Der Adelering wird in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, definiert. Er steht im Zusammenhang mit der Klassenkörpertheorie. Der Adelering ist das restringierte Produkt aller Vervollständigungen eines globalen Körpers. Damit enthält er alle diese Vervollständigungen.
Der Adelering ist ein selbstdualer, topologischer Ring, welcher auf Grundlage eines globalen Körpers konstruiert wird. Er ermöglicht eine besonders elegante Darstellung des Artinschen Reziprozitätsgesetzes.
Die Idelklassengruppe, welche der Quotient aus den Einheiten des Adelerings und den Einheiten des Körpers ist, stellt ein zentrales Objekt in der Klassenkörpertheorie dar.
Notation: Im Folgenden ist
ein globaler Körper. Das bedeutet, dass
entweder ein algebraischer Zahlkörper oder ein algebraischer Funktionenkörper positiver Charakteristik vom Transzendenzgrad 1 ist. Im ersten Fall bedeutet das, dass
eine endliche Körpererweiterung ist, im zweiten Fall, dass
eine endliche Körpererweiterung ist.
Im Folgenden bezeichnet
eine Stelle von
Die triviale Bewertung und der dazu korrespondierende triviale Betrag werden im kompletten Artikel ausgeschlossen. Es wird unterschieden zwischen endlichen (nicht-archimedischen) Stellen, welche als
oder
notiert werden, und unendlichen (archimedischen) Stellen, welche als
notiert werden.
Im Folgenden bezeichne
die endliche Menge der unendlichen Stellen von
Wir schreiben
für eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von
welche
enthält. Sei
die Vervollständigung von
nach einer Stelle
Bei einer diskreten Bewertung
bezeichne mit
den zugehörigen diskreten Bewertungsring von
und mit
das maximale Ideal von
Ist dieses ein Hauptideal, so schreibe
für ein uniformisierendes Element. Der Leser sei weiterhin auf die eineindeutige Identifikation von Beträgen und Bewertungen eines Körpers hingewiesen bei Fixierung einer geeigneten Konstante
Die Bewertung
wird dem Betrag
zugeordnet, welcher wie folgt definiert wird:
![{\displaystyle |x|_{v}:={\begin{cases}C^{-v(x)}&,{\text{ falls }}x\neq 0\\0&,{\text{ falls }}x=0\end{cases}}\quad \forall x\in K.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e491c4a6962bba3cdb9668ae89ffad25a906622)
Umgekehrt wird dem Betrag
die Bewertung
zugeordnet, welche wie folgt definiert ist:
für alle
Diese Identifikation wird im Artikel laufend verwendet.
Im Artikel wird das restringierte Produkt mit
notiert. Eine andere geläufige Notation dafür ist
In der lokalen Klassenkörpertheorie spielt die multiplikative Gruppe des lokalen Körpers eine wichtige Rolle. In der globalen Klassenkörpertheorie wird diese Rolle von der Idelklassengruppe übernommen. Der Begriff des Idels ist eine Abänderung des Idealbegriffs, wobei beide Begriffe in Beziehung zueinander stehen, siehe dazu den Satz über den Zusammenhang zwischen der Ideal- und der Idelklassengruppe. Der Idelbegriff wurde von dem französischen Mathematiker Claude Chevalley (1909–1984) unter dem Namen „ideal element“ (abgekürzt: id.el.) eingeführt. Der Begriff des Adels geht zurück auf die ursprüngliche Bezeichnung „additives Idel“. Bei der Aussprache von Adel liegt die Betonung auf der 2. Silbe.
Die Idee hinter dem Adelering ist es, dass man alle Vervollständigungen des globalen Körpers
auf einmal betrachtet. Auf den ersten Blick scheint die Definition über das kartesische Produkt sinnvoll, jedoch wird der Adelering mit dem restringierten Produkt definiert, wie im nächsten Abschnitt erläutert wird. Dies hat mehrere Gründe:
- Wenn man den globalen Körper
in das Produkt über die
einbettet, dann gilt für jedes
: für fast alle
ist
also
(vgl. globaler Körper). Die Terminologie „fast alle“ meint im gesamten Artikel immer „alle bis auf endlich viele“. Also ist
sogar in das restringierte Produkt einbettbar.
- Der Adelering wird dadurch zu einem lokalkompakten, topologischen Ring. Das unrestringierte Produkt hingegen ist nicht lokalkompakt. Daher ist auf dem unrestringierten Produkt keine Harmonische Analyse möglich.
Die Menge der endlichen Adele eines globalen Körpers
geschrieben
ist definiert als das restringierte Produkt der
mit Restriktionsbedingung
das heißt
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K,fin}:={\widehat {\prod \limits _{v\nmid \infty }}}^{{\mathcal {O}}_{v}}K_{v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9944c91a128fb487788266ef5be5be83be83d6)
Das bedeutet, dass die Menge der endlichen Adele alle Elemente der Form
enthält, so dass
für fast alle
Die Addition und Multiplikation werden komponentenweise erklärt. Dadurch wird
zu einem Ring. Wir installieren auf der Menge der endlichen Adele die restringierte Produkttopologie. Das ist diejenige Topologie, die von den sogenannten restringierten offenen Rechtecken erzeugt wird, welche folgende Form haben:
![{\displaystyle U=\prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}{\mathcal {O}}_{v},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0bb7061542d75474cb9a2085a94ee73001a8d86)
wobei
eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von
ist, welche
enthält und
offen sind.
Bemerkung: In der deutschen Literatur wird auch der Name eingeschränktes direktes Produkt für das restringierte Produkt verwendet. Im Folgenden wird der Begriff restringiertes Produkt verwendet. Weiterhin wird im Folgenden endlicher Adelering von
als Synonym für
verwendet.
