Diskussion:Jordansche Normalform

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Algorithmus zur JNF

Dann sollten wir uns wohl mal daran machen einen Algorithmus zur JNF aufzustellen! Aber bedenken, dass dabei die größten Blöcke oben stehen. Nicht wie in diesem Beispiel...

Pladdin

Die Anordnung der Blöcke ist für mich auch nich nachvollziehbar. 217.81.246.173 21:43, 17. Jun. 2007 (CEST)

Unter "Komplexe jordansche Normalform steht, dass die jordansche Normalform bis auf die Reihenfolge der Kästchen eindeutig bestimmt ist. Das steht direkt unter dem Hinweis, dass das Minimalpolynom den größten Jordanblock zum jeweiligen Eigenwert liefert. Hier könnte die Gefahr bestehen, dass ein Leser denkt, dass die jordansche Normalform durch Minimal und charakteristisches Polynom eindeutig bestimmt ist. Vielleicht könnte man hier ein einfaches Gegenbeispiel aus C 4x4 angeben. --Math123 13:26, 23. Mai 2008 (CEST)

Basisbestimmung

Meiner Meinung nach ist das hier angegebene Verfahren völlig praxisfern. Alleine um die jordansche Normalform einer $3\times 3$-Matrix zu bestimmen, müsste man ein lineares Gleichungssystem mit 9 Unbekannten lösen (im allgemeinen $n^{2}$ Unbekannte). Das ist ein ziemlich großes Manko. Darüber hinaus benötigt man a priori die Kenntnis der Jordan-Normalform. Um diese aber zu bestimmen, hat man schon diejenigen Kerne ausgerechnet, die zur Aufstellung einer Basis nötig sind, also ist das Bestimmen der Basis praktisch kein Aufwand. Auch ist das Verfahren völlig verschleiert dargestellt. De facto meint es lediglich, dass man $PA=JP$ als lineares Gleichungssystem in den $n^{2}$ Unbekannten (die Koeffizienten von $P$) löst. Anschließend versuche man aus der allgemeinen Lösung irgendwie eine reguläre Matrix zu erhalten. Natürlich ist die Regularität der generische Fall, und auf singuläre trifft man extrem selten, trotzdem ist ein und dieselbe Linearkombination (insbesondere das vorherig im Artikel befindliche $\sum _{j=1}^{m}jL_{j}$) bestimmt nicht für alle Fälle richtig. Fasse ich zusammen:

• Das Verfahren ignoriert völlig die Informationen, die zur Bestimmung der Jordan-Normalform nötig waren.
• Diese fehlenden Informationen hätten gereicht, um verhältnismäßig geringem Rechenaufwand eine Basis herzustellen.
• Wegen der fehlenden Information muss ein völlig ineffizienter Algorithmus her, nämlich lineares Gleichungssystem in $n^{2}$ Unbekannten.
• Das Bestimmen einer regulären Matrix aus den bisher bestimmten Koeffizienten einer potentiellen Basistransformation fehlt völlig und ist mit einer fixen Formel in Einzelfällen falsch.

Daher plädiere ich dringend für eine Löschung des Verfahrens, da es auf ein falsches/unvollständiges Verständnis führt. --Tolentino 09:50, 31. Jul. 2008 (CEST)

So, ich habe jetzt einen gängigen Algorithmus formuliert und das Beispiel um die Basistransformation zur Erläuterung eingefügt. Zudem habe ich den naiven Ansatz als Kompromiss nicht entfernt, sondern seine wesentliche Idee beibehalten, von der ich denke, dass die Darstellung so jetzt auch durchsichtiger ist. --Tolentino 11:32, 2. Aug. 2008 (CEST)

Vielen Dank für die Arbeit, Hilfe und den Kompromiss! :)

Die ursprüngliche Idee des Verfahrens war, überhaupt ein - wenn auch naives im Vergleich zum Standard - Verfahren zu haben. Es ist absolut korrekt, dass dieses die vorhandenen Informationen ignoriert und ineffizient ist. Es ist sehr allgemein gehalten, d.h. kann Basistransformationen für allgemeine Matrizen die ähnlich und nicht singulär sind (sonst existiert keine) bestimmen. Dies hat die genannten Nachteile, aber auch den einen oder anderen Vorteil. ;) Die Verschleierung war absolut ungewollt und ein Versehen, ist jetzt behoben; Danke dafür! Zu der Benennung des ersten Verfahrens; naiv ist korrekt wobei ich z.B. heuristischer Brute-Force-Ansatz besser fände, denn der Name beinhaltet eine Beschreibung des Verfahrens genauso wie der Mängel, naiv hat keine Aussage... :) Das irgendwie kann mit durch geschickte lin.-komb. (ev. 'pröbeln' darum liegt hier eine Schwachstelle) konkretisiert werden. --DrTrigon 17:52, 22. Aug. 2008 (CEST)

