Diskussion:Gleitkommazahl/Archiv

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[[Diskussion:Gleitkommazahl/Archiv#Thema 1]]

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https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Gleitkommazahl/Archiv#Thema_1

24 Mantissenbits

Hallo, mein erster Eintrag in ein Wiki, verzeiht mir schlimme Fehler bitte. Im Text steht unter der Darstellung, dass eine IEEE-754-Single Zahl 24 Mantissenbits hat, soweit ich weiß sind es aber nur 23 (32 - 1 Vorzeichen - 8 Exponent). Wird hier das "hidden bit" als extra Bit gerechnet oder ist der Text an der Stelle falsch? (Im Quelltext ist auch ein Kommentar dazu der "Quellen?" lautet, also ist das vielleicht nicht sooo klar.)

Danke für die Antwort und der versuch einer Unterschrift: --213.61.58.210 09:32, 13. Okt. 2008 (CEST)

Du vermutest richtig: die IEEE754-Zahl hat 24 Mantissenbits; gespeichert werden nur 23 davon. die ganz linke ist nach Normalisierung immer 1 und wird beim Abspeichern weggelassen, beim Rechnen jedoch berücksichtigt. Gespeichert werden 23 + VZ + exp = 23 + 1 + 8 * 32 Bit. --Brf 10:26, 13. Okt. 2008 (CEST)

Ah, ok danke für die schnelle Antwort. Schade, dann ist mein erster Beitrag zur Wikipedia wohl doch nicht von Erfolg gekrönt worden :). --213.61.58.210 10:51, 13. Okt. 2008 (CEST)

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Ausloeschung - ein Spezialfall des Unterlaufs?

Die Ausloeschung ist ganz sicher kein Spezialfall des Unterlaufs, weil die resultierende Zahl zumeist (falls nicht zu klein) dargestellt werden kann und eben nicht durch Null ersetzt wird, sondern vielmehr - wie das Beispiel anschaulich demonstriert - nur noch Unsinn enthaelt. 13:24, 26.Juni.2006

Ich hab' das mal geändert viele Grüße --Mathemaduenn 14:01, 31. Aug 2006 (CEST)

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Formeln für Umkehrung

Könnte es sein, dass die Formel für die Umkehrung nicht ganz korrekt ist, und es $E=C-{\frac {1}{2}}B^{e}+1$ heißen müßte?

Laut dem Vorlessungsskript der RWTH Aachen (Tech. Inf. GGdInf 1 WS04/05) und einer weiteren Quelle aus der Literatur (die mir leider grade entfallen ist) stimmt die Formel ohne +1, mir erschließt sich auch auch nicht wozu +1 gut sein sollte. Vielleicht kommst du mit der IEEE-Konvention ins schleuchern? Da wird die 1,0 aber bei der Mantisse schon hinzugerechnet. JensKohl 6. Jul 2005 11:37 (CEST)

Der Sinn der Formel ist m. E. den Bias, den man bei der Umwandlung in die Gleitpunktzahl dem Exponenten hinzuaddiert hat wieder abzuziehen. Dieser beträgt 127; der Exponent ist in 8 Bit gespeichert. -(1/2 * 2^8) sind -128, mit der + 1 wären es dann die von der Charakteristik abzuhiehenden 127. Alternativ könnte man schreiben - (2^(8-1) - 1). Die Änderung erscheint mir notwendig, gibt es Einwände? --Dominik.ebeling 18:39, 12. Jul 2005 (CEST)

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Einleitung umgeschrieben

Ich habe versucht, die Einleitung zu verbessern. Ich fand die alte Fassung unpräzise und teilweise irreführend. — Ich hoffe natürlich, dass andere Leser das wirklich eine Verbesserung finden ...

Ich habe insbesondere auch ein paar Zeilen ersatzlos gestrichen:

"Eine Gleitkommaberechnung ist eine arithmetische Operation, die mit Gleitkommazahlen ausgeführt wird.

Beispiele von Gleitkommazahlen:

• 5,0
• 0,003
• 3,14159 (keine weiteren Stellen)
• 8E17 (äquivalent zu 8•10¹⁷)"

Begründung: Den ersten Satz halte ich für nichtssagend. Die "Beispiele von Gleitkommazahlen" sind keine, denn Gleitkommazahlen sind Elemente einer endlichen Menge von rationalen Zahlen, die auf eine ganz bestimmte Weise dargestellt sind. Die ersten drei der vier angeführten Beispiele sind einfach positive rationale Zahlen, dargestellt als dezimale Stellenwertbrüche. Diese haben mit Gleitkommazahlen nichts zu tun, ausser, dass man sie auch als Gleitkommazahlen hätte darstellen können, wenn man hätte wollen ... Einzig das letzte der vier Beispiele könnte man als Beispiel für eine Gleitkommazahl gelten lassen, aber in einem sehr speziellen dezimalen Format, das vor allem der Eingabe von Gleitkommazahlen dient. Auch dieses letzte Beispiel hilft einem Leser, der nicht schon weiss, was Gleitkommazahlen sind, nicht, das zu verstehen, im Gegenteil, es führt ihn eher in die Irre. — Nol Aders 00:32, 8. Jun 2005 (CEST)

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little/big endian

Hat nicht jemand Lust, mal was zum Thema little/big endian im Bezug auf floats zu schreiben? -- Cyberolm 09:34, 19. Jul 2005 (CEST)

Was ist denn da bei Fließkommazahlen anders als bei Ganzzahlen? Die Problematik ist die gleiche. Die Lösungen ebenso. --RokerHRO 10:54, 19. Jul 2005 (CEST)

Überhaupt nicht! Das Gegenteil ist der Fall!! Bei Festkommazahlen (von denen die Ganzzahlen ein Spezialfall sind) wird — etwas salopp gesprochen — im wesentlichen modulo Basis hoch Wortlänge gerechnet, d.h. Überlauf führt zu einer Art wrap around, es wird rechtsbündig gerechnet; falls nicht alle Ziffern exakt dargestellt werden können, so werden Ziffern links (MSP = Most Significant Places) abgeschnitten. Bei Gleitkommazahlen wird dagegen, im Bereich der darstellbaren Zahlen, linksbündig gerechnet; falls nicht alle Ziffern exakt dargestellt werden können, so werden Ziffern rechts (LSP = Least Significant Places) abgeschnitten; Überlauf führt ganz aus dem Bereich der exakt darstellbaren Zahlen hinaus auf einen speziellen Unendlich-Wert.

Darin sehe ich einen gewaltigen Unterschied zwischen den zwei Ansätzen, den allzuviele Anfänger allzulange nicht sehen und demzufolge noch lange in diesem Anfängerstadium steckenbleiben, wenn sie dieses schon lange hinter sich gelassen haben sollten und hinter sich gelassen zu haben glauben ... Andererseits ist dies natürlich ein gefundenes Fressen für mich als Schulmeister, wo ich meinem Bildungsauftrag dann so richtig frönen kann ... Ich vermute, dass Cyberolm mit "little endian — big endian" diesen Gegensatz meint(?) — Nol Aders 17:02, 19. Jul 2005 (CEST)

Nein. Schau einfach mal unter Big Endian. --RokerHRO 18:39, 19. Jul 2005 (CEST)

Diese Little-Endian-Big-Endian-Geschichte scheint mir gewissermassen "eine Etage tiefer" (d.h. näher bei der Hardware — entsprechend weiter weg von der Software) zu liegen als die Geschichte mit Festkomma-Gleitkomma. Festkomma-Gleitkomma gehört in die "Endliche Arithmetik"-Schublade, da geht es darum, wie die Zahlen im Computer dargestellt werden, wie man mit ihnen rechnen kann, welche Werte exakt dargestellt werden können, usw., usf. Wenn man einmal erkannt oder vereinbart hat, welche Bitmuster in welchem Kontext welche Zahl bedeuten sollen (Endliche Arithmetik-Festkomma-Gleitkomma), dann muss man sich noch entscheiden, wie diese Bitmuster jetzt byteweise kleingehackt und (im RAM oder sonstwo) weggepackt werden sollen — das ist dann die Little-Endian-Big-Endian-Geschichte. Diese ist völlig unabhängig von der ersten Geschichte. Ich schlage vor, diese beiden Themen nicht zu vermischen. In allen Artikeln "Gleitkommazahl", "Festkommazahl", "Integer", "Endliche Arithmetik", usw. erträgt es höchstens je einen Querverweis auf "Little-Endian-Big-Endian" — Nol Aders 03:41, 20. Jul 2005 (CEST)

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Überarbeiten

Ich habe diesen Artikel auf die Liste zum überarbeiten gesetzt. — Nol Aders 02:02, 10 November 2005 (CET)

Das sieht man bereits im Artikel, das musst du hier nicht noch wiederholen. Hier wäre eher eine Begründung für deine Entscheidung angebracht gewesen, damit man weiß, was genau du für überarbeitenswürdig hältst. --RokerHRO 08:08, 10. Nov 2005 (CET)

Ich halte folgende Punkte für überarbeitungsbedürftig (aktuelle Zusammenfassung der entsprechenden Punkte aus dem oben stehenden):

1. Dieser Artikel überlappt inhaltlich mit IEEE 754 (z.B. Normalisierung, Hidden Bit, &c.) Die beiden Artikel aufeinander abstimmen in folgendem Sinn: IEEE 754 ist ein Standard für binäre Gleitkommazahlen; dort alles beschreiben, was zu diesem Standard gehört, also Binäre Darstellung, Hidden Bit, &c. — Hier unter Gleitkommazahl nur den allgemeinen Fall abhandeln mit beliebiger Basis b, &c., aber alles über den Spezialfall b=2 und den Standard IEEE 754 rausnehmen.
2. Das Little-Endian-Big-Endian-Thema gehört nicht in diesen Artikel, ausser mit einem Querverweis auf "Little-Endian-Big-Endian"
3. Der Abschnitt "Berechnung einer IEEE single Gleitkommazahl (32-Bit-Gleitkommazahl)" gehört raus, insbesondere der Unterabschnitt "Umkehrung", der Unsinn ist — der ist so falsch, da ist nicht einmal das Gegenteil richtig.

— Nol Aders 14:21, 10. Nov 2005 (CET)

Das ist ein guter Hinweis, dass der Artikel doppelt existiert. Ich hätte da aber ein paar Anmerkungen zu den Verbesserungen: Ich würde die Artikel nicht weiter getrennt lassen. Die IEEE 754 Norm gehört einfach zu sehr Thema Gleitkommazahl, als das eine Trennung Sinnvoll wäre. Würden wir sie hier rauswerfen kann man sich sicher sein, dass irgend ein fleißiger Mensch das Kapitel früher oder später wieder einfügen würde. Auch mir hat bisher das Kapitel "Berechnung einer IEEE single Gleitkommazahl (32-Bit-Gleitkommazahl)" nicht wirklich gefallen, aber ein Beispiel einer Umrechnung gehört auf jeden Fall rein. Ich finde das Beispiel aus dem anderen Artikel sehr gut. Damit ist sehr leicht der Aufbau zu verstehen. --Stefan2 09:35, 28. Nov 2005 (CET)

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Überarbeitung

Ich fange mal mit der Überarbeitung an, versuche eine Darstellung der Eingenschaften von Gleitkommazahlen und schmeiße alles raus, was eigentlich den IEEE 754 Standard betrifft.

brf

@ He3nry K:

Das Beispiel der Umrechnung einer IEEE-Zahl habe ich hier rausgenommen, weil ich es in dieser Form als unbefriedigend empfunden habe, und weil dieses spezielle Beispiel nicht in den Artikel über Gleitkommazahlen gehört.

Bei IEE 754 Zahlen habe ich gestern ein Beispiel für pi untergebracht , das ich für besser halte. Dort gehört es also hin.

Bevor du wild wiederherstellst, schau dir mal den gesamten neuen Artikel und eigentlich beide an, ob dieser Absatz nicht eigentlich doch entfallen kann.

brf

@ He3nry K:

Die vier letzten Absätz aus dem alten Artikel gehören meiner Meinung nach jetzt nicht mehr hinein. Der letzte ist seit einer Woche besser in IEEE 754 beschrieben. Der viertletzte wiedeholt bereits gesagtes. Der drittletzte ist sowieso inhaltsfrei (bis auf ein Link). Und der vorletzte ist für einen Artikel über Gleitkommazahlen eigentlich zu speziell.

Aber da du meine letzte Löschung sofort wiederhergestellt hast (unter Vernichtung von bereits von mir geschriebenem) löscht du das jetzt bitte selber!

brf

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Eine Gleitkommazahl [...] ist eine approximative Darstellung einer reellen Zahl.

Ich weiß nicht warum in jeder Schrift diese Verallgemeinerung beschrieben wird: Gleitkommazahlen ist die (approximative) Darstellung von rationalen Zahlen, denn sie können algebraisch dargestellt werden. Sollte man denn wirklich schon den ersten Satz eines Artikels ‚nicht ganz wahr‘ sein lassen? Vielleicht gibt es ja auch eine Begründung für diese Erklärung (die mir gerade nicht den Sinn kommen); weshalb ich den Artikel nicht einfach abänder. Hat den einer ‚Ahnung‘? --Revolus^(☎)·(♥) 21:54, 12. Mai 2006 (CEST)

Man will reelle Zahlen durch eine endliche Auswahl von (zufälligerweise rationalen) Zahlen approximieren. Irgendwie sehe ich Dein Problem nicht.--Gunther 22:01, 12. Mai 2006 (CEST)

Mir geht es um die Verallgemeinerung, dass mit Gleitkommazahlen reelen Zahlen darstellbar seien, wobei nur die Untermenge der rationalen Zahlen mit den Gleitkommazahlen darstellbar sind. --Revolus^(☎)·(♥) 23:02, 12. Mai 2006 (CEST)

Sinn und Zweck ist die Approximation reeller Zahlen. Durch was, ist erst einmal nebensächlich.--Gunther 23:05, 12. Mai 2006 (CEST)

Komisch; wieder mal eine Diskussion, in der alle Seiten recht haben (ganz ernst gemeint!). Gleitkommazahlen sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen und die eine Teilmenge der reellen Zahlen. Also hat Revolus natürlich recht. Aber Gleitkommazahlen werden zum approximativen Berechnen reeller Zahlen verwendet. (Oder ist pi, die mit Gleitkommazahlen auf 16 Stellen bestimmt wird etwa rational???). Von der Anwendung her gesehen ist der im Artikel stehende Satz natürlich auch richtig. Und wenn man rationale Rechenergebnisse braucht, verwendet man Brucharithmetik, Kettenbrüche, ... aber meist keine Gleitkommazahlen.--Brf 09:41, 15. Mai 2006 (CEST)

Man könnte Gleitkommazahlen mit Basis ${\sqrt {2}}$ verwenden, dann wären sie nicht mehr rational, aber ansonsten würde sich nichts Wesentliches ändern. (Dass das vielleicht nicht so angenehm zu implementieren wäre, ist eine andere Frage.)--Gunther 09:47, 15. Mai 2006 (CEST)

Na ja, ich habe noch mal über das Thema nachgedacht. Es ist vielleicht besser den Artikelanfang so zu belassen, wie er ist. Wahrscheinlich würde eine Abänderung ‚weniger Mathematikinteressierte‘ irritieren, etc. Jemand, bei dem es wirklich auf solche ‚Kleinigkeiten ankommt‘, wird schon von selbst den Unterschied verstehen, ohne dass darauf im Speziellen eingegangen wird. Eine wirklich gute Lösung wird es dafür nicht geben, wenn man nicht noch einen zweiten Satz hinzuschreiben will.
An Gunther: würde man bei dieser Basis denn überhaupt rationale (nichttriviale) Ergebnisse zukommen können und nicht nur irrationale? Ich bin gerade zu faul tiefer darüber nachzudenken. :) --Revolus^(☎)·(♥) 19:23, 15. Mai 2006 (CEST)

Das wäre in etwa dasselbe wie Basis 2 (man könnte jede Basis-2-Zahl darstellen, einfach mit dem doppelten Exponenten), aber man kann zusätzlich die Mantisse auf den Bereich $[1,{\sqrt {2}})$ einschränken (wozu auch immer das gut sein mag).--Gunther 21:51, 16. Mai 2006 (CEST)

Viele mathematische Bibliotheken sind voll von Funktionen, die – mathematisch gesehen – auf reellen Zahlen definiert sind. (Sinus, Wurzeln, Logarithmen, Gammafunktion, u.v.a.m.) Zum praktischen Rechnen im Computer werden diese mit Gleitkommazahlen angenähert. Es ist klar, dass man auch beliebige rationale Zahlen durch Gleitkommazahlen annähern kann. Dies gilt auch für jede andere Teilmenge der reellen Zahlen. Somit bin ich dafür, dass die "allgemeinste Definition" stehen bleiben sollte. (Denn etwa die komplexen Zahlen kann man nicht sinnvoll durch Gleitkommazahlen annähern, da braucht man jeweils Paare aus Gleitkommazahlen. Und mathematische Bibliotheken, die mit komplexen Zahlen arbeiten, machen dies auch so.) --RokerHRO 08:00, 16. Mai 2006 (CEST)

Ich bin gerade zu faul tiefer darüber nachzudenken. :) Das ist keine Frage der Faulheit oder des Nachdenkens. Es sei denn, Du willst auf eigene Faust längst erledigte Forschungen über Zahlensysteme durchführen. Man muss es Nachlesen. Z.B. bei Knuth, The Art of Computer Programming, Vol 2, Chapter 4, 4.1 Positional Number Systems. Da gibt es noch mehr exotische Systeme, wie Negadezimalzahlen (B=-10), Quater-imaginary Systeme (B=2i), Balanced Ternary (B=3, Ziffern -1, 0, 1) oder sogar B=sqrt(2)*i=1.4142...i mit zwei Ziffern 0 und 1, ein System, in dem 1 und i unendlich lange Darstellungen haben.--Brf 09:59, 16. Mai 2006 (CEST)

Danke für den Tipp. Bei Gelegenheit werde ich mal schauen, ob ich das Buch in der Bibliothek finde oder ansonsten es kaufen. --Revolus^(☎)·(♥) 17:57, 17. Mai 2006 (CEST)

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Nachhilfe

Sorry, aber ich verstehe nicht, wie es im Abschnitt "Exponent" zu den aufgeführten Ergebnissen kommt. Kann das jemand vielleicht nachvollziehbar erklären. Bis dahin habe ich es auch nur mit viel Mühe geschafft, die angedeuteten Rechenwege zu rekonstruieren. 217.6.218.178 09:34, 25. Jul 2006 (CEST)

Welchen Abschnitt meinst du genau? Es gibt zwei mit Exponent im Titel und beide enthalten keine Rechnungen sondern Informationen.

