Diskussion:Folge (Mathematik)/Archiv

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kubische Folge

Wie könnte man das Bildungsgesetz der Folge der kubischen Zahlen formulieren? Gebildet wird die Folge der Kubischen Zahlen nämlich wie folgt:

  1 =  1

  8 =  3 +  5

 27 =  7 +  9 + 11

 64 = 13 + 15 + 17 + 19

125 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29

216 = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41

349 = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55

.

.

.

Eine kuriose Folge.

--Arbol01 16:53, 11. Mär 2004 (CET)

Ein interessanter Zusammenhang, den ich mir merken muss!

Zur Formel: Hast du ungerade Zahlen in der Form $2i-1$, dann ist das größte i in der n-ten Teile gleich $n(n+1)/2$. Du erhältst damit für die n-te Zeile die rechte Seite

C\sum_{i=(n-1)n/2+1}^{n(n+1)/2} (2i-1)</math>

Vereinfachst du das durch die Formel

$\sum _{i=1}^{k}(2i-1)=k^{2}$

erhältst du den Term $n^{3}$, deine linke Seite. --SirJective 22:49, 15. Mär 2004 (CET)

Wie wär's, wenn man die $i$s durch z.B. $n$s ersetzt? Dann besteht keine Verwechslungsgefahr mit der Imaginären Einheit mehr.

Da im ganzen Artikel keine komplexen Zahlen vorkommen, sehe ich keine Verwechslungsgefahr.--Gunther 11:57, 30. Mai 2005 (CEST)

Ich bin da strikt dagegen, da i normalerweise für die Indexierung verwendet wird, und n für die Grenze. --Arbol01 17:34, 31. Mai 2005 (CEST) _{Bin noch ein paar Tage im Urlaub}

Umordnung

Es fehlt noch etwas bezüglich der Umordnung von Folgen im Artikel: Konvergiert jede beliebeige endliche (unendliche) Umordnung einer Folge gegen denselben Grenzwert? ImperatoM 14:52, 21. Sep 2005 (CEST)

Das gehört mMn eher nach Konvergenz (Mathematik).--Gunther 14:59, 21. Sep 2005 (CEST)

vorschlag illustration

Ich habe für mich Beispiele für die Charakterisierung von Folgen gemacht. Bitte um Meinungen über die Korrektheit und allfällige Mängel. Wenn OK können die Grafiken in den Artiel gezügelt werden. Talos 17:10, 29. Okt 2005 (CEST)

Datei:Alternierende folge.PNG Datei:Konstante folge.PNG

Naja, Du illustrierst keine Folgen, sondern Funktionen, die an einige Werten ausgewertet werden. Die Skalierung auf der X-Achse sollten die natürlichen Zahlen sein. Ansonsten finde ich die Abbildungen gut, aber bitte als Einzelgrafiken, dann hat man mehr Freiheit im Layout und kann sie auch in anderen Artikeln verwenden. --DaTroll 21:05, 28. Okt 2005 (CEST)

Folgen sind Abbildungen und somit sind die Grafiken okay. Der hochexakte Mathematiker würde bei den Punkten in der Abbildung zwar von dem Graphen der Abbildung sprechen, aber das halte ich bei diesem Artikel für übertrieben. --Physics 19:30, 20. Mai 2006 (CEST)

tan(x) führt zu den eulerschen Zahlen

Das find ich nicht überraschend wenn man die definition der Trigonometrischen Funktionen im Komplexen zu Grunde legt

Beispiel: Siehe Lehrbücher??

Ich zitiere mal einen Abschnitt, der unter "Nachweis der Monotonie" steht:
"Wenn man vermutet, dass eine Folge streng monoton steigt, schreibt man ai < ai + 1, wertet auf beiden Seiten die Funktionsvorschrift aus [...], und überprüft die so entstandene Ungleichung, indem man sie durch Äquivalenzumformungen vereinfacht. Beispiel: [Siehe Lehrbücher]"
Dieses "Siehe Lehrbücher" macht doch überhaupt keinen Sinn! Nicht jeder hat Lehrbücher zu Hause oder möchte sich diese extra kaufen. Also entweder ist jemand so nett und gibt ein Beispiel an oder man kann das "Beispiel" ganz streichen. -- LordHorst - Moin 18:05, 19. Aug 2006 (CEST)

Ich habe ein einfaches Beispiel ergänzt. --NeoUrfahraner 18:44, 19. Aug 2006 (CEST)

Danke, so sieht das ganze gleich viel besser aus :) . -- LordHorst - Moin 19:11, 20. Aug 2006 (CEST)

Formale Definition

Aus dem derzeitigen Artikel:

"Formal definiert ist eine unendliche Folge eine Abbildung

${\begin{matrix}a:&\mathbb {N} &\to &X\\&i&\mapsto &a_{i}\end{matrix}}$

die jedem Index $i$ aus der Indexmenge $\mathbb {N}$ ein Folgenglied $a_{i}$ aus der Zielmenge $X$ zuordnet."

Meine Frage: Wenn jedem Index $i$ ein Folenglied $a_{i}$ zugeordnet wird, müssten dann nicht eigentlich $i$ und $a_{i}$ in der derzeitigen Darstellung vertauscht werden, also:

${\begin{matrix}a:&X&\to &\mathbb {N} \\&a_{i}&\mapsto &i\end{matrix}}$

(nicht signierter Beitrag von 213.46.125.118 (Diskussion) 19:00, 24. Jul. 2007)

Nö, warum auch? Jeder natürlichen Zahl wird ein Mengenelement in X zugeordnet, was soll da rückwärts gehen. Z.B., was wäre dann mit konstanten Folgen?--LutzL 19:11, 24. Jul. 2007 (CEST)

Eingeschränkter Folgenbegriff

Im Artikel ist nur ein eingeschränkter Folgenbegriff definiert, wie er in der Schulmathematik ausreichen mag, jedoch nicht in der Mathematik. Es werden z.B. die in der Mathem. wichtigen Begriffe wie Folge von Gruppen, Folge von Folgen und Folge von Mengen nicht erfasst.

Der Schwerpunkt des aktuellen Artikels liegt bei Reihen und nicht bei Folgen. Vieles wäre im Artikel Reihe (Mathematik) besser aufgehoben.

Ich schlage vor, den Inhalt des Artikels auf eine mathematisch saubere und ausführliche Definition von Folge , sowie auf Tupel und Geordnetes Paar, denn beides sind ja Folgen, zu beschränken, und dann im Artikel auf Zahlenfolgen- und Reihen-Artikel zu verweisen. --Hederich 15:53, 14. Feb. 2008 (CET)

einige Fehler?

• "Der Unterschied zu der Menge der Folgenglieder $\lbrace a_{i}\rbrace$ besteht darin, dass es auf die Reihenfolge der $a_{n}$ sehr wohl ankommt, und dass ein bestimmtes $a_{i}$ in der Folge auch mehrfach auftreten kann."

Das hier finde ich sehr verwirrend,...

1. es wäre denke ich besser statt "{ai}" "{a0, a1, a2, ...} bzw. {a0, a1, a2, ..., an} zu schreiben.
2. außerdem wird a_n zuvor schon als letztes glied einer endlichen Fogle verwendet,.. und man sollte es hier nicht als ein beliebiges Glieder einer solcehn benutzen.

• "(oder ganz kurz: die Summe aller Folgenglieder ist eine Reihe):"

Das ist so falsch. Die Summe aller Folgenglieder ist (bei einer endlichen Folge) erst einmal eine Zahl. Vielmehr gilt, dass die Folge der Partialsummen eine Reihe ist. Man kann auch sagen, die Folge, der Summen der ersten n Folgenglieder, ist eine Reihe,...

Danke für den Hinweis, ich habe den Text in Klammern einfach mal rausgenommen. --P. Birken 19:47, 30. Jun. 2008 (CEST)

"Bemerkung" zu FORTRAN.

FORTRAN ist keine ältere, sondern eine der modernsten und bei technisch-wissenschaftlichen Anwendungen heute vorwiegend benutzte Programmiersprache. Sie wurde in den vergangenen Jahren mehrfach erweitert und auf den jeweils neuesten Programmiersprachen-Stand gebracht, zuletzt 2003. Die Indizierung der Arrays in Fortran, ebenso wie in den anderen großen, in der Praxis bedeutenden Programmiersprachen wie z.B. PL1 und Ada, beginnt nicht notwendig mit 1, sondern mit einem beliebigen, den jeweiligen Erfordernissen angepassten Index, z.B. mit 100 oder auch mit -100. --Lothario Hederich 16:23, 15. Jul. 2008 (CEST)

naja, wenn man pedantisch ist, gehoert FORTRAN in grossbuchstaben (auch wenn es so nicht im artikel stand) schon eher zu den alten eisen, siehe Fortran, was jedoch nicht ausschliessen soll, dass auch FORTRAN 77 noch immer verwendet wird. man haette also vielleicht FORTRAN 77 schreiben sollen. allerdings grenzte die komplette bemerkung, die du geloescht hast, an WP:TF, insofern war deren loeschung imho nicht verkehrt. -- seth 19:43, 11. Sep. 2008 (CEST)

Indizierungs-Beginn

Der Indizierungs-Beginn Null oder Eins bei Folgen ist üblich bei Zahlenfolgen, mit denen in der Analysis gearbeitet wird. Mit dieser Einschränkung wird jedoch nicht der ganze mathematische Folge-Begriff erfasst, so z.B. schon nicht die Folge der ganzen Zahlen: ...,–3,–2,–1, 0, 1, 2, 3, ... --Lothario Hederich 18:20, 16. Jul. 2008 (CEST)

Ich habs mal wieder revertiert, denn in der Einleitung sollten sowohl 0 als auch 1 als möglicher Indexstart erwähnt werden. Ich habe "überlicherweise" dazugeschrieben. Aber generell gibts bei Folgen immer ein erstes Element. Die Folge der ganzen Zahlen besteht aus zwei Teilfolgen, die in passender Weise aneinander geklebt sind. Da es auch nicht zu Missverständnissen kommen wird, bin ich dafür das so zu lassen. Folgen sind so grundlegend und die Stanni-Definition hat eben ein erstes Element das meist als nulltes oder erstes bezeichnet wird. Ach ja, die Artikel hab ich auch wieder eingefügt, ist besseres Deutsch mMn. Aber auch nur nach Gefühl.--χario 21:37, 16. Jul. 2008 (CEST)

Kopie von [1]:

Hallo Xario! Ich möchte Dich bitten, den von Dir eingebrachten Passus über Indizierungs-Beginn von Folgen wieder herauszunehmen.

• Als ich vor einiger Zeit die aktuelle Version der Einleitung zum Folge-Kapitel einbrachte, hatte ich noch nicht über Indizierungs-Beginn bei Folgen recherchiert. Dies habe ich inzwischen nachgeholt und feststellen müssen, dass über Indizierung, insbesondere über Indizierungs-Beginn, in der Fachliteratur meistens keine, oftmals auch widersprüchliche Aussagen zu finden sind.
• Um Theoriefindung zu vermeiden, schlug ich jetzt vor, den Passus über Indizierungs-Beginn herauszunehmen, und erst im weiteren Verlauf des Artikels anhand von Beispielen Indizierungs-Beginn intuitiv erkennen zu lassen, ohne dass, außer im Kapitel Formale Definition, expressis verbis darauf eingegangen wird.
• In der Mathematik werden meistens unendliche Folgen als Funktionen mit der Menge der natürlichen Zahlen {1,2,3,...} und endliche Folgen als Funktionen mit endlichen Abschnitten dieser Menge als Urbildmenge definiert (Z.B: Encyclopaedia of Mathematics/sequences ; Encyclopaedia of Mathematics/tuple ; Larry J. Gerstein: INTRODUCTION TO MATHEMATICAL STRUCTURES AND PROOFS, Springer-Verlag 1996). Mir ist wiederholt schon eine Folge-Definition begegnet (leider kann ich nicht mehr sagen wo), welche auch die Menge aller ganzen Zahlen als Urbildmenge zulässt und diese Folgen beidseitig unendlich nennt. (Xario, Du sprichst in diesem Zusammenhang von zusammengeklebten Folgen; ich kann mir nicht vorstellen, wie das definiert ist). Auch gibt es eine rekursive Definition des Folge-Begriffs, die dem umgangssprachlichem Wortsinn von "Folge" näher steht: Eine Folge der Länge 0 ist die leere Menge; eine Folge der Länge n>0 ist die Menge $\,\{f,\{x\}\}$, wobei $\,f$ eine Folge der Länge n-1 ist (Encyclopaedia of Mathematics/tuple/comments). Wie dies bei unendlichen Folgen aussieht, möchte ich, um Dich nicht übermäßig zu strapazieren, an dieser Stelle nicht explizieren.
• Glied-Indizierung ist kein Bestandteil einer Folge, sie ist nur ein Werkzeug, um Aussagen über Folgen formulieren zu können. So sind z.B. $(x^{i})_{i=1}^{\infty }$ und $(x\times x^{i})_{i=0}^{\infty }$ Darstellungen derselben Folge, einmal mit Indizierungs-Beginn 1, andermal mit 0. In Abhängigkeit der Bedürfnisse in einem mathematischen Kontext wird eine geeignete Art der Indizierung gewählt.
• Ausführlich auf mathematische Definitionen sollte m.E. im Kapitel Formale Definition eingegangen und das Problem der Indizierung behandelt werden. Sei gegrüßt --Lothario Hederich 19:23, 17. Jul. 2008 (CEST)

Hi zurück, ich geh erstmal auf deine Punkte ein:

1. Was meinst du mit widersprüchlich?
2. siehe 3
3. korrekt. Abbildung von den natürlichen Zahlen. Das ist auch das klassische und mMn intuitiv verständlichste Bild für das Wesen von Folgen. Ob man als Urbildmenge die ganzen Zahlen nimmt oder was anderes Abzählbares ändert nichts am Wesen, Aber Indizes, die negativ werden können sind aber contra-intuitiv (wieder mMn). Was ich mit "Zusammenkleben" meine sollte klar sein. Die Definition ist halt technisch. Die rekursive Definition die du anführst check ich nicht so schnell, ist aber auch egal, klar gibt es rekursiv-definierte Folgen. Das muss aber nicht in die Einleitung. MMn kann man den Folgenbegriff auch komplett konstruktiv angeben, auch das ist interessant, muss aber auch nicht in die Einleitung.
4. korrekt. Genauer gesagt nicht ein Werkzeug sondern das Werkzeug.
5. korrekt, aber: Ich bin der Meinung, in der Einleitung von Wikipedia-Mathe-Artikeln sollte das verständlichste (im besten Falle auch das bekannteste oder traditionelle) Bild einer mathematischen Idee vermittelt werden. Das ist bei mir: Folgen -> natürliche Zahlen (bzw. abzahlbar) -> wohlgeordnet (es gibt in jeder Teilmenge ein kleinstes Element) -> der kleinste Index ist 0 oder 1 (auch darüber gibts Grabenkämpfe)

Im Normalfall fangen Folgen bei 0 oder 1 an. Vergleichbar wären Laurentreihen, die versteht man viel leichter (bzw. kann sie überhaupt definieren) wenn vorher Potenzreihen bekannt sind. Deswegen find ich, auf den Indexstart sollte in der Einleitung erwähnt werden. Übersehe ich was? --χario 20:14, 17. Jul. 2008 (CEST)

Hallo Xario! Das zu Deiner Antwort:

1. Wenn jemand eine Folgen, f, als Funktion mit {1,2,3,…} als Urbildmenge definiert, dann sagt, dass man für die Komponente f(i) vereinfacht f_i schreibt und danach als Beispiel x₀,x₁,x₂,… angibt.
2. -
3. a. Zu negativen Indizes: Die Arrays in Programmiersprachen werden oft als Beispiele für Folgen angesehen. In den großen, die heutige Programmierpraxis bei Großrechnern beherrschenden modernen Programmiersprachen wie z.B. Fortran2003 (auch ältere Versionen), PL/1, Ada, können für Arrays in jedem Einzelfall Indizierungs-Beginn und Indizierungs-Ende festgelegt werden; z.B. kann man in Fortran: "FLOAT pressure(-20..40)" deklarieren, wenn man etwa die Druckskala für die Temperaturpunkte -20°, -19°, ... +40° in einer technischen Anlage verarbeiten möchte.
   b. Leider ist mir das Zusammenkleben für den fraglichen Fall nicht klar, insbesondere nicht, wie sich das i-te Glied einer zusammengeklebten Folge bestimmt, ohne erst einen der Anschaulichkeit und Einfachheit widersprechenden Algorithmus bemühen zu müssen.
   c. Kein Wunder, dass Du die rekursive Definition nicht checkst. Wie ich der von Dir kopierten Version meines Diskussionsbeitrags entnehme, sind beim Kopieren geschweifte Klammern verloren gegangen.
   d. Mich würde interessieren, was unter konstruktiv bei der Definition des Folgebegriffs zu verstehen ist.
   e. Ich stimme Dir zu, wenn Du sagst formale Definitionen gehören nicht in die Einleitung. Das habe ich auch schon im letzten Punkt meines Beitrags zum Ausdruck gebracht.
4. Stimme Dir weitgehend zu.
5. Ich meine, die Einleitung, so wie sie jetzt steht, jedoch ohne Bemerkung über Indizierungs-Beginn und ergänzt von einigen wenigen selbstredenden unmittelbar verständlichen Beispielen, ist für einen Laien verständlich und von einem Mathematiker nicht zu beanstanden. Mehr, meine ich, kann man nicht erreichen. Nebenbei: Das üblicherweise scheint mir sehr problematisch; wie wollte man das begründen?

Du führst die Laurentreihe an. Sie gibt ein typisches Beispiel für beidseitig unendliche Folgen. Warum sollte man diese Art von Folgen unterschlage. Sie gehören nun mal zur Mathematik und spielen dort eine "ebenso bedeutsame" Rolle wie jede andere Art von Folgen.

Ich werde mir entsprechend Punkt 4. Beispiele überlegen und in die Diskussion einbringen, damit Du sie begutachten und ergänzen und/oder modifizieren kannst. Gruß --Lothario Hederich 13:38, 18. Jul. 2008 (CEST)

Hi:

1. Dies führt aber doch nicht wirklich zu Komplikationen, denn die Abbildung, die erklärt, wie man x_i mit f(i) zu identifizieren hat, ist sehr kanonisch,
2. -
   1. Ok, hier ist doch der Artikel Folge (Mathematik), also argumentiere ich mathematisch (auch in der Einleitung) und nicht so sehr mittels Programmiersprachen und phsikalischen Skalen.
   2. Eine zusammengeklebte Folge definiere ich so (Achtung, TF-Gefahr): Eine Abbilung $a:\mathbb {Z} \to M,a_{i}:=a(i)$ heißt zusammengeklebte Folge, wenn $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ und $(b_{j})_{j\in \mathbb {N} }$ mit $b_{j}=a_{-j}$ jeweils Folgen sind. An dieser Stelle brauchen wir den "klassischen" Folgenbegriff über den natürlichen Zahlen und alles ist geritzt.
   3. Ich hatte gehofft, die geschweiften Klammern richtig ersetzt zu haben beim Kopieren - egal. Gab Probleme mit der Vorlage:Kasten
   4. Siehe Konstruktive Mathematik.

