Diskussion:Vektor/Archiv/2

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[[Diskussion:Vektor/Archiv/2#Thema 1]]

oder als Weblink zur Verlinkung außerhalb der Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Vektor/Archiv/2#Thema_1

Geschichte

Dieser Abschnitt ist leider nicht korrekt. Graßmann hatte so gut wie keinen Einfluss auf die Entwicklung der Vektorrechnung, da sein Werk bis in die 1870er Jahre vernachlässigt wurde. Die Vektorrechnung ging aus den Quaternionen hervor wie in "Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis" sehr ausführlich belegt ist. Im Prinzip ist der Abschnitt zur Geschichte aus der englischen Wikipedia ziemlich gut: https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector#History Zu Graßmann: Ich würde auch eher sein erstes Werk "Theorie der Ebbe und Flut" von 1840 zitieren, da bin ich aber nicht sicher. Ich bin neu, deswegen möchte ich nicht einfach drauflos korrigieren, sondern das erstmal zur Diskussion stellen :-)

Wie läuft das generell? Ich finde der englische Abschnitt ist schon gut, wäre es in Ordnung den als Übersetzung zu übernehmen? (Einerseits fände ich das in Ordnung weil es mir künstlich erscheint einen Text neu zu schreiben der eigentlich in einer anderen Sprache schon gut ist, andererseits ist es nicht in Ordnung fremde Texte zu übernehmen. Ich habe bisher zu der Frage nichts gefunden, also ein Hinweis auf die entsprechende Regelung, falls es da eine gibt würde mich auch interessieren). --Jana:Peters (Diskussion) 10:39, 10. Mär. 2014 (CET)

Hallo Jana, die Regelungen findest du in Wikipedia:Übersetzungen. Da es sich hier nur um einen relativ kurzen Abschnitt handelt, brauchst du keinen Versionsimport vornehmen, sondern es reicht aus, wenn du in der Versionsgeschichte des englischen Artikels die Hauptautoren des Geschichtsabschnitts ausfindig machst. Dann kannst du den englischen Text einfach übersetzen (die Einzelnachweise nicht vergessen) und den bisherigen Abschnitt durch deine Übersetzung ersetzen. In die Zusammenfassungszeile schreibst du dann einen Hinweis auf den englischen Artikel und gibst die Liste der Autoren an. Das war's. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:25, 10. Mär. 2014 (CET)

Geometrische Veranschaulichung

Prinzipiell finde ich den Versuch, das ausführlicher in Worten darzustellen gut. Die Formulierung

Die Projektion hat die Länge $|{\vec {b}}_{\vec {a}}|$ (bzw. $-|{\vec {b}}_{\vec {a}}|$ je nach Winkel $\varphi$).

ist aber problematisch. Erstens wird nicht erklärt, bei welchen Winkeln das Minuszeichen zu nehmen ist. Zweitens kann man $-|{\vec {b}}_{\vec {a}}|$ nicht als "Länge" bezeichnen, denn dies ist ja eine negative Zahl. Im Moment fällt mir aber auch keine bessere Formulierung ein als die recht formale in Skalarprodukt#Veranschaulichung. --Digamma (Diskussion) 20:38, 30. Apr. 2014 (CEST)

Du hattest Recht. Ich habe es verbessert. Wie findest Du die jetzige Version? --Pyrrhocorax (Diskussion) 21:17, 30. Apr. 2014 (CEST)

Gefällt mir. Danke. --Digamma (Diskussion) 23:19, 30. Apr. 2014 (CEST)

Hallo Pyrrhocorax! Mir gefällt die erste Version grundsätzlich besser, man müßte sie natürlich etwas abändern, etwa so:

Geometrisch lässt sich das Skalarprodukt auch wie folgt verstehen (s. Abbildung): Man projiziert den einen Vektor ${\vec {b}}$ senkrecht auf den anderen ${\vec {a}}$. Die Projektion hat die vorzeichenbehaftete Länge $b_{a}$. Diese Zahl multipliziert man mit der Länge $|{\vec {a}}|$ des Vektors ${\vec {a}}$ und erhält als Ergebnis das Skalarprodukt. Vertauscht man die beiden Vektoren bei diesem Vorgang, so ergibt sich derselbe Wert. Schließen die beiden Vektoren einen spitzen bzw. stumpfen bzw. rechten Winkel ein, so ist $b_{a}$ (und damit auch das ganze Skalarprodukt $b_{a}\cdot |{\vec {a}}|$) positiv bzw. negativ bzw. gleich null. Die Projektion ${\vec {b}}_{\vec {a}}$ selbst ist dabei gleichsinnig bzw. ungleichsinig parallel zu ${\vec {a}}$ bzw. gleich dem Nullvektor.

Liebe Grüße, Franz 00:00, 1. Mai 2014 (CEST)

Zeilenvektoren?

Der Abschnitt über Spaltenvektoren ist einigermaßen ausführlich. Aber es überrascht, dass man nicht einmal erwähnt, dass es auch Zeilenvektoren gibt und wie sie zusammenhängen. Sollte man das also nicht ändern? Wenn man sie aber einführt, sollten sie gleichberechtigt neben den Spaltenvektoren stehen - finde ich. (Da wäre dann auch wenigstens ein Hinweis auf Bra- und Ket-Vektoren gerechtfertigt). Ich selbst traue mich da aber nicht ran, da ich kein Mathematiker bin. --Pyrrhocorax (Diskussion) 19:00, 30. Apr. 2014 (CEST)

Die Unterscheidung zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren ist verwandt mit der zwischen ko- und kontravarianten Vektoren. Beides ist hauptsächlich für die Physik relevant. Die Identifikation von Bras und Kets mit Vektoren ist etwas problematisch. Denn bei ihnen handelt es sich genau genommen nicht um einzelne Elemente eines Vektorraums, sondern um Strahlen des jeweiligen Hilbertraums. Siehe zum Beispiel Henrik van Hees.---<)kmk(>- (Diskussion) 17:20, 20. Okt. 2014 (CEST)

Kovariante und Kontravariante Komponenten

Fördert der von MovGP0 eingefügt Abschnitt wirklich das Verständnis des Lesers oder verwirrt es ihn mehr? --Pyrrhocorax (Diskussion) 00:00, 20. Okt. 2014 (CEST)

Etwas verwirrend sicherlich. Hauptsächlich wegen der plötzlichen Schreibweisenänderungen (Skalarprodukt nicht mehr gekennzeichnet, Summenkonvention, Verwendung von $u$ von $v$ usw.). Die Rechnungen in den Beispielen bringen eigentlich nicht viel Neues, sondern stehen alle schon irgendwo weiter oben. -- HilberTraum (d, m) 15:48, 20. Okt. 2014 (CEST)

Ich finde, das gehört nicht in diesen Artikel. Kovariante und kontravariante Komponenten gibt es bezüglich der Vektorbasen, die von krummlinigen Koordinatensystemen im Raum erzeugt werden. Solange man es nur mit Vektoren und einer festen Basis zu tun hat, gibt es kein "kovariant" oder "kontravariant". Das gehört eher in einen Artikel über krummlinige Koordinatensysteme als in einen über Vektoren. --Digamma (Diskussion) 16:01, 20. Okt. 2014 (CEST)

Ich entferne den Abschnitt. Vielleicht sollte man den Artikel umbenennen in Vektor (Geometrie), damit deutlich wird, dass hier nicht alles hineingehört, was "Vektor" im Namen führt, und den Physikteil ganz auslagern. --Digamma (Diskussion) 16:08, 20. Okt. 2014 (CEST) Zweiten Teil des Beitrags und Antworten darauf ausgelagert in den folgenden Abschnitt --Digamma (Diskussion) 11:35, 27. Okt. 2014 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 11:35, 27. Okt. 2014 (CET)

Aufspaltung des Artikels

Vielleicht sollte man den Artikel umbenennen in Vektor (Geometrie), damit deutlich wird, dass hier nicht alles hineingehört, was "Vektor" im Namen führt, und den Physikteil ganz auslagern. --Digamma (Diskussion) 16:08, 20. Okt. 2014 (CEST)

Ja! Eine Verschiebung auf ein besser zum beabsichtigten Inhalt des Artikels passendes Lemma würde ich begrüßen. Das bietet die Chance den seit langem anhaltenden Missstand aufzulösen, dass die Einleitung eine verkappte Begriffsklärung ist. Unter dem generischem Lemma "Vektor" wäre dann wahlweise ein Artikel zur allgemeinen Bedeutung als Element eines Vektorraums, oder tatsächlich eine (reine) Begriffsklärung zu finden.

Für einen Großteil des physikalischen Inhalts wäre ein Artikel vektorielle Größe das passende Lemma. Das gilt insbesondere für die Aspekte, die mit den Einheiten und dem Verhalten unter Transformation zu tun haben.

Die von MovGP0 eingefügten Inhalte sollten nicht verloren gehen. Sie sind für die Formulierung der Relativitätstheorie wichtig.---<)kmk(>- (Diskussion) 17:07, 20. Okt. 2014 (CEST)

Ja, ich denke auch, dass es nun an der Zeit ist, diesen Artikel zu zerschlagen. Die Aufteilung in einen geometrischen, einen physikalischen und einen algebraischen Teil ist dabei der richtige Ansatz. Der derzeitige Abschnitt zu den n-Tupeln wird mittlerweile durch den Artikel Koordinatenraum abgedeckt und kann daher wegfallen. Der algebraische Teil wird durch den Artikel Vektorraum abgedeckt, da sehe ich für einen separaten Artikel keinen eigenständigen Inhalt. An sich gibt es zwei Möglichkeiten der Lemmawahl:

• Vektor (Geometrie), Vektor (Physik) und Vektor (lineare Algebra) (als Weiterleitung auf Vektorraum) sowie einer BKS Vektor
• Vektor (mit BKL III) für die geometrischen, Vektorielle Größe für die physikalischen und Vektorraum für die algebraischen Aspekte

Die zweite Variante kommt ohne Klammen aus und hätte den Charme, dass wir das Lemma Vektor nicht verlieren. Die erste Variante hat eine klarere Strukturierung und verringert dadurch die Gefahr von Falschverlinkungen. Für die geometrischen Aspekte verwendet die englische WP übrigens das Lemma en:Euclidean vector. Für den physikalischen Teil wären jeweils beide Lemmata möglich, wir sollten nur sicher gehen, dass der Begriff „vektorielle Größe“ nicht zu einschränkend für den vorgesehenen Inhalt ist. Ich hätte eine leichte Präferenz für die erste Variante mit den Klammern, grundsätzlich sind mir aber alle Varianten recht. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:51, 21. Okt. 2014 (CEST)

Ich bin klar für die zweite Variante, denn ich sehe eine gewisse Hierarchie: Die geometrischen Vektoren bilden die Grundlage für die vektoriellen Größen der Physik. Die vektoriellen Größen erben alle Eigenschaften der (geometrischen) Vektoren, haben aber noch einige zusätzliche (Einheiten, Transformationsverhalten, Vierervektoren, ...). Daher muss man im Artikel über vektorielle Größen nicht mehr erklären, wie ein Skalarprodukt oder ein Kreuzprodukt funktioniert. In den "Mutter"-Artikel "Vektor" gehört das aber sehr wohl. --Pyrrhocorax (Diskussion) 11:29, 21. Okt. 2014 (CEST)

Zu Skalarprodukt und Kreuzprodukt gibt es auch eigene Artikel, man würde dann im Artikel "Vektorielle Größen" direkt auf diese verlinken und nicht auf "Vektor". Man kann das aber gerne euch Physikern überlassen, wie der Artikel dann heißt.

@Quartl: Der Artikel Koordinatenraum behandelt Spaltenvektoren über beliebigen Körpern. Da ist das Skalarprodukt z.B. nicht dabei und das ganze ist vielleicht zu abstrakt für jemanden, der sich als Anwender für Vektoren in der Matrizenrechnung interessiert. Andererseits: Macht das Skalarprodukt überhaupt Sinn, wenn die Vektoren nicht aus der Geometrie stammen? --Digamma (Diskussion) 16:21, 21. Okt. 2014 (CEST)

Es ist halt die Frage, wo die Geometrie aufhört und wo die lineare Algebra anfängt. Ich dachte wir bleiben im Artikel Vektor (Geometrie) im Anschauungsraum. Wenn man den $\mathbb {R} ^{n}$ auch noch zur Geometrie zählt (und erst den $K^{n}$ zur linearen Algebra), dann kann der Abschnitt natürlich auch gerne bleiben. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:01, 21. Okt. 2014 (CEST)

Ne, das muss er von mir aus nicht. Er steht ja auch jetzt nicht im Abschnitt "Geometrie". Vielleicht könnte man stattdessen einen Abschnitt über Verallgemeinerungen auf höhere Dimensionen einfügen. Mein Einwand zielte eher darauf, ob Koordinatenraum das richtige Ziel ist für jemanden, der "arithmetische Vektoren" sucht. Aber ein Artikel "Spaltenvektor" wäre wahrscheinlich im Wesentlichen eine Dopplung von "Koordinatenraum".

Es gibt ja übrigens schon eine BKL Vektor (Begriffsklärung). Man könnte dann einfach die verschiedenen Bedeutungen in der Mathematik in einem Absatz bündeln und dabei natürlich auch auf Artikel verweisen, die nicht "Vektor" mit Klammerzusatz heißen. --Digamma (Diskussion) 18:54, 21. Okt. 2014 (CEST)

Gegen einen Abschnitt Verallgemeinerungen spricht natürlich nichts. Zum Thema Spaltenvektoren könnte man (wie momentan) auch auf Matrix (Mathematik) verweisen. Die bestehende BKS kann jedenfalls in allen Varianten problemlos angepasst werden. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:58, 21. Okt. 2014 (CEST)

@Pyrrhocorax: Vektorielle Größen lassen sich im allgemeinen nicht ohne weiteres wie geometrische Vektoren behandeln. So darf man eine Kraft nicht einfach so parallel verschieben -- eine Operation, die bei geometrischen Vektoren folgenlos bleibt. Es gibt natürlich eine starke Verwandtschaft.---<)kmk(>- (Diskussion) 21:46, 21. Okt. 2014 (CEST)

(quetsch)Nichts anderes hatte ich gesagt. --Pyrrhocorax (Diskussion) 22:44, 21. Okt. 2014 (CEST)

Alles gut. Ich hatte das "erben alle Eigenschaften" anscheinend wörtlicher verstanden als Du es gemeint hattest.---<)kmk(>- (Diskussion) 23:33, 21. Okt. 2014 (CEST)

Für solche Fälle hätten wir aber auch einen Artikel gebundener Vektor anzubieten, der wie ich mich erinnere auch schon mal ziemlich ausführlich und kontrovers diskutiert wurde. -- HilberTraum (d, m) 21:56, 21. Okt. 2014 (CEST)

Zu einer vektoriellen Größe gehören allerdings noch mehr Aspekte. Spontan fallen mir das Verhalten unter Koordinatenspiegelung und die Sache mit den Einheiten ein.---<)kmk(>- (Diskussion) 22:05, 21. Okt. 2014 (CEST)

Ich bin auch für die zweite der von Digamma vorgeschlagenen Varianten. Ein Lemma "Vektor (Physik)" würde für meinen Geschmack zu stark suggerieren, dass die Physik einen spezifischen, von der Mathematik getrennten Begriff verwenden würde. Außerdem hat "Vektorielle Größe" den Charme, dass es diesen Begriff in der Fachsprache bereits gibt. Eigentlich überraschend, dass wir dazu im Moment noch nicht einmal eine Weiterleitung haben.---<)kmk(>- (Diskussion) 21:59, 21. Okt. 2014 (CEST)

Die Vorschläge waren von Quartl, nicht von mir.

Was den Unterschied zwischen freien und gebundenen Vektoren betrifft: Es ist nicht so, dass man bei freien Vektoren die Vektoren verschieben würde. Verschoben werden nur die Pfeile, die die Vektoren darstellen. Die Vektoren leben ja eigentlich nicht im euklidischen Punktraum, sondern in einem eigenen Vektorraum. Bei gebundenen Vektoren wird dieser jedoch an einen Punkt des Punktraums "angeheftet". Auf diese Art bilden für jeden Punkt die dort angehefteten Vektoren einen eigenen Vektorraum. In der Differentialgeometrie nennt man diesen den Tangentialraum. (Für die Differentialgeometrie ist das vor allem in den Fällen wichtig, wo der Punktraum kein affiner Raum mehr ist, sondern eine Mannigfaltigkeit. In Mannigfaltigkeiten gibt es keine Verbindungs- oder Verschiebungsvektoren, aber Tangenialvektoren).

