Diskussion:Erwartungstreue

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Einleitungssatz

Nochmal hallo,

geschrieben steht in der Einleitung

Ist ein Schätzer nicht erwartungstreu, d.h. hat er eine Abweichung von seinem Erwartungswert,[...]

Müsste es nicht eher heißen (in etwa): Ist ein Schätzer nicht erwartungstreu, d.h. besitzt er im Mittel eine Abweichung vom wahren Wert des zu schätzenden Parameters,[...]

Ob der Schätzer seinem eigenen Erwartungswert entspricht, spielt hier keine Rolle.

Einwände? Bessere Vorschläge? Sonst würde ich das demnächst ändern. Grüße, -- MM-Stat 16:17, 7. Jan. 2010 (CET)

Habe in einem ersten Schritt der Negativdefinition des Begriffs eine positive hinzugefügt. Grüße, -- MM-Stat 13:09, 11. Jan. 2010 (CET)

Asymptotische Erwartungstreue

Hallo,

im Artikel steht In der Regel ist es nicht von Bedeutung, dass ein Schätzer erwartungstreu ist. Die meisten Resultate der mathematischen Statistik gelten erst asymptotisch, also wenn der Stichprobenumfang ins Unendliche wächst.

Was ist, wenn die Verzerrung, auch Bias genannt (siehe unten ;) ), bei kleinen Stichprobenumfängen sehr groß oder größer als die eines anderen Schätzers ist? Z.B. könnte ein asymptotisch unverzerrter Schätzer in einem kleinen Sample einen größeren Bias als ein anderer Schätzer besitzen, der evtl. nicht asymptotisch unverzerrt ist. Bei kleinen Stichproben ist die Verzerrung sehr wohl von Bedeutung. Der Bias mag mit $n\rightarrow \infty$ schwinden, aber n ist in praktischen Problemen eben oft sehr klein. Der Abschnitt ist m.E. falsch.

Es sollte hervorgehoben werden, dass, wenn eine kleine Stichprobe vorliegt, eben auch die "small sample properties" ausschlaggebend für die Wahl eines Schätzers sein sollten. Nur wenn diese nicht bestimmbar sind, sollte auf Basis asymptotischer Eigenschaften eine Entscheidung zwischen mehreren Schätzern getroffen werden. Asymptotische Eigenschaften sind eben lediglich eine Approximation für die Eigenschaften eines Schätzers in großen Stichproben.

Auch sollte "die meisten" im zweiten Satz evtl. durch "viele" ersetzt werden oder ein Beleg angegeben werden.

Einwände? Habe ich den Autor des Abschnitts falsch verstanden?

Danke und viele Grüße, -- MM-Stat 15:37, 7. Jan. 2010 (CET)

Bias

Es ist nicht schon alle erklärt: Bias wird nicht erklärt, die Formeln fehlen bzw. sind sehr fremdartig geschrieben. Es ist aber unsinnig dafür einen eigenen Artikel anzulegen, deshalb gehört es hierher. --Chrisqwq 18:50, 18. Dez. 2006 (CET)

Die Formeln sind nicht "fremdartig" geschrieben, sondern allgemein. Es wird erklärt, was Erwartungstreue heißt. Es wird erklärt, dass die Abweichung des Erwartungswert eines Schätzers für ein Funktional Bias heißt. Das reicht - vor allem, wenn du nicht in der Lage bist, die von dir benutzten Begriffe und Formeln zu definieren. Im übrigen: Kannst du es bitte unterlassen, Beiträge zu revertieren, wenn sie auch kosmetische Änderungen beinhaltet hatten. Das würde die Arbeit sehr erleichtern. --Scherben 19:15, 18. Dez. 2006 (CET)

• dann wäre ich dafür, beide Schreibweisen, die allgemeine, und die meiner Meinung nach anwendungsorientiertere nebeneinander zu stellen. Eine Formel für die Verzerrung wird biher nicht gegeben, das fänd ich hilfreich, ebenso die Verlinkung auf Schätzfehler fehlte bisher, sowie eine logische Verbindung dazu. --Chrisqwq 14:04, 19. Dez. 2006 (CET)

