Diskussion:Poisson-Verteilung

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Konkretere Beispiele

Hallo allerseits. Ich hoffe, ich stoße hiermit keine große Grundsatzdiskussion an, aber jedes mal wenn ich ein mathematisches Porblem hab schau ich zuerst in die Wikipedia, nur um dort immer eine 100% korrekte, aber leider auch 100% unverständliche Erklärung zu finden. Wäre es möglich einen Paragraph "XYZ für Einsteiger - Konkrete Beispiele" hinzuzufügen. Ich weiß, dass Erklärungen nicht wirklich zum Umfang gehören müssen, aber es wäre schön. Hier z.B. ein Beispiel dass versucht ohne unverständliche Zeichen auszukommen. Es ist natürlich nicht Perfekt, aber es wäre vieleicht ein Anfang:

Beispiel: Eine Münze werfen und feststellen mit welcher Warscheinlichkeit dabei fünfmal Zahl oben liegt.

Zielzahl= Anzahl der positiven Ergebnisse, deren Warscheinlichkeit wir feststellen wollen, also hier 5*Zahl = 5

Ereignisrate=Chance das das Zielereigniss bei einem Test auftritt. Also hier Chance von Zahl bei einem Wurf = 0.5

Versuchswiederholungen=Anzahl der Tests, also hier zehn mal werfen = 10

Die Berechnung ist recht einfach. Zu beachten ist lediglich folgendes: Eine Fakultät ist die Multiplikation aller ganzer Zahlen die größer sind als 0 und kleiner oder gleich der gegebenen Zahl. Also z.B. Fakultät von 5 ist 5*4*3*2*1=120. Die normale Schreibweise ist die Zahl, gefolgt von einem "!". Also z.B. "5!".

( Fakultät von Versuchswiederholungen / ( Fakultät von Zielanzahl * Fakultät von( Versuchswiederholungen - Zielanzahl ) ) )
* ( Ereignissrate ^ Zielanzahl )
* ( 1 - Ereignissrate )^( Versuchswiederholungen - Zielanzahl )

oder mit Abkürzungen (W=Versuchswiederholungen , A=Zielanzahl, E=Ereignissrate):

( W! / ( A! * (W-A)! ) ) * ( E ^ A ) * ( 1 - E )^( W - A )

Setzen wir also unsere Werte ein (W=Versuchswiederholungen=10 , A=Zielanzahl=5, E=Ereignissrate=0.5):

( 10! / ( 5! * (10-5)! ) ) * ( 0.5 ^ 5 ) * ( 1 - 0.5 )^( 10 - 5 )

Rechnen wir nun die Fakultäten aus:

10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3628800
 5! und (10-5)! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

Ergibt:

( 3628800 / ( 120 * 120 ) ) * ( 0.5 ^ 5 ) * ( 1 - 0.5 )^( 10 - 5 )

Jetzt können wir direkt ausrechnen:

252 * 0.03125 * 0.03125 = 0,24609375

Also sollten in rund 25% aller Fälle genau 5 von 10 geworfenen Münzen Zahl zeigen.

Hans Schmucker (hansschmucker at gmail dot com) --87.165.199.99 03:21, 11. Apr. 2007 (CEST)

Poisson-Prozess Problematik Kaufhausbeispiel

Das Beispiel mit dem Kaufhaus finde ich in seiner jetzigen Form schlicht und ergreifend unvollständig. Es muss hier dazugesagt werden, dass die Anzahl der Kunden in Abhängigkeit von der Zeit als Poisson-Prozess modelliert wird. Das ist schließlich nicht das selbe wie eine poissonverteilte Zufallsvariable. --Benson.by 22:07, 6. Okt 2004 (CEST)

Ich wollte hier auch in einem Beitrag schreiben, dass ich -- als interessierter Laie --das Kaufhausbeispiel für problematisch halte. Erstens, der Kundeneintritt pro Minute ist doch kein seltenes Ereignis, wenn er im Schnitt sechsmal stattfindet; oben heißt es aber, die Poisson-Verteilung ergebe sich bei seltenen Zufallsereignissen. Das ist verwirrend und sollte erklärt werden, wenn man nicht tatsächlich ein anderes Beispiel wählt. Zweitens, es ist eigentlich nicht zu erwarten, dass der samstägliche Eintritt von Kunden in ein Kaufhaus einer Zufallsverteilung folgt. Ich würde hier Cluster und keine regelmäßige Verteilung erwarten; etwa Häufungen zur Ladenöffnung, zwischen 11 und 15 Uhr, bei Ankunft öffentlicher Verkehrsmittel, sowie paar- oder gruppenweiser Eintritt von Freunden und Familien. Jemand, der sich wirklich auskennt, sollte da nochmal drüber gehen und im Zweifelsfall ein geeigneteres Beispiel wählen.Geometer9420 10:59, 22. Aug. 2010 (CEST)

Selten heisst in diesem Zusammenhang nur, dass die Kunden das Kaufhaus einzeln nacheinander betreten (Poissonsche Annahmen). Jedes Zeitintervall lässt sich so unterteilen, dass zwischen den sequentiellen Ereignissen immer noch beliebig viele Momente liegen, wo niemand das Kaufhaus betritt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Kunden sich auf den Weg zum Kaufhaus machen, hängt natürlich von den Umständen ab. Je mehr man darüber weiss, um so präzisere Vorhersagen kann die Poisson-Verteilung liefern. So ist es vielleicht sinnvoll, den Erwartungswert Lambda zeitabhängig z.B. für jede Stunde anzupassen. Oder wenn zu einer bestimmten Zeit ein Sportereignis stattfindet, werden viele Leute ihr Einkaufsverhalten danach ausrichten. Das alles kann man berücksichtigen, wenn man für die Ermittlung von Lambda möglichst gleichartige Umstände auswählt. So gesehen finde ich das Kaufhausbeispiel doch sehr instruktiv. Gruss --131.220.219.200 12:34, 20. Jun. 2011 (CEST)