Das Verfahren wäre eventuell besser aufgehoben in Basiswechsel (Vektorraum)?! --DrTrigon 18:03, 22. Aug. 2008 (CEST)

Einleitung - Jordanblock

Eine Jordansche Normalform kann zu einem Eigenwert mehrer Jordanblöcke haben. Das wird in der Einleitung anders dargestellt. --Christian1985 17:02, 5. Sep. 2008 (CEST)

Ah es steht schon in der Einleitung drin, aber die erste Matrix finde ich verwirrend. --Christian1985 17:06, 5. Sep. 2008 (CEST)

Lesenswerter Artikel

Hallo Leute, dies richtet sich an alle die grössere Aenderungen vorgenommen haben oder sich sonst wie mit diesem Artikel verbunden fühlen. Ich persönlich halte den Artikel für lesenwert, wobei allerdings wohl noch etwas daran gearbeitet werden müsste, deshalb hier mein Vorschlag; was haltet Ihr davon, wenn wir den Artikel zum Review einstellen würden? Grüsse --DrTrigon 19:00, 9. Sep. 2008 (CEST)

Dazu müsste erstmal die Einleitung so überarbeitet werden, dass auch Leser, die keine LA-Vorlesung besucht haben, den Begriff einordnen können. --Stefan Birkner 22:39, 9. Sep. 2008 (CEST)

Ich denke ebenfalls, dass dieser Artikel keine Chance hat, in dieser Form als lesenswert zu gelten. Wenn man alleine nur von den mathematischen Gründen ausgeht, so fehlt hier signifikant, wie man eine Basistrasnformation zur reellen JNF hinbekommt und wie eine JNF in allgemeinen Körpern (samt Basistransformation) ausschaut. Neben diesen mathematischen Mängeln scheint mir die Präsentation auch keineswegs OMA-tauglich zu sein. --Tolentino 08:44, 10. Sep. 2008 (CEST)

Vielen Dank für Eure Rückmeldung!!

@Stefan: "Alle Artikel aus allen Fach- und Lebensbereichen. Darunter fallen auch Artikel, die von der Mehrheit der Nutzer als unverständlich angesehen werden, aber fachlich korrekt und fundiert ein spezielles Thema behandeln." - Wikipedia:Kriterien für lesenswerte Artikel Hingegen die Einleitung noch zu vereinfachen wäre sicher eine gute Idee! :)

@Tolentino: Basistrasnformation zur reellen JNF ja gerne!!! ;) Das hatten wir ja auch schon besprochen, wäre schön hätten wir es, werde auch gleich mal mir Recherchen anfangen, aber "Teilaspekte des Themas dürfen fehlen oder lückenhaft sein, z. B. bei Chemikalien die Geschichte, bei Länderartikeln die Flora und Fauna u. ä." - Wikipedia:Kriterien für lesenswerte Artikel (ok, ich denke Du wärst hier mit meiner Wahl Teilaspekte nicht ganz einverstanden? ;) Für die JNF in allgemeinen Körpern (samt Basistransformation) bin ich devinitiv zu wenig Mathematiker... Aber zum OMA dachte ich, wir wären uns einig, dass es in der Mathematik nur bedingt sinnvoll ist zudem müsste ich das Zitat von oben an Stefan wiederholen... ;)

Grüsse --DrTrigon 17:16, 10. Sep. 2008 (CEST)

