Diskussion:Nyquist-Shannon-Abtasttheorem/Archiv/1

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Frage zur Überabtastung

Ich hab ziemliche lange dafür gebraucht das mit der Überabtastung zu verstehen. Ich hab mich immer gefragt wofür ich den analogen Tiefpassfilter brauche wenn ich die maximal vorkommende Frequenz im Signal kenne und demenstprechend die Abtastfrequenz setzen kann. In diesem (theoretischen?) Fall bräuchte ich ja in dem abzutastendes Signal nichts rausfiltern (vorhandene Bandbreite == Nutzbandbreite).Ich habs mir dann so erklärt dass es in der Praxis wohl immer Frequenzen gibt, die höher sind als die eigentlich Nutzbandbreite und das man mit der Abtastfrequenz nicht so hoch gehen will oder kann. Ist das so?

Ich stell die Frage nicht nur weil ichs gerne verstehen würde sondern weil man den Bereich Oversampling vieleicht dahingehend etwas verständlicher gestalten könnte.Binford3000 16:50, 29. Jan 2006 (CET)

Im Artikel wird das Tiefpass-Filter besprochen, welches zur Rekonstruktion dient. Du hast schon recht, wenn mein Analoges Signal bandbegrenzt ist, brauche ich VOR der Abtastung kein TP. Dennoch ist das Spektrum bei der Abtastung periodisch wiederholt (und zwar mit der Abtastfrequenz periodisch). Zur Rekonstruktion muss daher ein TP eingesetzt werden, um nur die nicht-wiederholten Signalanteile herauszufiltern. Gerade dieses Filter kann bei Oversampling einfacher ausfallen, da der Übergangsbereich breiter sein kann. Das widerholte Spektrum erscheint ja erst bei 2*f_abtast und hat daher eine lücke zur Maximalen Signalfrequenz f_g.

Ich hoffe, das war verständlich. Was auf jeden Fall fehlt ist ein entsprechendes Bild. Ich schreibs mal auf meine TODO. :-) --Jdiemer 09:15, 30. Jan 2006 (CET)

Der Begriff Überabtastung ist irreführend. Siehe dazu: www.informatik.hu-berlin.de/~orthband/Widerlegung.htm

Grundsätzliches zur Struktur

Der Artikel heißt "Abtastthm. nach Shannon-Nyquist" (wobei Shannon in seinem Paper diese Formel als Folklore der zeitgenössischen Nachrichtentechnik bezeichnet hat). Der überwiegende Teil dieses Artikels befasst sich mit praktischen Fragen zum Thema Abtastung und Oversampling, die in diesen Artikeln besser aufgehoben werden. Hier sollte nur die Problemstellung erläutert werden, das Theorem selbst stehen und seine Voraussetzungen und Aussagen, und vor allem was es nicht aussagt (Basisbandsignal ist eine sehr starke Einschränkung, die Rekonstruktion ist ziemlich häßlich nichtlokal), diskutiert werden. Und natürlich auf die Artikel zur praktischen Anwendung verwiesen werden.--LutzL 13:42, 18. Mär 2005 (CET)

Wilhelm Orthbandt und seine Diplomarbeit

Ähm, sagt mal, warum spuckt Google keine Hits aus zu "Wilhelm Orthbandt Abtasttheorem" ????? Dieses "wurde im Januar 2005 widerlegt" kommt mir deshalb etwas komisch vor. Der Author hätte wenigstens Quellen dazu angeben können. (Bei solchen Sachen existieren Paper und zumindest ein Artikel "irgendwo". Ich weigere mich erstmal, das ohne Quellenangabe zu glauben)--Thorongil 13:38, 13. Mär 2005 (CET)

Dipl.-Ing. Wilhelm Orthbandt, eingeschrieben als Student der HU, hielt einmal eine Vortragsreihe am Institut für Informatik, Humboldt-Universität zu Berlin, Standort Adlershof, Ex- bzw. Rumpf-Homepage. --Status korrigiert--LutzL 11:46, 13. Jan 2006 (CET)

Die über Google aufzuspürenden Reste der Vorlesungen (die Epoche-PDFs als HTML anzeigen lassen) sind kritisch, unterhaltsam und kompetent. Die einzige darin zu findende kritische Bemerkung zum Abtasttheorem ist die, dass die zweifache Frequenz nur theoretisch ist und besser ein Faktor 3 für praktische Zwecke gewählt wird.--LutzL 11:17, 15. Mär 2005 (CET) geändert--LutzL 13:42, 18. Mär 2005 (CET)

Herr Orthbandt wollte auf allgemeine Fehlinterpretationen, zu denen die pauschale Formulierung des Abtasttheorems verleitet, hinweisen. Vorgehen und Formulierung dieses "Hinweises" waren jedoch auf keine Weise vertretbar. Auch die scheinbare mathematische "Widerlegung" ging am Thema vorbei, sie besagte, dass man zur Bestimmung einer trigonometrischen Approximation der Ordnung n für eine stetige Funktion auf dem Intervall [0,T] mindestens 2n+1 Funktionswerte benötigt, damit die Abtastfrequenz empfindlich größer als die doppelte Bandbreite ist.

(Gegenprovokation und nicht relevante mathematische Mutmaßungen gestrichen, gehört nicht zu dieser Diskussion)--LutzL 13:42, 18. Mär 2005 (CET)

Richtigstellung:

1. Es gibt keine Diplomarbeit (und keinen zwingenden Grund, eine zu schreiben).

Es gibt lediglich einen Entwurf dazu, dessen Thema "Widerlegung der üblichen Interpretation des Abtasttheorems" ohne jede Abstimmung mit der Professorin gewählt wurde. Das Bemühen um die Bestätigung dieses Themas ist bisher gescheitert. Der Entwurf wird erst nach der endgültigen Klärung ins Netz gestellt.

2. Das wichtigste Ergebnis in dem Entwurf widerlegt das Abtasttheorem und lautet:

"Die Begrenzung der Bandbreite eines Signals auf die halbe Abtastfrequenz ist nicht hinreichend, um einen abtastungsbedingten Informationsverlust auszuschließen."

Diese Erkenntnis wurde zunächst unter Verwendung eines Modells mit sinusförmigen Signalen gewonnen, sie gilt aber auch für das von Shannon benutzte Modell mit Spaltfunktionen.

3. Es gehört zur Kultur der Ingenieure, einfache, leicht handhabbare Regeln anzugeben.

Zum Beispiel verhalten sich die Ausbreitungsgeschwindigkeiten des Schalls in Gasen (einschließlich Kork), Flüssigkeiten (einschließlich Wasserstoff), festen Stoffen und harten Stoffen wie 1:5:10:15. Wer es genauer braucht, der muß nachschlagen.

Die schon seit Jahrzehnten bekannte und praktizierte 1/3-Regel für die Abtastung besagt:

"Um ein Signal halbwegs anständig wiederzugeben, sollte die Abtastfrequenz wenigstens etwa das Dreifache der höchsten im Signal vorkommenden Frequenz betragen."

Dabei unterscheidet sich "halbwegs anständig" sehr wesentlich von "fehlerfrei" bzw. "ohne Informationsverlust", wie es in den Interpretationen des Abtasttheorems behauptet wird.

Die 1/3-Regel kann unter anderem auf der Grundlage des Modells Fourier-Reihenentwicklung leicht verständlich begründet werden.

Das Modell Kosinusreihenentwicklung führt auf analogem Weg zu einer 1/4-Regel, die zwar eine bessere Näherung liefert, aber eben nicht mit der niedrigsten, "halbwegs akzeptablen" Abtastfrequenz.

(nicht signierter Beitrag von W. Orthband von informatik.hu-berlin.de (Diskussion | Beiträge) )

Neuer Widerlegungsversuch

Widerlegung siehe Studentenhomepage Informatik, HU-Berlin (aus Artikel hierher verschoben--LutzL 15:00, 21. Dez 2005 (CET))--Status korrigiert--LutzL 11:46, 13. Jan 2006 (CET)

Das Beispiel im verlinkten Artikel ist durchaus lehrreich und sollte in den Artikel unter Aliasing eingearbeitet werden. Oder generell in einen Abschnitt "Warnung", der sich mit der allzu wörtlichen, und damit falschen, Auslegung dieses sehr theoretischen Resultats beschäftigt. Auf die revolutionären Schlussfolgerungen und wahrscheinlich nicht mehr auszuräumenden Missverständnissen zur Funktionalanalysis muss der zitierte Mathematiker privat antworten, da sie den Rahmen sprengen würden.--LutzL 15:11, 21. Dez 2005 (CET)

Es grenzt schon an Comedie, wenn ein Mathematiker eine "allzu wörtliche Auslegung" beanstandet. Tatsache ist, dass den Autor der Widerlegung bisher (17.01.2006) keine Argumente erreichten, die die Widerlegung in Frage stellen. Auf die bisher vorgebrachten Argumente wird in der aktuellen Fassung der Widerlegung eingegangen.

Der Autor hat bewusst darauf verzichtet, Passagen aus dem Wikipedia-Artikel zu entfernen. Nach Auffassung des Autors der Widerlegung gehört es zur Wissenschaftskultur, dies den jeweiligen Autoren zu überlassen. In der Streichung des Hinweises auf eine andere Auffassung sieht der Autor einen Verstoß gegen die Wissenschaftskultur. Gerade in einem Lexikon mit dem Anspruch der Wikipedia sollte es dem Leser überlassen bleiben, sich ein Urteil über unterschiedliche Auffassungen zu bilden.

