Bergström war 1984 nationaler schwedischer Juniorenmeister und im darauf folgenden Jahr Junioreneuropameister. Er erreichte das Halbfinale der US Open bei den Junioren. Im Anschluss wurde er Tennisprofi.
In den beiden folgenden Jahren konnte er jeweils ein Challenger-Turnier gewinnen, 1988 stand er bei den Swedish Open erstmals im Halbfinale eines ATP-Turniers. Seine größten Erfolge waren seine Finalteilnahmen in Adelaide 1992 und 1993, wo er jeweils nach gewonnenem ersten Satz das Match noch abgab. Im Doppel stand er zudem an der Seite seines Landsmannes Magnus Gustafsson im Endspiel der Swedish Open 1992. Obgleich er in seiner Karriere keinen Turniersieg erringen konnte, erreichte er 1992 im Einzel Position 32 der Weltrangliste.
Er spielte in den Jahren 1991 und 1992 drei Einzelpartien und eine Doppelpartie für die schwedische Davis-Cup-Mannschaft. Bergström gewann alle vier Partien, unter anderem sein Einzel gegen Richard Fromberg beim 5:0-Sieg über Australien im Davis-Cup-Viertelfinale 1992.
Schweden
Tampere
Massimo Cierro
Porto
Alex Antonitsch
Adelaide (1)
Goran Ivanišević
Tomás Carbonell
Christian Miniussi