Diskussion:Erwartungswert

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Definition

Zur Definition des Erwartungswertes (2006)

Die allgemeine Definition ist nicht mit den engeren Definitionen zuvor konsistent. Wenn die Zufallsvariable quasiintegrierbar ist, so existiert der Erwartungswert nicht im Sinn der sonst im Artikel angegebenen Definitionen. Man kann allerdings den Erwartungswert, z. B. Billingsley folgend, auch allgemeiner auffassen. Er kann dann auch $\infty$ oder $-\infty$ sein, falls die entsprechenden Integrale uneigentlich als $\infty$ oder $-\infty$ existieren. Es ist dann zu unterscheiden zwischen (a) der Erwartungswert existiert und (b) der Erwartungswert (existiert und) ist endlich. (nicht signierter Beitrag von 141.30.93.98 (Diskussion) 18:20, 8. Mär. 2006 (CET))

Definition (2012)

MMn sollte die Definition zuerst die Faelle diskreter und kontinuierlicher Zufallsvariablen zeigen, und erst danach die ganz, ganz allgemeine Form. Nijdam 18:27, 16. Jan. 2012 (CET)

Ja, stimme voll zu. --Sigbert 19:32, 16. Jan. 2012 (CET)

Finde ich gut. Ich habe gleich mal noch die allgemeine Form etwas einfacher formuliert. --HilberTraum 21:14, 16. Jan. 2012 (CET)

Sollte man das Beispiel in den Definitionen nicht entweder zu den Beispielen weiter unten verschieben oder zur Definition des Erwartungswertes wenn man eine Dichtefunktion hat? --Sigbert 16:54, 17. Jan. 2012 (CET)

Ja, ich denke auch, dass das Beispiel zu den anderen Beispielen sollte. Und dann wohl konsequenterweise noch den Fall mit zweidim. Dichte vor den den allgemeinen Fall, oder? -- HilberTraum 18:13, 17. Jan. 2012 (CET)

Fände ich nicht so gut, die allgemeine Definition soll ja nicht erst am Ende des Artikels auftauchen. --Erzbischof 22:01, 17. Jan. 2012 (CET)

Aber die jetzige Reihenfolge (eindim. Dichte, allgemeiner Fall, zweidim. Dichte) ist doch auch irgendwie seltsam. Dann doch wieder die allgemeinen Def. nach vorne? Mir persönlich ist's eigentlich egal. -- HilberTraum 21:44, 18. Jan. 2012 (CET)

Die allgemeine Definition ist nur von theoretischer Bedeutung, und hat kaum eine Beziehung zur vorher gezeigte Motivation. Was soll ein interessierte Leser, der bestimmt keine Experte ist in der Masstheorie, mit der allgemeine Definition?? Nijdam 12:31, 19. Jan. 2012 (CET)

Die Annahme halte ich fuer falsch. Eine Menge anderer Artikel beruhen auf der allgemeinen Definition, Bedingter Erwartungswert, oder selbst Markow-Ungleichung. --Erzbischof 13:23, 19. Jan. 2012 (CET)

Was ist mit einer Struktur wie

2.1 Allgemeine mathematische Definition

2.2 Spezielle Definitionen

2.2.1 Für eine diskrete reelle Zufallsvariable

2.2.2 Für eine reelle Zufallsvariable mit Dichtefunktion

2.2.3 Für zwei reelle stetige Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion

Ich denke da wie Nijdam. Die meisten Nutzer haben die maßtheoretische Definition niemals zu Gesicht bekommen. Die Definition a la reelle Zufallsvariablen dürften schon mehr gesehen haben und die sollten sich auch wiederfinden können in dem Artikel. --Sigbert 07:48, 21. Jan. 2012 (CET)

