Diskussion:Cauchy-Folge

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Veranschaulichung von CF

Ich glaube im Abschnitt CF in metrischen Räumen ist bei der "geometrisch verständlichen" Erklärung ein Fehler passiert. Bei einer CF müssen ab einem bestimmten N *alle* Elemente paarweise untereinander den gewünschten Abstand halten, hier steht aber, dass alle Elemente in einem Ball um x_N liegen müssen, also dass sie nur den Abstand zu x_N "einhalten" müssen, und nicht paarweise. Die beiden Voraussetzungen könnten äquivalent sein oder auch nicht, vielleicht kann das mal jemand überprüfen...

Ausserdem wäre ein Abschnitt "Eigenschaften von CF" nicht schlecht. z.B. jede konv. Folge ist eine CF, oder jede CF in einem vollständigen Raum ist eine konv. Folge ... --87.178.126.18 13:29, 2. Jul. 2008 (CEST)

Inzwischen hat sich der Artikel ja stark verändert (diff).

Ich glaube, du meint das, was auf „Eine dazu äquivalente geometrische Formulierung ist [...]“ folgt.

Diese Formulierung kenne ich auch so, wie sie dort steht. Wenn alle nachfolgenden Folgeglieder in der $\varepsilon$-Kugel um das x sind, dann haben auch alle den geforderten Abstand (oder einen kleineren).

Die beiden Eigenschaften, die du nennst, sind bereits im Artikel. Da ich keine Weiteren kenne, werde ich keinen Abschnitt „Eigenschaften“ beginnen.

Grüße, --Martin Thoma 19:28, 26. Aug. 2012 (CEST)

WER???? kann sowas verstehen?

Entschuldigung, aber welcher otto-Normalverbraucher kann diesen Artikel verstehen??

ich bin zufällig drauf gestoßen, weil die Cauchy-Folgen in einem kurzen Nebensatz in einem Skript erwähnt wurden.

Aber bitte sagt mir: WER SOLL DAS KAPIEREN???

Diese vielen unbekannten Zeichen und Gleichungen kapiert kein Mensch.

Ich fände es sinnvoller zuerst mal grob zu sagen um was es sich bei cauchy-folgen handelt und dann ins detail zu gehen, vllt. sogar in einem gesonderten Artikel..

Liebe Grüße

Jonathan

Sorry aber das ist fundamentale Mathematik. Falls du tatsächlich interesse daran hast, wirst du (auch mit der besten "mündlichen" erklärung der welt) wohl nicht drumrum kommen dir die bedeutung der "unbekannten Zeichen" und die verwendeten grundlegenden begriffe anzueignen.

Nimm es wie mit einer neu zu lernenden Sprache. Du setzt dich ja auch nicht direkt mit einem - sagen wir japanischen - Buch hin und ließt drauf los. Zuerst lernt man die Buchstaben bzw. Zeichen, dann Wörter und dann ganze Sätze. Nichts anderes ist es in der Mathematik...

Und btw.. der Einleitungssatz "Eine Cauchy-Folge ist in der Mathematik eine spezielle Folge..." lässt schonmal vermuten, dass es sich bei dem Thema um etwas weiterführendes handelt. Ohne zu kapieren was ne Folge ist hat man auch keine Chance eine Cauchy-Folge zu interpretieren.

also mein tip: klein anfangen und nicht aufgeben ;) --Steifgarn 15:24, 15. Feb. 2009 (CET)

Trotzdem ist festzustellen, dass der Abschnitt mit der Definition sehr zusammengewürfelt erscheint, um es mal milde zu sagen. Erst wird eine Sonderbehandlung rationaler Folgen angekündigt, dann doch die allgemeine Definition gebracht, die so auch im metrischen Raum verständlich wäre, in einer Bemerkung nur tauchen nochmal Intervalle auf, dann kommt nochmal ein mysteriöser Hinweis auf die Folge des Heron-Verfahrens, ohne Hinweis, dass diese monoton fallend und beschränkt und daher eine Cauchy-Folge ist. Es wäre besser, die formale Definition in ihren Varianten von der Diskussion der rationalen Zahlen und deren Vollständigkeit sauber zu trennen. Eine Diskussion, welche Konvergenzkriterien eigentlich "nur" die Cauchy-Eigenschaft nachweisen, fehlt auch. Wenn man in der Versionsgeschichte nachschaut, findet man sicher eine bessere Version, die in letzter Zeit arg verschlimmbessert wurde.--LutzL 20:13, 15. Feb. 2009 (CET)