Eigentlich ist es doch nur eine Detailfrage: Ich will die Folgen über Z doch gar nicht verbannen, nur sollten sie mMn nicht in die Einleitung und die Einleitung muss auch nicht möglichst allgemeingültig formuliert sein, sondern möglichst verständlich und effizient. Aber dass es bei der klassischen Definition von Folgen immer ein erstes Element der Folge gibt, ist ein so wichtiger Punkt, dass er mMn in die Einleitung rein sollte. Irgendwie. Und da ich schon drölf mal gefragt worden bin ("fängt es mit 0 oder mit 1 an") eben beides, weil beides üblich ist (Ohne Quelle, aber das bestreitest du doch nicht, oder? Bei mathematischen Folgen?) --χario 14:11, 18. Jul. 2008 (CEST)

Hi! Wir werden uns schon noch einigen. Ich bin auf dem Sprung nach Weimar, wo ich das Vergnügen haben werde, vor Mitgliedern der Goethegesellschaft über eine Interpretation des Hexeneinmaleins im Faust zu referieren. Vergönne mir eine Diskussionspause bis Freitag. Gruß --Lothario Hederich 10:22, 19. Jul. 2008 (CEST)

Hallo Xario, ich bin wieder zurück aus Weimar. Mit meiner Aussage über Prog.-Sprachen habe ich nicht sagen wollen, dass so etwas in der Einleitung stehen sollte sondern wollte Dir gegenüber nur zum Ausdruck bringen, dass Folgen mit negativen Indizes in der Praxis durchaus von Bedeutung sind und auf Dein "üblicherweise" anspielen. So wie die Einleitung jetzt steht, sollte sie auch bleiben, allerdings ohne die sachlich nicht zu rechtfertigende Bemerkung über Indizierungs-Beginn. Anschließende einfache Beispiele besagen dann ausreichend viel, insbesondere lassen sie Aussagen über Indizierungs-Beginn, der in der Praxis ja nur eine untergeordnete Rolle spielt, offen. Beispiele wie die folgenden, welche sicher von jedem Schüler unmittelbar verstanden werden, könnten mE Klarheit verschaffen:

---

6-gliedrige Zahlenfolge:		$\,1,0,0,1,1,0$
4-gliedrige Folge trigonnometrischer Funktionen:		$\,\sin ,\cos ,\tan ,\cot$
3-gliedrige Folge unterschiedlichcher Objekt-Arten:		$\,\pi ,\sin ,\{x,y,z\}$
unendliche Folge von Mengen:		$\{\}\subset \{1\}\subset \{1,2\}\subset \{1,2,3\}\subset \cdots$
Folge der Potenzen von $\,x$:		$x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},\cdots$
Folge der Primzahlen:		$2,3,5,7,11,13,\cdots$

---

In der Formalen Definition kann dann auch auf das Indizierungsproblem eingegangen werden. Bei der formalen Definition endlicher Folgen, die ja wesentlich komplexer als die unendlicher ist, sollte man auf den Tupel-Artikel verweisen. Es grüßt Dich --Lothario Hederich 14:26, 25. Jul. 2008 (CEST)

Nachtrag: Könntest Du Dich vielleicht zu folgender Formulierung durchringen:

"wobei die Indizierung oftmals anders als bei Eins beginnt"

oder:

"wobei die Indizierung nicht notwendig bei Eins beginnt"

oder ähnlich? --Lothario Hederich 16:49, 27. Jul. 2008 (CEST)

Sorry, für meine späte Antwort, hab ein mittleres Computerproblem zu beheben :-) Aber die zweite Formulierung find ich passend, ev. "notwendig" durch "unbedingt" ersetzen? Du willst ja eh noch ein bisschen am Artikel feilen, nicht wahr? Ich bin mir nicht sicher, ob eine solche beispielhaften bunte Auflistung von Folgen wirklich das Verständnis erhöhen, es sollte nur klar werden, dass man nicht nur Zahlen-Folgen betrachtet und dass die Folge je nach Grundmenge mit unterschiedlichen Ansätzen untersucht werden kann. Aber gerade 2. und 3. helfen nicht wirklich das Wesen einer Folge zu verstehen :-) Und die Mengenfolge ist in Kettenschreibweise gehalten :-) --χario 21:16, 28. Jul. 2008 (CEST)

Nun gut, ich habe die Indizierungsbeginn-Passage Deinem Vorschlag entsprechend geändert, obwohl mir "nicht notwendig" besser gefiele als "nicht unbedingt"; beide sagen zwar dasselbe aus, erstere Wendung ist jedoch typischer mathematischer Jargon.

Ich habe längere Zeit über passende Beispiele nachgedacht. Ich wollte hervorheben, dass Zahlenfolgen nur unter ferner liefen zu sehen sind und wollte dies mit Beisp. 2,3,4 klar zum Ausdruck bringen. Bei Beispiel 4 dürfte jedem Leser klar sein, welche Folge da steht und als Trennsymbol der Glieder ist hier nicht das Komma sondern ein Symbol gewählt, welches auch eine Relation zwischen den Gliedern zum Ausdruck bringt. Das ist in der Mathem. üblich. Die Kettenschreibweise einer Folge ändert überhaupt nichts an der Folge als mathem. Objekt, schließlich ist auch das Komma nichts anderes als ein Verkettungssymbol, allerdings ein bedeutungsneutrales. Wenn Dir aber

$\{\}\,,\,\{1\}\,,\,\{1,2\}\,,\,\{1,2,3\}\,,\cdots$

besser gefällt, würde ich mich fügen, denn irgendwie sollten wir doch zu Potte kommen. :–) --Lothario Hederich 10:56, 29. Jul. 2008 (CEST)

Es ist sehr unbefriedigend und ungewöhnlich

eine Definition des Folge-Begriffs unter dem Aspekt von Glieder-Anordnung zu geben. In der seriösen Fachliteratur sind meiner Kenntnis nach Folgen immer als Funktionen mit der Menge der natürlichen Zahlen oder einem Abschnitt davon als Definitionsmenge definiert. Dies ließe sich mEn auch für den Laien formulieren:

• In einer unendliche Folge ist jeder natürlichen Zahl ein mathematisches Objekt zugeordnet, in einer endlichen Folge ist $\cdots$. Das der Zahl i zugeordnete Objekt wird i- tes Glied der Folge genannt. Die Niederschrift einer Folge beginnt mit einem Term für das erste Glied, darauf folgt ein Term für das zweite Glied usw. Beispiele: $\cdots$

Ich bin jedoch in meinem Vorschlag auf die Vorstellung der artikel-verantwortlichen Autoren eingegangen und habe mE ausreichend und verständlich formulierte. In den Beispielen versuchte ich u.a. klarzustellen, dass Folgen in der Mathematik nicht nur Zahlenfolgen sind. --Lothario Hederich 19:34, 6. Aug. 2008 (CEST)

Tut mir leid, aber die Einleitung war shcon wieder völlig untauglich, da komplett unverständlich. Ein einleitungsbandwurmsatz ist eine ganz schlechte Idee. Dasselbe gilt für diesen sich ständig forsetzenden Formatierungsunfug, der den Quelltext unlesbar macht und den Artikel schlechter lesbar. Die Beispiele waren teilweise sogar komplett redundant zu dm was direkt darunter stand... Ich schau aber mal, ob mir noch etwas besseres für die Einleitung einfällt, was den Kritikpunkt behebt. --P. Birken 09:03, 7. Aug. 2008 (CEST)

Deine humorvolle Art •••

••• im Umgang mit Bearbeitern, lieber Birken, beeindruckt mich sehr und ich werde mich bemühen, Deinem Vorbild zu folgen:

Tut mir leid, aber die Herausnahme des Beispiels mit der gegebenen Begründung: kein Mehrwert ist wieder mal völlig unprofessionell. Es war doch klar erkennbar, dass ich mit jedem Beispiel einen wichtigen Aspekt der Folgen anspreche:

• mit dem ersten, dass Folgenglieder gleich sein können;
• mit dem zweiten, dass Folgenglieder nicht Zahlen sein müssen;
• mit dem dritten, dem Herausgenommenen, dass die Glieder nicht alle derselben Klasse angehören müssen (diesen wichtigen Aspekt erspare ich mir hier, durch Beispiele zu belegen, Mathematiker sind damit ja bestens vertraut);
• mit dem vierten und fünften zusammen, dass auch unendliche Folgen Zahlenfolgen sein können aber nicht sein müssen;
• der Text zum letzte Beispiel soll klar herausstellen, dass der Indizierungsbeginn bei einer allgemeinen Folgenniederschrift nicht auf eine oder zwei Zahlen beschränkt ist. Diesen wichtigen Aspekt möchte ich an dieser Stelle nochmals anhand eines Beispiels verdeutlichen:

Indizierungsbeginn ist kein Bestandteil einer Folge sondern er kommt allenfalls zum Tragen, wenn man über eine Folge Betrachtungen anstellt oder sie explizit niederschreibt. So ist z.B. $(x_{i})_{i=n}^{\infty }$ für $\,x_{i}=a^{i}$ dieselbe Folge wie $(x)_{i=0}^{\infty }$ für $\,x_{i}=a^{n}a^{i}$, im ersteren Fall ist der Indizierungsbeginn n, im zweiten Fall 0; welche von beiden Formen ein Mathematiker wählt, kann ihm nicht vorgeschrieben werden und hängt vom Kontext ab, in dem er Aussagen über die Folge macht.

--Lothario Hederich 14:08, 8. Aug. 2008 (CEST)

Ich habe das mit dem Indizierungsbeginn zur formalen Definition geschrieben und diese nach oben gezogen. Das Beispiel ist wieder draußen, es hat mit dem worum es in diesem Artikel geht maximal am Rande zu tun und versperrt dadurch den Blick auf den eigentlichen Punkt. --P. Birken 20:39, 8. Aug. 2008 (CEST)

Kein Vorschlag für Artikel, nur zur Kenntnisnahme der relevanten Begriffe: Funktion und Folge

Definition nach Bourbaki: Elements de Mathematique, Theorie des Ensembles

Eine Funktion ist eine Menge geordneter Paare, welche keine zwei verschiedenen Elemente mit gleichen linken Komponenten enthält.

Es sei F eine Funktion

• Die Menge der linken Komponenten der Elemente von F heißt Index- oder Urbildmenge von F und deren Elemente Indizes oder Urbilder in F.
• Die Menge der rechten Komponenten der Elemente von F heißt Bildmenge von F unf deren Elemente Bilder unter F.
• Ist x ein Index in F , dann bezeichnet man mit F(x) dasjenige Bild unter F, für welches (x,F(x)) ε F gilt und nennt es Bild von x unter F.

Es sei A eine Menge und Ω eine Objektklasse.

A→ bezeichnet die Klasse aller Funktionen mit Indexmenge A.

A→Ω bezeichnet die Klasse aller Funktionen mit Indexmenge A, deren Bilder Objekte aus Ω sind. Ist A nicht leer, dann ist A→Ω genau dann eine echte Klasse, wenn Ω eine echte Klasse ist.

Beispiele: Folgen, hier nennt man die Bilder unter der Funktion auch Glieder.
N: Menge der positiven ganzen Zahlen (natürliche Zahlen)
R: Menge der reellen Zahlen

N →	Klasse der unendlichen Folgen
N → Abelsche Gruppen	Klasse der unendlichen Folgen, deren Glieder Abelsche Gruppen sind
N → Mengen	Klasse der unendlichen Folgen, deren Glieder Mengen sind
N → R	Klasse der unendlichen Folgen, deren Glieder reelle Zahlen sind. Diese Klasse ist nicht echt, also eine Menge

--Lothario Hederich 17:46, 11. Aug. 2008 (CEST)

Weder die Definition (das ist graphe fonctionnel, nicht fonction) noch die Notation stehen so bei Bourbaki.--80.136.136.133 18:39, 11. Aug. 2008 (CEST)

Das stimmt, was Du sagst. Ich habe aber lediglich den Sinn der Bourbakischen Definition wiedergegeben, also das, was B. mit Familie bzw. funktioneller Graph meint --Lothario Hederich 22:11, 11. Aug. 2008 (CEST)

artikel-unabhaengige diskussion auf user talk:Hederich verschoben. -- seth 19:51, 11. Sep. 2008 (CEST)

Nur Kleinigkeiten

P. Birkens Revert hat mich ziemlich erstaunt:

1. Kommas sind im Deutschen in aller Regel keine Geschmacksache. Sätze werden durch Kommas getrennt, eingeschobene Sätze in Kommas eingeschlossen. Und "aus denen die Folge zusammengesetzt ist" ist ein Satz mit allem, was dazu gehört. Da gibt es keinen Spielraum, auch in der NSR nicht. Ich ändere das gleich mal wieder, weil es so eindeutig falsch ist.
2. Es scheint mir eine gute Sache zu sein, bei einer im Fließtext stehenden Definition das Definiendum hervorzuheben. Das verbessert durchaus die Lesbarkeit, nicht wegen der schöneren Optik, sondern weil der Leser so darauf aufmerksam gemacht wird, dass hier ein neuer Begriff eingeführt wird. Auch kann er, wenn er die Bedeutung noch mal genauer nachlesen will, leichter im Text zurückspringen. Da es sich hier um eine sehr einfache Definition handelt, die zudem sofort anschließend verwendet wird, kann man natürlich unterschiedlicher Ansicht darüber sein, ob das in diesem Fall nötig ist.

Überhaupt finde ich es nicht schön, wenn solche Kleinigkeiten ohne zwingenden Grund revertet werden. Auf Neulinge, die sich vorsichtig an eine ernsthafte Mitarbeit herantasten wollen, wirkt sowas sehr entmutigend. Wir sollten uns doch gegenseitig unterstellen, dass wir uns bei unseren Änderungen was gedacht haben. Wenn es mir wichtig genug ist, frage ich in solchen Fällen lieber erst beim Bearbeiter nach (offensichtlicher Unfug natürlich ausgenommen).

-- Peter Steinberg 10:48, 12. Sep. 2008 (CEST)

Dieser Diskussionsbeitrag beschäftigt mit der Frage nach dem Nummerierungsbeginn von Folgengliedern.

Was hier ausgeführt wird, entspricht mMn den Aussagen des Artikels.

Nehmen wir an, die Definition des Begriffs unendliche Folge lautet so:

Eine unendliche Folge ist eine Funktion, deren Definitionsmenge {0,1,2,..} oder {1,2,3,…} ist. Im ersten Fall nennt man die Folge bei Null beginnend, im zweiten bei Eins beginnend. Ist (i,x) ein Element einer Folge, f, dann nennt man x das i-te Glied von f.

Nehmen wir ferner an, es sei definiert:

Eine Folge, f, heißt arithmetische Folge, wenn es Zahlen a und b gibt, so dass f(k)=a und f(i+1)=f(i)+b für i>k, wobei k=0, wenn f bei Null beginnend ist, andernfalls k=1.

Nehmen wir auch dieses an:

dass eine arithmetischen Folge durch Niederschrift von mindestens zwei Anfangsgliedern eindeutig bestimmt ist.

Ein Mathematiker definiert die arithmetische Folge A:={(i,0)|i=0,1,2,...} und eine weitere arithm. Folge B:={(i,0)|i=1,2,3,...}. Die Aussage A ≠ B erkennt er als wahr. Sich der dritten Annahme erinnernd, muss er dann auch die Aussage (0,0,...) ≠ (0,0,...) als wahr erkennen.

Aus diesem Dilemma kommt man heraus:

• indem man sagt: Seien wir doch nicht so pingelich.

• indem man Darstellungen von unendlichen Folgen mit einem Kennzeichen versieht, welches angibt, ob die Folge bei Null oder Bei Eins beginnend ist.
  Dann wäre beispielsweise die Aussage ⁰(0,0,...) ≠ ¹(0,0,...) tatsächlich wahr.

• indem man sich bei der Definition auf eine Beginn-Art beschränkt.
  Bei einer allgemeinen Folgen-Niederschrift bleibt es ohnehin frei, wie man indiziert: So (a₀,a₁,a₂,...) oder so (a₁,a₂,a₃,...) oder mit noch anderem Erstindex. Das berührt nicht die Folge als mathematisches Objekt.

Ich kann nicht erkennen, wo unterschiedlicher Nummerierungsbeginn (im Gegensatz zum Indizierungsbeginn bei Niederschriften) von essentieller Bedeutung ist, so dass ich dafürhalte, im Artikel nur Folgen bei Eins beginnend zu definieren. --Lothario Hederich 18:19, 12. Sep. 2008 (CEST)

Bei Summenformeln (z.B. geometrische Reihe) bin ich schon öfters darüber gestolpert, dass nicht ganz klar war, ob jetzt bei 0 oder bei 1 zu zählen begonnen wird; der Unterschied ist also wesentlich. Der Artikel solle aber natürlich so weit wie möglich einheitlich sein. --NeoUrfahraner 07:23, 13. Sep. 2008 (CEST)

Meinst Du damit, Folge soll wie oben in der ersten Annahme definiert sein? Könnte man vielleich noch anders definieren, ohne dass man in Verlegenheit kommt, wie oben ausgeführt (...)≠(...) schreiben zu können? --Lothario Hederich 11:42, 13. Sep. 2008 (CEST)

Ich meine damit, dass Dein zweiter Punkt von oben gilt: eigentlich müsste man kennzeichnen, ob man bei 0 oder 1 beginnt. Tatsächlich ist mir aber keine anerkannte Notation dafür bekannt. Es ist allerdings ein großer Unterschied, ob die Summe der geometrischen Reihe $a_{n}=q^{n}$ nun gleich ${\frac {1}{1-q}}$ oder ${\frac {q}{1-q}}$ ist. --NeoUrfahraner 14:35, 13. Sep. 2008 (CEST)

Ergänzung: es gibt da doch eine halbewegs verbreitete Notation, wie sie z.B. auch auf fr:Suite (mathématiques) zu finden ist: $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ bzw. $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{1}}$. Die russische Version $\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty }$ bzw. $\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ habe ich vorher noch nicht gesehen, ist aber auch sehr einleuchtend. --NeoUrfahraner 18:05, 13. Sep. 2008 (CEST)

Ein Lehrbuch muss immer eine klare Definition liefern, weil dann ja mit den Begriffen gearbeitet wird. Wikipediaartikel, bei denen es um konkrete Folgen geht, müssen das in der Regel nicht: Sobald man die Folge durch Angebe der Glieder oder Rekursionsformel oder... konkret definiert ist klar was Sache ist. Die Eigenschaften von Folgen sind völlig unabhängig davon, ob man eine Folgen über N, N_0, N vereinigt mit {-2,-1} oder 2k definiert. Deswegen bin ich halt dafür, hier das Wesen einer Folge aufzuschreiben wie in der Einleitung und bei der formalen Definition eben formaler zu werden über die Abbildung aber da auch aufzuschreiben, dass man es anders machen kann. Sprich: Ich sehe keinen großen Änderungsbedarf und würde dem Satz "Seien wir doch nicht so pingelig" zustimmen. --P. Birken 19:59, 14. Sep. 2008 (CEST)

Ok! Ergänzend möchte ich bemerken: Die Einleitung des Artikels sollte jedoch kritischen Lesern keinen Anlass zu ernsthaften Bedenken geben. Im aktuellen Artikel könnte der Passus "eine in ihrer Anordnung festgelegte Auflistung von endlich oder unendlich vielen Objekten" so ein Anlass sein. Eine nur aus einem einzigen Objekt, z.B. der Eins, bestehende unendliche Folge wäre, den Passus wörtlich nehmend, nicht unendlich. Ersetzte man das letzte Wort durch "nummerierten Objekten", aber besser und mehr aussagend durch "forlaufend" oder "durchgehend nummerierten Objekten", dann entspräche es der Definition des Folge-Begriff, wonach Folgen Mengen nummerierter Objekte, d.h. geordneter Paare mit Nummern (ganzen Zahlen) als erste Komponenten, sind und die Nummerierung fortlaufend (durchgehend) ist. Dem unbedarften Leser sollte der Zusatz "durchgehend nummerierten" das Verständnis nicht erschweren, vielleicht eher erleichtern, dem kritischen eventuellen Anlass zu Bedenken nehmen. Hinzu käme, dass der Satz "Das Objekt mit dem Index i wird i-tes Glied oder i-te Komponente der Folge genannt" einen Sinn bekäme, denn er steht ja jetzt an einer Stelle, wo noch nicht gesagt wurde, was ein Index ist, allerdings müsste "Index" durch "Nummer" ersetzt werden.

Weiter: Der erste Satz der Einleitung lautet dann so: "Als Folge wird in der Mathematik eine in ihrer Anordnung festgelegte Auflistung von endlich oder unendlich vielen fortlaufend numerierten Objekten bezeichnet." Das Wort "Auflistung" impliziert mVn "festgelegte Anordnung", so dass dasselbe mit "Als 'Folge' wird in der Mathematik eine Auflistung von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten bezeichnet." gesagt wäre. Aber auch der Passus "fortlaufend nummerierten Objekten" kann als ähnlich-, wenn nicht sogar gleichaussagend mit "Auflistung von Objekten" gesehen werden. Redundanzfrei und, wie ich es empfinde, klarer ist der Satz "Eine Folge besteht aus endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten." Dies wäre eine in verständlichen Worten gefasste präzise Definition des Folgebegriffs, die noch alles über Nummerierungsbeginn offen lässt. Der Rest der Einleitung müsste noch dem ersten Satz angepasst werden, was auszuführen ich mir an dieser Stelle erst einmal erspare. --Lothario Hederich 13:10, 15. Sep. 2008 (CEST)

Ich habe das mal in die Einleitung übernommen, weitere Änderungen am Folgetext schienen mir nicht nötig. --P. Birken 20:46, 15. Sep. 2008 (CEST)

Die Einleitung finde ich immer noch sehr unbefriedigend.

