Diskussion:Dreiteilung des Winkels/Archiv/001

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[[Diskussion:Dreiteilung des Winkels/Archiv/001#Thema 1]]

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Ganzzahlig?

Bei speziellen Winkeln ist die Dreiteilung des Winkels möglich, etwa bei jedem Vielfachen von 90°. Ich habe keine Ahnung vom Subjekt, aber mich deucht, es müsste ganzzahlige Vielfache von 90° heißen. Oder sonst eine Einschränkung, denn sonst beißt sich die Formulierung "spezielle Winkel" mit "jedem Vielfachen".--Stimpson 13:56, 28. Jul 2006 (CEST)

Ja. Ich bin zwar mit diesem Satz nicht wirklich glücklich, habe aber zumindest das "ganzzahlige" ergänzt. --NeoUrfahraner 14:14, 28. Jul 2006 (CEST)

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Denkfehlersuche

Huhu. Ich bin hierher über "Pi" und "Unterhaltungsmathematik" gesurft und kannte die Problemstellung bis dato nicht. So wie ich es verstanden habe, zeichnet mir irgendwer einen beliebigen Winkel auf meinen Zeichenblock und ich soll ihn mit Zirkel und Lineal dritteln. Wie wir mit den genannten Werkzeugen eine Winkelhalbierende erzeugen, müsste klar sein, oder? (Ich schätze mal Mathe 6. Klasse). Wie ich analog dazu aus zwei halben Winkel vier Viertel Winkel konstruiere, ist auch nicht so schwer nachzuvollziehen... also kann ich auch Achtel-, Sechzehntel-, Zweiunddreißigstel, Vierundsechzigstel und Hundertzweiunddreißigstelwinkel malen... (ich geb ja zu, dass es auf meinem Zeichenblock arg eng wird, aber wir reden ja von der Theorie ;o) ). Wenn ich jetzt 132 Hundertzweiunddreißigstel-Segmente meines gegebenen Ursprungswinkels habe, zähle ich vom linken Rand 44 Segmente, vom rechten Rand 44 Segmente und habe 44 Segmente in der Mitte... und somit meinen Winkel gedrittelt. Wo liegt mein Denkfehler? --Hotte07 20:25, 2. Dez. 2007 (CET) ich weiß, dass das null zur Verbesserung des Artikel beiträgt, aber es interessiert mich einfach.

64 mal 2 ist 128 und nicht 132.--Hagman 22:28, 7. Dez. 2007 (CET)

auch wieder wahr! wie peinlich! --Hotte07 09:27, 8. Dez. 2007 (CET)

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Origami

Dass das Problem mit Origami gelöst werden, ist so falsch. Ich habe (aus versehen anonym) in den Artikel geschrieben, wieso. Ohne diesen Hinweis wäre die Information falsch. Im Grunde kann sie auch völlig weggelassen werden. --Johpick 18:10, 25. Sep. 2010 (CEST)

Man kann das Origami-Verfahren als ein spezielles Ortskurven-Werkzeug auf fassen, ähnlich wie die Seil-Konstruktion für Ellipsen. Es wird also der klassische Werkzeugsatz erweitert. Jedoch haben solche Werkzeuge und ganz speziell hier das Origami-Verfahren die Eigenheit, dass man effektiv damit eine Art von Iteration realisiert, wenn auch sehr verdeckt. Man verändert eine Größe und prüft danach ob eine zweit Größe einen Sollwert erreicht hat. Hier also die Lage der (aus der verlinkten Webseite entnommen) Punkte D/D' und F/F' im "geknickten" Zustand. Hierbei müsste man das Papier ständig scharf knicken (würde ggf. mit einem Tuch eher gehen), was jedoch praktisch nur eine begrenzte Qualität haben kann. (Ähnlich mag eine Seil-Konstruktion auf Kräften auf bauen die in ihrer Vektor Summe immer gleich sein müssten so dass sich am Ende eine gleichmäßige Figur ergibt.) Dem gegenüber steht eine klassische Konstruktionsmethode in der die Ortskurven Kräfte-frei erstellt werden und neue Schnittpunkte erst nach dem jeweiligen Konstruktionsschritt benutzt werden. Salopp gesagt hat die Origami-Methode nicht mehr "Zutrauen" als wenn ein Laie ein Blatt Papier (z.B. für einen Brief-Umschlag) durch weiches Vor-Falten und auf einander legen in drei Teile vorbereitet um sie durch Glattstreichen dann zu finalisieren. Die Ergebnisse hierbei sind keineswegs so gut wie man sie oft gerne gehabt hätte. Ähnlich ungut bzw. ungenau ist das Einrichten der Position für die finale Knickung beim Origami-Verfahren. Dazu kommt noch dass eben jede Korrektur für eine der beiden Zielgrößen quasi automatisch eine De-Justierung der anderen bedeutet - eine halbwegs exakte, zeitgleiche Positionierung ist eher beschwerlich. --Alexander.stohr (Diskussion) 17:40, 29. Jun. 2015 (CEST)

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Näherungslösung: Beliebige N-Teilung eines Winkels mit Zirkel und Lineal bis zur Strichstärke.

Zunächst am Beispiel Dreiteilung eines Winkels.... Zirkel und Lineal...........

MAn nehme eine Sekante und teile diese in drei Teile. Dies macht man so, dass man drei gleichlange Streckensegmente mit Zirkel und Lineal in einer Richtung aneinander anträgt und dann bekanntermassen die Ziellinie mit partallelen Linien gemäss Stralensatz teilt.....

Nun........

Gleiche Vorgehensweise beim kleinen Winkel.... teilen wir die Sekante in drei Teile................ Hoppla. Das ist nur eine Näherung. Je grösser der Winkel wird, desto ungenauer die Dreiteilung.

Aber.....

Gleiches Prinzip wie oben.... Teilen wir eine Kreissegmentlinie in 2^n Teile. DAS geht. Erstellen wir auf dieser Basis mit Zirkel und Lineal auf einer Geraden die Bogenlänge des Kreisbogens. Nun ist es eine kleine aber feine geometrische Aufgabe, diese Bogenlänge in drei teile zu teilen, und das ganze wieder auf den n-Polygonzug zu übertragen. Abzählen und übertragen. Bis auf gewünschte Genauigkeit einschliesslich des definiert geteilten Subsegmentes. Fertig.--Wikistallion 17:38, 22. Feb. 2011 (CET)

Die Strichstärke ist im idealisierten Instrumentensatz 0, die hier gewünschte Genauogkeit lässt keinen Fehler zu. Dass es möglich ist, zahlreiche von $tfrac13$ abweichenden Teile eines Winkels zu konstruieren (insb. ${\tfrac {k}{2^{n}}}$ mit $k\approx {\tfrac {2^{n}}{3}}$), ist bekannt und nicht Gegenstand des Artikels. --Hagman 20:38, 23. Feb. 2011 (CET)

Dreiteilung des Winkels im täglichen Gebrauch: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:40_Grad.jpg und http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dreiteilung_des_Winkel_nach_Fabris02.jpg Gruss -- Sergio Fabris 21:46, 1. Nov. 2011 (CET)

Absoluter und relativer deterministischer Fehler für rein lineare Konstruktionen von Drittel-Winkeln

Zeichnerisch durchaus schön - es gilt dennoch, dass es sich hierbei nur um eine Approximation handeln kann, die am Ende genau die selbe Kurve für den deterministischen Fehler liefert, wie sie auch bei anderen, rein linearen Konstruktionen auf tritt. --Alexander.stohr (Diskussion) 12:06, 30. Jun. 2015 (CEST)

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Dreiteilung mit Kreisbogen ?

Die Länge eines Kreisbogens ist bekanntlich $\pi \cdot r\cdot {\alpha \over 180^{\circ }}$ das bedeutet wenn ich r dreiteile hat dieser kreisbogen die selbe Länge wie mit ungteiltem r aber gedritteltem $\alpha$. Wenn ich nun einen Kreis k mit beliebigen Radius um S schlage schneidet dieser die Schenkel in A und B. Die Strecke [SIA] wird nun gedreiteilt ich schlage einen kreis l um S durch den ersten Drittelungs-Punkt C. l trifft den Schenkel b in D. Wenn ich nun einen Kreis m um C durch D schlage und einen Kreis n um A mit demselben Radius wie m schlage, müsste der Strahl von S durch den Schnittpunkt der Kreise k und n der Winkeldrittler sein. Denke ich falsch ? --79.209.176.207 20:27, 19. Nov. 2011 (CET)

S ist wahrscheinlich der Schnittpunkt der beiden Schenkelgeraden, aber I? Kreise l, n, m haben welche Radii? Ich denke, das Problem dürfte sein zu beweisen(!), daß der resultierende Winkel tatsächlich ein Drittel des Ursprungswinkels ist. 217.225.76.91 07:33, 2. Mär. 2012 (CET)

Deine Überlegung mit den Längen der Kreisbögen ist richtig, aber es gibt keine Möglichkeit die Länge des "kleinen" Kreisbogens auf dem "großen" abzutragen: Mit den Kreis m bekommt du ja nicht die Länge des gedrittelten Kreisbogens, sondern nur die Länge der zugehörigen Sehne. -- HilberTraum (Diskussion) 11:23, 3. Mär. 2012 (CET)

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Der Abschnitt zu den regelmässigen n-Ecken

wirkt auf mich etwas unglücklich da man ja ein gleichseitiges Dreieck konstruieren kann und sich somit fragt was hier mit dem Kürzel n verallgemeinert wird, jedenfalls kann man so nicht vom n-Eck auf die n-Teilung des Winkels schliessen...

Ein Link zu einem Beweis der Unmöglichkeit wäre zudem schön.... (nicht signierter Beitrag von 87.181.148.108 (Diskussion) 09:49, 1. Sep. 2012 (CEST))

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3.2 Tomahawk

Könnte man in Text und Grafik mal Buchstaben zur Identifizierung der beschriebenen Strecken und Winkel hinzufügen, dann wird das etwas OMA-freundlicher.--Mideal (Diskussion) 13:43, 22. Aug. 2013 (CEST)

Da gibt es zwei Grafiken (Datei:TomahawkTrisecting.svg und Datei:Tomahawk-Schablone.svg). Welche meinst du? ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 15:06, 22. Aug. 2013 (CEST)

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Noch ein loesungsvorschlag.

Tja, auch ich glaube, das Problem ist loesbar. Waere nett, wenn jemand meinen denkfehler aufzeigt.

Meine drittelungsmethoode ist sehr einfach und nutzt nur zirkel und lineal. Auf gehts.

Der winkel alpha sei durch die punkte ABC gegeben, Scheitelpunkt ist B.

Ich nehme nun meinen zirkel, steche ihn in B ein, und schlage einen Kreisbogen, der die strecken AB in A' und BC in C' schneidet.

Ich verbinde diese Schnittpunkte . Das Ergebnis ist das gleichschenklige Dreieck A'BC'.

Jetzt brauche ich nur noch die Strecke C'A' zu dritteln, und schon geben mir die Verbindungen der Endpunkte der Drittelstrecken mit B die Gewuenschten Drittelwinkel.

Drittelung einer Strecke mit Zirkel und Lineal ist aber ein geloestes Problem.

Also bin ich fertig und habe den Winkel gedrittelt.

Nur mit Zirkel und Lineal.

Wo ist mein Denkfehler?

Sehe gerade, dass wikistallion das gleiche vorgeschlagen hat. Und sagt, dies sei nur eine Naeherung. Letzteres verstehe ich aber nicht. Wir gehen doch immer von Strichstaerke Null aus, oder? Dann ist die Methode doch valide?

--Bjrnfrdnnd (Diskussion) 23:49, 5. Okt. 2013 (CEST)

Nein, das ist tatsächlich nur eine (schlechte) Näherung. Probier's doch mal bei einem rechten Winkel (90°) aus: Da bekommt man nicht etwa drei Winkel mit 30°, sondern zwei Winkel mit ca. 26,6° und einen mit ca. 36,9°. -- HilberTraum (Diskussion) 00:56, 6. Okt. 2013 (CEST)

Hallo, dein Denkfehler ist wohl da: Die Winkel-Skalierung folgt der Form der Kreislinie. Wenn du aber statt dessen die Gerade zwischen zwei Kreispunkten drittelst, dann folgst du einer anderen "Skala". Die Gerade hat eine konstante Krümmung von 0, also auch eine Konstante Richtung. Der Kreisbogen dagegen hat eine konstante Krümmung die ungleich Null ist und somit über seinen Verlauf hinweg verschiedene Richtungen. Sprich ein gleichmäßig geteilter Maßstab auf dem Kreisbogen bildet sich auf einen geraden Maßstab ab bei dem die Teilung in der Mitte ungefähr gleichmäßig ist (gleich Richtung beider Kurven), aber an den Enden sind die Richtungen von beiden Kurven verschieden, so dass sich hier eine Verkürzung der originalen Unterteilungen ergibt. Da sich nun ein langer Bogen (="Umweg") auf eine kürzere Strecke zwischen den selben Endpunkten abgebildet sieht ist er ohnehin prinzipiell verkürzt. Die Krümmung bzw. die Abweichung in der Richtung bestimmt lediglich welche Teile (effektiv durch Fällung des Lots) wie stark komprimiert werden. Am Ende ist die eigentlich erforderliche Teilung auf der Gerade nicht mehr linear. Eine einfache Drittelung der Geraden wird im allgemeinen Fall daran scheitern weil sie eben nur einen linearen Maßstab korrekt teilen kann - bei nicht linearen kommt es zu einem Fehler, der davon ab hängt wie die Verkrümmung aus sieht. Eine Halbierung in der fraglichen Konstellation wäre übrigens ein Sonderfall bei dem es /zufällig mal/ (wenn man das gewünschte Teilungsverhältnis als freie Größe sieht) exakt klappt. Dass die Mitte exakt ist liegt daran, dass die Krümmung vom Bogen konstant ist und somit genau die Mitte einer von insgesamt drei (die beiden Enden) (im Sinne der Richtung der Strecke) neutralen Punkten der Abbildung fungiert. --Alexander.stohr (Diskussion) 15:12, 26. Jun. 2015 (CEST)

Eine Portion Block-Grafik:

+
|\
+-+
| |
+-+
| /
+

Für die Gerade sind alle 3 Teile gleich lang. Für den (oben stark vereinfachten) Kreisbogen dagegen sind der erste und der letzte Teil länger als die Mitte. Daraus ergibt sich dass eine gleichmäßige 3-Teilung der Geraden sich durch Lotfällung in den Abschnittspunkten eben nicht auf einen gleich-geteilten Kreis abbilden wird. Es mag andere Abbildungsmethoden geben, die dann zusätzlich die letztlich gesuchte Segmentlänge der Abschnitte am Kreisbogen zur Durchführung benötigen - und somit steht man hierbei ggf. (aber nicht abschließend zwingend!) vor einem Henne-Ei-Problem. --Alexander.stohr (Diskussion) 15:40, 26. Jun. 2015 (CEST)

Lot ist, wie oben enthalten, nicht ganz richtig - das wäre eine Näherung für kleine Winkel. Vielmehr sind es Projektionsachsen die alle dem Winkel-Zentrum entspringen. Das korrekte Projektionszentrum wäre berechenbar. Für einen Viertel-Einheits-Kreis (zu verstehen als Modell der oberen Hälfte einer 180° Sehne) wäre das Zentrum bei x=-Pi/2 für einen Punkt direkt rechts neben der oberen y-Achse bis ca. x=-1,7519 für einen Punkt direkt neben der rechten x-Achse. --Alexander.stohr (Diskussion) 17:19, 26. Jun. 2015 (CEST)

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Annäherung an Dreiteilung mit Hilfe ähnlicher Dreiecke

Konstruktions-Prinzip

Deterministischer Fehler über dem Ausgangswinkel

Trägt man mit einem Zirkel an den beiden Schenkeln des Winkels vom Schnittpunkt aus gehend jeweils 3x die selbe Strecke ab und verbindet die beiden dritten Abtragungen durch eine Gerade mit einander, dann kann durch Abgreifen des Abstands der Verbindungsstrecke und Abtragen auf der dritten Strecke durch den Schnittpunkt zwischen den Schenkeln zusätzlicher Schenkel mit grob dem gesuchten Winkel gegen den näher liegenden Schenkel bestimmt werden. Eine Abtragung am zweiten Schenkel würde zur exakten Winkel-Halbierenden führen. Der deterministische Fehler dieser Annäherung ist für kleine Winkel gering (z.B. für 30° ergibt sich weniger als 0,35% Abweichung bezogen auf den Ausgangswinkel) während er für eher große Winkel durchaus erheblich ist (für 130° sind es rund 11% Abweichung, also rund 14°). Für 180° ist keine Lösung möglich da die gebildeten Dreiecke auf sich zusammen fallen, während im Bereich davor, wegen dem stumpfen Winkel, die relative Höhe der Dreiecke gering ist und somit eine zeichnerische Lösung in der gewünschten Genauigkeit kaum realisierbar sein wird, was somit die ohnehin schon geringe systematische Genauigkeit nochmals, diesmal aber nicht-deterministisch verschlechtert.
--Alexander.stohr (Diskussion) 14:56, 26. Jun. 2015 (CEST)

