Diskussion:Foucaultsches Pendel/Archiv

Paris

Ich weiß zwar jetzt nicht, auf welchem Breitengrad Paris liegt, aber ich bin mir ziemlich sicher, daß es nicht am Nordpol oder Südpol liegt.

Das Foucaultsche Pendel dreht sich aber nur an diesen beiden Punkten um volle 360 Grad. (nicht signierter Beitrag von 212.183.119.216 (Diskussion) 14:58, 8. Feb. 2003‎)

Roman von Umberto Eco

Was für eine Rolle spielt das Foucaultsche Pendel im gleichnamigen Roman von Umberto Eco? --HHK 16:45, 8. Feb 2003 (CET)

Missverständnis

Also, der letzte Halbsatz in diesem Artikel beruht auf einem Missverständnis, oder? Multipliziert man 15°/h mit dem sinus von 50, was etwa dem Breitengrad von München entspricht, dann bekommt man für Dj ein Ergebnis von 11,... Damit ist Dj nicht konstant 11,... sondern eben nur in Breitenkreisen, die durch Süddeutschland laufen. Wenn ich keine Antwort bekomme, nehme ich den Halbsatz demnächst raus!! (DFK)

Physik des Foucaultschen Pendels

Hey zusammen. Der Stern-Artikel unten erklärt den Effekt klar und knapp, ist aber (so ganz ohne Bilder und so) vermutlich nicht ganz verständlich. Ich habe vor einiger Zeit einen Link zu unserer Facharbeit für eine detailliertere Behandlung des physikalischen Aspekts ins Wiki gestellt (http://www.file-upload.net/member/download-903/Das-Foucaultsche-Pendel.pdf.html) - wurde aber mittlerweile wieder gelöscht. Bin mir nicht ganz sicher wieseo :-S ...

Die Doku ist 14 Seiten stark und erklärt die Pole- und Äquatorproblematik recht gut und enthält, was ich noch viel wichtiger finde, ebenfalls Herleitung und Erklärung für die allgemeine Formel (Pendeldrehung pro "Tag"=360° * sin(phi)). Ein Tag meint dabei einfach die Zeit, in der sich das Pendel an den Polen um 360° dreht (bin mir nicht sicher, waren das jetzt 23h 56min oder so :-) .

Persönlich fände ich es natürlich ideal, die Kernthemen aus der Doku (Äquator, Pole, Pendel am Breitengrad, Herleitung Formel) in den Artikel zu kopieren - mit dieser Meinung bin ich aber zugegeben nicht mehr ganz neutral. Wir haben uns wochenlang mit diesem Thema beschäftigt, weshalb ich das Ganze vermutlich interessanter finde als der durchschnittliche Besucher :-P . Alternativ könnte man auch den Stern-Artikel durch ein paar aussagekräftige Bilder ergänzen (evtl. aus der Doku) und für eine genauere Bearbeitung den Link zur Facharbeit zur Verfügung stellen...

Was meint ihr?

PS: Der allererste mit dem Pendelversuch war übrigens Vincenzo Viviani, rund 200 Jahre vor Foucault. Das hat damals allerdings noch nicht für so viel Aufregung gesorgt wie zu Zeiten Foucaults, sonst wäre es heute wohl das "Vivianische Pendel" ;-)

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Fixpunkt-Pendel: Erde oder Weltraum?

hallo, ich bin nicht bewandert was mathe und physik angeht und habe deshalb nur eine simple frage. in umberto eco's "das focaultschen pendel" heisst es :

"Ich wusste, dass die Erde rotierte, und ich mit ihr und Saint-Martin-des-Champs und ganz Paris mit mir; wir alle rotierten gemeinsam unter dem Pendel, das in Wirklichkeit nie seine Schwingungsebene ändert, denn dort oben, von wo es herabhing, und längs der ideellen Verlängerung des Fadens, endlos hinauf bis zu den fernsten Galaxien, dort oben stand, reglos in alle Ewigkeit, der Feste Punkt. Die Erde rotierte, doch der Ort, wo das Pendel verankert war, war der einzige Fixpunkt im Universum."

was meint eco mit "Die Erde rotierte, doch der Ort, wo das Pendel verankert war, war der einzige Fixpunkt im Universum."?

meint er die verankerung auf der erde z.b. pantheon paris - oder an einer galgenlatte oder sonst einer irdischen konstruktion an dem das pendel verankert ist? oder meint er, dass der fixpunkt irgendo im universum ist? und kann es nicht sein das die schwingungsebene von der gravitationskraft der erde herrührt, da alles ja in den erdkern stürzt bzw. gezogen wird und somit wie gesagt der fixpunkt der erdkern ist? muss man denn den fixpunkt im universum vermuten? ist das nicht zu hoch gegriffen? gibt es keine physikalische erklärung was den fixpunkt angeht? fragen über fragen..

grüße, ahab. (nicht signierter Beitrag von 77.2.44.32 (Diskussion) 22:26, 21. Jan. 2012 (CET))

doppelter Artikel hierher

so, habe aus Foucaultscher Pendelversuch den Text hierher kopiert, er wurde von Stern aus dem Meyers Konversationslexikon von 1888 dort eingestellt. Aus dem Stichwort habe ich einen Redirect auf diesen Artikel hier gemacht - wer sich dazu befähigt fühlt, möge diese Informationen einarbeiten - es gibt (eventuell!) einen Widerspruch bezüglich der Jahreszahlen 1851 und 1852. Gruß, -- Schusch 12:10, 12. Jul 2004 (CEST)

Der Text aus dem Artikel:

Der Foucaultsche Pendelversuch liefert den augenscheinlichen Beweis der täglichen Umdrehung der Erde um ihre Achse von Westen nach Osten.

Ein schwingendes Pendel hat vermöge der Trägheit das Bestreben, in seiner Schwingungsebene zu verharren, und hält dieselbe auch der Umdrehung der Erde gegenüber fest. Denkt man sich ein Pendel über dem Nordpol der Erde aufgehängt, so behält die Schwingungsebene des Pendels ihre Richtung im Raum bei, während die Erde samt dem auf ihr stehenden Beobachter sich unter dem Pendel von Westen nach Osten dreht; der Beob achter, der seinen Standpunkt für fest hält, wird daher die Schwingungsrichtung des Pendels in Bezug auf die Erdoberfläche von Osten über Süden nach Westen, also nach rechts hin, sich drehen und in 24 Stunden einen ganzen Umlauf vollenden sehen. An jedem andern Ort kann die von der Erdumdrehung herrührende Bewegung der Erdoberfläche aufgefaßt werden als zusammengesetzt aus einer langsamern Umdrehung um eine vertikale Achse und aus einer Fortführung von Westen nach Osten; nur die erstere Bewegung kann zu einer scheinbaren Drehung der Schwingungsrichtung des Pendels, auf der nördlichen Erdhälfte nach rechts, auf der südlichen nach links herum, Anlaß geben, welche um so langsamer erfolgt, je näher der Ort dem Äquator liegt and am Äquator selbst Null ist. Die Winkelgeschwindigkeit w' der Drehung um die Vertikale an irgend einem Qrte, dessen geographische Breite fi ist, wird nämlich gefunden, wenn man die am Pol stattfindende größte Winkelgeschwindigkeit w mit dem Sinus der geographischen Breite multipliziert, oder es ist w' = w sin fi. Hiernach braucht in Berlin, dessen geographische Breite 52 1/2 ° beträgt, die Schwingungsebene des Pendels zu einer ganzen Umdrehung 30 Stunden 15 Minuten. Wenn dieser Versuch, welcher die Umdrehung der Erde um ihre Achse unmittelbar zur Anschauung bringt, gelingen soll, muß man ein Pendel von großer Trägheit wählen, welches, einmal in Bewegung gesetzt, lange Zeit fortschwingt, nämlich eine schwere Metallmasse, an langem, dünnem Draht in einem hohen Raum aufgehängt.

