Diskussion:Kaprekar-Konstante

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Beweis

Gibt es einen Beweis dafür, dass die Kaprekarzahl für 3-stellige Zahlen immer 495 beträgt? -- tsor 13:04, 24. Aug 2006 (CEST)

Bin durch Zufall auf den Artikel gestossen, kenne also den "offiziellen" Beweis nicht. Ein elementarer Beweis ist aber nicht schwer zu finden, man nimmt drei Ziffern a, b, c mit a<=b<=c und a<c und subtrahiert die beiden Zahlen:

$(100c+10b+a)-(100a+10b+c)=(c-a-1)\cdot 100+90+(10-(c-a))$

Als mittlere Ziffer erhält man in jedem Fall 9, die anderen beiden Ziffern sind echt kleiner als 9 und b spielt keine Rolle.

Deshalb kann man auch gleich b=0 und c=9 setzen und nur fragen, wie sich die Ziffer a entwickelt, was schnell elementar ausgerechnet ist: 4 ist fix (ergibt eben 495) und sonst 5→3→4; 6→2→3→4; 7→1→2→3→4; 8→0→1→2→3→4

und schon ist der Beweis fertig. Alternativ kann man sich auch gleich überlegen, dass 495 der einzige Fixpunkt der Abbildung ist. Dass dann alle Zahlen schliesslich auf dem Fixpunkt landen, scheint aber nicht so einfach zu zeigen... --Enlil2 22:07, 8. Okt 2006 (CEST)

Gibt es auch einen Beweis für die 4-stelligen Zahlen? --Vanda1 08:39, 8. Nov. 2006 (CET)

Wenn man z.B. ein Python-Programm verwendet, das unter Anwendung der Kaprekar-Routine diejenigen Zahlen findet, die eine Zykluslänge von n = 1 haben (Kaprekar-Konstanten), dann wird man für den Zahlen-Bereich von 100 - 999 folgende Zahlen finden:

60 mal die Zahl "0" (1. Kaprekar-Konstante) und 840 mal die Zahl "495" (3. Kaprekar-Konstante).

Nerzlich (Diskussion) 13:54, 24. Sep. 2024 (CEST)

Sorry, "495" ist nicht die dritte, sondern die zweite Kaprekar-Konstante. Nerzlich (Diskussion) 14:17, 26. Sep. 2024 (CEST)

Übrigens: (100c+10b+a)-(100a+10b+c)= 99c - 99a

>>> 9 [10(|c - a|)]

Das bedeutet, wenn c = a resultiert "0" und wenn c ungleich a resultiert eine Zahl, die ein n-Faches von 9 ist. 495 = 9 * 55 Nerzlich (Diskussion) 14:14, 24. Sep. 2024 (CEST)

Wenn man z.B. ein Python-Programm verwendet, das unter Anwendung der Kaprekar-Routine diejenigen Zahlen findet, die eine Zykluslänge von n = 1 haben (Kaprekar-Konstanten), dann wird man für den Zahlen-Bereich von 1000 - 9999 (vierstellige Zahlen) folgende Zahlen finden:

77 mal die Zahl "0" (1. Kaprekar-Konstante)

6174 mal die Zahl "6174" (3. Kaprekar-Konstante) Nerzlich (Diskussion) 14:19, 24. Sep. 2024 (CEST)

Sorry, das muss 8923 mal die Zahl "6174" heißen Nerzlich (Diskussion) 14:30, 24. Sep. 2024 (CEST)

Da die Menge der 4stelligen Zahlen endlich ist, genügt es als Beweis, das Verfahren für alle 4stelligen Zahlen zu testen. Man erhält dabei für alle nicht-Schnapszahlen nach maximal 7 Iterationen 6174. Für Schnapszahlen ist das Ergebnis nach einer Iteration 0. -- Besucher

Ziffer 0

Das Verfahren scheint auch für die 0 als kleinste Ziffer zu funktionieren, man muss dann aber führende Nullen mitberücksichtigen: 120→198→792→693→594→495 bzw. 012→198→...→495 --Vanda1 08:39, 8. Nov. 2006 (CET)