1. 2.4 Anzahl der Exponentenstellen r
2. 2.7 Darstellung des Exponenten

Ich fühle mich angesprochen, weil der Text weitgehend von mir ist. --Brf 09:18, 26. Jul 2006 (CEST)

Ja also ich meine folgenden Abschnitt:

Beispiel: Bei IEEE 754 Zahlen vom Typ Single mit der Basis b = 2 ist der Exponent r = 8 Stellen lang. Sein Wert liegt zwischen −128 und 127. Damit ist max = 3.40282366921e+0038 und minpos = 1.17549435082e−0038. Beide Größen beschreiben den zulässigen Wertebereich.

Ich kann leider die Werte max und minpos nicht nachvollziehen bzw. berechnen. Woher kommen sie? Wie ist da der Rechenweg?

217.6.218.178 09:48, 8. Aug 2006 (CEST)

Ich sehe jetzt was Dir unklar ist. Es ist für mich einfach zu selbstverständlich. Ich versuche es im Artikel zu klären.--Brf 09:54, 8. Aug 2006 (CEST)

Ich habe die Zwischenergebnisse eingearbeitet und hoffe, dass die Rechnung verständlicher wird. Natürlich ist der Absatz jetzt unübersichtlicher. Und <peinlich> ich habe noch einen Rechenfehler gesehen und behoben </peinlich>, nämlich bei minpos. Vielleicht hat der Dich am Nachvollziehen gehindert.

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Zitat von Prof. W. Kahan

Sinnvoll wäre es doch die gennanten Eigenschaften in den Artikel zu integrieren. statt den ohnehin zu langen Artikel noch weiter aufzublähen --Mathemaduenn 10:08, 19. Sep 2006 (CEST)

Nun, ich fand es als Zitat eine gute Einleitung; Das meiste _ist_ eingearbeitet. Das Original dient zum Aufspüren von ev. Übersetzungsfehlern; es kann nach einiger Zeit entfernt werden.

Wenn würde ich die alten Teile ab Abschnitt 5 rausschmeissen; Sie sind eigentlich nach der Neufassung überflüssig geworden. Ich habe es einmal versucht, das wurde aber revertiert. --Brf 10:33, 19. Sep 2006 (CEST)

Meinst Du die Abschnitte 3.5-3.10? so gebe ich Dir eigentlich nur bei Abschnitt 3.10 Recht.

Nein, sondern 5 Gleitkommazahlen in der Digitaltechnik 6 Gleitkommazahlen in der Mathematik 7 Berechnung einer IEEE single Gleitkommazahl (32-Bit-Gleitkommazahl)--Brf 11:43, 19. Sep 2006 (CEST)

(7) Inwieweit ein Konvertierungsbsp. sinnvoll ist weiß ich nicht. Ich denke nach Korrekturen des Abschnitts Darstellung kann man gut auf (6) verzichten. (5) Der Abschnitt Darstellung ist für mich zu Computerlastig. Ich fände es schöner dort ggf. "Handrechenbeispiele" zu verwenden und dafür Abschnitt 5 zu lassen. --Mathemaduenn 12:25, 19. Sep 2006 (CEST)

Zu ein paar Punkten des Zitats möchte ich noch was sagen:

• "Fortschritt ist unvermeidlich; wenn bessere Formeln gefunden werden, ersetzen sie die alten." Ich verstehe nicht ganz was solch allgemeine Aussagen in einem Artikel über Gleitkommazahlen sollen.
• Kondition und Stabilität(u. Rückwärtsanalyse) sehe ich nicht als Eigenschaften der Gleitpunktarithmetik

Einige Stichpunkte sind vllt. witzig aber wenig informativ :-( --Mathemaduenn 11:18, 19. Sep 2006 (CEST)

Bisher habe ich einfach vollständig zitiert und übersetzt. Teile kann man weglassen. Ich betrachte das Ganze durchaus als diskussionswürdig. --Brf 11:43, 19. Sep 2006 (CEST)

Um besser diskutieren zu können habe ich das ganze mal numeriert. Für wichtig(in diesem Artikel) erachte ich 5.(Auslöschung) und 1. Wobei 1. etwas ungenau ist (1+1 kann nicht ohne Fehler addiert werden ?) Das bei der Rechnung mit Gleitkommazahlen fast immer Fehler auftauchen ist aber sicher wichtig und gehört wohl auch ganz an den Anfang dieses Abschnitts. 2. gehört zum Abschnitt Darstellung. Finde ich aber irgendwie kompliziert/nicht unbedingt nötig. 3.,7.,8.,11.,12.,13. halte ich für zu allgemein für einen Artikel über Gleitkommazahlen. 6., 9.,10. gehört zu Numerische Mathematik --Mathemaduenn 11:36, 21. Sep 2006 (CEST)

Man hätte ja wenigstens die Darlegungen von Kahan verlinken können. Gerade bei Anfängerfragen in der Programmierung sagen sie mehr als hundert Formeln und dutzend Absätze Fachgesülze. Wenn ich im Proggerforum nach "komischen zusätzlich auftretenden Nachkommastellen" gefragt wurde, habe ich immer gerne seine Äußerungen zusätzlich zur Erklärung verlinkt. Tatsächlich liefert eine leicht humoristische Einlassung mehr Aufklärung, als einem Anfänger den jetzigen Artikel um die Ohren zu hauen. Ich bin wieder mal enttäuscht von eurer Aufräumwut. Irgendwann mal war WikiPedia ein Lexikon für alle. Es ist nicht dafür da, damit sich Fachleute gegenseitig Einen vormachen, wie schön sie die Absätze umformulieren können. So wie der Artikel jetzt ist, hilft er einem Anfänger präzise #NUL zum Verständnis. Grimmige Grüße --Kaeru Gaman 03:28, 2. Sep. 2007 (CEST)

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Darstellung - Anzahl der Exponentenstellen/hidden bit/Darstellung der 0

• Die Anzahl der Exponenten reicht für die Darstellung von Gleitkommazahlen i.A. nicht. Man braucht den kleinsten und größten Exponenten siehe auch Darstellung in der Mathematik oder die verlinkten Seiten David Goldberg oder Binärformate reeller Zahlen.
• Das hidden Bit ist ein interessanter Spezialfall der Binärdarstellung und hat im Artikel imho nichts verloren.
• IEEE unterscheidet zw. normalisierten und nicht normalisierten Zahlen so das die 0 kleinster Exponent und Mantisse gleich 0 ist oder etwa nicht? --Mathemaduenn 10:37, 19. Sep 2006 (CEST)

• zu 1: Anzahl Exponentenstellen, max Exp, min Exp und Bias stehen in ähnlichem Zusammmenhang wie eps, Mant, Basis. Sie sind nicht unabhängig. Aber welchen man im konkreten Fall angibt, hängt von eben diesem Fall ab. Im enzyklopädischen Artikel müssen jedoch alle Parameter beschrieben werden.

• zu 2: Im Artikel über Gleitkommazahlen sollten alle Eigenschaften und alle wichtigen Varianten von Gleitkommazahlen erwähnt werden. Das hidden bit ist eine wichtige Variante. Und so viel Platz kostet es nun wirklich nicht.

• zu 3. IEEE ist eine Norm für Gleitkommasysteme, die sehr weit verbreitet und allgemein akzeptiert ist. Aber sie enthält zusätzlich zum eigentlichen Gleitkommaformat (normalisiertes Zeugs) auch noch ein Festkommaformat (Subnormales Zeugs), das mit dem Gleitkommaformat harmoniert (größte Festkommazahl + 1 = kleinste Gleitkommazahl - die 1 ist dabei nicht wörtlich zu nehmen sondern entweder als int zu interpretieren, wenn die Gleitkommazahl als Bitmuster interpretiert wird oder als Differenz der beiden größten Festkommazahlen!) und Spezialwerte für Unendlich, NaN und 0. Das gehört zum arcane Zeugs, das von Kahan ironisch als unwichtig für Programmierer bezeichnet wurde. Es spricht Bände, dass es etwa 20 (!!!) Jahre (in der Informatik eine Ewigkeit) gedauert hat, bis Programmiersprachen wie C NaN überhaupt hinschreiben können.

--Brf 15:12, 19. Sep 2006 (CEST)

• zu1 O.K. man kann auch den Bias nehmen
• zu2 Platz ist sicher. Das der Abschnitt Darstellung imho zu Computerlastig ist(wozu dann auch das hidden bit gehört) hatte ich ja schon erwähnt
• zu3 Die Lösung zur Darstellung der 0 im IEE754(Zitat IEEE754 "Mit Null im Exponenten wird die Gleitkommazahl 0 und alle denormalisierten Werte kodiert.") ist ja :Man erlaubt für den kleinsten Exponenten auch nicht normalisierte Zahlen somit ist die Null: kleinster Exponent + Mantisse gleich Null das steht so nicht im Artikel.

--Mathemaduenn 15:58, 19. Sep 2006 (CEST)

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nochmal 0

Hallo Brf, Zitat:"!--Der alte Satz ist Sachlich falsch und nur bei IEEE richtig. Und es ist kein Behelf! Man behilft sich zumeist damit für den kleinsten Exponenten auch nicht normalisierte Gleitkommazahlen zuzulassen."

• Wenn das nur bei IEEE so gemacht wird ist es sicher möglich ein Bsp. zu nennen wo das nicht über die Verwendung denormalisierter Zahlen gelöst ist. Grüße --Mathemaduenn 10:40, 27. Okt. 2006 (CEST)

Unten auf der Seite ist ein Link, in dem die Vielfalt der verwendeten Gleitkommaformate drastisch illustriert wird. Hier ist zwar nicht explizit aufgeführt wie die Null jeweils dargestellt wird, aber vielleicht machst Du Dir auch mal die Mühe die Folgelinks zu durchstöbern. Da steht nämlich dann die von Dir gewünschte Info, statt einfach nur zu verlangen, dass andere die Arbeit machen und Dir dann hier auf Anforderung präsentieren.

Trotzdem zur Güte drei Beispiel, die mir sofort einfallen: Bei Cray ist die 0 immer s=e=m=0. Bei IMB (VM/CMS) war es genauso. Das war ein Format mit Basis 16. Der Pentium Gleikommaprozessor verwendet als internes Format m=0 für die 0.

Wenn Du alle Beispiele auszählst bin ich sicher, dass in 20-50% der Beispiele Dein Satz einfach falsch ist. Aber vielleicht reichen Dir die 3 prominenten beispiele.

Deswegen bin ich auch nicht einverstanden mit Deiner Entscheidung, die Darstellung der 0 nicht in einem eigenen Absatz, sonder versteckt woanders unterzubringen. Dieser Artikel soll eben kein spezielles Gleitkommasystem (außer in den Beispielen), sondern Gleitkommazahlen allgemein und in ihrer Vielfalt behandeln.

Die natürliche Darstellung der 0 ist eben mit m=0. Die maschinennahe darstellung ist mit s=e=m=0 (alle Bit sind 0). Nur das hidden bit im Zweiersystem erzwingt andere (minimaler e) varianten.

Die Rechenzeit bei Softwarearithmetik wird besser, wenn minimaler e für 0 verwendet wird. Da IEEE auch als software implementierbar sein sollte, wurde diese Entscheidung getroffen. In der Hardware ist die simultane Abfrage alle Bits sowieso nur ein Takt.

--brf 11:30, 30. Okt. 2006 (CET)

Hallo Brf, Ich glaube wir reden aneinander vorbei.

• a)Kennt Cray wirklich keine denormalisierten Zahlen?
  • b)Diese Aussage habe ich in den "Folgelinks" nirgends gefunden. (siehe auch WP:AGF)
• c)Es ist völlig Wurst für das Verständnis von Gleitkommazahlen wie das intern codiert wird man kann die Null aber wenn es denormalisierte Zahlen gibt einfach als solche auffassen. Und etwas anderes sollte der Satz auch nicht sagen. War aber vllt. schlecht formuliert.

Grüße --Mathemaduenn 22:12, 30. Okt. 2006 (CET)

zu a) Warum Du plötzlich denom. Zahlen reinbringst, wo es die ganze zeit um die darstellung der 0 ging, sehe ich nicht. Aber auch da ist die Antwort negativ. Cray kennt keine subnormals. Ich weiß nicht wer zuerst die subnormals eingeführt hat, aber der IEEE 754 Std war der erste, der sie einer breiten Allgemeinheit verfügbar gemacht hat. Und selbst das hat noch ewig gedauert und ist noch nicht einmal abgeschlossen. Aus numerischen Gründen (Verlust signifikanter Stellen) werden sie meist numerisch nicht einmal genutzt. Man liegt nicht zu weit daneben, wenn man sagt, dass subnormals ein Hobby des IEEE 754 sind.

Vorher hatte ich subnormals noch nie gesehen (PDP, Vax, Cray, IBM, TR, Burroughs...)

Laut englischer Wikipedia war Intel (8076) und IEEE die ersten, die subnormals einführten.

zu b) Nun du must in den Folgelinks zu allen Formaten die Darstellung der 0 rausklauben. Und dass man es mit überfliegen nicht findest weiß ich. Diese Sachen zusammenzutragen ist sehr mühselig.

zu c) Gleitkommazahlen gab es schon lang (2700 vChr) aber sie wurden nie so bezeichnet. In dier heutigen Form und Bezeichnung spielen sie nur in Rechnern eine Rolle und da gehört die interne darstellung (genauer, die Möglichkeiten und die Vielfalt ihrer internen Darstellung, denn das ist mein Anliegen in diesem Artikel) sehr wohl eine Rolle.

--Brf 13:34, 31. Okt. 2006 (CET)

• Zu.a) Numerisch nicht genutzt? Wie macht man das nach jeder Rechnung eine Abfrage?
• zu b) Nichts für ungut
• zu c) eben für diese Vielfalt wäre doch der Abschnit Gleitkommazahlen in der Digitaltechnik ideal geeignet. Um mit Gleitkommazahlen zu Rechnen und Sachen wie Auslöschung/Unterlauf etc. zu verstehen braucht man die interne Speicherung nicht zu kennen. Ich verstehe außerdem nicht warum die 0 auf solch einen Sockel gehoben werden soll Sonderfall

Grüße --Mathemaduenn 21:52, 31. Okt. 2006 (CET)

a) Jawohl. Numeriker tun das sehr wohl. Entweder wird der Algorithmus so formuliert, dass das Betreten des subnormal-Breichs ausgeschlossen wird, oder es werden Abfragen an kritischen Stellen des Algorithmus eingebaut. --Brf 10:30, 2. Nov. 2006 (CET)

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neueste Änderungen

Die Umarbeitungen machen vielleicht Spass. Aber ich finde die Änderungen nicht immer geglückt und manchmal sogar sachlich falsch. So ist die Darstellung einer normalisierten Gleitkommazahl eindeutig. Anders als in der letzten Version behauptet. Das ist ja gerade der Sinn der Normalisierung.--Brf 09:52, 25. Sep 2006 (CEST)

Fehler passieren. Gut das Du den entfernt hast. Ansonsten interessiert mich natürlich welche weiteren Änderungen Du für sachlich falsch/unglücklich hälst. --Mathemaduenn 11:33, 25. Sep 2006 (CEST)

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IEEE Norm als Beispiel

Die IEEE Norm als Bsp. (bzw. eher Zusätzliche Infos zur IEEE Norm) überladen den Artikel imho unnötig. Das gehört in den Artikel IEEE754 Man braucht nicht zu wissen was die IEEE Norm ist um zu verstehen was Gleitkommazahlen sind. --Mathemaduenn 11:33, 25. Sep 2006 (CEST)

Ich bin da anderer Meinung. Dieser und der Artikel über IEEE 754 waren im Frühsommer in einem Mischmaschzustand. Ich habe beide überarbeitet und allgemeine Aussagen über Gleitpunkt hier und alles wesentliche über IEEE dort untergebracht. Gleichzeitig habe ich in beiden Artikeln eine einheitliche Nomenklatur verwendet. (r immer für die Exponentenstellen, p immer für die Mantissenstellen). Aber ich fand es passend, im allgemeinen Artikel die IEEE-Entscheidungen als Beispiele unterzubringen. Es ist überall nur eine Zeile mehr, die das ganze aber anschaulich macht. Ausführliche andere Beispiele würden viel Platz in Anspruch nehmen und sind heute wegen der Verbreitung von IEEE nicht mehr gerechtfertigt. Und IEEE kann man ausführliche (mehr als eine Zeile) im anderen Artikel nachlesen. Soweit das Konzept. Und Beispiele machen nun wirklich das Salz in der Suppe.

Und zu weiter oben: Wo finde ich die vielen Änderungen nicht unbedingt eine Verbesserung: Seit einiger Zeit lese ich deine Eintragungen; manche lasse ich, auch wenn ich sie nicht besser finde, manche korrigiere ich erneut und manche die ich einfach nur falsch finde revertiere ich. Aber ich fände es besser, du diskutierst erst, was du vor hast, statt einfach nur zu ändern. Ich habe mir bei dem ganzen was gedacht.

Konkrete Beispiele: Die Erwähnung der Festpunktarithmetik und wie man gedanklich zur Gleitpunktarithmetik kommt ist weg; ich finde sie nach wie vor für einen Laien besser.

In der "Darstellung" wurden alle Parameter komplett aufgeführt; für Schnellleser habe ich in der Einleitung die drei wichtigsten Basis, r und p kurz erläutert. Also wurde der Bias dort noch nicht erwähnt; ich hielt ihn in der Einleitung für zu speziell.

Ich habe schon weiter oben erwähnt, dass ich die basisabhängige und basisunabhängige Beschwreibung für wesentlich halte. So wirds auch im LIA (Language independent arithmetic) Standard gemacht.

Normalisierung: Sie ist eben gerade eindeutig Aber das ist ja schon geklärt

Wenn ich jetzt nicht falsch verglichen habe, ist der Absatz zur Darstellung der Null offensichtlich ganz rausgeflogen?

Natürlich gehen alle Eigenheiten der Gleitpunktzahlen, die sie von den reellen Zahlen unterscheiden auf die nicht unendlich lange Darstellung zurück. Warum das rausmusste ist mir immer noch nicht klar. Für Nichtmathematiker/Schüler ist das nicht selbstverständlich

Unterlauf ist wohl auch rausgeflogen?

Alle Beispiele für Auslöschung sind weg; Das ist ein Thema bei dem der Nichtnumeriker wirklich große Verständnisschwierigkeiten hat. Und ich habe Beispiele aus dem täglichen Leben gesucht.

ditto absorption

Siehst du was ich meine?