Wie in der Einleitung ja schon erwähnt wurde, wurde die Jordannormalform dabei gefunden, als es um das Lösen von linearen Gleichungssystemen ging. Insbesondere erhällt man dadurch ganz schnell das Resultat, dass jedes lineare System von DGLs ein Fundamentalsystem hat. Glaube ich zumindest! Im Buch Analysis 2 von Otto Forster ist glaube ich dazu ein verständliches Kapitel zu finden. Ich denke, dieser Bereich sollte hier auch noch Erwähnung finden oder? Außerdem sollte man besser rauskristallisieren, dass die Jordannormalform eine Invariante eines Endomorphismus ist und wie hängt das überhaupt mit DGLs zusammen? Falls ich die Tage mal mehr Zeit habe, versuche ich mich dem analytischen Teil mal zu widmen. --Christian1985 18:06, 10. Sep. 2008 (CEST)

Naja, die JNF im Reellen ist nicht einfacher als die JNF in allgemeineren Körpern. Im Komplexen haben wir ausgenutzt, dass das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Allgemein über Körpern zerfällt es nur in irreduzible Faktoren (im Rellen können das auch quadratische Faktoren sein). Wenn man einmal den Algorithmus für quadratische Faktoren (sprich: reelle JNF) verallgemeinert hat, wird man anschließend sehen, dass der allgemeine Körper praktisch dasselbe ist, aber erst einmal eines nach dem anderen...

Ich gebe völlig recht, dass man deutlicher herausstellen sollte, dass die Jordannormalform eine trennende Invariante unter der Ähnlichkeit von Matrizen ist, sprich: Zwei Matrizen sind ähnlich genau dann, wenn ihre JNF gleich ist. Und der Zusammenhang zu den linearen DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten ist hier sicherlich auch nicht optimal. Es gibt also viel zu tun... --Tolentino 08:54, 11. Sep. 2008 (CEST)

Zunächst nochmals Danke für Eure Rückmeldung und Beiträge!! Jetzt haben wir schon einiges beisammen! :) Wie ich ja oben erwähnt hatte würde ich vorschlagen den Artikel vor einer Kandidatur zu lesenswerte Artikel zum Review einzustellen, dafür wäre Eure Hilfe bzw. Euer Einverständnis nötig... Ich denke der Review wäre sicher nützlich auch wenn's dann kein lesenswerter Artikel würde.

Ich fasse mal Eure Beiträge zusammen:

• Einleitung "vereinfachen" (eher OMA) und ergänzen mit historischen Hinweisen (lösen von LGS und DGL, Fundamentalsystem, usw.)
  • von Benutzer:Stefan Birkner, Benutzer:Christian1985
• Erwähnen/Herauskristallisieren dass die Jordannormalform eine Invariante eines Endomorphismus ist, bzw. in endlichdim. Räumen eine trennende Invariante unter der Ähnlichkeit von Matrizen ist (d.h. zwei Matrizen sind ähnlich genau dann, wenn ihre JNF gleich ist)
  • von Benutzer:Christian1985, Benutzer:Tolentino
• Zusammenhang zu DGLs mit konst. Koeffizienten erledigtErledigt
  • von Benutzer:Christian1985, Benutzer:Tolentino
  • um diesen Punkt hat sich Benutzer:Tolentino gekümmert
• Basistransformation zur reellen JNF und JNF in allgemeinen Körpern: Benutzer:DrTrigon/Entwurf/Basistransformation zur reellen JNF erledigtErledigt
  • von Benutzer:Tolentino
  • um diesen Punkt, spezielle die Basist. zur reellen JNF wird sich Benutzer:DrTrigon kümmern
• Literaturverweise ergänzen, soweit vorhanden (z.B. Ana. 2, Otto Forster)
  • von Benutzer:Christian1985

Ich habe mich schon mal für einen Punkt eingetragen... (werde mich auch noch anderen zuwenden, aber mal klein Beginnen) Ich hoffe die Liste entspricht ungefähr Euren Vorstellungen, sonst einfach anpassen. Vielen Dank auch schon mal für Euren Einsatz und Grüsse --DrTrigon 13:30, 11. Sep. 2008 (CEST)

Ich hab mich um die DGLs gekümmert und dies mal auf deiner Liste nachgetragen. Und noch etwas: Falls jemals ein sinnvoller Algorithmus für die reelle JNF da ist, sollte man das Beispiel hier eliminieren und durch eine reelle Matrix ersetzen, die auch nicht-reelle Eigenwerte besitzt, denn im Moment fallen komplexe und reelle JNF zusammen, was didaktisch etwas ungeschickt ist. Und wo wir grad beim Wünsch-dir-was sind: Natürlich sollten irgendwo auch die äquivalenten JNFs notiert sein (Einsen nach unten; oder bei der reellen JNF mit Begleitmatrizen statt Drehmatrizen). --Tolentino 10:06, 12. Sep. 2008 (CEST)

