Diskussion:Urbild (Mathematik)

Ich finde die Wahl des Definitions- und Wertebereiches (Z also ganze Zahlen) missglückt im ersten Beispiel. Die Funktion ist nicht immer Lösbar in Z. Besser waere R (reele Zahlen).

Beispiel falsch

f(x)=x^2 Bilder ab von den (ganzen Zahlen )-->(natürlichen zahlen). Wegen dem Quadrat erhält man für den Wertebereich natürliche zahlen (positive Zahlen).

Nein, das Beispiel stimmt. (vgl. Zielmenge, Bild (Mathematik)) --Beben 10:01, 7. Feb. 2011 (CET)

Abzählbare Mengenoperationen

Gelten die Punkte 3 und 4 unter "Mengenoperationen und -eigenschaften" eigentlich auch für abzählbar unendliche Vereinigungen und Durchschnitte (und nicht nur für endliche, wie angegeben)? Wenn ja, sollte das unbedingt bemerkt werden. Hat jemand Literatur dazu? --91.23.243.39 20:09, 20. Aug. 2009 (CEST)

Ich finde das sollte nicht nur bemerkt werden, sondern auch ein wenig hervorgehoben werden. Gerade beim Eintritt in das tiefere Studium der Mathematik ist der Unterschied zwischen Endlichkeit und Unendlichkeit von grosser Bedeutung und nicht selten liegen Diskrepanzen zwischen den Ergebnissen. Hier nicht. Meiner Meinung nach gehört dies als extra Formel zu den anderen und nicht als letzter Satz hingeklatscht. --Klosteraner (Diskussion) 20:48, 22. Jan. 2014 (CET)

Zu kompliziert

Wenn ich kritisieren darf: Dieser Artikel, wie auch etliche andere Artikel über mathematische Themen sind in einer Mathematiker-Formelsprache geschrieben, die nur für Mathematiker verständlich ist. Keiner, der nur Schulmathematik kennt, wird aus diesen Artikeln schlau. Es wäre schön, wenn auch Nicht-Mathematiker diese Texte verstehen können.--Bezono 22:48, 24. Nov. 2008 (CET)

Da muss ich dagegen halten, dass ich trotz MA-LK und Mathe-Grundkursen im Info-Studium, ein paar Wochen brauchte um das zu verstehen ;-P also nicht aufgeben. Mathematik ist eben ein Haufen Begriffsverwirrung. Aber man könnte schon mal mehr Bilder "malen" in denen man (vllt. sogar farbig?) markiert was Def-Bereich, Urbild, Zielmenge, Wertebereich, Urbildelemente sind und was z.B. nicht. Muss nur jemand machen ;) Gruß --WissensDürster 12:20, 29. Dez. 2008 (CET)

Und ich halte dagegen, indem ich sage, dass ich nach meiner zweiten Vorlesung den Artikel bestens verstehe. 91.128.104.67 16:41, 7. Okt. 2009 (CEST)

Du brauchst nichts dagegen zu halten, weil ich nichts dafür halte - aber schön, dass du einer von den Schnellverstehern bist. Wer was wie schnell versteht, gehört auch nicht auf die Diskussionsseite. Hier gehts um konkrete Fehler oder produktive Kritik. Grüße --WissensDürster 18:27, 7. Okt. 2009 (CEST)

Urbild Teilmenge des Definitionsbereiches ?

Wieso sollte das so sein? Auch wenn ich die Definiton von Definitionsbreich nicht ganz verstanden hab, ist das ja sehr anschaulich aus der Schule jedem in Erinnerung. Zahlen die man "einsetzen" kann, und bei denen was gescheites rauskommt. Das kann also nur heißen, dass man prinzipiell davon ausgeht den "echten" Definitionsbereich (sinnlos) um eine nicht verwendete Grundmenge zu erweitern !?

Ich bilde also A nach B ab. Und für alle a's die ein b bringen bau ich einen Definitionsbereich. Wenn ich nun den Weg zurück mir alle b's anschaue die aus nem a kommen, hab ich wieder genau dasselbe.