--Brf 09:49, 26. Sep 2006 (CEST)

Hallo Brf, über die Wahl eines Bsp. lässt sich sicher trefflich streiten. Ich bin nur der Meinung das Informationen über IEEE, die nicht zum besseren Verständnis beitragen eher in den Artikel IEEE gehören. Ein Bsp. wäre wie die Normalisierung in IEEE gewählt ist.

• Festkommazahlen - Hier habe ich die "Eigenschaften einer Festkommaarithmetik" entfernt da sie imho nicht erhellend zur Untermalung der "Idee" bei den Gleitpunktzahlen beitragen. Das Problem bei Festkommazahlen sollte vllt. noch besser erläutert werden.
• 0 - Der Absatz lässt sich als Teilsatz in Normalisierung unterbringen. Und auf die Ungenauigkeit im Bsp. hast Du ja nicht weiter reagiert..
• Länge der MAntisse/Unterlauf - Unterlauf geht eben nicht darauf zurück das die Mantisse beschränkt ist sondern darauf das der Exponent beschränkt ist. Der Absatz zum Unterlauf ist auch nicht rausgeflogen sondern wurde neu einsortiert. (Nach Wichtigkeit siehe auch Zitat von Kahan)
• Auslöschung - Die Beispiele gehören zu Auslöschung, wozu bräuchte man sonst einen extra Artikel wenn das hier ausführlich behandelt wird. Das Bsp. aus dem täglichen Leben war imho nicht erhellend da es nicht nachvollziehbar(Wie kommt man auf 1,5 Stellen) war.
• bias - Den bias zu Beginn anzugeben ist imho sinvoll da dann diese 4 Parameter ausreichen um das Gleitkommasystem zu beschreiben.

--Mathemaduenn 11:01, 26. Sep 2006 (CEST)

Touché

Natürlich hätte es heißen müssen: Alle Eigenschaften... sind auf die beschränkte Länge der Mantisse oder des Exponenten zurückzuführen.

Auslöschung kann durchaus noch ausführlicher behandelt werden.

bias ist nicht so hervortretend; es gibt (besser gab) jedem Menge Gleitk.systeme ohne bias. Nur IEEE 754 hat ihn eingeführt und deshalb ist er kaum noch wegzudenken. Aber zu der Hauptparametern gehört es ebensowenig wie die 0.

bias und 0: beide sollten aber gleichrangig unter den Nebenparametern behandelt werden. Aber woanders gehts natürlich auch.

Bei der Festpunktherleitung hätte ich aber immer noch lieber meine Originalfassung.

In jedem Fall fände ich aber Diskussionen vor Änderungen besser!

--Brf 08:52, 27. Sep 2006 (CEST)

Hallo Brf,

• Wie man nun genau addiert oder multipliziert bei den Festkommazahlen macht imho das Problem nicht klar denn dieses ist ja das Unterlauf/Überlauf bei Festkommazahlen ein viel größeres Problem darstellt als bei Gleitkommazahlen. Dies sollte dargestellt werde(am besten an einem Bsp.) wie man nun genau das Komma verschieben muß halte ich für nicht relevant bzw. trägt das nicht zur "Hinführung" auf diese Problem bei.
• Ein Gleitkommasystem ohne Beschränkung der Exponenten im Sinne kleinster/größter Exponent alternativ Exponentenlänge/bias kenne ich nicht man könnte natürlich sagen bias=0 braucht nicht angegeben zu werden - das ist mir dann neu und implizit wäre der bias dann auch bei der Beschreibung dabei.

viele Grüße --Mathemaduenn 10:00, 27. Sep 2006 (CEST)

Bist Du sicher, dass du nicht Exponentenlänge (im Artikel r genannt) und Bias (B) verwechselst? Exponentelänge r ist die Anzahl der speicherbaren Ziffern (bei Basis b = 2 Anzahl der Bit) und Bias B ist eine fester Konstante (auch negativ), die zu jedem gespeicherten Exponenten addiert wird, um den Exponentenwert zu erhalten. --Brf 14:16, 27. Sep 2006 (CEST)

Im Gleitkommasystem geht man davon aus das man nur eine bestimmt Anzahl Exponenten darstellen kann um zu wissen welche das sind gibt man entweder den größten und kleinsten an oder Anzahl(Exponentenlänge) und Verschiebung zur 0(Bias) Man braucht insgesamt eben 4 Parameter siehe auch Kurzdarstellung der Parameter --Mathemaduenn 14:49, 27. Sep 2006 (CEST)

Nö, das ist korrekt; Du hast die Mantisse vergessen. 1.111 * 2^127 ist etwas kleiner aber fast 2 * 2^127 = 2^128 = 3.4*10^38 --Brf 08:54, 4. Okt 2006 (CEST)

Wieso soll 1.111 * 2^127 ~ 2^128 sein? Binär oder Dezimaldarstellung? 83.171.166.131 10:06, 9. Feb. 2008 (CET)

1,1111_binär * 2^127 $\approx$ 2^128. --RokerHRO 14:26, 9. Feb. 2008 (CET)

Da alle anderen Zahlen in diesem Kontext Dezimalzahlen sind, sollte hier auch eine Dezimalzahl stehen, also z.B. (2-2^(-23)) (nicht signierter Beitrag von 88.67.135.50 (Diskussion | Beiträge) 23:04, 19. Okt. 2009 (CEST))

--Jakson 16:12, 8. Apr. 2009 (CEST)

Ich hab das gezeigte Beispiel etwas besser formatiert (Zumindest meiner Meinung nach)

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Kahan

Wie geplant habe ich das englische Original herausgenommen. Die Übersetzung erscheint mir gut genug. Das Original kann im WWW nachgelesen werden --Brf 16:49, 26. Okt. 2006 (CEST)

Ohne die Zwischenüberschrift "13 misconceptions" ist der Text mißverständlich. --Glasreiniger 11:02, 17. Apr. 2007 (CEST)

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Eigenschaften einer Gleitkommaarithmetik

Das Kommutativgesetz gilt meines Wissens auch nicht, da der Exponent der zweiten Zahl größer sein muß als die der ersten. Das hat was mit der Genauigkeit zu tun, da so nur Stellen der Mantisse der kleineren Zahl abgeschnitten werden. Es gilt:

$x=M_{x}^{Exponent_{x}};y=M_{y}^{Exponent_{y}}$
$x+y=\left(M_{x}\cdot 2^{Exponent_{x}-Exponent_{y}}+M_{x}\right)\cdot 2^{Exponent_{y}};$ falls $Exponent_{x}\leq Exponent_{y}$

--Trac3R 18:29, 22. Okt. 2008 (CEST)

Das Kommutativgesetz gilt bzw. ergibt sich nicht direkt daraus, dass man Gleitkommazahlen verwendet, das es nicht gilt. Nach IEEE754 sollte es imho nicht vorkommen, aber es kann sein das Du einen Rechner findest der das nicht kann. --Mathemaduenn 20:55, 22. Okt. 2008 (CEST)

Sorry, kannst du das nochmal in kurzen Hauptsätzen wiederholen, damit ich das auch verstehe? --Trac3R 23:20, 22. Okt. 2008 (CEST)

Rechne nach dieser Vorschrift. Dann gilt das Kommutativgesetz.

Grüße Mathemaduenn 00:48, 25. Okt. 2008 (CEST)

Es geht mir hier aber um die interne Verarbeitung, das die Software den Vergleich vorher ausführt ist mir schon klar. Die verlinkte Vorschrift geht bereits von einer Sicherstellung der Reihenfolge aus. --Trac3R 13:17, 25. Okt. 2008 (CEST)

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Abnehmendes Wissen?

Computernutzer sind heute bei abnehmendem Wissen über Numerik deshalb oft überrascht, wenn sich leichte oder gravierendere Diskrepanzen ergeben. heißt es unter Finanzmathematik. Sofern es für dieses abnehmende Wissen keinen Beleg gibt, schlage ich vor, diesen Satz zu entfernen. --ulm 16:54, 9. Mai 2009 (CEST)

ich denke, da kannst du einfach mutig sein. wenn jemand quellen dafuer hat, kann er es ja einfach wieder samt denen einfuegen. -- seth 19:02, 9. Mai 2009 (CEST)

Erledigt. Ich habe den Absatz "Finanzmathematik" noch mit dem vorhergehenden über "Dezimalzahlen" zusammengelegt, da es um fast das gleiche geht und die verbleibenden zwei Sätze m. E. keinen eigenen Abschnitt rechtfertigen. --ulm 12:15, 10. Mai 2009 (CEST)

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Mathematische Grundlagen: BCD-Code

Hallo lieber Reviewer, Ich habe bei meiner Korrektur den Hinweis auf BCD-Code mit Absicht entfernt, da BCD-Code mit dem Problem und seiner Lösung nichts zu tun hat. BCD-Code ist eine Möglichkeit, um eine Ganzzahl darzustellen. Das Problem mit den Dezimalbrüchen beruht aber nicht auf der Darstellung von Ganzzahlen (das wären hier die Mantisse und der Exponent), sondern auf der Wahl der Basis. Diese wird in der Fließkommazahl überhaupt nicht gespeichert. Beipiel: Die Zahl 1/5 = 0,2 ist im Dezimalbruchsystem glatt und im Dualbruchsystem periodisch. Dennoch kann man ein Gleitkommaformat $M*10^{E}$ definieren, bei dem M und E im Dualsystem dargestellt werden. Hier wäre $M=2(10)=10(2)$ und $E=-1$.

Ich möchte daher darum bitten, den Halbsatz ", siehe auch BCD-Code." zu entfernen. 195.14.232.227 11:39, 15. Mai 2009 (CEST)

Wenn ich eine andere Basis als die binäre (oder allgemein eine nicht mit 2ⁿ als Basis) verwende, muss ich auch eine andere Zifferndarstellung programmieren, denke ich. Und dann komme ich bei Dezimalarithmetik nicht an der BCD-Codierung vorbei. Warum sonst hätten bis heute alle mir von ihrer Assemblersprache her bekannten Prozessoren einen optionalen BCD-Arithmetikmodus? --PeterFrankfurt 00:59, 16. Mai 2009 (CEST)

Man muss unterscheiden zwischen der Basis des Exponenten und den Basen der Zahlenddarstellungen von Exponent und Mantisse. Für das Problem ist ausschließlich die erstgenannte verantwortlich. Die Basis der Mantissendarstellung kann man gleich der Exponenten-Basis wählen. Das erleichtert die Normalisierung und Denormalisierung, die dann über Shift-Operationen bewirkt werden kann. Man muss das aber nicht, wenn man in Kauf nimmt, bei der Denormaisierung echt zu multiplizieren.

Die in Fußnote 3 angeführte Quelle ist übrigens ein Beispiel, bei dem der Exponent im Dualsystem geführt wird. Die Mantisse wird dort im Dezimalsystem geführt, aber nicht in der BCD-Codierung.

Mir ist eine nicht öffentliche Implementierung bekannt, die auch für die Mantisse das Dualsystem benutzt.

Zum Thema CPU: Mir ist ein BCD-Mode von Motorola-68k-Architekturen bekannt. Ihr Sinn hat sich mir nie recht erschlossen, denn in diesem Modus werden alle Register in BCD interpretiert. Also nicht nur das, in dem man seinen Kontostand aufsummiert, sondern auch der Schleifenzähler usw. Vermutlich braucht man sowas in irgendwelchen Controller-Anwendungen. Immerhin kann man dann gut 7-Segment-Anzeigen ansteuern :-) Außerdem kommt man von Hochsprachen aus sowieso nicht dran und müsste unportablen Code schreiben.

Mein eigentlicher Einwand ist: Ein unbedarfter Leser des Artikels stößt hier auf einen Querverweis, der sich ihm nicht erschließt. Weder kann dieser Artikel auf Implementierungsdetails von Dezimalzahlen eingehen (dort hätte eine BCD-Erwähnung ihren Platz) noch findet sich im BCD-Artikel irgendein Bezug zu Gleitkommazahlen. Dort werden ausschließlich Ganzzahlen behandelt. --195.14.232.227 12:55, 24. Jun. 2009 (CEST)

Der Verweis ist ja (wahrscheinlich absichtlich) sehr allgemein gehalten, er meint also nicht unbedingt Gleitkommazahlen in BCD. Dort werden ja nur die Rundungsprobleme bei Dezimalarithmetik erwähnt, und die kann man beispielsweise dadurch mindern, dass man auf BCD in Festkomma umsteigt (mit genügend vielen Stellen). Das bringt dann aber diverse andere Probleme mit sich, weswegen das ja wohl auch nicht weiter ausgeführt ist. Mir ist aber aus alten Zeiten (1980er) noch so im Hinterkopf, dass damals manche Finanzanwendungen durchaus noch in solchem Festkomma-BCD gehalten waren. --PeterFrankfurt 01:48, 25. Jun. 2009 (CEST)

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-126 oder -128

FEHLER AFAIK : Exponent minpos: steht ^-126 müsste afaik -128 sein. Bitte verifizieren. (nicht signierter Beitrag von 134.155.36.20 (Diskussion | Beiträge) 16:46, 30. Mai 2009 (CEST))

Nein, das passt schon so. Siehe IEEE 754#Zahlenformate. --RokerHRO 19:58, 1. Jun. 2009 (CEST)

zur aktuellen aenderung [1]: bitte [2] beachten. -- seth 17:41, 20. Mär. 2010 (CET)

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Punkte

Wer bitteschön benutzt Punkte in den Nachkommastellen. Ich finde das verwirrend. (nicht signierter Beitrag von 130.60.165.217 (Diskussion | Beiträge) 16:39, 17. Sep. 2009 (CEST))

(Neue Beiträge bitte unten anfügen, nicht oben.) Das ist nach deutscher Rechtschreibung korrekt und wird dann verwendet, wenn die Zahlen lang und unübersichtlich werden und wenn es praktisch angeraten ist. In diesem Fall letzteres, da direkt daneben genau diese Tausendstel-, Millionstel- usw. -gruppen angesprochen werden. --PeterFrankfurt 02:06, 18. Sep. 2009 (CEST)

Punkte als Tausendertrennzeichen sind eher Wikipedia-Hausorthographie. Die einschlägigen Normen sagen nämlich etwas anderes, siehe Schreibweise von Zahlen#Dezimal- und Tausendertrennzeichen. --ulm 08:12, 18. Sep. 2009 (CEST)

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Beispiel oder Gegenbeispiel

"Allerdings werden nicht in allen Fällen die Spezifikationen der Norm IEEE 754 erfüllt; Beispiele dafür sind einige IBM-Großrechnersysteme, die VAX-Architektur und einige Supercomputer wie die von Cray, aber auch die Sprache Java." Sind das jetzt Beispiele für die Erfüllung der Spezifikation, oder gerade nicht? --88.64.191.73 00:26, 8. Aug. 2010 (CEST)

Das sind Gegenbeispiele. Ich habe den Satz umformuliert. --ulm 11:04, 8. Aug. 2010 (CEST)

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Doppelspurigkeit zu IEEE 754

Dieser Artikel überlappt inhaltlich mit IEEE 754 (z.B. Normalisierung, Hidden Bit, &c.)

Vorschlag: Die beiden Artikel aufeinander abstimmen in folgendem Sinn: IEEE 754 ist ein Standard für binäre Gleitkommazahlen; dort alles beschreiben, was zu diesem Standard gehört, also Binäre Darstellung, Hidden Bit, &c. — Hier unter Gleitkommazahl nur den allgemeinen Fall abhandeln mit beliebiger Basis b, &c., aber alles über den Spezialfall b=2 und den Standard IEEE 754 rausnehmen. -- Nol Aders 23:29, 5. Jun 2005 (CEST)

Gute Idee, dann leg mal los :-) JensKohl 6. Jul 2005 11:38 (CEST)

Ich bin zur Zeit noch von zu viel anderem absorbiert, nachher mache ich noch Ferien, lasst's erst mal Herbst werden — gut Ding will Weile haben. Ich hoffe, dass es besser heraus kommt, wenn ich einen Moment abwarte, wo ich mir die nötige Zeit nehmen kann. — Nol Aders 00:24, 13. Jul 2005 (CEST)

Das ist für mich immer noch eine Pendenz. — Nol Aders 19:12, 1. Nov 2005 (CET)

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basisunabhängig

Ich sehe es schon als wichtig an, wenn basisabhängig die Genauigkeit einer Gleitkommazahl mit 52 Dualstellen oder etwa unabhängig von der Rechnerbasis als 2.22e-16 angegeben wird. Warum entfernst du überall das Wort basisunabhängig? --Brf 11:48, 19. Sep 2006 (CEST)

Deinen Gedankengang kann ich nach vollziehen. Ich sah hier eine mögliche mißverständliche Interpretation. Unabhängig impliziert das das eps nicht von der Basis abhängt was nicht richtig ist die 3 Größen eps, Mantisse,Basis stehen in einem Zusammenhang siehe Maschinengenauigkeit anders gesagt man kann die Anzahl der Mantissenstellen nicht nur mit dem eps (ohne die Basis) ausrechnen. --Mathemaduenn 12:02, 19. Sep 2006 (CEST)

Auch hier: Im enzyklopädischen Artikel sollten alle Parameter erwähnt werden, auch wenn sie abhängig sind. Im Einzelfall kann man je nach Bedarf Anzahl der Bits (im Dualsystem), Anzahl der Stellen (bei anderer Basis, wenn sie bekannt ist oder angegeben wird) oder eps angeben.

--Brf 15:18, 19. Sep 2006 (CEST)

Man kann zu einem Gleitkommasystem grundsätzlich die Parameter angeben die einem wichtig erscheinen."eps beschreibt basisunabhängig die Anzahl der Mantissenstellen eines Gleitkommasystems." stimmt aber eben nicht, weil ich nur unter Kenntnis von eps die Mantissenstellen nicht berechnen kann. Es beschreibt eben die Genauigkeit und nicht die Mantissenstellen. Die Anzahl der Mantissenstellen ist zwar auch "in gewissem Sinn" ein Maß für die Genauigkeit aber eben nur bei gleicher Basis. --Mathemaduenn 16:13, 19. Sep 2006 (CEST)

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minpos, max, Runden und Umwandlung

Einmal abgesehen von den unterschiedlichen Bezeichnungen, warum nicht auch maxpos? sollte im Artikel deutlicher werden, dass die kleinste darstellbare Zahl durch Hinzunahme der nicht normalisierten Zahlen bis 1.4E-45 reicht und nicht schon bei 3.4E-38 endet. Weiterhin halte ich es für verwegen, die Umwandlungen mit Logarithmus dualis und heftigen Divisionen/Multiplikationen zu erklären. Sind der Ganzzahlanteil bzw. die Fraktion der Dezimalzahl ins Duale umgewandelt, so kann sehr einfach der Exponent berechnet werden: Im Beispiel gilt 11=1011 und 0,25=0,01. Aufgrund der vier Stellen der Ganzzahl ergibt sich der Exponent zu 3. Abzuspeichern ist somit 1,01101 ohne die führende 1. Auch sollte auf das (Gaußsche bzw. von Neumann) Runden hingewiesen werden. In aller Bescheidenheit empfehle ich den Besuch der Seite: http://home1.f1.fhtw-berlin.de/scheibl/gdi/index.htm Die wirklich überraschenden Rundungseffekte sind auf der Seite: http://home1.f1.fhtw-berlin.de/scheibl/c/index.htm für die Sprache C zu finden.

