Formelsammlung Analysis

Folgen und Reihen

Arithmetische und geometrische Folgen

Arithmetische Folge

$a_{n+1}-a_{n}=d\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} n$

$a_{n}={\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}+a_{n+1})$

$\,a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

Geometrische Folge

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} n,q\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$

$a_{n}={\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}$

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$

Grenzwerte: Definition (Folgen)

• Die Folge $(a_{n})$ heißt Nullfolge, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ eine Nummer $n_{0}$ gibt, sodass für alle Folgeglieder mit höherer Nummer, also $n>n_{0}$ gilt:

$\,|a_{n}|<\epsilon$

• Eine Folge $(a_{n})$ hat den Grenzwert a, wenn die Folge $(a_{n}-a)$ den Grenzwert 0 hat.
• Folgen ohne Grenzwert heißen divergent.
• Eine Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl $K>0$ gibt, sodass $|f_{n}|<K$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt.

Grenzwertsätze (Folgen)

Hat die Folge $(a_{n})$ den Grenzwert a, die Folge $(b_{n})$ den Grenzwert b, so gilt:

• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=a\pm b$
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=a\cdot b$
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}\qquad b\not =0$

Funktionen (formale Eigenschaften)

Grenzwerte von Funktionen

• [Definition, Eigenschaften, Grenzwertsätze analog]

Regel von de L’Hospital

Sei $f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}.$

Voraussetzungen:

• Es gibt eine Stelle $a$, sodass $u(a)$ und $v(a)$ entweder Null sind oder bestimmt divergieren
• $u$ und $v$ sind in einer Umgebung von $a$ differenzierbar
• Der Grenzwert $\lim _{x\to a}{\frac {u'(x)}{v'(x)}}$ existiert.

Dann gilt:

$\lim _{x\to a}{\frac {u(x)}{v(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {u'(x)}{v'(x)}}$

Einseitige Grenzwerte

Die Funktion $f\colon X\to \mathbb {R} \;$ hat für $x\to p+$ den Limes $L\;$, wenn es zu jedem (noch so kleinen) $\varepsilon >0\;$ ein $\delta >0\;$ gibt, sodass für alle $x\;$-Werte aus dem Definitionsbereich $X\;$ von $f\;$, die der Bedingung $0<x-p<\delta \;$ genügen, auch $|f(x)-L|<\varepsilon \;$ gilt.

In diesem Falle nennt man den Grenzwert $\lim _{x\to p+}f(x):=L$ konvergent.

Stetigkeit

Eine Funktion $f$ heißt an einer Stelle $x_{0}$ stetig, wenn der Grenzwert von $f$ für $x$ gegen $x_{0}$ existiert und mit dem Funktionswert $f(x_{0})$ übereinstimmt

$f(x_{0})=\lim _{h\to 0}f(x_{0}+h)=\lim _{h\to 0}f(x_{0}-h)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)$

• Epsilon-Delta-Kriterium:$f\colon D\to \mathbb {R}$ ist stetig in $x_{0}\in D$, wenn
  zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x\in D$ mit $|x-x_{0}|<\delta$ gilt: $|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$.
• Folgenkriterium: $f\colon D\to \mathbb {R}$ ist stetig in $x_{0}\in D$, wenn für jede Folge $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ mit Elementen $x_{k}\in D$, die gegen $x_{0}$ konvergiert, auch $f(x_{k})$ gegen $f(x_{0})$ konvergiert.

Grundlegendes

Zwischenwertsatz

Eine im Intervall $[a,b]$ ($a<b$) stetige Funktion $f$ nimmt jeden Funktionswert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ mindestens einmal an.

Spezialfall: Nullstellensatz

Eine in $I$ stetige Funktion, bei der $f(a)$ und $f(b)$ verschiedene Vorzeichen haben, hat dort mindestens eine Nullstelle.

Extremwertsatz

Eine in einem Intervall stetige Funktion hat dort stets einen größten und einen kleinsten Funktionswert.

Mittelwertsatz

Es sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ ($a<b$) stetig und differenzierbar. Dann gibt es mindestens ein $x_{0}\in (a,b)$, so dass

$f'\left(x_{0}\right)={\frac {f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}}$

gilt.

Differentialrechnung

Differenzierbarkeit: Definitionen

Eine Funktion $f$ ist genau dann differenzierbar an einer Stelle $x_{0}$ ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_{0}$.

Geometrisches: Tangenten

Tangentengleichung zu $f$ im Punkt $P(x_{0}|f(x_{0}))$

$y=f'(x_{0})\!\,(x-x_{0})+f(x_{0})$

Normale (Senkrechte)

$y={\frac {-1}{f'(x_{0})}}(x-x_{0})+f(x_{0})$

Ableitungsregeln

Konstante Funktion

$\left(a\right)'=0$

Faktorregel

$(a\cdot f)'=a\cdot f'$

Summenregel

$\left(g\pm h\right)'=g'\pm h'$

Produktregel

$(g\cdot h)'=g'\cdot h+g\cdot h'$

Quotientenregel

$\left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'\cdot h-g\cdot h'}{h^{2}}}$

Potenzregel

$\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$

Kettenregel

$(g\circ h)'(x)=(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Ableitung der Potenzfunktion $f(x)=g(x)^{h(x)}$

$f'(x)=\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)g(x)^{h(x)}$.