Solche gebunden Vektoren (oder Tangentialvektoren) treten aber auch in der Geometrie auf, nicht nur in der Physik. So denkt man sich etwa den Tangentenvektor ${\dot {c}}(t)$ einer parametrisierten Kurve $c\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ für jeden Parameterwert $t$ an den Kurvenpunkt $c(t)$ angeheftet. Physikalisch entspricht dem der Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt $t$, wenn $c$ eine Bahnkurve und $t$ die Zeit ist. Andererseits, wenn man die Beschleunigung definiert oder berechnet, indem man den Geschwindigkeitsvektor nochmals ableitet, dann muss man die Geschwindigkeitsvektoren so behandeln, als lägen sie alle im selben Vektorraum, sonst kann man keine Differenzenquotienten und somit keine Zeitableitung bilden. (Weil dies auf Manngifaltigkeiten nicht geht, braucht man dort eine Zusatzstruktur, den Zusammenhang, um Vektorfelder abzuleiten.) --Digamma (Diskussion) 22:21, 21. Okt. 2014 (CEST)

Wie gehen wir nun weiter vor? Das beste ist vermutlich, wenn einer der Physiker einen Artikel Vektorielle Größen neu anlegt, evtl. unter Verwendung von Material, das jetzt schon im Artikel ist. Es gab wohl auch früher schon einmal einen Artikel Vektor (Physik), der dann mit diesem hier vereinigt wurde. Möglicherweise kann man ihn aus der Versionsgeschichte herausfischen, ober ein Admin kann ihn aus dem Orkus der gelöschten Artikel herausholen. Möglicherweise ist aber auch Neuschreiben besser. Anschließend würde ich diesen Artikel kürzen und die Einleitung entsprechend umschreiben. --Digamma (Diskussion) 18:38, 22. Okt. 2014 (CEST) PS: Der Text aus dem damaligen Artikel Vektor (Physik) wurde mit dieser Änderung in den Artikel eingefügt. --Digamma (Diskussion) 19:18, 22. Okt. 2014 (CEST)

+1. Für den Fall, dass Inhalte aus diesem Artikel verwendet werden, wäre auch eine Duplikation des Artikels angebracht, da seit der letzten Zusammenführung einiges dazugekommen ist. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:42, 22. Okt. 2014 (CEST)

Ein Artikel zum Begriff "Vektoriellen Größe" ist kein Sammelbecken für Aussagen zu "Vektoren in der Physik". Er stellt nur einen der Aspekte dar, die im Moment im letzten Abschnitt des Vektor-Artikels angerissen werden. Entsprechend unangemessen wäre ein formales Auslagern.---<)kmk(>- (Diskussion) 12:25, 23. Okt. 2014 (CEST)

Ob formales Auslagern angemessen ist, ist nur eine Frage des Urheberrechts. Wenn wesentliche Teile des Abschnitts übernommen werden, dann ist formales Auslagern der urheberrechtlich richtige Weg, selbst wenn danach nur kleine Teile des Abschnitts im neuen Artikel übrigbleiben und diese auch im neuen Artikel nur einen kleinen Anteil ausmachen.

Es spricht aber auch nichts dagegen, den neuen Artikel komplett neu zu schreiben. Nur darf man dann eben nicht aus dem alten abschreiben. --Digamma (Diskussion) 22:00, 23. Okt. 2014 (CEST)

Die Grundkrankheit dieses Artikels besteht darin, dass er unter dem generischen Lemma "Vektor" nicht das darstellt, was für alle Vektoren gilt. Stattdessen bezieht er sich lediglich auf die Teilmenge der Vektoren im geometrischen Anschauungsraum. Der Rest der Probleme ist eine Folge davon: Um nach anderen Aspekten suchende Leser nicht im Regen stehen zu lassen, kommt die Einleitung als ausformulierte Begriffsklärung daher. So etwas ist aus gutem Grund eigentlich unerwünscht. Siehe WP:Artikel und WP:BKS. Außerdem sind damit viele der für die Physik wesentlichen Aspekte noch nicht abgedeckt.
Also kommt ganz am Ende noch eine Wundertüte "Vektoren in der Physik". Deren Inhalt passt nicht wirklich zum Programm des restlichen Artikels. Und er bleibt merkwürdig stichpunktartig und lückenhaft -- kein Wort zur Metrik, von Bras und Kets erfährt man lediglich ihre Existenz. Dass Zustände nur beinahe Vektoren sind, fällt hinten runter. Der Zusammenhang zum Begriff des Tensors wird in einer Weise erwähnt, die man nur versteht, wenn man ihn schon verstanden hat. Alles keine guten Voraussetzungen für eine Verlinkung aus Physik-Artikeln nach hier.
So lange die "Grundkrankheit" unbehandelt bleibt, sind alle Bemühungen notwendigerweise ein Rumdoktern an Symptomen ohne Chance auf ein langfristig befriedigendes Ergebnis.---<)kmk(>- (Diskussion) 12:14, 23. Okt. 2014 (CEST)

Die Dinge, die für beliebige Vektoren gelten, stehen im Artikel Vektorraum. Vektoren in dieser allgemeinsten Definition haben nur wenige Eigenschaften: man kann sie addieren und mit einem Skalar multiplizieren, wobei ein paar Rechenregeln gelten. Nach Wahl einer Basis hat ein Vektor noch Koordinaten, viel mehr ist nicht. Es gibt keine Anschauung, keine Zeilen oder Spalten, keinen Betrag, kein Skalarprodukt und erst recht kein Kreuzprodukt. Ein Artikel, der Vektoren in dieser allgemeinsten Definition behandelt, wäre vollständig redundant zum Artikel Vektorraum. Erst wenn man Vektoren im euklidischen Raum betrachtet gibt es mehr Struktur. Man hat eine Anschauung in Form von Vektorpfeilen, Koordinatentupel (oder Spaltenvektoren), Betrag, Skalarprodukt und einiges mehr. Wenn nun von irgendeinem Artikel auf Vektor verlinkt wird, dann ist nicht klar, ob die Bedeutung als Element eines euklidischen Raums oder als Element eines allgemeinen Vektorraums gemeint ist. Dieses Schicksal teilt dieser Artikel z.B. auch mit dem Artikel Skalarprodukt. Die dortige Lösung kann man auch hier übernehmen, also eine Strukturierung der Art

1. Vektoren im euklidischen Raum
2. Vektoren in allgemeinen Vektorräumen

Eine solche Strukturierung hat den Vorteil, dass alles an einem Ort ist, aber den Nachteil, dass der Leser selbst herausfinden muss, unter welcher Bedeutung von Vektor er weiterlesen muss (es sei denn es wurde direkt auf den richtigen Abschnitt verlinkt). Auch bei der Verlinkung aus Physik-Artikeln muss formal gesagt werden, in welchem Raum man Vektoren gerade betrachtet. In der klassischen Physik wäre dies der euklidische Raum oder ein entsprechender Phasenraum, in der Relativitätstheorie der Minkowski-Raum und in der Quantenmechanik ein spezieller Hilbertraum (wobei QM-Zustände formal gar keine Vektoren sind). Alle weiteren physikalischen Inhalte, wie Einheiten, Transformationsverhalten, freie und gebundene Vektoren, polare und axiale Vektoren, Vierervektoren, Bra-Ket-Notation oder ko- und kontravariante Komponenten, müssen als allererstes dem passenden Raum zugeordnet werden, erst dann kann man entscheiden, an welchem Ort man die Inhalte unterbringt. Ich würde mich am wohlsten fühlen, wenn Vektoren im euklidischen Raum, Vektoren in allgemeinen Vektorräumen und vektorielle Größen in jeweils eigenen Artikeln (ggf. Weiterleitungen) abgehandelt würden. Dann klappts auch mit der Verlinkung. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:15, 23. Okt. 2014 (CEST)

@KaiMartin: Ich glaube, wir waren uns einig, dass der Abschnitt über "Vektoren in der Physik" wegfallen und es stattdessen einen neuen Artikel Vektorielle Größe geben soll. Deshalb verstehe ich nicht so recht, warum du jetzt den Abschnitt "Vektoren in der Physik" kritisierst. Der wird sowieso nicht überleben. Dieser Artikel wird ein Artikel zu Vektoren in der Geometrie werden, was er ja im Wesentlichen schon ist. Am Ende werden sicher Abschnitte stehen, die Querbezüge herstellen, darunter auch zu vektoriellen Größen, aber garantiert nicht in der jetzigen Form. --Digamma (Diskussion) 22:00, 23. Okt. 2014 (CEST)

Ich stimme der Aufteilung des Artikels zu. Ich empfehle in diesem Fall die Strukturierung der englischen Wikipedia, wo es einen Artikel Euklidscher Vektor (en:Euclidean vector), sowie einen Übersichts- und Begriffsklärungsartikel en:Vector (mathematics and physics) gibt. Der derzeitige Artikel beschränkt sich in erster Linie auf den Spezialfall der euklidschen Vektoren und grenzt nich klar ab. Man sollte daher den derzeitigen Artikel nach Euklidscher Vektor verschieben, die Begriffsklärungsseite Vektor (Begriffsklärung) hierher verschieben und für allgemeine Vekoren als Elemente eines Vektorraums einen neuen Artikel Vektor (Vektorraum), sowie für den Spezialfall von Vektoren in der Physik Vektorielle Größe, anlegen. — MovGP0 09:08, 25. Okt. 2014 (CEST)

Auch die englische Wikipedia hat sich mit der Lemmafindung sehr schwer getan. "Euklidischer Vektor" halte ich zumindest für das Deutsche für Begriffsfindung. Deshalb der Vorschlag "Vektor (Geometrie)". "Vektor (Vektorraum)" ergibt keinen Sinn. Der wäre völlig redundant zu "Vektorraum". Wir haben ja aus gutem Grund auch keine Artikel Gruppenelement oder Punkt (Topologischer Raum). Im allgemeinen Sinn ist "Vektor" nur eine Bezeichnung für die Elemente eines Vektorraums, und das im Wesentlichen zur Unterscheidung von den bei der Behandlung von Vektorräumen ebenfalls auftretenden Körperelementen, die in diesem Kontext "Skalare" genannt werden.

Wir sollten aber nicht lange über das Lemma diskutieren, wichtig wäre, dass jemand (und das müsste wohl ein Physiker) sein, mal damit anfängt, einen Artikel Vektorielle Größe zu schreiben. Danach kann man diesen umgestalten.

Ich könnte diesen Artikel natürlich auch gleich schon in Vektor (Geometrie) umbenennen und entsprechend umbauen, das heißt im Wesentlichen die Teile über Spaltenvektoren und über Vektoren in der Physik entfernen. Wäre dieses Vorgehen sinnvoll? --Digamma (Diskussion) 09:37, 25. Okt. 2014 (CEST)

Nach BK: Entschuldigung, aber die Verschiebeaktion bevor ein Konsens hergestellt wurde und offensichtlich gegen die Meinung der anderen Mitdiskutanten war Scheiße. --Digamma (Diskussion) 09:37, 25. Okt. 2014 (CEST)

+1 zu Digamma. Bitte ganz schnell zurückverschieben! --Quartl (Diskussion) 09:50, 25. Okt. 2014 (CEST)

OK. Nach der Weiterverschiebung auf Vektor (Geometrie) kann ich damit leben. Der neue Artikel Vektor (der aus dem alten kopiert wurde) hat dennoch keine Berechtigung. Stattdessen sollte die jetzige Begriffsklärung Vektor (Begriffsklärung) auf Vektor verschoben und die Aufspaltung der mathematischen und physikalischen Bedeutungen dort eingebaut werden. --Digamma (Diskussion) 10:58, 25. Okt. 2014 (CEST)

Können wir bitte wieder auf den Status quo ante? Wir wollen ja nicht alle Verlinkungen zerstören. --Chricho ¹ ² ³ 11:04, 25. Okt. 2014 (CEST)

Ich stimme der Variante von Digamma zu. Also Ersetzen von Vektor durch die Begriffsklärungsseite. Hierfür scheint es den größten Konsens zu geben.

Das Verlinkungsproblem ist Technische Schuld die früher oder später ohnehin beglichen werden muss.

— MovGP0 11:32, 25. Okt. 2014 (CEST)

Zurück auf Version vom 21. Okt. 2014: Bitte zunächst Konsens um neues Lemma finden, samt Klärung der Fragen um BKL.--wdwd (Diskussion) 12:22, 25. Okt. 2014 (CEST)

Abstimmung

Wurde von Einsteller wieder entfernt. --Quartl (Diskussion) 06:29, 28. Okt. 2014 (CET)

Was soll jetzt diese Abstimmung? Wir sind immer noch am diskutieren, wie am besten weiter vorgegangen werden soll und wägen Pro- und Kontraargumente für die einzelnen Vorschläge ab. Manche Diskussionsteilnehmer haben sich inhaltlich auch noch gar nicht geäußert. Das ganze Vorgehen nennt sich Konsensfindung und ist noch nicht abgeschlossen. Wir waren auch auf einem guten Weg, bis du mit deiner Verschiebungsaktion alles torpediert hast. Für's Protokoll: zum jetzigen Zeitpunkt lehne ich eine Abstimmung ab. --Quartl (Diskussion) 06:34, 27. Okt. 2014 (CET)

+1. --Digamma (Diskussion) 11:08, 27. Okt. 2014 (CET)

+1. --Chricho ¹ ² ³ 12:48, 27. Okt. 2014 (CET)

+1. (Ich wollte in der Tat genau dasselbe schreiben) --Pyrrhocorax (Diskussion) 20:17, 27. Okt. 2014 (CET)

Es gibt zwei Grundprinzipien nach denen ich vorgehe. Erstens Wikipedia:Nimm nicht an Abstimmungen teil. Also Dinge ändern ohne zu fragen. Falls das auf Widerstand stößt kommt Wikipedia:Nimm an Abstimmungen teil zum tragen. Man erstellt also eine Abstimmung. Das hier beides nicht akzeptiert wird war für mich nicht vorhersehbar. Ein Meinungsbild wäre natürlich auch eine Möglichkeit, allerdings halte ich das in der Regel für Overkill - vor allem auch da es sehr lange dauert. — MovGP0 23:48, 27. Okt. 2014 (CET)

Zu inhaltlichen Fragen bei einzelnen Artikeln werden keine Meinungsbilder abgehalten. --Quartl (Diskussion) 07:00, 28. Okt. 2014 (CET)

@MovGP0: Hast du Wikipedia:Nimm nicht an Abstimmungen teil wirklich gelesen? Dort steht nicht "Dinge ändern ohne zu fragen", sondern diskutieren statt abstimmen. Das, was du genau nicht getan hast. Nichts gegen Wikipedia:Sei mutig, aber das gilt nicht beim Verschieben von Artikeln. --Digamma (Diskussion) 09:17, 28. Okt. 2014 (CET)

Weitere Diskussion

Ich mache mal hier bei der eigentlichen Diskussion weiter, nicht bei der "Abstimmung" oben, die ich ablehne. Meine bevorzugte Lösung:

• Der jetzige Artikel Vektor wird in Vektor (Geometrie) umbenannt. Die Teile über n-tupel (Spaltenvektoren) und Vektoren in der Physik werden entfernt.
• Die jetzige BKL Vektor (Begriffsklärung) wird umbenannt in "Vektor". (Müssen dazu tatsächlich vorher alle Links umgebogen werden?)
• Ein Artikel Vektorielle Größe wird neu angelegt.

Einen Artikel "Vektor (lineare Algbra)" oder "Vektor (Vektorraum)" lehne ich ab. Wie Benutzer:Quartl oben schon gesagt hat: So ein Artikel wäre vollumfänglich redundant zu Vektorraum. --Digamma (Diskussion) 11:32, 27. Okt. 2014 (CET)

Dem Vorschlag kann ich zustimmen, wobei in Vektor (Geometrie) (kurze) Abschnitte zur Verwendung und zu Verallgemeinerungen im Laufe der Zeit noch ergänzt werden sollten. Um ein Sichten und passendes Umbiegen aller Links werden wir nicht herumkommen. Ich würde zu diesem Zweck eine Weiterleitung Vektor (Vektorraum) oder Vektor (lineare Algebra) auf Vektorraum anregen und die Links für die algebraische Verwendung auf diese Weiterleitung setzen. Der Grund dafür ist, dass man auf diese Weise den Raum und seine Elemente thematisch in der Verlinkung auseinanderhalten kann. Außerdem lässt sich so auch leichter und vor allem dynamischer auf einen bestimmten Artikelabschnitt verlinken. Sollte in der Zukunft doch ein eigener Artikel angebracht sein, muss dann auch nur die Weiterleitung überschrieben werden. Von der Reihenfolge her müsste vor dem Umbiegen der Links zumindest eine Grundversion von Vektorielle Größe vorhanden sein, ansonsten müssten wir eine ganze Reihe unnötiger Rotlinks erzeugen. Außerdem bräuchten wir eine Richtlinie, wann auf den physikalischen und wann auf einen mathematischen Artikel verlinkt wird. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:50, 27. Okt. 2014 (CET)

Die "Richtlinie" halte ich für größtenteils trivial: Wenn es um eine physikalische Größe geht, dann ist vektorielle Größe als Linkziel passend. Und wenn geometrische Vektoren in zwei, oder drei euklidischen Dimensionen gemeint sind, ist es Vektor (Geometrie). im Zusammenhang mit der Relativitätstheorie ist Vierervektor passend. Und wenn es um Vektoren im ganz allgemeinen Sinn geht, wird nach Vektorraum verlinkt. Die sich vermutlich ergebenden Ausnahmen, bei denen keins dieser vier Zeile wirklich passt, muss man einzeln anschauen.

