Diskussion:Algebraische Struktur

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"Verknüpfung" besser verlinken

Folgender Vorschlag: Zitat aus dem Artikel :

_________________ Zitat Anfang

Seien m, n aus N0 (natürliche Zahlen mit 0) und eine nichtleere Menge A gegeben. Falls in A innere Verknüpfungen und äußere Verknüpfungen mit einem Operatorenbereich Ω gegeben sind, so nennt man das n+m+2-Tupel....

_________________ Zitat Ende

"Innere Verknüpfung" ist mit "Verknüpfung (Mathematik)" verlinkt, während "äußere Verknüpfung" mit "zweistellige Verknüfung" verlinkt ist.

Angenommen "innere / äußere Verknüpfung" stehen synonym für "einstellige / äußere Verknüpfung" (was leider bisher in diesen Wikipedia-Artikel nicht erwähnt ist), währe ich dafür, "innere Verknüpfung" analog mit "einstellige Verknüpfung" (diesen Artikel gibt es!) zu verlinken.

Als Abschlusssatz könnte man noch was schreiben: "Dies alles gehört zum Thema "Veknüpfung (Mathematik)"

Was haltet ihr davon?

Danke, --Abdull 13:28, 20. Okt 2004 (CEST)

............... ...............

habe beim surfen im Internet eine gute Definition gefunden:

http://page.mi.fu-berlin.de/~swerling/BuchDerDefinitionen/node8.html

Demnach sind handelt es sich bei ein- und zweistelligen Verknüpfungen um was ganz anderes als um innere / äußere Verknüpfungen.

Eine innere Verknüpfung S x S überführt wieder in das System S. Eine äußere Verknüpfung Y x S überführt wieder in das System S. Ich erstelle jetzt Artikel zu diesen beiden Begriffen.

--Abdull 14:17, 20. Okt 2004 (CEST)

Aufräumen?

Irgendwie werden in diesem Artikel zu viele Dinge vermischt, nämlich die Beschreibung von Untersuchungsgegenständen der Mathematik (algebraische Struktur), ein mathematisches Teilgebiet & eine mathematische Struktur (allgemeine Algebra) und eine Auflistung von untersuchten Strukturen.

Mein Vorschlag:

• universelle Algebra = allgemeine Algebra:

Artikel über das Teilgebiet "Allgmeine Algebra", so wie es von Sankappanavar, Ihringer usw. schön in den Lehrbüchern steht. Dorthin würden gehören: Definition einer allgemeinen Algebra (=Variante 1 hier), Unterstrukturen (neu Unteralgebren), Homomorphismen, Kongruenzrelationen, Produkte (neu direkte Produkte), subdirekte Produkte (noch zu schreiben), Varietäten (noch zu schreiben), Termalgebren (noch zu schreiben), Hauptsätze der Gleichungstheorie (noch zu schreiben), Homomorphiesätze, usw. was es dort halt alles so gibt.

• abstrakte Algebra:

Zoo der algebraischen Strukturen und Umschreibung des Themengebietes im klassischen Sinn

• algebraische Struktur:

einführende Beschreibung solcher Strukturen ohne formale Definition

Vielleicht gibt es noch bessere Vorschläge für eine Aufteilung, das war mal meine Idee. Ich fände es einfach besser, wenn hier eine Entwirrung der verschiedenen Begriffe (sofern das überhaupt wirklich gut möglich ist) zu Stande käme. --Godfatherofpolka 23:46, 05. Apr 2005 (CET)

Hi Godfatherofpolka,

Dein Vorschlag klingt gut. --Matthy 11:38, 7. Apr 2005 (CEST)

• Ich würde das Gebiet "abstrakte Algebra" und seine wichtigsten Begriffe eher unter Algebra unterbringen. Da steht ja auch schon etwas zur Geschichte des Wortes und so. Und der Laie sucht ja vermutlich am ehesten nach dem Gebiet.
• Ist "algebraische Struktur" denn ein Fachausdruck? Mir ist bisher nur "espèce de structure algébrique" begegnet.
• Auf jeden Fall sollte man nicht versuchen, Algebren im Sinne der universellen Algebra auch noch in Algebra (Struktur) unterzubringen, das wird ansonsten zu verwirrend, und ich möchte behaupten, dass die dort genannten Algebrenbegriffe wesentlich häufiger sind.
• Klassische Algebra sollte bei dieser Gelegenheit in den geschichtlichen Abschnitt in Algebra integriert werden, das ist kein eigenständiges Gebiet.

-- Gunther 13:03, 7. Apr 2005 (CEST)

• Wie wäre es mit Algebra als Begriffsklärung? (Je nachdem kann die "Schulalgebra" gemeint sein oder eben die abstrakte Algebra, was zwar eine Eindeutschung des englischen "abstract algebra" wäre aber sicher mehr Klarheit schaffen könnte). Auf jeden Fall müsste man allgemein ein bisschen aufräumen innerhalb von allem was mit "Algebra" zu tun hat (insbesondere Trennung: Was ist der Name eines Teilgebiets der Mathematik (z.B. elementare Algebra, abstrakte Algebra, klassisches Algebra) und was sind algebraische Strukturen (z.B. Lie-Algebra, sigma-Algebra, allgemeine Algebra, etc.). Das wird zwar auf Algebra schon getan aber man könnte es noch explizit als Begriffsklärung bezeichnen.
• Algebraische Struktur ist meines Wissens kein Fachausdruck. Könnte daher auch entfallen oder aber wie schon erwähnt eine "nichtmathematische" Beschreibung darüber enthalten, was Algebraiker den ganzen Tag so untersuchen.
• Auf jeden Fall finde ich es wichtig, den Begriff "Allgemeine Algebra" als streng definierte Struktur von der allgemeinen Idee der "algebraischen Struktur" zu trennen, da das Gebiet "Allgemeine Algebra" sehr interessante und elegante Theorien hervorgebracht hat, die ohne eine etwas präzisere Beschreibung hier nicht erschlossen werden können. --Godfatherofpolka 23:14, 07. Apr 2005 (CET)

• Ja, eine Begriffsklärung ist wahrscheinlich das Sinnvollste, wenn auch nicht gerade einladend.
• Ich habe mich nochmal umgeschaut und festgestellt, dass algebraic structure eine einzelne Algebra meinen kann (siehe en:variety (universal algebra)). fr:structure algébrique ist eher vage. Aber ich schaue morgen mal bei Bourbaki nach.

