Diskussion:Zykloide

Kleine Bemerkung zur Aussage "Anschaulich gesprochen bewegt sich ein Punkt auf einem Reifen eines fahrenden Fahrrades (näherungsweise das Ventil) auf einer gewöhnlichen Zykloide." Eine bessere Näherungskurve würde (anstelle des Ventils) ein Steinchen liefern, das in einer Rille der Lauffläche des Reifens eingeklemmt ist. --Yakob (Diskussion) 14:56, 5. Aug. 2023 (CEST)

Warum wird r als der Radius des Dreiecks bezeichnet? Es ist doch der Radius des Kreises, der abgerollt wird. Um was für ein Dreieck könnte es sich handeln und inwiefern kann man einem Dreieck einen Radius zuordnen.

Wäre es nicht geschickter statt dem Wälzwinkel t die Parameter folgendermaßen zu wählen? t: Zeit und $\omega$:Winkelgeschwindigkeit. Das bisherige t müsste dann ersetzt werden durch $\omega \cdot$t.

Es mag zwar für einen Naturwissenschaftler nicht so wichtig sein, aber bei der Tautochronen steht folgendes: griech: tauto: das Gleiche da aber tauto von to auto (das Selbe) kommt, ist diese Übersetzung wahrscheinlich falsch. gleich heißt im Griechischen isos.

Zu "Wälzwinkel" versus "Zeit und Winkelgeschwindigkeit"

Ob der Buchstabe t für den Wälzwinkel gut gewählt ist, darüber kann man geteilter Meinung sein. Ich bevorzuge für Winkel griechische Buchstaben, in diesem Fall z. B. φ. Statt des Wälzwinkels jedoch das Produkt von Zeit und Winkelgeschwindigkeit zu verwenden macht keinen Sinn. Trochoiden gehören in den Bereich der Kinematik, die geometrisch bedingte Bewegungen zwischen Körpern beschreibt - unabhängig von der Zeit. Nur wenn Kräfte berechnet werden sollen, muss die Zeit (zusammen mit Massen etc.) berücksichtigt werden. Hierzu isd dann ein Wechsel von der kinematischen Betrachtung zur kinetischen oder dynamischen Berechnung notwendig, das ist hier aber nicht der Fall.

Zu "Wichtigste Erkenntnisse seit dem 16. Jahrhundert"

Warum soll eine chronologische Aufzählung als Fließtext besser sein?

Mir ist aufgefallen, da ich gerade eine Seminararbeit über Blaise Pascal verfasse, dass hier steht, Newton hätte im Jahr 1658 ein Preisausschreiben über Zykloide veranstaltet. Da war er aber doch gerade mal 15 bzw. 16 Jahre alt. Laut meinen Quellen hat nämlich Blaise Pascal dieses Preisausschreiben veranstaltet und danach seine Ergebnisse präsentiert. -- Krisch24 (14:44, 24. Aug. 2010 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Das ist richtig. Unter dem Pseudonym Amos Dettonville veröffentlichte Pascal eine mathematische Herausforderung, in der er Preise für die Lösung diverser Probleme auslobte. Zu diesen Problemen gehörten die Berechnung der Fläche und des Schwerpunkts eines beliebigen Segments der Zykloide. Er berechnete auch das Volumen und die Oberfläche des Festkörpers, der durch Rotation der Zykloide um die x-Achse entsteht. Ich suche noch ein entsprechendes Buchzitat und werde den Text dann entsprechend korrigieren. --Physikaficionado (Diskussion) 15:02, 25. Jun. 2024 (CEST)

zum Abschnitt "Epi- und Hypozykloide": Beinhaltet die Epizyklentheorie Pseudoepizyklen?

Die in diesem Abschnitt definierten Epizyklen ordnen je Kreisumlauf jedem im Kreismittelpunkt beginnenden (mathematischen) Strahl genau einen Punkt zu; sie bilden keine "Schleifen" und erklären insbesondere die Schleifen von Planetenbahnen (entgegen der Behauptung im Text) nicht. - Die im Wikipedia-Artikel "Epizykeltheorie" aufgeführten "Epizykloide" wiederum erklären zwar das Phänomen, entstehen aber nicht durch von AUSSEN auf einem Kreis abrollenden Kreise, wie die Definition in diesem Wikipedia-Artikel oder auch im Wikipedia-Artikel "Epizykloide" vorgibt. - Wer kann diesen Widerspruch auflösen? --Psychironiker 12:35, 23. Sep. 2010 (CEST)

Die x-Koordinate der Parameterdarstellung

Die x-Koordinate der Parameterdarstellung lautet, laut Artikel:

$x=r(t-\sin(t))$

Dieser Wert scheint richtig, da auch die verlinkte Webseite der TFH Berlin diesen so angibt.