Gute Sache!!! Vielen Dank dafür! :) Wegen dem Beispiel, ist mir auch schon aufgefallen, es ist verwirrend ja, das Beispiel gehört eigentlich zu Jordansche Normalform#Reelle Matrix und reelle Eigenwerte (da passt es wie die Faust aufs Auge ;) jedenfalls bin ich dafür es min. zu erhalten bis ein passenderes vorhanden ist. Grüsse --DrTrigon 10:14, 12. Sep. 2008 (CEST)

Nein, ich finde, dass es überhaupt nicht zur reellen JNF passt, weil man daran erstens gar nicht erkennen kann, warum man Blöcke der Größe zwei benötigt, und zum anderen weil der Algorithmus nicht in den zugehörigen Fall verzweigt. Als gutes Beispiel sollte es möglichst alle Unterzweige des Algorithmus illustrieren, sonst bekommt man dafür kein Verständnis. --Tolentino 10:20, 12. Sep. 2008 (CEST)

Meinte nicht zur reellen JNF sondern zur komplexen JNF im Unterabschnitt Reelle Matrix und reelle Eigenwerte... ;) Also eigentlich müssten nur die beiden Unterabschnitte vertauscht werden; einfach den Abschnitt ==== Reelle Matrix und reelle Eigenwerte ==== vor den Abschnitt ==== Beispiel ==== setzen... Was wir im Anfangsbereich des Artikels mit diesem Beispiel Anfangen wollen ist allerdings wirklich eine gute Frage, es ist zu speziell, hat ja nicht mal 2 versch. Eigenwerte! Hätte noch einige auf Lager, leider alle reell, bis auf das, an dem ich jetzt für die reelle JNF arbeite... (Man könne auch eine diagonalisierbare als Beispiel durchrechnen um zu zeigen, dass die Diagonalisierung nur ein Spezialfall ist, aber das erst wenn wir sonst nichts mehr zu tun haben... ;) Grüsse --DrTrigon 15:04, 12. Sep. 2008 (CEST)

So, ich habe jetzt einen Algorithmus zu einer reellen JNF eingefügt. Es gibt zwar mehrere Definitionen einer reellen JNF, aber zumindest für eine derer habe ich es hier einmal fixiert. Und das Beispiel hier ist auch Murks für die komplexe JNF, weil hier weder komplexe Eigenwerte noch komplexe Basistransformation vorkommen. --Tolentino 09:43, 15. Sep. 2008 (CEST)

Die JNF in allgemeineren Körpern scheint auch Frobenius-Normalform zu heißen und hat auch schon einen eigenen Artikel (ich kannte sie vom Studium her als JNF, aber offenbar scheint der andere Name geläufiger zu sein). Demzufolge müssen wir nicht mehr allgemeinere Körper betrachten, aber ein Hinweis auf Frobenius-NF und Weierstraß-NF ist hier mehr als überfällig, insbesondere im historischen Kontext, sofern jemand darüber etwas erfahren kann. --Tolentino 10:44, 15. Sep. 2008 (CEST)

Zusätzlicher Punkt für die Liste:

• Bessere Beispiele
  • von Benutzer:Tolentino, Benutzer:DrTrigon
  • um diesen Punkt wird sich Benutzer:DrTrigon kümmern

Grüsse --DrTrigon 15:19, 15. Sep. 2008 (CEST)

Zusätzlicher Punkt: Kritik an der JNF: Der Algorithmus ist zwar schön und gut, benötigt aber als Voraussetzung die Faktorisierung des charakterstischen Polynoms. Das ist der einzige wirklich kritische Punkt, da man nämlich Polynome vom Grad >= 5 im Allgemeinen (Satz von Abel-Ruffini) nicht faktorisieren kann. Insofern ist das Verfahren für die DGLs ebenfalls nur sehr eingeschränkt nützlich. --Tolentino 17:09, 15. Sep. 2008 (CEST)

