Diskussion:Satz von Bayes

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ACHTUNG

IMHO ist der Satz "P(A | B) die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis B unter der Bedingung, dass A auftritt" allerdings FALSCH. Ich habe Gelernt, dass P(A | B) die Wahrscheinlichkeit ist, dass A eintritt, wenn zuvor B eingetreten ist. Im Rahmen der Vorlesung Diskrete Strukturen und Logik wollte ich eine Übungsaufgabe damit lösen und kam auf's falsche Ergebnis. Mein Übungsleiter hat dann auch bestätigt, dass diese Erklärung nicht richtig ist. Daher sollte man diesen Satz ändern, was ich, falls allseitiges Einverständnis herrscht, auch tun würde.

Nachtrag: http://www.informatik.uni-trier.de/~fernau/DSL0708/VL17.pdf - Seite 14 --PHre4k 00:33, 15. Jan. 2008 (CET)

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Man sollte bedenken, und eventuell ergänzen, das die heute verwendete Version des Theorems von Laplace stammt (Vergleich englisches Wikipedia). Ist eine wichtige Hintergrundinformation, damit man nichts falsches erzählt ..

• Sei mutig.--^°^ @

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Das Rechenbeispiel ist eindrucksvoll, aber führt es auch in die Irre. Es wird ja der Eindruck erweckt, als ob auch das positive Test-Ergebnis zu 98% falsch sein müsste.

wie du dazu kommst ist mir nicht nachvollziehbar?--^°^ $\star$

ok jetzt hab ich es nachgelesen.--^°^ $\star$ 13:12, 2. Dez 2004 (CET)

Aber da ist ein Unterschied zwischen Mathematik und Wirklichkeit: wenn ein medizinischer Test nicht an einer beliebigen Person durchgeführt wird, sondern an einer Person, die bereits aus bestimmten Gründen für die Krankheit in Frage kommt, hat bereits eine Vorauswahl stattgefunden, die die hier dargestellte Implikation der Bayes-Rechnung unsinnig macht: die Testperson hat eine deutliche höhere Grundwahrscheinlichkeit, krank zu sein, als wenn es sich um eine beliebige Person handelte. --Boggie 02:25, 2. Dez 2004 (CET)

Die Zahlen sind mir eig wurscht, dennoch ändert das nichts an dir aufgezeigten Problematik.--^°^ $\star$ 13:04, 2. Dez 2004 (CET)

auch bei einem höheren Grundanteil, wird das B._Theorem keinesweg "unsinnig".--^°^ $\star$ 13:13, 2. Dez 2004 (CET)

• man kann auch einfügen, dass man "eine schwere seltene Krankheit" nicht einfach mit einem Test aufspüren kann, sondern dass es einen Differentialdiagnositk braucht.--14:13, 2. Dez 2004 (CET)

der "Unsinn" liegt darin, dass für die übliche "schwere" Krankheit zumeist kein Test gebraucht wird, weil die Schwere der Symptome für sich spricht. Das Bayestheorem gilt so nur für Krankheiten mit "unspezifischen" oder noch nicht aufgetretenen Symptomen. d.h. für ein bereits schweres Symptombild kann ein Test, entgegen den Aussagen des Bayestheorem, letze Sicherheit geben - oder nicht? Falls nein, würde das den gesamten Test ad absurdum führen.

Noch genauer: das Bayestheorem gilt für Situationen, in denen nur die Werte der Wahrscheinlichkeiten bekannt ist, würde der zugrundeliegende Sachverhalt (z.b. Art der Symptome ) bekannt sein, wäre die Aussage falsch, weil der Betrag der Wahrscheinlichkeiten sich in nicht-trivialer Weise dadurch verändert. Naja gut, genaugenommen ist das kein Problem der Formel, sondern wie sie angewendet wird.--Boggie 14:58, 2. Dez 2004 (CET)

Sitmmt, man sollte "schwere" entsprechend in "symptomlos" verändern.

"letze Sicherheit geben", das gibt es IMHO nicht, solange Sensitivität und Spezifität im jeweiligen konkreten Fall < 100% sind.--^°^ $\star$ 15:12, 2. Dez 2004 (CET)

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• W(H| D,I) = W(D| H,I) * W(H| I) / W(D| I) Das so genannte Bayes-Theorem

Dabei bedeutet:

I: Alle Hintergrundinformationen. Es ist wichtig, dass man alle Informationen, die man genutzt hat, auch explizitiert, damit darüber keine Unklarheiten entstehen. So kann man unnötigen Debatten über die Schlussfolgerungen zuvorkommen.

Beachte, dass das Bayes-Theorem folgt, wenn man die Produktregel (3) sowohl für H als auch für D aufschreibt. 'I' hätte auch bereits in (3) eingeführt werden können.

Das Bayes-Theorem ist insbesondere in der Datenanalyse nützlich. In diesem Falle sollte man 'H' als 'Hypothese' verstehen und 'D' als Daten. Man will wissen, in welchem Maße man erwarten kann, dass eine Hypothese H richtig ist unter der Voraussetzung, dass bestimmte Daten D beobachtet wurden.

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sollte das nicht eher auf die Seite zu bedingten Wahrscheinlichkeiten?

