Cardanische Formeln

Die Cardanischen Formeln oder auch Cardanoschen Formeln sind Formeln zur Lösung kubischer Gleichungen (Gleichungen 3. Grades). Damit werden alle Nullstellen eines gegebenen kubischen Polynoms berechnet. Die Formeln wurden, zusammen mit Lösungsformeln für quartische Gleichungen (Gleichungen 4. Grades), erstmals 1545 von dem italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano in seinem Buch Ars magna veröffentlicht. Entdeckt wurde die Lösungsformel für die reduzierten kubischen Gleichungen von Nicolo Tartaglia; laut Cardano sogar noch früher durch Scipione del Ferro. Von Cardano selbst stammt die Methode zur Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades auf den Spezialfall, dass der Koeffizient für $x^{2}$ Null ist.

Die cardanischen Formeln waren eine wichtige Motivation für die Einführung der komplexen Zahlen, denn schon Cardano konnte zeigen, dass seine Formel im casus irreducibilis (lat.: „nicht zurückführbarer Fall“) drei Ausdrücke liefert, in denen Quadratwurzeln negativer Zahlen unausweichlich schienen, obschon Cardano die drei ganzzahligen Lösungen der Gleichung kannte. Nichtsdestoweniger konnte Cardano zeigen, dass diese unwirklichen Ausdrücke die Gleichung tatsächlich lösen, wenn man nur mit ihnen auf formal korrekte Art rechnete. Anders gewendet: Die Cardanische Formel führte über rätselhaft unwirkliche Zahlen auf Ausdrücke, die formal korrekte Lösungen waren, und daher mit den bekannten reellen Lösungen übereinstimmen mussten. Wie aber ließ sich das verstehen und veranschaulichen? So wird verständlich, weshalb dieser Fall ein so starker Antrieb war, für die imaginären Ausdrücke ein anschauliches Verständnis zu gewinnen.

Franciscus Vieta gab um 1600 eine Lösung des casus irreducibilis, die anstelle der „sophistischen“ Zahlen nur reelle Zahlen enthält. Dieser Vorteil wird jedoch erkauft durch den Einsatz trigonometrischer Funktionen anstelle einfacher Radikale.

Cardano betrachtete auch biquadratische (quartische) Gleichungen – also Gleichungen vierten Grades – und konnte ihre Lösung mit Hilfe einer kubischen Resolvente auf die kubische Gleichung zurückführen.

Die cardanischen Formeln besitzen heute für eine rein numerische, d. h. angenäherte Lösung kubischer Gleichungen kaum noch eine praktische Bedeutung, da sich die Lösungen näherungsweise bequemer durch das Newton-Verfahren mittels elektronischer Rechner bestimmen lassen. Sie sind jedoch für die im Verlaufe der Mathematikgeschichte vorgenommenen Versuche, eine (exakte, „algebraische“) Auflösung in Form von Radikalen zu finden, von erheblicher Bedeutung und gaben so der Entwicklung der Algebra, deren Ausgangspunkt die Betrachtung der „höheren Gleichungen“ war, entscheidende Impulse. Sie fand einen Höhepunkt in dem Nachweis, dass es – entgegen lang gehegter Erwartungen – keine entsprechenden Formeln für Gleichungen fünften und höheren Grades gibt. Die für diesen Nachweise gewonnene Galoistheorie vermag denn auch den Hintergrund der „Rechentricks“ der Cardanischen Formeln zu beleuchten.

Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades

Die allgemeine Gleichung dritten Grades

$F_{A}(x):=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0$		(AllgGlg)

mit reellen oder komplexen Zahlen $A$, $B$, $C$, $D$ und $A\neq 0$ kann durch Division durch $A$ zunächst in die Normalform

$F_{n}(x):=x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$		(NrmGlg)

gebracht werden mit

$a={\tfrac {B}{A}}$, $b={\tfrac {C}{A}}$ und $c={\tfrac {D}{A}}$.		(Red-abc)

Mit Hilfe der Substitution $x=z-{\tfrac {a}{3}}$ wird in der Normalform das quadratische Glied beseitigt, und man erhält die reduzierte Form

$F_{r}(z):=z^{3}+pz+q=0,$		(RedGlg)

mit den Koeffizienten

$p=b-{\frac {a^{2}}{3}}={\frac {3AC-B^{2}}{3A^{2}}}$		(Red-p)

und

$q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c={\frac {-9ABC+27A^{2}D+2B^{3}}{27A^{3}}}$.		(Red-q)

Die Lösung der Gleichung zu finden ist äquivalent mit der Frage nach den Nullstellen der jeweils angegebenen Polynomfunktionen $F_{A},F_{n}$ bzw. $F_{r}$.

Formulierung als Aufgabe der modernen Algebra

Aus Sicht der modernen Algebra geht es bei der Lösung einer allgemeinen Gleichung um das Auffinden von Nullstellen eines Polynoms bzw. einer Polynomfunktion in einem geeigneten Erweiterungsring bzw. Erweiterungskörper. Die Cardanischen kubischen Formeln behandeln Polynome dritten Grades.

Ist nämlich $f(X)=\sum _{i=0}^{n}=a_{0}\,X^{n}+a_{1}\,X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\,X+a_{n}\in R[X]=R^{(\mathbb {N} _{0})}$ ein Polynom über dem Integritätsbereich $R$, so liefert der Einsetzungshomomorphismus $R[X]\to \operatorname {Abb} (S\to S)$ für einen Integritätsring $S\supset R$ eine Funktion $f\colon S\to S,\,s\mapsto f(s)$, die meist mit demselben Buchstaben benannt wird, wie das Polynom. Beispielsweise kann für $S$ der Quotientenkörper von $R$ gewählt werden oder eine Körpererweiterung desselben. Gemäß allgemeiner Körpertheorie bietet sich dafür der Zerfällungskörper des Polynoms $f$ an, der per Definition alle Nullstellen des Polynoms $f(X)$ und damit alle Lösungen der Gleichungen $f(x)=0$ enthält.

Will man den Versuch unternehmen, der mathematikhistorischen Wirklichkeit mit modernen Begriffen nahezukommen, so wäre $R=\mathbb {Z}$ zu wählen, weil Cardanos Zeit in aller Regel von ganzzahligen Polynomen ausging, und für $S$ erhoffte sich seine Zeit, die Nullstellen (Lösungen) in einer algebraische Erweiterung des Quotientenkörpers $\mathbb {Q} =\operatorname {Quot} (\mathbb {Z} )$ zu finden, die durch Adjunktion aller „sinnvollen“ quadratischen und kubischen Wurzelausdrücke (Radikale) entsteht. Cardano musste jedoch erkennen, dass seine allgemeine Formel unausweichlich „sinnlose“ Wurzelausdrücke (Radikale aus negativen Zahlen, er nannte sie radices fictae im Gegensatz zu den radices verae, den Wurzeln aus positiven Zahlen) ins Spiel brachte, und dies sogar auch in dem Falle, dass Cardano die ganzzahligen Lösungen im Voraus kannte (siehe „casus irreducibilis“). Um den Wechsel vom 18. zum 19. Jahrhundert gelang es, jene „sinnlosen, eingebildeten“ Wurzelausdrücke mit einer überzeugenden geometrischen Vorstellung zu verbinden: Die imaginäre Zahlen erschienen befreit von allem mystischen Nebel. Nur wenig später wurde der Beweis der ernüchternden Tatsache erbracht, dass für Polynome höheren als vierten Grades ein algebraischer Erweiterungskörper, der alle Wurzelausdrücke (auch die ehemals sinnlosen) adjungiert, nicht ausreicht, um die Nullstellen im Allgemeinen zu benennen.

Im Rahmen dieses Artikels genügt es, Cardanos gedankliche Ausgangssituation vereinfachend mit $R=\mathbb {R} =S$ gemäß einem intuitiven Verständnis zu umschreiben: Die axiomatischen Grundlagen der reellen Zahlen wurden erst später gelegt („Dedekindscher Schnitt“), und Begriffe aus der Mengenlehre, geschweige denn algebraische Strukturen, waren noch nicht entwickelt. Der Casus irreducibilis zeigte Cardano, dass der reelle Zahlenstrahl „irgendwie zu schmal“ ist.

Der (nach dem Fundamentalsatz der Algebra) – bis auf Isomorphie – einzig mögliche endliche Erweiterungskörper $\mathbb {C}$ von $\mathbb {R}$, der sämtliche Nullstellen eines jeden reellen Polynoms enthält, keine Ordnungsrelation zulässt und in dem Quadrate negativ sein können, erschien noch „irreal“, da es an einer Anschauung für ihn mangelte. Für Cardanos Zeit sei also vereinfachend $R=\mathbb {R} =S$ für ein Polynom dritten Grades $n=\deg f=3$ vorausgesetzt.

Die obige Reduktion eines Polynoms beliebigen Grades $n=\deg f$ durch Tilgung des zweithöchsten Potenz gelingt bei beliebigem Grad aufgrund der Binomialformeln: Man substituiere $\textstyle X\rightsquigarrow Z:=X-{\frac {a_{1}}{na_{0}}}$. Diese Substitution verschiebt lediglich die Nullstellen um den konstanten Summanden $\textstyle {\frac {a_{1}}{na_{0}}}$ und lässt daher die Diskriminante unverändert, wie im folgenden Abschnitt zur Bestimmung der Diskriminante dargelegt wird.

Für diese Substitution muss im Allgemeinen vorausgesetzt werden, dass die Charakteristik von $R$ kein Teiler von $n$ ist und dass $na_{0}$ in $R$ oder wenigstens in $S$ invertierbar sind. Dies ist mit er obigen Wahl $S=\mathbb {R}$ (und mithin $\mathbb {Z} \subset R\subset S$) sichergestellt. Trifft diese Voraussetzung nicht zu, so sei auf den Abschnitt über die Koeffizientenringe verwiesen.

