Diskussion:Grenzwert (Funktion)/Archiv/1

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Symbol

x ist ein Symbol wofür? Könnte ich x=5 einsetzen? Oder muß es ein Mengenelement sein?--Roomsixhu 20:00, 11. Okt 2005 (CEST)

Steht doch alles da. x ist Element des Definitionsbereiches von f. --DFG 16:30, 12. Okt 2005 (CEST)

Ja und nein. In $\lim _{x\to a}f(x)$ ist x nur ein Symbol. Dass man in der ausführlichen Beschreibung $\forall \epsilon >0\exists \delta >0\forall x\colon \ldots$ wieder denselben Buchstaben verwendet und er dort für Elemente des Definitionsbereiches steht, ist sozusagen Zufall.--Gunther 12:15, 13. Okt 2005 (CEST)

x ist das Urteil x=x ist wahr und ich glaube, = ist ein Beziehungszeichen im Gegensatz zu Verknüpfungszeichen. Das hängt dann wieder vom verwendeten Kalkül ab . Sind z.B. a und b zwei Begriffe, so kann $a\leq b$ wieder ein Begriff sein, sind sie Zahlen, so ist $a\leq b$ nicht wieder eine Zahl. Es gibt die Begriffe Beziehungszeichen und Verknüpfungszeichen und syntaktische und semantische Bedeutungen. Ich werde nochmal präzierend nachforschen.--Roomsixhu 15:13, 13. Okt 2005 (CEST)

Deutsche Übersetzung, bitte!

Ihr lieben Mathematiker, kann einer von euch das Wesentliche ins Deutsche übersetzen und womöglich durch eine nette Grafik veranschaulichen? Beim Artikel binomische Formel bin ich auf jedem Fall weiter gekommen als es Jahre von Mathematikunterricht je vermocht haben. Der Text zum Limes finde ich aber - so gescheit er auch sein mag - unverständlich und nur für Experten geschrieben. Soll das so sein? Ihr hättet es auch so schreiben können und mein Verständnis wäre das Gleiche:

例えば、1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., 1/n, ...という数列を考えよう。この数列の項はnが大きくなるにつれてどこまでも0に近くなっていくので、0に収束すると考えられる。このことを

$\lim _{n\to \infty }{1 \over n}=0$

あるいは

${1 \over n}\to 0\quad (n\to \infty )$

と書く。

カール・ワイエルシュトラスは「限りなく近づく」という表現によらずにイプシロン-デルタ論法を用いて厳密に収束を定義した。 これによれば、数列$\{a_{n}\}$がある値$\alpha$に収束するとは、次のようなことを言う。

$\forall \varepsilon >0\;\exists n_{0}\;{\textrm {s.t}}\;{\bigg [}n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-\alpha |<\epsilon {\bigg ]}$

Danke für euer Verständnis und laienhafte Grüße! --Immanuel Giel 12:57, 18. Jan 2006 (CET)

Geht es ein wenig genauer? Was ist noch verständlich, wo fangen die Unklarheiten an? Je klarer Du die Frage formulierst, umso klarer können wir antworten. --NeoUrfahraner 13:49, 18. Jan 2006 (CET)

Na, das war wohl eine schnelle Reaktion! Mir würde es fürs Erste schon genügen, wenn die Einleitung in heutiges Deutsch umgesetzt würde, so dass die Trottelprobe positiv verläuft:

In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Folge denjenigen Wert, den man sich als das Folgenglied mit Index „unendlich“ vorstellen kann. Der Grenzwert einer Funktion ist derjenige Wert, den die Funktion haben müsste, um an der jeweiligen Stelle stetig zu sein.

Und eine grafische Darstellung - wenn irgend wie möglich - finde ich immer gut. Gruß. --Immanuel Giel 14:29, 18. Jan 2006 (CET)

OK, das ist aber tatsächlich gar nicht so einfach. Ich werde über eine passende Formulierung nachdenken. Darf man die Begriffe "Folge" und "Funktion" als bekannt voraussetzen oder scheitert es schon daran? --NeoUrfahraner 14:41, 18. Jan 2006 (CET)

Man kann natürlich auch einfach die Definition hinschreiben: Eine Zahl heißt Grenzwert einer Folge, wenn für jede noch so kleine Umgebung dieser Zahl nur endlich viele Folgenglieder nicht in dieser Umgebung enthalten sind. Finde ich aber weniger anschaulich. Wenn man sich den Graph von $1/x$ anschaut, dann ist doch irgendwie anschaulich, dass er "im Unendlichen" die x-Achse trifft.--Gunther 14:48, 18. Jan 2006 (CET)

Der Satz "Der Grenzwert einer Funktion ist derjenige Wert, den die Funktion haben müsste, um an der jeweiligen Stelle stetig zu sein" sagt ja eigentlich schon alles, aber Formulierungen wie "Folgenglied mit Index „unendlich“" sind Formulierungen einer Fachsprache, die schon der Hausmeister der Fakultät nicht mehr kapiert. Versteht mich bitte richtig! Ich will euch nicht ärgern, sondern nur euren Ehrgeiz anstacheln, wie man einen komplizierten Sachverhalt anschaulich erklären kann. Ich habe in meiner Schulzeit verzweifelt nach guten Mathebüchern gesucht und ganz wenige gefunden. Ich denke, Teile des Artikels könnten so erklärt sein, dass ein Schüler / eine Schülerin hier die Information findet, die ihm / ihr weiter hilft. Außerdem fehlt mir ein Hinweis darauf, welchen praktischen Nutzen der Limes hat. Könnte nicht auch so Ähnliches wie Achilles und die Schildkröte zur Verdeutlichung dienen? Gruß. --Immanuel Giel 15:18, 18. Jan 2006 (CET)

Gefällt Dir "In der Mathematik beschreibt der Limes oder Grenzwert einer Folge das Verhalten der Folgenglieder, wenn deren Index gegen unendlich wächst. Der Grenzwert einer Funktion ist derjenige Wert, den die Funktion haben müsste, um an der jeweiligen Stelle stetig zu sein" als Einleitung besser? --NeoUrfahraner 15:29, 18. Jan 2006 (CET)

Klingt schon etwas besser, aber ich stehe auf dem Standpunkt: "Ein Bild sagt mehr als 1.000 Formeln." Nicht wahr? --Immanuel Giel 15:48, 18. Jan 2006 (CET)

Ja. Ein Bild braucht aber ein wenig mehr Zeit; der Artikel gehört wohl auch ein wenig überarbeitet, das dauert auch länger. Wenn die Einleitung passt, lässt sich diese aber kurzfristig verbessern. --NeoUrfahraner 15:53, 18. Jan 2006 (CET)

Soll man einen Überarbeiten-Baustein einsetzen? --NeoUrfahraner 15:53, 18. Jan 2006 (CET)

Nö! zu überarbeiten ist ja nichts. Das waren ja nur dumme Fragen von mir. Es kann aber passieren, dass ich auch noch über andere mathematische Lemmata herfalle. *g* --Immanuel Giel 15:59, 18. Jan 2006 (CET)

Lim. unendlich

Moien, ich habe im Unterricht gelernt (bzw. lerne immernoch), dass ein Limes nicht unendlich sein kann. $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$ wird als Fehler angestrichen, stattdessen sollen wir $\lim _{x\to \infty }f(x)\mathrm {\,existiert\,nicht.}$ schreiben. Im Blick auf das Zentralabitur hätte ich natürlich gerne die "genormte" Variante gewusst, überall wird mit Unendlich geschrieben, nur meine Lehrerin wehrt sich. Bei Fremdkorrektur könnte mir allerdings z.B. angestrichen werden, dass nicht erkannt wurde, dass x gegen $-\infty$ geht. Am besten schreibt man die erlaubte Notation direkt in den Artikel rein. Krstfrs 13:38, 23. Jan 2006 (CET)

Ich habe keine Ahnung, wie verbreitet diese Auffassungen in der Lehrerschaft sind. Deshalb kann ich mich nur zur Sache äußern:

• Man kann $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$ eine präzise mathematische Bedeutung geben (nämlich $\forall L\colon \exists x_{0}\colon \forall x\geq x_{0}\colon f(x)>L$; anschaulich: zu jeder waagerechten Geraden g kann man eine senkrechte Gerade h finden, so dass der Graph der Funktion den Bereich unterhalb von g und rechts von h nicht trifft).
• Es gibt Interpretationen, nach denen das nicht eine formale Notation für die angegebene Aussage ist, sondern eine "echte" Gleichung mit einem "echten" Grenzwert (nämlich mittels einer geeigneten Topologie auf $\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$).
• Es gibt einen wesentlichen Unterschied zwischen "Limes unendlich" und "Limes existiert nicht": Für $f(x)=\sin x$ existiert der Limes nicht, und er ist auch nicht unendlich (anschaulich sollte das klar sein, die Funktion hat ja nur Werte zwischen −1 und 1, kommt also nicht "in die Nähe von unendlich").

--Gunther 13:52, 23. Jan 2006 (CET)

Der Ausdruck $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$ passt erstmal nicht in die uebliche Definition eines Grenzwertes. Trotzdem ist es moeglich, wie Gunther oben gesagt hat, genau diesen Ausdruck in praeziser Weise zu definieren und das wird in Vorlesungen auch haeufig so gemacht. Vielleicht solltest Du Dein Problem mit Formulierungen wie "Die Funktion strebt gegen unendlich" umgehen. --DaTroll 15:38, 23. Jan 2006 (CET)

Grenzwert einer Funktion

Da hat der Gunther doch glatt meine Änderung rückgängig gemacht ?!? Ist ja'n Ding :-) Dann hier noch mal etwas ausführlicher - und in wenigen Tagen bau ich meine Änderung wieder ein, ja??

Also: In der $\epsilon$-$\delta$-Bedingung wird für die Existenz eines Grenzwertes $b$ gefordert, dass zu jedem positiven $\epsilon$ ein positives $\delta$ existiert, so dass für alle $x$ mit $|x-a|<\delta$ gilt:

$|f(x)-b|<\epsilon$.

Insbesondere ist $x=a$ zugelassen - und das gibt z.B. dann ein Problem, wenn der Funktionswert an der genannten Stelle gar nicht existiert.

Die im Beispiel genannte Funktion $f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$ hätte nach dieser Definition z.B. keinen Grenzwert für $x\rightarrow 1$, also auch nicht den Grenzwert 2, da sich die Bedingung $|f(1)-2|<\epsilon$ wegen Nichtexistenz von $f(1)$ nie erfüllen lässt.

In der Konsequenz muss die Wahl $x=a$ ausgeschlossen werden und es dürfen nur $x$-Werte zugelassen werden, die in einer "punktierten" $\delta$-Umgebung von $a$ liegen.

Dann haben übrigens auch so abenteuerliche Funktionen wie $f$ mit $f(x)=0$, falls $x\not =0$ und $f(0)=1$ einen Grenzwert.

Und erst diese Änderung macht dann eine Aussage wie folgende sinnvoll: Eine Funktion ist an einer Stelle ihres Definitionsbereichs stetig, wenn sie an dieser Stelle einen Grenzwert hat und dieser mit dem Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmt.

Auch die qualitative Aussage über den "Unterschied" zwischen den Funktionswerten und dem Limes müsste etwas angepasst (oder weggelassen) werden.

Liebe Grüße
Olaf Rönitz aus Berlin
roenitz@freenet.de

Lies bitte genauer, da steht: "sodass für beliebige x-Werte aus dem Definitionsbereich von f, die der Bedingung | x − a | < δ genügen, auch | f(x) − b | < ε gilt." In Deinem Beispiel liegt die 1 nicht im Definitionsbereich. Wenn Du den Grenzwert für $x\neq a$ betrachten willst, kannst Du $a$ jederzeit aus dem Definitionsbereich entfernen.--Gunther 12:42, 31. Jan 2006 (CET)

In der Literatur gibt es offenbar beide Konventionen.--Gunther 13:01, 31. Jan 2006 (CET)

O wei - da habe ich wohl wirklich nicht richtig hingeschaut! Stimmt! - Es steht da... T'schuldige!

Bleibt die Sache mit der Stetigkeit, die mir so immer noch nicht gefällt (ich geb's ja zu: Es ist eine Frage des persönlichen Geschmacks!): Nach deiner Definition kann eine Funktion an einer Stelle ihres Definitionsbereichs nur dann einen Grenzwert haben, wenn sie dort auch stetig ist. Also hat die von mir genannte Funktion $f$ mit $f(x)=0$ für $x\not =0$ und $f(0)=0$ wirklich keinen Grenzwert für $x\rightarrow 0$. Ist das so von dir beabsichtigt?!? - Liebe Grüße - der kurzsichtige Olaf aus Berlin

Es ist fast dasselbe, aber Stetigkeit setzt voraus, dass die Funktion in dem Punkt auch definiert ist. Das ist beim Grenzwert einer Funktion eben nicht der Fall. Stetig fortsetzbare Funktionen haben auch einen Grenzwert. --DaTroll 13:50, 31. Jan 2006 (CET)

Wie gesagt, "meine" Definition ist flexibler: "Dein" Grenzwert von $f$ für $x\to a$ ist "mein" Grenzwert von $f|_{\mathbb {R} \setminus \{a\}}$.--Gunther 14:04, 31. Jan 2006 (CET)

Umbenennung

Ich habe vor, in den nächsten Tagen den Artikel Konvergenz (Mathematik) auf Grenzwert (Folge) umzubenennen, den Artikel Limes (Mathematik) auf Grenzwert (Funktion) umzubenennen und dann die Inhalte entprechend umzustukturieren. Meinungen dazu bitte hier oder noch besser auf Portal_Diskussion:Mathematik#Konvergenz_.28Mathematik.29_und_Limes_.28Mathematik.29 --NeoUrfahraner 06:53, 21. Apr 2006 (CEST)

Ich habe jetzt den ersten Teil der Umbennung abgeschlossen; im Detail ist noch einiges zu Glätten, daher der Überarbeiten-Hinweis. --NeoUrfahraner 11:06, 26. Apr 2006 (CEST)

Verständlichkeit

Wollte mich nur mal den Verständlichkeitskritikern anschließen. Dér Text bombadiert einen nur so mit Fachbegriffen und Variablen, die nur jemandem etwas bringen, der sich mit dem Thema schon länger auseinandersetzt. Will man als relativer Neuling hier durchsehen, gibt man nach dem dritten Formelstapel einfach auf.

Ente

definition

Der Artikel besitzt keine richtige _Definition_ in der Einleitung. Wäre nett, wenn jemand eine gute finden würde.

redir approximation

Die Seite Approximation besteht aus einem redirect auf diese Seite. Hier wird jedoch nicht erklaert, was Approximation (z.B. einer Funktion) ist. Deshalb finde ich diesen redirect falsch. Ich habe (vergebens) versucht, den redirect einfach zu loeschen. Kann jemand helfen? MH 16:02, 5. Mär 2004 (CET)

Limes ist nicht unendlich

Hallo Mathematiker, nach meiner unmaßgeblichen Erinnerung kann ein Limes nicht unendlich sein. Da gehen nämlich alle Definitionen mit Epsilon-Umgebung etc. in die Hose. Daher musst ich die betreffenden Beispiele löschen.

Suricata 20:15, 17. Aug 2004 (CEST)

Soweit ich weiß bedeutet $\lim _{x\to 0}f(x)=\infty$ lediglich, dass die Funktion an der Stelle 0 über alle Grenzen wächst und nicht, dass der Grenzwert (aktuell) unendlich ist, so habe ich das zumindest in der Schule gelernt ;) . siehe: Unendlichkeit#Analysis --Oracle of truth 01:28, 12. Okt 2004 (CEST)

Man kann $\lim f(x)=\infty$ noch etwas mehr Sinn geben: auf R vereinigt mit unendlich definiert man eine Umgebungsbasis von unendlich durch Intervalle (x,unendlich]. Die Limesaussage bedeutet dann, dass f, fortgesetzt durch f(0)=unendlich, stetig ist. Irgendwo in diesem Artikel fehlt dringend der allgemeine Limesbegriff aus der Topologie.--Gunther 00:12, 26. Feb 2005 (CET)

Man bezeichnet die Grenzwerte $\lim _{x\to 0}f(x)=\pm \infty$ als uneigentliche Grenzwerte (sowohl bei Folgen, wie auch bei Funktionen). Hiermit bezeichnet man also eine ganz klar definierte Divergenz (und nicht konvergenz). Billen 22:00, 16. Apr 2006 (CEST)

Ob ein Grenwzwert existiert, hängt von der verwendeten Topologie ab. Im Sinne der üblichen Topologie der reellen Zahlen sind "bestimmt divergente" Folgen/Funktionen divergent, es lässt sich aber problemlos eine Topologie angeben (nämlich die üblichen Topologie der erweiterten reellen Zahlen), in der sie konvergent sind. --NeoUrfahraner 14:00, 17. Apr 2006 (CEST)

limes superior

hi sollte hier nich auch was über den lims superior zu lesen sein?

Ja, sollte. Vielleicht sollte es aber auch einen eigenen Artikel ueber Limes superior und Limes inferior (schreibt man den so?) geben, mit Redirects von Limes inferior und eventuell von Limsup, Liminf, Lim sup, Lim inf. --SirJective 12:44, 10. Feb 2005 (CET)

So, jetzt steht hier was übern Limes superior. Ist ausgeschnitten von Limes superior und Limes inferior -- 80.138.104.199 18:03, 28. Apr 2005 (CEST)

Verschieben

Fast inhaltsgleich mit Konvergenz (Mathematik) --qwqch 21:40, 8. Feb 2005 (CET)

Diskussion darueber bitte auf Diskussion:Konvergenz (Mathematik). --SirJective 12:44, 10. Feb 2005 (CET)

Verständlichkeit

Da das Lexikon nicht nur Mathematiker und Physiker benutzen fände ich es hilfreich, wenn eine etwas leichter verständliche Einleitung den Anfang machen würde, bevor die genaue Erklärung kommt. Der "normale" Leser, der vor zehn Jahren vielleicht mal Mathe Grundkurs hatte muss sich erst ziemlich lange mit dem Artikel beschäftigen um möglicherweise nur zu erfahren: Für was brauchen wir den? Was sagt der mir? Gruß, Kaffeefan 18:30, 8. Jun 2005 (CEST)

Moin moin, da das Lexikon auch von Mathematikern oder Physikern oder gar Informatikern benutzt wird, würde ich vorschlagen die folgende formale Definition im Teil "Formale Definition" einzufügen, da eine natürlich-sprachliche Definition immer missverständlich ist (ungenaue Semantik): $(x\rightarrow p\Rightarrow f(x)\rightarrow L)\Leftrightarrow (0<|x-p|<\delta \Rightarrow 0<|f(x)-L|<\epsilon )$ --*skomp 20:49, 13. Jan. 2007 (CET)

lim sup

So besonders gelungen finde ich den Abschnitt allerdings auch nicht, z.B. für den lim sup der Folge (1/n).--Gunther 01:32, 12. Jun 2005 (CEST)

It's a wiki. Eine kurze Erläuterung finde ich aber in jedem Fall besser als ein Siehe auch. Die Einleitung müsste auch mal überarbeitet werden, das Wort Konvergenz taucht irgendwie viel zu spät auf. --DaTroll 11:47, 12. Jun 2005 (CEST)

Limes superior...

Tut mir leid, DaTroll aber ein "Limes superior" ist nun mal nur ausnahmsweise eine obere Schranke, und man kann ihn sich auch nicht als solche "vorstellen". Die Sache ist komplizierter und sprengt meines Erachtens den Rahmen dieses Artikels. Im Originalartiel Limes superior und Limes inferior geht der Satz noch ein bisschen weiter. Richtig verständlich ist er auch dort nicht, aber in der jetzt hier eingefügten Verkürzung ist er so sinnvoll wie das berühmte Goethe-Zitat "Grau, teurer Freund, alle Theorie und grün." -- Peter Steinberg 22:35, 12. Jun 2005 (CEST)

Übrigens habe ich mit gutem Grund nicht zu Limes superior und Limes inferior verlinkt, sondern auf den eher verständlichen Artikel Supremum. -- Peter Steinberg 22:47, 12. Jun 2005 (CEST)

Habe den fraglichen Abschnitt und den Einleitungssatz in Limes superior und Limes inferior überarbeitet.--Gunther 23:00, 12. Jun 2005 (CEST)

Wäre nicht Häufungspunkt noch eingängiger als Grenzwert einer konvergenten Teilfolge? Gut, der unliebsame Fall $\pm \infty$ bliebe dann noch gesondert zu behandeln, von einem uneigentlichen Häufungspunkt hab ich jedenfalls noch nie was gehört.--MKI 23:09, 12. Jun 2005 (CEST)

Hm, ich habe das genau umgekehrt eingeschätzt: Ich dachte, dass Häufungspunkte ein eher ungewohnter Begriff sind, während es z.B. bei $(-1)^{n}$ klar ist, welche Teilfolgen man wählen muss. Auch formuliert man ja meistens: "Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist konvergent gegen den selben Grenzwert.", und nicht "Konvergente Teilfolgen haben genau einen Häufungswert." Aber lass' Dich nicht davon abhalten, es zu ändern, wenn Du es anders siehst.--Gunther 23:20, 12. Jun 2005 (CEST)

@Peter Steinberg: wenn ein bestimmter Textteil unverständlich ist, ist es nicht sinnvoll, ihn deswegen zu löschen, er sollte dann verbessert werden. Danke an Gunther für die Überarbeitung. --DaTroll 09:13, 13. Jun 2005 (CEST)

rerevert

Der Limes ist aber kein Näherungsverfahren. Und $n=\infty$ einsetzen ist verboten. Dieser Gedanke war im Barock verbreitet. Der Grenzwert darf nicht angenommen werden, weil er dann weder Maximum noch Minimum ist und nichts begrenzt. Und man erhält aus der Grenzwertbildung nicht den Grenzwert, sondern beweist, daß der Grenzwert (deswegen im vornehinein) einer ist. Leider gibt es Weierstraß' Grundlegung der Analysis nur aus zweiter Hand von seinen Schülern. Ich möchte in der Einleitung drinhaben, daß der Grenzwert ein einzelner Wert ist, und daß die Annäherung nur für $x_{0},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ betrachtet wird, und nicht für $x_{n+1},x_{n+2},\cdots ,x_{\infty }$. Man kann ja auch eine falsche Grenze einsetzen, dann funktionierts nicht.

