Diskussion:Mengenlehre/Archiv

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[[Diskussion:Mengenlehre/Archiv#Thema 1]]

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Hilfe bei einem Problem, verständlichere Darstellung

Hilfe ich habe ein Problem!!!! Meine Aufgabe lautet: geg: M2:={1} M3:={a,b,1} ges: M2 X M2 X M3 (Erklärung: X kartesisches Produkt=Kreuzprodukt) Frage: Wie lautet die Antwort?

Sorry, aber die Wikipedia ist eine Enzyklopädie, kein Experten-Forum. Antwort auf deine Frage findest du vermutlich am ehesten in einer entsprechenden Newsgroup ( [1] ), oder im Experten-Forum "Mathematik und Physik" bei "Wer-Weiss-Was" ( [2] ) Viel Glück! --Thomas 16:10, 18. Okt 2003 (CEST)

Stimmt nicht ganz! Sofern sich die "mathematischen" Autoren nicht um bessere Verständlichkeit bemühen, handelt es sich eben um nicht mehr als ein Expertenforum. So auch hier. Ich habe die Mengenlehre anhand der "Nachhilfestunden" mit meinen Töchtern (wieder) verstanden und muss daher sagen, dass sie in jedem Lehrbuch der Oberstufe besser - d.h. in verständlicherer Form abgehandelt wird als hier. Gerade eine Enzyklopädie wie Wikipedia sollte auch die Menschen als Zielpublikum ansprechen, die keine mathematische Vorbildung haben. Sich auf den Standpunkt zu stellen, dass gewisse Wahrheiten eben solche seien, ist bloß bequem oder bezeugt - leider aber doch - didaktische Unfähigkeit.

Das fände ich sehr schade, denn dadurch müsste auf ein absolut notwendiges Mass von Präzision verzichtet werden. Aus meiner Erfahrung kann ich einfach sagen, dass die ausgezeichneten Informationen - besonders aus dem Mathematik- / Informatik- Zweig der Wikipedia mir scheinbar unverständliche Sachverhalte schnell und auf einfachstmögliche Art zugänglich gemacht haben.

Besonders die fachliche Kompetenz, Vollständigkeit, die korrekte mathematische Notation und eine klare Darstellungsweise sind im Web in dieser Fülle (an zusammenhängenden Artikeln) einmalig! Ich habe sogar das Gefühl, dass die deutschsprachige Wikipedia der englischsprachigen in diesem Bereich voraus ist. Weiter so!

PS: Dies ist ein Nachschlagewerk; ein gewisses Mass an Sachverständnis müssen Sie eben mitbringen. Um sich dieses anzueignen, kaufen Sie sich am besten ein Buch, das von Grund auf alles erklärt.

sorry, dass ich widerspreche. gerade in einer enzyklopädie sollte ich artikel OHNE vorkenntnisse und "sachverständnis" verstehen können! sonst wär's eine spezialseite. es sollte doch möglich sein, einleitend eine klare erklärung für eine sache - wie in diesem fall die mengenlehre - zu bringen, danach kann die spezialerklärung für die kommen, die es näher interessiert. zu einem guten artikel gehört imho mehr als nur fachliche fähigkeit, er sollte auch didaktisch passen! stoffl.s 23:12, 13. Feb. 2008 (CET)

Ich würde daher gerne um eine verständlichere Bearbeitung dieses und anderer mathematischer Themen, siehe auch Lot (Mathematik), bitten. -- Robodoc 12:57, 13. Jan 2004 (CET)

Ich gebe meine didaktische Unfähigkeit gerne zu, bin aber zu folgendem Kompromiss bereit: Es finde sich jemand, der den Artikel fuer Menschen ohne "mathematische Vorbildung" (solche sollte es heute eigentlich gar nicht mehr geben!) aufbereitet, und ich werde ihn dann auf seine mathematische Korrektheit ueberpruefen. (Selbstverstaendlich hab ich kein Problem mit umgangssprachlichen Erklaerungen, wie das bei Stetigkeit geschieht, aber trotz aller gewuenschter Verstaendlichkeit sollten die Aussagen doch mathematisch korrekt sein, was z.B. bei der Aussage "die Division durch 0 ist verboten" nicht gegeben ist... aber damit weiche ich vom Thema ab) --SirJective 13:09, 13. Jan 2004 (CET)

"Die Division durch 0 ist verboten" - das ist doch schon wieder eine interessante Ergänzung zum Beitrag über die Null! Ich habe z.B. nicht gewusst, dass diese Aussage mathematisch falsch sein könnte. Auf dein obiges Angebot zurückkommend werde ich das einmal so einfügen, wie ich das jetzt verstanden habe. Ich werde mich über eine fachkundige Korrektur sehr freuen;-) --Robodoc 20:12, 13. Jan 2004 (CET)

Zur Division durch 0 siehe Diskussion:Null (Zahl). Man kann die Division durch 0 verbieten, aber das ist unnoetig, weil die Division durch 0 unmoeglich ist. Ebenso kann man in der Schule verbieten - solange man nur mit reellen Zahlen rechnet - die Wurzel aus -1 zu ziehen, aber das ist unnoetig, weil diese Operation in den reellen Zahlen unmoeglich ist. Kurz: Unmoegliches muss man nicht verbieten. --SirJective 12:45, 15. Jan 2004 (CET)

Gerade das finde ich verwerflich. Wenn jemand wissen möchte, was die Wurzel einer negativen Zahl ist, beziehungweise, wie man sie berechnet, dann sollte man ihm es zeigen, egal, ob er nun die komplexen Zahlen schon als Stoff gehabt hatte oder nicht. Wenn es eine Tür zu einem neuen Raum der Mathematik gibt, und jemand diese Tür öffnen will, dann soll man ihm den Schlüssel geben.

Genaus, wie man jemandem zeigen soll, so er wissen will, was er bekommt, wenn er eine größere Zahl von einer kleineren abziehen will, das er den Bereich der natürlichen Zahlen verläßt, und nicht, das es Verboten oder Unmöglich ist.--Arbol01 03:06, 10. Mai 2004 (CEST)

Dem kann ich teilweise zustimmen. Solange ich in der Grundschule nur mit natürlichen Zahlen gerechnet hatte (und nur rechnen durfte!), war es unmöglich, 3 - 5 zu bestimmen: Die vorgesehene Antwort war "nicht lösbar". Das hat mich damals maßlos geärgert, schließlich wusste ich schon, dass -2 das Ergebnis ist. Mir hat damals nur niemand erklärt, dass diese Rechenoperation in natürlichen Zahlen unlösbar ist. Stattdessen hat man uns verboten, eine größere Zahl von einer kleineren abzuziehen.

Und ähnliches meinte ich hier: Ein Verbot ist das schlimmste, was einem in einer solchen Situation begegnen kann. In meinem letzten Beitrag hatte ich mich darauf beschränkt, zu erklären, dass bestimmte Operationen im bekannten Bereich unmöglich sind. Sinnvoller ist es tatsächlich, dem Fragenden zu zeigen, dass eine Antwort existiert - woanders, nicht in dem Bereich, den man schon kennt.

Bei negativen Subtraktionsergebnissen und Wurzeln negativer Zahlen ist es also sinnvoller, zu sagen, wie das Ergebnis aussieht, und dass es sich dabei aber um Zahlen handelt, mit denen wir noch nicht rechnen. Vielleicht hätte in der ersten Klasse verstanden, wenn man mir gesagt hätte: "Schön dass du weißt, dass da -2 rauskommt, aber wir rechnen erst später mit negativen Zahlen, bis dahin schreibst du nicht lösbar in natürlichen Zahlen". Naja, wohl eher nicht *g*

Die Division durch 0 ist jedoch etwas, wo man wirklich nur zeigen kann, dass es - unter Beibehaltung aller Rechenregeln - unmöglich ist. Und das sollte man dann aber tun, statt es zu verbieten. --SirJective 15:47, 10. Mai 2004 (CEST)

Manches muß anscheinen lange lagern. Naja, ich hatte es schon inzwischen vergessen:

SirJective schrieb: Vielleicht hätte in der ersten Klasse verstanden, wenn man mir gesagt hätte: "Schön dass du weißt, dass da -2 rauskommt, aber wir rechnen erst später mit negativen Zahlen, bis dahin schreibst du nicht lösbar in natürlichen Zahlen"

Da fällt mir in der Argumentation ein Fehler auf. Natürlich kann der Lehrer sagen:Schön dass du weißt, dass da -2 rauskommt, aber wir rechnen erst später mit negativen Zahlen, bis dahin schreibst du nicht lösbar in natürlichen Zahlen", begeht damit aber eine Lüge! Denn (N,-), also das Tupel (Natürliche Zahlen, Subtraktion) ist nich abgeschlossen, und damit keine algebraische Struktur. Wenn also ein Schüler sagt 4 - 6 = -2, so muß dies korrekt sein, wenn man sich innerhalb der Gruppentheorie bewegt. (Z,-) ist abgeschlossen, und damit eine algebraische Struktur. --Arbol01 16:22, 29. Okt 2004 (CEST)

Ja, lang ist's her.

Ich denke aber nicht, dass das Argument fehlerhaft ist: Kein Lehrer hat behauptet, dass die Subtraktion auf N eine innere Verknüpfung sei. Ebenso wie die Division "a/b" in einem Körper K definiert ist auf der Menge K x (K\{0}) wäre die Subtraktion "a-b" in N nur definiert auf der Menge {(a,b) | a in N, b in N, a>b}. Beides sind damit nur "partielle Verknüpfungen" auf der Grundmenge K bzw. N.

Das Ergebnis "4 - 6 = -2" ist korrekt in Z, aber warum sollte man in die erzeugte Gruppe übergehen? In der Halbgruppe (N, +) ist die Gleichung "6 + x = 4" halt unlösbar, und genau das war die gewünschte Antwort: "nicht lösbar (in N)". --SirJective 22:25, 29. Okt 2004 (CEST)

Das Ergebnis "4 - 6 = -2" ist korrekt in Z, aber warum sollte man in die erzeugte Gruppe übergehen?

Antwort: Weil man sie erzeugt hat, weil sie existiert. Waum sich mit etwas unvollkommenem abgeben, wenn es etwas Volkommenes gibt. --Arbol01 22:49, 29. Okt 2004 (CEST)

Natürlich muss man sich nicht mit natürlichen Zahlen zufrieden geben. Ich weiß auch nicht, warum das in der Grundschule gemacht wird. Irgendwas werden die Damen und Herren Pädagogen sich wohl dabei gedacht haben. Ich will diese Vorgehensweise auch nicht rechtfertigen, falls das so aussehen sollte. Ich will nur klarstellen, dass es eine durchaus mögliche und vor allem konsistente Vorgehensweise ist: 4 - 6 ist nicht berechenbar in N, fertig. Was jenseits des Tellerrandes ist, ist eine andere Frage.

Ursprünglich ging es ja darum, dass man unmögliches nicht verbieten muss, weil es eben unmöglich ist. Wir haben nun aber festgestellt, dass "unmöglich" ein relativer Begriff ist: Es ist in Z unmöglich, 2 durch 3 zu teilen, es ist in N unmöglich, 6 von 4 abzuziehen, es ist in Q unmöglich, die Quadratwurzel von 2 zu bilden, es ist in R unmöglich, die Quadratwurzel von -1 zu bilden, es ist in R unmöglich, eine Zahl anzugeben, deren Betrag größer als jede natürliche Zahl ist. Dass einige der Aufgaben in bestimmten Oberstrukturen möglich sind, ändert nichts an ihrer Unmöglichkeit in der Unterstruktur.

Eine andere Frage ist die, ob man einem interessierten Schüler diese Oberstruktur zeigen sollte, um ihm die Relativität der Unmöglichkeit zu demonstrieren. Da stimme ich mit dir überein, dass das sinnvoll ist. --SirJective 01:28, 30. Okt 2004 (CEST)

Verdient "Menge" nicht einen eigenen Artikel?

Der Begriff Menge ist z.Zt. eine Weiterleitung auf Mengenlehre. Eine Erklärung des Mengenbegriffs taucht aber hier nur am Rand auf. Für mathematisch unkundige Leser ist das evtl. enttäuschend, denn Informationen zu axiomatischer Mengenlehre helfen jemandem, der nicht eine Vorstellung von Mengen hat, auch nicht.

Ein eigener Artikel zu Menge wäre hier sinnvoller. Der sollte

• Eine Vorstellung vom Mengenbegriff vermitteln
• Die gängigen Schreibweisen und verwandten Begriffe erläutern (Elementbeziehung, Teilmenge, Vereinigung, Schnitt...). Das kann etwas ausführlicher sein, als jetzt unter Mengenlehre
• Unterschiedliche Beispiele von Mengen bringen und daran erläutern, warum der Mengenbegriff so wichtig ist.
• Für Geschichtliches und verschiedene definitorische Ansätze auf Mengenlehre verweisen.
• Weitere Verweise zu grundlegenden Begriffen enthalten, z.B: Mächtigkeit

Wer traut sich? --Alex Krauss 01:03, 10. Jun 2004 (CEST)

Ja, ich denke auch, dass ein eigener Text über die Menge (Mathematik) geben sollte, der Laien verständlich ist. Vielleicht sowas wie en:Set. Im englischen en:Set theory wird inzwischen zwischen axiomatischer, naiver und anderen Mengenlehren unterschieden, das sollte auch hier eingefügt werden. --SirJective 10:37, 11. Jun 2004 (CEST)

Frage

Nach Cantor besitzt die Menge aller positiven geraden natürlichen Zahlen die Mächtigkeit / Kardinalzahl aleph0, wobei aleph0 eine ganze Zahl sein soll, die größer als jede natürliche Zahl ist. Nun sieht man aber leicht, daß jeder nicht leere endliche Abschnitt der positiven geraden natürlichen Zahlen, wie etwa (2,4,6,8,10), mindestens zur Hälfte aus Zahlen besteht, die größer als die Kardinalzahl sind (im Beispiel sind die Zahlen 6, 8 und 10 größer als die Kardinalzahl 5 des Abschnittes). Solches gilt für jeden nicht leeren Abschnitt aus endlichen geraden Zahlen. Es gibt aber per Definition keine natürlichen Zahlen, die nicht endlich wären. Wie kann man sich vorstellen, daß "am Ende der Unendlichkeit" die Kardinalzahl doch noch alle geraden natürlichen Zahlen einholt und überholt??? (W. Mückenheim)

aleph0 ist keine ganze Zahl, sondern eine Kardinalzahl, die größer als jede natürliche Zahl ist. Du hast damit recht, dass für jeden endlichen Abschnitt nur die Hälfte der Zahlen gerade sind, und jede natürliche Zahl endlich ist. Aber: Eigenschaften, die im Endlichen gelten (wie die, dass es mehr natürliche als gerade Zahlen unterhalb einer Schranke gibt), müssen beim Übergang ins Unendliche nicht mehr gelten. Denkt man sich diesen Übergang als Grenzprozess, dann ist die betreffende Eigenschaft schlicht "unstetig".

Ich kann mir einen Übergang ins Unendliche nicht vorstellen, genausowenig wie das Unendliche selbst. Ich glaube, dass niemand das wirklich kann, und halte das für das Hauptproblem mit dem Unendlichen. Im Einklang mit der Theorie ist jedoch die Aussage, dass die geraden Zahlen dieselbe Mächtigkeit wie die natürlichen Zahlen haben, weil es eine Bijektion zwischen den geraden und den natürlichen Zahlen gibt. Man könnte das (sehr) salopp auch so formulieren: "Unendlich / 2 = Unendlich".

Dieses Verständnis des Unendlichen ist statisch, hat keinen "eingebauten" Begriff eines Übergangs vom Endlichen (man nennt es "aktuale Unendlichkeit"). Hat man kein fertiges Unendliches, sondern kann seinen endlichen Bereich nur beliebig vergrößern, dann hat man eine "potentielle Unendlichkeit", in der man von der "Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen" gar nicht sprechen kann, weil diese Menge nicht existiert. --SirJective 13:24, 27. Sep 2004 (CEST)

Oh, das war aber eine prompte Reaktion! Nach Cantor (z. B. S. 171 der Gesamtausgabe: "...eine beliebige ganze Zahl der ersten oder zweiten Zahlenklasse" und viele andere Zitate) sind die transfiniten Ordinal- und Kardinalzahlen ganze Zahlen. Die Möglichkeit einer Bijektion ist mir bewusst. Einen Übergang ins Unendliche kann ich mir auch nicht vorstellen, glaube aber durch meinen Einwand gezeigt zu haben, daß er tatsächlich gar nicht möglich ist. Denn auch Cantor geht davon aus, daß alle natürlichen Zahlen endliche Zahlen sind. Für die endlichen gilt aber mein Argument - oder nicht??? Das ist kein Problem des Unendlichen, sondern seiner falschen (aktualen) Anwendung. Ein zweites Argument liefert der einfache Sachverhalt, daß zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen immer eine rationale liegt. Wo stecken denn die überabzählbar vielen anderen irrationalen? (Mit einem von Cantor selbst gelieferten Beweis könnte man übrigens die rationalen Zahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge wohlordnen.) Ein drittes Argument liefert Cantors berühmte Liste selbst: Würde eine Zeile mit omega numeriert, so könnte man in dieser Zeile die Diagonalziffer nicht finden. Wird aber keine Zeile mit omega numeriert, so wird jede nur mit einer endlichen natürlichen Zahl numeriert und ist damit auch nur um eine endliche Schrittweite von der ersten entfernt. Es ergibt sich also keine Irrationalzahl sondern eine gewöhnliche rationale als Diagonalzahl. Außerdem ist die Liste sowieso nicht vollständig, denn nach Cantor ist jede Zahl, die kleiner als omega ist, eine endliche Zahl, die (Zitat:) von anderen endlichen Zahlen übertroffen wird. Hilbert mit seinem berühmten Hotel hätte das eigentlich als erster merken müssen, anstatt vom Paradies zu träumen. (W. Mückenheim)

Um es nocheinmal deutlich zu formulieren: Mein Beweis gilt für jede endliche gerade Zahl 2n. Die oben erwähnte Unstetigkeit liegt daher nicht im Definitionsbereich der geraden Zahlen. Und alles was danach kommt (einschließlich des "Überganges ins Unendliche"), kann diese Zahlen nicht betreffen und interessiert mich daher nicht. Mir geht es nur um die natürlichen, also endlichen geraden Zahlen. (W. Mückenheim)

Du hast damit recht, dass Cantor Ordinalzahlen (von Kardinalzahlen hab ich in den ersten Bänden der Math. Annalen nichts gelesen, kann aber auch sein) als unendliche ganze Zahlen bezeichnet. Nach heutigem Sprachgebrauch sind diese keine ganzen Zahlen.

Ob die aktuale Anwendung des Unendlichen automatisch eine falsche ist (wie du zu behaupten scheinst), ist eine Frage, mit der sich Mathematiker seit Cantors Zeiten beschäftigen; dieser Disput sollte in der Wikipedia dargestellt, nicht ausgetragen werden. Cantor selbst unterscheidet zwischen dem "Uneigentlich-Unendlichen", das z.B. in der Analysis für den Grenzwertbegriff verwendet wird, und dem "Eigentlich-Unendlichen", das in der Funktionentheorie für den unendlich fernen Punkt der erweiterten komplexen Ebene verwendet wird (Math. Annalen, irgendein Teil seines Aufsatzes über lineare Punktmengen). Ob die Unterscheidung in "potentiell unendlich" und "aktual unendlich" noch eine andere ist, vermag ich noch nicht zu sagen.

Für natürliche Zahlen n hast du völlig recht, dass die Hälfte der geraden Zahlen kleinergleich n größer ist als die Anzahl aller geraden Zahlen kleinergleich n.