Die 4 Punkte auf die angesprochen wird, sind auch unter http://www-abc.mpib-berlin.mpg.de/users/wassner/art1.html auffgeführt - der Titel "Muss der Satz von Bayes schwer verständlich sein?" deutet an: mann kann hier nicht zuviel erklären! --'~'

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"d.h. der Patient hat eine Chance von 98% gesund zu sein, obwohl der Test ihn als krank einschätzte. " Kann das so stimmen?!? ...wenn man das so liest müsste man doch glatt denken das der Test keinen Sinn macht...

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und 0.999 sind 99.9% und nicht 99% ...?!

Zur Diskussion

Das Bayes-Theorem zeigt auf eindrucksvolle Weise, dass viele Tests sich zwar toll anhören, aber durch die Berücksichtigung der bedingten Wahrscheinlichkeiten eigentlich für den Müll sind. Er wird übrigens beim Testen von Medikamenten in der Realität eingesetzt und widerspricht einer gewissen Vulgärstatistik. Vielleicht hilft Euch das ja bei der Lösung Eurer Auseinandersetzung. Stern !? 13:17, 2. Dez 2004 (CET)

Dazu muss man sagen, dass man eigentlich von jemandem, der Tests anwendet, verlangen können sollte, dass er weiß, was er tut. --Philipendula 13:53, 2. Dez 2004 (CET)

Leider bleibt das in der Realität oft aus :-) Stern !? 13:58, 2. Dez 2004 (CET)

Wer sagt denn, dass das Leben fair sein muss? :)) --Philipendula 14:03, 2. Dez 2004 (CET)

Die Rechnung anhand der Medizinischen Tests funktioniert doch nicht? Woher kommt die Prämisse "Ein Mensch trägt mit 0,002%iger Wahrscheinlichkeit eine Krankheit in sich"? Die Prämisse setzt doch schon Tests voraus, um als Bedingung für die weitere Rechnung genommen zu werden. Die Tests wiederum haben dann schon die Messfehler, d.h. sie als Bedingung heranzuziehen, führt doch zu einer zirkulären Rechnung, oder nicht?

überarbeiten

mann sollte das ganze überarbeiten und eine anderes Bsp. finden. zB Eine Wettervorhersagemaschine, die Zahlen können ja gleich bleiben, einfach statt krank "regen" und statt gesund "sonne" hinscheiben.--^°^ @

Das Bayes-Theorem gibt nicht an, wie man mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnet. Diese Rechenregeln finden sich in einführenden Lehrwerken unter den Stichworten 'Pfadregel', 'Vierfelder-' oder 'Kontingenztabelle' u.s.w. Den Satz also besser korrekter formulieren oder streichen; weiter unten stehts ja richtig: "Der Satz von Bayes erlaubt in gewissem Sinn das Umkehren von Schlussfolgerungen". Hier aber in "P(Ereignis | Ursache)" Ursachen und Bedingung synonym zu verwenden, ist falsch, weiter unten dann auch wieder richtig [typische Verständnisprobleme]: "Verwechslung von Konditionalität und Kausalität".

Das Bayes'sche Theorem ist auch sehr umstritten, (gerade wegen dieser subtilen Begrifflichkeit?) Verweis darauf wäre auch gut.

likelihoods sind keine Wahrscheinlichkeiten! Eine 'bedingte Wahrscheinlichkeit' ist *keinesfalls* das Gleiche wie 'likelihood', woher kommt die Behauptung? Fischer entwickelte für seine Teststatistik als 'besten Schätzer', um von der Kleinstquadratestatistik wegzukommen, das Konzept der likelihoods: Bester Schätzer soll der 'häufigste Wert' oder die 'maximale Wahrscheinlichkeitsdichte' sein d.h. likelihoods sind Häufigkeiten(diskreter Fall) oder Wahrscheinlichkeitsdichten(stetiger Fall).

Zum Anwendungsgebiet Informatik:

Lt. eines Artikels des Spiegel (http://www.spiegel.de/netzwelt/technologie/0,1518,380880,00.html bzw. http://www.heise.de/tr/) baut die Analyse-Software zu Mustererkennung in unstrukturierten Daten (E-Mails, Telefonate etc.) der britischen Firma Aungate (eine Tochterfirma der Autonomy) mit ihrem Herzstück der Dynamic Reasoning Engine (DRE) auf Verknüpfung von Ereigniswahrscheinlichkeiten auf (Bayes-Theorem).

Vielleicht kann/will jmd., der in der Materie eher zu Hause ist als ich, das irgendwie einarbeiten...

Zitat:

"In einem medizinischen Beispiel trete der Sachverhalt A, dass ein Mensch eine bestimmte Krankheit, 
deren Symptome noch nicht sichtbar sind, in sich trage, mit der Wahrscheinlichkeit P(A) = 0.0002 auf (Grundanteil). 
B bezeichne die Tatsache, dass die Person positiv auf die Krankheit getestet worden ist."

und:

"Die Frage ist: Wie wahrscheinlich ist ein positives Testergebnis, obwohl die Testperson gesund ist?"

das wäre aber doch dann P(Ergebnis ist positiv) unter der bedingung, dass die person gesund ist?! also dann P(B | Ac). in der ausführung wird aber P(Ac | B) berechnet. Irgendwas stimmt doch nicht?!

Da hast du ganz recht. Es muss nämlich nicht heißen: Die Frage ist: Wie wahrscheinlich ist ein positives Testergebnis, obwohl die Testperson gesund ist? sondern: Die Frage ist: Wie wahrscheinlich ist das Vorliegen der Krankheit, wenn der Test positiv ist?

ich änder das jetzt mal und versuche es noch besser zu erklären.

