Higgs-Bündel

In der Mathematik sind Higgs-Bündel ein Hilfsmittel in der Darstellungstheorie von Flächengruppen und Fundamentalgruppen komplexer Mannigfaltigkeiten. Sie wurden von Nigel Hitchin eingeführt und wegen der Analogie zu Higgs-Bosonen nach Peter Higgs benannt.

Definition

Ein Higgs-Bündel ist ein Paar $(V,\phi )$ bestehend aus einem holomorphen Vektorbündel $V$ über einer Riemannschen Fläche $\Sigma$ und einem Higgs-Feld, d. h. einer $\operatorname {End} (V)$-wertigen holomorphen 1-Form $\phi$.

Stabilität, Polystabilität

Ein Higgs-Bündel $(V,\phi )$ heißt stabil, wenn für alle $\phi$-invarianten holomorphen Unterbündel $W\subset V$ die Ungleichung

${\frac {\deg(W)}{\operatorname {rank} (W)}}<{\frac {\deg(V)}{\operatorname {rank} (V)}}$

gilt. Hierbei bezeichnet $\operatorname {deg}$ den Grad eines Vektorbündels und $\operatorname {rank}$ seinen Rang, also die Dimension seiner Fasern. (Man beachte, dass die Ungleichung nur für $\phi$-invariante Unterbündel gelten soll, ein stabiles Higgs-Bündel also nicht notwendig ein stabiles Vektorbündel sein muss.)

Ein Higgs-Bündel $(V,\phi )$ heißt polystabil, wenn es eine direkte Summe

$(V,\phi )=\bigoplus _{i=1}^{l}(V_{i},\phi _{i})$

stabiler Higgs-Bündel mit

${\frac {\deg(V_{i})}{\operatorname {rank} (V_{i})}}={\frac {\deg(V)}{\operatorname {rank} (V)}}$

für $i=1,\ldots ,l$ ist.

Darstellungstheorie

Aufbauend auf Resultaten von Corlette und Donaldson bewiesen Hitchin und Simpson die folgenden Äquivalenzen für Riemannsche Flächen $\Sigma$:

$\left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Stabile}}\ {\mbox{Higgs-Bündel}}\\(V,\Phi )\ {\mbox{über}}\ \Sigma \end{array}}\right\}=\left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Irreduzible}}\ {\mbox{Darstellungen}}\\\rho \colon \pi _{1}\Sigma \to GL(n,\mathbb {C} )\end{array}}\right\}$

$\left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Polystabile}}\ {\mbox{Higgs-Bündel}}\\(V,\Phi )\ {\mbox{über}}\ \Sigma \end{array}}\right\}=\left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Reduktive}}\ {\mbox{Darstellungen}}\\\rho \colon \pi _{1}\Sigma \to GL(n,\mathbb {C} )\end{array}}\right\}$

Höherdimensionale Verallgemeinerung

Über höherdimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten $X$ definiert man ein Higgs-Bündel als ein Paar $(V,\phi )$ aus einem holomorphen Vektorbündel $V$ über $X$ und einer $\operatorname {End} (V)$-wertigen holomorphen 1-Form $\phi$, die die Gleichung $\phi \wedge \phi =0$ erfüllt.

(Im Falle Riemannscher Flächen ist diese Gleichung trivialerweise erfüllt.)

Prinzipalbündel

Sei $X$ eine kompakte Riemannsche Fläche mit kanonischem Linienbündel $K\simeq T^{*}X$, und sei $G$ eine reelle reduktive Lie-Gruppe mit einer maximal kompakten Untergruppe $H\subset G$. Sei $H^{\mathbb {C} }$ die Komplexifizierung und ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak {m}}^{\mathbb {C} }$ die Komplexifizierung einer Cartan-Zerlegung. Die von der adjungierten Darstellung induzierte Isotropie-Darstellung $\sigma \colon H^{\mathbb {C} }\to GL({\mathfrak {m}}^{\mathbb {C} })$ ist holomorph und hängt nicht von der gewählten Cartan-Zerlegung ab.

Ein $G$-Higgs-Bündel $(E,\phi )$ ist ein holomorphes $H^{\mathbb {C} }$-Prinzipalbündel $E\to X$ mit einem holomorphen Schnitt $\phi$ des Vektorbündels $(E\times _{\sigma }{\mathfrak {m}}^{\mathbb {C} })\otimes K\to X$.

Der Schnitt $\phi$ wird als Higgs-Feld bezeichnet.

Zwei Higgs-Bündel $(E,\phi )$ und $(E^{\prime },\phi ^{\prime })$ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von Prinzipalbündeln $E\simeq E^{\prime }$ gibt, so dass der induzierte Isomorphismus $(E\times _{\sigma }{\mathfrak {m}}^{\mathbb {C} })\otimes K\simeq (E^{\prime }\times _{\sigma }{\mathfrak {m}}^{\mathbb {C} })\otimes K$ den Schnitt $\phi$ auf $\phi ^{\prime }$ abbildet.

Ein Higgs-Bündel heißt stabil, wenn für jedes $\phi$-invariante echte Unterbündel $F\subset E$ gilt:

${\frac {deg(F)}{rank(F)}}<{\frac {deg(E)}{rank(E)}}$.

Literatur

• Corlette, Kevin: Flat G-bundles with canonical metrics. J. Differential Geom. 28 (1988), no. 3, 361–382.
• Donaldson, Simon: Twisted harmonic maps and the self-duality equations. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), no. 1, 127–131.
• Hitchin, Nigel: The self-duality equations on a Riemann surface. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), no. 1, 59–126.
• Simpson, Carlos: Constructing variations of Hodge structure using Yang-Mills theory and applications to uniformization. J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), no. 4, 867–918.

Weblinks

• Joseph Le Potier: Fibrés de Higgs et systèmes locaux (Séminaire Bourbaki)
• Steven B. Bradlow, Oscar García-Prada, Peter B. Gothen: WHAT IS ... a Higgs bundle? (Notices of the AMS)
• Richard A. Wentworth: Higgs bundles and local systems
• Peter B. Gothen: Surface group representations and Higgs bundles
• William M. Goldman: Higgs bundles and geometric structures on surfaces
• Jan Swoboda: Higgsbündel und Darstellungsvarietäten (Jahrbuch der Max-Planck-Gesellschaft)
• Oliver Guichard: An introduction to the differential geometry of flat bundles and of Higgs bundles
• Laura Schaposnik: Higgs bundles - recent applications