Dein zweites Argument: Ich versteh die Frage nicht. Zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen gibt es sowohl (abzählbar) unendlich viele rationale als auch (überabzählbar) unendlich viele irrationale Zahlen.

Die rationalen Zahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge sind nicht wohlgeordnet, wenn man sie wohlordnet, ändert man ihre Reihenfolge. Aber was hat das damit zu tun?

Leider hab ich Cantors ursprüngliche Formulierung seines zweiten Diagonalargumentes noch nicht gefunden (hast du da eine Quelle?); zu Cantors erstem Überabzählbarkeitsbeweis hab ich Quellen (Crelles Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, Bd. 77, und Math. Annalen, Bd. 15).

Eine Diskussion über die (Un-)Gültigkeit des Diagonalarguments sollten wir nicht hier führen, denn für Diskussionsseiten gild die "Grundregel": "diskutiert über den Artikel, nicht über das Thema des Artikels!". --SirJective 11:56, 9. Okt 2004 (CEST)

[3] Da geht einem doch der Hut...--MKI 16:10, 9. Okt 2004 (CEST)

G E O R G C A N T O R, GESAMMELTE ABHANDLUNGEN MATHEMATISCHEN UND PHILOSOPHISCHEN INHALTS. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor - Dedekind, Herausgegeben von ERNST ZERMELO, Nebst einem Lebenslauf Cantors von ADOLF FRAENKEL, 1966, GEORG OLMS VERLAGSBUCHHANDLUNG HILDESHEIM, p. 166. "Während aber der Punkt im Unendlichen der komplexen Zahlenebene vereinzelt dasteht gegenüber allen im Endlichen liegenden Punkten, erhalten wir nicht bloß eine einzige unendliche ganze Zahl, sondern eine unendliche Folge von solchen, die voneinander wohl unterschieden sind und in gesetzmäßigen zahlentheoretischen Beziehungen zueinander sowohl wie zu den endlichen ganzen Zahlen stehen." Den Ausdruck "Alef" benutzte Cantor erst ab 1895 (außer möglicherweise in privater Korrespondenz), den Ausdruck "Aleph" nie. Vorher stand omega bei Cantor sowohl für Ordinal- als auch Kardinalzahlen. Für Cantors zweites Diagonalelement: G. Cantor, Jahresbericht der Deutsch. Math. Vereing. Bd. I, S. 75-78 (1890-91) oder oben in den ges. Abh. p. 278 - 281 Zur Frage der Häufigkeit der rationalen Zahlen: Wenn zwischen zwei reellen Zahlen, der Größe nach geordnet, immer eine rationale Zahl liegt, so ist es unmöglich, daß mehr irrationale als rationale Zahlen existieren. Um das zu sehen, braucht man keine Wohlordnung. Die Unterscheidung zwischen aktual (oder transfinit) und potentiell (oder synkategorematisch)unendlich ist bei Cantor dieselbe wie zwischen eigentlich und uneigentlich unendlich. Er spricht aber mehrfach von der unendlichen Menge der endlichen Zahlen. Wenn also ein Beweis für alle endlichen Zahlen gilt, so gilt er für die Menge aller endlichen Zahlen. Eigentlich eine Tautologie, die aber zu Widersprüchen Anlaß gibt. (W. Mückenheim)

Danke für die Quellenangaben. Ich muss mal nach den Büchern suchen, denn in meiner Fakultätsbibliothek finde ich weder Cantors gesammelte Abhandlungen noch den ersten Band des Jahresberichts der deutschen Mathematikervereinigung. :-(

Kannst du mir zeigen, wie aus der Tatsache, dass zwischen zwei verschiedenen rationalen stets eine irrationale und zwischen zwei verschiedenen irrationalen stets eine rationale Zahl liegt, folgen soll, dass es nicht mehr irrationale als rationale Zahlen geben kann? Mir fällt dafür kein Beweis ein.

--SirJective 20:57, 23. Okt 2004 (CEST)

Ein Beweis im mathematisch strengen Sinne bedarf einer injektiven Abbildung. Ein solche habe ich auf der diesjährigen DMV-Tagung in Heidelberg vorgestellt. Ein Argument des "gesunden Menschenverstandes" sagt mir aber schon, daß in einer linearen Anordnung von roten und blauen Knöpfen nur dann mehr rote als blaue vorkommen können, wenn mindestens an einer Stelle zwei rote ohne einen blauen dazwischen existieren. Dies ist eine an Chausseebäumen oder Zaunlatten beobachtete Tatsache und als solche sicher nur im Endlichen zwingend. Andererseits können wir die reellen Zahlen mit einem Mikroskop beliebiger Vergrößerung betrachten: Wir finden immer wieder eine rationale Zahl zwischen zwei irrationalen. Wo sollten die (überabzählbar unendlich vielen) überzähligen irrationalen Zahlen sich verstecken? (W. Mückenheim, 27.10.04)

"Gesunder Menschenverstand ist die Schicht von Vorurteilen, die sich im Kopf ablagert, bevor man 18 ist." (angeblich Einstein)

Der gesunde Menschenverstand ist mMn für die Phänomene ausgelegt, die dem Menschen regelmäßig in der Welt "da draußen" begegnen; seine Vorhersagen treffen bereits bei elementarer Wahrscheinlichkeitsrechnung nur noch selten zu. Wie soll dann der gesunde Menschenverstand ein Argument bei Aussagen über das Unendliche sein, etwas, was uns in der Alltagswelt nie begegnet? Solche Aussagen bedürfen eines streng mathematischen Beweises, weil unsere Anschauung im Unendlichen keine zuverlässigen Vorhersagen ermöglicht.

Der Versuch, die Situation von Lattenzäunen (mit Latten und Zwischenräumen) auf die Menge der reellen Zahlen übertragen zu wollen, ist durchaus anschaulich. Er vernachlässigt aber die entscheidende Tatsache, dass zwischen irgend zwei verschiedenen rationalen Zahlen nicht nur endlich viele, sondern unendlich viele irrationale Zahlen liegen. Bei der dann notwendigen Unterscheidung, ob es nun abzählbar viele oder überabzählbar viele sind, versagt die Anschauung. Denn man kann statt den rationalen und irrationalen Zahlen z.B. die rationalen und die irrationalen algebraischen Zahlen betrachten, die ebenfalls die Eigenschaft haben, dass zwischen je zwei Zahlen der einen Sorte eine der anderen Sorte liegt. Auch hier gibt es keine zwei rationalen Zahlen, zwischen denen nur endlich viele irrationale algebraische Zahlen liegen, aber diese Mengen sind beide abzählbar.

--SirJective 19:39, 27. Okt 2004 (CEST)

Schon klar. Übrigens: Wenn Du mir Deine e-mail Adresse gibst, dann kann ich Dir Cantors Originalarbeit zum Diagonalverfahren als doc oder pdf schicken. (WM)

Platte Frage

Zum Verständnis: Kann man platt sagen: das was die Menge ausmacht ist, dass sie keine 'Doppelten' enthält und die 'Reihenfolge' egal ist?

Ja, ich denke, das kann man, wenn man von Feinheiten absehen will. -- Peter Steinberg 23:38, 22. Jun 2005 (CEST)

Das ist eine Eigenschaft, die Mengen z.B. von Listen (s. Tupel) unterscheidet. --SirJective 08:26, 23. Jun 2005 (CEST)

Gleichheit

Sollen wir die Gleichheit zweier Mengen hier wirklich definieren? Der Artikel Mengenlehre soll einen Überblick geben, für den axiomatischen Aufbau ist beispielsweise der Artikel Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zuständig. Wann zwei Mengen gleich sind, ist meiner Meinung nach intuitiv klar und bräuchte eigentlich nicht näher erläutert werden.--MKI 8. Jul 2005 12:35 (CEST)

Da muss ich noch ein bisschen nachdenken. -- Peter Steinberg 8. Jul 2005 22:58 (CEST)

Ich habe nachgedacht und meine: Ja, wir sollten. Zwei Gründe:

• Der Artikel ZFC ist starker Tobak für den Leser, siehe Diskussion:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#Eine Anmerkung:. In unserem Lemma hier dürfen wir ein bisschen zugänglicher formulieren, im Beispiel konkret: Zwei All-Quantoren weglassen, einen Definitions-Doppelpunkt setzen und unterschiedliche Symbole für das verwenden, was im aktuellen Zusammenhang als Elemente aufgefasst werden soll, wie das bei Diskussion:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#Unterscheidung Notation so dringend gewünscht wird (und es Gunther an dieser Stelle völlig zu recht ablehnt).
• Die Gleichheit ist der wirklich kritische Begriff in der Mengenlehre und birgt einen Rattenschwanz von Problemen. Siehe dazu schon mal: Menge (Mathematik)#Gleichheit von Mengen und Extensionalität. Der Abschnitt über Gleichheit in unserem Lemma ist noch sehr unfertig. Ich denke intensiv darüber nach, wie man ihn ausbauen kann, ohne unverständliches Kauderwelsch und ohne all zu viel Überschneidungen mit "Menge (Mathematik)". (In ZFC sind diese Probleme natürlich alle "gelöst" - Aber deutlich werden sie nicht!) -- Peter Steinberg 9. Jul 2005 00:08 (CEST)

Ich denke auch, dass man auch intuitiv klare Dinge erwähnen darf :-) Etwas weniger formal wäre allerdings ausreichend.--Gunther 9. Jul 2005 00:18 (CEST)

Den Satz

"Die meisten mathematischen Probleme lassen sich auf die Frage zurückführen, ob zwei unterschiedlich beschriebene Mengen ... extensional gleich sind."

habe ich herausgenommen, denn:

• Viele mathematische Probleme sind nur Implikationen in einer Richtung, keine Äquivalenzen (z.B. riemannsche Vermutung).
• Viele Äquivalenzen beziehen sich auf eine echte Klasse von Objekten (z.B. Poincare-Vermutung).
• Viele Probleme sind Fragen nach der Gleichheit von Zahlen, nicht Mengen (z.B. Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung).

--Gunther 9. Jul 2005 01:20 (CEST)

Gut, das überzeugt mich. Trotzdem sind Fragestellungen von der Art "Trifft die Eigenschaft A auf genau dieselben Dinge zu wie die Eigenschaft B" für die Mathematik sehr typisch - und die lauten, mengentheoretisch formuliert, alle so wie agegeben. (z.B. Pythagoras: {x ∈ D | x ist rechtwinklig bei C} ?=? {x ∈ D | Für x gilt a²+b²=c²} - D ist die Menge aller Dreiecke ABC in einem metrischen R³...) Darauf möchte ich hinweisen, und dagegen argumentierst du ja auch nicht. Ist das Problem also gelöst, wenn wir statt "die meisten" schreiben: "viele"? oder "typische"? - Ich probiers jetzt mal mit "viele", ohne die Diskussion damit abschneiden zu wollen. -- Peter Steinberg 23:09, 11. Jul 2005 (CEST)

Du scheinst meinen zweiten Punkt zu übersehen: Sobald Du z.B. nicht mehr alle Dreiecke im $\mathbb {R} ^{3}$, sondern alle Dreiecke in allen dreidimensionalen reellen Vektorräumen mit positiv definitem Skalarprodukt oder in allen (axiomatisch definierten) dreidimensionalen euklidischen Geometrien betrachtest, ist das keine Gleichheit von Mengen mehr, sondern eine von echten Klassen.--Gunther 23:17, 11. Jul 2005 (CEST)

Hurra, jetzt hab ich dich: Da ist doch alles überhaupt keine Mathematik, weil es sich nicht im Rahmen von ZFC formulieren lässt!!! ;-) -- Peter Steinberg 00:55, 12. Jul 2005 (CEST)

Falsch. Man kann problemlos formulieren: "Für jedes Dreieck sind die Aussagen "rechtwinklig bei C" und "erfüllt $a^{2}+b^{2}=c^{2}$" äquivalent." Nur Deine Mengenbildung geht schief, weil die Gesamtheit der Dreiecke keine Menge ist.--Gunther 09:11, 12. Jul 2005 (CEST)

Ok., dann ging mein Seitenhieb mal wieder ins Leere. Ehrlich gesagt habe ich nicht genügend Überblick über die axiomatische Mathematik, um richtig klar zu sehen, was "dreidimensionale reelle Vektorräume mit positiv definitem Skalarprodukt" genau genommen vom "$\mathbb {R} ^{3}$" unterscheidet. Wenn in jenen die Dreiecke eine echte Klasse bilden, kann ich mir nicht recht vorstellen, dass die Formulierung "Für jedes Dreieck..." innerhalb ZFC "problemlos" ist. Ich vermute: Man formuliert eine Implikation mit freien Prädikatenvariablen und verzichtet auf die Quantifizierung. "Für jedes" ist also hier wieder mal metasprachlich. Aber konzentrieren wir uns lieber auf das, was an dieser Stelle entschieden werden muss:

Ich habe verstanden, dass ZFC bei äußerster Verallgemeinerung Theoreme zulässt, die sich nicht mehr als Gleichheit von Mengen (oder durch die Teilmengenrelation, darauf kommt es nicht entscheidend an) formulieren lassen. Trotzdem kannst du doch wohl nicht gut bestreiten, dass die Untersuchung von Mengen, ihrer Gleichheit und ihrer Teilmengeneigenschaft, zentraler Gegenstand der Mengenlehre sind. Darauf, so meine ich, muss hingewiesen werden, und zwar in diesem Artikel, der ja nicht die Kenntnis von ZFC und der ganzen Grundlagenproblematik voraussetzt. - Meinst du, dies bedenkend, immer noch dass der Satz (in seiner jetzigen Fassung) rausgenommen werden müsse? - Andernfalls würde ich versuchen, ihn durch ein Beispiel (es muss ja nicht der Pythagoras sein - hast du einen Vorschlag?) zu ergänzen. -- Peter Steinberg 23:50, 14. Jul 2005 (CEST)

Es macht keinen Unterschied, ob es um den $\mathbb {R} ^{3}$ oder einen einzelnen anderen dreidimensionalen euklidischen Vektorraum geht. Aber die dreidimensionalen euklidischen Vektorräume bilden eine echte Klasse, also auch die Gesamtheit der Dreiecke in ihnen.

Wann immer es um Mengen mit Strukturen geht, kann man die zugrundeliegende Menge durch eine beliebige gleichmächtige Menge ersetzen, und davon gibt es zu viele. Deshalb bilden Gruppen, Vektorräume, topologische Räume, Mannigfaltigkeiten, Graphen usw. keine Mengen, sondern echte Klassen, und dementsprechend kann man keine Aussage über alle Gruppen usw. als Gleichheit von Mengen formulieren. (Sobald es aber nur noch um Teilmengen einer festen Menge geht, ist alles problemlos, z.B.: "Für alle Vektorräume ist die Menge der maximalen linear unabhängigen Teilmengen des Vektorraumes gleich der Menge der minimalen Erzeugendensysteme.")

Aussagen über alle Mengen sind problemlos, weil der Allquantor sich stets auf alle Mengen bezieht. Eine Formel $\forall x\colon P(x)\iff Q(x)$ ist also erlaubt, während man $\{x\mid P(x)\}$ nicht bilden darf, sondern immer nur $\{x\in y\mid P(x)\}$. Du kannst natürlich dann den Umweg über $\forall y\colon \{x\in y\mid P(x)\}=\{x\in y\mid Q(x)\}$ gehen, aber das wirkt dann doch etwas unnötig umständlich auf mich. Implikationen und Äquivalenzen sind das fundamentale Konzept, nicht Teilmengenrelationen oder Gleichheiten von Mengen. Natürlich ist da eine enge Beziehung (und sie sollte auf jeden Fall ausführlich im Artikel stehen), aber zu den technischen Konsequenzen von Russells Paradoxon gehört eben, dass man auf der Seite der Mengen gewisse Abstriche machen muss.

Zu diesem Problemkreis gehört übrigens auch, dass die Teilmengenrelation keine Relation im dort definierten Sinne ist, denn dazu müsste sie auf einer Menge definiert sein.

Ein Bereich, der von diesen Fragen wenig betroffen ist, ist die Analysis, weil sie sich mit sehr konkreten Objekten wie dem $\mathbb {R} ^{n}$ und Funktionen auf offenen Teilen davon beschäftigt, das sind alles ganz konkrete Mengen.--Gunther 00:53, 15. Jul 2005 (CEST)

Wikipedia-Artikel sind keine Lehrbücher

Dieser Wikipedia-Artikel zum Thema Mengenlehre ist ein Musterbeispiel dafür, wie ein solcher Wiki-Artikel meines Erachtens _nicht_ aussehen sollte. Er beginnt mit Erklärungen zum Thema in natürlicher Sprache und endet in einem Wust von mathematischen Symbolen. Oder anders formuliert: Dieser Artikel liefert im ersten Teil (mehr oder weniger) allgemeinverständliche Erläuterungen zum Thema und gleitet zusehends in einen Lehrbuch-, zuletzt in einen reinen Formelsammlungs-Stil ab. Das ist schade. Lehrbücher und Formelsammlungen zu ersetzen sollte ein Enzyklopädie-Eintrag nicht trachten. Dafür sind Verweise und Links völlig hinreichend. (Man bilde mal interessehalber den Quotienten aus Buchstaben und mathematischen Symbolen dieses Artikels. Das Ergebnis kann für den Alltagsleser dieses Artikels nur unbefriedigend sein.) Weniger ist manchmal mehr. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Das finde ich vollkommen richtig, und deshalb habe ich es ja auch unternommen, den Artikel zu überarbeiten. Gekommen bin ich bis Punkt 2.4. (Findest du diesen Teil akzeptabel?) In den letzten Wochen habe ich einen langen Urlaub gemacht, nun soll es weitergehen (allerdings nicht mehr mit so viel Energie wie bisher.)

Der Schluss des Artikels (insbesondere die "Beispiele") ist m.E. nicht mal eine Formelsammlung, sondern ein Formelhaufen. Ich überlege, ob sich der Teil ganz auflösen und das Brauchbare daraus in die Unterpunkte zu 2. integrieren lässt. -- Peter Steinberg 22:18, 6. Sep 2005 (CEST)

"Findest du diesen Teil akzeptabel?" -- Das ist der weitaus beste Teil des Artikels, deshalb habe ich ihn soweit wie möglich sprachlich "verfeinert" (siehe oben: "Überarbeitung der Geschichte der Mengenlehre"). Hoffentlich kannst Du nochmals zu Deinem alten Überarbeitungs-Schwung zurückfinden! Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ )

Hallo! Schließe mich meinem Vorredner an, wo überarbeitet ist, kann man was kapieren, ab "kartesisches Produkt" nicht mehr.

Ist aber auch so, dassich die komischen Zeichen nicht kapiere, wohl aber die Bildchen, und anhand dieser Hilfe dann auch die Definitionen. Zum "kartesisches Produkt" hätte ich den Vorschlag, ein Zahlen-Beispiel zu machen, weil das Schema der Bildchen scheint mir nicht mehr hinzulangen. Also sowas wie:

{1, 3, 6} X {2, 5} = {12, 15, 32, 35, 62, 65}

Evtl. interessant auch die praktische Anwendung beim Schreiben von Zahlen: Der gesamte durch eine gegebene Anzahl Ziffern darstellbare Bereich ist iwi das kartesische Produkt der Ziffern.

Hmm, vllt. einfacher: Eine Anzahl Ziffern hochzählen ist im Grunde ein Durchlauf durch ihr kartesisches Produkt - :::Beispiel mit binärzahlen:

000 001 010 011 100 ...