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Deppenhilfe

Hallo,

wäre es eventuell eine Idee, das Thema mal so darzustellen, dass auch ein Laie wie ich es versteht. Was sind das für Zahlen (ohne mathematische Fachausdrücke oder zumindest Mathe light beschrieben)? Warum brauche ich solche Zahlen?

Ich frage, weil ich als Nicht-Mathematiker versuche dieses Thema meinen Lesern zu beschreiben. Und mit dieser Beschreibung scheitere ich schon an den ersten zehn Wörtern.

Danke und es grüsst der Mathe-Depp

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War da nicht mal was?

Ich kann mich noch an den Krieg Intel vs. AMD errinern, als es hies die K-5 und K-6 würden jeden Intel schlagen, ausser in Grafik-Anwendungen wo es um Gleitkomma berechnungen gehen würde. und nicht um Int. Berechnungen.

Kann jemand vielleicht mal darstellen wozu man diese Gleitkommazahlen in einem PC braucht? --92.227.117.35 15:32, 30. Aug. 2008 (CEST)

Ich hab's im Artikel erwähnt: für naturwissenschaftliche Berechnungen mit Zahlen aus mehreren Größenordnungen. --RolandIllig (Diskussion) 00:53, 26. Jan. 2023 (CET)

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Dezimalzahlen, Mathematische Grundlagen

Dass viele "glatte" Dezimalbrüche im Dualsystem periodische Darstellung haben, wird sowohl im Absatz "Dezimalzahlen" also auch im Absatz zur Mathematik besprochen. Ich bin mir nicht sicher, welches von beiden rausfliegen sollte. 195.14.232.227 18:42, 14. Mai 2009 (CEST)

Kommt nur noch einmal vor. --RolandIllig (Diskussion) 00:54, 26. Jan. 2023 (CET)

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Fehler in Rundungsfehlerberechnung?

Im Abschnitt "Einschränkungen und deren mathematische Grundlagen" wird eps bei double precision mit ca. 1,1e-16 angegeben. Mit der darüber stehenden Tabelle (m=52) komme ich aber auf: $\varepsilon ={\frac {2^{1-52}}{2^{1}}}=2^{-51-1}\approx 2,2\cdot 10^{-16}$

Mach ich einen denkfehler? Hatte einfach versucht das nachzuvollziehen..! (nicht signierter Beitrag von 78.52.101.105 (Diskussion | Beiträge) 12:01, 14. Mär. 2010 (CET))

Du hast anscheinend recht, werde das mal korrigieren. --PeterFrankfurt 15:59, 14. Mär. 2010 (CET)

Die letzte Binärstelle der Mantisse hat die Wertigkeit 2^(-52), wenn man das "hidden Bit" berücksichtigt. Da der maximale Rundungsfehler die Hälfte des kleinsten darstellbaren Schrittes beträgt, ist der Rundungsfehler durch 2^(-53) ≈ 1,11e-16 beschränkt. Bitte korrigieren. --TeesJ 16:59, 14. Mär. 2010 (CET)

Hmm, die Argumentation kann ich nachvollziehen.. habe mir sowas in der Richtung auch schon gedacht (nachdem ich gepostet hatte..!). Bin mir aber trotzdem nicht sicher, ob die Argumentation richtig ist ;-) Ich bin kein Mathematiker, deswegen greife ich lieber mal auf eine Quelle zurück, die glaube ich sehr authentisch sein sollte: "Computer-Verfahren für lineare algebraische Systeme" von G.E. Forsythe und C.B. Moler, dt. Ausgabe 1971. Auf S.98f ist genau diese Berechnung hergeleitet und laut der wäre die 2,2e-16 richtig (Wenn mit l=52 laut Tablle im Artikel gerechnet wird). Dort steht nämlich "scheinbar" der Faktor 2 schon drin, genause wie hier im Artikel. Wie gesagt, bin kein Mathematiker, deswegen sind für mich nicht alle Überlegungen so einfach nachvollziehbar. Ich will mich mal an die Formel $\varepsilon ={\frac {d^{1-l}}{2}}$ klammern, die gegeben ist.. Muss ich an dieser Stelle also eigentlich l=53 für die Länge der Mantisse einsetzen, weil durch das hidden bit eine Stelle bei der Genauigkeit hinzukommt? Wenn ja, sollte dies im Artikel vllt. kenntlich gemacht werden. Matlab unterstützt übrigens diese These. Hier kann man sich den Unterschied zwischen 1 und der nächstgrößeren Zahl in der Variable 'eps' anzeigen lassen (Matlab benutzt voreingestellt double precision), hier kommt 2,2e-16 raus. Die Hälfte davon wäre folglich der maximale Rundungsfehler! -- ETek (nicht signierter Beitrag von 78.52.96.142 (Diskussion | Beiträge) 19:04, 14. Mär. 2010 (CET))

Nach der Definition von Mantisse arbeitet der double-precision-Standard mit l=53 Bits, gespeichert werden aber nur 52. Es ist etwas unglücklich und verwirrend, dass die Tabelle im Artikel nur die Anzahl der gespeicherten Bits mit "Mantisse" bezeichnet. So, jetzt dürfte alles zusammenpassen. Und bitte zukünftige Diskussionsbeiträge einfach mit -- und 4 Tilden abschließen/unterschreiben, s. ganz oben. Grüße --TeesJ 06:23, 15. Mär. 2010 (CET)

Ok, jetzt hab ichs verstanden. Dann sollte das jetzt nochmal auf 1,11e-16 geändert werden im Artikel. Ein Hinweis an dieser Stelle steigert meiner Meinung nach auch das Verständnis der Rechnung. Danke übrigens für den Hinweis auf die Signatur ;-)

Gruß -- 85.179.10.48 17:22, 15. Mär. 2010 (CET)

Ich habe den Artikel komplett umgeschrieben, insbesondere die Stellen, die den Unterschied zwischen dem Speicherformat und der abstrakten Wertemenge nicht klar herausgehoben haben. --RolandIllig (Diskussion) 17:59, 26. Jan. 2023 (CET)

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maechtigkeit der menge der floats

gudn tach!
ich bin bzgl. der begruendung die Menge der Gleitkommazahlen ist nicht endlich, nur die Menge der Mantissen ist bei festgelegter Anzahl der Stellen endlich im edit [3] skeptisch. es ist zwar klar, dass einer beliebigen (nach oben unbeschraenkten) mantissenlaenge (oder analog basislaenge) auch beliebig viele zahlen darstellbar waeren. aber wenn man von floats redet, redet man doch immer ueber die im computer dartstellbaren zahlen, oder nicht? und im computer hat die anzahl der darstellbaren zahlen immer nur endlich sein. da haben mantissen- und basislaenge immer obere schranken.
die frage lautet also: werden floating point numbers ausserhalb von computerkontext verwendet? -- seth 23:59, 22. Jul. 2012 (CEST)

Ich bin also nicht der einzige, der schon kurz davor war, auf den "Revert"-Knopf zu drücken. :-)

Denn ich kenne Gleitkommazahlen auch nur als (i.d.R. rechnergestützte) Approximation der reellen Zahlen. Und diese ist stets eine endliche Menge. Das erklärt auch all ihre in der Computeralgebra wichtigen Eigenschaften und z.T. besonderen Rechenregeln. Bei unendlicher Mantisse und unendlichem Exponenten wären die Gleitkommazahlen ja nur ... eine nromale Basisdarstellung der reellen Zahlen. Das wäre vollkommen witzlos.

Anders ist es z.B. mit der Polardarstellung der Komplexen Zahlen: Diese Darstellung stellt zwar die gleiche Menge dar wie die kartesische Form, aber man rechnet in Polardarstellung anders; manches geht einfacher, anderes umständlicher. Das reicht aber, um einen eigenen Artikel zu rechtfertigen. Bei "unendlichen Gleitkommazahlen" wäre das aber nicht der Fall. Oder was meint ihr?

--RokerHRO (Diskussion) 08:08, 23. Jul. 2012 (CEST)

Der Artikel sollte die Endlichkeit genauer diskutieren, aber einfach so "endliche Menge" in der Einleitung finde ich zu pauschal. Etwa bei Computeralgebrasystemen kommen "potentiell" unendliche Floats schon vor (die natürlich in Praxis doch wieder eingeschränkt sind). Zum Beispiel die Maple-Hilfe zu "Float": "An arbitrary-precision software floating-point number (an object of type sfloat) is represented internally in Maple by a pair of integers (the mantissa M and the exponent E)." -- HilberTraum (Diskussion) 11:12, 23. Jul. 2012 (CEST)

Ich hab's in den Artikel eingearbeitet. erledigtErledigt – --RolandIllig (Diskussion) 00:57, 26. Jan. 2023 (CET)

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Abbildung exakt darstellbarer Zahlen

Die Basis ist fälschlicherweise mit 4 anstatt zwei angegeben. Darüberhinaus fehlt die Angabe, wo bei der Mantisse, das Komma definiert ist bzw. die Wertigkeit des MSB. Offensichtlich variiert dies mit der Mantissenlänge sonst würden die Punkte immer näher an dieselbe Ganzzahlig annähern. Bei der gebräuchlichen Normierung müssten alle Werte betragsmäßig kleiner zwei sein. Meiner Ansicht nach sind die Punkte völlig falsch gesetzt. (nicht signierter Beitrag von 80.187.102.95 (Diskussion) 03:25, 31. Aug. 2013 (CEST))

Ich habe die Abbildung 2019 komplett überarbeitet, jetzt ist sie pedantisch korrekt. --RolandIllig (Diskussion) 17:54, 26. Jan. 2023 (CET)

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Darstellung der Null

Es ist im Artikel nicht klar erkennbar, wie die Null im Gleitkommasystem dargestellt wird. Die m.E. falsche Gleichung e = 0 im Abschnitt [[4]] sorgt für zusätzliche Verwirrung (es sollte wohl E = 0 lauten).

Vorschlag: Im Kapitel "Darstellung" eine Tabelle der Sonderzeichen angeben. (nicht signierter Beitrag von 134.107.3.75 (Diskussion) 12:23, 5. Dez. 2013 (CET))

Den Abschnitt gibt es im Artikel nicht mehr. --RolandIllig (Diskussion) 17:54, 26. Jan. 2023 (CET)

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Widerspruch im Abschnitt "Berechnung einer IEEE single precision Gleitkommazahl (32-Bit-Gleitkommazahl)"

Im Text wird behauptet, der Exponent müsse so gewählt werden, dass die Mantisse einen Wert zwischen 1 und 2 erhält. Im zugehörigen Zahlenbeispiel hat die Mantisse jedoch einen Wert von 3407873. Muss es heißen, dass der Vorfaktor der normierten Darstellung (siehe vorangehenden Abschnitt "Beispiel: Berechnung Gleitkommazahl") zwischen 1 und 2 zu liegen hat? (nicht signierter Beitrag von 217.7.29.83 (Diskussion) 13:42, 6. Okt. 2014 (CEST))

Der Artikel enthält den fraglichen Abschnitt nicht mehr. --RolandIllig (Diskussion) 17:54, 26. Jan. 2023 (CET)

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Abschnitt "Einschränkungen und deren mathematische Grundlagen"

Den Satz "Die oben erwähnten Artefakte sind im Binärsystem unvermeidlich, da unendlich viele Zahlen, die im Dezimalsystem exakt dargestellt werden können, im Binärsystem periodische Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen sind." finde ich irgendwie nicht so gut in seiner Formulierung und Inhalt und sollte geeignet ersetzt werden. So etwa als Richtung: Die Perioden entstehen dadurch, weil 5 eine Zahl die relativ Prim zur Basis des Binärsystems, aber nicht Prim zur Basis des Dezimalsystems ist - nur etwas genauer erklärt bzw mit Beispiel versehen. --93.220.219.10 03:05, 30. Aug. 2015 (CEST)

Ich habe den fraglichen Abschnitt aus dem Artikel gelöscht. --RolandIllig (Diskussion) 17:54, 26. Jan. 2023 (CET)

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Gleitkommazahl#Versteckte Verwendung anderer Darstellungen

@Brf: Ich habe Dein letztes Edit ein bisschen vervollständigt und hoffe Dich richtig verstanden zu haben. --Nomen4Omen (Diskussion) 17:12, 1. Nov. 2017 (CET)

Sieht verjährt aus. --RolandIllig (Diskussion) 17:54, 26. Jan. 2023 (CET)

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Abfällige Sprache

Es wäre schön wenn diese Artikel ohne Formulierungen wie "der Laie" oder gar "der unbedarfte Laie" auskommen könnten. (nicht signierter Beitrag von 212.93.3.90 (Diskussion) 16:01, 25. Jan. 2021 (CET))

Ich habe den Artikel komplett umformuliert, dabei sind auch die Laien verschwunden. In Mathematikerkreisen ist Laie übrigens kein Schimpfwort, sondern wertneutral. --RolandIllig (Diskussion) 17:54, 26. Jan. 2023 (CET)

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"seit langem"

Hallo, definiere: "Diese Schreibweise wird von Physikern und Mathematikern schon seit langem verwendet," ... Quelle? Nur Physiker und Mathematiker? Was machen Statistiker und seit wann? Werde es nicht recherchieren, habe derzeit andere Aktivitäten. Als Anregung. FG --17387349L8764 (Diskussion) 14:39, 18. Jun. 2021 (CEST)

Ich habe den Artikel komplett umgeschrieben und dabei auch relative Zeitangaben entfernt. --RolandIllig (Diskussion) 17:54, 26. Jan. 2023 (CET)

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Herausfinden der Mantisse beim Taschenrechner

Ich wollte herausfinden, was die billigen Taschenrechner, die zuhause so herumliegen für eine Mantisse haben. Man kann ja davon ausgehen, dass die Basis 2 ist. Ich habe also folgendes probiert:
$(2^{-m}+1)*2^{m}=2^{m}+1$
Und habe beobachtet, ob es dasselbe ergibt. Bei $m=8$ ergibt es folgendes:
$({\frac {1}{2^{8}}}+1)*256=256.99998$
(Der Taschenrechner kann folgende Operationen: add sub mul div sqrt)
Kann man nun davon ausgehen, dass die Mantisse 7 Bit lang ist? Das wäre allerdings komisch, weil das bedeuten würde, dass der Taschenrechner weniger als 8 Dezimalstellen hat, obwohl das Display so gross ist.

Wie findet man den Exponenten heraus? Und wie findet man heraus, ob der Basiswechsel korrekt implementiert ist? (Wird oft unkorrekt implementiert, siehe Konversionen.)

Das sind doch interessante Fragen, die man im Artikel beantworten könnte und auch von praktischem Nutzen sind. --84.74.59.192 15:13, 24. Aug. 2008 (CEST)

Finde ich interessant, das würde ich aber eher im Artikel Taschenrechner schreiben. Da gibt es schon den Abschnitt über numerische Genauigkeit, da passt das super hin. --RolandIllig (Diskussion) 00:51, 26. Jan. 2023 (CET)

Ich hab's im Artikel Taschenrechner#Numerische_Genauigkeit ergänzt. --RolandIllig (Diskussion) 16:03, 26. Feb. 2023 (CET)

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Hidden Bit = Bit für Vorzeichen?

Ist das Hidden Bit nur möglich, wenn negative Zahlen ausgeschlossen sind? -- Amtiss, SNAFU ? 14:07, 2. Sep. 2015 (CEST)

Nö. Hidden bit ist möglich, weil man die Mantisse normalisiert und dadurch als "Vorkomma-Ziffer" im Binärsystem nur noch eine 1 möglich ist, die man eben nicht abspeichern muss. --RokerHRO (Diskussion) 15:45, 2. Sep. 2015 (CEST)

Danke. Ja, erst nach mehr Lesen ist das verständlich :) Erinnert mich an manche Excel-Fehler: dort hätte 0 rauskommen müssen, kam aber ein von 0 verschiedener, sehr kleiner Wert raus. Vermutlich nur bei bestimmten Zahlenformaten. -- Amtiss, SNAFU ? 17:04, 2. Sep. 2015 (CEST)

Ich habe den Artikel Anfang 2023 komplett umgeschrieben, derartige Missverständnisse sollten dadurch behoben sein. --RolandIllig (Diskussion) 00:40, 9. Mär. 2023 (CET)

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Geschichte der Gleitkommaarithmetik in Rechnern der 1950er

Im Abschnitt Gleitkommaarithmetik wird der Eindruck erweckt, als habe es bis 1980 keine Hardware gegeben, die binäre Gleitkommaarithmetik realisiert, ohne dass pro Operation mit Software beim Normalisieren nachgeholfen werden musste. Das ist so sicher nicht richtig. Aus eigener Erfahrung ist das älteste Beispiel die PERM, die von Anfang an, also seit 1956, Gleitkommaarithmetik hatte – sogar drei verschiedene Arithmetiken, was darauf hindeutet, dass man damals noch unsicher war, welche Variante sich bewähren würde. Aber die Entwickler der PERM hatten die Idee sicher nicht als erste. Da müsste man noch nachliefern. --Lantani (Diskussion) 12:16, 2. Nov. 2021 (CET)

Wikipedia:Sei mutig, trau dich einfach. --RolandIllig (Diskussion) 01:09, 26. Jan. 2023 (CET)

Ich habs schon lange auf der To-do-Liste, mal ins Deutsche Museum zu marschieren und mir aus dem Archiv die Unterlagen zur PERM zeigen zu lassen, die dort ausgestellt ist. Die müssen da was haben. Ich habe Anfang der 1970er Jahre auf der PERM gerechnet. Wir wussten auswendig, was die Maschinenbefehle tun, sozusagen von den jeweiligen Meistern an die Jünger weitergegeben, aber es gab dort wenig schriftliche Information oder wir wussten nicht wo. Dünne Voraussetzungen für die Belegpflicht. Na ja, die Diplomarbeiten von Kunas, Peters und Streitwieser (Algol60-Compiler für die PERM, der dritte nach denen von Seegmüller und von Zirngibl) müssten in der TU irgendwo aufzutreiben sein. --Lantani (Diskussion) 09:09, 26. Jan. 2023 (CET)

Ich habe den geschichtlichen Teil ergänzt. Es gab bereits 1937 Gleitkommazahlen in für damalige Verhältnisse beachtlicher Genauigkeit. Die PERM-Dokumentation würde also nicht die erstmalige Verwendung von Gleitkommazahlen dokumentieren, daher könnten die Angaben auch hinfällig sein. Nett wären sie trotzdem, aber wahrscheinlich nicht mehr essentiell. --RolandIllig (Diskussion) 00:44, 9. Mär. 2023 (CET)

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Es wird beides Mal die gleiche cos-Funktion aufgerufen

Vereinfachter Code, damit nicht so viel Assembler-Code entsteht:

int main()   // kompiliere mit gcc 10 mit -m32 ohne Optimierung
{
    double x = 0.2;           
    double cos_von_x = cos(x);  
    if (cos_von_x != cos(x))
        getchar();
   return 0;
}

.LC0:
        .long   -1717986918
        .long   1070176665

main:
        lea     ecx, [esp+4]
        and     esp, -16
        push    DWORD PTR [ecx-4]
        push    ebp
        mov     ebp, esp
        push    ecx
        sub     esp, 20
        fld     QWORD PTR .LC0
        fstp    QWORD PTR [ebp-16]         ; Lädt 64-bit-Zahl aus .LC0 und speichert sie unverändert in [ebp-16]
        sub     esp, 8
        push    DWORD PTR [ebp-12]
        push    DWORD PTR [ebp-16]         ; Wirft [ebp-16] auf den Stack
        call    cos                        ; Funktionsaufruf, lädt Stack und berechnet 80-bit-Kosinus via FCOS-Anweisung
        add     esp, 16
        fstp    QWORD PTR [ebp-24]         ; Speichert Ergbis in der 64-bit-Variable [ebp-24]
        sub     esp, 8
        push    DWORD PTR [ebp-12]
        push    DWORD PTR [ebp-16]
        call    cos                        ; exakt gleiche Berechnung
        add     esp, 16
        fld     QWORD PTR [ebp-24]         ; Laden der gerundeten Zahl 64-bit-Zahl [ebp-24] 
        fucomip st, st(1)                  ; Vergleich der ungerundeten Zahl 80-bit-Zahl mit der gerundeten Zahl 64-bit-Zahl
        je      .L6
        ...