Artikel der Wikipedia sind kein Privateigentum. Es beschädigt die Qualität der Wikipedia, wenn einzelne Autoren ihnen nicht genehme Hinweise wegzensieren. (nicht signierter Beitrag von W. Orthband (Diskussion | Beiträge) )

Es geht hier nicht um Zensur. Die "Widerlegung" mag zwar lesenswert sein, hat in einer Enzyklopädie aber nichts verloren, solange sie nicht anerkannt ist. Mit anderen Worten: Artikel der Wikipedia sind auch kein Ort, um private Theorien zu verbreiten. --Jdiemer 09:35, 19. Jan 2006 (CET)

Herr Orthband, Sie haben sich dahingehend geäußert, dass Sie die mathematische Theorie, die hinter diesem Theorem steht, in diesem Leben nicht mehr verstehen wollen. Sie haben also keineswegs den mathematischen Inhalt des Theorems widerlegt, sondern einige kritische Anmerkungen zur Interpretation des Theorems in der Nachrichtentechnik gemacht. Wenn Sie diesen Unterschied nicht begreifen und in Ihre Bemerkungen einbauen, dann tragen Sie nichts zu diesem Artikel bei, Ihre Kommentare sind dann unwillkommen.--LutzL 10:32, 19. Jan 2006 (CET)

Auch nach einem weiteren Monat (09.02.2006) haben den Autor der Widerlegung leider keine Gegenargumente erreicht.

Der Autor sollte ein Paper schreiben, das von einer Fachzeitschrift akzeptiert wird, die Reaktionen der Experten abwarten und danach, wenn seine "Widerlegung" als einigermaßen gesichertes Wissen gelten kann, dies in den Wikipedia-Artikel einbringen. Hier ist weder der richtige Platz, eigene Forschungen einzubringen noch, sie zu diskutieren (siehe WP:WWNI Punkt 2). --Tinz 11:30, 9. Feb 2006 (CET)

Die Widerlegung steht im Netz und ist somit allgemein zugänglich. Das ist demokratischer als (irgend-)eine Fachzeitschrift. Die Experten haben die Möglichkeit, zu reagieren. Sie tun es bisher nicht. --Wefo 12:14, 9. Feb 2006 (CET)

Dass sich noch kein Experte zu der Widerlegung geäußert hat bedeutet ja aber nicht, dass sie korrekt ist. Eher das Gegenteil scheint mir der Fall: Gerade da die Arbeit "nur" im Netz steht wird sie wahrscheinlich nicht ernst genommen (und das zu Recht!). Welcher erstzunehmende "Experte" äußert sich schon zu wilden Theorien auf privaten Homepages? Dies gilt umso mehr, wenn eine Theorie Humbug ist: Wäre sie stichhaltig, würde sich vielleicht ein Experte finden, der die Sache untermauert. Aber aus offensichtlichem Kokolores halten sich die Experten natürlich raus.--Jdiemer 13:35, 9. Feb 2006 (CET)

In der Widerlegung sind konkrete Beispiele angegeben, bei denen die Rekonstruktion nicht das ursprüngliche Signal ergibt. Es wird aber auch gezeigt, dass die ursprünglichen Signale die Forderung der beschränkten Bandbreite einhalten. Weitere Anforderungen an das Signal werden in der verbalen Fassung des Abtasttheorems nicht angegeben und sind auch deshalb nicht sinnvoll, weil sie in der Praxis kaum überprüfbar sind.

Ohne zu sehr ins Detail gehen zu wollen, ein paar Anmerkungen:

• "... der Signalverlauf außerhalb des Beobachtungsintervalls ist nicht definiert,...". Im Sinne des Abtasttheorems sind Signale unendlich lang. Praktische, zeitbegrenzte Signale kann man durch entsprechende Fensterfunktionen berücksichtigen. Diese bedeuten jedoch u.U. neue Frequenz-Anteile, die über der Abtastfrequenz liegen. Ein frequenzbeschränktes Signal muss zeitlich unendlich ausgedehnt (oder konstant 0) sein. Von daher lassen sich zeitbegrenzte Signale theoretisch nicht absolut fehlerfrei rekonstruieren, wenn sie mit endlicher Abtastrate abgetastet werden...

• Shannon bezieht sich ausdrücklich auf einen Übertragungskanal, der nur beschränkte Zeit zur Verfügung steht. Ein unendlich langes Beobachtungsinterval ist eine nicht zu erfüllende Voraussetzung. (Eine streng begrenzte Bandbreite allerdings genauso.) --Wefo 12:14, 22. Feb 2006 (CET)

(LL) Sie sollten ihren Shannon besser lesen lernen. Er betrachtet die Übermittlung endlich vieler reeller Zahlen, das Signal dazu ist in beide Seiten unendlich ausgedehnt. Nachdem er feststellt, dass das Kardinalsystem orthonormal ist, betrachtet er nur noch endlichdimensionale Vektorräume, die von Teilen des Kardinalsystems oder eines anderen verschiebungsinvarianten orthonormalen Funktionensystems aufgespannt werden.

• Ebenso enthält ein moduliertes Sinussignal, welches in Abb. 2,3,4 der "Widerlegung" behandelt wird, höhere Frequenzkomponenten. Es mit der doppelten Trägerfrequenz abzutasten kann daher nicht ausreichen (insbesondere wenn man auch noch die Effekte der Fensterung nicht berücksichtigt).

• Das dargestellte Signal ist kein moduliertes Sinussignal und es enthält definitiv keine höheren Frequenzen, denn es ist die Summe einiger weniger sinc-Funktionen. --Wefo 12:14, 22. Feb 2006 (CET)

(LL) Sie wollen es aber endlich abschneiden und bekommen dadurch höhere Frequenzen rein.

Richtig. Wenn nicht die durch mich reininterpretierte "Modulation", so berbreitert zumindest das Abschneiden das Spektrum bis ins Unendliche (s.o.) Am Besten wäre, man schaut sich die analytische Darstellung (=Formel) für das abgebildete Signal an, dann sollte sofort klar werden, wo das Abtastkriterium verletzt wird. --Jdiemer 20:26, 22. Feb 2006 (CET)

Wie gesagt ist oben Genanntes lediglich der Versuch, den Autor der "Widerlegung" zum weiteren Nachforschen anzuregen und erhebt keinen Anspruch einer Widerlegung der Widerlegung (auch wenn es im Prinzip als Widerlegung ausreicht). Mir schein nämlich, dass in der Widerlegung einige wichtige Punkte, die dem Abtasttheorem zugrunde liegen, nicht berücksichtigt oder schlicht übergangen werden.--Jdiemer 15:22, 16. Feb 2006 (CET)

(LL) Benutzer:Wefo ist W. Orthband ist IP 141.20.x.x. Es gibt hier nur einen, der die verschrobenen Ansichten von Herrn Orthband verteidigt, ihn selbst--LutzL 16:46, 22. Feb 2006 (CET)

• Ich freue mich über die sachlichen Argumente. Wie wäre es, über die Aufblähung der Bandbreite nachzudenken? --Wefo 12:14, 22. Feb 2006 (CET)

(LL) Ist für das von Shannon zitierte Whittaker-Theorem nicht nötig und wird bei praktischen Anwendungen gemacht, ist sogar im Artikel mehrfach prominent angesprochen. Sie lesen sehr selektiv.--LutzL 16:46, 22. Feb 2006 (CET)

Besondere Beachtung verdient in diesem Zusammenhang auch die Abtastung eines rekonstruierten Signals zu anderen Zeitpunkten.
Her mit dem Scheiterhaufen! Es kann nicht sein, was nicht sein darf. --Wefo 11:27, 16. Feb 2006 (CET)

Nun steigern Sie sich nicht in eine Märtyrerrolle rein, das wird lächerlich. Wenn Sie falsche Formeln verwenden, kommt ein falsches Ergebnis raus. Der Fehler in der verschobenen Abtastung sinkt nur langsam reziprok zur Wurzel der Größe des endlichen Ausschnitts. Stichwort harmonische Reihe, für den Fehler die 2. Ordnung. Bzw. andersrum formuliert: Der Signalverlauf im Unendlichen steuert beträchtliche Beiträge im Endlichen bei.--LutzL 16:46, 22. Feb 2006 (CET)

Kommentar zur "Widerlegung":

Die dargestellte "Widerlegung des Abtasttheorems" basiert auf einem falschen mathematischen Verständnis des Theorems. O. zitiert selbst das Abtasttheorem richtig:

"Aus einem abgetasteten (diskreten) Signal lässt sich das ursprüngliche analoge Signal fehlerfrei rekonstruieren, falls das ursprüngliche Signal nur Frequenzkomponenten besitzt, die kleiner als eine maximale Frequenz f_max sind, und für den Abtastabstand (die Abtastperiodendauer) T_A ≤ 1/(2f_max) gewählt wird"

Rein mathematisch ist damit klar, das es gar keine Signale gibt, die man in der Realität so abtasten kann, dass sie rekonstruierbar wären. Der Grund ist einfach: ein bandbegrenztes Signal ist zwangsläufig zeitlich unbegrenzt und dies kommt in der realen Welt nicht vor, weil jedes physikalische Signal einen Anfang und ein Ende hat.