Ich kenne folgenden Satz: Eine Funktion bildet den kompletten Definitionsbereich ab. Der wäre dann falsch oder die Artikel hier sind falsch. :/ *confused* --WissensDürster 12:28, 29. Dez. 2008 (CET)

So ich habe mehr ein wenig mehr recharchiert. Und ich meine das die Teilmengenbeziehung nicht stimmt. Urbild(-menge) und Definitionsbereich (oder auch Definitionsmenge) sind synonym zu gebrauchen. Und diese beiden sind Teilmenge einer eventuellen Quellmenge (Source), für den Fall das es eine partielle Funktion ist, also das nich alle X abgebildet werden. Ich würde das erstmal so korrigieren, wenn keiner was anderes sagt. Grüße --WissensDürster 15:55, 1. Jan. 2009 (CET)

Definitionsmenge und Urbild sind eben nicht synonym. f(x)=x kann man beispielsweise als Funktion über der Definitionsmenge [0,1] auffassen mit Bildmenge [0,1]. Getrennt davon kann man nun aber das Urbild der Menge [0,0.5] unter der Funktion f betrachten und das ist eben etwas anderes als die Definitionsmenge. --P. Birken 17:23, 1. Jan. 2009 (CET)

Und die Quellmenge steht über allem ? Also Urbild ⊆ Definitionsbereich ⊆ Quellmenge, ja? Wie kommt es dann, das dieser Unterschied z.B. hier Funktion_(Mathematik)#Schreib-_und_Sprechweisen nicht betrachtet wird? Ich will es ja nur verstehen. --WissensDürster 17:57, 1. Jan. 2009 (CET)

Noch eine Frage zur Schreibweise, dann könnte ich sagen: Die Menge aller Urbilder entspricht der Definitionsmenge, richtig? Dann wäre ein Urbild nur ein Element und Urbild synonym zu Urbildelement, danach sah die Definition aber nicht aus ... bitte darum Klarheit zu schaffen, danke :) --WissensDürster 18:13, 1. Jan. 2009 (CET)

Ich denke in Funktion (Mathematik) ist das schlecht bis falsch erklärt. Von einer Quellmenge habe ich noch nie gehört ehrlich gesagt. Bitte bei Unklarheiten keine Wikipediaartikel editieren. --P. Birken 18:35, 1. Jan. 2009 (CET)

Nun ja, die Quellmenge wäre für mich das logische Äquivalent zur Zielmenge. Hm anschaulich: Quellmenge sind "gewisse" X, alle davon "benutztn" X ist der Definitionsbereich (Teilmenge) in Analogie zum Verhältnis von Zielmenge (alle "gewissen" Y) und Bildmenge (alle "tatsächlich" benutzten Y) !? Tut mir leid, ich kenn mich noch nich mit allen Regeln hier aus. Werde daran arbeiten. PS: Sollten wir das lieber über PMs o.Ä. disskutieren ? Oder kann man vorherige Einträge schonmal löschen um klar zu formulieren was aktuell der "Problemstand" ist ? Grüße --WissensDürster 19:39, 1. Jan. 2009 (CET)

Ich setze nochmal neu an. Zitat: "Speziell besteht das Urbild eines Elements y der Zielmenge..." - wir wissen: Bildmenge ist ein Teil der Zielmenge. Wenn y z.B. nicht in der Bildmenge liegt, wird kein x auf es abgebildet. D.h. es existiert aber ein Urbild - und zwar die leere Menge. Ist das richtig? Wir haben also das Urbild "leere Menge" und können auch sagen, das wir alle anderen möglichen Teilmengen betrachten können und es muss nicht mal eine echte Teilmenge sein - also der Fall das Urbild gleich Definitionsbereich ist - existiert auch. D.h. wiederum: Die Menge aller Urbilder einer Abbildung X->Y ist die Potenzmenge des Definitionsbereichs (bzw. Definitionsmenge). Kann das jemand bestätigen? Grüße --WissensDürster 17:30, 12. Jan. 2009 (CET)