Klammerlemmata sind eigentlich ausschließlich dafür da, als Qualifikator zur Unterscheidung ansonsten identischer Lemmata zu dienen. Um die die Verlinkung zu differenzieren, würde ich im Vektor-Artikel an passender Stelle die Vorlage:Anker verwenden und dann den Link direkt dorthin zielen.---<)kmk(>- (Diskussion) 13:50, 14. Nov. 2014 (CET)

Ich bezog mich eher auf WP:WL#Neuer Artikel könnte entstehen (Stubs …), ist aber auch nicht so wichtig. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:44, 14. Nov. 2014 (CET)

Von mir auch Zustimmung zu dem obigen Vorschlag von Digamma. Er bietet eine deutliche Verbesserung gegenüber dem aktuellen Zustand. Leser werden auf dem hier in Wikipedia üblichen Weg zum jeweils passenden Artikel geleitet. Das Redundanz-Argument empfinde ich als eher schwach. Mensch ist auch nicht redundant zu Menschheit. Aber wenn ein Artikel zu den (wenigen) allgemein gültigen Eigenschaften von Vektoren durchaus nicht konsensfähig ist, ist eine BKL-Typ 1 die zweitbeste Lösung. Ich erkläre mich bereit, das Lemma vektorielle Größe mit einem Artikel zu füllen.---<)kmk(>- (Diskussion) 12:14, 14. Nov. 2014 (CET)

Wikitechnische Anmerkung zur Verschiebung von Vektor (Begriffsklärung) nach Vektor: Die Begriffsklärung ist im Artikelnamensraum nur von Vektor und von Vector aus verlinkt. Von der Seite aus ist es also problemfrei. Der Artikel Vektor ist 400 Mal verlinkt. Diese Links können (und sollten) erst nach Verschiebung und Anlage des Artikels zur vektoriellen Größe umgebogen werden. Der größte Teil wird bei vektorielle Größe landen. Bei einem kleineren Teil ist Vektor (Geometrie) passend. Einige wenige sind beim Vektorraum richtig. Ob dann noch ein Rest bleibt, für den beides nicht recht passt, kann ich noch nicht absehen.
Die Umbiege-Aktion ist natürlich ein Klotz Arbeit. Auf mehrere Schultern verteilt, verliert so etwas aber den Schrecken. Ich kann versuchen, die Mitgleider der Redaktion Physik zum mitmachen zu motivieren.---<)kmk(>- (Diskussion) 12:29, 14. Nov. 2014 (CET)

Vektorielle Größe

Ich habe mal angefangen, einen Entwurf für die vektoreielle Größe zu schreiben, da ich glaube, dass dieser Artikel ein neues Gesicht bekommen sollte und nicht nur aus dem bestehen kann, was man aus dem aktuellen Artikel Vektor herauskopieren könnte. Ich werde in den nächsten Tagen kaum daran weiterarbeiten können. Vielleicht will der eine oder andere ja mal drüberschauen und kritisieren, verbessern, ergänzen, erweitern ... Würde mich freuen. --Pyrrhocorax (Diskussion) 21:19, 28. Okt. 2014 (CET)

Oh, jetzt erst gesehen. Weiter oben hatte ich mich gerade bereit erklärt, mich bei der vektoriellen Größe zu engagieren. Schön, dass es schon einen Anfang gibt. Ich werde "drüberschauen und kritisieren, verbessern, ergänzen, erweitern ...".---<)kmk(>- (Diskussion) 14:17, 14. Nov. 2014 (CET)

@-<)kmk(>-, Pyrrhocorax: Hm ... tut sich da was? Es wäre schöne, wenn die Aktion, die vektoriellen Größen hier auszulagern, nicht wieder versandet. --Digamma (Diskussion) 22:20, 6. Dez. 2014 (CET)

Ich komme im Moment nicht dazu, da einen kompletten Artikel aufzusetzen. Einen Anfang habe ich jedoch gemacht. --Pyrrhocorax (Diskussion) 16:53, 7. Dez. 2014 (CET)

Geschichte

Hallo, ich finde man sollte den Geschichtsteil sehr viel mehr ausbauen, gerade der Vektorformalismus der heutzutage überwiegend benutzt wird, hat eine sehr interessante Geschichte. Auf jeden Fall sollte man auch Willard Gibbs und Oliver Heaviside erwähnen. Der Benutzer Digamma hat mir ein schönes pdf gezeigt das wir als Richtlinie benutzen können A History of Vector Analysis Hat jemand Lust mitzuarbeiten? --Neoleviathan (Diskussion) 18:13, 22. Feb. 2016 (CET)

Der Artikel "Vektor" lässt die zugehörige "Geschichte" mit der "Vektorrechnung" beginnen. "Vektor" ist aber nach allgemeiner Definition zunächst einmal nur "eine Größe, die durch Maßzahl und Richtung bestimmt ist" (Brockhaus Enzyklopädie). In diesem Sinn sind Vektoren mindestens seit Galileis und Newtons Bewegungslehre bekannt. Galileis Lehre von der Zusammensetzung der Kräfte macht ohne den Vektorcharakter dieser Kräfte keinen Sinn. Siehe dazu auch Galileis "Discorsi" von 1638 in der neuen deutschsprachigen Übersetzung von Ed Dellian, erschienen 2015 bei Felix Meiner Hamburg (Philosophische Bibliothek Nr. 678). Ein Vektor ist natürlich auch laut Newtons Lex II die "vis motrix impressa", die eingedrückte bewegende Kraft; denn zu dieser Kraft gehört ausdrücklich, wie Newton schreibt, "die Richtung der geraden Linie", in der sie einwirkt, und die Änderung dieser Richtung ist ebenso eine "mutatio motus" wie die Änderung der Geschwindigkeit des bewegten Körpers.--91.37.153.86 14:30, 22. Mär. 2016 (CET)

Die Vektoranalysis hat eine sehr interessante Geschichte, jenseits von bloßen Definitionen. In dem Artikel kommt alles vor was das Rechnen mit Vektoren als gerichtete größen ausmacht. Daher muss auf jeden Fall auch die Entstehung rein und die Abstammung von Hamilton's Quaternionen. Nehmen wir mal das Produkt von zwei puren Quaternionen, wie Hamilton sie bezeichnet:

$q_{1}=ia_{1}+ja_{2}+ka_{3}$

$q_{2}=ib_{1}+jb_{2}+kb_{3}$

$q_{1}q_{2}=-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})+i(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})+j(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})+k(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})$

Setzt man nun die Basisvektoren für $i,j,k$ ein, sieht man das der erste Teil das negative Skalarprodukt beschreibt, und der zweite (Vektorteil) das Vektor-Kreuzprodukt ist. Das ist genau das was Gibbs später getrennt hat um zwei verschiedene seperate Produkte zu definieren, die heutzutage jeder Student der Naturwissenschaften lernt, obwohl fast niemand weis das es sich um ausseinandergebrochene Quaternionen handelt. Und genau dieser Streit sollte erklärt werden, soweit ich gelesen haben wird dies in keinem Artikel zu diesem Thema wirklich getan. --Neoleviathan (Diskussion) 17:16, 22. Mär. 2016 (CET)

Skalarprodukt

Meiner Meinung nach ist die Grafik zum Skalarprodukt falsch. Im Text wird eindeutig und korrekt gesagt, dass das Skalarprodukt von Vektoren ein Skalar liefert. Es ist damit also eine Abbildung von V × V auf |K (mit dem Vektorraum V und dem Körper |K): •: V × V → |K. Es sollte daher kein Vektor als Ergebnis dieser Abbildung in der Grafik dargestellt werden.

Vielmehr muss erwähnt werden, dass eine Multiplikation von Vektoren in V nicht definiert ist, weil eben •.: V × V nicht nach V, sondern nach |K abbildet. Der in der Grafik dargestellte Vektor b(a) hat nur den selben Betrag, wie das aus a•b erhaltene Skalar. Zeigen lässt sich die Nicht-Äquivalenz auch am Kommutativgesetz des Skalarprodukts: So liefert a•b = x und b•a = x' mit x = x' für Skalare (das Kommutativgesetz ist also erfüllt), während a•b = x und b•a = x' mit x ≠ x' für Vektoren liefern würde: Im Falle a•b wäre a auf b projiziert und man erhielte den Vektor a(b), im Falle b•a wäre b auf a projiziert und man erhielte den Vektor b(a). Beide hätten den selben Betrag, aber unterschiedliche Richtungen: a(b) hätte die Richtung wie b, b(a) hätte die Richtung wie a, also a(b) ≠ b(a) für alle a ≠ b und damit im Widerspruch zum Kommutativgesetz.

Selbiges gilt natürlich auch für den Artikel Skalarprodukt selbst.

Anmerkung: Sorry für fehlende Vektorpfeile und generell unschönes Layout, ich bin noch nicht so richtig fit, was Sonderzeichen angeht.

--Al-chemist (Diskussion) (12:50, 25. Aug. 2016 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Du hast das Bild falsch verstanden. Vielleicht sollte man die Bildunterschrift ändern. Der Vektor ${\vec {b}}_{\vec {a}}$ stellt nicht das Skalarprodukt dar, er ist nur ein Hilfsmittel zur Bestimmung des Skalarprodukts. Das Skalarprodukt von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ ist auch nicht der Betrag von ${\vec {b}}_{\vec {a}}$. Vielmehr erhält man das Skalarprodukt von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$, indem man den Betrag von ${\vec {b}}_{\vec {a}}$ mit dem Betrag von ${\vec {a}}$ multipliziert (und ein Minuszeichen davorsetzt, wenn diese beiden Vektoren entegegengesetzt gerichtet sind). --Digamma (Diskussion) 13:08, 25. Aug. 2016 (CEST)

Habe die Bildunterschrift an die aus dem Artikel Skalarprodukt angepasst. Dort ist es m.E. unmissverständlich. --Digamma (Diskussion) 16:38, 25. Aug. 2016 (CEST)

Element, Komponente oder Dimension?

Wie heißt eigentlich so ein Teil eines Vektors? Bei "Addition und Subtraktion" steht "In Koordinaten berechnet man die Summe komponentenweise", also wäre das eine "Komponente". Bei "n-Tupel und Spaltenvektoren" steht "In Verallgemeinerung der Koordinatendarstellung von geometrischen Vektoren werden Elemente von ...", also "Elemente". Gibt es einen allgemeinen passenden Begriff? Freimatz (Diskussion) 14:34, 29. Sep. 2016 (CEST)

Antwortversuch:

"Elemente" in dem zitierten Satz hat nichts mit den Koordinaten zu tun, sondern ist im Sinn der Mengenlehre gemeint: Der Vektor ist ein Element der Menge $\mathbb {R} ^{n}$. Allerdings nennt man oft auch die Einträge einer Matrix "Elemente" und in diesem Sinn kann man die Einträge von Spalten- oder Zeilenvektoren, ihre Elemente nennen. In diesem Fall wäre Element also gleichbedeutend mit "Koordinate".

Mathemetiker nennen oft die Einträge eines Spalten- oder Zeilenvektors seine "Komponenten". Insbesondere auch, wenn die Vektoren abstrakt gemeint sind, ohne geometrische Bedeutung. Ist die Darstellung bezüglich eines Koordinatensystems bzw. einer Basis gemeint, dann spricht man eher von "Koordinaten".

Im Gegensatz dazu meinen Physiker mit "Komponenten" in der Regel nicht die Koordinaten, sondern die Vektoren einer Zerlegung des Vektors. Konkreter:

Beim Vektor ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}{\hat {e}}_{1}+a_{2}{\hat {e}}_{2}+a_{3}{\hat {e}}_{3}$ meint ein Mathematiker mit "Komponenten" die Zahlen $a_{1},a_{2},a_{3}$, der Physiker die Vektoren $a_{1}{\hat {e}}_{1},a_{2}{\hat {e}}_{2},a_{3}{\hat {e}}_{3}$.

(Ich kann das nicht im einzelnen belegen, das ist nur meine Erfahrung.) --Digamma (Diskussion) 21:08, 20. Okt. 2016 (CEST)

Ein Vektor ist ein addierbares und multiplizierbares Element eines Verktorraums?

Was für eine Definition soll das - als erster Satz - sein? - Das klingt so wie "eine Kuh ist ein melkbares Tier in einer Kuhherde" oder "ein Apfelbaum ist ein Baum mit essbaren Äpfeln." Irgendwie ist das noch einmal zu überarbeiten - z.B. nach einem Blick in den englischen Artikel (nicht signierter Beitrag von 2003:88:6D11:A700:8174:77E8:2942:E437 (Diskussion | Beiträge) 04:24, 13. Jan. 2017 (CET))

Ich kann die Kritik nicht nachvollziehen. Der erste Satz lautet nämlich gar nicht so, wie hier kritisiert, sondern: "Im allgemeinen mathematischen Sinn versteht man unter einem Vektor (lat. vector „Träger, Fahrer“) ein Element eines Vektorraums, das heißt ein Objekt, das zu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann." Der Vektor wird also nicht nur als Element eines Vektorraums definiert, sondern es wird auch erklärt, was ein Element eines Vektorraums auszeichnet. Es handelt sich hier also nicht um einen Zirkelschluss. Aber es ermöglicht es dem Leser die allgemeine abstrakte Bedeutung des Vektorbegriffs im Artikel Vektorraum zu finden, bevor er in dem hiesigen Artikel nur die zwar gebräuchlicheren, aber spezielleren Eigenschaften geometrischer Vektoren liest. --Pyrrhocorax (Diskussion) 11:22, 13. Jan. 2017 (CET)

Naja, "ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums" ist schon eine unglückliche Einleitung. Imho könnte man den Einleitungssatz besser dreiteilen:

Im allgemeinen mathematischen Sinn versteht man unter einem Vektor (lat. vector „Träger, Fahrer“) ein Objekt, das addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann. Die Addition und Skalarmultiplikation sind weitgehend beliebig vorgebbar. Gleichartige, derartig definierte Vektoren bilden in ihrer Gesamtheit den ihnen zugehörigen Vektorraum.

--Alva2004 (Diskussion) 12:08, 13. Jan. 2017 (CET)

Das ist nicht besser. Denn beim allgemeinen Begriff eines Vektors ist der originäre Begriff der des Vektorraums. Der Begriff des Vektors ist davon abgeleitet.

Um beim Vergleich oben mit der Kuh zu bleiben: Der Begriff des Vektors entspricht nicht dem einer Kuh. Eher dem Begriff "Herdentier". Hier muss man auch zuerst definieren, was eine Herde ist. Danach kann man festlegen, dass ein Herdentier ein Tier ist, das in Herden lebt. Ganz ähnlich ist es beim allgemeinen Vektorbegriff. Man legt fest, was ein Vektorraum ist. Danach kann man sagen, dass ein Vektor ein Element eines Vektorraums ist.

In diesem Artikel geht es aber gar nicht um den im ersten Satz genannten allgemeinen Vektorbegriff, sondern um den speziellen geometrischen. --Digamma (Diskussion) 17:07, 13. Jan. 2017 (CET)

Sehr seltsam, aber ok. Dann sollte OMA jedenfalls schonender darauf vorbereitet werden, denn das irritiert sogar mich, der schon weiß, was ein Vektor ist! --Alva2004 (Diskussion) 17:56, 13. Jan. 2017 (CET)

Es gab mal vor Jahren eine Diskussion über die Abgrenzung zwischen dem allgemeinen Vektorbegriff (Element eines Vektorraums), auf den in der Einleitung nur verwiesen wird, und dem speziellen geometrischen Begriff, der in diesem Artikel behandelt wird, und wie dies in der Einleitung behandelt werden soll. Insbesondere ging es darum, ob die Einleitung erst den allgemeinen oder erst den speziellen Begriff vorstellen soll. Ich habe damals für letzteres plädiert und den folgenden Text vorgeschlagen:

Unter einem Vektor (lat.: vector = „Träger“, „jemand, der zieht/befördert“; zu lat.: vehere = „[etwas/jemanden] fahren/transportieren“) versteht man im engeren Sinn in der analytischen Geometrie ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Ein Vektor kann durch einen Pfeil, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet, dargestellt werden. Dabei beschreiben Pfeile, die gleichlang, parallel und gleichorientiert sind, denselben Vektor. In kartesischen Koordinaten werden Vektoren durch Zahlenpaare (in der Ebene) bzw. -tripel (im Raum) dargestellt, die oft untereinander (als „Spaltenvektoren“) geschrieben werden. Vektoren können addiert und mit reellen Zahlen (Skalaren) multipliziert werden.