Na, irgendwie so - ich habs jedenfalls gerne, wennichn Beispiel hab, wo eine mathem. Gesetzmäßigkeit Verwendung findet. Und bei den Zahlen findichs halt verblüffend, weils jeder kennt, ders Zahlensystem begriffen hat.ErfinderDesRades

So könnte man sich Wikipedia auch sparen. Derartig habe ich das schon selbst in der Schule nicht verstanden und finde es in jedem Mathebuch genauso unverständlich und stehe jetzt bie meinem Sohn vor dem gleichen Problem. Was bedeuten die Hieroglyphen? Kann man das in normale deutsche Sprache übersetzen. Dass Schüler die mathematische Sprache erst beigebracht bekommen sollen verstehen die Lehrer nicht und offenbar auch der Autor des Artikels (ulrichpoess@aol.com)

Gliederung

Macht es bei einem Mathematik-Artikel nicht Sinn, erst die Definitionen und dann die Geschichte zu beschreiben? So suche ich doch nur länger nach dem, was ich eigentlich haben will. Nebenbei: der Artikel scheint etwas weitschweifig zu sein. --Smeyen Disk 19:34, 4. Jan 2006 (CET)

Dieser sehr grundlegende Begriff lässt sich kaum unabhängig von seiner Geschichte definieren. (Mathematik ist halt eine Geisteswissenschat!). Das, was man allenfalls als "Definition" voranstellen könnte, steht dann bei "Geschichte" ganz vorn dran.--

"Weitschweifig" erscheint der Artikel vielleicht, wenn man nicht weiß, welche heillosen Kontroversen (bis hin zu einer "Grundlagenkrise der Mathematik") die Begriffsbildung ausgelöst hat. ~~ Peter Steinberg 01:11, 18. Jan 2006 (CET)

"Summe"

Scheint mir gefährlich, weil diese Bezeichnung heute oft auch für die disjunkte Vereinigung benutzt wird (z.B. hier fast ganz unten).--Gunther 12:06, 19. Feb 2006 (CET)

Könnte bitte einer, der sich auskennt, die Schrift ein wenig verbessern, die ist auf höherer Auflösung kaum zu lesen....

Das kannst und musst Du an Deinem Browser einstellen.--Gunther 20:33, 10. Mai 2006 (CEST)

Die „disjunkte Vereinigung“ war mit noch nicht untergekommen, vielen Dank für den Hinweis. Die erste Definition meine ich sofort verstanden zu haben: Danach wäre es einfach eine Vereinigung disjunkter Mengen. Aber sicher habe ich den tiefen Sinn dieser Begriffsbildung noch nicht erfasst. Da hier eine Gefahr zu liegen scheint, habe ich mal eine Warnung im Text angebracht... -- Peter Steinberg 00:12, 11. Mai 2006 (CEST)

Ich hab disjunkte Vereinigung ein bisschen erweitert. Mir fällt nur kein richtig überzeugendes Beispiel ein. Die Motivation ist in etwa die folgende: Wenn man zwei Kopien vor irgendwas will, kann man nicht $\mathbb {R} \cup \mathbb {R}$ nehmen, weil das einfach wieder $\mathbb {R}$ ist, das richtige Konzept ist $\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R}$.--Gunther 00:26, 11. Mai 2006 (CEST)

Seit wann werden "Kopien" in der Mengenlehre verwendet ? Das richtige Konzept ist, diesen Begriff gar nicht erst in die Mengenlehre einzuführen versuchen. (Ich könnte mich andernfalls hingerissen fühlen, den "Begriff" der "Spiegelmenge" in die Mengentheorie einzuführen.) Ich hoffe, jeder Leser hat den Unfug verstanden. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) (24062006)

Zu Deiner Frage: Ich bin leider in der geschichtlichen Entwicklung der mathematischen Fachsprache nicht so bewandert, dass ich das beantworten könnte. Ist jedenfalls eine Standardformulierung.--Gunther 10:50, 24. Jun 2006 (CEST)

Layout

Hi, ich hab gerade im Artikel etwas gestöbert. Dabei fiel mir auf, dass der Artikel irgendwie unübersichtlich ist. Die Gliedeerung ist zwar gut, aber durch den meiner Meinung nach sehr starken gebrauch von fettgeschriebenen Text findet man sich nur schwer zurecht. Wäre es nciht besser die einprägsammen Definitionen z. B. der Schnittmenge kursiv und fett zu schreiben? So fallen die Sätze zwar auf, grenzen sich aber wenigstens etwas besser gegenüber den Abschnittsüberschriften ab. --Cepheiden 22:37, 29. Mai 2006 (CEST)

Wird Mengenlehre noch in der Schule unterrichtet?

Und und welchen Bundesländern?

In Bayern und den meisten anderen Bundesländern. (In Berlin und Hamburg nicht.) Grund: Wer zwei verschiedene Dinge unterscheiden kann, der/die wird nicht so schnell drei verschiedene Dinge gleichsetzen. (Beispiel: Unterscheiden Sie die Begriffe 'Rot' -- '17' -- 'relakt') Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) (25032007)

In Hessen steht es auch nicht mehr auf dem Lehrplan. Ich mache dieses Jahr Abi hier und weiß nur wegen Seminaren von der Mengenlehre. Man erklärt hierzulande nur noch die Formelzeichen die man benötigt um einen Definitionsbereich aufschreiben zu können ohne zu erklären was das ist oder wie man damit umgeht.

Ich studiere an der ETH Zürich Informatik und in der diskreten Mathematik ist dies ein wichtiges Kapitel. Mengenlehre ist ein wichtiger Grundstock, um Beweise in formeller Weise zu führen.

In NRW definitiv nicht mehr in der Grundschule. Wir wurden damals als i-Dötzchen noch damit gequält... 80.152.242.218 15:33, 3. Mär. 2009 (CET)

Addition

Hm ich kann mich ja vertun aber wird die Addition 2er Mengen nicht wie folgt aufgefasst: $A+B=\{a+b\mid a\in A;b\in B\}$ sprich halt die Addition jedes einzelnen Elements, anders als eben die Vereinigung $(A\cup B)$ bei der angegeben wurde das man hierfür ebenfalls häufig das Summenzeichen verwendet. --DH 13:26, 25.04.2007 (CEST)

Die Operation + ist im Allgemeinen für Mengen bzw. deren Element nicht definiert. Dazu benötigt man eine algebraische Struktur, die A und B als Teilmengen enthält und in der + definiert ist, z.B. in Vektorräumen ist diese Notation üblich. Was aber ist z.B. $\{\emptyset \}+\{\{\emptyset \}\}$? --85.3.148.162 13:32, 3. Mai 2007 (CEST)

Frege?

In Freges Begriffsschrift von 1879 gibt es keine Präzisierung des Mengenbegriffs. Dort ist nur die früheste Fassung einer Prädikatenlogik erster Stufe zu finden. Eine Mengenlehre entwarf Frege erst 1893 als Basis seiner Arithmetik. Es ist eine Formalisierung der naiven Mengenlehre, in der Russell den berühmten Widerspruch entdeckte.--Wilfried Neumaier 10:06, 19. Jun. 2007 (CEST).

Heute habe ich die Korrektur vorgenommen. Man kann die Sache durch einen Blick in die Originalquellen leicht prüfen; moderne Mengenlehren sind dazu meist nicht geeignet, weil sie meist ahistorisch vorgehen.--Wilfried Neumaier 13:00, 31. Dez. 2007 (CET)

Zur Typentheorie

Die Typentheorie hat Russell 1903 und 1908 alleine entwickelt. Er brachte sie aber 1910 in die Principia Mathematica ein, die er mit Whitehead verfasste. Von hierher hat sie sich dann in den ersten Jahrzehnten des 20. Jahrhunderts ausgebreitet.--Wilfried Neumaier 10:13, 19. Jun. 2007 (CEST)

Heute habe ich die falsche Angabe getilgt und die Passage etwas überarbeitet.--Wilfried Neumaier 13:03, 31. Dez. 2007 (CET)

ueberarbeiten: abschnitt "Anmerkungen"

gudn tach!
die auflisteung sollte moeglichst komplett in den artikel und in gescheiten fliesstext umgewandelt werden. so zusammenhanglos und in schlecht-formatierbarer listenform, in der der kram da jetzt steht, liest es vermutlich eh kaum jemand... aus angst vor augenkrebs und dachschaden. -- seth 22:58, 28. Aug. 2007 (CEST)

assoziativitaet

gudn tach!
betrifft: aenderung und revert.
regelrechte aufgaben an den leser sollten vermutlich nicht in einer enzyklopaedie stehen (aber da bin ich mir nicht sicher). mir geht es hier um die anderen aenderungen...
nun ja, ich bin zwar der meinung, dass der artikel gescheit ueberarbeitet werden muss und dass (vor allem im abschnitt "anmerkungen") zuviel durcheinander steht, aber die durchaus begruendende bemerkung ueber die assoziativitaet fand ich eigentlich angemessen. -- seth 22:51, 2. Sep. 2007 (CEST)

Kamke

Das Göschenheftchen von Kamke ist eine Mengenlehre auf dem Stand von 1928, also auf einem ziemlich veralteten Stand. Es wurde zwar oft aufgelegt und war lange Zeit eine Standardeinführung. Das gilt aber heute sicher nicht mehr. Daher müssen seine sehr seltsamen und keineswegs ausreichenden Maßnahmen zur Vermeidung von Widersprüchen hier nicht im Detail aufgetischt werden. Meines Erachtens muss ein kurzer Verweis in einem Abschnitt über halb-naive Mengenlehren genügen. Ich werde, wenn sich in nächster Zeit kein Protest erhebt, dies tun. Die Aussage am Schluss über Cantor Intention ist auf jeden Fall falsch, was ich unter Cantorsche Antinomie genau erläutert habe mit Quellenangaben.--Wilfried Neumaier 12:30, 10. Jan. 2008 (CET)

Heute erledigt mit Generalüberarbeitung der Geschichte im 20. Jahrhundert--Wilfried Neumaier 17:06, 18. Jan. 2008 (CET)

Schulpolitische Diskussion um Mengenlehre in der Schule

Es gab doch bei der Einführung der Mengenlehre in die Grundschule eine riesige Diskussion in Bundesrepublik. Müsste das nicht der Vollständigkeit halber unter Mengenlehre im 20ten Jahrhundert auch angesprochen werden ?

Es ist dort im zweitletzten Abschnitt kurz angesprochen und auch verlinkt, so dass man näheres dazu nachschlagen kann.--Wilfried Neumaier 12:50, 23. Jan. 2008 (CET)

Absolutes Komplement

A = {1,2}, warum ist denn bei den Beispielen $A^{\mathsf {C}}=\{3\}$ und z.B. nicht $A^{\mathsf {C}}=\{3,4\}$? --Chin tin tin 00:41, 14. Jul. 2008 (CEST)

weil das Komplement in Bezug auf X={1,2,3} genommen wird (so "absolut" ist das übrigens nicht)--UKe-CH 00:41, 15. Jul. 2008 (CEST)

Warum werden bei einem einführenden Artikel nicht zunächst die Symbole erklärt???

Als unbedarfter Laie erwarte ich zunächst einleitende Worte. Dieser Artikel richtet sich offenbar an Mathematiker, die den Inhalt sowieso schon kennen und sich nur bestätigt fühlen wollen. Für den Laien ist dieser Artikel wenig hilfreich. Der Autor sollte sich einmal in die Position von Laien hineinversetzen.(Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 92.117.17.17 (Diskussion • Beiträge) 1:13, 29. Jul. 2008 (CEST))

Was denn für Symbole?!? In der ersten Hälfte tauchen gar keine Symbole auf. Der Einführungsartikel zu Mengen ist übrigens Menge (Mathematik), wie ganz oben auch steht. --χario 01:40, 29. Jul. 2008 (CEST)

Haben ein Problem

kann mir irgendjemand hier sagen wie ich bei word 2003 die Symbole für Realezahlen, Ganzezahlen, Natürlichezahlen und Rationalenzahlen herbekomme

muss nämlich für die Schule meine Einträge digitalisieren und hier für bräuchte ich auch diese Symbole (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 84.153.70.47 19:47, 18. Sep. 2008 (CEST)).

Wikipedia:Auskunft ist der richtige Ort, um solche Fragen zu stellen - um so mehr wenn sie (wie hier) nicht direkt mit dem Artikel zu tun haben, zu dem die Diskussion gehört. --UKe-CH 20:31, 23. Sep. 2008 (CEST)

Andere Konzepte

Dieser Abschnitt ist noch nicht begründet. Die Links geben keinerlei Aufschluss. Wer sich hier auskennt, sollte für Abhilfe schaffen. Eventuell ist auch eine Auslagerung in axiomatische Mengenlehre möglich, wenn hier wirklich gleichwertige Alternativ-Konzepte vorliegen sollten, was ich nicht beurteilen kann. Was mir nicht ganz stimmig erscheint, ist dass die Mengenlehre zur Begründung der Informatik nicht ausreicht. So viel ich weiß, wird auch die Informatik heute mengentheoretisch aufgezogen; ich kenne etwa: Maurer: Die theoretischen Grundlagen der Programmiersprachen (oder so ähnlich). Dazu kommt die konträre Aussage, dass die Informatik der Mengenlehre gleichwertig sein soll. Der Abschnitt ist daher zweifelhaft.--Wilfried Neumaier 17:05, 18. Jan. 2008 (CET)

Der Abschnitt kann m.E. ganz raus - unbelegt und schräg. Cholo Aleman 21:22, 21. Feb. 2009 (CET)

Abschnitt ist raus - drei Monate kein Widerspruch, Bausteine wirkungslos Cholo Aleman 14:58, 6. Jun. 2009 (CEST)

Verständlichere Formulierung dringend erforderlich

Ich muß mich leider den Vorgängern anschließen. Der Artikel ist bei weitem zu kompliziert verfaßt. Es ist nicht nötig, die Mengenlehre auf Universitätsniveau darzustellen. Eine klare, leichtverständliche Darstellung ohne unnötige Fachbegriffe (bijektiv, dual, ...) wäre hilfreicher gewesen. Weniger wäre hier definitiv mehr gewesen. Die Beispiele sollten auch nicht einfach lieblos ans Ende gekletscht werden, sondern da, wo sie zum Verständnis des Textes beitragen, genannt werden.

Auch sollten Symbole (zum Beispiel dieser hebräische Buchstabe, ich weiß nicht, wie er heißt) erläutert und seine Lesung erklärt werden (beispielsweise: das Symbol ist der hebräische Buchstabe blabla und er wird soundso gelesen). Miguelito 02:12, 8. Feb. 2009 (CET)

Richtigkeit

Im Abschnitt Mengenlehre#Mengenlehre_im_19._Jahrhundert steht unter "Wichtige Ergebnisse von Cantor:":

"Es gibt nichtabzählbar unendlich viele Mächtigkeiten."

Diese Behauptung benötigt eine Quellenangabe, ich denke nämlich, dass die Aussage - zumindest in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFM) - sogar falsch ist. Begründung ist die folgende:

• Unter der Annahme, dass die Kontinuumshypothese wahr ist, folgt, dass es genau abzählbar unendlich viele Mächtigkeiten gibt.
• Unter der Annahme, dass die Kontinuumshypothese falsch ist, folgt, dass es mindestens abzählbar unendlich viele Mächtigkeiten gibt. (Dies gilt auch allgemein.)

Nimmt man nun an, dass es nichtabzählbar unendlich viele Mächtigkeiten gibt, folgt, dass die Kontinuumshypothese falsch sein muss. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass die Kontinuumshypothese unabhängig von ZFM ist, also weder wahr noch falsch.

Eventuell sollte die Behauptung nur in "Es gibt mindestends abzählbar unendlich viele Mächtigkeiten." abgeändert werden. Dennoch wäre es gut, zu erfahren ob doch ein Beweis von Cantor existiert, auch, wenn es womöglich eine Aussage ist, die nur in einer anderen Mathematik als ZFM gültig ist. Ich habe nach wie vor noch Zweifel ob meine Argumentation richtig ist, also seid kritisch. --Anthales 11:08, 31. Aug. 2009 (CEST)

Die Behauptung, dass aus der Kontinuumshypothese die Abzählbarkeit der Mächtigkeiten folgt, braucht selbst eine Begründung: es nimmt mich wunder, wie jemand darauf kommt! In Wirklichkeit sind es nicht nur "überabzählbar viele", sondern es gilt - unabhängig von der Kontinuumshypothese -: die Mächtigkeiten sind so "zahlreich", dass sie nicht einmal eine Menge bilden. Somit könnte die aus dem Artikel zitierte Aussage evtl. jemand irreführen. Lässt man diese "Spitzfindigkeit" einmal weg (was man eigentlich in Mathe' nie tun sollte) dann kann man sie akzeptieren - das ist der Grund, warum ich sie nicht selbst kritisiert habe ;-) --UKe-CH 15:14, 31. Aug. 2009 (CEST)

Es ist wahr, dass die Menge aller Mächtigkeiten $\{|A|:A\ ist\ Menge\}$ keine Menge sondern eine echte Klasse definiert, dennoch lässt sich indirekt über die Klasse der Mächtigkeiten sprechen: Sei A ~ B :<=> Es existiert eine Bijektion von A nach B. Dies definiert eine Äquivalenzrelation. Für eine beliebige Menge A entspricht dann A/~ der Menge der Mächtigkeiten von A - und man merke an: Es gibt nur Mengen von Mengen, jede Menge von Nicht-Mengen ist kein Teil von ZFM, formal nicht existent. Man kann also formulieren: Es existiert eine Menge A mit: $|A/{\sim }|>\aleph _{1}$. Das sagt gerade aus, dass es nichtabzählbar-unendlich viele Mächtigkeiten gibt. Nun zur Kontinuumshypothese: dort habe ich vergessen zu erwähnen, dass ich die erweiterte Kontinuumshypothese meine (ich rede so oft darüber, dass ich mir oft das "erweitert" spare). Zur Erklärung schaut man sich einmal die Folge $A_{0}:=\mathbb {N} ,A_{i+1}={\mathcal {P}}(A_{i})$ an, die Mächtigkeiten dieser Folge sind echt aufsteigend. Die Kontinuumshypothese sagt, dass es keine Menge mit einer Mächtigkeit gibt, die echt zwischen $A_{0}$ und $A_{1}$ liegt. Die erweitere Kontinuumshypothese geht einen großen Schritt weiter und behauptet dies für alle $A_{i}$ und $A_{i+1}$. Insbesondere folgt aus der erweiterten Hypothese (die genauso unabhängig von ZFM ist), dass die Folge $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ alle möglichen (unendlichen) Mächtigkeiten trifft, denn nach Behauptung existieren keine weiteren Mächtigkeiten zwischen den einzelnen Gliedern - und auch nicht "über" oder "unter" den Gliedern (mit Ausnahme der endlichen Mächtigkeiten, diese sind aber ebenfalls abzählbar). Man kann also sagen: Für jede Menge A gilt: $|A/{\sim }|\leq \aleph _{1}$. Ergo widerspricht sich die Aussage "Es gibt nichtabzählbar unendlich viele Mächtigkeiten." mit der erweiterten Kontinuumshypothese. Deshalb fordere ich nach wie vor entweder einen Quellenhinweis oder eine Abänderung dieses Satzes. Ersteres wäre mir aber definitiv lieber, weil dadurch klar wird, dass Cantor in einem anderen "System" gearbeitet hat, als wir heute. -- Anthales 14:20, 3. Sep. 2009 (CEST)

Hier liegt ein Fehlschluss vor: und auch nicht "über" oder "unter" den Gliedern (mit Ausnahme ...) stimmt nicht, was den Teil "über" angeht. Aus den ZFM-Axiomen folgt nämlich, dass jede (echte!) Menge von Mächtigkeiten eine obere Schranke besitzt, weil jede Menge von Mengen eine Vereinigungsmenge besitzt; insbesondere gibt es eine Mächtigkeit, die grösser als alle Glieder der erwähnten Folge ist. Übrigens bezieht sich die erw. Kontinuumshypothese auf alle unendlichen Mächtigkeiten, nicht nur auf jene dieser Folge: sie behauptet, dass für jede unendliche Menge A zwischen der Mächtigkeit von A und derjenigen von ${\mathcal {P}}(A)$ keine weitere existiert. Siehe dazu Kardinalzahl (ein Synonymm von Mächtigkeit, das heutzutage viel gebräuchlicher ist)--UKe-CH 01:39, 18. Sep. 2009 (CEST)