Das System aller möglichen Urbilder ist eine Teilmenge der Potenzmenge des Definitionsbereiches, aber stimmt im Allgemeinen nicht mit der Potenzmenge überein. Einfaches Beispiel: $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit $f(x):=1$ für $x\in D(f):=\mathbb {R}$. --Sabata (D|WZ) 18:02, 12. Jan. 2009 (CET)

Ich sehe im Moment kein Problem an der Definition, die in diesem Artikel gegeben ist. Was genau soll denn falsch sein? Und wo soll der Widersprich zu Definitionsmenge sein, von dem Du auf P:M sprichst? --Sabata (D|WZ) 18:04, 12. Jan. 2009 (CET)

Was mich erst hier her gebracht hat war der Artikel Funktion (Mathematik), indem es heißt: "Statt Definitionsmenge A wird auch Definitionsbereich, Domain, Urbildmenge oder schlicht Urbild gesagt." Also das hier ist schon in Ordnung - wenn auch etwas verwirrend. Das heißt, das dann der andere Artikel fehlerhaft ist? Und was ist nun die Quellmenge, eine Obermenge von Urbild und Df ? Grüße --WissensDürster 18:27, 12. Jan. 2009 (CET)

Mmmh, ich habe mir den Artikel Funktion (Mathematik) mal durchgelesen. Ich kann mich P. Birken nur anschließen und sagen, dass mir der Name Quellmenge unbekannt ist. Ich kann leider nicht sagen, inwiefern dieser Begriff oder auch Urbild als Definitionsmenge so in der Schulmathematik üblich ist. Im Artikel Funktion wird wahrscheinlich deswegen Definitionsbereich gleich Urbild gesetzt, weil davon ausgegangen wird, dass ohne weitere Einschränkung bei Urbild das Urbild des Bildes gemeint ist und damit gleich des Definitionsbereichs ist. Die Definitionen in Urbild (Mathematik) und Definitionsmenge sind die, die in der universitären Mathematik benutzt werden. Die Begrifflichkeiten in Funktion (Mathematik) wohl eher nicht. Zu Deiner letzten Frage: Ja, die Quellmenge ist eine Obermenge des Definitionsbereiches, der selbst eine Obermenge eines Urbildes ist. --Sabata (D|WZ) 18:46, 12. Jan. 2009 (CET)

Ok wenn ich das zusammenfasse, komm ich aber auf ein begriffliches Ungleichgewicht. Und das macht von der Logik her erstmal keinen Sinn, wenn mir niemand sagen kann, worin der genaue Unterschied in der Anwendung liegt. Wir haben:

"linke Seite" Urbild ⊆ Definitionsbereich ⊆ Quellmenge => "rechte Seite" Bildmenge ⊆ Zielmenge

Quellmenge ist das logische Pendant zu Zielmenge.

Definitionsmenge logisch zu Bildmenge.

Wozu brauch man die Urbilder, außer die einfach nur zu benennen!? Grüße --WissensDürster 19:20, 12. Jan. 2009 (CET)

Um z.B. sagen zu können: "Funktionen sind genau dann stetig, wenn Urbilder offener Mengen wieder offen sind." Warum sollte man wichtigen Begriffen keinen Namen geben? Urbilder sind etwas eigenständiges, nicht zu verwechseln mit Definitionsbereich oder so. Nur weil etwas in der Schulmathematik keine Rolle spielt oder die Wichtigkeit nicht erkennbar ist, heißt das ja noch lange nicht, dass der Begriff nicht wichtig ist. Urbilder spielen nicht nur bei der Definition von Stetigkeit in topologischen Räumen eine entscheidende Rolle, sondern auch für die Definition von messbaren Funktionen, um nur zwei wichtige Anwendungen dieses Begriffes zu nennen. (Das Urbild ist übrigens das Pendant zum Bild.) --Sabata (D|WZ) 21:28, 12. Jan. 2009 (CET)

In der Begrifferklärung zu Urbild heißt es "alle Element, die...". Danach gäbe es für jede Funktion nur (genau) ein Urbild. Das heißt doch: das Urbild einer Funktion f sind alle Elemente x aus X die abgebildet werden. Funktion f hat also nur ein Urbild - das Urbild.