Bestimmung der Diskriminante

Dies Diskriminante ist ein Kennzahl, anhand derer -- wie das zugrundeliegende lateinische Wort besagt -- Fälle unterscheidbar sind. Sie wird im Rahmen der Algebra definiert und vielfach verwendet. Im Kontext von Gleichungen einer Variablen (Polynomen in einer Unbestimmten) zeigt ihr Verschwinden an, ob alle Nullstellen einfach sind oder ob eine mehrfache Nullstelle vorliegt. Im Kontext der kubischen Gleichungen lässt sich an der Diskriminante ablesen, welcher der drei möglichen Fälle vorliegt, wie später deutlich wird.

Das Differenzenprodukt $(z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})$ über alle Nullstellen $z_{1},z_{2},z_{3}$ der kubischen Gleichung wechselt bei jeder Vertauschung zweier Nullstellen (also bei jeder Transposition) sein Vorzeichen. Die Diskriminante der reduzierten kubischen Gleichung tut es nicht, denn sie ist definiert als das Quadrat des Differenzenproduktes über alle Nullstellen $z_{1},z_{2},z_{3}$ der kubischen Gleichung $z^{3}+pz+q=0,$ bzw. des kubischen Polynoms $F_{r}(Z)=Z^{3}+pZ+q\in K[Z]$ über dem in Rede stehenden Körper $K$, für den man sich $K=\mathbb {R}$ denken mag:

$\Delta :=\left((z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})\right)^{2}$.

Die beiden Gleichungen bzw. die zugehörigen Polynome

$F_{n}(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$		(NrmGlg)

und

$F_{r}(z)=z^{3}+pz+q=0,$		(RedGlg)

haben also dieselbe Diskriminante, weil die Substitution $x=z-{\tfrac {a}{3}}$ lediglich eine Konstante addiert, die bei der Bildung des Differenzproduktes getilgt wird.

Die Diskriminante $\Delta :=\Delta (F_{r})$ der reduzierten Gleichung lässt sich – auch ohne Kenntnis der Nullstellen – durch einen Kniff leicht errechnen: Wegen $z^{3}+pz+q=(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{3})$ folgt (nach Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich) für die elementarsymmetrischen Polynome in den Nullstellen

$z_{1}+z_{2}+z_{3}=0$,

$z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}=p$ und

$z_{1}z_{2}z_{3}=-q$.

Da nun die Diskriminante symmetrisch in den Nullstellen $z_{i}$ ist, lässt sie sich nach dem Hauptsatz über symmetrische Polynome als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen der Nullstellen, d. h. der Polynomkoeffizienten $p$ und $q$ darstellen. Da sie ein homogenes Polynom vom (Total-)Grad $6$ (in den drei Wurzeln $z_{i}$, also eine ternäre Form vom Grad 6) ist, $p$ eine Form vom Grade $2$ (also eine ternäre quadratische Form) und $q$ eine Form vom Grade $3$ (eine ternäre kubische Form), muss diese Darstellung der Diskriminante die Gestalt

$\Delta =r\cdot p^{3}+s\cdot q^{2}$ mit Konstanten $r,s\in K$ haben.

Diese Konstanten lassen sich anhand von leicht zu berechnenden Sonderfällen bestimmen:

• Zum Sonderfall $p=-1$ und $q=0$ gehört die Gleichung $z^{3}-z=0$ mit den Wurzeln $z_{1}=0,z_{2}=1,z_{3}=-1$, so dass $-r=\Delta :=\left((z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})\right)^{2}=\left((-1)(+1)(1+1)\right)^{2}=(-2)^{2}=4$.
• Zum Sonderfall $p=0$ und $q=-1$ gehört die Gleichung $f(z):=z^{3}-1=0$ mit den dritten Einheitswurzeln $z_{i}=\varepsilon ^{i}$ als Nullstellen, wobei also insbesondere $z_{3}=1$ und $\varepsilon$ eine primitive dritte Einheitswurzel bezeichne (bspw. $\varepsilon =\mathrm {e} ^{\frac {2\pi \mathrm {i} }{3}}$, so dass $\varepsilon -\varepsilon ^{2}=\mathrm {i} {\sqrt {3}})$. Unter Berücksichtigung der Beziehungen der dritten Einheitswurzeln untereinander ($\varepsilon +\varepsilon ^{2}+1=0$ und $\varepsilon ^{3}=1$) bestätigt man so $s=\Delta :=\left((z_{1}-z_{2})(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{3})\right)^{2}{\stackrel {!}{=}}-27$. – Einfacher wird die Rechnung mit Hilfe einer allgemeinen Eigenschaft der Diskriminante $\Delta (f)$ eines beliebigen normierten Polynoms vom Grade $\deg f=n$ mit den Nullstellen $z_{1},\dots ,z_{n}$ in einem Zerfällungskörper, welche die (auf der $K$-Algebra $K[Z]$ definierte) Derivation („algebraische“ Ableitung) $f'(X)$ nutzt: Aufgrund der Eigenschaften einer Derivation (Linearität, Produktregel, Kettenregel) gilt nämlich $\Delta (f)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\prod _{i=1}^{n}f'(z_{i})$. Insbesondere für $f(z)=z^{3}-1$ ist $f'(z)=3z^{2}$, und es folgt wie gewünscht $s=\Delta (f)=(-1)^{3}\cdot 3\,\zeta ^{2}\cdot 3\,\zeta \cdot 3=-3^{3}=-27$. Die Derivation ist im Falle $K=\mathbb {R}$ mit der bekannten Ableitung von Polynomfunktionen identifizierbar.

Also ist die Diskriminante sowohl der reduzierten Gleichung als auch der Normalform gegeben durch

$\Delta =\Delta (F_{n})=\Delta (F_{r})=-4\,p^{3}-27\,q^{2}\,,$		(kubDiscr)

wobei für $\Delta (F_{n})$ die Beziehungen zwischen den Koeffizienten $a,b,c$ von $F_{n}$ und $p,q$ von $F_{r}$ zu nutzen sind, also die Substitionsgleichungen (Red-p) und (Red-q).

Die Diskriminante normierter quadratischer Polynome ist gegeben durch

$\Delta (Z^{2}+pZ+q)=\left(2{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\right)^{2}=p^{2}-4q\,,$		(quDiscr)

wie man durch Einsetzen anhand der Mitternachtsformel bestätigt.

Alternative Rechnung

Vorbemerkung zum Zusammenhang zwischen Diskriminante und Resultante

Für die Resultante $\operatorname {R} (f,g)$ zweier Polynome $f(X),g(X)\in R[X]$ mit den Graden $\deg f=n$ und $\deg g=m$, den Leitkoeffizienten $a_{0}$ bzw. $b_{0}$ und den gegebenenfalls mehrfach aufgeführten Nullstellen $x_{i},\,i=1,\dots ,n$ bzw. $y_{j},\,j=1,\dots ,m$ gilt:

$(-1)^{nm}\,\operatorname {R} (g,f)=R(f,g):=a_{0}^{m}b_{0}^{n}\prod _{i,j}(x_{i}-y_{j})=a_{0}^{m}\prod _{i}g(x_{i})=(-1)^{nm}\,b_{0}^{n}\prod _{j}f(y_{j})$

Die Diskriminante des Polynoms ist definiert wie folgt:

$\operatorname {\Delta } (f)=a_{0}^{2(n-1)}\prod _{1\leq i<k\leq n}(x_{i}-x_{k})^{2}$

Der Normierungsfaktor enthält die minimale Potenz des Leitkoeffizienten $a_{0}$ von $f(x)$ mit der Eigenschaft, dass ganzzahlige Polynome ganzzahlige Diskriminanten haben.

Wenn man $g:=f'$ setzt und folglich die $m=n-1$ Nullstellen von $f'$ mit $y_{j}$ bezeichnet, so gilt folgende Beziehung zur Resultante:

${\begin{alignedat}{2}a_{0}\,\operatorname {\Delta } (f)&=\quad (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot \operatorname {R} (f,f')&=&\quad (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot a_{0}^{n-1}\prod _{1\leq i\leq n}f'(x_{i})\\&=\quad (-1)^{{\frac {n(n-1)}{2}}+n(n-1)}\cdot \operatorname {R} (f',f)&=&\quad (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot (na_{0})^{n}\prod _{1\leq j\leq n-1}f(y_{j})\end{alignedat}}$

Anwendung auf den vorliegenden Fall

Gemäß der Vorbemerkung gilt, wenn $z'_{1},\dots ,z'_{n-1}$ die Nullstellen der Ableitung $f'(Z)$ des Polynoms $f(Z)=a_{0}Z^{3}+a_{1}Z^{2}+a_{2}Z+a_{3}$ bezeichnen:

$a_{0}\cdot \operatorname {\Delta } (f)=(-1)^{3}\cdot (3\,a_{0})^{3}\cdot \prod _{0\leq j\leq 2}f(z'_{j})=-27\cdot a_{0}^{3}\cdot \prod _{0\leq j\leq 2}f(z'_{j})$

Angewandt auf das reduzierte Polynom $F_{r}(Z)=Z^{3}+pZ+q$, dessen Ableitung $F_{r}'(Z)=3Z^{2}+p$ die beiden Nullstellen $z'_{j}=(-1)^{j}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$ (für $j=0,1$) besitzt, errechnet man:

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {\Delta } (F_{r})&=-27\cdot F_{r}\left({\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\right)\cdot F_{r}\left(-{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\right)=&&\\&=-27\cdot \left({\sqrt {\frac {-p}{3}}}^{3}+p{\sqrt {\frac {-p}{3}}}+q\right)\cdot \left(-{\sqrt {\frac {-p}{3}}}^{3}-p{\sqrt {\frac {-p}{3}}}+q\right)&&\\&=+27\cdot \left(\left({\sqrt {\frac {-p}{3}}}\left({\frac {-p}{3}}+p\right)\right)^{2}-q^{2}\right)&&\\&=+27\cdot \left({\frac {-p}{3}}{\frac {4p^{2}}{9}}-q^{2}\right)&&\\&=-4p^{3}-27q^{2}&&\end{alignedat}}$

Weiter unten befindet sich eine geometrische Veranschaulichung dieser Berechnung anhand des Graphen der kubischen Polynomfunktion.