==Geschichte==

Foucault selbst führte den Versuch 1852 im Panthéon zu Paris aus mittels eines Pendels von 67 m Länge und eines Messinggewichts von 28 kg; in Deutschland wurde der Versuch von Schwerd im Dom zu Speier, von Garthe im Dom zu Köln und anderwärts mit Erfolg wiederholt.

meine Quellen sagen, dass Schwerd den Versuch 1851 gemacht hat - ein genaues Datum Versuche ich derzeit noch zu finden - aber wer hat diesen Versuch jetzt wirklich zuerst gemacht? --DarkX2 12:09, 21. Jan 2005 (CET)

nach meinem Wissen ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde konstant - es ändert sich nur die Bahngeschwindigkeit, abhängig von der geographischen Breite. (siehe Wikipedia Artikel Winkelgeschwindigkeit)

weshalb folgender Satz falsch wäre: "Die Winkelgeschwindigkeit w' der Drehung um die Vertikale an irgend einem Qrte, dessen geographische Breite fi ist, wird nämlich gefunden, wenn man die am Pol stattfindende größte Winkelgeschwindigkeit w mit dem Sinus der geographischen Breite multipliziert, oder es ist w' = w sin fi." (nicht signierter Beitrag von 93.221.249.149 (Diskussion) 23:36, 10. Mär. 2012 (CET))

Weltaustellung?

Wie kann dieses Experiment bei der Weltausstellung in Paris 1851 vorgeführt worden sein, wenn in diesem Jahr dort gar keine war? --DarkX2 12:19, 21. Jan 2005 (CET)

Sterntag !

Es ist m. E. falsch, wenn behauptet wird, das Foucault'sche Pendel müsse sich "an den Polen in genau 24 Stunden" um 360 ° drehen. Für eine 360-°-Drehung sollte ein Sterntag (ca. 23 h 56 min) ausreichen. Mit anderen Worten: binnen 24 Stunden dreht sich die Erde um mehr als 360 °, nämlich zusätzlich um den Winkel, um den sie sich zwischenzeitlich um die Sonne weitergedreht hat; nur so können (per definitionem) 24 Stunden die Zeit zwichen zwei Zenitdurchgängen der Sonne sein.

Du sagst es, werde das mal ändern. komA 17:50, 24. Nov 2005 (CET)

24 h is doch richtig was willst du ? was los?!

weiteres Pendel

Es gibt ein weiteres Pendel am Gymnasium der Stadt Lennestadt (siehe hier: http://www.sauerland-online.de/gymsl/fouc_in.htm ) vllt. könnte das noch jemand einfügen. -Tab-

Der Link funktioniert nicht.

noch ein Pendel

auch unser Gymnasium hat ein Foucaultsches Pendel: Friderico-Francisceum-Gymnasium zu Bad Doberan (http://www.ffg-dbr.de, Bilder folgen noch)

Liste der Pendel?

Ich glaube es wäre sinnvoll, eine Liste der Standorte von FP aus dem Artikel auszulagern. Was meint ihr? --DarkX2 04:39, 8. Mai 2006 (CEST)

Nicht unbedingt. Denke, das passt gut hierher. - Ich glaube, mich zu erinnern, dass ich auch ein Pendel im Jahre 1992 im Uhrenmuseum in Klaipeda in Litauen gesehen habe. Da ich aber nicht weiß, ob es noch dort ist, und die Website auch nichts davon verrät, traue ich mich es nicht in die Liste einzutragen. Weiß jemand mehr? Eweht 23:21, 1. Nov. 2008 (CET)--

Da kann ich leider nicht helfen, Google findet allerdings nichts. Zur Ausgangsfrage habe ich die gleiche Meinung wie du, aber die Liste sollte evtl. gekürzt werden. Ich beobachte schon seit einiger Zeit, dass die Tendenz besteht, jede Cafetria von Schulen, kleinen Unternehmen usw. hier unterzubringen (teilweise sogar noch mit "passendem" Weblink. -- Jesi 17:09, 5. Nov. 2008 (CET)

Hy Ich finde es schade, dass das Pendel im pateon in Paris nicht erwähnt wird. Auch im Pariser museum arts et metier ist ein anschauliches Exemplar zu sehen. --91.9.214.129 (22:39, 22. Feb. 2013 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

24 Stunden

"Das Pendel im Verlauf von 24 Stunden in unmittelbarer Nähe des Südpols" das steht unter dem Bild... hmm das ist doch quatsch... ich hab den artikel zwar ncihtdurchgelesen aber... das ist doch quatsch^^ xD das pendel fängt ja immer von vorne an^^ also ist das ne unendliche zeit^^ - -`lüis´- 13:16, 18. Nov. 2006 (CET)

Physikalische Erklärung?

Hallo,

also irgendwie verstehe ich überhaupt nicht, nach welchen physikalischen Gesetzen das Pendel funktioniert. Das wird im Artikel an keiner Stelle erklärt.

mit freundlichen Grüßen

Harald

Hallo, ist mittlerweile schon geklärt, warum sich das Pendel dreht? Weil das macht doch keinen Sinn, wenn die Erde sich angeblich unter dem Pendel wegdreht, aber unter der Atmosphäre sich nicht wegdreht, durch die Trägheit würde sich doch das Pendel genauso mitdrehen müssen. Vielleicht sollte man den Widerspruch im Artikel klären, sofern es hier schon erste Forschungsergebnisse gibt... (nicht signierter Beitrag von 92.116.222.110 (Diskussion) 02:26, 25. Jan. 2011 (CET))

Ich werde im Laufe der nächsten Tage die physikalische Erklärung ergänzen. Eventuell auch mit herleitung.

