Elementarsymmetrisches Polynom
In der Mathematik, insbesondere in der kommutativen Algebra, sind die elementarsymmetrischen Polynome Grundbausteine der symmetrischen Polynome in dem Sinn, dass sich letztere stets als Polynom in ersteren ausdrücken lassen und dies auf nur eine Weise.
Zu jeder Anzahl (Symmetriegrad) von Unbestimmten und jedem (Polynom-)Grad gibt es genau ein elementarsymmetrisches Polynom.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es seien Unbestimmte. Die Koeffizienten von
als Polynom in sind symmetrisch in ; sie heißen elementarsymmetrische Polynome.[Anm 1] Sie sind explizit angebbar als
Dabei kann man auch schreiben als
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Die zwei elementarsymmetrischen Polynome in den Variablen , sind
- sowie
- In den drei Variablen , , existieren die drei elementarsymmetrischen Polynome
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- In einem elementarsymmetrischen Polynom haben die Monome einen einheitlichen Grad: es ist ein homogenes Polynom.
- Nimmt man den Grad der als ersten Index hinzu, dann ist für :
Für lassen sich die elementarsymmetrischen Polynome folgendermaßen rekursiv berechnen:
- Das elementarsymmetrische Polynom vom Symmetriegrad und Polynomgrad enthält Monome.
- Für jeden kommutativen Ring bezeichne den Ring der symmetrischen Polynome in den Variablen Dann gilt der Hauptsatz der elementarsymmetrischen Polynome:[1]
- oder kurz:
- In Worten:
- Jedes symmetrische Polynom lässt sich als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben.
- Der Satz stammt von Joseph-Louis Lagrange, war aber schon Isaac Newton bekannt.
- Genauer gilt sogar, dass diese Darstellung eindeutig ist, denn:
- Die elementarsymmetrischen Polynome sind algebraisch unabhängig. Das heißt:
- Ist ein Polynom in Unbestimmten und ist dann ist das Nullpolynom.
- Es seien ein Integritätsbereich,
- ein Polynom mit Koeffizienten in und die (mit Vielfachheit gezählten) Nullstellen von in einem algebraischen Abschluss des Quotientenkörpers von . Dann gilt nach dem Wurzelsatz von Vieta:
Berechnung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Bei Zahlwerten (anstelle von Unbestimmten) gestaltet sich die Rechnung besonders einfach, denn statt mit Monomen bestehend aus Produkten mit bis zu Faktoren hat man nur Multiplikationen.
Mit dem folgenden Programm lassen sich die Koeffizienten des Polynoms
aus den Nullstellen des Polynoms
berechnen:
// Umwandlung von Nullstellen in Koeffizienten: double x[]; // bei Eingabe: n Zahlen für die Nullstellen x[1, ... ,n] // bei Ausgabe: n Zahlen für die Koeffizienten s[1, ... ,n] for (m=2; m≤n; ++m) { // leere Schleife, wenn n ≤ 1 y = x[m]; x[m] *= x[m-1]; // for (k=m-1; k≥2; --k) { // leere Schleife, wenn m ≤ 2 x[k] += x[k-1]*y; // } x[1] += y; // } |
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Allgemein sind die Potenzsummen mit den elementarsymmetrischen Polynomen durch die Newton-Identitäten verbunden.
- Das Polynom
- ist symmetrisch in , also kann man es als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben. Ist nun
- ein Polynom mit Nullstellen wie oben und setzt man diese in ein, so entsprechen die elementarsymmetrischen Ausdrücke bis auf die Vorzeichen den Koeffizienten , d. h., ist ein nur von abhängendes Polynom in den Koeffizienten . Bis auf Definitionsvarianten beim Vorzeichen ist dieses Polynom die Diskriminante von .
Anmerkungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ In älterer Literatur trifft man auch die Bezeichnung symmetrische Grundfunktionen an. Denn in der älteren Literatur wird nicht zwischen „formalen“ Polynomen , die Elemente des Polynomrings , einer Polynomalgebra oder eines Polynommoduls sind, und den durch Einsetzen entstehenden Polynomfunktionen (Abbildungen) (mit und oder ) unterschieden. Stattdessen wird dann häufig die Unbestimmtheit der Variablen („Unbestimmte“ ) betont, wenn vom Polynom die Rede sein soll.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, Kapitel 4, Abschnitt 4.
- Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. 3. Auflage. Springer, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02220-4, Kapitel III, §4.1.
- Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40532-7, Kapitel IV, §3.3.
Einzelnachweise und Anmerkungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Jantzen, Schwermer: Algebra 2014, Kapitel IV, Satz 3.5.