Staiger-Wagner-Automat

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Der Staiger-Wagner-Automat (benannt nach Ludwig Staiger und Klaus Wagner) ist ein ω-Automat und bildet ein Analogon zum Muller-Automaten. Die von Staiger-Wagner-Automaten erkannten Sprachen sind eine Untermenge der ω-regulären Sprachen.

Formale Definition

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Ein Staiger-Wagner-Automat ist ein 5-Tupel mit

  • Zustandsmenge
  • Eingabealphabet
  • Startzustand
  • Transitionsfunktion.
  • und für

akzeptiert (z. B. oder ... oder ) gilt für den Lauf von auf dem Wort .

Eine ω-Sprache ist genau dann Staiger-Wagner-erkennbar, wenn sie eine boolesche Kombination von 1-erkennbaren (s. unten) ω-Sprachen ist. Sie ist außerdem Staiger-Wagner-erkennbar, gdw. sie sowohl deterministisch Büchi-erkennbar als auch deterministisch co-Büchi-erkennbar ist.

Der zugehörige Automat

Sei eine ω-Sprache über

Ein deterministischer Staiger-Wagner-Automat, der L erkennt ist dann z. B.:
mit und
1/a → 2, 1/b → 4, 1/c → 1,
      2/a → 3, 2/b → 4, 2/c → 1,
      3/a → 3, 3/b → 4, 3/c → 3,
      4/a → 4, 4/b → 4, 4/c → 4

Genau dann wenn der Automat die Zustände 1, 2 und 3 aber nicht 4 besucht, wird α akzeptiert.

Verwandte Akzeptierungsbedingungen

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Mit der Staiger-Wagner-Bedingung sind die beiden folgenden Akzeptierungsbedingungen nahe verwandt.

Hier gibt es nur eine Menge akzeptierender Zustände und die Bedingung ist .

1'-Akzeptierung

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Auch hier gibt es nur eine Menge akzeptierender Zustände und die Bedingung lautet .

Transformation in einen Büchi-Automaten

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Um einen Staiger-Wagner-Automaten in einen Büchi-Automaten, der dieselbe Sprache erkennt, zu transformieren, werden im Allgemeinen exponentiell viele Zustände gebraucht. Diese Explosion der Zustandsmenge entfällt bei 1-Akzeptanz und 1'-Akzeptanz.

  • Ludwig Staiger und Klaus W. Wagner, Automatentheoretische und automatenfreie Characterisierungen topologischer Klassen regulärer Folgemengen, Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik EIK, 10 (1974) 379–392.
  • Erich Grädel, Wolfgang Thomas und Thomas Wilke (Herausgeber), Automata, Logics, and Infinite Games, LNCS 2500, 2002, Seite 20 (auf Englisch)
  • Ludwig Staiger: ω-Languages. In: Grzegorz Rozenberg, Arto Salomaa (Hrsg.): Handbook of Formal Languages. Band 3: Beyond Words. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-60649-1, S. 339–387.
  • Wolfgang Thomas: Automata on Infinite Objects. In: Jan van Leeuwen (Hrsg.): Handbook of Theoretical Computer Science. Band B: Formal Models and Semantics. Elsevier Science Publishers u. a., Amsterdam u. a. 1990, ISBN 0-444-88074-7, S. 133–192.
Commons: Staiger-Wagner-Automat – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien