Diskussion:Mengenlehre

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Begründung warum gescheitert

In den Artikel sollte unbedingt noch eingebaut werden, warum die Mengenlehre im Schulunterricht krachend gescheitert ist. Ohne diesen Hinweis ist dieser Artikel nicht komplett, denn das Scheitern kommt ja nicht von ungefähr. --90.186.14.4 22:09, 9. Jan. 2021 (CET)

Das gehört eher in den Artikel Neue Mathematik (Link dorthin hier im Abschnitt Mengenlehre #20. Jahrhundert), in dem berichtet wird, wie die „neue“ (also erst 100 Jahre alte) Mathematik in der Grundschule Einzug halten sollte, und zwar aufgrund eines Missverständnisses von Bourbaki, der ja nicht etwas Neues lehren wollte, sondern bereits Bekanntes durch Abstraktion ordnen. Grundschüler haben aber kein mathematisches Vorwissen, von dem man abstrahieren kann. Außerdem sollen sie rechnen lernen, und genau das geht mit Mengenlehre nicht: Es macht gerade keinen Unterschied, wieviele Exemplare von etwas eine Menge enthält, aber beim Rechnen durchaus, wieviele Exemplare von Euros ein Geldbeutel enthält.

Ich war lange vor dem Mengenlehre-Hype in der Schule (Abi Ende der 1960er Jahre), und selbstverständlich haben wir damals schon die Mengenschreibweise verwendet, um etwa die Lösungsmengen von Gleichungen darzustellen – das sind ja auch Mengen im Gegensatz zu Geldbeuteln, die keine sind (oder erst nachdem der Unterschied zwischen einer Münze und einem Exemplar einer mehrfach vorkommenden Münze geklärt ist). Ich erinnere mich, dass mal ein Schüler gefragt hat, wieso die zeitweise übliche Schreibweise {x | x<2; x>3} das Semikolon als „oder“ enthält, {x | x>2; x<3} dagegen als „und“. Der Lehrer hat dann sofort die Zeichen ∧ und ∨ eingeführt und ab da verwendet. Was davon wie in Schulbüchern stand, weiß ich nicht mehr.

Wenn Bedarf besteht, kann man im Interesse der Leser, die nach Mengenlehre in der Grundschule suchen, den Link deutlicher machen. Ich glaube aber, dass das Thema heute nicht mehr so spannend ist wie zu der Zeit, als der Hype noch im Gang war. --Lantani (Diskussion) 00:10, 10. Jan. 2021 (CET)

Ich weiß nicht, ob die Mengenlehre in der Grundschule tatsächlich so krachend gescheitert ist. Nach meinem Eindruck hatte die Abschaffung eher politische Gründe. Im Gymnasium vermisse ich einen etwas systematischeren Aufbau der Mengenschreibweisen schmerzlich. --Digamma (Diskussion) 17:56, 10. Jan. 2021 (CET)

Und an der Universität müssen Brückenkurse Mathematik eingerichtet werden, damit im ersten Semester auf elementarer Mengenlehre und einfachen Begrifflichkeiten aufgebaut werden kann.--Sigma^2 (Diskussion) 13:35, 28. Nov. 2023 (CET)

Definition der Schnittmenge

In der Definition der Schnittmenge ist $U$ als nichtleere Menge von Mengen vorausgesetzt. Damit sind z. B. die Spezialfälle $\bigcap \{A\}=A$ und $\bigcap \{\emptyset \}=\emptyset$ erfasst, in denen $U$ genau eine Menge enthält. Nicht klar ist mit dieser Definition, was das Objekt $\bigcap \emptyset$ sein soll. Im Artikel Algebra (Mengensystem) wird – ohne Beleg – behauptet $\bigcap \emptyset =\Omega$, dabei wird sich in der Diskussion auf die Definition der Schnittmenge in diesem Artikel bezogen.--Sigma^2 (Diskussion) 11:35, 27. Nov. 2023 (CET)

Nach Definition besteht $\bigcap \emptyset$ aus allen Objekten, die in allen Mengen, die Element der leeren Menge sind, enthalten sind. Da die leere Menge keine Elemente enthält, ist die Bedingung leer, d.h., $\bigcap \emptyset$ besteht aus allen Objekten. In der Mengenlehre gibt es keine solche Menge. Wenn man aber eine Grundmenge $\Omega$ zu Grunde legt, dann sind alle betrachteten Objekte Element von $\Omega$ und somit ist dann $\Omega$ die Menge aller (betrachteten) Objekte. Streng genommen meint hier also $\bigcap$ etwas anderes als in der allgemeinen Mengenlehre. --Digamma (Diskussion) 14:17, 28. Nov. 2023 (CET)