Eng verwandt mit diesen geometrischen Vektoren sind vektorielle Größen in der Physik. Das sind physikalische Größen, die einen Betrag und eine Richtung besitzen, und oftmals durch Pfeile dargestellt werden, deren Länge dem Betrag der Größe entspricht. Beispiele dafür sind Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, Kraft, elektrische und magnetische Feldstärke.

In der linearen Algebra wird der Begriff des Vektors sehr viel allgemeiner gefasst. Im allgemeinen Sinn ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums, das heißt ein Objekt, das mit anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann.

Das Ergebnis der Diskussion war dann aber, vom algemeinen zum speziellen vorzugehen, was letztlich zu der heutigen Einleitung geführt hat.

Einheitsvektoren

Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren dies verstehe ich so, dass der Einheitsvektor einheitenbehaftet ist und nicht wie weiter unten einheitenbefreit. Im verlinkten Artikel Einheitsvektor befindet sich auch die Definition ${\vec {n}}={\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}$ so dass das Ergebnis einheitenbehaftet ist, während die hier verwendete Definition ${\vec {e}}_{v}={\frac {1}{|{\vec {v}}|}}{\vec {v}}$ NICHT einheitenbehaftet ist. Was ist richtig? Ist zwischen ${\vec {e}}_{a}$ und â zu unterscheiden? Ra-raisch (Diskussion) 12:49, 7. Mai 2017 (CEST) unter Normierung befindet sich die gleiche einheitenlose Definition ${\hat {a}}={\frac {\vec {a}}{|{\vec {a}}|}}$ Ra-raisch (Diskussion) 13:14, 7. Mai 2017 (CEST)

Mir ist schon klar, dass das alles eine Definitionsfrage ist, und in der Mathematik meist keine Einheiten verwendet werden, und die modernen Physiker alle Einheiten kurzerhand weglassen und am Ende die gewünschte Einheit einfach dazuschreiben .... Ra-raisch (Diskussion) 13:29, 7. Mai 2017 (CEST)

Weder Längen noch Vektoren haben in der Mathematik Einheiten. Ich verstehe nicht, warum ${\vec {n}}={\frac {\vec {v}}{\|{\vec {v}}\|}}$ einheitenbehaftet sein soll und ${\vec {e}}_{v}={\frac {1}{|{\vec {v}}|}}{\vec {v}}$ nicht.

In der Physik kann ich mir vorstellen, dass es sowohl Sinn macht, die Einheiten den Beträgen zuzuordnen, so dass die Einheitsvektoren einheitenlos sind, als auch, die Einheiten den Einheitsvektoren Einheiten zuzuordnen, so dass die Werte reine Zahlen sind. Ich könnte mir vorstellen, dass man Richtungen durch einheitenlose Einheisvektoren ausdrückt, aber Basisvektoren einheitenbehaftet sind. --Digamma (Diskussion) 17:22, 7. Mai 2017 (CEST)

in der Geometrie sind mir schon m und cm untergekommen ... ||x|| ist der reine Zahlenwert, während |x|=²(x1²+x2²+x3²) einheitsbehaftet ist und nur der Vektor in einen Skalar "verwandelt" wird. Ra-raisch (Diskussion) 18:48, 7. Mai 2017 (CEST)

Längeneinheiten werden in der Geometrie im Schulunterricht und wenn es um geometrische Probleme in der realen Welt geht, verwendet. Die Unterscheidung zwischen $\|x\|$ und $|x|$ in dem von dir genannten Sinn habe ich noch nirgendwo gesehen. Wer macht diese Unterscheidung? --Digamma (Diskussion) 19:41, 7. Mai 2017 (CEST)

zB in den Videos (Youtube) von Prof.Loviscach (FH Bielefeld) und im verlinkten Artikel Einheitsvektor bzw ausführlicher Norm_(Mathematik) Ra-raisch (Diskussion) 17:20, 8. Mai 2017 (CEST)

Also wie gesagt, in der Mathematik sind Längen und Vektoren ohne Einheiten und aus der Formulierung im Artikel Einheitsvektor darfst du nicht schließen, dass der Einheitsvektor einheitenbehaftet ist. Ob für den Betrag einfache oder doppelte Betragsstriche genommen werden, hat auch nichts mit Einheiten zu tun. Die doppelten Striche nimmt man, wenn man allgemeiner Räume als euklidische Vektorräume hat, nämlich normierte Vektorräume. Der Artikel Vektor bschäftigt sich nur mit Vektoren im euklidischen Raum, deshalb verwendet er einfache Betragsstriche. Der Artikel Einheitsvektor bezieht sich allgmeiner auf beliebige normierte Räume, deshalb verwendet er doppelte Betragsstriche. Auch bei den Videos von Loviscach, die ich mir gerade angeschaut habe, ist alles einheitenlos. Dass er doppelte Striche nimmt und nicht einfache ist einfach eine persönliche Vorliebe von ihm. Er benutzt einfache Striche nur für den Betrag von Zahlen. --Digamma (Diskussion) 17:36, 8. Mai 2017 (CEST)

schade, ich hatte schon auf einen kleinen Unterschied gehofft, zumindest in der Physik. Da stellt sich halt die Frage, ob nun die Einheit wegfällt oder nicht. Anlass war ja ein Physikbuch, das allerdings diverse Fehler enthält, wo der Einheitsvektor â als einheitenlos behandelt wird a¹ = |a|·â, was mir relativ schleierhaft ist, 1 auf der x-Achse ohne Einheiten, wenn die x-Achse doch in m skaliert ist? Ra-raisch (Diskussion) 22:38, 8. Mai 2017 (CEST)

in der Quantenmechanik werden derartige Operatoren schon benützt, aber hier geht es (mir) eben um den Einheitsvektor, egal ob man ihn nun als â oder e_a schreiben will. Ra-raisch (Diskussion) 00:07, 9. Mai 2017 (CEST)

@Digamma : Einheiten hin oder her, das ist nicht der Punkt. Es ist die Frage, ob der Einheitsvektor eine Länge besitzt oder "nur" eine Richtung. Ist also 3â =? â+â+â oder gilt â =? â+â+â. Eine Länge ist gleichbedeutend mit einer Längen-Einheit, egal ob diese m oder kg oder 1 ist. Sofern der Einheitsvektor tatsächlich nur die Richtung ohne Länge aufweisen würde, könnte man eben 3â unterschiedlich interpretieren, 3 als Länge oder 3 als effektloser Multiplikator. Ra-raisch (Diskussion) 12:43, 9. Mai 2017 (CEST)

Der Einheitsvektor besitzt eine Länge, nämlich die Länge 1. Deshalb heißt er ja so. Aber diese Länge ist nur eine Zahl, sie besitzt keine Maßeinheit. Natürlich ist 3â = â+â+â, sonst wäre der Längenvektor kein Vektor. --Digamma (Diskussion) 15:50, 9. Mai 2017 (CEST)

Danke, aber wenn die Länge eine Einheit hat, häufig zB m, dann hat auch der Einheitsvektor diese Einheit, er muss ja die Einheit der Länge haben, wenn er eine Länge hat. Das Ganze mag wie Haare Spalten aussehen, aber ich denke, gerade im Detail liegt die Wahrheit. â=${\vec {a}}$/|a| ist dann falsch, denn der Vektor ${\vec {a}}$ und sein Betrag |a| sind (einheitenbehaftete) Längen und diese Einheiten würden sich ja ebenso wie die Längeneigenschaft wegkürzen, also hätte â zwar eine Richtung und den Pseudowert 1 aber keine Länge. Nach meiner Meinung kann nur wie folgt gerechnet werden: ${\vec {e}}_{a}=e_{1}{\vec {a}}/|a|$ . Ich dachte, dass das gleiche Ergebnis durch die doppelten Betragsstriche bewerkstelligt wird ${\vec {e}}_{a}={\vec {a}}/||a||$ wobei ||a|| eben keine Länge besitzt sondern ein reiner Zahlenwert ist. Ra-raisch (Diskussion) 18:03, 9. Mai 2017 (CEST)

@Ra-raisch: Ich glaube, Du machst den Fehler, dass Du die physikalische Größe Länge mit dem mathematischen Begriff (im Sinne von 2-Norm) gleich setzt. Ich weiß, dass das verwirrend ist und ich selbst verwende das Wort "Länge" daher ausschließlich für die physikalische Größe. Der mathematische Begriff wird von mir mit "Betrag" bezeichnet. Wenn wir eine physikalische Größe nehmen, z. B. die magnetische Flussdichte ${\vec {B}}$, so erhalten wir die Komponenten des Vektors durch $B_{i}={\vec {B}}\cdot {\hat {e}}_{i}$. ${\vec {B}}$ und $B_{i}$ haben nur dann dieselbe Einheit, wenn ${\hat {e}}_{i}$ die Einheit $1$ hat. Ein weiteres Argument: Wenn wir eine Gleichung mit mehreren Größen verschiedener Dimension haben und wenn in dieser Gleichung auch noch Einheitsvektoren auftauchen, dann kann es ja nicht sein, dass der eine Einheitsvektor die Einheit Meter und der andere die Einheit Tesla hat. Langer Rede kurzer Sinn: Einheitsvektoren haben keine Einheit.--Pyrrhocorax (Diskussion) 16:09, 10. Mai 2017 (CEST)

in der Physik ist der Betrag einer Länge (zB [r]=m) auch eine Länge (zB [|r|]=m): $a=|{\vec {a}}|$. Daraus entsteht ja das Problem, dass ${\vec {a}}/|a|$ keine Länge ist sondern nur eine Zahl (Faktor). Wenn aber ein Vektor definiert werden kann als 10 * Einheitsvektor, dann muss der Einheitsvektor auch eine Länge (mit Einheit zB m oder N etc, auch "1") sein/haben, je nach dem Ursprungs-/Ergebnisvektor(!). (im Megnetismus kenne ich mich leider noch nicht so gut aus, ich bleibe lieber bei den anschaulichen Längen, das scheint mir vorerst ausreichend). Wieso soll es für unterschiedliche Dimensionen nicht unterschiedliche Einheitsvektoren geben? Im Grunde ergeben Vektoren sowieso nur in den räumlichen 3 Dimensionen einen Sinn, weil nur hier die Richtung variabel ist (in der SRT natürlich 4 Dimensionen). Alle anderen gerichteten Größen sind in Wahrheit nur in der räumlichen Komponente (also im Raum) gerichtet, etwa die Geschwindigkeit, Kraft etc. Eine "Richtung" zwischen kg und Coulomb wird es nicht geben, zumindest bisher nicht. Wenn der Winkelgeschwindigkeit ω eine Richtung zugeordnet wird, so ist diese ebenfalls eine räumliche, im Grunde ist es ja sowieso der Vektor v, lediglich normiert durch den Radius r, als Pseudovektor kann man aber auch gut mit ω rechnen, genauso wie β=v/c eigentlich lediglich eine Normierung der Geschwindigkeit durch c ist. Wie gesagt, ich schließe die Einheit "1" gar nicht aus, unterscheide sie aber von einem Faktor 1. So tief müssen wir hier aber gar nicht bohren, es geht hier allein um den Einheitsvektor. Wenn er nicht die Dimension/Einheit (Benennung) des Urspungsvektors hätte, wäre er nicht seine Einheit sondern nur noch seine Richtung. Es mag ja sein, dass genau dies oftmals erwünscht ist, es sollte aber nicht Einheitsvektor genannt werden. Wenn es in der Literatur vermischt wird, sollte hier zumindest auf den möglichen Unterschied hingewiesen werden. Ra-raisch (Diskussion) 11:03, 11. Mai 2017 (CEST)

Ich glaube, dass Du Dich da in etwas verrannt hast, aber ich beginne langsam zu verstehen, was Du meinst. Ich versuche mal, Dich zu paraphrasieren. Du meinst, dass es z. B. zur Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ ein Konstrukt gibt, ich schreibe mal $\mathbf {e} _{\vec {v}}$, das folgende Eigenschaften hat: Sein Betrag ist 1 m/s und seine Richtung stimmt mit der von ${\vec {v}}$ überein. Wenn man eine Geschwindigkeit angeben möchte, könnte man dann schreiben ${\vec {v}}=x\cdot \mathbf {e} _{\vec {v}}$. Und dieses Ding würde dann "Einheitsvektor" heißen. Habe ich so richtig wieder gegeben, wie Du Dir den Sachverhalt vorstellst? Leider muss ich Dir mitteilen, dass es so nicht gehandhabt wird. Stattdessen ist der Einheitsvektor <maht>\hat e_v</math> so definiert, dass gilt: ${\vec {v}}=|{\vec {v}}|\cdot {\hat {e}}_{v}$. Dein Satz: "Wenn er nicht die Dimension/Einheit (Benennung) des Urspungsvektors hätte, wäre er nicht seine Einheit sondern nur noch seine Richtung." ist vollkommen richtig: Ja, der Einheitsvektor enthält trotz seines Namens keine Information über die Einheit, sondern nur über die Richtung einer Größe. Das ist auch sinnvoll, denn damit hat eine Geschwindigkeit denselben Einheitsvektor, egal ob sie in m/s, km/h, mph oder Knoten angegeben wird. Mag sein, dass die Bezeichnung "Einheitsvektor" irreführend ist. Vielleicht leitet sich das Wort von der Zahl "eins" ab oder von "einheitlich", jedenfalls nicht von "Maßeinheit". Kennst Du Komponentenschreibweise von Vektoren? Da ist ein Vektor definiert als ${\vec {A}}=\sum _{i=1}^{3}A_{i}{\hat {e}}_{i}$. Das macht mit den Einheiten nur dann einen Sinn, wenn ${\hat {e}}_{i}$ die Einheit 1 hat.--Pyrrhocorax (Diskussion) 10:27, 12. Mai 2017 (CEST)

danke, so wird ein Schuh draus, und ich dachte immer, die Komponenten wären dimensionslos, weil die Dimension im Einheitsvektor steckt. Ok abgehakt, ob man dazu eine Verdeutlichung in den Artikel schreiben sollte? Ich hatte schon diverse Diskussionenen darüber ohne konkretes Ergebnis bisher. Oder an anderer Stelle? Ra-raisch (Diskussion) 13:42, 12. Mai 2017 (CEST)

Ein paar Überlegungen dazu:
Wenn Vektoren eine Dimension hätten, was wäre denn dann die Dimension des Skalarprodukts zweier Vektoren? Des Vektorprodukts? Einer (beliebig komplexen) Kombination von Skalar- und Vektormultiplikationen wie $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {d}})?$Was wäre die Dimension der Rotation eines Vektorfelds? Und wenn Vektoren eine Dimension haben, müssten denn dann nicht Tensoren und andere „höhere“ Konstrukte auch eine Dimension haben?
Und wie komme ich vom Einheitsvektor der Richtung zum Einheitsvektor der Geschwindigkeit? Dividiere ich den Einheitsvektor der Richtung mit Dimension Länge durch die Dimension des Skalars (Zeit) und bekomme einen neuen Einheitsvektor mit gleicher Richtung, aber neuer Dimension Länge pro Zeit? Und habe ich dann zwei Vektoren mit gleicher Länge und gleicher Richtung, die aber nicht identisch sind, weil sie sich in ihrer Dimension unterscheiden?
Ich habe mal gelernt, dass Vektoren keine Dimension haben. Deshalb kann man sie für vereinfachte Rechnungen, bei denen die Richtung nicht interessiert, einfach weglassen. Wenn ich zwei Geschwindigkeiten addiere (natürlich nur im kollinearen Fall so simpel möglich), nehme ich die (dimensionsbehafteten) Skalare, addiere sie und erhalte einen Skalar mit der gleichen Dimension. Wenn die Dimension im (Einheits-)Vektor stecken würde, wo käme sie denn dann bei rein skalarer Rechnung her? Wäre ein (skalarer) Ausdruck wie 5 m/s denn dann nicht von vornherein „systemwidrig“ …?
Grüße, Troubled @sset  ^{Work  •  Talk  •  Mail}   14:48, 12. Mai 2017 (CEST)

ja natürlich ist das so, das Skalarprodukt hat ebenso wie das Vektorprodukt das Produkt der entsprechenden Einheiten (v¹=r¹×ω¨) und die Geschwindigkeit wird genau so durch den Längenvektor geteilt durch die skalare Zeit hergestellt (v¹=r¹/t). Tensoren haben nicht notwendig eine einheitliche Einheit aber das ist anzustreben, indem jedes Glied auf die gleiche Einheit gebracht wird. Bei der Einsteingleichung hat jedes Glied die Einheit 1/m² (was meinst Du, was sonst der Faktor 8pi*G/c^4 darin zu suchen hätte). Aber zurück zu @Pyrrhocorax : @Digamma wird Dir nicht zustimmen, er hat genau die konträgre Antwort gegeben. Gilt denn nun ê+ê=ê oder ê+ê=2ê. Wenn ê keine Länge sondern nur eine Richtung hat, müßte die erste Gleichung gelten und die Abkürzung davon 2ê wäre auslegungsbedürftig, ist die "2" ein reiner Zahlenfaktor (in diesem Fall also ohne Auswirkung) oder ist es eine Länge mit der Dimension "1". Ra-raisch (Diskussion) 21:27, 12. Mai 2017 (CEST)

Ich verstehe nicht, warum Benutzer:Digamma etwas völlig konträres zu mir gesagt haben sollte. Wenn ich ihn richtig verstanden habe, meint er präzise dasselbe wie ich. Ich habe übrigens nie behauptet, dass der Einheitsvektor keine Länge habe. Ich habe gesagt, dass der zu einem Vektor gehörende Einheitsvektor keine Information über dessen Einheit enthalte, wohl aber über seine Richtung. Der Einheitsvektor selbst hat natürlich einen Betrag, und zwar 1. Dieser Betrag ist nicht zu verwechseln mit einem physikalischen Weg. Natürlich ist e+e+e=3e. --Pyrrhocorax (Diskussion) 22:43, 12. Mai 2017 (CEST)

gut, die Länge 1 der Einheit 1 (zB Stückzahl) ist natürlich möglich. Das war eigentlich naheliegend.... danke für die Diskussion. Ich meine, das sollte man aber anstatt "einheitenlos" dann auch in den Artikel schreiben. Aber es ist wohl zu spitzfindig. Ra-raisch (Diskussion) 00:37, 13. Mai 2017 (CEST)

Ra-raisch, der Artikel behandelt zum größten Teil Vektoren in der Mathematik und vor allem im ersten Teil, auf den du dich beziehst, Vektoren in der Geometrie. Vieles davon kann man auf vektorielle Größen in der Physik übertragen, aber nicht alles. Beispielsweise kann man in der Geometrie (und allgemein in Vektorräumen) Vektoren mit Zahlen multiplizieren, aber nicht mit physikalischen Größen (also Zahlen mit Maßeinheiten). Wenn hier also Dinge stehen, die zu Widerprüchen führen oder widersprüchlich erscheinen, wenn man sie auf Vektoren in der Physik anwendet, dann liegt das daran, dass es gar nicht um Vektoren in der Physik geht.