-- Gunther 00:02, 8. Apr 2005 (CEST)

Die Sprache bei Bourbaki ist ziemlich abschreckend, ich habe mich dann doch nicht durchgewühlt. Vielleicht versuche ich es nochmal, aber es sieht ziemlich unlesbar aus.-- Gunther 13:09, 8. Apr 2005 (CEST)

Ich habe mal eine Frage: Meines Wissens nach ist der "Körper" das Standardbeispiel eines Objektes, das in der Algebra untersucht wird, das sich aber nicht im Kontext einer universellen Algebra formulieren lässt, da die Axiome "1 ungleich 0" und (vor allem) "für alle x ungleich 0 gibt es ein Inverses" nicht allein mit All-Quantoren geschrieben werden können. Trotzdem werden Körper als Beispiele für universelle Algebren aufgeführt. Auch bei der "Quasigruppe" hab ich so meine Bedenken, aber da bin ich mir nicht ganz sicher, ob sich hier die Axiome allein mit All-Quantoren über die ganze Menge darstellen lassen. Anna 29.5.2005

Da hast Du (soweit mir bekannt) recht. Da hat wohl jemand diesen Artikel mit der Hierarchie mathematischer Strukturen verwechselt...--Gunther 23:47, 29. Mai 2005 (CEST)

Soweit mir bekannt, eher nicht. Die Körperaxiome können im Kontext einer universellen Algebra formuliert werden, wenn man für 1 und 0 Konstantensymbole (0-stellige Verknüpfungen) mit in die Struktur aufnimmt (zusätzlich zu den Verknüpfungen „+“ und „·“. Möglicherweise (ich bin mir da aber nicht sicher) geht es sogar ohne die Konstanten, wenn man die ganze Liste der Axiome (es sind ja endlich viele) mit zwei Existenzquantoren beginnt: „Es gibt ein e (für Eins) und ein n (für Null), so dass ....“. Das hier geht aber in den Bereich der mathematischen Logik, weil es darum geht, ob bzw. wie man die Axiome in der Sprache der ersten Stufe ausdrücken kann.--Digamma 13:51, 7. Nov. 2007 (CET)

Beispiel

In der Definition steht unter der Variante 1 "Eine algebraische Struktur ist eine Menge A zusammen mit einer Menge von Verknüpfungen auf A". Und bei der Liste verschiedener algebraischer Strukturen lese ich: Menge: eine algebraische Struktur ohne Verknüfungen.

Macht nach der Definition der algebraischen Struktur der Ausruck "algebraische Strukur ohne Verknüpfungen" überhaupt Sinn? (nicht signierter Beitrag von 84.138.252.145 (Diskussion) 24. Jun 2006)

Ja. Eine "Menge ohne Verknüpfungen" ist eine algebraische Struktur, in der die "Menge der Verknüpfungen" die leere Menge ist. Die ist zwar, als Algebra betrachtet, nicht sehr interessant, aber es ist praktisch, auch diese "nackte Menge" als Algebra zuzulassen. --Wuzel 22:36, 24. Jun 2006 (CEST)

Das mit der leeren Menge als Menge der Verknüpfung ist nun klar. Dann sind also die Versionen 1 und 2 nicht äquivalent, da ja in der zweiten Version A nicht die leere Menge sein kann und in der ersten Version schon. (nicht signierter Beitrag von 84.138.252.145 (Diskussion) 24.Juni)

Nein, die leere Menge kann in beiden Fällen zugelassen werden (oder, wenn es sich als praktisch erweist, ausgeschlossen werden. :--Wuzel 12:53, 29. Jun 2006 (CEST)

Variante 3

Wo liegt der Unterschied zwischen Variante 3 und Variante 2 ?!?? --Alexandar.R. 08:06, 15. Aug. 2007 (CEST)

Bei Variante 2 „fehlte“ die Möglichkeit zu jeder äußeren Verkn. einen eigenen Op-Bereich zu haben. Ich hätte es zwar auch dort ergänzen können, aber ich glaube nicht, dass das dann auch ein „ergänzen“ gewesen wäre, sondern eher ein ersetzten einer eigenständigen und legitimen Def.-Variante durch eine andere. Auch hätte ich nicht gewusst, wie eine Signatur für meine Def.-Variante ausgesehen hätte. Vielleicht, (A, n, m, omega_1, … , omega_m); ich hatte jedoch keine Quelle dazu und bin mir auch nicht sicher, ob für eine algebraische Struktur eine Signatur überhaupt üblich ist.

Ich glaube, und das wurde wohl auch schon anderswo bemängelt, in diesem Artikel geraten wenigstens einige der Begriffe algebraische Struktur (Variante 2 und 3), Algebra (math. Objekt), Algebra (math. Disziplin), universelle Algebra (=Variante 1) und abstrakte Algebra durcheinander. Bin mir aber sicher, dass es wichtig ist, die verschiedenen Versionen von Definitionen einer alg. Struktur, die teilweise für sich und alleinig in ganzen Büchern oder Abhandlungen als korrekte und einzige Definition gebraucht werden, aufzuführen. Da ich die Varianten 2 auch schon mal irgendwo gesehen hatte, wollte ich sie nicht überschreiben. Ich finde sowieso, dass bei vielen math. Artikeln hier verschiedene Alternativen von Definitionen fehlen. Wer hier nachschlägt hat häufig eine bestimmte Definition im Auge oder in seiner Literatur und kann dann nicht immer was mit der Definition anfangen, die sich der ein oder andere Autor des betreffenden Artikels gerade ausgesucht hatte.