Der Adelering des globalen Körpers
geschrieben
ist definiert als das Produkt der Menge der endlichen Adele mit dem Produkt der endlich vielen Vervollständigungen nach den unendlichen Stellen. Diese sind
oder
und treten nur im algebraischen Zahlkörperfall auf. Damit erhalten wir also:
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}:=\mathbb {A} _{K,fin}\times \prod \limits _{v\mid \infty }K_{v}={\widehat {\prod \limits _{v\nmid \infty }}}^{{\mathcal {O}}_{v}}K_{v}\times \prod \limits _{v\mid \infty }K_{v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a57b8e8eb5c86fc0d1a5d2bd2e1262ad8d76c7)
In Fall eines Funktionenkörpers ist die Menge der endlichen Adele gleich dem Adelering von
Auf dem Adelering von
wird eine Addition und Multiplikation jeweils komponentenweise erklärt. Dadurch wird
zu einem Ring. Die Elemente von
werden die Adele von
genannt. Wir schreiben im Folgenden den Adelering als
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}={\widehat {\prod _{v}}}K_{v},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e6c58dac87bc3e9b011474ca54793fee8de81a)
obwohl dies kein restringiertes Produkt im eigentlichen Sinne ist. Im Folgenden wird nicht extra darauf hingewiesen, dass die unendlichen Stellen unrestringiert dem Produkt hinzugefügt werden.
Sei
ein globaler Körper und sei
eine Teilmenge der Stellenmenge von
Definiere die Menge der
-Adele von
als
Die unendlichen Stellen, sofern in
enthalten, werden dabei ohne Restriktionsbedingung hinzugefügt. Definiere weiterhin
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{S}:={\widehat {\prod \limits _{v\notin S}}}^{{\mathcal {O}}_{v}}K_{v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95d6209885b8c6ef2c5913128df5f76fbbb04de)
Es gilt dann
Wir betrachten den Spezialfall
Zuerst überlegen wir uns, wie die Stellenmenge von
aussieht: Der Satz von Ostrowski besagt, dass die Stellenmenge von
mit
identifiziert werden kann, wobei die Primzahl
dabei die Äquivalenzklasse des
-adischen Betrag repräsentiert und
für die folgende Äquivalenzklasse von
steht, wobei
wie folgt definiert wird:
![{\displaystyle |x|_{\infty }:={\begin{cases}x&,{\text{ falls }}x\geq 0\\-x&,{\text{ sonst }}\end{cases}}\quad \forall x\in \mathbb {Q} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7371f70e304e3d049be44d979d315a47ebfaf6)
Als Nächstes stellen wir fest, dass die Vervollständigung nach den Stellen von
gerade die Körper der p-adischen Zahlen
für eine Stelle
bzw. der Körper
für die Stelle
sind. Der zugehörige Ganzzahlring zum Körper
ist
Damit folgt, dass der endliche Adelering der rationalen Zahlen gleich
![{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,fin}={\widehat {\prod \limits _{p<\infty }}}^{\mathbb {Z} _{p}}\mathbb {Q} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef0ab080464eaa2a44f461b7af6db6d036d1c06)
ist. Der ganze Adelering ist damit gleich
![{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=({\widehat {\prod \limits _{p<\infty }}}^{\mathbb {Z} _{p}}\mathbb {Q} _{p})\times \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebcc100f6d2051ccc420fb5910e25d2571250c28)
wofür wir auch verkürzt schreiben:
![{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }={\widehat {\prod \limits _{p\leq \infty }}}\mathbb {Q} _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f61aee6a960dc2eba93a5dbb61dde62664fd04a7)
mit der Konvention
Die Folge von Adelen in
konvergiert in der Produkttopologie gegen das Einsadel
jedoch nicht in der restringierten Produkttopologie.
Beweis: Die Konvergenz in der Produkttopologie entspricht der koordinatenweisen Konvergenz. Diese ist trivial, da die Koordinatenfolgen stationär werden. Die Folge konvergiert nicht in der restringierten Produkttopologie, da für jedes Adel
und für jedes restringierte offene Rechteck
gilt:
für
und daher
für alle
Es folgt, dass
für fast alle
Hierbei stehen
und
für endliche Teilmengen der Stellenmenge. Dabei ist
eine endliche Ausnahmemenge des Adels
Der Adelering trägt nicht die Teilraumtopologie der Produkttopologie, da ansonsten der Adelering keine lokalkompakte Gruppe ist, vgl. hierzu den Satz, dass der Adelering ein topologischer Ring ist.
Sei
ein globaler Körper. Es gibt eine natürliche diagonale Einbettung von
in seinen Adelering
Die Einbettung ist wohldefiniert, da für jedes
gilt, dass
für fast alle
Sie ist injektiv, denn die Einbettung von
in
ist bereits injektiv für jedes
Es folgt, dass
als Untergruppe von
aufgefasst werden kann. Man kann
sogar als Unterring seines Adelerings auffassen. Die Elemente aus
werden die Hauptadele von
genannt.
Sei
ein globaler Körper. Die Einheitengruppe des Adelerings
![{\displaystyle I_{K}:=\mathbb {A} _{K}^{\times },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88830e2ec9917a47ae8b4c3edf0cc0b52dbe093d)
mit der mittels der Inklusion
durch die Produkttopologie auf
erzeugten Teilraumtopologie, ist die sogenannte Idelegruppe von
.
Definiere
![{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}:=\lim \limits _{\overleftarrow {n}}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac227d12a14516a77c4704af2d4df6a8f6d8aeec)
d. h.
ist die pro-endliche Komplettierung der Ringe
mit der partiellen Ordnung
Die pro-endliche Komplettierung der ganzen Zahlen ist also der projektive Limes über die Ringe
Mit Hilfe des chinesischen Restsatzes kann gezeigt werden, dass die pro-endliche Komplettierung der ganzen Zahlen isomorph zum Produkt der ganzen
-adischen Zahlen ist. Es gilt also
![{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod \limits _{p{\text{ prim }}}\mathbb {Z} _{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3e8bda46bcf04c5b9a649afade80775d822bb7)
Definiere nun den Ring (der ganzzahligen Adele)
![{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }:={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6451e320e74dd3a1e2a3d9a5bdcd974eada9287)
Damit kann der Adelering über
folgendermaßen dargestellt werden:
![{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647f505973355ae79e9cbf2e442ef54a0c553d4e)
Dies ist ein algebraischer Isomorphismus. Für einen beliebigen algebraischen Zahlkörper
gilt nun:
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6fa1c0793006129487d92d1aca07c823fcf4e14)
wobei wir die rechte Seite mit folgender Topologie versehen. Es gilt, dass
wobei die rechte Seite insgesamt
Summanden hat. Wir installieren auf der rechten Seite die Produkttopologie von
und transportieren diese mit Hilfe des Isomorphismus auf
Beweis: Wir beweisen zunächst die Gleichung für
Es ist also zu zeigen, dass
Es gilt
wobei man das „Ausmultiplizieren“ beim Tensorprodukt durch eine Betrachtung mit Basen einsieht. Die zweite Isomorphie folgt dadurch, dass
-lineare Abbildungen bereits
-linear sind. Offensichtlich reicht es zu zeigen, dass
ist. Wir rechnen hierzu die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes nach. Definiere eine
-bilineare Abbildung
via
Diese Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert, da nur endlich viele Primzahlen den Nenner von
teilen. Die Abbildung
ist
-bilinear.