Leibnizsche Regel

Die Ableitung $n$-ter Ordnung für ein Produkt aus zwei $n$-fach differenzierbaren Funktionen $f$ und $g$ ergibt sich aus

$(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}$.

Die hier auftretenden Ausdrücke der Form ${\tbinom {n}{k}}$ sind Binomialkoeffizienten.

Formel von Faà di Bruno

Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der $n$-ten Ableitung der Komposition zweier $n$-fach differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.

Ableitungen wichtiger Funktionen

siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Geometrische Anwendungen: Eigenschaften von Kurven (Kurvendiskussion)

Betrachtet wird $f\colon x\mapsto f(x)$

Untersuchungsaspekt	Kriterium
Nullstelle	$f(x_{N})=0\,$
Extremwert	$f'(x_{E})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{E})\neq 0$
Minimum	$f'(x_{E})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{E})>0$
Maximum	$f'(x_{E})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{E})<0$
Wendepunkt	$f''(x_{W})=0\quad {\text{und}}\quad f'''(x_{W})\neq 0$
Sattelpunkt	$f'(x_{W})=0\quad {\text{und}}\quad f''(x_{W})=0\quad {\text{und}}\quad f'''(x_{W})\neq 0$
Verhalten im Unendlichen	$\lim _{x\to \infty }f(x)\quad {\text{und}}\quad \lim _{x\to -\infty }f(x)$
Symmetrie
Achsensymmetrie zur Koordinatenachse („gerade“)	$f(x)=f(-x)\,$
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung („ungerade“)	$-f(x)=f(-x)\,$
Monotonie
monoton steigend bzw. streng monoton steigend	$f'(x)\geq 0\quad {\text{bzw.}}\quad f'(x)>0\,$
monoton fallend bzw. streng monoton fallend	$f'(x)\leq 0\quad {\text{und}}\quad f'(x)<0$
Krümmung
Linkskrümmung/Konvexbogen (nach oben offen)	$f''(x)\geq 0\,$
Rechtskrümmung/Konkavbogen (nach unten offen)	$f''(x)\leq 0\,$
Periodizität	$f(x+p)=f(x)\,$

Gebrochenrationale Funktionen

Funktionsterm:

$f(x)={\frac {a_{z}x^{z}+a_{z-1}x^{z-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{z}(x)}{Q_{n}(x)}}$

• Einteilung
  • Ist das Nennerpolynom $Q_{n}$ vom Grad 0 (also n = 0 und b₀ ≠ 0) und ist $P_{z}$ nicht das Nullpolynom, so spricht man von einer ganzrationalen oder einer Polynomfunktion.
  • Ist n > 0 , so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.
  • Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
  • Ist n > 0 und z ≥ n, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden.
• Definitionsbereich
  • $\mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \lbrace x_{0}\mid Q_{n}(x_{0})=0\rbrace$
• Asymptotisches Verhalten: Für $x\to \infty$ strebt $f(x)$
  • [falls $z>n$] gegen $\operatorname {sgn}(a_{z})\cdot \operatorname {sgn}(b_{n})\cdot \infty$, wobei sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet.
  • [falls $z=n$] gegen ${\tfrac {a_{z}}{b_{n}}}$
  • [falls $z<n$] gegen 0 (die x-Achse)
• Symmetrie
  • Sind $P_{z}$ und $Q_{n}$ beide gerade oder beide ungerade, so ist $f$ gerade (symmetrisch zur y-Achse).
  • Ist $P_{z}$ gerade und $Q_{n}$ ungerade, so ist $f$ ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung); Gleiches gilt, wenn $P_{z}$ ungerade und $Q_{n}$ gerade ist.
• Polstellen: $x_{p}$ heißt Polstelle von $f$, wenn
  • $Q_{n}(x_{p})=0\quad {\text{und}}\quad P_{z}(x_{p})\neq 0.$
• Asymptoten: Mittels Polynomdivision von $p$ durch $q$ erhält man $p=g\cdot q+r$ mit Polynomen $g$ und $r$, wobei der Grad von $r$ kleiner als der von $q$ ist. Das asymptotische Verhalten von $f={\tfrac {p}{q}}=g+{\tfrac {r}{q}}$ ist damit durch die ganzrationale Funktion $g$ bestimmt:
  • $[z<n]\,$ x-Achse ist Asymptote: $g(x)=0$
  • $[z=n]\,$ waagerechte Asymptote: $g(x)={\frac {a_{z}}{b_{n}}}$
  • $[z=n+1]\,$ schräge Asymptote: $g(x)=mx+c\,;m\neq 0$
  • $[z>n+1]\,$ ganzrationale Näherungsfunktion

Integralrechnung

Flächenberechnung

Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) im Intervall von a bis b ist

• $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\geq 0\forall x\in [a,b]$
• $-\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\leq 0\forall x\in [a,b]$
• Andernfalls ist das Intervall durch Bestimmung der Nullstellen in solche Teilintervalle zu zerlegen.