Das sollte im Artikel noch erwähnt/ergänzt werden! --Vanda1 08:02, 9. Nov. 2006 (CET)

Anzahl der Schritte

Es wird nur gesagt "nach endlich vielen Schritten", es scheint aber so zu sein, dass bereits nach wenigen Schritten 495 erreicht wird (für 100 z.B. in 5 Schritten). Ist 5 bereits das Maximum? Beweis? Wenn nein, was ist das Maximum? Da es nur endlich viele Möglichkeiten gibt, muss das Maximum existieren... --Vanda1 08:46, 8. Nov. 2006 (CET)

Da stimmt was nicht?

Laut englischem Wikipedia-Artikel sind die Kaprekar-Zahlen anders definiert, die hier beschriebenen Zahlen (495, 6174) sind dagegen die Ergebnisse einer (anderswo so genannten) Kaprekar-Operation. Ich wollte den Artikel eigentlich verbessern, aber als Amateurmathematiker lass ich das jetzt lieber. Kann da ein kennender Zahlenkundler mal drübergehen? -- Nurmalgucken 11:16, 8. Jan. 2007 (CET)

Ja, diese Zahlen (Ergebnisse der Kaprekar-Operationen) werden dann auch Kaprekar-Konstanten genannt. Da aber sowohl die Kaprekar-Zahlen als auch die Kaprekar-Konstanten von dem Stellenwertsystem abhängen und solche Eigenschaften im deutschen Wikipedia verpönt sind (einige solcher Einträge von mir wurden bereits gelöscht), sollten wir nicht zu viel Arbeit in diesen Artikel stecken...--Vanda1 15:27, 9. Jan. 2007 (CET)

Ich hab's geändert. --Harry8 01:21, 6. Jan. 2009 (CET)

Die Zahlen 495 und 6174 sind keine Kaprekar-Zahlen, sondern Kaprekar-Konstanten Nerzlich (Diskussion) 14:36, 24. Sep. 2024 (CEST)

2,5,6,...10-stellige Zahlen?

Woher kommen die Behauptungen für diese Zahlen? Unter http://plus.maths.org/issue38/features/nishiyama/ wir teilweise etwas anderes behauptet: Für zweistellige Zahlen wird ein Zykel 9->81->63->27->45->9 erreicht (=>5 Kaprekar-Zahlen? Welche sollen die im Artikel genannten 3 Kaprekar-Zahlen sein?). ich passe schonmal den Artikel entsprechend an...--Vanda1 08:57, 29. Apr. 2008 (CEST)

Was ist mit mehrstelligen Zahlen?

Was ist mit elf- und zwölfstelligen (usw.) Zahlen? --Dr. Hartwig Raeder (Diskussion) 00:20, 26. Okt. 2014 (CEST)

Ungeeignete Zahlen zur Kaprekarkonstante

2111, 3222 usw. haben nicht lauter gleiche Ziffern, führen aber schnell zum Resultat 0 statt 6174. (nicht signierter Beitrag von 213.160.35.177 (Diskussion) 14:57, 4. Mär. 2017 (CET))

Man muss das Resultat der Subtraktion vierstellig schreiben, evtl. mit führender Null, dann funktioniert es. Also

2111 - 1112 = 0999

9990 -0999 = 8991 usw. --tsor (Diskussion) 18:40, 12. Sep. 2017 (CEST)

Das ist streng genommen ein Trick. Wenn man den nicht anwendet, erhält man bei vierstelligen Start-Zahlen im Bereich von 1000 - 9999 am Ende der Kaprekar-Routine:

77 mal die Differenz-Zahl "0" (1. Kaprekar-Konstante) und 8923 mal die Differenz-Zahl "6175" (3. Kaprekarkonstante). Deshalb würde ich die Kaprekar-Routine folgendermaßen definieren: Jede n-stellige Zahl ergibt mit der Kaprekar-Routine bei n-Rechenschritten entweder Zahlen mit der Zykluslänge n = 1 (Kaprekar-Konstanten) oder Zahlen mit der Zykluslänge n > 1 (keine Kaprekar-Konstanten).

