge $S$ der Banachraum $B(X,{\mathcal {P}}(S))$ der beschränkten (reell- oder komplexwertigen) Funktionen nie separabel ist.
• Der Raum $\mathrm {AP} ^{2}$ der fast-periodischen Funktionen ist ein nicht-separabler Hilbertraum.
• Versieht man die kleinste überabzählbare Ordinalzahl $\omega _{1}$ mit ihrer Ordnungstopologie, so erhält man einen nicht-separablen Raum.

Permanenzeigenschaften

• Bilder von separablen Räumen unter stetigen Funktionen sind wieder separabel.
• Offene Unterräume separabler Räume sind stets ebenfalls separabel.
• Im Allgemeinen sind Unterräume separabler Räume nicht separabel. So enthält die erwähnte separable (!) Niemytzki-Ebene beispielsweise einen nicht-separablen Unterraum.
• Es gilt aber, dass Unterräume separabler metrischer Räume wieder separabel sind.
• Separabilitätssatz von Marczewski: Ist $(X_{i})_{i\in I}$ eine Familie separabler Räume und ist die Mächtigkeit von $I$ höchstens gleich der Mächtigkeit des Kontinuums $\mathbb {R}$, so ist $\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}$ mit der Produkttopologie ebenfalls separabel. Um dieses Resultat einzusehen, genügt es, die Separabilität von ${\mathbb {N} }^{\mathbb {R} }=\{f\mid f\colon {\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {N} }\}$ zu beweisen. Dazu überlegt man sich leicht, dass die abzählbare Menge der endlichen Summen von Funktionen aus $\{n\cdot \chi _{[a,b]};n\in {\mathbb {N} },a,b\in {\mathbb {Q} }\}$ dicht liegt, wobei $\chi _{[a,b]}$ die charakteristische Funktion des Intervalls $[a,b]$ ist.

Zusammenhang mit anderen Begriffen

• In der englischen Fachliteratur wird ein topologischer Raum $X$ mit (höchstens) abzählbarer Basis von manchen Autoren als completely separable oder perfectly separable, also als vollständig separabel bzw. als vollkommen separabel bezeichnet.
• Lässt sich die Topologie eines separablen Raumes $X$ durch eine vollständige Metrik erzeugen, so nennt man $X$ einen polnischen Raum.
• Der Begriff des separablen Raumes steht in keiner Beziehung zum Begriff des separierten Raums.

Zur Historie

• Das Konzept des separablen Raumes geht zurück auf Maurice René Fréchet und seine Publikation Sur quelques points de calcul fonctionnel aus dem Jahre 1906.
• P. S. Alexandroff zufolge ist der Terminus separabel eine höchst unglückliche Bezeichnung ... , die sich bedauerlicherweise jedoch eingebürgert hat und allgemeine Verbreitung fand.
• Wie Horst Schubert im Jahre 1975 schrieb, bestanden ... Tendenzen, ihn [den Terminus separabel] abzuschaffen.

Literatur

• P. S. Alexandroff: Einführung in die Mengenlehre und in die allgemeine Topologie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 85). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1984. 
• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X. 
• Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of Topology. 2. Auflage. BCS Associates, Moscow, Idaho, U. S. A. 1998, ISBN 0-914351-08-7. 
• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 
• Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou: Exercises in Analysis. Part 1 (= Problem Books in Mathematics). Springer-Verlag, Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2014, ISBN 978-3-319-06175-7, doi:10.1007/978-3-319-06176-4. 
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0. 
• G. J. O. Jameson: Topology and Normed Spaces. Chapman and Hall, London 1974, ISBN 0-412-12880-2. 
• Joseph Muscat: Functional Analysis. An Introduction to Metric Spaces, Hilbert Spaces, and Banach Algebras. Springer-Verlag, Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2014, ISBN 978-3-319-06727-8, doi:10.1007/978-3-319-06728-5. 
• Mark Neumark: Normierte Algebren. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt / Main 1990, ISBN 3-8171-1001-4. 
• Horst Schubert: Topologie (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6. 
• Lynn A. Steen, J. Arthur Seebach, Jr.,: Counterexamples in Topology. 2. Auflage. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1978, ISBN 0-387-90312-7. 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970. 

Siehe auch

• Abzählbare Menge
• Hausdorffraum
• Hilbertraum
• Metrischer Raum
• Kompakter Raum
• Polnischer Raum
• Zweites Abzählbarkeitsaxiom

Einzelnachweise

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Fortsetzungslemma

Das Fortsetzungslemma (englisch Extension Lemma) ist ein Lehrsatz, der dem Übergangsfeld der beiden mathematischen Teilgebiete Topologie und Funktionalanalysis zuzurechnen ist. Das Lemma behandelt die grundlegende Frage der Fortsetzung stetiger Funktionale auf gewissen topologischen Räumen und ist daher verwandt mit (und sogar eine Folgerung aus) dem Fortsetzungssatz von Tietze.

Formulierung

Das Lemma lässt sich wie folgt formulieren:

Gegeben seien ein vollständig regulärer topologischer Raum $X\neq \emptyset$ und darin eine kompakte Teilmenge $T\subseteq X$.

Es seien dabei $C(X,\mathbb {K} )$ und $C(T,\mathbb {K} )$ die zugehörigen Funktionenräume der stetigen Funktionale von $X$ beziehungsweise $T$ in den Grundkörper $\mathbb {K}$, welcher entweder der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen sein soll, jeweils versehen mit der durch die Betragsfunktion $|\cdot |$ erzeugten topologischen Struktur.

Dann gilt:

Zu jedem Funktional $f\in C(T,\mathbb {K} )$ gibt es ein Funktional $F\in C(X,\mathbb {K} )$ mit

(i) $F|_{T}=f$.

(ii) $\sup _{t\in T}{|f(t)|}=\sup _{x\in X}{|F(x)|}$.

Beweisskizze

In der in Rede stehenden Situation betrachtet man $X$ als Teilraum seiner Stone-Čech-Kompaktifizierung $\beta {X}$ und wendet den Tietze'schen Fortsetzungssatz an, dabei berücksichtigend, dass $X$ ein Hausdorff-Raum ist und $T$ als kompakter Teilraum sowohl von $X$ als auch von $\beta {X}$ dort zu den abgeschlossenen Mengen zählt.

Anmerkung

Klaus Jänich benutzt in seiner Topologie im Zusammenhang mit dem Fortsetzungssatz von Tietze ebenfalls das Stichwort Lemma, indem er vom Tietzeschen Erweiterungslemma spricht. Das oben formulierte Fortsetzungslemma und das Tietzesche Erweiterungslemma fallen jedoch nicht zusammen.

Literatur

• Klaus Jänich: Topologie (= Mathematische Leitfäden). 8. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2005, ISBN 978-3-540-21393-2 (MR2262391). 
• Hans Jarchow: Locally Convex Spaces (= Mathematische Leitfäden). B. G. Teubner, Stuttgart 1981, ISBN 3-519-02224-9 (MR0511737). 
• Horst Schubert: Topologie (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 

Einzelnachweise

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Satz von Morita

Der Satz von Morita ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Topologie. Der Satz geht zurück auf eine wissenschaftliche Arbeit des japanischen Mathematikers Kiiti Morita aus dem Jahre 1948 und behandelt das Problem, unter welchen Bedingungen ein topologischer Raum die Eigenschaft der Parakompaktheit besitzt. Er ist verwandt mit dem Satz über Metrisierbarkeit und Parakompaktheit des britischen Mathematikers Arthur Harold Stone.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Unter der allgemeinen Annahme des abzählbaren Auswahlaxioms gilt:

Jeder reguläre Lindelöf-Raum ist parakompakt.

Dabei gilt im Einzelnen:

Ist $X$ ein regulärer Lindelöf-Raum und ${\mathcal {U}}=\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ eine beliebige offene Überdeckung von $X$, so lässt sich $X$ durch eine Mengenfolge ${\mathcal {O}}=\left(O_{k}\right)_{k=1,2,3.\ldots }$ offener $X$-Teilmengen so überdecken, dass ${\mathcal {O}}$ eine lokal-endliche Verfeinerung von ${\mathcal {U}}$ bildet.

Eine etwas andere, jedoch eng verwandte Formulierung des Satzes findet man in der Monographie Topology von James Dugundji. Sie besagt:

In einem hausdorffschen Lindelöf-Raum sind Regularität und Parakompaktheit gleichwertige Konzepte.