Vermeidbar durch

int main()   // kompiliere mit gcc 10 mit -m32 ohne Optimierung
{
    double x = 0.2;           
    '''long''' double cos_von_x = cos(x);  
    if (cos_von_x != cos(x))
        getchar();
   return 0;
}

.LC0:
        .long   -1717986918
        .long   1070176665

main:
        lea     ecx, [esp+4]
        and     esp, -16
        push    DWORD PTR [ecx-4]
        push    ebp
        mov     ebp, esp
        push    ecx
        sub     esp, 36
        fld     QWORD PTR .LC0
        fstp    QWORD PTR [ebp-16]
        sub     esp, 8
        push    DWORD PTR [ebp-12]
        push    DWORD PTR [ebp-16]
        call    cos
        add     esp, 16
        fstp    '''TBYTE''' PTR [ebp-28]       ; Speicherung in voller Genauigkeit
        sub     esp, 8
        push    DWORD PTR [ebp-12]
        push    DWORD PTR [ebp-16]
        call    cos
        add     esp, 16
        fld     '''TBYTE''' PTR [ebp-28]       ; Laden in voller Genauigkeit
        fucomip st, st(1)
        je      .LE6
        ...

Lässt man dieses Programm laufen, tritt das Problem nicht mehr auf. Das Problem tritt auf, wenn man das 80-bit-Ergebnis, was FCOS liefert, in 64 bit (oder in 32 bit) zwischenspeichert und hat nichts mit unterschiedlichen Funktionen zu tun.

Tabelle mit Werten mit Gleichheit

Hier sind mal die Argumente herausgefiltert, für die Gleichjheit gilt. Das Funktionsergebnis endet in diesen Fällen mit 11 binären Nullen, es lässt sich dadurch ohne Wert-Veränderung in einem double abspeichern.

• Arg64: Funktionsargument als double (Gleitkommawert + Binärrepräsentation)
• Fn80: Ergebnis der Funktion cos(double), abgespeichert in long double (Gleitkommawert + Binärrepräsentation)
• Fn64: Ergebnis der Funktion cos(double), abgespeichert in double (Gleitkommawert + Binärrepräsentation)