Im Kaufhausbeispiel sind fast alle Poissonschen Annahmen nicht erfüllt: 1) Die Rate ist in der Regel nicht konstant 2) die Anknüpfte sind häufig Gruppenankünfte 3) Die Zeitintervalle sind möglicherweise nicht unabhängig voneinander. Es ist eher ein Gegenbeispiel und sollte gestrichen werden. Insbesondere, da es unbelegt ist.--Duerer38 (Diskussion) 21:00, 31. Mai 2015 (CEST)

Grafik und Ergänzung

Eine Grafik zur Veranschaulichung des Verlaufs einzelnen Verteilungen (u.U. bei verschiedenen ausgewählten Parametern) würde meines Erachtens nach anschaulicher wirken als nur eine Tabelle mit Werten.

Die Poisson-Verteilung kann auch bei Schadensfällen (bspw. bei einer Versicherung bei der Bestimmung der Schadenshöhe) herangezogen werden. --Wolly 11:10, 3. Nov 2004 (CET)

Erläuterung der Formel

(e ist die Eulersche Zahl; ex steht somit für die Exponentialfunktion; n! bezeichnet die Fakultät von n.)

sollte ergänzt werden durch "- ist ein Bruchstrich und bezeichnet die Division". Mal im Ernst, was soll denn die Erklärung von "e" und "!"?

Das Intro, in dem diese Erklärung steht, ist der sogenannte "Oma-Satz" und sollte deshalb so allgemeinverständlich wie möglich sein. Erst nach dem Inhaltsverzeichnis kann man übliche Mathematik-Begriffe voraussetzen. (Nebenbei: Dein Beitrag hier wirkt so anonym).--JFKCom 11:43, 27. Apr 2006 (CEST)

Bei der Definition der Poissonverteilung wäre es m.E. hilfreich, wenn man noch schreiben würde, dass sich die errechneten Wahrscheinlichkeiten auf das selbe Intervall beziehen, für das lambda der Erwartungswert ist. Das steht zwar an anderer Stelle schon, aber wenn man nicht weiß, auf was sich die Wahrscheinlichkeiten beziehen, kann man mit der Formel ja nichts anfangen. Deshalb sollte es m.E. auch im Abschnitt "Definition" genannt werden.--84.141.36.21 20:26, 10. Dez. 2018 (CET)

Bezeichner in den Formeln

In der Herleitung der Poisson-Verteilung aus der Binomialverteilung (die im Übrigen sehr erhellend ist) hat $n$ eine andere Bedeutung als im sonstigen Artikel, ohne daß darauf hingewiesen wird. Ich glaube, das gilt auch für die Verteilungsfunktion, bin aber nicht ganz sicher. Vielleicht kann das jemand prüfen und homogenisieren.

Meiner Meinung nach müsste in der oberen Formel (und im ersten Satz) das n durch k ersetzt werden (analog zur unteren Formel bei der Herleitung). Erst dann passen die nächsten Sätze mit dem n-maligen Ausführen. k ist dann die Anzahl der Erfolge. Ebenso ist in den Beispielen n durch k zu ersetzen.

- War der gleichen Meinung. Habe jetzt die obere Formel in der Bezeichnung denjenigen in der Herleitung angepasst, sodass das "n-malige Durchführen" etc wieder richtig ist und noch einen Hinweis auf $\lambda$ ergänzt. In den folgenden Sätzen habe ich den Verweis auf "hohe n" und auf "p" entfernt, da die Bezeichner an dieser Stelle nicht nötig sind und nur Verwirrung stiften. Bei der Verteilungsfunktion und den Aufgaben jedoch finde ich die Verwendung von n nicht missverständlich, da eigentlich klar wird, welche Rolle das n hier spielt. In den Beispielen müsste sonst außerdem noch die Grafik überarbeitet werden.

Stetiges Analogon

"Die Poisson-Verteilung ist also das stetige Analogon zur diskreten Binomialverteilung."

In diesem Zusammenhang von Stetigkeit zu sprechen ist ziemlich irreführend. Die Poisson-Verteilung ist ebenso wie die Binomial-Verteilung eine diskrete W-Verteilung, da sie auf ganz N definiert ist. Eine stetige Verteilung (und der Wortlaut legt diese Lesart nahe) ist aber auf nicht-abzählbaren Mengen definiert (etwa den reellen Zahlen).

Antwort: Das stimmt natürlich, deshalb kann der Satz auch raus, denn daß die Poisson-Verteilung die Grenzverteilung der Binomialverteilung für große n ist, steht schon drei Zeilen weiter oben. Danke für den Hinweis.

Schreibweise der Formel

Hi!

Es mag blöd klingen, aber: Warum wird die Formel eigentlich immer auf diese Art geschrieben, und nicht so:

${\frac {\lambda ^{k}}{k!\cdot e^{\lambda }}}$

IMHO würde die Formel auf diese Art ein bisschen einfacher aussehen (naja, man spart sich halt ein Vorzeichen). Dennoch habe ich sie bisher noch nie so, sondern immer so wie im Artikel, gesehen. --pi 14:20, 28. Jun. 2007 (CEST)

Der linke Faktor „verursacht“ den steigenden Ast, der rechte den fallenden. Der linke Faktor erinnert an die Exponentialfunktion

$e^{\lambda }:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$, der rechte der Exponentialfunktion mit negativem Exponenten. Zusammen ergeben sie so etwas, das aussieht wie die Normalverteilung $e^{-\lambda ^{2}}$, was eben durch die Produktschreibweise sofort ins Auge sticht (naja, oder eben auch nicht). Die vorgeschlagene Abänderung IYHO würde diese Ästhetik weniger deutlich hervortreten lassen, --Thanatos 18:48, 29. Jun. 2007 (CEST). (PS Was du am Minus gespart hast, musst du an den Bruchstrich länger dranmalen.)

beziehung zur binomialverteilung

ich kenn den satz mit anderen vorraussetzungen: \lambda < 0 n*p_n \to \lambda für n\to\infty dann gilt: b(k,n,p_n) \to p_\lambda(k) für n \to \infty

die bedingungen scheinen mir allgemeiner als die forderung p_n = \lambda/n. beweis kann ich, falls gewünscht nachliefern. ist mir grad zuviel aufwand.