Weiterhin gilt aber: man kann ein (oder auch mehr) Urbild(er) von einzelnen oder auch mehreren (beliebigen) Elementen y aus Y bestimmen oder auch von Teilmengen der Bildmenge. Es sollte also heißen: "Speziell besteht ein Urbild eines Elementes...". Insgesamt kann man sagen, dass DAS Urbild einer Funktion f, dem Definitionsbereich entspricht.

Ich hoffe, das wird nun langsam richtig und die Definition eindeutiger. Grüße --WissensDürster 13:46, 13. Jan. 2009 (CET)

Falsch, Du musst den Satz zu Ende lesen. Da steht etwas von einer "vorgegebenen Menge". Damit hängt das Urbild von dieser Menge ab. Im eigentlichen Artikel Urbild (Mathematik) steht es etwas ausführlicher. Das, was aus der Überblicksseite mit "vorgegebener Menge" bezeichnet wird, entspricht der Menge $M$ in der Einleitung dieses Artikels. Wenn man von "dem" Urbild spricht und damit den Definitionsbereich meint, ist definitionssache und wird möglicherweise auch so in relevanter Literatur benutzt. Zumindestens der Artikel Funktion (Mathematik) legt dies nahe. --Sabata (D|WZ) 14:13, 13. Jan. 2009 (CET)

Ok, nochmal ein wenig zusammenfassen. Ein Urbild entspricht genau dann der Definitionsmenge, wenn die vorgegebene Menge in welche die Funktion f abbildet, der Bildmenge entspricht. Das ("eine") Urbild gibt es per Definition nicht. Und die Aussage "Die Funktion f hat das Urbild..." ist falsch. Richtig? Grüße--WissensDürster 14:54, 13. Jan. 2009 (CET)

Das "genau dann" ist falsch. Und wie schon gesagt, es kann sein, dass man den Definitionsbereich meint, wenn man von "dem" Urbild spricht. Das müsste man mal in den Standardbüchern der Analysis und Linearen Algebra nachschauen. Aber in der Tat, es gibt nicht nur ein Urbild. Die Definition in diesem Artikel ist die korrekte, allgemeine Definition dar. "Das Urbild" für Definitionsbereich oder "die Urbilder" für die Elemente des Definitionsbereiches sind Anwendungen des Begriffs, die sich möglicherweise bei einigen Autoren eingebürgert haben und daher auch hier erwähnt werden sollten, wenn dem so ist. Aber dies würde nur eine Erwähnung nebenbei rechtfertigen. Die eigentliche Definition ist die aus diesem Artikel. --Sabata (D|WZ) 18:37, 13. Jan. 2009 (CET)

So. Lange drüber geschlafn. Ich kann nun jeden Satz in dem Artikel nachvollziehen. Als Fazit bleibt aber, dass das viel zu schwierig war. Ganz offenbar ist Urbild viel schwieriger zu verstehn, als z.B. Bild - aber zu Bild, gibt es ein schönes "Bild". Wenn jemand also Zeit und Muse hat, könnte man das noch mal visualisieren und schöne Beispiele wählen. Danke --WissensDürster 20:32, 16. Jan. 2009 (CET)

Ist Urbild immer Menge?