Arg64 = 0.200000000000039702 3FC9'9999'9999'9F30  Fn80 = 0.980066577841233744 3FFE'FAE5'A4AB'BB11'9800  Fn64 = 0.980066577841233744 3FEF'5CB4'9577'6233
Arg64 = 0.200000000000102290 3FC9'9999'9999'A7FF  Fn80 = 0.980066577841221309 3FFE'FAE5'A4AB'BB0E'1800  Fn64 = 0.980066577841221309 3FEF'5CB4'9577'61C3
Arg64 = 0.200000000000164879 3FC9'9999'9999'B0CE  Fn80 = 0.980066577841208875 3FFE'FAE5'A4AB'BB0A'9800  Fn64 = 0.980066577841208875 3FEF'5CB4'9577'6153
Arg64 = 0.200000000000219086 3FC9'9999'9999'B86F  Fn80 = 0.980066577841198106 3FFE'FAE5'A4AB'BB07'9000  Fn64 = 0.980066577841198106 3FEF'5CB4'9577'60F2
Arg64 = 0.200000000000281675 3FC9'9999'9999'C13E  Fn80 = 0.980066577841185671 3FFE'FAE5'A4AB'BB04'1000  Fn64 = 0.980066577841185671 3FEF'5CB4'9577'6082
Arg64 = 0.200000000000344264 3FC9'9999'9999'CA0D  Fn80 = 0.980066577841173237 3FFE'FAE5'A4AB'BB00'9000  Fn64 = 0.980066577841173237 3FEF'5CB4'9577'6012
Arg64 = 0.200000000000398470 3FC9'9999'9999'D1AE  Fn80 = 0.980066577841162467 3FFE'FAE5'A4AB'BAFD'8800  Fn64 = 0.980066577841162467 3FEF'5CB4'9577'5FB1
Arg64 = 0.200000000000461059 3FC9'9999'9999'DA7D  Fn80 = 0.980066577841150033 3FFE'FAE5'A4AB'BAFA'0800  Fn64 = 0.980066577841150033 3FEF'5CB4'9577'5F41
Arg64 = 0.200000000000523648 3FC9'9999'9999'E34C  Fn80 = 0.980066577841137598 3FFE'FAE5'A4AB'BAF6'8800  Fn64 = 0.980066577841137598 3FEF'5CB4'9577'5ED1
Arg64 = 0.200000000000577854 3FC9'9999'9999'EAED  Fn80 = 0.980066577841126829 3FFE'FAE5'A4AB'BAF3'8000  Fn64 = 0.980066577841126829 3FEF'5CB4'9577'5E70
Arg64 = 0.200000000000640443 3FC9'9999'9999'F3BC  Fn80 = 0.980066577841114395 3FFE'FAE5'A4AB'BAF0'0000  Fn64 = 0.980066577841114395 3FEF'5CB4'9577'5E00
Arg64 = 0.200000000000703032 3FC9'9999'9999'FC8B  Fn80 = 0.980066577841101960 3FFE'FAE5'A4AB'BAEC'8000  Fn64 = 0.980066577841101960 3FEF'5CB4'9577'5D90
Arg64 = 0.200000000000757239 3FC9'9999'999A'042C  Fn80 = 0.980066577841091191 3FFE'FAE5'A4AB'BAE9'7800  Fn64 = 0.980066577841091191 3FEF'5CB4'9577'5D2F
Arg64 = 0.200000000000819828 3FC9'9999'999A'0CFB  Fn80 = 0.980066577841078757 3FFE'FAE5'A4AB'BAE5'F800  Fn64 = 0.980066577841078757 3FEF'5CB4'9577'5CBF
Arg64 = 0.200000000000874034 3FC9'9999'999A'149C  Fn80 = 0.980066577841067987 3FFE'FAE5'A4AB'BAE2'F000  Fn64 = 0.980066577841067987 3FEF'5CB4'9577'5C5E
Arg64 = 0.200000000000882416 3FC9'9999'999A'15CA  Fn80 = 0.980066577841066322 3FFE'FAE5'A4AB'BAE2'7800  Fn64 = 0.980066577841066322 3FEF'5CB4'9577'5C4F
Arg64 = 0.200000000000936623 3FC9'9999'999A'1D6B  Fn80 = 0.980066577841055553 3FFE'FAE5'A4AB'BADF'7000  Fn64 = 0.980066577841055553 3FEF'5CB4'9577'5BEE
Arg64 = 0.200000000000999212 3FC9'9999'999A'263A  Fn80 = 0.980066577841043118 3FFE'FAE5'A4AB'BADB'F000  Fn64 = 0.980066577841043118 3FEF'5CB4'9577'5B7E
Arg64 = 0.200000000001053418 3FC9'9999'999A'2DDB  Fn80 = 0.980066577841032349 3FFE'FAE5'A4AB'BAD8'E800  Fn64 = 0.980066577841032349 3FEF'5CB4'9577'5B1D
Arg64 = 0.200000000001116007 3FC9'9999'999A'36AA  Fn80 = 0.980066577841019915 3FFE'FAE5'A4AB'BAD5'6800  Fn64 = 0.980066577841019915 3FEF'5CB4'9577'5AAD
Arg64 = 0.200000000001178596 3FC9'9999'999A'3F79  Fn80 = 0.980066577841007480 3FFE'FAE5'A4AB'BAD1'E800  Fn64 = 0.980066577841007480 3FEF'5CB4'9577'5A3D
Arg64 = 0.200000000001232803 3FC9'9999'999A'471A  Fn80 = 0.980066577840996711 3FFE'FAE5'A4AB'BACE'E000  Fn64 = 0.980066577840996711 3FEF'5CB4'9577'59DC
Arg64 = 0.200000000001295392 3FC9'9999'999A'4FE9  Fn80 = 0.980066577840984277 3FFE'FAE5'A4AB'BACB'6000  Fn64 = 0.980066577840984277 3FEF'5CB4'9577'596C
Arg64 = 0.200000000001357980 3FC9'9999'999A'58B8  Fn80 = 0.980066577840971842 3FFE'FAE5'A4AB'BAC7'E000  Fn64 = 0.980066577840971842 3FEF'5CB4'9577'58FC
Arg64 = 0.200000000001412187 3FC9'9999'999A'6059  Fn80 = 0.980066577840961073 3FFE'FAE5'A4AB'BAC4'D800  Fn64 = 0.980066577840961073 3FEF'5CB4'9577'589B
Arg64 = 0.200000000001474776 3FC9'9999'999A'6928  Fn80 = 0.980066577840948638 3FFE'FAE5'A4AB'BAC1'5800  Fn64 = 0.980066577840948638 3FEF'5CB4'9577'582B
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Arg64 = 0.200000000001654160 3FC9'9999'999A'8267  Fn80 = 0.980066577840913000 3FFE'FAE5'A4AB'BAB7'5000  Fn64 = 0.980066577840913000 3FEF'5CB4'9577'56EA
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Arg64 = 0.200000000001770956 3FC9'9999'999A'92D7  Fn80 = 0.980066577840889797 3FFE'FAE5'A4AB'BAB0'C800  Fn64 = 0.980066577840889797 3FEF'5CB4'9577'5619
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Arg64 = 0.200000000001896133 3FC9'9999'999A'A475  Fn80 = 0.980066577840864928 3FFE'FAE5'A4AB'BAA9'C800  Fn64 = 0.980066577840864928 3FEF'5CB4'9577'5539
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Arg64 = 0.200000000002784672 3FC9'9999'999B'2182  Fn80 = 0.980066577840688402 3FFE'FAE5'A4AB'BA78'1800  Fn64 = 0.980066577840688402 3FEF'5CB4'9577'4F03
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Arg64 = 0.200000000004632722 3FC9'9999'999C'2599  Fn80 = 0.980066577840321251 3FFE'FAE5'A4AB'BA10'C000  Fn64 = 0.980066577840321251 3FEF'5CB4'9577'4218
Arg64 = 0.200000000004695311 3FC9'9999'999C'2E68  Fn80 = 0.980066577840308817 3FFE'FAE5'A4AB'BA0D'4000  Fn64 = 0.980066577840308817 3FEF'5CB4'9577'41A8
Arg64 = 0.200000000004749517 3FC9'9999'999C'3609  Fn80 = 0.980066577840298048 3FFE'FAE5'A4AB'BA0A'3800  Fn64 = 0.980066577840298048 3FEF'5CB4'9577'4147
Arg64 = 0.200000000004757900 3FC9'9999'999C'3737  Fn80 = 0.980066577840296382 3FFE'FAE5'A4AB'BA09'C000  Fn64 = 0.980066577840296382 3FEF'5CB4'9577'4138
Arg64 = 0.200000000004812106 3FC9'9999'999C'3ED8  Fn80 = 0.980066577840285613 3FFE'FAE5'A4AB'BA06'B800  Fn64 = 0.980066577840285613 3FEF'5CB4'9577'40D7
Arg64 = 0.200000000004874695 3FC9'9999'999C'47A7  Fn80 = 0.980066577840273179 3FFE'FAE5'A4AB'BA03'3800  Fn64 = 0.980066577840273179 3FEF'5CB4'9577'4067
Arg64 = 0.200000000004928902 3FC9'9999'999C'4F48  Fn80 = 0.980066577840262410 3FFE'FAE5'A4AB'BA00'3000  Fn64 = 0.980066577840262410 3FEF'5CB4'9577'4006
Arg64 = 0.200000000004991491 3FC9'9999'999C'5817  Fn80 = 0.980066577840249975 3FFE'FAE5'A4AB'B9FC'B000  Fn64 = 0.980066577840249975 3FEF'5CB4'9577'3F96
Arg64 = 0.200000000005054079 3FC9'9999'999C'60E6  Fn80 = 0.980066577840237541 3FFE'FAE5'A4AB'B9F9'3000  Fn64 = 0.980066577840237541 3FEF'5CB4'9577'3F26
Arg64 = 0.200000000005108286 3FC9'9999'999C'6887  Fn80 = 0.980066577840226771 3FFE'FAE5'A4AB'B9F6'2800  Fn64 = 0.980066577840226771 3FEF'5CB4'9577'3EC5
Arg64 = 0.200000000005170875 3FC9'9999'999C'7156  Fn80 = 0.980066577840214337 3FFE'FAE5'A4AB'B9F2'A800  Fn64 = 0.980066577840214337 3FEF'5CB4'9577'3E55
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Arg64 = 0.200000000005287670 3FC9'9999'999C'81C6  Fn80 = 0.980066577840191133 3FFE'FAE5'A4AB'B9EC'2000  Fn64 = 0.980066577840191133 3FEF'5CB4'9577'3D84
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Arg64 = 0.200000000005412848 3FC9'9999'999C'9364  Fn80 = 0.980066577840166264 3FFE'FAE5'A4AB'B9E5'2000  Fn64 = 0.980066577840166264 3FEF'5CB4'9577'3CA4
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Arg64 = 0.200000000005709028 3FC9'9999'999C'BD13  Fn80 = 0.980066577840107422 3FFE'FAE5'A4AB'B9D4'9000  Fn64 = 0.980066577840107422 3FEF'5CB4'9577'3A92
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Arg64 = 0.200000000005942619 3FC9'9999'999C'DDF3  Fn80 = 0.980066577840061015 3FFE'FAE5'A4AB'B9C7'8000  Fn64 = 0.980066577840061015 3FEF'5CB4'9577'38F0
Arg64 = 0.200000000006005207 3FC9'9999'999C'E6C2  Fn80 = 0.980066577840048581 3FFE'FAE5'A4AB'B9C4'0000  Fn64 = 0.980066577840048581 3FEF'5CB4'9577'3880
Arg64 = 0.200000000006067796 3FC9'9999'999C'EF91  Fn80 = 0.980066577840036146 3FFE'FAE5'A4AB'B9C0'8000  Fn64 = 0.980066577840036146 3FEF'5CB4'9577'3810
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Arg64 = 0.200000000006247181 3FC9'9999'999D'08D0  Fn80 = 0.980066577840000508 3FFE'FAE5'A4AB'B9B6'7800  Fn64 = 0.980066577840000508 3FEF'5CB4'9577'36CF
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Arg64 = 0.200000000006363976 3FC9'9999'999D'1940  Fn80 = 0.980066577839977304 3FFE'FAE5'A4AB'B9AF'F000  Fn64 = 0.980066577839977304 3FEF'5CB4'9577'35FE
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Arg64 = 0.200000000007790668 3FC9'9999'999D'E20A  Fn80 = 0.980066577839693864 3FFE'FAE5'A4AB'B960'2800  Fn64 = 0.980066577839693864 3FEF'5CB4'9577'2C05
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Arg64 = 0.200000000007915846 3FC9'9999'999D'F3A8  Fn80 = 0.980066577839668995 3FFE'FAE5'A4AB'B959'2800  Fn64 = 0.980066577839668995 3FEF'5CB4'9577'2B25
Arg64 = 0.200000000007970052 3FC9'9999'999D'FB49  Fn80 = 0.980066577839658226 3FFE'FAE5'A4AB'B956'2000  Fn64 = 0.980066577839658226 3FEF'5CB4'9577'2AC4
Arg64 = 0.200000000008032641 3FC9'9999'999E'0418  Fn80 = 0.980066577839645792 3FFE'FAE5'A4AB'B952'A000  Fn64 = 0.980066577839645792 3FEF'5CB4'9577'2A54
Arg64 = 0.200000000008095230 3FC9'9999'999E'0CE7  Fn80 = 0.980066577839633357 3FFE'FAE5'A4AB'B94F'2000  Fn64 = 0.980066577839633357 3FEF'5CB4'9577'29E4
Arg64 = 0.200000000008149437 3FC9'9999'999E'1488  Fn80 = 0.980066577839622588 3FFE'FAE5'A4AB'B94C'1800  Fn64 = 0.980066577839622588 3FEF'5CB4'9577'2983
Arg64 = 0.200000000008212026 3FC9'9999'999E'1D57  Fn80 = 0.980066577839610154 3FFE'FAE5'A4AB'B948'9800  Fn64 = 0.980066577839610154 3FEF'5CB4'9577'2913
Arg64 = 0.200000000008274614 3FC9'9999'999E'2626  Fn80 = 0.980066577839597719 3FFE'FAE5'A4AB'B945'1800  Fn64 = 0.980066577839597719 3FEF'5CB4'9577'28A3
Arg64 = 0.200000000008328821 3FC9'9999'999E'2DC7  Fn80 = 0.980066577839586950 3FFE'FAE5'A4AB'B942'1000  Fn64 = 0.980066577839586950 3FEF'5CB4'9577'2842
Arg64 = 0.200000000008391410 3FC9'9999'999E'3696  Fn80 = 0.980066577839574515 3FFE'FAE5'A4AB'B93E'9000  Fn64 = 0.980066577839574515 3FEF'5CB4'9577'27D2
Arg64 = 0.200000000008453999 3FC9'9999'999E'3F65  Fn80 = 0.980066577839562081 3FFE'FAE5'A4AB'B93B'1000  Fn64 = 0.980066577839562081 3FEF'5CB4'9577'2762
Arg64 = 0.200000000008508205 3FC9'9999'999E'4706  Fn80 = 0.980066577839551312 3FFE'FAE5'A4AB'B938'0800  Fn64 = 0.980066577839551312 3FEF'5CB4'9577'2701
Arg64 = 0.200000000008570794 3FC9'9999'999E'4FD5  Fn80 = 0.980066577839538877 3FFE'FAE5'A4AB'B934'8800  Fn64 = 0.980066577839538877 3FEF'5CB4'9577'2691
Arg64 = 0.200000000008625001 3FC9'9999'999E'5776  Fn80 = 0.980066577839528108 3FFE'FAE5'A4AB'B931'8000  Fn64 = 0.980066577839528108 3FEF'5CB4'9577'2630
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Arg64 = 0.200000000008687590 3FC9'9999'999E'6045  Fn80 = 0.980066577839515674 3FFE'FAE5'A4AB'B92E'0000  Fn64 = 0.980066577839515674 3FEF'5CB4'9577'25C0
Arg64 = 0.200000000008750178 3FC9'9999'999E'6914  Fn80 = 0.980066577839503239 3FFE'FAE5'A4AB'B92A'8000  Fn64 = 0.980066577839503239 3FEF'5CB4'9577'2550
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Arg64 = 0.200000000008866974 3FC9'9999'999E'7984  Fn80 = 0.980066577839480035 3FFE'FAE5'A4AB'B923'F800  Fn64 = 0.980066577839480035 3FEF'5CB4'9577'247F
Arg64 = 0.200000000008929563 3FC9'9999'999E'8253  Fn80 = 0.980066577839467601 3FFE'FAE5'A4AB'B920'7800  Fn64 = 0.980066577839467601 3FEF'5CB4'9577'240F
Arg64 = 0.200000000008983769 3FC9'9999'999E'89F4  Fn80 = 0.980066577839456832 3FFE'FAE5'A4AB'B91D'7000  Fn64 = 0.980066577839456832 3FEF'5CB4'9577'23AE
Arg64 = 0.200000000009046358 3FC9'9999'999E'92C3  Fn80 = 0.980066577839444397 3FFE'FAE5'A4AB'B919'F000  Fn64 = 0.980066577839444397 3FEF'5CB4'9577'233E
Arg64 = 0.200000000009108947 3FC9'9999'999E'9B92  Fn80 = 0.980066577839431963 3FFE'FAE5'A4AB'B916'7000  Fn64 = 0.980066577839431963 3FEF'5CB4'9577'22CE
Arg64 = 0.200000000009163154 3FC9'9999'999E'A333  Fn80 = 0.980066577839421194 3FFE'FAE5'A4AB'B913'6800  Fn64 = 0.980066577839421194 3FEF'5CB4'9577'226D
Arg64 = 0.200000000009225742 3FC9'9999'999E'AC02  Fn80 = 0.980066577839408759 3FFE'FAE5'A4AB'B90F'E800  Fn64 = 0.980066577839408759 3FEF'5CB4'9577'21FD