Deshalb muss man auch keine Widerlegungsversuche vom Shannon anstellen. Sein Theorem ist mathematisch richtig, es hat auch keinen anderen Anspruch.

Man kann nun viel forschen um die Fehler abzuschätzen die entstehen, wenn man existierende Signale abtastet die ja zeitlich begrenzt sind und deshalb die Voraussetzung des Abtasttheorem nach bandbegrenzung nicht erfüllen. Da gibt es auch schon viele Dissertationen.

Jede CD und viele andere Beispiele zeigen uns täglich, dass die Abtastung funktioniert. Dabei ist Fmax/2 nur ein theoretischer Wert, in der Praxis wird immer mit höheren Abtastfrequenzen gearbeitet.

Jürgen Schloss am 26. Feb 2006, 15:13 --LutzL 10:16, 27. Feb 2006 (CET)

Hi, das ist nett, dass Sie sich auch die Mühe machen. Zu den Fehlern bei praktischeren Abtastverfahren steht auch unter Abtastung was. Nur: Das alles wurde Herrn W.e.f.O. mehrfach von verschiedenen Seiten nahegelegt, er hat sich aber darauf versteift, diese Art Einwand nicht zur Kenntnis zu nehmen und auf einer endlichen Interpretation zu bestehen. Die einzige Massnahme: Ignore the troll.--LutzL 10:16, 27. Feb 2006 (CET)

Doppelt ist nicht genug ...

--

Anm zu: Zit; Das Abtasttheorem besagt, dass ein kontinuierliches Signal mit einer Maximalfrequenz f_max mit einer Frequenz mindestens 2×f_max abgetastet werden muss, damit man aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust wieder rekonstruieren kann. /Zit;

Meiner Meinung nach reicht es, dass die Abtastfrequenz größer ist, als die Bandbreite, was zwar mit dem oben gesagten übereinstimmt, aber nicht ganz allgemein ist (vgl. Anwendung Teilbandkodierung bei MPEG...)

ev. sollte man soetwas erwähnen...

mfg Freakyjoe

Einleitung fehlt so ca. " is a fundamental tenet in the field of information theory, in particular telecommunications. " --nerd 14:16, 15. Apr 2003 (CEST)

Quelle

Anm zu: Zit; Das Abtasttheorem besagt, dass ein kontinuierliches Signal mit einer Maximalfrequenz fmax mit einer Frequenz mindestens 2×fmax abgetastet werden muss, damit man aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust wieder rekonstruieren kann. /Zit;

urspr. Kommentar

Meiner Meinung nach reicht es, dass die Abtastfrequenz größer ist, als die Bandbreite, was zwar mit dem oben gesagten übereinstimmt, aber nicht ganz allgemein ist (vgl. Anwendung Teilbandkodierung bei MPEG...)

ev. sollte man soetwas erwähnen...

mfg Freakyjoe

meine Ergänzung

1. der Begriff Bandbreite ist falsch interpretiert: Bandbreite ist die Differenz zwischen oberer und unterer Grenzfrequenz. Letztere ist nicht zwingend 0.
2. mit der doppelten Abtast-Frequenz 2 f_sig kann man das auszulotende Signal f_Sig gerade nicht mehr sicher detektieren: wenn es blöd läuft, dann tastet man genau bei den Null-Durchgängen. Das Ergebnis wäre das gleiche, als wenn 0 V Gleichspannung vermessen werden.
3. Wenn die Abtastrate unterhalb von 2 f_Sig verwendet wird, so finden sich für jede Folge von Abtastwerten mehrere mögliche Interpretationen, die Reproduktion wird mehrdeutig und damit unbrauchbar. (S. a. KgV und ggT - auch wenn es nicht auf den ersten Blick klar ist: KgV und ggT spielen da eine Rolle)

mfg

Franz

Das Argument, Fmax/2 reicht nicht, weil man dann auch immer die Nulldurchgänge abtasten könnte was offensichtlich zu falchen Werten führt, ist falsch. Das Abtasttheorem sagt dass Fmax /2 genügt und auch hier hat Shannon recht! Und zwar deshalb:

Im streng mathematischen Sinn kann gefordert werden, dass bei der Abtastung das komplexe Signal abgetastet wird und nicht wie in der Praxis üblich nur eine Komponente. Die Abtastung des komplexen Signals bedeutet, dass auch die orthogonale Komponente mit abgetastet wird, also das Signal durch seinen Realteil und seinen Imaginärteil als eine Folge komplexer Abtastwerte dargstellt wird. Zu machen ist dies einfach mit einer weiteren Abtastung die um eine viertel Abtastperiode verschoben ist.

Dadurch kann wie von Shannon gefordert die Abtastfrequenz bei Fmax/2 bleiben und man bekommt offensichtlich im Fall der Abtastung des Signals im Nulldurchgang als ortogonalen Wert lauter Einsen. Dies ist offensichtlich ausreichend zur Rekonstrukton des Signals.

Klar, dass dies mathematische Spitzfindigkeiten ohne größere praktische Bedeutung sind, aber es geht um die Frage, ob Shannon im mathematischen Sinne Recht hat und das hat er!

Jürgen Schloss um 16:09, 4. Mär 2006 LL

Hi, das ist eine falsche Begründung für einen richtigen Fakt. Im Rahmen der Theorie des Abtasttheorems gibt es schlicht und ergreifend keine abzutastenden Sinussignale. Denn diese sind zwar lokal integrabel, insbesondere über jedem beschränkten Intervall in eine Fourierreihe zu entwickeln, aber das unendliche Integral über das Betragsquadrat ist, nun ja, unendlich. Die Funktion, die einem Sinus am nächsten kommt, und eine Frequenzschranke von exakt f hat, ist $\sin(\pi (f-e)t)\cdot \sin \!c(\pi et)$. Für genügend kleine e sind die Funktionswerte auf beschränkten Intervallen praktisch nicht von einer Sinusfunktion zu unterscheiden. Die Rekonstruierbarkeit wird aber durch Werte "im Unendlichen" gesichert, da es dort durch die etwas geringere Frequenz (f-e) bei einer Abtastrate f/2 zu einer genügend großen Verschiebung der Nullstellen gegenüber den Abtastpunkten kommt. Die Konvergenz nahe Null wird, aufgrund der Natur der Kardinalreihe, sehr sehr langsam sein, numerische Experimente wie das von WefO können also leicht zu mißverständlichen Resultaten führen.--LutzL 19:20, 5. Mär 2006 (CET)

hallo, ich bleibe bei meiner Darstellung, trotz des Widerspruchs. Der Widerspruch erinnert mich in seiner Argumentation an Null mal Unendlich gleich etwas sinnvolles: e soll so klein sein, dass die Funktionswerte vom Sinus nicht zu unterscheiden sind, es muss aber so groß bleiben, dass es zumindest im Unendlichen noch Wirkung zeigt. Wenn das wirklich so ist, müsste man den Grenzübergang zeigen! Jürgen Schloss

Guten Tag. Der erste Teil meiner Begründung war, dass der Grenzfall e=0 keine abtastbare Funktion ist. Man kann zwar die Funktionswerte des Sinus bestimmen, denn er ist stetig, aber die Rekonstruktionsformel divergiert. Das ist auch nicht weiter erstaunlich, da der Raum der bandbeschränkten Funktionen keine periodischen Funktionen enthält. Denn eine unendliche Summe einer Konstanten, der Energie (Integral des Betragsquadrats) pro Periode, ergibt Unendlich. Für jedes e>0 (und kleiner als f) ist die angegebene Funktion bandbeschränkt. Schränkt man seine Beobachtungen, aber nicht die Berechnungsformeln, auf ein endliches Intervall ein, so sieht diese Funktion, für ein genügend kleines e, wie der Sinus aus. Der Fehler sinkt unter eine Beobachtungsschranke, ist aber vorhanden. Tastet man nahe der Nulldurchgänge ab, so könnte man von endlichen Beobachtungsintervall her meinen, die rekonstruierte Funktion wäre von der abgetasteten "krass" verschieden. Dem ist nicht so, da in die Rekonstruktionsformel alle Abtastwerte eingehen.--LutzL 11:05, 13. Mär 2006 (CET)

Abtasten mit weniger als der doppelten Bandbreite ...

klappt leider nicht. Man sieht das sofort, wenn man z. B. einen einfachen Sinusverlauf zeichnet und dann diesen in Abständen, die geringfügig kleiner sind als die Wellenlänge, abtastet. Diese Aufzeichnung entspricht dann den selben Werten, die ein niederfrequenter Sinus (wer es ganz genau will: mit einer Phasenverschiebung von pi) liefern würde. Der Grund für den Faktor 2 ist also, daß damit sichergestellt wird, daß von jedem möglichen Wellenverlauf mindestens 2 Testwerte (ein 'positiver' und ein 'negativer') generiert werden.