Anmerkung zum Normierungsfaktor für nicht normierte Polynome

Der gängige Normierungsfaktor $a_{0}^{2(n-1)}$ aus der Definition der Diskriminante für nicht normierte Polynome ($a_{0}\neq 1$) erklärt sich durch folgendes Postulat: Er ist die kleinstmögliche Potenz $a_{0}^{N}$ des Leitkoeffizienten $a_{0}$, so dass die Diskriminante eines ganzzahligen Polynoms ganzzahlig ist. Beachte: Bei $a_{0}\neq 1$ liefern nicht die Koeffizienten $a_{1},\dots ,a_{n}$, sondern die Koeffizienten ${\tfrac {a_{i}}{a_{0}}}\;(i=1,\dots ,n)$ des normierten Polynoms die elementarsymmetrischen Funktionen der Wurzeln.

Veranschaulichung der Fallunterscheidung durch Kurvendiskussion

Es sei vorab bemerkt, dass nach dem Fundamentalsatz der Algebra das betrachtete kubische reduzierte Polynom $F_{r}(Z)=Z^{3}+pZ+q$ im Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen – mit Vielfachheit gezählt! – drei Nullstellen besitzt. Wenn es also weniger als drei reelle Nullstellen gibt, so sind die fehlenden imaginär (komplex mit nicht verschwindendem Imaginärteil).

Für die folgenden Betrachtungen sei vorausgesetzt, dass die Koeffizienten $p,q$ reell sind, so dass die zugehörige Polynomfunktion $F_{r}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;z\mapsto F_{r}(z)$ eine reelle Funktion ist. Die Gleichungstheorie stellte die Frage nach ihren reellen Nullstellen.

Zusammenhang zwischen den Vorzeichen beider Extremwerte, der Anzahl reeller Nullstellen und dem Vorzeichen der Diskriminante Δ und dem Extremwerteprodukt

Vorüberlegung anhand der nebenstehenden Graphik

Zunächst beachte, dass es sich bei der reellen Polynomfunktion $F_{r}(z)=z^{3}+pz+q=z(z^{2}+p)+q$ um die durch Addition des reellen absoluten Gliedes $q$ verschobene, ungerade Polynomfunktion $F_{\circ }(z):=z(z^{2}+p)$ handelt, welche die symmetrisch um den Ursprung liegenden Nullstellen $-{\sqrt {-p}},0,{\sqrt {-p}}$ besitzt:

• Bei negativem $p$ sind diese reell.
• Bei positivem $p$ wären sind sie rein-imaginär, wenn man die Polynomfunktion über $\mathbb {C}$ betrachtete. Das Polynom $F_{\circ }$ zerfällt in diesem Falle erst über $\mathbb {C}$ in Linearfaktoren. Es hat daher nur die eine reelle Nullstelle $z=0$.
• Strebt $p$ von unten gegen Null („$\,p\nearrow 0\,$“), so streben die linke und die rechte reelle Nullstelle $\pm {\sqrt {-p}}$ gegen die mittlere Nullstelle $z=0$, und damit auch die zwischen ihnen liegenden lokalen Extremwerte, bis sie im Grenzfall $p=0$ alle drei an der Stelle $z=0$ verschmelzen: Diese ist dann dreifache Nullstelle und Sattelstelle von $F_{\circ }(z)=z^{3}$.
• Die Ableitungen sind identische Polynomfunktíonen $F_{r}'=F_{\circ }'$, weil das absolute Glied $q$ als Konstante verschwindet. Sie haben deshalb gleiche Extremstellen und Wendestellen. Ihre Extremwerte und Wendewerte unterscheiden sich natürlich um das absolute Glied $q$.
• Es sei nun $p\leq 0$. Dann erkennt man mit Methoden einfacher Kurvendiskussion:
  • Die lokalen Extremstellen von $F_{\circ }$ liegen in den Nullstellen der Ableitung $F_{\circ }'(z)=3z^{2}+p$, also an den Stellen $\textstyle z'_{j}=(-1)^{j}{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\;(j=1,2)$. Die Polynomfunktion $F_{r}$ hat dort die jeweiligen Werte $\textstyle F_{r}(z'_{j})=(-1)^{j}\cdot {\sqrt {\frac {-p}{3}}}\left({\frac {-p}{3}}+p\right)+q=(-1)^{j}\cdot {\frac {2p}{3}}{\sqrt {\frac {-p}{3}}}+q=(-1)^{j}\cdot {\sqrt {\frac {-4p^{3}}{27}}}+q$.
  • An den lokalen Extremstellen berührt die Tangente die Kurve und liegt waagerecht.
  • Die Addition $F_{r}(z)=F_{\circ }(z)+q$ des absoluten Gliedes $q$ verschiebt diese lokalen Extremstellen nicht, wohl aber die Extrema selbst um den Wert von $q$, der somit den Mittelwert beider lokalen Extrema darstellt.
  • Eine Wendestelle von $F_{\circ }$ und somit auch von $F_{r}$ liegt an der Nullstelle der zweiten Ableitung $F_{\circ }''(z)=F_{r}''(z)=6z$, also bei $z=0$. Die Polynomfunktion $F_{r}$ nimmt dort als Wendewert $F_{r}(0)=q$ den Mittelwert der lokalen Extrema an.
  • Dies gilt auch, wenn beide lokalen Extrempunkte im Wendepunkt zu einem Sattelpunkt verschmelzen (und mithin keine Extrema mehr sind, aber doppelt gewichtet werden): Dann folgt $p=0$, und an der Sattelstelle $z_{S}$ verschwinden erste und zweite Ableitung, während $F_{r}$ dort den Sattelwert $F_{r}(z_{S})=q$ annimmt. Bei $q\neq 0$ hat $F_{r}$ nur eine reelle Nullstelle.
  • Die Tangente in einem Sattelpunkt liegt ebenfalls waagerecht und schneidet die Kurve.
  • Verschwindet hingegen der Sattelwert $q$ (d. h., liegt er auf $x$-Achse), so liegt dort eine dreifache reelle Nullstelle vor! Es sind nämlich mit den lokalen Extremstellen auch die beiden äußeren reellen Nullstellen $z_{E,1,2}$ in dieser einen reellen Nullstelle $z=0$ verschwunden. (Wären sie es nicht, müsste es dazwischen nach dem Extremwertsatz lokale Extrema geben). Mit anderen Worten: Liegt ein verschwindender Sattelwert vor, so verschwindet er im Ursprung, liefert eine dreifache Nullstelle und es gilt $p=0=q$.
  • Solange der reelle Koeffizient $q$ im reellen offenen Intervall $\textstyle \left]-{\sqrt {\frac {-4p^{3}}{27}}},{\sqrt {\frac {-4p^{3}}{27}}}\right[$ liegt, „überquert“ bei seiner Addition keine der beiden lokalen Extrempunkte die $x$-Achse und berührt sie nicht einmal, so dass die Polynomfunktion $F_{r}(z)$ ihre drei reellen Nullstellen behält. Mit anderen Worten: Für $\textstyle q^{2}<{\frac {-4p^{3}}{27}}$ liegen drei reelle Nullstellen vor.
  • Falls $\textstyle q\in \left\{-{\sqrt {\frac {-4p^{3}}{27}}},{\sqrt {\frac {-4p^{3}}{27}}}\right\}$, – falls $q$ also genau einen der Extremwerte annimmt, so kommt eines der beiden lokalen Extrema bei Addition von $q$ auf der $x$-Achse zu liegen, wobei zwei Nullstellen zu einer doppelten Nullstelle verschmelzen. Die dritte reelle Nullstelle wird lediglich verschoben. Mit anderen Worten: Für $\textstyle 27q^{2}=-4p^{3}$ gibt es zwei reelle Nullstellen, deren eine eine doppelte ist.
  • Sobald der reelle Koeffizient $q$ außerhalb des geschlossenen Intervalls $\textstyle \left[-{\sqrt {\frac {-4p^{3}}{27}}},{\sqrt {\frac {-4p^{3}}{27}}}\right]$ liegt, „überquert“ bei Addition von $q$ einer der beiden lokalen Extrempunkte die $x$-Achse, so dass die Polynomfunktion $F_{r}(z)$ zwei reelle Nullstellen verliert, die folglich Imaginäre verschoben werden. Mit anderen Worten: Für $\textstyle q^{2}>{\frac {-4p^{3}}{27}}$ liegt genau eine reelle Nullstellen vor, die anderen beiden sind im Imaginären anzutreffen.

Zusammenfassend ist damit plausibel gemacht: Für $p\leq 0$ lässt sich das Nullstellenverhalten der reellen Polynomfunktion $F_{r}(z)$ am Vorzeichen der Diskriminante $\Delta =-27q^{2}-4p^{3}$ ablesen.

Zugleich erkennt man: Es kommt wesentlich darauf an, ob

• die beiden lokalen Extremwerte nicht verschwinden und dabei gleiches Vorzeichen haben (darunter fällt auch der Fall, dass sie sich in einem Sattelpunkt vereinigen) oder aber
• nicht verschwinden und dabei verschiedenes Vorzeichen haben oder aber
• ob einer von ihnen (oder gar beide) verschwinden.

Bezeichnen $z'_{i}\;(i=0,1)$ die beiden (nicht notwendig verschiedenen) Nullstellen der quadratischen ersten Ableitung $F_{z}'$, so zeigen sich diese drei Fälle also im Vorzeichen des Produkts

$\Pi :=F_{r}(z'_{0})\cdot F_{r}(z'_{1})=\left({\sqrt {\frac {-4p^{3}}{27}}}+q\right)\left(-{\sqrt {\frac {-4p^{3}}{27}}}+q\right)=q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}=-{\frac {\Delta }{27}}$

der (potenziellen) Extremwerte. Der Fall einer doppelten Nullstelle $z'_{0}=z'_{1}$ von $F_{z}'$ liefert eine Sattelstelle und ist in dieser Formulierung enthalten.