Arg64 = 0.200000000009288331 3FC9'9999'999E'B4D1  Fn80 = 0.980066577839396325 3FFE'FAE5'A4AB'B90C'6800  Fn64 = 0.980066577839396325 3FEF'5CB4'9577'218D
Arg64 = 0.200000000009342538 3FC9'9999'999E'BC72  Fn80 = 0.980066577839385555 3FFE'FAE5'A4AB'B909'6000  Fn64 = 0.980066577839385555 3FEF'5CB4'9577'212C
Arg64 = 0.200000000009405127 3FC9'9999'999E'C541  Fn80 = 0.980066577839373121 3FFE'FAE5'A4AB'B905'E000  Fn64 = 0.980066577839373121 3FEF'5CB4'9577'20BC
Arg64 = 0.200000000009467716 3FC9'9999'999E'CE10  Fn80 = 0.980066577839360686 3FFE'FAE5'A4AB'B902'6000  Fn64 = 0.980066577839360686 3FEF'5CB4'9577'204C
Arg64 = 0.200000000009521922 3FC9'9999'999E'D5B1  Fn80 = 0.980066577839349917 3FFE'FAE5'A4AB'B8FF'5800  Fn64 = 0.980066577839349917 3FEF'5CB4'9577'1FEB
Arg64 = 0.200000000009584511 3FC9'9999'999E'DE80  Fn80 = 0.980066577839337483 3FFE'FAE5'A4AB'B8FB'D800  Fn64 = 0.980066577839337483 3FEF'5CB4'9577'1F7B
Arg64 = 0.200000000009638718 3FC9'9999'999E'E621  Fn80 = 0.980066577839326714 3FFE'FAE5'A4AB'B8F8'D000  Fn64 = 0.980066577839326714 3FEF'5CB4'9577'1F1A
Arg64 = 0.200000000009701306 3FC9'9999'999E'EEF0  Fn80 = 0.980066577839314279 3FFE'FAE5'A4AB'B8F5'5000  Fn64 = 0.980066577839314279 3FEF'5CB4'9577'1EAA
Arg64 = 0.200000000009763895 3FC9'9999'999E'F7BF  Fn80 = 0.980066577839301845 3FFE'FAE5'A4AB'B8F1'D000  Fn64 = 0.980066577839301845 3FEF'5CB4'9577'1E3A
Arg64 = 0.200000000009818102 3FC9'9999'999E'FF60  Fn80 = 0.980066577839291075 3FFE'FAE5'A4AB'B8EE'C800  Fn64 = 0.980066577839291075 3FEF'5CB4'9577'1DD9
Arg64 = 0.200000000009880691 3FC9'9999'999F'082F  Fn80 = 0.980066577839278641 3FFE'FAE5'A4AB'B8EB'4800  Fn64 = 0.980066577839278641 3FEF'5CB4'9577'1D69
Arg64 = 0.200000000009943280 3FC9'9999'999F'10FE  Fn80 = 0.980066577839266206 3FFE'FAE5'A4AB'B8E7'C800  Fn64 = 0.980066577839266206 3FEF'5CB4'9577'1CF9
Arg64 = 0.200000000009997486 3FC9'9999'999F'189F  Fn80 = 0.980066577839255437 3FFE'FAE5'A4AB'B8E4'C000  Fn64 = 0.980066577839255437 3FEF'5CB4'9577'1C98
Arg64 = 0.200000000010060075 3FC9'9999'999F'216E  Fn80 = 0.980066577839243003 3FFE'FAE5'A4AB'B8E1'4000  Fn64 = 0.980066577839243003 3FEF'5CB4'9577'1C28
Arg64 = 0.200000000010122664 3FC9'9999'999F'2A3D  Fn80 = 0.980066577839230568 3FFE'FAE5'A4AB'B8DD'C000  Fn64 = 0.980066577839230568 3FEF'5CB4'9577'1BB8
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Arg64 = 0.200000000010302048 3FC9'9999'999F'437C  Fn80 = 0.980066577839194930 3FFE'FAE5'A4AB'B8D3'B800  Fn64 = 0.980066577839194930 3FEF'5CB4'9577'1A77
Arg64 = 0.200000000010356255 3FC9'9999'999F'4B1D  Fn80 = 0.980066577839184161 3FFE'FAE5'A4AB'B8D0'B000  Fn64 = 0.980066577839184161 3FEF'5CB4'9577'1A16
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Arg64 = 0.200000000010535639 3FC9'9999'999F'645C  Fn80 = 0.980066577839148523 3FFE'FAE5'A4AB'B8C6'A800  Fn64 = 0.980066577839148523 3FEF'5CB4'9577'18D5
Arg64 = 0.200000000010598228 3FC9'9999'999F'6D2B  Fn80 = 0.980066577839136088 3FFE'FAE5'A4AB'B8C3'2800  Fn64 = 0.980066577839136088 3FEF'5CB4'9577'1865
Arg64 = 0.200000000010652434 3FC9'9999'999F'74CC  Fn80 = 0.980066577839125319 3FFE'FAE5'A4AB'B8C0'2000  Fn64 = 0.980066577839125319 3FEF'5CB4'9577'1804
Arg64 = 0.200000000010715023 3FC9'9999'999F'7D9B  Fn80 = 0.980066577839112885 3FFE'FAE5'A4AB'B8BC'A000  Fn64 = 0.980066577839112885 3FEF'5CB4'9577'1794
Arg64 = 0.200000000010777612 3FC9'9999'999F'866A  Fn80 = 0.980066577839100450 3FFE'FAE5'A4AB'B8B9'2000  Fn64 = 0.980066577839100450 3FEF'5CB4'9577'1724
Arg64 = 0.200000000010831819 3FC9'9999'999F'8E0B  Fn80 = 0.980066577839089681 3FFE'FAE5'A4AB'B8B6'1800  Fn64 = 0.980066577839089681 3FEF'5CB4'9577'16C3
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Arg64 = 0.200000000010956996 3FC9'9999'999F'9FA9  Fn80 = 0.980066577839064812 3FFE'FAE5'A4AB'B8AF'1800  Fn64 = 0.980066577839064812 3FEF'5CB4'9577'15E3
Arg64 = 0.200000000011011203 3FC9'9999'999F'A74A  Fn80 = 0.980066577839054043 3FFE'FAE5'A4AB'B8AC'1000  Fn64 = 0.980066577839054043 3FEF'5CB4'9577'1582
Arg64 = 0.200000000011073792 3FC9'9999'999F'B019  Fn80 = 0.980066577839041608 3FFE'FAE5'A4AB'B8A8'9000  Fn64 = 0.980066577839041608 3FEF'5CB4'9577'1512
Arg64 = 0.200000000011136381 3FC9'9999'999F'B8E8  Fn80 = 0.980066577839029174 3FFE'FAE5'A4AB'B8A5'1000  Fn64 = 0.980066577839029174 3FEF'5CB4'9577'14A2
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Arg64 = 0.200000000011253176 3FC9'9999'999F'C958  Fn80 = 0.980066577839005970 3FFE'FAE5'A4AB'B89E'8800  Fn64 = 0.980066577839005970 3FEF'5CB4'9577'13D1
Arg64 = 0.200000000011315765 3FC9'9999'999F'D227  Fn80 = 0.980066577838993536 3FFE'FAE5'A4AB'B89B'0800  Fn64 = 0.980066577838993536 3FEF'5CB4'9577'1361
Arg64 = 0.200000000011369972 3FC9'9999'999F'D9C8  Fn80 = 0.980066577838982766 3FFE'FAE5'A4AB'B898'0000  Fn64 = 0.980066577838982766 3FEF'5CB4'9577'1300
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Arg64 = 0.200000000011495149 3FC9'9999'999F'EB66  Fn80 = 0.980066577838957897 3FFE'FAE5'A4AB'B891'0000  Fn64 = 0.980066577838957897 3FEF'5CB4'9577'1220
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Arg64 = 0.200000000011666151 3FC9'9999'99A0'0377  Fn80 = 0.980066577838923925 3FFE'FAE5'A4AB'B887'7000  Fn64 = 0.980066577838923925 3FEF'5CB4'9577'10EE
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Arg64 = 0.200000000014356916 3FC9'9999'99A1'7E28  Fn80 = 0.980066577838389352 3FFE'FAE5'A4AB'B7F0'F800  Fn64 = 0.980066577838389352 3FEF'5CB4'9576'FE1F
Arg64 = 0.200000000014411122 3FC9'9999'99A1'85C9  Fn80 = 0.980066577838378583 3FFE'FAE5'A4AB'B7ED'F000  Fn64 = 0.980066577838378583 3FEF'5CB4'9576'FDBE
Arg64 = 0.200000000014473711 3FC9'9999'99A1'8E98  Fn80 = 0.980066577838366149 3FFE'FAE5'A4AB'B7EA'7000  Fn64 = 0.980066577838366149 3FEF'5CB4'9576'FD4E
Arg64 = 0.200000000014527918 3FC9'9999'99A1'9639  Fn80 = 0.980066577838355379 3FFE'FAE5'A4AB'B7E7'6800  Fn64 = 0.980066577838355379 3FEF'5CB4'9576'FCED
Arg64 = 0.200000000014590507 3FC9'9999'99A1'9F08  Fn80 = 0.980066577838342945 3FFE'FAE5'A4AB'B7E3'E800  Fn64 = 0.980066577838342945 3FEF'5CB4'9576'FC7D
Arg64 = 0.200000000014653095 3FC9'9999'99A1'A7D7  Fn80 = 0.980066577838330510 3FFE'FAE5'A4AB'B7E0'6800  Fn64 = 0.980066577838330510 3FEF'5CB4'9576'FC0D
Arg64 = 0.200000000014707302 3FC9'9999'99A1'AF78  Fn80 = 0.980066577838319741 3FFE'FAE5'A4AB'B7DD'6000  Fn64 = 0.980066577838319741 3FEF'5CB4'9576'FBAC
Arg64 = 0.200000000014769891 3FC9'9999'99A1'B847  Fn80 = 0.980066577838307307 3FFE'FAE5'A4AB'B7D9'E000  Fn64 = 0.980066577838307307 3FEF'5CB4'9576'FB3C
Arg64 = 0.200000000014832480 3FC9'9999'99A1'C116  Fn80 = 0.980066577838294872 3FFE'FAE5'A4AB'B7D6'6000  Fn64 = 0.980066577838294872 3FEF'5CB4'9576'FACC
Arg64 = 0.200000000014886686 3FC9'9999'99A1'C8B7  Fn80 = 0.980066577838284103 3FFE'FAE5'A4AB'B7D3'5800  Fn64 = 0.980066577838284103 3FEF'5CB4'9576'FA6B
Arg64 = 0.200000000014949275 3FC9'9999'99A1'D186  Fn80 = 0.980066577838271669 3FFE'FAE5'A4AB'B7CF'D800  Fn64 = 0.980066577838271669 3FEF'5CB4'9576'F9FB
Arg64 = 0.200000000015011864 3FC9'9999'99A1'DA55  Fn80 = 0.980066577838259234 3FFE'FAE5'A4AB'B7CC'5800  Fn64 = 0.980066577838259234 3FEF'5CB4'9576'F98B
Arg64 = 0.200000000015066071 3FC9'9999'99A1'E1F6  Fn80 = 0.980066577838248465 3FFE'FAE5'A4AB'B7C9'5000  Fn64 = 0.980066577838248465 3FEF'5CB4'9576'F92A
Arg64 = 0.200000000015128659 3FC9'9999'99A1'EAC5  Fn80 = 0.980066577838236030 3FFE'FAE5'A4AB'B7C5'D000  Fn64 = 0.980066577838236030 3FEF'5CB4'9576'F8BA
Arg64 = 0.200000000015191248 3FC9'9999'99A1'F394  Fn80 = 0.980066577838223596 3FFE'FAE5'A4AB'B7C2'5000  Fn64 = 0.980066577838223596 3FEF'5CB4'9576'F84A
Arg64 = 0.200000000015245455 3FC9'9999'99A1'FB35  Fn80 = 0.980066577838212827 3FFE'FAE5'A4AB'B7BF'4800  Fn64 = 0.980066577838212827 3FEF'5CB4'9576'F7E9
Arg64 = 0.200000000015308044 3FC9'9999'99A2'0404  Fn80 = 0.980066577838200392 3FFE'FAE5'A4AB'B7BB'C800  Fn64 = 0.980066577838200392 3FEF'5CB4'9576'F779
Arg64 = 0.200000000015362250 3FC9'9999'99A2'0BA5  Fn80 = 0.980066577838189623 3FFE'FAE5'A4AB'B7B8'C000  Fn64 = 0.980066577838189623 3FEF'5CB4'9576'F718
Arg64 = 0.200000000015370633 3FC9'9999'99A2'0CD3  Fn80 = 0.980066577838187958 3FFE'FAE5'A4AB'B7B8'4800  Fn64 = 0.980066577838187958 3FEF'5CB4'9576'F709
Arg64 = 0.200000000015424839 3FC9'9999'99A2'1474  Fn80 = 0.980066577838177189 3FFE'FAE5'A4AB'B7B5'4000  Fn64 = 0.980066577838177189 3FEF'5CB4'9576'F6A8
Arg64 = 0.200000000015487428 3FC9'9999'99A2'1D43  Fn80 = 0.980066577838164754 3FFE'FAE5'A4AB'B7B1'C000  Fn64 = 0.980066577838164754 3FEF'5CB4'9576'F638
Arg64 = 0.200000000015541635 3FC9'9999'99A2'24E4  Fn80 = 0.980066577838153985 3FFE'FAE5'A4AB'B7AE'B800  Fn64 = 0.980066577838153985 3FEF'5CB4'9576'F5D7
Arg64 = 0.200000000015604223 3FC9'9999'99A2'2DB3  Fn80 = 0.980066577838141550 3FFE'FAE5'A4AB'B7AB'3800  Fn64 = 0.980066577838141550 3FEF'5CB4'9576'F567
Arg64 = 0.200000000015666812 3FC9'9999'99A2'3682  Fn80 = 0.980066577838129116 3FFE'FAE5'A4AB'B7A7'B800  Fn64 = 0.980066577838129116 3FEF'5CB4'9576'F4F7
Arg64 = 0.200000000015721019 3FC9'9999'99A2'3E23  Fn80 = 0.980066577838118347 3FFE'FAE5'A4AB'B7A4'B000  Fn64 = 0.980066577838118347 3FEF'5CB4'9576'F496
Arg64 = 0.200000000015783608 3FC9'9999'99A2'46F2  Fn80 = 0.980066577838105912 3FFE'FAE5'A4AB'B7A1'3000  Fn64 = 0.980066577838105912 3FEF'5CB4'9576'F426
Arg64 = 0.200000000015846197 3FC9'9999'99A2'4FC1  Fn80 = 0.980066577838093478 3FFE'FAE5'A4AB'B79D'B000  Fn64 = 0.980066577838093478 3FEF'5CB4'9576'F3B6
Arg64 = 0.200000000015900403 3FC9'9999'99A2'5762  Fn80 = 0.980066577838082709 3FFE'FAE5'A4AB'B79A'A800  Fn64 = 0.980066577838082709 3FEF'5CB4'9576'F355
Arg64 = 0.200000000015962992 3FC9'9999'99A2'6031  Fn80 = 0.980066577838070274 3FFE'FAE5'A4AB'B797'2800  Fn64 = 0.980066577838070274 3FEF'5CB4'9576'F2E5
Arg64 = 0.200000000016025581 3FC9'9999'99A2'6900  Fn80 = 0.980066577838057840 3FFE'FAE5'A4AB'B793'A800  Fn64 = 0.980066577838057840 3FEF'5CB4'9576'F275
Arg64 = 0.200000000016079788 3FC9'9999'99A2'70A1  Fn80 = 0.980066577838047071 3FFE'FAE5'A4AB'B790'A000  Fn64 = 0.980066577838047071 3FEF'5CB4'9576'F214
Arg64 = 0.200000000016142376 3FC9'9999'99A2'7970  Fn80 = 0.980066577838034636 3FFE'FAE5'A4AB'B78D'2000  Fn64 = 0.980066577838034636 3FEF'5CB4'9576'F1A4
Arg64 = 0.200000000016204965 3FC9'9999'99A2'823F  Fn80 = 0.980066577838022202 3FFE'FAE5'A4AB'B789'A000  Fn64 = 0.980066577838022202 3FEF'5CB4'9576'F134
Arg64 = 0.200000000016259172 3FC9'9999'99A2'89E0  Fn80 = 0.980066577838011432 3FFE'FAE5'A4AB'B786'9800  Fn64 = 0.980066577838011432 3FEF'5CB4'9576'F0D3
Arg64 = 0.200000000016321761 3FC9'9999'99A2'92AF  Fn80 = 0.980066577837998998 3FFE'FAE5'A4AB'B783'1800  Fn64 = 0.980066577837998998 3FEF'5CB4'9576'F063
Arg64 = 0.200000000016375967 3FC9'9999'99A2'9A50  Fn80 = 0.980066577837988229 3FFE'FAE5'A4AB'B780'1000  Fn64 = 0.980066577837988229 3FEF'5CB4'9576'F002
Arg64 = 0.200000000016438556 3FC9'9999'99A2'A31F  Fn80 = 0.980066577837975794 3FFE'FAE5'A4AB'B77C'9000  Fn64 = 0.980066577837975794 3FEF'5CB4'9576'EF92
Arg64 = 0.200000000016501145 3FC9'9999'99A2'ABEE  Fn80 = 0.980066577837963360 3FFE'FAE5'A4AB'B779'1000  Fn64 = 0.980066577837963360 3FEF'5CB4'9576'EF22
Arg64 = 0.200000000016555352 3FC9'9999'99A2'B38F  Fn80 = 0.980066577837952591 3FFE'FAE5'A4AB'B776'0800  Fn64 = 0.980066577837952591 3FEF'5CB4'9576'EEC1
Arg64 = 0.200000000016617940 3FC9'9999'99A2'BC5E  Fn80 = 0.980066577837940156 3FFE'FAE5'A4AB'B772'8800  Fn64 = 0.980066577837940156 3FEF'5CB4'9576'EE51
Arg64 = 0.200000000016680529 3FC9'9999'99A2'C52D  Fn80 = 0.980066577837927722 3FFE'FAE5'A4AB'B76F'0800  Fn64 = 0.980066577837927722 3FEF'5CB4'9576'EDE1
Arg64 = 0.200000000016734736 3FC9'9999'99A2'CCCE  Fn80 = 0.980066577837916952 3FFE'FAE5'A4AB'B76C'0000  Fn64 = 0.980066577837916952 3FEF'5CB4'9576'ED80
Arg64 = 0.200000000016797325 3FC9'9999'99A2'D59D  Fn80 = 0.980066577837904518 3FFE'FAE5'A4AB'B768'8000  Fn64 = 0.980066577837904518 3FEF'5CB4'9576'ED10

