In der Saison 2018/19 holte Bury drei Siege im Slavic Cup und einen zweiten Platz und erreichte damit zum Saisonende den zweiten Platz in der Gesamtwertung. Bei den U23-Weltmeisterschaften 2019 in Lahti kam er auf den 40. Platz im Sprint, auf den 19. Rang über 15 km Freistil und auf den 18. Platz im 30-km-Massenstartrennen. Beim Saisonhöhepunkt den Nordischen Skiweltmeisterschaften 2019 in Seefeld in Tirol lief er auf den 62. Platz über 15 km klassisch, auf den 47. Rang im Sprint und auf den 18. Platz zusammen mit Maciej Staręga im Teamsprint. Außerdem siegte er bei den polnischen Meisterschaften 2019 über 15 km Freistil und 30 km klassisch. Zu Beginn der Saison 2019/20 holte er beim Ruka Triple, das er auf dem 46. Platz beendete, mit dem 19. Platz in der Verfolgung seine ersten Weltcuppunkte. Es folgte der 24. Platz bei der Tour de Ski 2019/20 und Siege beim Slavic Cup in Zakopane über 15 km klassisch und in Štrbské Pleso im Sprint. Zudem gewann er den Bieg Piastów über 50 km klassisch und errang zum Saisonende den sechsten Platz in der Gesamtwertung des Slavic Cups. In der folgenden Saison errang er den 51. Platz beim Ruka Triple und beim Slavic Cup in Zakopane den zweiten Platz im 30-km-Massenstartrennen. Seine besten Resultate bei den Nordischen Skiweltmeisterschaften 2021 in Oberstdorf waren der 32. Platz über 15 km Freistil und der zehnte Rang zusammen mit Maciej Staręga im Teamsprint. Bei den polnischen Meisterschaften 2021 in Zakopane gewann er über 10 km Freistil, 30 km Freistil, 15 km klassisch und zusammen mit seinen Bruder Kamil Bury im Teamsprint jeweils Gold.
In der Saison 2021/22 gewann Bury mit drei Siegen bei Rennen beim Slavic Cup, die zugleich zur polnischen Meisterschaften gehörten, die Gesamtwertung. Die Tour de Ski 2021/22 beendete er auf dem 31. Platz. Beim Saisonhöhepunkt, den Olympischen Winterspielen 2022 in Peking, belegte er den 30. Platz im 50-km-Massenstartrennen, den 27. Rang über 15 km klassisch und den 26. Platz im Skiathlon.
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