Über genau dieses "über" habe ich mir schon vor, teilweise nach, meinem Beitrag noch lange Gedanken gemacht. Mir ist auch aufgefallen, dass die Vereinigung aller Folgenglieder echt mächtiger als jedes Folgenglied wäre und man kann das ganze Spiel sogar wieder von vorn treiben: abzählbar-unendlich viele Kardinalzahlen über eine Potenzmengenfolge einführen, man erhält so eine ganze "Klasse" von Kardinalzahlen die alle mächtiger als jedes $A_{i}$ wären - das lässt sich beliebig weit treiben und man erhält abzählbar-unendlich viele abzählbar-unendliche "Klassen" von Kardinalzahlen. Dann habe ich mich gefragt: Existiert die Menge der Folgenglieder überhaupt? Die Frage ist, ob sie überhaupt eine Zermelo-Fraenkel-Menge ist - Genau das bezweifle ich nämlich und das ist auch der Punkt an dem ich so lange auf der Stelle trete. Ich fürchte, diese Frage stößt bereits an die Grenzen des formalen Systems, soll heißen, ich bezweifle ob diese Aussage überhaupt innerhalb von ZF(C) bewiesen oder widerlegt werden kann. Hier muss ich soweit passen. Was die Kontinuumshypothese angeht, hast du recht: ihre Behauptung ist allgemeiner. Unter der Annahme, dass es aber keine obere Schranke dieser Folge gäbe, wäre sie äquivalent, ansonsten ist es immerhin noch eine Implikation. Unter der Annahme der Nichtexistenz der Menge der Folgenglieder gibt es in meiner Argumentation übrigens ein viel größeres Problem: die Folge $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ ist dann keine Folge, nichtmal eine Abbildung, was den ganzen "Beweis" quarkig macht, es sei denn man kann eine logische "A ist n-te Potenzmenge von $\mathbb {N}$"-Relation einführen, was ich aber stark bezweifle. Das Argument ist also tot. Und wenn man einmal "naive" Mengenlehre mit ZF(C) gegenüberstellt, glaube ich auch gerne, dass es in der naiven überabzählbar viele von solchen "Kardinal-Klassen" geben kann, ich denke aber nicht, dass es möglich ist, dass eine solche "Klasse" überabzählbar sein kann, das scheint mit der erweiterten Kontinuumshypothese nicht vereinbar zu sein. Trotz alledem kann ich mir auch immer noch nicht vorstellen, dass es in ZF(C) überabzählbar viele solche "Klassen" geben kann, das scheint wiederum durch die sehr strenge Axiomatisierung ausgeschlossen. Nunja, die grundlegenden Fragen sind immer noch nicht geklärt, und das werden sie sicher nicht so schnell, bis dahin bleibt mir nur noch eine Bitte: Eine Quellenangabe wär trotzdem schön ;-) --Anthales 20:32, 23. Sep. 2009 (CEST)

Ich würde meinen, für Mathematiker, die sich gründlich mit axiomatischer Mengenlehre befasst haben, gibt es zumindest in dieser Hinsicht keine ungeklärte grundlegenden Fragen mehr - schon seit Jahrzehnten. Ich schlage dir vor, einmal den Artikel Kardinalzahl (Mathematik) und vom Artikel Ordinalzahl die Einleitung zu studieren (der Rest des letzteren enthält einige schwierige Themen); vielleicht gibt dir das ein besseres Gefühl für das ganze Kardinalzahlen-Thema. Es ist vermutlich besser, dieses vorerst einmal ohne echte Klassen anzugehen: die ZF-Mengenlehre kennt - wie du selbst andeutest - keine solche, und sie genügt für (fast) alle praktischen Bedürfnisse. Eine axiomatische Mengenlehre mit echten Klassen ist die NBG-Mengenlehre. Ich denke, diese Artikeldiskussion ist nicht der geeignete Ort, falls du diese Fragen mit anderen weiter klären möchtest.--UKe-CH 17:59, 24. Sep. 2009 (CEST)

ausführlichkeit

ich binn dafür dass ihr auch mal euch ne scheibe vom englischen abschneiden könntet, denn da versteht man wenigstens was man liest --91.17.172.183 13:58, 17. Sep. 2009 (CEST)

Mengenlehre im 20. Jahrhundert

"Die endgültige Anerkennung der ZF-Mengelehre in der Praxis zog sich allerdings noch über längere Zeit hin. Wesentlich trug dazu die Initiative der Mathematiker-Gruppe mit Pseudonym Nicolas Bourbaki bei;" - gemeint ist doch sicher das Gegenteil, oder? --23:59, 3. Nov. 2009 (CET)

Zumindest macht die Formuliereung nicht ganz klar ob Bourbaki zur Anerkennung oder zur Verzögerung beitrugen.--Hagman 07:52, 4. Nov. 2009 (CET)

Hagman, du hast recht. Ich habe deshalb den Satz etwas umformuliert.--UKe-CH 21:26, 5. Nov. 2009 (CET)

Zum Ü-Baustein in Anmerkungen

Der Abschnitt Anmerkungen enthält eigentlich nichts, was nicht schon zuvor gesagt worden wäre. Meiner Meinung nach können wir den gesamten Abschnitt - komplett mit Baustein - entfernen. Sollte sich hier kein Widerspruch regen, so werde ich das demnächst tun. --FerdiBf 12:13, 9. Jan. 2011 (CET)

Damit verschwindet der Absatz Anmerkungen, inklusive Ü-Baustein--FerdiBf 16:40, 16. Jan. 2011 (CET)

--78.50.138.77 17:03, 30. Jan. 2011 (CET)== 2 Definitionen ==

P.R. Halmos in "Naive Set Theory": "Etwas wird die Darstellung nicht enthalten: eine Definition der Menge. Die Situation ist analog dem wohlbekannten axiomatischen Zugang zur elementaren Geometrie. Jener Zugang enthält keine Definition für Punkte und Geraden, statt dessen beschreibt er, was man mit diesen Objekten tun kann." "Extentionalitätsaxiom: Zwei Mengen sind dann und nur dann gleich, wenn sie dieselben Elemente haben. Aussonderungsaxiom: Zu jeder Menge A und jeder Bedingung S(x) gibt es eine Menge B, deren Elemente genau jene x aus A sind, für die S(x) gilt. Paarbildungsaxiom: Zu je zwei Mengen gibt es stets eine Menge, die jene beiden als Elemente enthält. Vereinigungsmengenaxiom: Zu jedem Mengensystem gibt es eine Menge, welche alle Elemente enthält, die zu mindestens einer Menge des gegebenen Systems gehören. Potenzmengenaxiom: Zu jeder Menge existiert ein Mengensystem, das unter seinen Elementen alle Teilmengen der gegebenen Menge enthält. Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge die die leere Menge enthält und mit jedem ihrer Elemente auch dessen Nachfolger. Auswahlaxiom: Das kartesische Produkt einer (nichtleeren) Familie von nichtleeren Mengen ist nichtleer. Ersetzungsaxiom: Sei S(a,b) eine Aussage derart, daß für jedes Element a einer Menge A die Menge {b:S(a,b)} gebildet werden kann. Dann existiert eine Funktion F mit Definitionsbereich A, so daß F(a) = {b:S(a,b)} für jedes a in A.

Überschneidung mit Menge (Mathematik)

Aufgrund der offensichtlichen Überschneidungen habe ich den Baustein gesetzt. Vielleicht habe ich demnächst etwas Zeit, daran zu arbeiten. -- Fanofimpressionism 18:24, 13. Aug. 2011 (CEST)

„Zahlreiche mathematische Disziplinen…“

Welche Disziplin entzieht sich denn der mengentheoretischen Beschreibung oder benutzt sie nicht als Basis? Außer Logik und Mengentheorie selbst… --Chricho ¹ 19:20, 19. Sep. 2011 (CEST)

Fast keine! Für die überwältigende Mehrzahl aller Mathematiker ist Mathematik all das, was man aus den ZFC-Axiomen folgern kann (wenige unter ihnen verwenden nur ZF). Selbst die Logik, das heißt mathematische Logik, "funktioniert" erst richtig mit ZFC. Mathematische Aussagen sind Zeichenketten genau bestimmter Struktur (siehe Prädikatenlogik erster Stufe) und Logik ist der definierte Umgang mit solchen (Mengen von) Zeichenketten. Die Mengenlehre selbst ist auch nichts anderes, sie verwendet natürlich ZFC. Da ZFC aber nicht alle Fragen über Mengen beantworten kann (siehe z.B. Kontinuumshypothese), beschäftigt sich ein bedeutender Teil der Mengenlehre mit möglichen axiomatischen Erweiterungen von ZFC. In der Kategorientheorie betrachtet man Klassen, die keine Mengen sind, siehe dazu aber Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre. In Topos (Mathematik) findest Du einen Ansatz zu einer nicht-mengentheoretischen Grundlegung der Mathematik, das ist aber kein Mainstream.--FerdiBf 20:06, 19. Sep. 2011 (CEST)

Logik funktioniert wohl eher ohne ZFC als eine axiomatische Mengenlehre ohne Logik. ;) D.h. bei Logik und Mengenlehre würde ich sagen, dass sie nicht auf Mengenlehre basieren. Klar, dass es möglich ist, viele Sachen ohne Mengenlehre aufzuziehen, was es oft schwieriger macht. Aber ich bin mir keiner ganzen Disziplin bewusst, die auf Mengenlehre heutzutage verzichtet. --Chricho ¹ 20:22, 19. Sep. 2011 (CEST)

Jaa, es gibt Mengenlehre-freie Teile der Logik, das ist unstrittig. Siehe aber etwa "Ebbinghaus - Einführung in die mathematische Logik", eine Mathematisierung der Logik erfordert natürlich auch die Verwendung von Mengenlehre.--FerdiBf 06:25, 20. Sep. 2011 (CEST)

Wie auch immer, es ging ja um den Satz, der ist doch etwas vage, gibt es bessere Ideen? --Chricho ¹ 19:51, 22. Sep. 2011 (CEST)

Ich habe die Einleitung im Sinne dieser Diskussion umformuliert. Die vormals genannte Maßtheorie habe ich durch Geometrie ersetzt, denn Nicht-Mathematiker wissen in der Regel nicht, was Maßtheorie ist, und ich bringe damit gleichzeitig zum Ausdruck, dass heutzutage die auch euklidische Geometrie in natürlicher Weise in der Sprache der Mengenlehre formuliert wird. Ich weiß, die Geometrie in der klassischen griechischen Form kommt immer noch vor und hat natürlich eine historische Bedeutung, aber es handelt sich um Mathematik im $\mathbb {R} ^{2}$.--FerdiBf 14:42, 24. Sep. 2011 (CEST)

Symmetrische Differenz

Ich würde gerne einige Bemerkungen und Gesetzmäßigkeiten aus dem Englischen Artikel zum Thema Symmetrisch Differenz übernehmen (http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_difference). Insbesondere:

• verschiedene Darstellungen der symmetrischen Differenz
• n-fache Symmetrisch Differenz
• die symmetrische Differenz und Schnittbildung machen die Potenzmenge einer endlichen Menge zu einem Ring.
• ein paar hübsche Bilder dazu

soll ich das in diesen Artikel hier einarbeiten oder einen eigenen Artikel zur "Symmetrischen Differenz" erstellen? Wenn ich ihn hier einarbeiten soll, bietet es sich an eine Untersektion dafür anzulegen, oder?

--Larsborn (Diskussion) 13:10, 5. Feb. 2013 (CET)

Meiner Meinung nach sollten wir die vorgestellten Mengenoperationen in diesem Artikel nicht weiter ausbauen. Die symmetrsiche Differenz verdient sicher einen eigenen Artikel. Den könnte man dann noch weiter ausbauen, denn dazu gibt es ja noch viel mehr zu sagen. Dahin sollten wir von hier etwa mit dem Hauptartikel-Konstrukt verlinken.--FerdiBf (Diskussion) 11:41, 9. Feb. 2013 (CET)

Differenz, Komplement, Symmetrische Differenz

ich hab mir erlaubt, in diesem bereich kleinere ergänzungen zu vollziehen. der begriff "komplement" war zwar erwähnt, aber nicht erklärt, auch nicht die schreibweise mit hochgestelltem C; in den rechenregeln wurde auf die symmetrische differenz verwiesen, ohne sie davor erklärt zu haben. MiBü 15:15, 30. Okt. 2011 (CET)

Zu Differenz einer Menge: Was ist wenn A Leere Menge ist ? folgt dann dass x sprich Leere Menge kein Element von B ist? (nicht signierter Beitrag von 84.62.29.197 (Diskussion) 20:50, 26. Jun. 2013 (CEST))

Unsinnige Definitionen

Ich werde mich auch noch selber darum kümmern wenn ich die Zeit finde, aber die hier angegebenen Definitionen sind nichtmal ansatzweise richtig verbesserungswürdig. Zumindest nicht, wenn man die üblichen Interpretationen der Zeichen annimmt. Auch: Was bitte soll eine Elementmenge sein? --engeltr 15:45, 5. Jul. 2013 (CEST)

Eine Elementmenge ist einfach ein Element, wobei betont wird, dass es sich bei dem Element um eine Menge handelt. Die Definitionen setzen dabei die Klassenschreibweise $\left\{x\mid \ldots \right\}$ voraus, aber was da nicht mathematisch oder nicht den üblichen Definitionen entsprechend sein soll, sehe ich nicht. Kannst du einen konkreten Fall nennen? Ist dir vllt. die Schreibweise $\bigcup X$ einfach nicht geläufig (die ist nicht in allen Teilgebieten der Mathematik verbreitet)? --Chricho ¹ ² ³ 15:57, 5. Jul. 2013 (CEST)

Die Elementmenge ist also eine 1-elementige Menge? (Dies sollte dann auch irgendwo stehen, ich bezweifle dass irgendein mathematisch unbewanderter Leser da auch nur ansatzweise drauf kommt). $\bigcup X$ ist mir als Vereinigung aller Mengen U geläufig: Also ganz ausführlich $\bigcup _{i=0}^{k}U_{i}$ mit Mengen $U_{i}$ (hier jetzt nur endl. Vereinigung). Mein Problem mit der Definition ist: Das a ist element von U, aber wir vereinigen über U. Das mag an der schreibweise liegen, aber ich bezweifle, dass ein Leser darauf kommt. Schon ich finde es ja unsauber. Aber danke für die Antwort =). Gruß --engeltr 18:03, 5. Jul. 2013 (CEST)

Nein, du hast eine Menge $U$ bestehend aus Mengen gegeben, die Elemente sind also „Elementmengen“. Ist kein feststehender Begriff, sondern wurde da in dem Kontext wohl nur zur Verdeutlichung gewählt, dass die Elemente Mengen sind. $\bigcup U=\bigcup _{x\in U}x$ in deiner Schreibweise. $\bigcup U$ ist insbesondere in der Mengenlehre üblich, in jedem Fall habe ich es auch schon in der Topologie gesehen, ich vermute, es ist in vielen Bereichen unüblich. --Chricho ¹ ² ³ 18:13, 5. Jul. 2013 (CEST)

Das kann sein. Ich habe halt gerade für den Leser ein Problem damit, dass üblicherweise Elemente mit Kleinbuchstaben bezeichnet werden und Mengen mit Großbuchstaben. Es müsste meines Erachtens nach wirklich dastehen, dass hier Mengen gemeint sind. Und da wir eh nur von 2 Mengen ausgehen hielte ich eine Definition a la $A\cup B=\{x:x\in A\lor x\in B\}$ verständlicher. --engeltr 18:23, 5. Jul. 2013 (CEST)

Ist es jetzt klarer? --Chricho ¹ ² ³ 18:33, 5. Jul. 2013 (CEST)

Interessehalber: Kannst du ein Beispiel nennen, bei dem Leute $\bigcup U$ schreiben und damit $\bigcup _{i}U_{i}$ meinen? --Chricho ¹ ² ³ 18:46, 5. Jul. 2013 (CEST)

Entschuldigung, dass ich mich hier einmische. In der Mengenlehre ist $\bigcup U$ eine weitverbreitete Standardschreibweise, siehe zum Bsp. Thomas Jech: Set Theory. 3. millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, Seite 3, Axiom of Union", und viele mehr.--FerdiBf (Diskussion) 09:06, 6. Jul. 2013 (CEST)

@Christo: Etwas klarer, auch wenn ich es anders schöner fände. Aber das ist Geschmackssache denke ich. Zum Beispiel: Gerade nicht, weil ich an einem Ort bin wo ich keinen zugriff auf größere Buchbestände habe. Ich könnte ein älteres Analysis-1-Skript anbieten, aber ich glaube das zählt nicht ;)

@FerdiBf: Das ist korrekt. Dass man es so benutzen kann ist klar, mir war die Definition davon aber nicht schön genug (wg. der Elemente, die dann Mengen sind...). --engeltr 21:33, 8. Jul. 2013 (CEST)

@Ferdi S. o. „$\bigcup U$ ist insbesondere in der Mengenlehre üblich“ ;)

@Engeltr Wenn dir noch eins einfällt, würde ich mich freuen. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 22:04, 8. Jul. 2013 (CEST)

Abschnitt zu Gesetzmäßigkeiten

Hallo! Meines Erachtens sollte ein Artikel zur Mengenlehre“einen Überblick über Geschichte, Umfang, Aufbau und Bedeutung des Teilgebiets geben. Da hapert es im Moment noch an einigen Stellen (kein Wort über Teilgebiete…), aber das sei jetzt nicht das Thema. Natürlich ist es gut, wenn auch ein paar Begriffe eingeführt werden, die auch einem Laien vermitteln, was die grundlegenden Objekte sind, die das Thema der Mengenlehre bilden. Aber der Abschnitt „Gesetzmäßigkeiten“ scheint mir vollkommen überflüssig. Zur Klärung dessen, worum es sich bei Mengenlehre handelt, trägt er nichts bei, das sind einfach ein paar logische Spielereien. --Chricho ¹ ² ³ 16:06, 5. Jul. 2013 (CEST)

Ein Vorschlag: Den Abschnitt Gesetzmäßigkeiten finde ich auch fehl am Platz, der Abschnitt mit den Definitionen steht so schon im Artikel Menge (Mathematik). Ohne die beiden Abschnitte bliebe nur der Geschichtsabschnitt übrig. Daraus folgt, dass man diesen Artikel hier in Geschichte der Mengenlehre umbenennen könnte und für die Definitionen auf den Artikel Menge (Mathematik) verweisen würde. Und dort den Geschichtsabschnitt kürzen und hierauf verweisen. --engeltr 18:11, 5. Jul. 2013 (CEST)

Ein Artikel zur Mengenlehre ist schon nötig meines Erachtens und ein wenig Redundanz zum Artikel über Mengen kann man da nicht vermeiden (vgl. Gruppentheorie↔Gruppe (Mathematik), Maßtheorie↔Maß (Mathematik)…). Aber das muss ja nicht in einer Auflistung von Fingerübungen ausarten. --Chricho ¹ ² ³ 22:07, 8. Jul. 2013 (CEST)

Kurzerläuterung der Symbole im Fliesstext

Ich fände es für den unkundigen Leser besser, wenn Symbole bei ihre Einführung kurz erläutert würden. Beispiel:

• statt: In der reinen Mengenlehre ist das Elementprädikat $\in$ die einzige notwendige Grundrelation.
• besser: In der reinen Mengenlehre ist das Elementprädikat $\in$ (sprich ist Element von) die einzige notwendige Grundrelation.

