Diskussion:Projektive Geometrie

Der Artikel sollte gründlich überarbeitet werden

Der Artikel weist schwerwiegende Mängel und Ungenauigkeiten auf:

• Im Gegensatz zur „gewöhnlichen“, euklidischen Geometrie, gibt es in der projektiven Geometrie keine Parallelen. - Das widerspricht der Definition die in Linearer Algebra gelehrt wird, dass sich zwei projektive Geraden in einer projektiven Ebene stets schneiden, die Geraden sind genau dann parallel, wenn der Schnittpunkt in der Hyperebene im Unendlichen liegt ($H_{\infty }$).-- 91.3.43.5 22:54, 22. Mär. 2009 (CET)
• Die Projektive Geometrie ist eine spezielle nichteuklidische Geometrie. Sie ist aus der perspektivischen Darstellung dreidimensionaler Gegenstände in der zweidimensionalen Ebene hervorgegangen.

Es geht also scheinbar um eine ganz konkrete projektive Geometrie, nämlich um die "klassische" projektive Ebene $P(\mathbb {R} )$. Heißt diese wirklich die projektive Geometrie? Meines Wissens wird mit projektive Geometrie eine allgemeine projektive Geometrie bezeichnet, also eine Geometrie, die den Axiomen einer projektiven Geometrie genügt. Eine solche Geometrie ist nicht eindeutig: Es gibt unendlich viele verschiedene Geometrien, die diesen Axiomen genügen.

Ferner ist der Begriff projektive Geometrie auch Bezeichnung für ein ganzes Teilgebiet der Mathematik. Auch dem sollte irgendwie Rechnung getragen werden.

• Im Gegensatz zur euklidischen Geometrie, (die, da es hier auf Winkel und Abstände nicht ankommt, als affine Geometrie bezeichnet wird), [...]

Auch die Begriffe euklidische Geometrie und affine Geometrie bezeichnen meines Wissens keine eindeutige Geometrie.

Meines Wissens nach, bezeichnen euklidische Geometrie und affine Geometrie sogar unterschiedliche Geometrien. Zumindest nach der Einteilung von Felix Klein.rnd

Ja, beides ist eine Klasse von Geometrien. Wo kann man denn die Einteilung von Felix Klein finden?--MKI 15:57, 1. Nov 2005 (CET)

Müsste selbst suchen. Die Einteilung bekamen wir in der Vorlesung "Projektive Geometie" vorgelegt, als einen erster Versuch die Teilgebiete der Geometrie grob einzuteilen. Unterscheidungsmerkamal waren die geometrischen Objekte, die bei den Abbildugen der betreffenden Geometrie erhalten bleiben.

z.B.

Euklidische Geometrie: untersucht Gegenstände, die bei Konkruenzabbildungen unverändert bleiben. (Winkel, Streckenlängen, Kreise, ... )

Affine Geometrie: untersucht Gegenstände, die bei Parallelprojektion unverändert bleiben. (Teilverhältnisse, Parallelogramme, Ellipsen, ... )

Projektive Geometrie: untersucht Gegenstände, die bei Zentralprojektion unverändert bleiben. (Doppelverhältnisse, Kegelschnitte, Geraden, ... )rnd

• Die Axiome für eine ebene projektive Geometrie lauten:
  1. Zu je zwei Punkten P und Q gibt es immer genau eine Gerade g, auf der diese beiden Punkte liegen.
  2. Zu je zwei Geraden g und h gibt es immer genau einen Punkt P, der auf diesen beiden Geraden liegt.

Nun wird es also doch axiomatisch. Die angeführten Axiome sind ungenau (z.B. sollten die Punkte P und Q sowie die Geraden g und h jeweils voneinander verschieden sein) und unvollständig (normalerweise wird gefordert, dass auf allen Geraden mindestens 3 Punkte liegen). Außerdem sind dies die Axiome für eine projektive Ebene, nicht für eine allgemeine projektive Geometrie.

Abgesehen davon, dass die beiden Axiome ungenau formuliert sind, ergibt sich "Axiome 2" aus Axiom 1. Axiom 2 ist daher unnötig.rnd

• Jede affine Ebene lässt sich zu einer projektiven Ebene erweitern, [...]

Es wurde nie gesagt, was eine projektive Ebene eigentlich ist. Außerdem ist mir nicht klar, warum in einem Artikel über projektive Geometrie an dieser Stelle auf den Spezialfall der Ebene eingegangen wird. Schließlich ließe sich der angedeutete Sachverhalt auch allgemein für projektive Geometrien formulieren.