Franz 19:15, 10. Okt 2003, Beitrag stammt von 217.80.252.31•Beiträge

Dieser "historische" Kommentar bezieht sich evtl. auf das "Undersampling". Diese Interpretation geht davon aus, dass die gewonnenen Werte als Werte eines Basisbandsignals zu interpretieren wären. In der Tat wäre die Zuordnung dann nicht eindeutig, verschiedenfrequente Sinusfunktionen könnten gleiche Abtastfolgen liefern. Jedoch wird bei der Unterabtastung eine minimale Frequenz vorgegeben, so dass die niederfrequente Interpretation ausgeschlossen werden kann. Das Problem der praktischen Realisierbarkeit der Unterabtastung ist im Artikel schon angesprochen.--LutzL 16:49, 29. Mai 2006 (CEST)

Die Frage ein für alle mal klären - dann muss man's nur noch verstehen

Ich kann zu diesem Thema ein paar grundlegende Aussagen tätigen, aber das verlangt dann eine enge Diskussion. Das heißt: ein Satz, diskutieren, nächster Satz. Auch in Wikipedia stehen an anderer Stelle schon Teile, die sich zu einem Puzzle fügen lassen. Von mir aus können wir das Thema angehen RaiNa 11:57, 28. Jan 2004 (CET)

Wir haben ein grundlegendes Problem: die Mathematik beschreibt eine völlig abstrakte Welt, die aber in bestimmten Bereichen mit der physischen Welt korrelliert. Also muss man zuerst festlegen, über was wir reden: über Mathematik oder Physik.

Reden wir über Physik. Wir dokumentieren (messen) den (nicht unbedingt zeitlichen) Verlauf einer physikalischen Größe (einer Observablen). Der durch diese Größe charakterisierte Vorgang gehorcht bestimmten Bedingungen: z.B. die Physik kennt nichts, das wirklich "unendlich" ist, es gilt die Energieerhaltung, die höchste Geschwindigkeit ist die Lichtgeschwindigkeit und so weiter. In diesem Rahmen bewegen wir uns. Sicher kann man dafür exakte mathematische Beschreibungen machen, das erhöht aber nicht notwendigerweise das Verständnis!

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gehen wir davon aus, dass der Verlauf periodisch ist.

Was sind die Konsequenzen?

• Wenn wir den Verlauf einer Periode kennen, kennen wir den Verlauf über ALLE Zeiten!

• Wenn das Signal über alle Zeiten gleich existiert, ist die Zeitdauer unendlich!

• Wir widersprechen unserer Voraussetzung!

LieBa RaiNa, ich fabuliere ja auch gernMa, aber hier fehlt mir geraDa die PhanatSia, denn das ist ja mal zunächst Mathematik und wir überlegen nicht wirklich, was denn passiert, wenn wir auf atomarer Skala samplen, auch wenn das sicher interessante Fragen aufwirft. :-) --Marc van Woerkom 13:59, 15. Sep 2004 (CEST)

Es gibt nichts, das im mathematischen Sinne periodisch ist!

Somit müssen wir uns klar darüber sein, dass es keine wirkliche Spektralanalyse gibt, sondern dass wir mit Einschränkungen leben müssen.

---

Wenn wir bis hierher Übereinstimmung schaffen können, kann man in der Folge die Konsequenzen diskutieren. Aber das soll kein Monolog sein. RaiNa 07:40, 29. Jan 2004 (CET)

Plan für die Ergänzung dieses Artikels

Nicht völlig überraschend haben die Elektrotechniker eine verdammt gute Erklärung des Sachverhaltes:

• Abtasten wird durch einen Dirac-Kamm modelliert
• Ein nettes Bildchen mit der rect-Funktion (idealer Bandpass) hilft dann sofort den Effekt von Aliasing zu verstehen, weil sich die rect's durchdringen, wenn die Sampling Frequenz zu niedrig ist
• Ich habe sogar vom E-Technikpraktikum noch reale Messprotokolle, vielleicht scanne ich die einfach mal zur Illustration

Eine nette Anmerkung habe ich aus einer Computergraphikvorlesung von Prof. Slussalek, dem lag das optische Aliasing am Herzen.

• Filtert man mit einer Dreiecksfunktion (linear steigender Bandpass), dann ist das rekonstruierte Signal die lineare Interpolation durch die Abtastpunkte.

So jetzt habe ich es mir hier gemerkt, jetzt muss ich es bei Gelegenheit noch reinhacken. --Marc van Woerkom 13:59, 15. Sep 2004 (CEST)

Ich stimme dem zu. Ein Bild wäre gut. Habe erst mal ein paar eindeutige Sachverhalte aus der Diskussion zugefügt. In der Praxis reicht es meist aus, wenn Störungen so klein sind, dass man sie nicht mehr sieht oder hört. Deshalb stellt ein Tief- bzw. Bandpass auch in der Praxis keine exakte Rechteckfunktion dar und man gleicht das durch eine höhere Abtastfrequenz aus. (... wurde ja beschrieben.) --Hutschi 09:51, 20. Okt 2004 (CEST)

Modem-Standard V.90

Ich habe aus dem Artikel entfernt:

Oberflächlich betrachtet scheint die Übertragungsgeschwindigkeit beim Modem-Standard V.90 dem Abtasttheorem zu widersprechen, dies ist aber nicht der Fall.

Hat irgendjemand eine Idee, was es dort sollte? --Pjacobi 22:19, 9. Nov 2004 (CET)

Vielleicht wurde das erwähnt, weil ein analoger Telefonkanal m.E. ein bisschen mehr als 30.000 Hz Bandbreite besitzt, bei V.90 aber bis zu 56.000 Bit pro Sekunde zum Kunden übertragen werden können. Aber keine Ahnung, ob das was damit zu tun hat. --Abdull 19:08, 15. Nov 2004 (CET)

Ein TElefonkanal hat 4kHz Bandbreite (nichteinmal ganz) aber was hier verwechselt wurde ist die Bitrate mit der SChrittgeschwindigkeit (gehört nicht unbedingt hierher sondern zur Signalanalyse mit Bandbreite versus Bitrate versus Schrittgeschwindigkeit ein SChritt sind mehrere Bits auf einmal (ich glaub es wird eine PAM mit mehreren Amplitudenstufen verwendet, damit überträgt man dann schon ca. 8bit/schritt und dann benötigt man nur noch ein Viertel der Bandbreite) also 56000bps/2 = 28000Hz / 8 = 3500Hz was dann ungefähr hinkommt... ev ahb ich mich bei dem einen oder anderen terminus verschrieben, bitte um verzeihung, die fakten stimmen jedoch... lg. Johannes

Versteh' da was noch nicht

Ich versteh es nicht, warum ich ein Audiosignal (20.0000) bei über 44 kHz abtasten soll, wenn doch so hohe Frequenzen garnicht vorkommen. Oder ist damit gemeint, dass 44000 mal pro Sekunde mein Line-In meiner Soundkarte die anliegende Spannung abfragt?

Dann hätte ich ja jetzt also eine Unmenge an "Funktionswerten", alles einzelne Punkte. Jetzt könnte ich meinem Computer sagen, diese einzelnen Punkte auf meinem Zeit-Spannungs-Diagramm zu verbinden. Dann würde ich aber einen recht kantigen Funktionsverlauf erhalten, der garnicht dem vielleicht runden Verlauf meiner ursprünglichen Audioquelle entsprechen.

Vielleicht versteht jemand, welchen Logikfehler ich begehe, und kann eine Antwort geben - das wäre auch eine tolle Bereicherung für den Artikel. Danke, --Abdull 19:27, 15. Nov 2004 (CET)

Im Prinzip heißt es tatsächlich in etwa, dass der Line-In-Anschluss 44000 mal pro Sekunde abgelesen wird. Aus den erhaltenen Werten lässt sich das Ausgangssignal reproduzieren, wenn die maximal in ihm vorkommende Frequenz theoretisch 22000, praktisch 20000 Hertz nicht überschreitet. Deshalb muss man gegebenenfalls ein Filter vorschalten, wenn höhere Frequenzen darin vorkommen. Dann ist wenigstens der Anteil, der unterhalb von 20000 Hz liegt, regenerierbar. Wenn man die Werte einfach verbindet, entsteht tatsächlich eine recht kantige Kurve, die auch höhere Frequenzen enthält. Deshalb werden die Punkte nicht einfach verbunden, zumindest werden die Kurven in der Praxis (mit einem Tiefpass) geglättet. Im Prinzip können mit geeigneten Mitteln die ursprünglichen Frequenzen und Amplituden regeneriert werden, wenn die Abtastfrequenz genügend hoch ist. --Hutschi 08:06, 16. Nov 2004 (CET)

Zum kantigen Funktionsverlauf: Man überlege sich, welche (relativen) Höhendifferenzen der Kammerton von 440 Hz bei einem Sampling von 44100 Hz aufweist. Da ist das Kurvenziehen wirklich nicht sehr kantig. Am Rand des Spektrums, also bei 20000 Hz, sieht das natürlich anders aus, diese Frequenzen sollten praktisch aber keine große Amplitude haben, so dass das daraus entstehende Kantige absolut auch nur ein kleines Schwanken um Null ist.--LutzL 13:41, 16. Nov 2004 (CET)

Mein Senf:

kleiner Fehler bei Überabtastung?

---

im Abschnitt Überabtastung (Oversampling) heißt es: "Liegt nämlich die Nutzbandbreite B sehr nahe bei der Abtastfrequenz, so werden sehr hohe Anforderungen an die Flankensteilheit des Tiefpassfilters gestellt."

Müsste es nicht heissen: "Liegt nämlich die Nutzbandbreite B sehr naher bei *halber* Abtastfrequenz, .." ??

gruß,

.thilo

Korrigiert --Hutschi 15:44, 1. Feb 2005 (CET)

Wozu Absatz Kausalität?