"Falls die Anzahl der Ereignisse n sehr groß und die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens p = 0,5 wird, so wird aus der Poisson-Verteilung bzw. Binomial-Verteilung die Gaußsche Normalverteilung." interessant wäre auch, wie sich da $\sigma$ berechnet, $m$ bleibt wohl gleich. --84.174.238.160 15:26, 24. Jan. 2008 (CET)

Physikalisches Beispiel

"In der Natur folgt zum Beispiel die zeitliche Abfolge radioaktiver Zerfälle einzelner Atome der Poisson-Statistik." Ja das habe ich auch gehört - wobei eigentlich die Kerne zerfallen. Kennt da jemand ein Besipiel mit Zahlen? In den Büchern steht immer nur das radioaktive Zerfallsgesetz und das ist ja exponentiell. --84.174.238.160 15:21, 24. Jan. 2008 (CET)

In dieser Form ist die Aussage eigentlich falsch, deshalb werde ich sie ändern. Die Poisson-Verteilung ergibt sich in der Anzahl Zerfälle pro Zeiteinheit. Die zeitliche Abfolge (= Zeiten zwischen Einzelzerfällen) ist aber exponentialverteilt, wie in den Grundlagen weiter oben in der Seite zur Poisson-Verteilung ausgeführt wird. Der Link hingegen verweist auf Text, der die exponentielle Abnahme der Aktivität beschreibt. Dieses "exponentiell" hat aber mit der exponentialen Verteilung der Zeiten nichts zu tun, es ergibt sich, weil jedes Atom nur einmal zerfallen kann.-- Perot 15:15, 6. Apr. 2010 (CEST)

Beziehung zur Normalverteilung

Die Bedingung, ab wann die Poisson-Verteilung in die Normalverteilung übergeht, kann nur von $\lambda$ abhängen, nicht von n oder p, weil diese Variablen gar nicht in der Formel für die Poisson-Verteilung vorkommen. Es ist mir schon klar, dass aus der Ableitung aus der Binominalverteilung $\lambda =np$ folgt, aber es kann trotzdem nicht zwei getrennte Bedingungen geben. Anderswo habe ich gelesen, dass die Annäherung für $\lambda >9$ brauchbar ist.

Zweitens wäre es hilfreich zu sehen, wie die angenäherte Normalverteilung dann konkret aussieht. Vermutlich ist weiterhin $\mu =\sigma ^{2}=\lambda$, so dass man folgendes bekommt

$P(X=k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \lambda }}}\exp \left(-{\frac {(k-\lambda )^{2}}{2\lambda }}\right)$

Kann das jemand bestätigen? Ich konnte diese Formel nirgendwo finden.--91.17.27.212 21:59, 16. Feb. 2008 (CET)

Praktisches Beispiel

Im Rettungsdienst steht immer folgendes Problem: Im Jahr gibt es für bestimmte Schadensereignisse eine Anzahl von Einsätzen, welche eine gewisse Zeit dauern. Per Gesetz wird in vielen Bundesländern vorgeschrieben, daß ein Rettungsmittel (z.B. Notarzteinsatzfahrzeug - NEF) innerhalb von soundso vielen Minuten am Ereignisort eintreffen muß, um die entsprechende medizinische Versorgung zu gewährleisten. Da dem Gesetzgeber klar ist, daß es auch u.U. dazu kommt, daß es zur gleichen Zeit zu mehreren solcher Schadensereignissen kommen kann, legt er weiterhin fest, daß diese sogenannte Hilfsfrist in (meistens) 95% aller Fälle einzuhalten ist. Jetzt haben die Betreiber der Notfallrettung das Problem ihre Vorhaltung zu berechnen. D.h. wieviele NEF (einschließlich der Besatzung) muß ich in ständiger Rufbereitschaft haben, um im Jahresdurchschnitt auf 95% aller Schadensereignisse innerhalb der Hilfsfrist reagieren zu können. Mit der Poisson- Verteilung (die wird auch in den meisten Fällen zur Berechnung herangezogen) kann man ermitteln wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, daß mehrere Schadensereignisse gleichzeitig auftreten. Meine Frage ist dann: Kann man mittels der Poisson- Verteilung die Wahrscheinlichkeit ermitteln wie oft innerhalb eines Jahres ein solches Schadensereignis eintritt? Also so wie es im Artikel steht kann ich berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, daß ein, zwei, drei, ... Ereignisse gleichzeitig auftreten. Ich möchte aber vorraussagen können, daß im Jahr von 1000 Einsätzen es 900 mal vorkommt, daß nur ein NEF benötigt wird und 190 mal zwei NEF benötigt werden und 9 mal drei und 1 mal mehr als drei Einsatzfahrzeuge rollen müßten. Jetzt kann sich jeder selbst ausmalen, daß die Krankenkassenbeiträge in die Höhe schnellen, wenn jede Stadt oder jeder Landkreis pauschal pro 1000 Einwohner 10 NEF's vorhalten würde. Auf der anderen Seite möchte ich nicht derjenige sein, bei dem der Fall eintritt, daß zehn Einsatzmittel vorgehalten wurden und ich aber der Dumme bin der gleichzeitig der Elfte ist. Da kommt dann keiner mehr um mir zu helfen, höchstens Stunden später. Die Lösung dieser Problematik ist aus meiner Sicht nicht nur eine Bereicherung des Artikels, sondern hat auch einen echt praktischen Wert. --MfGrüssen (nicht signierter Beitrag von 88.74.164.117 (Diskussion) 23:00, 26. Mär. 2008)