Da sich grafisch ein Winkel von 30° bzw. auch 60° und 90° und deren Halb-Teilungen sowie deren Kombinationswinkel problemlos zeichnen lassen, lassen sich alle Winkel dazu in Relation setzen. Somit besteht die Möglichkeit jeden x-beliebigen Winkel so zu unterteilen, dass er maximal aus Einzhel-Winkeln angenähert werden muss, die 30° oder weniger betragen. Die erzielbare Genauigkeit ist damit systematisch im schlimmsten Fall so klein wie die von 30° - in vielen Fällen und durch weitere frei wählbare Unterteilung ist sie systematisch geringer. Jedoch setzt die Zeichen-Genauigkeit sowie die in der Ausführung beherrschbare und zumutbare Tiefe der Durchführung in der Praxis hier Grenzen.
--Alexander.stohr (Diskussion) 16:25, 26. Jun. 2015 (CEST)

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Annäherung an Dreiteilung mit Hilfe ähnlicher Dreiecke und Bogen-Projektion (per 1/2 Kreis)

construction sketch

deterministic errors above angles

Nimmt man die Konstruktion des 1/3-Punkts wie zuvor zur Grundlage und zeichnet die Strecke zu einem leicht per Hilfskreis H bestimmbaren 60°-Punkt P auf dem Einheitskreis K1 auf der Sehne ein, dann kann man auf dieser Strecke von 1/3 zu P eine Senkrechte in deren Mittelpunkt S erreichten. Dort wo diese Senkrechte die Verlängerung der Sehnenstrecke schneidet ergibt sich der Punkt MP, welcher aus der gegebenen Geometrie heraus bei genau 8/3 = 2,66... liegt. Zieht man einen Kreisbogen KP von diesem Punkt durch den 1/3 Punkt und durch P so erhält man zwischen diesen beiden Grenzen in sehr guter Näherung(!) die Ortskurve aller Drittel-Punkte auf allen Kreisbögen Kx für deren Öffnungswinkel (vom jeweiligen Mittelpunkt Mx aus) im Bereich von 180° bis 0° (jeweils zugehörig einem Radius von 1 bis plus unendlich). Die Bestimmung des deterministischen Fehlers liefert einen maximalen derartigen Fehler im Betrag von rund 0,32° bzw. relativ zum Vorgabewinkel von rund 0,24%. Das erzielbare Resultat ist somit durch diese kleine Ergänzung sehr nahe am exakten Wert und findet sich, selbst in ungünstigen Fällen, mindestens schon in der Dimension der Genauigkeit welche mit realen Zeicheninstrumenten auf Grund von nicht-deterministischen Fehlern erzielbar ist.
--Alexander.stohr (Diskussion) 14:17, 29. Jun. 2015 (CEST)

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Annäherung an Dreiteilung mit Hilfe ähnlicher Dreiecke und Bogen-Projektion (per 1/4 Kreis)

construction principle

deterministic errors above angles

In Abwandlung der Bogen-Projektion mittels 1/2 Kreis lässt sich auch mit einem Viertelkreis zur Bestimmung eines weiteren, exakten Stützpunkts P eine nochmals deutlich besser angenäherte, einfache Methode zur Lösung realisieren, die jedoch nur im groben Bereich für Winkel kleiner 100° besondere Tauglichkeit hat. Hierzu bestimmt man per Einheitskreis den Mittelpunkt MQ von dem man einen Viertelkreis von -1 bis 1 zieht. Von -1 aus gehend trägt man auf diesem Bogen den Kreis-Radius ab so dass man den Punkt P bei 30° (zum Schenkel MQ zu 1) erhält. Von diesem aus trägt man die Strecke zum 1/3 Punkt ab und errichtet sodann darauf in gewohnter Manier deren Mittelsenkrechte durch den Punkt S. Diese Senkrechte ergibt den Punkt MP (bei ca. 2,398), der als Mittelpunkt für das ein zu zeichnende Projektions-Kreis-Segment KP dient. Der Schnittpunkt von KP mit dem Kreisbogen durch -1 und 1 des vorgegebenen Winkels liefert zusammen mit dem Mittelpunkt des vorgegebenen Winkels die Gerade welche den gesuchten, angenäherten 1/3 Winkel liefert. Für einen auf 90° begrenzten Nutzungsbereich der Näherung ergibt sich ein maximaler deterministischer Fehler mit einem Betrag von rund kleiner 0,08° und relativ zum Ausgangswinkel von weniger als rund 0,01%. Damit ist das Ergebnis mit Hilfe von einem 1/4 Kreis im Vergleich zum Halbkreis nochmals um mindestens eine Dimension besser.
--Alexander.stohr (Diskussion) 17:18, 29. Jun. 2015 (CEST)

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Link nicht mehr erreichbar

Der Link zu Jim Loy: Trisection of an Angle ist nicht mehr erreichbar ... --Petrus3743 (Diskussion) 13:20, 11. Okt. 2015 (CEST)

Danke für den Hinweis. Ich habe es jetzt durch eine Kopie im Internet-Archiv ersetzt, da funktionieren zwar nicht mehr alle Verlinkungen, aber die Hauptseite selbst enthält so viel Material, dass die Verlinkung weiterhin lohnt.--Kmhkmh (Diskussion) 21:39, 12. Okt. 2015 (CEST)

Ich habe zu danken für diesen tollen und informativen Link! Die Konstruktion Nr. 25 von Mark Starks (die anscheinend beste) ist schon super genau. Die muss ich demnächst nachkonstruieren und dabei die Winkel mit den max. Fehlern ermitteln. Aber dies ist bestimmt kein Thema für Wikipedia, oder interessiert dich so etwas? ...--Petrus3743 (Diskussion) 22:38, 12. Okt. 2015 (CEST)

Sowas eignet sich gut für Weblinks, wo eben Links zu weiterführende Informationen für Leser hingehören. Für den enzyklopädischen Artikel in der WP sind sehr komplizierte und detailreiche oder auch sehr spezialierte oft weniger geeignet. WP-Artikel sollen ja einen möglichst verständlichen und schnellen Überblick über das Wichtigste zu einen Thema liefern und keine Lehr- und Übungsbücher ersetzen (dafür gibt es Wikibooks).--Kmhkmh (Diskussion) 22:51, 12. Okt. 2015 (CEST)

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doppelte Bilder

Horizontale Doppelbilder wirken sich meist extrem ungünstig auf die Darstellungen in kleineren Fenstern oder auf kleineren Bilschirmen aus. Wenn man zu doppelten Bildern am rechten (oder linken) Rand greift, so sollten diese mMn. vertikal angeordnet sein oder man verzichtet ganz auf doppelte Bilder.

Wenn man en sehr breites (doppletes oder mehrfaches) horizontales Bild aus bestimmten Gründen nicht vermeiden kann bzw. benötigt, so sollte man es im Artikel zentrieren und den Fließtext so organisieren dass er dazu passt. Es sollte aber auf keinen Fall für eine rechte oder linke Randillustration verwandt werden, da das die angesprochenen Darstellungsprobleme verursacht.--Kmhkmh (Diskussion) 13:43, 20. Aug. 2016 (CEST)

Danke für diesen Hinweis, werde in Zukunft noch mehr darauf achten ... Ich hoffe jetzt sieht diesbezüglich der Artikel besser aus. Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 16:44, 20. Aug. 2016 (CEST)

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Einleitung im Ausdruck

"Das steht in auffälligem Gegensatz...": das "das" bezieht sich nicht auf den vorherigen Satz, das wirkt deplaziert.--Mideal (Diskussion) 16:48, 8. Aug. 2017 (CEST)

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Abschnitt Tomahawk

Da stehen mMn derzeit zwei Dinge, die dort nicht wirklich hingehören bzw. nicht hilfreich sind:

• Die Polygonkonstruktionen nach Gleason. Hier wird eine (von vielen?) Anwendungen der Winkeldreiteilung beschrieben aber nicht die Winkeldreiteilung selbst. In diesem Abschnitt zu nicht-klassischen Verfahren sollen aber Methoden zur Winkeldreiteilung beschrieben werden und nicht deren Anwendungen für anderen Probleme. Daher ist das Ganze in diesen Abschnitt "off topic" und sollte am besten in die zugehörigen Polygonartikel verschoben oder eventuell auch (weniger gut) in einen eigenen Abschnitt zu Anwendungen.
• Die Herleitung zum Tomahawk ist auch meiner Sicht nicht besonders geglückt, vor allem aber eigentlich an dieser Stelle völlig überflüssig, da Tomahawk einen eigenen Artikel besitzt in dem das alles steht. Daher reich es hier völlig lediglich die Eigenschaften bzw. Anwendung zu beschreiben.

--Kmhkmh (Diskussion) 18:08, 8. Okt. 2017 (CEST)

Zum 1. Punkt:

Danke für den Hinweis, das hatte ich falsch verstanden. Den Beitrag habe ich entfernt. Ob ich Ihn noch verwenden kann, muss ich erst sehen...--Petrus3743 (Diskussion) 18:33, 8. Okt. 2017 (CEST)

Ist es sinnvoll den entfernten Beitrag Anwendungsbeispiel vom Tomahawk in den Artikel Tomahawk (Geometrische Form) einzuarbeiten?

Vorschlag zum 2. Punkt:

Es wäre vielleicht einfacher wenn du dies übernehmen könntest, nach der Versionsgeschichte (16:59, 4. Jun. 2013‎) ist dieser Abschnitt auch von dir mitgestaltet worden. --Petrus3743 (Diskussion) 21:41, 8. Okt. 2017 (CEST)

Ich fände es sinnvoller das in den in den jeweiligen Artikel zu den beiden Polygonen einzubauen. In der Zeichnung wird zwar der Tomahawk verwandt, aber man kann ja auch jede andere (nicht-klassische) Winkeldreiteilung zur Konstruktion verwenden.--Kmhkmh (Diskussion) 22:00, 8. Okt. 2017 (CEST)

Ich sehe im Momoment nur das Poligon Siebeneck, da aber findet bereits der Tomahawk Anwendung. Oder welche beiden Polygonen hast du gemeint?--Petrus3743 (Diskussion) 23:17, 8. Okt. 2017 (CEST)

Ich hatte nicht gesehen, dass es beim Siebeneck schon stand, umso besser dann braucht man eigentlich nichts zu verschieben, wenn der Inhalt bereits an passender Stelle existiert. Der andere Fall wäre das Dreizehneck (mit entsprechend modifizierter Grafik) allerdings muss man halt da noch den Artikel selbst anlegen.--Kmhkmh (Diskussion) 23:38, 8. Okt. 2017 (CEST)

Danke, dein Vorschlag Dreizehneck ist jetzt eingearbeitet.--Petrus3743 (Diskussion) 21:27, 13. Okt. 2017 (CEST)

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Abschnitt Kurven "... bernoullische Lemniskate ist geeignet ..."

Bernoullische Lemniskate

Servus @Kmhkmh: ich ersuche dich um Hilfestellung zu dem im Abschnitt Kurven enthaltenen Eintrag:

• Auch die geometrische Figur der bernoullischen Lemniskate ist geeignet, einen Winkel zu dritteln. Das ist im Artikel "Winkel in der bernoullischen Lemniskate" ausgeführt.

Aufgrund der nebenstehenden Untersuchung stellt sich mir die Frage, ob die Bernoullische Lemniskate für eine beliebige Winkeldreiteilung geeignet ist.

Bergründung:
Die Lage des Scheitelpunktes $R$ , im Beispiel R₁ bzw. R₂ ist von der gegebenen Winkelweite abhängig. Ich sehe im Moment keine Möglichkeit den Punkt $P$ konstruktiv (exakt), ähnlich Application example zu bestimmen bzw. die Normale g₁ bzw. g₂ des Winkelschenkels als Tangente an die Bernoullische Lemniskate anzulegen, um damit den dazugehörigen Scheitelpunkt R darzustellen.

Frage, sieht du eine Anwendung der Bernoullische Lemniskate für eine beliebige Dreiteilung des Winkels? Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 20:06, 20. Jun. 2019 (CEST)

Eingefügt wurde das hir von Benutzer:FerdiBf. Ob er eine Konstruktion kennt bzw. vor Augen hatte oder ob es Versehen aufrgrund der scheinbar suggestiven Zeichnung war, weiß icht nicht. Auf den ersten Blick sehe ich nicht wie man einen gegeben Winkel mit der Lemniskate dreiteilen kann, da mir nicht klar ist, wie man sicherstellen kann, dass die beiden Schenkel des Winkels der Brennpunktachse und der Normalen bei einer Lemniskate entsprechen. Ohne dies kann man jedoch die Winkeleigenschaft nicht anwenden. Die "intuitive" Konstruktion, die die Lemniskate liefert verläuft eher in die andere Richtung, d. h. man verdreifacht den gegeben Winkel $\alpha$, wobei man auch da wohl noch die Konstruierbarkeit von Tangenten in einem beliebigen Punkt der Lemniskate voraussetzen muss. Tut man das ergibt sich eine exakte Verdreifachung. Ob bzw. unter welchen Voraussetzungen man die Konstruktion "umkehren" kann , d. h. mit dem Winkel $3\alpha$ beginnen und diesen dritteln, ist mir nicht klar.

Also am besten bei @FerdiBf: direkt nachfragen und den Absatz gegebenenfalls um um ein paar Konstruktionshinweise/Details ergänzen oder im Falle eines Versehens löschen.--Kmhkmh (Diskussion) 20:49, 20. Jun. 2019 (CEST)

Danke, für deine rasche Rückmeldung. Ich weiß auch nicht wie man die folgende Bemerkung von Gino Loria in Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven, S. 202, oben: „... eine sehr bemerkenswerte Beziehung, die von Vechtmann entdeckt ist ...“ verstehen muss? Sie wurde als Zitat auszugsweise in den Artikel "Winkel in der bernoullischen Lemniskate" übernommen:

• Laut Gino Loria ist die Winkelbeziehung insofern bemerkenswert, als sie nicht nur eine leichte Konstruktionsmethode für die Normale in einem beliebigen Punkte der Lemniskate liefert (und daher auch für die Tangente), sondern auch beweist, daß das Problem der Dreiteilung des Winkels der Hauptsache nach identisch mit dem ist, an eine Lemniskate eine Normale bzw. eine Tangente von gegebener Richtung zu ziehen.

Petrus3743 (Diskussion) 23:34, 20. Jun. 2019 (CEST)

Ja, ihr habt recht. Man kann Winkel mittels der bernoullischen Lemniskate nur dann dritteln, wenn man eine Tangenten bzw. Normale zu vorgegebener Richtung an die Kurve legen kann, und das geht natürlich im Allgemeinen nicht. Da war ich zu oberflächlich, ein peinlicher Fehler. Ich habe den betreffenden Teil entfernt.--FerdiBf (Diskussion) 07:11, 21. Jun. 2019 (CEST)

Danke FerdiBf, für die Erledigung. Ich bin auch nur durch Zufall, beim Probieren des Lemniskatenlenkers zur Erzeugung der bernoullischen Lemniskate, draufgekommen. Mit Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 07:47, 21. Jun. 2019 (CEST) erledigtErledigt

Kleiner Nachrag:

Trisektrix von Ceva mit 2 Schlaufen

Mit einer Variante der Trisektrix von Ceva gibt es eine der Lemniskate von Bernoulli täuschend ähnlich sehende Kurve mit einer ähnlichen Winkeleigenschaft, die sich in diesem Fall aber einfach zur Winkeldreiteilung nutzen lässt.--Kmhkmh (Diskussion) 22:37, 23. Jun. 2019 (CEST)

Lemniskate von Bernoulli, eignet sich nicht als Trisektrix

Ja, stimmt! Danke für den Hinweis und den Artikel. Die Untersuchung der bernoullischen Lemniskate zeigt den kleinen Unterschied zur Trisektrix von Ceva: Sie ist am Mittelpunkt O wesentlich gerader und der "Bauch" ist nahezu kreisförmig.--Petrus3743 (Diskussion) 00:44, 24. Jun. 2019 (CEST)

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Abschnitt: Beweis der Unmöglichkeit

Servus @94.216.83.178: Danke für den sehr gut eingearbeiteten Abschnitt! Für die Formeln und erledigtErledigt Für die Erläuterungen sind unbedingt noch weitere Einzelnachweise erforderlich. Bitte recherchiere und füge möglichst bald Belege in deutscher Sprache ein. Mit Gruß Petrus3743 (Diskussion) 16:28, 14. Nov. 2020 (CET)

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Der typische Winkeldreiteiler

Servus Petrus3743, ich kann mir nicht helfen, aber diese Kapitelüberschrift klingt irgendwie seltsam. Wie wäre es denn mit Lösungsversuche durch Amateure oder etwas ähnlichem? Dann ist denke ich auch schneller zu erkennen, was uns der Abschnitt erzählen will. Was meinst du? Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 10:33, 1. Apr. 2021 (CEST)

Danke, gute Idee! Ist schon erledigt Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 10:58, 1. Apr. 2021 (CEST)

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Kosmetik (Teilung mit Tomahawk)

Die starken Leerbereiche zwischen den Texten sind in diesem Abschnitt noch suboptimal. Vielleicht ließe sich das über eine elegante Galerie der Bilder lösen? -- Googolplexian (Diskussion) 11:37, 2. Apr. 2021 (CEST)

Es hat ein wenig gedauert (zu wenig Übung), aber sieht ganz gut aus ... Viele Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 17:38, 2. Apr. 2021 (CEST)

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KALP-Kandidatur März/April 2021 (Ergebnis: exzellent)

Unter der Dreiteilung des Winkels (auch: Trisektion des Winkels) versteht man in der Geometrie das Problem, ob man einen beliebigen Winkel nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal (den euklidischen Werkzeugen) konstruktiv und präzise in drei gleich große Winkel unterteilen kann. Die Dreiteilung des Winkels gehört zu den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik und ist nur für bestimmte Winkel durchführbar.