Was hat denn die physikalische kausalität mit dem Abtasttheorem zu tun? Für mich gibt es da keinen direkten Zusammenhang und es geht auch keiner aus dem Absatz hervor.

Wenn es nicht jemand besser weiß, schlage ich vor den Absatz zu löschen. (nicht signierter Beitrag von 129.13.186.1 (Diskussion) 16:04, 25. Aug. 2007)

Bitte signiere Deine Diskussionsbeiträge, wenigstens mit einem Zeitstempel. Ansonsten: Tue es. Wenn sich jemand daran stört, soll er einen ausführlicheren Text schreiben, warum ideale Abtastung nicht kausal ist und jede Verbesserung der Rekonstruktion mit einer längeren Verzögerung erkauft wird.--LutzL 09:51, 27. Aug. 2007 (CEST)

Frage zur Chronologie

"Claude Elwood Shannon formulierte es 1948..."
"Unabhängig davon wurde das Abtasttheorem 1933 von Wladimir Alexandrowitsch Kotelnikow [3] in der sowjetischen Literatur eingeführt, was im Westen allerdings erst in den 1950er Jahren bekannt wurde."
"Zuerst bewiesen wurde das Abtasttheorem im Jahre 1939 von Herbert P. Raabe..."

Wie kann man 1939 etwas im Westen beweisen, was im Westen erst 1948 formuliert wird, und dessen östliche Entsprechung im Westen erst in den Fünfzigern bekannt wird? Oder müsste man P. Raabe (der noch keinen eigenen Artikel hat) nicht als dritten gleichrangigen und unabhängigen Entwickler des Theorems ansehen? Danke! -- 134.247.251.201 10:09, 18. Nov. 2009 (CET)

So wie ich die relevanten Artikel lese, hatte Shannon sich ab Anfang der 30er mit diesem Thema beschäftigt, konnte aber aus Geheimhaltungsgründen erst nach dem Krieg publizieren. Außerdem ist zu beachten, dass Shannon in 1948 das Abtasttheorem als Folklore in der Nachrichtentechnik bezeichnete, es ist ja auch als mathematisches Theorem im wesentlichen Äquivalent zur Konvergenz der Fourierreihen in L2.--LutzL 11:47, 18. Nov. 2009 (CET)

Dann wäre die Angabe "Shannon formulierte es 1948" falsch. Erstens weil es kaum Folklore werden kann, wenn niemand es zuvor formuliert hat, zweitens weil niemand es beweisen kann bevor es von irgend jemand formuliert wurde... -- 87.174.150.169 23:32, 19. Nov. 2009 (CET)

Besser Abtastrate statt Abtastfrequenz?

Sollte man im Artikel nicht lieber durchgängig von Abtastrate (eigenes Lemma!) statt "Abtastfrequenz" reden?

Speziell im Abschnitt "Unterabtastung" würde dann klarer werden, wo das Problem liegt, nämlich daß der Schalter des Sample-und-Hold-Gliedes in einem Bruchteil der Periode der Signalfrequenz öffnen und ein eventueller Verstärker zwischen Signal und S/H-Glied eine wesentlich höhere Bandbreite als die Signalfrequenz aufweisen sollte - unabhängig davon, wie hoch die Abtastrate ist.

Auch z.B. der Satz: "Mit einer CD werden Frequenzen bis 20 kHz übertragen, die Abtastfrequenz beträgt 44,1 kHz."

wäre als: "Mit einer CD werden Audiofrequenzen bis 20 kHz übertragen, die Abtastrate beträgt 44,1 kHz."

meines Erachtens wesentlich leichter verständlich. (nicht signierter Beitrag von 78.49.0.252 (Diskussion | Beiträge) 04:06, 24. Apr. 2010 (CEST))

Filter männlich oder sächlich?

Laut Bertelsmann "Die neue Deutsche Rechtschreibung" sind beide Varianten möglich. Gibt es Unterschiede im Gebrauch, die von Fachrichtung oder Gegend abhängen? --Hutschi 15:44, 1. Feb 2005 (CET)

Wenn das eine Umfrage sein soll: Der Kaffeefilter aber das Bandfilter. --Pjacobi 16:06, 1. Feb 2005 (CET)

Dito. Abgesehen davon, dass die Signalfritzen sich lieber mit Systemen (leere Worthülse für beliebigen Inhalt) beschäftigen, heißt alles was irgendwie frequenzselektiv ist: Das Filter. Oppenheim/Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung, Meffert/Hochmuth: Werkzeuge der Signalverarbeitung.--LutzL 16:33, 1. Feb 2005 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --141.58.44.195 19:33, 27. Apr. 2013 (CEST)

Kapitel Artefakte nach Artikel Antialiasing verlagern?

Ich komme gerade von der Antialiasing-Seite. Ich bin der Meinung, dass der Unterpunkt Artefakte besser dort aufgehoben wäre. Das würde den dortigen Artikel m.E. berreichern und gehört thematisch irgendwie da rein. -- DerDude 08:35, 15. Feb 2006 (CET)

Ich denke es ist unter Alias-Effekt besser aufgehoben. Ich verschiebe es dorthin, weil es dort thematisch näher liegt.:Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --biggerj1 (Diskussion) 14:39, 28. Apr. 2013 (CEST)

Tiefpass zur Verhinderung von Signalstörungen

"Die Filterwirkung des Abschneidens der hohen Frequenzen wird auch mit den Worten Höhensperre, Höhenfilter, High Cut und Treble Cut beschrieben."

Diesen Satz zwürde ich streichen. Siehe auch Diskussion zu Artikel "PCM". Die anderen Begriffe kenne ich nicht bzw. sind für mein Sprachempfinden keinesfalls Synonyme für (den allgemein anerkannten Begriff) Tiefpass.

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --biggerj1 (Diskussion) 14:14, 4. Mai 2013 (CEST)

Bild

Tut mir schonmal im Vorfeld leid, wenn ich hier jemandem zu Nahe trete, aber das Einzige zu dem mich dieser Abschnitt motiviert ist, ihn zu entfernen.

Das stimmt zwar mal mehr und mal weniger alles irgendwie. Aber eine "Motivation" im Sinne einer "Motivation für das Theorem" oder die Nyquist-Frequenz kann ich hier nicht herauslesen.

Auch wird da irgendwie die Bandpass(unter)abtastung als Grundidee verkauft, die ein Spezialfall ist. Andersherum wird die Behauptungen wie "Im Spezialfall einer Grenzfrequenz von 0" als solche verkauft, obwohl es der allgemeine Fall ist.

Der Begleittext für das Bild ist weiterhin viel zu lang. Da selbiges im Abschnitt noch nicht so beschrieben ist, gehört es m. E. dort hin. -- Plankton314 (Diskussion) 22:10, 24. Apr. 2013 (CEST)

schau mal auf Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Nyquist-Shannon-Abtasttheorem.23Motivation. Dort sind deine Gedanken sicher willkommen. Alle aktuellen Diskussionen sollten dort geführt werden (dafür kannst du ja einfach deinen Abschnitt dorthin kopieren). Ich kann gut nachvollziehen, was du meinst - jedoch habe ich deinen Edit zunächst teilweise geändert, damit der Artikel in sich (zunächst) konsisten bleibt. Ich stimme dir aber zu, dass der Artikel weitreichend überarbeitet werden sollte. --biggerj1 (Diskussion) 23:34, 24. Apr. 2013 (CEST)

Diskussionen den konkreten Artikelinhalt betreffend sollten hier geführt werden. Ich habe diese Bitte auch auf der QS-DS formuliert. -- Plankton314 (Diskussion) 23:46, 24. Apr. 2013 (CEST)

Ok, also der Abschnitt Nyquist-Shannon-Abtasttheorem#Unterabtastung (Sub-Nyquist-Sampling) verträgt in obigen Sinne dann auch eine Überarbeitung. --biggerj1 (Diskussion) 23:57, 24. Apr. 2013 (CEST)

Das Bild ist raus. es stellte den sachverhalt falsch dar, da die Funktion quadratintegrabel sein muss, siehe z.B. hier: [1]--biggerj1 (Diskussion) 11:31, 4. Mai 2013 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --biggerj1 (Diskussion) 12:00, 4. Mai 2013 (CEST)

Verschieben

zu überlegen wäre vielleich eine Verschiebung des Artikels nach Shannon-Theorem (mit 600000 Google-Treffern am häufigsten) um Verwirrung zu vermeiden. Mfg--biggerj1 (Diskussion) 00:14, 25. Apr. 2013 (CEST)

Vor solchen Verschiebungen möchte ich warnen, da sie hin und wieder im Verschiebe-War darüber enden, welche Bezeichnung formal und historisch korrekter ist. Da sich neuerdings auch "WKS-Theorem" durchgesetzt hat, würde ich persönlich es bei den Weiterleitungen belassen. Es macht letzten Endes ja auch keinen Unterschied.

Von mir aus können wir es erstmal nicht verschieben --biggerj1 (Diskussion) 14:29, 2. Mai 2013 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --biggerj1 (Diskussion) 19:19, 4. Mai 2013 (CEST)

Bild File:Nyquist Aliasing.svg

Hi, dieses Bild ist nicht hinreichend beschrieben. Ich tendiere stark dazu es zu entfernen, wenn sich niemand erbarmt den Inhalt genauer zu beschreiben.--biggerj1 (Diskussion) 12:44, 4. Mai 2013 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --biggerj1 (Diskussion) 19:08, 4. Mai 2013 (CEST)

Quadratintegrierbarkeit?

