Diskussion:Satz des Euklid

Dieser Artikel war am 14. März 2022 der Artikel des Tages.

Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung

Vielleicht wär ein Hinweis auf 'Lemma von Euklid' bzw. 'Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung' noch sinnvoll, ohne hab ich nämlich nicht verstanden, warum (z+1) 'ne neue Primzahl/in neue ggT zerlegbar sein muss.

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Wie die Beispiele zeigen, ist (Z+1) doch nicht unbedingt eine Primzahl. Deshalb müsste die Schlussfolgerung aus Euklid's Ansatz wohl heissen: (Z+1) ist entweder eine Primzahl oder durch mindestens eine Primzahl teilbar, die grösser als PN ist. Da BEIDE Alternativen der Annahme widersprechen, ist bewiesen, dass es keine grösste Primzahl gibt. Ich kann allerdings nicht sagen, ob Euklid dies schon so oder ähnlich formuliert hat.

Du hast recht: Z+1 ist nicht notwendig selbst eine Primzahl. Selbst mit der Annahme, dass man mit p1, ..., pn alle Primzahlen hat, folgt nur, dass Z+1 einen Primteiler hat, der nicht einer der p1, ..., pn ist. (Er muss nicht notwendig groesser als pn sein.)

Soweit ich weiss, hat Euklid "nur" gezeigt, dass keine endliche Zahl ausreicht, alle Primzahlen zu zaehlen. Er nimmt dazu n Primzahlen p1, ..., pn, und folgert, dass der Primteiler von Z+1 eine weitere Primzahl ist. Daraus folgt, dass es mehr als n Primzahlen gibt.

Da das nun fuer jede natuerliche Zahl n gilt, gibt es unendlich viele.

Aber auch ich gebe zu, dass mir die Originalversion nicht bekannt ist, sondern nur einige Varianten, die man in der Schule und waehrend des Studiums lernt. Alle diese Varianten stimmen aber im Kern ueberein. --SirJective 12:26, 20. Nov 2003 (CET)

Ich denke schon, dass jeder Primteiler von (Z+1) grösser als pn sein muss (wenn vorhanden), da p1...pn ja per Definition schon alle angenommenen Primzahlen enthält.

Ich denke eher, wenn schon p1, ..., pn ALLE Primzahlen sind, dann hat jeder Primteiler von Z+1 wahlweise überhaupt keine Eigenschaften, oder er hat alle Eigenschaften - weil es ihn nicht gibt (schliesslich stimmt er mit keinem pi überein). (NB: Welche Eigenschaften haben nicht existierende Objekte?) --SirJective 21:40, 20. Nov 2003 (CET)

Der untere Ergänzung ist zwar richtig, verwirrt aber anscheinend in dieser Formulierung die Leser. Denn der Beweisschritt, dass die Zahl Z+1 eine Primzahl sei, folgt eben aus den Beweisprämissen und führt diese zum Widerspruch. Heizer 11:24, 23. Nov 2003 (CET)

Vorsicht: Es wird nirgends vorausgesetzt, dass die p1 bis pn die ersten n Primzahlen sein müssen. Möglicherweise hat man ja irgendwo eine zwischendurch vergessen. Also etwa p1=2, p2=5, p3=11. Dann ist der kleinste Primteiler von Z+1=111 die 3. Möglicherweise sollte man die Beispiele auf der Seite anderst wählen. --Berni 22:11, 2. Jan 2004 (CET)

Hab den Absatz im Beweis entsprechend angepasst. Zusätzliche Beispiele, bei denen zwischendurch Faktoren weggelassen sind, halte ich für hilfreich. (Hab nur gerade keine Lust zu rechnen *g*) --SirJective 13:48, 3. Jan 2004 (CET)

Aber ich ;-) Hab' die Beispiele überarbeitet --Berni 16:00, 3. Jan 2004 (CET)

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Lassen wir die Frage, ob alle Teiler von (Z+1) größer als PN sind (1 ist auf jeden Fall kleiner), mal offen und fragen uns, ob die Aussage Euklids, es gibt keine letzte Primzahl, überhaupt innerhalb seines Axiomensystems zulässig ist. Es heißt sein Beweis sei einfach und elementar, aber ich fürchte, daß er keineswegs elementar ist. Wie wir wissen, spielen große Primzahlen in der Kryptologie eine wichtige Rolle. Um solche Verschlüsselungs-Primzahlen zu erhalten, müssen selbst die heute leistungsfähigsten Rechner Tage oder Wochen rechnen. Andererseits kann man beliebig große Primzahllücken konstruieren. Daraus folgt, daß die Folge der Primzahlen recht "dünn" wird, wenn die Zahlen genügend groß sind. Meine Überlegung ist nun folgende: Wenn selbst die leistungsfähigsten Rechner (selbst bei zig-milliardenfach gesteigerter Rechenleistung gegenüber heute) in endlicher Zeit keine neue, größere Primzahl mehr ausrechnen können (z.B. weil das Alter des Universums nicht ausreichen würde, um in dieser Zeit eine noch größere Primzahl auszurechnen), kann man dann überhaupt zulässigerweise davon sprechen, die Folge der Primzahlen reiße nicht ab?

Da es sicherlich eine natuerliche Zahl gibt, bis zu der man in Einerschritten selbst mit dem schnellsten Computer des Universums nicht in der (als endlich angenommenen) Lebenszeit des Universums zaehlen kann, kann man dann ueberhaupt zulaessigerweise davon sprechen, die Folge der natuerlichen Zahlen reisse nicht ab?

(Wenn wir davon ausgehen, dass unser 'Supercomputer' in endlicher Zeit nur endlich viele Einerschritte zaehlen kann, dann wird er in der endlichen Lebensspanne des Universums nur, sagen wir, A Schritte zaehlen koennen. Woher wissen wir dann, dass es noch eine Zahl A+1 gibt?)

Andererseits kann man natuerlich auch Zahlen durch Formeln ausdruecken. Geht man nicht in Einerschritten, sondern multipliziert jedesmal mit 10, erreicht man eine viel groessere Zahl (10^A, um genau zu sein), jedoch keine Zahl, die noch groesser ist.

Nebenbei kann man mit den endlich vielen Elementarteilchen im (bekannten) Universum ueberhaupt nur endlich viele Zahlen beschreiben (denn es gibt nur endlich viele Zustaende des Universums selbst). "Gibt" es dann ueberhaupt unendlich viele natuerliche Zahlen?

Ich sage ja, denn die Existenz natuerlicher Zahlen und grosser Primzahlen ist nicht an ihre Berechenbarkeit gebunden. Andere sagen nein, denn es existiert nur, was berechenbar ist.

Das gleiche Problem stellt sich bei den rationalen Zahlen. Wenn man sagt, daß die Zahlengerade der rationalen Zahlen überall dicht ist und trotzdem beliebig viele Irrationalzahlen dazwischen schieben kann, geht man stillschweigend, ohne daß das in Euklids Axiomensystem ausdrücklich gefordert ist, davon aus, daß man über unbegrenzte Zeit und unbegrenzte Rechenkapazität verfügt.

Kein Axiomensystem, welches reelle Zahlen (so wie ich sie kenne) definiert, macht Aussagen ueber Berechenbarkeit. Ebensowenig ist Berechenbarkeit eine Voraussetzung fuer Existenz. Andere Axiomensysteme, die Berechenbarkeit fordern, liefern nicht alle reellen Zahlen, sondern nur 'berechenbare Zahlen'. (Und selbst die sind nicht alle als endlicher Dezimalbruch darstellbar, sondern nur als Turingmaschine.)

Dieses Axiom hat Euklid nicht eingesetzt und es dürfte auch schwer fallen, es überhaupt als selbstverständlich, jedem Vernünftigen einleuchtend hinzustellen.

Jeder hinreichend Vernuenftige wird feststellen, dass an dieser Stelle Meinungen aufeinanderprallen, und Vorstellungen von reellen Zahlen, die nicht kompatibel sind. Daher eruebrigt sich eine Diskussion ueber die "Selbstverstaendlichkeit" der Notwendigkeit der Berechenbarkeit.

Ich vermute, daß diese Überlegung nicht allen Mathematikern gefallen wird, aber ich halte sie trotzdem für legitim und frage mich, ob man diese stillschweigende Annahme voraussetzen darf, ohne sich um eine Begründung für sie zu bemühen.

Die Annahme, Berechenbarkeit sei notwendig fuer die Existenz von Zahlen, hast du gemacht. Es gibt genug Mathematiker, die diese Annahme nicht machen, sich aber bewusst sind, dass nicht alle ihre Objekte berechenbar sind. Trotzdem existieren sie in dem Sinne, dass ihre Existenz keine Widersprueche innerhalb(!) des Axiomensystems hervorruft.

Meines Erachtens ist es durchaus fraglich, ob man aus Euklids Beweis, daß die Folge der Primzahlen nicht abreißt, folgern darf, die Folge der Primzahlen sei unendlich. Denn diese Folgerung setzt stillschweigend voraus, daß man über unbegrenzte Zeit und Rechenkapazität verfügt, obwohl das in den Axiomen Euklids nicht ausdrücklich vorausgesetzt wird bzw. voraussetzbar ist.