Sei nun
ein weiterer
-Modul mit einer
-bilinearen Abbildung
Zu zeigen ist, dass es genau eine
-lineare Abbildung
gibt, mit der Eigenschaft:
Die Abbildung
wird wie folgt definiert: Zu gegebenem
existiert ein
und ein
sodass
für alle
gilt. Definiere dann
Man mache sich klar, dass
wohldefiniert ist,
-linear und
erfüllt. Weiterhin ist
durch diese Eigenschaften bereits eindeutig festgelegt. Der allgemeine Fall kann ähnlich gezeigt werden und wird im folgenden Abschnitt noch allgemeiner bewiesen.
Sei
ein globaler Körper und sei
eine endliche Körpererweiterung. Ist
ein algebraischer Zahlkörper, dann ist die Körpererweiterung separabel. Im Funktionenkörperfall kann sie ebenfalls als separabel angenommen werden, vgl. Weil (1967), S. 48f. Damit ist
wieder ein globaler Körper und
ist definiert. Für eine Stelle
von
und eine Stelle
von
definiere
![{\displaystyle w\mid v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc67ab52c138707cac00884757d56646ed95270)
falls der Betrag
eingeschränkt auf
in der Äquivalenzklasse von
liegt. Man sagt, die Stelle
liegt über der Stelle
Definiere nun
Beachte, dass mit
die Stellen von
und mit
die Stellen von
bezeichnet werden. Beachte weiterhin, dass beide Produkte endlich sind.
Bemerkung: Man kann
in
einbetten, falls
über
liegt. Dadurch kann man
diagonal in
einbetten und
wird dadurch eine kommutative
-Algebra vom Grad
Es gilt nun
![{\displaystyle \mathbb {A} _{L}={\widehat {\prod \limits _{v}}}^{\widetilde {{\mathcal {O}}_{v}}}L_{v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e832624cf2f4e87e4ad69a1670af1abd72b41acd)
Der Beweis beruht auf elementaren Eigenschaften restringierter Produkte.
Der Adelering von
kann dabei wie folgt kanonisch in den Adelering von
eingebettet werden: Dem Adel
wird das Adel
mit
für
zugeordnet. Deshalb kann
als Untergruppe von
aufgefasst werden. Ein Element
liegt also genau dann in der Untergruppe
wenn seine Komponenten
für
erfüllen und weiterhin
für
und
für die gleiche Stelle
von
gilt.
Sei
ein globaler Körper und sei
eine endliche Körpererweiterung. Dann gilt:
![{\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960e517f3ccd1cf0c28ceed9aa54766b2f30937e)
Dies ist ein algebraischer und topologischer Isomorphismus, wobei wir die Topologie des Tensorproduktes analog wie in dem Lemma über die alternative Definition des Adelerings eines Zahlkörpers konstruieren. Um dies zu tun, ist es wichtig, dass
Mit der Hilfe dieses Isomorphismus, ist die Inklusion
durch die Funktion
Darüber hinaus können die Hauptadele von
mit einer Untergruppe der Hauptadele von
identifiziert werden via der Abbildung
Beweis: Sei
eine
-Basis von
Es gilt nun, dass
![{\displaystyle {\widetilde {{\mathcal {O}}_{v}}}\cong {\mathcal {O}}_{v}\omega _{1}\oplus \dotsc \oplus {\mathcal {O}}_{v}\omega _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0983c00cd822fee7db2033460f88fcdf0703ca75)
für fast alle
vgl. Cassels (1967), S. 61.
Wir haben einen kanonischen Isomorphismus:
wobei
die kanonische Einbettung
ist und wie üblich
gilt. Indem wir auf beiden Seiten das restringierte Produkt mit Restriktionsbedingung
bilden, folgt die Behauptung:
Dieser Beweis findet sich in Cassels (1967), S. 65.
Korollar: Der Adelering von
als additive Gruppe
Als additive Gruppe betrachtet gilt:
![{\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \dotsc \oplus \mathbb {A} _{K},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2194b01c06fd61f9351605b5ecc21c301295a747)
wobei die linke Seite insgesamt
Summanden hat.
Die Hauptadele von
gehen dabei auf
wobei hier
als Teilmenge von
aufgefasst wird. Die Summe hat dabei
Summanden.
Sei
ein globaler Körper. Sei
eine endliche Stellenmenge von
die
umfasst. Hierbei bezeichnet
die unendlichen Stellen des globalen Körpers. Definiere
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P):=\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}{\mathcal {O}}_{v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77d33237d20ee742cf24e0039828aeecab9a9823)
Man definiert die Addition und Multiplikation komponentenweise und versieht den entstandenen Ring mit der Produkttopologie. Es entsteht ein lokalkompakter, topologischer Ring. Anders formuliert:
ist die Menge aller
wobei
für alle
also
für alle
gelten soll.
Bemerkung: Ist
eine weitere endliche Teilmenge der Stellenmenge von
mit der Eigenschaft
dann ist
ein offener Unterring von
Wir geben nun eine alternative Definition des Adelerings. Mengentheoretisch ist
die Vereinigung über alle Mengen der Form
wobei die Vereinigung alle endlichen Teilmengen
von der gesamten Stellenmenge von
durchläuft. Es gilt also
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\bigcup _{P\supset P_{\infty }, \atop P{\text{ endlich }}}\mathbb {A} _{K}(P).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03be0c57a76baa07fb0d41d5efac88397adecea6)
In anderen Worten ist
nichts anderes als die Menge aller
für die gilt:
für fast alle
Die Topologie auf
wird so definiert, dass alle
offene Unterringe von
werden sollen. Dadurch wird
ein lokalkompakter, topologischer Ring.