Die Variante 1 halte ich jedoch eigentlich für deplatziert, sie gehört in einen Artikel universelle Algebra (oder war das abstrakte Algebra – verwechsele das immer). Dass der Artikel schon vorher inakzeptabel war, bleibt natürlich. Die Varianten 2 und 3 beschreiben etwas (ganz) anderes als die Variante 1, nämlich eine mathematische Struktur möglicher mathematischer Objekte in Ggs. zu einem konkreten mathematischen Objekt, welches durch Variante 1 beschrieben wird.

Wegen der sehr nahen Verwandtschaft der beiden Begriffe und dem insb. unter Fachleuten meist unexakten Gebrauch der Begrifflichkeiten könnte man wohl schon beides in einen Artikel zusammenfassen, sollte das aber ordentlicher trennen.

Gruß –Markus Prokott 18:21, 15. Aug. 2007 (CEST)

P.S.: Mir fällt gerade auf, dass es vielleicht didaktisch schöner gewesen wäre, für Variante 3 dieselben Verknüpfungssymbole zu benutzen wie in Variante 2.

Andere Strukturen

Natürlich sollten im Artikel nur algebraische Strukturen bzw. allgemeine Algebren im engeren Sinne, also solche mit nur endlich-stelligen Verknüpfungen/Operationen, behandelt werden. Dennoch sollte im Artikel aber auch darauf hingewiesen werden, dass es auch noch sigma-Algebren und andere im weitesten Sinne algebraische Strukturen mit unendlich-stelligen Verknüpfungen/Operationen gibt (z.B. vollständige Verbände). Das gleiche gilt auch für Mischstrukturen wie geordnete algebraische Strukturen.--RP 20:23, 26. Okt. 2007

Runde Klammern für Familien!

Geschweifte Klammern stehen immer nur für allgemeine Mengen, niemals für Familien (siehe meine Korrektur des Artikels "Familie (Mathematik)")! Zwar sind Familien, weil sie Funktionen sind, auch Mengen, es sind aber spezielle Mengen, daher die spezielle Notation. Familien werden in der gesamten mathematischen Fachliteratur mit runden Klammern geschrieben. Übrigens können n-Tupel als Familien angesehen werden mit einer endlichen Indexmenge, und die ist einfach nur eine Menge ohne Ordnungsrelation!--RP 12:14, 6. Nov. 2007

Hi,

verstehe jetzt gar nicht deine plötzliche Härte in dieser Position. Hattest du nicht zunächst selbst die Schreibweise der Familien in geschwungene Klammern geändert (vgl. Änderung von Version 38648031), oder war das nur eine zufällige übereinstimmung der IPs? Ich habe nur deine Änderung in runde Klammern auf deine ursprüngliche Version mit geschwungenen Klammern zurückgesetzt.

Sei's drum. Habe jetzt mal gründlich in meiner Hausliteratur recherchiert und auch noch im Netz gesucht. Bin zu einem überraschenden Ergebnis gekommen. Ich habe in allen meinen Büchern bis auf eines, in denen Familien mit Klammern formuliert werden, stets(!) die Variante mit geschwungenen Klammern gefunden. Darunter waren auch ein Informatikbuch und ein wissenschaftsjournalistisches Buch. (Also Bücherarten, die wahrscheinlichkeitsmäßig nicht dazu Neigen, selbstständig neue Schreibweisen für die Mathematik einzuführen.) Nur in einem Buch kam mal die runde Variante vor, und zwar in einem Übungsabschnitt am Ende eines Kapitels zwei, drei mal. Allerdings wurden in diesem Buch in einer allgemein-mathematischen Einführung am Anfang explizit die Familien mit geschwungenen Klammern eingeführt und so auch sonst überall im Buch verwendet. Deshalb halte ich die eine Ausnahme tendenziell für einen Setzfehler.

Natürlich ist es auch möglich Familien mit runden Klammern zu schreiben. Und ich habe in der Tat dann bei der Internetrecherche nur diese Schreibweise gefunden. Dass in allen bis auf einem meiner Bücher zufällig generell nur eine Variante vorkommt, erklärt vielleicht meine anfängliche Überzeugung, dies sei die allgemein vernehmlichere Variante. In dem einen übrigen ohne die geschwungene Variante habe ich dann noch die Variante mit eckigen Klammern gefunden. Dieses Buch fällt jedoch generell aus dem Rahmen, da dort auch spitze Klammern für Tupel und doppelte eckige Klammern $[\![\ldots ]\!]$ für Mengen benutzt wurden. Dann habe ich noch die Info von Benutzer:Digamma bekommen, dass es auch die Variante mit eckigen Klammern für Familien gibt.

Also gibt es prinzipiell erstmal alle Varianten, wobei die mit runden und geschwungenen Klammern die häufigsten sind. Wesentlich für Familien ist jedoch immer die Hinzufügung der Indexmenge zumeist im Subskript der schließenden Klammer, manchmal auch im Kontext.

