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Liste kleiner Gruppen

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Die folgende Liste enthält eine Auswahl endlicher Gruppen kleiner Ordnung.

Diese Liste kann benutzt werden, um herauszufinden, zu welchen bekannten endlichen Gruppen eine Gruppe G isomorph ist. Als erstes bestimmt man die Ordnung von G und vergleicht sie mit den unten aufgelisteten Gruppen gleicher Ordnung. Ist bekannt, ob G abelsch (kommutativ) ist, so kann man einige Gruppen ausschließen. Anschließend vergleicht man die Ordnung einzelner Elemente von G mit den Elementen der aufgelisteten Gruppen, wodurch man G bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann.

In der nachfolgenden Liste werden folgende Bezeichnungen verwendet:

  • ist die zyklische Gruppe der Ordnung (die auch als oder geschrieben wird).
  • ist die Diedergruppe der Ordnung .
  • ist die symmetrische Gruppe vom Grad , mit n! Permutationen von Elementen.
  • ist die alternierende Gruppe vom Grad , mit Permutationen von Elementen für .
  • ist die dizyklische Gruppe der Ordnung .
  • ist die Klein’sche Vierergruppe der Ordnung .
  • ist die Quaternionengruppe der Ordnung für .

Die Notation wird benutzt, um das direkte Produkt der Gruppen und zu bezeichnen. Es wird angemerkt, ob eine Gruppe abelsch oder einfach ist. (Für Gruppen der Ordnung sind die einfachen Gruppen genau die zyklischen Gruppen , mit aus der Menge der Primzahlen.) In den Zykel-Graphen der Gruppen wird das neutrale Element durch einen ausgefüllten schwarzen Kreis dargestellt. Ordnung ist die kleinste Ordnung, für welche die Gruppenstruktur durch den Zykel-Graphen nicht eindeutig bestimmt ist: Die nichtabelsche modulare Gruppe und haben den gleichen Zykel-Graphen und den gleichen (modularen) Untergruppenverband, sind aber nicht isomorph.

Es ist zu beachten, dass bedeutet, dass es 3 Untergruppen vom Typ gibt (nicht die Nebenklasse von ).

Zu jeder Ordnung wird zunächst die zyklische Gruppe angegeben, dann folgen gegebenenfalls weitere abelsche Gruppen und dann gegebenenfalls nichtabelsche Gruppen:

Liste aller Gruppen bis Ordnung 24

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Ordnung Gruppe Echte Untergruppen[1] Eigenschaften Zykel-Graph
1   (triviale Gruppe) - abelsch, zyklisch
2   (Gruppe Z2) - abelsch, einfach, zyklisch, kleinste nichttriviale Gruppe
3 - abelsch, einfach, zyklisch
4 abelsch, zyklisch
  (Kleinsche Vierergruppe) abelsch, die kleinste nichtzyklische Gruppe
5 - abelsch, einfach, zyklisch
6 , abelsch, zyklisch
  (Symmetrische Gruppe) , kleinste nichtabelsche Gruppe
7 - abelsch, einfach, zyklisch
8 , abelsch, zyklisch
, , abelsch
, abelsch
, , nichtabelsch
  (Quaternionengruppe) , nichtabelsch; die kleinste hamiltonsche Gruppe
9 abelsch, zyklisch
abelsch
10 , abelsch, zyklisch
, nichtabelsch
11 - abelsch, einfach, zyklisch
12 , , , abelsch, zyklisch
, , , abelsch
, , , , nichtabelsch
  (Gruppe A4) , , nichtabelsch; kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satzes von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6
(hier Verknüpfungstafel) , , , nichtabelsch
13 - abelsch, einfach, zyklisch
14 , abelsch, zyklisch
, nichtabelsch
15 , abelsch, zyklisch (siehe „Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch.“)
16 , , abelsch, zyklisch
, , abelsch
, , , , abelsch
, , , , abelsch
, , , abelsch
, , , , nichtabelsch
, , , , , nichtabelsch
, , , nichtabelsch
, , , , nichtabelsch, hamiltonsche Gruppe
Quasi-Diedergruppe , , , , , nichtabelsch
Nichtabelsche nicht-hamiltonsche modulare Gruppe , , , , nichtabelsch
Semidirektes Produkt (siehe hier) , , , nichtabelsch
Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe. , , , , , nichtabelsch
, , , , nichtabelsch
17 - abelsch, einfach, zyklisch
18 abelsch, zyklisch
abelsch
nichtabelsch
nichtabelsch
mit nichtabelsch
19 - abelsch, einfach, zyklisch
20 abelsch, zyklisch
abelsch
nichtabelsch
AGL1(5) nichtabelsch
nichtabelsch
21 abelsch, zyklisch
nichtabelsch
22 abelsch, zyklisch
nichtabelsch
23 - abelsch, einfach, zyklisch
24 abelsch, zyklisch
abelsch
abelsch
nichtabelsch
SL(2,3) nichtabelsch
nichtabelsch
nichtabelsch
nichtabelsch
nichtabelsch
nichtabelsch
nichtabelsch
nichtabelsch
nichtabelsch
nichtabelsch
nichtabelsch

Einfache Struktursätze

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Die folgenden Aussagen sind sehr elementare Struktursätze, deren Auswirkung sich deutlich in obiger Liste widerspiegelt.

  • Ist eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung isomorph zur zyklischen Gruppe .[2]
  • Ist eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung abelsch,[3] genauer isomorph zur zyklischen Gruppe oder zum direkten Produkt .[4]
  • Ist eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung isomorph zur zyklischen Gruppe oder zur Diedergruppe .[5]
  • Sind und Primzahlen mit und ist kein Teiler von , dann ist jede Gruppe der Ordnung isomorph zur zyklischen Gruppe .[6]

„The SmallGroups Library“

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Das Computeralgebrasystem GAP enthält die Programmbibliothek SmallGroups Library, die eine Beschreibung von Gruppen kleiner Ordnung enthält. Diese sind alle bis auf Isomorphie aufgelistet. Momentan (GAP Version 4.8.8) enthält die Bibliothek Gruppen folgender Ordnung:

  • alle der Ordnung bis , außer den Gruppen der Ordnung (bleiben Gruppen);
  • alle Gruppen, deren Ordnung für keine Primzahl von geteilt wird, für ( Gruppen);
  • alle der Ordnung , wobei eine der Primzahlen oder ist ( Gruppen);
  • alle der Ordnung mit einer beliebigen Primzahl und ;
  • alle der Ordnung mit teilt oder und ist eine beliebige von verschiedene Primzahl;
  • alle Gruppen, deren Ordnung für keine Primzahl von geteilt wird (d. h. ist quadratfrei);
  • alle Gruppen, deren Ordnung in höchstens drei Primzahlen zerlegbar ist.

Diese Bibliothek wurde von Hans Ulrich Besche, Bettina Eick und Eamonn O’Brien erstellt.[7]

Einzelnachweise

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  1. In der Liste der Untergruppen werden die trivialen Untergruppen (die einelementige Gruppe und die Gruppe selbst) nicht aufgelistet.
  2. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, 1967, Kap. I, § 2, Satz 2.10.
  3. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kap. I, § 6, Satz 6.10.
  4. Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 2.2.12.
  5. Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.2.11 e.
  6. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kap. I, § 8, Satz 8.10.
  7. The SmallGroups library. Bei: www.gap-system.org.