Sei nun
eine Stelle von
und sei
eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von
welche die unendlichen Stellen und
enthält. Es gilt:
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)=\prod _{w\in P}K_{w}\times \prod _{w\notin P}{\mathcal {O}}_{w}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fcce35fef9c4804ce3894acdd6e07c4f5ba90dd)
Definiere nun
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(P,v):=\prod _{w\in P\setminus \{v\}}K_{w}\times \prod _{w\notin P}{\mathcal {O}}_{w}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb367e86a47bf7f95efed324206cf2a5e01b1aa9)
Dann gilt:
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(P,v).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357dabd62bcd65385403aeb1b75f06a375851164)
Definiere weiterhin:
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(v):=\bigcup _{P\supset (P_{\infty }\cup \{v\})}\mathbb {A} _{K}'(P,v),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/befedcf3594000d2413f0f1e290e53cfcf0b1104)
wobei
alle endlichen Teilmengen der Stellenmenge durchläuft, welche
enthält. Dann gilt offensichtlich:
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(v),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57205af77429c05de343ee7facdcaae75341488e)
via der Abbildung
Dies kann mit jeder endlichen Stellenmenge
anstelle von
ebenso gemacht werden.
Mit Hilfe der obigen Definition von
gibt es eine natürliche Einbettung
und eine natürliche Projektion
Die folgenden beiden Definitionen orientieren sich an Weil (1967), S. 60ff. Sei
wie bisher ein globaler Körper und sei nun
ein
-dimensionaler
-Vektorraum,
Wir fixieren eine
-Basis
von
Für jede Stelle
von
schreiben wir
und
Definiere dann den Adelering von
als
![{\displaystyle \mathbb {A} _{E}:={\widehat {\prod \limits _{v}}}^{\widetilde {{\mathcal {O}}_{v}}}E_{v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f01ad9086513745e2098f8033d79c10f74705c)
Diese Definition ist angelehnt an die alternative Beschreibung des Adelerings als Tensorprodukt. Wir konstruieren wieder die Topologie auf
analog wie in dem Lemma über die alternative Definition des Adelerings eines Zahlkörpers. Um dies zu tun, ist es wichtig, dass
Wir versehen dann den Adelering von
mit der restringierten Produkttopologie.
Analog wie in dem Abschnitt über den Adelering bei einer Körpererweiterung erhalten wir
Dann kann
durch
natürlich in
eingebettet werden.
Im Folgenden wird eine alternative Definition der Topologie auf dem Adelering
gegeben. Die Topologie auf
ist gegeben als die gröbste Topologie, für welche die Linearformen auf
das sind lineare Abbildungen
die ausgedehnt werden zu linearen Abbildungen von
nach
stetig sind. Man benutzt jeweils, dass
bzw.
auf natürliche Art und Weise in
bzw.
eingebettet werden können. Mit anderen Worten: Die Wahl einer Basis
von
über
liefert einen Isomorphismus von
nach
also einen Isomorphismus von
nach
Man kann nun
mit der Produkttopologie versehen und diese mit Hilfe des Isomorphismus nach
transportieren. Die Wahl der Topologie hängt nicht von der Wahl der Basis ab, denn eine weitere Basiswahl definiert einen zweiten Isomorphismus. Die Komposition der Isomorphismen ergibt einen linearen Homöomorphismus, der die eine Topologie in die andere überführt. Man kann dies wie folgt darstellen:
wobei die auftretenden Summen
Summanden haben. Falls
so liefert obige Definition den bereits definierten Adelering.
Sei
ein globaler Körper und sei nun
eine endlichdimensionale
-Algebra. Dann ist
insbesondere ein endlichdimensionaler
-Vektorraum. Folglich ist
definiert, vgl. dazu den letzten Abschnitt. Wir dehnen die Multiplikation von
auf
aus. Dies geht wie folgt:
Es gilt, dass
Da wir eine Multiplikation auf
und auf
haben, können wir eine Multiplikation auf
definieren, via
![{\displaystyle (a\otimes _{K}b)\cdot (c\otimes _{K}d):=(ac)\otimes _{K}(bd)\quad \forall a,c\in \mathbb {A} _{K}{\text{ und }}\forall b,d\in A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ffb2c31f5b4d49d2d857a626057b0e416089c1)
Alternativ, kann man eine
-Basis
von
fixieren. Um die Multiplikation auf
vollständig zu beschreiben, genügt es zu wissen, wie die Basiselemente miteinander multipliziert werden. Es existieren
so dass
![{\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}=\sum _{k=1}^{n}\beta _{i,j,k}\alpha _{k}\quad \forall i,j.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b19a345864ecd0b3dd656e33ce9c9ccc0b23216f)
Mit Hilfe dieser
können wir eine Multiplikation auf
definieren:
![{\displaystyle e_{i}e_{j}:=\sum _{k=1}^{n}\beta _{i,j,k}e_{k}\quad \forall i,j.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029df993ca005c769c37d5bfc657b49bd719c0a6)
Und ebenso eine Multiplikation auf
und damit auf
Es folgt, dass
eine
-Algebra mit
ist. Sei
eine endliche Teilmenge von
welche eine
-Basis von
enthält. Für jede endliche Stelle
von
nenne
das
-Modul erzeugt von
in
Für jede endliche Teilmenge
der Stellenmenge von
welche
enthält, definiere
![{\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )=\prod \limits _{v\in P}A_{v}\times \prod \limits _{v\notin P}\alpha _{v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb47623902c9f1d0349a3bf6656bfce623222d7e)
Man kann zeigen, dass es dann eine endliche Menge
gibt, so dass
ein offener Unterring von
ist, falls
Es gilt dann weiterhin, dass
die Vereinigung aller dieser Unterringe ist. Man kann zeigen, dass im Falle
der oben definierte Adelering kanonisch isomorph zur „ersten“ Definition des Adelerings ist.