@‎Biggerj1: Bzgl. dem hier: [2]

Lies bitte in der Quelle nach. -- Plankton314 (Diskussion) 22:06, 24. Apr. 2013 (CEST)

Zu deiner (Teil)Antwort unten, habe ich hier einen neu formulierten Vorschlag zur Einleitung, kürzere (hoffentlich verständlichere) Sätze und nicht so ein ellenlanges Ding:

Das Abtasttheorem besagt, dass eine bandbegrenztes kontinuierliches Signal, ohne Frequenzanteile über $f_{\text{max}}$ , mit einer Frequenz größer als $2\cdot f_{\text{max}}$ abgetastet werden muss, damit man es aus dem zeitdiskreten Signal wieder exakt rekonstruieren kann. Die exakte Rekonstruktion ist dabei nur theoretisch möglich, da hierzu eine unendliche Anzahl an Abtastpunkten nötig wäre. In der Praxis beschränkt man sich deswegen darauf, dass ursprüngliche Signal möglichst gut zu interpolieren.

Ich kann deine Forderung nach Konsistenz verstehen, aber wie dargestellt ist der Abschnitt "Motivation" nicht ganz treffend und eine korrekte Wiedergabe - vor allem in der Einleitung - wichtiger als inhaltliche Konsistenz. Ich füge mal vorsorglich einen ÜA-Baustein ein. -- Plankton314 (Diskussion) 23:52, 24. Apr. 2013 (CEST)

Du hast schon recht :) Leg' los. --biggerj1 (Diskussion) 00:19, 25. Apr. 2013 (CEST)

Sorry, genau der hier formulierte Abschnitt der Einleitung steht im Widerspruch zum Abtasttheorem: Ein Signal, das keine Frequenzanteile höher fmax verwendet wird durch Abtastung mit 2*fmax exakt erfasst! Bitte die Einleitung entsprechend korrigieren! --Boobarkee (Diskussion) 08:03, 26. Apr. 2013 (CEST)

Danke für den Hinweis. -- Plankton314 (Diskussion) 10:35, 26. Apr. 2013 (CEST)

Wie sieht es mit einem Sinussignal aus, welches man mit seiner doppelten Frequenz abtastet? Man kann doch immernoch genau die Knoten des Sinus treffen. Dann kann man das genaue Signal aus den abgetasteten Punken niemals rekonstruieren.--92.201.61.175 12:37, 27. Apr. 2013 (CEST)

Abtastung muss mit f_ab >2* f_max erfolgen. Vgl http://www.informatik.uni-augsburg.de/lehrstuehle/dbis/pmi/lectures/ss06/graphikprogrammierung/script/kap3-7.pdf --92.205.102.11 13:35, 2. Mai 2013 (CEST)

Die Geschichte mit dem Sinus-Signal wird oben widerlegt: Eine Voraussetzung für die Anwendung des Shannon-Theorems ist Quadratintegrabilität des Signals.--biggerj1 (Diskussion) 11:26, 4. Mai 2013 (CEST)

Ich habe es gerade nur kurz überflogen, aber muss nicht bereits gelten $\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\;dx<\infty$? --Plankton314 (Diskussion) 11:54, 4. Mai 2013 (CEST)

Ok, also ich hab jetzt extra nochmal nachgeschaut. Hier [3] schreiben sie von Quadratintegrabilität. Grüße--biggerj1 (Diskussion) 12:04, 4. Mai 2013 (CEST)

Ich habe da etwas Zweifel, ob ein Handbuch über Ökonometrie, hier eine geeignete Quelle ist, zumal sich selbst in der DSV Fachliteratur immer wieder Fehler einschleichen.

Auch ist die Behauptung, dass die Funktionen quadratintegrabel seien müssen, schlicht falsch und auch leicht zu widerlegen: Mit Sicherheit lassen sich beliebige Sinus-Schwingungen rekonstruieren, wenn sie nur weit genug unter der kritischen Frequenz liegen. Außerdem würde das umgekehrt bedeuten, dass es keine Fourier-Transformierte von Signalen wie sin(ωt) oder auch nur von 1 gäbe. Das ist bekannterweise falsch.

Weiterhin ist auch die Forderung "glatt" an die Funktion bereits dadurch gegeben, dass ihr Spektrum endlich bzw. sogar nur oberhalb von ${\tfrac {f_{\text{abtast}}}{2}}$ Null sein muss. Oder andersherum formuliert: Die Bandbegrenzung bedingt die Glattheit der Funktion.

Der springende Punkt ist mMn. hier, dass das Abtasttheorem nur eine hinreichende, nicht jedoch eine notwendige Bedingung beschreibt. --Plankton314 (Diskussion) 13:24, 13. Mai 2013 (CEST)

PS: Hab gerade erst die Quelle in der Einleitung gesehen. Dort wird zwar zum Beweis des Theorems von der Annahme ausgegangen, dass die Funktion quadratintegrabel sei, aber soweit ich das sehe, ist das auch wieder nur eine hinreichende Annahme und dient nur dem Beweis. --Plankton314 (Diskussion) 13:34, 13. Mai 2013 (CEST)

Man kann zwar ein Sinussignal abtasten, aber wie willst Du es rekonstruieren? Auf welche Funktionenmenge schränkst Du ein? $L_{loc}^{2}(\mathbb {R} )$? Wie sicherst Du die Eindeutigkeit in dem gewählten Raum? Und schlussendlich, kannst Du eine verlässliche mathematische Quelle für die Antworten angeben? Die Kardinalreihe hilft wahrscheinlich nur bedingt, denn sie ist nur für die $L^{2}(\mathbb {R} )$-Theorie anwendbar.--LutzL (Diskussion) 18:36, 15. Mai 2013 (CEST)

Solange keine Quelle auftaucht, in der steht, dass es sich bei quadratintegrabel um eine notwendige Bedingung handelt, ist das auch hier nicht so darzustellen. --Plankton314 (Diskussion) 19:05, 15. Mai 2013 (CEST)

Das ist jetzt eine seltsame Einstellung. Glaubst Du auch an die goldene Teekanne zwischen Mars- und Jupiterbahn? Weil widerlegt wurde deren Existenz ja noch nicht. Dass es für quadratintegrable Funktionen funktioniert ist gesicherte Erkenntnis. Wie man in einigen Richtungen über das Shannon-Resultat hinausgeht steht in dem "Five stories"-Paper drin. Weitere Erweiterungen müssen durch weitere Quellen abgesichert werden, ansonsten ist es als Theoriefindung in WP unwillkommen.--LutzL (Diskussion) 16:18, 16. Mai 2013 (CEST)

TF ist das beleglose Darstellen, dass es sich dabei um eine notwendige Bedingung handle.

Wie du selbst schreibst: "dass es für quadratintegrable Funktionen funktioniert ist gesicherte Erkenntnis. Wie man in einigen Richtungen über das Shannon-Resultat hinausgeht steht […]".

So etwas nennt man dann nur hinreichende Bedingung und ist - wie gesagt - auch im Artikel so darzustellen. --Plankton314 (Diskussion) 18:37, 16. Mai 2013 (CEST)

Also erstmal tief durchatmen und ruhig bleiben - wir sind hier ja alle an einer wahrheitsgemäßen Darstellung interessiert :) ... Bitte baue ebenso für deine Aussage (Quadratintegrierbarkeit ist nur ein hinreichendes Kriterium) ein. Wenn man sich nämlich im Moment die Disk. anschaut steht Aussage gegen Aussage, ohne das eine genauere Quellen (Buch, Seitenzahl) angegeben wird, die das Thema vollkommen explizit anspricht. Wenn ihr klären könnt, ob eure Meinungsverschiedenheit auf den verwendeten Funktionsräumen(,...?) beruht und ihr deswegen zu unterschiedlichen Aussagen kommt, dann wäre es imho schön eine Darstellung dieses "Problems" auch im Artikel wiederzufinden. Mfg --biggerj1 (Diskussion) 10:04, 19. Mai 2013 (CEST)

Kausalität

Was soll dieser Absatz? In dieser Form bezieht er sich überhaupt nicht auf den Rest des Artikels!(nicht signierter Beitrag von 138.246.2.105 (Diskussion) 19:13, 23. Jan. 2014)

Ja, da ist was wahres dran. Jemand eine Idee was der eigentliche Sinn davon war?--Plankton314 (Diskussion) 19:25, 23. Jan. 2014 (CET)

Hab den unpassenden Absatz mal entfernt. Im Artikel sind auch einige andere Formulierungen, wie:

Dem Ideal am nächsten kommen modulierte Schwingungen, wie Musik- oder Sprachaufzeichnungen, die zur Weiterverarbeitung digitalisiert werden sollen. Für andere praktische Zwecke, z. B. digitale Bildbearbeitung, müssen Varianten des Abtasttheorems mit nicht ganz so starken Anforderungen gefunden werden,

die etwas "eigenartig" formuliert sind. Vorallem lassen sie offen, was diese "Varianten mit nicht so starken Anforderungen" sein sollen.--wdwd (Diskussion) 09:18, 24. Jan. 2014 (CET)

Abtasttheorem bei Bildern

"Oft sind Moirés auch im Fernsehen zu sehen, wenn Moderatoren Nadelstreifenanzüge tragen." finde ich zu Wischiwaschi. Entweder sollte der Satz entfallen. Oder aber, besser, es sollte genauer darauf eingegangen werden: Nicht jedes Moiré ist ein Alias-Signal. Beim (übrigens ja analogen) Fernsehen z. B. ist das Moiré eine Interferenzerscheinung der Bildfrequenz (die "Nadelstreifen") mit der Farbhilfsträgerfrequenz. Das wäre eine andere Baustelle als "Abtastung". (Natürlich könnte auch ein Moiré entstehen, wenn die Zellen eines CCD die Nadelstreifen unterabtasten. Aber das ist IMHO nicht die Ursache für die gewöhnlichen Moirés im TV.)