Hier noch zwei Zitate Cantors im Zusammenhang mit Irrationalzahlen (eines Schülers Weierstraßens):

1. Man sieht, daß hier das Erzeugungsmoment, welches die Menge mit der durch sie zu definierenden Zahl verknüpft, in der Summenbildung liegt; doch muß wesentlich hervorgehoben werden, daß nur die Summation einer stets endlichen Anzahl von rationalen Elementen zur Anwendung kommt und nicht etwa von vorneherein die zu definierende Zahl b als die Summe $\sum a_{\nu }$ der unendlichen Reihe $(a_{\nu })$ gesetzt wird; es würde hierin ein logischer Fehler liegen, weil vielmehr die Definition der Summe $\sum a_{\nu }$ erst durch Gleichsetzung mit der notwendig vorher schon definierten fertigen Zahl b gewonnen wird. Ich glaube, daß dieser erst * von Hernn Weierstraß vermiedene logische Fehler in früheren Zeiten fast allgemein begangen und aus dem Grunde nicht bemerkt worden ist, weil er zu den seltenen Fällen gehört, in welchem wirkliche Fehler keinen bedeutenden Schaden im Kalkül anrichten können. --

• * Nicht ganz: Weierstraß war der zweite, Cauchy hat diesen Fehler auch nicht gemacht, hatte aber keine "Schule", es bekannt zu machen.
• Bemerkung: Es wird $\nu =\infty$ statt heute üblich:$\nu \to \infty$ geschrieben. Nicht eingesetzt!

2. Nach allen diesen Vorbereitungen ergibt sich als erster streng beweisbarer Satz, daß wenn b die durch die Fundamentalreihe $(a_{\nu })$ bestimmte Zahl ist, alsdann $b-a_{\nu }$ mit wachsendem $\nu$ dem absoluten Betrage nach kleiner wird als jede denkbare rationale Zahl, oder was dasselbe heißt, daß

$\lim _{\nu =\infty }a_{\nu }=b$

.

Man achte wohl auf diesen Kardinalpunkt, dessen Bedeutung leicht übersehen werden kann: Bei der dritten Definitionsform wird nicht etwa die Zahl b definiert als "Grenze" der Glieder $a_{\nu }$ einer Fundamentalreihe $(a_{\nu })$; denn dies würde ein ähnlicher logischer Fehler sein wie der bei Besprechung der ersten (Zitat 1.) Definitionsform hervorgehobene und zwar aus dem Grunde, weil alsdann die Existenz der Grenze $\lim _{\nu =\infty }a_{\nu }$ präsummiert würde; vielmehr verhält sich die Sache umgekehrt so, daß durch unsere vorangegangen Definitionen der Begriff b mit solchen Eigenschaften und Beziehungen zu den rationalen Zahlen bedacht worden ist, daß daraus mit logischer Evidenz der Schluß gezogen werden kann: $\lim _{\nu =\infty }a_{\nu }$ existiert und ist gleich b. ...

Diese Gedanken treffen wohl doch auch auf gewöhnliche Grenzwertprozesse zu. Sonst taugt diese Beweisart nichts.

Was sollen die Existenz- und All-Quantoren in dem Grenzwert einer Folge. Ist unlesbar, und den Zusammenhang dort zwischen zweiten All-Quantor und dem vorhergehenden Existenz-.Quantor kann ich mindestens sprachlich nicht fassen.Ich meine dieses Monster:

$\left(\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}\right)=a\right)\quad \Longleftrightarrow \quad \forall \left(\epsilon >0\right)\exists \left(N\in \mathbb {N} \right)\forall \left(n>N\right):\left|a_{n}-a\right|<\epsilon$

Ich brauche eine genaue Aussage darüber für die Schildkröte und warum Zenon, mit unserem Ansatz nicht einverstanden ist.

Wenn wieder keiner antwortet rereverte ich. Das ist eine Drohung!--[[ Benutzer:Roomsixhu|Roomsixhu]] 15:47, 14. Jul 2005 (CEST)

Endlich viele Werte "wissen" nichts vom Grenzwert. Man kann immer endlich viele Folgenglieder weglassen, und es ändert sich nichts an Konvergenz oder Grenzwert. Der Grenzwert ist ja gerade als die einzige Zahl charakterisiert, für die gilt, dass in jeder Umgebung unendlich viele Folgenglieder liegen. Das hat aber nichts mit "unendlich klein" oder "unendlich nahe bei" zu tun.

Das erste Zitat bezieht sich auf unendliche Reihen, die auf die Konvergenz von Folgen endlicher Teilsummen zurückgeführt werden; den Bezug zu Deinen Änderungen sehe ich nicht. Das zweite Zitat scheint sich auf die Konstruktion der reellen Zahlen zu beziehen, der Zusammenhang ist mir auch nicht klar.

Die Erklärung, was $|a_{n}-a|<\epsilon$ bedeutet, würde ich nicht in Klammern einfügen; das verschlechtert die Lesbarkeit. Es wäre aber sinnvoll, das in einem separaten Satz zu erläutern, dass das eine Kurzschreibweise für "der Abstand von $a_{n}$ und $a$ ist kleiner als $\epsilon$" oder "$a_{n}$ liegt in einer $\epsilon$-Umgebung um $a$" ist.--Gunther 16:34, 14. Jul 2005 (CEST)

Unendlich viele hieß bei mir fast alle . Du sagst mir nur, daß ich mit $x_{n+1},x_{n+2},\cdots ,x_{\infty }$ rechnen soll, das werde ich nicht tun. Herrscht da nicht ein Induktionsbeweis mit N als Anfang und Schluß von n auf n+1 vor? Da kommt auch nichts von $n=\infty$ vor. Was ist noch mit dem gutlesbaren Monster? Ich meine, daß man nicht erwarten sollte aus der Grenzwertdefinition den Grenzwert berechnen zu können, sondern damit einen Grenzwert beweist. Und Du setzt bei Deiner Begriffsbildung den Grenzwert schon voraus. Die unendlich vielen Glieder wissen etwas vom Grenzwert. Wieso?--Roomsixhu 17:18, 14. Jul 2005 (CEST)

Zum "sprachlichen Monster": Für jeden Mathematiker ist das leicht lesbar; ausgesprochen wird es in etwa: "Für jedes Epsilon größer Null existiert ein N, sodass für jedes n größer N gilt, dass die Differenz zwischen a_n und a betragsmäßig kleiner Epsilon ist." Wo ist das Problem? Kannst Du das "sodass" sprachlich nicht fassen? Ich stimme allerdings zu, dass man die sprachliche Fassung ergänzen sollte und dass es die Sprechbarkeit erleichtert, wenn man statt N N_0 (oder einen anderen unterschiedlich gesprochenen Buchstaben) schriebe. --NeoUrfahraner

Ich kann das fassen, aber nicht aussprechen. Der erste All-Quantor heißt für jedes, der zweite sodass für jedes, sie sehen aber beide gleich aus. Ist "sodass" ein Implikation? Muß ich zur Entscheidung für oder gegen sodass Aussagenlogik treiben? Kann man die Bedeutung an der Stellung nach dem Existenzquantor ablesen? Bitte ein Kochrezept dazu. --Roomsixhu 17:44, 14. Jul 2005 (CEST)

Nein, das "so dass" ist Teil des Existenzquantors. Existenzquantoren lesen sich immer als "es existiert ein x, so dass".--Gunther 17:50, 14. Jul 2005 (CEST)

Was meinst Du mit "Nein"? Aber sonst danke, ist hilfreich.--Roomsixhu 17:54, 14. Jul 2005 (CEST)

Warum hast Du bei Limes einer Funktion die Folge wieder herausgenommen? Dann füge doch etwas ein, was den sinnentleerten Hinweis $x\to a$ wieder sinnvoll und umgänglich macht. War hier die Darstellung ohne Betragsstriche auch schlecht lesbar?--Roomsixhu 18:04, 14. Jul 2005 (CEST)

Die Definitionssätze sind für sich genommen schon schwierig genug. Sie dann noch durch Einschübe in Klammern zu unterbrechen, halte ich für ungünstig. Und die $\epsilon$-$\delta$-Definition kommt ohne Folgen aus. Man kann (und sollte) irgendwo erwähnen, dass $f(x)\to b$ genau dann gilt, wenn für jede Folge mit $x_{n}\to x$ auch $f(x_{n})\to b$ gilt, aber nicht mitten in der Definition.--Gunther 18

11, 14. Jul 2005 (CEST)

Ja gut, dann bitte unten anhängen.(Kein Witz) Und gleich elegant zur Zahlentheorie überleiten.(Ein Witz)--Roomsixhu 18:22, 14. Jul 2005 (CEST)

Einleitung

In der Einleitung steht:

• Grenzwert ist durch Grenzwertbildung (Vorschrift) definiert. Schlecht: Ein Begriff mit sich selbst erklärt.
• in einer Folge von Schritten, stellen Schritte eine Annäherung (Approxiamtion) dar. Genauso steht es da, die Schritte stellen die Annäherung dar. Was macht dann die Folge?(Oft. Wie oft? Immer öfters?)
• Diese Annäherung nähert sich irgendwann (manchmal) nicht mehr dem Grenzwert.

Stattdessen nähern sich (jetzt wieder) Einzelwerte dem Grenzwert. Was sind Einzelwerte? Glieder einer Folge?

Was ist dann eine Folge von Schritten??

Das ist eine Achterbahn--Roomsixhu 19:01, 14. Jul 2005 (CEST)

Wenn die Folge den Grenzwert annimmt, bricht aber die ganze Vorschrift zusammen.

Vorschlag zur Einleitung:

Das Infinitesimale (ein Unendlichkleines) ist nicht Gegenstand dieser Vorschrift, sondern ein Merkmal (Attribut) der Bestandteile der Vorschrift. Es kommen nur endliche Größen vor und man sagt, wenn ein Wert seine unendliche Eigenschaft annimmt gleichzeitig, daß die Folge (o.ä) gegen den Grenzwert konvergiert oder divergiert, je nachdem. --Roomsixhu 19:27, 28. Jul 2005 (CEST)

Oh, tut mir leid, habe erst nach dem Revert gesehen, dass Du die Änderung hier vorgeschlagen hattest. Nochmal ausführlicher:

• Das "Infinitesimale" wird nicht erklärt und taucht vorher nicht auf.
• Mir ist auch nicht klar, was "das Infinitesimale" überhaupt ist, infolgedessen verstehe ich den ganzen ersten Satz nicht.
• Mir ist nicht klar, was Du damit meinst, dass "ein Wert seine unendliche Eigenschaft annimmt".

--Gunther 00:07, 4. Aug 2005 (CEST)

Ich hatte es erst hierhin geschrieben aber das beachtet ja keiner. In der Einleitung steht siehe oben sowieso eine Achterbahn. Wenn das Infinitesimale keine Rolle spielt, braucht man doch keinen Grenzwert und ich verweise auf Zenon Achilles_und_die_Schildkröte. Aber warum wird nicht unendlich eingesetzt oder durch Null geteilt? Man kann altenativ in der Einleitung ja auch nur die endlichen Werte erwähnen. es steht gar nichts über wie oft. (endlich? nein unendlich=infinitesimal!). War auch nur ein Vorschlag, wenn es sonst keinen stört, na bitte. Ich mach auch Nichtstandardanalysis, aber na und? Tschuldigung für den Zeilenumbruch. Ich mach nächstesmal wohl lieber eine Baustelle, wenn mich was wurmt. Gruß --Roomsixhu 00:20, 4. Aug 2005 (CEST)

Ich meine folgendes: Welcher Erklärungsansatz wird hier verfolgt? Ein moderner? Der wird sofort historisch sobald er seine Aufgabe erfüllt hat. Hat er das? Ich habe zwar eine Idee vom Grenzwertbegriff, verstehe aber die Einleitung nicht. Das macht mir nicht so viel aus, denn ich habe mindetens fünf Wege mich diesem Gebiet zu nähern.

1. Cauchy war der erste der das Unendlichkleine aus der Diskussion des Grenzwertbegriffs ausschloß. Im Barock stellte sich die Diskussion so dar wie auf unserer Differentialseite. Cauchy versuchte rationale und irrationale Zahlen auseinanderzuhalten, hat das nur nicht durchgehalten. Cauchys Zahlbegriff war aber nicht zukunftweisend und diametral entgegengesetzt dem von Weierstraß.
2. Weierstraß hat im selben Sinne das Infinitesimale nicht zugelassen. Im Zusammenhang mit dem Zahlbegriff versuchte er zu den Irrationalzahlen die Gleichheit von sie bildenden Reihen zu beweisen. Das gelang ihm nicht. Er konnte nur beliebig genaue Vergleiche anstellen. "In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert eine Größe" wäre in diesem Sinne zu beweisen.
3. Sein Schüler Cantor hatte auch keinen weiteren Begriff, schenkte uns aber die Mengenlehre mit ihrer beeindruckenden Axiomatik. Ist das vielleicht der unsrige Ansatz, nach Bourbaki?
4. Dedekind hatte wieder eine andere Auffassung. In diesem Zusammenhang erwähne ich, daß es nicht unter allen Umständen (damit meine ich bei bestimmten Zahlbegriffen) angebracht ist Werte auszunehmen, um einer Folge das Annehmen des Grenzwertes zwischendurch zu gestatten. "Dabei kann es vorkommen, dass keiner dieser Approximationsschritte den Grenzwert selbst erreicht". Zumindestens ist das heikel.
5. Schließlich kann man noch sagen die unendlichen Zahlen (gibt es mehrere?) sind Zahlen wie alle anderen einschließlich der Rechengesetze, laßt uns damit rechnen, ist zwar vielleicht umständlich aber die Nichtstandardanalyisis macht das. "es handelt sich um eine Folge von Schritten, die Approximationen an den Grenzwert (an den was?) darstellen" passt dann hier wieder nicht gut.
6. und natürlich der Wikipediaansatz.

Zu "Stattdessen nähern sich die Einzelwerte immer mehr an den Grenzwert an" fällt mir nur ein: "Die N atürlichen Zahlen schenkte uns Got t", weiß nicht mehr von wem das Zitat ist. "unterschiedlich" meint hier bestimmt nicht historisch unterschiedlich. Deswegen ärgert mich auch die Nichtbezeichnung "oft" und die ganze Nichteinleitung. Darum, welche Aufgabe hat dieser Wikiansatz erledigt? Nicht historisch werden? Würde das Gegenteil jemanden kränken? Wikipedia ist doch nicht für Unverstand verantwortlich, sondern sollte Gutes auch wiederholen dürfen und darauf hinweisen, daß man unendlich nicht einsetzt in eine Gleichung.--Roomsixhu 01:43, 4. Aug 2005 (CEST)

Ja, die derzeitige Einleitung ist unverständliches Geschwafel, aber das wird nicht dadurch besser, dass man es durch andere unverständliche Sätze ergänzt. Meinetwegen kann man die Einleitung ersetzen durch:

In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Folge denjenigen Wert, den man als das Folgenglied mit Index "unendlich" auffassen kann. Der Grenzwert einer Funktion ist derjenige Wert, den die Funktion haben müsste, um an der jeweiligen Stelle stetig zu sein.

--Gunther 02:27, 4. Aug 2005 (CEST)

Gefällt mir viel besser. Viel knapper und klarer. Vielleicht "Index unendlich" ganz in Anführungszeichen. --Roomsixhu 02:44, 4. Aug 2005 (CEST)

Wenn man das geeignet interpretiert, ist es ein echter Index, dem man den Namen "unendlich" geben kann. Ich bin mal so mutig, es gleich in den Artikel zu übernehmen, das steigert wahrscheinlich die Beteiligung an der Diskussion ;-) --Gunther 02:47, 4. Aug 2005 (CEST)

Das Thema ist kein sofort verständlicher Gegenstand. Hoffentlich beschäftigen sich mehr damit. Der muß bestimmt kontinuirlich (sic!) begleitet werden. Der Link zu den mathematischen Symbolen war ganz schön. Vielleicht unten am Artikel?--Roomsixhu 14:11, 4. Aug 2005 (CEST)

Wichtige Grenzwerte

Welche Grenzwerte sollen dort als "wichtig" stehen und welche nicht? --NeoUrfahraner 13:23, 21. Sep 2005 (CEST)

Da Folgengrenzwerte einen separaten Artikel haben, finde ich alles außer $\sin x/x$ entbehrlich.--Gunther 13:33, 21. Sep 2005 (CEST)

Welcher Artikel ist das? --NeoUrfahraner 16:47, 21. Sep 2005 (CEST)

Konvergenz (Mathematik). Aber man sollte da ohnehin mal umsortieren, siehe dortige Diskussion. Wenn ich mal wieder mehr Zeit habe...--Gunther 16:55, 21. Sep 2005 (CEST)

Unsinnige Definition

Der Inhalt dieser Diskussion bezieht sich nicht mehr auf den aktuellen Artikel sondern auf die gesamte Mathematikdarstellung in der Wikipedia.

Wenn ich sage $f(x)=x$ mit Definitionsbereich $D=\{5\}$, kann ich laut der Definition von Wikipedia z.B. sagen:

$\lim _{x\to 42}f(x)=13$

Dafür muss man nur $\delta =1$ setzen, und schon gibt es keine x-Werte mehr aus dem Definitionsbereich für die gilt: $|x-42|<\delta$.

Dann kann also auch $|f(x)-13|<\epsilon$ niemals falsch sein (denn man darf nur die x-Werte nach vorherigem Kriterium einsetzen). --DFG 17:10, 1. Okt 2005 (CEST)

Logisch ist Deine Argumentation schon. Aus Falschem folgt beliebiges. Aber welche von den drei Definitionen meinst Du? Aber wie willst Du $x\to 42$ laufen lassen, das ist bei Deiner Definitionsmenge nicht definiert. Du kanst nicht mal $x\to 5$ laufen lassen. Deine Wertemenge ist auch nur 5 und Dein Problem ist eine einzige Singularität, die Funktion ist nicht mal eine konstante Funktion und schließlich machst Du mit 5 ist 5 eine individuelle Aussage und gar keine logisch zugängliche. Dein Wertebereich ist auch nicht irgendwie kontinuierlich, so daß man ein $\Delta x=x-x_{0}$ angeben könnte, denn das ist bei Deinen Voraussetzungen immer identisch 0 ($\equiv 0$).--Roomsixhu 16:45, 1. Okt 2005 (CEST)

@DFG: Dein Einwand ist vollkommen berechtigt, damit $\lim _{x\to a}f(x)$ sinnvoll definiert ist, muss $a$ im Abschluss des Definitionsbereiches von $f$ liegen.--Gunther 16:52, 1. Okt 2005 (CEST)

1. Ich folgere nichts aus etwas Falschem.

2. Aus meiner Problemstellung ergibt sich die dazugehörige Definition (also die erste).

3. Ich kann $x\to 42$ laufen lassen, wenn es in der Definition nicht irgendwie verboten wird.

4. Ich kann $x\to 5$ laufen lassen, wenn es in der Definition nicht irgendwie verboten wird.

5. In der Definition steht nichts von kontinuierlich.

--DFG 17:10, 1. Okt 2005 (CEST)

PS: Ich weiss wo der Fehler liegt. $a$ muss nämlich ein Häufungspunkt in $D$ sein. Das ist alles. Habe gerade in einem guten Uni-Skript nachgeschlagen. 5 und 42 sind keine Häufungspunkte in $D$.

Nur zu deiner Info: $a$ selber muss nicht in $D$ enthalten sein. Sonst könnte man ja beispielsweise nicht $\lim _{x\to 0}{\frac {sin(x)}{x}}$ berechnen, denn 0 kann hier niemals zum Definitionsbereich gehören. Die 0 ist jedoch ein Häufungspunkt in $\mathbb {R} \setminus \{0\}$.