• Erster Satz: Dass da schon von „endlich oder unendlich vielen (…) Objekten“ die Rede ist, ist irreführend. Auch unendliche Folgen können endlich viele oder gar nur ein Objekt auflisten (wie (0;0;0;…)). Gemeint ist wahrscheinlich: „eine in ihrer Anordnung festgelegte endliche oder unendliche Auflistung von Objekten“. Da kann sich aber der Leser dann fragen, wie er sich eine „unendliche Auflistung“ wohl vorstellen soll.
• Dritter Satz: Was ein Index ist, wird nicht gesagt (nicht mal verlinkt), es soll aber damit erklärt werden, was das „i-te Glied“ ist. Eine solche Erklärung ist unnötig. Wer sich unter einer „Auflistung“ etwas vorstellen kann, denkt dabei automatisch deren 1., 2., 3. und, wenn er den Umgang mit Variablen gewohnt ist, auch i-tes Glied. Umgekehrt wird u.U. ein Schuh draus: Über das 1., 2., 3., … i-te Glied kann man vielleicht den Begriff „Index“ erklären.
• Vierter Satz: Hier wird nun (endlich!) klargestellt, dass es für die Frage „endliche oder unendliche Folge“ nicht auf die Menge der Objekte, sondern auf den „Index-Bereich“ (warum eigentlich nicht die Index-Menge?) ankommt. Nur ist der (die) noch nicht ordentlich erklärt. Und ein Hinweis darauf, dass er (sie) höchstens abzählbar unendlich sein darf, fehlt auch. (Na schön, dass kann man vielleicht aus dem Begriff „Auflistung“ erschließen, oder auch aus „nummeriert“. Aber richtig deutlich ist das nicht.)
• Sechster Satz: Es bleibt dem Scharfsinn des Lesers überlassen, herauszufinden, ob eine „leere Folge“ dasselbe ist wie eine „0-gliedrige Folge“.

Auch die „Formale Definition“ ist IMHO nicht in Ordnung: Die Indexmenge muss nicht unbedingt N sein. Da wird ja dann auch gleich N₀ ins Spiel gebracht, nur ist nicht wirklich deutlich, wie. In Wahrheit kommt es ja nur darauf an, dass die Indexmenge abzählbar und diskret ist. Auch Folgen von der Art (a_-2, a_-1, a₀, a₁, a₂, a₃, …) werden ja durchaus benutzt, wo dies nützlich ist. Mir scheint, die Indexmenge sollte Z sein oder (meist) eine Teilmenge davon. Ich ändere das mal gleich so.

Wie dann aber der Einleitungsabschnitt aussehen soll, ist mir durchaus noch nicht klar.

-- Peter Steinberg 00:38, 16. Sep. 2008 (CEST)

Die jetzt vorliegende formale Definition gefällt mir nicht schlecht. Dir gefällt 0-gliedrige Folge nicht, ok, man findet es schon mal, ist aber nicht wichtig. Deine Bemerkungen die Einleitung betreffend sind nicht von der Hand zu weisen. Vielleicht solltest Du einen Vorschlag mit Deiner Vorstellung hier einbringen, es wären ja nur wenige Zeilen, man könnte dann darüber diskutieren.

--Lothario Hederich 10:37, 16. Sep. 2008 (CEST)

Lothario Hederichs Zustimmung freut mich. Nur ist mir grad aufgefallen, dass in der „formalen Definition“ immer noch von unendlichen Folgen die Rede ist, obgleich sie doch jetzt für endliche Folgen ebenfalls gilt. Ich bringe das gleich in Ordnung.

Über die Einleitung denke ich weiter nach, das ist ungleich schwerer.

Gegen die Bezeichnung „0-gliedrige Folge“ habe ich nichts, nur sollte man klarstellen, dass das dasselbe ist wie eine leere Folge.

-- Peter Steinberg 23:04, 16. Sep. 2008 (CEST)

Nochwas zu Lothario Hederichs Ausgangsfrage dieses Diskussionesabschnitts:

In der Tat sind das, was du als ⁰(0,0,...) und ¹(0,0,...) bezeichnest, unterschiedliche Folgen, das sieht man schon an ihrer Definition. Dass sie abgekürzt beide (0,0,...) geschrieben werden, liegt wirklich nur an der Abkürzung. Schließlich ist ja auch I ≠ I, wenn links das römische Zahlzeichen gemeint ist und rechts das chemische Zeichen für Jod. Was falsch ist, ist die Behauptung, dass eine arithmetischen Folge durch Niederschrift von mindestens zwei Anfangsgliedern eindeutig bestimmt ist. Man muss, genau genommen, dazu noch die Indexmenge angeben. Nur interessiert das keinen Menschen im Ernst. -- Peter Steinberg 23:44, 16. Sep. 2008 (CEST)

Peter Steinbergs Eingehen auf meine Argumentation freut mich. Allerdings irritiert mich ein wenig der Satz "Nur interessiert das keinen Menschen im Ernst". Der Satz scheint mir das Indizierungsproblem von Folgen zu relativieren. --Lothario Hederich 08:08, 17. Sep. 2008 (CEST)

Das möchte ich auch unterstreichen. Es gibt zwar viele Fälle, in denen die Indexmenge tatsächlich uninteressant ist (z.B. Konvergenzfragen). Wenn es aber um's konkrete Rechnen geht, passiert es mir immer wieder, dass dieser "fehlende Ernst" beim Indizierungsproblem für Verwirrung sorgt. Neben den schon erwähnten Summenformeln fallen mir da etwa auch die Bernoulli-Zahlen, bei denen zwei unterschiedliche Indizierungen verbreitet sind und damit zwei leicht unterschiedliche Formelsammlung_Trigonometrie#Reihenentwicklungen ergeben. --NeoUrfahraner 08:55, 17. Sep. 2008 (CEST)

PS zu meinem vorstehenden Beitrag: Peter, ich habe Dich so verstanden, dass es Fälle gibt, wo spezielle, von N verschiedene Indexmengen unbedingt erforderlich sind. Da mir bedauerlicher Weise kein solcher Fall gegenwärtig war (und noch ist), ging ich von der Vorstellung aus, der Folgen-Begriff sei so definiert wie in der meisten mir zugänglichen Literatur, unter vielen anderen diese. Vielleicht kannst Du mir an einem konkreten Beispiel die Notwendigkeit einer von N verschiedenen Folgenindizierung darlegen. Mir wäre dann sehr geholfen. Prophylaktisch: herzlichen Dank. -- Lothario Hederich 10:48, 17. Sep. 2008 (CEST)

z.B. Laurentreihe --NeoUrfahraner 12:49, 17. Sep. 2008 (CEST)

Das stimmt, allerdings ist dieses Beispiel trivial. Ich hätte gerne eins für Folgen mit einer ins Negative begrenzten Indexmenge. -- Lothario Hederich 13:53, 17. Sep. 2008 (CEST)

Trinomial Triangle --NeoUrfahraner 16:05, 17. Sep. 2008 (CEST)

Kopiert aus: Benutzer Diskussion:Peter Steinberg#Immer noch nicht kann ich ... Immer noch nicht kann ich Folgenglieder-Nummerierung anders als durchlaufend und mit Eins beginnend einsehen. Du jedoch teilst meine Meinung nicht, wie ich aus Deiner letzten Überarbeitung des Formale-Definition-Kapitels im Folge-Artikel entnommen hatte (die übrigens inzwischen von P.Birken (meinen Vorstellungen entsprechend) wiederum abgeändert wurde.) Ich würde meine Vorstellung umgehend revidieren, hätte ich auch nur ein einziges Beispiel aus dem hervorgeht, dass auch andere Nummerierung als mit Eins beginnend erforderlich ist. Ist Dir eines bekannt, würde es mich sehr freuen, wenn Du es auf der DiskSeite des Folge-Artikels einstelltest.Grüße --Lothario Hederich 11:24, 19. Sep. 2008 (CEST)

Genau was du so schlimm findest, möchte ich: „das Indizierungsproblem von Folgen (…) relativieren“! Steht da etwa: (7;10;13;16;…), so sieht jeder gleich: Aha, eine arthimetische Folge mit Anfangsglied 7 und Differenz 3. Kein Mensch interessiert sich zunächst dafür, wie das wohl indiziert ist. Wenn aber jemand das allgemeine Glied dieser Folge angeben möchte, kann er (als N₀-Fan) schreiben: 7+i*3, oder (als N-Fan) 7+(i-1)*3. Nun ist aber 7+(i-1)*3 dasselbe wie 4+3*i, was der N₀-Fan jedoch für die Folge (4;7;13;…) ansieht. Beide sollte sich also gefälligst dazu äußern, was ihre Indexmenge ist, und wenn sie das nicht tun, ist das der "fehlende Ernst", den NeoUrfahraner zu Recht so bemängelt. Besonders in Formelsammlungen ist das außerordentlich lästig und dürfte eigentlich nicht vorkommen.

Wirklich notwendig sind Indexmengen ≠ N freilich nicht. Man kann ja hne Schwierigkeiten „umindizieren“. (Erläuterung folgt). -- Peter Steinberg 01:22, 20. Sep. 2008 (CEST)

Dem stimme ich auch zu. Solange man die entsprechende Folge durch Indextransformation auf eine Folge mit Indexmenge N umformen kann, bringen andere Indexmengen mathematisch nichts Neues. Von einem gewissen Abstaktionsniveau aus betrachtet sind sie das selbe. Es gibt also keinen mathematisch zwingenden Grund, eine andere Indexmenge zu verwenden. Sobald man das Prinzip aber verstanden hat, gibt es aber auch keinen zwingenden Grund mehr, von N abweichende Indexmengen zu verbieten: die verwendete Indextransformation "denkt" man sich dann einfach dazu. Man könnte selbstverständlich die Indizes in der Laurentreihe so bezeichnen, dass ungerade Indeizes sich auf negative Exponenten und gerade Indizes sich auf positive Exponenten beziehen, aber sehr praktisch ist das nicht.

Mathematisch Neues kommt dazu, wenn die Indexmenge nicht mehr linear geordnet ist, also z.B. Doppelfolgen oder in einem weiteren Schritt Moore-Smith-Folgen, aber das gehört nicht mehr in diesen Artikel. --NeoUrfahraner 08:27, 20. Sep. 2008 (CEST)

Folge als Auflistung mathematischer Objekte verstanden, hat, wie immer auch ihre (formale) Definition lauten mag, wenn sie nicht leer ist, ein in der ersten Position stehendes Glied und, wenn sie noch weitere Glieder hat, ein in der zweiten Position stehendes Glied ect. Dies ist eine Binsenerkenntnis. Ihr im Fall unendliche Folge formal genüge zu tun bedeutet f:N->? zu definieren (entsprechend endliche Folgen), wobei p im Folgenelement (p,x) die Position von x in der Folge angibt. Würde neben N z.B. auch No zugelassen sein, dann wäre man verleitet zu sagen, es gibt Folgen ohne ein Glied in der ersten Position.

Etwas ganz anderes ist es, wenn man in einem mathematischen Text z.B. "a_0, a_1, …" schreibt. Das ist ja nur eine Folgen-Niederschrift, bestehend, wie jede Niederschrift mathematischer Objekte, aus Termen , die ja keine Objekte, sondern lediglich Objektbezeichnungen sind. Die verwendeten Indizes bei einer Folgen-Niederschrift sind nicht zu verwechseln mit den Positionsnummern der Folgen-Glieder.

Eine andere, gleichwertige, formale Definitionen des Folge-Begriffs, die Folge als eine in ihrer Anordnung festgelegte Auflistung, wie es in der Einleitung des Folgeartikel steht, ansieht, lässt keine Möglichkeit zu, anders als mit Eins beginnend zu nummerieren, sie findet sich hier.

--Lothario Hederich 12:51, 20. Sep. 2008 (CEST)

Was sagen also die Binsen, wie eine Laurentreihe zu schreiben ist? --NeoUrfahraner

Laurentine uff de Reihe kenn ik nich. Ik hab jejenüber Dir mir schon jeäußert: Laurentine uff de Folge isn schnieke Ding, janz draußen. Hastn Idee wie ma se rinchriejen kann? Mit Jruss --Lothario Hederich 16:22, 20. Sep. 2008 (CEST)

Vorschlag zur Einleitung

Ok, Lothario Hederichs Argumentation leuchtet mir ein (die von gestern mittag meine ich). Daraus folgt aber, dass eine Folge nicht von vorn herein eine nummerierte Auflistung ist („in ihrer Anordnung festgelegt“ + „nummeriert“ kling eh' ein bisschen komisch.) Die Nummerierung erfolgt nach Bedarf eben durch die Einführung von Indizes. Das mit dem endlich oder unendlich sollte man recht sorgfältig behandeln. „Unendliche Auflistung“ ist bei genauer Betrachtung wirklich Quatsch. Hier mein Vorschlag für die Einleitung:

Eine Folge ist in der Mathematik eine in ihrer Anordnung festgelegte Aufreihung von irgendwelchen Objekten (häufig von Zahlen). Diese Objekte werden die Glieder der Folge genannt. Ein und dasselbe Objekt kann auch mehrfach als Folgenglied auftreten. Gibt es kein letztes Glied, so spricht man von einer unendlichen Folge. Eine unendliche Folge kann man natürlich nicht als Auflistung schreiben. Vielmehr muss ein Bildungsgesetz bekannt sein oder sich aus den aufgeschriebenen Anfangsgliedern zweifelsfrei erschließen lassen.

Endliche Folgen heißen auch Tupel. Insbesondere bei Tupeln nennt man die Glieder auch Komponenten. Enthält eine endliche Folge n Glieder, spricht man von einer Folge der Länge n, einer n-gliedrigen Folge oder von einem n-Tupel. Die Folge ohne Glieder wird leere Folge, 0-gliedrige Folge oder 0-Tupel genannt.

Die Glieder einer Folge werden häufig fortlaufend nummeriert (mit einem Index versehen). Die Nummerierung beginnt in der Regel bei 1 oder 0, die Indexmenge ist (bei unendlichen Folgen) also die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null ($\mathbb {N}$) oder mit Null ($\mathbb {N} _{0}$). Wenn dies zweckmäßig erscheint, kann die Nummerierung aber auch bei einer anderen ganzen Zahl beginnen. Das Glied mit dem Index i wird dann i-tes Glied oder i-te Komponente bezeichnet, sodass gelegentlich auch vom „0.“ oder „−2.“ Folgenglied die Rede ist.

Die formale Definition wünsche ich mir dann eigentlich wieder die letzte Version vom 16.09. P. Birken hat schon recht, das ist nicht die Standarddefinition, aber die bringt m.E. nach all den Vorbereitungen auch nicht mehr viel, und wo wir dann formal werden, können wir auch allgemein werden.

Darf ich vielleicht noch einen Witz beisteuern? --– „Es gibt zwei Arten von Mathematikern: Die einen beginnen ihre Folgen mit 1, die anderen mit 0. - Wollen wir wetten: Du gehörst zu den Ersten!“ - Auflösung auf Nachfrage.

-- Peter Steinberg 12:44, 21. Sep. 2008 (CEST)

Dein Einleitungstext klingt nicht schlecht. Ich hätte aber anstelle: "von irgendwelchen Objekten (häufig von Zahlen)" das geschrieben: "von mathematischen Objekten (zum Beispiel Zahlen)"

Kleine Hilfstellung zur Auflösung Der Frage im Witz-Rätsel: Was hältst Du von der Folge    $(x_{i})_{i=1}^{\infty };\;x_{i}\!:=\!2^{i}$    und der Folge    $(x_{i})_{i=0}^{\infty };\;x_{i}\!:=\!2*2^{i}$   sowie der Folge    $2,4,8,\ldots$ ? Kannst Du es Dir vorstellen, dass jemand diese drei Folgen als verschieden ansehen möchte? Vielleicht weil die ersten beiden unterschiedlich indiziert sind?

--Lothario Hederich 16:58, 21. Sep. 2008 (CEST)

en:Shift operator, en:Lag operator --NeoUrfahraner 22:22, 21. Sep. 2008 (CEST)

@Lothario Hederich: Den Änderungsvorschlag finde ich gut und übernehme ihn gerne.

@ deine Randbemerkung zu „gleich und verschieden“: In Nachahmung von Einstein möchte ich sagen: „Was Gleichheit ist, weiß ich immer so lange, bis mich jemand danach fragt.“ Das fängt ja schon in der Schule an, und da schon in der 6. Klasse: Ist „2/4“ und „3/6“ wirklich dasselbe? Neulich habe ich kühn behauptet, ⁰(0,0,...) und ¹(0,0,...) seien „in der Tat“ unterschiedliche Folgen. Inzwischen habe ich eine Reihe von Folgen-Definitionen nachgelesen und festgestellt: Nach den meisten ist ⁰(0,0,...) gar keine Folge. Und wenn es doch eine ist, und „jemand diese (…) Folgen als verschieden ansehen möchte“(!), so soll er das halt tun. Jede formale Definition wird ihm recht geben, es sei denn, sie definiert eine „Folge“ als „eine Äquivalenzklasse von … – (irgendwas, wo ⁰(0,0,...) und ¹(0,0,...) halt in die selbe fallen)“. Genau genommen ist doch auch die „2“, die ich eben hingeschrieben habe, nicht dieselbe, wie die „2“, die ich nun schreibe.

Aber noch mal ernsthaft: Mir ist aufgefallen, dass in der von mir vorgeschlagenen Formulierung auch die leere Folge eine unendliche Folge ist. Hat jemand einen Vorschlag, wie man das beheben kann?

-- Peter Steinberg 23:47, 21. Sep. 2008 (CEST)

Deine letzte Bemerkung, Peter Steinberg, hat mich veranlasst, nochmals grünlich über die Einleitung zum Folgeartikel nachzudenken. Das Ergebnis sind 6 Alternativen, die ich hier abgelegt habe. Jede von diesen findet sich durch Literatur begründet. Mich würde es interessieren, welche Alternative von wem bevorzugt wird, insbesondere, welche Du und welche P.Birken.

--Lothario Hederich 18:41, 23. Sep. 2008 (CEST)

Da ich nicht dort weiter diskutieren möchte, kopiere ich das mal nach und nach hierher. Zunächst die Einzelbestandteile zur vorläufigen Definition, wobei ich zu jedem gleich meinen Kommentar abgebe:

a	Eine Folge ist eine in ihrer Anordnung festgelegte endliche oder unendliche Auflistung mathematischer Objekte	Eine „unendliche Auflistung“ ist IMHO Quatsch. Wenn ich mir unter einer Auflistung überhaupt etwas vorstellen soll, ist es was Geschriebenes. Und dass das unendlich sein kann, glaube ich erst, wenn mir's jemand vorgelesen hat.
a+	Eine Folge ist eine in ihrer Anordnung festgelegte endliche oder unendliche Auflistung fortlaufend nummerierter mathematischer Objekte	Siehe a. Zudem hab ich mich doch gerade überzeugen lassen, dass eine Folge nicht von vorn herein eine bestimmte Nummerierung tragen muss.
b	Eine Folge besteht aus endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten mathematischen Objekten	Dass auf mathematische Objekte Bezug genommen wird, finde ich gut. Dass es endlich oder unendlich viele sein können, ist auch nicht falsch, aber sehr irreführend. Denn auch eine unendliche Folge kann kann bekanntlich aus endlich vielen oder gar nur einem Objekt „bestehen“. Und „bestehen“ ist auch nicht ganz korrekt, denn die Objekte machen noch nicht die Folge aus, sondern erst ihre Anordnung.
c	wobei die Nummerierung mit Eins beginnt	stimmt, nach vielen formalen Definitionen. Die sind aber sofort vergessen, wenn die Mathematiker etwas anderes nützlich finden.
c+	wobei die Nummerierung mit einer ganzen Zahl k beginnt	stimmt, aber nur, wenn eine Nummerierung vorgenommen wurde. Da steht vielleicht ganz schlicht: (-7, -4, -1, 2, 5, 8,…). Nun sag mir einer, bei welche ganzen Zahl die Nummerierung beginnt…
d	Dasselbe Objekt kann mehrfach auftreten	Richtig, unbestritten. Und das muss auch unbedingt gesagt werden.
e	Das an i-ter Stelle der Auflistung stehende Objekt heißt i-tes Glied der Folge	Leerformel. Da kann man doch auch gleich schreiben: „das i-te Glied heißt i-tes Glied“.
f	Das Objekt mit der Nummer i heißt i-tes Glied der Folge	Gemeint ist offenbar: „Wenn eine Nummerierung vorgenommen wird, wird das Glied mit der Nummer i auch i-tes Glied genannt“ - (obgleich es, wenn die Nummerierung bei k ∈ Z beginnt, es natürlich das (i-k+1)-te Glied ist).
g	Hat eine endlichen Folgen ein n-tes, aber kein (n+1)-tes Glied, dann wird n die Länge der Folge genannt und man nennt sie n-gliedrig oder n-Tupel	Soll jetzt (in der Einleitung!) auch noch die Länge einer Folge definiert werden? - Na schön; dann müsste aber erst mal definiert sein, was eine endliche Folge ist.
g+	Hat eine endlichen Folgen ein n-tes, aber kein (n+1)-tes Glied dann wird n-(k-1) die Länge der Folge genannt und man nennt sie n-gliedrig oder, wenn k = 1 auch n-Tupel	Siehe g und f.
h	Ist k ≠ 1, dann ist zwischen dem an i-ter Stelle der Auflistung stehenden Objekt und dem i-tem Glied zu unterscheiden	Das ist richtig, wenn man Folge so versteht, wie es sich jetzt aus der Diskussion ergeben hat. Nur frage ich mich: Ist dieser Satz eher erklärend oder verwirrend? - Mir wäre es lieber, wenn jemand, der nicht so tief in die Materie einsteigen will, dies übersehen, und jemand, der sich intensiv damit befasst, selbst zu diesem Schluss kommen würde.
i	Aus formalen Gründen spricht man auch von einer Folge ohne Glieder und nennt sie leere oder 0-gliedrige Folge oder 0-Tupel	Sehr ok, und auch eine schöne Formulierung. Nur: Wie und wo sagt man dies, damit keine Schwierigkeiten mit den „unendlichen Nullfolgen“ entstehen?