"Im hier vorliegenden Fall ist die Ursache eine Überlagerung der Spektren der Abtast-Funktion, deren Ausgangssignale mit fabtast periodisch sind." Diesen Satz verstehe ich nicht. Wieso hat eine Abtast-Funktion ein Ausgangssignal? Was ist eine Abtast-Funktion? Ein Dirac-Kamm?

-- Peter, 217.225.65.23 17:56, 2. Jan 2005 (CET)

Der Satz/Die Begründung ist kompletter Mist, also, ein Fehlverständnis des Theorems. In dessen textlicher Beschreibung fehlt nämlich ein wesentlicher Teil der Formeln: Sämtliche periodischen Anteile des abzutastenden Signals müssen im Ursprung ihren Nulldurchgang haben, sie dürfen nicht phasenverschoben sein. Es handelt sich um "theoretische Signale". Reale Signale, wie etwa der Scan eines Bildes, sind jedoch immer unterschiedlich stark phasenverschobene Signale. Hier versagt die Auslegung des Theorems 2*f würde genügen, es kommt zu einer niederfrequenten Überlagerung eines artefaktischen Signals, eben jenen Moirees. Im Text oben wurde schon das Pendant zu Audiosignalen angesprochen: Im ungünstigen Fall wird das Eingangssignal immer im "phasenverschobenen" Nulldurchgang abgetastet, wenn exakt f(Ein)=1/2 f(Abtast). Eine tatsächlich brauchbare Abtastfrequenz für reale Signale muss um ein mehrfaches höher liegen, die Mathefreaks können gerne mal ausrechnen, wie hoch... In realen HighDef-Audiodateien wird bekannterweise mit 192kHz für ein 22kHz Audiosignal gearbeitet... was man tatsächlich hört, wie man ja auch Moirees sehen kann. (nicht signierter Beitrag von 217.224.196.74 (Diskussion) 21:12, 19. Mär. 2013 (CET))

Der Artikel ist tatsächlich Mist. Shannon und Nyquist haben den Blödsinn mit 2x Abtasten nie behauptet. In den billigen Fachbüchern wird immer das Mischertheorem und das Abtasttheorem verwechselt. Für den allgemeinen Fall und Quadraturrekonstruktion muss mit 4x abgetastet werden. Shannon hat ausdrücklich den synchronen Fall. erwähnt. Das ist übrigens ein typ. Beispiel, wie Obrigkeitshörigkeit und Literaturverweisorgie WP zerstört. In der Abbildung braucht die Phase nur 90° verschoben werden, und der ganze Artikel offenbart sich als Makulatur (Klopapier). Ein guter Literaturverweis wäre beispielsweise "The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing", das Buch ist im Internet kostenlos herunterzuladen. Dort ist es auch richtig erklärt. --212.95.7.101 09:43, 6. Aug. 2014 (CEST)

Shannons Artikel behandelt ausdrücklich die 2x Grenze. Und nur diese. Für (zeit-)unendliche Signale endlicher Energie, was periodische Signale und damit das irreführende Gegenbeispiel generell ausschließt. Für endliche oder periodische Signale verwendet man die DFT, was zum früheren Resultat von Nyquist führt, welches genauere Aussagen zu der 2x Grenze macht. 4x Abtastrate ist ein Richtwert, keine präzise Schranke für reale Abtastmethoden. Der Faktor hängt vom verwendeten Bandfilter ab. Mit den üblichen 41 kHz für Audio wird mehr als nur 10 kHz zufriedenstellend abgetastet.--LutzL (Diskussion) 12:12, 9. Aug. 2014 (CEST)

Falsch. Bei 90° Phasenverschiebung sind im Bild alle Werte NULL! Shannon behandelt nur den synchronen Fall (Realteil). Allgemeine Abtastung muss 4x sein. Das ist kein Richtwert. Es ist ein Muss! Sehen sie das Bild nochmals an. Und den Literaturhinweis oben. --212.95.7.27 12:48, 11. Aug. 2014 (CEST)

Das ist das klassische Missverständnis des Abtasttheorems. Es wird keine Aussage über die Phase der Abtastpunkte gemacht, sondern lediglich in welchem zeitlichen Abstand Funktionswerte liegen müssen, um das Signal wieder vollständig rekonstruieren zu können.

Außerdem ist das Beispiel mit dem 90° phasenverschobenen Sinus in der Praxis (zB. bei Multimedia-Anwendungen) hinfällig, weil solch ein Signal praktisch niemals auftritt. Der eigentlich Grund für Überabtastung ist das SNR zu drücken oder geringere Anforderungen an analoge Filter stellen zu können.--Plankton314 (Diskussion) 13:12, 11. Aug. 2014 (CEST)

Eine Aussage über die Phase (ich nehme an, damit ist die exakte Lage des "nullten" Abtastpunktes gemeint) ist nicht notwendig. In realistischen Signalen, welche die Bandbedingung erfüllen, ist die Amplitude stetig in der Frequenz und damit die Amplitude der Grenzfrequenz null, so dass sich alle Diskussion erübrigt. Auch für theoretische Signale ist die Amplitude der Grenzfrequenz nebensächlich. Siehe Maß- und Integrationstheorie. Und wie im Artikel gesagt, noch bevor Rauschen in Betracht gezogen wird, ergibt sich die Notwendigkeit der Überabtastung aus der Endlichkeit realer Prozesse und der nicht idealen Natur (da endlich) realer Filter, analog wie digital.--LutzL (Diskussion) 15:27, 11. Aug. 2014 (CEST)

Der Artikel ist widersprüchlich hinsichtlich der Grenzfrequenz

Hallo,

im Einleitungstext wird gesagt, die Abtastfrequenz müsste größer als das Zweifache der maximalen Signalfrequenz sein, um das Ursprungssignal im Nachhinein rekonstruieren zu können. Später heißt es, die Abtastrate müsse >= dem Zweifachen der maximalen Signalfrequenz entsprechen. Dies ist ein wesentlicher Unterschied. Das Gleichheitszeichen kann nicht stimmen. Ungünstig könnte man etwa A*sin(2*pi*t) bei t = 0 und t = 1/2 abtasten, hätte dann zwei mal den Wert Null und wüsste nichts über die Amplitude A, obwohl man mit doppelter Frequenz (diese ist hier 1 Hz) abtastet. (nicht signierter Beitrag von 78.53.148.100 (Diskussion) 00:04, 21. Mär. 2015 (CET))

• Ihr Einwand ist korrekt, wurde hier auch mehrfach gebracht und anschliessend niedergeschrien und dann archiviert. Tatsächlich gilt der gesamte Artikel nur für den Sonderfall einer einzelnen Sinusfunktion und bei Synchrondemodulation auf die Scheitelwerte. Im allgemeinen Fall muss mit 4-fach abgetastet werden. Der Artikel ist Schrott. WP schafft sich selber ab. --213.162.68.101 19:19, 28. Mär. 2015 (CET)

Ich habe tatsächlich genau dieses Problem, allerdings würde ich es nicht so leicht abtun, denn in der Praxis funktioniert 44100 Hz für 20-kHz-Audio ja doch ziemlich gut. --2001:638:504:20E4:6D2A:7CAB:E302:B408 21:04, 1. Sep. 2015 (CEST)

Trennung von Sachverhalten

Nun, im Grunde vertragen alle Artikel der Informationstheorie eine Überarbeitung, aber wir können hier mal klein anfangen. -- Plankton314 (Diskussion) 23:58, 24. Apr. 2013 (CEST)

Also in diesem Buch S. 37 ([4]) wird (in deinem Sinne) streng unterschieden zwischen:

• Shannon-Theorem: eine hinreichende Bedingung für die Rekonstruktion eines Signals. Die Bedingung korrespondiert mit f_max
• Nyquist-Grenze: eine notwendige Bedingung für die Rekonstruktion eines Signals. Die Bedingung korrespondiert mit der Bandbreite des Signals

ich bin dafür, dass wir diese Unterscheidung ebenso streng erwähnen und das Buch als Quelle angeben. --biggerj1 (Diskussion) 00:14, 25. Apr. 2013 (CEST)

Die Unterscheidungen die du erwähnst (Shannon "vs." Nyquist) sind im Grunde zwei Seiten der selben Medaille. Da die Informationstheorie immer sehr nah an die Mathematik grenzt, würde ich vorschlagen, den Artikel lieber im Sinne der Allgemeinverständlichkeit etwas "loser" zu fassen.