Vieles kann man dennoch übertragen. Am leichtesten geht es, wenn man Maßeinheiten einfach ignoriert. Wenn man vektorielle physikalische Größen mit Maßeinheiten betrachten möchte, dann muss einiges modifiziert werden. Aber das gehört dann nicht in den Geometrieteil oder in den teil "Eigenschaften", sondern in den Teil "Vektoren in der Physik".

Über diesen Teil gab es hier schon längere Diskussionen, siehe Diskussion:Vektor/Archiv/1#Vektoren_und_Einheiten und einiges davon kann hier vielleicht auch erhellend sein, insbesondere das dort erwähnte Kapitel im Lineare-Algebra-Buch von Jänich. --Digamma (Diskussion) 20:28, 14. Mai 2017 (CEST)

im Prinzip ja, aber 1) hier steht nicht "Mahte" im Lemma, 2) es ist bereits in der Einleitung von Physik die Rede und 3) es ist von "dimensionslos" die Rede. Natürlich kann man Probleme mit Dimensionen vermeiden, wenn man die Dimensionen wegläßt, das ist aber nicht das Ziel von Wiki, sondern Probleme zu (er)klären. Ich schaue mir jetzt gerne den Link an. Ich bestehe auch nicht auf einer Änderung, denke aber "Dimension 1" wäre besser als "dimensionslos". Ra-raisch (Diskussion) 22:50, 14. Mai 2017 (CEST)

Zumindest in diesem Artikel Vektor ist nirgendwo von "dimensionslos" die Rede. --Digamma (Diskussion) 06:37, 15. Mai 2017 (CEST)

Komponentenschreibweise

Digamma hat folgenden Post an meine Benutzerdiskussion geschrieben. Ich halte ihn aber für hier besser aufgehoben:

Hallo Pyrrhocorax,

ich verstehe nicht so recht, wofür man diesen Abschnitt braucht. Ich sehe auch gar nicht, warum die Komponentenschreibweise etwas ganz anderes sein soll als die Schreibweise als Spaltenvektoren. Die Komponenten sind doch die Einträge der Spalten. Es ist eine etwas andere Formulierung derselben Aussage, aber eigentlich keine andere Schreibweise.

Ob ich schreibe

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}\end{pmatrix}}$

oder

${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {c}}$ mit $c_{i}=a_{i}+b_{i}$ für $i=1,\dots ,3$

ist doch dasselbe. Beides besagt, dass ${\vec {a}}+{\vec {b}}$ der Vektor ist, dessen Komponenten die Summe der entsprechenden Komponenten von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ sind.

Und in der angegebenen Form funktioniert das nur, wenn die Vektoren als Variable gegeben sind, aber nicht, wenn die Komponenten konkrete Zahlenwerte haben. --Digamma (Diskussion) 19:10, 17. Feb. 2018 (CET)

Natürlich ist der Anfang trivial und scheint überhaupt nichts neues zu bringen. Ich erinnere mich aber daran, wie verwirrend ich als junger Student die Komponenten-Schreibweise in der theoretischen Physik fand (vor allem mit Verwendung der einsteinschen Summenkonvention). Warum sollte $\mathrm {rot} {\vec {A}}$ dasselbe sein wie ${\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$ und das wiederum gleichbedeutend mit $\varepsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}A_{k}$? Der Gag ist, dass man viele Beziehungen für den Vektor als Ganzes formulieren kann oder aber als eine Gleichung für eine einzige Komponente, ohne dass man Informationen verliert. (Der Trick besteht darin, dass man den Index der Komponente zu einem Teil der Rechenoperation macht, z. B. durch Summation oder die verwendung von $\varepsilon _{ijk}$). Natürlich ist das nichts "ganz anderes" wie Du schreibst. Im Gegentei: Es muss äquivalent zu der hier verwendeten Notation sein. Trotzdem halte ich es für wichtig, dass auch die andere Notation zumindest erwähnt wird. --Pyrrhocorax (Diskussion) 21:06, 17. Feb. 2018 (CET)

OK, das geht aber über das, wie Mathematiker üblicherweise die Komponentenschreibweise verwenden (nämlich unter Berufung auf eine Basis und darauf, dass der Index von 1 bis n läuft) hinaus. Hier steht die Komponente stellvertretend für den ganzen Vektor und nicht nur für eine einzelne Komponente. Bist du sicher, dass das in diesen Artikel gehört? Ich kenne das eigentlich nur aus der Tensorrechnung. Und zur Einsteinschen Summenkonvention gibt es einen eigenen Artikel. Aus der von dir eingefügten Tabelle wurde mir nicht so recht klar, was der Sinn sein soll. Jetzt schon eher. --Digamma (Diskussion) 21:18, 17. Feb. 2018 (CET)

Ergänzung: Was du meinst, wird wohl eher als "Indexschreibweise" bezeichnet, vgl. Indexnotation von Tensoren. --Digamma (Diskussion) 21:29, 17. Feb. 2018 (CET)

Alle benannten Größen Vektoren - entfernt

Ich habe folgenden Satz entfernt:

"Auch alle benannten Größen (Zahlenwert mit Einheit, z. B. Längenangaben mit der Einheit Meter; Geldbeträge mit Einheit Euro usw.) sind in diesem Sinn Vektoren. (Dabei kann man durch Übergang zu einer anderen Einheit, z. B. von Euro zu Dollar, zwar die Zahlenwerte verändern; die Vektoren selbst aber bleiben unverändert.)" Es gibt sicherlich (auch traditionell "skalare") Größen für die das zutrifft, aber so allgemein finde ich diese Aussage problematisch, aus mehreren Gründen:

1. Für manche Größen z.B. die Temperatur in Kelvin sind nur positive Werte definiert. Daher kann die Addition keine Gruppe sein.

2. Geschwindigkeiten sind im Betrag durch c beschränkt. Hier ist daher die normale Addition nicht für alle möglichen Werte definiert. Die Verknüpfung gemäß dem Relativistischen Additionstheorem für Geschwindigkeiten hat dieses Problem nicht, ist aber im Allgemeinen weder assoziativ noch kommutativ.

3. Außerhalb der Physik gibt es auch viele Größen, bei denen nur ganze (bzw. natürliche) Werte sinnvoll sind. Hier wird es mit Skalarmultiplikation schwierig.

4. Auch bei Geldbeträgen wird es problematisch, weil man (zumindest nach meinem Verständnis) keine beliebig präzisen Werte und zumindest keine periodischen Dezimalbrüche zulässt. --Letkhfan (Diskussion) 02:43, 2. Jan. 2016 (CET)

"allgemeiner" und "engerer" Sinn

@Digamma: Die von dir wieder zurückgesetzte Charakterisierung der unterschiedlichen Bedeutungen als "allgemeiner" und "engerer" Sinn halte ich für falsch bzw. sie sind zumindest missverständlich: $(2,3,4)\in \mathbb {R} ^{3}$ ist auf jeden Fall ein Tupel von Zahlen aber nicht notwendigerweise ein Vektor im Sinne "Element eines Vektorraumes", denn dafür bräuchte ich Addition, Skalarmultiplikation usw. die "V1-V4" und "S1-S4" erfüllen. Daher sehe ich "Element eines Vektorraumes" im Normalfall als den "engeren" und Tupel von Zahlen als den "allgemeineren" Sinn. Natürlich gibt es auch Funktionenräume usw. die man nicht wirklich gut als Tupel von Zahlen schreiben kann, aber meine Formulierung sollte auch nicht das Gegenteil schreiben, sondern Element eines Vektorraumes als die "eigentliche" (= im engeren, ursprünglicheren Sinn) Bedeutung, und dann Tupel von Zahlen als "weitere" (= zusätzliche) Bedeutung kennzeichnen, ohne zu schreiben, dass etwas "allgmeiner" als das andere ist.--Debenben (Diskussion) 00:04, 19. Feb. 2018 (CET)

Der Artikel behandelt in erster Linie geometrische Vektoren. Diese sind immer Elemente eines Vektorraums. Tupel reeller Zahlen sind nur dann Vektoren, wenn mit ihnen wie mit Vektoren gerechnet wird, d.h., wenn der $\mathbb {R} ^{3}$ als Vektorraum aufgefasst wird. Nur darum geht es in diesem Artikel. Wenn man Tupel reeller Zahlen betrachtet ohne auf diesen eine Addition und Skalarmultiplikation einzuführen, dann sind das auch keine Vektoren, sondern nur Zahlentupel. Alle in dem Artikel betrachtete Vektoren sind also Elemente eines Vektorraums. Die Vektorräume von geometrischen Vektoren bzw. von Zahlentupeln sind spezielle Vektorräume. Wenn man sich auf diese speziellen Vektorräume beschränkt, dann sind das also Vektoren im engeren Sinn.

Die ursprüngliche Bedeutung von "Vektor" ist meiner Meinung nach die geometrische. Die Axiomatisierung von Vektorräumen ist eine Verallgemeinerung davon. --Digamma (Diskussion) 15:00, 19. Feb. 2018 (CET)

Um das noch etwas zu untermauern: Der erste Satz des Abschnitts "n-Tupel und Spaltenvektoren" lautet: "In Verallgemeinerung der Koordinatendarstellung von geometrischen Vektoren werden Elemente von $\mathbb {R} ^{n}$, also $n$-Tupel reeller Zahlen, als Vektoren bezeichnet, wenn mit ihnen die für Vektoren typischen Rechenoperationen Addition und skalare Multiplikation ausgeführt werden." (Hervorhebung von mir) --Digamma (Diskussion) 15:03, 19. Feb. 2018 (CET)

@Digamma: Danke für die Erläuterungen, so kann ich zumindest deine Sichtweise verstehen. Inzwischen glaube ich, dass es besser wäre nicht nur die zwei Worte zu streichen, sondern die missverständliche Einleitung grundsätzlich neu zu schreiben. Schließlich steht nichts von "typischen Rechenoperationen" in der Einleitung und selbst wenn man den Satz hinzufügt braucht man immernoch die Existenz von inversen Elementen usw. Dazu kommt noch die zusätzliche Verwirrung durch "Parallelverschiebung [wird] durch Koordinaten dargestellt", "in der klassischen Physik", "im geometrischen Sinn" und "Koordinatenraum". Gerade die Assoziation mit Koordinaten und mit Ort sind falsch, denn Koordinaten eines Ortes (auf der Erde, auf einer Manigfaltigkeit...), generalisierte Koordinaten oder Zustandsvektoren im klassischen Sinn sind Elemente des $\mathbb {R} ^{n}$ aber keine Elemente eines Vektorraumes, auch wenn es (leider) vorkommt, dass sie als Vektoren bezeichnet werden. Ich habe versucht ein Lexikonartikel zu finden, den man als Inspiration für eine neu formulierte Einleitung nehmen kann aber bisher habe ich nichts brauchbares gefunden. Außerdem sehe ich die Möglichkeit wie in der englischen Wikipedia, einen wohldefinierten Artikel unter dem Lemma Euklidischer Vektor und unter Vektor einen BKL-artigen Übersichtsartikel anzulegen.--Debenben (Diskussion) 03:29, 25. Feb. 2018 (CET)

Bevor ich antworte: Bitte lies dir mal die Diskussion, auch im Archiv, durch. Es gab dazu schon lange Diskussionen und die derzeitige Einleitung ist das Resultat dieser Diskussionen. Koordinaten werden hier nur als Koordinaten von Vektoren bezüglich kartesischer Koordinaten betrachtet. Mit "Koordinatenraum" ist eigentlich der Raum der Spaltenvektoren gemeint, siehe den entsprechenden Artikel Koordinatenraum. Auch dort wurde schon bezweifelt, dass das die adäquate Bezeichnung ist. Nur kenne ich keine bessere. Vielleicht fällt dir ja dazu etwas anderes ein. Von mir aus kann man auch den ganzen Abschnitt über die Tupel bzw. Spaltenvektoren streichen. Dazu gibt es ja schon einen eigenen Artikel. Nur werden dann gleich wieder Stimmen kommen, die das vermissen, weil viele Leute unter "Vektoren" genau solche Spaltenvektoren verstehen. Viele Grüße, --Digamma (Diskussion) 21:08, 25. Feb. 2018 (CET)

Das Ergebnis ist so, dass ich unseren (Physik-) Studenten davon abrate, die Artikel der deutschsprachigen Wikipedia zum Themenumfeld Vektor und Vektorraum konsultieren. Der hiesige Artikel verstärkt nachdrücklich das Pfeilbild und n-Tupeln im Kopf der Leser. Das ist leider nur bis zur Physik des 19. Jahrhunderts tragfähig. Und auch beim Höhepunkt der klassischen Physik war man schon dabei sich von dieser speziellen Klasse von Vektoren zu lösen. Siehe zum Beispiel die von Deneben angesprochenen generalisierten Koordinaten. Damit führt der Artikel Leser in die Irre, die sich genau deshalb mit dem Thema beschäftigen (müssen), weil sie perspektivisch die moderne Physik verstehen wollen. Wobei schon die Formulierungen schon in der Einleitung fehl gehen. Ein Vektor ist in der Physik keine physikalische Größe. Aber das ist nur ein Detail. Das eigentlich Problem besteht in der generellen Ausrichtung des Artikels. Diese beißt sich mit dem generellen Lemma "Vektor". Und nein, der Artikel Vektorraum ist für diese Leserschaft keine angemessene Hilfe, oder Ersatz. Denn er konzentriert sich zu Recht darauf, was ein Vektorraum ist. Weitere Details und Hintergründe dafür sind im Archiv in der Tat lang und ausführlich benannt worden. Es schmerzt, dass diese enzyklopädische Fehlleistung auch nach mehr als zehn Jahren noch besteht.---<)kmk(>- (Diskussion) 21:52, 25. Feb. 2018 (CET)

Dann würde mich mal interessieren, was du deinen Studenten als Lektüre empfiehlst und was deiner Meinung nach ein Vektor ist. --Digamma (Diskussion) 21:49, 26. Feb. 2018 (CET)

@Debenben: Der $\mathbb {R} ^{n}$ als Koordinatenraum für Mannigfaltigkeiten oder generalisierte Koordinaten ist ein Vektorraum. Ohne die Vektorraumstruktur gäbe es keine Differenzierbarkeit. Ohne die Vektorraumstruktur des $\mathbb {R} ^{n}$ gäbe es deshalb auch keine differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, keine Vektor- und Tensorfelder. ("Zustandsvektoren" kenne ich nur aus der Quantenmechanik. Was sind "Zustandsvektoren im klassischen Sinn"? Koordinaten im Zustandsraum? Ich habe noch nie gesehen, dass diese als Vektoren bezeichnet wurden.) --Digamma (Diskussion) 18:56, 28. Feb. 2018 (CET)

@-<)kmk(>-: Ich habe nichts dagegen, wenn dieser Artikel, der zum überwiegenden Teil die Vektoren der Vektorgeometrie behandelt, umbenannt würde, z.B. in Vektor (Geometrie). Dann könnte unter "Vektor" ein neuer Artikel angelegt werden, der das abdeckt, was deiner Meinung nach für die Physik wichtig ist. Falls es danach Überschneidungen gibt, könnte dieser Artikel hier entsprechend gekürzt werden. Ich sehe mich aber nicht in der Lage, so einen Artikel "Vektor" zu schreiben. Wenn jemand anders das tut, werde ich aber gerne mithelfen. --Digamma (Diskussion) 19:28, 28. Feb. 2018 (CET)

@Digamma: Ich habe bisher nicht die Zeit gehabt mich durch die alten Diskussionen zu lesen. Zu obigem Kommentar: $\mathbb {R} ^{n}$ mit geeigneten Koordinaten, Skalarprodukt etc. ist ein Vektorraum. Generalisierte Koordinaten sind aber kein $\mathbb {R} ^{n}$ (Beispiel Doppelpendel: zwei Winkel -> Torus; Beispiel Perle auf endlicher Schnur -> beschränktes Intervall). Wie du wahrscheinlich weißt ist es in dem Fall sogar so, dass es keine Koordinaten gibt die ein Vektorraum oder global differenzierbar wären, aber da einem normalerweise niemand sagt was geeignete Koordinaten sind, muss man davon ausgehen, dass sie beliebig dämlich gewählt sind und damit erst Recht kein Vektorraum. Und noch ein ART-Beispiel: Übliche Raumzeitkoordinaten für ein schwarzes Loch sind kein Vektorraum und die Mannigfaltigkeit lässt sich auch nicht in $\mathbb {R} ^{n}$ einbetten.--Debenben (Diskussion) 20:24, 28. Feb. 2018 (CET)

Ja, dies ist mir alles bekannt. Ich sehe aber nicht, wie der Artikel dem Missverständnis Vorschub leisten würde. Generalisierte Koordinaten sind eine Abbildung von der betrachteten Mannigfaltigkeit in den $\mathbb {R} ^{n}$. Missverständnisse entstehen dadurch, dass nicht zwischen der Mannigfaltigkeit und den Koordinaten unterschieden wird. Verstärkt wird das, wenn kartesische Koordinaten eines Punktes "(Orts-)Vektoren" genannt werden.