Das sehe ich anders. Mit meinem obigen Abschnitt stelle ich dir die Frage, ob die Menge aller natuerlichen Zahlen unendlich ist. Ich denke, eine konsistente Antwort muss lauten: Wenn es notwendig ist, Zahlen berechnen zu koennen damit sie existieren, dann gibt es auch nur endlich viele natuerliche Zahlen. Damit waere klar, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt.

Ich würde mich über Zusendungen und Diskussionsbeiträge freuen. Meine Email-Adresse lautet: harald@haraldtrachmann.de (21.11.2003 1045h)

Leider hab ich nicht wirklich Lust, mich auf eine Grundsatzdiskussion einzulassen (hatte ich schon - so intensiv wie vergeblich - in news:de.sci.mathematik, Thema "Widersprueche der Mengenlehre"), daher hoffe ich, dass du dich aus verschiedenen Quellen selbst informierst, welche unterschiedlichen Ansichten es da gibt (Stichworte sind z.B. : mathematischer Konstruktivismus, Unendlichkeitsaxiom). --SirJective 11:52, 21. Nov 2003 (CET)

Erst mal vielen Dank für Deine schnelle und moderate Antwort. Ich denke, wir sollten meinen Ausgangspunkt beachten, der von der elementaren Mathematik, wie sie Euklid und dem normalen Schulunterricht zur Verfügung stand, ausging. Demnach wäre es keineswegs korrekt, Euklids Beweis als selbstverständlich hinzustellen, da er nicht Axiome voraussetzen darf, die Peano und Fraenkel erst im letzten Jahrhundert aufgestellt haben. Ich stimme Dir aber zu, daß meine Überlegung streng genommen schon für die Folge der natürlichen Zahlen, ihre Produkte, Ihre Potenzen etc. gilt. Ich stehe auf dem Standpunkt, daß man weder über das unendlich Kleine, noch unendlich Große etwas hinreichend Sicheres sagen kann und darf, weil es sich unseren Untersuchungen entzieht. Hier würde ich durchaus etwas mehr Zurückhaltung begrüßen. Immerhin hast Du darauf verwiesen, daß hier gegensätzliche Meinungen aufeinanderprallen und da wollen wir nicht streiten, sondern das Problem unentschieden lassen. Das Wichtigste dürfte auch in der Mathematik sein, daß sie den Mathematikern Spaß macht. [Benutzer: Harald Trachmann 22:07, 21. Nov 2003(CET)]

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Wenn man alle Primzahlen nimmt, die kleiner als n sind, und aufmultipliziert zu Z; dann ist (Z+1) entweder selber eine Primzahl oder hat einen Primteiler, der größer als n und kleiner als (Z+1) ist. Wenn man aber irgendwelche n Primzahlen nimmt z. B. p1=2 und p2=7, also n=2, diese aufmultipliziert zu (Z+1)=2*7+1=15=3*5, dann ist nicht mehr zwangsweise die größer und kleiner Relation vorhanden!

Vom mathematischen Standpunkt ist der Beweis http://de.wikipedia.org/wiki/Euklids_Primzahlbeweis richtig. Es gibt einen Widerspruch; allerdings sollte man dazu in der Beweisführung (Z+1) nicht als Primzahl bezeichnen, da dies keine schlüssigeg Folgerung ist. Die richtige und schlüssige Folgerung ist: Es gibt eine weitere Zahl mit den Eigenschaften einer Primzahl, die (Z+1) teilt und ungleich 1 ist (i. B. kann dies auch (Z+1) sein), daher können die angenommenen n Primzahlen nicht alle sein und es ergibt einen Widerspruch. Der induktive Ansatz (wie er z. B. auch bei der Definition der natürlichen Zahlen verwendet wurde) ergibt nun die unendliche Anzahl an Primzahlen.

Wenn alles Berechnbar sein muß, was existiert, dann steht die heutige Mathematik nicht mehr! Alles bricht zusammen. Beispielsweise der Integralbegriff wie ihn wahrscheinlich jeder aus der Schule kennt ist der Riemann'sche Integralbegriff. In der Schule wird dieser normalerweise mittels Intervallschachtelung eingeführt. Dabei muß zwangsweise die Intervallanzahl, mit der das Integral approximiert wird (also diese Summenschreibweise eines Integrals), gegen unendlich gehen.

Nein, nicht unbedingt. Es würde völlig reichen, wenn man die Intervallschachtelung hinreichend genau macht. Die meisten Nullfolgen sind schon nach relativ wenigen Schritten genau genug. Die Frage ist halt, ob wir immer auf die Genauigkeit ganzzahliger Ergebnisse abheben sollten. Ich meine, daß diese Forderung viel zu streng und aufwendig ist.

Was ist denn nun unendlich? Wie berechnet sich nun das Integral? Also existiert das Integral, obwohl es nicht berechenbar ist. Naja, eigentlich etwas komplizierter, aber im wesentlichen existiert alles, was nach einer Vorschrift aufbaubar ist (um nicht berechenbar zu sagen). Und es spielt dabei keine Rolle, wie lange das dauert.

Das ist die Frage! Möglicherweise haben sich die älteren Mathematiker darüber gar nicht den Kopf zerbrochen, weil es für sie nicht wichtig oder aktuell war. Aber ich meine schon, daß wir nicht irgendwelche Vorschriften zugrundelegen dürfen, die sich in Endlosschleifen verlieren, ohne daß am Ergebnis sich etwas ändert.

Die Mathematik will ganz prinzipiell Strukturen bauen und verstehen. Dabei kann man nicht zwangsweise jeden Punkt dieser Struktur angeben, aber jeder Punkt ist genau betrachtbar sein.

Auch das dürfte schwer sein, da jedes Ordnungsprinzip ab einer bestimmten Größe nicht mehr handbar wird.

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 17:32, 25. Dez. 2020 (CET)

Widerspruchsbeweis ?

Euklids Beweis ist kein Widerspruchsbeweis. Es ist ein ziemlicher Anachronismus, Euklid solche Gedanken zu "Endlichkeit" und "Unendlichkeit" unterzuschieben.

Behauptung: Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Menge von Primzahlen

Beweis: Man hat eine vorgelegte Menge von Primzahlen p1, p2, .., pr Dann hat die Zahl p1 * p2 * ... * pr + 1 keine der Primzahlen p1 bis pr als Teiler. Also gibt es eine weitere Primzahl q.e.d.

Die Annahme "Es gibt eine endliche Menge von Primzahlen" ist für die Behauptung und den Beweis völlig überflüssig und wurde von Euklid nicht benutzt. Daher ist es auch kein Widerspruchsbeweis. Euklid hat weder in dem Satz noch im Beweis die Begriffe endlich und unendlich benutzt (wie auch ?) Ich würde den Abschnitt gern ändern. UlrSchimke 00:40, 20. Feb 2006 (CET)

Die Bezeichnung "Widerspruchsbeweis" ist ja ohnehin kaum zu fassen, wenn man da nicht etwas unterschieben will, das gar nicht gemeint ist, wie z.B. ein Beweis, der ohne das Prinzip des tertium non datur nicht funktioniert oder so.--Gunther 00:50, 20. Feb 2006 (CET)

Ich habe jetzt nochmal nachgelesen. Im Beweis selber wird doch ein Widerspruchsargument benutzt, aber "endlich" und "unendlich" nicht. Ich habe den Beweis jetzt ergänzt UlrSchimke 00:18, 28. Feb 2006 (CET)

Der Beweis ist korrekt, das ist gut, denn meistens wird er falsch dargestellt, aber Beispiele zu einem Widerspruchsbeweis??? Das ist äusserst bedenklich... Wenn dann müsste man schreiben: Es ist nicht richtig, dass 2,3,5 die einzigen Primzahlen sind, denn ... usw. Aber Beispiele? Genaugenommen sind das eigenständige Aussagen, also Sätze, die Spezialfälle des Satzes von Eukild sind. Die Bezeichnung "Beispiele" ist schlecht.--128.101.154.21 22:40, 22. Feb 2006 (CET)

Euklids Beweis ist kein Widerspruchsbeweis, wie hier schon vor 10 Jahren angemerkt wurde, nur passiert ist leider nichts.--87.173.210.49 23:46, 30. Aug. 2017 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 17:33, 25. Dez. 2020 (CET)

Beispiele

Du hast recht, "Beispiele" gefällt mir auch nicht so recht zumindest würd ich etwas anders formulieren. Ich wüde nicht:

   * Angenommen, 2, 3, 5, 7 und 11 seien die einzigen Primzahlen. Dann berechnet man 2311 = weitere Primzahl.

schreiben, sondern das Beispiel mehr wie Euklid ausführen, wenn er schreibt: „Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen.“.

Man lege sodann { 2, 3, 5, 7, 11 } als Menge von Primzahlen vor und berechne daraus 2311. Man erhält eine neue Primzahl, die nicht in der vorgelegten Anzahl von Primzahlen enthalten ist. Man erspart sich auf diese Weise auch das Widerspruchsargument.