• Homogene Koordinaten
  Um auch die Fernelemente einer projektiven Ebene in einem Koordinatensystem darzustellen, machen wir folgende Überlegung [...]

Es geht wieder nur um den Spezialfall der projektiven Ebenen. Dabei sind gerade die projektiven Ebenen nicht immer koordinatisierbar, die projektiven Geometrien einer Dimension > 2 aber schon (über einem Vektorraum über einem Körper oder Schiefkörper).--MKI 14:57, 26. Jun 2005 (CEST)

Die Einwände sind offensichtlich berechtigt, es kommt darauf an, dass sich jemand an die Überarbeitung macht... Das Problem von "die oder eine projektive Geometrie" wird von MKI allerdings überbewertet: Der Begriff "proj.G" ist, wie z.B. auch "Topologie" und viele andere mathematische Begriffe, doppeldeutig. Er bezeichnet

1. als unzählbares Nomen ein Teilgebiet der Mathematik
2. als zählbares Nomen die Gegenstände dieser Disziplin.

Einfach gesagt: Die projektive Geometrie ist der Bereich der Mathematik, der sich mit projektiven Geometrien befasst. -- Peter Steinberg

Teile des Artikels suggerieren, es gäbe nur eine einzige projektive Geometrie (als zählbares Nomen). Das ist es, was ich kritisiere.--MKI 16:54, 20. Sep 2005 (CEST)

Zur Gliederung des Begriffsfeldes "Projektive Geometrie"

...möchte ich auf das analoge Problem für die affine Geometrie hinweisen, wie es in Diskussion:Affiner Raum diskutiert wurde.

Hoppla, da wird ja heftig diskutiert, das hatte ich zuvor nicht gesehen. Aber egal welchen Standpunkt man einnimmt: Dieser Artikel ist höchst inkonsistent.--MKI 15:44, 26. Jun 2005 (CEST)

Die Diskussion ist schon lange eingeschlafen.--Gunther 16:07, 26. Jun 2005 (CEST)

Es scheint mir die folgenden Themen zu geben:

• klassische projektive Geometrie der Ebene und des Raumes: Nicht nur Geometrie der projektiven Ebene, sondern auch Themen wie Polarität und Kegelschnitte
• synthetische projektive Geometrie
• topologische und differential- oder algebraisch-geometrische Aspekte
• projektive Räume über (Schief-)Körpern, homogene Koordinaten

Dabei spielt der letzte Teil vermutlich auch bei den ersten drei eine mehr oder weniger große Rolle.--Gunther 15:20, 26. Jun 2005 (CEST)

Zellstruktur von RP(n)

Es waere nett wenn noch ein kleiner Verweis auf $\mathbb {R} P(n)$ als CW-Komplex dazukommt:

$\mathbb {R} P(n)$ kann gesehen werden als $S_{n}/(v=-v)$. Das ist equivalent zur Hemisphaere $D_{n}$ mit gegenueberliegenden Punkten des Randes von $D_{n}$ gleich $S_{n}-1$ identifiziert. Der Rand von $D_{n}$ mit gegenueberliegenden Punkten identifiziert ist aber genau $\mathbb {R} P(n-1)$. Also erhaelt man $\mathbb {R} P(n)$ durch Ankleben einer n-Zelle an $\mathbb {R} P(n-1)$. Die Anklebeabbildung ist die Projektion von $S_{n-1}$ nach $\mathbb {R} P(n-1)$.

NEU MACHEN

Ich habe das alles jetzt mal reingestellt ...

(nicht signierter Beitrag von Madrich (Diskussion | Beiträge) )

Öhm. Geht es auch ohne den Schriftaufwand? Wenn man zu Äquivalenzklassen übergeht, kann man doch auch $[v]$ oder sowas verwenden. Homogene Koordinaten $(1:x:y)$ sollten ja von $(1,x,y)$ auch so unterscheidbar sein.--Gunther 22:39, 14. Dez 2005 (CET)

Glaub mir, es lohnt sich das so durchzuziehen. Dadurch wird der Schreibaufwand später geringer ... (nicht signierter Beitrag von Madrich (Diskussion | Beiträge) )

Für die projektive Ebene dürfte man mit Buchstaben hinkommen (da kenne ich allerdings $x,y$ (affin) vs. $X,Y,Z$ (homogen)), für höherdimensionale Räume würde ich dringend $x_{1},\ldots ,x_{n}$ (affin) bzw. $x_{0},\ldots ,x_{n}$ (homogen) empfehlen. Mit --~~~~ kannst Du selbst unterschreiben.--Gunther 23:09, 14. Dez 2005 (CET)