Tabelle mit Werten mit Ungleichheit

Ungleiche Werte sehen so aus und kommen in diesem Bereich fast exakt 2¹¹ Mal (hier 2048,7) so häufig vor, welche Überrauschung.

Arg64 = 0.200000000000000011 3FC9'9999'9999'999A  Fn80 = 0.980066577841241629 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'D031  Fn64 = 0.980066577841241626 3FEF'5CB4'9577'627A
Arg64 = 0.200000000000000039 3FC9'9999'9999'999B  Fn80 = 0.980066577841241623 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'CFCC  Fn64 = 0.980066577841241626 3FEF'5CB4'9577'627A
Arg64 = 0.200000000000000067 3FC9'9999'9999'999C  Fn80 = 0.980066577841241618 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'CF66  Fn64 = 0.980066577841241626 3FEF'5CB4'9577'627A
Arg64 = 0.200000000000000094 3FC9'9999'9999'999D  Fn80 = 0.980066577841241612 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'CF00  Fn64 = 0.980066577841241626 3FEF'5CB4'9577'627A
Arg64 = 0.200000000000000122 3FC9'9999'9999'999E  Fn80 = 0.980066577841241607 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'CE9A  Fn64 = 0.980066577841241626 3FEF'5CB4'9577'627A
Arg64 = 0.200000000000000150 3FC9'9999'9999'999F  Fn80 = 0.980066577841241601 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'CE35  Fn64 = 0.980066577841241626 3FEF'5CB4'9577'627A
Arg64 = 0.200000000000000178 3FC9'9999'9999'99A0  Fn80 = 0.980066577841241596 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'CDCF  Fn64 = 0.980066577841241626 3FEF'5CB4'9577'627A
Arg64 = 0.200000000000000205 3FC9'9999'9999'99A1  Fn80 = 0.980066577841241590 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'CD69  Fn64 = 0.980066577841241626 3FEF'5CB4'9577'627A
Arg64 = 0.200000000000000233 3FC9'9999'9999'99A2  Fn80 = 0.980066577841241585 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'CD04  Fn64 = 0.980066577841241626 3FEF'5CB4'9577'627A
Arg64 = 0.200000000000000261 3FC9'9999'9999'99A3  Fn80 = 0.980066577841241579 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'CC9E  Fn64 = 0.980066577841241626 3FEF'5CB4'9577'627A
Arg64 = 0.200000000000000289 3FC9'9999'9999'99A4  Fn80 = 0.980066577841241574 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'CC38  Fn64 = 0.980066577841241626 3FEF'5CB4'9577'627A
Arg64 = 0.200000000000000316 3FC9'9999'9999'99A5  Fn80 = 0.980066577841241568 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'CBD2  Fn64 = 0.980066577841241515 3FEF'5CB4'9577'6279
Arg64 = 0.200000000000000344 3FC9'9999'9999'99A6  Fn80 = 0.980066577841241563 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'CB6D  Fn64 = 0.980066577841241515 3FEF'5CB4'9577'6279
Arg64 = 0.200000000000000372 3FC9'9999'9999'99A7  Fn80 = 0.980066577841241557 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'CB07  Fn64 = 0.980066577841241515 3FEF'5CB4'9577'6279
Arg64 = 0.200000000000000400 3FC9'9999'9999'99A8  Fn80 = 0.980066577841241552 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'CAA1  Fn64 = 0.980066577841241515 3FEF'5CB4'9577'6279
Arg64 = 0.200000000000000427 3FC9'9999'9999'99A9  Fn80 = 0.980066577841241546 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'CA3C  Fn64 = 0.980066577841241515 3FEF'5CB4'9577'6279
Arg64 = 0.200000000000000455 3FC9'9999'9999'99AA  Fn80 = 0.980066577841241541 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'C9D6  Fn64 = 0.980066577841241515 3FEF'5CB4'9577'6279
Arg64 = 0.200000000000000483 3FC9'9999'9999'99AB  Fn80 = 0.980066577841241535 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'C970  Fn64 = 0.980066577841241515 3FEF'5CB4'9577'6279
Arg64 = 0.200000000000000511 3FC9'9999'9999'99AC  Fn80 = 0.980066577841241530 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'C90A  Fn64 = 0.980066577841241515 3FEF'5CB4'9577'6279
Arg64 = 0.200000000000000538 3FC9'9999'9999'99AD  Fn80 = 0.980066577841241524 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'C8A5  Fn64 = 0.980066577841241515 3FEF'5CB4'9577'6279
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Arg64 = 0.200000000000000761 3FC9'9999'9999'99B5  Fn80 = 0.980066577841241480 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'C577  Fn64 = 0.980066577841241515 3FEF'5CB4'9577'6279
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Arg64 = 0.200000000000000955 3FC9'9999'9999'99BC  Fn80 = 0.980066577841241441 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'C2AF  Fn64 = 0.980066577841241404 3FEF'5CB4'9577'6278
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Arg64 = 0.200000000000002093 3FC9'9999'9999'99E5  Fn80 = 0.980066577841241215 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'B264  Fn64 = 0.980066577841241182 3FEF'5CB4'9577'6276
Arg64 = 0.200000000000002121 3FC9'9999'9999'99E6  Fn80 = 0.980066577841241210 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'B1FF  Fn64 = 0.980066577841241182 3FEF'5CB4'9577'6276
Arg64 = 0.200000000000002148 3FC9'9999'9999'99E7  Fn80 = 0.980066577841241204 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'B199  Fn64 = 0.980066577841241182 3FEF'5CB4'9577'6276
Arg64 = 0.200000000000002176 3FC9'9999'9999'99E8  Fn80 = 0.980066577841241199 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'B133  Fn64 = 0.980066577841241182 3FEF'5CB4'9577'6276
Arg64 = 0.200000000000002204 3FC9'9999'9999'99E9  Fn80 = 0.980066577841241193 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'B0CE  Fn64 = 0.980066577841241182 3FEF'5CB4'9577'6276
Arg64 = 0.200000000000002232 3FC9'9999'9999'99EA  Fn80 = 0.980066577841241188 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'B068  Fn64 = 0.980066577841241182 3FEF'5CB4'9577'6276
Arg64 = 0.200000000000002259 3FC9'9999'9999'99EB  Fn80 = 0.980066577841241182 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'B002  Fn64 = 0.980066577841241182 3FEF'5CB4'9577'6276
Arg64 = 0.200000000000002287 3FC9'9999'9999'99EC  Fn80 = 0.980066577841241177 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'AF9C  Fn64 = 0.980066577841241182 3FEF'5CB4'9577'6276
Arg64 = 0.200000000000002315 3FC9'9999'9999'99ED  Fn80 = 0.980066577841241171 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'AF37  Fn64 = 0.980066577841241182 3FEF'5CB4'9577'6276
Arg64 = 0.200000000000002343 3FC9'9999'9999'99EE  Fn80 = 0.980066577841241166 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'AED1  Fn64 = 0.980066577841241182 3FEF'5CB4'9577'6276
Arg64 = 0.200000000000002370 3FC9'9999'9999'99EF  Fn80 = 0.980066577841241160 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'AE6B  Fn64 = 0.980066577841241182 3FEF'5CB4'9577'6276
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Arg64 = 0.200000000000002759 3FC9'9999'9999'99FD  Fn80 = 0.980066577841241083 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'A8DB  Fn64 = 0.980066577841241071 3FEF'5CB4'9577'6275
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Arg64 = 0.200000000000002953 3FC9'9999'9999'9A04  Fn80 = 0.980066577841241044 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'A613  Fn64 = 0.980066577841241071 3FEF'5CB4'9577'6275
Arg64 = 0.200000000000002981 3FC9'9999'9999'9A05  Fn80 = 0.980066577841241039 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'A5AD  Fn64 = 0.980066577841241071 3FEF'5CB4'9577'6275
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Arg64 = 0.200000000000003064 3FC9'9999'9999'9A08  Fn80 = 0.980066577841241022 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'A47C  Fn64 = 0.980066577841241071 3FEF'5CB4'9577'6275
Arg64 = 0.200000000000003092 3FC9'9999'9999'9A09  Fn80 = 0.980066577841241017 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'A417  Fn64 = 0.980066577841241071 3FEF'5CB4'9577'6275
Arg64 = 0.200000000000003120 3FC9'9999'9999'9A0A  Fn80 = 0.980066577841241011 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'A3B1  Fn64 = 0.980066577841240960 3FEF'5CB4'9577'6274
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Arg64 = 0.200000000000003175 3FC9'9999'9999'9A0C  Fn80 = 0.980066577841241000 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'A2E5  Fn64 = 0.980066577841240960 3FEF'5CB4'9577'6274
Arg64 = 0.200000000000003203 3FC9'9999'9999'9A0D  Fn80 = 0.980066577841240995 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'A280  Fn64 = 0.980066577841240960 3FEF'5CB4'9577'6274
Arg64 = 0.200000000000003231 3FC9'9999'9999'9A0E  Fn80 = 0.980066577841240989 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'A21A  Fn64 = 0.980066577841240960 3FEF'5CB4'9577'6274
Arg64 = 0.200000000000003259 3FC9'9999'9999'9A0F  Fn80 = 0.980066577841240984 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'A1B4  Fn64 = 0.980066577841240960 3FEF'5CB4'9577'6274
Arg64 = 0.200000000000003286 3FC9'9999'9999'9A10  Fn80 = 0.980066577841240978 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'A14F  Fn64 = 0.980066577841240960 3FEF'5CB4'9577'6274
Arg64 = 0.200000000000003314 3FC9'9999'9999'9A11  Fn80 = 0.980066577841240973 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'A0E9  Fn64 = 0.980066577841240960 3FEF'5CB4'9577'6274
Arg64 = 0.200000000000003342 3FC9'9999'9999'9A12  Fn80 = 0.980066577841240967 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'A083  Fn64 = 0.980066577841240960 3FEF'5CB4'9577'6274
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Arg64 = 0.200000000000003397 3FC9'9999'9999'9A14  Fn80 = 0.980066577841240956 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'9FB8  Fn64 = 0.980066577841240960 3FEF'5CB4'9577'6274
Arg64 = 0.200000000000003425 3FC9'9999'9999'9A15  Fn80 = 0.980066577841240951 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'9F52  Fn64 = 0.980066577841240960 3FEF'5CB4'9577'6274
Arg64 = 0.200000000000003453 3FC9'9999'9999'9A16  Fn80 = 0.980066577841240945 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'9EEC  Fn64 = 0.980066577841240960 3FEF'5CB4'9577'6274
Arg64 = 0.200000000000003481 3FC9'9999'9999'9A17  Fn80 = 0.980066577841240940 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'9E86  Fn64 = 0.980066577841240960 3FEF'5CB4'9577'6274
Arg64 = 0.200000000000003508 3FC9'9999'9999'9A18  Fn80 = 0.980066577841240934 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'9E21  Fn64 = 0.980066577841240960 3FEF'5CB4'9577'6274
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Arg64 = 0.200000000000003619 3FC9'9999'9999'9A1C  Fn80 = 0.980066577841240912 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'9C8A  Fn64 = 0.980066577841240960 3FEF'5CB4'9577'6274
Arg64 = 0.200000000000003647 3FC9'9999'9999'9A1D  Fn80 = 0.980066577841240907 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'9C24  Fn64 = 0.980066577841240960 3FEF'5CB4'9577'6274
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Arg64 = 0.200000000000003730 3FC9'9999'9999'9A20  Fn80 = 0.980066577841240890 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'9AF3  Fn64 = 0.980066577841240849 3FEF'5CB4'9577'6273
Arg64 = 0.200000000000003758 3FC9'9999'9999'9A21  Fn80 = 0.980066577841240884 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'9A8D  Fn64 = 0.980066577841240849 3FEF'5CB4'9577'6273
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Arg64 = 0.200000000000003841 3FC9'9999'9999'9A24  Fn80 = 0.980066577841240868 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'995C  Fn64 = 0.980066577841240849 3FEF'5CB4'9577'6273
Arg64 = 0.200000000000003869 3FC9'9999'9999'9A25  Fn80 = 0.980066577841240862 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'98F6  Fn64 = 0.980066577841240849 3FEF'5CB4'9577'6273
Arg64 = 0.200000000000003897 3FC9'9999'9999'9A26  Fn80 = 0.980066577841240857 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'9891  Fn64 = 0.980066577841240849 3FEF'5CB4'9577'6273
Arg64 = 0.200000000000003925 3FC9'9999'9999'9A27  Fn80 = 0.980066577841240851 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'982B  Fn64 = 0.980066577841240849 3FEF'5CB4'9577'6273
Arg64 = 0.200000000000003952 3FC9'9999'9999'9A28  Fn80 = 0.980066577841240846 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'97C5  Fn64 = 0.980066577841240849 3FEF'5CB4'9577'6273
Arg64 = 0.200000000000003980 3FC9'9999'9999'9A29  Fn80 = 0.980066577841240840 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'9760  Fn64 = 0.980066577841240849 3FEF'5CB4'9577'6273
Arg64 = 0.200000000000004008 3FC9'9999'9999'9A2A  Fn80 = 0.980066577841240835 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'96FA  Fn64 = 0.980066577841240849 3FEF'5CB4'9577'6273
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Arg64 = 0.200000000000004063 3FC9'9999'9999'9A2C  Fn80 = 0.980066577841240824 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'962E  Fn64 = 0.980066577841240849 3FEF'5CB4'9577'6273
Arg64 = 0.200000000000004091 3FC9'9999'9999'9A2D  Fn80 = 0.980066577841240818 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'95C9  Fn64 = 0.980066577841240849 3FEF'5CB4'9577'6273
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Arg64 = 0.200000000000004285 3FC9'9999'9999'9A34  Fn80 = 0.980066577841240780 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'9301  Fn64 = 0.980066577841240738 3FEF'5CB4'9577'6272
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Arg64 = 0.200000000000004396 3FC9'9999'9999'9A38  Fn80 = 0.980066577841240758 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'916A  Fn64 = 0.980066577841240738 3FEF'5CB4'9577'6272
Arg64 = 0.200000000000004424 3FC9'9999'9999'9A39  Fn80 = 0.980066577841240752 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'9104  Fn64 = 0.980066577841240738 3FEF'5CB4'9577'6272
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Arg64 = 0.200000000000004508 3FC9'9999'9999'9A3C  Fn80 = 0.980066577841240736 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'8FD3  Fn64 = 0.980066577841240738 3FEF'5CB4'9577'6272
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Arg64 = 0.200000000000004563 3FC9'9999'9999'9A3E  Fn80 = 0.980066577841240725 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'8F07  Fn64 = 0.980066577841240738 3FEF'5CB4'9577'6272
Arg64 = 0.200000000000004591 3FC9'9999'9999'9A3F  Fn80 = 0.980066577841240719 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'8EA2  Fn64 = 0.980066577841240738 3FEF'5CB4'9577'6272
Arg64 = 0.200000000000004619 3FC9'9999'9999'9A40  Fn80 = 0.980066577841240714 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'8E3C  Fn64 = 0.980066577841240738 3FEF'5CB4'9577'6272
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Arg64 = 0.200000000000004868 3FC9'9999'9999'9A49  Fn80 = 0.980066577841240664 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'8AA9  Fn64 = 0.980066577841240627 3FEF'5CB4'9577'6271
Arg64 = 0.200000000000004896 3FC9'9999'9999'9A4A  Fn80 = 0.980066577841240658 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'8A43  Fn64 = 0.980066577841240627 3FEF'5CB4'9577'6271
Arg64 = 0.200000000000004924 3FC9'9999'9999'9A4B  Fn80 = 0.980066577841240653 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'89DD  Fn64 = 0.980066577841240627 3FEF'5CB4'9577'6271
Arg64 = 0.200000000000004952 3FC9'9999'9999'9A4C  Fn80 = 0.980066577841240647 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'8977  Fn64 = 0.980066577841240627 3FEF'5CB4'9577'6271
Arg64 = 0.200000000000004979 3FC9'9999'9999'9A4D  Fn80 = 0.980066577841240642 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'8912  Fn64 = 0.980066577841240627 3FEF'5CB4'9577'6271
Arg64 = 0.200000000000005007 3FC9'9999'9999'9A4E  Fn80 = 0.980066577841240636 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'88AC  Fn64 = 0.980066577841240627 3FEF'5CB4'9577'6271
Arg64 = 0.200000000000005035 3FC9'9999'9999'9A4F  Fn80 = 0.980066577841240631 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'8846  Fn64 = 0.980066577841240627 3FEF'5CB4'9577'6271
Arg64 = 0.200000000000005063 3FC9'9999'9999'9A50  Fn80 = 0.980066577841240625 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'87E1  Fn64 = 0.980066577841240627 3FEF'5CB4'9577'6271
Arg64 = 0.200000000000005090 3FC9'9999'9999'9A51  Fn80 = 0.980066577841240620 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'877B  Fn64 = 0.980066577841240627 3FEF'5CB4'9577'6271
Arg64 = 0.200000000000005118 3FC9'9999'9999'9A52  Fn80 = 0.980066577841240614 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'8715  Fn64 = 0.980066577841240627 3FEF'5CB4'9577'6271
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Arg64 = 0.200000000000005257 3FC9'9999'9999'9A57  Fn80 = 0.980066577841240587 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'8518  Fn64 = 0.980066577841240627 3FEF'5CB4'9577'6271
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Arg64 = 0.200000000000005312 3FC9'9999'9999'9A59  Fn80 = 0.980066577841240576 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'844D  Fn64 = 0.980066577841240627 3FEF'5CB4'9577'6271
Arg64 = 0.200000000000005340 3FC9'9999'9999'9A5A  Fn80 = 0.980066577841240570 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'83E7  Fn64 = 0.980066577841240516 3FEF'5CB4'9577'6270
Arg64 = 0.200000000000005368 3FC9'9999'9999'9A5B  Fn80 = 0.980066577841240565 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'8382  Fn64 = 0.980066577841240516 3FEF'5CB4'9577'6270
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Arg64 = 0.200000000000005423 3FC9'9999'9999'9A5D  Fn80 = 0.980066577841240554 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'82B6  Fn64 = 0.980066577841240516 3FEF'5CB4'9577'6270
Arg64 = 0.200000000000005451 3FC9'9999'9999'9A5E  Fn80 = 0.980066577841240548 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'8250  Fn64 = 0.980066577841240516 3FEF'5CB4'9577'6270
Arg64 = 0.200000000000005479 3FC9'9999'9999'9A5F  Fn80 = 0.980066577841240543 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'81EB  Fn64 = 0.980066577841240516 3FEF'5CB4'9577'6270
Arg64 = 0.200000000000005507 3FC9'9999'9999'9A60  Fn80 = 0.980066577841240537 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'8185  Fn64 = 0.980066577841240516 3FEF'5CB4'9577'6270
Arg64 = 0.200000000000005534 3FC9'9999'9999'9A61  Fn80 = 0.980066577841240532 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'811F  Fn64 = 0.980066577841240516 3FEF'5CB4'9577'6270
Arg64 = 0.200000000000005562 3FC9'9999'9999'9A62  Fn80 = 0.980066577841240526 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'80BA  Fn64 = 0.980066577841240516 3FEF'5CB4'9577'6270
Arg64 = 0.200000000000005590 3FC9'9999'9999'9A63  Fn80 = 0.980066577841240521 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'8054  Fn64 = 0.980066577841240516 3FEF'5CB4'9577'6270
Arg64 = 0.200000000000005618 3FC9'9999'9999'9A64  Fn80 = 0.980066577841240515 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7FEE  Fn64 = 0.980066577841240516 3FEF'5CB4'9577'6270
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Arg64 = 0.200000000000005701 3FC9'9999'9999'9A67  Fn80 = 0.980066577841240499 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7EBD  Fn64 = 0.980066577841240516 3FEF'5CB4'9577'6270
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Arg64 = 0.200000000000005757 3FC9'9999'9999'9A69  Fn80 = 0.980066577841240488 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7DF2  Fn64 = 0.980066577841240516 3FEF'5CB4'9577'6270
Arg64 = 0.200000000000005784 3FC9'9999'9999'9A6A  Fn80 = 0.980066577841240482 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7D8C  Fn64 = 0.980066577841240516 3FEF'5CB4'9577'6270
Arg64 = 0.200000000000005812 3FC9'9999'9999'9A6B  Fn80 = 0.980066577841240476 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7D26  Fn64 = 0.980066577841240516 3FEF'5CB4'9577'6270
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Arg64 = 0.200000000000005895 3FC9'9999'9999'9A6E  Fn80 = 0.980066577841240460 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7BF5  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
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Arg64 = 0.200000000000005951 3FC9'9999'9999'9A70  Fn80 = 0.980066577841240449 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7B2A  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000005979 3FC9'9999'9999'9A71  Fn80 = 0.980066577841240443 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7AC4  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006006 3FC9'9999'9999'9A72  Fn80 = 0.980066577841240438 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7A5E  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006034 3FC9'9999'9999'9A73  Fn80 = 0.980066577841240432 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'79F8  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006062 3FC9'9999'9999'9A74  Fn80 = 0.980066577841240427 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7993  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006090 3FC9'9999'9999'9A75  Fn80 = 0.980066577841240421 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'792D  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006117 3FC9'9999'9999'9A76  Fn80 = 0.980066577841240416 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'78C7  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006145 3FC9'9999'9999'9A77  Fn80 = 0.980066577841240410 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7861  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006173 3FC9'9999'9999'9A78  Fn80 = 0.980066577841240405 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'77FC  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006201 3FC9'9999'9999'9A79  Fn80 = 0.980066577841240399 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7796  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006228 3FC9'9999'9999'9A7A  Fn80 = 0.980066577841240394 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7730  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006256 3FC9'9999'9999'9A7B  Fn80 = 0.980066577841240388 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'76CB  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006284 3FC9'9999'9999'9A7C  Fn80 = 0.980066577841240383 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7665  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006312 3FC9'9999'9999'9A7D  Fn80 = 0.980066577841240377 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'75FF  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006339 3FC9'9999'9999'9A7E  Fn80 = 0.980066577841240372 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7599  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006367 3FC9'9999'9999'9A7F  Fn80 = 0.980066577841240366 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7534  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006395 3FC9'9999'9999'9A80  Fn80 = 0.980066577841240361 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'74CE  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006423 3FC9'9999'9999'9A81  Fn80 = 0.980066577841240355 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7468  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006450 3FC9'9999'9999'9A82  Fn80 = 0.980066577841240350 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7403  Fn64 = 0.980066577841240405 3FEF'5CB4'9577'626F
Arg64 = 0.200000000000006478 3FC9'9999'9999'9A83  Fn80 = 0.980066577841240344 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'739D  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006506 3FC9'9999'9999'9A84  Fn80 = 0.980066577841240339 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7337  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006534 3FC9'9999'9999'9A85  Fn80 = 0.980066577841240333 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'72D1  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006561 3FC9'9999'9999'9A86  Fn80 = 0.980066577841240328 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'726C  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006589 3FC9'9999'9999'9A87  Fn80 = 0.980066577841240322 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7206  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006617 3FC9'9999'9999'9A88  Fn80 = 0.980066577841240317 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'71A0  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006645 3FC9'9999'9999'9A89  Fn80 = 0.980066577841240311 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'713B  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006672 3FC9'9999'9999'9A8A  Fn80 = 0.980066577841240306 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'70D5  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006700 3FC9'9999'9999'9A8B  Fn80 = 0.980066577841240300 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'706F  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006728 3FC9'9999'9999'9A8C  Fn80 = 0.980066577841240294 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'7009  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006756 3FC9'9999'9999'9A8D  Fn80 = 0.980066577841240289 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6FA4  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006783 3FC9'9999'9999'9A8E  Fn80 = 0.980066577841240283 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6F3E  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006811 3FC9'9999'9999'9A8F  Fn80 = 0.980066577841240278 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6ED8  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006839 3FC9'9999'9999'9A90  Fn80 = 0.980066577841240272 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6E73  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006867 3FC9'9999'9999'9A91  Fn80 = 0.980066577841240267 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6E0D  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006894 3FC9'9999'9999'9A92  Fn80 = 0.980066577841240261 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6DA7  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006922 3FC9'9999'9999'9A93  Fn80 = 0.980066577841240256 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6D41  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006950 3FC9'9999'9999'9A94  Fn80 = 0.980066577841240250 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6CDC  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000006978 3FC9'9999'9999'9A95  Fn80 = 0.980066577841240245 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6C76  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000007006 3FC9'9999'9999'9A96  Fn80 = 0.980066577841240239 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6C10  Fn64 = 0.980066577841240294 3FEF'5CB4'9577'626E
Arg64 = 0.200000000000007033 3FC9'9999'9999'9A97  Fn80 = 0.980066577841240234 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6BAA  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007061 3FC9'9999'9999'9A98  Fn80 = 0.980066577841240228 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6B45  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007089 3FC9'9999'9999'9A99  Fn80 = 0.980066577841240223 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6ADF  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007117 3FC9'9999'9999'9A9A  Fn80 = 0.980066577841240217 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6A79  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007144 3FC9'9999'9999'9A9B  Fn80 = 0.980066577841240212 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6A14  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007172 3FC9'9999'9999'9A9C  Fn80 = 0.980066577841240206 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'69AE  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007200 3FC9'9999'9999'9A9D  Fn80 = 0.980066577841240201 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6948  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007228 3FC9'9999'9999'9A9E  Fn80 = 0.980066577841240195 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'68E2  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007255 3FC9'9999'9999'9A9F  Fn80 = 0.980066577841240190 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'687D  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007283 3FC9'9999'9999'9AA0  Fn80 = 0.980066577841240184 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6817  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007311 3FC9'9999'9999'9AA1  Fn80 = 0.980066577841240179 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'67B1  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007339 3FC9'9999'9999'9AA2  Fn80 = 0.980066577841240173 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'674C  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007366 3FC9'9999'9999'9AA3  Fn80 = 0.980066577841240168 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'66E6  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007394 3FC9'9999'9999'9AA4  Fn80 = 0.980066577841240162 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6680  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007422 3FC9'9999'9999'9AA5  Fn80 = 0.980066577841240157 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'661A  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007450 3FC9'9999'9999'9AA6  Fn80 = 0.980066577841240151 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'65B5  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007477 3FC9'9999'9999'9AA7  Fn80 = 0.980066577841240146 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'654F  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007505 3FC9'9999'9999'9AA8  Fn80 = 0.980066577841240140 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'64E9  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007533 3FC9'9999'9999'9AA9  Fn80 = 0.980066577841240135 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6484  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007561 3FC9'9999'9999'9AAA  Fn80 = 0.980066577841240129 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'641E  Fn64 = 0.980066577841240183 3FEF'5CB4'9577'626D
Arg64 = 0.200000000000007588 3FC9'9999'9999'9AAB  Fn80 = 0.980066577841240124 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'63B8  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000007616 3FC9'9999'9999'9AAC  Fn80 = 0.980066577841240118 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6352  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000007644 3FC9'9999'9999'9AAD  Fn80 = 0.980066577841240113 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'62ED  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000007672 3FC9'9999'9999'9AAE  Fn80 = 0.980066577841240107 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6287  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000007699 3FC9'9999'9999'9AAF  Fn80 = 0.980066577841240101 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6221  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000007727 3FC9'9999'9999'9AB0  Fn80 = 0.980066577841240096 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'61BC  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000007755 3FC9'9999'9999'9AB1  Fn80 = 0.980066577841240090 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6156  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000007783 3FC9'9999'9999'9AB2  Fn80 = 0.980066577841240085 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'60F0  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000007810 3FC9'9999'9999'9AB3  Fn80 = 0.980066577841240079 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'608A  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000007838 3FC9'9999'9999'9AB4  Fn80 = 0.980066577841240074 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'6025  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000007866 3FC9'9999'9999'9AB5  Fn80 = 0.980066577841240068 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'5FBF  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000007894 3FC9'9999'9999'9AB6  Fn80 = 0.980066577841240063 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'5F59  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000007921 3FC9'9999'9999'9AB7  Fn80 = 0.980066577841240057 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'5EF3  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000007949 3FC9'9999'9999'9AB8  Fn80 = 0.980066577841240052 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'5E8E  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000007977 3FC9'9999'9999'9AB9  Fn80 = 0.980066577841240046 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'5E28  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000008005 3FC9'9999'9999'9ABA  Fn80 = 0.980066577841240041 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'5DC2  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000008032 3FC9'9999'9999'9ABB  Fn80 = 0.980066577841240035 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'5D5D  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000008060 3FC9'9999'9999'9ABC  Fn80 = 0.980066577841240030 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'5CF7  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000008088 3FC9'9999'9999'9ABD  Fn80 = 0.980066577841240024 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'5C91  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000008116 3FC9'9999'9999'9ABE  Fn80 = 0.980066577841240019 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'5C2B  Fn64 = 0.980066577841240072 3FEF'5CB4'9577'626C
Arg64 = 0.200000000000008143 3FC9'9999'9999'9ABF  Fn80 = 0.980066577841240013 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'5BC6  Fn64 = 0.980066577841239961 3FEF'5CB4'9577'626B
Arg64 = 0.200000000000008171 3FC9'9999'9999'9AC0  Fn80 = 0.980066577841240008 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'5B60  Fn64 = 0.980066577841239961 3FEF'5CB4'9577'626B
Arg64 = 0.200000000000008199 3FC9'9999'9999'9AC1  Fn80 = 0.980066577841240002 3FFE'FAE5'A4AB'BB13'5AFA  Fn64 = 0.980066577841239961 3FEF'5CB4'9577'626B

--2003:C3:6705:4300:90AA:10E2:7E89:4E65 16:12, 18. Feb. 2023 (CET)

Diese ausführliche Erläuterung ist ja schön und gut, widerspricht aber nicht dem, was ich kurz und knapp in den Artikel geschrieben habe. Daher verstehe ich die wiederholten Löschversuche nicht. Das erste Assemblerlisting sagt zweimal deutlich "call cos", und genau das habe ich im Artikel geschrieben. Wo also ist das Problem? --RolandIllig (Diskussion) 19:30, 18. Feb. 2023 (CET)

Der Edit-War scheint abgeschlossen zu sein, zumindest gab es keine weitere Reaktion mehr. --RolandIllig (Diskussion) 00:52, 9. Mär. 2023 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: RolandIllig (Diskussion) 00:52, 9. Mär. 2023 (CET)

Tabelle der Formate

An der Tabelle der Gleitkommaformate könnte man folgendes verbessern:

• die 1 beim Mantissenvorzeichen weglassen und auf die Mantissenlänge draufschlagen
• irgendeine nachvollziehbare Sortierung, z.B. primär nach Hersteller oder Normungsgremium (diese nach frühestem Auftreten), sekundär nach Jahr der erstmaligen Verwendung
• soweit bekannt Verwendungszeitraum (frühestes und spätestes Herstellungsdatum einer Rechners mit diesem Format) – deren Dauer unterscheidet sich gewaltig, z.B. PERM (1956), CDC6600 (1964–~1990)

Belege für meine Änderungen muss ich noch nachliefern. --Lantani (Diskussion) 10:38, 9. Mär. 2023 (CET)

• Die 1 habe ich aus der Tabelle rausgenommen und separat erläutert. Ich habe sie bewusst nicht auf die Mantissenlänge draufgeschlagen, da die 24 Stellen Mantissengenauigkeit sonst zu leicht mit den 24 Bits Speicherbedarf (1 Vorzeichen + 23 normalisierte Mantisse) gleichgesetzt werden könnten, und das würde zu Verständnisschwierigkeiten führen.
• Die Tabelle habe ich sortiert, vorerst nach Gesamtspeicherbedarf. Dadurch ist sie fast nach Mantissenlänge sortiert, den Exponenten fand ich weniger wichtig. Sortierung nach Hersteller fand ich für das allgemeine Verständnis, wie Gleitkommazahlen aufgebaut sind, weniger relevant. Keine Ahnung, ob das früheste Auftreten ein relevantes Sortierkriterium ist. Wenn du eine bessere Sortierung weißt, mach das gerne, es war nicht viel Arbeit, das manuell zu machen.

--RolandIllig (Diskussion) 20:33, 9. Mär. 2023 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --RolandIllig (Diskussion) 10:21, 10. Apr. 2023 (CEST)

Widerspruch zu IEEE_754 in Abschnitt Mantisse?

Mich verwirrt die Beispiel-Angabe des $\epsilon =$ 1,19209289551e−0007 hier im Abschnitt Mantisse, da im Artikel zur IEEE-754-Norm im Abschnitt Zahlenformate_und_andere_Festlegungen_des_IEEE-754-Standards ein Wert von 2-(23+1) ≈ 5,960·10-8 angegeben wird (2. Tabelle). Erklärung hierfür oder Quelle? -- 88.134.134.45 14:56, 13. Apr. 2011 (CEST)

Die Zahl 1,192... kommt nicht mehr im Artikel vor. :Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --RolandIllig (Diskussion) 23:10, 27. Apr. 2023 (CEST)