Veselý spielt seit seinem fünften Lebensjahr Tennis und kann auf eine sehr erfolgreiche Juniorenkarriere zurückblicken. Mit Oliver Golding gewann er 2010 bei den Olympischen Jugend-Sommerspielen in Singapur die Goldmedaille im Doppel, im Einzel erreichte er dort das Achtelfinale. 2011 gewann er im Einzel und im Doppel die Australian Open und stand zudem bei den US Open in beiden Wettbewerben im Finale. In Wimbledon erreichte Veselý 2011 ein weiteres Finale. Er führte auch für längere Zeit die Weltrangliste der Junioren an.
2009 begann er mit den ersten Turnieren auf der ITF Future Tour, auf denen er bisher neun Einzel- und fünf Doppeltitel gewann. Seinen ersten Titel auf der ATP Challenger Tour gewann er am 14. April 2013 mit einem Zweisatzsieg über den Deutschen Simon Greul in Mersin. Gut einen Monat später folgte bereits sein zweiter Challenger-Titel, als er im Finale der Prosperita Open in Ostrava Steve Darcis besiegte.
Für die tschechische Davis-Cup-Mannschaft bestritt Veselý im Februar 2013 gegen die Schweiz seine erste Partie. Er verlor das nicht mehr spielentscheidende Einzel gegen Henri Laaksonen mit 6:0, 3:6 und 1:6. Im Halbfinale gegen Argentinien verlor er ebenfalls die letzte Begegnung gegen Leonardo Mayer in zwei Sätzen. Für die Begegnung im Finale gegen Serbien, das die tschechische Auswahl mit 3:2 gewann, stand er nicht mehr im Kader.
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Tschechien
Auckland
Adrian Mannarino
Pune
Jahor Herassimau
Mersin
Simon Greul
Steve Darcis
Federico Delbonis
Norbert Gombos
Laslo Đere
Bukarest
Guillermo García López
Dubai
Andrei Rubljow
Sam Groth
Alessandro Motti
Lee Hsin-han
Zhang Ze
Umag
Robin Haase