Folgerungen

Aus dem moritaschen Satz lassen sich folgende Korollare ziehen:

Korollar 1 (Satz von Stone für separable Räume):

In einem separablen metrischen Raum besitzt jede offene Überdeckung eine lokal-endliche abzählbare Verfeinerung .

Korollar 2:

Ein hausdorffscher regulärer Lindelöf-Raum ist stets ein T₄-Raum. Dies gilt insbesondere für jeden regulären Hausdorff-Raum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.

Literatur

• James Dugundji: Topology. 8. Auflage. Allyn and Bacon, Inc., Boston, MA 1973. 
• E. Michael: A note on paracompact spaces. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 4, 1953, S. 831–838. 
• Kiiti Morita: Star-finite coverings and the star-finite property. In: Mathematica Japonica. Band 1, 1948, S. 60–68. 
• Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Band 33). 2. überarbeitete Auflage. North-Holland Publishing, Amsterdam / New York / Oxford 1985, ISBN 0-444-87655-3 (MR0831659). 
• Martin Väth: Topological Analysis. From the Basics to the Triple Degree for Nonlinear Fredholm Inclusions (= De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. Band 16). Verlag Walter de Gruyter, Berlin, Boston 2012, ISBN 978-3-11-027722-7 (MR2961860). 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970 (MR0264581). 

Einzelnachweise

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Separabilitätssatz von Marczewski

Der Separabilitätssatz von Marczewski (englisch Marczewski’s separability theorem) – auch als Satz von Marczewski bezeichnet – ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Allgemeinen Topologie. Er geht auf eine Arbeit des polnischen Mathematikers Edward Marczewski aus den Jahren 1947 zurück und behandelt das Problem der Separabilität des Produkts gewisser topologischer Räume.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich zusammengefasst angeben wie folgt:

Gegeben sei eine nichtleere Familie $(X_{i})_{i\in I}\;(I\neq \emptyset )$ von Hausdorffräumen, welche allesamt aus zwei oder mehr Elementen bestehen sollen, und es sei

$X=\prod _{i\in I}X_{i}$

deren topologisches Produkt.

Dann gilt:

Der Produktraum $X$ ist separabel genau dann, wenn jeder der Räume $X_{i}$ separabel ist und wenn darüber hinaus die Indexmenge $I$ höchstens die Mächtigkeit des Kontinuums hat.

Verwandter Satz

Ein dem Separabilitätssatz von Marczewski eng verwandter Satz ist der folgende, der von manchen Autoren Satz von Hewitt–Marczewski–Pondiczery (englisch Hewitt–Marczewski–Pondiczery theorem) genannt wird:

Ist $\tau$ eine unendliche Kardinalzahl und ist $X=\prod _{i\in I}X_{i}$ das Produkt von $|I|\leq 2^{\tau }$ topologischen Räumen $X_{i}$ und enthalten diese Räume allesamt dichte Teilmengen, deren Mächtigkeit höchstens $\tau$ ist, so umfasst der Produktraum $X$ seinerseits eine dichte Teilmenge, deren Mächtigkeit höchstens $\tau$ ist.

Anmerkung zur Namensgebung

Kenneth Allen Ross und Arthur Harold Stone rechnen den Separabilitätssatz dem US-amerikanischen Mathematiker Ralph Boas zu, in dessen Arbeit aus dem Jahre 1944 – die Boas unter dem Pseudonym E. S. Pondiczery veröffentlichte – dieses Resultat auch enthalten ist.

Literatur

• W. W. Comfort: A short proof of Marczewski's separability theorem. In: American Mathematical Monthly. Band 76, 1969, S. 1041–1042, doi:10.2307/2317135 (MR0248742). 
• A. A. Gryzlov: On dense subsets of Tychonoff products. In: Topology and its Applications. Band 170, 2014, S. 86–95 (MR3200391). 
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0. 
• Edwin Hewitt: A remark on density characters. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 52, 1946, S. 641–643 (MR0017329). 
• E. Marczewski: Séparabilité et multiplication cartésienne des espaces topologiques. In: Fundamenta Mathematicae. Band 34, 1947, S. 127–143 (MR0021680). 
• E. S. Pondiczery: Power problems in abstract spaces. In: Duke Mathematical Journal. Band 11, 1944, S. 835–837, doi:10.1215/S0012-7094-44-01171-3 (MR0011104). 
• K. A. Ross, A. H. Stone: Products of separable spaces. In: American Mathematical Monthly. Band 71, 1964, S. 398–403, doi:10.2307/2313241 (MR0164314). 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970, S. 224 ff. (MR0264581). 

Siehe auch

• Artikel "Separable space" in der englischsprachigen Wikipedia
• Link zu Hewitt-Marczewski-Pondiczery theorem (planetmath.org)

Einzelnachweise

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KKKategorie:Topologie]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Marczewski, Separabilitätssatz von]]

Zum Artikel Zusammenziehbarer Raum

Zusammenziehbare Räume - auch als kontrahierbare bzw. kontraktible Räume bezeichnet - werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Aus Sicht der Homotopietheorie gelten zusammenziehbare Räume als trivial. ....

Definition

Ein topologischer Raum $X\neq \emptyset$ heißt zusammenziehbar oder kontrahierbar oder kontraktibel, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Unterraum ist, wenn ...

.... .... ....

Weitere Resultate

Es liegen die folgenden Resultate vor:

• Eine nichtleere konvexe Teilmenge des euklidischen Raums ist stets zusammenziehbar.
• Jeder zusammenziehbare Raum ist wegzusammenhängend.
• Jeder Retrakt eines zusammenziehbaren Raums ist zusammenziehbar.
• Ein nichtleeres topologisches Produkt von nichtleeren zusammenziehbaren Räumen ist stets zusammenziehbar. (Vererbungssatz)

Literatur

• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X, S. 110 ff. (MR2172813). 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, S. 156 ff. (MR0423277). 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970, S. 224 ff. (MR0264581). 

Einzelnachweise

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Zum Satz von Heine

Weitere Beweisskizze für metrische Räume

Der Satz lässt sich - etwa nach Otto Forster - auch beweisen unter Zugrundelegung der Heine-Borel-Eigenschaft - und zwar ohne Widerspruchsbeweis!

Dieser Beweis ist sizzierbar wie folgt:

Zu dem kompakten metrischer Raum $K$ (mit der Metrik $d_{K}$), dem metrischen Raum $M$ (mit der Metrik $d_{M}$) und der stetigen Abbildung $f$ fixiert man ein beliebiges $\epsilon >0$. Hierzu ist das für den Nachweis der gleichmäßigen Stetigkeit benötigte $\delta (\epsilon )$ zu bestimmen.

Dies gewinnt man, indem man zunächst die Stetigkeitseigenschaft von $f$ heranzieht und aus ihr zu jedem $a\in K$ ein $\delta (a)>0$ festlegt derart, dass für $b\in K$ mit $d_{K}(a,b)<\delta (a)$ stets $d_{M}(f(a),f(b))<{\frac {\epsilon }{2}}$ erfüllt ist.

Dann betrachtet man die aus lauter Punktumgebungen bestehende offene $K$-Überdeckung $(U_{\frac {\delta (a)}{2}})_{a\in K}$. Wegen der Kompaktheit von $K$ ergibt sich infolge der Heine-Borel-Eigenschaft, dass schon endlich viele dieser Umgebungen $K$ überdecken, etwa $U_{\frac {\delta (a_{1})}{2}},\ldots ,U_{\frac {\delta (a_{n})}{2}}$ für ein gewisses $n\in \mathbb {N}$.

Schließlich setzt man:

$\delta (\epsilon )=\min({\frac {\delta (a_{1})}{2}},\ldots ,{\frac {\delta (a_{n})}{2}})$ .

Den Nachweis der in der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit auftretenden Ungleichung führt man unter Anwendung der Dreiecksungleichung.

Verallgemeinerung auf kompakte Hausdorffräume

Der heinesche Satz lässt sich über die kompakten metrischen Räume hinaus sogar auf beliebige kompakte Hausdorffräume ausdehnen. Dies ist eine direkte Folge der Tatsache, dass der topologischen Struktur eines kompakten Hausdorffraums $X$ eine eindeutig bestimmte uniforme Struktur unterliegt. Deren Nachbarschaftssystem ${\Phi }_{X}$ besteht aus allen Umgebungen der Diagonalen $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$ im zugehörigen Produktraum $X\times X$, wobei die in $X\times X$ offenen Nachbarschaften ein Fundamentalsystem bilden, wodurch sogar eine vollständige uniforme Struktur gegeben ist.