Hätte mich gern angemeldet, geht aber aus irendeinem Grund nicht. Verlinke bitte auf deine Benutzerseite und ändere deinen Login- Namen mit MfGrüssen, dann bist du auf meiner Benutzerseite. Warum da eine Sperre vorliegt ist mir unklar. --MfGrüssen (nicht signierter Beitrag von 88.74.142.108 (Diskussion) 23:51, 26. Mär. 2008)

Auch wenn du nicht angemeldet bist, kannst du deine Beiträge mit vier Tilden -- ~~~~ abschließen, dann werden IP und Uhrzeit/Datum generiert. -- Jesi 01:45, 27. Mär. 2008 (CET)

Sparmöglichkeit: statt 4 Tilden 1x oben das 2. Symbol von rechts anklicken. 75% Klickeinsparung, das ist doch was!--Hans Eo 14:17, 29. Aug. 2009 (CEST)

Einleitung

In den einleitenden Sätzen wird Lambda eine 'Rate' (pro Intervall, Zeit oder Raum) genannt, ist aber nur eine (wegen exp(- lambda)) dimensionslose reelle Zahl, die die erwartete Anzahl von Ereignissen angibt. Wäre Lambda eine Rate, müsste sie erst mit einem dazugehörigen Abstand (Zeit oder Raum) multipliziert werden, um eine erwartete Anzahl (dimensionslos) zu ergeben. Ich habe also die missverständlichen Worte 'Ereignisrate genannten' entfernt.--131.220.161.244 18:08, 18. Mär. 2009 (CET)

Es wäre schön, wenn Du für Deine Erweiterungen Belege angeben könntest. --P. Birken 19:46, 24. Mär. 2009 (CET)

Die Rekursion ergibt sich daraus, dass Poisson ein Spezialfall der Panjer-Verteilung mit a=0 ist. Bezüglich der Herleitung stütze ich mich auf das Buch Frodesen, Skjeggestad, Tofte: Probabibility and Statstics in Particle Physics, Universitetsforlaget, Bergen - Oslo - Tromsö, 1979, pp78ff (das beste Statistikbuch, das ich kenne, leider out of print, aber sicher in vielen Bibliotheken vorhanden.). Wegen der Poisson-Annahmen kannst du auch nach poisson assumptions googeln. mfg --92.228.216.219 00:19, 25. Mär. 2009 (CET) (=131.220.161.244)

Danke, ich habe das mal in den Artikel gepackt. Viele Grüße --P. Birken 19:24, 25. Mär. 2009 (CET)

Fehler im Reis Experiment?

Ich habe in der Diskussionsseite zum Artikel "Gesetz der kleinen Zahlen" einen Beitrag zum Reis Experiment erstellt. Da das ja auch im Poisson Verteilungs Artikel vorkommt, könnte das auch die Leser hier interessieren.--217.229.188.153 14:15, 6. Sep. 2009 (CEST)

Hat eigentlich jemand das Reis-Experiment nachgerechnet? Bei mir eribt N/n = 66/49 =1,347 und damit ergibt sich eine etwas andere Verteilung:

k=0 ca. 17 mal k=1 ca. 23 mal k=2 ca. 16 mal k=3 ca. 7 mal k=4 ca. 2,3 mal k=5 ca. 0,63 mal

--Tsok 11:10, 28. Mai 2010 (CEST)

Das Beispiel hat hier nichts zu suchen. Es ist ein klassischer Fall der Binomialverteilung bzw. Poisson-Approximation bzw. ein Fächermodell. Außerdem ist zu definiren, was passiert wenn ein Reiskorn genau auf der Kante zwischen zwei Feldern liegt...--Duerer38 (Diskussion) 07:22, 1. Jun. 2015 (CEST)

Beziehung zur Erlang- und Exponentialverteilung

In diesem Abschnitt gibt es folgendes 'Dimensionsproblem': in der Poisson-Verteilung bezeichnet lambda die erwartete Anzahl von Ereignissen in einem Intervall (was meistens NICHT das Einheitsintervall ist), waehrend sich lambda in der Erlang- und Exponentialverteilung immer auf das Einheitsintervall bezieht (also eine Rate darstellt, die mit x oder t multipliziert werden muss, um eine dimensionslose Zahl als Argument der e-funktion zu ergeben). Beide sind hier mit dem gleichen Zeichen benannt, was zu Verwirrung fuehren muss. Ich habe deshalb lambda in Er() und Exp() in g umbenannt. --131.220.161.244 13:27, 7. Mai 2010 (CEST)

Sportergebnisse

Dieses Beispiel hat einige Haken:

1. Warum sollte man überhaupt mit der Poissonverteilung die geschossenen Tore erklären wollen?
2. Warum ist Lambda 1,05 statt 2,10? Den Zusatz im Text, der erklärt das Lambda = Anzahl der Tore / Anzahl der Spiele / Anzahl der Mannschaften = 101/48/2 überliest man leicht.
3. Es fehlt eine Aussage dazu, warum die Wahrscheinlichkeit für 1:0 Ergebnis geschrieben werden soll als P(Anzahl Tore Mannschaft 1=1)*P(Anzahl Tore Mannschaft 2=0). Im Kern wird nämlich hier ausgesagt, dass die geschossenen Tore von beiden Mannschaften in einem Spiel unabhängig voneinander sind. Und das glaubt nicht mal meine OMA.
4. Warum wird zwischen den Ergebnissen 1:0 und 0:1 unterschieden? Das ist doch nur eine Frage der Benennung, welches Land ich als Mannschaft 1 und welches ich als Mannschaft 2 benenne.