Nerzlich (Diskussion) 13:39, 24. Sep. 2024 (CEST)

Bis zu wieviel Stellen?

1. Für Zahlen bis zu wieviel Stellen (= "wie weit") wurde die Existenz einer Kaprekar-Konstante ermittelt?

2. Detto ... wurden diese vollständig ermittelt?

3. Wie weit wurde die prinzipielle Existenz bewiesen?

4. Wie sieht die historische Entwicklung des "Wie weit" aus?

5. Welche Rechenverfahren ergaben welche Fortschritte. zB. Händisch, mechanische Rechenmaschine, EDV, Doppelte Genauigkeit, ...

6. Gibt es praktische Anwendungen für die Kaprekar-Konstanten?

Helium4 (Diskussion) 18:19, 26. Nov. 2022 (CET)

A099009 für Zahlen mit >= 60 Ziffern. Nerzlich (Diskussion) 21:51, 25. Sep. 2024 (CEST)

Der vollständige Link ist: (Folge A099009 in OEIS) Nerzlich (Diskussion) 21:55, 25. Sep. 2024 (CEST)

Stelligkeit der Ausgangszahl

Zwei Beispiele hinken:

29 ist nicht 3-stellig

1 ist nicht 4-stellig

Sie müssen vorne mit Null(en) bis zur n-Stelligkeit ergänzt werden, also auf:

029

0001

Ändere es so.

Falls es vorkommt, dass n-stellige Zahlen (auch) eine m-stellige Kaprekar-Konstante ergeben, mit m < n , dann sollte die Folge der Kaprekar-Konstanten (auch) als Tabelle präsentiert werden, Spalte 1 = n, Spalte 2 = KK (n).

Helium4 (Diskussion) 19:14, 26. Nov. 2022 (CET)

Neue Entdeckung

Kaprekars Konstante ist mehr als nur eine Konstante, sie ist eine Zahl, die in unseren Händen, Füßen und einer Uhr verschlüsselt ist.

Wenn wir dem von den Sumerern hinterlassenen Sexagesimalsystem folgen und eine einfache Subtraktion durchführen, können wir dieses Ergebnis erhalten.

Die Subtraktion würde lauten:

12963 - 6789 = 6174

11852 - 5678 = 6174

10741 - 4567 = 6174

6543 - 369 = 6174

(nicht signierter Beitrag von NJLL1975 (Diskussion | Beiträge) 19:23, 21. Sep. 2023 (CEST))

Chronik der neuen Entdeckung

Diese Entdeckung wurde gemacht, während der Autor ein Bild mit einem Motiv malte, das der Zeit und den Uhren gewidmet war; und in dem die Idee aufkam, die Zahlen 12,9,6,3 zu verbinden, wobei er die Geschichte über Nikola Tesla und seine Beziehung zu den Zahlen 3,6,9 berücksichtigte. Als er sah, dass sich eine Figur mit einer Symmetrie ähnlich einem Quadrat bildete, beschloss er, dasselbe mit den Zahlen 11,8,5,2; 10,7,4,1 und 6,5,4,3 zu tun, die er Tage später in der umgekehrten Reihenfolge subtrahieren wollte, wobei er verschiedene Ergebnisse erhielt, bis er bei der Zahl 6174 ankam; Er suchte nach Informationen, und dort erfuhr er von Kaprekar-Konstante ; als Ergebnis dieser Entdeckung entstand das Gemälde Die Zeit 6174, das erste einer Reihe von Bildern, denen er den Namen PLANET 6174 gab.

