Komonade

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Eine Komonade ist in der Kategorientheorie eine Struktur dual zu der der Monade.

Eine Komonade ist ein Tripel bestehend aus

  • einem Endofunktor ,
  • einer natürlichen Transformation und
  • einer natürlichen Transformation ,

das folgende Bedingungen erfüllt:

  • und
  • .

Explizit auf der Ebene von Morphismen von bedeutet dies, dass für jedes Objekt aus gilt

  • und
  • .

Eine Koalgebra für eine Komonade auf einer Kategorie ist ein Paar bestehend aus einem Objekt von und einem Morphismus , so dass und . Ein Homomorphismus von Koalgebren ist ein Morphismus in , der erfüllt. Die Koalgebren bilden eine Kategorie .

Es gibt einen kanonischen Funktor , der auf Objekten ist. Er ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor .

Komonade zu einem adjungierten Funktorpaar

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Es seien Kategorien und , Funktoren, so dass rechtsadjungiert zu ist. Eins bzw. Koeins der Adjunktion seien bzw. . Dann ist eine Komonade auf .

Man erhält einen induzierten Funktor , so dass und gilt. Der Funktor heißt komonadisch, wenn eine Äquivalenz von Kategorien ist. Der Monadizitätssatz von Jonathan Mock Beck gibt Kriterien dafür an, wann ein Funktor komonadisch ist.

Ist eine Komonade auf einer Kategorie , dann ist die zum adjungierten Funktorpaar assoziierte Komonade wieder .

In der Kategorie Set sei der Endofunktor derjenige der Bildung von -indizierten Folgen, d. h. für jede Menge ist , und für Mengen und sowie Abbildungen ist gegeben durch .

Die natürlichen Transformationen und seien durch die Familien von Abbildungen und ,

für beliebige Mengen gegeben.

Das Tripel ist nun eine Komonade in Set.

Die Koalgebren für sind die Abbildungen , die und erfüllen. Mit , ist , und man kann die Koalgebren mit Paaren mit einer beliebigen Abbildung identifizieren.

Ist eine beliebige Menge, dann entsprechen Komonadenstrukturen auf bijektiv den Monoidstrukturen auf . Die Multiplikation auf ist . Für ein Monoid kann die Strukturabbildung einer Koalgebra unter dem Potenzgesetz mit anderen Abbildungen identifiziert werden:

  • einer Abbildung , die eine Algebra für die Monade ist
  • einem Monoidhomomorphismus , d. h. einer Operation von auf .
  • Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag, Berlin 1971, ISBN 3-540-90035-7 (englisch).