Bin ich nicht für. Wir machen hoffentlich hier kein Tutorial für Mathematiker, sondern für den Otto-Normal-Konsumenten, der das mal in der Coputer-Grafik einsetzen will. Für den R>3 ist der Anwenderkreis doch sehr klein.--Madrich 23:39, 14. Dez 2005 (CET)

Otto-Normal-Konsument ist es allerdings auch nicht gewohnt, drei verschiedene Schriftarten auseinanderhalten zu müssen, oder zu wissen, welche Buchstaben welcher vierdimensionalen Koordinate entsprechen. Ich würde übrigens versuchen, die Abhängigkeit von den reellen Zahlen möglichst gering zu halten, denn projektive Ebenen über endlichen Körpern sind durchaus ein Gebiet, das für Laien zugänglich ist.--Gunther 23:42, 14. Dez 2005 (CET)

ja, hast du recht. Die reellen Zahlen werden später auch kaum mehr vorkommen. wir werden nachher sowieso nur noch mit den homogenen Koordinaten Arbeiten.--Madrich 23:53, 14. Dez 2005 (CET)

Ich hab's erstmal wieder hierher verschoben. "Überarbeiten" ist mehr als einen neuen Abschnitt hinzuzufügen und vor dem Rest "veraltet" dazuzuschreiben.--Gunther 01:00, 15. Dez 2005 (CET)

Was Du bisher geschrieben hast, passt für mein Gefühl wesentlich besser nach homogene Koordinaten. Mit projektiver Geometrie im eigentlichen Sinne hat es bislang wenig zu tun.--Gunther 01:02, 15. Dez 2005 (CET)

Denke ich nicht. Würde mich freuen, wenn das jetzt noch erweitert würde und vielleicht das Konzept dahinter (Dualität) erklärt würde. Dann sieht das schon ganz gut aus. --Madrich 01:06, 15. Dez 2005 (CET)

Siehe "Gliederung des Begriffsfeldes" weiter oben. Es ist ein umfangreiches Thema, aber da ich selbst nicht die Zeit habe, mich dem angemessen zu widmen, halte ich mich erstmal raus. Dein Teil steht wieder im Artikel, mach' mal.--Gunther 01:27, 15. Dez 2005 (CET)

Mir gefällt der Neueintrag gar nicht. Die Formeln stehen unkommentiert da, man kann nur erraten, was sie aussagen sollen. Es wird nirgends definiert, was eine projektive Geometrie überhaut ist. Außerdem halte auch ich es für anstrengend, die verschiedenen Schriftarten auseinanderzuhalten. Nicht alle projektiven Ebenen lassen sich koordinatisieren, der Neueintrag behandelt also -- wenn überhaupt -- nur Spezialfälle von projektiven Geometrien.

Manche Formeln verstehe ich nicht. Z.b. gleich das erste:

${\mathsf {x}}={\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {x_{0}} \\x_{h}\end{pmatrix}}=w{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}$ mit $\left|{\mathsf {x}}\right|^{2}=u^{2}+v^{2}+w^{2}\neq 0$

Z.b. für (u,v,w)=(1,1,0) ergibt w*(x,y,z)=(0,0,0), die Gleichheit geht also nicht auf.

Ferner gefällt es mir nicht, dass der Neueintrag ganz nach vorne gesetzt und das Vorherige als veraltet deklariert werden musste. Mit dem Artikel kann in der aktuellen Form niemand etwas anfangen. Der alte Artikel war nicht gut (siehe meinen Beitrag dazu weiter oben); der Neueintrag macht es noch wesentlich schlechter.--MKI 11:06, 15. Dez 2005 (CET)

Hi MKI, ich dachte die Formel ist gerade leicht zu verstehen. Man kann das verdeutlichen, indem man nach den ersten 2 Komponenten des Vektors einen Trennstrich einführt, ich weiss nur nicht wie das geht.

Der Vektor (u,v,w)=(1,1,0) erfüllt $\left|{\mathsf {x}}\right|^{2}=u^{2}+v^{2}+w^{2}\neq 0$, aber die angegebene Gleichheit ist falsch. Daran ändert sich auch nichts, wenn du anstatt Kommata Striche benutzt.--MKI 13:05, 17. Dez 2005 (CET)

Vom umfang her , ist das eigentlich erst ein Anfang. Was hier steht, wir bei uns in der ersten Vorlesung als Einführung in die Projektive Geometrie gelehrt. Das Konzept dahinter ist, wenn man mehr macht recht einleuchtend. Deswegen hoffe ich doch, dass ich nicht allein die Formeln kommentieren muss. Die Beschränkung auf den $R^{3}$ habe ich bewusst gemacht, da für die Allgemeinheit mehr nicht von Interesse ist. Mathematiker und Physiker greifen da wohl eher zur Spezialliteratur.