Mit der Reihenfolge sind wir dann wieder so wie's am Anfang war, nur besser gegliedert, aber ich finde es so ok. Wichtig wäre halt mMn eine Erklärung/Motivation, wie die verschiedenen Definitionen zusammenhängen. -- HilberTraum 19:26, 23. Jan. 2012 (CET)

man sollte es so definieren wie in guten Formelsammlungen zB(Formelsammlung binomi verlag)auch: $E(g(x)))=\int _{-\infty }^{+\infty }(g(x)f(x))dx$ stiftet sonst bei anfängern verwirrung wenn später zB $E(x^{2})$ verwendet wird!!! (nicht signierter Beitrag von 78.52.123.128 (Diskussion) 15:25, 25. Jun. 2012 (CEST))

Das ist nur scheinbar genau, aber dann ungenau, wenn nicht gesagt wird, ob das Integral im Sinn der Integrierbarkeit (als Element in $\mathbb {R}$) oder der Quasiintegrierbarkeit (als Element in ${\bar {\mathbb {R} }}$) verstanden wird. --Sigma^2 (Diskussion) 12:18, 7. Sep. 2022 (CEST)

Definition (2022)

Die ersten beiden Definition sind ungenau und unvollständig, weil mit der Formulierung „im Falle der Existenz“ in Unklares ausgewichen wird. Ist die Existenz als reelle Zahl oder die Existenz als erweiterte reelle Zahl gemeint? Dies hat auch nichts mit der Integraldefinition zu tun, da sich das Problem analog auch im diskreten Fall stellt: Konvergenz einer Reihe (im engeren Sinn gegen eine Zahl in $\mathbb {R}$) oder Konvergenz im weiteren Sinn, d. h. Konvergenz ergänzt durch uneigentliche Konvergenz (gegen eine Zahl in ${\bar {\mathbb {R} }}$). In der wahrscheinlichkeitstheoretischen Literatur sind beide Positionen zur Existenz des Erwartungswertes zu finden (z. B. versus ). In anwendungsnahen Darstellungen wurde häufig ausschließlich mit endlichen Erwartungswerten gearbeitet. Im Bereich der Finanzmarktstochastik gewannen bei der Modellierung von Renditeverteilungen zunehmend Verteilungen mit 'unendlicher Varianz', aber endlichen Erwartungswerten Bedeutung. Seitdem ist auch z. B. in den Wirtschaftswissenschaften eine klare Terminologie bei Erwartungswerten erforderlich, die unendliche Erwartungswerte umfasst.

A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9, S. 193, Definition 2. 

P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, S. 105, Artikel Erwartungswert (expectation). 

--Sigma^2 (Diskussion) 09:29, 21. Sep. 2022 (CEST)

Integral

Warum die technische Bemerkung über Integrale? Das gehrt nich hier im Artikel. Nijdam 09:43, 29. Dez. 2009 (CET)

Erscheint mir auch nicht sinnvoll; ich habe auf die Version von 10. Dezember 2009 um 17:51 revertiert. --NeoUrfahraner 12:25, 29. Dez. 2009 (CET)

Der Artikel ist in der aktuellen Form ziemlich inkonsistent, was Existenz von Erwartungswerten angeht. In der Einleitung steht, dass der Erwartungswert unendliche Werte annehmen kann. Die späteren Existenzbedingungen schließen gerade das aus.

Ich hatte eine ganze Reihe von Änderungen durchgeführt, um in diesem Durcheinander etwas Ordnung zu schaffen. Mit der technischen Bemerkung am Anfang ging es mir konkret darum, darauf hinzuweisen, dass die Frage der Existenz letztendlich auf Konvention beruht. Lebesguesche Integrationstheorie ist sicherlich sinnvollste Ansatz, um Erwartungswerte zu definieren, aber prinzipiell wären natürlich auch andere Konstruktionen, etwa durch Gesetz der großen Zahlen (Monte-Carlo-Integration) oder geeignetes Abschneiden möglich und würden zu anderen Bedingungen führen.--RSchlicht 15:33, 29. Dez. 2009 (CET)

Aber in der Praxis wird der Erwartungswert immer über das Lebesgue-Integral definiert (was u.U. äquivalent zum Riemann-Integral ist). Andere Definitionen sind natürlich möglich aber in der Praxis nicht üblich und brauchen deshalb eigentlich nicht erwähnt werden. --Beben 15:40, 29. Dez. 2009 (CET)