Gelegentlich wird doch ein x mit f(x) = y ein Urbild von y genannt. Ist das mathematische "Umgangssprache", oder sollte diese Sprechweise nicht auch im Artikel erwähnt werden? --91.13.205.176 10:11, 31. Mai 2009 (CEST)

Also zur Frage: Urbild ist immer Menge. Wie dein Umgangssprach-Beispiel nicht in die Definition passen soll, sehe ich nocht nicht. Genau das steht doch da oder? --WissensDürster 10:22, 31. Mai 2009 (CEST)

Ich meine, dass nicht nur die Menge $f^{-1}(\{b\})$ Urbild von b genannt wird, sondern dass oft auch deren Elemente Urbilder von b genannt werden. Das Urbild von b wäre dann die Menge aller Urbilder von b. Diesen Sprachgebrauch, der mir eigentlich sehr geläufig vorkommt, sehe ich im Artikel nicht. --91.13.197.28 11:39, 31. Mai 2009 (CEST)

Aso nun weiß ich was du meinst. Naja, das ist hier, wie ich finde, es alles missverständlich ausgedrückt. Siehe meine alte diskussion oben. ^^ Vergleichbar ist das Problem mit Bild (Mathematik), "das" Bild oder der Bildbereich ist also die Menge, hier kann man aber einfach ein Element daraus "Bildelement" nennen. Analog hab ich aber glaub noch nicht von "Urbildelement" gehört. Ich glaube, es ist doch ausreichend unbestimmte Artikel zu verwenden oder "ein" Urbild? Ach ich will mich da nicht so weit raus lehnen :/ hab das alles schon mal falsch verstanden. Richtig ist, dann es nicht sehr eindeutig ist. Grüße --WissensDürster 12:04, 31. Mai 2009 (CEST)

Nur Bahnhof verstanden

Ich habe den Satz

"Das Urbild einer Menge M unter einer Funktion f ist die Menge der Elemente, die in f eingesetzt, ein Element aus M ergeben"

nicht verstanden. Er wirkt auf mich zu verschachtelt, um am Ende des Satzes noch zu wissen, wovon der Anfang handelte. Ich musste ihn etliche Mal lesen, um nun eine Ahnung von dem zu haben, was gemeint sein könnte.

Versuch eines lauten Verständnisses:

• Es gibt eine Menge (M)
• deren Elemente werden der Funktion f zugeführt.
• Aber Moment, wie ist das mit "unter einer Funktion" gemeint? Werden die Elemente eingesetzt?
• "ein Element aus M ergeben"? Ich dachte, mit M ginge es los, aber nun ist das das Ende?

Könnte man das vielleicht mit dem Satz

"Die Menge der Elemente, die in eine Funktion eingesetzt deren Wertemenge bilden, wird als Urbild bezeichnet."

einfacher und klarer zusammenfassen? Okay, man müsste noch prägnant formulieren, dass diese Urbild abgeschlossen ist, also offenbar alle denkbaren "Ausgangswerte" enthält, die wiederum den (vollständigen) Wertebereich bilden. Aber sonst? --bigbug21 21:52, 17. Jul. 2009 (CEST)

Oder wie wäre es mit "Die Menge M der Elemente, die in die Funktion f eingesetzt ein Element aus M ergeben wird als Urbild bezeichnet."? --bigbug21 21:58, 17. Jul. 2009 (CEST)

Zu deinem ersten: Da bringst du zusätzlich den Begriff "Wertemenge" mit rein, den man vllt. auch nicht kennt. Davon abgesehn, ist Wertemenge ein umstrittenes Wort, es könnte die Zielmenge oder die Bildmenge gemeint sein. Du wirst wohl die Bildmenge meinen, diesen Begriff zu benutzen ist naheliegender, denn es geht ja ums URbild - ziemlich analog oder? Alle Elemente die die "wertemenge/bildmenge" ergeben, das ist die gesamte Funktion, Urbilder kann man von beliebigen Teilmengen bilden.

Das zweite versteh ich gar nicht, elemente aus M sollen nach M abgebildet werden? Das wäre dann die identische Abbildung oder Projektion ...