Als die größten "Baustellen" sehe ich ATM nur die Einleitung und den Abschnitt "Motivation" sowie "Unterabtastung", wobei letzterer auch nicht völlig falsch ist, sondern mMn. nur etwas schwierig formuliert. Man könnte im Grunde ziemlich lange hieran feilen, aber irgendwo hört das Wiki auch auf und die Fach-Lit beginnt. -- Plankton314 (Diskussion) 00:29, 25. Apr. 2013 (CEST)

Tut mir leid. Ich halte es für essentiell wichtig diese Unterscheidung zw. Shannon-Theorem und auch hier "durchzudürcken". Das ist ein großer Unterschied und das Buch sagt, dass es ein häufiges Missverständnis ist, dass die beiden Sachverhalte (Shannon-Theorem und Nyqist-Grenze) das gleiche aussagen. --biggerj1 (Diskussion) 14:29, 2. Mai 2013 (CEST)

Tut mir leid, da liest Du mehr in das Buch rein, als drin steht. Man kann an das schon vorhandene Kriterium zur Unterabtastung auch gerne noch den (meiner Kenntnis nach) ahistorischen Namen "Nyquist-Kriterium" dranschreiben und expliziter betonen, dass in den meisten Fällen diese Schranke nicht scharf ist. Aber die von Dir angesprochene Kluft zwischen den beiden Sachverhalten sehe ich nicht.--16:33, 16. Mai 2013 (CEST)

Also im Buch wird das klar getrennt [5] (fette Hervorhebung von mir): "You will often hear that signals should be sampled at 'more than twice the highest frequency', but this results from a confusion between two similar-sounding relationships: Shannons's theorem and Nyquist's sampling limit. The sampling theorem describes a sufficient condition, not a necessary one" ... "Shannon's theorem is often confused with Nyquist's limit which, by contrast, expresses a necessary condition, pertaining to the bandwith of the signal, not the highest frequency F_s >2W"--biggerj1 (Diskussion) 10:00, 19. Mai 2013 (CEST)

Ad Unterabtastung: Sollte vielleicht als Verallgemeinerung in den Artikel, in der Quelle Higgins z.B. ist es ausgeführt. Die Fouriertransformierte eines Signals habe einen Träger T. Im Falle eines Basisbandsignals ist $T=[-f_{max},f_{max}]$. Die Forderung an die Samplingfrequenz $f_{s}$ ist dann, dass die verschobenen Mengen $k\cdot f_{s}+T:k\in \mathbb {Z}$ sich nicht überlappen, d.h., maximal Randpunkte gemeinsam haben. Woraus für das Basisband $f_{s}\geq 2\cdot f_{max}$ als Bedingung folgt. -- Für ein allgemeines bandbeschränktes Signal hat der Frequenzträger die Gestalt $T=[f_{min},f_{max}]\cup [-f_{max},-f_{min}]$, denn der Frequenzträger reeller Signale ist immer symmetrisch zur Null. Die volle Bedingung des Nicht-Überlappens lautet dann, dass es eine natürliche Zahl k geben muss, so dass $k\cdot f_{s}\leq 2\cdot f_{min}$ und gleichzeitig $(k+1)\cdot f_{s}\geq 2\cdot f_{max}$ erfüllt sind. Eine Folgerung daraus und damit eine notwendige Bedingung ist $f_{s}\geq 2\cdot (f_{max}-f_{min})$. Dies allein garantiert aber noch nicht, dass $[f_{min},f_{max}]$ in einen der Slots $[k,k+1]\cdot {\tfrac {1}{2}}f_{s}$ fällt.--LutzL (Diskussion) 15:29, 21. Jun. 2013 (CEST)

erledigt. Die Nyquist-Frequenz steht jetzt im Artikel. Ist auch ausreichend erklärt: Nyquist bezieht sich auf die Bandbreite eines Signals, Shannon auf seine Frequenz. Schließlich heisst der Artikel auch "Nyquist-Shannon-Abtasttheorem". Wobei „Shannon-Whittaker“ eigentlich auch noch möglich wäre. Von Whittaker stammt die "Interpolatory Function Theory". Die geht hier auch ein, aber dazu was zu schreiben, würde zu weit führen. WIr lagen vor Madagaskar (Diskussion) 02:29, 13. Dez. 2016 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: WIr lagen vor Madagaskar (Diskussion) 01:27, 15. Dez. 2016 (CET)

Erster Abschnitt (Einführung)

Die letzten beiden Sätze der Einführung widerlegen fälschlicherweise die ganze Theorie und verwirren eher: "Die exakte Rekonstruktion ist dabei nur theoretisch möglich, da hierzu eine unendliche Anzahl an Abtastpunkten nötig wäre. In der Praxis beschränkt man sich deswegen darauf, das ursprüngliche Signal möglichst gut zu interpolieren."

Ich bin der Meinung diese sollten gestrichen werden weil: - Die Einschränkung, das Abtasttheorem gelte nur in der Theorie, stimmt nicht (Theorie und Praxis müssen übereinstimmen, denn sonst wäre entweder die Theorie fehlerbehaftet oder in der Praxis falsch angewendet). - Die Probleme die sich in der Praxis ergeben, sind wohl eher beim vorgelagerten Antialiasingfilter und dem Bandüberlappungsfehler zu suchen. Das hat mit dem Theorem nichts zu tun. - Es ist didaktisch nicht sinnvoll technische Umsetzungsprobleme mit der Theorie undifferenziert zu verbinden. - Ausserdem ist die Aussage es wären in der Praxis unendlich viele Abtastpunkte nötig, schlicht weg falsch. Das wäre Oversampling. Es braucht zur Erfassung einer reinen Schwingung genau 2 (und nicht 3 und auch nicht unendlich viele Abtastungen) pro Periode. Das macht die Eleganz dieser Theorie aus.

Wenn schon eine Einschränkung, welche auf die technischen Probleme Bezug nimmt, dann in etwa wie folgt: Die endliche Steilheit des vorgeschaltenen (analogen) Antialiasing-Filters (Tiefpass) führt dazu auch höhere Frequenzen abgetastet werden, was zur Verletzung des Abtasttheorems und damit zu Bandüberlappungsfehlern führen kann. Daher muss in der Praxis die Abtastfrequenz fa grösser als das 2-fache der Grenzfrequenz des vorgeschalteten Tiefpasses sein. (nicht signierter Beitrag von Gehrig64 (Diskussion | Beiträge) 14:04, 25. Feb. 2015 (CET))

Glaube, diese Sätze besagen das, was ich mit meinem Kommentar weiter unten sagen wollte: - Wenn das Signal unendlich lang ist, reicht es aus, es mit der doppelten Signalfrequenz abzutasten und man kann es rekonstruieren. - Ist das Signal kürzer, dann geht das nicht mehr. Aber wenn man ein versucht, aus Sinus- und Kosinuswellen ein Signal zu konstruieren, das nicht unendlich lang ist, braucht man dafür viele Frequenzen. Da bei diesen auch welche dabei sind, die über der eigentlichen Frequenz des ursprünglichen, unendlich langen Signals liegen, ist die doppelte Frequenz des gekürzten Signals allerdings auch deutlich höher als die des ungekürzten Originals. Also gilt das Abtasttheorem doch - wenn dessen Anwender weiß, dass ein gekürztes Signal ein breiteres Spektrum hat, als ein ungekürztes. --Peterpall (Diskussion) 08:27, 17. Jun. 2016 (CEST)

Ich habe etwas mehr zum Thema geschrieben, warum die reale Welt etwas komplizierter ist als die Mathematik. Eigentlich trivial: die Mathematik sagt, unendlich viele Werte müssen aufaddiert werden, der Ingenieur sagt, soviel Zeit habe ich nicht, es muss auch mit weniger Werten gehen. Das möglich zu machen ist schließlich sein Job. :)) Damit hoffentlich erledigt. WIr lagen vor Madagaskar (Diskussion) 02:36, 13. Dez. 2016 (CET)

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Nur bei streng repetitiven Signalen?

Ich habe immer gelernt, dass für ein sich ständig Wiederholendes Signal die doppelte Abtastfrequenz ausreicht - aber für ein Signal, das sich nicht ständig wiederholt, nicht. ...allerdings bin ich mir nicht sicher, ob im Spektrum eines nicht-sich-ständig-wiederholenden-Signals nicht Frequenzanteile enthalten sein müssen, die höher als die Grundfrequenz des eigentlichen Signals liegen. --Peterpall (Diskussion) 07:44, 17. Jun. 2016 (CEST)

Musst du andersherum betrachten: Wenn aus einem digitalen Signal wieder ein analoges Signal rekonstruiert wird, so enthält das analoge Signal keine höheren Frequenzen als die halbe Abtastfrequenz. Beispiel Telefon: dein Sprachsignal wird mit 8 kHz abgetastet und digitalisiert. Beim Empfänger wird aus dem digitalen Signal wieder ein analoges Signal gemacht. Das besteht dann aus einem Frequenzgemisch. Dessen höchste Frequenz ist 4 kHz, die Hälfte. Auch wenn der Sprecher hohe Frequenzen in seiner Sprache hatte, die wurden nicht digitalisiert, weil dazu die Abtastrate zu klein war. Deswegen quakt das auch so. WIr lagen vor Madagaskar (Diskussion) 02:45, 13. Dez. 2016 (CET)

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