Verständlichkeit

Ich fänd gut, wenn in den Beispielen die Symbole in Klammern hinter den entsprechenden Textpasagen stünden. Außerdem:

• : $P(B)$ wird nicht gesondert definiert. kann da jemand helfen? --Chrisqwq 14:58, 17. Jun 2006 (CEST)

und

Beispiel für Doofe:

$P(A|B)\;=\;{\frac {P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}}$

heißt für mich z.B.: Die Wahrscheinlichkeit ein Mann und nicht eine Frau zu sein sei 0,4, dann heißt das für mich:

Die Wahrscheinlichkeit ein Mann (A) zu sein unter der Voraussetzung ein Mensch (B) zu sein sei P(A|B).

ist also = (Die Wahrsch. Mensch zu sein unter der Bedingung Mann zu sein (=1) * Wahrsch. Mann zu sein (= 0,4)) / Wahrsch. Mensch zu sein (1) = 0,4

ist das richtig interpretiert? --Chrisqwq 15:15, 17. Jun 2006 (CEST)

ist korrekt. --85.124.207.60 19:44, 26. Jan. 2007 (CET)

Ich habe das Rechenbeispiel 1 um einen Satz ergänzt, da es häufig nicht klar ist was der Unterschied zwischen P(R|A) und P(A|R) ist.--Forchtenherz 20:04, 8. Mai 2009 (CEST)

Rechenbeispiel 1

Hier heißt es: "Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gezogene rote Kugel aus Urne „A“ stammt (A vorausgesetzt R), beträgt 7/8." Richtig und verständlicher ausgedrückt heißt es: "Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass man beim Ziehen einer roten Kugel, eine Kugel aus der Urne A erhält (A vorausgesetzt R), beträgt 7/8." Habs geändert. --Mativo 21:29, 27. Aug. 2010 (CEST)

Rechenbeispiel 2

Hallo! Gutes Beispiel, allerdings habe ich ewig gebraucht um zu verstehen, dass sich P(B|Ac) und P(B|A) keineswegs notwendigerweiße zu 100% addieren müssen, vielmehr ist das hier reiner Zufall! Ich finde das damit sehr unglücklich gewählt und schlage vor es zu ändern, zB indem man P(B|Ac) von 0.01 auf 0.02 erhöht.--F GX 12:44, 9. Jun. 2010 (CEST)

unbedingt löschen oder völlig überarbeiten

Rechenbeispiel 2 ist in der bestehenden Form unsinnig und potentiell gefährlich. Die Resultate eines medizinischen Tests sind nicht einfach «falsch» oder «richtig». Es wird unterschieden zwischen «falsch positiv» und «falsch negativ». Dabei ist zunächst die Bedeutung der etwas etwas unglücklichen Bezeichnungen «positiv» und «negativ» zu beachten. «Positiv» ist der Test, wenn er die Krankheit anzeigt und der Patient somit vermutlich krank ist.

«Falsch positiv» bedeutet, der Test zeigt zwar an, jedoch ist der Patient gar nicht krank. «Falsch negativ» bedeutet das Gegenteil; der Patient ist zwar krank, aber der Test zeigt es nicht. Man kann nicht vom Wert von «falsch positiv» auf «falsch negativ» schliessen. Zur Illustration denken wir uns zwei Dummy-Tests a) T_immer und b) T_nie. a) zeigt immer an, unabhängig vom Sachverhalt. Somit ist die Wahrscheinlichkeit von T_immer für «falsch negativ» = 0, und ditto diejenige für falsch positiv von T_nie = 0 (!!). Es gibt keinen allgemeinen Zusammenhang von «falsch positiv» und «falsch negativ». Daher führt das Rechenbeispiel 2 in die Irre. --Werfur 09:17, 24. Jan. 2012 (CET)

Völlig richtig! Das ist Klein-Fritzchen-Mathematik, weil, wie üblich, mit ungenauer Ausgangssituation: Z.B. sind die dargestellten Angaben der Firma schon mal nicht eindeutig, da man nicht weiß, wie sie gewonnen wurden. Die Firma hat kaum 100 000 Leute untersucht, um zu einem signifikanten Ergebnis zu kommen. Hat sie aber z.B. 100 Kranke untersucht, wobei nur in einem Fall eine falsche Diagnose herauskam, bedeutet das noch lange nicht, dass bei 100 Gesunden einer fälschlich als krank diagnostiziert wird. Das hängt erheblich von der Wirkungsweise des Testes ab.#

Verstehe euer Problem nicht: Prävalenz der Krankheit, Sensitivität und Spezifität sind in dem Beispiel doch gegebene Werte. Es geht darum, dass trotz der guten Sensitivität und Spezifiziert die Wahrscheinlichkeit falscher Positiver Hoch ist, weil die Prävalenz so niedrig ist. Um Reale Untersuchungen geht es gar nicht, vor allem nicht im Entscheidungsbaum, die Zahlgrößen wurden nur zur Illustration gewählt. -- Leif Czerny 14:31, 23. Nov. 2012 (CET)