Dies steht in auffälligem Gegensatz zum Problem, einen beliebigen Winkel mit Zirkel und Lineal zu halbieren, was sehr einfach lösbar ist (Winkelhalbierende).

• Underwood Dudley beschreibt im Jahr 1983 den typischen Trisektor als älteren Mann, der in seiner Jugend von dem Problem hörte und im Ruhestand daran tüftelte... Petrus3743 (Diskussion) 09:19, 26. Mär. 2021 (CET)

 Lesenswert von jemandem, der sich eigentlich nicht mit mathematischen Themen befasst, aber durch den Artikel etwas aufgeklärter fühlt. --Prianteltix (Diskussion) 13:00, 24. Mär. 2021 (CET)

Servus Prianteltix, seit dem 26. März hat sich doch noch einiges getan hat, darf ich dich deshalb nochmals um eine Durchsicht ersuchen? Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 19:06, 9. Apr. 2021 (CEST)

In der Tat. Hier hat sich so einiges getan. Ein  Exzellent wäre mittlerweile durchaus angebracht. --Prianteltix (Diskussion) 11:52, 10. Apr. 2021 (CEST)

 Exzellent. Dieser Artikel ist genauso wie die über die Quadratur des Kreises und die Würfelverdoppelung hervorragend geschrieben und mit Quellen belegt. Die Details zu den einzelnen Trisektrixen müssen in diesem Artikel nicht beschrieben werden, sondern sind jeweils im Abschnitt Dreiteilung des Winkels#Kurven verlinkt.--Maximum 2520 (Diskussion) 11:12, 27. Mär. 2021 (CET)

Der Abschnitt Näherung durch mehrfache Winkel-Halbierung, Hilfsgerade und Strecken-Dreiteilung bedarf einer Überarbeitung. Ganz ohne Beleg klingt das ein bisschen nach OR. Außerdem ist mir bezogen auf die Graphik nicht klar, was die $w_{1},...,w_{4}$ jetzt sind: Geraden oder Winkel? Ich vermute wegen der Benennung Winkelhalbierende ersteres, aber dann ist die Bezeichnung w1 = 30° usw. nicht zutreffend. Ist die Graphik maßstabsgetreu? Ich kann nicht erkennen, wie die „Werte“ für w1 bis w4 genau entstehen und verstehe auf den ersten Blick auch nicht die Konstruktionsanleitung. Es wäre gut, wenn klar gemacht wird, welche Winkel zwischen welchen Punkten genau liegen sollen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 17:24, 30. Mär. 2021 (CEST)

Danke für deinen Hinweis! Ein Mitstreiter hat diese Methode (von mir) in Wikibooks gesehen und im Juni 2015 eingearbeitet. Da sie nicht belegbar ist, habe ich den kompletten Abschnitt und den Link zu Wikibooks entfernt. Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 17:49, 30. Mär. 2021 (CEST)
erledigtErledigt--Petrus3743 (Diskussion) 22:56, 31. Mär. 2021 (CEST)

Die Belegsituation ist an manchen Stellen leider noch nicht so überzeugend. Es wäre gut, wenn die Belege nochmal gründlich durchgeschaut und auf Eignung geprüft werden könnten. Zum Beispiel entstammt [6] scheinbar einem Seminar aus dem SS 1997 mit einer damaligen Studentin der Uni Bayreuth als Autorin, also keiner wiss. Publikation. Es ist mir bewusst, dass es zu dem Thema vermutlich nicht all zuviel Literatur (außer vielleicht historische) geben wird, aber für eine Auszeichnung führt an solch einer Recherche denke ich kein Weg vorbei. Außerdem halte ich persönlich die Einleitung noch für etwas zu knapp, da sollte eine Zusammenfassung aller wesentlichen Punkte aufgeführt sein. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 11:54, 31. Mär. 2021 (CEST)

Danke für deine Ergänzungen! Du warst schneller, ich war auch gerade dabei meine Ergänzungen in die Einleitung einzufügen. Umfang und Relevanz waren etwa gleich ... Die Belege habe ich geprüft und wo nötig verbessert. Mit Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 18:28, 31. Mär. 2021 (CEST)

Ein paar Belege wurden noch optimiert. erledigtErledigt --Petrus3743 (Diskussion) 01:43, 1. Apr. 2021 (CEST)

Servus Petrus3743, danke für die bisherigen Überarbeitungen, der Artikel ist jetzt schon deutlich besser. Ist denn klassifiziert, welche Winkel $\alpha$ genau sich dreiteilen lassen? Im Artikel heißt es nur, dass die Eigenschaft $\alpha ={\frac {\pi k}{4}}$ mit $k\in \mathbb {Z}$ hinreichend dafür ist, aber es fehlt ein notwendiges Kriterium. Mit anderen Worten: Folgt aus Dreiteilbarkeit bereits, dass der Winkel ein ganzes Vielfaches von ${\frac {\pi }{4}}$ ist? Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:57, 2. Apr. 2021 (CEST)

Kann sein, dass ich das überlesen habe: Wo finde ich $\alpha ={\frac {\pi k}{4}}$?

Winkel die gedrittelt werden können sind auch ganz ohne Formel einfach definierbar: M. E. sind dies die Winkeln deren gedrittelter Winkel ein ganzzahliges Vielfaches von 3° ist. Leider finde ich keinen Beleg dazu.

• Ein Extrembeispiel ist der Winkel 9°, den erhält man durch Halbierung 18° (Fünfeck). Der Winkel 3° (kein Vielfaches von 3°) ist konstrierbar mithilfe $\sin(3^{\circ })=\cos(87^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)-2\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right).$

Ich frage mich aber: Ist das dann noch eine „echte“ Dreiteilung? Wenn ein Winkel 3° als Drittel von 9° gesucht ist, konstruiert man den doch einfacher direkt. Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 12:29, 2. Apr. 2021 (CEST)

Sorry, ich meinte mit ${\frac {\pi }{4}}$ den Winkel 45°, und die Aussage ist im Abschnitt Klassisches Problem zu finden. Meine Frage wird bei den Verallgemeinerungen im Ansatz beantwortet, ich habe die nötige Passage ergänzt, die eine hinreichende und notwendige Bedingung gibt, dass ein Winkel der Form ${\frac {2\pi }{N}}$ gedrittelt werden kann, nämlich immer dann, wenn $N$ nicht durch 3 teilbar ist. Damit lässt sich 9° dritteln sowie 45°, aber nicht 60° oder 3°. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 12:41, 2. Apr. 2021 (CEST)

Ein Dankeschön auch hier, deine Ergänzungen kann ich gut nachvollziehen. Allerdings kann ich die Möglichkeit nicht immer im Kopf ausrechnen. Sollte man nicht auch die formellose Definition an passender Stelle aufnehmen? Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 12:52, 2. Apr. 2021 (CEST)

Es ist ja eigentlich keine Definition, sondern ein Kriterium, welches entscheidet, wann sich ein Winkel klassisch dritteln lässt. Wenn es eines gibt, das ohne Formeln auskommt (und nicht zirkulär ist in dem Sinne lässt sich dritteln gdw. lässt sich dritteln) sollte es auf jeden Fall noch rein! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 13:09, 2. Apr. 2021 (CEST)

erledigtErledigt--Petrus3743 (Diskussion) 23:58, 2. Apr. 2021 (CEST)

Ich gehe den Artikel jetzt nochmal Zeile für Zeile durch. Was mir auffällt, schreibe ich hier kurz auf.

• Bei Die Methode des Pappos ist mir die Rolle des Punktes $C$ etwas zu undurchsichtig. Ich frage mich: Ist es die beliebige Länge a oder eine beliebige Länge a? Das sollte noch etwas besser aufbereitet werden denke ich. -- Googolplexian (Diskussion) 16:26, 2. Apr. 2021 (CEST)

erledigtErledigt--Petrus3743 (Diskussion) 23:58, 2. Apr. 2021 (CEST)

Danke, Frage: Wenn wirklich völlig beliebig, warum wird dann nicht einfach $C=D$ gewählt? -- Googolplexian (Diskussion) 13:00, 3. Apr. 2021 (CEST)

$\Rightarrow$ Im Prinzip schon. Es kommt daher, dass manche (so wie ich) zuerst die beiden Winkelschenkel etwa gleich lang einzeichnen und gleich (für die spätere Beschreibung) beschriften, und erst anschließend abschätzen, wo am besten $C$ platziert werden kann. Die Vorgehensweise, wie die beiden Winkelschenkel bezeichnet werden, als Halbgerade $g_{1},g_{2}$ oder als Strecke ${\overline {AB}},{\overline {AD}}$, kann deshalb unterschiedlich sein, es ist beides korrekt.--Petrus3743 (Diskussion) 15:33, 3. Apr. 2021 (CEST)

• Den Satz Diese Lösung ist, ähnlich der archimedischen Methode, mit Markierungen am Lineal auch geometrisch nachzustellen. Dass dies beim Origami augenscheinlich nicht nötig ist, ist auf eine automatische Begrenzung des „Lineals“ rückführbar – das Faltpapier ist in jedem Fall endlich. aus dem Abschnitt Dreiteilung des Winkels mit Origami begreife ich nicht wirklich gut. Generell ist der Abschnitt aus meiner Sicht sehr knapp gehalten. Ohne Auslagerung in einen anderen Artikel würde ich mir wünschen, dass die Konstruktion ein wenig detaillierter ausgeführt ist, so als würde man vorm Bildschirm sitzend „mit falten“ wollen. -- Googolplexian (Diskussion) 16:26, 2. Apr. 2021

$\Rightarrow$ Wurde komplett überarbeitet erledigtErledigt Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 23:40, 3. Apr. 2021 (CEST)

• Zur Erleichterung des Verständnisses sollte denke ich bei Teilung mit Tomahawk genauer erklärt werden, was mit Stiel und Haken genau gemeint ist. Diese Begriffe sind wesentlich für die Konstruktion, werden aber ohne näher Erläuterung konsequent in Anführungszeichen gebraucht, obwohl sie denke ich leicht klar veranschaulicht werden könnten. -- Googolplexian (Diskussion) 16:57, 2. Apr. 2021 (CEST)

erledigtErledigt--Petrus3743 (Diskussion) 23:58, 2. Apr. 2021 (CEST)

• Zwischendurch auch mal ein großes Lob: Die Graphiken machen das Nachvollziehen der Konstruktionen ungemein einfacher! Chapeau! -- Googolplexian (Diskussion) 17:15, 2. Apr. 2021 (CEST)

$\Rightarrow$DANKE--Petrus3743 (Diskussion) 01:15, 3. Apr. 2021 (CEST)

• Gibt es einen Grund, weshalb im Unterabschnitt Dreiteilung unterschiedlicher Winkel mithilfe einer einzigen Hyperbel bis auf eine schöne Graphik gänzlich auf eine Beschreibung des Verfahrens verzichtet wurde? Zumindest die Hyperbelgleichung $x^{2}-y^{2}=d$ (mit welchem $d$?) sollte angegeben werden. -- Googolplexian (Diskussion) 17:30, 2. Apr. 2021 (CEST)

$\Rightarrow$ Ich war der Meinung die ausführliche Beschreibung im Artikel Hyperbel als Trisektrix müsste reichen. Jetzt ist gleich zu Beginn ein betreffender Hinweis vorhanden. Die Hyperbelgleichung ist im Bild eingetragen. Die Reihenfolge der beiden Abschnitte ist jetzt getauscht. Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 02:42, 3. Apr. 2021 (CEST)

Bin noch nicht ganz durch. Bis zur Klärung der oberen Punkte verbleibe ich vorerst  Abwartend, möchte dem Autor aber schon jetzt für den bisherigen Einsatz und vor allem die (wie immer) tollen Graphiken danken. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 18:31, 2. Apr. 2021 (CEST)

Servus Petrus3743, jetzt ist der Artikel aus meiner Sicht mindestens  Lesenswert, mit Lob, genug Kernpunkte sind enthalten, vor allen Dingen die sorgsam erstellten Graphiken sind Grund für Lesefreude, für die höchste Auszeichnung fehlen jedoch aus meiner Sicht noch einige nicht unwesentliche Punkte.

• (1) Während in Geschichte der Fokus nur auf griechischen Gelehrten liegt, wird die Rolle der Perser, wie Banu Musa, gar nicht beleuchtet. Auch später nicht deren (neues?) Konstruktions-/Nährungsverfahren.

erledigtErledigt Zwei iranische Mathematiker ergänzt. Leider haben die arabischen Mathematiker, die ich gefunden habe, ausschließlich die Hyperbel für eine Neusis-Konstruktion genutzt. ist auch im Einzelnachweis nachlesbar ... Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 19:54, 7. Apr. 2021 (CEST)

• (2) Der originale Beweis von Wantzel wird nicht ausführlicher diskutiert, weder historisch noch mathematisch, ich bezweifle, dass er in moderner Fachsprache formuliert war. Auch die Rolle von Gauß ist nicht so ganz klar. Ähnlich wie bei der Verdopplung des Würfels könnte es ja sein, dass davon ausgegangen wird, dass Gauß einen Beweis zumindest kannte?

Nach Wunsch des Hauptautors selber erledigtErledigt -- Googolplexian (Diskussion) 17:50, 9. Apr. 2021 (CEST)

• (3) Der Satz von Morley wird nicht besprochen.

erledigtErledigt Im Moment als eigener Abschnitt; mal sehen ob es da bleiben kann. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 17:41, 5. Apr. 2021 (CEST)

• (4) Ich persönlich fände es noch interessant und gleichzeitig wichtig, wenn zumindest knapp erläutert wird, wie das geometrische Verfahren in Anwendungen zum Lösen einer kubischen Gleichung funktioniert mittels Dreiteiler, siehe auch hier. Ähnlich auch für das n-gon im selben Abschnitt.

erledigtErledigt Erörterung am Beispiel Siebeneck ist jetzt eingearbeitet. Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 16:46, 7. Apr. 2021 (CEST)

• (5) Die Dreiteilung des Winkels ist ja als Problem recht populär. Gibt es, außer den Versuchen von Amateuren, keine anderen Rezeptionsformen? Ich dachte an Mathematikdedaktik (es gibt z.B. eine Veröffentlichung von Thomas Hutcheson im didaktischen Journal Mathematics Teacher zu dem Thema, wie man einen Winkel mit einer Saite dreiteilt) an Schulen oder auch Kunst, Kultur, etc. Falls nicht, ist das natürlich kein Muss.

Schonmal Danke für die viele Arbeit! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 11:03, 4. Apr. 2021 (CEST)

erledigtErledigt Könnte es sein, dass meinerseits alles erledigt ist? Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 16:10, 9. Apr. 2021 (CEST)

Danke Googolplexian,

für deine unterstützenden Hinweise. Ich werde gerne noch versuchen die 5 Punkte einzuarbeiten. Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 17:29, 4. Apr. 2021 (CEST)

HINWEIS

Servus Googolplexian, nachdem ich mir die 5 Punkte (wurden von mir nachträglich nummeriert) genauer angesehen habe, muss ich leider feststellen, dass es mir bei zumindest 2 doch sehr wichtigen Punkten (2) und (4, falls gebraucht würde ich belegbare Konstruktionen gerne übernehmen) an dem dafür erforderlichen Wissen bezüglich Geschichte und Mathematik fehlt, um dies fachlich korrekt zu beschreiben. Meine Kenntnisse/Fähigkeiten liegen mehr im Bereich der geometrischen Konstruktionen. Ich weiß, du möchtest nicht zu viel in den Artikel einbringen um auch noch ein unparteiisches Votum abgeben zu können. Aber, wenn wir wollen, dass dieser Artikel vergleichbar gut wird, wie die beiden ausgezeichneten Teamarbeiten: Quadratur des Kreises und Würfelverdoppelung, bedarf es noch eines weiteren Mitstreiters der die beiden Fächer beherrscht. Die Punkte (1), (3) und (5) werde ich weiterhin versuchen... Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 23:44, 4. Apr. 2021 (CEST)

Servus Petrus3743, danke, und kein Problem, ich werde sehen, was ich die nächsten Tage beisteuern kann! -- Googolplexian (Diskussion) 11:38, 5. Apr. 2021 (CEST)

Man kann den Satz von Morley aufnehmen und seine dutzenden Beweise: Letztlich führt es darauf, dass er zwar arithmetisch, aber nicht streng geometrisch beweisbar ist - ein Querverweis zum Artikel dürfte genügen.