Das ist auch der eigentliche Unterschied zu Tupeln! Tupel sind geordnete Kollektionen von Elementen. Du hast aber gar nicht Unrecht, dass sie als Familien über ungeordneten Indexmengen geschrieben werden können bzw. werden. Der korrekte Zusammenhang ist folgender:

Endliche (abzählbar-unendliche) Tupel sind eine Schreibweise ohne Indexmenge für Familien mit endlichen (abzählbar-unendlichen) Indexmengen. Wegen dem „ohne Indexmenge“ ist die Ordnung wichtig, und ebenso unwichtig, falls mit Indexmenge. Denn die vorausgesetzte Ordnung in der Tupeldarstellung ist die notwendige Eigenschaft, um beim Fehlen einer Indexmenge die theoretische Abbildung aus den nat. Zahlen, die hinter dem Tupel steht, zu konstruieren: Die erste Komponente ist das Bild der 1, die zweite das der 2 usf. Würde auf die Ordnung nicht geachtet, könnte man ohne ausdrückliche Definition der indizierenden Abbildung zwei Tupel nicht mehr unterscheiden. Es könnte (a, b, c)=(b, a, c) sein, wie es ja bei {a, b, c}={b, a, c} der Fall ist.

Diesen Zusammenhang ersieht man perfekt am Beispiel von Wikipedia-Vorlagen: Achtet man auf die Ordnung (Reihenfolge) der Parameter, braucht man diese nur durch Pipes zu trennen, vernachlässigt man die Reihenfolge, muss man die Zuordnung von den nat. Zahlen zu jedem Parameter explizit angeben durch ein Voranstellen von 1=, 2= etc.

Einen klaren Fehler habe ich aber im Internet öfter gefunden, der zugegeben recht versteckt ist. Und zwar werden ja die Begriffe ∞-Tupel und Folge synonym verwendet. Bekannt ist auch, dass man Beides als $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ schreibt/schreiben kann. Man könnte das selbstverständlich auch verallgemeinern, indem man statt $\mathbb {N}$ eine beliebige abzählbar-unendliche Indexmenge $A$ zuließe. Das wird auch gemacht. Was aber nicht geht – jedoch gemacht wird – ist, dass man $A$ als gänzlich beliebig zulässt. – Warum nicht? – Weil Folgen unbedingt eine Ordnung brauchen, sonst könnte man sie gar nicht so benutzen, wie man sie benutzt. Wählt man aber etwa $A=\mathbb {C} ,$ kann man keine Ordnung mehr konstruieren, da ja $\mathbb {C}$ nicht anordbar ist. Vielleicht findet man noch eine Richtung auf $\mathbb {C}$, dann wär's aber wiederum ein Netz und keine Folge. Man kann auch nicht zwischen ∞-Tupeln und Folgen unterscheiden und für das erste das beliebige $A$ zulassen, denn für Tupel ist es ja (um die zugehörige Abbildung zu konstruieren, s. o.) gerade wichtig, jede Teilmenge ihrer Elemente auch einzeln hintereinander notieren zu können, z.B.

$(\ldots ,x_{\alpha },x_{\beta },x_{\gamma },\ldots ),\ \gamma =S(\beta ),\ \beta =S(\alpha ),\ \alpha \in A$

mit einer Nachfolgerfunktion $S.$ Spätestens beim Begriff Nachfolgefunktion ([en]) erkennt der Verständige aber, dass nur eine zu $\mathbb {N}$ „bijektive“ Menge als Indexmenge in Frage kommt. Man könnte auch sagen: „es gibt gar keine überabzählbar-unendlichen Tupel.“

Also kann man alle endlichen (unendlichen) Tupel als Familie mit endlicher (abzählbar-unendlicher) Indexmenge darstellen. Komprimierte Tupelschreibweisen der Form $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$ machen jedoch keinen Sinn mit gänzlich beliebiger Indexmenge bzw. machen nur Sinn mit abzählbarer (endlicher/unendlicher) Indexmenge.

Deshalb bevorzuge ich auch die Schreibweise mit geschwungenen Klammern für Familien. Weil dann denke ich bei Objekten der Form $(x_{\alpha })_{\alpha \in A},$ weil sie dann ja eindeutig nur Folgen sein können, gleich daran, dass ich sie wie Objekte der Form $\ (x_{1},x_{2},x_{3})$ und $(\ldots ,x_{i{-}1},x_{i},x_{i+1},\ldots )$ aufschreiben können muss. Während ein Objekt der Form $\{x_{\alpha }\}_{\alpha \in A},$ genausowenig wie eine Menge $\{x_{\alpha }\mid \alpha \in A\},$ gereiht aufschreibbar sein muss; also „runde Klammern = gereiht aufschreibbar, geschwungene Klammern = evt. nicht gereiht aufschreibbar.“ – Aber das ist letztlich eine Sache der individuellen Denke und des Geschmacks und daher nicht wichtig für die Formulierung von Artikeln hier.

Konkret würde ich für den Artikel Familie (Mathematik) empfehlen, die Varianten mit jeder Klammerform aufzuführen und dazuzuschreiben, dass die beiden mit runden und geschwungenen Klammern die gängigsten sind, während die anderen und womöglich sonst noch welche eher vereinzelt auftreten. Für sonstwelche Artikel in der WP würde ich empfehlen, wahlweise die runden oder die geschwungenen Klammern zu verwenden, dann aber jeweils artikelweit und nicht wechselnde Schreibweisen im selben Artikel. Das würde auch gegenüber den Lesern dem Umstand Rechnung tragen, dass ebenso in der Literatur wechselnde Schreibweisen vorkommen.

Desweiteren würde ich, Benutzer:Digamma und dessen Argumentation folgend, auch sagen, dass für eine univ. Algebra in der Definition keine Familie von Verknüpfungen gefordert werden muss/sollte, sondern einfach eine Menge, da Verknüpfungen nicht doppelt auftreten können/sollen, oder? So war es ja auch vorher im Artikel, bis du es geändert hast (vgl. Änderung von Version 38646324). Woher hast du denn die Def., und wird da irgendwie angedeutet, ob doppelte Verknüpfungen gewollt bzw. sinnvoll sind?