Das ist richtig. Mein eigentlicher Grund für die Änderungen war die Tatsache, dass die im Artikel aufgeführten Existenzbedingungen unendliche Erwartungswerte grundsätzlich ausschließen. Ich würde die Formulierung "Ein endlicher Erwartungswert existiert genau dann, wenn..." bevorzugen. Unendliche Erwartungswerte kommen in der Mathematik häufiger vor, allein schon in Bedingungen wie $E(X)<\infty$.--RSchlicht 15:57, 29. Dez. 2009 (CET)

Ich habe einfach die Existenzaussage für den allgemeinen Fall ergänzt, für die Spezialfälle diskret/stetig stehen schon Existenzbedingungen da. Allerdings ist der Artikel gerade im unteren Abschnitt nicht konsistent zur allgemeinen Definition und tut so als wäre Riemann-Integral gleich dem Lebesgue-Integral... --Beben 17:07, 29. Dez. 2009 (CET)

Jetzt sind wir bei dem Problem gelandet, dass aus dem Gedächtnis "Trivialitäten" hingeschrieben werden, ohne zu überlegen, welche Definition wirklich stimmt. Nach meiner Erinnerung bedeutet "X hat einen Erwartungswert", dass dieser wirklich endlich ist. Ist ja IMHO auch sinnvoll, da die meisten Sätze ja nur in diesem Fall gelten. Wie lautet denn sonst die saubere Voraussetzung für $\operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i})$? WP:Q beachten, auch bei "Trivialitäten"! Was sagt denn die Literatur dazu? Welches Fachbuch verwendet die Konvention, dass der Erwartungswert auch dann existiert, wenn er bestimmt divergent ist? --NeoUrfahraner 07:16, 30. Dez. 2009 (CET)

Genug, so ziemlich jedes Buch was sich mit Wahrscheinlichkeitstheorie beschäftigt. Bsp. "Maß und Wahrscheinlichkeit" (K.D. Schmidt), "Wahrscheinlichkeitstheorie" (A. Klenke), "Versicherungsmathematik"(Schmidt), ... Allerdings muss man mit dem Begriff bestimmt divergent vorsichtig umgehen, nicht jede Zufallsvariable, bei der das (uneigentliche) Riemannintegral für den Erwartungswert existiert (also konvergiert) besitzt einen Erwartungswert. Das liegt am unterschied zwischen dem (uneigentlichen) Riemannintegral und dem Lebesgue-Integral. --Beben 10:29, 30. Dez. 2009 (CET)

Nur ist dann blöderweise der Erwartungswert kein linearer Operator mehr. --NeoUrfahraner 10:59, 30. Dez. 2009 (CET)

Naja bedingt, er ist linear für reelle Koeffizienten. Also für $a,b\in \mathbb {R}$ gilt

$E(aX+b)=b+aE(X)$.

aber nicht für $a,b\in {\bar {\mathbb {R} }}$ --Beben 11:10, 30. Dez. 2009 (CET)

Es gilt nicht mehr E(X-Y)=EX-EY. --NeoUrfahraner 11:16, 30. Dez. 2009 (CET)

Ja, natürlich auch für E(X+Y) --Beben 11:43, 30. Dez. 2009 (CET)

Genau. Bei E(aX+b)=b+aE(X) gibt es auch Probleme bei a=0. Mit anderen Worten, wenn Du Erwartungswert unendlich erlaubst, musst Du hier im Artikel sowie in allen anderen WP Artikeln sicherstellen, dass dort, wo nötig, auf endlichen Erwartungswert eingeschränkt wird. Hab kurz auf google-Books bei K.D. Schmidt nachgesehen, der macht es anscheinend sauber. --NeoUrfahraner 12:16, 30. Dez. 2009 (CET)