Hab ich groß was anderes verlangt? Natürlich soll der Morley hier nicht bis ins letzte Detail erläutert werden. Es geht vielmehr darum, die Dreitteilung des Winkels im Rahmen dieses Resultats einzuordnen. Das kann in ein bis zwei Sätzen, ggf. mit Graphik, erledigt werden. -- Googolplexian (Diskussion) 11:38, 5. Apr. 2021 (CEST) Wie kommst du darauf, dass es keinen geometrischen Beweis gibt? Anscheinend hat John Horton Conway einen sogar recht einfachen geliefert. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 12:12, 5. Apr. 2021 (CEST)

Banu Musa: Da solltest du, Kollege Googolplexian mal näher eingehen, auf was du hinaus willst, ggf. Literaturhinweise liefern - orakeln hilft da nicht weiter: Ich finde den jetzigen - gestrafften - Abschnitt jedenfalls besser (und richtiger), als sich in Spekulationen zu verzetteln, die nicht angemessen belegt werden können.

Verzeihung, dass ich gestern nicht die Zeit hatte, genauer zu recherchieren. Natürlich soll nichts Unbelegtes in den Artikel, aber es hat den Anschein, dass Banu Musa im 9. Jhd. auch ein Verfahren zur Dreiteilung entwickelt hat. Falls das ein historischer Fakt ist, muss der, mit Verlaub, in einen exzellenten Artikel rein, denn dies ist Stoff der Mathematik in der Blütezeit des Islam. Ausgangspunkt könnte das hier sein. Dort wird berichtet, dass sich Thabit ibn Qurra mit dem Problem befasst haben soll, ein Schützling der Banu Musa-Brüder. Eine andere Anlaufstelle ist Fuat Sezgin: Wissenschaft und Technik im Islam I. Institut für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften, Frankfurt am Main 2003. -- Googolplexian (Diskussion) 11:38, 5. Apr. 2021 (CEST)

Originale Beweis von Wantzel: Ich weiß jetzt nicht, worauf du hinauswillst? Aus meiner Sicht hat der Autor dessen originalen Beweis ausreichend be- und umschrieben - man muss den jetzt nicht 'rauf und 'runter besprechen, die historische Mathematik bietet dazu ohnehin fast nix, Wantzel dürfte bestenfalls Galois beeinflusst haben - aber auch das ist spekulativ. Ich wüsste also nicht, was jetzt zu verbessern wäre (inhaltlich, formulierungsseitig ist es schon noch holprig).

Ich bin anderer Meinung. Ein paar Worte zu Wantzels Methode sind sicher gut im Artikel aufgehoben. Und deine Ausführungen zu dem Thema klingen auch nicht besonders überzeugend. -- Googolplexian (Diskussion) 11:38, 5. Apr. 2021 (CEST)

Und deine Anmerkung zu Gauß erinnert fast an Theoriefindung - originäre Forschung ist gerade nicht Gegenstand der Wikipedia, sie bildet ab, was Stand der Sekundärliteratur ist. Und dazu finde ich zu Gauß nichts "Sekundäres" an Literatur.

Ich bitte doch sehr, auf solche voreiligen Unterstellungen zu verzichten. In dieser Punblikation von Jesper Lützen wird die Rolle von C. F. Gauß bei den Unmöglichkeitssätzen im Detail erläutert. Er äußert Zweifel, dass Wantzel als erster um einen Beweis wusste, er war bloß der erste, der einen detaillierteren Beweis dazu niederschrieb. Die Historiker Christoph Scriba und Peter Schreiber schreiben in ihrem Buch 5000 Jahre Geometrie auf S. 405: „Angesichts dieser Folgerungen aus dem Werk von Gauß ist es offenbar den eingangs erwähnten Kommunikationsschwierigkeiten des 19. Jhs. geschuldet, wenn der jung verstorbene französische Mathematiker Pierre Wantzel zwischen 1837 und 1845 diese Resultate erneut bewies und in verschiedenen Büchern als Urheber der Sätze bezeichnet wird.“ Ich bin doch dafür, dass, wenn einige namhafte Historiker in Wantzels Publikation lediglich eine (wahrscheinlich unabhängig erbrachte) Leistung sehen, die lediglich Korollar der Sätze von Gauß sind, dies zu erwähnen. -- Googolplexian (Diskussion) 11:38, 5. Apr. 2021 (CEST)

Das Lösen einer "kubischen Gleichung" - sorry, Kollege - aber "Mathematikdidaktik" ist Wissensvermittlung - für einen "Prädikatsartikel" dem Autor aufzugeben, er möge diesbezüglich alle greifbaren Internet-Videos auswerten, halte ich generell für unmöglich: Da musst du - bitteschön - selbst aktiv werden und mal selbst "liefern", als nur "herumraunen". Will heißen, wenn du da jetzt nichts pointiertes hier einstellen kannst, was den Artikel weiterbringt, dann kann man das "für später" anmerken.

Als Außenstehender, also Nicht-Autor, ist es auf KALP mein Job, Artikel zu bewerten. Gerne trage ich auch einiges bei, wenn ich die Zeit finde, aber der Autor hat das letzte Wort. Zur kubischen Gleichung: Ich verstehe nicht, was du meinst. Wenn es ein Verfahren gibt, eine reelle kubische Gleichung, die in $\mathbb {R}$ in Linearfaktoren zerfällt, mit Hilfe eines Dreiteilers zu lösen, gehört dies meiner Ansicht nach in einen exzellenten Artikel. Und zur Didaktik: Weit gefehlt. Mathematikdidaktik ist heutzutage ein eigenes wissenschaftliches Forschungsfeld. Und der Mathematics Teacher ist nur Beispiel eines weiten Feldes von Journals, in dessen Arbeiten in diesem Bereich publiziert werden, siehe u.a. hier. Wenn es dort Publikationen zur Dreilteilung gibt, sollten diese mMn auch ausgewertet werden. -- Googolplexian (Diskussion) 11:38, 5. Apr. 2021 (CEST)

Nichts für ungut und ohne mehr für heute. Sry, Kollege Petrus3743, dass ich mich hier eingemischt habe. Viele Grüße,--Rote4132 (Diskussion) 00:44, 5. Apr. 2021 (CEST)

Auch, wenn du dich abschnittsweise "reingedrängelt hast" - was nun nicht sonderlich schön ist - so ist mir wie dir vollkommen klar, dass die Beurteilung der Qualität eines Ei nicht davon abhängt, ob man selber irgendwelche Eier legen kann oder könnte.

Anders hier: Petrus3743 hat jetzt den Weg gewählt - den ich ihm nicht empfohlen hätte, dazu auch meine Hinweise und Beiträge bei Quadratur des Kreises, die sind auch nicht immer freundlich. Aber das hatte er dort zweistufig angelegt: Erst lw, dann exz.. Einerseits. Andererseits halte ich in einem - übrigens zulässigen - Verfahren der Verbesserung eines Artikels während einer Kandidatur (was auf die Qualität des Portals Mathematik hindeutet, eigentlich müssten die sich erstmal äußern und eine Art Review durchführen - aber da kommt ja nix, habe ich ja selbst beobachtet) dennoch für einen Weg. Der geht aber nicht - sry. - mit "Zurücklehnen und Rummeckern", wenn man auf "exz." votieren will, sondern eigentlich nur, hier sauber lw zu votieren, dem Hauptautor Zeit zum Verbessern zu geben und sich nach einigen Tagen oder wenigen Wochen selbst zu freuen, dass hier ein wirklich exzellenter Artikel "aufschlägt".

Auch wenn du pikiert sein solltest: Die Krux erscheint mir derzeit, dass der Artikel lesenswert ist (so habe ich ja auch votiert), aber wohl in der verbleibenden Zeit (ich habe ja selbst den Verlängerungsantrag gestellt) es aus diversen Gründen nicht möglich ist, ihn hinsichtlich "exz." zu verbessern - es bedarf einfach mehr Zeit.

Also sollte man - wie du ja selbst votierst - "lw" votieren - und auf "Wiedervorlage in sechs Wochen", ich glaube, das schafft auch dem Hauptautor "Luft zum Atmen".

Dass ich für dich WP:AGF angenommen habe und du ja dies auch sehr freundlich (wenn auch ungewöhnlich) beantwortetest (und noch zahlreiche Literaturhinweise beischlepptest), zeigt doch, dass dir die Qualität des Artikels genauso ein Anliegen ist (also weit über ein "Daumen hoch - Daumen runter" hinausgeht), wie mir - und erst recht dem Hauptautor (den ich ohnehin bewundere, wie er geometrische Fakten, Sätze und Beweise in überaus leicht verständliche Grafiken "übersetzen" kann).

Mein Petitum: Jetzt hier "lesenswert" - und alle weiteren Punkte verschieben - und mit guter Kraft Neukandidatur (auf die ich mich schon jetzt freuen würde, die Quadratur des Kreises war ein wirkliches Beispiel an Erkenntnisgewinn - und eine zu Recht erhaltene Auszeichnung als "exz." - weltweit, da gibt es nirgendwo was besseres dazu).

PS 1: Ein Außenstehender überblickt doch die Detaildebatte schon längst nicht mehr: Wo sollen denn noch Stimmen für ein "Prädikat" herkommen. Frage ich rein organisatorisch. Mit den besten Grüßen, aber ganz besonders an den Hauptautor (und sein "Nervenkostüm"), --Rote4132 (Diskussion) 23:59, 5. Apr. 2021 (CEST)

PS 2: An Googolplexian: Also ich würde mich sehr freuen, dich in dem von mir vorgeschlagenen "Zwischenschritt" - mehr ist es ja nicht - als Diskutant oder sogar Mitautor zu sehen: Als Exzellent wird immer noch der Artikel ausgezeichnet, niemals deren Autoren - auch dessen muss man sich hie und da bewusst werden, habe ich jedenfalls in meinem "Autoren-Leben" auch erfahren... VG, Rote4132

Servus Rote4132, erstmal sorry für das „Reindrängeln“, ich muss öfter längere Mails beantworten, und da bietet sich diese punktuelle „Abarbeitung“ (kein schönes Wort) an, aber du hast recht, kein guter Stil auf de:Wiki, kommt nicht wieder vor. Was deine angesprochenen Punkte betrifft: Kann ich nachvollziehen. Nichts liegt mit ferner, den Autor eines Artikels mit Anforderungen zu „quälen“ und es tut mir Leid, falls das hier den Eindruck erweckt. Alles, was ich will, ist, einen konstruktiven Beitrag zu leisten, den Artikel besser zu machen, und dazu möchte ich sagen, was dem Artikel aus meiner Sicht für ein Exzellent noch fehlt. Anschließend soll der Hauptautor, der übrigens auch aus meiner Sicht hervorragende Arbeit leistet, entscheiden, ob er das für sinnvoll hält oder nicht, und am Ende der auswertende Admin. Wir alle bewerten den Artikel, nicht den Autor, aber der Hauptautor sollte das letzte Wort haben. Vielleicht wäre es auch besser gewesen, wenn diese ganze Diskussion im Rahmen eines Review statt gefunden hätte, da hat man mehr Zeit. Aber so ganz verstehe ich diese ganze Diskussion trotzdem nicht, da ich von KALP eigentlich genau das kenne: Leute lesen Artikel und werfen anschließend mit (oftmals sogar „kleinkarierten“) Verbesserungen um sich, was natürlich Arbeit bedeutet. Aber so lange der Autor die Vorschläge rational nachvollziehen kann, sollte sich die gemeinsame Arbeit nicht schlecht anfühlen, denn am Ende des Tages versteht man, was man schönes geleistet hat. Und ich persönlich hätte es für weniger konstruktiv gehalten zu schreiben: Lesenswert, und für exzellent fehlt einiges, was ich aber nicht aufzähle, da die Zeit ohnehin nicht reicht. Übrigens kommt das meistens gar nicht gut an: Wer ohne Begründung mit Lw votiert, wird zumeist gleich gefragt, was für das grüne Bapperl noch fehlt. Und zu verlangen, dass ich grundsätzlich, wenn nicht die höchste Auszeichnung vergeben, dafür sorgen muss, dass der Artikel dieses Niveau erreicht, ist vollkommen unrealistisch. Soll heißen: Wer bewertet (=„meckert“) muss eben nicht selbst verbessern (so lange die Kritikpunkte klar und verständlich formuliert sind, was bei mir zunächst vermutlich nicht der Fall war), auch wenn das fantastisch und äußerst nobel wäre! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 08:47, 6. Apr. 2021 (CEST)

@Petrus3743: Vielleicht hat Rote4132 auch in diesem Falle recht, und es wäre besser, wir alle nehmen uns etwas mehr Zeit für ein „Exzellent-Review“, was denkst du dazu? Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:28, 6. Apr. 2021 (CEST)

Pardon, da hat sich mein Eintrag vom 09:57, 6. Apr. mit deinem überschnitten. Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 10:10, 6. Apr. 2021 (CEST)

Bitte um automatische Verlängerung bis 13. April 2021: Ich bin hin-und-her-gerissen, einerseits sehe ich  Lesenswert (gestrichen, s.u.), aber durch den Fleiß des Hauptautors Potential "nach oben" und möchte daher (noch) nicht abschließend votieren.--Rote4132 (Diskussion) 01:25, 3. Apr. 2021 (CEST)

Mir bereitet ein Einleitungsabschnitt Geschichtliches aus der Antike schon allein vom Titel her von vornherein Magenschmerzen: Das ist zwar sauber geschrieben, aber eigentlich Populärwissenschaft. Zumal auf Ägyptologie zugegriffen und die alten Babylonier sowieso - das ist irgendwie "Plauderei". Was die Qualität insgesamt zwar nicht in Frage stellt, aber eine straffe und stringent enzyklopädische Einleitung muss anders aussehen.

Zum "Mathematischen" muss ich noch mich im Detail weiter einlesen - wollte nur diesen Fakt schon jetzt hier einstellen. Viele Grüße,--Rote4132 (Diskussion) 00:57, 4. Apr. 2021 (CEST)

$\Rightarrow$ Danke für deinen Hinweis! Geschichte, jetzt die gleiche Überschrift wie in Quadratur des Kreises. Nun, das jetzt entfernte Zitat von Archimedes war nicht besonders informativ. In diesem Abschnitt sind nun ausschließlich griechische Mathematiker erwähnt. Viele Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 01:25, 4. Apr. 2021 (CEST)

Servus Rote4132, Googolplexian und interessierte Mitstreiter des Themas,

meine Bitte, schreibt alle eure Vorschläge rein, die nach eurer Meinung für ein Exzellent erforderlich sind. Ich will (als Hauptautor) die 1 Woche noch nutzen und versuchen, die nach eurer Meinung unbedingt erforderlichen Verbesserungen (in guter Qualität) einzuarbeiten. Um Unterstützung bei der Abarbeitung (Erledigung) wird gebeten. Um evtl. Doppelarbeiten zu vermeiden werde ich meine Versuche vorab mit IN ARBEIT kennzeichnen. Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 09:57, 6. Apr. 2021 (CEST)

Figur zu Pappos ungeschickt

Beim gedanklichen Nachvollziehen der Beweisführung hat mich die ungeschickte Wahl des Winkels lange verwirrt. AD sieht nämlich aus wie eine Tangente an den Hilfskreis, also Dreieck ACM wie ein rechtwinkliges Dreieck. Mit einem spitzeren Winkel ist es viel leichter zugänglich. Auch sollte der Umfangswinkel mit einem Symbol benannt werden, damit er im Text einfacher adressiert werden kann, und wenigstens auch der Kreiswinkelsatz verlinkt sein. (Als lesenswert würde ich diesen Teil des Artikels nicht empfinden.) Offenbar ist die Abb. aus der Quelle 6, Petrus3743 hat nur das Lineal hinzugefügt. Geht das noch mit der Lizenz in Ordnung? --Bleckneuhaus (Diskussion) 23:04, 6. Apr. 2021 (CEST)

Servus Bleckneuhaus ,

Danke für deine konstruktiven Hinweise, sie sind bereits eingearbeitet. Vielleicht ist das auch ein kleiner Beweis, dass die Zeichnung von mir ist. Ich hab's bloß sehr ähnlich gezeichnet ... Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 23:58, 6. Apr. 2021 (CEST)

erledigtErledigt--Petrus3743 (Diskussion) 00:35, 7. Apr. 2021 (CEST)

Von mir aus jetzt ok und Gruß zurück! --Bleckneuhaus (Diskussion) 11:24, 7. Apr. 2021 (CEST)

Ist das jetzt ein Exzellent oder ein Neutral, Kollege Bleckneuhaus? Nur als höfliche Nachfrage...--Rote4132 (Diskussion) 00:01, 8. Apr. 2021 (CEST)

Danke für die Nachfrage! Tatsächlich will ich gar kein Urteil abgeben, sondern habe (aus irgendeiner Neugier) nur den einen Abschnitt über Pappos angesehen und einen Verbesserungsvorschlag gemacht, der ja schon angenommen wurde. OK? --Bleckneuhaus (Diskussion) 13:35, 8. Apr. 2021 (CEST)

Da du, Petrus3743 jetzt ausgesprochen mutig warst, doch die Tage "durchzukämpfen" und auch mich anfragtest, hier verbleibende "Reste" an Ergänzungen aufzulisten, gestehe ich gern - als "interessierter Laie" -, dass ich inhaltlich nichts beitragen kann oder werde. Nach Durchsicht von heute gibt es für mich nur einen einzigen störenden Punkt, und das sind in der Zusammenschau die ersten drei Abschnitte des Artikels. Die sind zwar jeder für sich schlüssig, aber die Abfolge stimmt so nicht (zweimal Querverweise auf nachfolgende Abschnitte): Nun ist das sowas von unwichtig, wenn ich mir die inhaltlichen Ergänzungen von dir der letzten Tage anschaue (herausragend), dass ich mich kaum getraue, hierzu eine Bitte zu äußern. Oder soll ich es selbst machen, wie gesagt, es geht ausschließlich um Stringenz der Abfolge? Viele Grüße, danke, ich bin (erneut) begeistert und erinnere mich gern an ein früheres Projekt. Viele Grüße,--Rote4132 (Diskussion) 00:01, 8. Apr. 2021 (CEST)

PS: Man sollte aber, meiner Meinung nach, doch Kollegen Googolplexian um Durchsicht bitten. Meine Anmerkungen sind "redaktionell" und sollen dich ggf. nicht belasten (so meine Sicht) - aus seiner Sicht kamen ja eher die inhaltlichen Anmerkungen: Da wäre schon ein "Schlussstrich" zu erhoffen. VG,--Rote4132 (Diskussion) 00:01, 8. Apr. 2021 (CEST)

Rote4132, danke für deine aufmunternde Worte. Du hast völlig recht, die Reihenfolge der Abschnitte muss anders als in der Würfelverdoppelung sein. Ich sehe sie so: Klassisches Problem, Geschichte, Beweis der Unmöglichkeit und erst dann Lösungsversuche durch Amateure.