Offen gestanden, gefällt mir die Formulierung "Angenommen, X und Y seien die einzigen Primzahlen" überhaupt nicht. (nicht signierter Beitrag von 81.10.251.217 (Diskussion) 10:32, 22. Apr 2006)

Naja, bei Widerspruchsbeweisen muss man nun einmal falsche Annahmen treffen. Aber ansonsten Zustimmung.--Gunther 10:36, 22. Apr 2006 (CEST)

Wie wäre es denn mit "Angenommen, X und Y seien alle Primzahlen" --Arbol01 11:44, 22. Apr 2006 (CEST)

Ich bin dafür den Abschnitt Beispiel ganz zu löschen. Dieser Artikel geht über einen Satz, der eine Aussage zur Anzahl der Primzahlen trifft. Mit Hilfe dieses Satzes lässt sich nun mal nichts berechnen. Also kann man auch keine Beispiele angeben. Die jetzigen „Beispiele“ sind m. E. nur Zahlenspielereien. --Squizzz 13:27, 22. Apr 2006 (CEST)

Oh doch! Es läßt sich mit jeder endlichen Menge an Primzahlen zeigen, daß weitere, noch unbekannte Primzahlen existieren müssen. --Arbol01 02:00, 23. Apr 2006 (CEST)

Ausserdem wird der Satz von Euklid erst durch Beispiele für viele Leute verständlich. --Arbol01 02:02, 23. Apr 2006 (CEST)

@Squizzz: Der Beweis hat durchaus eine konstruktive Komponente, die man an einem Beispiel illustrieren kann. Manche andere Beweise der Unendlichkeit der Menge der Primzahlen liefern kein Verfahren, um aus einer endlichen Menge weitere Primzahlen zu gewinnen.--Gunther 02:15, 23. Apr 2006 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 17:34, 25. Dez. 2020 (CET)

Zwei unterscheidliche Beweise ?

Ich denke nicht, das der urspüngliche Beweis von Euklid sich wirklich essentiell von dem zuvor dargestellten unterscheidet. Die kleinste Zahl m in Euklid's Beweis ist genau das Produkt aller Primzahlen. Dies ist jedoch für den Beweis überhaupt nicht wesentlich wie diese Zahl berechnet werden kann.

Eigentlich könnte man sich auf die ursprüngliche Form von Euklid beschränken.

Ich habe mir den vermeintlichen Beweis von Euklid mal genauer angesehen. Da ist doch einiges etwas sehr seltsam formuliert. Ich halte es doch für zweifelhaft, dass dies wirklich die Orginalform des Beweises ist.

Der Beweis in seiner jetztigen Form ist unverständlich und wohl auch falsch. Ich werde mal einen nachvollziehbaren Beweis einfügen.

(nicht signierter Beitrag von Fsswsb (Diskussion | Beiträge) 12:29, 23. Apr 2006)

Der Beweis folgt in der jetzigen Form Euklid und ist korrekt. Wenn Du ihn nicht verstehst, dann unterlasse weitere Änderungen und erläutere, welcher Punkt Dir unklar ist.--Gunther 13:39, 23. Apr 2006 (CEST)

Ok ich habe mir den Beweis nochmal genau angesehen. Obgleich er fürchterlich verdreht erklärt ist, er letztlich wohl korrekt. Er ist auch deshalb so schwer zu verstehen, weil es eigentlich der Beweis einer weitergehenden Aussage ist.

Sei m das Produkt beliebiger Primzahlen p1, p2, ...,pn. Dann sind die Primfaktoren der Zerlegung von m+1 = q1,q2,...,qm paarweise verschieden zu den pi. Dies ergibt sich aus der Aussage ggT(m+1,m)=1. Dies folgt wiederum sofort aus der Anwendung des Euklidischen Algorithmus. Die Tatsache, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, ist mehr oder minder eine triviale Folgerung aus dieser allgemeineren Feststellung.

Dies wird hier im Prinzip erklärt. Naja, ich habe das schon mehrfach lesen müssen, um es zu kappieren.

$a,b,c,\ldots ,k$ seien Primzahlen, und $m$ sei die kleinste Zahl, die von allen diesen Zahlen geteilt wird. Ist dann $m+1$ eine Primzahl, so gibt es eine weitere Primzahl, nämlich $m+1$. Ansonsten sei

Sorry, dieser Satz ist zwar richtig aber kaum zu verstehen, obgleich die Aussage völlig trivial ist.

$q$ ein anderer Primteiler von $m+1$.

Wäre $q$ eine der Primzahlen $a,b,c,\ldots ,k$, so würde $q$ sowohl $m$ als auch $m+1$ teilen. Dann muss $q$ aber auch die Differenz, also 1, teilen, was absurd ist. Also ist $q$ eine weitere Primzahl.

Im Prinzip richtig, aber kaum zu verstehen. (nicht signierter Beitrag von Fsswsb (Diskussion | Beiträge) 18:58, 23. Apr 2006)

Die Behauptung, die bewiesen werden soll, steht unmittelbar vor dem Beweisabschnitt. Bitte den ganzen Artikel lesen und nicht erwarten, dass jeder Satz auch ohne Kontext verständlich ist. Und nein, den euklidischen Algorithmus braucht man nicht. Ich habe mal versucht, Deine leider extrem wenig konkrete Kritik im Artikel umzusetzen.--Gunther 19:09, 23. Apr 2006 (CEST)

Falls es wirklich nur darum gehen soll zu beweisen, dass es keine größte Primzahl gibt, geht der Beweis weit über das Zeil hinaus. Es genügt das Produkt aller Primzahlen, nennen wir es m, zu bilden und eins zu addieren, um einen Widerspruch zu erhalten. Denn zwei natürliche Zahlen n und n+1 sind teilerfremd, so das m+1 eine Primzahl sein muss. Dies folgt z.B. aus der Anwendung des Euklidischen Algorithmus. Es ist ergibt sich jedoch auch daraus, dass bei der Division von n+1 durch einen Teiler von n immer ein Rest 1 verbleibt.

Euklid, sofern der Beweis wirklich so von ihm stammt, hat jedoch viel mehr gezeigt. Aus seinen Überlegungen geht hervor wie aus einer beliebgen (nicht leeren) Teilmenge der Primzahlen weitere berechnet werden können. Dazu bildet man das Produkt der vorgebenen Primzahlen addiert eins und berechnet die Primfaktorzerlegung dieser Zahl. Alle Primfaktoren von m+1 sind "neue" Primzahlen. (nicht signierter Beitrag von Fsswsb (Diskussion | Beiträge) 12:49, 24. Apr 2006)

Zitat aus meinem obigen Beitrag: "steht unmittelbar vor dem Beweisabschnitt". Zitat aus dem Artikel, der Satz vor dem Beweisabschnitt: "Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen".--Gunther 12:53, 24. Apr 2006 (CEST)

Mir ist nicht klar, warum n und n+1 teilerfremd sind, und warum q als Primfaktor von a und b auch Primfaktor von a-b sein muss. Damit der Beweis fuer ein breiteres Publikum verstaendlich und sinnvoll wird, erlaeutert diese Voraussetzungen bitte (inline oder mit hyperlinks). Danke. Darsie 02:51, 14. Jan. 2009 (CET)

Einleitungssatz

Wie wäre es, statt "Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt. Dies ist gleichwertig zu der Aussage, dass es unendlich viele Primzahlen gibt." als Einleitung "Der Satz von Euklid besagt, dass jede endliche Menge von Primzahlen unvollständig ist." zu Verwenden? --Arbol01 13:41, 23. Apr 2006 (CEST)

Auf jeden Fall sollte das mit der größten Primzahl raus, davon ist ja nirgends die Rede. Aber ich denke schon, dass "dass es unendlich viele Primzahlen gibt" eine zulässige Modernisierung von Euklids Aussage darstellt. Wie er es formuliert hat, steht ja gleich danach.--Gunther 13:44, 23. Apr 2006 (CEST)

Sorry, das war auch nicht meine Absicht. Also "Der Satz von Euklid besagt, dass jede endliche Menge von Primzahlen unvollständig ist." statt "Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt." --Arbol01 13:46, 23. Apr 2006 (CEST)

Das Problem dabei ist halt, dass "unvollständig" weder Fachsprache noch wirklich allgemeinverständlich ist. Ich denke, dass "Der Satz von Euklid besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt." als Einleitung völlig ausreichend ist, zusammen mit dem jetzigen zweiten Absatz.--Gunther 13:49, 23. Apr 2006 (CEST)

Auch gut! Ich kann die Bedenken bezüglich des unvollständig nachvollziehen. --Arbol01 13:53, 23. Apr 2006 (CEST)

Ich stimme der von Gunther vorgeschlagenen Einleitung zu. Insbesondere für unbedarfte Leser ist die Aussage in Bezug auf die Unendlichkeit der Primzahlen das was sie wohl interessiert. --Squizzz 17:59, 23. Apr 2006 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 17:34, 25. Dez. 2020 (CET)

Aussagenlogische Äquivalenz

Ist die Aussage "Es sei m die kleinste Zahl, die von allen diesen Zahlen geteilt wird." äquivalent zu der Formulierung, dass "m das Produkt aller (endlich vielen) Primzahlen ist"?! Grüße --WissensDürster 14:09, 18. Feb. 2009 (CET)

Nein. Nehmen wir die 18 als Beispiel. Es gilt: T(18)={1; 2; 3; 6; 9; 18}. Ich glaube, das Produkt der Teiler wird etwas größer als 18 - auch wenn es sich nicht bloß um Primzahlen handelt. :-) Es gibt doch dumme Fragen! (nicht signierter Beitrag von 93.129.62.101 (Diskussion) 17:45, 29. Jul 2010 (CEST))