Es gilt E(X+Y) = E(X)+E(Y) immer dann, wenn die rechte Seite definiert ist (nicht (+∞)+(-∞) oder (-∞)+(+∞)); in diesem Fall ist X+Y eine fast sicher definierte Zufallsvariable. E(aX) = aE(X) gilt für reelles a, wenn E(X) definiert ist. Explizit stehen solche Aussagen wahrscheinlich am ehesten in Integrationstheorie-Büchern aus den 60er Jahren. Einige, vor allem neuere Bücher verwenden die Voraussetzung "integrierbar oder nicht-negativ" in der Definition von Erwartungswerten, d.h. unendliche Erwartungswerte sind nur für Zufallsvariablen mit Werten >= 0 erlaubt. Dann kann es passieren, dass E(X) definiert ist, aber E(X-1) nicht.--RSchlicht 12:45, 30. Dez. 2009 (CET)

Ich finde, dass neuere Bücher sich eher darauf stützen, dass die Zufallsvariable quasiintegrierbar ist (auch auch bsp. bei 'K.D.Schmidt'), also quasiintegrierbare Zufallsvariabaln wirklich immer Erwartungswerte aus $[-\infty ,\infty ]$ annehmen. Es stimmt aber, dass E(aX+b)=b+aE(X) bei a=0 Probleme bereiten kann, das hängt von den Konventionen ab. In der Integrationstheorie ist es jedoch üblich, das $0\cdot \pm \infty =0$ gilt. Die ganze moderne Lebesgue-Integrationstheorie stützt sich auf diese Aussage und somit auch die W-Theorie. Allerdings muss das genau geklärt sein, das betrifft die ganze Wiki. Was den Erwartungswert in anderen Artikeln angeht, so muss wirklich jede Aussage zum Erwartungswert bezüglich seiner Endlichkeit kontrolliert werden. Artikel wie Varianz und Kovarianz tuen die ähnlich wie der Erwartungswert-Artikel meist nur in Ansätzen. --Beben 13:16, 30. Dez. 2009 (CET)

$0\cdot \pm \infty =0$ gilt natürlich auch nicht immer. Nimm X mit EX unendlich und E (1/X)=0. Dann müßte E(1/X) * E(X^2) gleich unendlich sein. --NeoUrfahraner 13:45, 30. Dez. 2009 (CET)

nein, gerade da ist die definition nützlich, denn E(1/X)*E(X^2)= 0 * unendlich = 0 --Beben 14:02, 30. Dez. 2009 (CET)

X_1, X_2 ua wie X verteilt. 0 = E(1/X_1)*E(X_2^2) = E( X_2^2/X_1). Wieso ist der Erwartungswert von X_2^2/X_1 immer Null? --NeoUrfahraner 15:15, 30. Dez. 2009 (CET)

Besseres Beispiel: X cauchyverteilt, X_1 = |X|, X_2 = sign X. X_2 ist ua von X_1. EX_1 ist +unendlich, EX_2 = 0, E(X_1*X_2) nicht existent. --NeoUrfahraner 16:06, 30. Dez. 2009 (CET)

Die vermeintliche 'Rechenregel' $\operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]$ für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen scheitert nicht nur am Produkt $0\cdot \infty$, sondern viel allgemeiner bei unendlichen Erwartungswerten, wie folgendes Beispiel zeigt.

Die reellen Zufallsvariablen $X$ und $Y$ seien stochastisch unabhängig. Die Zufallsvariable sei nichtnegativ mit $\operatorname {E} [X]=+\infty$. Für die Zufallsvariable $Y$ sei $P(Y=-1)=P(Y=2)=1/2$. Dann gilt

$\operatorname {E} [(XY)^{+}]=\operatorname {E} [XY^{+}]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y^{+}]=(+\infty )\cdot 1=+\infty$

und

$\operatorname {E} [(XY)^{-}]=\operatorname {E} [XY^{-}]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y^{-}]=(+\infty )\cdot 1/2=+\infty$,

so dass $\operatorname {E} [XY]$ nicht existiert. Eine formale Anwendung der 'Rechenregel' $\operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]=(+\infty )\cdot 1=+\infty$ führt zu dem falschen Schluss $\operatorname {E} [XY]=+\infty$. Der maßtheoretische Hintergrund ist, dass der Satz von Fubini nicht unmittelbar auf das Produkt $XY$ angewendet werden darf, da dieses weder integrierbar noch nichtnegativ ist. Bei der Zerlegung in Positiv- und Negativteil kann jeweils der Satz von Fubini angewendet werden.--Sigma^2 (Diskussion) 20:41, 7. Okt. 2022 (CEST)