Was ist denn die "anwendungsorientiere" Schreibweise - speziell: Für welche Anwendung? Und wieso muss man eine Formel für die Verzerrung hinschreiben, wenn aus dem Text klar wird, was die Verzerrung ist (die Abweichung des Erwartungswerts vom zu schätzenden Funktional)? Das ist doch keine Formelsammlung. --Scherben 14:19, 19. Dez. 2006 (CET)

• Was hast du dagegen eine Formel hinzuschreiben? Zudem ist die jetzt vorhandene Formel ja wohlweitaus schwerer zu verstehen... Mit Anwendung meinte ich das ausrechnen von Hand. Deine ERklärunghi für bias wird im Übrigen aus dem Text nicht direkt deutlich, um das zu interpretieren, mussman das erst verstanden haben --Chrisqwq 08:35, 21. Dez. 2006 (CET)

Wie soll man denn den Begriff des Bias verstehen, wenn man nicht weiß, was Erwartungstreue ist? Und was ist an der momentanen Formel schwer zu verstehen? Ein Schätzer ist eine Funktion der Stichprobe (also ein g(X)), geschätzt werden soll ein Funktional eines Parameters (also \gamma(\vartheta)). Einfacher ist das nicht darstellbar - es sei denn, man will nur triivale Fälle betrachten. --Scherben 08:43, 21. Dez. 2006 (CET)

• Trivial für Mathematiker oder für Sozialwissenschaftler? :-). Also was störte dc jetzt an meiner Formel? Wenn sie im Grnde das gleiche aussagt, aber einfacher geschrieben ist? Ich muss das nicht an einem Funktional verstehen, wenn ich das nur an einem Mittelwert oder so begreifen will. Den Begriff Funktional hab ich dafür noch nie gegraucht. --Chrisqwq 08:47, 21. Dez. 2006 (CET)

Aaaaaaaah... Pass auf: Ich stelle im Laufe des Tages noch ein Beispiel rein. Mittelwert bei der Normalverteilung. Dabei kann man auch gut erlären, wozu man \gamma formal braucht. --Scherben 08:54, 21. Dez. 2006 (CET)

Der, die, das Bias?

Ich war immer der Ansicht "Bias" sei männlich, der Duden hat mich gerade belehrt und "das Bias" vorgeschlagen. Dieser Artikel verwendet ebenfalls die (von mir favorisierte) männliche Form. Ist bei eingedeutschten Begriffen natürlich schwierig. Weiss es zufällig jemand ganz genau?

Ich befürchte, genauer als der Duden kann man es nicht wissen... Schlägt er denn nur die neutrale Form vor? --Scherben 18:26, 14. Jun. 2007 (CEST)

Die Verzerrung? --Philipendula 00:07, 15. Jun. 2007 (CEST)

Ich schätze, "Bias" ist auch im deutschen Sprachraum verbreiteter. Weder in Vorlesungen noch auf Tagungen habe ich jemanden ernsthaft von "Verzerrung" sprechen hören. --Scherben 08:39, 15. Jun. 2007 (CEST)

Auch hier wäre ich mit pauschalierenden Aussagen vorsichtig. Renommierte Monographien schreiben meistens "... Verzerrung, auch Bias genannt". In der folgenden Formel steht dann "bias(irgendwas)= ...", weil das halt in einer Formel schicker aussieht. --Philipendula 09:49, 17. Jun. 2007 (CEST)

Wer denn? --Scherben 16:42, 17. Jun. 2007 (CEST)

Fahrmeir et. Al. Multivariate statistische Verfahren: Erster Satz: .. Verzerrung oder Bias... Aber dann nur noch Nennung von Verzerrung bzw, verzerrt.