Jordankästchen vs. Jordanblöcke

Der Eintrag, der ganze Artikel ist menschenfeindlich aufgebaut. Es wird, was mir als Infosuchendem aufstößt, der Begriff Jordankästchen verwendet aber nicht eingeführt! Jordanblöcke hingegen schon...das muss korrigiert werden!(nicht signierter Beitrag von 134.100.32.47 (Diskussion | Beiträge) 12:37, 8. Okt. 2009 (CEST))

Bitte neue Diskussionsbeiträge immer unten anfügen. Das wird da gesucht und hilft der Chronologie. --- Es gab schonmal die Anfrage, ob das nicht beides das gleiche wäre, die Kästchen als verniedlichende Bezeichnung der Jordan-Blöcke.--LutzL 12:59, 8. Okt. 2009 (CEST)

Anscheinend soll das "s" im Abschnitt der Berechnung der Größe der Jordanblöcke die Vielfachheit bezeichnen. Das wird allerdings nirgendwo erwähnt, das sollte geändert werden. (nicht signierter Beitrag von 84.131.154.106 (Diskussion | Beiträge) 14:02, 6. Feb. 2010 (CET))

Eindeutigkeit

Jordansche Normalformen sind nicht eindeutig sondern nur zueinander ähnlich. Ähnlickeit ist aber zu schwach um von DER Jordanschen Normalform zu sprechen. Deshalb sollte es EINE Jordansche Normalform heissen und nicht DIE Jordansche Normalform. EINE schreibt man in der Mathematik üblicherweise nur, wenn etwas bis auf natürliche Isomorphie eindeutig ist. (natürliche Isomorphie im Sinne von Funktoren und natürlichen Transformatoren innerhalb einer oder zwischen zwei Kategorien)

Bitte schreibt eure Meinung. ansonsten ändere ich den Artikel entsprechend (nicht signierter Beitrag von Mircomaster (Diskussion | Beiträge) 09:19, 6. Mai 2011 (CEST))

Also wenn man wie üblich die Eigenwerte nach Größe (Ordnung im Komplexen ist natürlich nicht ganz eindeutig) und dann die Kästchen im Block nach ihrer Größe sortiert, dann ist die JNF schon recht eindeutig. Und inwiefern reicht Ähnlichkeit nicht als Isomorphie aus? Aber es sollte schon darauf hingewiesen werden, dass verschiedene Basen dieselbe JNF, also mit selber Anordnung der Kästchen, erzeugen koennen. Nur ist die Frage, ob man das in diesem doch etwas breiter beachteten Artikel in einem kategorischen Tonfall formulieren muss.--LutzL 12:05, 6. Mai 2011 (CEST)

Eine Standard-Aussage zur JNF ist: "Die JNF ist eine trennende Invariante für die Ähnlichkeitsoperation." Diese Aussage erwartet natürlich, dass man sich darüber einigt, in welcher Reihenfolge die EW und auf welcher Seite die Einsen stehen. Es gibt zwar unterschiedliche Möglichkeiten, wie man sich darüber einigen kann, und das macht auch jedes Lehrbuch anders, aber vor allem nochmals: Man kann eine Regel angeben, um JNFs eindeutig zu machen. Insofern stimme ich LutzL völlig zu.

Ebenso ist natürlich von erheblicher Relevanz, dass man zu ein- und derselben festen JNF prinzipiell viele Transformationen angeben kann, die diese JNF liefern (man beachte den Extremfall der Nullmatrix). Bei den Transformationen gibt es daher keine Kanonisierungsmöglichkeit. --Tolentino 18:43, 6. Mai 2011 (CEST)

Blöcke/Kästchen

"Die Anzahl der Jordankästchen mit Größe 1 sind 2a1 − a0 − a2 = 6 − 0 − 5 = 1 Stück. Die Anzahl der Jordanblöcke mit Größe 2 sind 2a2 − a1 − a3 = 10 − 3 − 5 = 2 Stück."