Gruß -- Rulenz 15:26, 14. Nov. 2011 (CET)

Rechtskurve

Den Satz: "Ebenso bewegt sich ein Auto, das auf der Stelle wendet: Lenkung voll nach rechts, vorwärts fahren, Lenkung voll nach links, rückwärtsfahren. Diese Rückwärtsfahrt ist in Wirklichkeit auch eine Rechtskurve" verstehe ich nicht. Wer kann mir das erklären? --83.137.66.98 15:11, 30. Jul. 2008 (CEST)

Wenn man es in der "tatsächlichen" Fahrtrichtung sieht, ist die zweite Kurve auch eine Rechtskurve. -- Jesi 15:59, 31. Jul. 2008 (CEST)

Was ist denn die "tatsaechliche" Fahrtrichtung? Die Aussage entbehrt zwar nicht eines gewissen Ueberaschungseffektes aber was ihr Sinn ist, wenn man dazu eine nicht intuitive Definition von "Fahrtrichtung" benoetigt und was sie mit dem Foucaltschen Pendel zu tun hat, bleibt mir schleierhaft. Vielleicht sollte man den Satz besser streichen. 134.91.141.39 16:17, 11. Aug. 2008 (CEST)

St. Petersburg/Leningrad

Ich meine mich erinnern zu können, dass ich Anfang der 1980er-Jahre in einer Kirche in St.Petersburg (damals noch Leningrad) ein solches Pendel gesehen zu haben, wo durch einen Fremdenführer der Effekt der Erdrotation veranschulicht wurde. (nicht signierter Beitrag von Nosferto (Diskussion | Beiträge) 11:22, 13. Jan. 2009)

Re an Nosferatu: Es ist die Isaak-Kathedrale Weitere Anmerkung: Auch am Nordpol kommt keine 360° Drehung in 24 h zustande; Schuld ist der Lense--94.222.155.64 20:37, 3. Apr. 2009 (CEST)Jäger-Thirring-Effekt (s. Wikipedia!)

Liste vorhandener Pendel

Diese Liste ist immer weiter ausufernd, der enzyklopädische Wert dieses Wustes an Information ist nicht erkennbar. Es kann nicht Sinn und Zweck der Wikipedia sein, jedes Pendel, dass irgendwo in einem Treppenhaus aufgebaut wurde, hier zu erwähnen (siehe auch WP:WWNI). Auch ist z.T. bei Einträgen, vor allem aus dem Ausland, die Quellenlage schlecht, manchmal scheint es so, dass jemand, der im Urlaub ein Pendel gesehen hat, das hier gleich verewigen will. Ich möchte diese Liste verkürzen. Analog zu ähnlichen Listen in anderen Artikeln (Ordensträger usw.) sollten nur noch solche Einrichtungen erscheinen, die als Einrichtung einen eigenen WP-Artikel haben (in dem idealerweise die Existenz eines Pendels erwähnt ist). Wenn es keinen Widerspruch gibt, werde ich das in den nächsten Tagen erledigen. -- Jesi 22:34, 9. Jun. 2009 (CEST)

Ja. --Seewolf 11:11, 6. Jul. 2009 (CEST)

Uups, so radikal hatte ich das nicht gedacht, ist aber auch ok. -- Jesi 11:23, 6. Jul. 2009 (CEST)

Die Hasstiraden von @Seewolf kann ich nicht verstehen! Aber - auch ein Troll kann ja Recht haben - es fehlt das Pendel , im Pantheon! --91.9.214.129 (22:39, 22. Feb. 2013 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Zurzeit ist das Pendel in Hamburg kaputt, da baumelt nur noch ein draht von der Decke. --Oliver H. (Diskussion) 20:12, 17. Feb. 2015 (CET)

Ich hab mal die drei Beispiele entfernt, sie bringen hier ja sowieso nichts. -- Jesi (Diskussion) 14:18, 18. Feb. 2015 (CET)

Pantheon 1849

Wann führte Foucault denn den Versuch im Pantheon wirklich durch? Im Artikel zum Pariser Pantheon steht: "1849 gelang dem Physiker Jean Bernard Léon Foucault mit dem nach ihm benannten Pendel im Panthéon der empirische Nachweis der Erdrotation." Es steht aber hier, dass es nach 1851 gewesen sein muss. Was stimmt denn nun? und wenn 1849, wann führte er dann den Versuch in seinem Keller durch? (nicht signierter Beitrag von Hardcoded (Diskussion | Beiträge) 12:52, 8. Sep. 2010 (CEST))

Animation

Animation

welche Animation eignet sich am besten? Findet jemand auch dieses gif erklärender und möchte es hinzufügen/austauschen? -- Gsälzbär (?|☱) 14:19, 14. Aug. 2011 (CEST)

Ich war mal mutig und habe die Animationen ausgetauscht. Die andere ist zwar wunderschön, aber das ist auch schon alles. Die Pendelbewegung wird nicht wirklichkeitsgetreu abgebildet, oder, wie es auf den Commons so schön heißt: This animation does not correpond to reality (see en:Talk:Foucault pendulum#Removed_incorrect_animation or fr:Discussion:Pendule de Foucault#Précession). -- W.E. Disk 12:30, 29. Jun. 2012 (CEST)

Math. Formel der Winkelgeschwindigkeit

Hallo zusammen, habe versucht, die (ohne große Herleitung durchaus plausible) Formel so zu ergänzen, dass sie durch einen Textzeilen-Wechsel nicht ins unleserliche zerrissen wird. Wenn ein Sichter dieses noch besser kann: Gerne, nur zu! Sonst sollte es erst mal so stehen bleiben. MfG G.B. 87.149.156.81 14:58, 1. Apr. 2013 (CEST)

Ja, ich hab mal die beiden noch vorhanden leerzeichen auch durch "non-breaking-spaces" ersetzt, sollte damit insgesamt ok sein. -- Jesi (Diskussion) 15:19, 1. Apr. 2013 (CEST)

Hallo Jesi, ein Zeilenwechsel unmittelbar vor oder nach einem Gleichheitszeichen wäre m.E. auch noch verständlich, aber: sicher ist sicher... Also gut! MfG G.B.87.149.159.3 13:54, 15. Apr. 2013 (CEST)

Foucaultsches Pendel

Diese Anfrage in der QS-Physik wurde von mir hierher umkopiert. --Pyrometer (Diskussion) 10:33, 19. Sep. 2013 (CEST)

Die blaue Bahn soll doch die räumliche Kurve des Pendels darstellen. Warum ist diese denn nicht in einer Ebene? sollte doch eigentlich der Fall sein, wenn das Pendel am anfang keine Geschwindigkeitskomponente in Querrichtung hat oder? D.h. das gif zeigt den fall in dem man das Pendel nicht nur gerade auslenkt und dann loslässt, sondern im noch einen Schubs gibt. Oder? Das sollte dann aber wohl in dem Artikel und der Bildbeschreibungsseite erwähnt werden. Falls das stimmt, ist ja eigentlich dann auch nicht das ursprüngliche Foucaultsche Pendel. Ich denke dieses wurde nur ausgelenkt, aber nicht noch in Querrichtung angeschubst oder?--92.193.98.182 20:54, 18. Sep. 2013 (CEST)

Die Darstellung ist ok. Das Pendel hat im Moment des Loslassens eine Bahngeschwindigkeit (mit der Kuppel). Stelle Dir vor, Du sitzt auf einem Karussell und wirfst einen Ball in Richtung Mitte. Er wird seitlich an der Mitte vorbeifliegen. Bei einem realen Foucaul-Pendel fällt das nur deshalb nicht auf, weil der Effekt bei einer Drehung von 1 pro Tag viel zu gering ist. Beschrieben wird das, wenn nicht im Artikel zu Foucault, dann jedenfalls bei der Coriolis-Kraft. --Pyrometer (Diskussion) 10:33, 19. Sep. 2013 (CEST)