Ich selbst fühle mich auf dem Gebiet aber zu unsicher um es durchzuführen. -- Gerold (Diskussion) 12:46, 23. Okt. 2013 (CEST)

Das steht, zugegebenermaßen etwas versteckt, schon im Abschnitt "Geschichte". -- HilberTraum (Diskussion) 20:10, 24. Okt. 2013 (CEST)

Dann gestehe ich zugegebenermaßen, dass ich den Abschnitt "Geschichte" nicht gelesen hatte. Spricht denn etwas gegen meinen Vorschlag? Ich frage als Nicht-Mathematiker der keinen Fehler machen will. -- Gerold (Diskussion) 14:53, 27. Okt. 2013 (CET)

Also wenn's hilft, kann man das meinetwegen schon nochmal hinschreiben. Wer liest schon Geschichtsabschnitte?  ;-) -- HilberTraum (Diskussion) 16:12, 27. Okt. 2013 (CET)

"Unsinnig"

Ich bin Germanistin und riesige Leidenschaften von mir sind die Mathematik und die Physik.

Ich halte diesen Absatz überhaupt nicht für unsinnig. Ja, er hat seine Schwächen, im Kern ist er aber stimmig und korrekt. Ich trau mich nur nicht, ihn zu bearbeiten und die Markierung zu entfernen, da ich Geisteswissenschafterin bin und keine Mathematikerin.

Es haben auch sämtliche andere mathematische Artikel vor allem sprachliche und somit lehrende Schwierigkeiten. Es werden zum größten Teil Wissensfundamente und Sprachfundamente vorausgesetzt, die einer eigentlich selbst ernannten "Wissensbasis für die Welt" unwürdig sind. Wäre ich nicht die Gelehrte, die ich bin, Wikipedia könnte mir in vielen Bereichen nicht helfen. Oft erscheint es mir, als würde eine Elite für eine andere schreiben.

Ich verstehe auch nicht, wenn dieser Absatz tatsächlich so unsinnig sein sollte, warum man ihn dann hier stehen lässt und nicht schon längstens gelöscht hat. (nicht signierter Beitrag von Styria81 (Diskussion | Beiträge) 13:30, 28. Mai 2014 (CEST))

Danke für den Hinweis! Der Baustein mit der Anmerkung „unsinnig“ war längst obsolet. Das wurde hier diskutiert und es hat schlicht niemand daran gedacht, den Baustein zu entfernen.

Ich warne trotzdem vor der Qualität dieses Artikels: Es fehlt die Geschichte der letzten 75 Jahre, die Geschichtsschreibung in dem Artikel bricht bei dem Zeitpunkt ab, zu dem die Mengenlehre anfing, interessante mathematische Ergebnisse zu liefern. Was die Mengenlehre heute alles behandelt, welche Teilgebiete es gibt, wird nicht klar. Und trotz der Grundlagenfokussierung im Geschichtsteil, bleibt auch die heutige Bedeutung für die Grundlagen im Vagen. Das nur am Rande. --Chricho ¹ ² ³ 19:08, 28. Mai 2014 (CEST)

Hallo! Tut mir leid, dass ich mich erst jetzt rückmelde, ich hab gedacht, ich bekomme per Mail eine Nachricht, wenn auf mein "Posting" eine Antwort erfolgt! Meine Frage: Wenn ich ausreichend recherchiere, darf ich den Artikel dann auch ergänzen/verbessern?? Auch wenn ich keine studierte Mathematikerin bin?? Denn wie gesagt, Mathe ist eine riesen Leidenschaft von mir. Und ich könnte mich da durchaus einlesen und meinen Beitrag leisten denk ich... Würde mich total freuen und ehren... (nicht signierter Beitrag von Styria81 (Diskussion | Beiträge) 18:06, 7. Jun. 2014 (CEST))

Ich antworte mal als Nichtmathematiker: Ja, das darfst Du. Genau das ist das Besondere an Wikipedia, daß hier jeder mitschreiben darf, unabhängig von seiner Ausbildung – Hauptsache, Ahnung. Gut informierte Amateure und Enthusiasten sind nicht nur gerne gesehen, sondern stellen in vielen Gebieten wohl sogar die deutliche Mehrheit der Mitschreibenden. (Oft handelt sich auch um Studenten, die ja auch noch keine abgeschlossene fachliche Ausbildung vorweisen können. Oder Leute, die ihre offizielle Ausbildung in einem anderen Bereich haben.) Hochoffizielle Experten sind hier eigentlich eher rar gesät – eher schon zu rar. Bedenke auch: Nicht wenige Wissensgebiete werden ausschließlich von Hobbyforschern und Liebhabern beackert, weil es für sie gar keine offizielle Ausbildung gibt ... --Florian Blaschke (Diskussion) 03:08, 22. Jun. 2014 (CEST)

Danke! Bin jetzt im Mentee-Programm und arbeite gerade an meinem ersten Artikel... --Styria81 (Diskussion) 10:39, 3. Aug. 2014 (CEST)

Einleitung

Da steht zwar, das "Mengenlehre" ungemein wichtig sei - aber nicht, was Mengenlehre ist... Gruss, --Markus (Diskussion) 07:12, 8. Jul. 2014 (CEST)

Ich hab mal den ersten Satz noch etwas ergänzt, aber viel mehr als dass Mengenlehre die Lehre von den Mengen ist :) lässt sich in dieser Allgemeinheit wohl nicht sagen. -- HilberTraum (Diskussion) 14:31, 8. Jul. 2014 (CEST)

Definition des Mengenbegriffs

Warum macht man es nicht so hier?!

Def. 1, Allgemeines zu Definitionen: Wir Bezeichnen eine Definition als "ungültig", wenn sie einen (logischen) Widerspruch enthält oder zu einem solchen führen kann (gegebenenfalls unter irgendeiner Variablenbelegung). Wir legen weiter fest, dass diese ungültigen Definitionen nicht verwendet werden dürfen.

Def. 2, Definition des Mengenbegriffs: Definieren wir zunächst, was eine "Menge" ist: Ist $M$ eine "Menge", so ist zu jedem $x$ das Prädikat $\in$ definiert, so dass entweder $x\in M$ oder dessen Verneinung $x\not \in M$ gilt.

Def. 3, Notation: Sei $P$ ein Prädikat und $M$ eine Menge. Wir schreiben $M=\{x\mid P(x)\}:\iff (x\in M\iff P(x))$

Anm. (Anmerkung) 1: Bekannte Antinomien: Beispiel Russelsche Antinomie: Sie tritt hier nicht auf, da $R:=\{\,x\mid x\notin x\,\}$ zu dem Widerspruch $R\in R\iff R\notin R$ führt und diese Mengendefinition von $R$ gemäß Def. 1 ungültig ist und daher nicht verwendet werden darf. Dem entsprechende Argumentation seien bei den anderen Antinomien anzuwenden. (Problem vermieden!)

Anm. 2, Allgemeine Mengenlehre: In "allgemeiner Mengenlehre", wie ich sie nenne, können die Axiome aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre tatsächlich bewiesen (oder widerlegt) werden. Beispiel Vereinigungsmenge:

Satz 1: Die Vereinigungsmenge $M:=A\cup B:=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}$ zweier Mengen $A$ und $B$ ist auch eine Menge.

Beweis: Für jedes $x$ ist durch $P(x)=x\in A\lor x\in B$ definiert, ob $x\in M$ oder $x\not \in M$. Nach Def. 2 ist die Vereinigungsmenge M daher (auch) eine Menge. q.e.d.

Def. 4, leere Menge: Die leere Menge $\emptyset$ ist diejenige Menge, für die gilt: $\forall x:x\not \in \emptyset$

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.11.204 13:46, 2. Sep. 2014 (CEST)

Ist doch viel einfacher!!!!!

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.11.204 13:51, 2. Sep. 2014 (CEST)

In deinem System ist nicht garantiert, dass überhaupt irgendeine Menge existiert. „Def. 2“ definiert überhaupt nicht, was eine Menge ist, oder dass bestimmte Mengen existieren würden, sondern beschreibt nur das Prädikat $\in$. --Chricho ¹ ² ³ 14:53, 2. Sep. 2014 (CEST)

Hmh, vielleicht sollte ich erklären, was "Existenz" bedeutet: Also mir fällt dazu ein, dass Dinge dann nicht existieren, wenn ihre Definition zu einem logischen Widerspruch führt, z.B. bei der Bertrand-Russel-Antinomie, oder wenn man fragt, gibt es (bzw. existiert) zu dieser Gleichung eine Lösung: $x^{2}=2,x\in \mathbb {N}$ ? Bei Letzterem wird ja die Nichtexistenz normalerweise über einen Widerspruchsbeweis geführt.

Ich habe ja in Def. 1 festgelegt, dass Definitionen, die zu einem Widerspruch führen, nicht verwendet werden dürfen. Dadurch ist z.B. die Russelsche Antinomie entfallen. Hingegen, die leere Menge existiert z.B.. Ihre Definition erzeugt keinen logischen Widerspruch! Genauso verhält es sich mit der Vereinigungsmenge. Da es nicht zu einem logischen Wirderspruch führt, existiert es, bzw. sie (die Vereinigungsmenge). Auf die Art kann man die "Axiome" der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre beweisen (oder widerlegen, aber daran glaubt keiner).

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.11.204 16:06, 2. Sep. 2014 (CEST)

"„Def. 2“ definiert überhaupt nicht, was eine Menge ist", doch! Ok, machen wir mal ein Beispiel:

Es sei $M:=\{x\mid x=5\}$

Durch die Definition (von $M$) ist festgelegt, ob ein $x$ in $M$ ist oder nicht. Da dies keinen Widerspruch erzeugt, ist also zu jedem $x$ das Prädikat $\in$ definiert. Daher gilt nach Def. 2, dass M eine Menge ist (und existiert, da wie gesagt kein Widerspruch erzeugt wurde).

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.11.204 16:19, 2. Sep. 2014 (CEST)

Moment, der letzte Eintrag von mir ist falsch. Also nochmal:

Man definiiert erst, dass $M$ eine Menge ist und dann legt man weiter fest $M:=\{x\mid x=5\}$

Da kein Widerspruch erzeugt wurde, existiert $M$ auch.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.11.204 17:04, 2. Sep. 2014 (CEST)

Und wie stellst du fest, dass kein Widerspruch erzeugt wird? Das ist im Allgemeinen unentscheidbar. Du kannst es also nicht (in endlicher Zeit) feststellen, ob nun ein Schritt (die Einführung einer Menge) gültig ist. Ferner kann es vorkommen, dass du eine Wahl zwischen zwei Mengen treffen musst: Jede der beiden führt alleine zu keinem Widerspruch, sollen sie beide existieren, erhältst du jedoch einen. Nimm dafür einen Satz $\varphi$, der in deinem System weder beweisbar noch widerlegbar ist (den wird es laut Unvollständigkeitssatz geben, wenn du den Satz vom ausgeschlossenen Dritten und Möglichkeiten zur Arithmetik haben willst). Dann führt die Annahme der Existenz einer jeden einzelnen der beiden Mengen $\{x\mid \varphi \}$ und $\{x\mid \neg \varphi \}$ zu keinem Widerspruch (es ist nämlich für jede der beiden nicht beweisbar, ob sie leer ist). Nimmst du jedoch die Existenz beider an, muss es sich bei einer von beiden um die Allklasse handeln, die (wenn du alles so eingerichtet haben willst, dass das Aussonderungsaxiom gilt) als Menge zum bekannten Widerspruch führt. --Chricho ¹ ² ³ 17:30, 2. Sep. 2014 (CEST)

"im Allgemeinen unentscheidbar", aber hier in diesem Fall ist es doch ersichtlich, dass kein Widerspruch existiert, oder?

Für $x=5$ ist $x\in M$, für $x\neq 5$ ist $x\not \in M$. Wo soll da ein Widerspruch sein?

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.11.204 17:49, 2. Sep. 2014 (CEST)

Weiterhin zu "im Allgemeinen unentscheidbar", ja mag sein, aber das ist nicht mein Problem. Ich lege in Def. 1 fest, dass kein Widerspruch drin sein darf. Wenn es dir schwer fällt oder sogear wenn es unmöglich wäre festzustellen, ob ein Widerspruch enthatlen ist, muss ich mich darum eigentlich nicht kümmern. Ich habe meine Definition gemacht, und darauf kann ich mich berufen. Dann muss die Frage eben offen bleiben. Das wäre dann ja in anderen Mengenlehren auch nicht anders. Da kann man halt nichts machen.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.11.204 17:56, 2. Sep. 2014 (CEST)

Wenn du einen Beweis etwa auf Grundlage der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre führst, so kannst du sowohl sichergehen, dass die Aussagen, von denen du ausgehst, tatsächlich Axiome sind, als auch dass jeder einzelne Beweisschritt gültig ist. Es ist nämlich (algorithmisch) entscheidbar, ob eine Aussage ein Axiom von ZF und ob ein Beweisschritt gültig ist. So kann man sich zumindest eines Beweises sicher sein. Das ist bei deinem Vorschlag nicht der Fall, jeder einzelne Schritt geschieht unter Vorbehalt.

Ferner gehen wir mal davon aus, dass es eine Aussage $\varphi$ gibt (ich führe das nochmal etwas besser als oben aus), die in deinem System seine Widerspruchsfreiheit vorausgesetzt weder beweis- noch widerlegbar ist (diese Aussage gibt es laut Unvollständigkeitssatz, falls dein System irgendwie arithmetisch fassbar ist und Arithmetik erlaubt). Dann können nicht sowohl $\{x\mid \varphi \wedge x\notin x\}$ als auch $\{x\mid \neg \varphi \wedge x\notin x\}$ existieren, nach welchem Recht solltest du jedoch von einer der beiden sagen, dass es sie nicht gibt? Würdest du dein System klar formalisieren, könnte ich dir prinzipiell eine solche Aussage $\varphi$ hinschreiben. Jede der beiden würde zu keinem Widerspruch führen, beide müssten also existieren, wenn du das zusammenführst, gelangst du jedoch zu einem Widerspruch in deinem System. Oder auch anders erkennen wir, dass es nicht klappt: Sagen wir, die erste Menge existiert, dann haben wir $\neg \varphi$ bewiesen, was der Nichtbeweisbarkeit von $\neg \varphi$ widerspricht.

Oder du verzichtest auf die arithmetische Fassbarkeit deines Systems, dann sind meine letztes formales Argument hinfällig, bloß ist dann alles unklar, du hast dann kein formales System, du kannst lediglich willkürlich behaupten, dass ein bestimmter Schritt korrekt ist.

Und nein, natürlich ist das nicht ersichtlich, dass dort kein Widerspruch auftritt, da das die Widerspruchsfreiheit des gesamten Systems voraussetzt, gegen die ich oben argumentiert habe. --Chricho ¹ ² ³ 18:41, 2. Sep. 2014 (CEST)

Es ist aber in der Mathematik allgemein üblich, dass man keine Dinge definiert, die zu Widersprüchen führen. Ich hab's nur der Vollständigkeit nochmal hingeschrieben, damit ich mich darauf berufen kann.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.11.204 19:47, 2. Sep. 2014 (CEST)

Ja, kannst du mir denn Definitionen nennen, die du meinem System hinzufügen möchtest, wo unentscheidbar ist ob sie zu Widersprüchen führen? Ansonsten entfällt für mich der Einspruch, würde ich mal sagen.

Weiterhin, bei der Menge $M:=\{x\mid x=5\}$ ist auch die widerspruchsfreiheit gegenüber dem Rest des Systems ersichtlich, würde ich mal behaupten.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.11.204 20:26, 2. Sep. 2014 (CEST)

Mit Begriffen wie „Ersichtlichkeit“ und „würde ich mal behaupten“ machst du keine formale Mathematik auf. Insbesondere die Widerspruchsfreiheit eines Systems ist nichts „ersichtliches“ – im Gegenteil: Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt, dass sie sich in vielen üblichen, wichtigen Fällen nicht innerhalb des Systems nachweisen lässt. Was die in der Mathematik benutzten formalen Systeme wie ZF auszeichnet, ist nicht, dass man wüsste, dass das System widerspruchsfrei ist. Das weiß man nämlich nicht und kann man auch nicht wissen. Der Vorteil dagegen ist, dass man nicht für jede Definition einer neuen Menge solch eine unmögliche Prüfung der Widerspruchsfreiheit vornehmen muss, sondern diese nach festen Regeln vornehmen kann. Fragen nach Widerspruchsfreiheit stellen sich bei der Arbeit nicht, man muss einfach nur die Regeln (mechanisch) befolgen. --Chricho ¹ ² ³ 20:40, 2. Sep. 2014 (CEST)

Nagut, dann sag ich einfach mal: Wenn du dich nicht entscheiden kannst, ob eine Definition widerspruchsfrei ist, dann nutze sie halt nicht. Weiterhint, "Mit Begriffen wie „Ersichtlichkeit“ und „würde ich mal behaupten“ machst du keine formale Mathematik auf.", du willst es also ganz genau haben, heh. Naja, daran arbeite ich noch.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.11.204 20:50, 2. Sep. 2014 (CEST)

Nicht nur ich will es ganz genau haben, das macht die ganze Mathematik aus, dass sie es ganz genau, also formal, haben will. Und das heißt: Vorgehen nach formalen Regeln. Die Sätze in ZF lassen sich rein mechanisch aufzählen, man muss nur genügend Zeit aufbringen.

Dabei wird in der Mathematik einfach ignoriert, dass sich die Widerspruchsfreiheit nicht feststellen lässt. Wird ein Widerspruch irgendwann einmal festgestellt, stellt sich so manches als wertlos heraus. Damit lebt man einfach. Der Unvollständigkeitssatz zeigt, dass man so manches aufgeben müsste, wenn man das nicht akzeptieren wollte.

An einer „ganz genauen“ Form zu arbeiten, ist sicherlich eine gute Idee. Ich würde dir aber empfehlen, dich auch mit Grundlagen der formalen Logik auseinanderzusetzen. --Chricho ¹ ² ³ 21:05, 2. Sep. 2014 (CEST)

Zermelo und Fraenkel haben in der Einführung ihres formalen Systems auch Festlegungen/Definitionen gemacht. Sollen die doch erstmal die Widerspruchsfreiheit ihres Systems zeigen. Das ist normalerweise so ersichtlich, dass die meisten es weglassen. Ein solcher Beweis wäre noch nicht formal, da ja wie gesagt mit diesen Definitionen die Formalität erst eingeführt werden soll. Wie gesagt, ich habe es nur der Vollständigkeit hingeschrieben. Ich arbeite zwar an einem Beweis, aber so ein extrem formaler , wie du ihn forderst, kann es nicht werden. Kompliziert wird es eigentlich erst, wenn man z.B. solche Mengen einführen will wie bei Bertrand-Russel, wo man tatsächlich nachdenken muss, ob so eine Menge existiert oder nicht. Wenn ich nur die Menge $\{5\}$ einführen will, entsteht da kein Problem.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.32.239 08:01, 3. Sep. 2014 (CEST)

„Sollen die doch erstmal die Widerspruchsfreiheit ihres Systems zeigen.“ Nein, werden sie nicht, ein solcher Beweis ist nämlich nachweislich unmöglich. Was dafür möglich ist, ist nachzuvollziehen, dass jeder einzelne Beweisschritt korrekt ist. Das ist bei dir nicht der Fall. Du solltest dir die Unvollständigkeitssätze anschauen. Kennst du sie und zumindest Ansätze ihrer Beweise? --Chricho ¹ ² ³ 10:29, 3. Sep. 2014 (CEST)

Wo ist denn bei mir nicht nachvollziehbar, dass ein Beweisschritt korrekt ist? Ich meine, die Beweise, die ich geegeben habe sind doch korrekt, oder? Und an dem mit der Widerspruchsfreiheit arbeite ich noch. Wo ist dein Problem?