--Madrich 23:54, 16. Dez 2005 (CET)

MKI meint: Die inhomogene Form $w\cdot (x,y,1)$ funktioniert nur für $w\neq 0$.--Gunther 00:06, 17. Dez 2005 (CET)

Du hast vollkommen recht. Warum schreibst du es dann nicht gelich zu. Ist doch ein Wiki. Aus zeitmangel (ich habs gestern Nacht zw. 23-01 Uhr geschrieben, hab ich nicht gleich alles hingeplotet. Ich denke mal, dass wird ein recht langer iterativer Prozess, wo ich nicht alles alleine machen muss. Freue mich auf deine/eure Zusammenarbeit. --Madrich 00:26, 17. Dez 2005 (CET)

Ich bleibe dabei: Der Neueintrag ist unverständlich und beschreibt nicht, was ein projektiver Raum überhaupt ist. Die Argumentation, dass Mathematiker und Physiker anstatt des Wikipedia-Artikels lieber zu Spezialliteratur greifen sollen, akzeptiere ich nicht. Die übliche Vorgehensweise in der Wikipedia ist es, mathematische Objekte auch so zu definieren, wie es in der Mathematik üblich ist (hier also durch das Axiomensystem, das du nach unten verschoben hast) und dann die für die Anwendung interessanten Spezialfälle klar als solche zu benennen.--MKI 13:05, 17. Dez 2005 (CET)

Ok, dann bring die Axiome nach oben und schreib das verständlich. Ich kappier das nähmlich nicht, weil ich kein Mathematiker bin. --Madrich 14:51, 17. Dez 2005 (CET)

Und nun?

Nachdem Madrich uns offenbar wieder verlassen hat, was soll nun aus dem Artikel werden?--Gunther 20:06, 5. Jan 2006 (CET)

Mh, jetzt ist er mehr ein Loeschkandidat :-( Ich persoenlich habe ja schlicht keine Ahnung von projektiver Geometrie, wuerde aber vorschlagen, auf die Version vor seinen Aenderungen zu revertieren. Diese wurde zwar oben ebenfalls stark kritisiert, laesst sich aber meiner Einschaetzung nach einfacher verbessern als der jetzige Artikel. --DaTroll 15:46, 24. Jan 2006 (CET)

Ja, ich bin auch dafür die alte Version wieder herzustellen. Die Neuerung sieht mir nach einer Anwendung (in der Computergrafik?) aus, die obendrein unbeholfen formuliert ist. Die alte Version war wirklich nicht gut, aber besser als das das neugeschriebene ist sie allemal.--MKI 20:59, 24. Jan 2006 (CET)

Nächster Versuch?

Vorschlag zur Neugestaltung des Themengebiets:

Projektive Geometrie sollte eine allgemeine Einführung in das Thema bilden, d.h. ein Oma-Artikel in Prosa, der sich im wesentlichen auf eine grobe Begriffserklärung und die geschichtliche Entwicklung beschränkt. Für Details wird auf die weiterführenden Artikel Projektive Ebene, Projektiver Raum, ggf. weitere verwiesen. Dort wird dann das speziellere Lemma tiefergehend erklärt.

Insbesondere hieße das, hier alles ab Axiomatischer Zugang rauszunehmen und die weiterführenden Artikel entsprechend auszubauen. Zumindest bei Projektive Ebene könnte ich etwas beitragen, aber aufgrund der Schwere des Eingriffs hätte ich gerne ein paar Meinungen zu meinem Vorschlag.

Gruß --Wero 21:35, 10. Mai 2006 (CEST)

Meine Meinung: Nur keine Panik! Der Artikel ist nach mehreren Eingriffen gar nicht mehr so schlecht, die Struktur ist sogar sehr brauchbar. Er sollte jedenfalls der Hauptartikel zu diesem Thema bleiben! Die einzelnen Gegenstände der prG: Projektive Ebene ist o.k. oder kann (irgendwann mal) ein REDIRECT werden; Projektiver Raum braucht die Überarbeitung viel dringender als dieser Artikel! -- Peter Steinberg 23:44, 10. Mai 2006 (CEST)

Um noch etwas Begründung - insbesondere gegen den Vorschlag des Redirects - nachzuschieben: Gerade das Thema Projektive Ebene halte ich für ausbaufähig. Hier fehlen mir die Klassifikationen via Schließungssätze, Koordinatenbereich, und natürlich Kollineationsgruppe. Das sind zentrale Begriffe, die man durchaus einigermaßen allgemeinverständlich erklären kann. Zentral aber nur bei Ebenen, im Raum kann man aus diesen Begriffen nicht so viel Nektar saugen, dort gibt es wieder andere Entwicklungen. Will man beides hier verständlich einbauen, bräuchte man m.E. zwei getrennte Abschnitte - warum dann nicht gleich eine saubere Trennung vornehmen?