Überarbeitung

Ich hab den Text geordnet und ergänzt, weil ich den Artikel an manchen Stellen recht unbeholfen geschrieben fand. Was z.Zt. noch falsch ist: in der ersten Abb. muss der Aufhängepunkt des Pendels genau überm Nordpol liegen, nicht der Galgen. Ich hab die Autorin um die Änderung gebeten. Oder kann es jemand hier auch? --jbn (Diskussion) 23:03, 24. Jul. 2015 (CEST)

Bild mit Fehler

Ich sehe ja ein, dass man den Fehler nicht in der Legende nennen soll, aber das Bild

Pendel am Nordpol der drehenden Erde

hat nun mal den Fehler, dass nicht der Stamm des Galgens sondern der Aufhängepunkt über dem Pol liegen müsste. Kann jemand das korrigieren, und evtl. sogar animieren, wie die Erde sich darunter dreht? (Meine Anfrage letztes Jahr an die Autorin des Bilds blieb unbeantwortet.) --jbn (Diskussion) 18:37, 1. Apr. 2016 (CEST)

Ich hab es mal mit einer Anmerkung versucht. -- Jesi (Diskussion) 18:44, 1. Apr. 2016 (CEST)

Ich habe den Text nochmal präzisiert, denn was sollte "eigentlich" hier eigentlich bedeuten? Ich könnte mir aber vorstellen, dass Anmerkungen in Legenden aus Prinzip unerwünscht sind. Mal sehen. --jbn (Diskussion) 20:52, 2. Apr. 2016 (CEST)

Ja, die Formulierung war sicher verbesserungsfähig. Jetzt weiß ich aber nicht, was "einfachster Fall" bedeuten soll. Gibt es dann auch "kompliziertere" Fälle? Das "eigentlich" war ein überflüssiges Füllwort. vielleicht sollte man einfach schreiben: Der Aufhängungspunkt gehört genau über den Pol o.ä. Sicher sind Anmerkungen in Bildbeschreibungen nicht schön, aber hier sehe ich kaum eine sinnvolle andere Variante. -- Jesi (Diskussion) 13:04, 3. Apr. 2016 (CEST)

Mit "einfachster Fall" wollte ich den "am leichtesten durchschaubaren" umschreiben; in allen anderen muss man von der Winkelgeschwindigkeit erst die Komponente parallel zur Schwerkraft am Ort der Aufhängung nehmen, denn nur die ist für die Drehung der Pendelebene maßgeblich. Hab einen neuen Versuch gemacht. --jbn (Diskussion) 15:04, 3. Apr. 2016 (CEST)

Corioliskraft

Also, ich glaube der Abschnitt mit der Corioliskraft ist falsch. Eine Corioliskraft erfährt ein Gegenstand, wenn er sich auf einem sich drehenden Körper (im einfachsten Fall eine Scheibe) entlang des Radius bewegt, aber relativ zum sich drehenden Körper auf dem gleichen Radius bleibt. Diese Kraft ist diejenige, die erforderlich ist, um den Gegenstand auf die höhere Umlaufgeschwindigkeit weiter außen im Durchmesser zu beschleunigen (oder umgekehrt abzubremsen, wenn es sich nach innen bewegt). Bei einem Foucaultschen Pendel ist diese Kraft aber ausgeschaltet, weil die Kugel ja frei gelagert ist. Der Effekt ist eigentlich nur, dass der Pendelweg im Raum ortsfest bleibt, während sich die Erde relativ dazu bewegt oder dreht. Das hat nichts mit einer Kraft zu tun, sondern mit der Trägheit der Bewegung der Kugel.Hermann Luyken (Diskussion) 04:47, 24. Sep. 2016 (CEST)

Siehe aber mal Corioliskraft#Corioliskraft und Foucaultsches Pendel. -- Jesi (Diskussion) 11:57, 24. Sep. 2016 (CEST)

Falscher Ausgangspunkt: Die Corioliskraft wirkt immer, wenn ein Körper sich in einem rotierenden Bezugssystem noch zusätzlich (und nichtn parallel zur Rotationsachse) bewegt. Die radiale Richtung ist nicht Voraussetzung, sondern nur das am leichtesten einsehbare Beispiel. Siehe auch Trägheitskraft#Corioliskraft. --jbn (Diskussion) 16:46, 24. Sep. 2016 (CEST)

Danke Herr Luyken, sehe ich auch so: Die Corioliskraft hat hier nix zu suchen! Es ist alleine die Trägkeit des Pendels, was dazu führt, dass die Pendelebene "im Weltraum" fest ist und damit relativ zur sich drehenden Erde rotiert. Ebenso ist der oben zitierte Bezug bei Corioliskraft#Corioliskraft und Foucaultsches Pendel nicht richtig. Das müssen wir ebenfalls korrigieren.

Mit dieser Argumentation über die Corioliskraft lässt sich auch nicht erklären, weshalb sich an den Polen die Ebene des Pendels drehen soll, während sie dies am Äquator eben nicht tut. NeposHispanii (Diskussion) 16:01, 7. Feb. 2017 (CET)

Also ich verlasse mich da lieber auf bekanntere Quellen, siehe z.B. hier (zwar ein Studentenbeitrag, aber auf der Website der Uni Göttingen), hier (oberer Teil aus WP, unterer Teil von Prof. Dr. Axel Schult), hier (Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt), hier (Skript Prof. W. de Boer) und hier. Deine letzter Hinweis wird wohl damit zusammenhängen, dass die Corioliskraft am Pol maximal ist und am Äquator verschwindet, siehe hier, dort auch der Hinweis, dass die Corioliskraft die Drehung der Schwingungsebene des Pendels bewirkt. -- Jesi (Diskussion) 16:48, 7. Feb. 2017 (CET)

Die Corioliskraft wird auch als "Scheinkraft" bezeichnet, ebenso wie z.B. die Fliehkraft, was aber missverständlich ist. Wenn eine Person auf einer rotierenden Scheibe (z.B. Volksfestkarussell) herumläuft, dann erfährt sie quer zur Bewegungsrichtung die Coriolisbeschleunigung. Diese multipliziert mit der Masse ergibt die Corioliskraft, gegen die sich die Person stemmen muss, sie ist also real. Wenn die Person glatte Schuhsohlen trägt, wenn also im Grenzfall keine Kraft über diese übertragen werden kann, dann schlittert die Person über den Boden. Ein auf der Scheibe sitzender Beobachter hat den Eindruck, die Person werde von einer geheimnisvollen Kraft über den Boden geschoben, in Wirklichkeit ist es aber die fehlende Kraft.--Gueziv (Diskussion) 16:37, 28. Nov. 2017 (CET)

Und aus welchen wissenschaftlichen Quellen stammt das? -- Jesi (Diskussion) 16:54, 28. Nov. 2017 (CET)

Das ist der Versuch, allgemeines Lehrbuchwissen verständlich darzustellen. Was ich geschrieben habe, stimmt m.E. auch mit dem überein, was im Artikel "Corioliskraft" steht. Falls ich etwas Falsches geschrieben habe, bitte nachvollziehbar widerlegen!--Gueziv (Diskussion) 10:05, 29. Nov. 2017 (CET)

ein kurzer Einwurf: Zum Begriff der Trägheitskraft allgemein siehe Trägheitskraft #Überblick. Da steht zB: "... relativ zu einem beschleunigten Bezugssystem wird sie wie eine weitere äußere Kraft behandelt, und ihre Wirkungen in diesem Bezugssystem sind auch genauso real wie die der „realen“ äußeren Kräfte." Das entkräftet den vermeintlichen Gegensatz in @NeposHispanii:s Einwand: Trägheit und Corioliskraft sind nicht alternativ zu sehen, sondern die Trägheit drückt sich hier genau in der Cor-kraft aus. --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:01, 29. Nov. 2017 (CET)