Eine Durchtsicht des Artikels durch Googolplexian ist besonders erwünscht. Das er dies seit dem Start der Kandidatur tut, kann man an seinen konstruktiven Vorschlägen und gut gesetzten Beiträgen erkennen. Wir sind leider nur ein kleines aber starkes Team, es fehlt einfach an Bewertungen ... Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 10:15, 8. Apr. 2021 (CEST)

Sehe ich übrigens wie Du in der Reihenfolge "Klassisches Problem - Geschichte - Beweis der Unmöglichkeit": Ich hatte die Nacht bloß keine Lust mehr auf Rechner hier (irgendwie so einen blöden Corona-Impftermin zu erhaschen erschien mir irgendwie wichtiger, hat auch geklappt). Viele Grüße,--Rote4132 (Diskussion) 11:50, 8. Apr. 2021 (CEST)

erledigtErledigt Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 19:06, 9. Apr. 2021 (CEST)

 Lesenswert erfüllt als lesenswerter Artikel die Voraussetzungen. Insbesondere weil die Darstellung umfassend und korrekt ist. Nach der Überarbeitung des Geschichtsteils:  Exzellent--Alabasterstein (Diskussion) 11:22, 8. Apr. 2021 (CEST)

Alabasterstein, ein Dankeschön für dein Votum! Ein Frage: Was fehlt deiner Meinung nach noch um ein „Exzellent“ zu erfüllen? Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 12:21, 8. Apr. 2021 (CEST)

Petrus3743: eigentlich fehlt nicht viel. Der mathematische Teil ist vorbildlich, die anschaulichen Grafiken und animierten GIF's sind super gelungen. Weniger gut gelungen finde ich den historischen Teil. Dieser ist prinzipiell nicht viel mehr als die relativ knappe Auflistung der einzelnen Mathematiker, die sich an den Beweis heran gewagt haben bzw. unterschiedliche Verfahren entwickelt haben. Immerhin reden wir hier von einer Geschichte, die sich über mehrere Jahrhunderte hingezogen hat. Deswegen ist mir der Teil einfach zu knapp ausgefallen und auch die möglichen Entwicklungen in dieser Zeitreihe sind kaum dargestellt. --Alabasterstein (Diskussion) 13:23, 8. Apr. 2021 (CEST)

Alabasterstein, danke das sind gute Hinweise, danach kann man sich richten. --Petrus3743 (Diskussion) 14:17, 8. Apr. 2021 (CEST)

Alabasterstein, da sich u.a. auch bezüglich deiner Hinweise doch einiges getan hat, darf ich dich deshalb nochmals um eine Durchsicht ersuchen? Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 18:54, 9. Apr. 2021 (CEST)

Servus Petrus3743, mit Geschichte bin ich noch nicht ganz durch, da wird noch ein bisschen was folgen. Gerne aber nehme ich schon jetzt Hinweise von dir entgegen, Alabasterstein, falls du welche haben solltest. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 19:26, 9. Apr. 2021 (CEST)

(etwas nach vorn): Und so, wie ich oben Kritik anmerkte, Kollege Googolplexian, so sehr muss ich gerade nach diesen Bemerkungen auch einmal ein Kompliment loswerden: Wie Du Dich mit dem Werk 5000 Jahre Geometrie hier regelrecht "hineingekniet" hast in den Artikel, das ist wirklich und richtig gut. Den Fleiß von Kollegen Petrus3743 habe ich mehrfach erlebt, auch hier wieder - aber hier gilt ein "Danke" an Dich. Denn man sollte immer - so meine ich, auch mich betreffend - eben nicht nur "kritikastern", sondern eben auch selbst den Mut haben, seine Meinung zu revidieren - und diese meine Meinung revidierst du gerade in beeindruckender Weise mit deiner Artikelarbeit - ich nehme da alles zurück. Danke - und ich habe in den letzten Stunden (es sind ja tatsächlich nicht mehr, auch wenn es gefühlt "Tage" sind) unheimlich dazugelernt. Also danke in jeder Hinsicht - wie gesagt - als "interessierter Laie". Viele Grüße,--Rote4132 (Diskussion) 21:54, 9. Apr. 2021 (CEST)

Inhaltlich - noch mal: Ich würde den Satz von Morley unter "Näherungsverfahren" unterbringen: Mit Software kann man so ziemlich jedes Näherungsverfahren schon deshalb "erschlagen", weil moderne Rechner heute in Millisekunden das erledigen, woran frühere Mathematiker Jahrzehnte ihres Lebens saßen (man denke nur an die ätzenden - und allseits nurmehr historischen - Logarithmentafeln - John Napier, ich beneide den Mann nicht): Ich denke, man kann das sogar relativ offen formulieren, der Satz von Morley wird nur ein erstes Beispiel dieser Art sein, derer werden wohl in den nächsten Jahren noch Dutzende auftauchen (können). Ich denke an den "Rechner-Beweis" des Vier-Farben-Satzes, den zum Schluss keiner nachvollziehen kann, als vielleicht frühes Beispiel, wo sich ja zum strengen mathematischen Beweis durch die Computertechnik eigentlich keinen Millimeter bewegt wurde: Also Morley dort 'rein, und die "Amateurversuche" der "Winkeltrisektierer" (was für ein schöner Name: "Sektierer" - passt irgendwie) dann untendrunter. Meine ich mit vielen Grüßen,--Rote4132 (Diskussion) 22:38, 9. Apr. 2021 (CEST)

Rote4132, ja, einen Moment lang, dachte ich auch Morley würde unter Näherungsverfahren passen. Aber wenn du den Satz genau ansiehst, Morley drittelt keinen gegebenen Winkel, sonder sagt quasi, wenn man die drei Winkel dritteln könnte, dann würde sich das Morley-Dreieck ergeben. Der Satz ist also ein theoretisches Gedankenmodell in dem gar nicht versucht wird, also auch nicht annähernd, einen Winkel zu dritteln. Es wird einfach als gegeben vorausgesetzt. Ähnlich sehe ich es mit dem Abschnitt Lösungsversuche durch Amateure, hier werden keine Beispiele explizit beschrieben, die man auch mit Bildern verdeutlichen könnte. Deshalb würde ich gerne die beiden als eigene Abschnitte an ihrem jetzigen Platz belassen. Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 00:36, 10. Apr. 2021 (CEST)

Hallo, es ist so wie Petrus3743 geschrieben hat, der Satz von Morley ist eine Aussage der Geometrie und kein Näherungsverfahren. Er sagt aus, dass das in der Abbildung gezeigte Dreieck immer gleichseitig ist, wenn die Bedingungen der Winkeldreiteilungen in den Ecken des Ursprungsdreieck erfüllt sind. Aber es ist gar nicht mal so „theoretisch“, da es ja noch weitere Möglichkeiten gibt, Winkel zu dritteln, außer mit nur Zirkel und Lineal. Außerdem kann das Morley-Dreieck in speziellen Dreiecken sogar mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Ich bin eher am überlegen, ob die Verallgemeinerungen an den Schluss gesetzt werden sollten. -- Googolplexian (Diskussion) 11:08, 10. Apr. 2021 (CEST)

Googolplexian richtig, die Dreiteilung ist auch mit dem Tomahawk erreichbar. Bezüglich einer evtl. Versetzung des Abschnittes Verallgemeinerungen hätte ich nichts dagegen. Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 11:34, 10. Apr. 2021 (CEST)

Nach erneuter Durchsicht sind die Mängel des Artikels aus meiner Sicht behoben. Alle wichtigen Aspekte des Themas werden nun in angemessener Tiefe behandelt. Da ich auf Wunsch des Hauptautors selbst Hand angelegt, und mittlerweile fast 25% des Artikels verfasst habe, kann ich jedoch als Ko-Autor aus Befangenheit kein Auszeichnungsvotum geben, verbleibe daher  Neutral. Ich bedanke mich sehr herzlich bei Petrus3743 für die wie immer unermüdliche Arbeit an den Graphiken, die Geometrie richtig spaßig werden lassen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 11:23, 10. Apr. 2021 (CEST)

Aber vielleicht möchten Prianteltix, Rote4132 und Alabasterstein den Artikel in seiner jetzigen Form erneut beurteilen, und ggf. weitere Mängel hervorheben? Außerdem könnte das Thema die Kollegen Christian1985, Dioskorides, HilberTraum und JonskiC eventuell interessieren? Je mehr kompetente Meinungen, desto besser die Qualität denke ich. Ganz liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 11:35, 10. Apr. 2021 (CEST)

Einige Amerkungen: Ich fand den Artikel schon exzellent, als er zur Kandidatur gestellt wurde. Für mich liegt der Themenschwerpunkt ganz klar bei den (mathematischen und) logischen Zusammenhängen und nicht bei den Personen und historischen Einzelheiten. In dem Artikel geht es darum, anspruchsvolle logische Zusammenhänge verständlich darzustellen.

Für die herausragende Qualität des Artikels spricht, obwohl er nicht allzu lang ist, dass die Verlinkungen und Einzelnachweise sehr gut sind. Im Sinne der Verständlichlichkeit finde ich nicht sinnvoll, weitere Inhalte aus den Verlinkungen und Einzelnachweisen in den Artikel zu "kopieren".

Ehrlich gesagt finde ich das Thema des Artikels "Dreiteilung des Winkels" gar nicht so wichtig, sondern, dass dort fachliche Konzepte dargestellt werden, die in ähnlicher Form auch in der Informatik und Technik sehr wichtig sind oder sein können. Daher bleibe ich bei meinem Exzellent. Viele Grüße--Maximum 2520 (Diskussion) 14:54, 10. Apr. 2021 (CEST)

Auswertungshinweis: Aktuell und auch im bisherien Verlauf wurde nur das nötige Quorum für lesenswert erreicht, auch die Kriterien für eine Verlängerung auf E waren nie gegeben. Da aber die Verbesserung der Artikel im Vordergrund steht, ist gegen ein weiterlaufen nichts einzuwenden. Es sei aber angemerkt, das es Bewertern und Auswertern bei so starken Veränderungen schwer fällt die Diskbeiträge und Voten ein- und zuzuorden. Ein Review wäre dafür sicher der bessere Ort. Weitere Voten sind unterhalb herzlich Willkommen, ich halte aber ein Abschluss ab 13.4. für angebracht. MfG--Krib (Diskussion) 11:40, 10. Apr. 2021 (CEST)

 Exzellent ich hatte den Artikel zuerst kritisch betrachetet, da manche Abschnitte zunächst unbelegt waren. Inzwischen hat sich ja noch viel getan. Einzig der Abschnitt Klassisches Problem ist scheinbar unbelegt, aber es wir ja in späteren Abschnitten darauf eingegangen, es ist also mehr noch eine 2. Einleitung und für mich nicht entscheidend. Grüße --Josef Papi (Diskussion) 15:22, 10. Apr. 2021 (CEST)

Servus Josef Papi, ein Dankeschön für deinen Hinweis. Es ist besser die Belege auch in Klassisches Problem einzuarbeiten, einer für Vielfaches v. 45° und einer für Vielfaches v. 3°. erledigtErledigt Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 18:51, 10. Apr. 2021 (CEST)

Servus Rote4132, es hat sich doch noch einiges getan, auch dank deiner konstruktiven Hinweise. Darf ich dich deshalb nochmals um eine Durchsicht ersuchen? Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 19:06, 10. Apr. 2021 (CEST)

Hallo Kollege, aber selbstverständlich: Ich habe mir heute die Zeit genommen und mal alles andere in der Wikipedia sein gelassen, und mal wirklich 40 Minuten nur diesen Artikel gelesen (auch so ein bisschen, bitte kein Missverständnis, als quasi Außenstehender, geschaut, ob da noch eine Schwachstelle oder ein Fehler ist, gut EN ist danach noch dazugekommen, aber auch nichts gefunden, also logisch durchstrukturiert) - und, das weißt Du (und auch der Co-Autor), dass ich begeistert bin, ich schrieb es auch schon. Gern das  Exzellent, ja, auch die Begründung zu Morley ist i.O., danke.

Lediglich das Rumgedrängel im Kasten oben drüber finde ich ein bissel suboptimal, denn der 13. April war von mir am 3. April hier beantragt und ist ja auch so von den Regeln gedeckt: Aber das betrifft ja keinen der beiden Hauptstreiter direkt, es zeichnete sich ja ab, dass die Zielgerade längst erreicht ist. Also, vielen Dank, sehr schön, und auch, wenn ich "Zuschauer" blieb: Sehr viel gelernt während der letzten Tage, viele Grüße,--Rote4132 (Diskussion) 21:51, 10. Apr. 2021 (CEST)

Rote4132 und Googolplexian, ich sag' zunächst einfach danke! Wer hätte vor ein paar Tagen noch an einen Erfolg gedacht ... Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 23:13, 10. Apr. 2021 (CEST)

Du. Chapeau! VG,--Rote4132 (Diskussion) 23:43, 10. Apr. 2021 (CEST)

Da ich hier angepingt wurde. Kann mich leider grad nicht im Detail mit dem Artikel auseinandersetzen, da etwas beschäftigt. Sieht für mich aber prima facie  Exzellent aus. Beste Grüße.--Jonski (Diskussion) 17:37, 11. Apr. 2021 (CEST)

 Exzellent: Ich halte den Artikel in der heutigen Form für exzellent. --Christian1985 (Disk) 19:18, 11. Apr. 2021 (CEST)

Mit 7x  Exzellent ist der Artikel in dieser Version einstimmig als exzellent gewählt.
Gut Ding braucht Weile, nach Verlängerung bestmöglichstes Ergebnis. Herzlichen Glückwunsch!
Übertragen von KALP durch --Krib (Diskussion) 16:38, 14. Apr. 2021 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Petrus3743 (Diskussion) 00:53, 28. Apr. 2021 (CEST)

Anderung von IP: 2a01:c23:5db9:0:f127:7b87:7837:2008

Die Änderungen von IP: 2a01:c23:5db9:0:f127:7b87:7837:2008 wurden wegen geschmacksabhängiger Stiländerung zurückgesetzt.--Petrus3743 (Diskussion) 19:11, 9. Aug. 2021 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Petrus3743 (Diskussion) 18:09, 31. Jan. 2022 (CET)

VERALLGEMEINERUNG - Fünfteilung, Siebenteilung (N-teilung) von Winkeln

Welche Möglichkeiten zur Fünf-, Siebeteilung (allgemein:N-teilung) von Winkeln gibt es? Was ist hierbei mit Zirkel und Lineal konstruierbar? Wie steht es mit Winkelteilungen, die Bruchzahlen (zum Beispiel, eine 4/5-Teilung) oder irrationalen Zahlen (Wurzel(2)-Teilung, e-Teilung, pi-Teilung) von Winkeln entsprechen?

Ggf. hierzu neuen Artikel anlagen! (nicht signierter Beitrag von 2003:DF:1F02:6E26:9032:AD8:B20D:56F (Diskussion) 00:29, 10. Aug. 2021 (CEST))

Servus WP-Leser(in), danke für dein Interesse und deine Frage.

Wie du sicher weißt, ist die Wikipedia eine Enzyklopädie, d.h. sie nimmt

a) nur Themen als Artikel bzw. in einem Artikel auf, die dem betreffenden Grundlagenwissen entsprechen bzw. mithilfe Sekundärliteratur belgbar sind und

b) die im Sinne der WP-Richtlinien relevant, d.h. wichtig erscheinen.