„Er sollte jedenfalls der Hauptartikel zu diesem Thema bleiben!“: Es scheint eher an mir zu sein Don't panic! rufen zu müssen. Projektive Geometrie ist schließlich per definitionem der Hauptartikel zur projektiven Geometrie und wird das auch bleiben. Die Frage ist nur, was alles reingepackt werden muß. Ich tendiere da eher zum Vorgehen wie eine Etage höher in Geometrie. Gruß --Wero 12:39, 11. Mai 2006 (CEST)

Jetzt habe ich den Artikel noch mal etwas gründlicher gelesen und fange an, ihn zu lieben. Was da Ende Januar geschafft worden ist (überwiegend von Gunther), ist ein Durchbruch. Zugegeben: Es reicht noch nicht für ein "lesenswert", aber der "Überarbeiten"-Vermerk kann m.E. raus. Keinesfalls sehe ich einen Grund, alles noch mal über den Haufen zu werfen.
Wenn du interessante Aspekte bei projektiven Ebenen kennst, Wero, dann schreibe sie doch in projektive Ebene. Ich kenn mich da nicht so aus, weiß aber, dass es bei zwei Dimensionen häufig zu eigenen Phänomenen kommt. Ich meine nur, dass der Artikel prj.E in der jetzigen Form einigermaßen überflüssig ist.
Verbesserungsfähig ist sicher Vieles: Die unendlich fernen Elemente tauchen an verschiedenen Stellen auf, sodass sich Manches doppelt; die Sache mit den verschiedenen Dimensionen könnte klarer formuliert sein (ein Hinweis auf höhere (>3) Dimensionen wäre das auch nicht schlecht); vielleicht sollte man auch sagen, wie ein ausgearteter prj.Raum aussieht. Und last not least: Das mit den homogenen Koordinaten kann man hier zweifellos viel schlichter erklären. (Den Hauptartikel hierzu gibt's ja auch noch; und der ist bisher sehr rechner-lastig.) Schade, dass ich zzt. da nicht ran kann. Ich ackere auf anderen Gebieten. -- Peter Steinberg 18:16, 11. Mai 2006 (CEST)

@Rumpler: Eben habe ich versucht, die Sache mit Projektive Geometrie vs Projektive Geometrien klar zu kriegen. (Dieses Problem gibt es in der Mathematik an allen Ecken und Enden, und es sollte möglichst einheitlich gelöst werden.) Nun sehe ich, dass ich „einst im Mai“ schon eine Reihe von Wünschen an mögliche Überarbeiter aufgeschrieben habe. Wenn dir dazu was einfällt: Mach dich ran! - Wenn du andere, eigene Ideen hast: Um so besser! - Sei mutig! -- Peter Steinberg 01:13, 5. Nov. 2006 (CET)

Das Hauptproblem des Artikels ist, daß er mehrere sachlich falsche Aussagen enthält. Es ist in der Tat richtig, daß man die projektive Geometrie einmal von der Grundstruktur und einmal axiomatisch definieren kann. Die Grundstruktur ist jedoch in keinem Fall die euklidische Geometrie mitsamt dem Parallelenpostulat, dann funktioniert nämlich gar nichts mehr, sondern schlicht und ergreifend ein beliebiger Vektorraum V. Man kann das Ganze über die affine Geometrie ziehen, das erleichtert manchen Beweis, ist aber für die Einführung sehr schwierig. Die Axiome sind so korrekt, allerdings sollte man da auch noch erwähnen, daß alle Axiome direkt folgen wenn man aus der Vektorraumstruktur kommt... Ich werde das, wenn ich Zeit habe im Artikel verbessern... -- Oceanborn 22:04, 27. Nov 2006 (CET)

räumliche Geometrie und projektiver Raum

Man beachte das diese oberflächlich ähnlichen Begriffe/Sprechweisen nicht austauschbar sind.