Damit wird glaubwürdig, dass die oben plausibilisierte Fallunterscheidung anhand des Vorzeichens der Diskriminante auch für beliebiges reelles $p$ gilt. Überdies erhält die vorstehende alternative Berechnung der Diskriminante eine geometrische Anschauung. Die folgende Tabelle fasst all dies zusammen.

Fallunterscheidung aufgrund der Diskriminante – veranschaulicht per Kurvendiskussion

–	Fall 1	Fall 2	Fall 3 Casus irreducibilis
Grafisches Fallkriterium	Die $x$-Achse bildet an einer Stelle eine Tangente an die Kurve.	Die $x$-Achse trifft die Kurve in nur einem Punkt und ist dort keine Tangente an die Kurve.	Die $x$-Achse trifft die Kurve in mehr als nur einem Punkt und ist in keinem dieser Punkte Tangente.
Schlussfolgerung für Ableitungen	An dieser Tangentialstelle verschwinden die erste Ableitung $F_{r}'$ und die Funktion $F_{r}$ selbst.	Dieser eine Punkt ist also ein Schnittpunkt, in dem die erste Ableitung $F_{r}'(z)=3z^{2}+p$ nicht verschwindet. Die beiden Nullstellen dieser quadratischen Polynomfunktion müssen sich also an anderer Stelle befinden. Fall c: Die Ableitung $F_{r}'$ besitzt zwei verschiedene reelle Nullstellen, an welchen die zweite Ableitung $F_{r}''$ unterschiedliches Vorzeichen hat. Fall d: Die Ableitung $F_{r}'$ besitzt eine doppelte reelle Nullstelle, an welcher die zweite Ableitung $F_{r}''$ verschwindet.	Es muss sich um drei Schnittpunkte handeln: Die Kurve schneidet die $x$-Achse dreimal, und an diesen drei Stellen verschwindet die Funktion $F_{r}$, nicht jedoch die erste Ableitung $F_{r}'$. Damit ist schon jetzt ist klar, dass sich an diesen drei Stellen drei verschiedene reelle Nullstellen befinden.
Lage potenzieller lokaler Extremwerte bzw. eventueller Sattelpunkte	Für die Lage potenzieller Extremwerte gibt es zwei Unterfälle: Fall a: Auch die zweite Ableitung $F_{r}''$ verschwindet an dieser Stelle, das heißt: An dieser Stelle schneidet die $x$-Achse die Kurve tangential. Es ist der Fall $p=0=q$, also $F_{r}(z)=z^{3}$. Fall b: Die zweite Ableitung $F_{r}''$ verschwindet an dieser Stelle nicht, das heißt: An dieser Stelle berührt die $x$-Achse die Kurve, d. h. sie ist dort Tangente an die Kurve. Dort liegt also ein verschwindendes lokales Extremum vor, das heißt eine doppelte reelle Nullstelle, während an anderer Stelĺe eine weitere reelle Nullstelle vorliegt und zwischen beiden das zweite lokale Extremum angenommen wird, welches nicht verschwindet und das Doppelte von $q$ beträgt.	Für die Lage potenzieller Extremwerte gibt es zwei Unterfälle: Fall c: Sie sind verschieden (also $p\neq 0$) und befinden sich beide ($|q|$ hinreichend groß) in der oberen oder beide in der unteren Halbebene (oberhalb oder unterhalb der $x$-Achse). Es handelt sich also um zwei verschiedene lokale Extrema gleichen Vorzeichens. Fall d: Sie sind zu einem nicht verschwindenden Sattelwert verschmolzen (also $p=0\neq q$) und daher keine lokalen Extremwerte. Die erste Ableitung verschwindet an dieser Stelle doppelt, weil auch die zweite Ableitung an dieser Stelle verschwindet.	Zwischen zwei benachbarten Nullstellen liegt (nach dem Extremwertsatz) jeweils ein lokales Extremum. Diese beiden Extrema verschwinden also nicht und besitzen verschiedene Vorzeichen.
Fall gemäß obiger Grafik	Fall a: Fall A gemäß Grafik Fall b: Fall B gemäß Grafik	Fall c: Fall C gemäß Grafik Fall d ist ein in der Grafik nicht dargestellter Fall. Er entspricht dem Fall A mit auf- oder abwärts verschobener Kurve ($p=0\neq q$).	Fall D gemäß Grafik.
Extremwertprodukt $\Pi$	$\Pi =0$	$\Pi >0$	$\Pi <0$
Diskriminante $\Delta$	$\Delta =0$	$\Delta <0$	$\Delta >0$
Differenzenprodukt	Das Differenzenprodukt verschwindet.	Das Differenzenprodukt ist rein imaginär und ungleich Null.	Das Differenzenprodukt ist reell und ungleich Null.
Bedingungen für Koeffizienten $p$ und $q$	Fall a: $p=0=q$ Fall b: $pq\neq 0$, genauer: $0\neq -4p^{3}=27q^{2}$	Fall c: $p\neq 0\neq q$ mit hinreichend großem $|q|$, nämlich $\textstyle q^{2}>{\frac {-4p^{3}}{27}}$ Fall d: $p=0\neq q$	$p\neq 0\neq q$ mit hinreichend kleinem $|q|$, nämlich $\textstyle q^{2}<{\frac {-4p^{3}}{27}}$
Reelle Nullstellen	Es gibt höchstens zwei verschiedene reelle Nullstellen, darunter eine mehrfache Nullstelle, genauer: Fall a: Drei reelle Nullstellen sind zu einer dreifachen Nullstellen verschmolzen, die somit eine verschwindenden Sattelstelle ist. In ihr sind auch die lokalen Extremstellen verschwunden. Fall b: Zwei reelle Nullstellen sind zu einer doppelten Nullstelle verschmolzen, die somit ein lokales Extremum liefert. Überdies gibt es eine davon verschiedene, weitere reelle Nullstelle, die folglich einfach ist.	Es gibt also nur eine reelle Nullstelle. Diese ist einfach.	Es gibt drei verschiedene reelle Nullstellen.
Komplexe Nullstellen	Es gibt keine imaginären Nullstellen, nur reelle.	Es gibt zwei komplexe Nullstellen.	Es gibt keine komplexe Nullstelle.

Anmerkung: Für $\deg f\geq 4$ gelingt diese geometrische Veranschaulichung nicht.

Die Gleichung zur Winkeldreiteilung

Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und die Eulersche Formel oder die Formel von de Moivre oder die trigonometrischen Additionstheoreme liefern die folgenden Beziehung zwischen einem Winkel $\phi$ und seiner Drittelung ${\frac {\phi }{3}}$:

$\cos \phi +\mathrm {i} \;\sin \phi =\left(\cos {\frac {\phi }{3}}+\mathrm {i} \;\sin {\frac {\phi }{3}}\right)^{3}$

Zur geometrischen Konstruktion mit Zirkel und Lineal gemäß der historischen Aufgabenstellung genügt es, lediglich den Realteil (oder wahlweise den Imaginärteil) zu kennen. Bildet man diesen auf beiden Seiten, so kommt:

$\cos \phi =\cos ^{3}{\frac {\phi }{3}}+3\cos {\frac {\phi }{3}}\cdot \mathrm {i} ^{2}\underbrace {\sin ^{2}{\frac {\phi }{3}}} _{1-\cos ^{2}{\frac {\phi }{3}}}=4\cos ^{3}{\frac {\phi }{3}}-3\cos {\frac {\phi }{3}}$.

Bei beliebigem Winkel $\phi$ geht es also um die Lösung der kubischen Gleichung

$F_{A}(X):=4X^{3}-3X-c=0$		(WinkelteilungGlg )

mit einem beliebigen $c:=\cos \phi \in [-1,1]$.

Die normierte Gleichung

$F_{n}(X)={\tfrac {1}{4}}F_{A}(X):=X^{3}-{\frac {3}{4}}X-q=0$ mit $q={\frac {c}{4}}$

hat selbstverständlich dieselben Lösungen und ist bereits reduziert ($F_{r}=F_{n}$) im obigen Sinne.

Die Diskriminante beträgt nach obiger Rechnung

$\Delta ({\tfrac {1}{4}}f)=-4\,\left(-{\frac {3}{4}}\right)^{3}-27\,q^{2}=27\left({\frac {1}{16}}-q^{2}\right)={\frac {27}{16}}\sin ^{2}\phi \geq 0\,.$

Wie unten beschrieben wird, folgt hieraus, dass für die kubische Gleichung der Winkeldreiteilung der casus irreducibilis vorliegt. Dass umgekehrt jeder beliebige casus irreducibilis auf diese Winkeldreiteilungsgleichung zurückgeführt werden kann, wird unten dargelegt.

Die cardanische Formel

Die reduzierte Form wird mit Hilfe der cardanischen Formel aufgelöst, und anschließend werden durch die Rücksubstitution $x=z-{\tfrac {B}{3A}}$ die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt. Dabei werden in der reduzierten Form die Koeffizienten $p,\ q$ und in der allgemeinen Form die Koeffizienten $A,\ B,\ C,\ D$ als reell und komplex angenommen. Im Unterschied zur quadratischen Lösungsformel kommen bei der kubischen Gleichung auch dann, wenn alle drei Lösungen reell sind, nicht-reelle komplexe Zahlen ins Spiel.