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.32.239 12:04, 3. Sep. 2014 (CEST)

Ok, hier der Beweis, dass mein System zusammen mit der global definierten "M ist eine Menge mit $M:=\{x\mid x=5\}$" (nennen wir es Def. 6 und die Vereinigungsmengendefinition Def. 5) konsistent ist (bis auf Def. 5, das schreib, daran arbeite ich noch):

Def. 1 erzeugt keinen Widerspruch, sondern schließt lediglich Widersprüche aus.

Def. 2 ist die einzige Def., die sich dem Mengenbegriff widmet. Widersprüche können also nur innerhalb dieser Def. zu finden sein. Def. 1 schreibt nur vor, wann etwas als Menge zu gelten hat. Nicht, wann etwas nicht als Menge zu gelten hat. Ergo, entsteht hier kein Widerspruch.

Def. 3 ist die einzige, die sich mit der Mengennotation beschäftigt. Widersprüche können also nur innerhalb der Def. auftreten. $M=\{x\mid P(x)\}\iff (x\in M\iff P(x))$ ist äquivalent zu $((x\in M\iff P(x))\Longrightarrow M=\{x\mid P(x)\})\land (\neg ((x\in M\iff P(x)))\Longrightarrow \neg (M=\{x\mid P(x)\}))$. Da $x\in M\iff P(x)$ und $\neg (x\in M\iff P(x))$ einander ausschließen, entsteht kein Widerspruch.

Def. 4 ist die einzige Def., die sich um die leere Menge $\emptyset$ kümmert. Widersprüche können also nur innerhalb der Def. auftreten. Da nur gesagt wird, dass gewisse x nicht enthalten sind und nicht, dass gewisse x enthalten sind, entsteht kein Widerspruch.

Def. 5 ist die einzige, die den Vereinigungsmengenoperator definiert. Widersprüche könenn also nur innerhalb der Def. auftreten. <den Rest zu Def. 5 schreibe ich in einem späteren Eintrag>

Def. 6 ist die einzige, die das global definierte $M$ definiert. Widersprüche können also nur innerhalb der Def. auftreten. $M=\{x\mid x=5\}$ ist äquivalent zu $x\in M\iff x=5$, was wiederum äquivalent ist zu $((x=5)\Longrightarrow (x\in M))\land ((x\neq 5)\Longrightarrow (x\not \in M))$. Da $x=5$ und $x\neq 5$ einander ausschließen, entsteht kein Widerspruch.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.32.239 14:03, 3. Sep. 2014 (CEST)

Ich glaube zudem, du verwechselst da etwas. Es mag zwar sein, dass ZFC schön formal ist. Aber (auch) hier gibt es Aussagen, wo nicht klar ist, ob sie nun wahr sind oder falsch, z.B. die Kontinuumshypothese (CH). Es macht also keinen Unterschied. Du kannst auch in ZFC nicht einfach Aussagen hinzufügen (d.h. als wahr deklarieren), wenn sie einen Widerspruch erzeugen. Und da bei CH nicht klar ist, ob dies der Fall ist, stehst du hier vor dem gleichen Problem. Also so seh ich das.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.32.239 14:16, 3. Sep. 2014 (CEST)

Entschuldigung, aber deine Argumentation ist nicht im Entferntesten ein mathematischer Beweis (wieso lassen sich keine Widersprüche ableiten? Ableitungsregeln oder dergleichen kommen ja nicht einmal vor).

Natürlich gibt es in ZFC solche Aussagen, bloß wenn man einen Beweis einer Aussage hingeschrieben hat, kann man sich sicher sein, dass diese Aussage nicht zu jenen dazu gehört. Das ist bei dir nicht der Fall. --Chricho ¹ ² ³ 17:20, 3. Sep. 2014 (CEST)

"Natürlich gibt es in ZFC solche Aussagen, bloß wenn man einen Beweis einer Aussage hingeschrieben hat, kann man sich sicher sein, dass diese Aussage nicht zu jenen dazu gehört. Das ist bei dir nicht der Fall.", doch natürlich. Wenn man etwas bewiesen hat, hat man es bewiesen. Dass man dabei keine Defintionen verwendet, die Widersprüche erzeugen, sollte ohnehin klar sein.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.32.239 17:53, 3. Sep. 2014 (CEST)

Zum Thema Ableitungsregeln sage ich, ich möchte mich da nicht einschränken und lasse es deshalb offen. Dazu, dass keine Widersprüche ableitbar sind, überleg ich mir noch etwas.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.32.239 17:59, 3. Sep. 2014 (CEST)

Es scheint mir, ich kan im Moment nicht weiterdiskutieren. Sorry! Vielleicht ein ander mal.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.37.239 15:44, 4. Sep. 2014 (CEST)

Gut. Dich mit den Unvollständigkeitssätzen auseinanderzusetzen wurde dir übrigens schon vor Monaten in der englischen Wikipedia empfohlen. --Chricho ¹ ² ³ 16:44, 4. Sep. 2014 (CEST)

Hallo?! Bist du noch da?! Würde die Diskussion gerne fortsetzen.

Nehmen wir als Beispiel die leere Menge! Ich will es mal so ausdrücken (ich sage was zu Ableitungsregeln und gehe noch weiter ins Detail): Mit keiner Ableitungsregel der Welt kannst du aus den Def. 1-3;5;6 eine Aussage der Form $y\in \emptyset$ oder $y\not \in \emptyset$ ableiten, da so etwas definiert werden muss und das geschieht eben nur in Def. 4. Die anderen Definitionen definieren keine Aussagen über die leere Menge. Ob ein y in $\emptyset$ ist oder nicht, wird nur in Def. 4 festgelegt. Und wenn es nicht festgelegt wird, dann kann es auch nicht abgeleitet werden (sonst stimmt was mit den Ableitungsregeln nicht), da es ja den Status nicht definiert, also unbestimmt, trägt, und wenn etwas unbestimmt ist, kannst du ja nicht etwas ableiten, was es bestimmen würde, das kann nur eine Definition so festlegen. Weiterhin, all die Aussagen aus Def. 4 haben die Form $y\not \in \emptyset$. Es wird keine Aussage der Form $y\in \emptyset$ definiert. Somit kann kein Widerspruch entstehen. Leuchtet es jetzt ein?

"Natürlich gibt es in ZFC solche Aussagen, bloß wenn man einen Beweis einer Aussage hingeschrieben hat, kann man sich sicher sein, dass diese Aussage nicht zu jenen dazu gehört. Das ist bei dir nicht der Fall.", hmhhh, weiß jetzt nicht ganz, was du meinst. Mein System mag (noch) nicht vollständig formalisiert sein, aber in ZF hast du eben diese ganzen Axiome und die will ich (als Sätze aus einem höheren Prinzip) beweisen oder bewiesen sehen. Wenn aus ZF die Axiome erst einmal bewiesen sind, kann man ja auch in meinem System diese mechanischen Regeln anwenden, für die ganzen anderen Beweise. Ich wollte ja jetzt nicht sagen, dass man komplett auf Formalisierung verzichten muss.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.4.79 05:43, 15. Sep. 2014 (CEST)

Hmhhh, zu meiner letzten Argumentation bzgl. der leeren Menge: Das ist es wahrscheinlich auch noch nicht ganz, aber es wäre schon gut, wenn bzgl. der ZF-Axiome auf diesem Level argumentiert würde und nicht gar nicht argumentiert wird, wie es jetzt der Fall ist, wo diese ganzen Sätze einfach als Axiome eingeführt wurden.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.4.79 16:06, 15. Sep. 2014 (CEST)

Mal eine einfache Frage: Wie beweist du bei deinem System, dass überhaupt irgendeine Menge existiert? Du machst Definitionen, aber wo ist ein Axiom, das aussagt, dass irgendeine Menge existiert? --Chricho ¹ ² ³ 16:10, 15. Sep. 2014 (CEST)

Also, zunächst einmal geht es nicht um Existenz an sich, sondern um die Existenz einer Entität $\emptyset$, die eine bestimmte Bedingung/bestimmte Bedingungen, nämlich $\forall x:x\not \in \emptyset$ erfüllt. Und das kann man eben nicht als Axiom einführen, sondern muss es beweisen, so gut es geht zumindest!

Wie ich beweise, dass eine Menge existiert (die bestimmte Bedingungen erfüllt)? Nun, zunächst führe ich einen Bezeichner ein, z.B. $\emptyset$ im Falle der leeren Menge, und definiere, dass diese Bedingungen für diese Menge gelten sollen. Ob ein Element in einer neu eingeführten Menge, z.B. $\emptyset$, liegt, kann ich ja festlegen, wie ich will. Es darf halt nur kein Widerspruch entstehen. Nun muss ich also noch die Widerspruchsfreiheit der gemachten Definition beweisen. Nun habe ich also eine Entität vorliegen, im Beispiel $\emptyset$, die diese Bedingungen erfüllt, die erfüllt werden sollen. Daraus folgt die Existenz einer solchen Entität. Damit ist diese Existenz bewiesen. Ja, so geht das. Oder wie sollte man es sonst machen?

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.4.79 21:48, 15. Sep. 2014 (CEST)

Wir bewegen uns hier schon noch in der Prädikatenlogik, ja? Wenn es keine Axiome bei dir gibt, wo irgendwie vorne ein „es existiert“ steht, dann ist auch sicherlich nicht beweisbar, dass etwa die leere Menge existiert. --Chricho ¹ ² ³ 21:56, 15. Sep. 2014 (CEST)

Hmh, vielleicht kann man es ja so axiomatisieren: Für jedes Prädikat P und Entität z gilt: $P(z)\Longrightarrow \exists x:P(x)$. Für y kann man ja dann P(y) definieren und die Widerspruchsfreiheit der Definition beweisen. Dann weiß man, dass P(y) gilt und mithilfe des gemachten Axioms kann man dann $\exists x:P(x)$ ableiten.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.4.79 22:12, 15. Sep. 2014 (CEST)

Vielleicht sollte ich noch folgendes Axiom aufstellen: Man kann alles definieren, was keinen Widerspruch erzeugt und (bisher) nicht bestimmt ist. Damit wird dann z.B. klar, dass man für $\emptyset$ folgendes definieren kann: $\forall x:x\not \in \emptyset$. Man kann also ganz viele Mengen definieren bzw. es existieren ganz viele Mengen.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.4.79 23:15, 15. Sep. 2014 (CEST)

$P(z)\Longrightarrow \exists x:P(x)$ ist eine Tautologie (wenn P für z gilt, dann gilt es für irgendetwas), nutzt also gar nichts. --Chricho ¹ ² ³ 06:36, 16. Sep. 2014 (CEST)

Das Axiom gilt nicht für irgendein z, sondern z ist allquantisiert. Nochmal das Axiom: $\forall$ Prädikat P: $\forall z:(P(z)\Longrightarrow \exists x:P(x))$

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.38.106 07:21, 16. Sep. 2014 (CEST)

Naja, glaub ruhig, dass es eine Tautologie ist, Hauptsache du akzeptierst, dass es stimmt. Hier nochmal der Beweis:

(§1) Def. 0.1: Man kann alles definieren, was keinen Widerspruch erzeugt und (bisher) nicht bestimmt ist.

(§2) Def. 1.1: $\forall$ Prädikat P: $\forall z:(P(z)\Longrightarrow \exists x:P(x))$

(§3) Def. des Prädikats P (lokal (zu diesem Beitrag)): $\forall M:P(M)\Longleftrightarrow \forall y:y\not \in M$

(§4) Def. 4 (Neuauflage, d.h. v2), leere Menge $\emptyset$: $P(\emptyset )$

(§5) Beweis Widerspruchsfreiheit von Def. 4v2:

(§5.1) Def. 4v2 erzeugt nur Aussagen der Form $y\not \in M$ (und keine der Form $y\in M$). Somit kann kein Widerspruch entstehen. (q.e.d.)

(§6) Def. 4v2 kann gemacht werden wegen erstens des Beweises ihrer Widerspruchsfreiheit und zweitens wegen Def. 0.1.

(§7) Es gilt also $P(\emptyset )$

(§8) Mit Def. 1.1 erhalten wir $\exists M:P(M))$, was äquivalent ist zu $\exists M:\forall x:x\not \in M$. (q.e.d.)

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.38.106 19:02, 16. Sep. 2014 (CEST)

Wenn das Axiom allquantifiziert ist, kann daraus keine Existenzaussage folgen (denn mit einem leeren Modell, in dem es also keine Mengen gibt, sind solche Axiome trivialerweise erfüllt).

§4 ist der erste für mich nicht nachvollziehbare: Du musst doch erstmal die Existenzaussage $\exists xP(x)$ sowie die Eindeutigkeitsaussage $\forall x\forall y(P(x)\wedge P(y))\Longrightarrow x=y$ zeigen, bevor du sagen kannst, dass P ein Objekt, dem du den Namen $\emptyset$ gibst, definiert. Du zeigst die Existenz aber erst in §8, also ein Zirkelschluss, und die Eindeutigkeit gar nicht. --Chricho ¹ ² ³ 19:10, 16. Sep. 2014 (CEST)

"Wenn das Axiom allquantifiziert ist, kann daraus keine Existenzaussage folgen", ich gebe mal ein Beispiel zu Def. 1.1:

Nehmen wir an, es gibt drei Äpfel. A1 ist rot, A2 und A3 sind gelb und A3 ist grün. Dann haben wir drei Prädikate: istrot, istgelb und istgruen.

(§1) Aus Def. 1.1 folgt: $\forall$ Prädikat P $\in$ { istrot, istgelb, istgruen}: $\forall$ Äpfel B: $(P(B)\Longrightarrow \exists$ Apfel C: $P(C))$

Jetzt wird gefragt: Gibt es einen Apfel, der grün ist? Dann kann man dies folgendermaßen beantworten:

Aus §1 folgt (P = istgruen und B = A3 einsetzen): istgruen $(A3)\Longrightarrow \exists$ Apfel C: istgruen $(C)$

Da istgruen $(A3)$ wahr ist, folgt durch Modus ponens $\exists$ Apfel C: istgruen $(C)$

Man kann also durchaus Existenzaussagen ableiten.

Machen wir weiter: "... bevor du sagen kannst, dass P ein Objekt, dem du den Namen \emptyset gibst, definiert.", tja was meinst du mit "ein Objekt definiert". Wahrscheinlich, dass Existenz und Eindeutigkeit gegeben sind. Aber das behaupte ich nicht. Ich führe nur einen Bezeichner ein (zur besseren Handhabung). Das soll weder heißen, dass das Objekt existiert, noch, dass es eindeutig wäre. Die Existenz zeige ich dann durch den Widerspruchsfreiheitsbeweis. Und die Eindeutigkeit folgt direkt aus dem Extensionalitätsaxiom, das es übrigens, genauso, wie das Fundierungsaxiom, auch bei mir gibt, wobei man das Fundierungsaxiom womöglich auch weglassen kann. Die anderen 8 Axiome von ZFC müssen wahrscheinlich bewiesen werden.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.38.106 21:19, 16. Sep. 2014 (CEST)

Das Extensionalitätsaxiom sehe ich in deiner obigen Auflistung nicht, aber bitte sehr, geschenkt, führen wir es ein.

Zu deinem Apfelbeispiel: „Nehmen wir an, es gibt drei Äpfel. A1 ist rot, A2 und A3 sind gelb und A3 ist grün.“ Was machst du da? Führst du drei Existenzaussagen als Axiome ein? Dann ist es klar, dass sich Existenzaussagen daraus schließen lassen (sie stehen schon da). Oder wir verstehen das als Annahmen im Sinne des natürlichen Schließens? Dann heißt das ganze, dass deine Annahmen offen geblieben sind. Du brauchst die Regel ∃B und damit eine bewiesene Existenzaussage, um die Annahme zu eliminieren. Natürliches Schließen funktioniert ungefähr so, wie du das hier darstellst mit dem Einführen von Schreibweisen. --Chricho ¹ ² ³ 21:49, 16. Sep. 2014 (CEST)

Naja, ich habe ja schonmal erklärt, man muss unterscheiden zwieschen Existenz an sich und dem Existenzquantor. Bei den drei Äpfeln ist Existenz an sich gemeint. Daraus kann man aber auf keine Aussage mit einem Existenzquantor schließen. Wenn ich nur die Äpfel A1, A2 und A3 eingeführt hätte, würde die Existenzaussage $\exists$ Apfel C: istgruen $(C)$ z.B. nicht gelten, obwohl ganze drei Äpfel "existieren" (in meinem erdachten Universum).

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.2.162 07:06, 17. Sep. 2014 (CEST)

Ein Begriff der „Existenz an sich“ ist mir in der formalen Logik gänzlich unbekannt. --Chricho ¹ ² ³ 14:00, 17. Sep. 2014 (CEST)

Hmhhh! Dann kennst du ihn eben jetzt! Du kannst doch zu einem Apfel sagen, dass er existiert, also in Prädikatenlogik: existiert(A1) $\land$ existiert(A2) $\land$ existiert(A3) $\land$ existiert(A4). Genauso wie Menschen, Ameisen, Autos und Planeten existieren, in unserem (realen) Universum. Fliegende Schweine hingegen existieren nicht. Wobei man in einem erdachten Universum so etwas einführen könnte.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.2.162 15:40, 17. Sep. 2014 (CEST)

Nein, so etwas kann man in der Prädikatenlogik nicht sagen. Man kann nur Formeln hinschreiben und aus denen andere Formeln ableiten. „Das Universum“ bleibt außen vor, weder wird der Apfel irgendwie angesprochen, noch beeinflusst er irgendwie die Beweisbarkeit von Formeln. --Chricho ¹ ² ³ 15:53, 17. Sep. 2014 (CEST)

"Nein, so etwas kann man in der Prädikatenlogik nicht sagen.", doch natürlich!! "Man kann nur Formeln hinschreiben ...", genau das habe ich ja getan, "existiert(A1) $\land$ existiert(A2) $\land$ existiert(A3) $\land$ existiert(A4)" ist eine Formel der Prädikatenlogik mit Prädikat "existiert" und Objekten A1, A2, A3 und A4. Oder etwa nicht?!

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.2.162 16:23, 17. Sep. 2014 (CEST)

"„Das Universum“ bleibt außen vor", die Mathematik hat durchaus Anwendung in der realen Welt. Sonst wäre sie ja sinnlos! Was erzählst du da?!!

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.2.162 18:14, 17. Sep. 2014 (CEST)

Diese Anwendungen sind für das Verständnis der Grundlagen der Mathematik und für die Mengenlehre herzlich irrelevant. Solche Anwendungen geschehen außerhalb der Mathematik. --Chricho ¹ ² ³ 13:56, 18. Sep. 2014 (CEST)

Wie drückt man denn prädikatenlogisch aus, „ein Apfel existiert an sich“? --Chricho ¹ ² ³ 14:04, 18. Sep. 2014 (CEST)

Eigentlich wollte ich dir ein Anwendungsbeispiel geben, damit du leichter verstehst, was ich dir versuche zu verstehen zu geben.

Wie man prädikatenlogisch ausdrückt, dass ein Apfel, z.B. A1, (an sich) existiert, habe ich schon beschrieben, hier nochmal: existiert(A1). Dabei ist "existiert" ein einstelliges Prädikat. Ist eine Eigenkreation von mir. Aber wie will man es sonst machen. Es wird nunmal im (linguistischen) Sprachgebrauch so verwendet. Ich kenne einfach noch keine Handhabung von irgendjemand anderem, der das irgendwie ausgedrückt hat (in Prädikatenlogik). Deshalb habe ich selbst was erdacht.