Mir ist es letztlich egal, welche Konvention verwendet wird, aber korrekt soll es sein, und das ist es derzeit nicht. Besser jedenfalls eine weniger allgemeine Version, die korrekt ist, als eine allgemeinere Version, die nicht sauber durchgehalten wird und damit fehlerhaft ist. --NeoUrfahraner 13:36, 30. Dez. 2009 (CET)

Ich denke aber schon, dass die wiki den anspruch erheben sollte Sachen auch allgemein zu beschreiben, wenn sie allgemein beschreibbar sind, was es ja auch ist. Was den Erwartungswert angeht stimmt es dass die Seite und einige verwandte wie Varianz, Kovarianz, Moment überarbeitet/kontrolliert werden müssen. Jedoch ist die Anzahl der Seiten gut überschaubar, da es (zum Glück) die meisten Seiten mit Verteilungen (bsp. Normalverteilung) nicht betrifft. --Beben 14:02, 30. Dez. 2009 (CET)

Und wer wird das überarbeiten/kontrollieren? Bis jetzt ist aber nicht einmal der Artikel Erwartungswert korrekt. --NeoUrfahraner 15:15, 30. Dez. 2009 (CET)

O.K., ich habe jetzt in mehreren Büchern zur Wahrscheinlichkeitstheorie nachgesehen. Die allgemeine Definition $E(X)=E(X^{+})-E(X^{-})$, sofern $E(X^{+})$ und $E(X^{-})$ nicht beide unendlich, ist recht häufig zu finden, vgl. z.B. Loève, S.119-120. Jedenfalls besteht einige Berechtigung, diese Definition den Existenzaussagen im Artikel zugrundezulegen. Die Formel $0\cdot \infty =0$ ist in der Maßtheorie standard, man fasst ∞ immer als Limes einer gegen unendlich konvergierenden Folge auf, weil das am besten zu den Konvergenzsätzen (mon. Konvergenz) passt. Das Cauchy-Beispiel zeigt, dass die Formel E(XY)=E(X)E(Y) für unabhängige Zufallsvariablen dann nur noch unter zusätzlichen Voraussetzungen gilt.--RSchlicht 17:33, 30. Dez. 2009 (CET)

Auf die Gefahr hin, dass ich mich wiederhole: wer schreibt jetzt endlich diese zusätzlichen Voraussetzungen in die Artikel? --NeoUrfahraner 17:50, 30. Dez. 2009 (CET)

Die diskutierte Problematik ist nach wie vor (nun seit 2009) offen. Wenn der Erwartungswert im erweiterten Sinn als Element von ${\bar {\mathbb {R} }}$ definiert wird, dann gilt $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ nur unter zusätzlichen Bedingungen. Einfachstes Beispiel, das sich vielleicht auch Nichtmathematikern erschließt:

Es sei $X$ eine Zufallsvariable mit $E[X]=\infty$ und $Y:=-X$. Dann gilt $E[Y]=-\infty$ und $X+Y=X+(-X)=0$. Also gilt 
$\qquad E[X+Y]=E[0]=0$, 
aber die Summe   
$\qquad E[X]+E[Y]=\infty +(-\infty )$ 
ist nicht definiert. 