Hallo,

ich hätte zu diesem Thema auch mal eine Frage und wollte euch mal fragen was ihr dazu denkt: Was hat die Primfaktorzerlegung bzw. der Satz von Euklid mit der Definition der Primzahlen (nur durch sich selbst und eins teilbar) zu tun. Also für mich ist es so, dass die Primzahlendefinition über der des Satzes von Euklid stehen muss, da dieser nur in dem "System Primzahlen" seine Gültigkeit hat und somit nicht die Primzahlendefinition beeinflussen kann -->daher ist es egal das hier rauskommt, dass sie unendlich sind. Dazu folgender Denkansatz (also jetzt zur Definition nur durch eins und sich selbst teilbar): Da bis auf die 2 alle weiteren geraden Zahlen durch 2 teilbar sind, müssen sämtliche weiteren Primzahlen aus den ungeraden Zahlen bestehen. Weiters dürfen sie nicht aus den 10er-Reihen 3,5,7 (9er Reihe ist vollständig in der 3er Reihe enthalten) bestehen,♠ [da diese 10er-Reihen sich nur untereinander verschieben und immer konstant 5 ungerade Zahlen je 10er Block wegfallen und jede neue Primzahl ebenfalls je 10er-Reihe 5 ungerade Zahlen wegfallen lässt (wovon natürlich auch manche doppelt besetzt sein können) wird irgendwann jede ungerade Zahl in einem Zyklus (also wo sämtliche 10er Reihen wieder gleich versetzt sind) abgedeckt sein und die Primzahlen hätten ein Ende.] Ich bitte euch mir zu sagen ob ihr an diesem Denkansatz irgend einen logischen Fehler findet.

Danke Dominik (nicht signierter Beitrag von 193.170.48.2 (Diskussion | Beiträge) 15:34, 28. Aug. 2009 (CEST))

Dominik, bis zu der von mir gesetzten Zäsur stimmt - wenn du auch manches etwas unglücklich ausgedrückt hast - alles so weit. Dann wird es wirr und unverständlich.(nicht signierter Beitrag von 93.129.62.101 (Diskussion) 17:45, 29. Jul 2010 (CEST))

Optimierung der Beweis-Verständlichkeit

Meines Erachtens könnte man die Verständlichkeit des Beweises erhöhen, indem man Kleinigkeiten einfügt:

• m = q * l (laut Definition von m)
• außerdem k > l

Ich persönlich habe mich mit der Erklärung in der englischen Wikipedia leichter getan. Außerdem fand ich das hier gut verständlich: http://matheguru.com/allgemein/196-beweis-dass-es-unendliche-viele-primzahlen-gibt.html

--S3rvus (Diskussion) 23:58, 20. Dez. 2015 (CET)

Beweis ist KEIN indirekter Beweis

Der Primzahlbeweis EUKLIDS ist kein indirekter Beweis. Dieses Missverständnis hält sich seit Jahrzehnten. Der Beweis als Ganzes ist nicht indirekt, sehr wohl nutzt EUKLID aber im zweiten Fall der Fallunterscheidung eine indirekte Vorgehensweise. Im Einzelnen: Betrachtet man den Beweis genau, so erkennt man, dass EUKLID konstruktiv argumentiert. Weder behauptet er, seine vorgelegte Primzahlliste umfasse alle Primzahlen, noch sagt er, dass es sich dabei um die kleinsten Primzahlen handelt. Erst im zweiten Teil des Beweises – der Fallunterscheidung – argumentiert EUKLID indirekt. Nach der Behauptung „daß g mit keiner der Zahlen a, b, c zusammenfällt“ schreibt er, „wenn möglich tue es dies nämlich“ – dies entspricht einer Widerspruchsannahme. Die dann folgende Argumentation läuft darauf hinaus, dass g die Zahl Eins teilen müsste, was unmöglich ist und damit einen Widerspruch zur vorigen Annahme darstellt („dies wäre Unsinn“). (nicht signierter Beitrag von 31.164.79.185 (Diskussion) 21:57, 7. Apr. 2020 (CEST))

Über die Transzendenz der Kreiszahl

Hallo, was bedeutet $\mathbb {Q} \pi ^{2k}$ im Abschnitt Über die Transzendenz der Kreiszahl? --Christian1985 (Disk) 15:17, 25. Dez. 2020 (CET)

$\mathbb {Q} \pi ^{2k}:=\{q\cdot \pi ^{2k}\mid q\in \mathbb {Q} \land k\in \mathbb {N} \}$ ist die Menge aller rationalen Vielfachen der Potenzen von $\pi ^{2}$ mit (hier) natürlichem Exponenten.
Allgemeiner ist $x\in \mathbb {Q} r$ gleichwertig mit $x/r\in \mathbb {Q} .$ 91.118.242.246 16:47, 25. Dez. 2020 (CET)

Danke! --Christian1985 (Disk) 17:27, 25. Dez. 2020 (CET)

Satz von Euler

Hallo,

ich finde es seltsam den Satz von Euler als einen alternativen Beweis für den Satz von Euklid anzusehen. Ich persönlich käme nicht auf die Idee

$\sum _{p\ {\text{prim}}}{\frac {1}{p}}$

zu betrachten, wenn die Menge der Primzahlen endlich wäre. Für mich fühlt sich diese Aussage eher als Verschärfung des Satzes von Euklid an. Gibt es hier weitere Meinungen? Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 17:30, 25. Dez. 2020 (CET)

Vermutlich legst du deiner Attribuierung „alternativ“ eine mir nicht bekannte tiefere Bedeutung bei: Würdest du es denn nach einer Streichung noch immer „seltsam“ finden, einen Beweis des „Satz[es] von Euler als einen alternativen Beweis für den Satz von Euklid anzusehen“? Ein Beweis des Satzes von Euler ist eben (auch) ein Beweis des Satzes von Euklid (wenn jener diesen nicht irgendwo versteckt voraussetzt). Und natürlich eignet sich ganz allgemein auch der Beweis jeder Verschärfung eines Satzes zum Beweis desselben, das gehört einfach mit zum Wesen einer hinreichenden Bedingung: Wenn etwas ein Dackel ist, dann ist es auch ein Hund. Und um zu beweisen, dass etwas ein Hund ist, genügt es daher zu zeigen, dass es sich um einen Dackel handelt. 91.118.242.246 17:54, 25. Dez. 2020 (CET)

Ich habe keinen Zweifel daran, dass der Satz von Euler auch den Satz von Euklid umfasst. Jedoch frage ich mich, ob der Abschnitt nicht besser unter der Überschrift "Stärkere Resultate" untergebracht wäre. Alles was dort aufgeführt ist, kann ja auch als Beweis des Satzes von Euklid verstanden werden.

Das Wort "alternativ" impliziert bei mir, dass die bewiesene Aussage nicht deutlich stärker ist, als was man ursprünglich bewiesen wollte. Also beispielsweise könnte man sagen, Euler wollte beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, man hat aber bewiesen, dass die Reihe über die Kehrwerte aller Primzahlen nicht konvergiert, was für mich deutlich stärker erscheint. Außerdem ist der gerade von mir geschriebene Satz auch historisch falsch. --Christian1985 (Disk) 18:28, 25. Dez. 2020 (CET)

Dann habe ich dich offenbar nicht ganz richtig verstanden. Es geht dir also nicht um eine (inhaltliche) logisch-mathematische Sachfrage, sondern eher um (historische) strukturell-enzyklopädische Aspekte. Damit sind wir dann natürlich auch im Bereich der Geschmacks- und Stilfragen, wo es durchaus divergierende Ansichten geben kann, ohne dass eine von ihnen falsch oder auch nur ungeeignet zu sein braucht. Vielleicht richtest du dich daher damit besser direkt an den Hauptautor, insbesondere angesichts der aktuellen Kandidatur (statt des – andernfalls durchaus empfehlenswerten – „Einfach-Mutig-Seins.“ 91.118.242.246 19:02, 25. Dez. 2020 (CET)

Ja genau, es geht um eine Geschmacksfrage, die ich hier zur Diskussion stellen wollte. Wenn der Hauptautor eine andere Vorstellung als ich hat oder andere Autoren meine Idee nicht gut finden, dann soll der Artikel auch gerne so bleiben wie er aktuell ist. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 21:36, 25. Dez. 2020 (CET)

Servus Christian1985, Liebe IP, da hatte ich mir tatsächlich auch länger Gedanken drüber gemacht. Eine Zeit lang hatte ich den Satz von Euler auch zu den stärkeren Resultaten geschoben, um es dann wieder rückgängig zu machen, da er in vielen Quellen de facto als Beweis zu Euklids Satz aufgeführt wird. Das Resultat an sich ist auch relativ schwach. Andererseits ist der Dirichletsche Primzahlsatz beweistechnisch eine natürliche Verallgemeinerung von Euler, was eine Verschiebung wieder sinnvoller machen würde. Aber ich bin tatsächlich unentschlossen. Zumindest müsste man den Erdös ein wenig umformulieren, da bei ihm ja auch von Euler die Rede ist. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 11:58, 26. Dez. 2020 (CET)

Laienfrage

Mir kommt das Lemma etwas holprig vor. Ich habe den Satz noch als „Satz des Euklid“ kennengelernt, so, wie es sich auch unter Weblinks im Video findet. Gruß, --Hans-Jürgen Hübner (Diskussion) 09:32, 30. Dez. 2020 (CET)

Hallo Hans-Jürgen Hübner, ich kann das Lemma auch zu Satz des Euklid verschieben. Ich glaube, es geht beides, aber ich denke ich finde dein Anliegen sehr berechtigt. Es heißt ja auch Satz des Pythagoras und nicht Satz von Pythagoras. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 11:40, 30. Dez. 2020 (CET)

Vielen Dank und ebensolche Grüße, --Hans-Jürgen Hübner (Diskussion) 15:31, 30. Dez. 2020 (CET)

KALP-Kandidatur vom 23. Dezember 2020 bis 14. Januar 2021 (Ergebnis: exzellent)

Der Satz des Euklid, manchmal auch Satz von Euklid, ist ein Lehrsatz aus der elementaren Zahlentheorie und besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Benannt ist er nach Euklid von Alexandria, der ihn als erster im dritten Jahrhundert v. Chr. in seinen Elementen bewies. Jedoch kannten die Mathematiker der Antike das Konzept der Unendlichkeit noch nicht. Euklid selbst formulierte den Satz daher wie folgt: „Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen“.