Ich ersetze mal die derzeitige Einleitung durch meine ursprüngliche, die meiner Meinung nach etwas weniger widersprüchlich ist. --Digamma (Diskussion) 20:47, 28. Feb. 2018 (CET)

Was die alte Diskussion im Archiv betrifft: Es geht vor allem um diesen Abschnitt. --Digamma (Diskussion) 21:31, 28. Feb. 2018 (CET)

Nochmal zum Begriff "Koordinatenraum": Ich habe ein bisschen gegoogelt und dabei festgestellt, dass Physiker und Mathematiker das Wort verschieden verwenden. Für Physiker ist das anscheinend ein Synonym für "Ortsraum" oder "Konfigurationsraum". Das ist also ein Raum, dessen Punkte durch Koordinaten beschrieben werden (die oben genannten generalisierten Koordinaten). Für Mathematiker ist es aber der Raum der Koordinaten, also die Menge der Zahlentupel (siehe z.B. [1]). In dem oben genannten Beispiel des Doppelpendels ist demnach nach Physikersprechweise der Koordinatenraum (also der Konfigurationsraum) ein Torus. Nach Mathematikersprechweise ist der Koordinatenraum der $\mathbb {R} ^{2}$, die Menge der Zahlenpaare, die benutzt werden, um die Punkte des Konfigurationsraums zu beschreiben. --Digamma (Diskussion) 22:19, 28. Feb. 2018 (CET)

Verstehe ich nicht. Wie du oben schon richtig gesagt hast sind Koordinaten streng genommen Abbildungen in den $\mathbb {R} ^{2}$, was aber nicht heißt, dass man im $\mathbb {R} ^{2}$ als Vektorraum rechnen kann und das Ergebnis dann ein Urbild hat und physikalisch Sinn macht (Paris + Rom = ?). Abgesehen davon ist es solange kein Vektorraum, bis man nicht geschrieben hat wie Addition, Multiplikation und Skalarprodukt definiert sind. Z.B. bei Wahrscheinlichkeitsvektor, Zufallsvektor, Ortsvektor oder der "klassische Zustandsvektor" wie in Zustandsraumdarstellung ist das völlig unklar und manchmal ist (leider) mit "Vektor" einfach ein Tupel von Zahlen gemeint.--Debenben (Diskussion) 22:57, 28. Feb. 2018 (CET)

Das verstehe ich jetzt nicht. Ich habe nicht behauptet, dass sich die Koordinaten (z.B. von der Erdoberfläche in den $\mathbb {R} ^{2}$ mit der Vektorraumstruktur des $\mathbb {R} ^{2}$ vertrage würde. Deshalb kann ich selbstverständlich Orte (Städte) nicht addieren. Ich kann aber Koordinaten addieren und mit Skalaren multiplizieren. Und ich muss auch nicht erst sagen, wie ich das mache, denn die Addition und die skalare Multiplikation im Vektorraum $\mathbb {R} ^{2}$ ist ein für alle mal festgelegt. Wenn ich nur die Orte durch die Koordinaten beschreiben möchte, brauche ich natürlich die Vektorraumstruktur nicht. Wenn ich aber zum Beispiel mit Hilfe der Koordinaten die Geschwindigkeit eines Autos berechnen möchte, das sich auf einer Straße von Rom nach Paris bewegt, dann brauche ich die Vektorraumstruktur, sonst kann ich nicht ableiten.

Wahrscheinlichkeitsvektoren bilden nur eine Teilmenge des Vektorraums, aber man benutzt die Vektorraumstruktur, wenn man sie mit Matrizen (z.B. Übergangsmatrizen multipliziert. Zufallsvektoren bilden natürlich Elemente eines Vektorraums. Man kann sie komponentenweise addieren und mit Zahlen multiplizieren. Natürlich ist das nicht für alle Anwendungen notwendig, aber es ist möglich. Und z.B. wird bei der Definition der Kovarianzmatrix das Skalarprodukt benutzt. Und die Definition des Erwartungswerts benutzt die Vektorraumstruktur. Auch Ortsvektoren sind Vektoren. Es sind keine anderen Vektoren als die hier im Artikel behandelten geometrischen Vektoren, nur eben in ihrer Funktion, einen Ort zu beschreiben. Sonst wäre es ja gar nicht möglich, einen Vektor zu einem Ortsvektor zu addieren um dann einen neuen Ortsvektor zu bekommen. Im Artikel Zustandsraumdarstellung steht:

Der „Zustandsraum“ ist der dem Zustandsvektor ${\underline {x}}(t)$ zugehörige n-dimensionale Vektorraum, in dem sich jeder Zustand als Punkt und jede Zustandsänderung des Übertragungssystems sich als Teil einer Bahnkurve (Trajektorie) darstellt.

Da steht also sehr wohl etwas von einem Vektorraum.

Vielleicht wäre es hilfreich, wenn du mal aufschreiben würdest, wie man deiner Meinung nach den Artikel bzw. seine Einleitung überarbeiten sollte. --Digamma (Diskussion) 12:21, 1. Mär. 2018 (CET)

Das Problem liegt darin, dass von einem euklidischen Raum ausgegangen wird. Wenn der Ort ein Vektor wäre, müsste z.B. (V1) gelten, sprich (Paris + Rom) + Berlin = Paris + (Rom + Berlin). Zumindest in der ART lässt sich da auch nichts hinbiegen sodass das gilt, da Paralleltransport wegabhängig ist. Der Ort an sich hat daher schon keine Vektorraumstruktur. Koordinaten (aus Sicht des Physikers willkürliche Abbildungen "der Realität" oder eines mathematischen Modells der Realität in den $\mathbb {R} ^{n}$) müssen weder differenzierbar noch sonst irgendwas sein. Wenn ich für diese willkürlichen Zahlen eine Addition etc. definiere hat das Ergebnis keine Entsprechung in der Realität oder widerspricht dem, was ich z.B. im euklidischen Raum bei der Addition zweier Vektoren (nicht Koordinaten) erhalten würde. Daher würde man keine solch sinnlose mathematische Operation definieren und damit sind Koordinaten kein Vektorraum. Das gleiche Problem hat der Artikel Zustandsraumdarstellung, insbesondere ist die von dir zitierte Passage nicht allgemeingültig. Zur Erläuterung warum die Ableitung funktioniert schlage ich eine Formulierung vor wie

"Mathematische Realisierungen dynamischer Systeme weisen nicht notwendigerweise einen Zustandsraum auf, der den Anforderungen an einen Vektorraum genügt. Folglich kann nicht angenommen werden, dass die beschreibenden Systemgleichungen grundsätzlich über einem Vektorraum definiert sind. Stattdessen bezeichnet man den Zustandsraum als eine Mannigfaltigkeit ${\mathcal {M}}$, welche zumindest in einer lokalen Umgebung ${\mathcal {U}}_{0}$ dieselben Eigenschaften wie ein Vektorraum aufweist." Torsten Wey: Nichtlineare Regelungssysteme: ein differentialalgebraischer Ansatz. Springer-Verlag, 2002, S. 291 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).  Auch wenn der Zustandsraum nicht die Anforderungen eines Vektorraums genügt, werden Elemente des Zustandsraums als Zustandsvektoren bezeichnet.--Debenben (Diskussion) 23:33, 1. Mär. 2018 (CET)

Debenben, ich stimme dir völlig zu, dass ein Ort kein Vektor ist und der geometrische und der physikalische Raum kein Vektorraum. (Das siehst du z.B. im weitgehend von mir geschriebenen bzw. überarbeiteten Artikel Euklidischer Raum). Und dasselbe gilt natürlich erst recht für die "Punkte" eines Konfigurationsraums, wie z.B. von SO(3) bei der Beschreibung der Lage eines starren Körpers. Aber die Werte der Koordinatenabbildungen liegen im $\mathbb {R} ^{n}$ und der $\mathbb {R} ^{n}$ ist ein Vektorraum mit der komponentenweise Addition und skalaren Multiplikation. Nur muss man eben das Koordinatentupel streng von dem damit bezeichneten Ort unterscheiden. Jedes Analysisbuch betrachtet den $\mathbb {R} ^{n}$ als Vektorraum. Nochmal: Man braucht die Vektorraumstruktur um Differenzierbarkeit und Ableitung zu definieren. Die Ableitung einer Abbildung in einem Punkt ist die Approximation durch eine lineare Abbildung. Das geht nur, wenn der Raum (der Koordinatenraum $\mathbb {R} ^{n}$, nicht die Mannigfaltigkeit des Zustandsraums) eine Vektorraumstruktur hat.

Ich bezweifle, dass die Elemente des Zustandsraum auch dann als Zustandsvektoren bezeichnet werden, wenn der Zustandsraum kein Vektorraum ist. Dafür hätte ich gerne einen Beleg. Falls das tatsächlich so ist, dann gebrauchen hier meiner Meinung nach die Physiker oder Ingenieure die mathematischen Begriffe einfach falsch.

Ich denke (siehe oben), dass unsere Meinungsverschiedenheit auf einem Missverständnis bzw. auf dem unterschiedlichen Gebrauch des Wortes "Koordinatenraum" beruhen. Du meinst damit den Zustandsraum, der eine Mannigfaltigkeit ist, ich meine damit den Raum der Zahlentupel, die benutzt werden, um diese Mannigfaltigkeit mit Koordinaten zu beschreiben. Bei dir umfasst "Koordinatenraum" die Koordinatenabbildungen, bei mir nur die Werte. Zahlentupel kann ich addieren und mit Zahlen mutliplizieren. Mehr ist nicht damit gemeint, wenn ich sage, der Koordinatenraum $\mathbb {R} ^{n}$ sei ein Vektorraum.

Um dieses Missverständnis zu vermeiden, schlage ich vor, die Bezeichnung "Koordinatenraum" für den Raum der Zahlentupel zu vermeiden. --Digamma (Diskussion) 16:57, 5. Mär. 2018 (CET)

@Digamma: Mit Koordinatenraum meine ich nicht die Mannigfaltigkeit sondern auch "den Raum der Zahlentupel, die benutzt werden, um diese Mannigfaltigkeit mit Koordinaten zu beschreiben". Im Gegensatz zu dir meine ich aber nur die Zahlentupel, die auch wirklich benutzt werden und ich schließe alle Zahlentupel, die kein Urbild haben, also durch Umkehrung der Koordinatenabbildung nicht zurück auf die Mannigfaltigkeit bzw. die Realität abgebildet werden können explizit aus. Damit ist die Menge der Koordinaten eine Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$, aber es ist nicht der $\mathbb {R} ^{n}$ sondern im Allgemeinen eine echte Teilmenge z.B. beim Doppelpendel zwei Winkel $\in [0,2\pi )$. Bei Winkeln von $0$ sind die gewählten Koordinaten auch nicht stetig und damit nicht differnzierbar. Wenn ich einfach wie im $\mathbb {R} ^{n}$ addieren würde könnten die Winkel größer als $2\pi$ werden, die Menge der Koordinaten und die übliche Addition ist also keine Gruppe und damit der Koordinatenraum kein Vektorraum. Genauso würde ich auch bei den normierten Wahrscheinlichkeitsvektoren usw. argumentieren, solange nicht dabei steht wie die Mengen und Verknüpfungen usw. zu definieren sind sodass es tatsächlich ein Vektorraum ist.

Für den Zustandsvektor lässt sich leider recht schnell ein trauriges Beispiel finden: Jan Cornelius Schmidt: Instabilität in Natur und Wissenschaft: Eine Wissenschaftsphilosophie der nachmodernen Physik. Walter de Gruyter, 2008, S. 77, Fußnote 3 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).  Die falschen Verwendungen des Begriffs Vektor verdienen zwar keinen eigenen Artikel, aber ich denke man kommt nicht darum herum sie in einem Übersichtsartikel zu erwähnen.--Debenben (Diskussion) 20:56, 5. Mär. 2018 (CET)

Ich sehe, dass wir uns näher kommen. Erstmal danke für den Link. Beim nochmaligen Nachdenken habe ich gemerkt, dass ich mich wohl auch dagegen wehren würde, wenn ein Zahlentupel, das einen Punkt auf einer Mannigfaltigkeit beschreibt, als Vektor bezeichnet wird. Im Artikel ist mit "Koordiantenraum" aber schlicht der $\mathbb {R} ^{n}$, also die Menge aller Zahlentupel gemeint, typischerweise sogar als Spaltenvektor geschrieben. Der Wortbestandteil "Koordinaten" soll sich vermutlich nicht auf Koordinaten von Punkten auf Mannigfaltigkeiten beziehen, sondern auf die Koordinaten eines Vektors (ganz allgemein als Vektorraumelement) bezüglich einer Basis. Ich habe inzwischen in der Einleitung das Wort "Koordinatenraum" durch "„Tupelraum“" ersetzt (in Anführungszeichen, weil das zwar vielleicht selbsterklärend, aber sicher keine übliche Bezeichnung ist). Im Text steht noch "Koordinatenraum", einfach deshalb, weil Benutzer:Quartl den Artikel zum $K^{n}$ so genannt hat. Gibt es eine bessere Bezeichnung?

Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann hat dich nur die Formulierung der (alten) Einleitung gestört, aber nicht die im Text im Abschnit "n-Tupel und Spaltenvektoren".

Dabei zurückkommend auf die Ausgangsfrage, ob es Objekte gibt, die Vektor heißen, aber keine sind, weil sie keinen Vektorraum bilden: In einem Kontext, wo die Vektorraumoperationen keinen Sinn ergeben, würde ich Zahlentupel nicht als Vektoren bezeichnen. (Kann sein, dass ich mir gerade selbst widerspreche.) Auf jeden Fall halte ich die Bezeichnung "Zustandsvektor" in dem Fall, wo der Zustandsraum kein Vektorraum ist (oder zumindest ein affiner Raum, der durch die Einführung eines Ursprungs zum Vektorraum gemacht werden kann) für falsch. --Digamma (Diskussion) 21:14, 5. Mär. 2018 (CET)

Aufspaltung des Artikels - neuer Anlauf

Wenn ich es richtig gelesen habe, war die Grundsätzliche Idee einer Aufspaltung damals hauptsächlich an der Lemmawahl Vektor (Geometrie) oder Euklidischer Vektor gescheitert. Ich würde daher folgenden Vorschlag machen:

• Diesen Artikel auf das Lemma Euklidischer Vektorraum verschieben. Im Gegensatz zu Euklidischer Vektor besteht da keine Gefahr der Begriffsetablierung, es ist analog Vektorraum und man sieht gleich, dass es ein Spezialfall davon ist. Das Lemma ist dann eindeutig und klar definiert, im Gegensatz zu Vektor (Geometrie), womit theoretisch alles mögliche gemeint sein kann.
• Einen neuen Artikel Vektorielle Größe, @Pyrrhocorax: hatte damals schon einen Entwurf Benutzer:Pyrrhocorax/Vektorielle Größe.
• Das Lemma Vektor wird ein Übersichtsartikel über das zugrundeliegende Konzept, der dem Laien die Unterschiede der genauen Definitionen erklärt und auf Vektorraum, Euklidischer Vektor und Vektorielle Größe verweist.