Rechenregeln für endliche Erwartungswerte gelten daher nicht ohne weiteres für ein allgemeineres Konzept, das unendliche Erwartungswert erlaubt. In den Artikel wurde mal das allgemeinere Konzept eines Erwartungswertes als erweiterte reelle Zahl eingebaut, ohne die Folgen für die übrigen Aussagen des Artikels zu beachten. In der jetzigen Form ist der Artikel (aus mathematisch-statistischer Sicht) nicht gut, enthält falsche Aussagen, z. B . im Abschnitt 'Elementare Eigenschaften' und und ist daher grundsätzlich überarbeitungsbedürftig. Diese Problematik hat nichts mit dem Integral-Begriff zu tun, insofern ist die Überschrift des Abschnitts irreführend. Das angesprochene Problem stellt sich auch schon im diskreten Fall, sobald unendlich viele Summanden ins Spiel kommen. --Sigma^2 (Diskussion) 13:07, 12. Sep. 2022 (CEST)

Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsvariablen

Dieser Abschnitt ist komplett irrelevant und bringt dem Leser keinen zusätzlichen Nutzen. Er zählt genau die Sachverhalte nochmal auf, welche oben bereits beschrieben sind, nur mit der Änderung, dass nicht $X$, sondern $g(X)$ betrachtet wird, was jedoch nur eine ganz normale Transformation der Zufallsvariable ist, falls $g$ messbar ist. Es ändert sich nichts an den Gesetzmäßigkeiten, die Berechnung des Erwartungswertes wird weder einfacher noch komplizierter. Ich plädiere für das Löschen des Abschnittes. --Beben 10:45, 30. Dez. 2009 (CET)

Doch: wenn Y=g(X), gilt:

$Eg(X)=EY=\int ydF_{Y}(y)=\int ydF_{g(X)}(y)$

andererseits gilt auch:

$Eg(X)=\int g(x)dF_{X}(x)$

Nijdam 17:48, 30. Dez. 2009 (CET)

Der Abschnitt im Artikel ist in der jetzigen Form nicht mit anderen Abschnitten verträglich, die von der Möglichkeit unendlicher Erwartungswerte ausgehen. Die Formulierung 'existiert' ist nur im jeweiligen Umfeld der betreffende Definition verträglich. In diesem Abschnitt ist mit 'existiert' wohl 'existiert als reelle Zahl' (und ist damit endlich) gemeint.--Sigma^2 (Diskussion) 13:14, 12. Sep. 2022 (CEST)

µ

Sehe ich das richtig : im ganzen Artikel kommt an keiner Stelle µ vor ? Im Artikel My wird auf 'Erwartungswert' verwiesen; Mathebücher der gymnasialen Oberstufe nennen / verwenden µ ... warum ist es im Artikel nicht genannt ? --Neun-x (Diskussion) 11:13, 18. Jan. 2017 (CET)

Inzwischen ist es eingefügt, aber nicht richtig. Das Symbol µ ist keine allgemeine Abkürzung für $E[X]$, sondern wird nur dann verwendet, wenn der Erwartungswert $E[X]$ als reelle Zahl existiert. Dann wird diese Zahl häufig mit µ bezeichnet. In Fällen, in denen $E[X]=\infty$ oder $E[X]=-\infty$ ist, wird µ nicht verwendet. Auch im weiteren Fall, falls $E[X]$ nicht existiert, sagt niemand „µ existiert nicht“. Wenn beispielsweise $X$ eine Cauchy-verteilte Zufallsvariable ist, dann existiert $E[X]$ nicht. In dieser Beziehung muss der Artikel noch überarbeitet werden.--Sigma^2 (Diskussion) 23:37, 9. Sep. 2022 (CEST)

Nichtnegative Zufallsvariable

Hallo @Maximilian Janisch:. Danke für deine Einfügung zum Erwartungswert einer nichtnegativen Zufallsvariablen. Mir fehlt da noch etwas ein Verweis zu einer Definition einer nichtnegativen Zufallsvariablen...Ist hier damit einfach gemeint, dass der Träger positiv ist, also ${\mathcal {T}}_{X}=[0,\infty )$?--Jonski (Diskussion) 14:06, 19. Nov. 2019 (CET)

Hallo @JonskiC:, mit $X$ nicht-negativ meine ich $P(X<0)=0$. Ich bin mir ziemlich sicher, dass das zu ${\mathcal {T}}_{X}\subseteq [0,\infty [$ äquivalent ist. Vielleicht sollte dies aber schon früher im Artikel eingebaut werden, da nichtnegative Zufallsvariablen bereits im Abschnitt 3.1 vorkommen. LG, --Maximilian Janisch (Diskussion) 11:47, 20. Nov. 2019 (CET)

