Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt

Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Die folgenden Bezeichnungen sind ebenfalls üblich: initiales Objekt für Anfangsobjekt, terminales oder finales Objekt für Endobjekt.

Ein Anfangsobjekt ist ein spezieller Fall des Koprodukts, ein Endobjekt ein spezieller Fall des Produkts in Kategorien.

Definitionen

• Ein Objekt $X$ heißt Anfangsobjekt, wenn es für jedes Objekt $Y$ der Kategorie genau einen Morphismus $X\to Y$ gibt.
• Ein Objekt $X$ heißt Endobjekt, wenn es für jedes Objekt $Y$ der Kategorie genau einen Morphismus $Y\to X$ gibt.
• Ein Objekt heißt Nullobjekt, wenn es gleichzeitig Anfangs- und Endobjekt ist.

Eigenschaften

• Je zwei Anfangsobjekte sind isomorph.
• Je zwei Endobjekte sind isomorph.
• Je zwei Nullobjekte sind isomorph.
• Ist ein Anfangsobjekt zu einem Endobjekt isomorph, dann handelt es sich um ein Nullobjekt.

Die in all diesen Fällen auftretenden Isomorphismen sind jeweils eindeutig bestimmt. Zusammenfassend bedeutet dies:

Anfangs-, End- und Nullobjekte sind (sofern sie existieren) jeweils eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus.

• Das Anfangsobjekt ist ein Sonderfall des Koprodukts, nämlich für die leere Familie von Objekten.
• Das Endobjekt ist ein Sonderfall des Produkts, nämlich für die leere Familie von Objekten.

Beispiele

• In der Kategorie der Mengen ist die leere Menge das Anfangsobjekt und jede einelementige Menge ein Endobjekt. Diese Kategorie hat kein Nullobjekt.
• In der Kategorie der Gruppen oder der abelschen Gruppen ist die triviale Gruppe (die nur aus dem neutralen Element besteht) Nullobjekt.
• In der Kategorie der nichtleeren Halbgruppen gibt es kein Anfangsobjekt. Lässt man die leere Halbgruppe zu, so ist diese das Anfangsobjekt. In beiden Fällen ist jede einelementige Halbgruppe Endobjekt.
• In der Kategorie der Vektorräume über einem Körper (oder allgemeiner der Moduln über einem Ring) ist der Nullvektorraum (bzw. der Nullmodul) Nullobjekt.
• In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist der Ring Z der ganzen Zahlen Anfangsobjekt und der Nullring Endobjekt.
• In der Kategorie beliebiger Ringe ist der Nullring Nullobjekt.
• In der Kategorie der punktierten topologischen Räume sind die einpunktigen Räume Nullobjekte.
• Man kann jede partielle Ordnung als Kategorie auffassen, indem man festlegt, dass genau dann ein Pfeil von $x$ nach $y$ geht, wenn $x\leq y$ gilt. Ein Anfangsobjekt entspricht dann dem kleinsten Element der Ordnung (falls es existiert). Ein Endobjekt entspricht dem größten Element.

Kategorien mit Nullobjekten

Gibt es in einer Kategorie ein Nullobjekt $0$, so gibt es zu je zwei Objekten $X$ und $Y$ stets einen kanonischen so genannten Nullmorphismus $0\colon X\to Y$, der die Verkettung von

$X\to 0\to Y$

ist. Genauer schreibt man $0_{X,Y}$, um die Abhängigkeit von $X$ und $Y$ auszudrücken. Da die Morphismenmengen einer Kategorie definitionsgemäß paarweise disjunkt sind, gilt $0_{X,Y}=0_{X',Y'}$ nur für $X=X'$ und $Y=Y'$.

Nullmorphismen $0\colon X\to Y$ in konkreten Kategorien sind in der Regel solche, die alle Elemente aus $X$ auf ein Nullelement oder neutrales Element (je nach Kategorie) von $Y$ abbilden. Beispiele sind:

• In der Kategorie der Gruppen ist der Nullmorphismus $0_{X,Y}\colon X\to Y$ derjenige Homomorphismus, der jedes Element aus $X$ auf das neutrale Element von $e_{Y}\in Y$ abbildet, das heißt $0_{X,Y}(x)=e_{Y}$ für alle $x\in X$.
• In der Kategorie der Moduln über einem Ring $R$ ist der Nullmorphismus $0_{X,Y}\colon X\to Y$ diejenige $R$-lineare Abbildung, die jedes Element aus $X$ auf das Nullelement von $0_{Y}\in Y$ abbildet, das heißt $0_{X,Y}(x)=0_{Y}$ für alle $x\in X$.
• In der Kategorie der punktierten topologischen Räume ist der Nullmorphismus $0_{X,Y}\colon X\to Y$ diejenige Abbildung, die jedes Element aus $X$ auf den ausgezeichneten Punkt $p_{Y}\in Y$ abbildet, das heißt $0_{X,Y}(x)=p_{Y}$ für alle $x\in X$. Beachte, dass diese Abbildung als konstante Abbildung stetig ist.

In Kategorien mit Nullobjekten gibt es damit den Begriff des Kerns eines Morphismus $f$, dieser ist als Differenzkern des Paares $(f,0)$ definiert.

Nullmorphismen erlauben auch die Konstruktion eines kanonischen Pfeils aus einem Koprodukt in das entsprechende Produkt.

Literatur

• Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim-Wien-Zürich 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel I, Absatz 3.3: Nullobjekte und Nullmorphismen.

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Kategorientheorie