—Markus Prokott 13:59, 8. Nov. 2007 (CET)

Ich habe in der Uni-Bibliothek in Mathematik-Fachbüchern noch mal nachgesehen und nur ein Buch gefunden, wo auch nur einmal (möglicherweise ein Druckfehler) geschwungene Klammern für Familien benutzt wurden (natürlich kenne ich nicht alle Fachbücher, aber genug um das beurteilen zu können). In meinem gesamten Mathematikstudium ist mir so eine Schreibweise nicht untergekommen, eine solche ist in der Mathematik wirklich unüblich. Es gibt aber wohl manche Autoren (meistens wohl keine Mathematiker), die das nicht so genau nehmen (das habe ich ja auch im Artikel angemerkt). Dass ich ursprünglich auch hier im Artikel geschwungene Klammern benutzt habe, liegt daran, dass ich eine Inkonsistenz bezüglich der Schreibweise vermeiden wollte. Als ich dann den "Familien"-Artikel korrigiert hatte, habe ich das auch hier getan.

Bei Tupeln ergibt sich der Index aus der Position der Stelle, die abgezählt werden kann (deshalb muss für die Indexmenge auch Abzählbarkeit vorausgesetzt werden), und kann deshalb weggelassen werden. $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}$ ist keine Tupelschreibweise und macht mit gänzlich beliebiger (also auch mit überabzählbar-unendlicher) Indexmenge sehr wohl Sinn, z.B. bei Operationen wie der mengentheoretischen Vereinigung oder dem mengentheoretischen Durchschnitt (es gibt aber auch noch andere).

Was die Familie von Verknüpfungen angeht: Wirf mal einen Blick in die in den beiden Artikeln angegebene Literatur zur allgemeinen Algebra, da steht's drin. Im Prinzip könnte man an Stelle von einer Familie von Verknüpfungen auch einfach nur eine Menge von Verknüpfungen nehmen, aber in der Literatur werden nun mal im allgemeinen Familien genommen, also sollte man sich auch an diese übliche Definition halten. Gruss--RP 13:52, 13. Nov. 2007

Bündige „Definition“ in Einleitung

Auch wenn es nicht allen formalen Kriterien gerecht werden sollte, gehört in den ersten Satz der Einleitung doch eine Aussage, um was für ein „mathematisches Objekt“ es sich denn handelt. Hat jemand eine bündige „Definition“? Für Struktur (Modelltheorie) gilt dasselbe. --Chricho ¹ 19:55, 18. Sep. 2011 (CEST)

Vermeidung von ∃

„Diese Definition hat aber die Eigenschaft, dass die Axiome nicht allein durch Gleichungen ausgedrückt werden, sondern auch den Quantor ‚es gibt … so dass‘ enthalten; in der allgemeinen Algebra versucht man deshalb solche Axiome zu vermeiden.“ Gibt es dazu eine Quelle? Wo versucht man, das zu vermeiden? (Quelle?) Ansonsten sollte das auch umformuliert werden, möchte ich nun aber nicht, ohne über die Bewandnis informiert zu sein. „allein durch Gleichungen“ ist eine unsinnige Formulierung, man sollte explizit von Allaussagen sprechen und zudem darauf hinweisen, dass das nichts anderes als eine Skolemisierung ist (insofern war auch die Änderung durch die IP richtig[1], denn es ist nur eine Skolemisierung, irgendwelche Eindeutigkeitssachen spielen hier überhaupt keine Rolle). --Chricho ¹ 09:41, 16. Dez. 2011 (CET)

Irgendwie ist hier sowieso viel Gefasel um nichts. Beide Varianten geben zum Beispiel gar keine Möglichkeit an, implizit top-level-allquantisierte Gleichungen oder allgemeinere Axiome unterzubringen. Es wird nur gesagt, dass das getan wird. Wie: scheinbar völlig frei und ohne Beschränkung. (a.k.a.: wir handwaven das irgendwie mit rein - wir haben zwar angefangen, eine mögliche Formalisierung anzugeben, aber auf der Hälfte des Weges aufgehört)

Mit dem derzeitigen Inhalt sind beide Varianten (mitsamt Homomorphismen) zudem vollständig definierbar durch: "Ein Funktor $F\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Set}$ definiert die Signatur einer F-Algebra; eine F-Algebra ist ein Paar $(A,\alpha )$ bestehend aus einer Menge $A$ und einer Abbildung $\alpha \colon F(A)\to A$; Homomorphismus von F-Algebra $(A,\alpha )$ zu F-Algebra $(B,\beta )$ ist Abbildung $h\colon A\to B$ mit $\beta \circ F(h)=h\circ \alpha$." (Der Funktor auf Objektebene $X\mapsto 1+X+X\times X+\mathbb {R} \times X$ beschreibt beispielsweise die Signatur reeller Vektorräume.) --Daniel5Ko 02:34, 20. Dez. 2011 (CET)

Normalteiler als Unterstrukturen

„Je nachdem, wie man die Gleichungen zur Definition der algebraischen Struktur gewählt hat, können die Unterstrukturen aber ganz verschieden aussehen. So lassen sich z. B. Gruppen so definieren, dass die Unterstrukturen Normalteiler sind.“

Wie soll das bitte gehen? Wenn ich eine Menge von Axiomen in equational logic habe und eine Struktur erfüllt die, dann erfüllt natürlich auch jede bzgl. der Operationen abgeschlossene Substruktur diese. Also kann man die Gruppenaxiome (hier „Gleichungen zur Definition“ genannt) auch nicht so wählen, dass etwas anderes als der Untergruppenbegriff herauskäme. Es gibt ja auch rein gar nichts, das eine Gruppe an sich als Normalteiler auszeichnen würde. Jede Gruppe tritt als Normalteiler einer anderen auf (sich selbst, Produkte mit anderen Gruppen). --Chricho ¹ ² ³ 21:31, 25. Aug. 2012 (CEST)