Dabei ist jedoch zu beachten, dass die dortige Zykloide durch das Abrollen eines Kreises unterhalb der x-Achse entstanden ist! Dadurch ergeben sich für das Abrollen nacht rechts (in positive Richtung) auch positive Winkel (mathematischer Drehsinn!). Die dort angegebene x-Koordinate nimmt also für positive $t$ positive Werte an.

In diesem Artikel wird - gemäß den vielen Bildchen in Eigenschaften der Zykloide - der Kreis jedoch oberhalb der x-Achse abgerollt. Demnach ergibt ein Abrollen in positive Richtung negative Winkel! Setzt man nun umgekehrt negative Winkel in die Parameterdarstellung ein, so müsste die x-Koordinate positive Werte annehmen, tut dies aber nicht, da für diese Art des Abrollens oberhalb der x-Achse folgende Parameterdarstellung gilt:

$x=r(sin(t)-t)$

Das mag pedantisch erscheinen, die jetzte Parametrisierung stimmt aber nicht mit den Bildern überein!

Die Herleitung auf vistecprivat.de macht den gleichen Fehler und die Herleitung auf kugelbahn.info lässt den Kreis nicht bei x = 0 starten, sodass beide Seiten nicht als Referenz für das beschriebene Problem dienen können. Einzig die Seite der TFH Berlin liegt korrekt, definiert aber, wie bereits erwähnt, die Abrollbewegung unterhalb der x-Achse.

Sollte meine Ausführung auf Verständnis stoßen, sollte(n) entweder die Parametrisierung oder die Bildchen geändert werden.

Da jedoch auch andere Mathematik-Seiten diese Paramterisierung angeben (bei Abrollen unterhalb der x-Achse!), sollten wohl lieber die Bilder geändert werden (Wobei dann natürlich auch noch die y-Koordinate ins Negative abgeändert werden müsste).

Mfg--mausfunktion 20:36, 29. Sep. 2010 (CEST)

Nein, das passt schon. Die Gleichungen stimmen genau mit der Animation in der Einleitung überein. Der Webseite der TFH Berlin unterscheidet sich nur im Vorzeichen von y. -- HilberTraum (Diskussion) 16:07, 4. Jul. 2012 (CEST)

Spezialfälle Epizykloide

k=1/4

k=4

Die Behauptung, dass sich im Spezialfall k = 4 (k gleich Außenradius durch Innenradius) der Epizykloide ein gerundetes Kreuz ergibt, ist für mich nicht nachvollziehbar. Ist hier vielleicht k = 1/4 gemeint? --94.216.207.144 17:06, 22. Okt. 2017 (CEST)

Das war in der Tat nicht richtig, k=4 ergibt so etwas wie zwei miteinader verdrahtete Spiralen and k=1/4 ergibt etwas, das man mit viel Fantasie vielleicht als (gedrehtes) gerundetes Kreuz auffassen könnte. Aber ich denke die Lösschung war wohl die beste Lösung.--Kmhkmh (Diskussion) 14:44, 24. Okt. 2017 (CEST)

Das Missverständnis kommt wohl von den unglücklichen Bezeichnungen $r_{i}$ (innerer Radius) und $r_{a}$ (äußerer Radius), die für Epi- und Hypozykloiden verwendet werden. Vielleicht sollte man eher vom Radius des festen und vom Radius des bewegten Kreises sprechen. --94.216.67.131 15:12, 24. Okt. 2017 (CEST)

+1: Das „innen“ und „außen“ hat mich auch verwirrt, zumal in den Bildern weiter oben das umgekehrte Verhältnis verwendet wird. -- HilberTraum (d, m) 20:06, 24. Okt. 2017 (CEST)

Überarbeitung

@V.Jäkel: Gibt es irgendeinen Grund aus dem die Formeln mit dem ggt gestrichen wurden? Außerdem wird bei statischen Grafiken das svg-Format bevorzugt.--Kmhkmh (Diskussion) 07:22, 20. Dez. 2018 (CET)

Die Anzahl der Spitzen lässt wird nun in mit dem Satz "Die Anzahl an Spitzen während einer Periode ist identisch mit der Zahl $i_{Z}$." ermittelt. Das macht die zweite Gleichungen überflüssig. Die Anzahl der Schleifen ist identisch mit der Anzahl an Spitzen. Diese Aussage werde ich in einer Überarbeitung des Abschnitts zu den Hypotrochoiden erwähnen, den ich vorbereitet, aber noch nicht eingefügt habe. --V.Jäkel (Diskussion) 12:09, 20. Dez. 2018 (CET)

Die Zahl $i_{Z}$ ist anhand der augenblicklichen Darstellung nicht eindeutig, da die Darstellung als Bruch nicht eindeutig ist. Das lässt sich natürlich beheben indem man die Bezeichnung teilerfremd ergänzt, aber auch dann ist Lesern unter Umständen die konkrete Berechnung trotzdem nicht klar, daher sollten mMn. in der endgültigen Überarbeitung die Formeln auf alle Fälle wieder angegeben werden.--Kmhkmh (Diskussion) 12:56, 20. Dez. 2018 (CET)