Sixtl, Der Mythos des Mittelwertes: spricht nur von Verzerrung

Müller, Stochastisches Lexikon: … die als systematischer Fehler oder Verzerrung (bias) …bezeichnet wird ….

Bosch, Statistik-Taschenbuch: … heißt die Verzerrung (der Bias) … Im Folgenden nur Rede von Verzerrung

Ähnlich auch Voß: Taschenbuch der Statistik

Viel mehr Sadistik-Bücher hab ich nicht zu Hause.

--Philipendula 19:35, 19. Jun. 2007 (CEST)

Der Online-Duden gibt die neutrale Form an, also "das Bias". Ich kenne ebenfalls die Konvention diesen systematischen Fehler als "Bias" zu bezeichnen, etwa in A. Irle: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 1. Auflage Juni 2001, Seite 249. Man beachte, wie elegant sich der Autor dort aus der Affäre zieht.

Mögliche Überschneidung: Erwartungstreue und Systematischer Fehler

siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Redundanz/Juli_2007#Systematischer_Fehler_-_Erwartungstreue --qwqch 15:22, 20. Jul. 2007 (CEST)

Auf jeden Fall finde ich die Einleitung dort sehr anschaulich geschrieben. Vllt. könnte man die Artikel tatsächlich vereinen. Hmmm. Kommt auf die Vielleicht-To-Do-Liste.... -- MM-Stat 16:35, 7. Jan. 2010 (CET)

Abschnitt Ursachen für Verzerrungen

aus Verzerrung (Statistik) Autoren siehe http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Verzerrung_%28Statistik%29&action=history --qwqch 14:43, 24. Jul. 2007 (CEST)

Definition

die Erwartungstreue ist in der gegeben Definition ist stark eingeschränkt. Es muss nicht zwangläufig eine parametrische Familie gegeben sein, noch muss es Funktional sein. Desweiteren würde ich empfehlen es über ein Statistisches Modell( fast jedes Buch definiert es so) definieren. (nicht signierter Beitrag von 82.82.184.130 (Diskussion) 19:40, 21. Apr. 2011 (CEST))

Erwartungstreue und Konsistenz

Hängen Erwartungstreue und Konsistenz irgendwie zusammen? Ist ein Erwartungstreuer Schätzer immer Konsistent oder umgekehrt? Falls nicht: Kann man einfache Beispiele für alles 4 Fälle finden?

Für den Fall "weder erwartungstreu noch konsistent" ist es einfach ein Beispiel zu finden:

Es seien $X_{1},\dots ,X_{n}$ unabhängig und identisch verteilt mit $X_{i}\sim Bin(1,p)$.

Geschätzt werden soll also $p$.

Der Schätzer $d(X_{1},\dots ,X_{n})=0$ ist nicht asymptotisch erwartungstreu, da

$\lim _{n\rightarrow \infty }E_{p}d_{n}(X_{1},\dots ,X_{n})=0$ aber $p\neq 0$ im allgemeinen

Der Schätzer $d(X_{1},\dots ,X_{n})=0$ ist nicht konsistent, da

$\lim _{n\rightarrow \infty }P(|d_{n}(X_{1},\dots ,X_{n})-p|\geq \varepsilon )=1\forall \varepsilon >0,p>0$

Für den Fall "erwartungstreu und konsistent" habe ich mir folgendes überlegt:

Es seien $X_{1},\dots ,X_{n}$ unabhängig und identisch verteilt mit $X_{i}\sim Bin(1,p)$ mit $p\in (0,1)$ (Es sei mindestens ein Treffer und eine Niete dabei).

Geschätzt werden soll also $p$.