Eigenschaften des bestimmten Integrals

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\mathrm {d} x$

$\int _{a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=0$

$\int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\mathrm {d} x,\qquad a<b<c$

$\int _{a}^{b}k\cdot f(x)\mathrm {d} x=k\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

$\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$

Integralfunktion und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Integralfunktion

$F_{a}(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t$

Hauptsatz der Infinitesimalrechnung

$F_{a}(x)'=f(x)\,$

Stammfunktion

Jede Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$, wenn für alle x des Definitionsbereichs gilt

$F'(x)=f(x)\,$

Dies bezeichnet der Ausdruck $\int f(x)\mathrm {d} x$

Integration

Ist F irgendeine Stammfunktion von f, so gilt

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$

Spezielle Stammfunktionen

Die Stammfunktionen von $f(x)=x^{n}$ sind

$F(x)={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c,\qquad n\not =-1$

Alles weitere siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Integrationsmethoden

Produkt-, Teil- oder partielle Integration

• unbestimmt

  $\int f(x)g'(x)\mathrm {d} x=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x$

  $\int f(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x=f(x)\cdot G(x)-\int f'(x)\cdot G(x)\mathrm {d} x$

• bestimmt

  $\int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\mathrm {d} x=[f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x$

Integration durch Substitution

• unbestimmt

  $\int f(x)\mathrm {d} x=\int f(\varphi (t))\varphi '(t)\mathrm {d} t$

• bestimmt

  $\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\mathrm {d} t=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\mathrm {d} x$

• Spezialfall: lineare Substitution

  $\int f(mx+n)\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}F(mx+n)+C,\qquad m\neq 0$

  $\int _{a}^{b}f(mx+n)\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}\lbrack F(mx+n)\rbrack _{a}^{b},\qquad m\neq 0$

• Spezialfall: logarithmische Integration

  $\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}\mathrm {d} x=\ln |f(x)|+C,\qquad f(x)\neq 0$

Angewandtes

Volumenbestimmung

• Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a,b]

  $\pi \cdot \int _{a}^{b}f^{2}(x)\mathrm {d} x$

• Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen der umkehrbaren Funktion f und der y-Achse im Intervall [a,b]

  $\pi \cdot \int _{f(a)}^{f(b)}(f^{-1}(y))^{2}\mathrm {d} y$

• Volumen des Körpers, der bei y-Rotation der Fläche, welche durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], der x-Achse und den beiden Geraden $x=a$ und $x=b$ begrenzt wird, entsteht

  $2\pi \cdot \int _{a}^{b}(x\cdot f(x))\mathrm {d} x$

Guldinsche Regeln

$M$ Oberflächeninhalt

$V$ Volumen

$L$ Länge der erzeugenden Linie (Profillinie)

$A$ Flächeninhalt der erzeugenden Fläche

$R$ Radius des Schwerpunktkreises

Erste Regel

$M=L\cdot 2\pi R$

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion f(x) der erzeugenden Linie ergibt sich dies als:

• bei Rotation um die x-Achse

  $M=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x.$

• bei Rotation um die y-Achse

  $M=2\pi \int _{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))}f^{-1}(y){\sqrt {1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^{2}}}\mathrm {d} y.$

Zweite Regel

$V=A\cdot 2\pi R.$

Im Fall der Rotation um die x-Achse einer Fläche zwischen $f(x)$, der x-Achse und den Grenzen $x=a$ und $x=b$ ergibt sich das Volumen ausgedrückt durch $f(x)$ mit $R$ als Flächenschwerpunkt zu

$V=A\cdot 2\pi {\tfrac {1}{A}}\int _{A}y\mathrm {d} A=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(x))^{2}\mathrm {d} x$

mit $y={\tfrac {f(x)}{2}}$ und $\mathrm {d} A=f(x)\mathrm {d} x.$

Weiteres

• Ist f auf [a,b] stetig, so heißt ${\bar {m}}$ der Mittelwert der Funktionswerte von f auf $[a,b]$

  ${\bar {m}}={\frac {1}{b-a}}\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

• Länge des Bogens der differenzierbaren Funktion f im Intervall [a,b]:

  $L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\mathrm {d} x$

Näherungsweises Berechnen von Integralen: Numerische Integration

• Zerlegungssummen

  $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx hf(x_{1})+hf(x_{2})+\cdots +hf(x_{n})\qquad {\text{mit }}h={\frac {b-a}{n}}$

• Keplersche Fassregel

  $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {1}{6}}\cdot \left(f(a)+4\cdot f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)$

• Trapezregel
  • Sehnentrapez

  $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {f(b)+f(a)}{2}}\cdot (b-a)$

  $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{2n}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+\cdots +2f(x_{n-1}+f(x_{n})\right)$

  • Tangententrapez

  $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{2}}\cdot {\frac {b-a}{2}}$

• Simpsonregel

  $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)$

  $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6n}}\cdot \left(f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots f(x_{n})\right)$

Quellen

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4.