Staiger-Wagner-Automat
Der Staiger-Wagner-Automat (benannt nach Ludwig Staiger und Klaus Wagner) ist ein ω-Automat und bildet ein Analogon zum Muller-Automaten. Die von Staiger-Wagner-Automaten erkannten Sprachen sind eine Untermenge der ω-regulären Sprachen.
Formale Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Staiger-Wagner-Automat ist ein 5-Tupel mit
- Zustandsmenge
- Eingabealphabet
- Startzustand
- Transitionsfunktion.
- und für
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]akzeptiert (z. B. oder ... oder ) gilt für den Lauf von auf dem Wort .
Eine ω-Sprache ist genau dann Staiger-Wagner-erkennbar, wenn sie eine boolesche Kombination von 1-erkennbaren (s. unten) ω-Sprachen ist. Sie ist außerdem Staiger-Wagner-erkennbar, gdw. sie sowohl deterministisch Büchi-erkennbar als auch deterministisch co-Büchi-erkennbar ist.
Beispiel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei eine ω-Sprache über
Ein deterministischer Staiger-Wagner-Automat, der L erkennt ist dann z. B.:
mit
und
1/a → 2, 1/b → 4, 1/c → 1,
2/a → 3, 2/b → 4, 2/c → 1,
3/a → 3, 3/b → 4, 3/c → 3,
4/a → 4, 4/b → 4, 4/c → 4
Genau dann wenn der Automat die Zustände 1, 2 und 3 aber nicht 4 besucht, wird α akzeptiert.
Verwandte Akzeptierungsbedingungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Mit der Staiger-Wagner-Bedingung sind die beiden folgenden Akzeptierungsbedingungen nahe verwandt.
1-Akzeptierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Hier gibt es nur eine Menge akzeptierender Zustände und die Bedingung ist .
1'-Akzeptierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Auch hier gibt es nur eine Menge akzeptierender Zustände und die Bedingung lautet .
Transformation in einen Büchi-Automaten
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Um einen Staiger-Wagner-Automaten in einen Büchi-Automaten, der dieselbe Sprache erkennt, zu transformieren, werden im Allgemeinen exponentiell viele Zustände gebraucht. Diese Explosion der Zustandsmenge entfällt bei 1-Akzeptanz und 1'-Akzeptanz.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Ludwig Staiger und Klaus W. Wagner, Automatentheoretische und automatenfreie Characterisierungen topologischer Klassen regulärer Folgemengen, Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik EIK, 10 (1974) 379–392.
- Erich Grädel, Wolfgang Thomas und Thomas Wilke (Herausgeber), Automata, Logics, and Infinite Games, LNCS 2500, 2002, Seite 20 (auf Englisch)
- Ludwig Staiger: ω-Languages. In: Grzegorz Rozenberg, Arto Salomaa (Hrsg.): Handbook of Formal Languages. Band 3: Beyond Words. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-60649-1, S. 339–387.
- Wolfgang Thomas: Automata on Infinite Objects. In: Jan van Leeuwen (Hrsg.): Handbook of Theoretical Computer Science. Band B: Formal Models and Semantics. Elsevier Science Publishers u. a., Amsterdam u. a. 1990, ISBN 0-444-88074-7, S. 133–192.