Man kann diesen Umstand allerdings auch weglassen und statt "Es gibt 4 Äpfel: A1, A2, A3 und A4." einfach nur schreiben "A1, A2, A3 und A4 seien Äpfel.", also Ist_Apfel(A1) $\land$ Ist_Apfel(A2) $\land$ Ist_Apfel(A3) $\land$ Ist_Apfel(A4). Dann haben wir das Problem nicht.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.2.165 18:17, 18. Sep. 2014 (CEST)

Vielleicht sollte ich auch ein anderes Beispiel geben: $\forall x:(x>0\Longrightarrow \exists y:y>0)$. Wenn man nun z.B. x = 1 einsetzt, erhält man: $1>0\Longrightarrow \exists y:y>0$, was ja stimmt, denn für y = 1 gilt y > 0. Oder allgemein gesagt: Für alle x gilt: Wenn x > 0 ist, und man setzt für y x ein, also y = x, so erhält man wegen x > 0 auch y > 0. Damit gilt $\exists y:y>0$. (q.e.d.)

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.2.165 18:27, 18. Sep. 2014 (CEST)

Was meinst du damit, dass $\exists y:y>0$ gilt (oder dass „für y = 1“ „y > 0“ gilt)? Erst einmal musst du irgendwelche Axiome benennen, aus denen du dann diese Aussage ableiten kannst. Welche sind das? Mit den Peano-Axiomen ginge das zum Beispiel, aber die sehe ich bei dir nicht, ich sehe nur irgendeine ominöse Überprüfung von „Geltung“. --Chricho ¹ ² ³ 21:30, 18. Sep. 2014 (CEST)

Oh man!! Du stellst dich aber echt dumm! Hast du eigentlich die zweite (Schul-)Klasse nicht bestanden, dass du mit so einem simplen Beispiel nichts anfangen kannst, oder was?! Naja, es sollte ja ohnehin nur ein Beispiel sein. Ich drück's mal so aus: Wenn $\emptyset$ ein bestimmtes Prädikat P erfüllt, dann gibt es eine Menge (nämlich genau $\emptyset$), die dieses Prädikat erfüllt. Was ist daran so schwer zu verstehen?!

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.2.165 23:15, 18. Sep. 2014 (CEST)

off topic: Das ist hier so ein Fall, wo ich mir das Software-Feature wünschen würde, die Diskussionsseite unabhängig von der Artikelseite aus der Beobachtungsliste nehmen zu können … Ihr könntet aber auch eine Seite Diskussion:Mengenlehre/Mengenleere anlegen und da euer Pläuschchen halten. ;) -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 18:48, 18. Sep. 2014 (CEST)

Diese Seite existiert nicht an sich. Ihr könntet sie aber anlegen (indem ihr die Warnung ignoriert) und so axiomatisch fordern, dass sie existiert. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 21:57, 18. Sep. 2014 (CEST)

Die Frage ist nur: Was ist, wenn sich ein Widerspruch ergäbe, z. B. durch einen Admin, der die Seite wieder löscht? Würde sie dennoch existieren? -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 23:43, 18. Sep. 2014 (CEST)

Na bestimmt nicht, nachdem der Admin sie gelöscht hat. Aber egal, wir (Chricho ¹ ² ³ und ich) sind glaube ich so wie so am Ende unserer Diskussion angekommen. Wenn nicht, werden wir auf der von dir vorgeschlagenen Seite weiterdiskutieren. Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.9.127 06:59, 19. Sep. 2014 (CEST)

Sag du mal, ist Def. 1.1 wirklich so schwer zu verstehen? Der Chricho ¹ ² ³ stellt sich da irgendwie so dumm an. Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.9.127 07:01, 19. Sep. 2014 (CEST)

Keine Ahnung, ich lese schon lange nicht mehr mit. Aber mit der Seite liegst du schon mal falsch: Wenn die Seite gelöscht ist, ist sie nur für Nichtadmins nicht mehr einsehbar. Sie könnte aber z. B. jederzeit wiederhergestellt werden. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 08:36, 19. Sep. 2014 (CEST)

Nun, dann ist sie aber nicht richtig gelöscht, wenn sie wiederhergestellt werden kann. Zu Def. 1.1: Du solltest dir ja auch nur eine Zeile durchlesen und nicht die halbe Diskussion. Eigentlich sollte man diese eine Zeile nämlich schon ohne Weiteres verstehen. Naja, wie dem auch sei. Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.0.139 17:11, 21. Sep. 2014 (CEST)

Diese Diskussion ist jetzt aus dem Ruder gelaufen. Es ist klar, dass der Ansatz von Thomas Limberg fehlerhaft ist (hier fehlt es offenbar an mathematischem Grundverständnis). Der Benutzer Chricho hat mit viel Geduld und Ruhe versucht, ihm das auseinanderzusetzen. Der Vorwurf, Chricho stelle sich dumm an, ist ein persönlicher Angriff. Ich schlage vor, dass sich Thomas für ersteres bedankt, für letzteres entschuldigt und dann diese Diskussion beendet.--FerdiBf (Diskussion) 08:44, 20. Sep. 2014 (CEST)

Ich habe es schonmal gesagt: In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre werden einfach so irgendwelche Axiome aufgestellt. Axiome sollten eigentlich Aussagen sein, die unmittelbar einsichtig und nicht weiter begründbar sind. Sie sind aber begründbar, zumindest ein bisschen. Und damit, dies zu tun, habe ich hier begonnen. Wenn ihr das nicht zu schätzen wisst, dann kann ich es halt nicht ändern. Ein schlechter Beweis ist eben immer noch besser als gar keiner. Kapiert das endlich!

Zu dem Vorwurf, ich hätte Chricho ¹ ² ³ persönlich angegriffen: Sag du mir doch mal, ob Def. 1.1 in deinen Augen stimmt oder nicht. Du mussst dir dazu ja nur eine Zeile durchlesen. Das kann ja nicht so schwer zu begreifen sein. Tatsächlich bin ich derjenige, der mit viel Geduld und Ruhe versucht hat, Chricho ¹ ² ³ das zu erklären.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.11.127 11:09, 20. Sep. 2014 (CEST)

Jetzt aber bitte EOD. Definitionen(!) können weder "stimmen" noch Widersprüche erzeugen. Die Nicht-Existenz von Einhörnern := "pferdeähnliches Tier mit einem Horn auf der Stirn" bedeutet nicht, dass die Definition Einhorn := "kuhartiges Tier mit zwei Hörnern" besser wäre. Worauf du (zumindest anfangs) hinaus willst, ist einfach, dass die heutige axiomatische (beispielsweise ZFC der NBG) Mengenlehre historisch aus der naiven Mengenlehre hervorgegangen ist als deren Präzisierung (so wie die naive Mengenlehre auch "nur" eine konsequentere Analyse eines zuvor bereits implizit verwendeten Mengenbegriffs war). Dies steht so bereits im Artikel. Eine Verbesserung des Artikels aus dieser Diskussion ist also nicht zu erwarten. Daher kann und soll dem hier jetzt ein Ende gesetzt werden. --Hagman (Diskussion) 12:23, 20. Sep. 2014 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Hagman (Diskussion) 12:23, 20. Sep. 2014 (CEST)

Genau genommen können Definitionen sehr wohl stimmen! Lies dir mal den Wikipedia-Artikel zu Definitionen durch! Dort steht, dass es sowohl festlegende als auch feststellende Definitionen gibt. Als feststellende Definitionen würde die Definition Einhörner := "pferdeähnliches Tier mit einem Horn auf der Stirn" stimmen, die Definition Einhorn := "kuhartiges Tier mit zwei Hörnern" hingegen nicht. Als festlegende Definitionen, wie es in der Mathematik gerne gemacht wird, wäre das Prädikat stimmen oder nicht in der Tat auf beide Definitionen nicht anwendbar. Jedoch haben festlegende Definitionen den Nachteil, dass einem Begriff eine (teils) neue Bedeutung beigemessen wird, was z.B. bei deiner zweiten Einhorn-Definition der Fall ist. Da es sich bei ZFC um festlegende Definitionen handelt, könnte dies auch dort der Fall sein. Wenn aber ZFC die Grundlage der Mathematik sein soll, muss man halt schauen, ob die Definitionen in ZFC als feststellende Definitionen stimmen. Ich habe ja schon gesagt, dass sie das tun, aber in der Mathematik soll man ja alles so genau wie möglich begründen. Und das hat man eben bisher nicht gemacht. Deswegen wollte ich es nachholen.

Dann weiter zu deiner Behauptung, Definitionen könnten keine Widersprüche erzeugen: Also das ist einfach nur Schwachsinn!! Wenn man z.B. für eine Menge M die beiden Aussagen $5\in M$ und $5\not \in M$ definiert, dann ist das ein Widerspruch! Ein anderes Beispiel ist die Russelsche Antinomie.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.11.127 14:26, 20. Sep. 2014 (CEST)

Ja, obwohl es mir durchaus auch ein wichtiges Anliegen ist, sich mit Definitionen, z.B. den (vermutlich 2) verschiedenen Arten zu beschäftigen, können wir das erstmal beiseite schieben. Und, dass Definitionen keine Widersprüche erzeugen können, ist von dir (Hagman) vielleicht anders gemeint als ich es verstanden habe. Natürlich sollen Definitionen keine Widersprüche erzeugen. Aber gerade das habe ich ja hingeschrieben (Def. 1), um das auszuschließen. Naja, machen wir mal weiter! Zu Def. 1.1: Also ob das jetzt ein Satz oder eine Definition ist, darüber möchte ich mich jetzt nicht streiten. Es ist einer der Gründe, warum ich finde, sich intensiver mit Definitionen auseinander zu setzen, ist sinnvoll. Ich finde, es ist nicht immer so einfach zu entscheiden, was man in eine Definition packen sollte und was man aus den Definitionen ableiten möchte. Aber dazu wahrscheinlich später noch was. Also Def. 1.1 soll z.B. Folgendes zum Ausdruck bringen: Wenn gilt $5\in M$, dann gibt es eine natürliche Zahl $x\in M$, nämlich 5. Wollt ihr mir ernsthaft weismachen, dass das falsch ist?!!! Bevor wir weiterdiskutieren, möchte ich das doch geklärt haben. Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.3.169 18:31, 10. Dez. 2014 (CET)

Hagman schrieb: "Die Nicht-Existenz von Einhörnern := "pferdeähnliches Tier mit einem Horn auf der Stirn" bedeutet nicht, dass die Definition Einhorn := "kuhartiges Tier mit zwei Hörnern" besser wäre.". Wo soll ich denn das behauptet haben? Des Weiteren ist die axiomatische Mengenlehre nicht aus der naiven Mengenlehre hervorgegangen. Was soll denn der Unsinn?! Als naive Mengenlehre bezeichnet man Mengenlehren, die sich als fehlerhaft herausgestellt haben und deshalb verworfen wurden. D.h. man hat sie gerade nicht zu irgendetwas weiterentwickelt! So etwas steht weder im Artikel noch habe ich so etwas behauptet. Du scheinst dich überhaupt nicht mit dem auseinander zu setzen, was hier geschrieben steht. Kaum zu glauben, dass du in der Wikipedia Artikel schreibst.

Ihr scheint überhaupt kein Interesse zu haben, euch mit meinen Ideen auseinanderzusetzen. Das hättet ihr mir aber auch sagen können. Dann hätte ich mir die Mühe sparen können. Naja. Dann beende ich halt an dieser Stelle die Diskussion.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.61.77 19:58, 11. Dez. 2014 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: „Das hättet ihr mir aber auch sagen können.“ LOL :) -- HilberTraum (d, m) 20:59, 11. Dez. 2014 (CET)

Also, nochmal zu dem Vorwurf, ich hätte Chricho persönlich angegriffen: Seh' ich nich' so. Aber es kann natürlich sein, dass, wenn man sehr viel mit den Grundlagen der Mathematik zu tun hat (sich also z.B. fragt: Was ist eine natürliche Zahl, was sind Kardinal- und Ordinalzahlen, was ist eine Ordnung (im mathematischen Sinn)), wie es bei Chricho womöglich der Fall ist, dass man dann solche Fragen stellt wie "Was meinst du damit, dass $\exists y:y>0$ gilt (oder dass „für y = 1“ „y > 0“ gilt)?". Aber für einen wie mich, der einfach nur ein ganz simples Beispiel geben möchte, für den kommt das halt sehr dumm rüber, da bereits ein 1.-Klässler weiß, dass 1 > 0 ist. Also das ist halt so gemeint, wie man es in der Schule gelernt hat. In der 7. Klasse lernt man dann den Umgang mit Variablen. Aus y = 1 und 1 > 0 folgt dann eben y > 0. Oder etwa nicht?! Weiterhin: Was ich mit $\exists y:y>0$ meine? Also ich hätte jetzt nicht gedacht, dass es da Probleme gibt. In ZFC werden doch auch Variablen existenz-quantisiert, ohne dass eine Grundmenge angegeben wird. Aber ich kann es natürlich machen. Dann ist eben y eine reelle Zahl: $\exists y\in \mathbb {R} :y>0$ .

$1>0\Longrightarrow \exists y\in \mathbb {R} :y>0$

Vorherige Zeile wäre jetzt der Fall x = 1. Andere Fälle (für x) wären:

$2>0\Longrightarrow \exists y\in \mathbb {R} :y>0$

$45>0\Longrightarrow \exists y\in \mathbb {R} :y>0$

$7.125>0\Longrightarrow \exists y\in \mathbb {R} :y>0$

Zusammengefasst:

$\forall x\in \mathbb {R} :(x>0\Longrightarrow \exists y\in \mathbb {R} :y>0)$

So! Jetzt verstanden?!

Wie, zum Himmel, fügt man Leerzeichen ein! Der löscht mir die einfach weg und in der Hilfe find ich auch nichts dazu.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.61.254 19:03, 19. Jan. 2015 (CET)

Ok, also ich muss es anders formulieren: Ich habe Chricho persönlich angegriffen, aber man kann es mir nicht anlasten, aus genannten Gründen. Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.61.254 22:18, 19. Jan. 2015 (CET)

In Tex machst du Leerzeichen zum Beispiel mit „\,“. --Chricho ¹ ² ³ 14:01, 20. Jan. 2015 (CET)

Ja, in Tex kann man das, aber im normalen Text scheinbar nicht. Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.15.167 02:41, 23. Jan. 2015 (CET)

Warum werde ich hier geblockt? Der YohanN7 hat mich beleidigt (hat er selbst zugegeben) und ich habe mich gewehrt. Ihr müsst ihn blockieren und nicht mich! Oder seid ihr etwa ernsthaft der Meinung, ich sei ein Spinner?! Und, wenn ja, warum? Weil ich bestimmte Aussagen (in ZFC Axiome, bei mir Behauptungen) beweisen will? Also ich glaube nicht, dass mit Nichtbeweisbarkeit von Konsistenz von ZFC ein Widerspruch zu meinem Vorhaben besteht. Dieses Unvollständigkeitstheorem bezieht sich bestimmt auf mehr als nur die Axiome von ZFC. Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.15.167 02:41, 23. Jan. 2015 (CET)

? Wer wurde hier geblockt und wer ist YohanN7? --Chricho ¹ ² ³ 09:57, 23. Jan. 2015 (CET)

Na ich habe einen richtigen Account, Thomas Limberg (Schmogrow), der wegen "Deinem Benutzernamen oder deiner IP-Adresse wurden von -jkb- mit der Begründung „Störaccount“ die Schreibrechte entzogen." geblockt wird. Ich hatte mir auf "http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Naive_set_theory" eine lange Diskussion mit YohanN7 geliefert, der mich 3- oder 4-mal unberechtigterweise als Spinner (Crackpot) bezeichnet hat. Dann hab' ich noch irgend'nen Witz gemacht, der vielleicht nicht als solcher verstanden wurde und, schwubs, wurde ich bis in alle Ewigkeit geblockt. Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.31.160 12:57, 23. Jan. 2015 (CET)

Diese Diskussion ist aus dem Ruder gelaufen, wie ich bereits im September letzten Jahres bemerkt hatte. Eine ähnlich verlaufene, fruchtlose Diskussion hatten wir ja bereits in der englischen Wikipedia und das müssen wir hier nicht wiederholen. Vergleichsweise leicht zugänglich ist der zweite Gödelsche Unvollständigkeitssatz im Lehrbuch "Einführung in die mathematsche Logik" von Ebbinghaus, Flum, Thomas, siehe dort Kapitel X, §7 (Selbstbezügliche Aussagen, Gödelsche Unvollständigkitssätze), ich will aber einräumen, dass es sich um kein einfaches Resultat handelt, zu Gödels Zeiten hatten auch viele Mathematiker ihre Schwierigkeiten damit. Eine Einarbeitung erfordert mehr als einen ruhigen Nachmittag, aber wer Interesse am Problem der Widerspruchsfreiheit der Mathematik hat, kann hier tiefe Einsichten gewinnen. Daher sollten wir die Diskussion auf dieser Basis weiterführen, wenn überhaupt, denn dadurch erübrigt sie sich eigentlich.--FerdiBf (Diskussion) 10:31, 24. Jan. 2015 (CET)

Ist ja nett, dass du mir diese Hintergrundinfos gibst, aber, wie gesagt, mit dieser Materie kenne ich mich bisher nicht aus und, ehrlich gesagt, habe ich auch keine Lust, mich darin einzuarbeiten, da ich vermute, dass dies gar nicht erforderlich ist. Erstmal möchte ich klären, worauf sich Gödels Theorem bezieht, wie ich bereits gesagt habe. Eine kurze Antwort (Ja/Nein) hätte mir gereicht, also hier nochmal die Frage: Bezieht sich Gödels Unvollständigkeitstheorem (in der Anwendung auf ZFC) nur auf die Axiome von ZFC oder auch auf abgeleitete Aussagen. Ich habe nur gelesen, dass die Konsistenz von ZFC nicht bewiesen werden kann. ZFC ist eine Theorie (Mengentheorie/Mengenlehre). Diese beinhaltet vermutlich mehr als nur die Axiome von ZFC (nämlich auch abgeleitete Aussagen (damit meine ich Aussagen, die die Axiome benutzen); bitte korrigiere mich, wenn ich falsch liege; das ist ja meine Frage, die ich habe). Ich bin also davon ausgegangen, dass Gödels Unvollständigkeitstheorem (in der Anwendung auf ZFC) sich auf die gesamte Theorie bezieht und nicht nur auf die Axiome. Dass also nur die Konsistenz der gesamten Theorie nicht bewiesen werden kann. Das lässt für mich die Möglichkeit offen, dass die Konsistenz der Axiome bewiesen werden kann. Daher meine Frage. Mich, nur weil ich etwas nicht weiß, als Spinner zu bezeichnen (3- oder 4-mal), ist unzulässig. Und in meiner Diskussion mit YohanN7 ging es auch gar nicht um diese Frage. Er war, wie es aussieht, eiunfach nur sauer, weil es Missverständnisse gab und ich ihn sogar in einem Punkt klar widerlegt habe. Also wenn hier jemand ein Spinner ist, dann er! Er hat nicht das Recht, mich zu beleidigen, nur weil er WP-Admin ist oder so! Also das verbitte ich mir! Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.53.169 12:36, 25. Jan. 2015 (CET)

(1) Ich habe niemals irgend jemanden als Spinner bezeichnet. (2) Die Widerspruchsfreiheit eines Axiomensystems bedeutet ja gerade, dass keine Widersprüche (Aussagen der Form $\varphi \land \neg \varphi$) ableitbar sind, das heißt es macht keinen Unterschied, ob man nur die Axiome oder alle daraus abgeleiteten Aussagen betrachtet. Wenn das Problem der Widerspruchsfreiheit in Deinem Interessensbereich liegt, dann kann ich Dir obige Literaturempfehlung nur noch einmal wärmstens ans Herz legen, denn das berührt den Kern Deines Interesses. Dass Du dazu nach eigener Aussage keine Lust hast, ist sehr schade, denn Dir entgeht etwas wirklich Wertvolles. (3) Da Du in Deinem letzten Beitrag YohanN7, wenn auch nur bedingt, als Spinner bezeichnet hast und ich an Diskussionen dieser Art nicht weiter teilzunehmen wünsche, werde ich meiner Literaturempfehlung nichts weiter hinzufügen und betrachte diese Diskussion hiermit als beendet.--FerdiBf (Diskussion) 13:20, 25. Jan. 2015 (CET)

Zu (1): Schön! Das wollte ich dir auch nicht unterstellen. Aber der YohanN7 hat mich halt so bezeichnet. Darum geht es mir, und, dass ich (so wie es aussieht) deswegen geblockt werde, weil ich mich dagegen gewehrt habe (gegen YohanN7 in der engl. WP).