Kritik

Hallo!! Ich finde den Abschnitt Kritik ziemlich überarbeitungsbedürftig. Der erste Satz des Abschnittes ist falsch ("Anders als bei den klassischen Test- und Schätzverfahren (Beispiel: Konfidenzintervall) gibt es für die Bayes-Schätzung von Messunsicherheiten keine gesicherten Genauigkeitsangaben. "), da es in der Bayesianischen Statistik sehr wohl Äquivalente zum Konfidenzintervall gibt. Die Quelle, die den nächsten Satz belegen soll ("Zuweilen ergeben mehr Daten sogar schlechtere Folgerungen.[1] ") belegt den Sachverhalt gerade nicht, da in der zitierten Quelle frequentistische Inferenz durchgeführt wurde, aber keine bayesianische. Ich lösche dann mal... --Bw234 23:24, 23. Aug. 2011 (CEST)

Der gelöschte Kritikpunkt:

Anders als bei den klassischen Test- und Schätzverfahren (Beispiel: Konfidenzintervall) gibt es für die Bayes-Schätzung von Messunsicherheiten keine gesicherten Genauigkeitsangaben. Zuweilen ergeben mehr Daten sogar schlechtere Folgerungen. Dass es zu solchen paradoxen Resultaten kommen kann, liegt daran, dass die Bayes-Schätzung von Parametern nicht auf einer logisch zwingenden Deduktion beruht.

--Leif Czerny 23:32, 23. Aug. 2011 (CEST)

Ich habe jetzt mal den Abschnitt Parameterschätzung überarbeitet, da er sich im bisherigen Zustand zu speziell auf einen Leitfaden Messunsicherheit bezog. Noch zu machen: Beispiel einfügen (ich dachte an ein Binomial-Beta-Modell) und den Abschnitt Kritik ausbauen. --22:22, 27. Sep. 2011 (CEST) (ohne Benutzername signierter Beitrag von Bw234 (Diskussion | Beiträge) )

Liebe(r) Bw234, ich hatte nur wieder einen Link zu Grams eingefügt, weil sich der Ganze Abschnitt (nocht nur der gelöschte Satz) auf diese Quelle bzog. Über ihrere Brauchbarkeit kann ich nichts sagen. Nur weiter so, liebe Grüße -Leif Czerny 14:55, 28. Sep. 2011 (CEST)

Titel

Bayestheorem ist keine im Deutschen übliche Bezeichnung, selbst mit Google findet man keine deutschsprachigen Treffer. Deshalb sollte der Artikel nach "Satz von Bayes" verschoben werden.--Suhagja (Diskussion) 10:16, 8. Mai 2013 (CEST)

Ist bereits eine Weiterleitung und als alternativer Titel in der Einleitung genannt...-- Leif Czerny 18:18, 8. Mai 2013 (CEST)

Das war nicht die Frage. Es ging darum, ob Bayestheorem ein sinnvoller Titel ist, denn mit Google findet man dazu nur englischsprachige Treffer.--Suhagja (Diskussion) 02:55, 9. Mai 2013 (CEST)

Schau mal es kann doch sein, dass das so mittlerweile in deutschspachigen Fach. und Lehrbüchern auftritt. Google ist nicht immer das beste Indiz, ich würde dort nachsehen.-- Leif Czerny 13:53, 9. Mai 2013 (CEST)

Ich pflege keine deutschsprachigen Bücher zu lesen oder gar zu kaufen. Aber jedenfalls bekommt man mit Google Books doch wohl alle auf dem Markt befindlichen Lehrbücher angezeigt, und unter diesen gibt es 0 mit "Bayestheorem", immerhin einige mit "Bayes-Theorem", aber viel mehr mit "Satz von Bayes".--Suhagja (Diskussion) 16:06, 9. Mai 2013 (CEST)

Eine Verschiebung ist wohl sinnvoll, da ein Blick auf die Historie [1] nahe legt, dass das 2002 eine automatisierte(?) Übersetzung und Glättung stattgefunden hat. Daher dann vermutlich auch der aktuelle Titel. --Sigbert (Diskussion) 16:43, 9. Mai 2013 (CEST)

Die folgende sind mMn die wichtigsten deutschsprachigen Lehrbücher zur Wahrscheinlichkeitsrechnung:

• Bauer: Bayessche Formel
• Behrends: Satz von Bayes
• Büchter, Henn: Bayes'sche Regel
• Georgii: Bayes-Formel
• Henze: Bayes-Formel
• Klenke: Bayes'sche Formel
• Kregel: bayessche Formel

In Büchern zur Statistik scheint allerdings "Satz von Bayes" häufiger zu sein. Insgesamt also ziemlich uneinheitlich, aber "Bayestheorem" wird definitiv nicht verwendet. -- HilberTraum (Diskussion) 17:31, 9. Mai 2013 (CEST)

Scholar hat's (http://scholar.google.com/scholar?lr=lang_de&q=Bayestheorem&hl=de&as_sdt=0,5), das sind aber eben keine Lehrbücher, Man vgl. aber hier. Im Prinzip wäre eine Verschiebung m.E. nicht schlimm, wenn Bayest. als WL erhalten bleibt. Sollen wir sie mit einer Einspruchsfrist ankündigen?-- Leif Czerny 21:20, 9. Mai 2013 (CEST)

Aber selbst da liest man nur "Bayes-Theorem" mit Bindestrich. Mein Eindruck ist, dass viele Lehrbücher, die auf einem etwas höheren Niveau angesiedelt sind, die Bezeichnungen "Satz" oder gar "Theorem" für die einfache Formel vermeiden wollen. Aber diese Suche interpretiere ich so, dass auch im Schulunterricht "Satz von Bayes" sehr häufig ist, deshalb wäre ich auch für "Satz von Bayes". -- HilberTraum (Diskussion) 08:42, 10. Mai 2013 (CEST)