Nach Studium der Versionen ist nachzureichen, dass es 2006 mal eine Version gab, die wesentlich klarer formuliert war, aber inhaltlich doch nicht besser als die aktuelle Version.--LutzL 20:22, 15. Feb. 2009 (CET)

Welche Version meinst du? 2006 gab es einige, angefangen im Januar, endend im Dezember (diff dazwischen - ok, macht wohl nicht den großen Unterschied).

Ich muss sagen, ich finde die momentane Version besser. Mir fällt auch nichts weiter ein, wie man diese Einleitung verbessern könnte. Der erste Absatz liefert eine Oma-taugliche Einleitung, denke ich. --Martin Thoma 19:38, 26. Aug. 2012 (CEST)

So da muss jetzt mal was passieren

Die Cauchy-Folge muss in ihrer Definition jetzt mal Graphisch dargestellt werden das sind ja Zustände hier kann jemand der die Definition versteht das vielleicht mal anschaulich darstellen (nicht signierter Beitrag von Basti1987chiller (Diskussion | Beiträge) 13:19, 15. Sep. 2015 (CEST))

Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen

Auch wenn Nomen4Omen sich die Mühe gemacht hat, einen "Nachweis", dass es sich tatsächlich um eine Äquivalenzrealtion handelt, einzufügen, halte ich das nicht für wirklich sinnvoll:

Es gibt einen separaten Artikel Vollständiger Raum, wo die Konstruktion im Abschnitt "Vervollständigung" ausführlich dargestellt wird (und selbst dort wird nicht so ausführlich auf die Äquivalenzrelation eingegangen).

Ich finde, für den Artikel Cauchy-Folge ist das viel zu ausführlich (noch zumal es sich bei der Wikipedia um eine Enzyklopädie und nicht um ein Mathe-Lehrbuch handelt - und selbst in solchen wird nicht jedes Detail jedes Beweises explizit ausgeführt).

Zum anderen wird ja im eingefügten Text nicht einmal wirklich etwas bewiesen, sondern bei allen drei Eigenschaften bloß behauptet, die Relation würde sie besitzen.

Außerdem hast Du nicht das von mir eingefügte "ein bisschen anders gesagt", sondern den Fehler im Artikel, den ich korrigiert hatte, wieder eingefügt. "Die Klassenbildung nach dieser Relation, identifiziert genau die Folgen mit gleichem Grenzwert." [falsches Komma im Original] ist genaugenommen falsch. Denn es werden auch Folgen miteinander identifiziert, die im unvollständigen metrischen Raum gar keinen Grenzwert haben (und damit auch nicht den gleichen). Ich hatte das doch in meinem Edit wirklich verständlich ausgeführt.

Und was die andere Änderung angeht: "definitionsgemäß" war der richtige Begriff, "konstruktionsgemäß" macht in dem Zusammenhang keinen wirklichen Sinn.

Deshalb habe ich den Edit revertiert.

Ein Vorschlag

Der Grenzwert einer Cauchy-Folge reeller Zahlen ist immer eine reelle Zahl.

Wäre es nicht klarer zu sagen: "Eine Cauchy-Folge reeller Zahlen hat immer einen Grenzwert, die eine reelle Zahl ist."? Sonst fragt sich, was für eine Zahl der Grenzwert noch sein könnte. Und noch: eine Cauchy-Folge reeller Zahlen hat immer einen Grenzwert nun falls sie in einem vollständigen Unterraume des Raumes aller reeller Zahlen betrachtet wird. --Andres (Diskussion) 10:49, 15. Okt. 2023 (CEST)

Ich skizziere eine Verbesserung (Deutsch ist nicht meine Muttersprache):