Es gilt also:

Eine stetige Abbildung $f:X\rightarrow Y$ des kompakten Hausdorffraums $X$ in den uniformen Raum $Y$ ist stets auch gleichmäßig stetig.

Folgerung

Aus dem Satz von Heine gewinnt man einen Fortsetzungssatz:

Ist $A\subseteq X$ eine dichte Teilmenge des kompakten Hausdorffraums $X$ und ist $f:A\rightarrow Y$ eine Abbildung von $A$ in den separierten und vollständigen uniformen Raum $Y$, so ist $f$ stetig und dabei fortsetzbar zu einer stetigen Abbildung auf ganz $X$ genau dann, wenn $f$ - bezüglich der von $X$ auf $A$ induzierten uniformen Struktur - gleichmäßig stetig ist.

Literatur

• Nicolas Bourbaki: General Topology (= Elements of Mathematics. Part I). Addison-Wesley Publishing Company (u.a.), Reading, Massachusetts (u. a.) 1966 (MR0205210). 
• Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rⁿ, gewöhnliche Differentialgleichungen (= Vieweg Studium). 6., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-47231-6. 
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0. 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970 (MR0264581). 

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Zusammenhängende Teilräume

Besonderheiten

Besonderheiten zusammenhängender Teilräume des reellen Koordinatenraums

Im reellen Koordinatenraum haben zusammenhängende Teilräume mehrere Besonderheiten. Hervorzuheben sind vor allem zwei davon.

Zusammenhängende Teilräume der reellen Zahlen

Hier handelt es sich um die reellen Intervalle. Es gilt nämlich:

Die zusammenhängenden Teilräume von $\mathbb {R}$ sind die reellen Intervalle jeden Typs. Es handelt sich im Einzelnen also um die der leere Menge $\emptyset$, die einpunktigen Teilmengen sowie um alle offenen, halboffenen, abgeschlossenen, beschränkten und unbeschränkten Intervalle mit mindestens zwei Punkten, $\mathbb {R}$ selbst eingeschlossen.

Es lässt sich nämlich zeigen, dass ein Teilraum   $T\subseteq \mathbb {R}$   dann und nur dann zusammenhängend ist, wenn für je zwei Punkte $a\;,\;b\in T$ auch $[a,b]\subseteq T$ gilt.

Gebiete

Hinsichtlich der zusammenhängenden Teilräume des $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ ist vor allem die folgende Besonderheit bemerkenswert:

Eine nichtleere offene Menge bildet genau dann einen zusammenhängenden Teilraum (und damit ein Gebiet), wenn sie wegzusammenhängend (s. u.) ist.

Dabei gilt sogar schärfer, dass sich in einem solchen Gebiet je zwei Punkte stets durch einen ganz in diesem Gebiet liegenden Streckenzug verbinden lassen.

Besonderheit kompakter metrischer Räume

Diese Besonderheit besteht in folgender Eigenschaft:

Ist ein metrischer Raum $(X,d)$ kompakt, so ist er genau dann zusammenhängend, wenn je zwei seiner Punkte $a,b\in X$ für jedes $\epsilon >0$ $\epsilon$-verkettet in dem Sinne, dass endlich viele Punkte $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X\;(n=n(a,b,\epsilon )\in \mathbb {N} )$ existieren mit $a=x_{1}$ und $b=x_{n}$ sowie $d(x_{i},x_{i+1})<\epsilon \;(i=1,\ldots ,n-1)$.

Literatur

• P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. Erster Band. Berichtigter Reprint (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 45). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1974 (MR0185557). 
• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (MR2172813). 
• B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1979 (MR0639901). 
• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 79). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975 (MR0514884). 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Mengentheoretische Topologie]]

Kettensatz (Allgemeine Topologie)

In der Allgemeinen Topologie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Kettensatz die Frage, unter welchen Bedingungen in einem topologischen Raum die Vereinigung zusammenhängender Unterräume ihrerseits zusammenhängend ist.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben seien ein topologischer Raum $X$ und darin eine Familie $(A_{i})_{i\in I}$ zusammenhängender Unterräume.

Die Unterraumfamilie sei verkettet in folgendem Sinne:

Zu je zwei Indizes $p,q\in I$ gebe es darin stets eine endliche Teilfamilie $(A_{i_{1}},\ldots ,A_{i_{n}})\;(n\in \mathbb {N} )$ mit:

(a) $A_{p}=A_{i_{1}}$ und $A_{q}=A_{i_{n}}$

(b) Je zwei aufeinanderfolgende Mengen der endlichen Teilfamilie mögen sich überschneiden; m. a. W.: Für $r=1,\ldots ,n-1$ gelte stets $A_{i_{r}}\cap A_{i_{r+1}}\neq \emptyset$.

Dann gilt:

Die Vereinigung

$V=\bigcup _{i\in I}A_{i}$

bildet einen zusammenhängenden Unterraum von $X$.

Verschärfung

Die obige Bedingung (b) lässt sich - bei gleicher Behauptung! - dahingehend abschwächen, dass man lediglich folgendes fordert:

(b') Von je zwei aufeinanderfolgende Unterräumen der endlichen Teilfamilie enthalte stets mindestens einer der beiden einen Berührpunkt des anderen; m. a. W.: Für $r=1,\ldots ,n-1$ gelte stets ${\overline {A_{i_{r}}}}\cap A_{i_{r+1}}\neq \emptyset$ oder $A_{i_{r}}\cap {\overline {A_{i_{r+1}}}}\neq \emptyset$ .

Folgerungen

Der Kettensatz zieht - schon in seiner einfachen Version! - folgende Resultate unmittelbar nach sich:

(1) Hat in einem topologischen Raum eine Familie zusammenhängender Unterräume nichtleeren Durchschnitt, so bildet die Vereinigung dieser Unterräume ihrerseits einen zusammenhängenden Unterraum.

(2) Wenn je zwei Punkte eines topologischen Raums in einem zusammenhängenden Unterraum dieses Raums enthalten sind, so ist dieser Raum zusammenhängend.

(3) In einem topologischen Raum ist die Zusammenhangskomponente eines Punktes gleich der Vereinigung all derjenigen zusammenhängenden Unterräume, welche diesen Punkt enthalten, also der größte unter allen zusammenhängenden Unterräumen, denen dieser Punkt zugehört.

In der verschärften Version des Kettensatzes ergibt sich auch sogleich das folgende Resultat:

(4) In einem topologischen Raum bildet eine Vereinigung zusammenhängender Unterräume, bei denen von je zweien stets mindestens einer der beiden einen Berührpunkt des anderen enthält, einen zusammenhängenden Unterraum.

Literatur

• P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. Erster Band. Berichtigter Reprint (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 45). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1974 (MR0185557). 
• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (MR2172813). 
• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 
• K. D. Joshi: Introduction to General Topology. Wiley Eastern Limited, New Delhi, Bangalore, Bombay, Calcutta 1983, ISBN 0-85226-444-5. 
• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 79). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975 (MR0514884). 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Satz von Mazurkiewicz (Dimensionstheorie)

Der Satz von Mazurkiewicz ist ein mathematischer Lehrsatz der Topologie und ist als solcher dem Teilgebiet der Dimensionstheorie zuzurechnen. Der Satz behandelt die Abhängigkeit von Dimension und Zusammenhangseigenschaften von Unterräumen des $\mathbb {R} ^{n}$.

Formulierung des Satzes

Er besagt:

Gegeben seien im $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ zwei Teilmengen $M,G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit $M\subseteq G$.

Hierbei sei $G$ ein Gebiet und $M$ habe die Urysohn-Menger-Dimension $\operatorname {ind} {M}\leq n-2$ .

Dann gilt:

Eine solche Teilmenge $M$ zerlegt $G$ nicht.