@Digamma: Das ist mir inhaltlich schon klar, nur ergibt sich die Behauptung im Artikel Algebra_(Mengensystem) nicht aus der Definition in diesem Artikel, da hier für $\bigcap U$ der Fall $U=\emptyset$ (sinnvollerweise) ausdrücklich ausgeschlossen wurde. Es geht mir jetzt darum, die beiden Artikel Mengenlehre und Algebra_(Mengensystem) konsistent zu machen. Ich könnte mir die folgenden ergänzenden zwei Sätze vorstellen:

$\bigcap \emptyset$ ist im Allgemeinen nicht definiert. Wenn in einem speziellen Kontext alle betrachteten Elemente zu einer fixierten Grundmenge $\Omega$ gehören und alle Elemente in $U$ Teilmengen von $\Omega$ sind, ist $U=\emptyset$ zulässig und es ergibt sich $\bigcap U=\bigcap \emptyset =\Omega$.

Was meinst Du dazu? --Sigma^2 (Diskussion) 19:09, 28. Nov. 2023 (CET)

Das klingt gut. Noch besser wäre es, wenn es dazu auch einen Beleg gibt. Den findet man wahrscheinlich nicht in Mengenlehrebüchern, sondern in Büchern, wo Mengenalgebren vorkommen. --Digamma (Diskussion) 19:57, 28. Nov. 2023 (CET)

Ich werde es belegt einfügen.--Sigma^2 (Diskussion) 17:41, 30. Nov. 2023 (CET)

Was steht denn in den Büchern über Wahrscheinlichkeitsrechnung? --Digamma (Diskussion) 19:59, 28. Nov. 2023 (CET)

Ich erinnere mich nur an den Fall der Definition von $\bigcap _{i\in I}A_{i}$ mit nichtleerer Indexmenge $I$. Eine leere Indexmenge oder eine Funktion $f:\emptyset \to M$ ist für die Wahrscheinlichkeitsrechnung wenig relevant. --Sigma^2 (Diskussion) 16:53, 30. Nov. 2023 (CET)

Schnittmenge und Vereinigungsmenge

Im Artikel werden die Konzepte der Schnitt- und Vereinigungsmenge – ohne Beleg – für Mengen von Mengen (Mengensysteme) definiert. Dagegen werden von Bourbaki die Konzepte der Schnitt- und Vereinigungsmenge für Familien von Mengen definiert.

Wegen dieser Abweichung, die nicht nur Geschmackssache ist, würde ich für die Definition im Artikel Belege erwarten. --Sigma^2 (Diskussion) 12:19, 27. Nov. 2023 (CET)

Schnitt und Vereinigung von Mengen von Mengen werden zum Beispiel in Kenneth Kunen, Set Theory - An Introduction to Independence Proofs, North Holland, Amsterdam 1980, Seite 12/13 betrachtet. Vom axiomatischen Aufbau her betrachtet sind Mengen von Mengen einfacher als Familien von Mengen. Kunen schreibt hier auch von family of sets, meint damit aber eine Menge von Mengen. --Digamma (Diskussion) 14:27, 28. Nov. 2023 (CET)

Die Symbolik $A\cup B$ und $A\cap B$ für zwei Mengen wird hier nicht eingeführt, aber weiter unten im Artikel ohne Erklärung verwendet.--Sigma^2 (Diskussion) 12:26, 27. Nov. 2023 (CET)

Hallo Sigma^2. Die fehlenden Definitionen für $A\cup B$ und $A\cap B$ habe ich ergänzt. Zum Durchschnitt und zur Vereinigung von Familien von Mengen, wobei Familien keine Mengen sein müssen, kann man natürlich dieselben Definitionen verwenden. Bei Durschnitt macht das keinen Unterschied, denn ist etwa $A$ eine der Mengen aus der Familie, so kann man alle anderen Mengen $B$ der Familie durch $A\cap B$ ersetzen. Reduziert man die Familie dann durch Streichen von Mehrfachvorkommen, so bleibt nur eine Menge von Mengen, denn alles findet ja jetzt in der Potenzmenge von $A$ statt. Bei der Vereinigung läuft man gefahr, dass das Ergebnis keine Menge ist (z.B. die Vereinigung aller Mengen oder aller Ordinalzahlen). Eines der ZF-Axiome besagt, dass die Vereinigung einer Menge von Mengen wieder eine Menge ist. Ich nehme an, dass aus diesem Grunde die hier vorgefundene Formulierung gewählt wurde. Vielleicht können wir die Verallgemeinerung auf Familien noch anfügen. Nach den bisherigen Definitionen für eine Menge $U$ und den Spezialfällen für zweielementiges $U$ können wir ja auch den Fall beliebiger Familien noch vorstellen. Ich wüsste nicht, was dagegen spräche.--FerdiBf (Diskussion) 08:43, 28. Nov. 2023 (CET)