Meine Folgerungen aus all dem, die (ihr ahnt es) im Großen und Ganzen auf eine Verteidigung meines Vorschlags rauslaufen, nenne ich ein bisschen später.

-- Peter Steinberg 00:16, 24. Sep. 2008 (CEST)

Also mir gefällt obiger Einleitungstext auch eigentlich ganz gut, stimme auch zu, von mathematischen Objekten zu sprechen und vielleicht etwas deutlicher zu machen, dass die Folgenglieder in Reihenfolge gebracht werden. --χario 23:22, 23. Sep. 2008 (CEST)

Ich entnehme Deinem Kommentar, Peter Steinberg, dass ich mich hier nicht klar genug ausgedrückt habe: Die Sätze a bis i dienen lediglich zur übersichtlichen Formulierung von Vorschläge für die Einleitung zum Folgeartikel. Unterhalb dieser Sätzen stehen die 6 Vorschläge 1, 2.1 – 2.3, 3.1, 3.2. Die Vorschläge sind informelle Formulierungen der noch weiter unten angegebenen üblichen Definitionen.

Nun zu Deiner Kritik:

1. Zu a: Die hier gewählte Formulierung ist nichts anderes, als eine informale Beschreibung der Definition A. Hier wird versucht, das Hintereinanderstehen der Objekte anklingen zu lassen, das Wort Auflisten impliziert dass im Extremfall auch nur ein einziges Objekt unendlich oft in der Liste aufgeführt sein kann. unendlich Liste besagt doch nur: so lang ich mir eine Liste vorstellen kann, es gibt immer noch einen weiteren Eintrag.
2. Zu b: Die hier gewählte Formulierung ist nichts anderes, als eine informale Beschreibung der Definitionen B und C. So wie bei a das Wort Auflisten, so impliziert hier nummerierten Objekten dass dasselbe Objekt mehrfach vorkommen kann, es trägt dann mehrere Nummern.
3. Zu c: Es sind 6 Vorschläge gemacht worden. Wenn Dir dieser Punkt nicht zusagt, dann wähle einen anderen Vorschlag.
4. Zu c⁺: Wenn Du Dir die Vorschläge angesehen hättest, würdest Du festgestellt haben, dass dieser Passus nur dort steht, wo auch Nummerierung vorgesehen ist. Ansonsten stimme ich Dir zu!! aber es gibt in der Literatur und in der WP Autoren, die das anders sehen, und denen wollte ich entgegenkommen.
5. Zu e: Dir könnte ich zustimmen, wenn die Bestandteile einer Liste gemeiniglich Glieder genannt werden. Das glaube ich aber nicht.
6. Zu f: Wenn Du Dir die Vorschläge angesehen hättest, würdest Du festgestellt haben, dass dieser Passus nur dort steht, wo auch Nummerierung vorgesehen ist. Deine restliche Kritik entfällt dann.
7. Zu g: Wenn Du Dir die Vorschläge angesehen hättest, würdest Du festgestellt haben, dass jeder Vorschlag im Einleitungssatz zum Ausdruck gebracht ist, dass es endliche wie unendliche Folgen gibt. Beachte das oben zu a und b von mir gesagte.
8. Zu g⁺: Siehe f und g.
9. Zu h: Dieser Passus taucht nur in den Vorschlägen 3.1 und 3.2 auf. Hier sollte es gesagt werden, um Mathematiker nicht zu irritieren.
10. Zu i: Ich verstehe nicht Deine Aussage über die unendliche Nullfolge. Bei Deinem obigen Vorschlag allerdings gibt es, wie Du selbst zu Ausdruck gebracht hast, Widersprüche. --Lothario Hederich 12:22, 24. Sep. 2008 (CEST)

Ich hatte dich schon richtig verstanden, Lothario, nur nur setzt eben meine Kritik schon an den Einzelformulierungen an. Und dann bin ich gestern auch nicht fertig geworden, weil ich ins Bett musste.

Das Wort „Auflistung“ hatte ich kritisiert, weil m.E. „Liste“ die Vorstellung von etwas Physischem beinhaltet, was nun mal nicht unendlich sein kann. Ich hatte „Aufreihung“ vorgeschlagen. Manch einer mag das vielleicht nicht viel besser finden, aber: Gibt es dagegen ernsthafte Einwände?

Nachdem sich auch χario positiv zu meinem Vorschlag geäußert hat, habe ich den aufgrund der Diskussion nochmal überarbeitet. Der Grundgedanke, der dahintersteckt bleibt: Eine Folge ist von vorn herein nicht notwendig nummeriert. (Sie hat natürlicherweise ein erstes, zweites usw. Glied, aber darüber muss man nicht reden.) Wenn man sie nummerieren (= mit Indizes versehen) will oder muss, dann gibt es dafür verschiedene Möglichkeiten. So sieht das jetzt aus:

Eine Folge ist in der Mathematik eine in ihrer Anordnung festgelegte Aufreihung von mathematischen Objekten (häufig von Zahlen). Diese Objekte werden die Glieder der Folge genannt. Ein und dasselbe Objekt kann auch mehrfach als Folgenglied auftreten. Aus formalen Gründen spricht man manchmal auch von einer Folge ohne Glieder und nennt sie leere Folge.

Hat eine nicht leere Folge kein letztes Glied, so spricht man von einer unendlichen Folge. Eine unendliche Folge kann man natürlich nicht als Auflistung schreiben. Vielmehr muss ein Bildungsgesetz bekannt sein oder sich aus den aufgeschriebenen Anfangsgliedern zweifelsfrei erschließen lassen.

Endliche Folgen heißen auch Tupel. Insbesondere bei Tupeln nennt man die Glieder auch Komponenten. Enthält eine endliche Folge n Glieder, spricht man von einer Folge der Länge n, einer n-gliedrigen Folge oder von einem n-Tupel, bei der leeren Folge also von einer 0-gliedrigen Folge oder einem 0-Tupel.

Die Glieder einer Folge werden häufig fortlaufend nummeriert (mit einem Index versehen). Die Nummerierung beginnt in der Regel bei 1 oder 0, die Indexmenge ist (bei unendlichen Folgen) also die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null ($\mathbb {N}$) oder mit Null ($\mathbb {N} _{0}$). Wenn dies zweckmäßig erscheint, kann die Nummerierung aber auch bei einer anderen ganzen Zahl beginnen. Das Glied mit dem Index i wird dann i-tes Glied oder i-te Komponente bezeichnet, sodass gelegentlich auch vom „0.“ oder „−2.“ Folgenglied die Rede ist.

Wenn es keine heftigen Proteste gibt, stelle ich das nächstens so ein. -- Peter Steinberg 19:04, 24. Sep. 2008 (CEST)

Nachtrag: Leider bin ich eben erst χarios Link zu Reihenfolge gefolgt und finde das nun recht hilfreich. Deshalb möchte ich den ersten Satz meines Vorschlags so umformulieren:

Eine Folge in der Mathematik besteht aus in eine Reihenfolge gebrachten mathematischen Objekten (häufig aus Zahlen). <weiter wie oben> -- Peter Steinberg 22:13, 24. Sep. 2008 (CEST)

Ja gut imho. Liest sich vielleicht besser so:

In der Mathematik besteht eine Folge aus mathematischen Objekten (häufig Zahlen), die in einer Reihenfolge vorliegen.

--χario 22:25, 24. Sep. 2008 (CEST)

Mir ist nicht klar, welches Problem hier gelöst werden soll. Was ist die Kritik an der aktuellen Einleitung? Was Peter Steinberg sagt, eine Folge sei erstmal nicht nummeriert, ist Unsinn. Hier wird unglaublich viel Text auf Basis von sehr wenig Literatur zur Lösung von wenig Problemen produziert. --P. Birken 20:47, 25. Sep. 2008 (CEST) P.S. Unendliche Liste ist etwas, was bei Erklärung von Cantors zweites Diagonalargument häufig gebracht wird.

Dass in Cantors zweites Diagonalargument zweimal die „unendliche Liste“ auftaucht, zwingt uns ja nicht, hier, wohin dort verlinkt wird und wo das genauer geklärt werden soll, den Unfug zu wiederholen. Wenn „Liste“ und „Folge“ nicht einfach gleichbedeutend sein sollen, müssen wir hier etwas sorgfältiger vorgehen. Ich hab's dort erstmal in Ordnung gebracht. -- Peter Steinberg 23:46, 28. Sep. 2008 (CEST)

So, ich hab revertiert und noch etwas entschwurbelt und möchte doch bitten, zentrale Begriffe der Mathematik nicht ohne ein Mathebuch in der Hand neu zu definieren... --P. Birken 21:58, 25. Sep. 2008 (CEST)

Ich möchte doch um eine etwas respektvollere Behandlung von Beiträgen andere Benutzer bitten: „Unsinn“, ohne weitere Begründung, verbitte ich mir. Und was bitte meinst du mit „schwurbelig“? -- Peter Steinberg 00:38, 29. Sep. 2008 (CEST)

Das Ding war, das einige ca. 10 Bücher haben, wo Folgen alle leicht unterschiedlich eingeführt werden. "Durchnummeriert" ist z.B. nicht wirklich immer der Fall, wenn du einen Folgenteil gegebenbekommst wie (23,24,25,26...) bzw. (...23,24,25,26,...). Es liegt eine Anordnung der Zahlen vor (das meinte ich mit Reihenfolge) aber nicht direkt eine Nummerierung. Um diese Details geht es seit 15KB :-) --χario 22:05, 25. Sep. 2008 (CEST)

Nein, es ist nicht einfach eine Anordnung, dann könnte ich sie auch mit reellen Zahlen indizieren. Es ist eben eine Nummerierung und deswegen werden sie in jedem Buch auch so definiert als Abbildung von N nach X. --P. Birken 22:13, 25. Sep. 2008 (CEST)

Der Hinweis mit den reellen Zahlen ist natürlich richtig und ich nehme alles zurück :-o. Was ist mit Folgen, die in beide Richtungen weitergehen, also kein "erstes" Glied haben? Die sind glaub ich im Artikel auch noch nicht verarztet. --χario 22:22, 25. Sep. 2008 (CEST)

Das würde ich in der Einleitung nicht erwähnen und unter die Verallgemeinerungen packen. --P. Birken 09:13, 26. Sep. 2008 (CEST)

Hallo χario, da hat P. Birken schon recht: Es kommt nicht einfach auf die Anordnung an, mit reellen Zahlen kannst du keine Folge bilden. (Allgemeiner für einen Index taugen sie aber schon!) Deshalb musst du aber nicht gleich alles zurücknehmen: Entscheidend für eine Folge ist die Abzählbarkeit. Die ist für viele Zahlenmengen gegeben, zuallererst für die natürlichen Zahlen, aber z.B. auch für die ganzen. Dass die meisten Mathematikbücher sich mit den natürlichen Zahlen begnügen, aber bei Bedarf dann einen Folgenbeginn bei 0 oder -n oder gar -∞ zulassen, liegt an der Nachlässigkeit der Mathematiker: Dass man das auf N transformieren kann, halten die für nicht der Rede wert. Ich würde mich freuen, wenn wir hier eine sorgfältigere Behandlung erreichen könnten (nicht nur mit einem Mathematikbuch in der Hand, sondern auch mit Durchblick.) -- Peter Steinberg 00:28, 29. Sep. 2008 (CEST)

Jeder von uns ...

... hat seine eigenen Vorstellungen zu einem mathematischen Thema und kann davon nicht lassen, ja, meint in den Vorstellungen der anderen gut begründbare Unzulänglichkeiten zu erkennen, oftmals nur, weil er sich nicht der Mühe unterzieht, Vorschläge anderen eingehend zu studieren. Darüber brauchen wir uns nicht zu grämen, es ist allzumenschlich.

Wäre ich in einer entsprechenden Position, schrieb ich gleich, was Sache ist und mutete dem Leser zu, es zu verstehen:

• Eine Folge ordnet jeder natürlichen Zahl oder jeder Zahl in einem endlichen Abschnitt der natürlichen Zahlen, ein mathematisches Objekt zu. Im ersten Fall nennt man sie unendlich, im zweiten endlich, insbesondere n-gliedrig oder n-Tupel, wenn der Abschnitt n Elemente enthält. Das der Zahl i zugeordnete Objekt heißt i-tes Glied der Folge. Aus formalen Gründen spricht man auch von der Folge ohne Glieder und nennt sie leere Folge oder 0-gliedrige Folge oder 0-Tupel.

Dies, und kein Wort mehr, alles andere, wie z.B. "in ihrer Anordnung festgelegte Auflistung" oder "fortlaufend nummerierter ", ist letztlich Gefasel. Ich bin gespannt, was Ihr als Einleitung zum Artikel einstellen werdet. Es grüßt Euch mit den besten Wünschen Lothario Hederich 10:39, 25. Sep. 2008 (CEST)

So, nun steht es da und ist hoffentlich auch für Lothario akzeptabel. -- Peter Steinberg 21:37, 25. Sep. 2008 (CEST)

Peter, entweder Du sagst statt "fortlaufend nummerierten ..." - "fortlaufend indizierten ..." (was allerdings etwas problematisch ist, denn der Begriff Nummerierung ist anschaulicher als Indizierung) oder Du sagst anstelle "Das Objekt mit dem Index i ..." - "Das Objekt mit der Nummer i" (auch nicht ganz unproblematisch, denn dann müsste man noch sagen, was unter Index zu verstehen ist) --Lothario Hederich 15:51, 26. Sep. 2008 (CEST)

@Lothario: Es fällt mir schwer zu sehen, wo unsere Kontroverse eigentlich liegt. Vielleicht da: Du willst sagen, wennimmer eine Folge hingeschrieben wird, ist damit eine Nummerierung schon gegeben (weil das zuerst hingeschriebene Glied halt das erste ist.) Ich dagegen sehe eine hingeschriebene Folge, und sehe da keine Nummerierung, weil alle Glieder schon da stehen und ich frei bin, jedem von ihnen eine Nummer zu geben. Das bezeichnest du als „Indizierung“. Dagegen möchte ich „Nummerierung“ und „Indizierung“ gern als Synonyme verstehen. -- Na ja, egal, Peter Birken hat's eh revertiert.

Darf eine alternierende Folge die 0 als Folgenglied enthalten?

Hallo,

ich hab eine Frage zur Definition einer alternierenden Folge. Im Artikel steht, dass eine alternierende Folge eine Folge ist, "deren Werte abwechselnd positiv und negativ sind". Dies würde aber bedeuten, dass eine alternierende Folge keine 0 als Folgenglied enthalten dürfte. Ich würde aber aus Gefühl zulassen, dass alternierende Folgen 0 als Folgenglied enthalten können. In den Lehrbüchern, die ich zu Hause habe, kann ich keine Definition finden. Im englischen Wikipedia-Artikel [2] wird die alternierende Folge als Folge von nicht-negativen und nicht-positiven Zahlen definiert, hier und hier wird eine alternierende Folge als Folge positiver und negativer Zahlen definiert. Hat jemand von euch eine genaue Definition? Grüße --Stephan Kulla 04:35, 2. Okt. 2009 (CEST)

Guter Punkt. Der Heuser schweigt sich dazu aus, Forster nimmt nichtnegativ. Ich schau nochmal etwas weiter. --P. Birken 15:00, 3. Okt. 2009 (CEST)

Beschränktheit => alle Folgenglieder kleiner oder kleiner gleich Schranke?

http://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik)#Beschr.C3.A4nktheit

Ich bin mir nicht sicher, ob es nicht heißen sollte: a_i <= S

Siehe Supremum; das widerspricht sich doch. Auf alle Fälle ist es aber verwirrend, wenn im Artikel zu Supremum steht, dass das Supremum bzw. die kleinste obere Schranke auch Teil der Menge selbst sein kann, aber hier im Folgen-Artikel dann die obere Schranke so definiert wird, dass alle Folgenglieder KLEINER als eben diese obere Schranke sein müssen. Im nächsten Satz wird aber gleich wieder geschrieben, dass die kleinste obere Schranke auch Supremum genannt wird... --84.59.115.243 16:15, 16. Feb. 2009 (CET)

Der Meinung bin ich auch, die Schranke darf angenommen werden, deswegen hab ich an besagter Stelle im Artikel aus dem kleiner ein kleinergleich gemacht. --χario 16:21, 16. Feb. 2009 (CET)

Berechenbarkeit & Krypto

Aus dem Artikel:

Wenn man nicht die zehnte oder die hundertste, sondern die 10^20-ste Primzahl wissen möchte, macht dies den Unterschied zwischen berechenbar und nicht berechenbar aus und hat weitreichende Implikationen für die Sicherheit von Verschlüsselungs- und Authentifizierungsalgorithmen, die auf Primzahlen beruhen.

Was hat das mit prizipieller Berechenbarkeit zu tun? Mit praktischer, ja, aber Primzahlen lassen sich primitiv rekursiv bestimmen und sind somit alles andere als nicht berechnbar. Und welcher Verschlüsselungs- und Authentifizierungsalgorithmus basiert auf dem Problem, die 10^20-ste Primzahl zu bestimmen? Die übliche Kryto-Einwegfunktion ist Faktorisieren/Wurzeln ziehen/diskreter Logarithmus, nicht die Berechnung einer bestimmten Primzahl anhand ihres Indexes.

Also bitte die weiterreichenden Implikationen ausführen und begründen, falls sie vorhanden sind. Ich schreibe ich den Text um und streiche den zweiten Teil vorerst, gerne wieder einfügen, wenn begründet. -- Krstfrs 01:28, 9. Apr. 2010 (CEST)

Siehe dazu http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Folge_%28Mathematik%29&diff=prev&oldid=2885264 Herr W ist anscheinend nicht mehr aktiv, Nachfrage wird wohl kein Ergebnis liefern. --NeoUrfahraner 07:14, 9. Apr. 2010 (CEST)

Beispiele unendlicher Folgen durch Angabe des Folgenbeginns

Hallo,

im Artikel werden an vielen Stellen Beispiele gebracht. Das finde ich sehr gut!