Literatur

• Ryszard Engelking, Karol Sieklucki: Topology : A Geometric Approach (= Sigma Series in Pure Mathematics. Band 4). Heldermann Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-88538-004-8 (MR1199810). 
• Ryszard Engelking: Theory of Dimensions Finite and Infinite (= Sigma Series in Pure Mathematics. Band 10). Heldermann Verlag, Lemgo 1995, ISBN 3-88538-010-2 (MR1363947). 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Verklebungslemma

Das Verklebungslemma (englisch Glueing lemma (bzw. Gluing lemma) oder Pasting lemma) ist ein elementarer Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Allgemeinen Topologie. Es zeigt, wie unter gewissen Bedingungen stetige Abbildungen auf topologischer Räumen aus solchen auf Unterräumen stückweise zusammengefügt und damit gewissermaßen "zusammengeklebt" werden können.

Formulierung des Lemmas

Es lässt sich zusammengefasst und in allgemeiner Darstellung formulieren wie folgt:

Gegeben seien zwei topologische Räume $X$ und $Y$.

Weiter gegeben seien eine Überdeckung $(A_{i})_{i\in I}$ von $X$ und dazu eine Familie stetiger Abbildungen $f_{i}\colon \,A_{i}\to Y$.

Dabei möge gelten:

(1) Für $i,j\in I$ und $x\in A_{i}\cap A_{j}$ sei stets $f_{i}(x)=f_{j}(x)$.

(2) Die $A_{i}$ seien entweder allesamt offene Teilmengen oder aber allesamt abgeschlossene Teilmengen von $X$, wobei letzterenfalls zusätzlich gelten solle, dass die Familie $(A_{i})_{i\in I}$ eine lokalendliche Überdeckung von $X$ darstelle.

Dann gilt:

Durch die Zuordnungsvorschrift

$x\mapsto f(x):=f_{i}(x)\;(i\in I\;,\;x\in A_{i})$

ist eine Abbildung

$f\colon \,X\to Y$

gegeben und diese ist stetig.

Folgerung

Das Lemma schließt das folgende häufig benutzte Kriterium in sich ein:

Hat ein topologischer Raum $X$ eine offene Überdeckung $(A_{i})_{i\in I}$ oder eine endliche abgeschlossene Überdeckung $(A_{i})_{i=1,\ldots ,n}\;(n\in \mathbb {N} )$, so ist eine auf ihm gegebene Abbildung $f\colon \,X\to Y$ in einen weiteren topologischen Raum $Y$ genau dann stetig, wenn jede einzelne eingeschränkte Abbildung $f|_{A_{i}}$ stetig ist.

Zum Beweis

Der Beweis des Lemmas beruht wesentlich auf der folgenden, für jede Teilmenge $B\subseteq Y$ gültigen Gleichung

$f^{-1}(B)=\bigcup _{i\in I}{f_{i}}^{-1}(B)$

sowie der Tatsache, dass (unter den jeweiligen Bedingungen!) eine Teilmenge $A\subseteq X$ offen (beziehungsweise abgeschlossen) in $X$ ist dann und nur dann, wenn jede der Schnittmengen $A\cap A_{i}\;(i\in I)$ offen (beziehungsweise abgeschlossen) in $A_{i}$ ist.

Siehe auch

• Finaltopologie

Literatur

• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (MR2172813). 
• Fred H. Croom: Principles of Topology. Saunders, Philadelphia 1989, ISBN 0-03-012813-7. 
• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 
• I. M. Singer, J. A. Thorpe: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry (= Undergraduate texts in mathematics). Springer Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1976, ISBN 0-387-90202-3 (MR0413152). 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Verbindbarkeitssatz von Menger

Der Verbindbarkeitssatz von Menger ist ein mathematischer Lehrsatz über eine grundlegende Fragestellung der Theorie der metrisch konvexen Räume und als solcher angesiedelt im Übergangsfeld zwischen den beiden mathematischen Gebieten Topologie und Geometrie. Der Satz geht (ebenso wie das Konzept des metrisch konvexen Raums) auf eine Arbeit des österreichischen Mathematikers Karl Menger aus den Jahren 1928 zurück.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben sei ein vollständiger metrischer und zugleich metrisch konvexer Raum $(X,d)$.

Dann gilt:

Zwischen je zwei Raumpunkten $x,y\in X$ eines beliebigen Abstands $A=d(x,y)>0$ gibt es stets eine kürzeste Verbindung in dem Sinne, dass das zugehörige reelle Intervall $[0,A]$ eine isometrische Einbettung $\phi \colon [0,A]\rightarrow (X,d)$ gestattet, welche die reelle Zahl $0$ auf $x=\phi (0)$ und die reelle Zahl $A$ auf $y=\phi (A)$ abbildet.

Verwandte Resultate

Mit dem mengerschen Verbindbarkeitssatz verwandt ist ein anderer Satz, dem eine ähnliche Fragestellung zugrundeliegt und der auf Stefan Mazurkiewicz zurückgeht:

In einem topologischen Raum $X$, der vollständig metrisierbar, zusammenhängend und lokal zusammenhängend ist, gibt es zu je zwei verschiedenen Raumpunkten $x,y\in X$ stets eine offene Jordan-Kurve $\phi \colon [0,1]\rightarrow X$, welche $x=\phi (0)$ mit $y=\phi (1)$ verbindet.

Im Zusammenhang damit - und nicht weniger auch im Zusammenhang mit dem Verbindbarkeitssatz von Menger - ist ein weiterer Satz erwähnenswert, der unmittelbar folgt und von Ákos Császár in dessen Monographie General Topology als Satz von Mazurkiewicz-Moore-Menger (englisch Mazurkiewicz-Moore-Menger theorem) bezeichnet wird. Dieser Satz lautet:

Ist ein vollständiger metrischer Raum sowohl zusammenhängend als auch lokal zusammenhängend, so ist er schon bogenweise zusammenhängend und lokal bogenweise zusammenhängend.

Anmerkungen zum Beweis des Satzes

Karl Menger hat den Verbindbarkeitssatz unter Anwendung der Transfiniten Induktion hergeleitet. Im Jahre 1935 gab Nachman Aronszajn einen Beweis ohne Transfinite Induktion. Kazimierz Goebel und William A. Kirk haben in ihrer 1990er Monographie Topics in Metric Fixed Point Theory gezeigt, dass man in Anlehnung an den Originalbeweis von Menger einen Beweis führen kann, der anstelle der Transfiniten Induktion einen Fixpunktsatz benutzt. Wie Goebel und Kirk darstellen, ist dieser Fixpunktsatz eine Verallgemeinerung des banachschen Fixpunktsatzes und geht auf eine Publikation von James Caristi aus dem Jahre 1976 zurück. Sie bezeichnen diese Verallgemeinerung als Satz von Caristi (englisch Caristi's theorem).

Der Satz von Caristi

Der Satz besagt das Folgende:

Gegeben seien ein vollständiger metrischer Raum $(X,d)$ sowie eine unterhalbstetige und zudem nach unten beschränkte reellwertige Funktion $\psi \colon (X,d)\rightarrow \mathbb {R}$.

Hier sei $f\colon \,X\to X$ eine beliebige Abbildung, welche die folgende Bedingung erfüllen möge:

$d(x,f(x))\leq {\psi (x)-\psi (f(x))}$

Dann besitzt $f$ einen Fixpunkt.

Literatur

• N. Aronszajn: Neuer Beweis der Streckenverbundenheit vollständiger konvexer Räume. In: Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums (Wien). Band 6, 1935, S. 45–56. 
• Leonard M. Blumenthal: Theory and Applications of Distance Geometry (= Chelsea Scientific Books). 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, Bronx, New York 1970, ISBN 0-8284-0242-6 (MR0268781). 
• James Caristi: Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 215, 1976, S. 241–251, doi:10.2307/1999724, JSTOR:1999724 (MR0394329). 
• Ákos Császár: General Topology. 2. Auflage. Adam Hilger Ltd., Bristol 1978, ISBN 0-85274-275-4 (MR0474162). 
• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 
• Kazimierz Goebel, W. A. Kirk: Topics in Metric Fixed Point Theory (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 28). Cambridge University Press, Cambridge 1990, ISBN 0-521-38289-0 (MR1074005). 
• Karl Menger: Untersuchungen über allgemeine Metrik. In: Mathematische Annalen. Band 100, 1928, S. 75–163 (uni-bielefeld.de). 
• R. L. Moore: On the foundations of plane analysis situs. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 17, 1916, S. 131–164 (ams.org). 
• J. van Mill: The Infinite-dimensional Topology of Function Spaces (= North-Holland Mathematical Library. Band 64). North-Holland, Amsterdam (u. a.) 2002, ISBN 0-444-50557-1. 
• Willi Rinow: Die innere Geometrie der metrischen Räume (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 105). Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1961 (MR0123969). 