Man sollte vielleicht "Corioliskraft" durch "Coriolisbeschleunigung" ersetzen. Im rotierenden Bezugssystem (Erde) erfährt die Pendelmasse eine Beschleunigung (Ortsveränderung), aber keine Kraft. Beim geführten Uhrpendel ist es genau umgekehrt. Hier wirkt eine (Trägheits-)Kraft, die von den Lagern aufgenommen wird, es gibt aber keine beschleunigte Bewegung in Kraftrichtung. Das ist paradox. Nur im unbeschleunigten Absolutsystem ist die Sache "normal". Da liegt natürlich die Frage nahe, ob es ein solches System überhaupt gibt und wo es verankert ist.--Gueziv (Diskussion) 11:04, 30. Nov. 2017 (CET)

Auch dies ist eine Frage, die man nicht hier, sondern am Ursprung Trägheitskraft #Überblick klären sollte. Dort steht schon: "Gerade weil dieser kräftefreie Körper in einem Inertialsystem ruht oder sich geradlinig-gleichförmig bewegt, erscheint er im beschleunigten Bezugssystem in einer beschleunigten Bewegung. Schließt man daraus – ohne die Beschleunigung des Bezugssystems zu beachten – auf das Wirken einer Kraft, ergibt sich die Trägheitskraft im beschleunigten Bezugssystem." Man kann die Begriffe "Coriolisbescheunigung" und "Corioliskraft" daher nicht so gegeneinander stellen wie Gueziv das hier tut. --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:37, 30. Nov. 2017 (CET)

Das ist immer eine Frage der Definitionen. Bei der Fliehkraft (Zentrifugalkraft), die auch als Scheinkraft bezeichnet wird, haben wir das Pendant Zentripetalkraft, die keine Scheinkraft ist. Bei der Corioliskraft gibt es offenbar kein entsprechendes Pendant. Ich glaube, wir kommen da nicht mehr viel weiter, aber vielleicht hat unsere kleine Diskussion doch etwas zum Verständnis der Problematik beigetragen.--Gueziv (Diskussion) 18:52, 30. Nov. 2017 (CET)

Da muss ich wohl zustimmen: Ein bisschen drehen wir uns im Kreis. Schönes Wortspiel hier übrigens. --NeposHispanii (Diskussion) 16:23, 21. Dez. 2017 (CET)

Habe gerade die Vektor-/Kreuzprodukte mit meinen Fingern überprüft - "RechteHandRegel": Ja, am Äquator ist die Cor.-Kraft (vermeintlich) 'null', auf dem Weg zum Nordpol haben wir eine "Westausrichtung" bis die Cor.-Kraft am Nordpol maximal wird. Die "Führungsbeschleunigung" dagegen verhält sich genau umgekehrt: max. am Äquator, min. (='null') am Nordpol. --NeposHispanii (Diskussion) 16:23, 21. Dez. 2017 (CET)

Das Pendel lässt sich entweder in einem Inertialsystem ohne Corioliskraft oder in einem rotierenden Bezugssystem mit Corioliskraft beschreiben, per Definition mit dem gleichen Ergebnis. Falls das nicht die Frage war bzw. das Problem beantwortet habe ich es noch nicht verstanden.--Debenben (Diskussion) 19:29, 22. Dez. 2017 (CET)

Dies halte ich für eine sehr schöne und gelungene Zusammenfassung des Stands unserer Diskussion und der Thematik. So im Artikel aufnehmen und formulieren ... ?! --NeposHispanii (Diskussion) 10:02, 24. Dez. 2017 (CET)

Mit einer fachwissenschaftlichen Quellenangabe wäre das sicher kein Problem. -- Jesi (Diskussion) 11:59, 24. Dez. 2017 (CET)

Ich bin für "HIBBELER, Band 3, Technische Mechanik - Dynamik, PEARSON-Verlag, ISBN 978-3-86894-127-2". --NeposHispanii (Diskussion) 14:55, 25. Dez. 2017 (CET)

Sorry, dass ich so penetrant bin - ich muss nochmals "reingrätschen". In welchem Bezugs-/Inertialsystem das Pendel auch beschrieben wird, wenn man/wir uns hier auf die Cor.-Kraft kaprizieren, ist dies aus meiner Sicht - wie oben des öfteren erwähnt - falsch bzw. zumindest fragwürdig in der Argumentation: Es ist dann nämlich nicht klar, weshalb es bsp.weise eine weitere Drehung (der Pendelebene) geben soll, wenn das Pendel genau in Richtung Ost-West schwingt. In dieser Situation gibt es _keine_ Cor.-Kraft ! Und dies macht mich so unzufrieden mit der Erklärung. --NeposHispanii (Diskussion) 09:00, 26. Dez. 2017 (CET)

Du bist im Irrtum, denn die (horiz.) Corioliskraft ist für (horiz.) Bewegung in allen Himmelsrichtungen gleich groß. Ich habe daher die entsprechenden Textstellen in Corioliskraft#Horizontale Bewegungen und Corioliskraft#Trägheitskreise gerade verdeutlicht. --Bleckneuhaus (Diskussion) 11:58, 26. Dez. 2017 (CET)

Okay - Danke - sorry, zu schnell gesch(l)ossen: Das hätte ich anders/besser/richtiger schreiben müssen. Danke für die Ergänzungen ! --NeposHispanii (Diskussion) 08:08, 27. Dez. 2017 (CET)

Wie auch immer: so ganz gefällt's mir nicht. Der Satz "die (horiz.) Corioliskraft ist für (horiz.) Bewegung in allen Himmelsrichtungen gleich groß" (und speziell der Satz in Corioliskraft#Horizontale Bewegungen) müsste präziser sein/werden - oder werte ich das Kreuzprodukt falsch aus ? Wir drehen uns um Kreis ;-) --NeposHispanii (Diskussion) 12:03, 28. Dez. 2017 (CET)

Dass die Stärke der (horiz.) Corioliskraft auf der Erde von der Richtung der (horiz.) Bewegung unabhängig ist, ist in [1] im Detail vorgerechnet. War das der Stolperstein? --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:26, 28. Dez. 2017 (CET)

;-) Danke für den Hinweis - sehe/rechne ich genauso: Nun ja, da steht's ja dann: Für $\varphi \equiv 0$ ("Äquator") hat der Vektor $a_{c}$ doch gerade _keine_ Komponente in "2" = "Nordrichtung". Wir haben also keine horizontale Komp. "nach oben"/Norden; lediglich eine in Ost-West-Richtung ("east") und auch Radialanteile (!) (hier "up"). Was macht also das Pendel in diese Situation, wenn's genau "Ost-West" schwingt ?! Deshalb meine Anmerkung oben zu "...ist für (horiz.) Bewegung in allen Himmelsrichtungen gleich groß.", was man 'missverstehen' könnte. Verständlich ausgedrückt ? --NeposHispanii (Diskussion) 09:48, 29. Dez. 2017 (CET)