--DFG 17:10, 1. Okt 2005 (CEST)

Das hat Gunther auch nicht gesagt, sondern dass a im Abschluss von D sein muss. Und natürlich ist 0 im Abschluss des Definitionsbereiches von sin x/x. --DaTroll 17:37, 1. Okt 2005 (CEST)

Ich sagte es zu Roomsixhu. --DFG 18:03, 1. Okt 2005 (CEST)

An DFG: Danke für die Antwort. Ich meinte mit Falschem nicht Fehler sondern den Widerspruch $|5-42|<\delta =1$. Damit existiert doch kein Grenzwert. Dann folgt beliebiges, nämlich, daß eine Aussage über $\epsilon$ nicht falsch sein kann. Siehe Aussagenlogik#Folgerungen_-_Implikation_bzw._Subjunktion. Das bedeutet: Wenn die Folgerung $A\Rightarrow B$ wahr ist, dann erhält man aus der Aussage ¬A keine Aussage über B; B kann wahr oder falsch sein. ("Ex falso quolibet" - "Aus Falschem - was du willst"). Eine Schwäche der Aussagenlogik, weil sowas sinnlos ist.--Roomsixhu 16:10, 2. Okt 2005 (CEST)

Bei mir gibt es keinen Widerspruch! Ich habe auch niemals gesagt, dass $|5-42|<\delta =1$ wahr wäre.

Bei mir ging es darum, dass die Menge aller x für die gilt $|x-42|<1$ geschnitten mit dem Definitionsbereich $D=\{5\}$ gleich der leeren Menge ist. Und für alle x aus der leeren Menge gilt nun mal: $|f(x)-13|<\epsilon$. Das hat nichts mit Widersprüchen oder falschen Annahmen zu tun. --DFG 20:39, 2. Okt 2005 (CEST)

Habe ich auch nicht gesagt, sondern $|5-42|<\delta =1$ ist der Widerspruch. 37 hat keinerlei Identität mit einer Zahl kleiner 1. 37 ist nicht eine Zahl kleiner 1. Sowas nennt man Widerspruch. Bei Dir gibt es keinen Widerspruch, das stimmt.

Versteh ich das richtig? Bleiben für diese Bedingung keine x mehr übrig? Aber das ist dem entgegengesetzt, daß für alle x aus der leeren Menge die epsilon Bedingung gilt. Was ist denn f(x) mit einem Element der leeren Menge, beziehungsweise die ganze Bedingung für ein Element der leeren Menge? Ich kann mir darunter nichts vorstellen..

Für Dich ist ein x auch ein Element einer Menge. Das ist aber nicht zwingend. x ist eine unbestimmte Zahl oder Zahlgröße mit einer nicht

näher angegebenen Bedeutung, und wie wird ihr ein Wert zugewiesen? Das sind alles von Dir unausgesprochene Voraussetzungen. Und es müßte für x=5 auch stimmen.--Roomsixhu 22:55, 2. Okt 2005 (CEST).

Habe Deins oben noch mal überdacht, langsam dämm

erts mir.--Roomsixhu 23:02, 2. Okt 2005 (CEST)

Es gilt beispielsweise sowohl $x\in \emptyset \Rightarrow x<5$ als auch $x\in \emptyset \Rightarrow x>5$. Daraus lässt sich noch lange kein Widerspruch konstruieren. Es gilt sogar: $x\in \emptyset \Rightarrow (x<5\quad \mathrm {und} \quad x>5)$. Dies ist eine wahre Aussage. --DFG 05:13, 3. Okt 2005 (CEST)

Du hast bestimmt recht, also Du hast den Fehler in der Definition richtig bemerkt, aber

1. $x\neq 5$ folgt für mich aus Deiner Antwort.
2. Was ist diese Schnittmenge?
3. Die Wertemenge ist $W={5}$,. Diese darf ich in f(x) einsetzen, aber nicht in die Epsilonbedingung.
4. Für die Epsilonbedingung, gälte, wenn überhaupt $x\neq 5$.
5. Die Epsilonbedingung ist mit Deinen Aussagen über x, x<5 und x>5 doch vielleicht erfüllbar, also je nachdem, mal wahr mal unwahr.
6. Aus Deiner Funktion folgt für mich D=W, oder x=5, y=5, aber für die Epsilonbedingng gilt $D\neq W$ also $x\neq 5$, y existiert dann nicht, was aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung ist.

Das heißt für mich: Ohne y oder Wertemenge gibt die Epsilonbedingung keinen Begriff ab über den man logisch etwas aussagen kann. Das heißt bei Dir ist es ein möglicher Begriff, über den man alles aussagen könnte.

Meine persönliche Meinung ist, daß schon innerhalb der Begriffsbildung der Mengenlehre zuviel gerechnet wurde. Ansonsten werde ich mal über den Zusammenhang Begriff-Prädikat weiterforschen. Ich glaube doch hier liegt ein "Ex falso quolibet" vor.--Roomsixhu 18:27, 5. Okt 2005 (CEST)

1. Wieso sollte für die Epsilonbedingung $D\neq W$ gelten müssen? Unsinn.

2. Es gab keinen logischen Fehler in meiner Argumentation. Das hat Gunther erkannt und das fehlende Kriterium ergänzt, nämlich dass a im Abschluss von D liegen muss. Damit waren alle zufrieden. Was willst du jetzt noch?

3. Mein letztes Beispiel um dir die Logik zu verdeutlichen hat überhaupt nichts mit irgendwelchen Funktionen und Schnittmengen zu tun. Und schon gar nichts mit dem Ausgangsproblem in diesem Abschnitt. --DFG 04:02, 6. Okt 2005 (CEST)

Ich habe nochmal nachgeschlagen: Meine Behauptung stützt sich darauf, daß die leere Menge zwei Arten von Bergiffen enthält.

1. Begriffe, die es nicht gibt
2. Begriffe, die in sich widerspruchsvoll sind, nicht realisierbar sind.

Also die leere Menge enthält Elemente, die

1. nicht existieren (z.B Zentauren)
2. in sich widerspruchsvoll sind (z.B viereckiges Dreieck).

Ich hatte mir für meine Zwecke zweiteres ausgesucht.

Mir passt die Wertzuweisung hier nicht. Warum kann das niemand mit x=5 erklären? Dann nämlich existiert die Epsilonbehauptung nicht, weil x nicht existiert. Und x gehört aus dem ersten Grund zur leeren Menge.

x ist also ungeklärt. Man sagt die Variable x aus der Definitionsmenge sei gebunden, somit alle x seien gebunden, weil aus der Funktion damit eine Aussage mit dem Wahrheitswert wahr oder unwahr (falsch) entsteht, der dann mit Aussagenlogik entschieden werden kann. Deshalb braucht man hier nur x über eine Menge einen Wert zuzuweisen. Mehr Sinn hat das nicht. Das ist aber sehr umständlich und schwer verständlich für Erklärungen. Ungesagte Vorraussetzungen sind dann die Wertzuweisung von x, die beim Leser ein Mathematikstudium vorraussetzten. Also Kritik: Schwer lesbar alles. Weiß beispielsweise jemand, wie man einer Strecke AB, eine Zahlgröße (z.B. x) zuweist ohne ihre Länge (also ihren Wert) zu messen? Wer hat das für uns alle hier gemacht? Gunthers Verbesserungen muß man sich manchmal angucken, weil sie nur die Hälfte sind. Gunther zählt z. B. nur auf eine Art und Weise, obwohl eine andere möglich ist. Diskussion:Konvergenz_(Mathematik)#Bedingte_Konvergenz ziemlich weit unten das letzte 1. und 2. vom 2 Okt. 2005. Ich habe mir noch eine Folge mit drei Häufungspunkten ausgedacht, die bei Unklarheit einer Wertzuweisung Deine Bedingung erfüllt!--Roomsixhu 23:47, 7. Okt 2005 (CEST)

Ich habe hier zwei Beispiele vorgeführt, daß man die Bedingungen unter Unterschlagung von Wertzuweisung oder Verheimlichung von Vorraussetzungen, wie es in diesen Artikel über den Limes gemacht wird, beweisen kann, auf meiner Benutzerseite wegen Überfüllung hier und "persönlicher" Meinung.--Roomsixhu 01:38, 9. Okt 2005 (CEST)

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Habe die Bedingung eingefügt. Die Verlinkung von Abschluss (Topologie) erscheint mir sinnvoller als Häufungspunkt, weil letzterer Begriff im Zusammenhang mit Folgen eine etwas andere Bedeutung hat.--Gunther 18:59, 1. Okt 2005 (CEST)

Der Häufungspunkt von Folgen wird dort über den Konvergenzbegriff definiert. Wenn man nun Häufungspunkte in der Definition von Grenzwerten verwenden würde, würde man sich im Kreis drehen :)

Ich finde die Definition von Abschluss aber auch sehr schlecht. Vor allem wegen dem Wörtchen "Rand". --DFG 20:49, 2. Okt 2005 (CEST)

In Abschluss (Topologie) finde ich nichts von "Rand". Inzwischen habe ich mal Rand (Topologie) geschrieben (danke für Deine Anregung).--Gunther 21:07, 2. Okt 2005 (CEST)

In Abschluss (Topologie) wird man auf Abgeschlossene Menge verwiesen, und dort wird wiederum der Rand erwähnt. Aber ok, jetzt ist alles scheinbar in Ordnung. Vielleicht finde ich noch was, wenn ich ein paar Semester weiter bin ;) --DFG 00:23, 3. Okt 2005 (CEST)

Man kann sich bei den Begriffen "offene Menge", "abgeschlossene Menge", "Inneres", "Abschluss", "Rand", "Umgebung" einen beliebigen aussuchen und daraus die anderen definieren. Üblicherweise fängt man mit "offene Menge" an, siehe topologischer Raum. Am Anfang fand ich allerdings "Umgebung" anschaulicher. (Eine Umgebung eines Punktes P ist eine Menge, die Obermenge einer offenen Menge ist, die P enthält. $(-1,1)\cup \{2\}$ ist also eine Umgebung von 0.)--Gunther 00:37, 3. Okt 2005 (CEST)

Wenn du als Grundmenge die reellen Zahlen (im euklidischen Raum) als Basis der Betrachtungen nimmst, klar. Wenn es um reelle Zahlen geht ist für mich an den Begriffen auch gar nichts unklar. Kompliziert (naja, nicht wirklich, wenn man verständliche Definitionen vorfindet) wird es, wenn man als Basis der Betrachtungen (wie sagt man mathematisch dazu?) beispielsweise eine Teilmenge der natürlichen Zahlen (im metrischen Raum) nimmt. Dann wäre (beispielsweise) $(-1,1)\cup \{2\}=\{0,2\}$. --DFG 05:05, 3. Okt 2005 (CEST)

Was ich sagen wollte: Egal auf welcher Grundmenge, man muss nur einen der Begriffe für den konkreten Fall erklären, die anderen ergeben sich durch eine allgemeine Konstruktion daraus. Die Artikel verweisen alle aufeinander, um diese Zusammenhänge zu zeigen. Wenn Du konkret mit offenen Mengen anfängst, dann muss Du Dich halt für eine Reihenfolge entscheiden, um eine vollständige Definition zu erhalten, z.B. "Abschluss" → Schnitt von "abgeschlossene Menge" → Komplement von "offene Menge". Wenn Du lieber mit Umgebungen als Grundbegriff arbeitest, kannst Du direkt die Definition mit Berührpunkten aus Abschluss (Topologie) nehmen.--Gunther 11:26, 3. Okt 2005 (CEST)

v

Differentialquotient

Die Schreibweise ${\frac {\mathrm {d} f(p)}{\mathrm {d} p}}$ für $f'(p)$ ergibt so keinen Sinn, denn wenn man für p zum Beispiel die Zahl 2 einsetzt, erhält man ${\frac {\mathrm {d} f(2)}{\mathrm {d} 2}}$.

Besser ist $\left.{\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=p}$ --Digamma 12:12, 24. Feb. 2007 (CET)

Differentiale

Mit Verlaub, der Satz

Differentiale sind die (nach 0 strebenden) Grenzwerte der einzelnen Quotienten des Differenzenquotienten einer Funktion.

ist unsinnig. Ein Grenzwert strebt nicht gegen 0, sondern ist höchstens 0. Nach Deiner Definition wären Differentiale bei differenzierbaren Funktionen einfach nur immer gleich 0. Das macht keinen Sinn. Differentiale in dem Sinn, dass man Zähler und Nenner "unendlich klein" werden lässt, gibt es überhaupt nur dann, wenn man "Infinitisimale" zulässt. Solche gibt es aber in der streng aufgebauten üblichen Analysis nicht.

In der modernen Mathematik sind Differentiale aber etwas ganz anderes. Nämlich entweder bloße formale Objekte eines bestimmten Kalküls, oder gewisse lineare Abbildungen (Differentialformen). --Digamma 19:18, 16. Jan. 2008 (CET)

Das ist richtig, nach 0 streben ist unklar, vielleicht sogar unsinnig.

Dass Differentiale immer 0 sind ist richtig, es sind in der Tat hier eben die "formalen Objekte" gemeint, habe das im Artikel auch jetzt herausgestellt.

Zweifellos sind diese formalen Objekte aber tatsächlich Grenzwerte (dass das aus den Grenzwertsätzen folgt, wurde im Artikel ja sogar kurz abgeleitet), aber natürlich keine "ausgerechneten".

Genauso wie eine Gleichung auch dann noch eine Gleichung bleibt, wenn sie nicht ausgerechnet wird und nur rein formal benutzt wird, ist das Differential natürlich auch immer noch ein Grenzwert, egal wie tief es in einem Integral oder Differentialquotienten drin steckt.

Letztlich sind nicht nur Differentiale, sondern überhaupt alle Grenzwerte, aber auch Funktionen, Zahlen, Platzhalter und Rechenoperatoren "bloß formale Objekte".

Mschcsc 20:09, 16. Jan. 2008 (CET)

Differentialformen sind lineare Abbildungen zwischen gewissen abstrakten Räumen, keine Grenzwerte von Quotienten. --Tolentino 15:24, 21. Jan. 2008 (CET)

Einseitige Ableitungen

Die Aussage, man würde in der Praxis einseitige Ableitungen berechnen, da der beidseitige Grenzwert aufwändiger wäre, ist sicher nicht richtig. Schreibe lieber einen eigenen Artikel über "einseitige Ableitungen" inklusive Beispiel wie Betragsfunktion. Hier hat das meines Erachtens nach nichts zu suchen. --Tolentino 16:38, 21. Jan. 2008 (CET)

Da geb' ich Dir recht, der Hinweis ist überflüssig und in dieser Form tatsächlich sicher nicht richtig - ich hab' ihn entfernt.

Mschcsc 17:02, 21. Jan. 2008 (CET)

Die neue Version suggeriert, man würde öfters Differenzierbarkeit nachweisen, indem man die beiden einseitigen Grenzwerte separat betrachtet und auf Gleichheit untersucht. Dies ist ebenfalls nicht wahr. Diese Art des Konvergenznachweises kommt in der Praxis äußerst selten vor.

Tatsächlich macht einseitige Differenzierbarkeit im Komplexen überhaupt keinen Sinn, weil die Bewegung $z\rightarrow z_{0}$ nicht achsenparallel verläuft. Es wäre wirklich besser, einseitige Phänomene in einen eigenen Artikel zu separieren. --Tolentino 17:04, 21. Jan. 2008 (CET)

Im Komplexen verschwinden die einseitigen Grenzwerte nicht einfach, es wird sogar noch schlimmer (wortwörtlich "komplexer") weil man da für den reelen und imaginären Teil separat je einen links- und eine rechtsseitiger Grenzwert existieren müssen. Ist ja eigentlich auch klar, auf der Zahlengeraden ist die Umgebung von 0 eben entweder +dx oder -dx, im Komplexen ist die Umgebung aber entweder (+dx+i*dx), (+dx-i*dx), (-dx+i*dx) oder (-dx-i*dx)!

Ansonsten geb' ich Dir recht, dehalb ist jetzt nur noch ein wirklich knapper Hinweis im Artikel.

Mschcsc 17:27, 21. Jan. 2008 (CET)

Nein, es geht nicht darum, die (komplexe) Funktion $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ in Real- und Imaginärteil zu zerlegen (das wäre kein Problem), sondern es geht darum, dass die Bewegung $z\rightarrow z_{0}$ nichts mit einseitigen Grenzwerten zu tun hat. Es ist kein Problem des Wertebereichs, sondern des Definitionsbereichs! --Tolentino 17:30, 21. Jan. 2008 (CET)

Ich versuche das an einem Beispiel zu verdeutlichen: Setze $f(z):={\frac {{\rm {Re}}z{\rm {Im}}z}{z|z|^{2}}}$ für $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$. Dann existieren die Grenzwerte $\lim _{x\rightarrow 0,x\in \mathbb {R} }f(x)$ und $\lim _{y\rightarrow 0,y\in \mathbb {R} }f(iy)$ (und sind trivialerweise null). Trotzdem ist der Grenzwert $\lim _{z\rightarrow 0}f(z)$ divergent! --Tolentino 17:56, 21. Jan. 2008 (CET)

So war's natürlich nicht gemeint. Du darfst selbstverständlich nicht im einen Fall den reelen Teil und im anderen den Imaginären einfach so null setzen.

Ich versuch's mal etwas bildlicher.

Die relle Signumfunktion hat deshalb genau einen linken und einen rechten Grenzwert, weil eine betragsmässig beliebig kleine aber von Null verschiedene Zahl ein Vorzeichen haben muss - sonst wäre die Zahl nämlich gleich Null - und Vorzeichen gibt's nunmal eben genau zwei.

Bei der komplexen Signumfunktion ist eine Zahl in der Nähe der Null aber nicht einfach "vorzeichenlos" im Sinne dass wir dadurch plötzlich einen eindeutigen Grenzwert an der Stzelle Null bekämen - dann wäre sie ja stetig - sondern viel schlimmer, die reellen und imaginären Werte können unabhängig voneinander jetzt sogar entweder positiv oder negativ sein, so dass jetzt bei einer Funktion der Form f(z):= sgn(z)*g(z) vier einseitige Grenzwerte gleich sein müssen um die Existenz eines einzelnen komplexen Grenzwertes zu gewährleisten.

Aber ich denke, ich verabschiede mich, ist ziemlich fruchtlos - war eh' eine Randnotitz und wie's scheint willst Du mich auch gar nicht verstehen.

Mschcsc 23:22, 21. Jan. 2008 (CET)

Es gibt keine "betragsmässig beliebig kleine aber von Null verschiedene Zahl" (in der Standard-Analysis). Aber es stimmt, das Diskutieren mit dir läuft immer auf eine sehr einseitige Angelegenheit hinaus.

Im Übrigen wird die Bedeutung der einseitigen Grenzwerte von dir massiv überschätzt. --Tolentino 08:00, 22. Jan. 2008 (CET)

Niemand beweist...

Wie ermittelt man den Grenzwert vom $\lim _{x\to 0}\operatorname {sgn}(x)^{2}$ ?
Wie mach' ich das ohne ihn über die Gleichheit von Links- und Rechtsseitigem Grenzwert zu bestimmen?
Mschcsc 11:38, 22. Jan. 2008 (CET)

Ganz einfach: Für alle Zahlen $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ gilt $\operatorname {sgn}(x)^{2}=1$. Und es gilt offenbar $\lim _{x\rightarrow 0}1=1$. --Tolentino 11:55, 22. Jan. 2008 (CET)

@

Offenbar ist erstmal gar nichts einfach nur so.

Wie berechne ich den Grenzwert von $\lim _{x\to 0}\operatorname {sgn}(x)^{2}$ anhand der Rechenregeln die der Artikel vermitteln soll. Es geht schliesslich ums Prinzip und nicht darum, mit möglichst komplizierten Beispielen die Diskussion wieder bis zur Unendlichkeit zu verkomplizieren. Da verrent man sich nur wieder in unwichtige Teilprobleme und komplizierte Rechnereien.

Kannst sonst natürlich auch $\lim _{x\to 0}(\operatorname {sgn}(sin(x))\cdot \operatorname {sgn}(sin(-x)))$ nehmen. Wie sieht's denn da mit dem Grenzwert aus? Mschcsc 16:52, 22. Jan. 2008 (CET)

Du hast einfach keine Ahnung von Mathematik, wie du jedesmal aufs Neue in den Diskussionen in Differenzenquotient und Differentialrechnung beweist. Die Rechnung ist dermaßen einfach, dass man keinerlei einseitige Grenzwerte und Grenzwertsäze benötigt. --Tolentino 19:01, 22. Jan. 2008 (CET)

Für alle $x\in (-\pi ,0)\cup (0,\pi )$ gilt $\operatorname {sgn}(\sin(x))\cdot \operatorname {sgn}(\sin(-x))=\operatorname {sgn}(-\sin(x)^{2})=-1$, und es ist offenbar $\lim _{x\rightarrow 0}-1=-1$. --Tolentino 10:15, 23. Jan. 2008 (CET)

Weiterer Erklärungsversuch

Unglaublich, was hier wieder abgeht!

Vom Birken wird mir mal wieder Schreibverbot angedroht, gründlich belegte Definitionen werden gelöscht und der Artikel wird gesperrt. Sobald man was schreibt was die immergleichen paar selbsternannten Gurus noch nocht wissen oder nicht auf Anhieb verstehen, wird's gelöscht - ganz egal ob's Belegt wird oder nicht; im Zweifel irrt eben die ganze Welt, nur nicht das kleine Grüppchen der Matheexperten der Wikipedia!