Siehe auch

• Geodäte
• Geodätischer metrischer Raum
• Jordan-Kurve
• Peano-Räume

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Geometrie]]

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Metrisierbarkeitssatz von Urysohn

Der Metrisierbarkeitssatz von Urysohn - oder auch Metrisationssatz von Urysohn (englisch Urysohn's metrization theorem) - ist ein klassischer mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Topologie, welcher auf den russischen Mathematiker Paul Urysohn zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage der Metrisierbarkeit topologischer Räume im Zusammenhang mit Abzählbarkeitsbedingungen. Dem Mathematiker Lutz Führer zufolge ist der Metrisierbarkeitssatz eines der berühmtesten Ergebnisse von P. Urysohn.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich zusammengefasst angeben wie folgt:

Für einen Hausdorff-Raum, welcher dem Zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt, sind Regularität, vollständige Regularität, Normalität und Metrisierbarkeit gleichwertige Eigenschaften.

Es gilt sogar:

Für einen T1-Raum $X$ sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:

(1) $X$ ist ein regulärer Raum und genügt dem Zweiten Abzählbarkeitsaxiom.

(2) $X$ ist ein separabler und metrisierbarer Raum.

(3) $X$ lässt sich einbetten in den Hilbertwürfel $I^{\aleph _{0}}$.

Korollare

Aus dem Metrisierbarkeitssatz von Urysohn ergeben sich drei unmittelbare Folgerungen:

(1) Ein kompakter Hausdorff-Raum ist genau dann metrisierbar, wenn er dem Zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt.

(2) Ein lokalkompakter Hausdorff-Raum, der dem Zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügt, ist ein σ-kompakter Raum und als solcher - ebenso wie seine Einpunkt-Kompaktifizierung - metrisierbar.

(3) Das stetige Bild eines kompakten metrischen Raums in einem Hausdorff-Raum ist stets ein metrisierbarer Raum.

Siehe auch

• Satz von Bing-Nagata-Smirnow

Literatur

• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.  MR0423277
• Paul Urysohn: Zum Metrisationsproblem. In: Mathematische Annalen. Band 94, 1925, S. 309–315 ([2]). 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970.  MR0264581

Einzelnachweise

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Interpolationssatz von Katětov

Der Interpolationssatz von Katětov (englisch : Katětov's interpolation theorem) ist ein Lehrsatz, welcher dem mathematischen Teilgebiet der Topologie zuzurechnen ist. Er geht zurück auf den tschechischen Mathematiker Miroslav Katětov und gibt eine Verallgemeinerung des bekannten Fortsetzungssatzes von Tietze.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben sei ein normaler topologischer Raum $X$.

Seien weiter gegeben zwei halbstetige reellwertige Funktionen $g,h\colon X\to \mathbb {R}$ und es sei vorausgesetzt, dass $g$ oberhalbstetig sei, dass $h$ unterhalbstetig sei und dass dabei stets die Ungleichung $g(x)\leq h(x)\;\;(x\in X)$ bestehe.

Dann existiert eine stetige Funktion $f\colon X\to \mathbb {R}$, welche $g$ und $h$ interpoliert,

für welche also punktweise die Ungleichung

$g\leq f\leq h$

besteht.

Anmerkungen

• Der Interpolationssatz von Katětov zieht den tietzeschen Fortsetzungssatz als Folgerung nach sich. Dazu zeigt man den Fortsetzungssatz mit Hilfe des Interpolationssatzes zunächst für stetige Funktionen, die eine abgeschlossene Teilmenge eines normalen topologischen Raumes in das Intervall $[0,1]$ abbilden. Daran anschließend gewinnt man – mit bekannten Methoden – den Fortsetzungssatz für alle stetigen Funktionen, die eine abgeschlossene Teilmenge eines normalen topologischen Raumes nach $\mathbb {R}$ oder (noch allgemeiner) in einen aus reellen Intervallen bestehenden Produktraum abbilden.
• In seiner Arbeit aus dem Jahre 1951 war Katětov bei der Herleitung seines Interpolationssatzes ein Fehler unterlaufen, welcher von Hing Tong mit dessen Arbeit aus dem Jahre 1952 bereinigt wurde. In der englischsprachigen Literatur wird der Interpolationssatz daher oft beiden genannten Autoren zugerechnet und dann – etwa von Tomasz Kubiak (s. u.) – als Katětov-Tong insertion theorem bezeichnet.
• Der Interpolationssatz lässt sich auch mit Hilfe des Lemmas von Urysohn herleiten. Da das Lemma von Urysohn und der Tietzesche Fortsetzungssatz im Wesentlichen gleichwertig sind und da der Interpolationssatz den Fortsetzungssatz – wie gesehen – nach sich zieht, erweisen sich alle drei Lehrsätze damit sogar als gleichwertig. Wie sich (nicht zuletzt anhand der genannten Arbeiten) zeigt, bedeuten diese im Kern, dass ein normaler Raum stets die in den drei Lehrsätzen behaupteten funktionalen Eigenschaften besitzt und dass ihn diese charakterisieren.

Literatur

• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 
• G. J. O. Jameson: Topology and Normed Spaces. Chapman and Hall, London 1974, ISBN 0-412-12880-2 (MR0463890). 
• M. Katětov: On real-valued functions in topological spaces. In: Fund. Math. Band 38, 1951, S. 85–91 (MR0050264). 
• Tomasz Kubiak: A stengthening of the Katětov-Tong insertion theorem. In: Comment. Math. Univ. Carolin. Band 34, 1993, S. 357–362 ([3]).  MR1241744
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 
• Hing Tong: Some characterizations of normal and perfectly normal spaces. In: Duke Math. J. Band 19, 1952, S. 289–292 (MR0050265). 

Einzelnachweise

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Binormaler Raum

Binormaler Raum ist ein Terminus aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Der Terminus hat unter anderem Bedeutung für Homotopieuntersuchungen im endlich-dimensionalen reellen Koordinatenraum.

Definition

Ein topologischer Raum $X$ heißt binormal, wenn er ein normaler Hausdorffraum ist und zugleich abzählbar parakompakt in dem Sinne, dass jede höchstens abzählbare offene Überdeckung eine lokalendliche Verfeinerung besitzt.

Beispiel

Ein metrischer Raum ist nach dem Satz von Arthur Harold Stone stets parakompakt, folglich auch abzählbar parakompakt und darüber hinaus auch stets normal. Daher ist jeder metrische Raum binormal.

Charakterisierungssatz

Es gilt der folgende Charakterisierungssatz, der im Wesentlichen auf eine Arbeit des kanadischen Mathematikers Clifford Hugh Dowker aus dem Jahre 1951 zurückgeht:

Für einen Hausdorffraum $X$ sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:

(1) $X$ ist binormal.

(2) Ist $Y$ ein beliebiger kompakter metrischer Raum, so ist der zugehörige Produktraum $X\times Y$ stets ein normaler Raum .

(3) Es existiert zumindest ein unendlicher kompakter metrischer Raum $Y$, für den der zugehörige Produktraum $X\times Y$ ein normaler Raum ist.

(4) Der mit dem abgeschlossenen Einheitsintervall $I=[0,1]\subset \mathbb {R}$ gebildete Produktraum $X\times I$ ist ein normaler Raum.

(5) Der aus $X$ und dem Hilbertwürfel gebildete Produktraum $X\times {I^{\aleph _{0}}}$ ist ein normaler Raum.

(6) Zu je zwei halbstetigen reellwertigen Funktionen $f,g\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ derart, dass $f$ oberhalbstetig und $g$ unterhalbstetig ist und dass stets die Ungleichung $f(x)<g(x)\;\;(x\in X)$ gilt, existiert eine stetige Funktion $h\colon X\rightarrow \mathbb {R}$, welche stets die Beziehung $f(x)<h(x)<g(x)\;\;(x\in X)$ erfüllt.