Mit der Substitution

$z=u+v$		(Subst)

erhält man

$z^{3}=\left(u+v\right)^{3}=u^{3}+3uv\left(u+v\right)+v^{3}=3uvz+u^{3}+v^{3}\,.$

Im Vergleich mit der reduzierten Gleichung (RedGlg) (also mit $z^{3}+pz+q=0$) erkennt man, dass bei Gleichsetzung mit ihr die Unbekannten $u,v$ folgende Nebenbedingungen erfüllen müssen:

$3uv=-p$		(NB-Nrm)

und

$u^{3}+v^{3}=-q$		(NB-Sp)

Unter Beachtung dieser Nebenbedingungen löst man nun die reduzierte Gleichung, indem man zunächst bemerkt, dass die Nebenbedingungen für die Unbekannten $t_{0}:=u^{3}$ und $t_{1}:=v^{3}$ die Gleichungen

$t_{0}t_{1}=u^{3}\cdot v^{3}=-\left({\tfrac {p}{3}}\right)^{3}=-{\tfrac {p^{3}}{27}}$		(Vieta-Nrm)

  und

$t_{0}+t_{1}=u^{3}+v^{3}=-q$		(Vieta-Sp)

implizieren. Beachte hierbei, dass zwar (Vieta-Sp) und (NB-Sp) äquivalente Bedingungen sind, nicht aber (Vieta-Nrm) und (NB-Nrm). Also muss im weiteren Lösungsweg stets darauf geachtet werden, dass die Nebenbedingung (NB-Nrm) gültig bleibt.

Nach dem Satz von Vieta sind daher $t_{0}$ und $t_{1}$ die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung

$L(t):=t^{2}+qt-{\tfrac {p^{3}}{27}}=0$,		(L-Res)

welche die Lagrange-Resolvente der kubischen Gleichung genannt wird.

Die quadratische Lösungsformel ergibt

$t_{0,1}={\frac {-q\pm {\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}$   mit   $\Delta _{2}:=q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}$

als der Diskriminante der quadratischen Resolvente gemäß (quDiscr).

Mit Hilfe der dritten Einheitswurzeln

$\varepsilon _{0}:=1\,,$

$\varepsilon _{1}:=-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {3}}=\mathrm {e} ^{\frac {2\pi \mathrm {i} }{3}}=\cos {\tfrac {2\pi }{3}}+\mathrm {i} \,\sin {\tfrac {2\pi }{3}}\quad$ und

$\varepsilon _{2}:=-{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {3}}=\mathrm {e} ^{\frac {4\pi \mathrm {i} }{3}}=\cos {\tfrac {4\pi }{3}}+\mathrm {i} \,\sin {\tfrac {4\pi }{3}}=\varepsilon _{1}^{2}={\overline {\varepsilon _{1}}}$

sind nun die drei (nicht notwendig verschiedenen) Lösungen $z_{i}\;(i=0,1,2)$ der kubischen Gleichung die folgenden:

${\begin{aligned}z_{i}&=u_{i}+v_{i}{\text{ mit }}{\begin{cases}u_{0,1,2}&=\varepsilon _{0,1,2}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{0}}}{\text{ und }}\\v_{0,1,2}&=\varepsilon _{0,2,1}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{1}}}\,,\end{cases}}\\\end{aligned}}$		(FormCard.1)

wobei für den Ausdruck $u_{0}={\sqrt[{3}]{t_{0}}}$ eine fest gewählte dritte Wurzel zu wählen ist, und für $v_{0}={\sqrt[{3}]{t_{1}}}$ die aufgrund von (NB-Nrm) durch diese Wahl festgelegte dritte Wurzel $v_{0}={\frac {-p}{3u_{1}}}$ von $t_{1}$. Entsprechend müssen auch die Paare $(u_{1},v_{1})$ und $(u_{2},v_{2})$ die Nebenbedingung (NB-Nrm) erfüllen.

Die drei Lösungen sind also

${\begin{array}{lclcrcrcrcr}z_{0}&=&u_{0}\varepsilon _{0}+v_{0}\varepsilon _{0}=u_{0}\varepsilon _{0}-{\tfrac {p}{3u_{1}}}\varepsilon _{0}&=&{\sqrt[{3}]{t_{0}}}&+&{\sqrt[{3}]{t_{1}}}&=&{\sqrt[{3}]{\frac {-q+{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}&+&{\sqrt[{3}]{\frac {-q-{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}\\z_{1}&=&u_{0}\varepsilon _{1}+v_{0}\varepsilon _{2}=u_{0}\varepsilon _{1}-{\tfrac {p}{3u_{1}}}\varepsilon _{2}&=&\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{t_{0}}}&+&\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{t_{1}}}&=&\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{\frac {-q+{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}&+&\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-q-{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}\\z_{2}&=&u_{0}\varepsilon _{2}+v_{0}\varepsilon _{1}=u_{0}\varepsilon _{2}-{\tfrac {p}{3u_{1}}}\varepsilon _{1}&=&\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{t_{0}}}&+&\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{t_{1}}}&=&\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-q+{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}&+&\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{\frac {-q-{\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}}\\\end{array}}$		(FormCard.2)

Dabei muss für alle auftauchenden Radikale ${\sqrt[{3}]{\cdot }}$ jeweils dieselbe Wurzel ausgewählt werden und für $u_{0}={\sqrt[{3}]{t_{0}}},\;v_{0}={\sqrt[{3}]{t_{1}}}$ insbesondere zwei solche Wurzeln, mit welchen die Nebenbedingung (Vieta-Nrm) (also $u_{0}\,v_{0}=-3p$) erfüllt ist.

Der Sonderfall $p=0$

Man setze $v=0=t_{0}$ sowie $\Delta _{2}=q^{2}$ und schließlich $t_{1}=-{\tfrac {q}{2}}-{\tfrac {q}{2}}=-q$, so dass sich die drei Wurzeln $z_{i}=-\varepsilon _{i}\cdot {\sqrt[{3}]{q}}$ für $i=0,1,2$ ergeben.

Lösung der allgemeinen (nicht notwendig normierten) Gleichung

Will man auf die allgemeine Gleichung (AllgGlg) mit dem Leitkoeffizienten $A$ zurückgehen, so sind die Substitutionsbeziehungen (Red-p), (Red-q) und (Red-abc) rückwärts einzusetzen sowie die Tatsache zu nutzen, dass in der Diskriminante der Leitkoeffizient des Ausgangspolynoms $F(X)=AX^{n}+BX^{n-1}+\dots$ in der $2(n-1)$-ten Potenz als Normierungsfaktor hinzutritt. Im kubischen Falle $n=3$ lautet der Normierungsfaktor also $A^{4}$. Die Diskriminante ist auf diese Weise ein ganzzahliges Vielfaches des Quadrats ${\bigl (}(z_{0}-z_{1})(z_{0}-z_{2})(z_{1}-z_{2}){\bigr )}^{2}$ des Differenzenproduktes (des Produktes der Differenzen der Lösungen), und als ganzzahliges Polynom in den Koeffizienten des allgemeinen Polynoms darstellbar:

${\begin{aligned}\Delta (F_{A})&=-A^{4}(27q^{2}+4p^{3})\\&=18ABCD-4AC^{3}-27A^{2}D^{2}+B^{2}C^{2}-4B^{3}D\end{aligned}}$

Explizite Berechnung der Diskriminante

Die Diskriminante $\Delta _{2}=\Delta (L(t))$ der Lagrangeschen Resolvente und diejenige des reduzierten oder normierten Polynoms ($F_{n}$ gemäß (NrmGlg) bzw. $F_{r}$ gemäß (RedGlg)) stehen gemäß (quDiscr) und (kubDiscr) in folgender Beziehung:

${\begin{aligned}\Delta &:=-(27q^{2}+4p^{3})\\&=-27\,\left(q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}\right)\\&=-27\Delta _{2}\end{aligned}}$

Mit Hilfe der expliziten Lösungen lässt sich die Diskriminante $\Delta$ nun direkt berechnen und die Beziehung zur $\Delta _{2}$ bestätigen. Für diese Rechnung sei zwecks Abkürzung gesetzt:

$S={\sqrt[{3}]{t_{0}}}$ und $T={\sqrt[{3}]{t_{1}}}$,

so dass $z_{0}=S+T,\;z_{1}=\varepsilon _{1}S+\varepsilon _{2}T,\;z_{2}=\varepsilon _{2}S+\varepsilon _{1}T$. Beachtet man die Beziehungen zwischen den Einheitswurzeln

$\varepsilon _{0}=1=\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}=\varepsilon _{1}^{3}=\varepsilon _{2}^{3}\,,$

$\varepsilon _{2}=\varepsilon _{1}^{2}\,,$

$\varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}^{2}$ und

$\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}=\mathrm {i} {\sqrt {3}}$,

so bestätigt man durch Ausmultiplizieren die zuvor bereits festgestellte Beziehung zwischen den Diskriminante $\Delta$ des reduzierten Polynoms (redGlg) und derjenigen $\Delta _{2}$ der Lagrangeschen Resolvente und oben errechneten Diskriminante des reduzierten Polynoms:

${\begin{alignedat}{2}\Delta &=\left[(z_{0}-z_{1})(z_{0}-z_{2})(z_{1}-z_{2})\right]^{2}\\&=\left[z_{0}^{2}z_{1}-z_{0}^{2}z_{2}-{\cancel {z_{0}z_{2}z_{1}}}+z_{0}z_{2}^{2}-z_{1}^{2}z_{0}+{\cancel {z_{1}z_{0}z_{2}}}+z_{1}^{2}z_{2}-z_{1}z_{2}^{2}\right]^{2}\\&=\left[z_{0}^{2}(z_{1}-z_{2})+z_{1}^{2}(z_{2}-z_{0})+z_{2}^{2}(z_{0}-z_{1})\right]^{2}\\&=\dots {\text{ausmultiplizieren, nach Potenzen von }}S,T{\text{ ordnen, ausklammern etc.}}\dots \\&=\left[3\left(S^{3}(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2})-T^{3}(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2})+ST\left(S+T\right)\underbrace {\left((\varepsilon _{1}-\varepsilon _{1})+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{2})+(1-1)\right)} _{=0}\right)\right]^{2}\\&=3^{2}\left[t_{0}\cdot \mathrm {i} {\sqrt {3}}-t_{1}\cdot \mathrm {i} {\sqrt {3}}\right]^{2}\\&=-3^{3}\left[t_{0}-t_{1}\right]^{2}\\&=-27\left[{\sqrt {\Delta _{2}}}\right]^{2}\\&=-27\Delta _{2}\\&=-27q^{2}-4p^{3}\end{alignedat}}$

Anmerkung: Beim Nachvollzug der ausgelassenen Rechenschritte nutze man Symmetrien zwischen den Einheitswurzeln $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}$ und zwischen den Größen $S,T$.