Jordankästchen befinden sich in den Jordanblöcken. Ist nicht dasselbe. (nicht signierter Beitrag von 84.62.175.173 (Diskussion) 21:55, 27. Sep. 2011)

Ja, das mit den Kästchen und Blöcken geht echt schlimm durcheinander. Ich will versuchen, das demnächst mal durchzugehen. -- HilberTraum (Diskussion) 21:24, 24. Jun. 2012 (CEST)

Die Frage ist bloß, in welche Richtung man vereinheitlicht. In der Literatur gibt es beide Sprechweisen: mit Jordankästchen, wobei die Kästchen, die zum selben Eigenwert gehören, einen Jordanblock bilden, oder die "Kästchen" selber heißen einfach Jordanblöcke, hmm... -- HilberTraum (Diskussion) 15:47, 25. Jun. 2012 (CEST)

Hi HilberTraum,

ich habe es bisher im Skript von Herrn Prof. Dr. Leuzinger (KIT) nur so gelesen, dass die Jordansche Normalform einer Matrix aus Jordanblöcken besteht. Jeder Eigenwert hat genau einen Jordanblock, auf dessen Diagonale sich der Eigenwert befindet. Jeder Jordanblock ist aus Jordankästchen aufgebaut, die auf der oberen Nebendiagonalen 1er stehen haben. Hier ein veranschaulichendes Bild eines Jordanblocks (kann ich auch gerne als SVG in commons hochlanden).

Gerade habe ich "Lernen aus Musterlösungen zur Analysis und Linearen Algebra", S. 120-122, gelesen. Dort wird das, was ich als Jordankästchen kenne, als Jordanblock bezeichnet. Für das was ich als Jordanblock kenne, gibt es dort keine eigene Bezeichnung. Es wird einfach als "Jordanblöcke zum Eigenwert xyz" bezeichnet.

Im Huppert (S. 305 -311) scheint auch nur die feinere Einheit einen Namen zu haben, allerdings nennt es sich dort Jordankästchen.

Ich schaue mal, ob ich noch mehr finde. --Martin Thoma 14:54, 15. Aug. 2012 (CEST)

Im Jänich (S. 234 - 235) geht es in die Richtung, die ich kenne. Die kleine Einheit wird als "Jordan-Kästchen" bezeichnet, die größere einfach als "Blockmatrix". --Martin Thoma 14:58, 15. Aug. 2012 (CEST)

Im Fischer (S. 268 - 273) ist nur von Jordanblöcken die Rede. Diese bezeichnen die kleine Einheit, die große wird bei ihm nur mit Symbolen bezeichnet. Dafür meint er mit "Jordan-Matrix" NICHT die Jordansche Normalform einer Matrix, sondern eine Matrix die nur 1er auf der oberen Nebendiagonale hat. --Martin Thoma 15:13, 15. Aug. 2012 (CEST)

Im Bosch (S. 232) ist ein Jordankästchen die kleine Einheit. Die große Einheit hat keinen Namen. --Martin Thoma 15:18, 15. Aug. 2012 (CEST)

Ich persönlich kenne das eher so wie im Fischer mit "Blöcken", aber tatsächlich scheint "Kästchen" für die kleinen Einheiten ein wenig verbreiteter zu sein, oder? Was schlägt du vor? Ich bin da eigentlich völlig offen, solange es einheitlich bleibt, und nicht im Artikel zwischendurch mal aus Blöcken Kästchen werden und umgekehrt ;-) -- HilberTraum (Diskussion) 22:24, 15. Aug. 2012 (CEST)

Ich finde es praktisch, wenn sowohl das große, als auch das kleine Namen haben (und nicht nur mit Symbolen bezeichnet werden). Wenn man Eigenschaften aufzählt, könnte es das Verständnis fördern, wenn man solche Bezeichnungen hat. Ich habe die Erfahrung gemacht, dass sich viele Menschen mit Namen leichter tun als mit Symbolen.

Außerdem finde ich, dass Kästchen nach etwas kleinem klingt und Block eher nach etwas großem. Also wäre ich für die Bezeichnung wie sie am KIT verwendet wird. Allerdings bin ich da wohl etwas voreingenommen ;-)

Man sollte wohl auf jeden Fall darauf hinweisen, dass es keine einheitliche oder besonders verbreitete Bezeichnung gibt.

Es wäre eventuell interessant, wie Marie Ennemond Camille Jordan das nennt / genannt hat.

Gibt es vielleicht im Englischen eine besonders verbreitete Bezeichnung?