Ich bin mir allerdings nicht 100%ig sicher, ob allen Lesern klar ist, wie die Folgen weiter geführt werden sollen. Im besonderen bin ich hierüber gestolpert:

(Beispiel: die Folge −1/2, 3/4, −5/6, 7/8, … besitzt die Häufungspunkte −1 und 1)

Vermutlich soll dies die unendliche Folge $(-1)^{n-1}\cdot {\frac {n-1}{n}}$ sein, ganz sicher kann ich aber nicht sein; vgl. Definition durch Angabe von Anfangsgliedern. Ich fände es gut, wenn entweder der Name bzw. die Beschreibung einer Folge daneben steht (z. B. Fibonacci, Primzahlen) oder ein Bildungsgesetz angegeben ist. Wie seht ihr anderen Wikipedia-Autoren das? -- Phil1881 13:30, 20. Jul. 2010 (CEST)

Ja, Bildungsgesetz gehört dazu. --NeoUrfahraner 15:12, 20. Jul. 2010 (CEST)

Streng genommen schon. Strenggenommen kann man für jede beliebige Fortsetzung Bildungsgesetze finden. Ich denke aber, dass in diesem Beispiel wirklich klar ist, wie die Folge weitergeht. Auch wenn die explizite Form anscheinend nicht klar ist. Der von Phil1881 angegebene Term ist nämlich falsch (wie sich ganz leicht durch einsetzen nachprüfen lässt). Richtig ist:

$a_{n}=(-1)^{n}{\frac {2n-1}{2n}},$

wobei die Folge mit $a_{1}$ anfängt. -- Digamma 15:56, 20. Jul. 2010 (CEST)

da Phil1881 nicht explizit gesagt hat, wie sein $n$ gebildet wird, lassen sich diese beiden formen ineinander überführen, sind also exakt identisch, wenn man davon ausgeht, das bei der formel von Phil1881 das $n$ als $n=2m,m\in \mathbb {N}$ definiert wird. (nicht signierter Beitrag von 193.175.123.100 (Diskussion) 13:33, 26. Apr. 2013 (CEST))

Nein, denn dann stimmt der Vorzeichenfaktor nicht. Für $m\in \mathbb {N}$ gilt nämlich stets $(-1)^{2m-1}=-1$. --Digamma (Diskussion) 17:13, 27. Apr. 2013 (CEST)

Eine Frage zur formalen Definition

Im Artikel Folge (Mathematik) lautet das Kapitel “Formale Definition”:

Formal definiert ist eine unendliche Folge als eine Abbildung

${\begin{matrix}a:&\mathbb {N} &\to &X\\&i&\mapsto &a_{i},\end{matrix}}$
die jedem Index $i$ aus der als Indexmenge verwendeten Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ ein Folgenglied $a_{i}$ aus der Zielmenge $X$ zuordnet. Die Wahl des Anfangsindex ist jedoch letztlich willkürlich. ...

Die Indexmenge einer unendlichen Folge ist gemäß Definition also $\mathbb {N}$, das heißt die Menge $\{1,2,3,\cdots \}$, was hat hier ein Mathematiker unter der Aussage  Die Wahl des Anfangsindex ist jedoch letztlich willkürlich zu verstehen? -- 80.134.183.73 17:38, 16. Nov. 2010 (CET)

Ob $\mathbb {N}$ $\{1,2,3,\ldots \}$ oder $\{0,1,2,\ldots \}$ ist, kommt darauf an, wen du fragst. Das ist hier wohl gemeint. Für die Definition einer unendlichen Folge ist das aber egal, weil eine Bijektion zwischen beiden Mengen existiert. Im Grunde kann sogar jede abzählbare Menge $M$ als Indexmenge herhalten, denn mit jeder die Abzählbarkeit belegenden Bijektion $\phi :M\to \mathbb {N}$ kann man jede Folge $a:M\to X$ auch als $a\circ \phi ^{-1}:\mathbb {N} \to X$ und jede Folge $b:\mathbb {N} \to X$ als $b\circ \phi :M\to X$ darstellen. (Man bemerke, dass das unabhängig von der Wahl von $\mathbb {N}$ funktioniert und das selbe Spielchen zwischen den beiden $\mathbb {N}$s getrieben werden kann. ) --Daniel5Ko 18:29, 16. Nov. 2010 (CET)

Danke für die Aufklärung.
Ich entnehme den Ausführungen, dass im Kapitel so zu definieren wäre:     $\,a$  heißt “unendliche Folge”, wenn  $a\colon M\to X$,  wobei $\,M$ eine abzählbare Menge ist,   oder habe ich Daniel falsch verstanden? 80.134.184.211 11:31, 17. Nov. 2010 (CET)

Könnte man, das hätte aber den Nachteil, dass man die Bijektion nach $\mathbb {N}$ ebenfalls explizit angeben müsste, sonst wäre die Reihenfolge der Indexelemente nicht klar — und die ist ja wichtig. Bei $\mathbb {N}$ kann man einfach davon ausgehen, dass die natürliche Reihenfolge gemeint ist, die Folge also mit $a(1),a(2),a(3)$ beginnt. Genau so denkbar: wir nehmen $M=\mathbb {N}$ als allgemeine Indexmenge und als Bijektion eine Funktion, die bewirkt, dass unsere Folge mit $a(1),a(2),a(4),a(3),a(6),a(8),a(5),a(10),a(12),a(7)$ beginnt. --Daniel5Ko 19:12, 17. Nov. 2010 (CET)

Die Definition eines allgemeinen Folgebegriffs lautet $\,^{f\colon (X\to Y,W_{X})}$, wobei $\,^{X}$ eine beliebige (endliche, abzählbare oder überabzählbare) Menge ist, $\,^{W_{X}}$ eine Relation, die eine Wohlordnung auf $\,^{X}$ bestimmt und $\,^{Y}$ eine Objektklasse. Durch $\,^{W_{X}}$ ist für die Folge $\,^{f}$ eine erste, eine zweite, eine dritte usw. Komponente bestimmt, die man üblicherweise mit $\,^{f_{1},f_{2},f_{3},\ldots }$ bezeichnet. Zum Beispiel ist, wenn $\,^{f\colon (\{2,4,9\}\to Y,\supseteq )}$,  $\,^{f_{1}=f(9)}$ und, wenn $\,^{f\colon (\{2,4,9\}\to Y,\subseteq )}$,  $\,^{f_{3}=f(9)}$.

Die Aussagen $\,^{f\colon (\mathbb {N} \to Y,\subseteq )}$ und $\,^{f\colon \mathbb {N} \to Y}$ besagen grundverschiedenes, erstere sagt, dass $\,^{f}$ eine Folge ist, letztere, dass $\,^{f}$ lediglich eine Funktion ist. In meinen Vorlesungen habe ich nie diesen Unterschied verwischt, allerdings darauf hingewiesen, dass in der Literatur nicht immer sauber definiert wird. -- 80.134.211.41 14:23, 19. Nov. 2010 (CET)

Wohlordnung reicht nicht aus, um die Angabe der Folge mit "$f_{1},f_{2},f_{3},\ldots$" möglich zu machen: das kleinste Element und der Nachfolger eines jeden Elements ist zwar immer eindeutig bestimmt, man erreicht aber durch Nachfolgerbildung nicht unbedingt alle Elemente. Gut, wenn letzteres nicht stört, bleiben halt einige (beliebig viele) Elemente von $X$ ungenutzt. Die Menge der aufgezählten Elemente ist dann aber wieder höchstens abzählbar. Die Einschränkung von $f$ auf diese Elemente ist wieder als Funktion $g:\mathbb {N} \to Y,n\mapsto f(n')$ ansehbar (wobei n' der (n-1)te Nachfolger des Minimums von X ist)

Was also genau bringt die Verallgemeinerung, außer Verwirrung zu stiften? --Daniel5Ko 18:29, 19. Nov. 2010 (CET)

Bei Wohlordnung einer überabzählbaren Menge gibt es transfinite Ordinalzahlen, die als Index der transfiniten Folgeglieder dienen; die kleinste transfinite Ordinalzahl ist $\,^{\omega }$, die nächste $\,^{\omega +1}$ usw. -- 80.134.196.46 10:52, 20. Nov. 2010 (CET)

Ich weiß. Der Übergang zu einer Limes-Ordinalzahl ist aber keine Nachfolgerbildung. Deshalb kann man keinesfalls vom ersten, zweiten, "und so weiter" Folgeglied sprechen, denn damit kommt man nie beim $\omega$-ten an! Genau so erreicht $f_{1},f_{2},f_{3},\ldots$ nie $f_{\omega }$. Beide Schreib- und Denkweisen behauptest du aber oben für Folgen.

Ich halte die Abzählbarkeit der Indexmenge nach wie vor für essentiell. Wenn lediglich Wohlordnung gefordert wird, verallgemeinert das nicht die Definition, sondern den Begriff, und einige Eigenschaften gehen verloren. --Daniel5Ko 12:15, 20. Nov. 2010 (CET)

weiter

Durch eine Wohlordnung sind natürlich transfinite Limes-Ordnungszahlen wie $\,{\omega }$ nicht durch hintereinandergeschrieben gedacht zu erreichen. Wohlordnung besagt doch nur, dass es zu jedem Index genau einen Nachfolger gibt, und darauf beruht ja der oben angegebene allgemeine Folgebegriff.

Ich stimme selbstverständlich zu, dass nicht so abstrakt im Artikel definiert werden kann, denn viele Leser werden kaum mit der transfiniten Mengenlehre ausreichend vertraut sein, um so Abstraktes zu verstehen. Hinzu kommt, dass man in der mathem. Praxis mit Folgen $\,^{f\colon \mathbb {(} A\to X,\subseteq )}$, wobei $\,^{A}$ aus ganzen Zahlen besteht und $\,^{X}$ eine Objektklasse ist, auskommt. Allerdings sollte klar herausgestellt werden, dass $\,^{f_{i}}$ und $\,^{f(i)}$, abhängig von der Wahl von $\,^{A}$, verschieden sein können. -- 80.134.196.46 14:06, 20. Nov. 2010 (CET)

Der letzteren Aussage würde ich nicht zustimmen. Nach meinem Verständnis ist eine Folge nichts anderes als eine Funktion, deren Definitionsbereich $\mathbb {N}$ oder eine Teilmenge von $\mathbb {N}$ ist. Mit $f_{i}$ ist genau dasselbe gemeint wie mit $f(i)$. Wenn die Definitionsmenge nur eine Teilmenge von $\mathbb {N}$ ist, zum Beispiel die Menge aller natürlichen Zahlen größergleich 5, dann beginnt die Folge eben mit $f_{5}$. Genau um dies zuzulassen fordert man nicht $D_{f}=\mathbb {N}$, sondern nur $D_{f}\subseteq \mathbb {N}$. -- Digamma 18:07, 21. Nov. 2010 (CET)

Ich betone gerne nochmal: es handelt sich nicht einfach nur um eine abstraktere Definition, sondern um eine mit ganz anderen Folgen Konsequenzen. Was landläufig als Folge bekannt ist, müsste dann überall als abzählbare Folge bezeichnet werden. Viel sinnvoller scheint, dem verallgemeinerten Begriff einen eigenen Namen zu geben (wie z.B., äh, "verallgemeinerte Folge"! :) ). Hat sich denn noch nichts etabliert? Kann ja bald nicht sein.

Die letzte Bemerkung verstehe ich nicht (die, die mit "Allerdings sollte klar" beginnt). Nach dem, was du definiert hast, ist doch sowieso klar, dass $f_{i}$ i.A. nicht das selbe ist wie $f(i)$: im ersten Ausdruck ist $i\in \mathbb {N}$, oder eben eine größere Ordinalzahl, und im zweiten ist $i\in A$, und A ist ja lediglich eine beliebige Menge mit Wohlordnung.

Wie dem auch sei, ich denke, selbst im überabzählbaren Fall ist die Unterscheidung nicht so wichtig; analog zu meiner allerersten Antwort dürfte auch dort eine Konvertierung zwischen Darstellungen mit verschiedenen $(A,<)$ möglich sein (allerdings kann ich das nicht Bestimmtheit sagen; hab' nur kurz drüber nachgedacht), und es gibt ein kanonisches, und man kann sich den Zirkus sparen und lediglich mit dem kanonischen $(A,<)$ arbeiten. Im abzählbar unendlichen Fall wäre das eben $(\mathbb {N} ,<)$ mit der natürlichen Ordnung <. --Daniel5Ko 18:05, 20. Nov. 2010 (CET)

Idee: Wenn's dir unter den Nägeln brennt, mach' doch einfach einen neuen Artikel oder einen neuen Abschnitt in diesem Artikel auf, der den verallgemeinerten Folgebegriff beschreibt (scheint nicht zu existieren). Es ist durchaus viel interessantes zu schreiben und Artikel wie Ordinalzahl und Wohlordnungssatz, die man verlinken und mit denen man einen weiteren Kontext darstellen kann, existieren ja schon. Aber eben bitte nicht Folge umdefinieren. Gruß --Daniel5Ko 23:12, 20. Nov. 2010 (CET)

Nur so nebenbei: Wohlordnung ist nicht so direkt das gleiche wie "es gibt genau einen Nachfolger". Siehe Nachfolgerfunktion (oder auch nicht...hmmm). --χario 23:25, 20. Nov. 2010 (CET)

Stimmt. Exakter wäre sowas wie: Wenn es Elemente größer x gibt, dann gibt es unter ihnen das kleinste; das ist eindeutig und kann deshalb als der Nachfolger von x bezeichnet werden. Es gibt also jeweils 0 oder 1 Nachfolger... --Daniel5Ko 14:58, 21. Nov. 2010 (CET)

Ein Problem im Artikel?

Gemäß dem Kapitel „Formale Definition“ im aktuellen Folge-Artikel definiere ich zwei 1-gliedrige Folgen:

$f_{1}\colon \{0\}\to \mathbb {Z} ,i\mapsto 5$

$f_{2}\colon \{1\}\to \mathbb {Z} ,i\mapsto 5$

Beide Definitionen beschreiben die Folge $\,(5)$. Da $f_{1}\not =f_{2}$, folgt aus dem Folgen charakterisierenden (Piano-)Axiom:

Zwei Folgen sind dann und nur dann gleich, wenn sie gleichlang und ihre korrespondierenden Komponenten gleich sind,

dass $5\not =5$. -- 80.134.186.229 16:49, 12. Feb. 2011 (CET)

Vielleicht sollte entweder aus der Menge {0,...,n − 1} oder aus der Menge {1,...,n} noch deutlicher formuliert werden – wenn es überhaupt geht. Man muss halt intern konsistent bleiben. Vergleiche: Manche definieren ein geordnetes Paar $\langle a,b\rangle$ als $\{\{\emptyset ,\{a\}\},\{b\}\}$, andere als ${\{\{a\},\{a,b\}\}}$. Deshalb darf man noch lange nicht $\langle x,\emptyset \rangle =\{\{\emptyset ,\{x\}\},\{\emptyset \}\}=\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{x\}\}\}=\langle \emptyset ,\{x\}\rangle$ und daraus $x=\emptyset =\{x\}$ schließen.--Hagman 17:09, 12. Feb. 2011 (CET)

Ich glaube verstanden zu habe, was Du mit Deiner Antwort zum Ausdruck bringen möchtest. Zu Deiner Bemerkung: „wenn es überhaupt geht“ möchte ich zunächst fragen: Könnte man die im Artikel gegebene Beschreibung des Begriffs „endliche Folge“ entsprechend der für Tupel auch so formulieren:

• Eine endlich Folge ist eine endliche Liste, in der, wenn sie nicht leer ist, hintereinander Angaben nicht notwendigerweise voneinander verschiedener mathematischer Objekte stehen. Ist $\,n$ die Länge der Liste, dann spricht man von einer $\,n$-gliedrigen Folge. Das an $\,\imath$-ter Stelle einer nichtleeren Folge angegebene Objekt heißt ihre $\,\imath$-te Komponente oder ihr $\,\imath$-tes Glied. Notiert wird die leere Folge so: $\,{(\,)}$ und eine $\,n$-gliedrigen Folge so: $\,{(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, wobei $\,x_{i}$ ihr $\,\imath$-tes Glied ist. Der Begriff „endliche Folge“ ist durch das Gleichheits-Axiom charakterisiert:   Zwei endliche Folgen sind dann und nur dann gleich, wenn sie gleichlang sind und ihre entsprechenden Komponenten gleich sind  $(\;{(x_{1},\cdots ,x_{n})=(y_{1},\ldots ,y_{m})\;\leftrightarrow n=m\;\wedge \;x_{i}=y_{i}}$  für  $\,{i=1,\ldots ,n}\;)$.

Als nächstes frage ich: Lautet die im Artikel gegebene formale Definition dem Inhalte nach so:

• $\,f{\text{ ist }}n{\text{-gliedrige Folge}}\;\;\;:\leftrightarrow \;f{\text{ ist }}n{\text{-gliedrige 1Folge}}\;\;{\boldsymbol {\lor }}\;\;f{\text{ ist }}n{\text{-gliedrige 0Folge}}$
  $\,f{\text{ ist }}n{\text{-gliedrige 1Folge}}\;:\leftrightarrow \;f{\text{ ist Funktion }}\;\wedge \;\;\operatorname {Def} _{f}=\{i\in \mathbb {Z} \,|\,1\leq i\leq n\}$
  $\,f{\text{ ist }}n{\text{-gliedrige 0Folge}}\;:\leftrightarrow \;f{\text{ ist Funktion }}\;\;\wedge \;\;\,\operatorname {Def} _{f}=\{i\in \mathbb {Z} \,|\,0\leq i\leq n-1\}$

Schließlich frage ich:

• Wie könnten hier der Begriff „$\,\imath$-te/tes Komponente/Glied einer endlichen Folge“ so definiert werden, dass das Gleichheits-Axiom gewahrt bleibt? -- 80.134.202.238 17:40, 13. Feb. 2011 (CET)

Es werden im Prinzip mehrere (und insofern zu einander im Widerspruch stehende) Definitionen gegeben. Schließlich handelt es sich hier nicht um ein Lehrbuch, sondern um die enzyklopädische Wiedergabe von Wissen, das ggf. in verschiedenen Quellen verschieden dargestellt wird. (nicht signierter Beitrag von Hagman (Diskussion | Beiträge) 21:44, 13. Feb. 2011 (CET))

Dann sollten wenigstens unterschiedliche Begriffsdefinitionen als solche gekennzeichnet und mit Quellenangaben versehen werden. Auch dürften keine Definitionen aufgenommen werden, die mathematisch inkorrekt sind. So jedenfalls verstehe ich die Wiki-Richtlinien.

Im Folge-Artikel gibt es zur Begriffsdefinition keinen Quellennachweis und darüber hinaus ist die gegebene Definition in sich widerspruchsvoll (wie ich oben im Beitrag 16:49, 12. Feb. 2011 aufzeigte). -- 80.134.215.10 12:30, 14. Feb. 2011 (CET)

"Bekannte Folgen"

Den Satz mit "Die meisten bekannten Folgen..." finde ich ziemlich seltsam. Insbesondere werden in dem genannten Verzeichnis nur Folgen GANZER Zahlen aufgeführt.

-- 217.86.132.79 22:42, 2. Mai 2012 (CEST)

Lies "bekannt" als "berühmt" oder "publiziert" oder "oft diskutiert". Also "dem Namen nach bekannt". Wobei nicht alle dieser Folgen einen Namen haben.--LutzL (Diskussion) 11:27, 3. Mai 2012 (CEST)

Erläuterung meiner Bearbeitung (zu lang für den Kommentar)

Gründe für meine Überarbeitung des Abschnitts waren neben falscher Kommasetzung, dass erstens eine Menge auch Elemente mehrfach enthalten kann und zweitens die sinnvollere Reihenfolge der Aufzählung der beiden sie von der Menge unterscheidenden Eigenschaften der Familie die umgekehrte ist: Sei die Anzahl der Nennungen eines Elements irrelevant, dann kann für die Reihenfolge nicht ohne Weiteres Anderes gelten, denn a,b,a wäre gleich a,b und gleich b,a, aber a,b wäre nicht gleich b,a (gesetzt a!=b). (nicht signierter Beitrag von Ninjamin (Diskussion | Beiträge) 05:38, 7. Okt. 2013 (CEST))

Erstens ist falsch. Bei der Beschreibung einer Menge kann ein Ausdruck A={a,a,a,b,b} auftreten, trotzdem enthält A nur zwei Elemente und wenn man eins wegnimmt, A\{a}={b}, bleibt genau das andere übrig. Ich finde die neue Formulierung leicht unverständlicher als die originale. Und zweitens verstehe ich nicht, natürlich ist {a,b,a}={a,b}={b,a}. Oder waren irgendwie doch Folgen gemeint?--LutzL (Diskussion) 10:24, 7. Okt. 2013 (CEST)

Das sehe ich auch so. Deshalb habe ich die Änderung rückgängig gemacht.--Digamma (Diskussion) 20:12, 8. Okt. 2013 (CEST)

Quellengaben

Im Abschnitt formale Definition wird „Folge“ als Funktion definiert, deren Definitionsbereich entweder die Menge aller natürlichen Zahlen oder die Menge der positiven natürlichen Zahlen oder ein endlicher Ausschnitt aller natürlichen Zahlen ist. Ich vermisse Quellenangaben zu dieser Definition. --Lothario Hederich (Diskussion) 15:01, 6. Mär. 2016 (CET)

Lambacher-Schweizer Analysis Leistungskurs Baden-Württemberg, Klett-Verlag, Stuttgart 2000, sagt auf Seite 68:

Eine Funktion mit der Definitionsmenge $\mathbb {N}$ oder einer Teilmenge von $\mathbb {N}$ heißt Folge.