Nach einigen Überarbeitungen des Artikels über dieses überaus schöne Resultat stelle ich den Artikel zur Kandidatur. Ich möchte mich auch bei Petrus3743 für die Erstellung eines Bildes zur Veranschaulichung des Euklidischen Beweises bedanken! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 18:28, 23. Dez. 2020 (CET)

Gerne geschehen! Liebe Grüße Petrus3743 (Diskussion) 01:22, 5. Jan. 2021 (CET)

•  Exzellent Ich versteh das nicht alles, aber als Fan des Numberphile-Kanals geb ich sofort ein Laien-Pro. Danke für die Arbeit und entspannte Feiertage. LG -- Andreas Werle (Diskussion) 10:09, 24. Dez. 2020 (CET)

•  Exzellent Vorbildlich gut geschrieben, wie z.B. Beweis von Euklid, Auswahl weiterer Beweise u. a. m., die maßgeblichen Ausführungen sind alle belegt und die Formeln kann ich als Mathematik-Interessierter gut nachvollziehen. Mit Gruß Petrus3743 (Diskussion) 10:54, 26. Dez. 2020 (CET)

•  Exzellent Ich halte den Artikel auch für exzellent. Ich denke das Thema ist vollständig und in verständlicher Sprache beschrieben. Sicher kann man darüber diskutieren, welche Beweise es wert sind präsentiert zu werden, ich halte die Auswahl so für gut. --Christian1985 (Disk) 13:59, 26. Dez. 2020 (CET)

•  Exzellent geschrieben und belegt. Ich schließe mich den Meinungen an. Grüße--Maximum 2520 (Diskussion) 21:58, 27. Dez. 2020 (CET)

•  Exzellent --Methodios (Diskussion) 20:02, 29. Dez. 2020 (CET)

•  Exzellent Endlich wieder ein exzellenter Mathematikartikel. --Steffen 962 (Diskussion) 15:35, 31. Dez. 2020 (CET)

•  Exzellent Ich sehe das auch so wie die Vorschreiber, besonders die Verständlichkeit und die Übersichtlichkeit sind vorbildlich. Unabhängig davon hätte ich noch eine Anregung für zwei Überschriften: „In heutiger Fachsprache“ statt „In heutiger Sprache“, da es ja nicht um den Unterschied zwischen Deutsch und Altgriechisch geht. Außerdem „Kennzeichnung der Beweise“ statt „Bewertung“, da es sich ja um keine beurteilende Bewertung handelt.

Darf auch etwas Kritik sein? Einige Einzelnachweise haben keine Jahreszahlen, das habe ich besonders dort vermisst, wo es um die Reihenfolge der Beweise geht. --Dioskorides (Diskussion) 15:29, 1. Jan. 2021 (CET) Noch etwas: An mehreren Stellen wird auf „stärkere Beweise“ hingewiesen. Gibt es einen Artikel, woraufhin man diesen Ausdruck verlinken könnte? --Dioskorides (Diskussion) 15:50, 1. Jan. 2021 (CET) Letzte Idee: Deine Änderung von „2020“ auf „2021“ könnte voreilig sein; 2020 haben wir jetzt sicher im Kasten, aber wer weiß, was 2021 alles bringt? --Dioskorides (Diskussion) 15:53, 1. Jan. 2021 (CET)

•  Exzellent Ich habe Mathematik studiert und noch vieles Neue in diesem Artikel entdckt, dabei ist er gut verständlich geschrieben. --Joachim Mohr (Diskussion) 15:38, 4. Jan. 2021 (CET)

Mit 8x  Exzellent ist der Artikel in dieser Version einstimmig als exzellent gewählt.
Herzlichen Glückwunsch! Übertragen von KALP durch --Krib (Diskussion) 22:16, 14. Jan. 2021 (CET)

Ausprägungen von Unendlich!?

Hallo, ich finde den Satz

„Die Aussage, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, führte zu der Frage, „wie viele“ Primzahlen es genau gibt. Zwar weiß man, dass es unendlich viele sind, aber es gibt unterschiedliche „Ausprägungen“ von Unendlich.“

bestenfalls unglücklich formuliert. Für die meisten Leser ist es schon schwierig genug zu begreifen, dass die Menge der Primzahlen und die Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig sind (und die Menge der Quadratzahlen gleichmächtig zu beiden ist). Die sollten nicht durch solche Sätze verwirrt werden, die sich mit Worten wie „Ausprägungen“ und „in einem asymptotischen Sinne“ herauszuwinden versuchen; zumal es ja tatsächlich unterschiedliche Arten von Unendlichkeit gibt, die allerdings so gut wie nichts mit Teilmengen der natürlichen Zahlen zu tun haben. Wäre es nicht besser, direkt über Häufigkeitsverteilungen zu schreiben? --Senechthon (Diskussion) 18:24, 5. Apr. 2021 (CEST)

Guten Abend Senechthon, danke, ich kann nachvollziehen, was du meinst. Die Formulierung ist möglicherweise verwirrend. Ich werde den Satz überarbeiten. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 18:46, 5. Apr. 2021 (CEST)

Vielen Dank für die schnelle Reaktion, und entschuldige bitte den übermäßig aggressiven Ton oben; der ist mir leider erst beim nachträglichen Durchlesen aufgefallen. Die geänderte Version finde ich schon viel besser, aber bei unendlichen Teilmengen in den natürlichen Zahlen halte ich auch Formulierungen wie „wie viele genau“ oder „viel weniger als“ für unglücklich. Das macht eigentlich nur bei endlichen Teilmengen Sinn. Zwar wirkt das sehr einfach und verständlich, ist aber eher ein „false friend“. Daher habe ich mal versucht, es etwas umzuformulieren. Wie wäre es zum Beispiel mit:

„Die Aussage, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, führte zu der Frage, wie dicht sie in den natürlichen Zahlen liegen. Damit ist das langfristige Verhalten der Abstände zwischen verschiedenen Primzahlen gemeint. Zum Beispiel finden sich bis zur Zahl 10000 nur einhundert Quadratzahlen, also viel weniger als natürliche Zahlen. Analog dazu kann gefragt werden, wie häufig Primzahlen bis zu einer Schranke (wie zum Beispiel 10000) auftauchen und wie sich diese Häufigkeit verhält, wenn die Schranke immer größer gewählt wird.“

Viele Grüße, --Senechthon (Diskussion) 20:44, 5. Apr. 2021 (CEST)

Hallo Senechthon, dein Ton war nicht aggressiv, zumindest habe ich es nicht gemerkt, also keine Sorge ;) Deinen Vorschlag finde ich sehr gut, und du hast natürlich recht. Ich werde ihn gleich genau so einbauen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 15:45, 6. Apr. 2021 (CEST)

Zerfallende natürliche Zahlen?

Die Formulierung

"Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik zerfallen alle natürlichen Zahlen größer als 1 eindeutig in Primfaktoren."

erscheint mir etwas seltsam. Wäre

"Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik können alle natürlichen Zahlen größer als 1 eindeutig in Primfaktoren zerlegt werden."

nicht besser? Ich möchte hier nicht reinmurksen, da ich kein Mathematiker bin, aber vielleicht könnte das ein Experte kurz kommentieren. Vielen Dank. --Vorruheständler (Diskussion) 09:23, 14. Mär. 2022 (CET)

+1 Ist m. E. eine bessere Formulierung, man sagt ja auch „in Primfaktoren zerlegen“. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 09:37, 14. Mär. 2022 (CET)

Danke für Deine Meinung. Dann ändere ich das mal. --Vorruheständler (Diskussion) 13:47, 14. Mär. 2022 (CET)

Q.e.d.

Im Abschnitt mit der Originalformulierung ist das schließende ὅπερ ἔδει δεῖξαι (was zu beweisen war) in der Übersetzung nicht wiedergegeben. Soll das so? --Chirlu (Diskussion) 12:05, 14. Mär. 2022 (CET)

Völlig richtig, danke, habe es aufgenommen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 16:44, 14. Mär. 2022 (CET)

Frage "indirekt oder nicht?" revisited

Zunächst einmal finde auch ich diesen Artikel sehr schön zu lesen! Gratulation, Eure Exzellenz!

Ich möchte mich dennoch noch einmal zur Frage der äußern, ob es denn nun ein Widerspruchsbeweis sei oder nicht. Und dabei meine ich nicht den Gedankenschritt, der schon in #Beweis_ist_KEIN_indirekter_Beweis angesprochen wurde.