Sei
eine endliche Körpererweiterung des globalen Körpers
Dann gilt
Mit der Identifikation
folgt, dass
als abgeschlossener Unterring von
aufgefasst werden kann. Schreibe
für diese Einbettung von
in
Explizit gilt: Sei
Dann ist
wobei dies für alle
über
gilt.
Sei
ein Körperturm globaler Körper. Dann gilt
![{\displaystyle \operatorname {con} _{M/K}(\alpha )=\operatorname {con} _{M/L}(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))\qquad \forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ea0ebf87767e88762c288897a5bc12511ff194)
Schränken wir die Abbildung
auf die Menge der Hauptadele ein, so ist sie gleich der kanonischen Injektion
Sei nun
eine Basis der Körpererweiterung
Also kann jedes
geschrieben werden als
wobei
eindeutig sind. Die Abbildung
ist stetig. Definiere nun
(hängen von
ab) via der Gleichungen
![{\displaystyle \alpha \omega _{i}=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{i,j}\omega _{j}\qquad \forall i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/251384aeda225008a653e4d03112bd80eefbb1b3)
Norm und Spur von
werden definiert als:
Dies sind genau die Spur bzw. die Determinante der linearen Abbildung
Beides sind stetige Funktionen auf dem Adelering.
Die Norm und die Spur erfüllen die üblichen Eigenschaften:
Weiterhin gilt, dass für
die Spur
und die Norm
der üblichen Spur und Norm der Körpererweiterung
entspricht. Für einen Körperturm
haben wir wie gewohnt
Weiterhin kann gezeigt werden:
Anmerkung: Der letzte Punkt ist nicht trivial, vgl. hierzu Weil (1967), S. 52ff bzw. S. 64 oder Cassels (1967), S. 74.
Prinzipiell gilt, dass in den Beweisen die Situation oft auf den Fall
oder
zurückgeführt werden können. Die Verallgemeinerung für beliebige globale Körper oder ähnliche Objekte ist dann oft trivial.
Sei
ein globaler Körper. Dann ist für jede Stellenmenge
der Ring
ein topologischer Ring. Weiterhin ist
eine lokalkompakte Gruppe. Das bedeutet, dass die Menge
mit ihrer Topologie lokalkompakt ist und die Gruppenverknüpfung stetig ist. Dies wiederum bedeutet, dass die Abbildung
stetig ist. Darüber hinaus soll auch die Inversionsabbildung der Gruppenverknüpfung stetig sein, d. h. die Abbildung
soll stetig sein.
Eine Umgebungsbasis der
in
ist auch eine Umgebungsbasis der
im Adelering. Alternativ bilden auch alle Mengen der Form
wobei
Umgebung der
in
und
für fast alle
eine Umgebungsbasis der
im Adelering.
Beweisidee: Die Lokalkompaktheit der Menge folgt aus der Definition der restringierten Produkttopologie und der Kompaktheit der
Die Stetigkeit der Gruppenoperationen lässt sich auf die Stetigkeit der Gruppenoperation in den einzelnen Komponenten zurückführen. Dort sind die entsprechenden Abbildungen stetig. Ein ausführlicherer Beweis findet sich in Deitmar (2010), S. 124, Satz 5.2.1.
Bemerkung: Dieses Ergebnis lässt sich auf den Adelering eines
-Vektorraums
und den Adelering einer
-Algebra
übertragen.
Der Adelering enthält den globalen Körper als diskrete, kokompakte Untergruppe, d. h.
ist diskret und
ist in der Quotiententopologie kompakt. Insbesondere ist
abgeschlossen in
Beweis: Ein Beweis findet sich in Cassels (1967), S. 64, Theorem oder in Weil (1967), S. 64, Theorem 2. Im Folgenden wird der Beweis für den Fall
wiedergegeben:
Um zu zeigen, dass
diskret in
ist, reicht es zu zeigen, dass es eine Umgebung der
gibt, welche keine weiteren Elemente von
enthält. Durch Translation dieser Umgebung kann der allgemeine Fall gezeigt werden. Sei nun
![{\displaystyle U:=\{(\alpha _{p})_{p}:|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad \forall \,p{\text{ und }}|\alpha _{\infty }|_{\infty }<1\}=\prod \limits _{p<\infty }\mathbb {Z} _{p}\times (-1,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a6d11b1e10689b1294add6ff31d700ea279783)
Dann ist
eine offene Umgebung der
in
Es bleibt zu zeigen:
Sei dazu
Da
und
für alle
ist, folgt
Da zusätzlich noch gilt, dass
ist, folgt
Nun zur Kompaktheitsaussage: Definiere die Menge
![{\displaystyle W:=\{(\alpha _{p})_{p}:|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad \forall \,p{\text{ und }}|\alpha _{\infty }|_{\infty }\leq 1/2\}=\prod \limits _{p<\infty }\mathbb {Z} _{p}\times [-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9136fb255f46fba66d2549282b7b950ac619b4fe)
Wir zeigen nun, dass jede Klasse von
einen Vertreter in
hat, das heißt wir müssen zeigen, dass für jedes Adel
ein
existiert, sodass
Sei nun also
beliebig. Sei
eine Primzahl für die gilt:
Dann existiert ein
mit
und
Nun ersetze
durch
Dies beeinflusst die anderen Stellen wie folgt:
Sei
eine weitere Primzahl. Dann gilt:
Es folgt, dass
(für die Hinrichtung ist zu beachten, dass in der scharfen Dreiecksungleichung Gleichheit gilt, falls die Beträge der beiden beteiligten Zahlen verschieden sind).
Damit haben wir die (endliche) Primstellenmenge mit der Eigenschaft, dass die Komponenten nicht in
liegen, um eins verkleinert. Iteration liefert die Existenz eines
sodass
ist. Jetzt wähle
so dass
Da
folgt:
für
Betrachte nun die stetige Projektion
Sie ist surjektiv. Also ist
das stetige Bild eines Kompaktums, also selbst kompakt. Der Fall
geht ähnlich.
Der Zusatz ist ein Lemma über topologische Gruppen.