--Debenben (Diskussion) 23:55, 1. Mär. 2018 (CET)

@Debenben: Grundsätzlich Zustimmung zum Vorschlag, den Artikel aufzuspalten. Aber:

Ein euklidischer Vektorraum ist etwas ganz anderes, als was hier beschrieben wird. Ein euklidischer Vektorraum ist ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Die Elemente können aber von ganz verschiedener Art sein, z.B. auch Funktionen.

Ehrlich gesagt weiß ich nicht so recht, was gegen Vektor (Geometrie) spricht. --Digamma (Diskussion) 16:36, 5. Mär. 2018 (CET)

Der Vorteil von euklidischer Vektorraum ist, dass es ein feststehender Begriff ist, der auch anderswo einen eigenen Artikel hat [2]. Gerade weil der aktuelle Artikel z.B. annimmt dass es ein Skalarprodukt und damit auch Längen und Winkel gibt passt er zu dem Lemma. Das Klammerlemma mit Geometrie klingt für mich ehr nach einem Essay über die Wortverwendung in der Geometrie, wobei die Geometrie an sich ein so großes Gebiet ist, dass man nicht wirklich sagen kann, in der Differentialgeometrie, diskreten Geometrie... wäre Vektor ein eigener Begriff, der sich von Element eines Vektorraums unterscheidet.--Debenben (Diskussion) 21:11, 5. Mär. 2018 (CET)

Geometrische Vektoren sind trotzdem nur ein Spezialfall von Vektoren eines euklidischen Vektorraums. Der Begriff des euklidischen Vektorraums ist viel allgemeiner. Hinzu kommt, dass der Begriff nicht so feststehend ist, wie es scheint. Die Autoren sind sich nicht einig, ob euklidische Vektorräume endlichdimensional sein müssen, und auch nicht, ob sie reell sein müssen. (Wenn ich mich nicht irre, gab es dazu eine längere Diskussion auf Diskussion:Prähilbertraum.) Außerdem beschränkt sich der Artikel im geometrischen Teil, da er vom Anschauungsraum ausgeht, explizit auf Dimension 2 und 3.

Wenn der Klammerzusatz "Geometrie" zu allgemein ist, wie wäre es mit "Vektorgeometrie"? Oder ist das zirkulär? Oder "Analytische Geometrie"? --Digamma (Diskussion) 21:29, 5. Mär. 2018 (CET)

@Digamma, Pyrrhocorax, KaiMartin: Ich habe als ersten Schritt mal den Artikel Benutzer:Pyrrhocorax/Vektorielle Größe weitergeschrieben und denke er ist so weit, dass man ihn in den Artikelnamensraum verschieben kann. Bei der Lemmafrage für den geometrischen Vektor würde ich immer noch ehr zu Euklidischer Vektorraum tendieren, aber vielleicht hat ja jemand noch einen besseren Vorschlag. Wirklich überzeugt bin ich inzwischen von keinem der Lemmavorschläge mehr.--Debenben (Diskussion) 23:28, 10. Mär. 2018 (CET)

Koordinat und Komponente

Ich habe die Idee die zwei Begriffe 'Koordinat' und 'Komponente" werden hier als Synonym benutzt. Eigentlich ist doch eine Komponente selbst ein Vektor, und sind die Koordinate die Kenzahlen bezüglich einen Basis. Man kann einen Vektor in seine Komponenten zerlegen, die dann zusammen wieder den Vektor bilden.(vergessen anzumelden) Madyno (Diskussion) 13:37, 14. Dez. 2018 (CET)

Ohne jetzt eine Quelle parat zu haben: Meines Wissens bezeichnen die Mathematiker tatsächlich die Koordinaten bezüglich der Standardbasis (also die Einträge in den Spaltenvektoren) als "Komponenten". Ich müsste aber nochmal nachschauen. --Digamma (Diskussion) 18:39, 14. Dez. 2018 (CET)

Die Logik war immer: der Vektor (1,2,3) in R3 hat Kennzahlen 1,2 und 3. Das sind auch die Koordinaten bezüglich der Standardbasis. Er hat die Komponenten (1,0,0), (0,2,0) und (0,0,3), oder gelegentlich (1,0,1) und (0,2,2). Bezüglich der Basis (1,0,0), (0,2,1) und (0,0,1) hat er die Koordinaten 1, 1 und 2. Madyno (Diskussion) 14:35, 16. Dez. 2018 (CET)

Die Bezeichnung "Kennzahlen" kenne ich im Deutschen nicht. Für mich waren das immer Komponenten. --Digamma (Diskussion) 17:39, 16. Dez. 2018 (CET)

Hast recht, ich habe gesehen dass Komponent gänglich ist für "Kennzahl". Auch im Englisch. Für Komponent einer Kraft wird (auch?) Teilkraft gesagt. (Aber componere zusammenfügen.) Madyno (Diskussion) 17:43, 16. Dez. 2018 (CET)

Zeilen und Spalten

Ein Zeilenvektor $Z$ ist eine $1\times n$-Matrix:

$Z={\begin{pmatrix}z_{11},z_{12},\ldots ,z_{1n}\end{pmatrix}}$

Ein Spaltenvektor $s$ ist eine (korrigiert!) $n\times 1$-Matrix:

$S={\begin{pmatrix}s_{11}\\s_{21}\\\vdots \\s_{n1}\end{pmatrix}}$

oder horizontal geschrieben:

$S={\begin{pmatrix}s_{11},s_{21},\ldots ,s_{n1}\end{pmatrix}}$

Eigentlich sollte mann mit Klammern schreiben:

$Z={\begin{pmatrix}(z_{11}),(z_{12}),\ldots ,(z_{1n})\end{pmatrix}}$

$S={\begin{pmatrix}(s_{11},s_{21},\ldots ,s_{n1})\end{pmatrix}}$

Zb ist

$Z={\begin{pmatrix}(3),(0),\ldots ,(-2)\end{pmatrix}}$

ein Zeilenvektor, und

$S={\begin{pmatrix}(3,0,\ldots ,-2)\end{pmatrix}}$

ein Spaltenvektor.

Dass mann einen Zeilenvektor mal horizontal und einen Spaltenvektor mal vertikal schreibt, ist dabei nicht essentiell, nur eine Art Hilsmittel führ uns Menschen.Madyno (Diskussion) 17:38, 26. Dez. 2021 (CET)

Hmm. Ist das deine Systematik oder hast du dafür eine reputable Belegstelle? Kein Einstein (Diskussion) 20:09, 26. Dez. 2021 (CET)

Na jah, was wäre wohl die mathematische Bedeutung von "unter einander schreiben"? --Madyno (Diskussion) 22:52, 27. Jun. 2022 (CEST)

Ich kann dir nicht folgen. Für dich ist eine Matrix ein Tupel von Tupeln? Aber wenn man das so auffasst, sind dann nicht die inneren Tupel die Zeilen? D.h. die Matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ würde ich als $[[a,b],[c,d]]$ schreiben. Ein Zeilenvektor hat dann die Form $[[a,b,c,...]]$, ein Spaltenvektor die Form $[[a],[b],[c],...]$. Also gerade andersherum als du das schreibst. Aber das sind Konventionen von Computer-Algebra-Systemen und Programmiersprachen, keine mathematischen Konventionen. --Digamma (Diskussion) 20:30, 1. Jul. 2022 (CEST)

Nochmals:

Die matrix ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ kan man entweder aufassen als $((a,b),(c,d))$, oder als $((a,c),(b,d))$.

Die lineare Abbildung $L:V\to W$ hat bzgl der Bases $v_{1},\ldots ,v_{n}$ von $V$ und $w_{1},\ldots ,w_{m}$ von $W$ die $m\times n$-Matrix $A$. Die koefficienten der Bilder $Lv_{1},\ldots ,Lv_{n}$ der Basisvektoren bilden die $n$ Spalten der Matrix $A$:

$Lv_{k}=\sum _{r=1}^{m}c_{kr}w_{r}$

$A_{rk}=c_{kr}$

$A=((c_{11},\ldots ,c_{1m}),\ldots ,(c_{n1},\ldots ,c_{nm}))=c^{T}$

Eine $1\times n$-Matrix $A$ ist also der Zeilenvektor

$A=((A_{11}),\ldots ,(A_{1n}))=((c_{11}),\ldots ,(c_{n1}))=c^{T}$

Und eine $m\times 1$-Matrix $A$ ist der Spaltenvektor

$A=((A_{11},\ldots ,A_{m1}))=((c_{11},\ldots ,c_{1m}))=c^{T}$

Ich hoffe ich habe es jetzt richtig geschrieben.Madyno (Diskussion) 16:11, 6. Jul. 2022 (CEST)

Naja, wenn man Matrizen als Codes für lineare Abbildungen zwischen freien Vektorräumen verstehen will, ist es schon am natürlichsten, eine "Matrix" als (Quellbasisindexmengen-)indizierte Ansammlung von Spaltenvektoren (welche dann obendrein nur endlich viele Einträge ungleich 0 haben dürfen) zu definieren. Wir haben ja, für beliebige Mengen $I$ und $K$-Vektorräume $V$, wegen $F\dashv U$: $\mathrm {Vec} _{K}(F(I),V)\cong \mathrm {Set} (I,U(V))$; im Spezialfall mit $V=F(J)$ für beliebige Mengen $J$ also $\mathrm {Vec} _{K}(F(I),F(J))\cong \mathrm {Set} (I,U(F(J)))$.

Spalten- und Zeilenvektoren (als spezielle Matrizen aufgefasst) sind mit beliebigen Indexmengen dann auch recht verschiedene Dinge: $\mathrm {Vec} _{K}(F(1),F(J))\cong \mathrm {Set} (1,U(F(J)))\cong U(F(J))$ und $\mathrm {Vec} _{K}(F(I),F(1))\cong \mathrm {Set} (I,U(F(1)))\cong \mathrm {Set} (I,U(K))$. --Daniel5Ko (Diskussion) 17:35, 6. Jul. 2022 (CEST)

Richtung und Orientierung

Es ist durchaus üblich, die Orientierung (den "Richtungssinn") als Bestandteil der Richtung aufzufassen. --Digamma (Diskussion) 20:13, 2. Okt. 2022 (CEST) @Larry2718: Könntest du bitte deine Änderungen im Artikel begründen? --Digamma (Diskussion) 21:06, 2. Okt. 2022 (CEST)

Hallo Digamma,

bei meinen Verbesserungen/ Änderungen beziehe ich mich unter anderem auf das Schulbuch: Köhler, Höwelmann, Krämer "Analytische Geometrie in vektorieller Darstellung", Verlag Diesterweg, Frankfurt (Main), 1974. Dort steht auf Seite 2: "Der Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im Raum." Zufrieden bin ich damit nicht, mir wäre lieber: "Eine gerichtete, orientierte Strecke im Raum oder in der Ebene ist ein Vektor." Meiner Meinung nach sollte zur Verdeutlichung der Orientierungsbegriff separat zum Richtungsbegriff verwendet werden. Man zeichnet zuerst eine Strecke (legt die Richtung fest) und trägt dann an einem Ende die Pfeilspitze ein (Orientierung). "Zwei Pfeile heißen äquivalent, wenn sie parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind." Einen Unterschied zwischen "parallel" und "gleich gerichtet" kann ich nicht erkennen.

Zu den "Koordinaten eines Vektors" habe ich mich etwas umgesehen, in der Tat ist diese Formulierung weit verbreitet. Aber wenn man die Koordinaten zweier Punkte subtrahiert, erhält man dann neue Koordinaten?
"Im obigen Beispiel haben $A$ und $A'$ die Koordinaten $A(-6|-1)$ und $A'(1|2)$. Die Koordinaten des Verbindungsvektors ${\vec {v}}={\overrightarrow {AA'}}$ berechnen sich dann wie folgt:

${\vec {v}}={\overrightarrow {AA'}}={\begin{pmatrix}1-(-6)\\2-(-1)\end{pmatrix}}=:{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}$..."
Nun die Frage: was passiert bei dem Punkt (7|3)? Nichts.${\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}$ als Vektor führt nur als Ortsvektor dorthin. Aber "Komponente" ist auch gut, ich ändere das.

Was missfällt: einfach rückgängig machen oder verbessern, damit kann ich gut leben. Weit weniger als 3% meiner Beiträge werden nachbearbeitet.

Viele Grüße an alle und einen geruhsamen Feiertag,

--Larry2718 (Diskussion) 01:59, 3. Okt. 2022 (CEST)

Ich habe gerade meine Literatur nicht zur Hand. Aber es ergibt für mich keinen Sinn, eine Text nur deshalb zu ändern, weil in einem bestimmten Buch andere Formulierungen gewählt werden.

"Einen Unterschied zwischen "parallel" und "gleich gerichtet" kann ich nicht erkennen." Richtung ist nach meinem Verständnis gerade das, was du Orientierung nennst. Eine Strecke wird zu einer "gerichteten Strecke" dadurch, dass man eine Reihenfolge der Endpunkte festlegt, also anschaulich, an welchem Ende sich die Pfeilspitze befindet.

"Zu den "Koordinaten eines Vektors" habe ich mich etwas umgesehen, in der Tat ist diese Formulierung weit verbreitet. Aber wenn man die Koordinaten zweier Punkte subtrahiert, erhält man dann neue Koordinaten?"

Ja, dann erhält man Koordinaten eines Vektors. Der Unterschied ist nicht, dass das eine Koordinaten wären und das andere nicht, sondern dass das eine Koordinaten von Punkten sind und das andere Koordinaten eines Vektors.

Zu "Komponente": Weiter oben auf dieser Seite gibt es eine Diskussion darüber mit dem Tenor, dass die Komponenten eines Vektors keine Zahlen, sondern selbst Vektoren seien. Das ist die Sicht der Physiker. Also vielleicht doch nicht so gut, auch wenn Mathematiker die Koordinaten des Vektors als Komponenten bezeichnen.

Grüße, --Digamma (Diskussion) 09:26, 3. Okt. 2022 (CEST)

Lineare Abhängigkeit

Seit dem 06. Februar wurde dieser Abschnitt erheblich vergrößert. Ich kann die Erweiterungen nicht nachvollziehen, bin aber auch kein Mathematiker. Vielleicht liegt es ja nur an meiner mangelnden Fachkenntnis und es kann mich jemand aufklären. Konkret:

1. Eingefügt wurde die Bedingung $m\geq 0$. Was soll diese Einschränkung? Seit wann kann eine Anzahl negativ sein? Nur wenn sie es sein könnte,wäre die Einschränkung sinnvoll.
2. Zitat: "$m=0$: Es handelt es sich um die leere Menge $\emptyset$. Sie ist linear unabhängig, weil eine leere Summe $\textstyle \sum _{i=1}^{0}{\vec {v}}_{i}$ von Vektoren stets gleich ${\vec {0}}$ gesetzt wird, erzeugt den Nullraum $\{{\vec {0}}\}$ und ist daher auch dessen (einzige) Basis." Zunächst ist die Satzkonstruktion zwar grammatikalisch richtig, aber nahezu unlesbar, weil der Nebensatz (beginnend mit "weil") die Aufzählung des Hauptsatzes durchbricht. Stilistisch besser wären da zwei oder drei Sätze statt des einen. Außerdem habe ich Zweifel, ob die Summe so geschrieben werden darf (mit der Indizierung beginnend bei i=1 bis i=0). Im verlinkten Artikel wird das nicht so gemacht. Schließlich stoße ich mich an der Sinnhaftigkeit der Aussage. Was fängt man damit an, wenn man sagt, dass eine Menge von keinen Vektoren auch keine Vektoren enthält, die linear abhängig sind?
3. Zitat: "Das gilt auch für die beiden obigen Fälle $m\leq 1$, wenn man wieder beachtet, dass leere Summen nach Definition verschwinden sowie, dass aus Falschem Beliebiges folgt." Der Satz davor beginnt mit "Im Falle der linearen Abhängigkeit ..." Zuvor wurde aber ausdrücklich gesagt, dass für $m\leq 1$ Lineare Unabhängigkeit gilt. Wieso sollte man eine Aussage auf Fälle ausdehnen, die die Voraussetzung der Aussage ausdrücklich nicht erfüllen? Und dann hilft auch nicht die kryptische Begründung mit der Nullsumme und "aus Falschem folgt Beliebiges".