Ja, Satz von Bayes erscheint am besten. Da das ein Überschreiben der Weiterleitung erfordert, mach ich das die Tage. --Erzbischof 16:01, 23. Mai 2013 (CEST)

Grafik

Kann mir bitte irgendjemand die Illustration in der Einleitung erklären? Ich verstehe die nämlich nicht mal ansatzweise: Zwei dreidimensionale Baumdiagramme??? -- HilberTraum (Diskussion) 15:24, 25. Mai 2013 (CEST)

Unabhängig ob man sie verstehen kann, können wir uns wohl einigen, dass sie schwer verständlich ist und eher zur Verwirrung beiträgt. ^ ^ --Erzbischof 15:47, 25. Mai 2013 (CEST)

Es handelt sich wohl um Zwei Baumdiagramme, die einmal von A (dunkelblau), einmal von nonA (hellblau) ausgehen, und dann auf B (grün) und nonB (hellgün) zulaufen. dabei soll dunkel jeweils "vorne" sein, hell "hinten". Dreidimensional ist das, damit nicht der eindruck zusätzlicher Knoten dort entsteht, wo sich die Linien im Bild schieden. Omgea wohl ist p(A|B)*p(B) bzw. p(B|A)*p(A) und somit p(AnB).-- Leif Czerny 15:50, 25. Mai 2013 (CEST)

$\Omega$ soll wohl die Ergebnismenge sein, aber wie die dort in die Mitte kommt, ist mir völlig schleierhaft. Ich bin noch unentschieden, ob die Grafik deshalb so schwer verständlich ist, weil sie total genial ist oder weil sie totaler Unsinn ist ... :-) -- HilberTraum (Diskussion) 16:03, 25. Mai 2013 (CEST)

Man könnte sowas machen, aber das ist auch schon recht kompliziert.--Erzbischof 16:52, 25. Mai 2013 (CEST)

P(A)P(B|A) = P(A|B)P(B)

Ah, er die Ergebnismenge, die links und rechts bei mir auftaucht, in die Mitte gelegt. Die Pfeile sind wohl von Omega weg-gehend in Richtung A, B, A^C und B^C gedacht. Omega soll in der Mitte oben schweben. --Erzbischof 16:59, 25. Mai 2013 (CEST)

Illustration des Satzes von Bayes mit Hilfe zweier dreidimensionaler Baumdiagramme.

Ja, das müsste die Erklärung der Grafik sein! (Wow, Erzbischof, du solltest mal das Voynich-Manuskript durcharbeiten :-) Für die Einleitung bräuchte man am besten irgendeine Veranschaulichung, der man auch mit geringen Mathematikkenntnissen folgen könnte. Aber wie die aussehen soll, habe ich auch keine Idee ... -- HilberTraum (Diskussion) 19:41, 25. Mai 2013 (CEST)

Ich habe mir überlegt, dass der beste Service für die Leser vielleicht eine ganz einfache Illustration für P(A)P(B|A)=P(AnB) ist. --Erzbischof 18:05, 27. Mai 2013 (CEST)

Ja, denn mit P(AnB) = P(BnA) folgt direkt der Satz von Bayes. Wird so auch gelehrt. --Rainald62 (Diskussion) 17:49, 21. Mai 2021 (CEST)

Mit der Verständlichkeit der"Baumdiagramme" ist es wie stets bei Mathematikern, die zwar selbst durch jahrelange Erfahrung eine genaue Vorstellung davon haben, was da gemeint ist, aber sprachlich unfähig sind, es in klarem Deutsch 'vollständig' zu beschreiben. Da hilft immer ein schönes Beispiel aus dem Alltag....2A02:8108:9640:AC3:55C2:1BC3:2F98:5DE8 11:31, 11. Jun. 2021 (CEST)

Anschauung

Hallo, es gibt die folgende sehr schön anschauliche grafische Darstellung: betrachte 2 sich schneidende Kreise A und B. Was ist die Wahrscheinlichkeit einen Punkt im Inneren des Kreises A zu finden, wenn der Punkt im Kreis B liegt? => p(A|B)=p(A geschnitten mit B)/p(B)=Fläche(A geschnitten mit B)/Fläche(B). Passt so ein Bild in den Artikel? --92.201.62.199 20:19, 16. Okt. 2013 (CEST)

Hallo! So ist das aber keine Veranschaulichung des Satzes von Bayes, sondern nur von der Definition von bedingter Wahrscheinlichkeit. Schau mal dort in den Abschnitt "Wurfmaschine", da steht schon etwas Ähnliches. -- HilberTraum (Diskussion) 20:39, 16. Okt. 2013 (CEST)

Beispiel 2

Möglicherweise übersehe ich etwas: Sollten in Beispiel 2 die beiden Lösungswege - einmal mittels "Lösung mit dem Satz von Bayes" und einmal mittels "Lösung mittels Entscheidungsbaum" - nicht exakt gleiche Ergebnisse liefern?