Ich hatte das vor langer Zeit schon mal mit dem Autor der Zeilen diskutiert, siehe [2] und [3]. Mein Vorschlag: Entfernen. --Digamma (Diskussion) 21:05, 27. Aug. 2012 (CEST)

Also mit „Gleichungen“ hat das jedenfalls nichts zu tun. Ich habe leider keine Vorstellung davon, wie wichtig diese Betrachtungsweise ist, bei der man eben nicht nur axiomatisiert sondern noch nach Belieben Operationen hinzufügt. Im Grätz finde ich jedenfalls spontan nichts dergleichen. Wie wäre es, wenn man einfach ein Beispiel draus macht? Wobei ich mir dann auch unsicher bin, was das dem Leser dann sagen mag, wenn er das sieht. --Chricho ¹ ² ³ 21:46, 27. Aug. 2012 (CEST)

Deshalb würde ich die beiden Sätze einfach streichen. --Digamma (Diskussion) 21:58, 27. Aug. 2012 (CEST)

Diese Diskussion liegt schon ein paar Tage zurück, aber dennoch: Die Aussage über den Normalteiler ist falsch. In den von Digamma zitierten Diskussionen wird behauptet, man würde das mit Gleichungen der Form $gxg^{-1}=x$ hinbekommen, denn das würde die Abgeschlossenheit gegenüber der Konjugation bedeuten und damit einen Normalteiler definieren. Das geht natürlich nicht, da man ja nur Elemente der betrachteten Trägermenge, also der Unterstruktur selbst, verwenden kann. Wie oben schon richtig von ¹ angemerkt, ist die Normalteilereigenschaft keine innere Eigenschaft der Untergruppe sondern hängt von der umgebenden Gruppe ab. In der A4 hat man $\{e\}\vartriangleleft \{e,a\}\vartriangleleft V\vartriangleleft A_{4}$ (siehe dort). $\{e,a\}$ ist Normalteiler in $V$ aber nicht in $A_{4}$. Es kann also überhaupt keine Gleichungen geben, deren Bestehen (für die Elemente der jeweiligen Untergruppe) die Eigenschaft Normalteiler ergibt. Ich sehe auch keine Möglichkeit, weitere Funktionen zu definieren, die da weiterhelfen könnten. Ich gehe jetzt, und entferne die fraglichen Sätze.--FerdiBf (Diskussion) 07:45, 9. Mär. 2022 (CET)

Danke. --Digamma (Diskussion) 18:14, 9. Mär. 2022 (CET)

Zur Signatur

In der Erleuterung zur Signatur wird "(G,•,^{-1},1)" verwendet; in den Beispielen unter "Arten von Algebraischen Strukturen" dann aber öfters "(G,•,1,^{-1})".

Hier wünschte ich mir Einheitlichkeit.

Gleiches gilt dann natürlich für die additive Verknüpfung. (nicht signierter Beitrag von 141.35.40.137 (Diskussion) 15:35, 16. Jul 2013 (CEST))

Da war wohl etwas in Unordnung geraten, das habe ich jetzt verbessert. Leider gibt es da wohl keine einheitlichen Richtlinien, aber normaler Weise sortiert man die Operationen so, dass die elementarste zuerst kommt und dann jeweils die, die zu den vorherigen dazu gekommen sind. Z.B. kann eine Gruppe $(G,*,1,{}^{-1})$ auch als spezielles Monoid $(G,*,1)$ und dieses wiederum als spezielle Halbgruppe $(G,*)$ betrachtet werden. Außerdem muss man für die einstellige Operation ^{$^{-1}$} schon ein neutrales Element, also eine nullstellige Operation $1$ haben, sodass zumindest die Reihenfolge $1,{}^{-1}$ vorgegeben ist. Man könnte aber auch die Operationen einfach nach deren Stelligkeit sortieren. --RPI (Diskussion) 15:20, 24. Jul. 2013 (CEST)

Arten von Algebraischen Strukturen

Wo sind eigentlich die Algebren über einem kommutativen Ring und über einem Körper geblieben? --RPI (Diskussion) 15:34, 24. Jul. 2013 (CEST)

Dieser Artikel behandelt das abstrakte Konzept der algebraischen Struktur aus der universellen Algebra. Algebren über einem kommutativen Ring können, wenn man denn unbedingt will, auch als algebraische Strukturen im Sinne dieses Artikels aufgefasst werden, allerdings nur mit einer möglicherweise unendlichen und vom Ring abhängigen Signatur: Für jedes Ringelement muss die Skalarmultiplikation von Algebraelementen mit diesem Skalar als eigene Operation eingeführt werden. Eine solche Betrachtungsweise kann sinnvoll sein, in dem Sinne, dass sich dadurch gewisse Ergebnisse der universellen Algebra auf diesen Fall übertragen lassen, ist aber auch nicht gerade natürlich. Auf natürliche Weise ließe sich eine Algebra über einem kommutativen Ring dagegen als heterogene Algebra auffassen. Dieses Beispiel sollte daher meines Erachtens nicht in diesem Artikel enthalten sein, zudem geht es in dem Artikel ja auch nicht darum, den ganzen Zoo von Strukturen darzustellen (dafür gibt es den Artikel Mathematische Struktur), sondern eine bestimmte, gut untersuchte Abstraktion mancher dieser Strukturen, wie sie in der universellen Algebra zentral ist. Vormals befand sich auch eine „Variante 2“ genannte Definition des Wortes „algebraische Struktur“ in diesem Artikel, das war aber nicht der in der universellen Algebra übliche Begriff und entsprach weitestgehend dem, was man eine heterogene Algebra nennt. Hier die Löschung, diese bezweckte, dass der Artikel nicht mehrere Begriff auf einmal darstellt. Fragen/Einwände? --Chricho ¹ ² ³ 15:49, 24. Jul. 2013 (CEST)

Damit, dass „Variante 2“ der Definition gelöscht wurde, bin ich sehr einverstanden! Als es vor Jahren sogar noch „Variante 3“ gab, konnte ich wenigstens diese mit „Variante 2“ zusammenfassen, an „Variante 2“ wollte man damals aber noch festhalten.