Es ist großartig, wie Euklid (was für ein Kopf!) genau formuliert, was er beweist: Zu einer vorgegebenen Menge von Primzahlen lässt sich eine weitere Primzahl finden, die in ihr nicht enthalten ist. Genau das beweist er und benutzt dabei natürlich, dass diese Menge endlich ist, andernfalls könnte man das Produkt ihrer Elemente nicht bilden. Er führt es freilich nur mit drei Elementen vor.

Euklid zeigt also: Jede endliche Menge von Primzahlen kann nicht alle Primzahlen enthalten. Oder: Wenn eine List von Primzahlen endlich ist, dann ist sie keine vollständige Liste aller Primzahlen.

Die Kontraposition dieser Aussage ist: "Wenn eine Liste von Primzahlen vollständig ist, dann ist sie nicht endlich." Mit anderen Worten: Will man formulieren und beweisen: "Die Menge der Primzahlen ist nicht endlich", so wird man die Argumentation kontraponieren müssen -- und damit zu einem indirekten Beweis kommen. Tatsächlich zeigt Euklid ja nicht, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (er legt uns ja keine vollständige Liste vor, der man ihre Unendlichkeit ansieht), sondern zeigt nur, dass jede endliche Liste unfertig ist, weil sich eine darin fehlende Primzahl finden lässt. In dieser Konstruktion zeigt sich zugleich die "Indirektheit". Es kommt also darauf an, wie die Behauptung formuliert ist. Daher resultiert auch, dass in der Literatur häufig formuliert wird, dass Euklid die Unendlichkeit der Primzahlen indirekt bewiesen habe. Das würde ich nicht als eine fälschliche Behauptung hinstellen (wie in der Einleitung derzeit geschehen). Genauer wäre es natürlich zu sagen, dass Euklid gezeigt hat, dass jede endliche Menge von Primzahlen nicht alle Primzahlen enthält.

Es ist also m.E. müßig darüber lange zu streiten, ob der Beweis denn indirekt sei oder nicht. Es tut ihm und seiner Genialität keinen Abbruch. Zugleich sollte man aber auch nicht formulieren, dass Tom Apostol "trotz" des konstruktiven Charakters von Euklids Beweis einen Widerspruchsbeweis führt. Das klingt fast so, als hätte Herr Apostol die Sache nicht gründlich verstanden und hier überflüssigerweise einen indirekten Beweis geführt ... :-)

Mit anderen Worten: Der "Widerspruch" zwischen dem konstruktiven Charakter des euklidischen Beweises und der quasi-destruktiven Charakter eines Widerspruchbeweises ist nur ein Scheingegensatz.

Mein Vorschlag: Bitte den scheinbaren Widerspruch (im Sinne von Gegensätzlichkeit) zwischen Widerspruchsbeweis und Euklids Konstruktion beseitigen. Keine Sorge: Es ginge dadurch weder Information noch Würdigung der großen Verdienste Euklids verloren. Im Gegenteil. --

Ich würde es ja auch selbst machen, aber ich scheue mich davor, einen ausgezeichneten, exzellenten Artikel zu verändern. Es dürfte dafür besondere Regularien geben, oder? Filomusa (Diskussion) 19:58, 15. Mär. 2022 (CET)

Nicht lesbarer Alternativtext für Grafik unter Abschnitt "Originalformulierung"

die Streckengrafik unter "Originalformulierung" verwendet die Bildunterschrift als Alternativtext. Diese Bildunterschrift enthält allerdings jede Menge < math >-Codes für die grafische Aufhübschung, die jedoch innerhalb des Alternativtextes völlig verhunzt und damit unlesbar werden.

Ich hatte versucht, einen lesbaren Alternativtext einzufügen ... ist mir mangels Wissen über die Feinheiten von Wikitext aber nicht gelungen und wurde nur rückgängig gemacht anstatt es korrekt umzusetzen.

Vielleicht kann sich ja ein(e) Wissende(r) des Problems annehmen. --62.156.183.138 08:59, 25. Aug. 2022 (CEST)

Ich habe den Alternativtext entfernt und jetzt -nach einem Tag Nachdenkens- die Lösung gefunden. ---Joachim Mohr (Diskussion) 20:17, 25. Aug. 2022 (CEST)

Servus Joachim Mohr,

leider ist dies keine praktikable Lösung:

Die geometrische Anschauung des Beweises von Euklid. Abgebildet sind die Strecken a=2, b=3 und c=5, die allesamt als ganzes Vielfaches in die Strecke DE mit a·b·c = 30 Längeneinheiten passen. Wird nun dieser Strecke DE jedoch noch eine weitere Einheit DF = 1 zugefügt, so kann die resultierende Strecke EF weder von a noch von b noch von c „gemessen“ werden.

• Im Regelfall keine Mehrfachauszeichnungen (zum Beispiel fett und kursiv) siehe Grundregeln.
• Vergleiche bitte die Ziffern und mathematischen Zeichen in den weiteren Abschnitten, z.B. Erläuterungen und Veranschaulichung des Beweises an einem Beispiel.
• Es ist in solchen Fällen durchaus auch im Fließtext zulässig, die Ziffern und mathematischen Zeichen in der <math>-Umgebung darzustellen. Man kann deshalb nicht sagen, dass sie in dieser Form (Meinung IP/62.156.183.138 08:59) [...] völlig verhunzt und damit unlesbar werden. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 23:14, 28. Aug. 2022 (CEST)

es ging NICHT um die Bildunterschrift, sondern um den daraus irgendwie automatisch und leider nicht mittels "| alt=..." korrigierbaren Alternativtext für die Grafik, der bei Mouseover erscheint und der - zumindest in meinem Browser - unlesbar verhunzt dargestellt wird: jeder von "< math >...< /math >" eingefasste Bereich wird im Alternativtext als eine durchnummerierte Folge " '"`UNIQ--postMath-0000000#-QINU`"' " abgebildet (# wird durch hex1 bis hexB ersetzt) ... und meines Erachtens damit unlesbar verhunzt ... selbst das Abschalten der Darstellung dieses Alternativtextes wäre wahrscheinlich besser als das, was momentan dargestellt wird --62.156.183.138 09:50, 29. Aug. 2022 (CEST)

Servus 62.156.183.138,

wenn es mir möglich ist, versuche ich eine Verbesserung. Frage: Meinst du dein Browser hat das Problem mit der Beschriftung der Punkte in der Grafik (Buchstaben a, b, c, g, E, F, D), aber die Ziffern und mathematischen Zeichen in der Bildunterschrift (in <math>-Umgebung) siehst du korrekt?

• Erster Versuch: Die Grafik (Datei) auf Wikimedia Commons ist jetzt mit SVG Validierung. Wie siehst du die Datei auf Wikimedia Commons (Klick auf die Datei im Artikel)? Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 11:02, 29. Aug. 2022 (CEST)Datei

Grafik: i.O.

Bildunterschrift: i.O.

Mauszeiger auf Grafik: ein zusätzliches, hellgelb hinterlegtes Fenster mit einem (Alternativ)Text mit den oben beschriebenen Mängeln erscheint ... z.B. ist dort auch das Komma hinter dem ersten "a=2" (für die Länge a) nicht dargestellt, da es (fälschlich) innerhalb dieses ersten "< math > ...< /math >"-Bereichs steht ... ach so: "mein" Browser ist Firefox inkl. aller aktuellen Updates, wobei ein kurzer Check mit ebenfalls aktuellem Google Chrome einen etwas anders, aber ähnlich verhackstückten Alternativtext ergibt --62.156.183.138 11:28, 29. Aug. 2022 (CEST)

Nun, das ist schon einmal gut. Versuche doch einmal das Popup-Fenster zu deaktivieren (Mauszeiger auf Popups).... Ich benutze diese Funktion bei meinem Firefox-Browser nicht.--Petrus3743 (Diskussion) 11:39, 29. Aug. 2022 (CEST)

bei der "Darstellung Euklids ..." oben im Artikel kommt kein solches Popup, obwohl sie auch eine Bildunterschrift hat ... hm, vielleicht müsste ja nur das Häkchen bei "Bildunterschrift als Alternativtext verwenden" raus und KEIN Alternativtext rein?! ... ich will aber nicht unwissend rumprobieren - ist ja schon beim ersten Versuch schiefgegangen ... und so ein richtiges "Popup" im Sinne der Werbe-Popups ist es ja auch gar nicht, mehr so ein eingeblendeter Hilfs-/Erläuterungstext ... kommt z.B. auch, wenn ich den Mauszeiger etwas länger auf dem "Antworten"-Knopf zu diesem Post stehen lasse ("Antworten Strg+Eingabe") --62.156.183.138 12:05, 29. Aug. 2022 (CEST)