Korollar: Sei
ein globaler Körper und sei
ein endlichdimensionaler
-Vektorraum. Dann ist
diskret in
und kokompakt in
d. h.
ist kompakt.
Sei
wie zuvor. Dann gilt:
Weiterhin gilt, dass
uneingeschränkt
divisibel ist, d. h. die Gleichung
hat für jedes
und
eine
Lösung
Allerdings ist diese Lösung im Allgemeinen nicht eindeutig.
Außerdem gilt, dass
dicht in
ist. Eine allgemeinere Formulierung dieser Aussage findet sich im Satz über starke Approximation.
Beweis: Die ersten Aussagen können elementar bewiesen werden. Die nächste Aussage findet sich so in Neukirch (2007) auf Seite 383. Wir beweisen sie im Folgenden. Sei
und sei
beliebig. Zu zeigen: Es existiert ein
sodass gilt:
Wir zeigen, dass
uneingeschränkt reversibel ist, dann folgt bereits die Behauptung. Dies ist jedoch klar, da
in jeder Koordinate ein Körper mit Charakteristik ungleich Null ist. Nun zu einem Gegenbeispiel, welches zeigt, dass
nicht eindeutig reversibel ist. Sei
und
beliebig. Dann erfüllt
die Gleichung
Ebenfalls erfüllt
diese Gleichungen, denn
Da n nur endlich viele Teiler hat, ist
wohldefiniert. Aber
denn (betrachte unendliche Koordinate)
Bemerkung: In unserem Fall ist die eindeutige Reversibilität äquivalent zur Torsionsfreiheit und die ist hier nicht gegeben, da
aber
und
Zur letzten Aussage: Es gilt
da wir die endlich vielen Nenner in den Koordinaten der Elemente von
durch ein Element
erreichen können. Wenn wir zeigen können, dass
dicht in
ist, folgt dann bereits die Behauptung. Es ist also zu zeigen, dass sich in jeder offenen Teilmenge
von
ein Element aus
befindet. Die offene Menge
kann ohne Einschränkung als
![{\displaystyle V=\prod _{p\in E}(a_{p}+p^{l_{p}}\mathbb {Z} _{p})\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69110f01380db519c6379c3a981119c9603cca61)
angenommen werden, denn
bilden eine Umgebungsbasis der
in
Mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes zeigt man nun die Existenz eines
mit
da Primzahlpotenzen zu verschiedenen Primzahlen teilerfremd sind. Dies bedeutet so viel wie
Sei
ein globaler Körper. Dann ist
eine lokalkompakte Gruppe. Folglich existiert ein Haarmaß
auf dieser Gruppe, welches folgendermaßen normalisiert werden kann:
Sei
eine einfache Funktion auf
d. h.
wobei
messbar und
für fast alle
Das Haarmaß
auf
kann so normalisiert werden, dass für jede
integrierbare, einfache Funktion
die Produktformel
![{\displaystyle \int _{\mathbb {A} }f(x)dx=\prod _{v}\int _{K_{v}}f_{v}dx_{v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80480e2f98edb4d28578c90ff77e1264f9fd35b)
gilt, wobei
für jede endliche Stelle gilt. An den unendlichen Stellen wird das Lebesgue-Maß von
bzw.
genommen.
Um einzusehen, warum das Maß so normalisiert werden kann, wird es zuerst auf den sogenannten einfachen Mengen (
mit
offen und
fast immer) definiert und dann auf die ganze Borel-σ-Algebra fortgesetzt. Dies findet sich in Deitmar (2010), S. 126, Satz 5.2.2.
Es kann gezeigt werden, dass
endliches Volumen im Quotientenmaß hat. Das Quotientenmaß wird vom Haarmaß auf
induziert. Diese Aussage ist ein Korollar aus dem obigen Satz, da die Kompaktheit das endliche Maß dieser Menge impliziert.
In diesem Abschnitt wollen wir die Endlichkeit der Klassenzahl für einen algebraischen Zahlkörper beweisen. Dies kann auf verschiedene Weisen erfolgen. Im Beweis des Satzes über die Charakterisierung der Idelegruppe wird dieser Endlichkeitssatz schon verwendet. Es gibt im Wesentlichen zwei Herangehensweisen: Im einen Fall zeigt man zuerst die Endlichkeit der Klassenzahl und leitet dann die Resultate über Adele und Idele ab, im anderen Fall folgert man die Endlichkeit der Klassenzahl aus diesen Resultaten.
Satz (Endlichkeit der Klassenzahl eines Zahlkörpers):
Sei
ein algebraischer Zahlkörper. Dann ist
Beweis der Endlichkeit der Klassenzahl: Die Abbildung
ist surjektiv und deswegen ist
das stetige Bild des Kompaktums
also kompakt. Gleichzeitig ist
auch diskret, also endlich.
Bemerkung: Ein ähnliches Ergebnis gilt auch für den Funktionenkörperfall. Hier wird eine sogenannte Divisorgruppe („divisor group“) von
definiert und man kann zeigen, dass die Divisoren von Grad
modulo der Menge der Hauptdivisoren eine endliche Gruppe bilden (dies sind die analogen Begriffe im Funktionenkörperfall) (vgl. Cassels (1967), S. 71).
Sei
ein globaler Körper. Sei
eine endliche Teilmenge der Stellenmenge, welche
enthält. Definiere
Dann gilt, dass
eine Untergruppe von
ist, welche alle Elemente
enthält, die
für alle
erfüllen. Da
diskret in
ist, ist
eine diskrete Untergruppe von
und ebenfalls von
Eine alternative Definition von
ist, dass
wobei der Unterring
von
gegeben ist durch
Also enthält
alle Elemente
für die gilt, dass
für alle
Sei
Dann ist die Menge
endlich. Um dies einzusehen, definiere
![{\displaystyle W:=\{(\alpha _{v})_{v}:|\alpha _{v}|_{v}=1\quad \forall v\notin P{\text{ und }}c\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq C\quad \forall v\in P\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7886e6c9a9f2926b5e85eaaad5437357bbd973a7)
Dann gilt, dass
kompakt ist und die oben beschriebene Menge ist der Schnitt aus
mit der diskreten Untergruppe
von
Daraus folgt die Endlichkeit der oben beschriebenen Menge.