Du sagst es: "...die (horiz.) Corioliskraft ist für (horiz.) Bewegung in allen Himmelsrichtungen gleich groß." - am Äquator nämlich Null. Da fängt das Foucaultpendel noch nicht mal an sich zu drehen. Und im Artikel lese ich: " Am Äquator hingegen dreht sich die Schwingungsebene des Pendels gegenüber dem Erdboden überhaupt nicht. Je näher man den Polen kommt, desto stärker ist die Drehung. ". Ist jetzt gut? Ich sehe keinen Verbesserungsbedarf. --Bleckneuhaus (Diskussion) 10:16, 29. Dez. 2017 (CET)

Berechnung der Drehbewegung der Pendelebene

Die Überschrift sollte wohl besser lauten "Berechnung der Pendelbewegung", weil es ja nicht nur um die Drehung der Pendelebene geht.
Die Rückstellkraft F_R wird als lineare Funktion von x angegeben. Weil F_R aber immer radial zum Scheitelpunkt hin gerichtet ist, hat sie im Allgemeinen eine x- und eine y- Komponente. F_x und F_y sind nichtlineare Funktionen von x und y.
Es ist nicht erkennbar, wie F_R in die beiden Differentialgleichungen eingeht. Da die beiden Kraftgesetze nichtlinear sind, kann es sich hier aber nicht um lineare Gleichungen handeln. Der Ansatz ist m.E. falsch.
Es ist auch nicht erkennbar, welches verwertbare Ergebnis die Rechnung überhaupt hat. Das ist also noch nicht zu Ende gedacht.--Gueziv (Diskussion) 09:58, 29. Nov. 2017 (CET)

Die Rechnung wirkt in der Tat etwas verwirrend, weil sie Corioliskraft und Beschleunigung in den Vordergrund rückt. Vielleicht wäre es besser "Die Bewegungsgleichung der Pendelmasse..." in den Vordergrund zu stellen. Nichtlineare Funktionen kommen in der Bewegungsgleichung nicht vor, denn es wird ein harmonischer Oszillator angenommen. Der hat ein lineares Kraftgesetz und die x- und y- Komponenten erhalten nur zusätzliche sin(phi) Vorfaktoren, die aber konstant sind.--Debenben (Diskussion) 19:21, 22. Dez. 2017 (CET)

Ich habe mich inzwischen genauer mit dem Thema befasst und ziehe meinen Einwand zurück, da nicht zutreffend. Es ist tatsächlich so, dass sich die elliptische Pendelschwingung aus zwei harmonischen Schwingungen zusammensetzen lässt, selbstverständlich nur bei kleinen Pendelausschlägen. Wenn die beiden Schwingungen nicht exakt die gleiche Frequenz haben, was mehr oder weniger immer der Fall ist, kommt es zu Interferenzerscheinungen, die tatsächlich beobachtet werden. Dies ist vielleicht der einzige praktische Nutzeffekt der Rechnung.
Ich bin aber aus einem anderen Grund der Meinung, dass der Ansatz nicht richtig ist. Es wird gesagt, dass die Pendelfrequenz ω von der Rotationsgeschwindigkeit Ω abhängig ist. Das kann ich mir nicht vorstellen. Wenn sich die Erde unter dem Pendel dreht, wird keine Kraft übertragen, die einen Einfluss auf die Pendelfrequenz haben könnte. Auch ein rotierender Beobachter sollte keine andere Frequenz sehen. Die Coriolisbeschleunigung, die der rotierende Beobachter sieht, hat keine Kraftwirkung und kann somit auch keine Wirkung auf die Frequenz haben. Die Trägheitskraft basiert immer auf der Absolutbeschleunigung. Zur Aufstellung des Kräftegleichgewichts benötigt man also die Absolutbeschleunigungen. Die Sache ist wirklich schwierig. Vielleicht findet sich ja ein Experte, der das Thema so darlegt, dass auch interessierte Leser, die keine absoluten Cracks sind, dem folgen können.
--Gueziv (Diskussion) 16:06, 28. Dez. 2017 (CET)

Ich glaube, dass man Aufgaben dieser Art in zwei Schritten lösen muss:
In einem ersten Schritt muss man die Bewegung im ruhenden System formulieren. Dabei spielen auch Kräfte eine Rolle.
In einem zweiten Schritt kann man sich dann fragen: Wie sieht ein bewegter Beobachter diese Bewegung. Dabei spielen dann Kräfte keine Rolle mehr.
Wenn man diese beiden Schritte vermischt, kommt man auf keinen grünen Zweig.
Das Foucault-Pendel ist im ruhenden System ein "normales" Pendel. Ein rotierender Beobachter sieht das Pendel rotieren (wie die Fixsterne). Die Coriolis-Beschleunigung, die so viele Schwierigkeiten macht, kommt in dieser Argumentation gar nicht vor. Durch diese Pseudo-Rotation entsteht auch keine Zentrifugalkraft.
Die Differentialgleichung würde dann wie im Artikel lauten, nur ohne den Coriolis-Ausdruck. Das Ergebnis wäre der Klammerausdruck, jetzt aber mit ω = ω₀. (Das sind zwei gegenläufig rotierende Zeiger).
Im zweiten Schritt würde man dann das Ganze rotieren lassen und man würde das im Artikel angegebene Ergebnis erhalten, aber ohne den Hinweis auf die "leicht verschobene Frequenz".
--Gueziv (Diskussion) 11:14, 29. Dez. 2017 (CET)

Vielleicht solltest Du den Artikel Trägheitskraft nochmal studieren. Da wird die Corioliskraft auf genau dem Weg hergeleitet, den Du in diesem Artikel nochmal dartsellen willst. Überflüssig, würde ich sagen. --Bleckneuhaus (Diskussion) 14:46, 29. Dez. 2017 (CET)

Das verstehe ich jetzt nicht. Ich will doch nicht etwas nochmal darstellen. Ich habe nur begründete Zweifel an der Richtigkeit der Rechnung geäußert. Die Rechnung hat insofern ihre Berechtigung, als es in der Physik nur eine Wahrheit geben kann und die Mathematik offenbart jeden Denkfehler.
Das Ergebnis deiner Rechnung ist nicht plausibel, denn es besagt, dass die Pendelfrequenz von der Erddrehung abhängig ist, was nicht stimmt.
Bei einem Uhrenpendel ist das anders. Der Unterschied ist: Eine auf der Erde stehende Pendeluhr macht eine reale Drehung, das Foucault-Pendel macht eine Scheindrehung. Ein um das Pendel kreisender Beobachter (Erdenbewohner) glaubt, es würde sich drehen, tatsächlich dreht er sich selbst.
Das Problem entsteht, wenn Scheinkräfte wie reale Kräfte behandelt werden. Deshalb ist der Begriff der Scheinkraft so problematisch.
Man kann in der bekannten Formel den rechten Ausdruck "Trägheitskraft" nennen, darf dann aber nicht gleichzeitg mit der Beschleunigung hantieren: F = m * a = -F_Tr
Im Artikel lautet die Differentialgleichung, etwas anders geschrieben:
m * u`` = F_R + F_Cor
In dieser Logik würde man erhalten:
m * a = F + F_Tr
Vielleicht gelingt es uns ja im neuen Jahr, doch noch einen Konsens herzustellen. Erstmal wünsche ich allen einen guten "Rutsch".--Gueziv (Diskussion) 09:52, 31. Dez. 2017 (CET)

Woher bist Du so sicher, dass die Pendelfrequenz nicht von der Erdrehung abhängen kann? Jede geschwindigkeitsproportionale Kraft wirkt sich auf die Frequenz aus, vgl. Reibung. Aber hast Du bei Deinem Argument beachtet, dass an den Polen $\omega _{\mathrm {0} }=\omega$?