Nach dieser Entdeckung folgte diejenige, die sich auf das Sexagesimalsystem bezog; auch hier erhielt er das gleiche Ergebnis über die Phalangen der Hände und Füße. (nicht signierter Beitrag von NJLL1975 (Diskussion | Beiträge) 11:48, 29. Sep. 2023 (CEST))

Kaprekar-Konstante

Bei zweistelligen Zahlen führt das beschriebene Verfahren zu folgendem Zyklus: 9 → 81 → 63 → 27 → 45 → 9 Die Start-Zahl "9" ist doch keine zweistellige Zahl! Nerzlich (Diskussion) 12:53, 24. Sep. 2024 (CEST)

Wenn "0" eine Kaprekar-Konstante ist …

… dann haben auch fünfstellige und siebenstellige Zahlen Kaprekar-Konstanten, weil 94 mal die "0" bei fünfstelligen, und 128 mal die "0" bei siebenstelligen Zahlen durch die Kaprekar-Routine generiert werden. Nerzlich (Diskussion) 15:01, 24. Sep. 2024 (CEST)

Für zwei-, fünf- und siebenstellige Zahlen gibt es keine Kaprekar-Konstanten.

Diese Formulierung sollte man besser streichen, da diese Zahlen, wenn die Kaprekar-Routine auf sie angewandt wird, zu einer Schleifenbildung mit null (Zykluslänge 1) führen und deshalb die Null eine Kaprekar-Konstante ist. Nerzlich (Diskussion) 21:37, 25. Sep. 2024 (CEST)

… dass man mich nicht falsch versteht, nur ein Teil dieser Zahlen und nicht alle, führen zu null! Nerzlich (Diskussion) 21:42, 25. Sep. 2024 (CEST)

Für zwei-, fünf- und siebenstellige Zahlen gibt es keine Kaprekar-Konstanten.

Diese Aussage ist irreführend, denn für ein- zwei-, fünf- und siebenstellige Zahlen gibt es eine Kaprekar-Konstante, nämlich NULL Nerzlich (Diskussion) 17:01, 8. Okt. 2024 (CEST)

Die kleinsten Kaprekar-Konstanten sind die folgenden:

Es gibt nur eine kleinste Kaprekar-Konstante und das ist die Null. Zusätzlich gibt es zwar noch kleinste Konstanten innerhalb gleichstelliger Kaprekar-Konstanten, aber nach diesem Gesichtspunkt ist die Folge der Kaprekar-Konstanten nicht zusammengestellt. Es muss also lauten: "Die Kaprekar-Konstanten sind die folgenden:" Nerzlich (Diskussion) 19:04, 8. Okt. 2024 (CEST)

Dreistellige Kaprekar-Konstante

Beispiel 2: 29 bzw. "029" ist keine dreistellige Zahl, sondern eine zweistellige Zahl. Dieses Beispiel ist irreführend und sollte deshalb gestrichen werden. Die Kaprekar-Routine würde bei 29 folgendes Ergebnis liefern: 29 > 92-29 = 63 > 63-36 = 27 > 72-27 = 45 > 54-45 = 9 > 9-9 = 0 > 0-0 = 0 Ergebnis: bei 29 führt die Kaprekar-Routine zu null (= Kaprekar-Konstante). Nerzlich (Diskussion) 11:57, 14. Okt. 2024 (CEST)

Vierstellige Kaprekarkonstannte

Zu Beispiel 2: 1 bzw. 0001 sind keine vierstelligen Ausgangszahlen, sondern einstellige. 1 (bzw. 0001) ist die Spiegelzahl der vierstelligen Ausgangszahl 1000 >>> 1000-0001 = 999 > 999-999 = 0 > 0-0 = 0 … und die führt nicht zur Kaprekar-Konstante "6174", sonder zur Kaprekar-Konstante "0". Auch dieses Beispiel ist irreführend bzw. falsch! Nerzlich (Diskussion) 02:21, 25. Okt. 2024 (CEST)

Weitere Beispiele

1111 ist keine fünfstellige, sondern eine vierstellige Ausgangszahl. 1111-1111 = 0 > 0-0 = 0 (Kaprekar-Konstante) Auch dieses Beispiel ist irreführend bzw. falsch! Nerzlich (Diskussion) 02:30, 25. Okt. 2024 (CEST)

Niemand behauptet, 1111 sei eine fünfstellige Zahl, auch der Artikel nicht. Lies einfach mal gewissenhaft den Abschnitt. Vielleicht kommst du ja dann drauf, was dein Fehler ist. ∎ Viele Grüße, Alabasterstein (Diskussion) 07:47, 25. Okt. 2024 (CEST)

Im Artikel über die "Kaprekar-Konstante" steht geschrieben, Zitat:

"Beispiel 2:

Ausgangszahl:

1111 bei Anwendung für 5-stellige Zahlen"

Kommentar dazu: "1111" kann nicht für 5-stellige Zahlen angewendet werden, weil es eine 4-stellige Zahl ist! … ist doch logisch, oder Alabasterstein?