Bei den einseitigen Grenzwerten wurde auch konsequent alles rausgeworfen was ich reingeschrieben habe, später hat Tolentino dann zugegeben, dass das "ein halbes Versehen" war und hat Teile meiner Änderungen dann doch übernommen - bloss dass jetzt im dort zweimal dasselbe am Anfang und am Ende des Artikels steht - genauso wie die Verschlimmbesserung beim Artikel Differentialrechnung wo jetzt beim Beispiel einer nicht differenzierbaren Funktion auch zweimal genau dasselbe dahsteht und jeder der's richtigstellen wird erstmal revertet, in unsinnige Diskussionen hereingezugen und schliesslich noch beschimpft, verspottet und bedroht wird... Sogar wenn einer nur offensichtliche Rechnungsfehler korrigiert wird's wieder x-mal zurückgesetzt!

Dasselbe jetzt wieder bei der "alternativen Definition". Ich habe die falsche Definition des Berührpunktes richtiggestellt (und habe dabei zugegebenermassen erst einen anderen Fehler eingebaut). Wurde natürlich revertiert, von mir nochmals korrigiert und mit jeder Menge Quellen belegt.

Treotzdem wurde wieder revertiert und der Artikel mal wieder gesperrt, weil hier nur das geschrieben werden darf was der Tolentino, der Digamma, der Birken und Neourfahraner aus ihrem Harro Heuser kennen, alles andere wird von ihnen konsequent getilgt.

Es kann doch nicht angehen, dass man hier jeden mathematischen Zusammenhang erst erklären und herleiten muss, so dass es auch der hinterletzte verstanden hat, um dann endlich einen Rechenfehler oder falsche Definitionen korrigieren zu dürfen!

Ich versuch's trotzdem nochmal klarzumachen:

Es geht bei der Definition des Berührpunktes schliesslich erstmal um die Definitionsmenge, und die hat (wenn sie nich leer ist) mit Sicherheit Berührpunkte, aber nicht zwingend Häufungspunkte.

Es gibt viele Funktionen, deren Definitionsbereich nur aus isolierten Punkten besteht, z.B. $D=\mathbb {N}$.$\mathbb {N}$ besitzt keinen Häufungspunkt (aber unendlich viele Berührpunkte, denn jedes $n\in \mathbb {N}$ ist Berührpunkt).

Will man den Grenzwerte vom z.B. $f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\to {\sqrt[{n}]{n}}$ oder $f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\to {\frac {1}{n}}$ bestimmen (also $\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}$, bzw. $\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}$) so ist das mit der jetzigen Definition gar nicht möglich, denn $\mathbb {N}$ hat nunmal keine Häufungspunkte und die Definition ist nutzlos, weil die Vorraussetzung nicht erfüllbar ist.

Die wohl wichtigste Folge in Zusammenhang mit Grenzwerten ist ausgerechnet die Nullfolge $\left({\frac {1}{x}}\right)_{n\in \mathbb {N} ^{+}}$ deren Grenzwert für $n\to \infty$ nach der jetzigen Definition gar nicht bestimmbar ist, weil die Definitionsmenge gar keine Häufungspunkte haben kann!

Man hat eben nur Berührpunkte und gar keine Häufungspunkte zur Verfügung und muss daher die Berührpunkte hernehmen, wenn man die Grenzwerte alternativ zur ε-δ-Definition herleiten will.

Man rechnet dann natürlich auch im zweiten Schritt, bei der alternativen Grenzwertdefinition mit Folgen, deren einzelne Glieder alle "anderen" Berührpunkte (ausgenommen a selbst) der Definitionsmenge sind (und nicht etwa Häufungspunkte, die in diesm Fall gar nicht existieren).

Nur so kann man den Grenzwert z.B. der Nullfolge (bzw. den Häufungswert der Nullfolge) mit $D=\mathbb {N}$ alternativ zur ε-δ-Definition überhaupt bestimmen!

Oder betreiben wir hier schon derartig abgehobene Ellfenbeinturm-Mathematik, dass wir uns für Funktionen der natürlichen Zahlen, oder Teilmengen von rationalen Zahlen gar nicht mehr interessieren und uns um weniger als reele Zahlen gar nicht mehr kümmern?

Im Heuser wird eben der Grenzwert nicht über die Folgendefinition erklärt, sondern über die ε-δ-Definition, dafür wird aber lange und ausführlich die Stetigkeit besprochen und die "Berührpunkte" werden umgekehrt wieder in die Definititionsmenge "hineindefiniert", indem die interessierende Funktion f(x) "umdefiniert" wird und so im Punkt $x_{0}$ stetig gemacht wird (Lehrbuch der Analysis , 234 ff), um dann endlich die ε-δ-Definition auf diese "neugesetzte", stetige Funktion g(x) anzuwenden (Definition 38.1).

Später benutzt er bei der Vereinheitlichung der Grenzwertdefinition (Abschnitt 44, S.249) auch wieder nicht-punktierte Umgebungen weil die Funktionswerte unter Umständen keine Häufungspunkte sind, sondern selbstverständlich isolierte Punkte sein können:

• "Zu jedem ε>0 gibt es ein δ>0 so daß für alle $x\in {\dot {U}}_{\delta }(\xi )\cap X$ stets $f(x)\in U_{\epsilon }(\eta )$ ist.

Im Lehrbuch der Analysis schreibt Heuser aber viel früher im Kapitel III, Grenzwerte von Zahlenfolgen auf Seite 147, Abschnitt 21 sogar ausdrücklich im alleresten und elementarstes Beispiel über den Grenzwert von Folgen:

• Die konstante Folge (a,a,a,a...) konvergiert gegen a.

Für jedes ε>0 und alle $n\geq 1$ ist nämlich, wenn $a_{n}:=a$ gesetzt wird, $|a_{n}-a|=0<\epsilon$.

Im ganzen Kapitel III vom Heuser wird aus gutem Grund auch immer mit den nicht-punktierten Umgebungen (den Berührpunkten) gerechnet, und nur weil nirgendwo angeschrieben steht, dass nichtleere Umgebungen $U(\xi )$ von Elementen einer Menge dasselbe sind wie "Berührpunkte" von Elementen einer Menge, haben die Heuser-Experten nun das Gefühl, "Berührpunkte" gäbe es wohl gar nicht oder sie spielten keine Rolle bei der Konvergenz (den Grenzwerten) von Folgen...

Mschcsc 16:46, 17. Feb. 2008 (CET)

Kürze Deinen Beitrag bitte auf das Wesentliche, vielleicht verstehe ich dann, was Du meinst. --NeoUrfahraner 20:21, 17. Feb. 2008 (CET)

Wenn $D=\mathbb {N}$ dann kann es keine Häufungspunkte von D geben, aber eine Folge in $\mathbb {N}$ kann dennoch einen Häufungswert haben und eine Funktion $f:\mathbb {N} \to R$ kann dennoch einen Grenzwert haben. Die jetzige Definition setzt vorraus dass es in D Häufungspunkte geben muss und ist somit für viele Funktionen und insbesondere für die Definition des Grenzwertes von Folgen (deren Glieder normalerweise isolierte Punkte sind) schlicht unbrauchbar.

Mschcsc 22:02, 17. Feb. 2008 (CET)

Stimmt. Grenzwert (Folge) und Grenzwert (Funktion) sind zunächst einmal zwei unterschiedliche Dinge. --NeoUrfahraner 22:10, 17. Feb. 2008 (CET)

Berührpunkt oder Häufungspunkt?

Zu "Definition mit Hilfe von Folgen" bzw. http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Grenzwert_%28Funktion%29&diff=25234871&oldid=23844419 :

Ist die Bezeichnung Berührpunkt in diesem Zusammenhang tatsächlich üblich? Gemeint ist doch das, was hier im Artikel immer als Häufungspunkt bezeichnet wird. Oder habe ich da was übersehen? --NeoUrfahraner 04:30, 14. Feb. 2008 (CET)

Üblich ist es schon, den Grenzwert über die den Berührpunkt (auch Adhärenzpunkt) von Folgen (bzw. Mengen) zu definieren und daraus dann die exakte Grenzwertdefinition herzuleiten.

Allerdings ist es so wie's jetzt dasteht falsch, man darf nicht "Berührpunkt" einfach mit "Häufungspunkt" gleichsetzen, denn Berührpunkte sind auch isolierte Punkte, Häufungspunkte jedoch nicht.

Meine Änderung von gestern war bei der Definition des Berührpunktes schon richtig, bei der alternativen Grenzwertdefinition hätte ich den Ausschluss von a natürlich nicht entfernen dürfen. Wie Du richtig angemerkt hast, kommte es da (im Gegensatz um Berührpunkt) ja ausschliesslich auf die "punktierte Umgebung" an.

So ganz wasserdicht ist die "alternative Definition" allerdings auch nicht, das Problem ist dass so bestimmte nichtleere Mengen gar keinen Grenzwert mehr besitzen könnten, z.B. ${\sqrt {x\cdot -x}}$ hat als Definitionsbereich schlicht ${0}$ und wenn wenn man nun fordert dass die Folgeglieder an der Stelle 0 selbst nicht 0 werden dürfen, gäbe es überhaupt keine "erlaubten" Folgen mehr, da $D\setminus {\{0\}}=\{\}$.

Mschcsc 09:02, 14. Feb. 2008 (CET)

Jetzt sind jedenfalls die Definition über Folgen und die Epsilon-Delta-Definition im Gegensatz zum letzten Satz des Abschnitts "Definition mit Hilfe von Folgen" nicht mehr äquivalent, da die eine für isolierte Punkte anwendbar ist, die andere nicht. --NeoUrfahraner 14:03, 14. Feb. 2008 (CET)

Doch, doch, die Grenzwertdefinition ist immer noch äquivalent - ein Berührpunkt ist einfach nicht zwingend immer ein Häufungspunkt (Grenzwert).

Mschcsc 14:11, 14. Feb. 2008 (CET)

Genau das ist das Problem. Isolierte Punkte werden unterschiedlich behandelt; wobei bei der jetzigen Folgendefinition der Grenzwert an isolierten Punkten mehrdeutig ist. --NeoUrfahraner 19:26, 14. Feb. 2008 (CET)

Barner Flohr (Analysis I, de Gruyter, 4. Auflage, Berlin 1991, S. 239 f.) verlangt

1. dass der Punkt a, an dem man den Grenzwert betrachtet, Häufungspunkt der Definitionsmenge ist,
2. dass bei der Folgendefinition alle Folgenglieder von a verschieden sind
3. dass bei der epsilon-delta-Definition der Punkt a aus der delta-Umgebung herausgenommen wird.

--Digamma 21:14, 14. Feb. 2008 (CET)

So habe ich es auch in Erinnerung. Darum frage ich mich, warum man erstens den Grenzwert einer Funktion auch für isolierte Punkte der Definitionsmenge definieren will und zweitens, warum man ihn für isolierte Punkte so definiert, dass er alle Werte gleichzeitig annimmt. --NeoUrfahraner 04:04, 15. Feb. 2008 (CET)

Niemand definiert hier den Grenzwert für isolierte Punkte - steht doch ausdrücklich da, dass für den Grenzwert verlangt wird, dass "...für jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}\in D\setminus \{a\}$"... der Grenzwert definiert wird. Der Punkt a selbst wird also ausdrücklich "aus der delta-Ungebung weggenommen". Man darf auf den Berührpunkt aber nicht von Anfang an ganz verzichten, denn es wird ja zusätzlich noch gefordert, dass $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ gelten soll - und das heisst nichts anderes als dass der Berührpunkt dann auch Häufungspunkt ist. So ist z.B. für $\operatorname {sgn}(x)^{2}$ die Definitionsmenge $\mathbb {R}$ und da alle Elemente einer Menge immer auch auch Berührpunkte sind, sind auch alle $x\in \mathbb {R}$ Berührpunkte. Nehmen wir die Nullfolge $\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} ^{+}}$ dann gilt $a=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$ und für den Grenzwert $c=\lim _{n\to \infty }\operatorname {sgn} \left({\frac {1}{n}}\right)^{2}=1$.

Es steht schliesslich nirgendwo irgendwas von einem konkreten "Funktionswert" im Punkt a geschrieben.

Würde man nun beim Berührpunkt selbst schon den Fall x=0 ausschliessen, so könnte man gar keinen Grenzwert für x=0 mehr ermitteln denn die Forderung $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ dürfte für a = 0 gar nicht mehr erhoben werden.

Genau darauf will ich hinaus: Ex falso quodlibet. Da gar keine zulässige Folge $x_{n}\to 0$ existiert, erfüllt jede zulässige Folge $f(x_{n})\to 17$, $f(x_{n})\to 53$ oder was immer. Mir ist schon klar, dass das nicht gemeint ist, aber so stand es eben dort. --NeoUrfahraner 13:33, 15. Feb. 2008 (CET)

Man könnte z.B. die Signumfunktion so definieren, dass sie an der Stelle 0 den Wert 53 hat. An der Definitionsmenge von $\operatorname {sgn}(x)^{2}$ändert sich damit erstmal gar nichts, und sowohl 0 als auch 53 bleiben nach wie vor Berührpunkte von D.

Oder man sagt, die Signumfunktion sei an der Stelle 0 nicht definiert, dann ändert sich die Definitionsmenge (0 ist ausgeschlossen), aber 0 ist immer noch Berührpunkt von D und daher ändert sich für die Grenzwertdefinition auch nichts.

Wenn vom "Berührpunkt einer Definitionsmenge" die Rede ist, sollte man nicht an eine Funktion denken, die einem bestimmten Wert einen Bestimmten Berührpunkt eindeutig zuordnet - deshalb sagt man auch manchmal Adhärenzpunkt dazu um zu vermeiden, dass man sich punktweise unstetige Kurven vorstellt; tatsächlich kann eine eindeutige Funktion an einer bestimmten Stelle verschiedene Adhärenzpunkte besitzen,

Die Grenzwertdefinition interessiert sich aber nur für die Berührpunkte der Definitionsmenge oder besser gesagt, für dessen Umgebungen. Steht auch alles richtig so im Artikel.

Mschcsc 09:06, 15. Feb. 2008 (CET)

Heuser (Analysis I), S. 235 verlangt ebenfalls zwingend einen Häufungspunkt. Die Lage ist genauso wie weiter oben bei Barner-Flohr dargestellt. Ich habe daher im Artikel jetzt Häufungspunkt reingesetzt. --Tolentino 10:52, 15. Feb. 2008 (CET)

Einverstanden. "Niemand definiert hier den Grenzwert für isolierte Punkte" stimmt jetzt wieder. Damit wird die oben erwähnte logische Spitzfindigkeit vermieden. --NeoUrfahraner 13:33, 15. Feb. 2008 (CET)

Mit Verlaub, aber das ist Unfug was da hingeschrieben wurde.

a soll ein ein "Häufungspunkt" einer Menge D sein, wenn es eine Folge gibt die gegen a konvergiert???

Unter gewissen Voraussetzungen, ja. --NeoUrfahraner 15:33, 15. Feb. 2008 (CET)

Das ist doch Humbug. Lest mal euren Heuser gründlich durch, wer weist ausdrücklich darauf hin, dass "der Leser streng zwischen dem "Häufungspunkt einer Menge" und dem "Häufungswert" einer Funktion streng unterscheiden möge..".

Gemäss Heuser sind "Häufungswerte" von Folgen etwas ganz anderes, nämlich einfach unendlicht oft auftretende Folgeglieder z.B. $\{-1,1\}$ für die Folge $\left(-1^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} ^{+}}$.

Ihr verwechselt Mengen mit Folgen oder Funktionen.

Es geht jedenfalls nicht an, dass ihr hier wieder Fantasiedefinitionen erfindet, die zirkelhaft (und falsch) sind. Macht euch lieber schlau, was der "Nerührpunkt einer Menge" ist, anstatt alles was ihr nicht wisst oder nicht so genau wisst (oder was nicht genauso im Heuser steht), wieder unter den Teppich zu kehren!

Zeigt erstmal ein vernünftiges Dokument, dass eine so verdrehtre Definition des Häufungspunktes einer Menge über die Existenz einer Folge zeigt, bevor ihr hier sowas schräges veröffentlicht und völlig korrekte und belegbare Definitonen entfernt!

Ich hab' keine Lust hier wieder zu predigen (liest ja doch keiner oder antwortet gar darauf), aber es geht um Begriffe wie Abgeschlossenheit und Hülle, die im Zusammenghang mit Definitionsmengen von Grenzwerten wichtig sind - besonders wenn man den Grenzwertbegriff auch auf topologische Räume anwenden will.

Mschcsc 14:22, 15. Feb. 2008 (CET)

Jeder Punkt $p$ ist unter der Vorausgesetzung, dass der Umgebungsfilter eines jeden Punktes des Raumes eine höchstens abzählbare Basis hat, genau dann ein Häufungspunkt einer Menge $M$, wenn es eine aus Punkten von $M$ \ $\{p\}$ bestehende Folge gibt, die gegen $p$ konvergiert, vgl. Häufungspunkt und erstes Abzählbarkeitsaxiom. Abgesehen davon, warum willst Du jetzt wieder isolierte Punkte miteinbauen, obwohl wir uns einig waren, dass wir sie aus der Definition ausschließen wollen? --NeoUrfahraner 15:08, 15. Feb. 2008 (CET)

Zitat (Heuer, 38.1, epsilon-delta-Definition des Grenzwerts, Seite 235): "Die Funktion f sei auf X definiert und xi sei ein Häufungspunkt von X". Auf derselben Seite ein paar Absätze höher zum Thema Häufungspunkt: "Ein isolierter Punkt einer Menge ist niemals Häufungspunkt derselben". Heuser und Barner-Flohr als Fantasiedefinitionen zu bezeichnen ist mit Verlaub anmaßend. Bei einer Einzelmeinung, die du vertrittst, erscheint dein letzter Revert sehr unangebracht. --Tolentino 15:14, 15. Feb. 2008 (CET)

Mehrheit von 2:1 für die Version von Tolentino, daher Revert auf diese. --NeoUrfahraner 15:22, 15. Feb. 2008 (CET)

Naja, ganz so knapp ist es nicht. Digamma habe ich ebenfalls dahingehend interpretiert... Gruß, Tolentino 15:49, 15. Feb. 2008 (CET)

Ihr Entscheidet mathematische Wahrheit mal wieder durch Mehrheitsbeschlüsse - mich überzeugt ihr damit kein bisschen.

Ich hab' einige Quellen vorzuweisen, die den Grenzwert genauso wie's richtig geschrieben stand über den Berührpunkt (bzw. Adhärenzpunkt) definieren:

• Kiel, Seite 9
• Georg Aumann, Christian Y. Pauc, Otto Haupt, Einführung in die reelle Analysis S.53 1.5.4.1
• Otto Forster, Analysis - Differential- und Integralrechnung einer Varuiablen S.84/82
• Satz 2, Seite 10, Satz 3 Seite 11
• Manfred P H Wolff, Oliver Gloor, Christoph Richard, Analysis Alive, Definitionen 3.2.1, 3.2.2 und 3.2.2 (Seiten 83 u. 85)
• Uni Tuebingen, Definitionen 6.8 u. 6.9
• Uni Bremen, Seiten 10,11
• Manfred Wolff, Peter Hauck, Wolfgang Küchlin, Mathematik für Informatik und Bioinformatik, Definitionen 13.22 u. 13.23 S.415
• Uni Tuebingen, Seiten 4 u.5., Definition des Häufungspunktest h von A als Aldhärenzpunkt der Menge A\{h}

Ich denke nicht, dass das alles Unsinn ist, nur weil ihr was anderes behauptet!

Hier den Begriff "Häufungspunkt" vorrauszusetzten, nur um den für einige vielleicht etwas "lästigen" (oder nicht ganz verstandenen) Begriff des Berührpunktes nicht erklären zu müssen ist doch wirklich sinnfrei! Es geht hier doch nicht darum, alles zu verstecken und einfach gar nicht zu erklären, was ihr drei Genies nicht wisst (oder nicht wissen wollt) oder was so nicht auch im Heuser steht!

Ich denke, ich hab' genug Quellen, werde deshalb wieder auf die sinnvolle, korrekte und belegte Definition zurückschalten.