Definiere nun weiterhin
und
wobei die Gleichheit auf Grund der allgemeinen Produktformel gilt. Dann gilt
![{\displaystyle E\subset E(P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad5d9ff6532b9d42de7b7c514b73509d4f27bfe)
für jede endliche Teilmenge
der Stellenmenge von
welche
enthält.
ist eine endliche zyklische Gruppe, welche alle Einheitswurzeln von
enthält. Es folgt, dass
gerade die Gruppe der Einheitswurzeln von
ist.
Beweis: Es gilt
Da
diskret in
ist, ist
diskret in
Weiterhin ist die Menge
kompakt und damit ist
eine Teilmenge einer kompakten Menge. Es folgt, dass
endlich ist. Wegen der allgemeinen Produktformel gilt für alle
dass
für alle
Also ist
eine endliche Untergruppe von
Da
ein Körper ist, folgt, dass
zyklisch ist. Offensichtlich liegt jede Einheitswurzel von
in
da alle Einheitswurzeln von
Betrag
und damit Bewertung
haben. Angenommen, es existiert ein
welches keine Einheitswurzel in
ist. Dann gilt, dass
für alle
Dies Widerspricht der Endlichkeit der Gruppe
Sei die Situation wie zuvor. Dann gilt, dass
das direkte Produkt der Gruppe
aller Einheitswurzeln von
und einer Gruppe isomorph zu
ist. Dabei ist
im Fall
und
falls
Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 78f. oder auch in Cassels (1967), S. 72f.
Satz: Dirichletscher Einheitensatz
Sei
ein algebraischer Zahlkörper und
sein Ganzheitsring. Dann gilt
![{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }\cong \mu (K)\times \mathbb {Z} ^{r+s-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae34ed5fe5677d4bde44c317b1dd4b1ff2c211d)
wobei
die endliche, zyklische Gruppe der Einheitswurzeln von
ist und
der Typ des Zahlkörpers, d. h.
ist die Anzahl der reellen Einbettungen von
und
ist die Anzahl an komplexen Einbettungen von
Es gilt
Bemerkung: Dies ist eine Verallgemeinerung des Dirichletschen Einheitensatzes. Für einen algebraischen Zahlkörper
setze
um den Dirichletschen Einheitensatz in seiner klassischen Formulierung aus der verallgemeinerten Formulierung zu erhalten. In der englischen Literatur ist dieser Satz bekannt unter „Theorem of the units“. Natürlich ist der Dirichletsche Einheitensatz älter als obiges Resultat und wird im Allgemeinen zuvor eigenständig bewiesen und dann dazu benutzt, die Kompaktheit von
zu zeigen.
Beweis dieser Bemerkung:
Wir wissen bereits, dass
Weiterhin gilt, dass
Darüber hinaus gilt:
Satz: „weak approximation theorem“
Seien
wobei
nichtäquivalente, nichttriviale Beträge auf einem Körper
Sei
Diese sind insbesondere topologische Räume. Bette
diagonal in
ein. Dann gilt, dass
überall in
dicht ist. Mit anderen Worten gilt, dass für jedes
und für jedes
ein
existiert, sodass
![{\displaystyle |\alpha _{n}-\xi |_{n}<\epsilon \qquad \forall n=1,\dotsc ,N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3e74b7764fb5e8d08713003f68b902274e9df9)
Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Cassels (1967), S. 48f.
Eine Anwendung dieses Satzes befindet sich hier.
Satz: „strong approximation theorem“
Sei
ein globaler Körper und sei
eine Stelle von
Definiere
![{\displaystyle V:={\widehat {\prod \limits _{v\neq v_{0}}}}^{{\mathcal {O}}_{v}}K_{v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f3e6a13b6267219eb62beeaa2054f1eb07967f)
Dann ist
dicht in
Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Cassels (1967), S. 67f.
Bemerkung: Der globale Körper ist diskret in seinem Adelering. Für dieses Resultat ist es wichtig, dass alle Stellen des globalen Körpers betrachtet werden. Der vorherige Satz zeigt, dass bereits das Weglassen von einer Stelle die Diskretheit in die Dichtheit des globalen Körpers verwandelt.
Begriffsmotivation: „Lokal“ und „Global“
Sei
ein globaler Körper und
eine endliche Körpererweiterung von
Dann bezeichnet man
als globale Erweiterung. Sei nun
eine Stelle von
und
eine über
liegende Stelle von
Dann bezeichnet man die (endliche) Körpererweiterung
als lokale Erweiterung. Woher kommen nun diese Bezeichnungen? Um dies einzusehen, betrachten wir den Funktionenkörperfall, bspw.
obwohl dies kein globaler Körper mehr ist. Sei
eine endliche Körpererweiterung. Die Elemente von
sind algebraische Funktionen auf einer Riemannschen Fläche, also auf einem globalen Objekt. Der Übergang von
zu
bedeutet nun, dass wir zu Potenzreihenentwicklungen übergehen, also zum lokalen Studium solcher Funktionen. Für mehr Informationen wird auf Neukirch (2007), S. 169 verwiesen.
Satz: Minkowski-Hasse
Eine quadratische Form über einem Zahlkörper
stellt genau dann die Null dar, wenn sie dies über jeder Komplettierung
tut.
Bemerkung: Dies ist das Hasse-Prinzip für quadratische Formen, im Allgemeinen, d. h. für Polynome belieben Grades, ist das Hasse-Prinzip nicht gültig.
Bemerkung: Das Lokal-Global-Prinzip ist also jenes Prinzip, welches eine Problemstellung über einem Zahlkörper
auf analoge Problemstellungen über seinen Komplettierungen
zurückführt.
Definition: Duale Gruppe
Sei
eine lokalkompakte, abelsche Gruppe. Definiere die duale Gruppe
von
als die Menge aller Charaktere von
d. h. die Menge aller stetigen Gruppenhomomorphismen von
nach
Auf
wird die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Teilmengen von
installiert. Man kann zeigen, dass
wieder eine lokalkompakte, abelsche Gruppe wird.