Was Algebren über einem kommutativen Ring betrifft, widerspräche eine unendliche Signatur ja nicht der Definition, die ist sogar ausdrücklich zugelassen. Und ein (Schief-)Körper ist ja streng genommen auch keine (vollständige) algebraische Struktur. Aber wie du sagst, ist es schon vernünftig, zur besseren Klarheit die verschiedenen Begriffe enger zu fassen. So, wie es jetzt ist, kann es also bleiben. Ich hatte den Artikel schon lang nicht mehr angesehen und jetzt auch nicht so genau:-) Danke für die schnelle Antwort! --RPI (Diskussion) 16:58, 24. Jul. 2013 (CEST)

Doppelte Klammer da Tupel

$b$ ist dann das Bild von $a_{1},\ldots ,a_{n}$ (Schreibweise: $b=f(a_{1},\ldots ,a_{n})$).

Müsste es nicht lauten: b ist bild von (a1 ... an) Schreibweise: b = f((a1 ... an)) also zwei klammern? (nicht signierter Beitrag von 188.104.122.139 (Diskussion) 08:44, 27. Aug. 2013 (CEST))

Das erste ja, aber bei Funktionen ist es absolut üblich nur eine Klammer zu schreiben. -- HilberTraum (Diskussion) 12:25, 27. Aug. 2013 (CEST)

Heterogene Algebra

Ist eine heterogene Algebra eine algebraische Stuktur?

Zurzeit heißt es in der Einleitung des Artikels:

• Eine algebraische Struktur ist eine Menge versehen mit Verknüpfungen auf dieser Menge.
• Verallgemeinerungen algebraischer Strukturen sind die heterogenen Algebren, die partiellen Algebren und die relationalen Strukturen.

So wie es dasteht, sind heterogene Algebren keine algebraischen Strukturen, sondern Verallgemeinerungen derselben - weil sie (in der Regel) mehrere Trägermengen haben.

Dem steht entgegen der Sprachgebrauch in den folgenden Artikeln:

• Vektorraum
• Algebra über einem Körper
• Modul (Mathematik)
• Lie-Algebra

In all diesen Artikeln (und vielleicht noch anderen) werden die jeweiligen Strukturen als algebraische Strukturen bezeichnet und sind mit dem Artikel hier verlinkt, obwohl diese Strukturen zwei Trägermengen aufweisen (und damit heterogene Algebren sind).
Es ist also eine klare Inkonsistenz festzustellen.
Versuche, einen entsprechenden Hinweis einzutragen, wurden stets rückgängig gemacht, ohne die widersprüchliche Situation zu klären. Unter anderen wurde argumentiert: "Wikipedia stellt den Stand des Wissens dar, wie er sich in den aktuell verbreitetsten Lehrbüchern findet. Der Begriff der heterogenen Algebren spielt in den gebräuchlichen Lehrbüchern keine Rolle und sollte deshalb auch in den entsprechenden Wikipedia-Artikeln außen vor bleiben. Falls sich das mit der Lehrbuchliteratur irgendwann mal ändert, dann kann der Begriff natürlich auch in die hiesigen Artikel" (von Benutzer:Sung Kyun Kwan in Benutzer Diskussion:Moyalingde#Bitte unterlasse).

Wie kann eine Lösung aussehen?
Die Artikel Funktion (Mathematik) und Relation (Mathematik) unterscheiden - wie in der Literatur üblich - zwischen homogenen und heterogenen Funktionen bzw. Relationen. Wenn in der Literatur, wie von Sung Kyun Kwan festgestellt, die obenstehenden heterogenen Strukturen als algebraische Strukturen bezeichnet werden (daran ist wohl nicht zu zweifeln), dann muss dem hier Rechnung getragen werden, d h. auch algebraische Strukturen (als n-Tupel verstanden) können sowohl homogen sein, als auch heterogen. Partielle und relationale Strukturen stellen daggegen wirkliche Erweiterungen dar.
Die Einleitung des Arikels ist entsprechend anzupassen. --Ernsts (Diskussion) 14:14, 11. Feb. 2018 (CET)

Zunächst: bei meinen Zurücksetzen ging es nicht darum, dass ich die Ergänzungen für falsch hielt, sondern einfach nur, dass wir hier die Aspekte für erwähnenswert ansehen, die in der Lehrbuchliteratur für erwähnenswert gehalten werden.

Davon ab - man kann bspw. einen Vektorraum schon als algebraische Struktur auffassen: für jedes Körperelement hat man eine Skalarmultiplikation. Es wird in der Definition algebraischer Strukturen ja nicht verlangt, dass es nur endlich viele Verknüpfungen gibt.--S. K. Kwan (Diskussion) 14:40, 11. Feb. 2018 (CET)

Hallo Sung Kyun Kwan,

vielen Dank für Deine Stellungnahme! Der Hiweis war - wie auch schon Benutzer:Digamma festgestellt hat, zunächst an zu prominenter Stelle, der ursprüngliche doppelte Querverweis suboptimal. Orientierung an Lehrbuchliterarur ist sicher ein wichteiger Aspekt (leider gibt es auf den mathematischen Seiten von WP viel zu wenig Referenzen im Vergleich zu anderen Wissensthemen). Hoffe, Deiner Argumentation entgegengekommen zu sein, in dem der Hinweis auf Heterogene Algebra jetzt als Unterpunkt neben anderen eingestuft ist.