Zu (2): Na, das ist doch mal 'ne Aussage! Ich werde jetzt noch prüfen, ob das auch so stimmt. Bis später!

Zu (3): Ach, wenn YohanN7 mich als Spinner (3- bis 4-mal) bezeichnet, dann ist das (deiner Meinung nach) ok, oder was? Aber, wenn ich da diese Aussage über YohanN7 mache, dann regst du dich auf? Da kommt mir irgendwie das Wort "Doppelmoral" in den Sinn.

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.53.169 14:45, 25. Jan. 2015 (CET)

Weiter zu (2): "Die Widerspruchsfreiheit ... oder alle daraus abgeleiteten Aussagen betrachtet." Ja, richtig! Das Problem ist wahrscheinlich, dass ich eine andere Mengenlehre in meinem Kopf habe als ZFC. Also meine eigene Mengenlehre würde ich wohl grundsätzlich anders gestalten als ZFC, womöglich noch konstruktiver. Gödels Unvollständigkeitstheorem wird ja, soweit ich das richtig verstanden/ in Erinnerung habe, auf ZFC oder auf eine Mengenlehre mit nur einem Teil der ZFC-Axiome angewendet. Sofern gewisse Sachen (grundlegende arithmetische Operationen und so) gegeben sind, ist ein Konsistenzbeweis für so eine Mengenlehre nicht mehr möglich. Was jedoch passiert, wenn man eine grundsätzlich andere Mengenlehre benutzt, ob da die Konsistenz auch unbeweisbar ist, darüber wird nichts gesagt, jedenfalls habe ich darüber nichts gefunden. In meiner Mengenlehre sind vermutlich, da sie konstruktiver ist, weniger Aussagen ableitbar. (Deswegen habe ich dich wahrscheinlich gefragt, ob die Widerspruchsfreiheit auch für ableitbare Aussagen gilt, weil mich das verwirrt hat.) Wenn weniger Aussagen möglich sind, ist ein Konsistenzbeweis (möglicherweise) einfacher. Ob ich meine Mengenlehre hier erkläre, weiß ich noch nicht. Hängt womöglich auch von der Reaktion von euch auf meine letzten Posts ab. Dazu, zu erklären, dass ich eine eigene Mengelehre als Grundlage benutzen möchte, bin ich bisher nicht gekommen, weil sich gewisse Wikipedianer ewig mit mir rumgezofft haben, dabei Missverständnisse aufgetaucht sind, die ich klären musste, und falsche Aussagen gemacht wurden, die ich richtig stellen musste. Sonst hätte ich das schon viel eher gemacht. Wenn man mich schon als Spinner abtut, bevor ich richtig dazu gekommen bin, meine Position zu erklären, ist das ein vorschnelles Urteil (Vorurteil) und da braucht man sich eben nicht über die Gegenwehr meinerseits zu wundern/beschweren!

Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.53.169 23:20, 25. Jan. 2015 (CET)

Nein, der Unvollständigkeitssatz gilt viel allgemeiner als für gewisse Teilsysteme von ZFC. Ich schließe mich der Literaturempfehlung an. --Chricho ¹ ² ³ 23:28, 25. Jan. 2015 (CET)

Ja, gut! Das kann natürlich sein. Ich kann mir trotzdem nicht vorstellen, dass man auf einer bestimmten Mengenlehre aufbauend nicht viele Aussagen beweisen könnte, die in ZFC Axiome sind (in dieser Mengenlehre hingegen Behauptungen). Aber mich zu verurteilen, nur weil ich mir was nicht vorstellen kann, womit ich mich nicht beschäftigt habe (Gödel), ist dennoch unzulässig! Außerdem hat YohanN7 gar nicht gesagt, was er genau für Spinnerei hält. Mein Eindruck ist nach wie vor, er hat es deshalb getan, weil ich ihn klar widerlegt habe in einem Punkt, und er deswegen sauer geworden ist. Ich bitte daher um Aufhebung der Sperre über meinem Account (Thomas Limberg (Schmogrow)). Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.53.169 01:56, 26. Jan. 2015 (CET)

Vergelts Gott, aber mich interessiert die Geschichte um YohanN7 nicht, ich kenne weder ihn noch die Geschichte. Ferdi und ich haben dich jdf. nicht verurteilt, allerdings fehlt eine gemeinsame Diskussionsgrundlage bzgl. der Unvollständigkeitssätze und der Grundlagen der Mathematik. --Chricho ¹ ² ³ 02:06, 26. Jan. 2015 (CET)

Also Ferdi hat ja etwas über die Diskussion in der engl. WP erzählt, d.h. er hat das ja mitbekommen, was da los war. Ansonsten hätte ich ja gar nicht weiter davon erzählt (jedenfalls nicht hier). Das war auch an ihn (Ferdi) gerichtet und nicht an dich. Aber er hat sich wohl schon aus der Diskussion hier ausgeklinkt. Nun, ich werde sehen, was ich jetzt machen werde. Wir beenden die Diskussion an dieser Stelle erstmal, Chricho. Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.53.169 02:25, 26. Jan. 2015 (CET)

... Tja, wie allgemein ist der Gödelsche Unvollständigkeitssatz auf Mengenlehren anwendbar. Kann wirklich ausnahmslos jeder Mengenlehre, die gewisse (arithmetische) Grundoperationen zulässt, die Eigenschaft "Konsistenz ist nicht beweisbar" zugeschrieben werden, egal, wie ich diese Mengenlehre gestalte? Weil das glaube ich nämlich nicht. Die 8 Axiome in ZFC sind konstruktive Aussagen (es wird beschrieben, wie aus gegebenen Mengen neue Mengen konstruiert werden). Diese, als Behauptungen aufgefasst, zu beweisen, dafür sind nur einfache Konstruktionsbeweise erforderlich. Das sieht für mich trivial aus. Ich sehe hier das Problem nicht. Deswegen kann ich nicht nachvollziehen, wieso das nicht gehen soll. Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.48.202 16:50, 28. Jan. 2015 (CET)

Schau dir den Unvollständigkeitssatz doch einfach an. Eine weitere Bedingung dort ist tertium non datur, aber das gilt ja sowohl in ZFC als auch in deinem Vorschlag. --Chricho ¹ ² ³ 00:38, 3. Feb. 2015 (CET)

"Schau dir den Unvollständigkeitssatz doch einfach an." - Nööö!! Bevor ihr mir nicht den Nutzen dessen dargelegt habt, schau ich mir gar nix an! Ich beschäftige mich doch nicht stundenlang mit irgendwelchem Kram, der mir am Ende womöglich sowieso nicht weiterhilft. Und ich vermute eben, dass es nicht so allgemein gilt; dass es mir also nicht weiterhilft. Überzeugt mich doch vom Gegenteil, wenn ihr könnt! "tertium non datur", jaja, das stelle ich nicht in Frage. Ich weiß zwar auch, was Fuzzy-Logik ist, aber die verwende ich hier ja nicht. Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.50.124 01:16, 3. Feb. 2015 (CET)

So, naja, ich warte noch bis Montag. Wenn sich dann keiner zurückgemeldet hat, gehe ich davon aus, dass kein Interesse an dem Thema besteht und betrachte die Diskussion als beendet. Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.1.2 10:53, 31. Jan. 2015 (CET)

Gegenfrage: Hat jemand 'was dagegen, dass ich hier meine Mengenlehre vorstelle (Ich hab' bisher noch nicht viel ausgearbeitet, es geht mehr um den Ansatz)? (Ich gebe Zeit bis maximal heute 20:00 Uhr für einen Widerspruch) Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.50.124 00:18, 3. Feb. 2015 (CET)

Ich, HilberTraum, lege hiermit formal und fristgerecht, unter Berufung auf WP:WWNI, Punkte 2., 3. und 5. sowie WP:DISK, Widerspruch ein. Puh, zum Glück rechtzeitig gesehen ... 20-Stunden-Fristen??? Was’n Stress.-- HilberTraum (d, m) 07:19, 3. Feb. 2015 (CET)

Ach, HilberTraum, du bist ja auch noch da! Ich kam mir schon etwas verlassen vor, weil niemand was geschrieben hat. ... Also, dann, ... dann wende ich mich halt, wie vorgeschlagen, an den Helpdeskt. Mal kucken ( ;-) ), wo der ist. Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.62.30 10:57, 3. Feb. 2015 (CET)

Naja, vielleicht mach' ich das später. Im Grunde geht es mir ja um meinen Beweis der Existenz der Leermenge. Damit würde ich wohl anfangen, da ich von euch ja noch keine abschließende Beurteilung dazu erhalten habe. Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.62.30 11:19, 3. Feb. 2015 (CET)

"20-Stunden-Fristen??? Was’n Stress.", Lol! Also, man kann ja auch einfach Fristverlängerung beantragen, wenn noch Zeit benötigt wird (ich meine jetzt allgemein, nicht nur an dieser Stelle). Thomas Limberg (Schmogrow) 93.197.62.30 12:23, 3. Feb. 2015 (CET)

"Äquivalenzklasse"

Ich war gerade den Artikel am lesen und habe ihn auch ganz gut verstanden bis ich dann bei dem Satz "Die Mächtigkeit oder Kardinalzahl einer Menge M ist nach Cantor die Äquivalenzklasse der zu M äquivalenten (gleichmächtigen) Mengen." geholpert habe. Dieser Satz ist für mich als mathematischen Laien (und an solche Leser ist der Artikel glaube ich gerichtet) unverständlich. Vor allen Dingen das Wort "Äquivalenzklasse" verwirrt mich. Er ist nicht kursiv geschrieben, also handelt es sich um keinen neu eingeführten Begriff, also ist die Kenntnis des Begriffs vorausgesetzt. Jemand, der den Artikel liest um zu lernen (wie ich z.B.), was "Mengenlehre" überhaupt genau ist, kann aber mit dem Begriff nichts anfangen.
Ein Link zu Äquivalenzklassen würde ein bisschen helfen, aber gleichzeitig den Laien vor einen Catch-22 stellen: Er muss Mengenlehre verstehen, um den verlinkten Abschnitt über Äquivalenzklassen zu verstehen, aber wissen, was eine Äquivalenzklasse ist, um den Artikel zur Mengenlehre zu verstehen.
Lange Rede, kurzer Sinn. Es wäre nett, wenn jemand versuchen könnte, diesen Satz etwas verständlicher zu formulieren.
Mfg, das Zamomin (Diskussion) 10:16, 4. Mär. 2015 (CET)

Ich habe kleine Ergänzungen vorgenommen, insbesondere das Adjektiv "äquivalent" entfernt, da es stets für "gleichmächtig" steht und daher entbehrlich ist. Den gewünschten Link habe ich ebenfalls hinzugenommen, sowie zuvor einen Link auf Äquivalenzrelation (ist aber derselbe Artikel, nur ein anderes Sprungziel). Dem an Mengenlehre interessierten Leser würde ich dringend ans Herz legen, an dieser Stelle zunächst den verlinkten Artikel "Äquivalenzrelation" zu lesen. Es handelt sich um einen fundamentalen Begriff, dessen Erklärung der Artikel "Mengenlehre" an dieser Stelle nicht leisten kann.--FerdiBf (Diskussion) 09:36, 1. Mai 2015 (CEST)

Im weiteren Verlauf des Artikels habe ich auch alle Definitionen ergänzt, die zum Begriff der Mächtigkeit erforderlich sind. Damit schließt die Liste der Definitionen genau mit diesem Begriff aus der Einführung. Das rundet einerseits den Artikel ab und hilft vielleicht auch Dir weiter.--FerdiBf (Diskussion) 11:08, 1. Mai 2015 (CEST)

Cantor als Begründer der axiomatischen Mengenlehre?

Im Artikel findet sich der Satz "Cantors Mengenaxiome von 1898/99 weisen ihn sogar als Begründer der axiomatischen Mengenlehre aus." Cantor hat viel geleistet, aber das nicht. Die Mitteilung Cantors an Hilbert, auf die diese Behauptung gründet, hatte wegen ihrer späten Veröffentlichung keinerlei Einfluss auf die Entwicklung der axiomatischen Mengenlehre. Das angespochene Satz ist daher falsch und ich werde ihn bis auf Weiteres entfernen.--FerdiBf (Diskussion) 08:22, 12. Apr. 2015 (CEST)

Verständlichkeit → Beipiele verwenden

Dieser Artikel ist aufgrund der weitgehenden Formel-Schreibweise unverständlich für Menschen, die mit dem Lemma nicht vertraut sind. Aber genau dazu - um "Menge" bzw. eben "Mengenlehre" zu verstehen - soll der Artikel ja gelesen werden. Gut finde ich das einführende Beispiel in Menge (Mathematik) mit der Menge einzelner Poygone als Inhalt des Behältnisses (wobei dort das mittlere Bild eher irritiert, und die Erklärung, "[Behältnisse] ändern ihre Identität, wenn man neue Elemente hinzufügt oder bestehende entfernt", ist in dieser Kürze und ohne Beispiel unverständlich). Es wäre m.E. hilfreich, wenn man die dort schon in der Einleitung verwendete "Menge einzelner Poygone" durchgehend als Beispiel für jede Definition nutzen und weiterführen würde. Also zuerst (für Laien) anhand des Beispieles "Menge einzelner Poygone" die jeweils beschrieben Definition erklären - und dann (für mit dem Lemma Vertraute) das Ganze nochmal mit Formeln erklären. Das wäre didaktisch sehr viel sinnvoller und für unsere Leser hilfreicher. Gruss, --Markus (Diskussion) 07:49, 7. Nov. 2019 (CET)

Notation Einermenge

M.E. war die Notation $\{a\}$ schon eingeführt (und $\{a,b\}$ auch). Nämlich unter "aufzählende Notation", im Spezialfall $n=1$ (bzw. $n=2$). Außerdem glaube ich, dass es sinnvoller (zumindest kürzer) ist, festzulegen, was $c\in \{a,b\}$ bedeuten soll, statt festzulegen, was $c=\{a,b\}$ bedeuten soll. Der erwähnte Unterabschnitt macht das auch so. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:17, 7. Dez. 2022 (CET)

In der axiomatischen Mengenlehre geht man aber genau so vor, siehe Paarmengenaxiom. Der Unterabschnitt zur Definition des Paares behauptet, das geordnete Paar werde in zwei Schritten definiert. Man erklärt erst, was eine Zweiermenge ist (durch diese logische Formel), und fordert, dass diese Definition tatsächlich wieder eine Menge ist (was in diesem Artikel unterschlagen wird), und in einem zweiten Schritt bildetet man eine Zweiermenge aus Zweiermengen. Nur so wird diese Darstellung der Definition in zwei Schritten verständlich.

Wie Du richtig bemerkst, waren sowohl Einermenge als auch Zweiermenge schon eingeführt. Daher könnten wir den Teil der Definition des geordneten Paares einfach umschreiben, etwa so:

Auch der Begriff des geordneten Paares $(a,b)$ wird auf $\in$ zurückgeführt. Da es beim geordneten Paar auf die Reihenfolge ankommt, muss es irgendwie gelingen, das $a$ vor dem $b$ auszuzeichnen. Üblicher Weise verwendet man die auf Kuratowski zurückgehende Definition:

$(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$

$(a,b)$ ist also eine Menge von zwei Mengen und sind $a$ und $b$ verschieden (nur dann muss man eine Reihenfolge festlegen), so ist $a$ dasjenige Element, das in beiden Mengen vorkommt.

Das wäre mein Vorschlag für den Text im Artikel. Dass es dazu auch Alternativen gibt, würde ich hier nicht erwähnen.--FerdiBf (Diskussion) 07:53, 8. Dez. 2022 (CET)

Keine Einwände. --Daniel5Ko (Diskussion) 10:05, 8. Dez. 2022 (CET)

Kleine Spitzfindigkeit: Wenn $a$ und $b$ nicht verschieden sind, dann enthält $(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$ nur die eine Menge $\{a\}$. --Digamma (Diskussion) 21:43, 8. Dez. 2022 (CET)

Wenn ich micht nicht verrechnet habe, ist $(a,a):=\{\{a\},\{a,a\}\}=\{\{a\},\{a\}\}=\{\{a\}\}$. Das erste Element $a$ des Paares $P$ erhält man als $a=\bigcap \bigcap P$ immer heraus, aber die naheliegende komplementäre Formel fürs zweite Element $b$, nämlich $b=\bigcap (\bigcup P\setminus \bigcap P)$ geht deswegen für $a=b$ nicht. Eine für beide Fälle gültige Formel für $b$ habe ich auf die Schnelle nicht gefunden.

War das für die intendierte Leserschaft unverständlich, die nur wissen will, was in der Mathematik eine Menge ist? Nicht nur für die, sondern auch für den Vollblut-Mathematiker, der immer und überall geordnete Paare braucht und auch korrekt benutzt, aber noch nie diese Definition benutzt hat, um damit zu hantieren, anders als die in diesem Abschnitt voranstehenden Definitionen.

Wozu braucht man dann diese Definition je? Ausschließlich zu dem Zweck, um zu zeigen, dass es mit den bisherigen Mitteln geht, wenn auch total kontraintuitiv. In einem gewissen Sinne ist sowas gar keine Definitionen, sondern die Konstruktionen eines, nicht des Modells der intendierten Axiomatik. Aber heute nicht mehr. --Lantani (Diskussion) 23:05, 8. Dez. 2022 (CET)

Die Sprache der Mengenlehre ist $L_{I}(\in )$. Dann muss man natürlich sagen, wie in dieser Sprache das geordnete Paar definiert wird. Nicht mehr und nicht weniger geschieht an dieser Stelle.--FerdiBf (Diskussion) 09:43, 9. Dez. 2022 (CET)

Beispielgrafik

Ich halte die Beispielgrafik in der Form für schlecht, da auch der Ball und das Buch Objekte sind. --Matthiasb – ^{(CallMyCenter)} _{Wikinews ist nebenan!} 13:34, 27. Jun. 2023 (CEST)

Ja sicher sind das Objekte, aber eben nicht Elemente der dargestellten Menge. --Digamma (Diskussion) 17:01, 27. Jun. 2023 (CEST)

Ich habe mal die Bildunterschrift klarer formuliert. --Digamma (Diskussion) 17:04, 27. Jun. 2023 (CEST)

Und was soll die dargestellte Menge für ein Aufnahemkriterium haben? Wenn jemand so eine Kategorie anlegte, würde ich sie ihm/ihr um die Ohren hauen. ;-) --Matthiasb – ^{(CallMyCenter)} _{Wikinews ist nebenan!} 20:00, 27. Jun. 2023 (CEST)

Es muss kein Kriterium geben. Man kann einfach die Elemente aufzählen. Deshalb gibt es auch überabzählbar viele Teilmengen der Menge der natürlichen Zahlen, obwohl es nur abzählbar viele Kriterien geben kann. --Digamma (Diskussion) 22:13, 27. Jun. 2023 (CEST)