--Sigbert 14:00, 7. Okt. 2010 (CEST)

Genial! Kann man das auch für jemanden ohne Mathe-Studium darstellen? Wie soll ein Mathe-Laie verstehen was das nun endlich ist? Was ist also, für Deppen mal, die Poisson-Verteilung? (nicht signierter Beitrag von 217.151.145.210 (Diskussion) 09:11, 27. Okt. 2010 (CEST))

1. Warum nicht ? Die gute Übereinstimmung zwischen Poisson-Verteilung und tatsächlichen Ergebnissen zeigt doch, dass Torerfolge beim Fußball im hohen Grad als Bernoulli-Prozesse angesehen werden können. Wie häufig hört man, dass eine Fußballmannschaft unverdient gewonnen oder verloren hat - das liegt genau daran, dass die wenigen zählenden Ereignisse in einem einzelnen Spiel eher zufällig verteilt sind. Das ist besonders heftig bei Wettbewerben im K.-o.-System, weil dann häufig etwas bessere Mannschaften rein zufällig ausscheiden (manche (eher nicht die Omas) sagen dann: "Der Pokal hat seine eigenen Gesetze."). Erst wenn am Ende eine Ligasaison wirklich eine ausreichende Anzahl von Ereignissen ausgewertet wird, kann man ermitteln, welche Rangfolge die Mannschaften haben. Bei Sportarten mit mehr zählenden Ereignissen (zum Beispel Handball oder Basketball) sind deutlich weniger Spiele erforderlich, um eine signifikante Rangfolge zu bestimmen.
2. Von 2,1 ist nirgends im Artikel die Rede, die 1,05 sind eindeutig beschrieben und nachvollziehbar.
3. Die Tasache, dass die Poisson-Verteilung so gut mit der Realität übereinstimmt, spricht für sich. Dass die Gesamtzahl der gefallenen Tore pro Mannschaft meistens unabhängig voneinander ist, ist somit statistisch belegt. Falls es nötig sein sollte, die vielen eher zufälligen Einflüsse zu beschreiben, die für die sehr wenigen Torerfolge pro Spiel und Mannschaft verantwortlich sind: Fehlentscheidungen und Bestechung von Schiedsrichter oder Linienrichtern, Eigentore, abgelenkte Torwarte oder Verteidiger, Wind, Hand Gottes, ...
4. Die zweidimensionale Poisson-Verteilung ist symmetrisch, die Wahrscheinlichkeit für X:Y ist als dieselbe wie für Y:X. Das könnte auch entsprechend zusammengefasst werden, es wäre dann aber weniger anschaulich, die reale und die berechnete Verteilung zu vergleichen.

Membeth 13:30, 5. Jan. 2011 (CET)

Der Tipp für das Pokalendspiel ist natürlich nur zufällig nahe am realen Ergebnis. Bei im Mittel etwa 2 zu 1 Toren wäre wohl 1:1 das wahrscheinlichste Einzelergebnis, aber die Tendenz sprach klar für VfL im Vergleich zu den Wettbüros, die Dortmund favorisierten ...--Duerer38 (Diskussion) 19:46, 2. Jun. 2015 (CEST)

Wäre es nicht geschickt, von der Saison 20XX zu schreiben, anstatt von der letzten Saison? (nicht signierter Beitrag von 193.158.111.5 (Diskussion) 14:10, 25. Sep. 2015 (CEST))

Einfacher erklären

Könnte einer der Experten versuchen den Sachverhalt "verstehbarer" bzw. in "einfachen Worten" zu erklären? Ich habe schon Probleme den ersten (Ab-)Satz zu verstehen und habe etwas Statistikwissen. Dieser erste (Ab-)Satz sagt mir, dass es sich um eine "diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung" handelt, aber nicht wodurch sich die "Poisson-Verteiling" von der "Binomialverteilung" unterscheidet. Was macht die "Poisson-Verteilung" zu Spezialfall?

Das Beispiel mit dem Blitz ist gut, vielleicht sollte man dieses Beispiel noch prominenter darstellen und durch weitere Beispiele ergänzen? Also wer nimmt sich ein Herz und macht den "Einstieg" verständlicher?

Danke, Matthias

--2A02:8204:D606:CAFE:583A:17D:B455:A28C 14:31, 12. Aug. 2013 (CEST)

Es gibt einen Abschnitt Anwendungsbeispiele...--131.220.161.244 11:01, 27. Aug. 2013 (CEST)

Schritte im Beweis zur Reproduktivität erläutern

Es ist schön, dass die Reproduktivität bewiesen wurde. Allerdings hatte ich große Schwierigkeiten beim Nachvollziehen des letzten Schritts. Hier sollte vielleicht auf den Binomischen Lehrsatz verwiesen werden (wichtig: Lehrsatz, nicht binomische Binomische Reihe - die hat nur einen Faktor mit Exponent und einen eigenen Wikipediaartikel, was auch der Grund war, warum ich es nicht verstanden habe). Ich würde mich freuen, wenn jemand den Verweis hinzufügen könnte. Ich habe noch keine Erfahrung im Wikipedia-Schreiben und will nichts falsch machen. (nicht signierter Beitrag von 188.104.206.50 (Diskussion) 10:58, 13. Jun. 2014 (CEST))

Belege fehlen

Ich finde, der Artikel hat keinen lexikalischen Charakter. Er leitet Ergebnisse länglich her, die in vielen Textbüchern stehen. Keine der wenigen angegebenen Quellen wird aber konkret im Text referenziert. Die Beispiele sind größtenteils Do-It-Yourself und entsprechen teilweise auch nicht dem Stand der Technik, vergleiche z. B. das Buch von Heuer zur Prognose von Fussball-Ergebnissen. Aus meiner Sicht bedarf der Artikel einer umfassenden Überarbeitung.--Duerer38 (Diskussion) 08:22, 22. Mai 2015 (CEST)

