Hardy-Littlewood-Maximalfunktion

In der Mathematik ist die Hardy-Littlewood-Maximalfunktion ein wichtiger nichtlinearer Operator, der in der reellen Analysis und der harmonischen Analyse verwendet wird. Sie stellt eine der zentralen Anwendungen des Interpolationssatzes von Marcinkiewicz dar.

Definition

Sei $f\in L_{}^{1}(\mathbb {R} ^{N})$, dann definiert man die Hardy-Littlewood-Maximalfunktion $Mf\colon \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R}$ durch

$Mf(x):=\sup _{\delta >0}{\frac {1}{|B_{\delta }(x)|}}\int \limits _{B_{\delta }(x)}|f(y)|dy$,

wobei $|B_{\delta }(x)|$ das $N$-dimensionale Volumen der Kugel $B_{\delta }(x)$ um $x$ mit Radius $\delta$ bezeichnet.

Eigenschaften

• Die Menge $A_{Mf}(t):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}\colon Mf(x)>t\right\}$ ist offen. Das ergibt sich aus der Absolutstetigkeit des Integrals.
• $Mf$ ist sublinear, das heißt $M(f+g)(x)\leq Mf(x)+Mg(x)$.
• Ist $f\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})$ eine wesentlich beschränkte Funktion, so gilt $Mf(x)\leqslant \|f\|_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})}$, das heißt $\operatorname {Mf} \in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})$.
• Die Funktion $Mf\colon \mathbb {R} ^{N}\rightarrow [0,\infty ]$ ist messbar ($Mf$ ist punktweise das Supremum von stetigen Funktionen), das heißt $Mf\in M(\mathbb {R} ^{N})$.

Schwache L¹-Abschätzung der Maximalfunktion

Für $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{N})$ und $t>0$ gilt:

$\lambda _{Mf}(t)=\left|\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:Mf(x)>t\right\}\right|\leqslant C(N){\frac {\|f\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}}{t}}$

mit einer nur von $N$ abhängigen Konstanten $C=C(N)$.

Es ist zu beachten, dass $c(N)=b(N)$ und $c$ somit eine Besicovitch-Konstante ist.

L^p-Abschätzung der Maximalfunktion

Für $1<p<\infty$ und $f\in L^{P}(\mathbb {R} ^{N})$ gilt

$\|Mf\|_{L^{P}(\mathbb {R} ^{N})}\leqslant C(n,p)\|f\|_{L^{P}(\mathbb {R} ^{N})}$

Literatur

• Elias M. Stein and Rami Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press 2005, ISBN 0-691-11386-6
• Elias M. Stein: Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton University Press 1971
• Kinnunen J. The hardy-littlewood maximal function of a sobolev function. Isr. J. Math. 100, Seite 117–124, 1997