Der Schätzer $d(X_{1},\dots ,X_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ ist asymptotisch erwartungstreu, da

$\lim _{n\rightarrow \infty }E_{p}d_{n}(X_{1},\dots ,X_{n})=\lim _{n\rightarrow \infty }E_{p}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}=$

$=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}E_{p}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

$=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}n\cdot p$

$=p$

Der Schätzer $d(X_{1},\dots ,X_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ ist konsistent, da

Sei $\varepsilon >0$ beliebig. Es gilt:

$\lim _{n\rightarrow \infty }P(|d_{n}(X_{1},\dots ,X_{n})-p|\geq \varepsilon )=$

$=\lim _{n\rightarrow \infty }P(|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}-p|\geq \varepsilon )$

$=\lim _{n\rightarrow \infty }P(|\sum _{i=1}^{n}X_{i}-np|\geq n\varepsilon )$

$=\lim _{n\rightarrow \infty }P(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\geq n\varepsilon +np)+P(np-n\varepsilon \geq \sum _{i=1}^{n}X_{i})$

$=\lim _{n\rightarrow \infty }P(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\leq np-n\varepsilon )+P(np+n\varepsilon \leq \sum _{i=1}^{n}X_{i})$

$=\lim _{n\rightarrow \infty }P({\frac {(\sum _{i=1}^{n}X_{i})-n\cdot np}{{\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {np(1-p)}}}}\leq -{\frac {np-n^{2}p-n\varepsilon }{\sqrt {n^{2}p(1-p)}}})+(1-P({\frac {(\sum _{i=1}^{n}X_{i})-n\cdot np}{{\sqrt {n}}{\sqrt {np(1-p)}}}}<{\frac {np-n^{2}p+n\varepsilon }{\sqrt {n^{2}p(1-p)}}}))$

Mit dem Zentralen Grenzwertsatz folgt

$=\lim _{n\rightarrow \infty }\Phi ({\frac {p-np-\varepsilon }{\sqrt {p(1-p)}}})+(1-\Phi ({\frac {p-np+\varepsilon }{\sqrt {p(1-p)}}}))\rightarrow 1$

Daher ist der Schätzer nicht konsistent.

Allerdings steht in meinem Skript für Statistik: "Dann ist dieser Schätzer sowohl erwartungstreu [...] als auch konsistent (Gesetz der großen Zahlen: Satz 5.5).".

Wo ist der Fehler in meiner Argumentation / Rechunung. Wie würde man für die anderen 2 Fälle vorgehen?

Viele Grüße, --Martin Thoma 10:22, 19. Feb. 2015 (CET)

@HilberTraum: Eventuell könnte man meine Rechung als Beispiel in den (momentan noch sehr mageren) Artikel Konsistenz (Statistik) aufnehmen. Siehst du den Fehler in meiner Rechnung? --Martin Thoma 10:41, 19. Feb. 2015 (CET)

Ja, bei Konsistenz (Statistik) fehlen auf alle Fälle Beispiele. Die Rechnungen oben habe ich jetzt nicht genau durchgeschaut, aber eine Argumentation mit dem Zentralen Grenzwertsatz ist hier sicher nicht nötig, denn die Konsistenz folgt ja – wie in deinem Skript – direkt aus dem schwachen Gesetz der großen Zahlen.

Ein einfaches Beispiel für einen erwartungstreuen, aber nicht konsistenten Schätzer wäre $d(X_{1},\dotsc ,X_{n})=X_{1}$. -- HilberTraum (d, m) 13:09, 19. Feb. 2015 (CET)

Aufgrund dieses Beispiels ist aus meiner Sicht auch der erste Absatz des Abschnitts Bedeutung falsch, insbesondere: Bei erwartungstreuen Schätzern können wir erwarten, dass die Differenz zwischen dem aus der Stichprobe berechneten Schätzwert und dem wahren Parameter umso kleiner ist, je größer der Stichprobenumfang ist. Meiner Ansicht nach entspricht dies nicht einem erwartungstreuen, sondern einem konsistenten Schätzer.

Ein einfaches Beispiel für einen nicht erwartungstreuen aber konsistenten Schätzer wäre intuitiv $d(X_{1},\dots ,X_{n})={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ -- Lighter.84, 8. Juni 2015 (nicht signierter Beitrag von 2.243.66.75 (Diskussion) 23:24, 8. Jun. 2015 (CEST))