Grüße, --Martin Thoma 14:07, 16. Aug. 2012 (CEST)

Im Englischen kenne ich eigentlich nur "Jordan blocks" für die kleinen Einheiten. Aber wenn du möchtest, kannst du den Artikel gerne auf "Kästchen" ändern, das ist im Deutschen wie gesagt schon auch stark verbreitet. -- HilberTraum (Diskussion) 18:21, 16. Aug. 2012 (CEST)

Ach ja, dieser Abschnitt sollte übrigens etwas verändert werden:

Die Matrizen $J_{i}$ heißen Jordanblöcke und sie sind Bidiagonalmatrizen mit der folgenden Form:

$J_{j}={\begin{pmatrix}\lambda _{j}&1&&&0\\&\lambda _{j}&1&&\\&&\ddots {}&\ddots {}\\&&&\lambda _{j}&1\\0&&&&\lambda _{j}\end{pmatrix}}\in \mathbb {C} ^{s_{j}\times s_{j}}.$

Das sieht so aus, als ob überall auf der oberen Nebendiagonalen 1er wären. Dem ist aber nicht so. Zum einen kann die JNF ja diagonalisierbar sein, zum anderen z.B. so: Wolfram|Alpha. Das wäre ein Beispiel für eine Matrix mit einem Jordanblock und zwei Jordan-Kästchen (nach KIT-Benennung). --Martin Thoma 14:33, 16. Aug. 2012 (CEST)

Das verstehe ich jetzt nicht ganz: Es ist ja auch so gemeint, dass bei den $J_{j}$ in der oberen Nebendiagonale nur Einser sind. Das sind doch die kleinen "Kästchen", die momentan aber "Blöcke" heißen :-) -- HilberTraum (Diskussion) 18:21, 16. Aug. 2012 (CEST)

Ach so, okay. Ja, das ist verwirrend, wenn man die Bezeichnungen abweichen :-) --Martin Thoma 20:41, 16. Aug. 2012 (CEST)

Reelle jordansche Normalform

Im Artikel wurde heute die Version

$J_{j}={\begin{pmatrix}a_{j}&b_{j}&&&&&&0\\-b_{j}&a_{j}&1&&&&&\\&&a_{j}&b_{j}&&&&\\&&-b_{j}&a_{j}&1&&&\\&&&\ddots {}&\ddots {}&\ddots {}&&\\&&&&\ddots {}&\ddots {}&1&\\&&&&&\ddots {}&a_{j}&b_{j}\\0&&&&&&-b_{j}&a_{j}\\\end{pmatrix}}$

von einer IP geändert auf

$J_{j}={\begin{pmatrix}a_{j}&b_{j}&1&0&&&&0\\-b_{j}&a_{j}&0&1&&&&\\&&a_{j}&b_{j}&1&0&&\\&&-b_{j}&a_{j}&0&1&&\\&&&\ddots {}&\ddots {}&\ddots {}&\ddots {}&\\&&&&\ddots {}&\ddots {}&0&1\\&&&&&\ddots {}&a_{j}&b_{j}\\0&&&&&&-b_{j}&a_{j}\\\end{pmatrix}}.$

Benutzer:Axpde hat das dann wieder rückgängig gemacht. Ich habe leider keine Literatur zur Hand. Beim Vergleich mit der komplexen Form habe ich aber den Eindruck, dass die obere Version die richtige ist (oder sind evtl. beide richtig?) --Digamma (Diskussion) 16:01, 11. Nov. 2013 (CET)

Hallo, die untere Form ist auf alle Fälle richtig, siehe z. B. hier und das dürfte auch die "natürliche" Form sein, die man durch Komplexifizierung erhält. Ob die obere auch richtig ist, weiß ich (noch) nicht. -- HilberTraum (Diskussion) 17:18, 11. Nov. 2013 (CET)

Hab jetzt nochmal ein bisschen recherchiert, aber ich kann die obere Version in der Literatur nicht finden. Sie scheint also nicht sehr verbreitet zu sein. Ich denke aber trotzdem, dass sie ebenfalls richtig ist: Laut Maple (Software) sind beide Formen im 4x4-Fall ähnlich zueinander. Aber wir können natürlich nicht einfach so zur bekannteren Form wechseln, weil ja der Algorithmus dazu passen muss. Und durch den jetzigen Algorithmus will ich mich echt nicht durcharbeiten, der sieht ja richtig kompliziert aus ... -- HilberTraum (Diskussion) 14:03, 12. Nov. 2013 (CET)

Stimmt natürlich. Ich habe nur die Jordan-Blöcke angeschaut und gar nicht weitergelesen. --Digamma (Diskussion) 14:56, 12. Nov. 2013 (CET)