Homotopie-Fortsetzungssatz

Im Zusammenhang mit der Binormalitätseigenschaft gilt der borsuksche Homotopie-Fortsetzungssatz, der auf eine Arbeit des polnischen Mathematikers Karol Borsuk aus dem Jahre 1937 zurückgeht. Dieser lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben seien eine binormaler Raum $X$ und darin ein abgeschlossener Unterraum $A$ sowie zwei stetige Abbildungen $f_{0},f_{1}\colon A\rightarrow S^{n}$ von $A$ in die $n$-Sphäre $S^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$.

Dabei seien $f_{0}$ und $f_{1}$ homotop und $f_{0}$ besitze eine stetige Fortsetzung $F_{0}\colon X\rightarrow S^{n}$.

Dann gilt:

Auch $f_{1}$ besitzt eine stetige Fortsetzung $F_{1}\colon X\rightarrow S^{n}$, welche zudem homotop zu $F_{0}$ ist.

Allerdings haben im Jahre 1975 Kiiti Morita und Michael Starbird unabhängig voneinander bewiesen, dass dieser auch dann noch Gültigkeit hat, wenn man die Binormalitätseigenschaft beiseite lässt, wenn man also $X$ lediglich als normalen Hausdorffraum voraussetzt.

Korollar

Der Lebesgue'sche Pflastersatz zieht eine direkte Folgerung nach sich. Sie besagt:

Für $n\in \mathbb {N}$ und für jedes beliebige n-Simplex $\Delta \subset \mathbb {R} ^{n}$ gibt es stets ein $\epsilon >0$ mit folgender Eigenschaft:

Ist ${\mathcal {A}}$ eine endliche Menge abgeschlossener Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$, die $\Delta$ überdecken, und hat jedes $A\in {\mathcal {A}}$ einen Durchmesser $\operatorname {diam} (A)<\epsilon$, so gibt es unter den $A\in {\mathcal {A}}$ mindestens $n+1$ Mengen mit nichtleerer Schnittmenge.

Das dowkersche Problem

Clifford Hugh Dowker warf in seiner Arbeit von 1951 folgende Frage auf:

• Ist ein normaler Hausdorffraum immer auch ein abzählbar parakompakter Raum?

Anders gefragt:

• Ist jeder normale Hausdorffraum schon binormal?

Das zu dieser Frage gehörige Problem wird als dowkersches Problem (englisch Dowker’s problem) bezeichnet. Einen Hausdorffraum, der ein Gegenbeispiel dazu liefert, also ein normaler, nicht abzählbar parakompakter Hausdorffraum, wird ein Dowker-Raum (englisch Dowker space) genannt. Die US-amerikanische Mathematikerin Mary Ellen Rudin hat im Jahre 1971 das dowkersche Problem insoweit gelöst, als sie im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) einen Dowker-Raum konstruieren konnte.

Literatur

• Karol Borsuk: Sur les prolongements des transformations continues. In: Fundamenta Mathematicae. Band 28, 1937, S. 203. 
• C. H. Dowker: On countably paracompact spaces. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 3, 1951, S. 219–224.  MR0043446
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X.  MR0533264
• Kiiti Morita: On generalizations of Borsuk's homotopy extension theorem. In: Fundamenta Mathematicae. Band 88, 1975, S. 1–6.  MR0375220
• Gregory Naber: Set-theoretic Topology. With Emphasis on Problems from the Theory of Coverings, Zero Dimensionality and Cardinal Invariants. University Microfilms International, Ann Arbor, Michigan 1977, ISBN 0-8357-0257-X. 
• Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Band 33). 2. überarbeitete Auflage. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, New York, Oxford 1985, ISBN 0-444-87655-3.  MR0831659
• Elliott Pearl: Open Problems in Topology II. Elsevier, Amsterdam (u. a.) 2007, ISBN 978-0-444-52208-5, S. 233–211. 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.  MR0423277
• Michael Starbird: The Borsuk homotopy extension theorem without the binormality condition. In: Fundamenta Mathematicae. Band 87, 1975, S. 207–211.  MR0372810
• Mary Ellen Rudin: A normal space X for which X×I is not normal. In: Fundamenta Mathematicae. Band 73, 1971, S. 179–186.  MR0293583
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970.  MR0264581

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Mengentheoretische Topologie]]

Satz von Hanner

Der Satz von Hanner ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Teilgebiet der Topologie, welcher auf den schwedischen Mathematiker Olof Hanner zurückgeht. Der Satz behandelt eine wichtige Eigenschaft absoluter Umgebungsretrakte.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Wird ein topologischer Raum $X$ von endlich vielen offenen Teilräumen überdeckt, welche allesamt absolute Umgebungsretrakte sind, so ist $X$ seinerseits ein absoluter Umgebungsretrakt.

Korollar

Der Satz von Hanner zieht unmittelbar den folgenden Lehrsatz nach sich:

Jede kompakte topologische Mannigfaltigkeit ist ein absoluter Umgebungsretrakt.

Literatur

• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.  MR0423277

Einzelnachweise und Fußnoten

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Satz von Zoretti (Unfertig)

Der Satz von Zoretti gehört zu den Lehrsätzen der Topologie, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf den französischen Mathematiker Ludovic Zoretti zurück und gibt eine topologische Charakterisierung der Zahlengeraden und des reellen Einheitsintervalls.

Formulierung des Satzes

Die beiden Teile des Satzes von Zoretti lassen sich angeben wie folgt:

Teil I

Ein topologischer Raum   $X$   ist genau dann homöomorph zur Zahlengeraden   $\mathbb {R}$   , wenn er den folgenden sechs Bedingungen genügt:

(B₁)   $X$   erfüllt das Trennungsaxiom T₁.

(B₂)   $X$   ist ein zusammenhängender Raum.

(B₃)   $X$   ist ein lokal zusammenhängender Raum.

(B₄)   $X$   ist ein separabler Raum.

(B₅)   Von je drei verschiedenen Punkte  $x,y,z\in X$   lassen sich stets zwei durch den dritten voneinander trennen; d. h.: Ein   $x_{0}\in \{x,y,z\}$   ist stets so gelegen, dass die beiden anderen Punkte   $x_{1},x_{2}\in \{x,y,z\}\setminus \{x_{0}\}$   zu verschiedenen Zusammenhangskomponenten von   $X\setminus \{x_{0}\}$   gehören.

(B₆)   Jeder Punkt   $x\in X$   ist Zerlegungspunkt; d. h.:   $X\setminus \{x\}$   hat stets zwei Zusammenhangskomponenten.

Teil II

Ein topologischer Raum   $X$   ist genau dann homöomorph zum Einheitsintervall   $[0,1]\subset \mathbb {R}$   , wenn er den folgenden sechs Bedingungen genügt:

(B₁)   $X$   erfüllt das Trennungsaxiom T₁ .

(B₂)   $X$   ist ein zusammenhängender Raum.

(B₃)   $X$   ist ein lokal zusammenhängender Raum.

(B₄)   $X$   ist ein separabler Raum.

(B₅)   Es existieren zwei verschiedene Punkte   $a,b\in X$   , zwischen denen   $X$   irreduzibel zusammenhängend ist, welche also so beschaffen sind, dass jeder von   $a,b$   verschiedene Punkt diese beiden voneinander trennt.

Literatur

• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975. 
• Ludovic Zoretti: La notion de ligne. In: Annales scientifiques de l’ École Normale Supérieure. Band 26, 1909, S. 485–497. [4]

Einzelnachweise und Fußnoten

KK references /LL

XXKategorie:Topologie]]

Hauptsatz der kombinatorischen Topologie (Unfertig)

Der Hauptsatz der kombinatorischen Topologie besagt folgendes:

Zwei Triangulationen desselben Polyeders haben stets isomorphe Homologiegruppen

Literatur

• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X.  MR0533264
• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975. 
• Lev S. Pontrjagin: Grundzüge der kombinatorischen Topologie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 29). Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1956. 

Einzelnachweise und Fußnoten

K references />

KK Kategorie:Topologie]]

Hahnscher Einschiebungssatz / in Arbeit

Inhalt: Auf metrischen Räumen lässt zwischen eine oberhalb-stetige Funktion g und eine unterhalb-stetige Funktion h stets eine stetige Funktion f einschieben, also so dass g ≤ f ≤ h ist. (Satz 32-2-6 bei Hahn). Folgerung aus dem Baireschen Satz, wonach auf metrischen Räumen jede halbstetige Funktion als Grenzfunktion eine monotonen Folge von stetigen Funktionen darstellbar ist.