• Leider sind für eine Einarbeitung des Themas „VERALLGEMEINERUNG - Fünfteilung [...].“ in einem Artikel m. E. beide genannten Voraussetzungen nicht erfüllt. Mit Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 14:48, 10. Aug. 2021 (CEST)

Nicht 3-Teilung in n-Teilung einarbeiten. Es wäre umgekehrt möglich, wenn ein neuer Artikel n-Teilung angelegt ist. Wird aber in WP nicht konsequent gemacht. Die Eschaffer der Artikel mit einem Unterthema arbeiten dem oft entgegen, weil sie dann nur noch im Hintergrund präsent sind. Es gibt auch Fälle, in denen ein übergeordneter Artikel längst existiert, wenn ein untergeordneter erstellt wird. So einer nimmt sogar manchmal nicht auf den übergeordneten Bezug (als existiere dieser garnicht). --erledigt (Diskussion) 11:20, 11. Aug. 2021 (CEST)

Servus @Erledigt:, leider kann ich deinen Eintrag nicht nachvollziehen.

Du schreibst: „Nicht 3-Teilung in n-Teilung einarbeiten.“; davon ist in den vorherigen Einträgen nichts zu lesen. Es scheint, du hast n-Teilung und 3-Teilung vertauscht.

Wenn dir das Thema n-Teilung wichtig ist, wäre es begrüßenswert a) dessen Relevanz zu erfragen und b) anschließend vorab Einzelnachweise aus der Sekundärliteratur zu recherchieren. Nur so könnte es ein regelgerechter WP-Artikel werden.

• Bitte beachte: Deine restlichen Anmerkungen sind bezüglich dieses Artikels irrelevante Vorwürfe, dafür sind Artikel-Diskussionsseiten nicht vorgesehen. Wenn deine Meinung ernst genommen werden soll, dann versuche einfach freundlich zu sein.

Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 13:39, 11. Aug. 2021 (CEST)

Pardon, es muß tatsächlich umgekehrt heißen: Nicht n-Teilung in 3-Teilung einarbeiten. --erledigt (Diskussion) 14:02, 11. Aug. 2021 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Petrus3743 (Diskussion) 18:14, 31. Jan. 2022 (CET)

Frage der Dreiteilung für spezielle Winkel

Ist Thema eines Diskurses in Bieberbach "Theorie der Geometrischen Konstruktionen", Birkhäuser, 1952, Abschnitt Winkeldreiteilung. Er lehnt die Sichtweise der "Algebraiker" (für die er van der Waerden als Beispiel nimmt) ab, dass die Frage der Dreiteilung nur den Fall allgemeiner Konstruktionen betrifft und leitet auch einige interessante Sätze über dreiteilbare Winkel ab. Sollte hier vielleicht auch noch ausführlicher behandelt werden.--Claude J (Diskussion) 21:10, 11. Aug. 2021 (CEST)

Servus Claude J,

zuerst danke für die Information. Soeben habe ich mir das E-Book gekauft: "Theorie der Geometrischen Konstruktionen", Ludwig Biberbach, Verlag Springer Basel AG 1952, Ursprünglich erschienen bei Verlag Birkhäuser AG., Basel l952.

Ich werde mich zuerst einlesen und mich evtl. nochmals bei dir melden.

Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 00:16, 12. Aug. 2021 (CEST)

Was Approximation anbelangt steht in Vahlen, Konstruktion und Approximation], 1911, S. 290ff was.--Claude J (Diskussion) 18:39, 16. Aug. 2021 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Petrus3743 (Diskussion) 18:15, 31. Jan. 2022 (CET)

Verallgemeinerung

Weil ich den in Verallgemeinerung zuletzt eingefügten Absatz sehr beachtenswert finde, wollte ich dazu ein passendes Bild generieren. Leider gelingt mir dies noch nicht.

• Umgekehrt gibt es auch nicht-konstruierbare Winkel $\alpha$, die konstruiert werden können, wenn $3\alpha$ gegeben ist, zum Beispiel den Winkel $\alpha$ mit $\cos(\alpha )={\sqrt[{3}]{2}}/2$. Für diesen ist $\cos(3\alpha )=1-{\frac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}$  (siehe hierzu C. R. Hadlock: „Field theory and its classical problems“, Kapitel 1.3, Aufgabe 4.)

Gegeben ist: $\cos(3\alpha )=1-{\frac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}$  = 0.62950404700411. . . $\;=-0,88988\cdots$ korrigiert nach Hinweis von Googolplexian--Petrus3743 (Diskussion) 18:52, 22. Dez. 2021 (CET)
WolframAlpha zeigt mir, dass $\cos(3\alpha )$ eine transzendente Zahl, diese entspricht dem Winkel $152{,}858369\cdots ^{\circ }$. → Wert des Winkels nachträglich korrigiert--Petrus3743 (Diskussion) 20:13, 23. Dez. 2021 (CET)

Erfüllt dieser Winkel folgende – ebenfalls in Verallgemeinerung erwähnte – Voraussetzung?

• Ein Winkel ${\tfrac {2\pi }{N}}$ lässt sich genau dann in $n$ gleich große Winkel teilen, wenn $n$ das Produkt einer Zweierpotenz und paarweise verschiedener Fermatscher Primzahlen ist, die $N$ nicht teilen.

Wo liegt vielleicht bei mir ein diesbezüglicher Verständnisfehler?

Wie geht es weiter, wenn man den Winkel $\cos(3\alpha )$ konstruktiv mit Zirkel und Lineal darstellen und ihn anschließend dritteln möchte?

Für die Bemühungen mir dabei zu helfen ein Dankeschön im Voraus! Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 11:21, 22. Dez. 2021 (CET)

Da stimmt was nicht, es ist $1-{\frac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}=-0,88988\cdots$ und nicht $0,629504\cdots$; aus welchem Grund berechnest du $\cos(1-{\frac {3}{2}}2^{1/3})$? Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 12:00, 22. Dez. 2021 (CET)

Wenn $x=\cos(3\alpha )=1-{\frac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}$ gegeben ist, dann können wir das umformen und bekommen $-{\frac {x-1}{3}}={\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}=\cos(\alpha )$. Die Operationen "minus 1", "durch 3" und "negativen Wert nehmen" sind mit Zirkel und Lineal durchführbar. Daher: Falls $\cos(3\alpha )$ gegeben ist, dann kann man $\cos(\alpha )$ daraus konstruieren. Den Wert mit der dritten Wurzel aus 2 kann man aber nicht selbst konstruieren (beginnend mit einer Anfangslänge von 1). Das ist für das Beispiel extra so gewählt, dass es zu dem Problem der Würfelverdopplung passt.

Zu ${\tfrac {2\pi }{N}}$: Diese spezielle Form wird $3\alpha$ wohl nicht haben (müsste man begründen), daher spielt das in dem Zusammenhang keine Rolle. -- KurtSchwitters (Diskussion) 12:31, 22. Dez. 2021 (CET)

Danke Googolplexian, du hast recht $-0,88988\cdots$ ist korrekt. Ich habe irrtümlich $\cos(\cos )$ berechnet. Ist nun richtiggestellt.

Danke KurtSchwitters für deine Erklärung!

Aber ansonsten bleibt doch m. E. das Problem der Konstruierbarkeit des Winkels $\alpha$ bei gegebenem $3\alpha$ (d.h. in der Geometrie m.E mit Zirkel und Lineal), oder kann man ein Bild mit einer Dreiteilung des Winkels $3\alpha$ erstellen?

Meiner Ansicht nach ist diese Aussage missverständlich:

• Umgekehrt gibt es auch nicht-konstruierbare Winkel $\alpha$, die konstruiert werden können, wenn $3\alpha$ gegeben ist, zum Beispiel den Winkel $\alpha$ mit $\cos(\alpha )={\sqrt[{3}]{2}}/2$. Für diesen ist $\cos(3\alpha )=1-{\frac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}$

Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 14:39, 22. Dez. 2021 (CET)

Ja, ein Bild für die Konstruktion könnte man auch versuchen. Man beginnt mit x-Achse, y-Achse, Einheitskreis, dem Winkel $3\alpha$. Die Senkrechte auf die x-Achse ist der angegebene Kosinus-Wert -0,889. Von diesem zieht man 1 ab, geometrisch addiert man also 1 nach links auf der x-Achse und landet bei -1,889. Dann macht man eine Konstruktion mit Strahlensatz, um diesen Wert zu dritteln. Als Ergebnis hat man -0,6295. Wenn man das auf die andere Seite der y-Achse spiegelt, erzielt man den gewünschten Kosinus-Wert des gedrittelten Winkels 0,6295. Den Winkel erhält man dann wieder durch Bilden der Senkrechte zum Kreis. Das ist die Winkeldreiteilung für diesen Winkel! -- KurtSchwitters (Diskussion) 15:10, 22. Dez. 2021 (CET)

Danke, gut beschrieben, aber mit dem gekürzten Wert -0,889 wäre es nur eine Näherungskonstruktion.

Eine (geometrische) Konstruktion (nur so bezeichnet, wenn die Gegebenheiten allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind) ist mit dem korrekten Wert für $\cos(3\alpha )=1-{\frac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}=-0,88988\cdots$ [1] bzw. mit dem Winkel $3\alpha =152{,}858369\cdots ^{\circ }$, leider nicht möglich. Viele Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 16:49, 22. Dez. 2021 (CET) → Wert des Winkels nachträglich korrigiert--Petrus3743 (Diskussion) 20:13, 23. Dez. 2021 (CET)

Die Dezimalwerte habe ich nur zur Illustration hinzugefügt. Es kommt darauf an, dass der Winkel $3\alpha$ geometrisch gegeben ist. Dann führt man die Konstruktion durch. Ich verstehe Deine Bedenken nicht. Du kannst dazu auch Konstruierbare Zahl lesen. Bitte nochmal ausführlicher darstellen, wo Du ein Problem siehst. -- KurtSchwitters (Diskussion) 16:56, 22. Dez. 2021 (CET)

Nun, das Problem steht doch schon sechsmal da, noch einmal $\cos(3\alpha )=1-{\frac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}=-0,88988\cdots$. Wie stellst du diesen Wert geometrisch dar? Wie kann dieser Wert geometrisch vorgegeben sein, wenn er ggf. gar nicht konstruierbar ist? Kurz gesagt: Dein im Artikel eingetragenes Beispiel ist das Problem!--Petrus3743 (Diskussion) 17:54, 22. Dez. 2021 (CET)

Dafür haben wir hier ja ein Beispiel aus der Fachliteratur gewählt. In den Lösungen kann man bei Hadlock zu der Aufgabe 4 nachlesen: „By Theorem 2, $\alpha ={\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}$ is not constructible; but it can obviously be constructed given segments equal to both 1 and $\cos(3\alpha )$.“ (Im Buch wird Theta statt Alpha genommen.) Die Fachliteratur steht also auf dem Standpunkt, dass der Winkel $3\alpha$, oder äquivalent der Wert/die Länge $\cos(3\alpha )$ vorgegeben ist. Ein vorgegebener Wert ist einfach Teil der Anfangsdaten des Problems und muss nicht selbst konstruiert werden. Beispielsweise wäre die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal möglich, wenn $\pi$ zusätzlich gegeben ist. Bei der Winkeldreiteilung ist eben der zu drittelnde Winkel vorgegeben. -- KurtSchwitters (Diskussion) 21:28, 22. Dez. 2021 (CET)

Bei Konstruktion mit Zirkel und Lineal geht man stets gedanklich mit den Startpunkten 0 und 1 an die Arbeit. Die Frage ist hier aber, was man mit Zirkel und Lineal konstruieren kann, wenn man noch andere Strecken zu Beginn zur Verfügung hat. Zum Beispiel kann man die Strecke $2\pi$ mit Zirkel und Lineal aus $\pi$ konstruieren. Von daher ist dies zunächst ein Ergebnis theoretischer Natur: woher $\pi$ in diesem Beispiel herkommt, ist erstmal uninteressant, es wird nur eine Aussage darüber getroffen, was aus den Punkten 0,1 und $\pi$ noch konstruiert werden kann. @Petrus3743:: Ich bin mir relativ sicher, gelesen zu haben, dass man Strecken wie ${\sqrt[{3}]{2}}$ aus 0 und 1 mittels Papierfalten konstruieren kann. Im Anschluss kann man dann den betroffenen Winkel mit Zirkel und Lineal dritteln. Wenn ich die Tage Zeit habe, schaue ich mal genauer nach. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 22:51, 22. Dez. 2021 (CET)

Den Text aus der Fachliteratur kenne ich. Tut, mir leid KurtSchwitters, ich kann deinen Argumenten nicht folgen. Weder $\cos(3\alpha )=1-{\frac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}$ noch $\pi$ kann geometrisch für eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal vorgegeben werden. Deshalb
Mein Vorschlag: Wenn sich in einer fortgeführten Diskussion die Teilehmer mehrheitlich mit Begründung ausdrücklich gegen ein Herausnehmen der (m.E. zu Missverständnis führenden) 2 Sätze ausspricht, würde ich diese im Artikel belassen. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 22:36, 22. Dez. 2021 (CET)

Noch eine Anmerkung: Der Schluss „$\alpha$ ist nicht konstruierbar, deshalb ist $3\alpha$ nicht mit Zirkel und Lineal dreiteilbar.“ ist also falsch. Daher müsste der Satz in der Einleitung „Zum Beispiel ist der Winkel von 20° nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar, weshalb der Winkel 60° mit diesen Werkzeugen auch nicht gedrittelt werden kann.“ noch etwas präzisiert werden. Man müsste hinzufügen, dass der Winkel 60° konstruierbar ist: Dass man diesen Winkel zu den Anfangsdaten 0 und 1 hinzufügt, liefert keine zusätzliche Information (Kosinus-Wert von 60° ist 1/2). Ich verstehe, dass dies zu Verwirrung führen kann, aber es handelt sich hier eigentlich um ganz normale Problemstellungen in diesem Themengebiet. -- KurtSchwitters (Diskussion) 20:12, 23. Dez. 2021 (CET)

Ergänzung des betreffenden Satzes: „...weshalb der konstruierbare Winkel 60° ...“ --Petrus3743 (Diskussion) 13:01, 29. Dez. 2021 (CET)

Bis zur Version am 30.03.2021 stand das übrigens so auch (in etwas anderer Formulierung) im Artikel.

Zu der anderen Frage: An einer Stelle sollte die oben erwähnte Situation vorkommen. Vielleicht gefällt Dir das Beispiel aus dem englischen Artikel besser?

There are angles that are not constructible but are trisectible (despite the one-third angle itself being non-constructible). For example, ${\frac {3\pi }{7}}$ is such an angle: five angles of measure ${\frac {3\pi }{7}}$ combine to make an angle of measure ${\frac {15\pi }{7}}$, which is a full circle plus the desired ${\frac {\pi }{7}}$.