Mschcsc 18:15, 15. Feb. 2008 (CET)

Was soll das? Uni Kiel, Seite 9, Definition 3.8 definiert Berührpunkt. Ja, wir (zumindest ich) stimmen dieser Definition von Berührpunkt zu. Diese Definition gehört aber nicht in diesen Artikel, sondern wenn schon, dann im Artikel Häufungspunkt erwähnt (dort wird sie ohne Definition verwendet). Hier geht's ja um den Grenzwert einer Funktion, und der wird eben auf Häufungspunkten, nicht auf Berührpunkten definiert. Der Unterschied zwischen Berührpunkten und Häufungspunkte sind eben die isolierten Punkte. Warum willst Du unbedingt den Grenzwert einer Funktion auf isolierten Punkten der Definitionsmenge miteinbeziehen? --NeoUrfahraner 19:49, 15. Feb. 2008 (CET)

PS: wie üblich verzichte ich auf einen Revert, um mich nicht dem Vanadalismusverdacht auszusetzen. Du solltest Dir Wikipedia:Edit-War zu Herzen nehmen: "Faustregel zur Vermeidung: Wenn Du dieselbe Bearbeitung zum zweiten oder wiederholten Male durchführen willst, muss sich der Stand der Diskussion seit dem letzten Mal wesentlich verändert haben." --NeoUrfahraner 19:49, 15. Feb. 2008 (CET)

In dieser Version wird der Begriff des Berührpunktes genutzt ohne das dies was bringt da nachher wieder $D\setminus \{a\}$ verwendet wird. Wieso sollte man dann nicht Häufungspunkt schreiben? --Mathemaduenn 01:23, 24. Feb. 2008 (CET)

Weil gewisse Folgen Grenzwerte besitzen können, die keinen zugehörigen Häufungspunkt zu haben. Der Grenzwert einer Folge ist aber immer ein Berührpunkt. Man will ja den Grenzwertbegriff von Funktionen alternativ über die Grenzwertdefintion von Folgen definieren. Und Folgen sind (üblicherweise) nunmal so definiert, dass auch eine konstante Folge konvergiert. Weshalb hier also einen neuen Folgen-Grenzwertbegriff einbauen, der zwar "anschaulich" auch zu funktionieren scheint, aber bei irgendwelchen "pathologischen" Definitionsmengen oder Folgen dann vielleicht doch nicht mehr konsistent ist?

Dass man bei Funktionen dann aber in jedem Fall den Häufungspunkt verwendet, macht selbstverständlich Sinn.

Die Möglichkeit einer alternativen Definition des Funktionsgrenzwertes über den "Berührpunkt" sollte man wohl auch erwähnen; aber da stimme ich mit Neourfahraner überein, dass das - zumindest in der elemanteren Analysis - eher eine Fussnote ist.

Mschcsc 02:22, 24. Feb. 2008 (CET)

Mschcsc, bitte unterlass Deine falsche Angaben von Quellen. Definition 1.5.4.1 ist die (korrekte) Definition des Berührpunkts; Du zitierst in http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Grenzwert_%28Funktion%29&oldid=42910024 aber so, alsob Deine zusammengewürfelte Definition des Grenzwertes aus dieser Quelle stammt. --NeoUrfahraner 07:16, 24. Feb. 2008 (CET)

PS: Inhaltlich gefällt es mir nicht, dass in diesem Abschnitt eine neue Definition von Häufungspunkt gegeben wird, da Häufungspunkt ja schon definiert ist. Sinnvoller wäre es meines Erachtens, den Satz "Zunächst die Definition eines Häufungspunktes: Definition:" durch einen Satz der Art "In den reellen Zahlen lässt sich ein Häufungspunkt folgendermaßen charakterisieren: " zu ersetzen. --NeoUrfahraner 07:23, 24. Feb. 2008 (CET)

Ergänzung um nichtpunktierte Version

Da es anscheinend einen breiten Konsens gibt, habe ich wie oben diskutiert die nichtpunktierte Version eingebaut. Zusätzlich habe ich generell auf $p$ und $L$ umgestellt, damit es mit der Skizze zusammenpasst. Beim Häufungspunkt habe ich umformuliert, dass dies keine neue Definition des Häufungspuntkes ist, sondern eine Eigenschaft. Bei den Grenzwertsätzen habe ich die Bedingung an $p$ dazugeschrieben.

Bitte schaut drüber, ob Euch noch was auffällt oder irgendwelche sprachlichen Verschönerungen gewünscht sind. Ansonsten ist noch der Änderungswunsch von Philipendula 14:04, 26. Feb. 2008 offen. Außerdem klingt "In diesem Falle nennt man den Grenzwert $\lim _{x\to p}f(x):=L$ konvergent" für mich ein wenig holprig. --NeoUrfahraner 20:05, 26. Feb. 2008 (CET)

definiton des Grenzwert

Unter [1] hats die $\varepsilon -\delta$-Definition des Grenzwerts und darunter noch mal das Selbe in Quantorenschreibweise. Die zusätzlich Quantorenschreibweise hat ja eigentlich keinen neuen Informationswert. Könnte man das wieder streichen? --Philipendula 14:04, 26. Feb. 2008 (CET)

Ich habe vorher noch eine etwas größere Änderung in der Warteschlange (siehe Formulierungsvorschlag oben). Um einem Edit-War vorzubeugen, möchte ich dazu breiten Konsens. Ich habe schon Benutzer:Mathemaduenn nach seiner Meinung gefragt, habe aber seit 24.2 nichts mehr von ihm gehört. Falls Du Dir den Formulierungsvorschlag anschaust und im Wesentlichen zustimmst, würde ich zuerst die größere Änderung einbauen. Danach werden wohl noch ein paar Glättungen nötig sein; es wäre wohl besser, Deinen Vorschlag erst in diesem Rahmen zu diskutieren. --NeoUrfahraner 14:56, 26. Feb. 2008 (CET)

Axo, ich hatte nicht gemerkt, dass das Ganze eh in Arbeit ist. --Philipendula 17:59, 26. Feb. 2008 (CET)

Stimme dem Vorschlag von NeoUrfahraner im Wesentlichen zu und schreibs mal hier hin, weil es oben vermutlich untergeht. --Philipendula 18:21, 26. Feb. 2008 (CET)

Das "Anders notiert" kommt anscheinend von einem anonymen Edit. Nachfrage beim Autor ist daher nicht möglich; von mir aus kannst Du es gerne entfernen. --NeoUrfahraner 19:40, 27. Feb. 2008 (CET)

isolierte Punkte

Man sollte mMn die isolierten Punkte mit in die Definition reinnehmen. wie hier Bzw. darauf hinweisen das es mehrere Möglichkeiten gibt. Grüße --Mathemaduenn 21:49, 16. Feb. 2008 (CET)

Sehe ich es richtig, dass im zitierten Werk die Umgebung nicht punktiert ist? --NeoUrfahraner 22:22, 16. Feb. 2008 (CET)

Ich verstehe gerade nicht was Du mit "punktiert" meinst. --Mathemaduenn 00:35, 17. Feb. 2008 (CET)

Siehe Punktierte Umgebung --NeoUrfahraner 00:44, 17. Feb. 2008 (CET)

Dann ist die Umgebung dort nicht punktiert. Soweit ich das zu dieser späten Stunde noch überblicke ;-) --Mathemaduenn 00:51, 17. Feb. 2008 (CET)

Das ist ein gewaltiger Unterschied, siehe z.B.

$f(x)={\begin{cases}0&x\neq 0\\1&x=0\end{cases}}$

Betrachtet man punktierte Umgebungen, so gilt

$\lim _{x\to 0}f(x)=0$,

Betrachtet man nicht-punktierte Umgebungen, so existiert $\lim _{x\to 0}f(x)$ nicht. --NeoUrfahraner 04:13, 17. Feb. 2008 (CET)

Humbug! Der Grenzwert hat mit dem Funktionswert an der Stelle x=0 nicht das geringste zu tun. Und die Aussage $\lim _{x\to 0}f(x)=0$ ist sowieso in jedem Fall falsch! Mschcsc 03:14, 18. Feb. 2008 (CET)

Ja, da ist ein Unterschied. Die "Anders notiert" Definition spricht im Artikel übrigens auch nicht von punktierten Umgebungen. Allerdings habe ich diesbezüglich noch keine Literaturrecherche gemacht. Ich wollte das nur mal anregen. Grüße --Mathemaduenn 22:26, 17. Feb. 2008 (CET)

Meinst Du das:

Anders notiert: $\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\forall x\in X:0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon$

Beachte, dass dort $0<|x-p|<\delta$ steht, und nicht $0\leq |x-p|<\delta$ --NeoUrfahraner 22:55, 17. Feb. 2008 (CET)

Zwei Schulen

Allerdings scheint es nach einem groben Blick in [2] tatsächlich so, dass es hier zwei Schulen gibt, nämlich sozusagen die "punktierte", die wir im Artikel verwenden, und die "unpunktierte". Ich war zwar bisher der Meinung, dass nur die punktierte Schule korrekt ist, aber anscheinend lässt sich mit der unpunktierten Version auch vernünftig arbeiten. Bzgl. Stetigkeit erhält man leicht unterschiedliche Aussagen: in der punktierten Schule gilt: $f$ stetig in $p$, wenn

$\lim _{x\to p}f(x)$ existiert und $\lim _{x\to p}f(x)=f(p)$ gilt,

in der unpunktierten Schule gilt, dass es reicht, wenn der Grenzwert existiert (und dann automatisch gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist). Für die unpunktierte Schule machen isolierte Punkte der Definitionsmenge tatsächlich keine Probleme.

Wenn die nichtpunktierte Schule tatsächlich verbreitet sein sollte, gehört sie im Artikel im Sinne von WP:NPOV erwähnt.

Ob man jetzt mit Folgen oder Umgebungen arbeitet, spielt in diese Zusammenhang keine Rolle; auch für die Definition mit Folgen lassen sich analaog punktierte und unpunktierte Definition angeben und deren Äquivalenz mit der entsprechenden Definition via Umgebungen zeigen, bloß mischen sollten wir die punktierte und die unpunktierte Schule im Artikel keinesfalls. --NeoUrfahraner 22:55, 17. Feb. 2008 (CET)

An NeoUrfahraner

Weshalb schreibst Du jetzt hier "Romane"? Bei der Grenzwertdefiniton mittels Folgen hat man doch nicht einfach die Wahl, ob man Berührpunkte oder Häufungspunkte der Definitionsmenge (bzw. "punktierte" oder "nicht-punktierte" Umgebungen) hernimmt - in aller Regel haben Mengen, die durch die Glieder einer Folge gebildet werden nunmal überhaupt keine nichtleeren "punktierten Umgebungen".

Ausser in der Wikipedia definiert niemand den Grenzwert (=den Häufungswert) von Folgen über "punktierte Umgebungen" oder "Häufungspunkte", weil diese in der Regel schlicht nicht existieren. Mit "zwei Schulen" hat das nicht das geringste zu tun, sondern einfach nur mit richtig oder falsch.

Mschcsc 03:14, 18. Feb. 2008 (CET)

Kurzfassung: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Grenzwert_%28Funktion%29&diff=42461319&oldid=42460648 Deine Version war die nichtpunktierte Schule. --NeoUrfahraner 04:41, 18. Feb. 2008 (CET)

Der Forster scheint der unpunktierten Schule anzugehoeren. Folgenstetigkeit definieren sie aber beide gleich (wenn die Grenzfunktionswerte fuer alle Folgen mit Grenzwert x identisch sind). --P. Birken 17:03, 18. Feb. 2008 (CET)

Folgen mit Glieder aus $D$ oder Folgen mit Gliedern aus $D\setminus \{x\}$? --NeoUrfahraner 18:14, 18. Feb. 2008 (CET)

Mit Gliedern aus D. Das punktierte taucht bei Königsberger nur beim Grenzwert von Funktionen auf. --P. Birken 19:23, 18. Feb. 2008 (CET)

Ich hab's noch nicht ganz. Forster verwendet bei der Definition des Grenzwerts von Funktionen die unpunktierte Version sowohl bei der Definition mittels Umgebungen als auch bei der Definition mittels Folgen (das ist auch konsistent); Königsberger hingegen die unpunktierte Version nur bei der Definition mittels Umgebungen, nicht aber bei der Definition mittels Folgen (das wäre nicht konsistent)? --NeoUrfahraner 20:27, 18. Feb. 2008 (CET)

Richtig fuer Forster, fast fuer Koenigsberger: er definiert Stetigkeit ueber Umgebungen, Grenzwerte von Funktionen aber ueber punktierte Umgebungen, nutzt diesen Begriff aber eigentlich nur fuer stetige Fortsetzungen. Konkreter nochmal die Definitionen: Forster: Ist a Haeufungspunkt von D, dann heisst c Grenzwert von f in a, wenn fuer jede Folge x_n in D mit Grenzwert a gilt: lim x_n -> a f(x_n)=c. Koenigsberger: Ist a Haeufungspunkt von D, dann heisst c Grenzwert von f in a, wenn die Funktion F mit F(a)=c und F(x)=f(x) fuer x aus D\a in a stetig ist.

Forster definiert dann eine Funktion als stetig, wenn der Grenzwert in a gleich dem Funktionswert ist. Koenigsberger definiert halt vorher Stetigkeit und beweist, dass Epsilon-Delta aequivalent zu Folgenstetigkeit ist. Sein Folgenkriterium fuer Stetigkeit ist damit das, wie Forster Stetigkeit einfuehrt (unpunktiert), auf die punktierte Maschinerie greift er dann halt nur fuer stetige Fortsetzungen zurueck, etwas was Forster gar nicht behandelt. --P. Birken 14:09, 19. Feb. 2008 (CET)

Verstehe ich das richtig, dass Koenigsberger den Grenzwert nur an Stellen a definiert, die nicht im Definitionsbereich der Funktion liegen? In diesem Fall ist die Unterscheidung zwischen punktierter und unpunktierter Umgebung allerdings unnötig. --Digamma 19:40, 19. Feb. 2008 (CET)

Nein, die Definition funktioniert auch fuer a aus D. Und nachdem ich nochmal gelesen habe: er beweist dann ein paar Seiten weiter, dass die oben genannte Definition aequivalent zu derjenigen ist, die jetzt im Artikel steht. Ich schlage dann einfach mal vor, dass wir die Definition so lassen wie sie jetzt ist, aber noch dazuschreiben, dass manche Autoren das ganze unpunktiert behandeln, was einen Unterschied bei der Behandlung isolierter Punkte macht. --P. Birken 12:47, 20. Feb. 2008 (CET)

Vielleicht hilft dieser Link deinem Verständnis weiter. Es geht im Grunde einfach um eine Verallgemeinerung des Grenzwertbegriffs auf beliebige Definitionsmengen, während der "klassische" Grenzwertbegriff sich im wesentlichen stillschweigend auf Definitionsmengen bezieht, die ein offenes Intervall in $\mathbb {R}$ darstellen.

Mschcsc 21:25, 18. Feb. 2008 (CET)

Das ist tatsächlich eine heiße Spur. Allerdings geht's anscheinend weniger um die offenen Intervalle als um Punkt 5: "Der (nichtpunktierte) Grenzwertbegriff ist so gewählt, daß der äußerst praktische Satz über die Komposition von Grenzwerten sich leicht formulieren läßt." --NeoUrfahraner 22:01, 18. Feb. 2008 (CET)

Vielleicht schaust Du dir mal Satz 2.3.29 genau an und vergleichst das mit Lemma 2.3.21 (kannst auch auf den entsprechenden Button nach Satz 2.3.29 klicken). - Fällt Dir was auf?

Ja, 2.3.29 ist wesentlich leichter formulierbar als 2.3.21, weil die ganzen Punktierungen in Voraussetzungen (ii)-(iv) wegfallen. Voraussetzung (i) "Offenes Intervall" lässt sich abschwächen. Lemma 2.3.21 gilt für beliebige reelle Definitionsmengen, lässt sich aber im Gegensatz zu Satz 2.3.29 nicht anwenden, falls $a$ ein isolierter Punkt von $I$ bzw. wenn $l_{f}$ ein isolierter Punkt von $J$ ist. --NeoUrfahraner 15:52, 19. Feb. 2008 (CET)

Topologisch sind offene Intervalle einfach offene Mengen - und man muss schon ziemlich blind sein, wenn man die Verwandschaft der Definition einer offenen Menge in $\mathbb {R}$ mit der "klassischen" Grenzwertdefinition nicht erkennt...

Mschcsc 23:27, 18. Feb. 2008 (CET)

Häufungspunkt oder Berührpunkt

Diese Fassung hattest Du mit Recht kritisiert, es ging hier nur um diesen Unterschied].

Es gibt keine "Schule", die Berührpunkte einer Definitionsmenge als die punktierten Umgebungen definiert!!

Inzwischen geht es allerdings um diesen Unterschied zwischen meiner letzten, völlig korrekten Version und dem Unfug über Häufungspunkte, der jetzt da geschrieben steht.

Denn es gibt erst recht keine "Schule", die den Häufungspunkt einer Menge als den Häufungswert einer Folge (=Grenzwert einer Folge) definiert! Und schon gar nicht um daraus dann den Begriff des Grenzwertes einer Folge (=Häufungswert einer Folge) herzuleiten.

"Jeder Punkt $p$ ist unter der Vorausgesetzung, dass der Umgebungsfilter eines jeden Punktes des Raumes eine höchstens abzählbare Basis hat, genau dann ein Häufungspunkt von $M$, wenn es eine aus Punkten von $M$ \ $\{p\}$ bestehende Folge gibt, die gegen $p$ konvergiert.", vgl. Häufungspunkt. --NeoUrfahraner 13:11, 18. Feb. 2008 (CET)

Man kann den Begriff des Häufungswertes einer Folge (=Grenzwert einer Folge) gar nicht aus den Häufungspunkten der Definitionsmenge herleiten, weil die Definitionsmenge von Folgen normalerweise $\mathbb {N}$ ist und daher nur Berührpunkte und gar keine Häufungspunkte enthält!

Das gilt auch für viele Funktionen beispielsweise für alle, die in $\mathbb {N}$ oder $\mathbb {Z}$ definiert sind!

Ich empfehle, mal Kapitel III des hochgelobten Heuser gründlich zu lesen und seine eindringliche Ermahnung in Kapitel V, zwischen "Häufungswerten" von Funktionen und "Häufungspunkten" von Mengen streng zu unterscheiden endlich ernst zu nehmen - ist allerdings ein ziemlicher "Roman" und man muss schon willens sein auch ein bisschen lese- und Denkarbeit zu leisten...

In der Definition stand das vorher so schön und klar (sinngemäss) da:

• Konvergieren die Berührpunkte aller Bildfolgen einer Funktion gegen denselben Häufungswert, so heisst dieser der Grenzwert der Funktion.

Es gibt kaum was einfacheres und folgerichtigeres...

Mschcsc 06:08, 18. Feb. 2008 (CET)

Was nun?

Zitat: "Ich schlage dann einfach mal vor, dass wir die Definition so lassen wie sie jetzt ist, aber noch dazuschreiben, dass manche Autoren das ganze unpunktiert behandeln, was einen Unterschied bei der Behandlung isolierter Punkte macht." P. Birken 12:47, 20. Feb. 2008 (CET)

Zweiter wesentlicher Unterschied sind natürlich noch Unstetigkeitsstellen, vgl. Bemerkung 2.3.28. Die beiden unterschiedlichen Zugänge werden meines Erachtens in dem weiter oben zitierten Vorlesungsskript zu Analysis 1, Prof. Dr. G. Wittstock sehr gut erklärt (Bemerkung 2.3.28 sowie Bemerkungen zu Definition 2.3.2). Einfacher ist es sicher so, wie von P. Birken vorgeschlagen, den Artikel im Wesentlichen zu lassen wie er ist und die unpunktiere Version als "Nebenvariante" darzustellen. Sinnvoller (aber aufwändiger) ist es meines Erachtens, auf die modernere/flexiblere/unpunktierte Definition als Hauptvariante umzustellen und umgekehrt die klassische/Weierstraßsche/punktierte Version als Nebenvariante darzustellen. --NeoUrfahraner 13:07, 20. Feb. 2008 (CET)

Also ich teile die Einschaetzung mit moderner/flexibler nicht. Punktiert ist etwas flexibler, da ich dann den Funktionswert einer stetigen Funktion abaendern kann, ohne den Grenzwert zu aendern. Auch wenn man das wiederum nicht teilt, die Einschaetzung ist halt POV. Solange also die Varianten sachlich dargestellt werden, ist mir das wie relativ egal. Kurz gesagt: Wer schreibt der bleibt und bei der Gelegenheit kann man ja nochmal Stetigkeit anschauen :-) Ich komme die naechsten Tage wohl erstmal nicht zu :-/ --P. Birken 18:01, 21. Feb. 2008 (CET)

Formulierungsvorschlag

Da der Artikel noch gesperrt ist, mache ich hier zunächsteinmal einen Formulierungsvorschlag. Der entsprechende Abschnitt gehört dann im Artikel irgendwo hinter "Definition mit Folgen" und vor "Einzelnachweise" eingereiht. An der Stelle, wo im Artikel auf "punktierte Umgebung" verlinkt wird, gehört dann noch ein Satz der Art Manche Autoren verwenden allerdings eine Defintion mit nichtpunktierten Umgebungen; sie dazu den Abschnitt "Nichtpunktierter Grenzwertbegriff"

Nichtpunktierter Grenzwertbegriff

In jüngerer Zeit wird auch eine Variante des Grenzwertbegriffs verwendet, der mit nichtpunktierten Umgebungen arbeitet. Unter Verwendung von Folgen definiert diese Variante den Grenzwert folgendermaßen: Sei $f:\,\,D\to \mathbb {R}$ eine Funktion, $a$ ein Element der abgeschlossenen Hülle ${\bar {D}}$ und $c\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$. Dann definiert man $\lim _{x\to a}f(x)=c$ genau dann, wenn für jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}\in D$ und $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ gilt: $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=c$.^{<ref>G. Wittstock: Vorlesungsskript zu Analysis 1 Wintersemester 2000-2001 Definition 2.3.27</ref>}

Der Unterschied zur oben gegebenen punktierten Variante besteht erstens darin, dass jetzt $x_{n}=a$ ausdrücklich erlaubt ist. Zweitens ist dadurch eine Definition auf allen Punkten in der abgeschlossene Hülle ${\bar {D}}$ möglich, insbesondere also auch auf isolierten Punkten von $D$.