Literatur

Bücher

• Hans Hahn: Reelle Funktionen. Chelsea Publishing Company, New York, N. Y. 1948. 
• Felix Hausdorff: FELIX HAUSDORFF. Gesammelte Werke. Band III. Mengenlehre (1927, 1935); Deskriptive Mengenlehre und Topologie. Herausgegeben von U. Felgner, H. Herrlich, M. Hušek, V. Kanovei, P. Koepke, G. Preuß, W. Purkert und E. Scholz. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76806-7. 
• Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts [u. a.] 1970. 

Satz von Hausdorff zur Totalbeschränktheit

Der Satz von Hausdorff ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er wurde 1927 von Felix Hausdorff in seiner Grundzüge der Mengenlehre vorgestellt. Der Satz formuliert ein Kriterium für die Kompaktheit metrischer Räume.

Formulierung des Satzes

In metrischen Räumen ist die Existenz von Cauchy-Teilfolgen in Folgen gleichbedeutend mit der Totalbeschränktheit des zugrundeliegenden Raums.

Literatur

• Felix Hausdorff: Felix Hausdorff. Gesammelte Werke. Band III. Mengenlehre (1927, 1935); Deskriptive Mengenlehre und Topologie. Herausgegeben von U. Felgner, H. Herrlich, M. Hušek, V. Kanovei, P. Koepke, G. Preuß, W. Purkert und E. Scholz. Springer-Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76806-7. 

• Mark A. Najmark: Normierte Algebren. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt / Main 1990, ISBN 3-8171-1001-4. 

• Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts [u. a.] 1970. 

• Klaus Floret - Joseph Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume (= Lecture Notes in Mathematics. Band 56). Springer Verlag, Berlin [u. a.] 1968, ISBN 3-540-04226-1. 

Fortsetzungssatz von Dugundji

Der Fortsetzungssatz von Dugundji (engl. Dugundji extension theorem oder Dugundji extension formula) ist ein mathematischer Lehrsatz, der angesiedelt ist im Übergangsfeld zwischen Allgemeiner Topologie und der Theorie der topologischen Vektorräume. Er geht auf eine wissenschaftliche Publikation des US-amerikanischen Mathematikers James Dugundji aus dem Jahre 1951 zurück und ist direkt verknüpft mit dem Satz von Tietze-Urysohn über die Fortsetzung stetiger Abbildungen normaler Räume, von dem er in gewissem Sinne eine Verallgemeinerung darstellt.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:

Gegeben seien ein metrischer Raum $X$ und darin eine abgeschlossene Teilmenge $A\subseteq X$ sowie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum $L$.

Dann existiert zu jeder stetigen Abbildung $f\colon A\rightarrow L$ eine stetige Fortsetzung auf $X$, also eine stetige Abbildung $F\colon X\rightarrow L$ mit $F|_{A}=f$, welche so beschaffen ist, dass der Bildbereich $F(X)$ von der konvexen Hülle von $f(A)$ umfasst wird.

In etwas abgewandelter, aber gleichwertiger Form lässt sich der Fortsetzungssatz von Dugundji auch so darstellen:

Gegeben seien ein metrischer Raum $X$ und darin eine abgeschlossene Teilmenge $A\subseteq X$ sowie ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum $L$ und darin eine konvexe Teilmenge $K\subseteq L$ . Weiterhin sei $f\colon A\rightarrow K$ eine stetige Abbildung.

Dann besitzt $f$ eine stetige Fortsetzung $F\colon X\rightarrow K$.

Einordnung des Satzes

Der Tietze-Urysohnsche Fortsetzungssatz garantiert für normale topologische Räume allein die Existenz einer stetigen Fortsetzung in dem Fall, dass der Wertebereich $K$ der zugrundeliegenden stetigen Abbildung $f\colon A\rightarrow K$ ein aus Intervallen von $\mathbb {R}$ zusammengesetzter Produktraum, etwa ein ${\mathbb {R} }^{n}$, ist. Der Fortsetzungssatz von Dugundji liefert nun eine erhebliche Ausweitung dieser Aussage, die jedoch erst dadurch möglich wird, dass statt eines normalen topologischen Raums $X$ ein metrischer Raum $X$ zugrundegelegt wird: Die Verallgemeinerung des Wertebereichs im Satz von Dugundji ist durch eine Spezialisierung des Definitionsbereichs erkauft.

Literatur

Originalarbeiten

• James Dugundji: An extension of Tietze’s theorem. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 1, Nr. 3, 1951, ISSN 0030-8730, S. 353–367 (projecteuclid.org MR0044116 [PDF]). 

Monografien

• Czesław Bessaga, Aleksander Pełczyński: Selected Topics in Infinite-dimensional Topology (= Monografie Matematyczne. Band 58). Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, ISSN 0077-0507 (MR0478168). 
• Karol Borsuk: Theory of Retracts (= Monografie Matematyczne. Band 44). Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warschau 1967 (MR0216473). 
• James Dugundji: Topology. 8. Auflage. Allyn and Bacon, Inc., Boston, MA 1973. 
• Andrzej Granas, James Dugundji: Fixed Point Theory (= Springer Monographs in Mathematics). Springer, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-00173-5 (MR1987179). 
• Karl Heinz Mayer: Algebraische Topologie. Birkhäuser, Basel u. a. 1989, ISBN 3-7643-2229-2 (MR0974296). 
• Horst Schubert: Topologie (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 

Weblinks

• Originalarbeit von Dugundji

Einzelnachweise

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KKKategorie:Satz (Mathematik)|Dugundji, Fortsetzungssatz von]]

KKKategorie:Mengentheoretische Topologie]]

KKKategorie:Topologischer Vektorraum]]

Lemma von Sperner

Das Lemma von Sperner, oft Spernersches Lemma genannt, englisch Sperner’s Lemma, ist ein mathematisches Resultat aus dem Teilgebiet der Topologie. Es geht zurück auf den deutschen Mathematiker Emanuel Sperner, der es im Jahr 1928 veröffentlicht hat. Die Bedeutung des Lemmas liegt darin, dass mit seiner Hilfe – und damit lediglich mittels elementarer kombinatorischer Methoden – eine ganze Anzahl wichtiger mathematischer Lehrsätze zu beweisen sind, wie der brouwersche Fixpunktsatz und verwandte Resultate oder auch der Satz von der Invarianz der offenen Menge und nicht zuletzt der Pflastersatz von Lebesgue.

Begrifflichkeit im Zusammenhang

Im Folgenden wird durchgängig ein euklidischer Raum $V$ der endlichen Dimension $m\in \mathbb {N}$ über dem Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen zugrundegelegt.

Simplex

Bildet man in $V$ zu gegebenen $n+1$ affin unabhängigen Punkten $x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}$ ($n\in \mathbb {N} ,n\leq m$) die konvexe Hülle dieser Punkte, so erhält man das n-Simplex $\Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})\subset V$. Die $x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}$ heißen die Eckpunkte oder Ecken des zugehörigen n-Simplexes und $n$ seine Dimension. Im Folgenden wird für die Menge $\{x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\}$ der Eckpunkte des n-Simplexes $\Delta$ auch $E(\Delta )$ geschrieben.

Seite eines Simplexes

Bildet man für eine Teilmenge $\{x_{i_{0}},\,\ldots ,\,x_{i_{r}}\}\subseteq \{x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\}$ mit $0\leq i_{1}<\dots <i_{r}\leq n$ in gleicher Weise die konvexe Hülle, so erhält man ein Untersimplex ${\Delta }^{*}=\Delta ({x_{i_{0}},\,\ldots ,\,x_{i_{r}}})\subseteq \Delta$, welches man als (r-dimensionale) Seite von $\Delta$ bezeichnet.

Simplizialer Komplex und Eckenmenge

Ein (endlicher) simplizialer Komplex in dem euklidischen Raum $V$ ist eine Familie ${\mathcal {K}}$ von Simplexen von ${\mathcal {V}}$ mit folgenden Eigenschaften:

1. Mit jedem Simplex ${{\Delta }^{*}}\in {\mathcal {K}}$ gehört auch jede Seite von ${{\Delta }^{*}}$ zu ${\mathcal {K}}$.
2. Der Schnitt ${{\Delta }^{*}}_{1}\cap {{\Delta }^{*}}_{2}$ zweier Simplexe von ${{\Delta }^{*}}_{1},\,{{\Delta }^{*}}_{2}\in {\mathcal {K}}$ ist leer oder gemeinsame Seite beider Simplexe ${{\Delta }^{*}}_{1},\,{{\Delta }^{*}}_{2}$.
3. ${\mathcal {K}}$ ist eine endliche Menge.

