Diskussion:Cauchy-Folge/Archiv

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[[Diskussion:Cauchy-Folge/Archiv#Thema 1]]

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Konvergenz

Ich glaub dieser Artikel is nich ganz richtig. Aus der hier erwähnten Definition würde doch hervorgehen, dass alle Cauchyfolgen konvergieren, oder? (nicht signierter Beitrag von 85.178.35.106 (Diskussion) 14:07, 29. Nov. 2005‎ (CEST))

Nein. Es gibt rationale Folgen, die reell gegen ${\sqrt {2}}$ konvergieren, siehe Heron-Verfahren, also Cauchy-Folgen in Q sind. Aber sie konvergieren nicht in Q, da der Grenzwert nicht rational ist. Nichtsdestotrotz ist Q mit der Betragsmetrik ein metrischer Raum.--LutzL 13:25, 29. Nov 2005 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 19:01, 26. Aug. 2012 (CEST)

Beispiel für Cauchyfolge falsch

Hallo! Hier steht, dass $a_{n}=1/n$ eine Cauchyfolge ist. Das ist aber blödsinn! Der Beweis, dass das keine Cauchyfolge ist, steht auf Seite S.73 im Walter - Analysis 1.

Für bel. n ergibt sich: $a_{2n}-a_{n}=1+{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\ldots +{\frac {1}{2n}}>n\cdot {\frac {1}{2n}}={\frac {1}{2}}.$ Also keine Cauchyfolge!

--Genscher 01.06.2006

Du scheinst da etwas durcheinanderzubringen. Das "1+" scheint vollkommen fehl am Platz, abgesehen davon ist das ein korrekter Beweis dafür, dass $a_{n}=\sum _{k=1}^{n}1/k$ keine Cauchyfolge ist.--Gunther 10:26, 1. Jun 2006 (CEST)

hm genscher vieleicht erstmal den unterschied zwischen reihe und folge begreifen ;)

$a_{n}=1/n$ ist doch konvergent mit Grenzwert 0, und laut dem Artikel sind doch konvergente Folgen immer Cauchy-Folgen, wieso nicht diese? --Walter H. 09.08.2006

Im Artikel wird diese Folge doch explizit als Beispiel einer Cauchy-Folge genannt. Wo ist das Problem? --Squizzz 20:36, 9. Aug 2006 (CEST)

Da nach 6 Jahren immer noch keine Antwort gekommen ist, scheint sich das Problem erledigt zu haben. --Martin Thoma 19:03, 26. Aug. 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 19:03, 26. Aug. 2012 (CEST)

Cauchy-Folgen = konvergente Folgen ?

Sind Cauchy-Folgen immer konvergente Folgen (wenn der Raum vollständig "genug" ist - ist das notwendig?) ? -- 212.201.55.6 14:00, 24. Jul 2006 (CEST) aka Amtiss

Genau weil es an dieser Stelle einen Unterschied geben kann, wurden beide Begriffe definiert. "vollständig" bedeutet gerade nach Definition, dass jede CF konvergiert. Durch Betrachtung von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen kann jeder metrische Raum vervollständigt werden, jede Cauchy-Folge wird dann -- als Äquivalenzklasse -- ihr eigener Grenzwert.--LutzL 14:28, 24. Jul 2006 (CEST)

Klar, aber die Frage zeigt doch, dass der Artikel überarbeitet werden muss: Die Intention, die hinter der Begriffsbildung steckt, bleibt ja völlig im Dunkeln, nämlich in unvollständigen Räumen „so etwas wie“ Konvergenz zu definieren und damit ein Mittel zu haben, sie zu „vervollständigen“. Sicher ist es nicht leicht, das verständlich, aber nicht falsch zu formulieren. Wenn's sonst niemand tut, werd ich mich nächstens mal dran versuchen.
Ich denke übrigens, dass man dabei nicht sofort von metrischen Räumen sprechen sollte, sondern erstmal von rationalen und reellen Zahlen. -- Peter Steinberg 23:52, 13. Apr. 2007 (CEST)

Es ist keine Begriffsbildung, sondern eine Definition! Cauchy-Folgen sind im Allgemeinen NICHT konvergent. Nur in vollständigen Räumen konvergieren sie. Cauchy-Folgen bauen nun mal auf metrischen Räumen auf, das kann man nicht anders machen, weil schon die formale Definition an dem Begriff der Metrik hängt. Man kann aber z.B. die Menge der rationalen Zahlen bzw. der reellen Zahlen mit einer Metrik versehen und dann von Vollständigkeit sprechen. So ist z.B. IR mit der Standard-Metrik eben ein vollständiger metrischer Raum, in welchem damit alle Cauchy-Folgen konvergieren. In diesem Spezialfall gilt, dass jede Cauchy-Folge auch eine konvergente Folge ist... Viele Grüße! -- calculus !¡ ?¿ 23:58, 13. Apr. 2007 (CEST)