• Der Lösungsweg "mit Satz des Bayes" ergibt mit den angegeben Daten den Wert: $P(K\mid T)=0.019419380...$ (1,942 %)
• Mit Hilfe des Entscheidungsbaums kommt man (ohne Rundungen) auf $P(K\mid T)=0.010196$ (1,0196 %)

(Die im Artikel erwähnte Quelle von Gigerenzer: Das Einmaleins der Skepsis hab ich leider nur auszugsweise zugänglich - das dürfte auch mehr ein Art "Roman-Erzählung" sein, als wie ein Fachbuch zur Statistik. Ist dort der Grund für diese eigenartige Differenz zwischen den beiden Berechnungsmethoden dargestellt?)--wdwd (Diskussion) 23:16, 1. Jan. 2014 (CET)

Wie kommst du denn auf den zweiten Wert? Es ist doch 2 / 102 = 0.01960784… Der kleine Unterschied kommt daher, dass beim Entscheidungsbaum auf ganze Zahlen gerundet wird. -- HilberTraum (Diskussion) 09:20, 2. Jan. 2014 (CET)

PS: Don't judge a book by its cover.-- Leif Czerny 13:02, 2. Jan. 2014 (CET)

Hi, @HilberTraum, danke, war Fehler/Vertipper meinerseits. Es stimmen beiden Lösungswege - ohne Rundung im Baum exakt gleich.

@Leif Czerny, dieses Beispiel mit anderen Zahlenwerte ist auch im Fahrmeir: "Statistik", 5. Auflage ISBN 3540212329, Beispiel 4.24 "Medizinische Diagnostik" sehr umfassend und kompakt auf 2 Seiten dargestellt, samt Erklärung der praktischen Problematik mit diesen Screening-Untersuchungen bei ansich eher seltenen Erkrankungen in der Gesamtmenge. Will Gigerenzer aber nicht in Frage stellen, das dürfte ein anderer Stil/Zugang zu der Thematik sein.

@Troubled asset, als Hinweis, weil Du meinen Edit rückgängig gemacht hast: die Summe von $P(T\mid K)$ und $P(T\mid K^{c})$ muss nicht 1 ergeben, da sind zwei ansich unabhängige Angaben die das Testverfahren auszeichnen. (Test ist positiv bei jeweils Kranken bzw. Nicht-Kranken) Es sind in diesem Fall die Zahlenwerte im Artikel didaktisch nicht so geschickt gewählt worden, weil deren Summe 1 ergibt - siehe auch Diskussionsbeiträge weiter oben unter "Rechenbeispiel_2".--wdwd (Diskussion) 14:12, 2. Jan. 2014 (CET)

Reverts im medizinischen Beispiel – Zusammenhang der Werte

Wdwd hatte diesen Edit vorgenommen mit der Begründung, der Wert $0{,}01$ für die Wahrscheinlichkeit $P(T\mid K^{c})$ eines falsch positiven Ergebnisses sei „keine Differenz“.

Ich hatte darauf mit diesem Edit klarzustellen versucht, dass diese Zahl sehr wohl eine Differenz darstellt und woher der Wert kommt.

Dies war von HilberTraum mit diesem Edit revertiert worden.

Hier zur Verdeutlichung der Stand des Texts vor meiner Ergänzung und nach dem Revert:

[…] In einem Screening-Test soll ermittelt werden, welche Personen Träger dieser Krankheit sind. $T$ bezeichne die Tatsache, dass der Test bei einer Person positiv ausgefallen ist. Der Hersteller des Tests versichert, dass der Test die Krankheit zu 99 Prozent erkennt (Sensitivität $=P(T\mid K)=0{,}99$) und in 99 Prozent der Fälle richtig liegt (Spezifität), also nur in einem Prozent der Fälle fälschlicherweise anschlägt, obwohl die Krankheit gar nicht vorliegt. Die Wahrscheinlichkeit $P(T\mid K^{c})$ für ein falsch positives Testergebnis beträgt $0{,}01$, wobei $K^{c}$ das Komplement von $K$ bezeichnet, hier also den Sachverhalt, dass eine untersuchte Person nicht krank ist.

Zur Klarstellung, woher der Wert $P(T\mid K^{c})=0{,}01$ für ein falsch positives Testergebnis stammt, hatte ich folgende Klarstellung eingefügt:

Die Wahrscheinlichkeit $P(T\mid K^{c})$ = 1 − Spezifität für ein falsch positives Testergebnis beträgt daher $0{,}01$ …

Das war als falsch revertiert worden.

Im entsprechenden Abschnitt zu Spezifität heißt es:

Die Spezifität gibt den Anteil der korrekt als negativ klassifizierten Objekte an der Gesamtheit der in Wirklichkeit negativen Objekte an. Beispielsweise gibt die Spezifität bei einer medizinischen Diagnose den Anteil der Gesunden an, bei denen auch festgestellt wurde, dass keine Krankheit vorliegt.
Die Spezifität entspricht der geschätzten bedingten Wahrscheinlichkeit

${P(\mathrm {negativ\ erkannt} |\mathrm {tats{\ddot {a}}chlich\ negativ} )}={\frac {r_{n}}{r_{n}+f_{p}}}$.

Entsprechend gibt die Falsch-Positiv-Rate den Anteil der fälschlich als positiv klassifizierten Objekte an, die in Wirklichkeit negativ sind. Im Beispiel würde dann ein tatsächlich Gesunder zu Unrecht als krank diagnostiziert.
Die Falsch-Positiv-Rate entspricht der geschätzten bedingten Wahrscheinlichkeit

${P(\mathrm {positiv\ erkannt} |\mathrm {tats{\ddot {a}}chlich\ negativ} )}={\frac {f_{p}}{r_{n}+f_{p}}}$.