Eine äquvialente nichtpunktierte $\varepsilon$-$\delta$-Definition des Grenzwerts lässt sich ebenfalls leicht angeben: In der oben gegebenen $\varepsilon$-$\delta$-Definition braucht nur $0<|x-p|<\delta$ durch $|x-p|<\delta$ ersetzt werden, also ebenfalls der Fall $x=p$ ausdrücklicht erlaubt werden.

Die nichtpunktierte Version ist nicht äquivalent zur punktierten Version. Sie unterscheidet sich insbesondere an Unstetigkeitsstellen:

In der punktierten Version ist $f$ stetig in $p\in D$ genau dann, wenn der Grenzwert von $f$ für $x\to p$ existiert und $\lim _{x\to p}f(x)=f(p)$ gilt oder wenn $p$ ein isolierter Punkt ist.^{<ref>Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. Satz 38.2</ref>} In der nichtpunktierten Version hingegen reicht es für Stetigkeit, die Existenz des Grenzwerts zu fordern, die Gleichung $\lim _{x\to p}f(x)=f(p)$ ist damit automatisch erfüllt.^{<ref>G. Wittstock: Vorlesungsskript zu Analysis 1 Wintersemester 2000-2001 Bemerkung 2.3.28 Punkt 1.</ref>}

Beispiel:

$f(x)={\begin{cases}0&x\neq 0\\1&x=0\end{cases}}$.

Diese Funktion ist nicht stetig. Der Grenzwert im nichtpunktierten Sinn existiert nicht. Der Grenzwert im punktierten Sinn existiert allerdings: $\lim _{x\to 0}f(x)=0$, da ausdrücklich $x\neq 0$ verlangt wird und für diese Werte $f(x)=0$ gilt. Offensichtlich ist allerdings $\lim _{x\to 0}f(x)\neq f(0)$.

Zur Vermeidung von Missverständnissen empfehlen die Vertreter der nichtpunktierten Variante daher, den punktierten Grenzwert von $f$ für $x\to p$ folgendermaßen zu bezeichnen:^{<ref>G. Wittstock: Vorlesungsskript zu Analysis 1 Wintersemester 2000-2001 Definition 2.3.2, Bemerkung 3</ref>}

$\lim _{x\to p \atop x\neq p}f(x)$

Der Vertreter der nichtpunktierten Variante sehen den Vorteil ihrer Variante gegenüber der klassischen punktierten Variante von Weierstraß darin, dass sich Grenzwertsätze mit der nichtpunktierten Variante leichter formulieren lassen, weil die Sonderfälle, die sich durch die Punktierung ergeben, nicht mehr berücksichtigt werden müssen.^{<ref>G. Wittstock: Vorlesungsskript zu Analysis 1 Wintersemester 2000-2001 Bemerkung 2.3.28 Punkt 5.</ref>}

Diskussion

Meinungen dazu? --NeoUrfahraner 08:54, 22. Feb. 2008 (CET)

Ich wuerde da keinen eigenen Abschnitt mehr zu "Definition ueber Folgen machen", sondern die verschiedenen Definitionen im ersten Abschnitt hintereinander bringen. Das mit dem Beruehrpunkt finde ich ist sone Sache, da sollte man eher die Definition hinschreiben (es existiert eine Folge, ...) und dann noch sagen, dass manche das Beruehrpunkt nennen, so stark verbreitet ist der Begriff meines Erachtens nicht. --P. Birken 13:08, 22. Feb. 2008 (CET)

Ich hab jetzt auf $a\in {\bar {D}}$ geändert, das erspart das Wort "Berührpunkt". Der Aufbau mit allen Definitionen im ersten Abschnitt wäre zwar inhaltlich logischer, aber IMHO für den Nichtmathematiker wesentlich verwirrender. Der Unterschied zwischen der punktierten und der unpunktierten Version ist eigentlich nur eine kleine "Fußnote", die gesagt werden muss, aber leider viel Platz braucht. Daher würde ich diese "Fußnote" gerne möglichst weit hinten im Artikel sehen. --NeoUrfahraner 13:40, 22. Feb. 2008 (CET)

Mir erscheint die Diskussion immer noch etwas unübersichtlich. Ich hoffe, dass hier der richtige Ort für eine Antwort ist (ansonster verschiebe bitte jemand meinen Eintrag an eine Stelle, die angemessener erscheint).

Mit der Formulierung von NeoUrfahraner bin ich im Wesentlichen einverstanden. Mir war bisher auch nur die "punktierte" Version begegnet, habe mich aber eines besseren belehren lassen. Jedoch möchte ich eine Spitzfindigkeit bei der "punktierten" Version erwähnen. Sei $p$ ein isolierter Punkt. Zu jedem Epsilon muss ein Delta angegeben werden, so dass für alle x in D mit 0 < |x-p| < delta gilt |f(x)-f(p)| < epsilon. Also: Zu jedem epsilon wähle man ein Delta, so dass keine x in D mit 0<|x-p|<delta existieren (das geht bei isolierten Punkten). Dann ist die Allaussage "für alle x in D mit ... " trivialerweise wahr (da es keine solche Punkte gibt, sprich: Es gibt keine Punkte, die die Epsilon-Ungleichung falsifizieren). Somit gilt in dieser Definition $\lim _{x\rightarrow p}f(x)=M$ für alle $M\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}$. Und ich denke nicht, dass uneindeutige Grenzwerte (in diesem Kontext) im Sinne des Erfinders sind. Sorry für den Roman... Gruß, Tolentino 12:10, 25. Feb. 2008 (CET)

Ich nehme an, Du beziehst Dich auf die Stetigkeitsaussage. Danke für den Hinweis, ich hab's korrigiert.

Genau, so gefällt es mir. Man muss dann im Artikel nach dem Edit aufpassen, dass der Limes der punktierten Version nie in isolierten Punkten definiert wird und dass das Stetigkeitskriterium die isolierten Punkte als Spezialfall aufführt. --Tolentino 12:54, 25. Feb. 2008 (CET)

Ja, es sind dann noch ein paar Kleinigkeiten zu glätten. Ich warte noch ab, ob es einen Kommentar von Benutzer Diskussion:Mathemaduenn gibt. Ein Konsens mit Mschcsc erscheint mir nicht erzielbar; wenn allen anderen in den wesentlichen Punkten einig sind, werde ich editieren. --NeoUrfahraner 13:08, 25. Feb. 2008 (CET)

Prima. Lediglich als Überschrift würde ich eher etwas wie "alternative Definition des Grenzwerts" oder ähnlich wählen damit der Leser schneller weiß um was es da gehen soll. --Mathemaduenn 19:55, 26. Feb. 2008 (CET)

"Alternativ" gefällt mir nicht, weil nicht klar ersichtlich ist, welche der beiden Versionen jetzt die alternative sein soll. "Modern" versus "Klassisch" wäre denkbar und wird in der angegebenen Quelle verwendet, aber die Weierstraß-Definition würde ich nicht als unmodern ansehen. Am besten wäre es, wenn man herausfinden könnte, auf wen die nichtpunktierte Version zurückgeht (evtl. Jean Dieudonné?), dann könnte man die eine "Weierstraßsche" nennen und die andere eben nach dem Urheber benennen. --NeoUrfahraner 09:26, 27. Feb. 2008 (CET)

Da habe ich was gefunden: And this is precisely this hypothesis x<>y which is removed in our definition of limit (the one set by the group Bourbaki); this may be very confusing sometimes.. Wenn das stimmt, wären die Titel "Definition des Grenzwerts nach Weierstraß" und "Definition des Grenzwerts nach Nicolas Bourbaki" zweckmäßig. Laut http://eom.springer.de/L/l058820.htm müsste das N. Bourbaki, "Elements of mathematics. General topology" , Addison-Wesley (1966) sein. Hat wer Zugriff darauf? --NeoUrfahraner 10:46, 27. Feb. 2008 (CET)

Natürlich bevorzugt Bourbaki die allgemeinere Definition (nichtpunktiert), aber dass er sie erfunden hat, ist Spekulation. N. Bourbaki, Éléments de Mathématique. Topologie Générale, Paris 1971. Darin: Ch. I, §7, No. 4 und 5.--80.136.138.54 11:33, 27. Feb. 2008 (CET)

Schade; wer's wirklich erfunden hat, weißt Du wohl auch nicht? Jedenfalls gefällt mir die Überschrift "allgemeinere Definition des Grenzwerts" gut, das ist eindeutig, korrekt und hübscher als "nichtpunktiert". --NeoUrfahraner 12:33, 27. Feb. 2008 (CET)

Immer noch falsch

• ...definiert man $\lim _{x\to a}f(x)=c$ genau dann, wenn für jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}\in D$ und $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ gilt: $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=c$

ist sicher nicht richtig. Es müsste - wenn schon - heissen:

• ...definiert man $\lim _{x\to a}f(x)=c$ genau dann, wenn für jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}\in D$ gilt: $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ und $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=c$

Definition 2.3.27 --NeoUrfahraner 20:35, 22. Feb. 2008 (CET)

Und zu diesem Satz:

Uups.. Mein Lapsus...

• In der nichtpunktierten Version hingegen reicht es für Stetigkeit, die Existenz der Grenzwerts zu fordern, die Gleichung $\lim _{x\to p}f(x)=f(p)$ ist damit automatisch erfüllt.

Belege? Wo steht sowas geschrieben? Oder ist das eine Privattheorie? Mschcsc 19:38, 22. Feb. 2008 (CET)

Bemerkung 2.3.28 Punkt 1 --NeoUrfahraner 20:35, 22. Feb. 2008 (CET)

Da steht aber was völlig anderes, nämlich dass bei der "klassischen", punktierten, Version der Grenzwert auch existieren kann, wenn die Funktion selbst im betrachteten Punkt nicht stetig ist.

Mschcsc 22:41, 22. Feb. 2008 (CET)

Das steht in Punkt 2. Oben zitiert habe ich Punkt 1. --NeoUrfahraner 23:35, 22. Feb. 2008 (CET)

Sorry, aber da steht nunmal:

2.3.28 Punkt 1. Ist $a\in D$ so existiert der Grenzwert für $x\to a$ genau dann, wenn f stetig im Punkt a ist. Dann ist $\lim _{x\to p}f(x)=f(p)$.

Man kann daraus aber natürlich in keiner Weise schliessen dass man $a\in D$ einfach als gegeben vorrausetzen darf. Z.B hat die Funktion $f(x):={\sqrt[{\frac {1}{x}}]{\frac {1}{x}}}$ mit $D=\mathbb {R} \setminus \{0\}$ für $x\to 0$ selbstverständlich den Grenzwert $1$ - obwohl f(x) in a=0 natürlich nicht stetig (und noch nicht mal definiert) ist.

Eine nicht-punktierte Umgebung von p in D bedeutet schliesslich nicht zwingend, dass p selbst auch in D liegen muss. Es bedeutet bloss, dass das nicht ausgeschlossen ist.

Beim Rechnen mit nicht-punktierten Umgebungen erhält man selbstverständlich weiterhin dieselben Grenzwerte, solange p kein isolierter Punkt ist.

Mschcsc 01:30, 23. Feb. 2008 (CET)

$p\in D$ steht jetzt dabei. --NeoUrfahraner 07:33, 23. Feb. 2008 (CET)

Entschuldigung, aber das ändert überhaupt nichts an daran, dass die Aussage nicht stimmt.

Jetzt schreibst Du:

* In der punktierten Version ist $f$ stetig in $p\in D$ genau dann, wenn der Grenzwert von $f$ für $x\to p$ existiert und $\lim _{x\to p}f(x)=f(p)$ gilt.

Das ist zwar nicht falsch, aber eigentlich trivial und es gilt genauso für das was du die "unpunktierte Version" nennst. Stetigkeit ist nunmal genau so und nicht anders definiert dass eine Funktion in p genau dann stetig ist wenn $\lim _{x\to p}f(p)=f(p)$ gilt.

Du schreibst dann weiter, in der "nichtpunktierten" Version "genüge es", den Grenzwert zu "fordern", dann sei $\lim _{x\to p}f(p)=f(p)$ "automatisch" wahr. Aber wie willst Du denn "einfordern" dass der Grenzwert existiert, ohne zu zeigen, dass der nichtpunktierte Grenzwert existiert und dass $\lim _{x\to p}f(x)=f(p)$ ist?

Bring deine beiden Sätze doch erstmal in eine etwas strengere, eindeutige und mathematisch klare Form (benutze wenn A dann B oder A impliziert B oder aus A folgt B oder Wenn A ist gilt B oder A ist (notwendige / hinreichende) Bedingung von B(*) - "notwendig" darf man dabei auch weglassen - etc.) anstelle von ...reicht es.. und ..für Stetigkeit.. und ..die Existenz [von ...] zu fordern und ...ist damit automatisch erfüllt...

Dann kann man sich auch vernünftig über den Inhalt bzw. den Wahrheitsgehalt der Aussagen unterhalten und muss keine unnötigen Debatten über die Interpretation der Sätze führen.

Dann merkst Du vermutlich sogar selbst, was daran faul ist...

(*) Meinetwegen darf man auch ruhig "Voraussetzung" anstelle von "Bedingung" sagen, das ist genauso unmissverständlich - aber das nur so am Rande... Mschcsc 15:34, 23. Feb. 2008 (CET)

Mschcsc 15:34, 23. Feb. 2008 (CET)

Also wenn Du mir nicht glauben willst, dann erklär mir Bemerkung 2.3.28 Punkt 2: "Ist $a\in D$, so kann bei diesem (puktiertem) Grenzwertbegriff sehrwohl der Grenzwert für $x\to a$ existieren und $f$ dennoch unstetig in $a$ sein!". Was ist wohl damit gemeint? Gib ein Beispiel dafür an. Hinweis: Dann existiert zwar $\lim _{x\to a \atop x\neq a}f(x)$, aber $\lim _{x\to a \atop x\neq a}f(x)\neq f(a)$ --NeoUrfahraner 18:15, 23. Feb. 2008 (CET)

Contra

An NeoUrfahraner.

Dein "Roman" ist voller Fehler.

Schaut auch alles sehr nach Theoriebildung aus, wenn Du hier jetzt plötzlich was hinschreiben willst, was du mir vor kurzem noch mit dem Hinweis "Die punktierte Umgebung ist wesentlich !!!!!!!!" verboten hast hinzuschreiben!

Du schreibst jeden Tag was anderes, vielleicht solltest Du dir die Grundlagen erstmal gründlich erarbeiten und vertiefen, bevor Du hier deine gereade erst neuerworbenes (aber immer noch ziemlich beschränkten) Verständnis von Grenzwerte als ultimative und einzige Wahrheit verkaufst...

Das Wort "Berührpunkt" erspart man sich zwar schon mir der Festlegung auf den Abschluss von D - allerdings wird niemand, der nicht weiss was ein Berührpunkt ist, wissen können was ${\bar {D}}$ bedeutet. "Verstecken" anstatt "erklären" ist immer noch die falsche Strategie.

Mschcsc 14:00, 22. Feb. 2008 (CET)

Ja, genau um die Frage, ob die Aussage "Die punktierte Umgebung ist wesentlich !!!!!!!!" wirklich stimmt, geht es ja die ganze Zeit. Siehe oben "Ich war zwar bisher der Meinung, dass nur die punktierte Schule korrekt ist, aber anscheinend lässt sich mit der unpunktierten Version auch vernünftig arbeiten." (NeoUrfahraner 22:55, 17. Feb. 2008) Die WP:POV-Gültigkeit Deiner damaligen Version habe ich bereits bestätigt: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diskussion:Grenzwert_%28Funktion%29&diff=42657875&oldid=42657112 Falsch war allerdings in Deiner Version des Artikels der Satz "Man kann zeigen, dass die (punktierten) $\varepsilon -\delta$-Definition des Grenzwerts äquivalent zur (nichtpunktierten) Folgendefinition ist", weil im Artikel beide Versionen vermischt waren.

Zu Deiner Ehre sei angemerkt, dass erst dieser Link, der von Dir angegeben wurde, meinem Verständnis tatsächlich weitergeholfen hat.

Was den "Abschluss" betrifft, lege ich den erklärenden Wikilink dorthin, wo er das erste Mal erwähnt wird. --NeoUrfahraner 15:57, 22. Feb. 2008 (CET)

Einheitlichkeit

Der Grenzwert der Funktion f(x) für x gegen a ist gleich A dann und nur dann, wenn für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass für jedes x mit 0<|a-x| < δ auch |f(x)-A| < ε gilt

Kleine Anmerkung am Rande: Der Artikel sollte einheitlich gegen den Grenzwert für x gegen das selbe Argument betrachten (also nicht gegen p bei Umgebungen und gegen a bei Folgen). --NeoUrfahraner 09:01, 22. Feb. 2008 (CET)

Ich bin fuer a :-) --P. Birken 13:08, 22. Feb. 2008 (CET)

In der Skizze steht $p$. Wenn sich jemand findet, der die Skizze anpasst, ist mir jede Variante recht. --NeoUrfahraner 13:40, 22. Feb. 2008 (CET)

Ich habe jetzt ein Bild mit "a" statt "p" gefunden. Sollen wir diese Bild verwenden und auf $\lim _{x\to a}f(x)=A$ umstellen? --NeoUrfahraner 07:07, 6. Mär. 2008 (CET)

Ich finde bei der alten Darstellung die Intervalle besser optisch herausgearbeitet. Vielleicht mag ja mal jemand eine Synthese beider Modelle wagen? --Philipendula 10:33, 6. Mär. 2008 (CET)

Stimmt. Wenn ich versuche, die Skizzen mit den Augen eines Laien zu betrachten, so erscheint mir die Skizze, die derzeit im Artikel ist, verständlicher. --NeoUrfahraner 10:45, 6. Mär. 2008 (CET)

Grenzwert oder nicht?

Hier ein kleiner Gedankenanstoss meinerseits, bevor ihr zur "Abstimmung" über wichtige Definitionen schreitet.

Was denkt iht, soll $\lim _{x\to 0}{\sqrt {x}}\cdot \lim _{x\to 0}{\sqrt {-x}}=0$ richtig oder falsch sein? Wenn die Gleichung stimmt, dann sollte gemäss Schachtelungssatz auch $\lim _{x\to 0}{\sqrt {x\cdot -x}}=0$ wahr sein...

Schaut man sich nur die punktierten Umgebungen an, so hat aber $\lim _{x\to 0}{\sqrt {x\cdot -x}}$ keine Lösung (Weil der Definitionsbereich $D=\{0\}$ ist, und damit ist auch $\lim _{x\to 0}{\sqrt {x}}\cdot \lim _{x\to 0}{\sqrt {-x}}\neq \lim _{x\to 0}{\sqrt {x\cdot -x}}$ ...

Mschcsc 15:02, 26. Feb. 2008 (CET)

Gut beobachtet. Ist $f_{1}:D_{1}\to \mathbb {R}$ und $f_{2}:D_{2}\to \mathbb {R}$, so gilt

$\left(\lim _{x\to p}f_{1}(x)\right)\cdot \left(\lim _{x\to p}f_{2}(x)\right)=\lim _{x\to p}\left(f_{1}(x)f_{2}(x)\right)$

im punktierten Sinn, wenn $p$ Häufungspunkt von $D_{1}\cap D_{2}$ ist; im unpunktierten Sinn hingegen, wenn $p$ Berührungspunkt von $D_{1}\cap D_{2}$. Bei Dir ist vermutlich (Du hast es nicht extra angegeben) $D_{1}=\mathbb {R} _{0}^{+}$, $D_{2}=\mathbb {R} _{0}^{-}$. $D=D_{1}\cap D_{2}=\{0\}$ hat keinen Häufungspunkt, daher gilt die Gleichung nur im unpunktierten Sinn, aber nicht im punktierten Sinn. Bei den Grenzwertsätzen muss man dazusagen, aus welcher Menge $p$ ist; das fehlt im Artikel. --NeoUrfahraner 15:18, 26. Feb. 2008 (CET)

@@@@@

Deine "Absicherung" über die Einführung des Durchschnitts des Definitionswertes hat aber noch einen anderen Haken. Gemäss Schachtelungssatz (auch Sandwichsatz genannt) gilt nämlich auch:

$\lim _{x\to 0}{\sqrt {x\cdot -x}}={\sqrt {\lim _{x\to 0}(x\cdot -x)}}$. Der rechte Teil der Gleichung ist aber nun problemlos lösbar, da der Definititionsbereich im Grenzwertausdruck sich nicht ändert. Es gilt ganz allgemein ausdrücklich $\lim _{x\to p}{\sqrt {f(x)}}={\sqrt {\lim _{x\to p}f(x)}}$ für $f(x)\geq 0$. Oder hast Du irgendwelche Belege, die was anderes behaupten? Mschcsc 00:31, 1. Mär. 2008 (CET)

Gib bitte Deine Funktion vollständig an, also insbesondere einschließlich des Definitionsbereiches. --NeoUrfahraner 06:48, 1. Mär. 2008 (CET)

"Falls die/alle beteiligten Grenzwerte existieren gilt:" würde ich mal vorschlagen um Definitionsbereichsakrobatik zu umgehen. Außerdem lässt sich das dann auf beide Grenzwertbegriffe anwenden. Grüße --Mathemaduenn 07:32, 1. Mär. 2008 (CET)

Das ist nicht gut, denn der Satz lautet eigentlich: Existieren $\lim _{x\to p}f_{1}(x)$ und $\lim _{x\to p}f_{2}(x)$, so existiert auch $\lim _{x\to p}\left(f_{1}(x)f_{2}(x)\right)$, und es gilt :$\left(\lim _{x\to p}f_{1}(x)\right)\cdot \left(\lim _{x\to p}f_{2}(x)\right)=\lim _{x\to p}\left(f_{1}(x)f_{2}(x)\right)$. Die Existenz des Grenzwerts eines komplizierten Ausdrucks wird ja meist nicht direkt bewiesen, sondern indem man die Grenzwertsätze anwendet und ihn in "elementare" Grenzwerte zerlegt. Das gehört eigentlich im Artikel umformuliert; es reicht aber, sich auf den in der Praxis wichtigsten Teil $D_{1}=D_{2}$ zu beschränken; dann gilt die Formulierung unverändert für beide Grenzwertbegriffe. --NeoUrfahraner 07:47, 1. Mär. 2008 (CET)

PS: Das Problem in der Fragestellung von Mschcsc rührt ja daher, dass die Definitionsbereiche ständig wechseln; damit ist nicht ersichtlich, worauf er letztlich hinaus will. --NeoUrfahraner 07:49, 1. Mär. 2008 (CET)

O.K. geht's doch nicht einfacher. --Mathemaduenn 11:02, 1. Mär. 2008 (CET)

Ich habe jetzt den Artikel auf den wichtigsten Fall $D_{1}=D_{2}$ beschränkt und die Existenzaussage deutlicher gemacht. --NeoUrfahraner 07:01, 6. Mär. 2008 (CET)

Schöner "Konsens"...