räumliche (projektive) Geometrie: hier steht Raum bzw. räumlich für Dimension $\geq 3$ d.h. 2-dim projektiver Räume (=Ebenen) werden ausgeschlossen. Hier gilt der Satz von Desargues

projektiver Raum: schliesst 2-dim projektive Räume bzw. Ebenen ein, daher gilt hier der Satz von Desargues im Allgemeinen nicht.--Kmhkmh 16:30, 14. Okt. 2007 (CEST)

"Erfahrung"?

geht aus vom Raum unserer Erfahrung, also von der euklidischen Geometrie in drei Dimensionen: dieser immer wieder gebetete Satz ist Nonsens, ein reiner Glaubenssatz, denn es ist ja längst bewiesen, dass der euklidsche Raum nicht begründet werden kann. Die reine Erfahrung hat keine Geometrie, also kann sie nicht Grundlage für eine besondere Geometrie sein. --130.133.8.114 15:42, 22. Okt. 2009 (CEST)

Projektive Geometrie und Projektiver Raum

Die Bezeichnungen sind hier wohl etwas verwirrend, aber das was hier formal als (axiomatische) projektive Geometrie definiert, wird bei Beutelspacher (S.9-10) als projektiver Raum definiert. Ansonsten wird der Begriff sprachlich sowohl mal als Bezeichnung für das mathematische Gebiet als auch als Synonym für eine allgemeinen projektiven Raum verwandt. Man müsste das sollte das jedoch im Lemma irgendwie erwähnen, insbesondere finde ich es im Moment sehe ungünstig das zunächst eine projektive Geometrie formal definiert, aber dann in einem späteren Abschnitt von projektiven Räumen due Rede ist, die aber nirgendswo definiert sind (im synthetischen Sinne).--Kmhkmh (Diskussion) 01:29, 7. Jul. 2012 (CEST)

Eine ganz einfache Frage

Wo wird die "Proketive Geometrie" verwendet?

Auch wenn das etwas "unmathematisch" sein mag, aber wo wendet man diese Geometrrie an?

Bei Euklid weiss ich, dass ich damit Entfernungen, Längen Höhen, Winkel messen kann und mit dferen Hilfe etwas "formen" kann.

Wozu macht man die "projektive Geometrie"?--88.152.149.114 04:52, 31. Jul. 2012 (CEST)

Es gibt unter anderem Anwendungen in der Kryptographie und Codierungstheorie (findet sich in Ansätzen bei Beutelspacher) sowie auch der Bildverarbeitung/Bilderkennung. Eventuell könnte man im Lemma noch einen Absatz zu inner- und außermathematischen Anwendungen verfassen.--Kmhkmh (Diskussion) 07:29, 31. Jul. 2012 (CEST)

Also die elementarste Anwendung (die auch in der Einleitung erwähnt wird) ist Perspektive beim zeichnen z.B.. Allgemein würd ich sagen, dass projektive Räume genau die sind, in denen du homogene Koordinaten benutzt. Anders ausgedrückt: Wann immer du homogene Koordinaten vorliegen hast, handelt es sich um was Projektives. --χario 01:38, 1. Aug. 2012 (CEST)

Homogene Koordinaten

Ich bin der Ansicht, dass der Abschnitt zu den Homogenen Koordinaten überhaupt nicht zum Rest des Artikels passt. Er bezieht sich nur auf projektive Ebenen über einem Körper. Mit den homogenen Koordinaten einer projektiven Ebene befassen sich außerdem die Artikel Projektive Ebene#Homogene Koordinaten, Homogene Koordinaten#Homogene Koordinaten und Projektives_Koordinatensystem#Projektive_Koordinaten_im_Standardmodell. An jeder dieser drei Stellen ist der Inhalt meiner Meinung besser aufgehoben (auch wenn es fraglich ist, ob es drei Stellen dafür geben sollte). Besser zum Rest des Artikels würde übrigens der Inhalt von Projektives_Koordinatensystem#Projektive_Koordinaten_in_der_synthetischen_Geometrie passen, auch wenn ich dafür bin, ihn dort zu belassen, wo er ist. Ich plädiere für Entfernen und stattdessen allgemeiner einen Bezug zum Standardmodell herzustellen (ohne besonders auf die Koordinaten einzugehen), --Maformatiker (Diskussion) 21:47, 6. Sep. 2016 (CEST)

Zwei ganz verschiedene Dinge fehlen mir hier.