Da sich beide Maße auf den Fall beziehen, dass in Wirklichkeit die negative Kategorie vorliegt […], addieren sich die Spezifität und die Falsch-Positiv-Rate zu 1 bzw. 100 %. (Hervorhebung durch mich)

Also: Die Wahrscheinlichkeit für ein falsch positives Ergebnis (nach unserer Notation $P(T\mid K^{c})$) ist doch $1-$Spezifität ?? Meine Ergänzung wäre danach richtig und, wie ich finde, auch eine sinnvolle Klarstellung …
Ich bitte darum, mir meinen Denkfehler zu erklären und anzugeben, woher diese $0{,}01$ für die Wahrscheinlichkeit eines falsch positiven Ergebnisses tatsächlich stammen.
Danke, Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   14:29, 2. Jan. 2014 (CET)

Tut mir leid, ich habe nur den fehlerhaften Editkommentar („P(T|Kc) = 1 – P(T|K)“) gesehen und dann auf die eigentliche Texteinfügung nicht mehr genau genug geachtet (und dann auch noch selber Sensitivität und Spezifität verwechselt). Ich denke die ganze Verwirrung kommt auch dadurch zustande, weil im Beispiel leider Sensitivität = Spezifität gewählt wurde. Also nochmal sorry. -- HilberTraum (Diskussion) 14:49, 2. Jan. 2014 (CET)

$P(T\mid K^{c})=1-\mathrm {Spezifitaet}$ passt. Es ist nicht $P(T\mid K^{c})=1-\mathrm {Sensitivitaet}$, was mein erster Bezug war. So wie es jetzt im Artikel steht, passt es. Mit dank für die genaue Hinterfragung,--wdwd (Diskussion) 16:18, 2. Jan. 2014 (CET)

@wdwd, HilberTraum: Vielen Dank für eure Antworten.
Mein Edit-Kommentar war tatsächlich falsch, es hätte korrekterweise natürlich 1 − Spezifität heißen müssen und nicht 1 − P(T/K). Sorry for that.
Ich habe zur Reduzierung der Verwirrung mal den Sensitivitätswert auf 0,95 geändert und das Resultat der Berechnung angepasst, damit wir alle (und die Leser …) die beiden Werte Sensitivität und Spezifität besser auseinanderhalten können. Grüße, Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}   17:10, 2. Jan. 2014 (CET)

Neue Grafik

Hallo allerseits, nachdem es 2013 hier eine lebhafte Diskussion zu meiner 2011 veröffentlichten dreidimensionalen Illustration des Satzes von Bayes kam, die letztlich zu deren Entfernung aus dem deutschen Wikipedia-Artikel führte, vorbeugend mal gleich ein paar Worte zu der neuen Version in 2D, die ich gerade in den Artikel eingebaut habe:

Der Grundgedanke des Satzes von Bayes ist, sofern ich ihn recht verstehe, ja der, dass man zu jeder der vier terminalen Wahrscheinlichkeiten auf zweierlei Weise kommen kann, durch den meist vorgegebenen "vorderen" Ereignisbaum sowie den zunächst einmal unbekannten zweiten, in der Schule auch "invers" genannten "hinteren" Ereignisbaum, bei dem "Ursache" und "Wirkung" - oder neutraler "Voraussetzung A" und "Voraussetzung B" - ihre Rollen tauschen. Und gesucht wird dann meist, um's mal so zu sagen, die Wahrscheinlichkeit der "Ursache" unter der Voraussetzung der eingetretenen "Wirkung". Wenn man sich die beiden Ereignisbäume anschaut, beginnen sie also immer an der derselben Stelle, in der Grundgesamtheit Ω, um sich dann mit ihren vier Enden wieder, paarweise "phasenverschoben", zu berühren. Das war die Idee des 3D-Modells von 2011, mit dem ich zeigen wollte, dass dieses ganze Theorem im Grunde ähnlich simpel konstruiert wie beim Dreisatz, bei dem ja auch stets 3 von 4 Werten bekannt sein müssen, damit sich der vierte zwangsläufig aus ihnen ergibt.

Ok, war vielleicht noch etwas zu abstrakt, doch als ich nun vor zwei Tagen aus Strohhalmen und Pfeifenreinigern nochmal ein auch tatsächlich dreidimensionales Modell meiner Zeichnung von 2011 bastelte, um meinen Schülern damit das gedankliche Prinzip des Satzes näherzubringen, merkte ich, dass das im Grunde noch viel einfach geht: Auf dem Nachhauseweg nämlich wurde das Modell plattgequetscht, ohne dass sich dadurch etwas an seiner Aussage geändert hatte - es geht als auch in 2D! :-))

Das "Geheimnis" des Theorems ist also lediglich, dass wir es dabei mit, geometrisch ausgedrückt, vier in sich geschlossenen rechteckigen Waben zu tun haben: Kennt man drei der vier Seiten, ergibt sich die vierte (ähnlich wie bei einem geschlossenen Vektorzug) automatisch. Das ist alles, nicht mehr und nicht weniger. Hoffe also, dass die neue Grafik diesmal drinbleiben kann. Was die Farben angeht, habe ich dabei für A und Nicht-A, B und Nicht-B jeweils die Komplementärfarben gewählt - wenn man die Grafik farblich invertiert, bleibt also weiter alles logisch :-)). --Qniemiec (Diskussion) 18:14, 22. Mai 2015 (CEST)

PS. Hab mich mal umgeguckt: Meine Grafik von 2011 illustriert im Grunde das, was man eine "hyperbolische Fläche" bzw. ein "hyperbolisches Paraboloid" nennt, das man zwar plattquetschen kann (wie ich's gerade mit meiner 2D-Version gezeigt habe), doch nicht zusammenfalten. Interessant... --Qniemiec (Diskussion) 19:53, 22. Mai 2015 (CEST)

Empirischer Beweis?