--Digamma (Diskussion) 18:27, 6. Mär. 2016 (CET)

Diese Definition geht wesentlich weiter als die im Artikel, es wäre sicherlich interessant, diese allgemeinere Definition im Artikel (mit Quellangabe) anzugeben. Ich wünschte mir allerdings eine Quellenangabe aus der Fachliteratur und nicht aus einem Schulbuch. --Lothario Hederich (Diskussion) 01:14, 7. Mär. 2016 (CET)

Bild zum Thema "Beschränktheit"

Dort ist korrekt die alternierende harmonische Folge abgebildet. Diese lautet aber nicht wie darunter angegeben(-1)^(n+1), sondern ((-1)^(n+1))/n. Die Folge (-1)^(n+1) konvergiert natürlich nicht gegen Null. (nicht signierter Beitrag von 94.216.210.217 (Diskussion) 16:32, 27. Jan. 2017 (CET))

Da steht doch richtig $a_{n}=(-1)^{n+1}\cdot {\tfrac {1}{n}}$. --Digamma (Diskussion) 17:50, 27. Jan. 2017 (CET)

Ich komme mit dem Folgebegriff immer noch nicht zurande

Frage: Gibt eine der vier nachstehenden Beschreibungen die Fibonacci-Folge richtig an? und wenn ja, welche?

Beschreibung	beschriebene Folge	Indexbereich
$a:=(f_{-1},f_{0},f_{1},\dotsc );~f_{i}:={\begin{cases}1,{\text{ wenn }}i<1,\\f_{i-2}+f_{i-1},{\text{ sonst}}.\end{cases}}\quad$	$\{(-1,1),(0,1),(1,2),(2,3),(3,5),(4,8),\dotsc \}$	$\quad \{i\}_{i=-1}^{\infty }$
$b:=(f_{0},f_{1},f_{2},\dotsc );~f_{i}:={\begin{cases}1,{\text{ wenn }}i<2,\\f_{i-2}+f_{i-1},{\text{ sonst}}.\end{cases}}$	$\{(0,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,5),(5,8),\dotsc \}$	$\quad \{i\}_{i=0}^{\infty }$
$c:=(f_{1},f_{2},f_{3},\dotsc );~f_{i}:={\begin{cases}1,{\text{ wenn }}i<3,\\f_{i-2}+f_{i-1},{\text{ sonst}}.\end{cases}}$	$\{(1,1),(2,1),(3,2),(4,3),(5,5),(6,8),\dotsc \}$	$\quad \{i\}_{i=1}^{\infty }$
$d:=(1,1,2,3,5,8,13,21,\dotsc )$	${\boldsymbol {?}}$	$\quad \{i\}_{i={\boldsymbol {?}}}^{\infty }$

Grüße --Lothario Hederich (Diskussion) 12:12, 8. Jul. 2017 (CEST)

Wie du mit dem Fragezeichen schon andeutest, ist $d$ ja nur eine Veranschaulichung, die ohne weitere Vereinbarungen nicht eindeutig ist. Von den drei anderen kenne ich eigentlich nur $c$. Oft nimmt man zwar noch $f_{0}$ mit dazu, aber dann als $f_{0}=0$ und nicht $f_{0}=1$. Grüße -- HilberTraum (d, m) 19:53, 8. Jul. 2017 (CEST)

Du sprichst von Veranschaulichung einer Folge, diesen Begriff kenne ich nur umgangssprachlich, in der Mathematik noch nicht. Sollte er mathematisch relevant sein, könntest du ihn mir vielleicht beschreiben? Danke im Voraus und Grüße --Lothario Hederich (Diskussion)

Nein Veranschaulichung ist kein mathematischer Begriff. Es war die umgangssprachliche Bedeutung gemeint. -- HilberTraum (d, m) 13:37, 9. Jul. 2017 (CEST)

Also für mich gehört an manchen Wochentagen die Indizierungskonvention eigentlich nicht so recht zu den Folgen selbst; insofern wäre d) die eigentliche Fibonacci-Folge.

Um möglichst wenig Beliebigkeit zu haben, kann man für den Anfang die Menge der Folgen von $A$-Elementen als die Trägermenge (als Notation nehme ich mal $A^{\infty }$) der terminalen Koalgebra des Funktors $\mathbf {Set} \to \mathbf {Set}$ mit $X\mapsto A\times X$ definieren. Wenn wir die Strukturabbildung der Koalgebra mit ${\mathsf {hdtl}}\colon A^{\infty }\to A\times A^{\infty }$ bezeichnen, soll also für alle Mengen $X$ und alle Funktionen $p\colon X\to A\times X$ ein eindeutig bestimmtes $h\colon X\to A^{\infty }$ existieren, mit dem

${\begin{array}{c}A\times X{\xrightarrow {\quad A\times h\quad }}A\times A^{\infty }\\\ p{\Big \uparrow }\qquad \qquad \qquad \quad {\Big \uparrow }{\mathsf {hdtl}}\\X{\xrightarrow[{\quad \qquad h\qquad \quad }]{}}A^{\infty }\end{array}}$

kommutiert.

Im Fall $X=\mathbb {N}$ und $p=\langle a,{\mathsf {succ}}\rangle$ für ein $a\colon \mathbb {N} \to A$ ist $h(n_{0})$ gerade die Folge $(a(n_{0}),a(n_{0}+1),a(n_{0}+2)...)$

Man bemerke folgende Dinge:

1. Wie man von einer Funktion $a\colon \mathbb {N} \to A$ zu einer A-Folge kommt, erfordert ein paar Parameter, die alle explizit sind. Dies sind ${\mathsf {succ}}$ und die Argumente an $h$.
2. Wir haben nichts darüber gesagt, wie $A^{\infty }$ zusammen mit ${\mathsf {hdtl}}$ konkret realisiert werden kann. Naheliegend ist natürlich, $A^{\infty }:=A^{\mathbb {N} }$ mit ${\mathsf {hdtl}}(f):=(f(0),f\circ {\mathsf {succ}})$ zu nehmen, aber zwingend ist das nicht und wichtig ebenfalls nicht.

--Daniel5Ko (Diskussion) 20:14, 9. Jul. 2017 (CEST)

@ HilberTraum

Hallo Hilbert, ich komme noch einmal auf unser angefangenes Gespräch zurück: Terme bezeichnen mathematische Objekte, wobei dasselbe Objekt von verschiedenen Termen bezeichnet werden kann. Z.B. bezeichnen die vier Terme ${\begin{array}{|c|}\hline {\text{Menge der nat}}{\ddot {\text{u}}}{\text{rlichen Zahlen}}\\\hline \end{array}}$, ${\begin{array}{|c|}\hline \{i\}_{i=0}^{\infty }\\\hline \end{array}}$, ${\begin{array}{|c|}\hline \mathbb {N} \\\hline \end{array}}$ und ${\begin{array}{|c|}\hline \{0,1,2,3,\cdots \}\\\hline \end{array}}$ (der erste verbal, die anderen formal) dasselbe Objekt. Ebenso bezeichnet für jedes $k\in \mathbb {Z}$ der Folge-Term ${\begin{array}{|c|}\hline (a_{i})_{i=k}^{k+n-1};a_{i}:=x^{i-k+1}\\\hline \end{array}}\;$ dasselbe Objekt wie der Folge-Term ${\begin{array}{|c|}\hline (x^{1},x^{2},\dotsc ,x^{n})\\\hline \end{array}}$ Natürlich gilt die freie Wahl der Notation auch für Beschreibungen der Fibonacci-Folge: Für die oben angeführten Beschreibungen gilt $a=b=c=d=\{(1,1),(2,1),(3,2),(4,3),(5,5),(6,8),(7,13),(8,21),\dotsc \}$ (Die in der zweiten und dritten Spalte der obigen Tabelle stehenden Angaben sind falsch!: nicht leere Folgen beginnen immer mit einem 1. Glied) Beste Grüße --Lothario Hederich (Diskussion) 13:55, 10. Jul. 2017 (CEST)

Also ich habe schon oft Folgen gesehen, die mit dem 0. Glied beginnen. Man will sich bei der Definition von Folgen als Abbildungen halt aus Flexibilitätsgründen z. B. sowohl $\mathbb {N} \to X$ als auch $\mathbb {N} _{0}\to X$ als Möglichkeiten offen lassen und nennt beides „Folgen“. Eine Abbildung $\mathbb {N} \to X$ ist dann aber natürlich nie gleich einer Abbildung $\mathbb {N} _{0}\to X$, da die Definitionsmengen verschieden sind. Ich denke aber, in dem meisten Anwendungen klappt das trotzdem, ohne dass größere Unklarheiten auftreten. -- HilberTraum (d, m) 18:47, 10. Jul. 2017 (CEST)

Mir ist es offensichtlich nicht gelungen, den Unterschied zwischen Syntax und Semantik klarzumachen. Noch ein Versuch: Der Text "$(a_{0},a_{1},\dotsc a_{n})$" beschreibt nicht, wie du meinst, das Objekt (Abbildung) $\{(0,a_{0}),(1,a_{1}),\dotsc (n,a_{n})\}$, sondern das Objekt $\{(1,a_{0}),(2,a_{1}),\dotsc (n+1,a_{n})\}$. Die linken Komponente eines Elementes dieses Objektes gibt die Position der rechten Komponente innerhalb des Textes an, sie besagt also nichts anderes, als dass $a_{0}$ an erster Stelle, $a_{1}$ an zweiter Stelle usw. steht. Die Flexibilität bezüglich der Definition von Folgen ist in keiner Weise eingeschränkt. Es würde mich freuen, lieber Hilbert, wenn dir jetzt der Unterschied zwischen Syntax und Semantik klar geworden ist. Grüße --Lothario Hederich (Diskussion) 11:17, 11. Jul. 2017 (CEST)

OT: „Hilbert“ ist bei meinem Benutzernamen kein Vorname oder so. „HilberTraum“ ist ein zusammenhängendes Wort mit Binnenmajuskel. Danke.

Zumindest bei Folgen ist das in der Literatur nicht so einheitlich, wie du es versuchst darzustellen. Willkürlich herausgegriffen: Otto Forster: Analysis 1. 11. Auflage:

„Unter einer Folge reeller Zahlen versteht man eine Abbildung $\mathbb {N} \to \mathbb {R}$. Jedem $n\in \mathbb {N}$ ist also ein $a_{n}\in \mathbb {R}$ zugeordnet. Man schreibt hierfür

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ oder $(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc )$

oder kurz $(a_{n})$.“

Forster verwendet also $(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc )$ als Syntax für eine Abbildung $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\dotsc \}\to \mathbb {R}$. -- HilberTraum (d, m) 11:58, 11. Jul. 2017 (CEST)

Welche Funktion könnte wohl Forster hinter dem Syntax-Text $(a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc )$ sehen? --Lothario Hederich (Diskussion) 11:48, 15. Jul. 2017 (CEST)

Ich habe mir an einem Nachmittag das Vergnügen gestattet, den Folge-Begriff, wie er im Artikel angegeben ist, in der Sprache der Mathematik zu beschreiben.

Prämissen	Prädikat-Definition	Prädikat ist so zu lesen
$k\in \mathbb {N}$	$^{\mathbf {u} }\mathbf {Folge} _{k}(F)\;\Longleftrightarrow _{\text{def}}\;$$\mathbf {Funktion} (F)\land {\text{D}}_{F}=\{i\}_{i=k}^{\infty }$	$F$ ist eine ab $k$ indizierte unendliche Folge
keine	${}^{\mathbf {u} }\mathbf {Folge} (F)\;\Longleftrightarrow _{\text{def}}\;$ $\exists k\in \mathbb {N} :{}^{\mathbf {u} }\mathbf {Folge} _{k}(F)$	$F$ ist eine unendliche Folge
$k,n\in \mathbb {N}$	${}^{\mathbf {e} }\mathbf {Folge} _{k}(F,n)\;\Longleftrightarrow _{\text{def}}\;$$\mathbf {Funktion} (F)\land {\text{D}}_{F}=\{i\}_{i=k}^{k+n-1}\quad$	$F$ ist eine ab $k$ indizierte $[\,n$-gliedrige Folge / Folge der Länge $n\,]$
$k\in \mathbb {N}$	${}^{\mathbf {e} }\mathbf {Folge} _{k}(F)\;\Longleftrightarrow _{\text{def}}\;$ $\exists n\in \mathbb {N} :{}^{\mathbf {e} }\mathbf {Folge} _{k}(F,n)$	$F$ ist eine ab $k$ indizierte endliche Folge
$n\in \mathbb {N}$	${}^{\mathbf {e} }\mathbf {Folge} (F,n)\;\Longleftrightarrow _{\text{def}}\;$$\exists k\in \mathbb {N} :{}^{\mathbf {e} }\mathbf {Folge} _{k}(F,n)$	$F$ ist eine $[\,n$-gliedrige Folge / Folge der Länge $n\,]$
keine	${}^{\mathbf {e} }\mathbf {Folge} (F)\;\Longleftrightarrow _{\text{def}}\;$ $\exists k,n\in \mathbb {N} :{}^{\mathbf {e} }\mathbf {Folge} _{k}(F,n)$	$F$ ist eine endliche Folge
$k\in \mathbb {N}$	$\;\mathbf {Folge} _{k}(F)\;\Longleftrightarrow _{\text{def}}\;{}^{\mathbf {u} }\mathbf {Folge} _{k}(F)\lor {}^{\mathbf {e} }\mathbf {Folge} _{k}(F)$	$F$ ist eine ab $k$ indizierte Folge
keine	$\;\mathbf {Folge} (F)\;\Longleftrightarrow _{\text{def}}\;$ ${}^{\mathbf {u} }\mathbf {Folge} (F)\lor {}^{\mathbf {e} }\mathbf {Folge} (F)$	$F$ ist eine Folge

Sei $k\in \mathbb {N}$, $F$ eine ab $k$ indizierte Folge, $i\in {\text{D}}_{F}\colon ~$ $F(i)$ heißt $i$-te Komponente von $F~$ oder $~(i+1-k)$-tes Glied von $F$   (so nicht im Artikel)

--Lothario Hederich (Diskussion) 12:07, 15. Jul. 2017 (CEST)

Anmerkung zur letzten Zeile der Tabelle: Ich kenne das eigentlich häufiger so, dass mit „Folge“ eine unendliche Folge gemeint ist und eine endliche Folge explizit „endliche Folge“ oder „Tupel“ genannt wird. Und bis auf die Einleitung hält es der Artikel (mMn zu Recht) auch eher so. -- HilberTraum (d, m) 19:23, 15. Jul. 2017 (CEST)

Kennst du eine Form, in der man z.B. die ab 10 indizierte viergliedrige Folge $\{(10,a_{0}),(11,a_{1}),(12,a_{2}),(13,a_{3})\}$ einfacher schreiben kann? Ich finde im Artikel keinen Hinweis hierzu. --Lothario Hederich (Diskussion) 12:33, 16. Jul. 2017 (CEST)

Hm, recht oft braucht man so was wohl nicht, am ehesten könnte es vielleicht bei der Beschreibung von Algorithmen auftauchen. (Zum Beispiel kann man in Fortran solche Felder deklarieren.) Ich würde wohl $(a_{i-10})_{i=10,\dots ,13}$ oder ähnlich schreiben. -- HilberTraum (d, m) 16:30, 16. Jul. 2017 (CEST)

weiter

Problematischer wird es bei der Folge $\{(10,\pi ),(11,x^{a}),(12,\sin ),(13,n!)\}$. Eine saubere Lösung des Indizierungs-Problems wäre, indem man den Anfangs-Index, sofern er verschieden von 1 ist, separat angibt, z.B. so: $_{10}(\pi ,x^{a},\sin ,n!)$ und $_{10}(a_{i})_{i=0}^{3}$ --Lothario Hederich (Diskussion) 18:16, 16. Jul. 2017 (CEST)

Ja hm, das Schöne in der Mathematik ist ja, dass man bei Bedarf eigene Notationen definieren kann, wenn solche benötigt werden. Für den Artikel müssen diese aber schon ordentlich durch Literatur belegt werden. Ich möchte aber jetzt auch mal das Thema wechseln: von der Syntax zur spannenderen Semantik. Was ist eigentlich mit der häufig anzutreffenden Indexmenge $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen, z. B. bei Zeitreihen oder siehe auch Laurent-Polynome? Sind Abbildungen $\mathbb {Z} \to X$ Folgen? Zweiseitige/doppelseitige Folgen? Wie sind da die üblichen Definitionen? (Ich will da gerade nicht selbst recherchieren … ;) Was sind übliche Schreibweisen für „Folgen“ $\mathbb {Z} \to X$? -- HilberTraum (d, m) 21:46, 16. Jul. 2017 (CEST)

Leider kann ich dir zu der interessanten Frage nach totalen Funktionen aus Z keine zufriedenstellenden Angaben machen, sie sind mir recht fremd.

Deine ersten beiden Sätze kann ich nur unterstreiche, sie könnten auch von mir sein. In der Literatur finde ich nirgends eine saubere Behandlung des "ab $k$ indizierte Folge"-Begriffs.

Meine Auffassung: Jede nicht leere Folgen hat ein erstes Glied, ist das nicht alles, dann hat auch noch ein zweites Glied, eventuell noch ein drittes Glied und so fort. Eine endliche Folge sieht also so aus: erstes Glied, zweites Glied, drittes Glied, ... letztes Glied. Als Beispiel gebe ich die Folge ${\begin{array}{|c|}\hline 4,5,6\\\hline \end{array}}$, die ich auch anders schreiben kann, z.B. so: ${\begin{array}{|c|}\hline a,b,c,{\text{ wobei }}a=4,\,b=5,\,c=6\\\hline \end{array}}$ oder so ${\begin{array}{|c|}\hline (a_{i})_{i=0}^{2};\,a_{i}=i+4\\\hline \end{array}}$ oder so ${\begin{array}{|c|}\hline (a_{i})_{i=1}^{3};\,a_{i}=i+3\\\hline \end{array}}$. Die Beschreibung einer Folge hängt auch etwas vom Geschmack des Schreibers ab. Z.B. bevorzugt der eine $(a_{i})_{i=0}^{n-1}$ zu schreiben, der andere lieber $(a_{i})_{i=1}^{n}$ für dieselbe Folge. Ich habe meine Vorstellung zum Folgebegriff hier wiedergegeben. Eine Stellungnahme dazu würde mich sehr interessiere, hier oder auf meiner Disk. Grüße --Lothario Hederich (Diskussion) 17:17, 17. Jul. 2017 (CEST)

Neuer Text im Artikelabschnitt  'Angabe als Reihe'

Im heutigen Text dieses Abschitts steht viel unfaßliches:
1. Bei Satz 1:  Weil die Glieder einer Folge immer die Partialsummen ihrer Differenzenfolge gleich sind, sollen 'Folge' und 'Reihe' synonym sein?
2. "Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar."   In der Mathematik ist es: trennbar oder nicht trennbar.
3. "Die Deutung einer unendlichen Folge als Reihe".  Es gibt leider kein WP-Artikel  'Deutung (Mathematik)'.
4. " Summationsformeln sind zum Beispiel bekannt für die arithmetische Reihe und ..."   Aber eine arithmetische Reihe ist  "die Folge, deren Glieder [...] den Partialsummen einer arithmetischen Folge sind.".   Stimmt nicht mit einander.