An NeoUrfahraner (und die Konsens-"Mehrheit")...

Hier mal so das Gröbste....

Formale Definition

• Im ersteren Fall muss $p$ ein Häufungspunkt des Definitionsbereiches von $f$ liegen.

Vielleicht nicht gerade falsch (ausser grammatikalisch), aber sicher unvollständig. Alle Quellen, die ich kenne und den Grenzwertbegriff über die topologischen Eigenschaften der Definitionsmenge erklären, gehen (sinnvollerweise) von ${\overline {D}}$ aus und nicht von der Ableitung einer Menge.

Nichtpunktierter Grenzwertbegriff

Sei $f:\,\,D\to \mathbb {R}$ eine Funktion, $p$ ein Element der abgeschlossenen Hülle ${\bar {D}}$ und $L\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$. Dann definiert man $\lim _{x\to p}f(x)=L$ genau dann, wenn für jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}\in D$ und $\lim _{n\to \infty }x_{n}=p$ gilt: $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L$.^{<ref>G. Wittstock: Vorlesungsskript zu Analysis 1 Wintersemester 2000-2001 Definition 2.3.27</ref>}

Der Unterschied zur oben gegebenen punktierten Variante besteht erstens darin, dass jetzt $x_{n}=p$ ausdrücklich erlaubt ist.

• Das ist sicher falsch. Liegt p nicht in D, so ist $x_{n}=p$ bestimmt nicht "erlaubt"!

Zweitens ist dadurch eine Definition auf allen Punkten in der abgeschlossene Hülle ${\bar {D}}$ möglich, insbesondere also auch auf isolierten Punkten von $D$.

• Auch falsch. Z.B. hat die Funktion $f(x)={\begin{cases}x&x\neq 0\\1&x=0\end{cases}}$ in der "nichtpunktierten Variante" keinen Grenzwert für $x\to 0$ weil nicht für alle Nullfolgen die Bildfolgen auch Nullfolgen sind. Eine Grenzwerdefinition ist daher so für $x\to 0$ nicht möglich.

Eine äquvialente nichtpunktierte $\varepsilon$-$\delta$-Definition des Grenzwerts lässt sich ebenfalls leicht angeben: In der oben gegebenen $\varepsilon$-$\delta$-Definition braucht nur $0<|x-p|<\delta$ durch $|x-p|<\delta$ ersetzt werden, also ebenfalls der Fall $x=p$ ausdrücklicht erlaubt werden.

Die nichtpunktierte Version ist nicht äquivalent zur punktierten Version. Sie unterscheidet sich insbesondere an Unstetigkeitsstellen:

In der punktierten Version ist $f$ stetig in $p\in D$ genau dann, wenn der Grenzwert von $f$ für $x\to p$ existiert und $\lim _{x\to p}f(x)=f(p)$ gilt oder wenn $p$ ein isolierter Punkt ist.^{<ref>Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. Satz 38.2</ref>} In der nichtpunktierten Version hingegen reicht es für Stetigkeit, die Existenz des Grenzwerts zu fordern, die Gleichung $\lim _{x\to p}f(x)=f(p)$ ist damit automatisch erfüllt.^{<ref>G. Wittstock: Vorlesungsskript zu Analysis 1 Wintersemester 2000-2001 Bemerkung 2.3.28 Punkt 1.</ref>}

• Wieder falsch, aus demselben Grund wie oben. Die Existenz eines Grenzwertes p bedeutet nicht automatisch, dass $p\in D$ ist.

Beispiel:

$f(x)=1\ \ \ x\in D\setminus \{0\}$. Selbstverständlich existiert der Grenzwert aber $\lim _{x\to p}f(x)=f(p)$ ist deswegen trotzdem nicht erfüllt.

....

Grenzwertsätze

Du schreibst folgendes:

• Sei $\lim _{x\to p}f(x)=a$ und $\lim _{x\to p}g(x)=b$, wobei $a,b\in \mathbb {R}$ und $p\;$ aus den erweiterten reellen Zahlen ${\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ ist. Dann gelten die Grenzwertsätze: + Seien $f:D_{f}\to \mathbb {R}$ und $g:D_{g}\to \mathbb {R}$ reellwertige Funktionen, deren Grenzwerte $\lim _{x\to p}f(x)=a$ und $\lim _{x\to p}g(x)=b$ existieren, wobei $a,b\in \mathbb {R}$ und $p\;$ ein Häufungspunkt von $D_{f}\cap D_{g}$ aus den erweiterten reellen Zahlen ${\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ ist.

Gibt's irgendwelche Belege für diesen Unsinn mit dem Häufungspunkt bzw. Berührpunkt des Durchschnitts der Definitionsbereiche? Das ist ziemlich Hahnebüchen... Weshalb sollte der Durchschnitt der Definitionsbereiche hier überhaupt irgendeine eine Rolle spielen?

Ich erwarte übrigens noch eine Antwort auf die Frage nach dem Grenzwert von $\lim _{x\to 0}{\sqrt {x\cdot -x}}=0$.

Was meinst Du, ist der Grenzwert 0, undefiniert oder hängt's davon ab' welcher "Schule" man anängt? Oder wird bei euch darüber auch per Abstimmung entschieden?

Mir passt es ganz und gar nicht, dass (und mit welchen Mitteln) ihr hier mal schnell eine neue Privattheorie zusammenschustert.

Der Google-Test für Nichtpunktierter Grenzwertbegriff, nichtpunktierter Grenzwert, nicht punktierter Grenzwert, punktierter Grenzwert liefert keine Treffer, daher setze ich erstmal wieder zurück, bis das geklärt ist.

-- -- -- -- --

Und dann empfehle ich, sich nochmal gedanken darüber zumachen, wie eine zur ε-δ-Definition:

• $\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\forall x\in X:0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon$

völlig äquivalente Definition aussehen könnte, erstmal nur rein Formal, ohne an Folgen oder dergleichen zu denken.

Meinst Du nicht auch, dass das völlig äquivalent ist zu folgender Definition:

• $\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\forall x\in X\setminus \{p\}:|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon$ ....

Sind wir uns soweit einig, ja?

Würde irgendjemandem einfallen, $\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\forall x\in X\setminus \{p\}:0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon$ hinschreiben? Nach dem Motto, doppelt gemoppelt hält besser?

In der Mathematik sucht man sowas eher zu vermeiden, es sei denn man will den Leuten das verständnis möglichst schwer machen....

Aber bei Folgendefinition des Funktionsgrenzwertes soll man plötzlich bei den Folgengrenzwerten schonmal "vorselektieren" und die isolierten Punkte "rausfiltern" die man im zweiten Schritt dann nochmal ausschliesst? Als ob das ganze so nicht schon schwer genug verständlch wäre...

Und Du gehst jetzt noch hin und schreibst einfach die Definition für das δ-ε-Kriterium mal kurz um, um nochmal doppelt abzusichern, dass Dir schon bei der Definitionsmenge ja kein isolierter Punkt in deine nachfolgende Definition hinein gerät (die aber diesen gar nicht mehr möglichen Fall trotzdem nochmal explizit ausschliesst). Oder um die "Häufungspunkt-Theorie" und das Geschwurbel von den "zwei Schulen" durch eine zweite eigene Definition "abzusichern".

Das ist überhaupt nicht nachvollziehbar, und allenfalls Ausdruck deiner bzw. eurer Konfusion. Ich revertiere daher und erwarte dass hier erstmal wirklich gute und belegbare Argumente auf den Tisch kommen, bevor wieder die seriöse Arbeit anderer User (und damit meine ich nicht nur mich - ich hab' bloß die Definition von Berührpunkt ausgebessert) durch irgendwelche Privattheorien ersetzt wird.

Mschcsc 08:14, 27. Feb. 2008 (CET)

Antwort

Eine weitere Diskussion erübrigt sich, da wir diese Themen schon zig Mal durchgekaut haben. Wie üblich verzichte ich selber auf einen Revert, um mich nicht dem Verdacht eines Wikipedia:Edit-Wars auszusetzen. Wenn jemand anderer revertiert, erwarte ich von Dir, dass Du ebenfalls keinen Edit-War provozierst. --NeoUrfahraner 08:46, 27. Feb. 2008 (CET)

Artikel wurde wieder gesperrt. --Philipendula 10:41, 27. Feb. 2008 (CET)

Bild

Ich habe eine Frage zu dem Bild ganz oben. Ist das gewollt, dass die Funktionskurve so hackelig ist? Sieht irgendwie Freihand gezeichnet aus, muss das so? Wenn nicht, dann sollte es geändert werden, dann sieht das auch professioneller aus. Mach das wohl auch selbst, weis nur nicht ob das gewollt ist. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Viericks (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner 19:02, 6. Mär. 2008 (CET))

Es ist anscheinend nicht gewollt, aber es gibt keinen mathematischen Grund warum Kurven glatt sein müssen ;-). Wie dem auch sei, ein besseres Bild ist willkommen. Einige würden statt $p$ lieber ein $a$ haben; vielleicht gibt's auch noch Wünsche, dass statt des $L$ ein anderes Symbol dastehen soll. --NeoUrfahraner 19:02, 6. Mär. 2008 (CET)

Erledigt, ich habe das alte Bild genommen und die Linie erneuert, vielleicht könnte das alte Bild in Commons mit dem neuen ersetzt werden. Weis aber nicht wie das geht.

--Viericks 13:07, 7. Mär. 2008 (CET)

Danke, --NeoUrfahraner 14:23, 7. Mär. 2008 (CET)

Offene Frage / Überschrift

Ich kopiere den noch offenen Punkt nach unten, damit er nicht ganz untergeht:

Prima. Lediglich als Überschrift würde ich eher etwas wie "alternative Definition des Grenzwerts" oder ähnlich wählen damit der Leser schneller weiß um was es da gehen soll. --Mathemaduenn 19:55, 26. Feb. 2008 (CET)

"Alternativ" gefällt mir nicht, weil nicht klar ersichtlich ist, welche der beiden Versionen jetzt die alternative sein soll. "Modern" versus "Klassisch" wäre denkbar und wird in der angegebenen Quelle verwendet, aber die Weierstraß-Definition würde ich nicht als unmodern ansehen. Am besten wäre es, wenn man herausfinden könnte, auf wen die nichtpunktierte Version zurückgeht (evtl. Jean Dieudonné?), dann könnte man die eine "Weierstraßsche" nennen und die andere eben nach dem Urheber benennen. --NeoUrfahraner 09:26, 27. Feb. 2008 (CET)

Da habe ich was gefunden: And this is precisely this hypothesis x<>y which is removed in our definition of limit (the one set by the group Bourbaki); this may be very confusing sometimes.. Wenn das stimmt, wären die Titel "Definition des Grenzwerts nach Weierstraß" und "Definition des Grenzwerts nach Nicolas Bourbaki" zweckmäßig. Laut http://eom.springer.de/L/l058820.htm müsste das N. Bourbaki, "Elements of mathematics. General topology" , Addison-Wesley (1966) sein. Hat wer Zugriff darauf? --NeoUrfahraner 10:46, 27. Feb. 2008 (CET)

Natürlich bevorzugt Bourbaki die allgemeinere Definition (nichtpunktiert), aber dass er sie erfunden hat, ist Spekulation. N. Bourbaki, Éléments de Mathématique. Topologie Générale, Paris 1971. Darin: Ch. I, §7, No. 4 und 5.--80.136.138.54 11:33, 27. Feb. 2008 (CET)

Schade; wer's wirklich erfunden hat, weißt Du wohl auch nicht? Jedenfalls gefällt mir die Überschrift "allgemeinere Definition des Grenzwerts" gut, das ist eindeutig, korrekt und hübscher als "nichtpunktiert". --NeoUrfahraner 12:33, 27. Feb. 2008 (CET)

Variante des Grenzwertbegriffs? --Philipendula 09:59, 29. Feb. 2008 (CET)

Naja, selbes Problem wie "alternativ". Welches der beiden ist die Variante? --NeoUrfahraner

So rein aus dem Bauch raus würde ich die Variante als nichtklassisch einstufen. Aber das ist sicher Ansichtssache. --Philipendula 10:29, 29. Feb. 2008 (CET)

"Alternativ" ist für mich wertneutral - Irgendeinen Begriff muss man halt als erstes bringen, der andere ist dann die Alternative. Falls deine Befürchtung ist, dass damit irgendwas hervorgehoben wird. Nichtpunktiert erscheint mir nur zu kompliziert. Grüße --Mathemaduenn 07:38, 1. Mär. 2008 (CET)

Mit "Allgemeiner" oder "Allgemeinerer" könnt Ihr Euch nicht anfreunden? Das beschreibt es meiner Meinung nach deswegen gut, weil erstens damit eine Definition zusätzlich auch auf isolierten Punkten möglich ist und zweitens der Weierstraßsche Begriff als Spezialfall $\lim _{x\to p \atop x\neq p}f(x)$ weiterhin darstellbar ist. --NeoUrfahraner 10:29, 1. Mär. 2008 (CET)

Doch. --Philipendula 10:49, 1. Mär. 2008 (CET)

Ich auch. --Mathemaduenn 11:02, 1. Mär. 2008 (CET)

Ist okay. --Tolentino 14:40, 1. Mär. 2008 (CET)

Ich habe ein Problem mit "allgemeiner". In der nichtpunktierten Version existiert der Grenzwert seltener als in der punktierten. Die an die Existenz gestellte Bedingung ist stärker. Aus der Existenz an einem Punkt, an dem die Funktion definiert ist, folgt in der nichtpunktierten Version schon die Stetigkeit. Der Begriff ist also (logisch betrachtet) nicht allgemeiner, sondern spezieller. --Digamma 15:06, 1. Mär. 2008 (CET)

Ja, die nichtpunktierte Version ist nur von der Notation her allgemeiner (kann also auch die punktierte Version darstellen), nicht aber in dem Sinn, dass sie generell schwächere Bedingungen stellt. --NeoUrfahraner 17:31, 1. Mär. 2008 (CET)

Warum nicht einfach "Eine andere"? --P. Birken 15:11, 1. Mär. 2008 (CET)

Selbes Problem wie "alternativ" oder "Variante". Es ist nicht offensichtlich, welches die eine und welches die andere ist. Was mir noch einfällt wäre "jüngere" oder "neuere". Am schönsten wäre immer noch eine Bezeichnung der Art "wie in Bourbaki" (die nicht notwendigerweise heißt "die von Bourbaki erfundene", da dies nicht gesichert ist). Bourbaki habe ich bei den Googlebooks gefunden. Der Zugang ist allerdings so abstrakt, dass mir im Moment noch nicht klar ist, ob er jetzt wirklich die punktierte, nichtpunktierte oder eine ganz andere Definition verwendet. --NeoUrfahraner 17:31, 1. Mär. 2008 (CET)

Ich habe jetzt noch geschaut, welche Bezeichnungen die andersprachigen Wikipedias verwenden. Nun, die meisten bringen nur die klassische, punktierte Version. Lediglich fr:Limite (mathématiques) bringt beide Versionen. Die nichtpunktierte Version ist die Hauptvariante (ohne speziellen Namen); die klassische Version wird als "limite pointée" bezeichnet. Das hilft aber auch nicht wirklich weiter. Daher bleiben vorerst noch "neuere" und "jüngere" übrig.

Nächster Vorschlag: "Neuere Definition des Grenzwerts"

Wer kann sich mit "Neuere Definition des Grenzwerts" anfreunden? Wenn nein, findet "Jüngere Definition des Grenzwerts" mehr Zustimmung? --NeoUrfahraner 06:26, 3. Mär. 2008 (CET)

Beides OK. --P. Birken 08:15, 3. Mär. 2008 (CET)

+1 --Philipendula 10:31, 6. Mär. 2008 (CET)

Da es anscheinend keine Gegenstimmen gibt und die französische Wikipedia auch keine weiteren Hinweise liefern konnte, habe ich es jetzt auf "Neuere Definition des Grenzwerts" geändert. --NeoUrfahraner 16:44, 24. Mär. 2008 (CET)

sin x /x

Zu http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Grenzwert_%28Funktion%29&diff=47334405&oldid=46304143 : Diese Änderung wirft mehr Fragen auf, als sie beantwortet:

1. Wieso gilt $\sin x<x<\tan x\,$?
2. Wie wendet man De l'Hospital ohne Zirkelschluss an? Für De l'Hospital wird der Sinus differenziert, um den Sinus zu differenzzieren, wird aber üblicherweise $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$ benötigt.