Der mathematische Beweis ist im Artikel geführt, aber gibt es für den Satz von Bayes auch empirische Beweise? D.h. ist er, bezogen auf die nicht-mathematische Wirklichkeit, überhaupt richtig? 2003:DF:9736:858:FD3E:36C5:9C9:FEF3 18:13, 24. Nov. 2020 (CET)

Empirisch beweisen kann man gar nichts. Man kann aber alternative Ansätze empirisch widerlegen. Siehe dazu das Werk von Jaynes, posthum herausgegeben von Bretthorst. --Rainald62 (Diskussion) 18:04, 21. Mai 2021 (CEST)

Das "gar nichts" ist so allgemein Unsinn. Auf welchen Ansatz es zutrifft, ist bitte klar auszudrücken. Danke.2A02:8108:9640:AC3:55C2:1BC3:2F98:5DE8 11:23, 11. Jun. 2021 (CEST)

Ereignisse

Im Text werden A und B als Ereignisse bezeichnet. Das ist zu speziell. Insbesondere ist es kein Ereignis, dass eine Hypothese zutrifft. In der Literatur wird allgemeiner von Propositionen gesprochen, siehe Aussage_(Logik). --Rainald62 (Diskussion) 18:15, 21. Mai 2021 (CEST)

Wer soll denn diesen angelesenen Fachjargon verstehen? Korrekte Übersetzungen, womit viele Mathematiker so ihre Schwierigkeiten haben, sind da immer hilfreich. Nur wer die korrekte und verständliche deutsche Übersetzung fertigbringt, hat es wirklich verstanden.2A02:8108:9640:AC3:55C2:1BC3:2F98:5DE8 11:21, 11. Jun. 2021 (CEST)

Falsche Übersetzung

"subjektiven degrees of belief (subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff)," ist objektiv falsch übersetzt, was auch durch die links bestätigt wird. Ich werde hier nicht drin rumpfuschen, das möge der Verfasser selber machen.2A02:8108:9640:AC3:55C2:1BC3:2F98:5DE8 11:17, 11. Jun. 2021 (CEST)

Urnenrechenbeispiel rote/weiße Kugeln - wo steckt der Fehler?

Hallo - kann mir hier jemand helfen? Das Beispiel der Urnenrechnung mit der Ableitung der neuen Verteilung aus der Gleichverteilung für die Wahrscheinlichkeit der Anzahl roter Kugeln $\vartheta _{0}$ in der Urne ist für mich sehr verwirrend aus folgendem Grund: Wenn man die Binominalformel wie demonstriert anwendet, ausgehend von der Gleichverteilung $p={\tfrac {\vartheta _{0}}{10}}$, erhält man Wahrscheinlichkeiten größer als Null für $\vartheta _{0}=1,8$ und $9$ für $x=2$ (der Anzahl roter Kugeln bei insgesamt fünf gezogenen Kugeln). Jetzt der Überschlag: Es gibt gemäß Beispiel $10$ Kugeln insgesamt. Zwei rote davon halte ich über die Stichprobe bereits in der Hand. Muss dann die Wahrscheinlichkeit für $\vartheta _{0}=1$ nicht $0$ sein? (Oder gibt es etwa $-1$ rote Kugeln in der Urne? <grins>). Analoge Überlegung für $\vartheta _{0}=8$ und $9$: Ich habe bereits drei weiße Kugeln gezogen und zwei rote, verbleiben also noch fünf in der Urne. Das sind also maximal fünf, die theoretisch auch noch rot sein könnten - ich komme also auf maximal sieben mögliche rote Kugeln insgesamt. Daher würde ich logisch erwarten, dass $\vartheta _{0}=8$ und $9$ auch die Wahrscheinlichkeit Null haben müssen (bei $x=2$). Was habe ich hier nicht geblickt? Das Beispiel ist so jedenfalls für mich nicht nachvollziehbar - oder ist der Ansatz mit der Binominalverteilung hier ggf. schlicht falsch? --2003:C5:5F3C:3200:85D2:61F6:792F:3DA8 22:12, 19. Mär. 2023 (CET)

Sorry- hab es nun selber erkannt - wer lesen kann ist klar im Vorteil. Der Abschnitt spricht vom ZURÜCKLEGEN der gezogenen Kugeln. Dann passt alles. Ich hatte das überlesen und dachte, alles wäre sichtbar und es ginge um die WKT für die Zusammensetzung nach dem Ziehen der fünf Kugeln, die vor mir lägen. Das ist aber nicht der Fall. Ich sehe immer nur eine, es wird immer zurückgelegt.

Meinen Text lasse ich dennoch hier stehen - vielleicht stolpert noch jemand darüber. Dann könnte man Überlegen, den Artikel hier etwas deutlicher zu formulieren (er ist korrekt, aber die entscheidende Stelle habe ich schlicht überlesen). --83.243.48.53 14:01, 5. Apr. 2023 (CEST)

Anmerkungen zu Voraussetzungen und Beweis

In den Voraussetzungen zur "Grundversion" wird nicht $P(A)>0$ vorausgesetzt, im Beweis wird dies jedoch benutzt. --Mathze (Diskussion) 21:37, 11. Feb. 2024 (CET)