[quetsch: Mein Fehler! Erst jetzt - 7 Monate zu spät - bemerke ich, dass an den Polen nicht $sin\phi =0$, sondern $sin\phi =1$. Damit folgt aus dieser Ableitung tatsächlich falsch, dass am Pol die Pendelfrequenz von $\Omega$ abhängt. Nach dem Grund dieses Fehlers suche ich jetzt - vermutlich ist es die Vernachlässigung der Zentrifugalkraft. --Bleckneuhaus (Diskussion) 16:52, 29. Jul. 2018 (CEST) quetsch/ ]

Im Übrigen: hier ist nicht das allgemeine Forum zu Scheinkräften oder zum Foucaultpendel, sondern zur Verbesserung eines bestimmten Artikels. Ich antworte erst wieder, wenn Du einen konkreten Fehler im Text benennst oder einen Formulierungsvorschlag hast. Guten Rutsch auch! --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:30, 31. Dez. 2017 (CET)

Ich habe noch einmal nachgedacht, wo denn dieser verdammte Fehler liegt. Es ist so:
Durch die Erdrotation erfährt die ausgelenkte Pendelmasse eine Zentripedalbeschleunigung, man kann auch sagen, eine Fliehkraft. Die Masse wird also nach außen geschleudert. Dadurch steht weniger Kraft für die Pendelbeschleunigung zur Verfügung.
Die Zentrifugalkraft ist: F_F = m* Ω_v² * u
Die Rückstellkraft wird dadurch kleiner:
F_r = -m * (ω₀²-Ω_v²) * u
Die Differentialgleichung lautet dann:
u`` = -(ω₀²-Ω_v²) * u - i2Ω_v * u`
Das Ergebnis bleibt, wie es ist, jetzt aber mit ω = ω₀
Ich hoffe, dass das jetzt stimmt. Die Vorgehensweise ist sehr fehlerträchtig und deshalb nicht zu empfehlen.
P.s.: Gibt es ein allgemeines Forum zum Foucault-Pendel?--Gueziv (Diskussion) 19:21, 2. Jan. 2018 (CET)

Hallo Gueziv, dein neuer Text kann in der Form nicht bestehen bleiben. Er enthält Ungenauigkeiten (schon der erste Satz ist, wie oben diskutiert, unrichtig), unklare Bezüge, undefinierte Symbole und Einheiten und ist für jemanden, der nicht schon Bescheid weiß, wohl wenig geeignet. Mir scheint, Du strebst eine Erklärung an, die wesentlich leichter verstanden werden kann als der bestehende Text. Das ist löblich, aber sollte in einem zusätzlichen Absatz (etwa: "Einfache Interpretation" o.ä.) erscheinen, denn Dein Entwurf kann mangels Präzision den bestehenden Text nicht ersetzen. Dabei muss ich sagen, ich finde auch den bestehenden TExt keineswegs vorbildlich, man sollte ihn zwecks besserer Nachvollziehbarkeit überarbeiten. (Einen echten Fehler darin hast Du ja vermieden: die maßgebliche Winkelgeschwindigkeit ist natürlich durch den Sterntag gegeben.) Wenn ich Dein Ziel richtig verstanden habe, dann schlage ich vor, Du schreibst einen Entwurf für den zusätzlichen Absatz, den wir dann Punkt für Punkt durchsehen können. Bis dahin sollte es erstmal beim alten bleiben. (Aber schreib bitte nicht wieder "Zentripe d albeschleunigung", lange nicht mehr so geschmunzelt). --Bleckneuhaus (Diskussion) 15:44, 26. Feb. 2018 (CET)

Danke für die Bewertung, ich hatte die Fassung ja schon zurückgesetzt. Inhaltlich solltest du die Vorschläge von Bleckneuhaus beachten. -- Jesi (Diskussion) 16:27, 26. Feb. 2018 (CET)

Hallo Beckneuhaus,
dass mein Beitrag zurückgesetzt wird, habe ich erwartet. Dass das aber nahezu sofort geschieht, hat mich doch überrascht. In einer so kurzen Zeit kann sich eigentlich kein Mensch ein qualifiziertes Urteil bilden.
Du vermutest richtig: Mir geht es um eine verständliche Darstellung, die ernsthaft interessierten Lesern einen Erkenntnisgewinn bringt. Wenn man sich die endlosen Diskussionen besonders beim Stichwort Coriolisbeschleunigung ansieht, hat man den Eindruck, dass es hier nicht um simple Physik, sondern um ein unlösbares, quasireligiöses Problem geht.
Der jetzige Artikel ist schwer nachvollziehbar, nicht nützlich (ohne Nährwert) und sachlich falsch. Ich möchte deshalb vorschlagen, ihn der Qualitätssicherung vorzulegen. Manche Leute legen ja sehr großen Wert auf Quellenangaben. Wo bitte gibt es eine seriöse Quelle, die zweifelsfrei belegt, dass das Pendel durch den Einfluss der Erdrotation schneller schwingt? Auf diese Frage werde ich keine Antwort bekommen, wetten?
Deine Idee von konkurrierenden Darstellungen ist gut. Wer vieles bringt, wird manchem etwas bringen. So etwas wird aber von den Sittenwächtern nicht zugelassen, schade! Du kannst Dich aber trotzdem mal selber versuchen ...
In diesem Sinne: Gut Rücksetz!--Gueziv (Diskussion) 10:48, 1. Mär. 2018 (CET)

Hallo Gueziv, Dein Text war immerhin genügend lange zu sehen, um die oben in meinem ersten Satz genannten Schwächen zu bemerken. Auf die solltest Du eingehen. Deine Forderung, die aus der Formel folgende Frequenzerhöhung "zweifelsfrei belegt" zu sehen, ist fehl am Platz. Der theoretische Beleg steht schon da (und sollte sich für Leser, die bis dahin gekommen sind, von selbst verstehen), ein experimenteller Beleg würde ein Pendel von der Länge (ca.) des Erddurchmessers verlangen. Dies Detail wäre in diesem Artikel also überflüssig. Wenn Du die Qualitätssicherung anrufen möchtest, tu das, aber bitte mit einer Aufzählung der zu behebenden Fehler. -- Über die langen Grundsatzdebatten zur C-Kraft ärgere ich mich (auch?) kräftig. Dass sie nur bei radialer Geschwindigkeit (und dann also nur tangential) wirke, widerspricht der Formel, wie sie überall übereinstimmend hergeleitet wird, ist aber ein ziemlich unausrottbarer Irrtum. Der findet sich sogar in ehrwürdigen Büchern (wie Pohl Experimentalphysik I), aber natürlich ohne jede Begründung. Das Problem ist bei Trägheitskraft#Corioliskraft bereits dargestellt. Siehe auch Corioliskraft#Trägheitskreise. Ich hab noch nicht gefunden, wo ein Vertreter des genannten Irrtums mal erklärt, welch Wechselspiel zwischen Corioliskraft und Zentrifugalkraft nötig ist, um diese Kreisbewegungen zu erklären. Weiß jemand ein Buch (aus der Meteorologie, Ozeanographie vielleicht), wo das drinsteht? --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:10, 1. Mär. 2018 (CET)