Der Artikel Grenzwert (Funktion) ist nicht der Platz, um diesen speziellen Grenzwert ausführlich zu behandeln; deshalb gibt es dort auch einen Link zum Wikibooks-Beweisarchiv. --NeoUrfahraner 08:50, 17. Jun. 2008 (CEST)

Ich stimme soweit zu (war dir mit dem Revertieren aber schon zuvorgekommen...) Gruß, --Tolentino 08:52, 17. Jun. 2008 (CEST)

Hallo Saippuakauppias. Die Aussage ${\frac {\sin x}{x}}\rightarrow 1$ kann logisch nicht über die Regel von de l'Hospital beweisen, weil man dafür vorher wissen muss, dass $\sin x$ im Nullpunkt abgeleitet 1 ergibt. Das ist aber die zu beweisende Aussage, also erhält man logisch so etwas wie: Unter der Voraussetzung, dass man ${\frac {\sin x}{x}}\rightarrow 1$ weiß, folgt mit l'Hospital ${\frac {\sin x}{x}}\rightarrow 1$. --Tolentino 09:38, 17. Jun. 2008 (CEST)

Die Aussage $\sin x<x<\tan x$ ist zwar für positive, genügend kleine x wahr, jedoch nicht für negative, betragsmäßig kleine x. --Tolentino 09:42, 17. Jun. 2008 (CEST)

• Gut, dass mit dem De l'Hospital, da habt ihr Recht. Aber das mit dem $\sin x<x<\tan x$ stimmt m.E. immer, auch für "negativ Kleine", und das wird auch an Universitäten als Beweis von $\sin x<x<\tan x$ so gelehrt. Wenn schon, sinx/x erwähnt wird, sollte IMHO auch sein Beweis folgen, denn ohne "wirft er mehr fragen auf, als er beantwortet".
• Die Polarkoordinaten sind essentiell bei Grenzwerten mehrerern Variabeln. --  Saippuakauppias ⇄ 10:13, 17. Jun. 2008 (CEST)

PS: Anyway, in der EN:WP führen sie diese Anwendung auch an: en:Hôpital's_rule#Examples. Klar handelt es sich da nicht um einen Beweis, weshalb die SItuation anders ist. aber das hab' ich nur kurz mitteilen wollen. --  Saippuakauppias ⇄ 10:19, 17. Jun. 2008 (CEST)

Da Sinus und Tangens ungerade Funktionen sind, kann die Ungleichung nicht sowohl für positive wie für negative x stimmen. Grob: Tangens ist oberhalb von $f(x)=x$ für $x\in (0,\pi /2)$, dann muss der Tangens wegen der Punktsymmetrie unterhalb der Winkelhalbierenden sein für $x\in (-\pi /2,0)$. --Tolentino 10:27, 17. Jun. 2008 (CEST)

Sorry, das war peinlich ... Natürlich habe ich $|\sin x|<|x|<|\tan x|\,$ gemeint, sonst stimmt das natürlich nicht, da -1 < -0.5. Alles klar? Sorry. Finde den Beweis als Fussnote doch etwas versteckt. Wie wäre es damit, ein Symbol (Bildchen) ztu kreeiren, welches überall zum Beweis der jeweiligen Formel verlinken würde (auf Ebene WP:DE)? Gruss, Saippuakauppias ⇄ 15:51, 17. Jun. 2008 (CEST)

Polarkoordinaten

Was meint ihr aber zu den Polarkoordinaten? Diese wurden stillschweigend gelöscht. --  Saippuakauppias ⇄ 15:52, 17. Jun. 2008 (CEST)

Einen Abschnitt "Methoden zur Grenzwertberechnung" halte ich durchaus für sinnvoll; da gehört neben den bereits vorhandenen Grenzwertsätzen auch die Regel von L’Hospital erwähnt (das fehlt anscheinend im Artikel); in diesen Zusammenhang könnte dann auch ein Hinweis auf die Polarkoordianten passen. --NeoUrfahraner 16:42, 17. Jun. 2008 (CEST)

Regel von l'Hospital

Die Aussage:

• $\lim _{x\to p}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim _{x\to p}f(x)}{\lim _{x\to p}g(x)}}={\frac {a}{b}}$.

sei unter dem Namen Satz, oder Regel von l'Hospital bekannt, ist offensichtlich falsch. Benannte Regel operiert mit den Ableitungen der Funktionen ! (nicht signierter Beitrag von 92.229.227.22 (Diskussion | Beiträge) 02:28, 12. Nov. 2009 (CET))

Gott, was ein Bock. Danke für die Entfernung! --P. Birken 20:03, 12. Nov. 2009 (CET)

Argument endlich Grenzwert unendlich

Bezüglich Argument endlich, Grenzwert unendlich. Hier ist ein Fehler unterlaufen. Es darf vor dem unendlich Zeichen kein Gleichheitszeichen verwendet werden (=), da dies sonst bedeuten würde dass das Unendliche beziffert werden könnte. Es strebt aber gegen unendlich und ist nicht gleich unendlich. Dies muss also von "=" in ein strebt nach zeichen "->" umgeändert werden. (nicht signierter Beitrag von Ta123 (Diskussion | Beiträge) 15:09, 22. Jan. 2010 (CET))

Wie dieses Gleichheitszeichen zu verstehen ist, steht ja im Artikel, das ist schon sauber definiert. --P. Birken 15:57, 23. Jan. 2010 (CET)

Ich kann die Entsprechende Erklärung dazu nicht finden. Es steht definitiv fest, dass dieses Gleichheitszeichen falsch ist. Daher muss es entfernt werden. Es ist denke ich hilfreicher, bei Wikipedia Informationen gut aufgebaut und somit für den Leser schnell auffindbar zu gestalten. Es gibt sicherlich zahlreiche Nutzer die einfach nur schnell auf diese Formel sehen und bekommen damit eine falsche Information. Die Gleichung ist falsch. Man kann den Grenzwert nämlich nicht genau bestimmen. Deswegen muss man ein Zeichen anfüngen, welches ausdrückt, strebt gegen unendlich!--teta123 20:11, 28. Jan. 2010 (CET)

Im Abschnitt Grenzwert_(Funktion)#Argument_endlich.2C_Grenzwert_unendlich steht doch eine ganz klare Definition, was unter diesem Gleichheitszeichen zu verstehen ist, nämlich dass der Ausdruck divergiert. --P. Birken 16:57, 30. Jan. 2010 (CET)

In jedem halbwegs seriösen Mathebuch findet sich die Notation mit dem Gleichheitszeichen bei Limes, z.B. bei Teubner. -- Philipendula 10:56, 31. Jan. 2010 (CET)

Es strebt der Grenzwert einer Folge nicht gegen eine Zahl $L$, sondern ist gleich $L$. Deswegen gehört kein Pfeil hin. (Heuser unterscheidet Pfeil und Gleichheitszeichen sehr genau.)

In puncto "Bezifferung des Unendlichen" liegt der Benutzer Ta123 aber nicht völlig daneben. Es steht (aktuell) $\lim _{x\to p}f(x):=\infty$. Der Doppelpunkt ist unsinnig, solange man nicht so etwas wie ${\bar {\mathbb {R} }}$ einführt. Das ist im Artikel aber nicht der Fall. (Keine Lust, das auszubessern.) --Stefan Neumeier 01:57, 29. Mär. 2010 (CEST)

Also den Doppelpunkt würde ich schon lassen, weil man den Ausdruck $\lim _{x\to p}f(x)$ an genau der Stelle als unendlich definiert. Allerdings ist der Satz tatsächlich etwas unrund, weil sozusagen zwei Definitionen (lim unendlich und bestimmt divergent) auf einmal passieren. --P. Birken 20:15, 29. Mär. 2010 (CEST)

Eben. Genausogut könnte auch $\lim _{x\to p}f(x):=:\infty$ stehen, um den syntaktischen Unsinn in der aktuellen Version deutlich zu machen. (Hilfreicher wäre es, das Ding einfach mal aus dem Heuser o.dgl. abzuschreiben.) (Jetzt erst recht keine Lust, das auszubessern.) --Stefan Neumeier 13:30, 26. Apr. 2010 (CEST)

Häufungspunkt

Warum wird im ersten Abschnitt gefordert, dass p ein Häufungspunkt ist? Berührpunkt reicht doch eigentlich. Außerdem vermisse ich hier die topologische Definition: Seien X,Y Hausdorff-Räume, A Teilmenge von X und a Berührpunkt von A. f: A->Y Dann ist der Limes von f(x) für x gegen a genau dann gleich b, wenn für alle Umgebungen V(b) eine Umgebung U(a) existiert, sodass f(U geschnitten A) Teilmenge von V ist. --131.188.24.20 (19:25, 11. Feb. 2010 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Nein, es reicht im Allgemeinen nicht aus, dass der Funktionsgrenzwert ein Berührpunkt ist, es ist schon richtig zu fordern, dass p ein Häufungspunkt ist. Die bisherigen Autoren scheinen eher speziell auf reelle Analysis bedacht gewesen zu sein, um wahrscheinlich das Lesen des Artikels für Schüler einfacher zu gestallten, den diese können mit Sicherheit nichts mit dem Begriff Hausdorff-Raum anfangen. Allerdings wäre eine möglichst allgemeine Definition und zusätzlich eine für den rein reellen Fall ein guter Kompromiss? --Nebukat 01:24, 24. Mär. 2010 (CET)

an einer bestimmten Stelle

Zu http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Grenzwert_(Funktion)&diff=72955722&oldid=72920116 vgl. Funktionen haben keine Grenzwerte Ich habe also "an einer bestimmten Stelle" ergänzt, damit ja kein Missverständis auftaucht. Beleg für die Wortwahl ist z.B. Franz Pfuff, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, S 29: Grenzwerte von Funktionen, ... spricht manvom Grenzwert der Funktion f an der Stelle x0 --NeoUrfahraner 09:16, 10. Apr. 2010 (CEST)

Frage

Was ist mit L`Hospital? Bsp.: lim x->1 (x^2-1)/x+1 => 2/1 = 2. Dann braucht man auch keine Witze über Epsilons zu machen! (nicht signierter Beitrag von 178.191.202.99 (Diskussion) 13:33, 18. Aug. 2010 (CEST))

Es geht nicht um Witze über Epsilon, sondern um eine mathematisch strenge Definition. Die wird allerdings in der Beispielrechnung gar nicht vorgeführt.

Im Beispiel wird der Faktor x-1 gekürzt. Das ist meines Erachtens leichter und auf jeden Fall elementarer, als L'Hospital anzuwenden.

Nichtsdestotrotz fehlt im Artikel ein Hinweis darauf, dass man oft solche Grenzwerte mit Hilfe der Regel von de L'Hospital berechnen kann, insoweit hast Du recht. -- Digamma 14:23, 18. Aug. 2010 (CEST)

Ich vermute, dass der Nenner $x-1$ sein soll. Das ist ober nur vertippt.

Dieses Beispiel mit L'Hospital zu berechnen, ist völlig sinnlos. Denn dafür müsste man wissen, was die Ableitung von $x^{2}-1$ an der Stelle 1 ist. Und dreimal darf man raten, was der Differenzenquotient ist, um diese Ableitung zu bestimmen... --Tolentino 14:27, 18. Aug. 2010 (CEST)

Den Hinweis sollte man an dieser Stelle aber wirklich finden, weil es ja schließlich noch komplizierter aussehende Funktionen gibt, die sich mit L`Hospital sehr einfach lösen lassen, oder? (nicht signierter Beitrag von 178.191.202.99 (Diskussion) 16:21, 18. Aug. 2010 (CEST))

Die Bedeutung von L'Hospital wird sehr überschätzt, finde ich. Oft ist L'Hospital komplizierter als angemessenere Methoden wie Potenzreihenentwicklung. Außerdem treten Grenzwerte ja nicht notwendigerweise als Quotienten auf. Und dieses Beispiel ist nun wirklich völlig ungeeignet für L'Hospital. --Tolentino 16:29, 18. Aug. 2010 (CEST)

Wie Digamma das jetzt gemacht hat, finde ich es in Ordnung. Da steht es auch nicht an einem verkehrten Beispiel. --Tolentino 16:35, 18. Aug. 2010 (CEST)

Vielleicht mag ja jemand den Artikel etwas ausbauen und mehr Beispiele einfügen bzw. auch noch andere Methoden, um Grenzwerte zu berechnen. -- Digamma 16:53, 18. Aug. 2010 (CEST)

Grenzwert definition:

Es sei nun $f\colon D\to \mathbb {R}$ eine Funktion und a ein Häufungspunkt von D. Dann nennt man eine Zahl $l$ Limes oder Grenzwert von $f$ bei x gegen a, symbolisch

$\lim _{x\to a}f(x)=l$ oder f(x) → $l$ bei x → a,

falls sich f(x) beliebig wenig von $l$ unterscheidet, wenn nur x ∈ D hinreichend nahe bei a liegt, aber davon verschieden ist. Mathematische präzise steht $\lim _{x\to a}f(x)=l$ für: Zu jeder (noch so kleinen) Zahl ε>0 gibt es eine (von ε abhängige) Zahl δ>0, so dass gilt

$|f(x)-l|<\varepsilon$ für alle $x\in D$, $x\not =a$ mit $|x-a|<\delta$.

Achtung: Falls a ∈ D ist, muss $l$ keineswegs gleich f(a) sein!

 — Johannes Kalliauer^(talk)_♥ 21:37, 4. Nov. 2010 (CET)

Grenzwert_(Funktion)#Argument_endlich.2C_Grenzwert_endlich stimmt doch, hatte nur $0<|x-p|$ übersehen, ist aber einfacher wenn man sagt: x≠p

 — Johannes Kalliauer^(talk)_♥ 21:50, 4. Nov. 2010 (CET)

Zwei grundverschiedene Grenzwertbegriffe

Die deutsch- wie die englischsprachige Wikipedia macht eine scharfe Trennung zwischen dem Grenzwertbegriff für Folgen und dem für Funktionen, was so weit geht, dass es zwei verschiedene Artikel gibt. Dafür behandelt sie zwei grundverschiedene Grenzwertbegriffe in einem einzigen Artikel, nämlich diesem hier: Den

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)$

respektive die einseitigen Grenzwerte

$\lim _{x\nearrow x_{0}}f(x)$ und $\lim _{x\searrow x_{0}}f(x)$,

falls beide nicht übereinstimmen sollten, einerseits und die (notwendigerweise einseitigen) Grenzwerte

$\lim _{x\to -\infty }f(x)$ und $\lim _{x\to \infty }f(x)$

andererseits, der aber mit dem Grenzwertbegriff für Folgen m.E. sehr viel näher verwandt ist als mit dem erstgenannten Grenzwertbegriff. Hier könnte man mit demselben Recht eine scharfe Trennlinie ziehen, nicht zuletzt deshalb, weil sich Folgen als spezielle Funktionen und Indizes als Arguemte auffassen lassen. Umgekehrt lässt sich das Argument einer reellen Funktion als Index auffassen, wobei die Indexmenge eben gleich $\mathbb {R}$ ist.--Slow Phil (Diskussion) 14:40, 20. Dez. 2012 (CET)

verstaendlichkeit

Vielleicht sollte man das alles noch komplizierter darstellen, damit es bloß niemand versteht und die geistigen Eliten unter sich bleiben können (nicht signierter Beitrag von 91.57.175.26 (Diskussion) 17:19, 11. Mär. 2011 (CET))

Die $\varepsilon \delta$-Definition, mit der hier begonnen wurde, sollte eigentlich der Standard in Klasse 11 der gymnasialen Oberstufe sein, seit G8-Bildungsreform vielleicht sogar in Klasse 10

Ohne vergleichbare Konstruktion lässt sich ein Grenzwert nicht sauber definieren!

Allerdings fehlt definitiv die saubere topologische Formulierung, obwohl die Topologie die Theorie ist, in der eigentlich festgelegt wird, was Konvergenz bedeutet. Die Definition mit Umgebungen sollte überarbeitet werden. Des Weiteren ist es gelegentlich notwendig, Grenzwerte von Funktionen auch mit Filtern und Netzen zu definieren. (nicht signierter Beitrag von 84.160.194.249 (Diskussion) 18:44, 29. Mai 2011 (CEST))

So ganz verstehe ich nicht, was du uns sagen möchtest. Der falsche Gebrauch von Text-Markup spricht auch nicht unbedingt dafür, dass du verstanden werden möchtest. Ansonsten: Z.B. in den Kernkompetenzkursen G8 in Baden-Württemberg gibt es keine formale Definition des Grenzwerts mehr, geschweige denn in Klasse 10. -- Digamma 19:27, 29. Mai 2011 (CEST)

Darf ich schreiben:

Im Bereich p liegen mehr Punkte "auf einem Haufen" als in einem andere Bereich auf der x-Achse ?

Kommt das an die Defintion des Grenzwertes heran? -- qweet (Diskussion) 17:59, 5. Apr. 2013 (CEST)

Neuerer Grenzwertbegriff

Zitat:

Der Unterschied zur oben gegebenen punktierten Variante besteht erstens darin, dass jetzt $x_{n}=p$ nicht mehr verboten ist, falls $p\in D$. Zweitens ist dadurch eine Definition auf allen Punkten in der abgeschlossene Hülle ${\bar {D}}$ möglich, insbesondere also auch auf isolierten Punkten von D.

Zitat Ende

Den Zusatz "insbesondere also auch auf isolierten Punkten von D" vestehe ich nicht. Wenn p ein isolierter Punkt von D ist, dann gibt es per definitionem keine Folge $x_{n}$ mit $\lim _{n\to \infty }x_{n}=p$ oder anders ausgedrückt p ist kein Häufungspunkt von D. Eine Anwendung der obigen Grenzwertdefinition auf isolierte Punkte ist dann also gar nicht möglich. Eine Ausweitung auf Punkte in ${\bar {D}}\setminus D$, die zugleich Häufungspunkte von D sind, ist nach wie vor sinnvoll. --MTimann (Diskussion) 17:29, 13. Mär. 2013 (CET)

Doch, die Folge $x_{n}$ mit $x_{n}=p$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist eine Folge in $D$, die gegen $p$ konvergiert. --Digamma (Diskussion) 21:15, 13. Mär. 2013 (CET)

Stimmt. Ich hatte bei der Definition von isoliertem Punkt die Begriffe Folgenhäufungspunkt und Mengenhäufungspunkt verwechselt.--MTimann (Diskussion) 21:31, 15. Mär. 2013 (CET)

Grenzwertsätze

Im Abschnitt über Grenzwersätze vermisse ich die Substitutionsregel für zusammengesetzte Grenzwerte der Form $\lim _{x\to x_{0}}g(f(x))$

Existieren die Grenzwerte $\lim _{x\to a}f(x)=i$ und $\lim _{y\to b}g(y)=j$ und ist g stetig im Punkt i, falls f diesen Wert annimmt, so gilt:

$\lim _{x\to a}g(f(x))=lim_{y\to b}g(y)$ (nicht signierter Beitrag von 92.107.62.64 (Diskussion) 21:01, 20. Apr. 2013 (CEST))

Notation?!

Die Notationen des links- und rechtsseitigen Grenzwerts sind bei der zweiten "Variante" mathematisch gleich. 84.114.26.36 20:51, 8. Mai 2014 (CEST)

Könntest du das näher erläutern? --Digamma (Diskussion) 22:21, 8. Mai 2014 (CEST)

Ich glaube, der Diskussionsinitiator wundert sich über die Notationen $\lim _{x\to p+0}$ bzw. $\lim _{x\to p-0}$, weil p+0 und p-0 "mathematisch geich sind". --Daniel5Ko (Diskussion) 23:53, 9. Mai 2014 (CEST)

Bedeutet p+0 denn etwas anderes als p? 84.114.26.36 07:30, 17. Mai 2014 (CEST)

Die komplette Schreibweise "$x\to p+0$" bedeutet, dass $x$ von rechts gegen $p$ läuft und es sich bei dem Grenzwert deshalb um einen rechtsseitigen Grenzwert handelt. Die beiden Terme "p + 0" und "p" haben zwar denselben Wert, sind aber verschiedene Terme. Deshalb kann man da, wo es nur um die Schreibweise geht und nicht um den Wert des Terms, den einen nicht durch den andern ersetzen. Ob diese Schreibweise sinnvoll ist oder verwirrend,kann man durchaus diskutieren. Ich selbst würde sie auch nicht verwenden. Da sie aber in mathematischen Texten vorkommt, ist es sinnvoll, dass Wikipedia sie auch nennt und darstellt. --Digamma (Diskussion) 12:15, 17. Mai 2014 (CEST)

Ich habe etwas recherchiert: Die Notation ist mir dabei zwar nicht untergekommen, jedoch jemand, der mir erklärt hat, dass die 0 für das Epsilon steht, welches immer kleiner wird - stimmt das? 188.23.150.154 05:40, 18. Mai 2014 (CEST)

Ja und Nein: Eigentlich ist das falsch, aber man errät leicht, was damit gemeint ist. Zur Verdeutlichung sollten wir auch den Funktionsterm f(x) dazuschreiben, dann gilt

$\lim _{x\to p\pm 0}f(x):=\lim _{\epsilon \to 0}f(p\pm \epsilon ),$

Dabei wird allerdings der Kürze wegen die übliche Vereinbarung, daß $\epsilon$ in so einem Kontext nur positive Werte annehmen kann, als bekannt vorausgesetzt. Exakter müßte man daher zum Beispiel so schreiben:

$\lim _{x\to p-0}f(x):=\lim _{\delta \to 0}f(p-\delta ^{2})$

$\lim _{x\to p+0}f(x):=\lim _{\delta \to 0}f(p+\delta ^{2})$

Denn hier bedeutet auf den rechten Seiten $\delta \to 0$ wie üblich, daß man zur Ausführung des Grenzüberganges $\delta$ eine beliebige Nullfolge durchlaufen lassen kann − natürlich aus einer hinreichend kleinen (evtl. punktierten) Umgebung von p, sodaß alle dabei auftretenden Funktionswerte $f(p\pm \delta ^{2})$ auch existieren. --Franz 09:16, 18. Mai 2014 (CEST)

Übrigens, es gäbe auch noch die Kurznotation $f(p+0)$ oder (wohl häufiger) $f(p+)$ für den rechtsseitigen Grenzwert und analog mit Minus für den linksseitigen. Die wird im Artikel noch nicht erwähnt. -- HilberTraum (Diskussion) 20:24, 18. Mai 2014 (CEST)

Ich habe die Version $f(p+0)$ mal eingefügt. Die Version $f(p+0)$ würde ich lieber weglassen, denn hier ist völlig unklar, warum man p + 0 nicht durch p ersetzen sollte. --Digamma (Diskussion) 16:28, 19. Mai 2014 (CEST)

Ja, $f(p+0)$ wäre schon ziemlich verwirrend. Ich kann auch nur noch erinnern, dass ich das schon mal irgendwo gesehen habe, aber nicht mehr wo. Danke fürs Einfügen. -- HilberTraum (Diskussion) 17:36, 19. Mai 2014 (CEST)

Undendlich ist keine Zahl

Im Artikel wird oft Unendlich als Element eines Definitionsbereichs verwendet. Meiner Meinung nach ist das falsch, da unendlich keine Zahl ist. Ich kann nicht sagen, ich setze mal eben den Wert unendlich ein.

Weiterhin wird bei der Definition des Grenzwertes gesagt, dass eine Folge zwar gegen einen Grenzwert konvergieren soll, aber dieses Folge-Glied nicht enthalten darf ($\forall n\quad x_{n}\in D\backslash \{p\}$ mit$\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=p$). Wie soll dass denn bitte gehen? Wenn das nämlich für alle n gelten soll, ist damit die ganze Folge angesprochen, wenn es nicht weiter eingegrenzt wird, wie z.B. in der Grenzwert-Definition einer Folge.

--77.180.166.33 20:36, 5. Nov. 2015 (CET)