Herleitung als Heuristik markieren

Die in diesem Artikel behandelte "Herleitung" ist nicht mathematisch exakt. Um das dem Laien deutlich zu machen, sollte man darauf aufmerksam machen, dass diese Herleitung nur als Heuristik und Motivation gelten kann. 188.23.193.254 20:07, 29. Mai 2015 (CEST)

Ich stimme zu und würde die "Herleitungen" sogar alle streichen. So etwas passt in ein Lehrbuch, aber nicht in ein Lexikon. Vielleicht sollten sich die Autoren der Herleitungen zusammentun und ein Buchprojekt beginnen..--Duerer38 (Diskussion) 07:57, 30. Mai 2015 (CEST)

Ich habe die Herleitung als heuristisch markiert und etwas nach hinten verschoben. Wenn jemand die Herleitung nicht lesen mag, kann er problemlos den Abschnitt überspringen. Die poissonschen Annahmen sind sicherlich enzyklopädisch relevant und wichtig zum Beispiel in der mathematischen Modellierung, wo die (zumindest näherungsweise) Korrektheit der Annahmen stets hinterfragt werden sollte. Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:52, 30. Mai 2015 (CEST)

Also zumindest „1. Innerhalb des Intervalls $[w,w+\Delta w]$ gibt es höchstens ein Ereignis und beliebig viele Momente, in denen nichts geschieht (Seltenheit).“ halte ich mathematisch und sprachlich für ziemlichen Unsinn. Da wärs mir schon wohler, wenn es zu den „poissonschen Annahmen“ (und auch zu dem Begriff selbst) eine Quelle gäbe. -- HilberTraum (d, m) 12:48, 30. Mai 2015 (CEST)

Ja das ist schlecht formuliert. Gemeint ist wohl, dass immer eine Intervalllänge gefunden werden kann, sodass in jedem Intervall höchstens ein Ereignis stattfindet. Den Zusatz mit den beliebig vielen Momenten kann man einfach streichen. Offenbar ist man sich in der Literatur nicht einig, was genau die Annahmen sind, die zur Poisson-Verteilung führen. Wenn man nämlich auf Google Books nach "Poisson-Verteilung" Annahmen sucht, findet man die verschiedensten Varianten. Kennt jemand Literatur mit den Annahmen und der genauen Herleitung? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:04, 30. Mai 2015 (CEST)

Hier (bis Seite 155) steht zum Beispiel eine ähnliche Herleitung wie im Artikel, allerdings offenbar etwas rigoroser. --Quartl (Diskussion) 15:21, 30. Mai 2015 (CEST)

Die Herleitung im Artikel stammt im Wesentlichen aus diesem Edit. Interessanterweise wurde der Text danach eher verschlechtert als verbessert. --Quartl (Diskussion) 15:41, 30. Mai 2015 (CEST)

Ich halte den Abschnitt für schlecht bzw. ungenau formuliert. Außerdem gehört er nicht in diesen Artikel. Er will zeigen, dass die Anzahl der Ereignisse in einem Intervall bei einem stochastischen Prozess, der gewisse Eigenschaften erfüllt, Poisson-verteilt ist. D. h. der Abschnitt gehört nach Überarbeitung in den Artikel Poisson-Prozess und nicht in den Artikel Poisson-Verteilung. (nicht signierter Beitrag von Duerer38 (Diskussion | Beiträge) 22:10, 30. Mai 2015 (CEST))

Kann man so oder so sehen. In einem Poisson-Prozess sind es die Inkremente, die Poisson-verteilt sind, die Verteilung kann aber auch für sich stehen. Es ist auch nicht unüblich, Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus Zählprozessen abzuleiten (Beispiel Urnenmodell). Meinetwegen kann man aber auch den Abschnitt nach Poisson-Prozess verschieben. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:22, 31. Mai 2015 (CEST)

Ich habe jetzt gerade kein Fachbuch zur Hand, aber wenn ich mich recht erinnere, brauchte man für den homogenen Poisson-Prozess immer 4 Bedingungen. Mir fehlt irgendwie die Bedingung, dass die Wahrscheinlichkeit nicht von der Lage des Intervalls, also von t abhängt, aber vielleicht übersehe ich da auch was ...--Duerer38 (Diskussion) 17:54, 31. Mai 2015 (CEST)

Das soll wohl durch den Satz „Da g konstant ist, ist es damit auch unabhängig von w“ ausgedrückt werden. Klingt aber ziemlich schräg. -- HilberTraum (d, m) 20:28, 31. Mai 2015 (CEST)

Median

Kennt jemand eine Quelle dafür? In der englischen Wikipedia stehen nur zwei Schranken für den Median. Was stimmt?--Duerer38 (Diskussion) 17:49, 3. Jun. 2015 (CEST)

Die englische Wikipedia hat Recht. Obwohl der korrekte Artikel zitiert wurde, ist das Ergebnis falsch wiedergeben, siehe http://www.researchgate.net/publication/24060643_The_median_of_the_poisson_distribution--Duerer38 (Diskussion) 20:47, 3. Jun. 2015 (CEST)

Grenzwertüberschreitung

Sind damit Konfidenzintervalle gemeint? Falls ja, warum sind die Standard-Intervalle über die F-Verteilung nicht angegeben? Was soll dieser Abschnitt bezwecken? Wo sind die Belege?--Duerer38 (Diskussion) 19:35, 3. Jun. 2015 (CEST)

Ich habe das Thema jetzt mal recherchiert und es geht einfach um die Quantilfunktionen bzw. Prognoseintervalle. Ich halte insb. die Approximation heute für nicht mehr relevant, da man numerisch einfach die Verteilungsfunktion invertieren kann. Ich habe auch keine Belege für die Herleitung im Internet gefunden, vielleicht stammt das aus der ursprünglichen, mittlerweile antiquarischen Literatur. Deswegen kopiere ich den Inhalt hier in die Diskussion, falls das mal jemand nach Diskussion und mit Belegen versehen wiederverwenden möchte.--Duerer38 (Diskussion) 07:32, 7. Jun. 2015 (CEST)