Die Cauchy-Folgen von Zahlen sind relativ zu einer Zahlenmenge definiert (wenn es um reelle Zahlen geht, meint man schweigend die Menge aller reellen Zahlen, aber diese Menge kann explizit verengt werden). In dieser Menge brauchen nicht alle Cauchy-Folgen einen Grenzwert besitzen, z. B. haben nicht alle Cauchy-Folgen rationaler Zahlen einen Grenzwert unter rationalen Zahlen. Wenn eine Cauchy-Folge keinen Grenzwert unter rationalen Zahlen besitzt, hat sie relativ zur Menge aller reellen Zahlen einen Grenzwert, der eine irrationale Zahl ist. Jede Zahlmenge ist ein metrischer Raum. Alle Cauchy-Folgen der Punkte eines metrischen Raumes konvergierem in diesem Raum genau wenn dieser Raum vollständig ist. Die reellen Zahlen bilden einen vollständigen metrischen Raum, die rationalen Zahlen aber nicht. Ein unvollständiger metrischer Raum kann vervollständigt werden, indem man die Äquivalenzklassen der Cauchy-Folgen, die in diesem Raum nicht konvergieren, als neue Elemente hinzufügt. (Die Cauchy-Folgen sind äquivalent, falls sie einander beliebig nah kommen.) Die Vervollständigung des Raumes der rationalen Zahlen ergibt den Raum der reellen Zahlen. --Andres (Diskussion) 12:00, 15. Okt. 2023 (CEST)

Reihe, Folge

In einer Ultrametrik ist eine unendliche Reihe genau dann eine Cauchy-Folge, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden.

Verstehe das nicht, wie ist eine Reihe eine Folge?

Und das liegt nicht im Kontext. --Andres (Diskussion) 13:30, 15. Okt. 2023 (CEST)

A, ich verstehe nun, die Folge der Partialsummen. --Andres (Diskussion) 14:57, 15. Okt. 2023 (CEST)

Kontext: Die Überschrift ist "Definition". Das ist ein Theorem, und es ist nicht klar, warum es hier steht. Das sollte ein besonderes Thema sein. --Andres (Diskussion) 15:03, 15. Okt. 2023 (CEST)

Dieser Satz liegt in einer falscher Stelle. Es könnte hier ein Abschnitt über Reihen darin sein, dann würde der Satz Kontext gewinnen. Hier ist er ein Fremdkörper, der auch nicht leicht gefunden kann, wenn jemand darüber etwas erfahren will.--Andres (Diskussion) 16:26, 15. Okt. 2023 (CEST)

Nun steht da ein anderer Satz: Ist die Metrik sogar eine Ultrametrik, dann ist jede Nullfolge eine Cauchy-Folge. Eine Nullfolge ist eine konvergente Folge und ist immer eine Cauchy-Folge, nicht wahr? --Andres (Diskussion) 19:53, 15. Okt. 2023 (CEST)

Verbesserungsvorschläge

Ich sammle hier Kritik und Verbesserungsvorschläge, die ich gerne zur Diskussion stelle.

• Was der Artikel nicht sagt, ist, was an Cauchy-Folgen interessant sein kann. Mit anderen Worten: Die mathematische Bedeutung wird verschleiert, wenn nicht gar unterschlagen.
• Auch nicht gesagt wird, dass man mithilfe Cauchy-Folgen die reellen Zahlen konstruieren kann. Zwar wird in der Einleitung gesagt, dass sie von grundlegender Bedeutung für den Aufbau der Analysis sind, aber worin diese Bedeutung genau besteht, darüber erfährt man nichts.
• Im Abschnitt Cauchy-Folge#Definition wird eine äquivalente (und aus meiner Sicht irrelevante) Äquivalenz ohne Beleg oder Beweis genannt.
• Ich finde die Beispiele fantasielos. Solche Beispiele hatte der Herr Cauchy vermutlich nicht im Sinn, als er sein Kriterium aufstellte.
• Ist das $\lim _{m,n\in \mathbb {N} }d(x_{m},y_{n})$ Standardnotation? Sieht für mich irgendwie komsich aus. (siehe Abschnitt Cauchy-Folge#Vollständigkeit_2.

--Mathze (Diskussion) 22:38, 13. Mai 2024 (CEST)