Erstens einmal wird die Idee der Projektiven Geometrie zwar insoweit schön dargestellt, dass man die ‚gewohnte‘ Euklidische Geometrie durch Hinzunahme von ‚fernen‘ Elementen, Punkten, Geraden, Ebenen usw. abschließt. Das hat in der Tat den angenehmen Effekt, in vielen geometrischen Sätzen die Aussagen zu vereinfachen, weil man danach nicht mehr dauernd die Sonderfälle beschreiben muss, die sich für parallele Geraden oder Ebenen ergeben. Es fehlt aber ganz entschieden die Feststellung, dass in einer so konstruierten Struktur die Fernelemente sich in nichts von den übrigen Elementen einer der Geometrie unterscheiden: Alle Punkte, alle Geraden, alle Ebenen etc. sind jeweils untereinander völlig gleichberechtigt. Das gehört zum Wesen der Projektiven Geometrie und darf darum in einem Enzyklopädieartikel einfach nicht fehlen.

Zweitens handelt ein Großteil der Projektiven Geometrie von Kegelschnitten. Schon durch die Worterklärung, dass hier solche geometrischen Eigenschaften untersucht werden, die beim Projizieren erhalten bleiben, stößt man darauf, dass eine Projektion eines Kegelschnitts stets wieder ein Kegelschnitt ist. Das ist immerhin ein mathematischer Satz, der sich nicht von selbst versteht. Eine Zeichnung (die ohne ‚künstlerische‘ Verfremdung) ein Wasserglas aus der dreidimensionalen Wirklichkeit auf das zweidimensionale Papier projiziert, macht aus dem Rand des Glases, einem Kreis, nicht irgend eine ovale Linie, sondern eine Ellipse. Der berühmte Künstler und hervorragende Zeichner Albrecht Dürer war sich dessen, wie es heißt, nicht so sicher. Antike Geometer wussten das allerdings genau. In weniger üblichen Perspektiven kann aus einem Kreis allerdings auch eine Hyperbel oder eine Parabel werden. Kurz und gut: Ohne Hinweise auf die Geometrie von Kegelschnitten ist ein Artikel über Projektive Geometrie unvollständig.- Binse (Diskussion) 02:02, 2. Feb. 2019 (CET)

Ich habe mal die Einleitung etwas erweitert. Zur Kritik "Erstens": Die homogene Darstellung durch homogene Koordinaten wird im Abschnitt "Homogene Koordinaten" geschildert.--Ag2gaeh (Diskussion) 11:10, 2. Feb. 2019 (CET)

Da hier gerade diskutiert wird. Der Artikel konzentriert sich hier primär auf den axiomatischen Zugang, woran nicht auszusetzen ist, allerdings wäre es aus meiner Sicht wünschenswert, wenn der Artikel ein paar Worte mehr zu dem kanonischen konstruktiven Zugang über die lineare Algebra, also $\mathbb {P} (K^{n})$, verlieren würde, da dies in meiner Erfahrung ein häufiger Zugang für Leute ist, die sich nicht in Geometrie spezialisieren und deren primärer Kontakt zur projektiven Geometrie über lineare Algebra/analytische Geometrie erfolgt. Im Augenblick ist das in projektiver Raum beschrieben, der hier verlinkt ist, aber eine ausführlichere Darstellung in hier (als ein verbreiteter Zugang zur projektiven Geometrie und vielleicht wichtigste Fall in der "Praxis"), halte ich für sinnvoll.--Kmhkmh (Diskussion) 11:57, 2. Feb. 2019 (CET)

Habe noch einen Zusatz über synth. proj. Geom. in der Einleitung eingefügt. Bin aber nicht sicher, ob es gut ist, die Einleitung so aufzublähen. Vielleicht sollte man vor "Axiomatischer Zugang" einen Abschnitt über reelle (?) projektive Ebene/Räume einfügen. Aber ob die Sprache in Projektiver Raum (Äquivalenzrelation, Quotientenraum,...) hierfür geeignet ist, bezweifle ich. --Ag2gaeh (Diskussion) 19:40, 2. Feb. 2019 (CET)I

Ich meinte das auch nicht Bezug auf die Einleitung sondern im Sinne eines eigenen Abschnitts für diesen Zugang. Die Darstellung in projektiver Raum ist sicher nicht optimal (und könnte auch dort verbessert werden). Sie sollte in der aktuellen Form auch nicht 1:1 übernommen werden. Es wäre aber mMn. wünschenswert, wenn ein eigener Abschnitt zu kanonischen Konstruktion anhand von $K^{n}$ (oder auch nur $\mathbb {R} ^{n}$) existieren würde.--Kmhkmh (Diskussion) 20:36, 2. Feb. 2019 (CET)