Approximation

Außer dem punktweisen Berechnen der Inversion (Anlegen einer Wertetabelle der Wahrscheinlichkeiten $\textstyle p(n)=\mathrm {e} ^{-\lambda }\sum _{k=0}^{n}\lambda ^{k}/k!$ als Funktion der in Frage kommenden $n$) gibt es die folgende Näherungsmöglichkeit:

Man findet für $\lambda >0{,}15$, dass zum Beispiel folgende Ausdrücke der Verteilungsfunktion kaum (< 1 %) von $\lambda$ abhängen:

$0{,}942<Q\left(\lambda +1{,}645{\sqrt {\lambda +{\sqrt {\lambda }}}},\lambda \right)<0{,}9505$

$0{,}9682<Q\left(\lambda +1{,}96{\sqrt {\lambda +{\sqrt {\lambda }}}},\lambda \right)<0{,}97501$

$0{,}9908<Q\left(\lambda +2{,}575{\sqrt {\lambda +{\sqrt {\lambda }}}},\lambda \right)<0{,}995.$

Allgemein liegt für hohe Werte von $p>0{,}9$ die Verteilungsfunktion $Q\left(\lambda +x_{p}{\sqrt {\lambda +{\sqrt {\lambda }}}},\lambda \right)$ sehr nahe bei $p$, wobei $x_{p}$ das einseitige Quantil der Standardnormalverteilung darstellt und $x_{p}$ als Funktion der Wahrscheinlichkeit $p$ durch $x_{p}={\sqrt {2}}\,\operatorname {Erf} ^{-1}(2p-1)$ bestimmt ist. Die rechte Seite der Gleichung für $x_{p}$ entsteht aus der Umkehrfunktion des Fehlerintegrals $\Phi (x_{p})$. Man kann nach dem Aufsuchen von $p$ in dieser Tabelle $x_{p}$ vom dort blau unterlegten Rand übernehmen.

Der Ansatz für $g(\lambda )$ in $Q(g(\lambda ),\,\lambda )$ ist zunächst motiviert durch die Tatsache, dass die Poisson-Verteilung für große $\lambda$ in eine Normalverteilung mit Obergrenze $n_{\text{up}}+1=g(\lambda )=\lambda +x_{p}{\sqrt {\lambda }}$ übergeht. Das zusätzliche ${\sqrt {\lambda }}$ verbessert die Konstanz der Verteilungsfunktion bei kleinem $\lambda$. Wenn nun also gilt $p=Q(n+1,\,\lambda )\approx Q(\lambda +x_{p}{\sqrt {\lambda +{\sqrt {\lambda }}}},\,\lambda )$, lässt sich daraus der im nächsten Absatz angegebene Zusammenhang von $n_{\text{up}}$ und $\lambda ,x_{p}$ ablesen.

Für Mittelwerte $\lambda <0{,}15$ wird mit Wahrscheinlichkeit $p=0{,}99$ (99 %) maximal 1 Ereignis auftreten. Ist $\lambda$ größer, dann berechnet sich die mit Wahrscheinlichkeit $p$ zu erwartende größte Häufigkeit von Ereignissen $n_{\text{up}}$ in guter Näherung aus der einfachen Formel

$n_{\text{up}}=\lceil \lambda +x_{p}{\sqrt {\lambda +{\sqrt {\lambda }}}}\,\rceil -1.$

Es empfiehlt sich, das Ergebnis aufzurunden (wie bereits in der Formel für $n_{\text{up}}$ geschehen). Damit wird bei vielfachen Wiederholungen (oder anders formuliert: auf lange Sicht) die Wahrscheinlichkeit, mit der Zahl der Ereignisse unter der Grenze zu bleiben, etwas erhöht. Mit $p=0{,}95$ (entspricht $x_{p}\approx 1{,}645$ ) und $\lambda =6$ sind also nicht mehr als $n_{\text{up}}=10$ Ereignisse zu erwarten.

Die Untergrenze der Ereignisanzahl, die mit entsprechender Wahrscheinlichkeit nicht unterschritten wird, ist für $\lambda >1{,}5$ durch einen ähnlichen Ausdruck gegeben:

$n_{\text{down}}=\lfloor \lambda -x_{p}{\sqrt {\lambda -{\sqrt {\lambda }}}}\rfloor .$

Mit Wahrscheinlichkeit $p=0{,}975(x_{p}\approx 1{,}96)$ geschehen also bei $\lambda =6$ mindestens $n_{\text{down}}=2$ Ereignisse. Mit 99 % Sicherheit ist erst ab $\lambda =\ln(100)\approx 4{,}61$ aufwärts mindestens 1 Ereignis zu erwarten (für größere $\lambda$ ist die Wahrscheinlichkeit für kein Ereignis kleiner als 1 %).

Betrachtet man Ober- und Untergrenze gleichzeitig, so liegt die Zahl der zu erwartenden Ereignisse $n_{\text{exp}}$ z. B. mit etwa 95 % Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls

$n_{\text{down}}\leq n_{\text{exp}}\leq n_{\text{up}},$

wenn $n_{\text{down}}$ und $n_{\text{up}}$ jeweils mit $x_{p}\approx 1{,}96$ ( 97,5 % ) ausgerechnet werden. Da die Grenzwerte konservativ (d. h. nach außen) gerundet sind, tendiert das Intervall vor allem bei niedrigen Erwartungswerten $1{,}5<\lambda <15$ dazu, etwas mehr Ereignisse zu enthalten als die angegebenen 95 %. Das bei kleinem $\lambda$ schiefe Intervall wird mit wachsendem $\lambda$ größer und symmetrischer und nähert sich der Breite an, die man bei Vorliegen einer Normalverteilung erwarten würde.