Aso, insgesamt ein Kommentar Ich musste ihn etliche Mal lesen ... dann beschäftigst du dich mit dem falschen Fachgebiet, wenn du das für komisch hälst. Nur wenige Auserwählte verstehn so nen Zeug auf Anhieb, d.h. es ist normal einen Satz oder eine Def "etliche" zu lesen ... dutzende an einem Tag, nach einer Woche hat mans vergessen und dann ließt man den Satz wieder 20 mal. Sop ist das eben.

Aber ich geb dir gern Recht, es ist didaktisch nicht sehr wertvoll ... mir fällt grad was ein wie man es vllt. viel einfacher in eine Skizze packen könnte, damit es intuitiv sofort klar wird... Da müsste ich nur mal für Zeit haben :/ svg-Datei und Schrifttext ... naja helfen tut dir das alles grad nicht - solche Kommentare bremsen ein' nur aus. Trotzdem liebe Grüße --WissensDürster 15:04, 18. Jul. 2009 (CEST)

So wie der Satz im Moment steht ist er schon grammatikalisch verwirrend. Fällt dir eine bessere Formulierung ein? Und, ja, OMA-fähig ist der Artikel so im Moment sicher nicht. ;-) --bigbug21 09:50, 24. Jul. 2009 (CEST)

Tipp: meistens tut man sich wesentlich leichter, wenn mathematische Sätze anhand von Beispielen nachvollzieht:

"Das Urbild einer Menge M unter einer Funktion f ist die Menge der Elemente, die in f eingesetzt, ein Element aus M ergeben"

Also nimm dir eine Menge M (z.B. {0}) und eine Abbildung f (die wir definieren als f: D->M (D ist die Menge aus der du Elente in f einsetzen darst = Definitionsbereich (schulmathe)). Jetz ist also das Urbild die Menge der Zahlen x aus D die in die Funktion f eingesetzt gleich 0 ergeben, denn das ist ja hier das M (mathematisch schreibt man diese Menge: {x "Element von" D | f(x) = 0}) sei f: R -> R und f(x) = (x^2)-1 dann ist das Urbild von M = {0} also die Menge der x mit f(x) = 0 und das ist hier für x= 1 und x = -1. (nicht signierter Beitrag von 84.164.86.218 (Diskussion) 09:47, 22. Apr. 2011 (CEST))

Urbildmenge

Wäre gut, wenn man von dem Begriff Urbildmenge auch zum Urbild käme. Urbildmenge und Urbild sind nämlich das Selbe! (nicht signierter Beitrag von 92.78.245.148 (Diskussion) 21:20, 14. Sep. 2012 (CEST))

Ich habe mal eine Hilfe:Weiterleitung erstellt. Danke für den Hinweis! -- HilberTraum (Diskussion) 21:57, 14. Sep. 2012 (CEST)

Funktion vs. Abbildung

Das Problem bahnt sich schon an, wenn man "Abbildung(Mathematik)" eingibt und auf "Funktion(Mathematik)" weitergeleitet wird. Vermutlich gab es auch schon große Diskussion darüber im Hauptartikel, die ich hier nicht von neuem lostreten möchte. Da aber gerade die neue deutschsprachige mathematische Literatur unterscheidet zwischen Abbildung als "Abbildung zwischen beliebigen Mengen" und Funktion als Abbildung "Einer beliebigen Menge in die (reelen) Zahlen", ist es doch zumindest in irgendeiner Weise anmerkenswert, dass Funktion und Abbildung gleich verwendet werden in diesem Artikel.

Das dürfte unerfahrene Leser nicht stören und gleichzeitig durch den im Artikel verwendeten Wortgebrauch verwirrte angehende Hobbymathematiker nicht zu tieferen Recherchen in anderen Quellen zwingen. --Klosteraner (Diskussion) 20:59, 22. Jan. 2014 (CET)

Durchschnitt eines Urbildes

Warum steht da nur?