Einzelfallbetrachtung

Im Folgenden sollen die drei Fälle näher betrachtet werden.

Diskriminante gleich Null

Die Gleichung $0=\Delta =-27p^{3}-4q^{2}$ zeigt: Entweder verschwinden $p$ und $q$ zugleich oder keines von beiden, d. h.: $p=0\iff q=0$.

Im Falle $p=0=q$

handelt es sich um das Polynom $F_{r}(z)=z^{3}$, und $z=0$ ist die einzige (dreifache) Nullstelle.

Daher hat das allgemeine kubische Polynom $F_{A}(X)=AX^{3}+BX^{2}+CX+D$ die Nullstellen:

$x_{0,1,2}=-{\frac {B}{3A}}$

Im Falle $p\neq 0\neq q$

wählt man $u=v$ reell. Nach den obigen Formeln hat $F_{r}(Z)=Z(Z^{2}+p)+q=0$ dann eine einfache reelle Lösung

$z_{0}=2u={\sqrt[{3}]{-4q}}={\sqrt[{3}]{\frac {q^{3}}{-{\frac {q^{2}}{4}}}}}={\sqrt[{3}]{\frac {q^{3}}{\frac {p^{3}}{27}}}}={\frac {3q}{p}}$,

und eine doppelte reelle Lösung

$z_{1,2}\;=u\varepsilon _{1}+u\varepsilon _{2}\;=-u={\sqrt[{3}]{\frac {q}{2}}}=-{\frac {3q}{2p}}$.

Das allgemein kubische Polynome $F_{A}(X)=AX^{3}+BX^{2}+CX+D=0$ hat also die Nullstellen

${\begin{aligned}x_{0}&=-{\frac {B}{3A}}+{\frac {3q}{p}}={\frac {B^{3}\ -\ 4ABC\ +\ 9A^{2}D}{3A^{2}C\ -\ AB^{2}}}\\x_{1,2}&=-{\frac {B}{3A}}-{\frac {3q}{2p}}={\frac {BC\ -\ 9AD}{6AC\ -\ 2B^{2}}}\end{aligned}}$

Diskriminante negativ

Dann ist $\Delta _{2}>0$, und die auftretenden Quadratwurzeln $\pm {\sqrt {\Delta _{2}}}$ sind reell, mithin auch die Lösungen $t_{i}$ der Lagrangeschen Resolvente. Man wähle für $u$ und $v$ jeweils die reellen dritten Wurzeln ${\sqrt[{3}]{t_{0}}}$ bzw. ${\sqrt[{3}]{t_{1}}}$. Es gibt genau eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen, die nach den obigen Formeln durch

${\begin{aligned}z_{0}&=u+v\\z_{1,2}&=-{\frac {u+v}{2}}\pm {\frac {u-v}{2}}\,\mathrm {i} {\sqrt {3}}\end{aligned}}$

gegeben sind.

Für das allgemeine kubische Polynom $F_{A}(X)=AX^{3}+BX^{2}+CX+D$ erhält man die Nullstellen

${\begin{aligned}x_{0}&=-{\frac {B}{3A}}+u+v\\x_{1,2}&=-{\frac {B}{3A}}-{\frac {u+v}{2}}\pm {\frac {u-v}{2}}\,\mathrm {i} {\sqrt {3}}.\end{aligned}}$

Beispiel

Allerdings ist das Ausziehen der Kubikwurzeln nicht immer so einfach. Cardano führt als Beispiel an:

$z^{3}+6z-20=(z-2)(z^{2}+2z+10)=0$.

Für dieses kubische Polynom ist

${\begin{aligned}\Delta &=-4p^{3}-27q^{2}\\&=-2^{2}\cdot 2^{3}\cdot 3^{3}-3^{3}\cdot 2^{4}\cdot 5^{2}\\&=-2^{4}\cdot 3^{3}(2+5^{2})\\&=-\left(2^{2}\cdot 3^{3}\right)^{2}\\&=-\left(6^{2}\cdot 3\right)^{2}\\&=-108^{2}\\\end{aligned}}$

Wegen $\Delta =-27\Delta _{2}$ ist $\Delta _{2}=2^{4}\cdot 3^{3}=12^{2}\cdot 3=432\,,$ und man erhält

$t_{0,1}={\frac {-q\pm {\sqrt {\Delta _{2}}}}{2}}={\frac {20\pm 12{\sqrt {3}}}{2}}=10\pm 6{\sqrt {3}}\,.$

Man wähle reelle Kubikwurzeln

$\textstyle u={\sqrt[{3}]{10+6{\sqrt {3}}}}={\sqrt[{3}]{1+3{\sqrt {3}}+3\cdot 3+3{\sqrt {3}}}}={\sqrt[{3}]{(1+{\sqrt {3}})^{3}}}=1+{\sqrt {3}}$ und

$\textstyle v={\sqrt[{3}]{10-6{\sqrt {3}}}}={\sqrt[{3}]{1-3{\sqrt {3}}+3\cdot 3-3{\sqrt {3}}}}={\sqrt[{3}]{(1-{\sqrt {3}})^{3}}}=1-{\sqrt {3}}\,.$

Die Nebenbedingungen sind damit erfüllt!

Somit ergibt sich $z_{0}=2$ und $z_{1,2}=-1\pm 3\mathrm {i}$. Für die Techniken zum Ausziehen von verschachtelten Wurzeln sei auf die Fachliteratur verwiesen.

Diskriminante positiv (casus irreducibilis)

Die Quadratwurzeln $\pm {\sqrt {-\Delta }}$ sind rein-imaginär, und die Lösungen $t_{0,1}$ der quadratischen Resolvente konjugiert komplex. Daher ergeben sich für $u_{i}=\varepsilon _{i}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{0}}}$ und $v_{j}=\varepsilon _{j}\cdot {\sqrt[{3}]{t_{1}}}$ zueinander konjugiert komplexe Werte, so dass sich mit

$z_{i}=u_{i}+v_{i}=u_{i}+{\overline {u_{i}}}=2\operatorname {Re} (u_{i})$

drei unterschiedliche reelle Lösungen ergeben.

Bei der Bestimmung von $u$ oder $v$ kommen jedoch dritte Wurzeln aus nicht-reellen Zahlen vor. Obwohl deren anschauliche Bedeutung zur Zeit Cardanos noch im Dunkeln lag und daher die Existenz solcher Ausdrücke als Zahlen allgemein als fragwürdig galt, rechnete Cardano rein formal (also ohne den Ausdrücken eine anschauliche Bedeutung beimessen zu können) weiter und konnte die drei reellen Lösungen angeben – allerdings in einer Weise, die die „irrealen“ Zahlen enthält. Da dieser Lösungsweg also das Terrain der anschaulichen, „reellen“ Zahlen verlässt und die Lösung somit nicht auf reelle Radikale zurückführbar war, wurde dieser Fall casus irreducibilis genannt. Dennoch mögen weitblickende Zeitgenossen – wie Cardano – in diesen Umständen einen Fingerzeig erahnt haben, dass jene Ausdrücke, die mangels anschaulicher Bedeutung sinnlos erscheinen, womöglich doch einen tieferen Sinn besitzen.

Trigonometrische Lösung nach Vieta

Mithilfe der trigonometrischen Funktionen können die Lösungen jedoch auch reell berechnet werden, in dem sie nämlich auf die Lösungen der oben vorgestellten Winkeldreiteilungsgleichung zurückgeführt wird: Diese übernimmt also gewissermaßen die Rolle der reinen (oder binomischen) Gleichungen $X^{n}-d=0$.

Nach einem Additionstheorem, das sich leicht mit dem Satz von de Moivre herleiten lässt, gilt für alle $\alpha$ die Beziehung

$\cos ^{3}\alpha ={\frac {\cos 3\alpha +3\cos \alpha }{4}}$		(Moivre)

Parametrisiert man $z$ durch $z:=r\cdot \cos \alpha$, so nimmt die zu lösende reduzierte kubische Gleichung $0=z^{3}+p\cdot z+q$ diese Gestalt an:

$0=r^{3}\cdot \cos ^{3}\alpha +p\cdot r\cdot \cos \alpha +q$.

Nutzt man hierin die obige Gleichung (Moivre), so erhält man

${\begin{aligned}0&=r^{3}\cdot {\frac {\cos 3\alpha +3\cos \alpha }{4}}+p\cdot r\cdot \cos \alpha +q\\&={\frac {r^{3}}{4}}\cos 3\alpha +\left({\frac {3}{4}}r^{2}+p\right)\cdot r\cdot \cos \alpha +q\end{aligned}}$

Wählt man hierin $r:=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$, so verschwindet der Klammerausdruck und es bleibt noch die folgende Gleichung für den Winkel $\alpha$ zu lösen:

$0=2\,{\sqrt {-{\frac {p^{3}}{27}}}}\cdot \cos 3\alpha +q$.

Die Auflösung nach dem Winkel $\alpha$ liefert $\cos 3\alpha =-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}$, das heißt:

$\alpha =\pm {\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {2}{3}}k\pi =\pm {\frac {1}{3}}\phi +{\frac {2}{3}}k\pi ,$

wobei $\phi :=\arccos {\Bigl (}\!\!-\!{\tfrac {q}{2}}\cdot \textstyle {\sqrt {-{\tfrac {27}{p^{3}}}}}{\Bigr )}$ und $k$ eine beliebige ganze Zahl ist.

Die Lösungen haben die Form $z_{i}=r\cdot \cos \alpha _{i}$ mit dem gewählten $r=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$.

Wegen $\cos(-{\tfrac {1}{3}}\phi +{\tfrac {2}{3}}k\pi )=\cos({\tfrac {1}{3}}\phi -{\tfrac {2}{3}}k\pi )$ kann bei Durchlaufen aller ganzzahligen $k\in \mathbb {Z}$ auf das Doppelvorzeichen „$\pm$“ verlustfrei verzichtet werden.

