Elementarsymmetrisches Polynom

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Mathematik, insbesondere in der kommutativen Algebra, sind die elementarsymmetrischen Polynome Grundbausteine der symmetrischen Polynome in dem Sinn, dass sich letztere stets als Polynom in ersteren ausdrücken lassen und dies auf nur eine Weise.

Zu jeder Anzahl (Symmetriegrad) von Unbestimmten und jedem (Polynom-)Grad gibt es genau ein elementarsymmetrisches Polynom.

Es seien Unbestimmte. Die Koeffizienten von

als Polynom in sind symmetrisch in ; sie heißen elementarsymmetrische Polynome.[Anm 1] Sie sind explizit angebbar als

Dabei kann man auch schreiben als

  • Die zwei elementarsymmetrischen Polynome in den Variablen , sind
sowie
  • In den drei Variablen , , existieren die drei elementarsymmetrischen Polynome
  • In einem elementarsymmetrischen Polynom haben die Monome einen einheitlichen Grad: es ist ein homogenes Polynom.
  • Nimmt man den Grad der als ersten Index hinzu, dann ist für :
Für lassen sich die elementarsymmetrischen Polynome folgendermaßen rekursiv berechnen:
  • Das elementarsymmetrische Polynom vom Symmetriegrad und Polynomgrad enthält Monome.
  • Für jeden kommutativen Ring bezeichne den Ring der symmetrischen Polynome in den Variablen Dann gilt der Hauptsatz der elementarsymmetrischen Polynome:[1]
oder kurz:
In Worten:
Jedes symmetrische Polynom lässt sich als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben.
Der Satz stammt von Joseph-Louis Lagrange, war aber schon Isaac Newton bekannt.
Genauer gilt sogar, dass diese Darstellung eindeutig ist, denn:
  • Die elementarsymmetrischen Polynome sind algebraisch unabhängig. Das heißt:
Ist ein Polynom in Unbestimmten und ist dann ist das Nullpolynom.
ein Polynom mit Koeffizienten in und die (mit Vielfachheit gezählten) Nullstellen von in einem algebraischen Abschluss des Quotientenkörpers von . Dann gilt nach dem Wurzelsatz von Vieta:

Bei Zahlwerten (anstelle von Unbestimmten) gestaltet sich die Rechnung besonders einfach, denn statt mit Monomen bestehend aus Produkten mit bis zu Faktoren hat man nur Multiplikationen.

Mit dem folgenden Programm lassen sich die Koeffizienten des Polynoms

aus den Nullstellen des Polynoms

berechnen:

// Umwandlung von Nullstellen in Koeffizienten:
double x[]; // bei Eingabe: n Zahlen für die Nullstellen   x[1, ... ,n]
            // bei Ausgabe: n Zahlen für die Koeffizienten s[1, ... ,n]
for (m=2; m≤n; ++m) {      // leere Schleife, wenn n ≤ 1
  y = x[m];
  x[m] *= x[m-1];          // 
  for (k=m-1; k≥2; --k) {  // leere Schleife, wenn m ≤ 2
    x[k] += x[k-1]*y;      // 
  }
  x[1] += y;               // 
}
  • Allgemein sind die Potenzsummen mit den elementarsymmetrischen Polynomen durch die Newton-Identitäten verbunden.
  • Das Polynom
ist symmetrisch in , also kann man es als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben. Ist nun
ein Polynom mit Nullstellen wie oben und setzt man diese in ein, so entsprechen die elementarsymmetrischen Ausdrücke bis auf die Vorzeichen den Koeffizienten , d. h., ist ein nur von abhängendes Polynom in den Koeffizienten . Bis auf Definitionsvarianten beim Vorzeichen ist dieses Polynom die Diskriminante von .
  1. In älterer Literatur trifft man auch die Bezeichnung symmetrische Grundfunktionen an. Denn in der älteren Literatur wird nicht zwischen „formalen“ Polynomen , die Elemente des Polynomrings , einer Polynomalgebra oder eines Polynommoduls sind, und den durch Einsetzen entstehenden Polynomfunktionen (Abbildungen) (mit und oder ) unterschieden. Stattdessen wird dann häufig die Unbestimmtheit der Variablen („Unbestimmte“ ) betont, wenn vom Polynom die Rede sein soll.

Einzelnachweise und Anmerkungen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Jantzen, Schwermer: Algebra 2014, Kapitel IV, Satz 3.5.