Ja stimmt, auch bei ausgeschalteten Popups erscheint das Fenster mit Hilfs-/Erläuterungstext. Darin ist auch die Störung durch die verwendete <math>-Umgebung zu sehen. Ich gebe zu, das stört mich nicht. Das Popup-Fenster (ohne <math>-Umgebung) würde auch nur den gleichen Text wie die Bildunterschrift zeigen... Diesbezüglich kann ich leider nicht weiterhelfen, da – wie oben beschrieben – es in solchen Fällen Sinn macht, die Bildunterschrift mit <math>-Umgebung zu gestalten. Leider weiß ich nicht wo man das Häkchen bei "Bildunterschrift als Alternativtext verwenden" raus und KEIN Alternativtext rein setzen kann bzw. wo der "Antworten"-Knopf zu diesem Post zu finden ist.--Petrus3743 (Diskussion) 13:06, 29. Aug. 2022 (CEST)

wenn man den Artikel (oder nur den Abschnitt) im Visual Editor bearbeitet, die Grafik anklicken und dann "Bearbeiten" ... im darauf erscheinenden Bearbeitungsfenster runterscrollen und den erwähnten Haken rausnehmen und den Alternativtext löschen und diese "Änderungen übernehmen" ... allerdings wird weder ein korrigierter noch der gelöschte, dort "hinterlegte" Alternativtext angezeigt, sondern nur die Bildunterschrift mit den falsch umgesetzten < math>-Codes ... wie ich bereits in der Beschreibung meiner Bearbeitung ansprach, vermute ich für dieses Verhalten die Einbindung dieser Grafik als < gallery>-Element ... die oben erwähnte "Darstellung Euklids ..." ist nur als einfaches Bild eingebunden und hat dieses (Luxus)Problem nicht ... da ich allerdings nicht weiß, warum diese Grafik solcherart eingebunden wurde, traue ich mich nicht, es zu ändern

o.k., der "Antworten"-Knopf erscheint ja auch nur während des Schreibens der Antwort, bevor man sie weggeschickt hat ... solche Hilfstexte erscheinen aber z.B. auch beim Verweilen des Mauszeigers auf Deinem Namen am Ende eines Deiner Posts oder dem Wort Diskussion dahinter --62.156.183.138 13:34, 29. Aug. 2022 (CEST)

Im Visual Editor bearbeitet, das Ergebnis zeigt bei mir eine deutliche Verbesserung (in der Quelltextbearbeitung fand ich momentan keine Möglichkeit):

• Alternativtext: Die geometrische Anschauung des Beweises von Euklid. Abgebildet sind die Strecken a = 2 , {\displaystyle a=2,} b = 3 {\displaystyle b=3} und c = 5 , {\displaystyle c=5,} die allesamt als ganzes Vielfaches in die Strecke D E {\displaystyle DE} mit a ⋅ b ⋅ c = 30 {\displaystyle a\cdot b\cdot c=30} Längeneinheiten passen. Wird nun dieser Strecke D E {\displaystyle DE} jedoch noch eine weitere Einheit D F = 1 {\displaystyle DF=1} zugefügt, so kann die resultierende Strecke E F {\displaystyle EF} weder von a {\displaystyle a} noch von b {\displaystyle b} noch von c {\displaystyle c} „gemessen“ werden.

Ist besser als copy paste der Bildunterschrift.

• Die geometrische Anschauung des Beweises von Euklid. Abgebildet sind die Strecken a = 2 , {\displaystyle a=2,} {\displaystyle a=2,} b = 3 {\displaystyle b=3} b=3 und c = 5 , {\displaystyle c=5,} {\displaystyle c=5,} die allesamt als ganzes Vielfaches in die Strecke D E {\displaystyle DE} DE mit a ⋅ b ⋅ c = 30 {\displaystyle a\cdot b\cdot c=30} {\displaystyle a\cdot b\cdot c=30} Längeneinheiten passen. Wird nun dieser Strecke D E {\displaystyle DE} DE jedoch noch eine weitere Einheit D F = 1 {\displaystyle DF=1} {\displaystyle DF=1} zugefügt, so kann die resultierende Strecke E F {\displaystyle EF} EF weder von a {\displaystyle a} a noch von b {\displaystyle b} b noch von c {\displaystyle c} c „gemessen“ werden.
• Jetzt ist der Alternativtext entfernt, siehe abgemagertes Popup-Fenster, vergleiche mit Popup-Fenster auf meiner Entwurfseite:
• Somit kann auch ein Popup-Fenster bei der "Darstellung Euklids" geöffnet werden(!) Hilft dir diese Verbesserung?

M.E. passt ein rahmenloses Bild mit Beschreibung darunter gut an diesem Platz. Ich fand nur die Möglichkeit des Einzelbildes als Galerie--Petrus3743 (Diskussion) 14:50, 29. Aug. 2022 (CEST)

diese Datei rahmenlos und Breite z.B. 500px und zentriert scheint mit Bildunterschrift nicht zu funktionieren ... weder mit noch ohne < math>-Codes, weder mit langer noch kurzer Bildbeschreibung, weder mit noch ohne alt-Text (der dann auch bloß nicht verwendet wird) ... sehr merkwürdig

allerdings habe ich es auch nur mit der vorgegebenen svg-Datei versucht

das NICHT Popup bei den "normalen" Bildern hat mich nicht gestört, verwundert hat mich nur der nicht lesbare (Hilfs)Text bei der Längen-Grafik - insofern bis jetzt im Artikel für mich keine Veränderung oder gar Verbesserung ... oder reden wir hier aneinander vorbei? --62.156.183.138 17:01, 29. Aug. 2022 (CEST)

Nun probiere noch einmal das Poppup-Fenster im Artikel, vielleicht bist du überrascht?--Petrus3743 (Diskussion) 17:53, 29. Aug. 2022 (CEST)

falls Du mit Popup den Wikimedia-Betrachter meinst, der beim links Anklicken eines Bildes/einer Grafik bildschirmfüllend mit schwarzem Hintergrund und weißen Steuerelementen geöffnet wird und in welchem man sich durch alle Bilder des Artikels klicken kann ... dort ist die Bildunterschrift der Längengrafik auf den ersten Blick "normal", auf den zweiten fehlen jedoch alle < math>-Code-Textstücke

und im Hilfstext-"Fenster" (erscheint "über" bzw. "vor" dem Artikel, wenn man den Mauszeiger im Artikel ein paar Sekunden auf der Grafik stehen lässt) steht nach wie vor der UNIQ...QINU-Kauderwelsch

insofern vermute ich, dass Du noch irgendeine weitere Funktionalität hast, die von meinem Browser nicht unterstützt wird ... eben diese Popup-Fenster ... es sei denn, Du bezeichnest den Wikimedia-Betrachter oder das Hilfstext-Fenster so - dann: siehe oben

selbst wenn ich alle Browser-Schutz-Tools abschalte (NoScript, uBlock usw.) ändert sich an der Darstellung weder da noch dort etwas

auf Deiner Entwurfseite wird für mich die obere Version mit Rahmen und ohne Hilfstext, die untere exakt wie im Artikel dargestellt (ohne Rahmen, aber Hilfstext mit UNIQ) ... bei beiden sieht die Bildunterschrift inkl. < math>-Code Darstellung korrekt aus ... mir scheint, dass < math>-Code, | alt=-Text und rahmenlos im Wiki-Parser nicht 100%ig kompatibel programmiert sind

gerade noch geprüft: auf Deiner Entwurfsseite fehlen in den Bildunterschriften beider Versionen im Wikimedia-Betrachter alle < math>-Code-Bereiche ... insofern scheint nur der < math>-Code zumindest partiell inkompatibel zu sein

und wenn man sich im Artikel im Wikimedia-Betrachter bis "Darstellung von π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} \pi(x) (rot), x / log ⁡ ( x ) {\displaystyle x/\log(x)} x/\log(x) (grün) und dem Integrallogarithmus L i ( x ) {\displaystyle \mathrm {Li} (x)} {\mathrm {Li}}(x) (blau)" (PrimeNumberTheorem.svg) durchklickt, wird die Bildunterschrift richtig absurd ... da es jedoch im Artikel als "normales" Bild mit Rahmen und ohne Alternativ-/Hilfstext dargestellt wird, "stört" es zumindest im Artikel nicht ... allerdings sind anscheinend jeglicher < math>-Code und Bildunterschriften, die dann auch im Wikimedia-Betrachter oder als Hilfs-/Erläuterungs-/Alternativ-Text verwendet werden, hochgradig inkompatibel--62.156.183.138 08:45, 30. Aug. 2022 (CEST)

So wie es jetzt erscheint, ist es unbefriedigend. Meine Lösung ist die zweitbeste. Ich finde: damit kann man leben.

Hier zum Vergleich --Joachim Mohr (Diskussion) 10:26, 30. Aug. 2022 (CEST)

da es sich um ein prinzipielles Problem im Zusammenhang mit < math>-Codes zu handeln scheint, habe ich mich mal beispielhaft unter Riemannsche Vermutung umgeschaut ... ich ziehe also hiermit mein "Gemäkel" zurück, da es ein Parser-Problem ist ... selbst wenn für diese eine Grafik eine akzeptable Lösung gefunden wird, bleibt das zugrunde liegende Problem der fehlerhaften Umsetzung von jeglichem < math>-Code innerhalb des Wikimedia-Betrachters (und zusätzlich bei rahmenlosen Darstellungen im Hilfstext) bei allen anderen bestehen ... es war mir nur bei dieser Grafik das erste Mal bewusst geworden ... man sollte halt nie seinen Mauszeiger irgendwo unbeaufsichtigt rumgammeln lassen :) --62.156.183.138 10:39, 30. Aug. 2022 (CEST)

Schade, kann sein, dass du die im Firefox zwischengespeicherte Version (Browser Cache) siehst. Dies zeigt sich, wenn man eine neue Version einer Datei z.B. in Wikimedia Commons) hochlädt und dann noch die vorherige angezeigt wird. Wenn ich auf meiner Entwurfseite mit dem Mauszeiger auf eine der Grafiken gehe, bekomme ich jeweils die gleiche Darstellung im Pupup-Fenster. Gehe auf meine Entwurfseite und klicke auf Quelltext bearbeiten. Der Quelletext der oberen Grafik (mit Rahmen) sollte folgendes enthalten:

• Die geometrische Anschauung des Beweises von Euklid.[...] „gemessen“ werden. |alt=Die geometrische Anschauung des Beweises von Euklid. Abgebildet sind die Strecken a = 2, b = 3 und c = 5, die allesamt als ganzes Vielfaches in die Strecke DE mit a · b · c = 30 Längeneinheiten passen. Wird nun dieser Strecke DE jedoch noch eine weitere Einheit DF = 1 zugefügt, so kann die resultierende Strecke EF weder von a noch von b noch von c „gemessen“ werden.