Wegen $\cos({\tfrac {\phi }{3}}+{\tfrac {2(k+3)\pi }{3}})=\cos({\tfrac {\phi }{3}}+{\tfrac {2k\pi }{3}}+2\pi )=\cos({\tfrac {\phi }{3}}+{\tfrac {2k\pi }{3}})$ sind die $z_{i}$ für höchstens drei aufeinander folgende $k$ verschieden.

Da bei $\Delta >0$ drei verschiedene Lösungen existieren, sind die $z_{i}$ für mindestens drei solche $k$ verschieden. $k=-1,0,1$ liefert mit den Vereinfachungen

$\cos {\big (}\alpha -{\tfrac {2\pi }{3}}{\big )}=\cos {\big (}{\tfrac {2\pi }{3}}-\alpha {\big )}=-\cos {\big (}\pi -{\big (}{\tfrac {2\pi }{3}}-\alpha {\big )}{\big )}=-\cos {\big (}\alpha +{\tfrac {\pi }{3}}{\big )}$ und

$\cos {\big (}\alpha +{\tfrac {2\pi }{3}}{\big )}=-\cos {\big (}\pi -{\big (}{\tfrac {2\pi }{3}}+\alpha {\big )}{\big )}=-\cos {\big (}{\tfrac {\pi }{3}}-\alpha {\big )}=-\cos {\big (}\alpha -{\tfrac {\pi }{3}}{\big )}$

die folgenden drei Lösungen:

${\begin{aligned}z_{1}&=-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {\pi }{3}}\right)\\[.7em]z_{0}&=\quad {\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\right)\\[.7em]z_{2}&=-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)-{\frac {\pi }{3}}\right)\end{aligned}}$

Die allgemeine Gleichung $F_{A}(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0$ hat also die folgenden drei Lösungen:

${\begin{aligned}x_{1}&=-{\frac {B}{3A}}-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)+{\frac {\pi }{3}}\right)\\[.7em]x_{0}&=-{\frac {B}{3A}}+\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)\right)\\[.7em]x_{2}&=-{\frac {B}{3A}}-\,{\sqrt {-{\frac {4}{3}}p}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left(-{\frac {q}{2}}\cdot {\sqrt {-{\frac {27}{p^{3}}}}}\right)-{\frac {\pi }{3}}\right)\end{aligned}}$

Beispiel aus der Trigonometrie

Im regulären Vierzehneck entspricht das Verhältnis der Seite $s$ zum Umkreisradius $r$ dem Wert $x:=2\sin \!{\tfrac {\pi }{14}}$, der die folgende kubische Gleichung erfüllt:

$x^{3}-x^{2}-2x+1=0$

Durch kubische Ergänzung entsteht:

$(3x-1)^{3}-21(3x-1)+7=0$

Mit der Cardanoschen Formel ergibt sich im Casus irreduzibilis das folgende reelle Lösungstriplett

$x_{0}=2\sin({\tfrac {1}{14}}\pi )={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {7}}\sin[{\tfrac {1}{3}}\arcsin({\tfrac {1}{14}}{\sqrt {7}})]\,\;\;\;\approx 0{,}445041868$

$x_{1}=-2\sin({\tfrac {3}{14}}\pi )={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {7}}\cos[{\tfrac {1}{3}}\arccos({\tfrac {1}{14}}{\sqrt {7}})]\approx -1{,}246979604$

$x_{2}=2\cos({\tfrac {1}{7}}\pi )={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {7}}\cos[{\tfrac {1}{3}}\arccos(-{\tfrac {1}{14}}{\sqrt {7}})]\;\approx 1{,}801937736$

mit $x_{0}$ als dem $s/r$-Verhältnis im regulären Vierzehneck.

Cardanos Formel in der Formulierung durch Arthur Cayley

Man mag es als einen Mangel empfinden, dass die Formel von Cardano stets die Nebenbedingungen im Auge behalten muss. Diesem Umstand hat Arthur Cayley abgeholfen.

Für zwei neue Unbekannte $\xi ,\eta$ setze man

$u=\xi ^{2}\eta \quad$ und $\quad v=\xi \eta ^{2}$		(CayleyParam)

Dann folgt mit Nebenbedingung (NB-Nrm) bzw. (Vieta-Nrm) $\xi \eta ={\sqrt[{3}]{\frac {-p}{3}}}\,.$ Setzt man diesen Wert in die Gleichungen (CayleyParam) ein, ersetzt $u$ bzw. $v$ durch die Werte aus der Cardanoschen Formel (CardForm.1) und löst nach $\xi$ bzw. $\eta$ auf, so erhält man

${\begin{aligned}\xi _{i}&=\varepsilon _{i}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {3q}{2p}}+{\sqrt {\left({\frac {3q}{2p}}\right)^{2}+{\frac {p}{3}}}}}}\quad {\text{ für }}i=0,1,2\\\eta _{j}&=\varepsilon _{j}\cdot {\sqrt[{3}]{{\frac {3q}{2p}}-{\sqrt {\left({\frac {3q}{2p}}\right)^{2}+{\frac {p}{3}}}}}}\quad {\text{ für }}j=0,1,2\\\end{aligned}}$		(CayleysForm.1)

Damit erhält man nun die Lösungen in Cayleys Formulierung.

$z_{(i,j)}=\xi _{i}\cdot \eta _{j}\cdot \left(\xi _{i}+\eta _{j}\right)$ für $0\leq i,j\leq 2$.		(CayleysForm.2)

Zwar gibt es neun Doppelindizes $(i,j)$, doch die Menge $\{z_{(i,j)}|0\leq i,j\leq 2\}$ besteht lediglich aus den drei Lösungen

${\begin{array}{rcr}\xi _{0}^{2}\eta _{0}&+&\xi _{0}\eta _{0}^{2}\\\varepsilon _{1}\xi _{0}^{2}\eta _{0}&+&\varepsilon _{2}\xi _{0}\eta _{0}^{2}\\\varepsilon _{2}\xi _{0}^{2}\eta _{0}&+&\varepsilon _{1}\xi _{0}\eta _{0}^{2}\\\end{array}}$		(CayleysForm.3)

Koeffizientenringe

Charakteristik 2 und 3

Hat der Ring $R$ der Koeffizienten die Charakteristik $\chi (R)=2$ oder $\chi (R)=3~,$ dann lassen sich die angegebenen Formeln wegen der Divisionen durch $\chi$ nicht anwenden. Näheres dazu im Artikel über kubische Gleichungen.

Andere, insbesondere komplexe Koeffizienten

Für andere Charakteristiken und für komplexes $R=\mathbb {C}$ gilt im Prinzip die cardanische Formel. Es gibt aber bei Nicht-Geordnetheit von $R$ nur zwei Fälle:

• $\Delta =0$: Dies ist auch in diesen Fällen das Kriterium für mehrfache Nullstellen. Die oben für diesen Fall angegebenen Formeln gelten unverändert.
• $\Delta \neq 0$: Die oben für den Fall $\Delta <0$ angegebenen Formeln gelten analog und stellen den „algebraischen“ Weg der Auflösung durch Radikale dar, wobei die beiden dritten Wurzeln wie im reellen Fall gemäß Nebenbedingung (NB1) so zu wählen sind, dass ihr Produkt $-{\tfrac {p}{3}}$ ergibt.
  Der beim Fall $\Delta >0$, dem „casus irreducibilis“, angegebene Weg ist ein „numerischer“ Lösungsweg, der dem Ausziehen der dritten Wurzeln unter Zuhilfenahme trigonometrischer Funktionen entspricht.

Quartische Gleichungen

Faktorisation von quartischen Polynomen

Bei quartischen Gleichungen beziehungsweise Gleichungen vierten Grades sind die Lösungen immer biquadratisch radikale Ausdrücke aus Lösungen von kubischen Gleichungen. Der Grund dafür besteht in der Tatsache, dass alle Polynome vierten Grades als Differenz des Musters Quadrat eines quadratischen Polynoms minus Quadrat eines linearen Polynoms dargestellt werden können. Durch das Nullsetzen des quartischen Polynoms kann auf diese Weise der Satz von Vieta verwendet werden. Und diese Differenz zweier Quadrate kann dann mit der dritten binomische Formel faktorisiert werden. So entstehen zwei Faktoren von jeweils zweitem Grade. Diese können dann mit der Mitternachtsformel aufgelöst werden. Für die Bestimmung der Koeffizienten von diesen beiden Polynomfaktoren ist die Auflösung eines kubischen Gleichungssystems erforderlich. Dies wird im nun Folgenden gezeigt. Gegeben sei ein quartisches Polynom, welches faktorisiert werden soll:

$x^{4}+Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=(x^{2}+{\tfrac {1}{2}}Ax+u)^{2}-(vx+w)^{2}$

Eine kubische Resolventengleichung führt hierbei zur Ermittlung von $u$:

$(A^{2}-4B+8u)(u^{2}-D)=(Au-C)^{2}$

Sukzessiv können dann $v$ und $w$ ermittelt werden.

Nach anschließender Faktorisation der dritten binomischen Formel führt das Lösen von quadratischen Faktoren zur x-Lösung.

Beweis der kubischen Resolvente

Durch Eliminierung der unbekannten v und w kann eine kubische Gleichung für u in Abhängigkeit der gegebenen Koeffizienten A, B, C und D aufgestellt werden:

$x^{4}+Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=(x^{2}+{\tfrac {1}{2}}Ax+u)^{2}-(vx+w)^{2}$

Die Bilanz der Koeffizienten des quadratischen Glieds ergibt folgende Gleichung:

I) $4v^{2}=A^{2}-4B+8u$

Die Bilanz der Koeffizienten des linearen Glieds ergibt nachfolgende Gleichung:

II) $2vw=Au-C$

Und die Bilanz der Koeffizienten des absoluten Glieds ergibt die nun folgende Gleichung:

III) $w^{2}=u^{2}-D$

Durch das Gleichsetzungsverfahren mit dem Muster I*III = II² ergibt sich folgende kubische Gleichung:

$(A^{2}-4B+8u)(u^{2}-D)=(Au-C)^{2}$

Diese Gleichung kann dann nach u aufgelöst werden.