• $f^{-1}(M^{\rm {c}})=(f^{-1}(M))^{\rm {c}}$

Mann kann doch einfach folgern:

$f^{-1}(M\setminus N)=f^{-1}(N^{\rm {c}}\cap M)=f^{-1}(N)^{\rm {c}}\cap f^{-1}(M)=f^{-1}(M)\setminus f^{-1}(N)$ (nicht signierter Beitrag von Blubbi1234 (Diskussion | Beiträge) 17:13, 29. Nov. 2014 (CET))

Ich hab die Formel jetzt mal ergänzt. Grüße -- HilberTraum (d, m) 21:06, 29. Nov. 2014 (CET)

Hallo Blubbi! Ich habe mir erlaubt, Deinen Flüchtigkeitsfehler in obigem Beweis ausnahmsweise gleich an Ort und Stelle auszubessern, damit hier nichts Falsches stehen bleibt. Ich hoffe, das ist auch in Deinem Sinne. Liebe Grüße, Franz 00:00, 30. Nov. 2014 (CET) PS (nur für Insider): Auch bei c…x…2 stimmt’s nicht ;-).

„f“ doppelsinnig

Mir ist aufgefallen, dass f gern doppelsinnig verwendet wird, ohne das ausdrücklich zu sagen. Man schreibt zum Beispiel „b=f(a)“ oder aber auch mal „f(A)“, wobei natürlich

$b\in f(A)\forall a\in A$

ist. Hierei wird f einmal für

$f:A\to B,$

andererseits für

$f:{\mathcal {P}}(A)\to {\mathcal {P}}(B)$

verwendet. Was aus meiner Sicht natürlich legitim ist, aber Mathematiker sind normalerweise pingeliger als Juristen. Man sollte dazu sagen, dass dies eigentlich unterschiedliche mathematische Objekte sind.

Aufgefallen ist mir das besonders anhand von f⁻¹, denn wenn f nicht bijektiv ist, so ist die Relation

$f^{-1}\subset B\times A=\{(f(a),a)\},$

natürlich keine Abbildung, aber

$f^{-1}:B\to {\mathcal {P}}(A)$

$b\mapsto \{a\in A|b=f(a)\},$

die sich „puristisch“ auch als Abbildung

$f^{-1}:{\mathcal {E}}(B)\subset {\mathcal {P}}(B)\to {\mathcal {P}}(A)$

$\{b_{1}\}\in {\mathcal {E}}(B)\mapsto \{a\in A|b_{1}=f(a)\}$

des Systems 𝓔(B) aller einelementigen Teilmengen von B auf 𝓟(A) auffassen lässt, ist sehr wohl eine. Daran sieht man natürlich sofort, dass dies nicht dasselbe ist. --Slow Phil (Diskussion) 09:41, 4. Nov. 2017 (CET)

Dass es sich um unterschiedliche Dinge handelt, war dem Großteil der Schreiber vermutlich klar. Es gibt jedoch zahlreiche bessere, weil unmissversändlichere, Notationen, die man ggf. verwenden könnte. Etwa $f[X]$ oder $f_{*}(X)$ statt $f(X)$, für $f\colon A\to B$ und $X\subseteq A$. Mach' doch einfach. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:24, 5. Nov. 2017 (CET)

Bild und Urbild

Ich halte die Aussage, welche unter diesem Abschnitt gemacht wird für missverständlich:

„$M\subseteq f^{-1}(f(M))$, ist f injektiv, gilt Gleichheit“

denn Gleichheit kann auch für nicht-injektive Funktionen gelten, dh. es handelt sich hier um ein notwendiges Kriterium, kein Hinreichendes:

Beispiel $f\colon A\to B,\quad x\mapsto x^{2},\quad M\subseteq A,{\text{ nicht injektiv da }}f(2)=f(-2){\text{ für }}2\neq -2$

$f(\{2,-2\})={4}$

$f^{-1}(4)=\{2,-2\}=M$

$\Rightarrow M=f^{-1}(f(M))$

-2003:CB:73CD:7104:B19A:B873:53E5:4586 02:48, 6. Jan. 2019 (CET)