Ich habe eine neue Version des Artikels erstellt. Er ist jetzt ein Übersichtsartikel, was man vom Thema her wohl auch erwartet. Er dient jetzt als Orientierungsplan für Interessenten. Die PG ist schließlich mehr als axiomatische Geometrie. Es könnten noch einige Themen, z.B. projektive Differentialgeometrie, nachgetragen werden. Den Abschnitt "Axiomatischer Zugang" habe ich nach Projektiver Raum verschoben. --Ag2gaeh (Diskussion) 17:20, 7. Feb. 2019 (CET)

Hallo Ag2gaeh und Kmhkmh! Wie schön, dass Ihr Euch um den Artikel kümmert! Ich hatte eine neue Einleitung entworfen, weil mir die alte in vieler Hinsicht nicht gefiel, wie übrigens auch der übrige Artikel. Als ich mich mit meinem Elaborat hier wieder einloggte, traute ich meinen Augen nicht, soviel war schon geändert und wie ich finde verbessert. Nicht dass ich jetzt wirklich zufrieden wäre, dass kann ja so schnell nicht gehen. Ich hoffe, Ag2gaeh, Du findest noch Zeit da weiterzuarbeiten und will dabei nicht stören. Aber ein paar Meinungen, Wünsche oder Anregungen, wie Ihr das nehmen wollt, möchte ich doch loswerden. Vielleicht hast Du einiges davon selbst schon geplant.

Aus meiner Sicht zerfällt die projektive Geometrie in zwei weitgehend getrennte Bereiche, und das würde ich schon möglichst früh in der Einleitung sagen: Der Hauptteil, Alles das, was sich mit Koordinaten beschreiben lässt, und was für mein natürlich ganz subjektives Gefühl tatsächlich Geometrie ist, und die Seitenlinie mit starken Zügen von Kombinatorik, die von knapp gehaltenen Axiomen in zwei Dimensionen verschuldet wird. Dass es auch da viele interessante Fragen und Ergebnisse gibt, will ich gar nicht bestreiten. Aber es gibt ja dafür den Artikel Projektive Ebenen, so dass dieser Artikel hier zu diesem Aspekt sich kurz fassen sollte. Ternärkörper und Fano z.B. gehören hier m.E. nicht her.

Desargues und Pappus sollten explizit behandelt werden. Sie gehören hier zur Grundlage. Und die Grafik ist zwar schön, gehört aber nicht in die Einleitung und braucht dringend den Text, aus dem ein mathematischer Satz nun mal besteht. Die erwähnten Sätze von Pascal und Brianchon kenne ich hauptsächlich in den Versionen für Kegelschnitte. Ich gebe zu, die Erweiterung des Dualitätsprinzips auf Kegelschnitte erfordert etwas Raum. Aber vielleicht lohnt es sich, auch die eine oder andere Aussage der projektiven Geometrie darzustellen und nicht nur den Rahmen.

Ob man einen axiomatischen Zugang wählt, oder gleich wie bei Vektorräumen mit Koordinaten einsteigt, finde ich nicht so wichtig, obwohl mir der axiomatische Einstieg besser gefällt. Auch ein schönes einfaches Axiomensystem garantiert ja faszinierender Weise, dass man immerhin mit Koordinaten aus einem Schiefkörper rechnen kann, sobald die Dimension mindestens drei ist.

Endliche Geometrien fallen nicht notwendig in den Bereich, den ich oben als Seitenlinie bezeichnet habe, denn endliche Körper mögen bei einer ersten Begegnung überraschen, sind aber doch ganz natürliche Strukturen.

Zwei Kleinigkeiten, die mir so auf die Schnelle aufgefallen sind. Die Erste: Das Doppelverhältnis ist natürlich kein Analogon zum Verhältnis. Richtig ist, dass das Doppelverhältnis eine wichtige projektive Invariante ist. Aber es muss hier definiert werden, und nicht durch einen Link!

Zweitens gibt es keinen projektiven Kegelschnitt. Auch in der projektiven Geometrie werden Kegelschnitte behandelt und selbstverständlich muss man sie erst mal in diesem System definieren. Aber es sind eben Kegelschnitte, Punkt. Dass die Unterscheidung in Ellipse, Hyperbel und Parabel entfällt, ist wichtig, der Hinweis auf die entarteten Fälle (Geradenpaar und Doppelgerade) auch. Aber die Definition über die Gleichung $x_{1}^{2}=x_{2}x_{3}$ geht mir heftigst gegen den Strich. Dass man ihn durch passende Wahl des Koordinatenystems so schreiben kann, ist richtig. Aber es ist nicht das, was einen Kegelschnitt ausmacht.

Nochmal danke schön, und bitte macht weiter!- Binse (Diskussion) 02:05, 8. Feb. 2019 (CET)