VR als homogene(!) alg. Struktur mit unendlch vielen Vkn (eine pro Skalar) logisch richtig, aber noch exotischer - war aber von Dir wohl auch so verstanden. Das geht natürlich bei jeder heterogenen Algebra. Siehe Oberschelp; "Weil jedoch die einsortige Sprache und die dazu gehörige Logik sehr viel einfacher ist, legt man sie gew6hnlich metamathematisehen Untersuchungen als Objekt zugrunde. Das ist insofern zulässig, als bereits die ein- sortige Sprache zur Formulierung aller mathematischen Tatsaehen ausreicht.". Es ist mehr die praktische Bedeutung (Datentypen in der IT) was für die heterogenen Betrachtungen spricht (und ich bin ITler).

Grüße --Ernsts (Diskussion) 15:25, 11. Feb. 2018 (CET)

Der Hinweis steht im Artikel Vektorraum auch jetzt noch an ziemlich prominenter Stelle und er gehört aus den genannten Gründen einfach nicht in diesen Artikel. Man kann im Artikel Heterogene Algebra meinethalben Vektorräume als Beispiele aufführen. Aber es gibt keinen Grund, im Artikel Vektorraum zu erwähnen, dass es sich um eine heterogene Algebra handelt. Zum einen hilft das nicht zum Verständnis von Vektorräumen. Und zum anderen hält das (bis zum Beweis des Gegenteils) keines der gebräuchlichen Lehrbücher für erwähnenswert, weshalb wir das dann auch nicht tun sollten.—S. K. Kwan (Diskussion) 15:39, 11. Feb. 2018 (CET)

R. Hartwig Syntax, Semantik, Spezifikation - Grundlagen der Informatik, WS 2009/2010 S. 11
Als IT-Spezialist, der täglich mit verscheidenen Datentypen arbeitet, habe ich vielleicht einen andere Prioritäten, insbsondere auf Mehrsortigkeit (ohne gleich Typentheorie zu favorisieren). --Ernsts (Diskussion) 17:54, 11. Feb. 2018 (CET)

Das ist zum einen kein Lehrbuch, das in einem Verlag erschienen wäre. Und zum anderen geht es in den Folien auch nicht um Vektorräume oder lineare Algebra. Insofern wären dieFolien also kein Argument für ein Einfügen des Begriffs in diverse Algebra-Artikel. Falls der Begriff in der Informatik von Bedeutung ist, dann sollte man ihn dort in entsprechenden Artikeln erwähnen.—S. K. Kwan (Diskussion) 18:21, 11. Feb. 2018 (CET)

Ich denke, dass der Vorschlag von Benutzer:Moyalingde, den er unter Benutzer_Diskussion:Moyalingde#Bitte_unterlasse äußert, nämlich, den Artikel Algebraische Struktur so zu ergänzen, dass er heterogenen algebraische Strukturen mit umfasst, recht sinnvoll ist. Dann erübrigen sich die Verweise auf heterogene Algebra in den Artikel Vektorraum, Modul (Mathematik) usw. --Digamma (Diskussion) 19:04, 11. Feb. 2018 (CET)

Ja, klingt vernünftig.—S. K. Kwan (Diskussion) 21:55, 11. Feb. 2018 (CET)

Ich würde ja gerne auch den affinen Raum mit den Mengen Punkte und Vektoren und die Tonstruktur mit Tönen und Intervallen als Algebraische Struktur bezeichnen. --Joachim Mohr (Diskussion) 11:15, 25. Mai 2020 (CEST)

Intro

Wenn ich etwas auslasse lesen wir:

Der Begriff ... universellen Algebra, allgemeinen Algebra ... ist ein Grundbegriff und zentraler Untersuchungsgegenstand ... der universellen Algebra.

Universelle Algebra ist zudem fett gedruckt, d.h. eigentlich sollte Universelle Algebra hier hin verweisen, was es nicht tut. Womöglich beschreibt Universelle Algebra verschiedene Dinge. Aber dann muss man den ersten Satz kürzen

Der Begriff der algebraischen Struktur ist ein Grundbegriff und zentraler Untersuchungsgegenstand des mathematischen Teilgebietes der universellen Algebra. Gelegentlich wird auch die algebraische Struktur als universelle Algebra allgemeine Algebra oder nur Algebra beizeichnet.

--Hfst (Diskussion) 14:27, 26. Apr. 2022 (CEST)

Bildbeschreibung korrekt?

Hallo zusammen, unter „Zoo“ der algebraischen Strukturen im Unterabschnitt Beispiele von algebraischen Strukturen steht unter dem Bild Hierarchie algebraischer Strukturen (obere erfüllen mehr, untere weniger Gesetze). Verhält es sich aber nicht genau umgekehrt, sprich die Gruppe mit ihren zusätzlichen Eigenschaften wie das neutrale Element und Inverse hat strengere Anforderungen als eine Halbgruppe und daher mehr Gesetze im Vergleich zu einer Halbgruppe? --Jazz FX (Diskussion) 19:52, 3. Jan. 2024 (CET)

Hi, ich sehe das genauso und ändere das deswegen jetzt entsprechend. Wenn die Änderung nicht korrekt sein sollte, dann den Sachverhalt bitte nachvollziehbar erläutern. Ein (Astro-)Physiker und ein Ingenieur sind der Meinung, dass die Korrektur nötig ist. Gruß --Acky69 (Diskussion) 14:12, 28. Jan. 2024 (CET)