Satz von Donsker

Donskersches Invarianzprinzip für den einfachen Random Walk auf den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$.

Der Satz von Donsker ist ein fundamentaler Satz aus der Stochastik, genauer aus der Theorie der stochastischen Prozesse. Der Satz begründet die Existenz des Wiener-Maßes bzw. der Brownschen Bewegung und bietet zugleich eine Konstruktionsmöglichkeit.

Das Theorem ist die funktionale Variante des zentralen Grenzwertsatzes und ist deshalb auch unter dem Namen Funktionaler Grenzwertsatz und Donskersches Invarianzprinzip bekannt.

Er wurde 1952 vom amerikanischen Mathematiker Monroe D. Donsker bewiesen.

Aussage

Sei

• $C[0,1]$ der Raum der reellen stetigen Funktionen auf $[0,1]$,
• ${\mathcal {B}}(C[0,1])$ die borelsche σ-Algebra auf $C[0,1]$,
• ${\mathcal {M}}$ der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße über $(C[0,1],{\mathcal {B}}(C[0,1]))$,
• $[x]$ die Abrundungsfunktion.

Weiter sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ i.i.d. reelle Zufallsvariablen darauf, so dass $\mathbb {E} [X_{n}]=0$ und $\mathbb {E} [X_{n}^{2}]=\sigma ^{2}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt.

Betrachte den Random Walk $S_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}X_{k}$ mit $S_{0}=0$ und konstruiere die Zufallsvariable

$X_{t}^{(n)}(\omega )=({\sqrt {n}}\sigma )^{-1}\left(S_{[nt]}(\omega )+(nt-[nt])X_{[nt]+1}(\omega )\right),\quad t\in [0,1].$

Würde man $t>0$ nun fixieren und lässt $n\to \infty$, so ist man im asymptotischen Regime des zentralen Grenzwertsatzes.

$X_{\cdot }^{(n)}:\Omega \to C[0,1]$ ist die stückweise lineare Interpolation des Random Walk mit diskreten Punkten

$X_{i/n}^{(n)}(\omega )=(\sigma {\sqrt {n}})^{-1}S_{i}(\omega )$

für $i=0,\dots ,n$. Sei $\mu _{n}\in {\mathcal {M}}$ das Bildmaß $\mu _{n}=P\circ (X_{\cdot }^{(n)})^{-1}$, dann konvergiert $\mu _{n}$ schwach gegen das Wiener-Maß wenn $n\to \infty$.

In anderen Worten konvergiert $X_{\cdot }^{(n)}$ in Verteilung gegen eine Standard-Brownsche-Bewegung $W_{\cdot }$ wenn $n\to \infty$.

Erläuterungen

• Da der Satz keine zugrundeliegende Verteilung an die $X_{n}$ voraussetzt (nur dass diese iid sind), spricht man vom Donskerschen Invarianzprinzip.