Wer hat Kommentar beim Vorschlag hierunter? (Und wer will Sprache, Grammatik und Rechtschreibung korrigieren? Danke! ):

Angabe mit Differenzen
Jeder Zahlenfolge $(s_{n})$ kann mittels ihrer Differenzenfolge $(a_{n})$  (mit  $a_{1}$= $s_{1},\ \ a_{n+1}$= $s_{n+1}$−$s_{n}$)   angegeben werden mit  $(a_{1}+\cdots +a_{n})_{n=1,2,\cdots }$  oder mit  $($$\sum$$_{i=1}^{\ n}a_{i}$$)$$_{n=1,2,\cdots }$ .   Mehr gewöhnlich sind   $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$   und   $\sum$$_{i=1}^{\,\infty }\,a_{i}$ ,  wobei aber beachtet muß das man die beide letzte Formen auch für den - eventuellen - Grenzwert der Folge $(s_{n})$  gebraucht.
Die Differenzenform wird oft benutzt, wenn die Differenzen einer Folge einfacher zu beschreiben sind als ihrer Glieder selbst; vergeleich die Formen:  $1,\ {\frac {1}{2}},\ {\frac {5}{6}},\ {\frac {7}{12}},\ {\frac {42}{60}},\,\cdots$  und  $1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots$ .
Anderseits soll für eine arithmetische Folge nur selten  $a+d+d+d+\cdots$  geschrieben werden. -- Hesselp (Diskussion) 17:58, 1. Aug. 2017 (CEST)

Ist "Form mit Differenzen" oder "Form mit Differenzen der Folgeglieder"  besser Leserfreundlich als "Differenzenform" ? Bitte Vorzüge hier melden.   Ähnlich mit "Reiheform" . -- Hesselp (Diskussion) 11:51, 10. Aug. 2017 (CEST)

$(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc )$

Das erste Kapitel im Artikel endet mit dem Beispiel

“$(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc )$ Allgemeine unendliche Folge, deren Terme fortlaufend indiziert sind. Als Indizierungsbeginn ist hier die Null gewählt”

Abgesehen davon, dass ich mir nichts unter einer allgemeinen unendlichen Folge vorstellen kann, irritiert mich der Hinweis auf den Indizierungsbeginn, dieser ist doch aus dem Beispiel selbst klar ersichtlich. Wollte der Verfasser dieses Beispiels dem Leser etwas Besondere sagen? Ich befürchte fast, er will damit sagen, dass das vom Term “$(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc )$” bezeichnete mathematische Objekt von der Wahl der ersten vorkommenden Variable wesentlich bestimmt ist, was jedoch mathematisch nicht möglich ist: Z.B. ist der Wahrheitswert der Aussage “$(x)=(0)$” einzig vom Wert der in der Aussage freien Variablen “$x$” abhängig. Man darf in Aussagen freie Variablen durch andere ersetzen (Grundregel der mathem. Logik) ohne dass der Aussage-Wert sich verändert. Ersetzte man hier “$x$” durch “$x_{0}\!$”, dann wäre unter Berücksichtigung von „Indizierungsbeginn“ der Wahrheitswert der besagten Aussage unabhängig vom Wert der Variablen: falsch. Die Indizierungsbeginn(-Problematik) sollte aus dem Artikel herausgenommen werden. --Lothario Hederich (Diskussion) 16:22, 18. Aug. 2017 (CEST)

Dein Missverständnis liegt darin, dass du in $(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc )$ x_0 als freie Variable siehst. Dem ist nicht so. Der ganze Ausdruck ist eine Variable und zwar für eine Funktion von N in eine Menge. --Frogfol (Diskussion) 16:38, 18. Aug. 2017 (CEST)

Ich empfehle dir, Frogfol, dich mit mathematischer Logik vertraut zu machen --Lothario Hederich (Diskussion) 08:03, 19. Aug. 2017 (CEST)

facepalm--Frogfol (Diskussion) 17:49, 19. Aug. 2017 (CEST)

Der Funktionsbegriff ist sehr eng

Der zur Definition des Folgebegriffs verwendete – für den Unterricht in Schulen vielleicht ausreichende – Funktionsbegriff ist sehr eng; mit diesem kann nicht Folge von mathematischen Objekten definiert werden, sondern lediglich Folge von Elementen aus einer vorgegebenen Menge. Abhilfe schafft die folgende sehr einfache Funktionsbegriff-Definition (zu finden z.B. bei A.Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre, ausführlich nachgebildet von mir hier):

Formal:

${\mathfrak {Fkt}}(f):\Longleftrightarrow {\mathfrak {Klasse}}(f)\land \forall x,y\in f\colon ({\mathfrak {Paar}}(x)\land x\not =y\Longrightarrow {}^{right\!}x\not ={}^{right\!}y)$ Verbal: Funktionen sind rechtseindeutige Paar-Klassen. $\,{\text{Def}}(f):=\!=\{{}^{left\!}x\mid x\in f\}$ Verbal: Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Klasse der linken Komponenten ihrer Elemente.

Dann kann man definieren: Eine Funktion, $F$, heißt unendliche Folge, wenn $\,{\text{Def}}(F)=\{i\}_{i=1}^{\infty }$, endliche Folge der Länge $n$, wenn $\,{\text{Def}}(F)=\{i\}_{i=1}^{n}$ (zu finden z.B. in Encyclopaedia of Mathematics: sequence, tuple, ausführlich nachgebildet von mir hier) --Lothario Hederich (Diskussion) 17:23, 21. Aug. 2017 (CEST)

Du schränkst auch alles viel zu sehr ein. (Klassische Logik? Pffft! Eine Funktion ist eine Menge oder Klasse von Paaren? Pffft!) Unabhängig davon ist deine Definition von ${\mathfrak {Fkt}}$ falsch.

Wiederum unabhängig davon schlage ich vor, dass du dich ein wenig mit Logik (ab späte 2. Hälfte des 20. Jhdts.) beschäftigst, und dir darüber Gedanken machst, was das alles soll. (Womit ich definitiv aber nicht sagen will, dass hier alles auf dem neuesten Stand wäre; davon sind wir ganz weit entfernt. So ist halt der Lauf der Dinge: [3])

--Daniel5Ko (Diskussion) 02:11, 23. Sep. 2017 (CEST)

Folgen und Tupel

Welchen Vorteil hat es, Tupel als Folgen zu bezeichnen? Nach der mir geläufigen (aber vielleicht veralteten) Definition ist eine Folge eine Abbildung der natürlichen Zahlen (auf eine beliebige Wertemenge) und ordnet daher allen natürlichen Zahlen ein Bild zu. Zumindest die Angaben einer Quelle für diese (aus meiner Sicht bemerkenswerte Ausweitung der) Folgendefinition wäre schön.

--Psychironiker (Diskussion) 10:26, 23. Nov. 2017 (CET)

z.B. hier

• https://books.google.de/books?id=DyTzCQAAQBAJ&pg=PA18
• https://books.google.de/books?id=t8vnBQAAQBAJ&pg=PA336
• https://books.google.de/books?id=RH_yBgAAQBAJ&pg=PA22
• https://books.google.de/books?id=t7KkBgAAQBAJ&pg=PA331

--Kmhkmh (Diskussion) 11:32, 23. Nov. 2017 (CET)

Nur den ersten beiden Quellen ist zu entnehmen, dass sind Tupel "ohne Weiteres" Folgen sind, insbesondere bei Wolfgang Walter heißt es noch im Text, dass (allenfalls) "gelegentlich" eine endliche Teilmenge von $\mathbb {N}$ als Urbildmenge betrachtet wird. Aber nun gut - scheint "Stand der Dinge" zu sein. Danke für den Hinweis; die Angabe einer Quelle im Text des Artikels erübrigt sich dann wohl.

--Psychironiker (Diskussion) 21:49, 23. Nov. 2017 (CET)

Der Begriff endliche Folge ist ein anderer als der Begriff Tupel

$(x_{0},x_{1},\cdots x_{n})={\begin{cases}\{[i,x_{i}]\}_{i=0}^{n}&{\text{ als endliche Folge}}\\\{[i+1,x_{i}]\}_{i=0}^{n}&{\text{ als Tupel}}\end{cases}}$ (geordnetes Paar in eckigen Klammern) --Lothario Hederich (Diskussion) 18:34, 3. Apr. 2018 (CEST)

PS: Näheres hierzu siehe Benutzer:Hederich/Tupel --Lothario Hederich (Diskussion) 16:49, 6. Apr. 2018 (CEST)

Mal ein „radikaler“ Vorschlag, weil das Thema hier immer wieder kommt: In diesem Artikel Folge (Mathematik) sollten nur unendliche Folgen behandelt werden. Das scheint mir auch durch die Schwerpunkte in der modernen Literatur einigermaßen gerechtfertigt zu sein. Für die endlichen „Dinger“ haben wir ja schon Tupel. Wenn sich darüber hinaus in der Literatur noch ein davon unterschiedener Begriff „endliche Folge“ nachweisen lässt (weiß ich nicht), dann könnte/sollte dieser in einem Artikel Endliche Folge behandelt werden. Meinungen? -- HilberTraum (d, m) 21:17, 19. Apr. 2018 (CEST)

Die Probleme liegen doch ganz woanders, nämlich darin, dass Lothario Hederich nicht versteht, dass mengentheoretische Definitionen mathematischer Begriffe nicht "die" Definition schlechthin sind und oft nur dazu dienen, zu zeigen, dass Objekte mit bestimmten Eigenschaften auf der Grundlage der Mengenlehre auch existieren. Ob die Glieder endlicher Folgen oder von Tupeln von 0 beginnend oder von 1 beginnend nummeriert werden, ist völlig schnuppe. (Für unendliche Folgen gilt das genauso.) --Digamma (Diskussion) 21:25, 19. Apr. 2018 (CEST)

Habe ich richtig verstanden?

Nach Lambacher-Schweizer Analysis Leistungskurs ist die Funktion {(5,0),(100,0)} eine Folge. --Lothario Hederich (Diskussion) 11:16, 15. Mai 2016 (CEST)

Satz 1 des heutigen Abschnitts Angabe als Reihe ist sinnlos

Sinnlos, weil JEDER Folge identisch mit der Partialsummenfolge ihrer Differenzenfolge ist.
Eine Alternative für diesen Abschnitt ist möglicherweise:

Angabe mit Differenzen Das $n$-te Glied einer beliebigen Folge $(s_{n})$ kann mittels der Differenzen   $a_{n+1}$= $s_{n+1}$−$s_{n}$  und  $a_{1}$= $s_{1}$−$\,0$  geschrieben als $a_{1}+\cdots +a_{n}$  oder  $\sum$$_{i=1}^{\ n}a_{i}$.   Folge $(s_{n})$ kann also geschrieben als  $(a_{1}+\cdots +a_{n})_{n=1,2,\cdots }$  oder  $($$\sum$$_{i=1}^{\ n}a_{i}$$)$$_{n=1,2,\cdots }$ , obwohl man gewöhnlich die etwas kürzere Formen  $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$   und   $\sum$$_{i=1}^{\,\infty }a_{i}$  gebraucht. Wobei man beachten soll daß die beide letzte Formen auch für den - eventuelle - Grenzwert der Folge $(s_{n})$ benutzt werden. Eine solcher 'Differenzenform' ist praktisch, wenn die Differenzen einfacher zu beschreiben sind als die Glieder selbst. Beispiel: Die Folge  $1,\ {\frac {1}{2}},\ {\frac {5}{6}},\ {\frac {7}{12}},\ {\frac {42}{60}},\,\cdots$   kann mittels ihrer Differenzen  $-{\frac {1}{2}},\,+{\frac {1}{3}},\,-{\frac {1}{4}},\,+{\frac {1}{5}},\,\cdots$  (die Glieder ihrer Differenzenfolge) angegeben als  $1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots$  (Kurzform für  $1,\ \ (1-{\frac {1}{2}}),\ \ (1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}),\ \ (1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}),\ \cdots$  ). Anderseits soll eine arithmetische Folge nur selten in der Differenzenform  $a+d+d+d+\cdots$  angegeben werden. Statt Differenzenform (oder Reiheform) wird meistens kurz Reihe gesagt.

- Wer hat Kommentar bei diesem Text?
- @S. K. Kwan. ([4])  Wo ist dieser Text weniger hilfreich als der heutige?
- @S. K. Kwan. ([5])  Was ist als unerwünschte 'Privatpräferenz' zu sehen und nicht in gänglichen Lehrbüchern zu finden?
- @HilberTraum. ([6])  Differenzenform einer Folge (und  Reihe(n)form einer Folge) ist hier kurz für: Angabe einer Folge mittels der Glieder der Differenzenfolge dieser Folge. Genau was dieser Abschnitt zeigen will, also keine 'Begriffsfindung'.
- Wer bestreitet das meinungslos sein von Satz 1 ? (Daß der Satz schon seit 14. Oktober 2004 hier steht ist interessant, ist aber kein inhaltlich Argument zur Beibehaltung.) -- Hesselp (Diskussion) 08:35, 2. Sep. 2017 (CEST)

Nur weil ich hier erwähnt wurde: Hesselp, du bist jetzt schon viermal(!) in dieser Sache gesperrt worden. Denkst du wirklich, dass ich hier noch Lust habe herauszufinden, was du mir sagen willst? -- HilberTraum (d, m) 22:51, 7. Sep. 2017 (CEST)

Sehe ich es richtig

Die beiden 1-gliedrigen Folgen $~(a_{0})$ und $(b_{1})$ sind voneinander verschieden, unabhängig davon, welche Werte die Variablen $a_{0}$ und $b_{1}$ annehmen? Dann wäre $(\pi )\not =(\pi )$ wenn $a_{0}=b_{1}=\pi$ und allgemein $x\not =x$. --Hersilie (Diskussion) 09:59, 1. Feb. 2019 (CET)

Es verwundert mich, dass niemand auf meine Darlegung der Problematik im Artikel antwortet. Vielleicht habe ich mich nicht verständlich genug ausgedrückt? Hier ausführlicher: Aus der Einleitung und den Abschnitten Beispiele, Schreibweisen und Formale Definition könnte man so argumentieren:

1. Folge1: $(f_{0},f_{1},f_{2},f_{3})$, wobei $f_{i}=i+1{\big |}_{i=0}^{3}$
   Folge2: $(f_{1},f_{2},f_{3},f_{4})$, wobei $f_{i}=i{\big |}_{i=1}^{4}$
   Folge3: $(f_{2},f_{3},f_{4},f_{5})$, wobei $f_{i}=i-1{\big |}_{i=2}^{5}$
    
2. Folge1: $(f_{0},f_{1},f_{2},f_{3})~=~\{[0,f_{0}],[1,f_{1}],[2,f_{2}],[3,f_{3}]\}$
   Folge2: $(f_{1},f_{2},f_{3},f_{4})~=~\{[1,f_{1}],[2,f_{2}],[3,f_{3}],[4,f_{4}]\}$
   Folge3: $(f_{2},f_{3},f_{4},f_{5})~=~\{[2,f_{2}],[3,f_{3}],[4,f_{4}],[5,f_{5}]\}$
   
   

• Nach 1. sind die drei Folgen einander gleich: $(1,2,3,4)$, nach 2. (Darstellung als Funktion) voneinander verschieden.
• Folge3 hat kein erstes Glied.
• Nur die Folge2 ist ein Tupel.--Hersilie (Diskussion) 11:38, 4. Feb. 2019 (CET)

Nur eine kurze Antwort: Das sind Spitzfindigkeiten, die meiner Meinung nach im Kern unmathematisch sind. Der Formalismus ist in der Mathematik nicht l'art pour l'art, sondern dient der logischen Klarheit. Ich habe diese Diskussion schon oft genug fruchtlos mit Benutzer:Hederich geführt, deshalb sehe ich keinen großen Sinn, hier in die Diskussion einzusteigen. --Digamma (Diskussion) 20:11, 5. Feb. 2019 (CET)

+1--Kmhkmh (Diskussion) 20:13, 5. Feb. 2019 (CET)

Wenn überhaupt, erwarte ich zu meinen Ausführungen eine sachliche Kritik.
In der Encyclopedia of Mathematics steht eine mathematisch korrekte Definition des Folgebegriffs --Hersilie (Diskussion) 09:35, 6. Feb. 2019 (CET)

Ich kann keinen Unterschied sehen zwischen unserer Definition und der Definition in der Encyclopedia of Mathematics. Worauf willst du hinaus? --Digamma (Diskussion) 18:35, 6. Feb. 2019 (CET)

Die Indexmengen von Folgen sind in der Enzyklopädie (unter sequece) genau so definiert wie im hederichschen Folge-Artikel, sie beginnen alle mit 1, dagegen können sie bei euch mit jeder (nicht negativen?) ganzen Zahl beginnen.

Worauf ich hinaus will: Euch darauf aufmerksam machen, dass ihr nicht scharf unterscheidet zwischen Term und dem von diesem bezeichneten Objekt. Ein Term ist ein Stück mathematischer Text, z.B. “$(f_{0},f_{1},f_{2},f_{3})$, wobei $f_{i}:=\pi {\big |}_{i=0}^{3}$”, er bezeichnet das Objekt $(\pi ,\pi ,\pi ,\pi )=\{[1,\pi ],[2,\pi ],[3,\pi ],[4,\pi ]\}$.--Hersilie (Diskussion) 12:50, 7. Feb. 2019 (CET)

Eine Frage

Laut Artikel ist eine nicht leere $n$-gliedrige Folge eine Funktionen mit der Definitionsmenge $\{k,\cdots k+n-1\}$, wobei $k\in \mathbb {N} ,~(\in \mathbb {Z} ?)$.

Frage: Wie kann ich eine Folge mit der Indexmenge $\{5,6\}$ und den beide Gliedern $\pi$ und $\pi ^{2}$ schreiben? --Hersilie (Diskussion) 11:23, 11. Feb. 2019 (CET)

Ich sehe ein: Meine Frage an euch war zu schwierig als dass ihr sie hättet beantworten können. Ich stelle daher eine einfachere: Hat die Folge $(x_{0},x_{1});x_{0}:=1,x_{1}:=0$ ein erstes Glied und wenn ja, wie lautet es? --Hersilie (Diskussion) 19:53, 12. Feb. 2019 (CET)

Eine hochinteressante Neuigkeit

Ich habe mir die Kapitel Schreibweise und Formale Definition angesehen. Demnach hat die dreigliedrige Folge f=(a₀,a₁,a₂) die Indexmenge {0,1,2}, selbstverständlich unabhängig von den Werten, welche die Variablen a₀,a₁,a₂ haben, entsprechend hat die dreigliedrige Folge g=(b₁,b₂,b₃) die Indexmenge {1,2,3}, selbstverständlich unabhängig von den Werten, welche die Variablen b₁,b₂,b₃ haben. Schon wegen der unterschiedlichen Indexmengen der beiden Folgen ist f≠g. Also: auch wenn a₀=b₁=a₁=b₁=a₂=b₃=0, ist f≠g, woraus folgt, dass ein Tupel sich selbst ungleich sein kann: (0,0,0)≠(0,0,0). --Lothario Hederich (Diskussion) 19:21, 17. Dez. 2016 (CET)

Einleitung + Kapitel 1,2,3,5 kurzgefasst

Folgen sind endlich oder unendlich lange Listen, in denen mathematische Ojekte eingetragen sind. Beispiele: Endliche Folge der Länge 5 von Nullen und Einsen: $10011.$ Endliche Folge der Länge 4 von Funktionen: $\sin \cos \tan \cot .$ Unendliche Folge der Primzahlen: $(2,3,5,7,11,13,\dotsc )$ Das an $i$-ter Stelle einer Folge angegebene Objekt nennt man ihre $i$-te Komponente oder ihr $i$-tes Glied.

--Lothario Hederich (Diskussion) 18:18, 10. Jan. 2017 (CET)

Definition

Eine Folge ist eine Funktion. Der Indexbereich (= Definitionsbereich) der Nullfolge ist die leere Menge, der einer endlichen Folge der Länge $n$ die Menge $\{i\}_{i=1}^{n}$, der einer unendlichen Folge die Menge $\{i\}_{i=1}^{\infty }$. Ist $F$ eine nicht leere Folge und $i$ ein Element ihres Indexbereiches, dann ist ihr Funktionswert $F(i)$ ihre $i$-te Komponente.

--Lothario Hederich (Diskussion) 18:18, 10. Jan. 2017 (CET)

Notation

Nachstehende Beispiele zeigen, wie man Folgen schreiben kann.	Indexbereich		$i$-te Komponente / $i$-tes Glied
$F_{1}\colon \;\;(a_{0},a_{1},\dotsc a_{n})\;$ oder $\;(a_{i})_{i=0}^{n}\;$ oder $\;a_{i}|_{i=0}^{n}$	$\{i\}_{i=1}^{n+1}$		$\qquad \;F_{1}(i)=a_{i-1}$
$F_{2}\colon \;\;(x^{2},\,x^{4},\,x^{6},\,x^{8},\dotsc )\;$ oder $\;(x^{2i})_{i=1}^{\infty }\;$ oder $\;(x^{i})_{i=2,4,6,8,\dots }\quad$	$\{i\}_{i=1}^{\infty }$		$\qquad \;F_{2}(i)=x^{2i}$
$F_{3}\colon \;\;(f_{i})_{i=-2}^{\infty };~f_{-2}\!=\!0,\;f_{-1}\!=\!1,\;f_{i}\!=\!f_{i-1}\!\!+\!\!f_{i-2}$ für $i\geqq 0\quad$(Fibonacci-Folge)	$\{i\}_{i=1}^{\infty }$		$\qquad \;F_{3}(i)=f_{i-3}$

Auch mit anderen Klammern auch ohne Klammern, auch mit anderen Trennsymbolen statt des Kommas auch ohne Trennsymbol.
--Lothario Hederich (Diskussion) 18:18, 10. Jan. 2017 (CET)

Ich kann dem Artikel nicht entnehmen

wie man eine dreigliedrige Folge mit der Indexmenge {0,1,2} schreibt, deren drei Glieder die Zahl Null ist? --Lothario Hederich (Diskussion) 11:26, 13. Aug. 2017 (CEST)

Veränderung im Abschnitt "wichtige Folgen"

Auf die Einfügung der konstanten Folge an dieser Stelle kam ich, weil diese im Artikel über monotone Zahlenfolgen erwähnt, aber nirgendwo definiert ist.