Zählexperiment

Dies ist höchstens ein Beispiel für die Poisson-Approximation, und da auch nur für die Varianz. Hat IMHO hier nichts zu suchen. Ich speichere es hier mal zwischen, falls es jemand überarbeiten und woanders benutzen möchte:

Die Messung einer Poisson-verteilten Anzahl von Ereignissen wird bei häufiger Wiederholung um den gemessenen Mittelwert ${\overline {n}}$ mit Standardabweichung ${\sqrt {\overline {n}}}$ streuen. Wird nur einmal (ohne Wiederholen des Experiments) gezählt, dient das Ergebnis

$n\pm {\sqrt {n}}$

als bester Schätzer für Mittelwert $n$ der zugrunde liegenden Poisson-Verteilung sowie Unsicherheit (Standardabweichung) ${\sqrt {n}}$ der erhaltenen Anzahl. Um hier eine relative Genauigkeit von einem Prozent zu erreichen, braucht man also „hohe Statistik“ von über 10000 Ereignissen!

Man kann die zu erwartende Schwankung der Zählergebnisse bei mehrfachen Stichproben auch ohne explizite Annahme einer zugrunde liegenden Poisson-Verteilung berechnen: Jeder Zählvorgang unterteilt die beobachteten $n$Ereignisse in zwei Kategorien, die $k$ gezählten und die $n-k$ nicht mitgezählten. Eine Untersuchung interessiert sich z. B. für den Anteil der Personen, deren Körpergröße zwischen 1,70 m und 1,71 m liegt. Dazu wird eine Stichprobe von $n$ Personen vermessen, $k$ davon erfüllen das Zählkriterium. Die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste vermessene Person in die Zählklasse fällt, liegt dann bei $p\approx k/n$. Die Statistik dieser Messung ist binomial, d. h. $B_{n,\,k/n}(k)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, ein Zählergebnis $k$ zu erhalten. Die Varianz von $k$ beträgt folglich

$\sigma _{k}^{2}=n\,p(1-p)=k(1-k/n)$

und der Messfehler (Standardabweichung) demnach

$\sigma _{k}={\sqrt {k(1-k/n)}}.$

Falls $k\ll n$, ähnelt die Binomial-Verteilung einer Poisson-Verteilung und es gilt

$\sigma _{k}\approx {\sqrt {k}}.$

--Duerer38 (Diskussion) 06:04, 4. Jun. 2015 (CEST)

Ich verstehe nicht, wieso das Zählexperiment (eine Standardanwendung, die Binomial- und Poissonverteilung involviert), rausgenommen wurde. Jeder rechnet mit Wurzel n über n, und die wenigsten wissen warum.--131.220.161.244 12:49, 5. Jun. 2015 (CEST)

Weil das trivial ist. Wenn man die Poisson-Approximation hat, dann gilt das auch für die Streuung. Was ist das also als Beispiel wert? Das jeder mit rechnet, ist klar, aber kein Beleg.--Duerer38 (Diskussion) 18:57, 5. Jun. 2015 (CEST)

Verständliche Einleitung

Ich wollte eben nachschlagen was eine Poisson Verteilung ist und es ist mir in 5 Minuten nicht gelungen, es mit diesem Wikipedia Artikel zu verstehen. Ich habe daraufhin den Artikel in englischer Sprache gelesen und alles war sofort klar.

Wenigstens die Einleitung sollte klar und verständlich, in deutsch und ohne vielzeilige Schachtelsatzkonstruktionen formuliert sein. (nicht signierter Beitrag von 82.119.10.136 (Diskussion) 22:21, 31. Mär. 2016 (CEST))

Infobox Verteilung?

Gibt es einen Grund, warum es in diesem Artikel keine Infobox (für Verteilungen) gibt? Ich finde die sehr übersichtlich (bspw. bei der Binomialverteilung), allerdings traue ich mir nicht zu diese zu erstellen, da mir doch das Wissen für manche Punkte fehlt. --141.20.244.73 12:41, 22. Feb. 2017 (CET)

Beweis des ML-Schätzers

Wäre es zu viel des Guten hier einen Beweis darzustellen, warum :${\widehat {\lambda }}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}n_{i}$? Was meint ihr? Grüße.--JonskiC (Diskussion) 11:46, 17. Mai 2017 (CEST)

Der Beweis steht schon als Beispiel im Artikel Maximum-Likelihood-Methode. Da könnte man vielleicht drauf verweisen. -- HilberTraum (d, m) 20:09, 17. Mai 2017 (CEST)

ML-Schätzwert und ML-Schätzer

Man sollte zwischen Schätzwert, das ist die aus den beobachteten Werten n_i berechnete Zahl, und dem Schätzer (oder der Schätzfunktion), das ist ein Zufallsvariable, die sich ergibt, wenn anstelle der n_i zufällige Stichprobenergebnisse betrachtet werden. Irgendwelche der genannten (Optimalitäts-)eigenschaften hat nicht der konkrete Schätzwert, sondern der Schätzer, der das statistische Verfahren beschreibt. --Sigma^2 (Diskussion) 23:35, 2. Dez. 2018 (CET)

Konfidenzintervall

Die Formel für das Konfidenzintervall gilt offenbar nur für N=1. Wahrscheinlich wäre es besser, statt 'lambda' die Größe 'N*lamba' einzusetzen. Ich kenne mich aber nicht genügend gut aus, um das sicher zu beurteilen. Ich sehe aber, dass z.B. für N=1000 und n=25 ganz offenbar nicht das korrekte Konfidenzinterval angegeben wird. --Peter Serbe (Diskussion) 10:59, 22. Mär. 2024 (CET)