Also eine 2. Bildunterschrift mit |alt= --Petrus3743 (Diskussion) 11:09, 30. Aug. 2022 (CEST)

da ich prinzipiell nur mit "privaten Fenstern" surfe, wird der Cache an jedem Sitzungsende gelöscht ... außerdem aktualisiere ich eben deshalb offene Fenster/Tabs immer mit Strg+F5, was auch den Cache komplett neu lädt

es scheint vielmehr so, dass der Alternativtext eben nicht als der verzögert eingeblendete Hilfstext verwendet wird, sondern nur als Rahmenfülltext bevor das eigentliche Bild geladen ist (geprüft per schnellem Screenshot), und dass der Hilfstext wiederum immer aus der Bildunterschrift (inkl. < math>-Codes und Darstellungsfehler) generiert wird

und ich bin mir immer noch nicht ganz klar darüber, was Du mit Popup-Fenster meinst ... siehe mein erster Post heute morgen --62.156.183.138 11:33, 30. Aug. 2022 (CEST)

Pardon, du nennt es: Alternativtext für die Grafik, der bei Mouseover erscheint. Hast du meinen Vorschlag probiert?--Petrus3743 (Diskussion) 11:44, 30. Aug. 2022 (CEST)

erscheint auf Deiner Entwurfsseite nur bei der zweiten, unteren Version und enthält die beschriebenen Darstellungsfehler ... und Alternativtext scheint definitiv der falsche Begriff zu sein - siehe mein voriger Post ... also besser Hilfstext = Bildunterschrift inkl. Darstellungsfehler ... der sich allerdings bei der rahmenlosen Darstellung der Grafik als < gallery>-Element weder ausblenden noch überschreiben/korrigieren lässt und bei der Einbindung als "normales" Bild (Datei:...) mit Rahmen gar nicht angezeigt/eingeblendet wird --62.156.183.138 11:48, 30. Aug. 2022 (CEST)

Joachim, aus Gründen wie oben beschrieben, musste ich diese Version der Bildunterschrift in der rahmenlosen Grafik zurücksetzen. Für mich gibt es nur zwei Lösungen, entweder die 1.Lösung (1. Vorlage von Qcomp) mit dem zusätzlich |alt= -Text oder das Entfernen des Alternativtextes im Popup-Fenster. Ich hatte mich im Artikel für die 1. Vorlage von Qcompg entschieden, denn sie verletzt keine WP-Grundregel. Wegen Redundanz macht es aber Sinn den Alternativtext im Popup-Fenster zu entfernen.--Petrus3743 (Diskussion) 11:33, 30. Aug. 2022 (CEST)

und bei der Erwähnung von "WP-Grundregel" klinke ich mich mal leise schaudernd aus --62.156.183.138 11:49, 30. Aug. 2022 (CEST)

Der wahre Grund des Anzeigeproblems: Das System unterscheidet ob ein Benutzer angemeldet oder nicht angemeldet ist! Nur dann kann man die individuellen Einstellungen in Wikipedia vornehmen Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 15:07, 30. Aug. 2022 (CEST)

hm, darauf melde ich mich dann doch noch einmal ... demzufolge würde jeder Besucher von Wikipedia - der ja nun nicht zwingend einen Wikipedia-Account hat, sondern einfach nur etwas zu einem bestimmten Thema erfahren möchte - partiell Kauderwelsch vorgesetzt bekommen ... das würde nach meinem Verständnis dem Anspruch von Wikipedia als freie Enzyklopädie widersprechen ... Anmeldezwang für korrekte Datenübermittlung hätte mit frei nichts mehr zu tun ... aber oops, genau so etwas wollte ich ja vermeiden ... also bin ich dann doch wieder raus :) --62.156.183.138 16:03, 30. Aug. 2022 (CEST)

Ach bitte, übertreib doch jetzt nicht so! Probier' es doch auch bei anderen Artikeln aus; diese Situation tritt doch nur bei Mouseover über Bilder (z.B. Galerie, Panorama) mit Bildunterschrift, <math>-Umgebung und ohne Rahmen auf! Da ist doch nichts, was dir als Besucher Informationen vorenthalten will. Also, schlafe einmal darüber; vielleicht findest du dann als Besucher oder Mitstreiter wieder zurück zur Wikipedia! Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 18:32, 30. Aug. 2022 (CEST)

Ich muss -62.156.183.138 recht geben. Die jetzige Version ist einfach Mist. Hier zum Vergleich Petrus 3743 (sorry) will es perfekt machen und verhunzt die Darstellung. ASußerdem: Es gibt in Wikipedia wichtigere Themen, wo es sich zu streiten lohnt. Ich werde mich Hier nicht mehr weiter damit befassen.--Joachim Mohr (Diskussion) 20:22, 30. Aug. 2022 (CEST)

Du brauchst nur in den WP-Einstellungen im Menüpunkt Helferlein ein Häkchen bei → Navigation → Navigations-Popups eintragen und abspeichern. Dies kann ein IP-Benutzer leider nicht einstellen. Die Ursache ist ein kleiner Programmfehler der von WP-Entwicklern behoben werden könnte...--Petrus3743 (Diskussion) 01:04, 31. Aug. 2022 (CEST)

da die Darstellungsfehler durch die fehlerhafte Verarbeitung der < math>-Code-Bereiche eben nicht "nur bei Mouseover über Bilder (z.B. Galerie, Panorama) mit Bildunterschrift, < math>-Umgebung und ohne Rahmen" auftreten, sondern auch in den entsprechenden Bildunterschriften im Wikimedia-Betrachter (und dort noch schwieriger zu bemerken als in den Hilfstexten, weil dort kein Kauderwelsch angezeigt wird, sondern ganze Textteile - nämlich genau die mit < math>-Code "aufgehübschten" - einfach gar nicht angezeigt werden), wäre es vielleicht eine eher bedenkenswerte Alternative in Bildunterschriften gänzlich auf < math>-Code zu verzichten, bis der betreffende Wiki-Parser-Teil von den von Dir erwähnten WP-Entwicklern sauber zuende programmiert wurde ... dann sind zwar die Bildunterschriften optisch nicht ganz so stylisch, aber sowohl die Hilfstexte als auch die Bildunterschriften im Wikimedia-Betrachter würden zumindest lesbar und vollständig dargestellt ... dazu wäre es allerdings mit Sicherheit bei vielen solcher Bildunterschriften notwendig, auf z.B. spezielle Schreibweisen zu verzichten, die sich mit den "Standard"-Schriftarten nicht ohne Weiteres abbilden lassen - im Artikeltext selbst könnte (und sollte sogar) die Formatierung mit < math>-Code weiterhin verwendet werden --62.156.183.138 12:15, 1. Sep. 2022 (CEST)

So sollte es sein! --Joachim Mohr (Diskussion) 17:57, 2. Sep. 2022 (CEST)

Ich habe nun eine Methode gefunden, die das Bild ohne fehlerhafte Bearbeitung darstellt. Der Benutzer muss vorher auch keine Einstellungen ändern. Ich hoffe, Ihr könnt damit leben. --Joachim Mohr (Diskussion) 10:18, 4. Sep. 2022 (CEST)

Hallo Joachim, deine Lösung ist doch nicht vergleichbar. Damit wird doch der Artikel nicht verbessert. Ich habe deine Worte ernst genommen als du sagtest: „Trotzdem: Ich will es dabei belassen.“ Also bitte beginne keinen Edit-War, belasse es doch bei der Darstellung mit der der Artikel am 14. Januar 2021 in die Liste der exzellenten Artikel aufgenommen wurde! Mit Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 18:18, 4. Sep. 2022 (CEST)

@Petrus3743Und das findest Du OK? Das Popup-Fenster soll doch eine Hilfe für barrierefreies Lesen sein. Hier gibt es beim Lesen dieses Textes nur Verwirrung. --Joachim Mohr (Diskussion) 18:58, 4. Sep. 2022 (CEST)

Du weißt sicherlich auch, dass es besser ist die Ursache zu beheben, als das Ergebnis anzupassen. Deshalb habe ich einen Verbesserungsvorschlag eingereicht. Schau ma amoi, mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 11:02, 5. Sep. 2022 (CEST)

Jetzt bin ich aber gespannt. Ich denke: wir brauchen Geduld dazu. --Joachim Mohr (Diskussion) 15:25, 5. Sep. 2022 (CEST)