Satz: Selbstdualität des Adelerings
Sei
ein globaler Körper. Der Adelering ist selbstdual, d. h. es gilt
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong {\widehat {\mathbb {A} _{K}}}:=\{\chi :\mathbb {A} _{K}\rightarrow \mathbb {T} ,\chi \,\,{\text{ ist }}{\text{ ein }}{\text{ stetiger }}{\text{ Gruppenhomomorphismus }}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9cb42be70467af5a59f4b4374e4b36a2e18e36d)
Beweis: In einem ersten Schritt wird gezeigt, dass
selbstdual ist für jede Stelle
sofern man einen Charakter fixiert. Wir führen dies am Beispiel von
vor. Definiere
via:
Dann definiere die Abbildung
mit
also
Man zeigt schnell, dass
ein Isomorphismus ist, welcher die Topologien respektiert. Hat man die Selbstdualität im lokalen gezeigt, kann man zeigen, dass der Adelering selbstdual ist, indem auf den lokalen Fall zurückgegriffen wird.
Satz: Algebraischer und topologischer Dual des Adelerings
Sei
ein globaler Körper und sei
ein nicht-trivialer Charakter von
welcher allerdings trivial auf
wirkt. Sei
ein endlich-dimensionaler
-Vektorraum. Sei
der algebraische Dual von
sei
der algebraische Dual von
und sei
der topologische Dual von
Dann induziert die Abbildungsvorschrift
für alle
einen Isomorphismus
von
wobei
und
Hierbei meint
bzw.
jeweils die entsprechende bilineare Paarung auf
bzw.
Darüber hinaus gilt folgendes: Wenn
zusätzlich noch
für alle
erfüllt, dann gilt
Ein Beweis dieser Aussage findet sich in Weil (1967), S. 66.
Mit Hilfe der Charaktere auf
können wir Fourier-Analysis auf dem Adelering betreiben (vgl. Deitmar (2010), S. 129ff).
John Tate erzielte in seiner Doktorarbeit „Fourier analysis in number fields and Heckes Zetafunctions“ (vgl. Cassels (1967)) Erkenntnisse über L-Funktionen, indem er Fourieranalyse auf den Adelering bzw. die Idelegruppe anwendete. Der Adelering und die Idelegruppe finden daher Anwendung bei der Untersuchung der Riemannschen Zetafunktion und bei der Untersuchung allgemeiner Zetafunktionen bzw. L-Funktionen. Man kann diese Funktionen in einer adelischen Version definieren und sie als Integral über den Adelering bzw. die Idelegruppe über die entsprechenden Haarmaße darstellen und daraus meromorphe Fortsetzungen und Funktionalgleichungen ableiten. Wir geben ein Beispiel. Für jede komplexe Zahl
mit
gilt:
![{\displaystyle \int _{\widehat {\mathbb {Z} }}|x|^{s}d^{\times }x=\zeta (s),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20045a8dd30ffb0a7e83b3496f7f80069948168d)
wobei
das eindeutig normalisierte Haarmaß auf
ist mit
welches durch Null auf den ganzen Adelering ausgedehnt wird. Die obige Gleichung bedeutet, dass die Riemannsche Zetafunktion
als Integral über den Adelering bzw. einer Teilmenge derselben dargestellt werden kann. Ein Beweis findet sich in Deitmar (2010), S. 128, Satz 5.3.4. Beachte außerdem S. 139ff für weitere Informationen über die Doktorarbeit von John Tate.
Wir betrachten den Fall
In moderner Notation ist eine automorphe Form eine Funktion auf der Gruppe
welche einige zusätzliche Bedingungen erfüllt. Um diese zu beschreiben, definieren wir
und
als das Zentrum der Gruppe
Es gilt, dass
Wir definieren eine automorphe Form als ein Element des Vektorraums
Um automorphe Formen zu untersuchen, ist es wichtig die Darstellungen der Gruppe
zu kennen, welche durch den Tensorproduktsatz charakterisiert werden. Man kann außerdem auch sogenannte automorphe L-Funktionen betrachten, welche als Integral über die Gruppe
dargestellt werden können. Weitere Informationen finden sich in Deitmar (2010) in dem Kapitel über die automorphen Darstellungen der Adelegruppe und in dem Kapitel über die automorphen L-Funktionen.
Verallgemeinerungen des Artinschen Reziprozitätsgesetzes führen zur Verbindung von automorphen Darstellungen und Galois-Darstellungen von
(Langlands-Programm).
Die Idelegruppe, speziell die Idelklassengruppe, findet Anwendung in der Klassenkörpertheorie, welche sich mit abelschen Körpererweiterungen von
beschäftigt. Das Produkt der lokalen Reziprozitätskarten in der Klassenkörpertheorie gibt einen Homöomorphismus von der Idelegruppe in die Galoisgruppe der maximalen abelschen Erweiterung über einem algebraischen Zahlkörper. Das Artinsche Reziprozitätsgesetz, welches eine Verallgemeinerung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes von Gauß ist, besagt, dass das Produkt in der multiplikativen Gruppe des Zahlkörpers verschwindet. Daher erhalten wir die globale Reziprozitätskarte der Idelklassengruppe von dem abelschen Teil der absoluten Galoisgruppe der Körpererweiterung.
Auch außerhalb der Klassenkörpertheorie finden sich Anwendungen. Die Selbstdualität des Adelerings impliziert im Funktionenkörperfall (hier ist
ein Funktionenkörper über einer Kurve) den Satz von Riemann-Roch für diese Kurve und die entsprechende duale Theorie für diese Kurve.
- John Cassels, Albrecht Fröhlich: Algebraic number theory: proceedings of an instructional conference, organized by the London Mathematical Society, (a NATO Advanced Study Institute). Academic Press, London 1987, ISBN 0-12-163251-2.
- Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. unveränd. Nachdruck der 1. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-37547-0.
- André Weil: Basic number theory. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1967, ISBN 978-3-662-00048-9.
- Anton Deitmar: Automorphe Formen. Springer, Berlin / Heidelberg u. a. 2010, ISBN 978-3-642-12389-4.
- Serge Lang: Algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics 110. 2. Auflage. Springer-Verlag, New York 1994, ISBN 0-387-94225-4.