Also, ich finde unser gemeinsames Ergebnis jetzt recht ordentlich! Auch wenn ich nicht recht einsehe, warum man die ganze Definition mit „d()“ statt „||“ wiederholgen muss und nicht der Hinweis auf die Verallgmeinerbarkeit reicht. grummel. Allerdings: So Sätze wie „Man kann (…) die Menge der rationalen Zahlen (…) mit einer Metrik versehen“, gelangen hoffentlich nicht den Artikelraum, sonst meinen die Leute, man habe die Zahlen nicht zum Messen benutzen können, bevor die Mathematiker den Begriff „Metrik“ erfunden haben. :-> Schönen Gruß auch, -- Peter Steinberg 18:21, 16. Apr. 2007 (CEST)

Mit den Zahlen an sich kann man noch nicht richtig messen, erst mit einer Metrik (der Betrag ist eine!) geht das... Viele Grüße, -- calculus !¡ ?¿ 19:39, 16. Apr. 2007 (CEST)

Es ist nicht so einfach. Man muss zwischen dem Begriff Cauchy-Folgen in $\mathbb {R}$ und dem Begriff Cauchy-Folgen in metrischen Räumen unterscheiden, weil man $\mathbb {R}$ durch Bildung von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen in $\mathbb {Q}$ aufbauen kann. Bei der Definition des Begriffs Metrischer Raum wird $\mathbb {R}$ verwendet. Wenn man jetzt die Begriffe nicht sauber voneineander trennt, dann kommt es zu einem Teufelskreis. --Alexandar.R. 19:58, 16. Apr. 2007 (CEST)

Man kann, muss aber $\mathbb {R}$ nicht so definieren. Es gibt ja vielfältige Möglichkeiten. Es ist aber nicht richtig, dass der Begriff "Metrischer Raum" auf $\mathbb {R}$ fußt. Für einen metrischen Raum brauche ich lediglich eine Metrik und eine Menge, die nicht leer ist. Insofern ist es sinnvoll, eine Cauchy-Folge für metrische Räume zu erklären, und damit kann man dann auch aus $\mathbb {Q}$ die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ erzeugen... Viele Grüße, -- calculus !¡ ?¿ 20:04, 16. Apr. 2007 (CEST)

Das war nur ein Beispiel als Anregung zum Nachzudenken. Argumente der Sorte man muss aber nicht klingen wie eine Ausrede. Wikipedia ist eine Enzyklopädie - in einer Enzyklopädie werden verschiedene Blickwinkel und Darstellungen eines Begriffes erläutert und nicht nur eine ganze Bestimmte. Das ist für Lehrbücher üblich. Bei der Definition von einem metrischen Raum steht die Abstandsfunktion $d:X\times X\rightarrow \mathbb {R}$ im Mittelpunkt ($\mathbb {R}$ also auch). --Alexandar.R. 20:28, 16. Apr. 2007 (CEST)

P.S.: Ich weiß, was Du für eine Metrik meinst $d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} \qquad (q_{1},q_{2})\mapsto |q_{1}-q_{2}|$ und man bleibt so erstmal in $\mathbb {Q}$. In allen Quellen steht, dass die Abstandsfunktion reelwertig ist. Deine Gedankenspiele klingen fast wie Eigenforschung. Kannst Du Bücher empfehlen, wo alles auf diese Weise aufgebaut ist. --Alexandar.R. 20:39, 16. Apr. 2007 (CEST)

Hallo Alexandar, dieser von Dir beschriebene Mangel war mir bislang gar nicht aufgefallen. Dabei hatte ich letztes Jahr eine entsprechende Vorlesung, wo wir genau das gemacht haben, was Du beschrieben hast, nämlich die Konstruktion der reellen Zahlen über die Cauchy-Folgen... ich stelle gerade fest, dass das in gewisser Weise Blödsinn ist, wenn man die Metrik in die reellen Zahlen gehen lässt. Du hast es ja oben schon schön beschrieben, dass man erstmal in Q bleibt, was diesen Weg überhaupt rechtfertigt. Ich habe gerade eine andere Vorlesung (Algebraische Strukturen), in der schon angekündigt wurde, $\mathbb {R}$ anders zu konstruieren, nämlich über die Dedekindschen Schnitte. Schau dort mal vorbei, das ist auf jeden Fall ein anderer Weg, die reellen Zahlen zu konstruieren. Es gibt aber wohl noch andere Möglichkeiten, es zu tun... Viele Grüße, -- calculus !¡ ?¿ 20:49, 16. Apr. 2007 (CEST)