Beispielgleichung

Nach der positiven reellen Lösung soll folgende Gleichung aufgelöst werden:

${\color {blue}x^{4}-x-1=0}$

Gegeben ist die genannte Form:

$x^{4}+Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=(x^{2}+{\tfrac {1}{2}}Ax+u)^{2}-(vx+w)^{2}$

Nach dieser Form gelten die Werte $A=0,\ B=0,\ C=-1$ und $D=-1$.

Die genannte kubische Resolvente lautet dann für diese Beispielgleichung so:

$8u(u^{2}+1)=1$

Nach der Formel von Gerolamo Cardano lautet die reelle Lösung für $u$ wie folgt:

$u={\tfrac {1}{12}}{\sqrt[{3}]{12}}{\bigl (}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}+9}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {849}}-9}}{\bigr )}={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}$.

Genannt waren ebenso die Gleichungen:

$4v^{2}=A^{2}-4B+8u$

$2vw=Au-C$

In dieser Beispielgleichung lauten sie so:

$4v^{2}=8u$

$2vw=1$

So entstehen $v$ und $w$:

$v={\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}$

$w={\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}$

Also gilt:

$x^{4}-x-1={\bigl \{}x^{2}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}-{\bigl \{}{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}^{2}$

Nach dem Satz von Vieta kann dann so das quadratische Polynom mit den beiden reellen Lösungen herauskristallisiert werden:

${\bigl \{}x^{2}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}-{\bigl \{}{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}^{2}=0$

${\bigl \{}x^{2}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}{\bigr \}}-{\bigl \{}{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}=0$

Nach der dritten binomischen Formel gilt: $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$.

Anschließend wird weiter umgeformt:

$x^{2}-{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\,x+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}=0$

${\bigl \{}x-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}{\bigr \}}^{2}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}=0$

${\color {green}x={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}\approx 1{,}2207440846}$

Quintische Gleichungen

Quintisches Analogon zur Cardanoschen Formel

Nach dem Satz von Abel-Ruffini ist das Analogon der Cardanoschen Formel für quintische Gleichungen nicht elementar darstellbar. Jedoch kann bei diesem quintischen Analogon die reelle Lösung dann in einem quintisch radikalen Ausdruck dargestellt werden, wenn ein elliptischer Schlüssel ausgedrückt über die Thetafunktionen auf der Grundlage der Elliptischen Nomenfunktion $q(k)=\exp[-\pi K(k')/K(k)]$ oder über die Jacobischen Amplitudenfunktionen angewendet wird. Die Mathematiker John Stuart Glashan, George Paxton Young und Carl Runge fanden den quintisch radikalen Ausdruck für die Bring-Jerrard-Form heraus und beschrieben diesen Lösungsausdruck in ihrem Werk. Der Wert für den zugehörigen elliptischen Modul beziehungsweise die zugehörige numerische Exzentrizität in Abhängigkeit vom Koeffizienten des absoluten Gliedes in der Bring-Jerrard-Form wurde durch Charles Hermite entdeckt und ermittelt. Und für die standardisierte Bring-Jerrard-Normalform der quintischen Gleichung wird im Folgenden das Analogon zur kubischen Formel nach Cardano aufgestellt:

$x^{5}+x=w$

${\begin{array}{lll}x&=&{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}\\&&-{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}\end{array}}$

Elliptischer Schlüssel:

$y={\frac {5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q{\bigl \{}{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}^{5}{\bigr \rangle }^{2}}{2\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q{\bigl \{}{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}{\bigr \rangle }^{2}}}-{\frac {1}{2}}$

Wichtiger Rechenhinweis über die genannten hyperbolisch lemniskatischen Funktionen:

${\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (s){\bigr ]}^{2}={\biggl (}2s^{2}+2+2{\sqrt {s^{4}+1}}{\biggr )}^{-1/2}{\biggl (}{\sqrt {{\sqrt {s^{4}+1}}+1}}+s{\biggr )}$

Alternativ wird die genannte quintische Bring-Jerrard-Gleichung auch ohne elliptischen Schlüssel mit einem direkten Ausdruck für dieselbe reelle Lösung so gelöst:

$x^{5}+x=w$

${\begin{array}{lll}x&=&{\frac {S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\\&&\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\\&&\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\,{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{3}}}\end{array}}$

Hierbei stehen die Buchstaben R und S für den Rogers-Ramanujan-Kettenbruch und den zugehörigen alternierenden Kettenbruch. Und die Abkürzung sl stellt den lemniskatischen Sinus dar.

Quintisches Rechenbeispiel

Eine bekannte quintische und elementar lösbare Gleichung, deren Lösung somit analog zur kubischen Formel nach Cardano gelöst werden kann, ist die folgende:

$x^{5}+15x=12$

Die durch Umformung gebildete Gleichung

${\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{15}}}{\biggr )}^{5}+{\frac {x}{\sqrt[{4}]{15}}}\ ={\frac {4}{5\,{\sqrt[{4}]{15}}}}$

hat dieselbe Lösungsmenge. Nach den Setzungen

${\begin{aligned}\displaystyle w&:={\frac {4}{5\,{\sqrt[{4}]{15}}}}\\y&:={\frac {5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q{\bigl \{}{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}^{5}{\bigr \rangle }^{2}}{2\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q{\bigl \{}{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} ({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,w){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}{\bigr \rangle }^{2}}}-{\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

ergibt sich

${\begin{array}{lll}\displaystyle y&=\displaystyle {\frac {5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q{\bigl \{}{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3^{-1/4}){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}^{5}{\bigr \rangle }^{2}}{2\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q{\bigl \{}{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3^{-1/4}){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}{\bigr \rangle }^{2}}}-{\frac {1}{2}}\\&=\displaystyle {\frac {5\,\vartheta _{00}{\biggl [}q{\biggl (}{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {18+6{\sqrt {6}}}}{\biggr )}^{5}{\biggr ]}^{2}}{2\,\vartheta _{00}{\biggl [}q{\biggl (}{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {18+6{\sqrt {6}}}}{\biggr )}{\biggr ]}^{2}}}-{\frac {1}{2}}\\&=1.\end{array}}$

Nun kann die reelle Lösung dieser Gleichung direkt hervorgerufen werden:

${\begin{array}{lll}\displaystyle {\frac {x}{\sqrt[{4}]{15}}}&=&{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}{\frac {5{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(1+2y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}\\&&-{\frac {2}{5}}y^{-1/4}{\sqrt[{4}]{10+15y-10y^{2}}}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}{\frac {5y{\sqrt {5+5y^{2}}}}{(2-y){\sqrt {4+6y-4y^{2}}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}\end{array}}$

Wegen $y=1$ folgt

${\frac {x}{\sqrt[{4}]{15}}}={\frac {2}{5}}{\sqrt[{4}]{15}}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}{\frac {5{\sqrt {10}}}{3{\sqrt {6}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}-{\frac {2}{5}}{\sqrt[{4}]{15}}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}{\frac {5{\sqrt {10}}}{\sqrt {6}}}{\biggr ]}{\biggr \}}$

und es ergibt sich die reelle Nullstelle

${\begin{aligned}\displaystyle x&={\tfrac {2}{5}}{\sqrt {15}}\cosh {\bigl [}{\tfrac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\bigl (}{\tfrac {5}{9}}{\sqrt {15}}{\bigr )}{\bigr ]}-{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {15}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\bigl (}{\tfrac {5}{3}}{\sqrt {15}}{\bigr )}{\bigr ]}\\&=0{,}7806694320932583\ldots ~.\end{aligned}}$

Da sich die Terme $\cosh {\bigl [}{\tfrac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\bigl (}z{\bigr )}{\bigr ]}$ und $\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\bigl (}z{\bigr )}{\bigr ]}$ durch Radikale des maximal fünften Grades ausdrücken lassen, lässt sich auch $x$ (ohne Bezug auf transzendente Funktionen wie $\cosh ,\operatorname {arcosh} ,\sinh ,\operatorname {arsinh}$) durch Radikale des maximal fünften Grades ausdrücken.

Literatur

• Hieronymus Cardanus: [Hieronymi Cardani …] Artis magnae, sive de regulis algebraicis, liber unus : qui & totius operis de arithmetica, quod opus perfectum inscripsit, est in ordine decimus. Nürnberg [Petreius] 1545, siehe etwa Cap. XII de cubo aequli rebus & numero (S. 31 f.) und Cap. XXXVII De regula falsum ponendi Regula II (und Demonstratio) (S. 65 ff.), doi:10.3931/e-rara-9159 (ETH-Bibliothek Zürich, Shelf Mark: Rar 5506 / Public Domain Mark [PDF; 52,2 MB; abgerufen am 1. November 2024]). 
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• Heinrich Dörrie: Kubische und biquadratische Gleichungen. München 1948, doi:10.1515/9783486775990. 
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• G. P. Young: Solution of Solvable Irreducible Quintic Equations, Without the Aid of a Resolvent Sextic (= American Journal of Mathematics. Band 7). 1885, S. 170–177. 
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• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8. Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel VIII Die Theorie von Galois, § 64 Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades, Satz im Kleindruck auf Seite 194. 
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• Robert Fricke: Lehrbuch der Algebra. verfaßt mit Benutzung von Heinrich Webers gleichnamigem Buche (in drei Bänden). Erster Band. Friedrich Vieweg & Sohn Aktiengesellschaft, Braunschweig 1924, 6. Transformationen höheren Grades § 3 Beispiel der kubischen Gleichung., S. 174 ff. (468 S., uni-goettingen.de [PDF; 65,1 MB; abgerufen am 9. November 2024]). 
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• Serge Lang: Linear Algebra. 3rd edition Auflage. Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-387-96412-6. 

Weblinks

• Formeln von Cardano zur Lösung der Gleichung dritten Grades auf mathematik.ch