Das vermeidet die Verwendung von Kosinus und der dritten Wurzel aus 2 im Beispiel und ist direkt nachvollziehbar: Der Winkel ${\frac {\pi }{7}}$ ist nicht konstruierbar, da sonst das Siebeneck konstruiert werden könnte. Der Winkel ${\frac {3\pi }{7}}$ ist aus dem gleichen Grund nicht konstruierbar. Aber, wie dargestellt, muss man nur das fünffache dieses Winkels nehmen und erhält ${\frac {\pi }{7}}$! Ich finde ein solches Beispiel essentiell für LeserInnen, die sonst denken, dass der Winkel $3\alpha$ nie eine Rolle spielt bei der Konstruktion. Eine solche Ergänzung sollte dann nicht im Abschnitt „Verallgemeinerung“ stehen, sondern weiter vorne. -- KurtSchwitters (Diskussion) 18:56, 30. Dez. 2021 (CET)

Danke Petrus3743 für die weiteren Bearbeitungen. Der Fall mit dem 17- und 51-Eck scheint mir aber doch genauso zu sein, wie bei 9° und 27°, da in beiden Fällen sowohl der Winkel $3\alpha$, als auch der Winkel $\alpha$ konstruierbar ist. Bei ${\frac {3\pi }{7}}$ und ${\frac {\pi }{7}}$ sind aber beide Winkel nicht konstruierbar! -- KurtSchwitters (Diskussion) 11:18, 31. Dez. 2021 (CET)

Im neuen Jahr meine Meinung zu diesem Abschnitt:

Weder die Aussage zu 17- und 51-Eck, noch die zu 85- und 255-Eck kann ich nachvollziehen. Außerdem: Da der Paragraph, der mit „Zu erwähnen ist noch“ beginnt, die gleiche Frage behandelt, die im Abschnitt davor algebraisch besprochen wird (Grad der Körpererweiterung $[\mathbb {Q} (\cos(\alpha ),\cos(3\alpha )):\mathbb {Q} (\cos(3\alpha ))]$), ist es eigentlich nicht eine Verallgemeinerung, sondern einfach die Aufgabenstellung, ob ein Winkel dreiteilbar ist. Ich hatte diesen Zusatz zwar dort eingefügt, meine jetzt aber, dass das weiter oben hingehört. Den Paragraph, so wie er jetzt ist, würde ich daher entfernen. Das Thema sollte dann, finde ich, anhand $3\pi /7$ erläutert werden. -- KurtSchwitters (Diskussion) 14:06, 3. Jan. 2022 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Petrus3743 (Diskussion) 18:14, 31. Jan. 2022 (CET)

Konstruierbarkeit und Dreiteilung

Nach Diskussion von „Existiert die Dreiteilung bestimmter Winkel überhaupt?“ auf der Mathe-Portalseite und von „Verallgemeinerung“ auf dieser Seite hier mal ein Neubeginn. Die heutige Änderung von Nomen4Omen können wir dabei mitbesprechen. Das Thema zusammengefasst:

• Das Verhältnis von Konstruierbarkeit von $\alpha$ und Dreiteilung von $3\alpha$ ist in der aktuellen Version des Artikels nicht so gut beschrieben. Das liegt auch daran, dass Konstruierbare Zahl noch relativ neu ist (jedenfalls nach der Exzellenz-Kandidatur erstellt wurde).
• Meiner Meinung nach kann der Leser/die Leserin entweder den Eindruck bekommen, dass ein Winkel $3\alpha$ nur dann dreiteilbar ist, wenn $\alpha$ ohne Zuhilfenahme von $3\alpha$ konstruiert werden kann. Oder aber, entgegengesetzt, dass man von Dreiteilung nur sprechen sollte, wenn man zur Konstruktion von $\alpha$ den Winkel $3\alpha$ auch wirklich verwendet! In der Diskussion „Existiert die Dreiteilung bestimmter Winkel überhaupt?“ wurde dazu bereits viel gesagt. Eine wichtige Position ist, dass normalerweise Geometrie und algebraische Eigenschaften der auftretenden Größen (dann meist $\cos(\alpha )$) identifiziert werden. Das widerspricht insbesondere dem Beitrag von Nomen4Omen: „Da mit Zirkel und Lineal die spezielle Größe eines Winkels nicht –oder zumindest nicht exakt– festgestellt werden kann,…“.
• Ich schlage vor, Beispiele, wie bereits diskutiert, zur Erläuterung hinzuzufügen. Als weiteres Beispiel eignet sich das Siebeneck (ähnlich zu dem oben angegebenen Beispiel mit $3\pi /7$). Wir haben bereits den Satz „Insbesondere folgt, dass ${\tfrac {2\pi }{N}}$ genau dann klassisch gedrittelt werden kann, wenn $N$ nicht durch 3 teilbar ist, da 3 eine Fermatsche Primzahl ist.“ und daher eignet sich die Dreiteilung von $2\pi /7$ als Beispiel. Das Siebeneck ist nicht konstruierbar, aber wenn ein Siebeneck gegeben ist, dann kann auch das 21-Eck konstruiert werden.

-- KurtSchwitters (Diskussion) 11:05, 5. Jan. 2022 (CET)

@KurtSchwitters: Es stimmt überhaupt nicht, dass "... normalerweise ... algebraische Eigenschaften der auftretenden Größen ... identifiziert werden." Die auftretende Größe ist gemäß Problemformulierung eine "ein beliebiger Winkel", also algebraisch eine Unbestimmte, der keinerlei Eigenheit anhaftet. (Sie wird nur mit dem Zirkel abgegriffen und sonst nix.)
Darüberhinaus werden die mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Winkel gut genug erfasst. Insofern widerspreche ich dir auch diametral: "Bei ungeradem $N$ kann ${\tfrac {2\pi }{N}}$ genau dann gedrittelt werden kann, wenn $N$ quadratfreies Produkt Fermatscher Primzahlen und nicht durch 3 teilbar ist." Das stimmt nämlich und ist etwas völlig Anderes als "... wenn $N$ nicht durch 3 teilbar ist, da 3 eine Fermatsche Primzahl ist." –Nomen4Omen (Diskussion) 14:09, 5. Jan. 2022 (CET)

Zum ersten Punkt: Siehe die Diskussion „Existiert die Dreiteilung bestimmter Winkel überhaupt?“ auf der Mathe-Portalseite, insbesondere die Beiträge von FerdiBf.

Zum zweiten Punkt: Den Satz „Insbesondere folgt, dass ${\tfrac {2\pi }{N}}$ genau dann klassisch gedrittelt werden kann, wenn $N$ nicht durch 3 teilbar ist, da 3 eine FermatschePrimzahl ist.“ habe ich mir nicht ausgedacht, sondern er steht so im Artikel im Abschnitt „Verallgemeinerung“. Das Beispiel mit dem Siebeneck sollte doch auch überzeugen, oder nicht? Angenommen, ein Winkel $2\pi /7$ ist gegeben (in einem gegebenen Siebeneck). Da $2\pi /21=2\pi /3-2*2\pi /7$ ist und $2\pi /3$ (=120°) konstruiert werden kann, kann $2\pi /21$ aus diesen Zutaten konstruiert werden. Daher ist $2\pi /7$ dreiteilbar, aber nicht konstruierbar.

Zur Verdeutlichung hier noch ein Zitat aus der Literatur (das erwähnte Buch von Hadlock, hier Seite 30): „It is important to realize that there is a difference between the questions (i) Is it possible to construct the angle $\theta$? (ii) Given the angle $3\theta$, is it possible to construct the angle $\theta$? The second question is the one addressed by the trisection problem, and it only reduces to the first question in cases where the angle $3\theta$ is itself constructible.“ Diese, doch recht einfache Einsicht, sollte auch in den Artikel Eingang finden! -- KurtSchwitters (Diskussion) 19:19, 5. Jan. 2022 (CET)

Lieber @KurtSchwitters: die letzte Einsicht ist so einfach, dass sie mMn im hiesigen Artikel nicht extra gebracht werden muss. Und alle Teilungen, bei denen ich (durch eine göttliche Eingabe oder was?) wissen muss, was der algebraische Wert des Winkels ist, haben mit einer Teilung per Zirkel und Lineal nichts zu tun. Weil Zirkel und Lineal gegen göttliche Eingaben fast völlig immun sind.
Ich behaupte nicht, dass die Fragestellung komplett uninteressant ist, sie hat eigene Reize. Aber wenn das Einzige, was vielleicht mit Zirkel und Lineal zu tun hat, die Beschränkung auf quadratische Körper ist, dann ist das mMn zu wenig. –Nomen4Omen (Diskussion) 11:54, 6. Jan. 2022 (CET)

• Die Sache mit den nicht-konstruierbaren, aber gegebenen Anfangsdaten ist wohl nicht so selbstverständlich: Petrus3743 schrieb dazu (oben): „Weder $\cos(3\alpha )=1-{\frac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}$ noch $\pi$ kann geometrisch für eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal vorgegeben werden.“ Was seine Position zu einem gegebenen Siebeneck ist, wissen wir noch nicht. Jedenfalls ist es für die mathematische Fachliteratur Standard, dass in einer Konstruktionsaufgabe Anfangsdaten gegeben sein können, die nicht konstruierbar sind (siehe Zitat Hadlock).
• Ebenfalls Standard ist, dass geometrische Daten exakt bekannt sind. Die Frage, ob es eine allgemeine Konstruktion für die Drittelung gibt, ist sowieso mit „nein“ beantwortet. Der Satz „ist eine Dreiteilung auch bei speziellen Winkeln prinzipiell nicht möglich.“ ist falsch und widerspricht auch dem zweiten Satz der Einleitung „und ist nur für bestimmte Winkel durchführbar.“.
• Dein Satz "Bei ungeradem $N$ kann ${\tfrac {2\pi }{N}}$ genau dann gedrittelt werden kann, wenn $N$ quadratfreies Produkt Fermatscher Primzahlen und nicht durch 3 teilbar ist." ist ebenfalls falsch, was an dem Beispiel mit dem Siebeneck gezeigt ist. Wie kamst Du auf diese Aussage?
• Was meinst Du mit „Aber wenn das Einzige, was vielleicht mit Zirkel und Lineal zu tun hat, die Beschränkung auf quadratische Körper ist,…“? -- KurtSchwitters (Diskussion) 13:51, 6. Jan. 2022 (CET)

Hallo Nomen4Omen, deinen Satz „Da mit Zirkel und Lineal die spezielle Größe eines Winkels nicht –oder zumindest nicht exakt– festgestellt werden kann, ist eine Dreiteilung auch bei speziellen Winkeln prinzipiell nicht möglich.“ begreife auch ich nicht, zumal es für das Problem, ob ein (durch Abtragung) gegebener Kreisbogen exakt gedrittelt werden kann, unerheblich ist, ob ich dessen (gedrittelte) Länge (ich vermute mal, dies ist mit „spezielle Größe“ gemeint?) exakt messen kann. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 15:54, 6. Jan. 2022 (CET)

• OK, das Problem der Dreiteilung eines als beliebig vorgegebenen Winkels ist als unlösbar mit Zirkel und Lineal erkannt. Das ist sehr kurz und vielleicht nur einen sehr kleinen WP-Artikel wert – obwohl man das erst seit knapp 200 Jahren weiß.
• Nun gibt es –natürlich– spezielle Winkel, die, wenn man gesagt bekommt: das ist der Vollwinkel, das siehst du doch, oder? doch dritteln, fünfteln oder siebzehnteln kann. Aber beim (auf Papier gemalten) Winkel $\alpha =3\cdot \operatorname {arctan} (1/21)$ würde ich nicht sehen, dass sein Drittel $\operatorname {arctan} (1/21)$ auf die allereinfachste Weise, nämlich Ankathete=21 und Gegenkathete=1, konstruiert werden kann, wenn ich nicht $\alpha =3\cdot \operatorname {arctan} (1/21)$ gesagt bekomme. Ich würde vielleicht herumraten, und es würde sich blöderweise herausstellen, dass ich um $2\pi /(5\cdot 17\cdot 257\cdot 65537)$ danebengeraten habe, also mit einer mathematisch falschen Konstruktion herauskomme. D.h. mit Zirkel und Lineal konnte ich also diese ganz spezielle Größe des Winkels nicht –oder zumindest nicht exakt– feststellen.
• Sehe ich das so falsch, dass die Drittelungen dieser speziellen Winkel ganz extrem abhängen von ihren ganz speziellen algebraischen Eigenschaften ? Dass der Winkel $\beta =\alpha +2\pi /(5\cdot 17\cdot 257\cdot 65537),$ der nur geringfügig abweicht, mit einer völlig anderen Vorgehensweise als der Winkel $\alpha$ gedrittelt werden muss ?
• Das ist jetzt mein Punkt: Ich kann also mit Zirkel und Lineal nicht erkennen, welche Vorgehensweise ich nehmen muss. Insofern geht die Aufgabenstellung schon mal über Zirkel und Lineal hinaus. Ich muss gesagt bekommen, der Winkel ist genau $\alpha$. Dann geht mir ein Licht auf und ich sage: Aha, das ist doch supersimpel; ich nehme Ankathete=21 und Gegenkathete=1 ! Und konstruiere das mit Zirkel und Lineal.
  Da muss man sich doch fragen, ob es sich bei der Drittelung all dieser speziellen Winkel nicht um eine Aufgabenstellung handelt, bei der quasi eine vorherige Verdreifachung nur rückgängig gemacht wird. (Lohnt sich dafür diese gewaltige Verschwendung von Hirnschmalz ? Und kann man das als "Dreiteilung des Winkels" bezeichnen ? Wäre "Dreiteilung spezieller Winkel" nicht ehrlicher ?) Beste Grüße ! –Nomen4Omen (Diskussion) 18:04, 6. Jan. 2022 (CET)

Korrekt, genau für diese Art von Problemen wurde die analytische Geometrie und die Algebra entwickelt. Deshalb hatte ich geschrieben, „dass normalerweise Geometrie und algebraische Eigenschaften der auftretenden Größen (dann meist $\cos(\alpha )$) identifiziert werden.“. In Konstruierbare Zahl lesen wir am Ende: „Das Studium der konstruierbaren Zahlen wurde 1637 von René Descartes in Discours de la méthode im Anhang La Géométrie initiiert. Descartes ordnete geometrischen Strecken Zahlen zu, um die Kraft seiner philosophischen Methode anhand der Lösung eines von Pappos gestellten Konstruktionsproblems mit Zirkel und Lineal darzulegen.“

Zum Artikelnamen: „Winkeldreiteilung“ wäre auch denkbar und dann „Unmöglichkeit“ und „Manche Winkel sind dreiteilbar“, wie es unspektakulär im englischen Artikel formuliert ist. Dann kann man alle Möglichkeiten auflisten: Konstruierbare und dreiteilbare Winkel. Nicht-kontruierbare, aber dreiteilbare Winkel. Konstruierbare, aber nicht dreiteilbare Winkel und weder konstruierbar noch dreiteilbare Winkel. Übrigens muss man sich nicht auf Winkel der Form $a\pi /b$ beschränken, wie es der Satz „Die Winkelgrößen, die mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden können, sind im Artikel "Konstruierbares Polygon" beschrieben.“ suggeriert. -- KurtSchwitters (Diskussion) 21:51, 6. Jan. 2022 (CET)

Ja, ein etwas bescheidenerer Titel wäre mNn angebracht. – (nicht signierter Beitrag von Nomen4Omen (Diskussion | Beiträge) 11:59, 7. Jan. 2022 (CET))

Ich sehe das Problem nicht. Es handelt sich zuallererst einmal um ein Resultat theoretischer Natur: wenn ich einen Winkel $3\alpha$, ergo $\cos(3\alpha )$, zur Verfügung habe, wann kann ich diesen dann mit Zirkel und Lineal dritteln? Genau dann, wenn $[\mathbb {Q} (\cos(\alpha )):\mathbb {Q} (\cos(3\alpha ))]<3$. Wie genau ich die Drittelung dann in der Praxis durchführe ist erstmal eine andere Frage, denn der Satz ist eine Existenzaussage: es gibt ein Verfahren, aber der algebraische Beweis gibt erstmal keine pauschale Idee für dessen Umsetzung an. Dafür wäre ein detaillierteres Studium des Minimalpolynoms von $\cos(\alpha )$ über $\mathbb {Q} (\cos(3\alpha ))$ erforderlich. Der Fundamentalsatz der Arithmetik ist zum Beispiel auch so eine Existenzaussage; er sagt aus, dass sich jede natürliche Zahl im Wesentlichen eindeutig in Primfaktoren zerlegen lässt, aber er verrät überhaupt nicht, wie man das dann nachher in der Praxis anstellt. Für Zahlen der Form $n^{2},n^{3},n^{n}$ ist die Zerlegung einfach, wenn man bereits die von $n$ kennt, und für andere ist sie nur schwer umzusetzen. Ich werde den irreführenden Satz daher wieder entfernen. Gerne lasse ich mich durch schlüssigere Formulierungen, wessen auch immer, und vor allem durch einen Beleg umstimmen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 16:11, 7. Jan. 2022 (CET)

Da man an einem exzellenten Artikel nicht ohne vorherige Diskussion größere Änderungen machen sollte, hier mein Plan:

• Ein Verweis auf Konstruierbare Zahl sollte recht weit am Anfang des Artikels eingefügt werden. Wohl schon in der (gut geschriebenen) Einleitung, bei „dass deren Lösungen keine Zahlen sind, die sich in endlich vielen Schritten konstruieren lassen.“.
• Der erste Abschnitt nach dem Inhaltsverzeichnis ist nicht so gut geschrieben; den zweiten Absatz möchte ich entfernen (die konstruierbaren Polygone haben hier keine Schlüsselrolle). Mir ist noch aufgefallen, dass hier Galois erwähnt wird, aber nicht Wantzel. Die Rolle des Abschnitts „Klassisches Problem“ ist nicht ganz klar. Ist er vielleicht angesichts der ausführlichen Einleitung und der darauf folgenden „Geschichte“ überflüssig?
• Der Abschnitt „Verallgemeinerung“: Die erste Hälfte wurde vor 15 Jahren eingefügt und seitdem nicht verändert. Ich meine, dass hier nur die n-Teilung bleiben kann. Alle allgemeinen Fragen zur Charakterisierung von dreiteilbaren und konstruierbaren Winkeln sind keine Verallgemeinerungen, sondern einfach Artikelthema. Gauß und das 17-Eck muss hier auch nicht nochmal stehen, da es weiter oben schon vorkommt. Als Ergebnis über die n-Teilung könnte man hier erwähnen, dass sie nur für n = Zweierpotenz durchführbar ist (siehe Buckley/Machale: Dividing an angle into even parts, auf Seite 1). Der Satz mit Bezug zu den regelmäßigen Polygonen „Ein Winkel ${\tfrac {2\pi }{N}}$ lässt sich genau dann in $n$ gleich große Winkel teilen, wenn $n$ das Produkt einer Zweierpotenz und paarweise verschiedener Fermatscher Primzahlen ist, die $N$ nicht teilen.“ könnte auch bleiben. Dann weiß man zum Beispiel, dass man den Zentriwinkel beim Siebeneck mit Zirkel und Lineal dritteln und fünfteln kann. -- KurtSchwitters (Diskussion) 16:39, 9. Jan. 2022 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Petrus3743 (Diskussion) 18:14, 31. Jan. 2022 (CET)

Änderungen in Verallgemeinerung

Die umfangreichen Änderungen des (mit Exzellent ausgezeichneten) Artikels im Abschnitt Verallgemeinerung, Version vom 14. Januar 2022 um 16:19 Uhr, sollten m. E. noch von weiteren Mitstreitern eingehend überprüft werden.