Cauchyfolge für sqrt 2 falsch

Hi hier steht das $a_{1}:=1,\quad a_{i+1}:={\frac {a_{i}}{2}}+{\frac {1}{a_{i}}}$ sei die Cauchyfolge für sqrt 2 aber kann es nicht sein das die falsch ist. Habe das ganze gerade am Heron und Newtonverfahren nachvollzogen und ich meine das folgendes gelten sollte $a_{1}:=1,\quad a_{i+1}:={\frac {1}{2}}({a_{i}}+{\frac {1}{a_{i}}})$ bitte schaut mal nach!!!! Rev0815 15:06, 3. Dez. 2008 (CET)

Ganz allgemein gilt, dass die rekursiv definierte Folge

$a_{1}:=a,\quad a_{i+1}:={\frac {1}{2}}({a_{i}}+{\frac {a}{a_{i}}})$

für alle a>1 monoton fallend gegen ${\sqrt {a}}$ konvergiert.

Die von dir vorgeschlagene Folge würde also gegen 1 konvergieren (das kann man im Kopf nachrechnen; Sie hat konstant den Wert 1).

Ich habe das Beispiel mit a=2 gerade mit dem Computerprogramm Mathematica getestet. Es stimmt. Es stimmt jedoch auch, wenn man $a_{1}:=1$ setzt. Die Definition der Folge im Hauptartikel ist also nicht falsch, sondern eher unkonventionell. Man würde besser $a_{1}:=2$ setzen.

-- Belgariath 12:59, 7. Jan. 2009 (CET)

Egal welchen positiven Startwert man verwendet, ab dem zweiten Glied ist die Folge monoton fallend. Damit konvergent und damit auch Cauchy.--LutzL 13:30, 7. Jan. 2009 (CET)

@Belgariath: Vielen Dank für die allgemeine reukursive Folge! Das wusste ich nicht.

Ich glaube damit ist nun klar, dass die Aussage richtig ist. --Martin Thoma 19:17, 26. Aug. 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 19:17, 26. Aug. 2012 (CEST)

Beweis: Cauchy-Folge konvergent

Ich denke den Beweis könnte man in den Artikel aufnehmen, oder? --Jobu0101 22:37, 16. Nov. 2009 (CET)

Du meinst den Beweis, dass jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:23, 17. Jul. 2012 (CEST)

Habe ihn ergänzt. --Quartl (Diskussion) 11:19, 17. Aug. 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 19:20, 26. Aug. 2012 (CEST)

"Konvergente Folge in einem metrischem Raum"

Ich habe gerade folgenden Satz gelesen:

Jede konvergente Folge in einem metrischen Raum ist auch eine Cauchy-Folge.

Gibt es denn auch konvergente Folgen in nicht-metrischen Räumen? Ich kenne folgende Definition der Konvergenz:

Sei $(a_{n})$ eine Folge in $M$ und $d$ eine Metrik auf $M$.

$(a_{n})$ konvergiert $:\Leftrightarrow \exists _{a\in \mathbb {R} }\forall _{\varepsilon >0}\exists _{n_{0}=n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} }:d(a_{n},a)<\varepsilon ~~~\forall n\geq n_{0}$

Aus dieser Defintion kann man die Metrik nicht einfach herausnehmen. Bei welcher Konvergenzdefinition wird keine Metrik benötigt? --Martin Thoma 18:58, 26. Aug. 2012 (CEST)

Ja, es gibt auch Konvergenz in nicht metrisierbaren lokal-konvexen Räumen und uniformen Räumen. Generell braucht man für Konvergenz nur eine Topologie, d.h. ein System, welches den Regeln offener Mengen gehorcht.--LutzL (Diskussion) 19:42, 26. Aug. 2012 (CEST)

Siehe Grenzwert (Folge)#Grenzwert einer Folge von Elementen eines topologischen Raumes. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:35, 26. Aug. 2012 (CEST)

Ach ja, stimmt, da war was. Danke Quartl :-) Wenn ich mich richtig erinnere, haben wir einfach gesagt, dass fast alle Folgenglieder in jeder beliebigen Umgebung um den Grenzwert liegen müssen.

Damit hat sich meine Frage geklärt. --Martin Thoma 21:07, 26. Aug. 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 21:07, 26. Aug. 2012 (CEST)