Die Familie der Seiten eines n-Simplexes $\Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})\subset V$ bildet stets einen endlichen simplizialen Komplex.

Bildet man die Vereinigungsmenge $E=E({\mathcal {K}})=\bigcup _{{{\Delta }^{*}}\in {\mathcal {K}}}E({\Delta }^{*})$, so erhält man die Eckenmenge von ${\mathcal {K}}$, nämlich die Menge aller Eckpunkte der in ${\mathcal {K}}$ vorkommenden Simplexe.

Polyeder und Triangulation

Die Vereinigungsmenge $\bigcup {\mathcal {K}}$, gebildet über alle Simplexe eines simplizialen Komplexes ${\mathcal {K}}$, nennt man das zu ${\mathcal {K}}$ gehörige Polyeder und ${\mathcal {K}}$ seine Triangulation. Man sagt dann, das Polyeder werde durch ${\mathcal {K}}$ trianguliert. Da hier vorausgesetzt ist, dass ${\mathcal {K}}$ eine endliche Familie ist, handelt es sich bei einem solchen Polyeder stets um eine kompakte Teilmenge des zugrundeliegenden euklidischen Raumes $V$.

Seitpunkt und mittlerer Punkt

Ein Punkt $x\in \Delta$ heißt ein Seitpunkt von $\Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})$, wenn $x$ in einer echten Seite $\Delta ({x_{i_{0}},\,\ldots ,\,x_{i_{r}}})\subset \Delta$ (mit $\{x_{i_{0}},\,\ldots ,\,x_{i_{r}}\}\subset \{x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\}$) enthalten ist. Andernfalls wird er als mittlerer Punkt von $\Delta$ bezeichnet.

$x\in \Delta$ ist also ein mittlerer Punkt von $\Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})$ dann und nur dann, wenn seine bzgl. der Eckpunkte $x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}$ gebildeten baryzentrischen Koordinaten alle größer $0$ sind. Dementsprechend ist $x\in \Delta$ ist genau dann ein Seitpunkt von $\Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})$, wenn eine seiner bzgl. $x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}$ gebildeten baryzentrischen Koordinaten gleich $0$ ist.

Trägersimplex

Für einen Punkt $x\in \Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})$ existiert stets exakt eine Seite ${\Delta }_{x}\subseteq \Delta$ , von welcher $x$ ein mittlerer Punkt ist. Es ist ${\Delta }_{x}$ die Seite kleinster Dimension unter all den Seiten $\Delta ({x_{i_{0}},\,\ldots ,\,x_{i_{r}}})\subseteq \Delta$ , in denen $x$ enthalten ist. Dieses ${\Delta }_{x}$ nennt man kurz das Trägersimplex von $x\,$ (in $\Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})$).

Die zu den Ecken dieser Seite ${\Delta }_{x}$ gehörige Indexmenge wird im Folgenden mit   $I_{x}$   bezeichnet.

Spernersche Eckpunktbezifferung und komplette Simplexe

Ist ein n-Simplex $\Delta =\Delta ({x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}})\subset V$ fest vorgegeben und dazu ein (endlicher) simplizialer Komplex ${\mathcal {K}}$ , welcher dieses Simplex trianguliert, und ist weiter $f\colon \,E\to \{0,\,\ldots ,n\}$ eine Abbildung, welche die Bedingung $f(e)\in I_{e}$ für jede ${\mathcal {K}}$-Ecke $e\in E=E({\mathcal {K}})$ erfüllt (Sperner-Bedingung), so bezeichnet man ein solches $f\colon \,E\to \{0,\,\ldots ,n\}$ als Eckpunktbezifferung oder Spernersche Eckpunktbezifferung (engl. Sperner labelling).

Für jedes Simplex ${{\Delta }^{*}}\in {\mathcal {K}}$ setzt man dann $f[{{\Delta }^{*}}]=\{f(e):e\in E({{\Delta }^{*}})\}$.

Es ist offenbar stets $f[{{\Delta }^{*}}]\subseteq \{0,\,\ldots ,n\}$. Gilt sogar $f[{{\Delta }^{*}}]=\{0,\,\ldots ,n\}$, so bezeichnet man ein solches Simplex ${{\Delta }^{*}}\in {\mathcal {K}}$ als komplett.

Formulierung des Spernerschen Lemmas

Das Spernersche Lemma kann man formulieren wie folgt:

Für jede Spernersche Eckpunktbezifferung ist die Anzahl der kompletten Simplexe ungerade. Insbesondere hat jede Spernersche Eckpunktbezifferung stets mindestens ein komplettes Simplex.

Anwendung des Lemmas: Der Pflastersatz von Lebesgue

Zu den bedeutenden topologischen Sätzen, welche mit dem Spernerschen Lemma zu gewinnen sind, zählt als einer der wichtigsten der Pflastersatz von Lebesgue, der eine wesentliche Rolle in der Dimensionstheorie spielt:

Es seien $n\in \mathbb {N}$ sowie $\Delta \subset \mathbb {R} ^{n}$ ein gegebenes n-Simplex mit den Eckpunkten $x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}$. Für $j=0,1,\ldots ,n$ sei ${\Delta }_{j}$ die dem Eckpunkt $x_{j}$ in $\Delta$ gegenüberliegende $(n-1)$-dimensionale Seite, also diejenige Seite, deren Eckenmenge aus allen $x_{k}\neq x_{j}$ besteht.

Weiter sei eine endliche Menge ${\mathcal {A}}$ von abgeschlossenen Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ gegeben, welche $\Delta$ überdecken.

Dann gilt:

Gibt es zu jedem $A\in {\mathcal {A}}$ mindestens ein ${\Delta }_{j(A)}$ derart, dass die Schnittmenge $A\cap {\Delta }_{j(A)}$ die leere Menge ist, so gibt es in ${\mathcal {A}}$ stets $n+1$ Mengen, die eine nichtleere Schnittmenge haben.

Korollar

Der Lebesgue'sche Pflastersatz zieht eine direkte Folgerung nach sich. Sie besagt:

Für $n\in \mathbb {N}$ und für jedes beliebige n-Simplex $\Delta \subset \mathbb {R} ^{n}$ gibt es stets ein $\epsilon >0$ mit folgender Eigenschaft:

Ist ${\mathcal {A}}$ eine endliche Menge abgeschlossener Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$, die $\Delta$ überdecken, und hat jedes $A\in {\mathcal {A}}$ einen Durchmesser $\operatorname {diam} (A)<\epsilon$, so gibt es in ${\mathcal {A}}$ stets $n+1$ Mengen mit nichtleerer Schnittmenge.

Literatur

Artikel

• B. Knaster, K. Kuratowski, S. Mazurkiewicz: Ein Beweis des Fixpunktsatzes für n-dimensionale Simplexe. In: Fund. Math. Band 14, 1929, S. 132–137. 
• Emanuel Sperner: Neuer Beweis für die Invarianz der Dimensionszahl und des Gebietes. In: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. Band 6, 1928, S. 265–272. 
• Francis Edward Su: Rental Harmony: Sperner’s Lemma in Fair Division. In: Amer. Math. Monthly. Band 106, 1999, S. 930–942. 

Monographien

• Wolfgang Franz: Topologie I: Allgemeine Topologie (= Sammlung Göschen. Band 1181). Walter de Gruyter & Co., Berlin 1968, S. 132–135 (MR0264578). 
• Egbert Harzheim: Einführung in die kombinatorische Topologie. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X. 
• Michael Henle: A Combinatorial Introduction to Topology. überarbeitete Auflage. Dover Publications, New York 1994, ISBN 0-486-67966-7 (Erstausgabe: 1979). 
• Erich Ossa: Topologie. Eine anschauliche Einführung in die geometrischen und algebraischen Grundlagen. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0874-5. 
• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975. 
• Michael J. Todd: The computation of fixed points and applications (Lecture notes in economics and mathematical systems 124). Springer, Berlin 1976, ISBN 3-540-07685-9. 

Weblinks

• Video: Das Spernersche Lemma. Institut für den Wissenschaftlichen Film (IWF) 1983, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.3203/IWF/D-1504.

Einzelnachweise

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