Die Kritik, dass die Darstellung des Übersetzungsverhältnisses als Bruch nur aus Sicht der Getriebetechnik eindeutig ist, mathematisch aber nicht, ist berechtigt. Dazu beigetragen habe ich wohl, indem ich die getriebetechnische und die mathematische Bezeichnung durch einen Klammerausdruck nebeneinander stehen lassen will. Das Dilemma ist, das Zykloiden aus beiden Sichten beschrieben werden können und in einem allgemeinen Artikel beide Sichten in Einklang zu bringen sind. Ich habe durch das Einfügen des Begriffs "gekürzter Bruch" hoffentlich die mathematische Eindeutigkeit hergestellt. Zu den Formeln selbst: Schon im Absatz "Spezial Fälle" diesr Diskussion wurden die unglücklichen Bezeichnungen $r_{i}$ (innerer Radius) und $r_{a}$ (äußerer Radius) moniert. Da die erste der beiden Gleichungen für Epizykloiden falsch ist, wenn das umlaufende Rad einen größeren Radius als das feststehende hat, muss die erste Gleichung entfallen. Die zweite Gleichung kann so umgeschrieben werden, dass sie kein Anlass für Kritik darstellt. Aus meiner Sicht (der getriebetechnischen) verkompliziert sie aber das Grundverständnis für die Formenvielfalt der Trochoiden, das aus dem Übersetzungsverhältnis ableitbar ist und müsste um eine weitere Formel für die Berechnung des Nenners der gekürzten Bruchs ergänzt werden. Wenn die Einlassung des "gekürzten Bruchs" aus mathematischer Sicht nicht ausreichend ist, kann ich das machen.--V.Jäkel (Diskussion) 13:33, 21. Dez. 2018 (CET)

Noch einmal zu den Bruchdarstellung, auch die Beschreibung als gekürzter Bruch ist problematisch, weil auch diese Darstellung je nach Lesart nicht eindeutig ist. Etwas genauer ausgedrückt benötigt man einen maximal oder vollständig gekürzten Bruch, was sich aber etwas einfacher, wie oben erwöhnt, als teilerfremder Bruch ausdrücken lässt.

Zu den Formeln, die erste Formel erscheint in der Tat etwas unklar (oder eventuell auch falsch) wenn der abrollende Kreis der größere ist. Das hängt wohl auch davon ab, was genau man unter einer Schleife in diesem Fall verstehen will. In der (mathematischen) Literatur habe ich dazu leider auf die Schnelle leider nichts finden können. Die Formeln gehen ursprünglich auf @NobbiP: zurück, der ist noch aktiv. Vielleicht hat der ja eine Literaturstelle parat oder will sich dazu äußern.

Auf jeden Fall würde ich für die Fälle in denen Formel korrekt, diese auch angeben, weil das für Laien (insbesondere auch Schüler), meist handlicher ist. Bei den verwendeten Bezeichnungen bzw. Variablen, die vorher scheinbar einige verwirrt hatten, kann man sich ja an Hlberts Vorschlag weiter oben orientieren.--Kmhkmh (Diskussion) 17:56, 21. Dez. 2018 (CET)

Hallo, ja die Formeln hatte ich damals angegeben - war wohl etwas laienhaft, sorry wenn es da jetzt Missverständnisse gibt. Und nein, als reiner Laie habe ich da keine Literatur oder ähnliches. Ich freue mich wenn dort Fehler aufgezeigt und korrigiert werden. Das Thema ist komplexer als es mir schien. Grüßle, NobbiP Diskussion 21:40, 21. Dez. 2018 (CET)

ok, dann würde ich vorschlagen nur die zweite Formel anzugeben, bei der der abrollende Kreis den kleineren Radius besitzt und die Bedeutung von Schleife intuitiv klar ist.--Kmhkmh (Diskussion) 00:37, 22. Dez. 2018 (CET)

Die von mir angefügten Gleichungen mit dem GGT gelten für alle Epi-, Peri- und Hypotrochoicden, wie jeder anhand von Animatonen (siehe auch Weblinks) überprüfen kann.--V.Jäkel (Diskussion) 13:46, 24. Dez. 2018 (CET)

Trochoide

"Eine Trochoide entsteht, wenn auch die Leitkurve ein Kreis ist" Dies widerspricht der Definition dass eine Trochoide auch durch ein abrollenden Kreis auf einer Graden entsteht. https://en.wikipedia.org/wiki/Trochoid https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/zykloide/11974 Die Zykloide ist der Sonderfall der Trochoide wenn der Punkt auf dem Kreisradius des abrollenden Kreises liegt.

• Trochoid: generalization of a cycloid in which the point tracing the curve may be inside the rolling circle (curtate) or outside (prolate). (von https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid)

--2A01:C23:843D:A800:1C5C:23B4:FB5C:BC57 00:50, 21. Jan. 2023 (CET)