• Nicht nachvollziehbar ist für mich z. B der letzte Satz:

Man kann also beispielsweise den Zentriwinkel beim regelmäßigen Siebeneck mit Zirkel und Lineal dritteln, fünfteln und auch 17-teilen.

Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 20:19, 14. Jan. 2022 (CET)

Wenn man 1/7 mal (−2) und 1/17 mal 5 macht, erhält man ((−2)·17 + 5·7)/(7·17) = (−34 + 35)/(7·17) = (1/7)/17 . Oder nicht? Ähnlich müsste es mit dem 3- und 5-Teilen gehen. –Nomen4Omen (Diskussion) 20:46, 14. Jan. 2022 (CET)

Ja, geht auch. Ich mache eine Skizze nach Beleg ${\frac {\pi }{21}}={\frac {\pi }{3}}-2{\frac {\pi }{7}}$ Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 01:16, 15. Jan. 2022 (CET)

MMn könnte in den Artikel auch noch ein Beispiel mit 15-Teilung (also mit 2 verschiedenen Fermat-Teilern 3 und 5), zB (1/7)/15 = (15 + 21 - 35)/105 = 1/7 + 1/5 - 1/3.
In diesem Zusammenhang wäre ein Hinweis auf das Lemma von Bézout auch nicht schlecht, und dass man nicht unbedingt 1/7 nehmen muss. –Nomen4Omen (Diskussion) 09:00, 15. Jan. 2022 (CET)

Wäre natürlich auch möglich, danke!. Ich bevorzuge die Darstellung nach dem Beleg. Ein Beispiel zu Dreiteilung des Winkels sollte reichen. Mehr Bilder bringen für diesen kurzen Abschnitt keine maßgebliche Verbesserung. --Petrus3743 (Diskussion) 10:09, 15. Jan. 2022 (CET)

Zur Dreiteilbarkeit von nicht-konstruierbaren Winkeln werde ich etwas vor dem Abschnitt „Verallgemeinerung“ schreiben. Eine Grafik zur Dreiteilung von $2\pi /7$ passt dann eher dahin – aber das Verschieben einer Abbildung ist ja auch kein Problem. Die Ergänzung in der Einleitung kann dann ebenfalls angepasst werden.

Mein Plan ist: Hinweis darauf, dass alle Sorten von Winkeln (Kombinationen von dreiteilbar, konstruierbar, nicht-dreiteilbar, nicht-konstruierbar) dicht liegen. Abzählbarkeitsfragen (welche sind Teilmenge der algebraischen Zahlen?), sowie Beispiele systematisch aufführen für alle Sorten. Wie gesagt, könnte ich mir dafür einen neuen Abschnitt vor „Verallgemeinerung“ vorstellen. -- KurtSchwitters (Diskussion) 13:36, 15. Jan. 2022 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Petrus3743 (Diskussion) 18:14, 31. Jan. 2022 (CET)

Vorschlag für einen neuen Abschnitt

Folgenden Abschnitt möchte ich vor „Verallgemeinerung“ einfügen.

Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Winkel dreiteilbar ist?

Nachdem nun gezeigt wurde, dass der Winkel ${\tfrac {\pi }{3}}$, also 60°, nicht mit Zirkel und Lineal gedrittelt werden kann, stellt sich die Frage, wie typisch dieser Fall ist. Der Winkel 60° hat die Eigenschaft, konstruierbar, aber nicht drittelbar zu sein (da $\cos({\tfrac {\pi }{9}})$ nicht konstruiert werden kann). Es gibt vier Möglichkeiten, Dreiteilbarkeit und Konstruierbarkeit zu kombinieren:

1. $3\alpha$ ist konstruierbar und drittelbar. Dann ist $\alpha$ ebenfalls konstruierbar (und zwar auch ohne $3\alpha$ zu verwenden). Beispiele: Vielfache von 9°.
2. $3\alpha$ ist konstruierbar, aber nicht drittelbar ($\alpha$ ist dann nicht konstruierbar). Beispiel: 60°.
3. $3\alpha$ ist nicht konstruierbar, aber drittelbar ($\alpha$ ist dann ohne Verwendung von $3\alpha$ nicht konstruierbar, mit aber schon). Beispiele: ${\tfrac {\pi }{7}}$ (siehe Grafik), sowie der Winkel $3\alpha$ mit $\cos(3\alpha )=1-{\tfrac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}$.
4. $3\alpha$ ist weder konstruierbar, noch drittelbar ($\alpha$ ist dann nicht konstruierbar, auch nicht unter Verwendung von $3\alpha$). Beispiele: Jeder Winkel $3\alpha$, für den $\cos(3\alpha )$ transzendent ist.

und jeder Winkel fällt in eine dieser vier Klassen von Winkeln. Es kann die Mächtigkeit dieser vier Winkelklassen untersucht werden.

Die ersten drei Klassen liefern nur abzählbar viele Winkel. Für die ersten beiden Klassen folgt dies unmittelbar: Jede konstruierbare Zahl ist algebraisch und daher gibt es nur abzählbar viele konstruierbare Zahlen. Es ist jedoch nicht sofort klar, dass auch jede Zahl $\cos(3\alpha )$ algebraisch ist, falls $3\alpha$ drittelbar ist. Da aber Winkel $3\alpha$ mit transzendentem $\cos(3\alpha )$ nicht drittelbar sind (4. Fall), folgt die Algebraizität von $\cos(3\alpha )$ mittels Kontraposition. Der Kosinus jedes drittelbaren Winkels ist also algebraisch und daher gibt es nur abzählbar viele drittelbare Winkel. Im Gegensatz dazu enthält die vierte Klasse überabzählbar viele Winkel. Ein zufällig gewählter Winkel hat also die Wahrscheinlichkeit 0, mit Zirkel und Lineal gedrittelt werden zu können.

• Bitte Inhalt und Verständlichkeit prüfen; Anmerkungen willkommen. Die Aussage über transzendente Winkel (mit Link und Referenz) gibt es bereits im bestehenden Abschnitt „Algebraischer Beweis“. -- KurtSchwitters (Diskussion) 12:15, 16. Jan. 2022 (CET)

Die Fragestellung ist interessant, kann also gerne in einen Abschnitt rein. Gerne übernehme ich das die kommenden Tage, und würde vorschlagen, dass der Abschnitt nach dem algebraischen Beweis eingepflegt werden kann. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 10:06, 18. Jan. 2022 (CET)

Hallo KurtSchwitters, ein paar erste flüchtige Anmerkungen: Momentan klingt der Abschnitt noch zu sehr wie aus einem Lehrbuch, etwa bei Formulierungen wie „Wir untersuchen die Mächtigkeit dieser Klassen“. Ist natürlich in Mathematik-Lehrbüchern eine absolute Standard-Formulierung, die sich aber in de:Wiki in die neutralere Aussage „Es kann die Mächtigkeit dieser vier Winkelklassen untersucht werden“ übersetzen sollte. Die Verständlichkeit ist aus meiner Sicht gegeben, auch wenn ich mit dem Wechselspiel zwischen Grad und Radiant nicht so super glücklich bin (das sich durch den gesamten Artikel durchzieht). Aber die Entscheidung überlasse ich Petrus, und ich kann damit auch gut leben. Der Absatz vor „Im Gegensatz dazu...“ passt nicht wirklich, da das dann zu sehr für sich alleine steht. Für die Wahrscheinlichkeit ist es aber wichtig, dass das Gegenereignis abzählbare Kardinalität hat. Und natürlich müssen Belege her: bei den ersten drei Punkten nicht, aber de vierte sollte noch einen spendiert bekommen, ganz trivial ist das nämlich nicht. Habe mir erlaubt, diese und ein paar weitere Korrekturen in deinem Entwurf vorzunehmen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 12:11, 18. Jan. 2022 (CET)

Googolplexian, du solltest unbeschwert aufzeigen, was genau du bezüglich „Wechselspiel zwischen Grad und Radiant nicht so super“ findest. Kann gut sein, dass dazu Verbesserungen möglich sind. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 13:00, 18. Jan. 2022 (CET)

Es stört ein wenig die Einheitlichkeit, einerseits Winkel im Gradmaß, und andererseits als (rationale) Vielfache von $\pi$ anzugeben. Gerade bei den Kriterien für Dreiteilbarkeit ist letztere Darstellung deutlich vorteilhafter, da man hier diese an den Brüchen vor $2\pi$ gut erkennen kann. Ich sehe aber, dass eine Vereinheitlichung jetzt mit viel Arbeit verbunden sein könnte, und möchte mich auch nicht auf diesem Niveau beschweren ;) Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 13:33, 18. Jan. 2022 (CET)

Vielen Dank. Der Beleg für transzendente Winkel steht bereits am Ende des Abschnitts „Algebraischer Beweis“ (Fußnote 31, Falko Lorenz). Wie gesagt, muss die Formulierung mit Wahrscheinlichkeit nicht prominent sein (eher so, wie „wählt man eine zufällige reelle Zahl im Intervall [0,1] aus, so ist diese ‚fast nie‘ rational.“) Gut fände ich aber noch, etwas zu „drittelbare Winkel liegen dicht“ zu haben (z.B. Winkel der Form $n\pi /2^{k}$ für natürliche Zahlen k und n) und das gleiche für nicht-drittelbare Winkel (dann kann man Winkel der Form $n\pi /2^{k}+\pi /3$ nehmen, siehe dazu den Artikel von Peter Kahn auf Seite 4). -- KurtSchwitters (Diskussion) 13:36, 18. Jan. 2022 (CET)

Einzelnachweise

   

Bitte beachte, die Überprüfung auf Relevanz, Richtigkeit, Redundanz, noch zu ergänzende Einzelnachweise (Belege) etc. ist nicht delegierbar. Der Autor ist selbst für seine Einträge verantwortlich. Er muss u. U. damit rechnen, dass sein Text geändert (im Sinne verbessert) aber auch bei bestimmten Voraussetzungen (z.B. Theoriefindung, ohne Beleg) gelöscht werden kann.

Ich kann dir deshalb leider nur Hinweise bzw. Vorschläge geben:

• Jede der vier Möglichkeiten zu $3\alpha$ benötigt einen Beleg. Belege in Deutsch sollte man bevorzugen.
• Wo findet man auf Seite 13 die dort bewiesenen Fälle (Zeile zum Nachvollziehen)?
• Überprüfe ob mancher deiner Einträge schon in ähnlicher Weise im Artikel vorkommen (Redundanz)
• Wikipedia ist kein Lehrbuch: Überprüfe die Relevanz von: „Wir untersuchen die Mächtigkeit dieser Klassen.“
• Der Absatz „Die ersten drei liefern nur abzählbar viele Winkel ...“ benötigt einen Beleg, er erweckt den Eindruck der Theoriefindung
• Hat die folgende Aufgabe Relevanz (?): „sowie der Winkel $3\alpha$ mit $\cos(3\alpha )=1-{\tfrac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}$“.

Ist die Aufgabe 4. „Is the difficulty in Problem 2 ...“

(Übersetzt etwa: 4. Ist die Schwierigkeit in Problem 2 real oder eingebildet? Zeigen Sie, dass es Winkel 3 θ gibt, die durch 3 teilbar sind, so dass θ nicht konstruierbar ist.)

an den Leser gerichtet? Hier fehlt die Lösung mit Erklärung und deren Beleg. Ggf. könnte man dann auch eine Grafik erstellen.

$\Rightarrow$ Nachtrag Skizze ist in Arbeit --Petrus3743 (Diskussion) 01:43, 17. Jan. 2022 (CET)

• Versuche eine andere Überschrift, möglichst nicht als Frage. → gibt es das Wort dreiteilbar(?), im Duden nicht vorhanden.
• Versuche den Abschnitt kürzer zu halten.

--Petrus3743 (Diskussion) 21:54, 16. Jan. 2022 (CET)

Bild erstellt Dreiteilung des Winkels-allgemein--Petrus3743 (Diskussion) 12:35, 17. Jan. 2022 (CET)

Vielen Dank für die gründliche Analyse und die Grafik! Die Formulierung „hat Wahrscheinlichkeit 0“ führt vielleicht doch zu sehr zu der Interpretation, dass es gar keine drittelbaren Winkel gibt. Ich überarbeite den Abschnitt weiter in Richtung „nüchternere Formulierungen“ und überlege dann, ob er einfach in „Algebraischer Beweis“ am Ende eingefügt werden könnte. -- KurtSchwitters (Diskussion) 13:49, 17. Jan. 2022 (CET)

Hier noch eine deutsche Quelle, in der die Themen „drittelbare Winkel liegen dicht“, „cos ist transzendent und nicht-drittelbare Winkel liegen daher auch dicht“ vorkommen (Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen). Dort wird auch das Adjektiv „dreiteilbar“ verwendet – klingt fast besser als „drittelbar“. Der aktuelle Artikel benutzt nur einmal „drittelbar“. Seite 298 -- KurtSchwitters (Diskussion) 16:28, 17. Jan. 2022 (CET)

Nochmal zu der Aufgabe bei Hadlock: Es gibt auf Seite 235 eine Lösung zu Aufgabe 4. Dazu hatte ich oben schonmal zitiert:

„In den Lösungen kann man bei Hadlock zu der Aufgabe 4 nachlesen: „By Theorem 2, $\alpha ={\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}$ is not constructible; but it can obviously be constructed given segments equal to both 1 and $\cos(3\alpha )$.“ (Im Buch wird Theta statt Alpha genommen.)“ Als Beleg muss man dann die Aufgabe zusammen mit der Lösung zitieren. -- KurtSchwitters (Diskussion) 17:46, 17. Jan. 2022 (CET)

Zur Grafik "File:01 Dreiteilung des Winkles-allgemein.svg" habe ich eine Anregung:

Das r unten sollte weg, denn sonst sollte auch der andere Bruch ein r haben

und zwei Fragen:

Was bedeutet die Unterteilung mit den Kreuzchen auf der grünen Strecke?

Was ist an dieser Dreiteilung allgemein?

–Nomen4Omen (Diskussion) 17:00, 17. Jan. 2022 (CET)

Nomen4Omen danke für den Hinweis, jetzt sieht's besser aus. Ich hatte leider einen falschen Dateinamen gewählt, die Änderung des Dateinamens war schon beantragt... Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 00:04, 18. Jan. 2022 (CET)

KurtSchwitters nun , ich halte mich gerne an den Duden der schreibt „durch 3 teilbar“, manchmal erfindet wer ein Wort: dreiteilbar gibt es weder im Wiktionary noch im Duden.

Vorschlag, wenn man beide Gleichungen $\cos(3\alpha )=1-{\tfrac {3}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}$ und $\cos(\alpha )={\sqrt[{3}]{2}}/2$ im Text eingearbeitet hat, könnten direkt anschließend zwei Belege (Aufgabe C. R. Hadlock: Field theory and its classical problems Kapitel 1.3, Aufgabe 4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche) und Lösung C. R. Hadlock: C. R. Hadlock: Field theory and its classical problems Lösung Aufgabe 4. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)) folgen (bitte regelkonforme Vorlagen verwenden: Hinweise wie: „verwendet diese Formulierung auf Seite 13 für ...“ können durch Links direkt zur Seite ersetzt werden. ).--Petrus3743 (Diskussion) 00:04, 18. Jan. 2022 (CET)

Ich würde die Rolle des Duden im Bereich Mathematik nicht zu sehr überbewerten. Er kennt (scheinbar) beispielsweise auch nicht die Wörter modular und Monomorphismus. Ich sehe kein Problem mit dem Adjektiv „dreiteilbar“, wenn es irgendwo in der Literatur auftaucht. Hingegen ist natürlich jeder Winkel „durch 3 teilbar“, denn aus $\alpha$ kann ich ${\tfrac {\alpha }{3}}$ erzeugen, da die reellen Zahlen ein Körper sind. Letzteres ist eine „arithmetische“ Eigenschaft, aber der Artikel handelt ja von Konstruierbarkeit. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:19, 18. Jan. 2022 (CET)

Nun, ich schlage für Formulierungen in Artikeln sehr gerne in Wiktionary und im Duden nach. Da kann es dann schon sein dass ich modular finde :-). Bei dreiteilbar bin ich mir eben nicht sicher. Nix für ungut ...Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 10:06, 18. Jan. 2022 (CET)

Jo, aber nicht im mathematischen Kontext ;-) Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 10:27, 18. Jan. 2022 (CET)

+1 (Übliche) Schreibweisen und Formulierungen in der Fachliteratur sind im Zweifelsfall/Normalfall gegenüber denen im Duden vorzuziehen, da der Duden Fachausdrücke bzw. Fachsprachen nur unzureichend erfasst.--Kmhkmh (Diskussion) 12:39, 18. Jan. 2022 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Petrus3743 (Diskussion) 20:57, 18. Feb. 2022 (CET)