Ich sehe ein, dass es in der Mathematik manchmal sinnvoll ist, Definitionen per Konvention auf Fälle auszudehnen, für die diese Definition ursprünglich nicht gedacht war, um Fallunterscheidungen zu vermeiden. (Mir fällt beispielsweise $0!=1$ ein). Vielleicht ist das mit der linearen Abhängigkeit hier ja auch so. Aber kann man das dann nicht auch so schreiben? Vorschlag: Zurücksetzen auf die Version vom 05. Februar 2023. Meinetwegen kann man dann ja noch die Ergänzung hinzufügen: "Die leere Menge ($m=0$) kann als linear unabhängig angesehen werden." Falls es dafür eine Begründung bedarf, als Anmerkung oder Einzelnachweis.--Pyrrhocorax (Diskussion) 08:58, 7. Feb. 2023 (CET)

Ich habe das mal zurückgesetzt mit dem Hinweis (@SeemameeS:), das hier zu diskutieren. Das wurde wohl aufgebläht, um zu begründen, dass es sinnvoll sei, die Definition auf die leere Menge auszudehnen. Aber für solche Begründungen ist natürlich nicht der Artikel, sondern die Diskussionsseite der richtige Ort. --Digamma (Diskussion) 10:35, 7. Feb. 2023 (CET)

Von allen hier vorgebrachten Gegenargumenten kann ich nur zwei akzeptieren:

• Erstens kann man die Bedingung $m\geq 0$ gerne ersatzlos streichen (ich habe sie nur aus dieser zurückgesetzten Bearbeitung übernommen).
• Zweitens kann man meine Formulierungen gerne stilistisch verbessern (diesbezügliche Mängel sind wohl einem vielleicht unangebrachten Streben nach Kürze geschuldet).

Alle anderen Einwendungen gehen aus meiner Sicht ins Leere, vor allem die Fachliches betreffenden. Akzeptieren könnte ich allerdings noch zwei weitere, die jedoch gar nicht vorgetragen wurden:

• Die Inhalte meines Vorschlages sind unbelegt (das ließe sich jedoch leicht beheben, fast jedes (Lineare-)Algebra-Lehrbuch könnte da dienen).
• Weil dieser Artikel (wie schon in seiner Einleitung betont wird) einen eher elementaren (schulischen, exemplarischen, geometrischen, anwendungsorientierten, …) Charakter haben soll, wären die neuen Inhalte thematisch sicherlich besser in Artikeln wie Vektorraum, Lineare Unabhängigkeit, Linearkombination, … aufgehoben (ich habe sie hier nur eingestellt, weil ich damit Digammas Rücksetzungsbegründung in der Zusammenfassungszeile implizit widersprechen wollte).

Alles in allem habe ich keine Lust, meinen Kompromissvorschlag hier gegen großteils mir fachlich absurd erscheinende Einwände zeitaufwändig zu verteidigen (vielleicht will das ja der unangemeldet editierende Benutzer versuchen?). Wie schon der Beginn „Vielleicht ist das ein akzeptabler Kompromiss“ meiner Zusammenfassungszeile zeigt, bin ich nicht böse, wenn mein Vorschlag keine Akzeptanz findet. Fachlich ist er völlig korrekt, wie eigentlich jeder Mathematikstudent nach ein paar Semestern bestätigen können sollte (und wie natürlich auch ganz leicht belegbar wäre, aber darum geht es euch ja nicht). Wenn andere Gründe dagegen sprechen (einige habe ich oben selbst genannt), dann bleibt es halt beim Alten mit allen aus den alten Zusätzen $m\geq 1$ und $m>1$ resultierenden Mängeln.

Die Änderung von 84.153.57.53 war jedenfalls aus meiner Sicht grundsätzlich in Ordnung. Ich kann mir daher vorstellen, dass diese Version (vielleicht ohne den kritisierten Zusatz $m\geq 0$) jetzt Gefallen findet, falls die Gründe für die Rücksetzung mittlerweile ausgeräumt sein sollten. Das würde ich sogar meiner Version vorziehen, wie oben schon zwischen den Zeilen angedeutet.

Gruß, --SeemameeS (Diskussion) 17:42, 7. Feb. 2023 (CET)

Warum denn gleich so empfindlich? Dass ich die Sinnhaftigkeit Deiner Änderungen anzweifle bedeutet ja nicht, dass sie nicht sinnvoll sind. Ich lasse mich durch gute Argumente gerne überzeugen, und ich habe ja auch eingeräumt, dass ich keinesfalls ein Fachmann bin. An Deinen Einfügungen stieß mir vor allem auf, dass sie plötzlich viel prominenter wirkten als die Inhalte, die in 90% der Anwendungen eine Rolle spielen. Und damit gehen meine Überlegungen sehr wohl in die Richtung Deines zweiten Arguments. Was die Belege anbetrifft: Auch das stimmt, aber ich habe die Erfahrung gemacht, dass die Frage nach Belegen oft die Diskussion in eine falsche Richtung lenkt, denn statt Sachargumente auszutauschen, wird dann bloß noch darüber diskutiert, ob eine Quelle nun reputabel genug ist, um als Beleg herangezogen werden zu dürfen.

Ich finde es übrigens nicht besonders hilfreich, dass Du von vorneherein eine Diskussion ablehnst und Argumente "nicht akzeptieren kannst". Überzeuge mich doch davon, dass Deine Inhalte nicht nur richtig sind, sondern es auch verdient haben, im Artikel zu stehen. Ich meine das ernst! Dann bin ich gerne bereit, gemeinsam mit Dir nach Formulierungen zu suchen, die nützlicher sind als diese: "... wenn man wieder beachtet, dass leere Summen nach Definition verschwinden sowie, dass aus Falschem Beliebiges folgt" --Pyrrhocorax (Diskussion) 18:44, 7. Feb. 2023 (CET)

Einschub: Es tut mir Leid, wenn meine Antwort von dir als „empfindlich“ wahrgenommen wurde, das Gegenteil war von mir beabsichtigt. Vermutlich geht es dir dabei vor allem um eine Formulierung, die ich erst beim Nachlesen auch als „unglücklich formuliert“ erkenne und die ich daher jetzt gestrichen habe. Zum Rest Deiner Replik möchte ich nur festhalten, dass ich keineswegs – wie du schreibst – eine Diskussion ablehne: Ihr könnt natürlich bei Bedarf gerne darüber diskutieren, aber ich sehe für mich keinen Bedarf, mich daran weiter zu beteiligen – das wird mir mir ja wohl zugestanden werden: Ich habe, wie meiner Editfrequenz leicht entnehmbar ist, nur ein sehr beschränktes Zeitbudget für Wikipedia. Das bedeutet aber unter anderem, dass ich mir sinnlos erscheinenden Diskussionen nicht zur Verfügung stehen kann/will. Ich fordere ja auch überhaupt nichts, daher fühle ich mich zu Unrecht von dir „angegriffen“, es wird ganz einfach auch ohne meine weitere Beteiligung gehen müssen. Wenn mir ein Anliegen wichtig genug ist, dann werde ich auch entsprechend viel Zeit aufwenden, um ihm zum Durchbruch zu verhelfen. Hier ist das ganz eindeutig nicht der Fall. Natürlich habe ich gewisse Präferenzen, aber die habe ich wohl schon hinreichend klar zum Ausdruck gebracht. Ich hoffe natürlich, dass sie zum Tragen kommen, verlasse mich aber in dieser Hinsicht auf die weiteren Entwicklungen zu den fraglichen Punkten. Und falls ich damit zu optimistisch gewesen sein sollte, dann wäre es auch kein großes Malheur für mich: Ich könnte unzählige Beispiele anderer Artikel anführen, wo Analoges mit aus meiner Sicht weitaus drastischeren Folgen verhindert wurde – It’s a Wiki ;-)!
Gruß, --SeemameeS (Diskussion) 01:36, 8. Feb. 2023 (CET)

Du hast sehr viel Worte (und Zeit! aufgewendet, um zu sagen, dass Du keine Zeit hast. Schade. --Pyrrhocorax (Diskussion) 07:28, 8. Feb. 2023 (CET)

SeemameeS hat doch bereits deutlich gemacht, dass seine Version mit den vielen Erklärungen ihm nicht besonders verteidigenswert scheint, und er meine (ggf. ohne "$m\geq 0$") vom Ende des 5. Februars bevorzugen würde.

Wenn es jemanden gibt, der Argumente hat, warum die Einschränkungen nötig sind, immer her. Am besten mit schlauen Quellen.

Ansonsten gilt ja folgendes: Eine $I$-indizierte Familie von Vektoren aus dem $K$-Vektorraum $V$ kann man ja einfach als Funktion $M\colon I\to |V|$ sehen.

Solche Funktionen entsprechen eineindeutig linearen Abbildungen ${\hat {M}}\colon F(I)\to V$, die $I$-Tupel von Skalaren $(a_{i})_{i\in I}$, in denen nur endlich viele Einträge ungleich 0 sein dürfen, auf $\sum _{i\in I}a_{i}\cdot M(i)$ abbilden. Diese Entsprechung ist etwas sehr natürliches und ein hauptsächlicher Bestandteil der "free-forgetful-adjunction" zwischen dem Vergissfunktor $|-|\colon \mathbf {Vec} _{K}\to \mathbf {Set}$ und seinem linksadjungierten $F\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Vec} _{K}$, der freie Vektorräume kreiert. Mit der richtigen Definition ohne Einschränkungen an $I$ (die modern und weit verbreitet ist; In Jänichs "Lineare Algebra" steht es wahrscheinlich schon immer so drin; tatsächlich sehe ich es gerade in der 8. Auflage vor mir) ist "$M$ ist linear unabhängig" offensichtlich, ja eigentlich beinahe buchstäblich, äquivalent zu "${\hat {M}}$ hat Kern $\{0\}$" und nicht ganz so offensichtlich zu "${\hat {M}}$ ist injektiv". Letzteres ist auch etwas ganz natürliches und simples.

Im Spezialfall, dass $V=F(I)$ und $I$ endlich, kann man $M$ als (Familie der Spalten einer) quadratische(n) Matrix sehen. $M$ als Familie ist dann linear unabhängig gdw. $M$ als Matrix regulär ist. Selbstverständlich auch bei $0\times 0$- und $1\times 1$-Matrizen.

Ach ja, und natürlich ist "$M$ ist nicht linear unabhängig" ebenfalls ohne Einschränkungen an $I$ äquivalent zu "einer der Vektoren in $M$ lässt sich als Linearkombination der anderen darstellen". Man verstehe "Linearkombinationen" richtig, habe ein wenig Logikverständnis und beweise es einfach.

(Keine dieser Bemerkungen soll in den Artikel. Die überflüssigen Einschränkungen aber hinaus.) --79.217.57.107 00:21, 8. Feb. 2023 (CET)

Eigentlich wollte ich fragen ..., ach egal. Vergiss es! --Pyrrhocorax (Diskussion) 07:29, 8. Feb. 2023 (CET)

Unverständlich.

Wie dem auch sei: Da nun nach langer Zeit immer noch kein Argument von Digamma kam, habe ich mal etwas neues gebastelt,

• wieder ohne überflüssige Einschränkungen,
• ohne anscheinend unerwünschte längliche Betrachtung von Fällen,
• mit einer etwas stärkeren Aussage, als vorher vorhanden war,
• mit einer Quelle.

Falls noch jemand denkt, die entfernten Einschränkungen wären nötig, schaue er sich z.B. entsprechendes in mathlib an. Da insbesondere die Definition linear_independent und den Satz linear_independent_iff_not_mem_span.

--79.217.55.24 22:44, 8. Feb. 2023 (CET)

"ich habe sie hier nur eingestellt, weil ich damit Digammas Rücksetzungsbegründung in der Zusammenfassungszeile implizit widersprechen wollte"

Dafür ist die Diskussionsseite da. Ich lasse mich immer gerne überzeugen. Aber wenn eine IP so eine Änderung einfügt mit im Wesentlichen dem Kommentar, die bisherige Fassung sei falsch (ich weiß, das trifft es nicht ganz), dann ist es i.a. sehr wahrscheinlich, dass die Änderung falsch ist. Deshalb der reflexhafte Revert. Ich gebe allerdings zu, ich hätte gleich eine Einladung für die Diskussionsseite mitschicken können. --Digamma (Diskussion) 22:57, 9. Feb. 2023 (CET)

Es schien mir nicht nötig, wegen dieser mir eher als Kleinigkeit erscheinenden Änderung ein großes Fass auf der Diskussionsseite aufzumachen, daher gleich mein Kompromissvorschlag direkt im Artikel mit einer ausführlichen Zusammenfassungszeile. Dass diese Änderung solche Wellen schlägt, hätte ich nie gedacht und lässt mich auch jetzt noch verwundert zurück (aber so kann man sich eben manchmal täuschen …). Vielen Dank jedenfalls für Deine Rückmeldung! Hoffentlich kommt ihr relativ rasch und problemlos zu einer Einigung, meinen Standpunkt habe ich ja sicherlich schon hinreichend klar dargestellt (jede der bisher gelöschten oder ungesichteten Varianten halte ich für besser als die Altversion), sodass ich mich nicht weiter zu beteiligen brauche. Der angesichts des Eröffnungsbeitrags dieses Abschnitts vorhersehbare Aufwand erscheint mir ganz einfach unverhältnismäßig groß zu sein.
Gruß, --SeemameeS (Diskussion) 09:07, 10. Feb. 2023 (CET)

Nicht zu sehr verwundert sein! Ich hoffe, du nimmst dieses Ereignis nicht als Anlass, der WP wieder den Rücken zu kehren oder eine vergleichbare Dummheit anzustellen! ^^ --79.217.55.66 01:55, 11. Feb. 2023 (CET)

Gut, dann kannst du ja sichten, nachdem du dir vielleicht kurz Gedanken gemacht hast, ob die Entfernung der Betrachtung des Falls $m=1$ gut war. Gründe meinerserseits waren jedenfalls: 1) Der Fall ergibt sich bei Verwendung der richtigen Definitionen automatisch; 2) Wenn wir alle $m\in \mathbb {N}$ zulassen, ist eine Betrachtung des Falls $m=1$ und eine Nichtbetrachtung des Falls $m=0$ sehr sehr seltsam. Eine Hinzufügung einer expliziten Fallbetrachtung für $m=0$ würde aber wieder ungefähr einen Apparat wie von SeemameeS eingefügt ergeben, worüber sich Pyrrhocorax aufgeregt hat. (Und ich bin ohne so einen Apparat auch viel zufriedener) --79.217.54.82 00:44, 10. Feb. 2023 (CET)

Ich finde die aktuelle Fassung sehr gut. m=1 ist trivial und muss nicht extra besprochen werden. m=0 ist "komisch". Warum sollte man betonen, dass eine Eigenschaft, die für Vektoren definiert wurde, nicht gegeben ist, wenn keine Vektoren da sind? (... ganz platt gesprochen). BTW: Mein Kommentar "Eigentlich wollte ich fragen ..., ach egal. Vergiss es!" bezog sich auf den längeren Diskussionsabschnitt von Dir, den ich (als Nicht-Mathematiker) komplett nicht verstehe, und es wirkte auf mich ehrlich gesagt wie: "Ich zeige Dir mal, wie schlau ich bin und wie dumm Du bist. Ob das zur Artikelverbesserung beiträgt, ist mir sch...egal." Vielleicht war es nicht so gemeint, deswegen "Schwamm drüber", aber als Tipp: Es war schon immer besser, auf seinen Diskussionspartner einzugehen, als über ihn hinwegzureden. Herzliche Grüße! --Pyrrhocorax (Diskussion) 08:26, 10. Feb. 2023 (CET)

Danke. --79.217.55.66 01:55, 11. Feb. 2023 (CET)

Sorry, ich hatte nicht die Zeit, mich intensiver hiermit zu befassen. Ich habe mich aber inzwischen überzeugen lassen, dass die leere Menge linear unabhängig ist. Das hier ist aber kein Artikel über lineare Algebra, sondern über Vektorgeometrie, und da ist die Frage, ob die leere Menge linear abhängig oder unabhängig ist, ziemlich wenig relevant. Hier bezieht sich "linear unabhängig" und "linear abhängig" auf endliche Folgen von Vektoren. Ich habe zwar schon oft Folgen der Länge 0 in Arbeiten aus der Logik, der Mengenlehre oder der Informatik gesehen, im größten Teil der Mathematik spielen sie aber keine Rolle. Hier auch nicht. Der Zusatz (m > 1) sollte hier gar nicht als Einschränkung zu verstehen sein, sondern als Deklaration der Variablen m. Hier könnte auch stehen $m\in \mathbb {N}$, wenn man mit $\mathbb {N}$ die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null meint. Dass die leere Menge linear unabhängig ist (und damit eine Basis des trivialen Vektorraums, der nur den Nullvektor enthält, ist) ist sicher interessant. Das gehört aber nicht in diesen Artikel, sondern in den Artikel Lineare Unabhängigkeit. Der Fall m= 1 hingegen, ist zwar einfach, aber dennoch wichtig genug, dass es sinnvoll ist, ihn extra zu betrachten. (nicht signierter Beitrag von Digamma (Diskussion | Beiträge) 22:09, 10. Feb. 2023 (CET))

Bitte. --79.217.55.66 01:55, 11. Feb. 2023 (CET)