Diskussion:Grenzwert (Funktion)

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Drei Artikel bei Wikipedia zum Thema Divergenz gelesen und nichts verstanden. Einmal bei Duden nachgeschaut und sofort begriffen, was mit Divergenz gemeint ist. (nicht signierter Beitrag von 31.55.50.113 (Diskussion) 19:03, 18. Apr. 2016 (CEST))

Du würdest und sehr helfen, wenn du deine Kritik etwas konkreter formulieren könntest. --Digamma (Diskussion) 19:15, 18. Apr. 2016 (CEST)

Kettenregel

Hallo,

die Kettenregel ist nicht allgemein gueltig. Wenn f stetig ist, kann man die Kettenregel anwenden. Siehe auch die englische Version von Wikipedia mit einem Gegenbeispiel.

Ich wuerde das anpassen, allerdings steht in der englischen Version auch noch eine weitere hinreichende Voraussetzung, die ich aber nicht nachvollziehen kann. (nicht signierter Beitrag von 77.58.191.190 (Diskussion) 20:54, 9. Jan. 2017 (CET))

Hallo 77.58.191.190! Du hast Recht, ich werde das gleich ausbessern. Allerdings ist für die Gültigkeit der fraglichen Schlußfolgerung nicht die Stetigkeit von f, sondern die von g (und zwar an der Stelle a) eine hinreichende Bedingung. Eine andere besteht darin, daß f in einer Umgebung von p den Wert a nicht annimmt. Vielen Dank für den wertvollen Hinweis! Liebe Grüße, Franz 21:51, 9. Jan. 2017 (CET)

Besten Dank Franz! Jetzt passt alles und ich verstehe jetzt auch die zweite Bedingung. Noch eine Frage: Gilt folgende Gleichung immer:

$\lim _{x\to a}f(g(x))=f(\lim _{x\to a}g(x))$

Ich wüsste jetzt nicht, wann das nicht gelten soll. (nicht signierter Beitrag von 77.58.191.190 (Diskussion) 20:39, 11. Jan. 2017 (CET))

Nein, das gilt nicht immer. Man kann leicht Gegenbeispiele konstruieren, indem man g unstetig an der Stelle a wählt, denn dann existiert offenbar der Grenzwert auf der rechten Seite gar nicht, während die linke Seite durch geeignetes f zu einer eindeutig bestimmten Zahl gemacht werden kann.
Es sei etwa a=0, f die Quadratfunktion und g die Signumfunktion. Dann gilt:

$\lim _{x\to a}f(g(x))=\lim _{x\to 0}f(\operatorname {sgn}(x))=\lim _{x\to 0}(\operatorname {sgn}(x))^{2}=1$

Der Grenzwert für x gegen a auf der linken Seite existiert also (obwohl er vom Funktionswert f(g(a))=(sgn(0))²=0²=0 an der Stelle a verschieden ist, aber das ist hier ganz irrelevant), während die rechte Seite nicht existiert, weil in

$f(\lim _{x\to a}g(x))=(\lim _{x\to 0}\operatorname {sgn}(x))^{2}$

der Grenzwert $\lim _{x\to 0}\operatorname {sgn}(x)$ nicht existiert. Gruß, Franz 23:09, 11. Jan. 2017 (CET)

Ok, gutes Beispiel. Stetigkeit von g in a ist hinreichend, da hast du Recht! Aber es gibt (glaube ich) eine schwächere Forderung, die die Gleichung erfüllt. Anscheinend reicht es aus, wenn der Limes von g in a existiert (d.h. $\lim _{x\to a+}g(x)=\lim _{x\to a-}g(x)$, nur dann ist $\lim _{x\to a}g(x)$ definiert). Sollte das auch noch in den Artikel (dann müsste man vielleicht noch den Beweis führen, ich habe das jetzt nur an einem Beispiel durchgespielt)? --Bene 123 (Diskussion) 21:54, 12. Jan. 2017 (CET)

Ich werde nicht ganz schlau aus Deinem Beitrag: Erst schreibst Du „Stetigkeit von g in a ist hinreichend, da hast du Recht“, aber das habe ich nie behauptet. Das ist auch nicht weiter wichtig, aber die Vorstellung, daß etwas „in den Artikel sollte“ aufgrund von „… es gibt (glaube ich) …“ oder „Anscheinend reicht es aus, wenn …“, ist grundfalsch, wie Du z. .B. unserer Richtlinie Keine Theoriefindung entnehmen kannst. Auch wenn man für einen neuen Inhalt „den Beweis führen“ könnte, wäre dies nur für ganz elementare Fakten ein ausreichender Grund. Darüber hinaus ist die Richtlinie Belege zuständig. Gruß, Franz 23:35, 12. Jan. 2017 (CET)

Grenzübergang oder Grenzwert

Im Zusammenhang mit der QS-Diskussion zur Schwarzschild-Metrik haben mich mehrere Benutzer (auch per Wikimail) darauf aufmerksam gemacht, dass ich die Formulierung wird der "Grenzwert $\lim _{v\to c}$" bzw. Grenzwert "für $v\to c$" betrachtet falsch benutze und statt dessen "der Grenzübergang $v\to c$ betrachtet" korrekt sei. Ich habe daher mal nachgeforscht und wenig erfolgreich versucht, das zu klären: Hier wären meine Ergebnisse:

In der Wikipedia unter dem Lemma Grenzübergang der Übergang zwischen zwei Staaten zu finden. Dort findet sich aber der Begriffsklärungshinweis: "Dieser Artikel beschäftigt sich mit dem Grenzübergang als Übergangsstelle zwischen zwei Staaten; zur Bedeutung in der Mathematik siehe Grenzwert (Funktion)." und im Artikel zum Lemma Grenzwert (Funktion) findet sich der Begriff "Grenzübergang" exakt einmal.
Diese Stelle wird bei: [1] bereits in einem Forum diskutiert und einer mögliche Erklärung für die Bezeichnung als Grenzübergang angegeben. Dort wird auch "R.Courant/H.Robbins, Was ist Mathematik? §2" als Quelle für den Begriff "Grenzübergang" erwähnt, aber auch dass der Begriff kaum noch verwendet wird.
Mein Bronstein (für mich DIE Referenz) kennt diesen Begriff gar nicht. 
Auch die Trefferanzahl bei bing ist nicht überragend. Ganz vorn stehen Wikipedia und Forenbeiträge. Selbst der Link zum Duden führt auf die Seite "Grenzwertsätze", wo "Grenzübergang" ein Link nach "Grenzwert" ist.
Insofern sehe ich nicht, dass die Bezeichnung "Grenzübergang" für die Grenzwertbildung etabliert ist und dem heutigen Sprachgebrauch entspricht.
Bis ich dafür hinreichende Belege sehe, bevorzuge ich den Begriff "Grenzwert", allern schon, um innerhalb der Wikipedia konsistent zu sein.

Ich bitte daher hier mal um Standpunkte, Belege oder sonstiges, das mir weiterhelfen kann... --Alturand (Diskussion) 18:15, 3. Mai 2017 (CEST)