--Psychironiker (Diskussion) 12:25, 23. Nov. 2017 (CET)

Hinweis auf einen Widerspruch

Ich entnehme dem Kapitel Formale Definition, dass die Aussage $~~\forall x_{0}\colon (x_{0})=\{[0,x_{0}]\}~~$gilt. Ich als Mathematikerin, wie auch jeder andere Mathematiker, weiß, dass in Aussagen durch Quantoren gebundene Variablen durch beliebige andere Variablen ersetzt werden können, ohne dass der Wahrheitswert der Aussage sich ändert. Ersetzt man in der obigen Aussage $~x_{0}~$ durch $~x_{1},~$ dann ergibt sich$~~\forall x_{1}\colon (x_{1})=\{[0,x_{1}]\},~~$im Widerspruch zum Kapitel Formale Definition.
--Hersilie (Diskussion) 10:57, 3. Feb. 2020 (CET)

Für euch gilt $\forall x_{0},\cdots x_{n},a_{1},\cdots a_{n+1}\colon (x_{0},\cdots x_{n})\not =(a_{1},\cdots a_{n+1})$

Für mich gilt $\forall x_{0},\cdots x_{n},a_{1},\cdots a_{n+1}\colon (x_{0},\cdots x_{n})\not =(a_{1},\cdots a_{n+1})\Longleftrightarrow x_{0}\not =a_{1}\lor \cdots x_{n}\not =a_{n+1}$
--Hersilie (Diskussion) 14:27, 4. Feb. 2020 (CET)

Ihr seid keine Mathematiker. Es ist bedauerlich, dass so Disqualifizierte für mathematische Basisbegriffe Artikel schreiben.
--Hersilie (Diskussion) 15:34, 5. Feb. 2020 (CET)

Nachfrage

Wie deduziert man aus der Formalen Definition

Formal definiert ist eine unendliche Folge eine Abbildung,

${\begin{matrix}a\colon &\mathbb {N} &\to &X\\&i&\mapsto &a_{i},\end{matrix}}$

die uns Nicht-Mathematikern unterstellte Aussage $~~\forall x_{0}\colon (x_{0})=\{[0,x_{0}]\}~~$? Und wieso soll die Aussage $~~\forall x_{1}\colon (x_{1})=\{[0,x_{1}]\}~~$ einen Widerspruch zu irgendeiner Definition darstellen (wenn man überhaupt einer Definition widersprechen kann), wenn es die Aussage $~~\forall x_{0}\colon (x_{0})=\{[0,x_{0}]\}~~$ nicht getan hat? Das ist nicht plausibel, eben weil die Variablen $x_{0}$ und $x_{1}$ gebunden sind. --Stefan Neumeier (Diskussion) 19:29, 25. Mai 2020 (CEST)

Euch Nicht-Mathematikern wollte ich nichts unterstellen, ich meinte nur, ihr sähet die Gleichungen $~~(x_{0})\!=\!\{[0,x_{0}]\}~~$ und $~~(x_{1})\!=\!\{[1,x_{1}]\}~~$ als unmittelbar aus den Definitionen für den Funktions- und den Folge-Begriff ableitbar an. Selbstverständlich gelten diese Gleichungen für alle Werte von $x_{0}$ und $x_{1}$, also gilt: $~~\forall x_{0}\colon (x_{0})\!=\!\{[0,x_{0}]\}~~$ und $~~\forall x_{1}\colon (x_{1})\!=\!\{[1,x_{1}]\}$. Ersetzt man die durch den Generalisierungs-Quantor gebundene Variable $x_{0}$ durch $x_{1}$, dann ergibt sich $~~\forall x_{1}\colon (x_{1})\!=\!\{[0,x_{1}]\}$, woraus mit der Aussage $~~\forall x_{1}\colon (x_{1})\!=\!\{[1,x_{1}]\}~~$ und dem Peanoschen Paaraxiom $0=1$ folgt. --Hersilie (Diskussion) 10:53, 5. Jun. 2020 (CEST)

Die erste Frage wurde nicht beantwortet. Die Mathematikerin entnimmt im von ihr erstellten Abschnitt Hinweis auf einen Widerspruch einer Formalen Definition die Aussage $~~\forall x_{0}\colon (x_{0})=\{[0,x_{0}]\}~~$.

Wie entnimmt sie der Formalen Definition

Formal definiert ist eine unendliche Folge eine Abbildung,

${\begin{matrix}a\colon &\mathbb {N} &\to &X\\&i&\mapsto &a_{i},\end{matrix}}$

die Aussage $~~\forall x_{0}\colon (x_{0})=\{[0,x_{0}]\}~~$? --Stefan Neumeier (Diskussion) 16:00, 18. Aug. 2020 (CEST)

Ich sehe ein, dass

bei euch meine Anmerkungen deplatziert sind. --Hersilie (Diskussion) 09:45, 21. Apr. 2019 (CEST)

Änderungen im Folge-Artikel, Vorschlag 17. Mai 2021

A. (Einleitung, Satz 1: vier Wörter hinzufügen, plus Fußnoten)
Als Folge oder Sequenz (früher: Reihe^[1] oder Progression^[2]) wird in der der Mathematik eine Auflistung. . . . .
[1] "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Eine zweite Bedeutung von "Reihe" hat sich beibehalten: Ausdruck einer bestimmten Art (für eine Folge oder eine Zahl).
[2] Manchmal nur für arithmetische, geometrische und harmonische Folgen.

B. (Sektion 7.2, Satz 2-3: einfacher Argument)
Die Folge der Quadratzahlen: 0, 1, 4, 9, …, Funktionsvorschrift $a_{i}=i^{2}$,   ist ebenfalls eine 'arithmetische Folge 2. Ordnung' da ihre Differenzfolge 1, 3, 5, 7, ... eine arithmetische Folge ist.

Bemerkungen:
A1. Für Belege bei  "(früher Reihe oder Progression)"  sehe die 'Klappbox' hier.

A2. Ins Reihe-Artikel kann  "Ausdruck einer bestimmten Art („Bauart“)"  erläutert werden mit:
$\quad \Sigma \,(a_{n})\quad$oder$\quad a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ \cdots \quad$oder   . . .   (zur Bezeichnung der Folge $\ (a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})_{n\geq 1}\$) ,
$\quad \Sigma ^{\infty }(a_{n})\quad$oder$\quad a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\ \cdots \quad$oder   . . .   (zur Bezeichnung der Zahl ${\textstyle \ \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})\ }$) .

B1. Bei der Folge der Quadratzahlen ist einfacher und direkter: "da ihrer Differenzenfolge arithmetisch ist.";  "Reihe" (Folge oder Ausdruck?) hat mit eine Summenfolge zu tun.  Und präzise: die Summenfolge der ungerade Zahlen ist die Folge 1, 4, 9, 16, ... − ohne Quadratzahl 0. -- Hesselp (Diskussion) 21:28, 17. Mai 2021 (CEST)

Wo fehlen Belege?

@Kmhkmh: Du hat meine Edits 23:26, 17. Mai 2021‎ und 11:22, 19. Mai 2021‎ ohne Begründung zurückgesetzt. Bitte hier benennen für welche Bestandteile meiner Edits, deiner Meinung nach, hinreichende Belege fehlen. Sind die Brockhaus-Zitate nicht überzeugend? --Hesselp (Diskussion) 20:12, 19. Mai 2021 (CEST)

Zurücksetzung 22. Mai 2021

@Digamma: Kannst du deine Frage (wo ist das belegt?) spezifizieren?

- i. Die Zusammenfassung meiner Edit 09:16, 22. Mai 2021‎ gibt: Eine Zurücksetzung soll inhaltlich argumentiert werden.

- ii. In meiner Disk-Beitrag 20:13, 19. Mai 2021‎ fragte ich: Bitte hier benennen für welche Bestandteile meiner Edits, deiner Meinung nach, hinreichende Belege fehlen.

- iii. Die Zusammenfassung deiner Zurücksetzung 21:57, 22. Mai 2021‎:  wo ist das belegt? Du gibst keine Einzelnachweise an.  nennt nicht für welche Bestandteile meiner Edit  'Belege und Einzelnachweise'  fehlen. Deine "wo ist das" und "keine Einzelnachweise" sind nicht spezifiziert. Punkte i zu iii kombiniert: ich sehe deine Zurücksetzung als nicht inhaltlich argumentiert.

- iv. In meiner Vorschlag 17. Mai 2021 schrieb ich: "A1. Für Belege bei  "(früher Reihe oder Progression)"  sehe die 'Klappbox' hier." (Link hinter 'hier'.)  Und hier 20:12, 19. Mai 2021: "Sind die Brockhaus-Zitate nicht überzeugend?" (Auch gelinkt.)   Für neuere Bezeichnungen, sehe z. B. Brockhaus 18. Auflage: "Folge" (3. Band S. 151); "Progression" (9. Band S. 211); "Unendliche Reihe" (9. Band S. 406).   Ist das nicht hinreichend, Digamma? -- Hesselp (Diskussion) 11:47, 23. Mai 2021 (CEST)

Eigentlich erwarte ich, Belege als Einzelnachweise im Text zu finden; hilfsweise in der Zusammenfassungszeile. In der Artikeldiskussion habe ich nicht nachgeschaut. --Digamma (Diskussion) 18:05, 23. Mai 2021 (CEST)

@Digamma: Im Einzelnachweis kann hinzugefügt: "Deutlich zu sehen in H.von Mangoldt - K.Knopp Einführung in die höhere Mathematik zweiter Band: Was in der 5. Auflage (1929) noch immer unendliche Reihe heißte, wurde in der 6. (1932) Zahlenfolge." Eine Verbesserung?  Bitte sehe nicht nur die 'Folge'-Disk, aber auch die 'Reihe'-Disk. --Hesselp (Diskussion) 14:56, 24. Mai 2021 (CEST)

Der Hinweis, dass die Bezeichnung Reihe historisch auch für Folgen verwendet wurde (und es in speziellen Kontexten auch noch wird), ist zwar nicht falsch aber Mmn. in der Anleitung unagemessen. Zudem scheint es hier nur als Sprungbrett für hesselps Vorstellungen zu Folgen und Reihen zu dienen , die er schon seit Jahren versucht im artikel zu platzieren. Insofern halte ich die Löschung durchaus für angemessen, da ein Hinweis auf historische Alternativbezeichnungen in der Einleitung lediglich optional ist bzw. im editoriellen Ermessen liegt.--Kmhkmh (Diskussion) 18:31, 23. Mai 2021 (CEST)

@Kmhkmh: (1) Die Wahl für dem ersten Satz habe ich andere Artikel entnommen; wahrscheinlich sehe ich die Priorität höher wie du.  (2) Bist du auch einverstanden mit der Tatsache dass die Bezeichnung "konvergent" (und "konvergieren") vor der 20. Jahrhundert (nahezu) ausschlieslich summierbar / eine Summe zustreben / eine Grenzwert zustrebende Partialsummen  bedeutete? Dass in "konvergente Reihe" das Wort "Reihe" damals immer der Brockhaus/v.Mangoldt/Cauchy/...-Bedeutung (der Folge-Bedeutung) hatte? Kennst du Texte wo das nicht der Fall war?  (3) Was ist doch falsch mit meiner - auf sehr viel Fachliteratur gegründete - 'Vorstellungen zu Folgen und Reihen'? Was ist falsch mit meinen Versuche WP-Artikel zu bearbeiten wenn ein solcher Beitrag mit vielen Quellen zu belegen ist? Warum doch die 'Sprungbrett'-Angst? --Hesselp (Diskussion) 15:01, 24. Mai 2021 (CEST)

Ich habe auch grundsätzlich hier Probleme mit den Zitaten aus einem Konversationslexikon. Die angeführten Zitate für den Begriff "Reihe" klingen nicht sehr fachlich fundiert. --Digamma (Diskussion) 19:58, 23. Mai 2021 (CEST)

@Digamma: Kannst du Quellen/Texte zeigen (19. Jh.) wo "Reihe" mehr fachlich fundiert klingt wie in der Brockhaus-Zitate? Ich bin sehr interessiert. --Hesselp (Diskussion) 15:05, 24. Mai 2021 (CEST)

Unendliche Reihe (1929, von Mangoldt)   =   Zahlenfolge (1932, Knopp)

In den letzten Jahrzehnten hat sich . . . Sprachgebrauch durchgesetzt. (Originaltext in diesem Snippet)

@Digamma: @Kmhkmh: Hier noch ein Beleg bei meinem Vorschlag 17. Mai 2021. Zitate von Hans von Mangoldt (1854-1925) und seiner Nachfolger/'Bearbeiter' Konrad Knopp (1882-1957)

Hans von Mangoldt, Einführung in die höhere Mathematik (1. Aufl. 1912 - 5. Aufl. 1929):

- Zweiter Band; 1. Aufl. 1922, S.174, auch noch 5. Aufl. 1929, S. 171, Zitat.   Man denkt sich, unter n eine aller ganzzahligen positiven Werte fähige Veränderliche verstehend, irgenddeine Funktion u_n' von n erklärt und sodann die Zahlen der natürlichen Zahlenreihe durch die ihnen entsprechenden Werte dieser Funktion ersetzt. Das Ergebnis   u₁;   u₂;   u₃;  · · ·   einer solcher Umwandlung heißt jedesmal eine unendliche Reihe [..] .

- Zweiter Band; 1. Aufl. 1922, S. 177, auch noch 5. Aufl. 1929, S. 174, Zitat.   Eine unendliche Reihe mit konstanten Gliedern heißt konvergent, wenn die Summe ihrer n ersten Glieder bei unbegrenztem Wachsen der ganzen positieven Zahl n einem Grenzwert zustrebt [..] .

Das Wort "Folge" kommt an keiner Stelle vor in v. Mangoldt's erster, zweiter oder dritter Band (Auflage 1-5) .

H. v. Mangoldt's Einführung in die höhere Mathematik [..] seit der sechsten Auflage neu herausgegeben und erweitert von Konrad Knopp (6. Aufl. 1932 - 17. Aufl. 1990):

- Zweiter Band; 11. Aufl. 1958, S. 198, auch noch 14. Aufl. 1974, S.198, Zitat.   Die Worte „Folge“ und „Reihe“ werden, wie im täglichen Leben so auch in der Mathematik, nicht immer streng geschieden. So spricht man statt von der F o l g e der natürlichen Zahlen auch häufig von der natürlichen Zahlen r e i h e. Es ist aber für unsere Zwecke unerläßlich, hier einen Unterschied zu machen. In den letzten Jahrzehnten  [6. Aufl. 1932, S. 206: "In dem letzten Jahrzehnt"]  hat sich in der Mathematik allgemein der in den Erklärungen von I, Nr. 67 [siehe unten] und der obigen Nr. 71 [siehe unten] festgelegte Sprachgebrauch durchgesetzt.

- Erster Band; 11. Aufl. 1958, auch noch 14. Aufl. 1974, S. 151, Nr. 67 Zahlenfolgen, S. 151, Zitat.   Erklärung 1. Wenn auf Grund einer bestimmten Vorschrift den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... je eine gewisse Zahl x₁, x₂, x₃, ... zugeordnet ist, so sagt man, daß diese Zahlen  x₁, x₂, x₃, ...   in dieser den natürlichen Zahlen entsprechenden Anordnung eine Zahlenfolge bilden.

- Zweiter Band; 6. Aufl. 1932, S. 203, immer noch 14. Aufl. 1974, S. 196, Nr. 71 Unendliche Reihen, S. 196, Zitat.  Erklärung. Eine unendliche Reihe ist ein Zeichen der Form ${\textstyle \quad \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\quad }$oder${\textstyle \quad a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots \quad }$oder${\textstyle \quad a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \quad }$,  bei dem die Glieder (a_n) eine irgendwie gegebene Zahlenfolge bilden. Dieses Zeichen soll zunächst nichts anderes bedeuten als die Folge (s_n) der sogenannten Teilsummen oder Abschnitte ${\textstyle \quad s_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\ }$. --Hesselp (Diskussion) 14:48, 24. Mai 2021 (CEST)

Einige Details eingefügt. --Hesselp (Diskussion) 18:00, 29. Mai 2021 (CEST)

OK, klingt überzeugend. Nur die Anmerkung: Wenn Mangoldt 1929 auf Seite 174 schreibt "Eine unendliche Reihe mit konstanten Gliedern heißt konvergent, wenn die Summe ihrer n ersten Glieder bei unbegrenztem Wachsen der ganzen positieven Zahl n einem Grenzwert zustrebt [..]", dann ist ganz offensichtlich mit "Reihe" keine Folge gemeint, sondern die dadurch definierte Reihe (so wie wir den Begriff heute verstehen). --Digamma (Diskussion) 17:43, 24. Mai 2021 (CEST)

(a) Warum: "ganz offensichtlich mit "Reihe" keine Folge gemeint"? Weil auf Seite 171 "unendliche Reihe" ganz klar (ja?) definiert wird als (modern gesagt) Abbildung auf N. Du nimmst den Autor nicht seriös?  Auch Brockhaus definierte (jedenfalls bis 1908) 'konvergieren' als das Zusammenlaufen der Partialsummen einer Reihe (= eine Folge von Gliedern/Größen, die...).   (b) Entspricht deine "wie wir [?] den Begriff heute verstehen" der - für mich klare - Knopp-Definition (Zweiter Band 11. Auflage 1958, S. 196) ? --Hesselp (Diskussion) 23:16, 24. Mai 2021 (CEST)

Rechtfertigung Artikel-Beitrag 26 Mai 2021

- Die Zurücksetzers Kmhkmh und Digamme stimmen mittlerweile mit der Tatsache dass eine Folge früher allgemein “Reihe” heißte (und zuweilen auch immer noch).

- Belege für das “zuweilen auch immer noch” sind zu finden in meinem Beitrag "Neun Quellen".

- Auch auf der anderen Seite der Welt wurde die Bedeutungsänderung bemerkt.  S. Schwartzmann, The Words of Mathematics, MAA 1994, S.196 Zitate: In older terminology a sequence was sometimes called a series und In older usage, s e r i e s  sometimes meant what we would now call a sequence.  Weiter, S. 173: progression is another name for a sequence .

- Digammas "wo ist das belegt? Du gibst keine Einzelnachweise an."  resultiert in eine (vorangekündigte) extra Satz in der Fußnote.  Die Reputation von Mangoldt bzw. Mangoldt/Knopp (17 Auflagen in 78 Jahre) läßt sich auch hier ansehen.

- Digamma: Eine eventuellen neuen Zurücksetzung bitte nicht 'argumentieren' mit  "dann ist ganz offensichtlich klar".   Verzeihung: In der 'Zusammenfassung' dieses Beitrags habe ich mich geirrt; nicht "Antwort an Kmhkmh" sondern "Antwort an Digamma".

- Kmhkmh ist der Meinung dass die Zusatz in der Einleitung unangemessen ist, bzw. lediglich optional ist. Wo dies in andere Artikel nicht unüblich ist, wo ich die Bemerkungen über Namevarianten für Folgeobjekten und die 0-gliedrige Folge in der heutigen Einleitung sicherlich weniger wichtig achte, und wo es nicht direkt klar ist wo die Zusatz besser einzufügen ist, habe ich die Plazierung nicht geändert.  Diese Enzyklopädie hat doch auch zum Zweck, älterer Texten besser verständlich zu machen?

- Kmhkmhs Sprungbrett-Angst scheint mir kein relevant Argument zur Zurücksetzung. Sind meine Vorschläge und Edits nicht immer mit (vielen) Quellen belegt? --Hesselp (Diskussion) 15:58, 26. Mai 2021 (CEST)