Hm, meiner Meinung nach ist die übliche Definition meist so: Eine Zufallsvariable $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ist nichtnegativ, wenn $X(\omega )\geq 0$ für alle $\omega \in \Omega$ gilt, so wie bei „nichtnegativen reellwertigen Funktionen“. Wenn nur $P(X<0)=0$ gilt, wird das i. Allg. „fast sicher nichtnegativ“ genannt. -- HilberTraum (d, m) 22:43, 20. Nov. 2019 (CET)

Hallo @HilberTraum:, das wurde hier von mir in der Diskussion ungenau formuliert, aber im Artikel habe ich auch fast sicher nicht-negativ geschrieben. Siehe meinen Edit. Gerne kann ich (oder du 😄) den Halbsatz hinzufügen, dass damit $P(X<0)=0$ gemeint ist. --Maximilian Janisch (Diskussion) 00:29, 21. Nov. 2019 (CET)

@Maximilian Janisch: Deinen Vorschlag das früher einzuführen finde ich gut. Da wir gerade über nichnegative Ungleichungen reden und du dich laut deiner Benutzerseite viel mit stochastischen Ungleichungen beschäftigst. Ich hab mir da auch eine Ungleichung für nichtnegative Zufallsvariablen überlegt bzw. entdeckt die m.E. in der Literatur nicht vorhanden ist…allerdings bin ich mir nicht sicher, ob diese Trivial ist. Würde gerne deine Meinung dazu wissen:)--Jonski (Diskussion) 00:46, 21. Nov. 2019 (CET)

@JonskiC: Gerne kannst Du mir Deine Ungleichung nennen; Ich habe aber vermutlich in näherer Zukunft leider keine Zeit mir sie anzuschauen, falls sie schwieriger sein sollte (ausserdem könnte mein Wissen bezüglich stochastischen Ungleichungen nicht ausreichend sein). Vielleicht lohnt es sich, sie in einer (oder mehrerer, je nach Schwierigkeitsgrad) der folgenden Frageseiten zu posten (bei denen ich auch manchmal tätig bin): Statistik-Stackexchange, Mathematik-StackExchange und MathOverflow (Forschungsmathematik). LG, --Maximilian Janisch (Diskussion) 01:19, 22. Nov. 2019 (CET)

Dein Wissen ist auf jeden Fall ausreichend. Es ist eigentlich nichts großes bzw. sehr simpel und man benötigt nur einen Satz und zwar den Verschiebungssatz. Du wirst den Beweis wahrscheinlich in 5 min lesen können. Mir hat ein Statistik-Professor versichert das sie richtig ist, aber bin mir wie gesagt nicht sicher ob sie trivial ist (oder ob er sich irrt). Ich schicke dir bei Gelegenheit einfach eine Mail mit PDF. Beste Grüße.--Jonski (Diskussion) 01:34, 22. Nov. 2019 (CET)

@JonskiC: Ich bin schonmal gespannt :D --Maximilian Janisch (Diskussion) 10:10, 22. Nov. 2019 (CET)

Der Abschnitt enthält Herleitungen, die eigentlich nicht in einen enzyklopädischen Artikel gehören. Besser wäre eine Angabe der Hauptergebnisse mit einem Beleg (!). Der Abschnitt enthält das nicht erklärte und bisher im Artikel nicht verwendete Symbol $L^{p}$. Der Begriff fast alle wird im Beweis falsch verwendet. --Sigma^2 (Diskussion) 14:29, 12. Sep. 2022 (CEST)

Fehlerwahrscheinlichkeit …

… ist eine BKL die unter anderem auf diesen Artikel hier verweist. Somit sollte der Begriff hier auch irgendwo auftauchen.--Ciao • Bestoernesto • ✉ 16:39, 24. Jan. 2021 (CET)