Lies einfach mal gewissenhaft den Abschnitt des relevanten Artikels, vielleicht kommst du ja dann drauf, was der Grund für deine Falscheinschätzung ist! Nerzlich (Diskussion) 18:42, 25. Okt. 2024 (CEST)

Falsch.

Die Ziffernfolge "1111" wird als 11110 bzw. 01111 verwendet. Und dass es sich bei 11110 um eine fünfstellige Zahl handelt dürfte selbst dir klar sein. Außerdem steht doch ausdrücklich darüber: Bei n-stelligen Zahlen, bei der alle Ziffern gleich sind, führt das beschriebene Verfahren, sofern man es für n-stellige Zahlen durchführt, immer auf die Zahl 0. Du hast offensichtlich nicht verstanden worum es in dem Abschnitt geht. Insofern: lies noch einmal aufmerksam worum es geht. Hier liegt kein Fehler des Artikels vor. Mit der Bemerkung zeigst du nur, dass du den Abschnitt nicht verstanden hast. ∎ Viele Grüße, Alabasterstein (Diskussion) 16:59, 26. Okt. 2024 (CEST)

Richtig, verehrter Alabsterstein, bei n-stelligen Zahlen, bei denen alle Ziffern gleich sind, führt die Kaprekar-Routine immer zu null! … deshalb führt eine vier-stellige Zahl wie 1111 trivialerweise zu null und eine fünf-stellige Zahl 11111 ebenfalls. Übrigens, wenn aus 1111 durch das anhängen einer Null (warum auch immer) eine fünf-stellige Zahl gemacht wird, folgt mit der Kaprekar-Routine ebenfalls die Null, weil:

11110-111=999 >>> 999-999=0

Übrigens, unter den 90.000 fünf-stelligen Zahlen gibt es mehr als 9 Zahlen (11111, 22222, 33333, 44444, 55555, 66666, 77777, 88888, und 99999) die zu null führen, sondern insgesamt 94 Zahlen, und dazu zählt auch 11110:

Hier sind alle 94 fünf-stellige Zahlen aufgelistet, die mit der Kaprekar-Routine null generieren, was übrigens der kleinsten Kaprekar-Konstante entspricht:

[10000, 10111, 11011, 11101, 11110, 11111, 11112, 11121, 11211, 12111, 12222, 21111, 21222, 22122, 22212, 22221, 22222, 22223, 22232, 22322, 23222, 23333, 32222, 32333, 33233, 33323, 33332, 33333, 33334, 33343, 33433, 34333, 34444, 43333, 43444, 44344, 44434, 44443, 44444, 44445, 44454, 44544, 45444, 45555, 54444, 54555, 55455, 55545, 55554, 55555, 55556, 55565, 55655, 56555, 56666, 65555, 65666, 66566, 66656, 66665, 66666, 66667, 66676, 66766, 67666, 67777, 76666, 76777, 77677, 77767, 77776, 77777, 77778, 77787, 77877, 78777, 78888, 87777, 87888, 88788, 88878, 88887, 88888, 88889, 88898, 88988, 89888, 89999, 98888, 98999, 99899, 99989, 99998, 99999]; Anzahl: 94.

Ich habe den Artikel vollumfänglich verstanden, deshalb bin ich ja in der Lage eine kritische Diskussion über den Kaprekar-Artikel zu führen. Dir fallen nur die von mir angesprochenen Problem-Punkte nicht auf. Mit den besten Grüßen, Nerzlich Nerzlich (Diskussion) 01:11, 27. Okt. 2024 (CEST)