Erforderliche Überarbeitungen

Berücksichtigung unterschiedlicher Definitionen (in $\mathbb {R}$, in ${\bar {\mathbb {R} }}$; für reelle, für erweiterte (numerische) Zufallsvariablen; basierend auf der Wahrscheinlichkeitsverteilung, maßtheoretisch). Daraus resultierend:

• Der Begriff 'Existenz' wird in der Literatur meistens relativ zur jeweiligen Definition verwendet und ist ohne Bezug auf eine Definition unklar.
• Die 'Regeln' gelten meistens nur für integrierbare Zufallsvariablen.
• Das Symbol $\mu$ wird regelmäßig nur für reelle Erwartungswerte verwendet.
• Die maßtheoretische Terminologie sollte nicht vorrangig, sondern ergänzend verwendet werden (reelle Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert = maßtheoretisch: integrierbare Zufallsvariable, reelle Zufallsvariable mit Erwartungswert in ${\bar {\mathbb {R} }}$ = maßtheoretisch: quasiintegrierbare Zufallsvariable)
• In der Statistik und anderen Anwendungsbereichen werden Erwartungswerte einer Zufallsvariablen mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen definiert. Für eine allgemeine Darstellung wird dann das Lebesgue-Stieltjes-Integral verwendet. Für eine reelle Zufallsvariable $X$ mit der Verteilungsfunktion $F_{X}$ wird definiert:

$E[X^{+}]:=\int _{\mathbb {R} }\max(x,0)\mathrm {d} F_{X}(x)\in [0,\infty ],\quad E[X^{-}]:=\int _{\mathbb {R} }\max(-x,0)\mathrm {d} F_{X}(x)\in [0,\infty ]$,

$E[X]:=E[X^{+}]-E[X^{-}]$, falls (Def. im engeren Sinn) beide Erwartungswerte $E[X^{+}]$ und $E[X^{-}]$ endlich sind, oder, falls (Def. im weiteren Sinn) mindestens einer der beiden Erwartungswerte endlich ist.

• Wenn eine Regel, z. B. '$E[XY]=E[X]E[Y]$ gilt für zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen', nicht allgemein gilt, sind Gegenbeispiele nützlich.
• Damit die Regel $E[E[X|Y]]=E[X]$ für Erwartungswerte im weiteren Sinn formuliert werden kann, wird der Erwartungswert einer erweiterten Zufallsvariablen ($E[X|Y]$, falls $E[X]=\infty$) benötigt.

Man könnte eine 'Definition im engeren Sinn' (Erwartungswert einer reellen Zufallsvariable als reelle Zahl) und eine 'Definition im weiteren Sinn' (Erwartungswert einer reellen Zufallsvariable als erweiterte reelle Zahl und Erwartungswert einer erweiterten Zufallsvariable als erweiterte reelle Zahl) unterscheiden. Für beide Definitionen gibt es reputable Quellen, siehe Benutzer:Sigma^2/Statistische Notation#Zur Definition des Erwartungswertes. Viele der angesprochenen Probleme sind in den Abschnitten Diskussion:Erwartungswert#Definition und Diskussion:Erwartungswert#Integral angesprochen, aber nicht umgesetzt worden.--Sigma^2 (Diskussion) 14:31, 24. Sep. 2022 (CEST) (korrigiert --Sigma^2 (Diskussion) 21:55, 2. Okt. 2022 (CEST)).

Der Unterabschnitt "Erwartungswert von zwei Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion"

• gehört nicht in den Abschnitt Definition,
• sollte "Erwartungswert der Funktion von zwei Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion" heißen und
• suggeriert eine allgemeine Darstellung und Berechnungsmöglichkeit mit dem Doppelintegral. Diese Darstellung gilt aber nur unter den Voraussetzungen des Satzes von Fubini: Erwartungswert von $g(X,Y)$ endlich oder $g(X,Y)$ nichtnegativ.--Sigma^2 (Diskussion) 20:00, 1. Okt. 2022 (CEST)

Diesen Punkt habe ich heute korrigiert.--Sigma^2 (Diskussion) 21:55, 2. Okt. 2022 (CEST)