Hallo Bleckneuhaus,
schön, dass Du mit mir diskutieren möchtest. Obwohl wir beide halbwegs brauchbares Deutsch sprechen, scheinen wir doch völlig aneinander vorbei zu reden.
Warum soll denn schon der erste Satz in meinem Beitrag so furchtbar falsch sein? Da steht doch fast wörtlich das, was im aktuellen Artikel unter "Erklärung" steht. Das, was unter "Erklärung" steht, stimmt exakt mit dem überein, was ich ausgeführt habe, bei mir eben nicht nur qualitativ, sondern quantitativ.
Ich habe doch ausführlich dargelegt, was in der jetzigen Berechnung falsch ist. Es fehlt hier die Zentripedalkraft (habe ich wieder falsch geschrieben, um Dich aufzumuntern). Darauf gehst Du mit keinem Wort ein. Einfach immer nur zu behaupten, das sei richtig und eine weitere Begründung erübrige sich von selbst, ist ziemlich schwach.
Ich hoffe, Deine Geduld nicht überstrapaziert zu haben! Gruß --Gueziv (Diskussion) 11:02, 3. Mär. 2018 (CET)

Geoid oder Erdellipsoid

@Blaues-Monsterle: Zu deiner Änderung Geoid -> Erdellipsoid von gestern frage ich dich: Warum nicht die Kartoffel? ArchibaldWagner (Diskussion) 09:13, 17. Mär. 2018 (CET)

Wenn ich da mal eben antworten darf: Das flächendeckende Anführen von feinen Effekten, die für die mit einem Experiment normalerweise erreichbare Genauigkeit um Zehnerpotenzen zu klein sind, zeugt vom phänomenalen Detailwissen der Autoren, aber auch von ihrem mangelndem Augenmaß. Es hätte hier weiß Gott schon "Erdkugel" gereicht. Auch die ganze Debatte um die verschiedenen Auswirkungen der Zentrifugalkraft war überflüssig, vermutlich wäre schon der Einfluss der Luftreibung auf die Frequenz von ähnlicher Größe. --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:43, 17. Mär. 2018 (CET)

Meines Erachtens geht es hier nicht um Effekte in der 5. Stelle hinter dem Komma, sondern darum schnell ein grundsätzliches und richtiges Verständnis für das Experiment und seine theoretische Modellierung zu bekommen. Da aber schon ein Abiturient mit der Zentrifugalkraft vertraut sein dürfte und bei ein bisschen physikalischen Interesse schnell fragt: wie ist das mit der Zentrifugalbeschleunigung, sollte Wikipedia auch eine einleuchtende Erklärung geben. Auch ist der Begriff der Äquipotentialflächen schon einer Reihe von Abiurienten bekannt und der Hinweis auf den Geoid dürfte damit von allen die den Rechnungen im Lemma folgen können, wohl eine Hilfe für das Verständnis sein. Ich schätze den Hinweis auf den Geoid hilfreicher als der Hinweis auf den Erdelipsoid ein. Dabei geht es, wie gesagt, nicht um Promille-Effekte sondern um das grundsätzliche Verständnis und das Nachvollziehen, der in dem Lemma (unter Abschnitt Berechnung) gemachten Aussagen. Der genaue Wert der Pendelfrequenz ist für Ermessung der Bedeutung des Versuchs wohl ziemlich irrelevant. Hier stimme ich, so denke ich, mit Euch überein. ArchibaldWagner (Diskussion) 16:39, 17. Mär. 2018 (CET)

Den Artikel zum Foucaultpendel halte ich nicht für den richtigen Ort, diese Effekte zu behandeln. Ich meine, man könnte hier das Wort Zentrifugalkraft gerne erwähnen, die Effekte als vernachlässigbar bezeichnen und auf Corioliskraft#Corioliskraft aufgrund der Erdrotation und Beschleunigtes Bezugssystem#Bezugssystem an der Erdoberfläche hinweisen, wo das allgemein behandelt ist. --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:33, 17. Mär. 2018 (CET)

Nun ja, im Text steht die Richtungskorrektur führt dazu, dass die Erdbeschleunigung weiterhin senkrecht zum Boden des Erdellipsoids ( was immer dieser Text in der Erläuterung für eine Aufgabe hat ), wenn das dort stehen soll, wäre der Text steht senkrecht zu den Äquipotententialflächen, womit wir beim Geoid wären korrekter auch für physikalich interssierte Laien leichter einsichtig. Mir geht es auch nicht um die Erwähnung von Zentrifugalkraft, sondern darum dass ein Leser, sagen wir ein physikalisch interessierter Abiturient, die Modellierung möglichst schnell und richtig versteht. Aber da müsste man wahrscheinlich noch mehr im Text verändern, oder einfach das Resultat aus dem Budó zitieren. - Vielleicht sollte ich mich um wichtigere Baustellen kümmern. ArchibaldWagner (Diskussion) 21:41, 17. Mär. 2018 (CET)

Richtig. Wie gefällt Dir/Euch meine gordische Lösung? Ich denke auch, es gibt wichtigeres. --Bleckneuhaus (Diskussion) 23:10, 17. Mär. 2018 (CET)

Doch noch 20 min spendieren; ja es ist eine Verbesserung, ich habe mir erlaubt - die Stärkekorrektur ist von der Größenordnung im Promille-Bereich und wird über einen entsprechend angepassten Wert von $g$ bzw. $\omega _{0}$ noch etwas zu vereinfachen, denn $g$ wird nicht speziell angepasst, sondern die Zentrifugalkraft ist per Definition in $g$ (bis auf die höhere Ordnungen, so vermute ich, siehe x/y Effekt in der Redaktionsdiskussion ) berücksichtigt, da sie ja für Rechnungen auf der sich drehenden Erde (im Nicht-Intertialsystem) gedacht ist. ArchibaldWagner (Diskussion) 09:30, 18. Mär. 2018 (CET)

Ich hätte Kugel auch in Ordnung gefunden, der Begriff Geoid wäre auch kein Problem, aber ein Link mit diesem Ziel... Man kann es sich ja mal aus Lesersicht anschauen: Ich suche eigentlich etwas über das Foucaultsche Pendel und schlage diesen Artikel hier auf, dann kommt der Begriff des Geoids, habe ich eventuell schonmal gehört oder auch nicht, klicke ich mal drauf. Und werde gleich von kartoffelförmigen Erden mit Äquipotentialflächen und Kugelflächenfunktionen und weiß der Geier erschlagen, was nicht im Geringsten mehr mit dem Pendel-Subjekt zu tun hat und in dessen Berechnungen nicht berücksichtigt wird/werden kann. Es reicht fürs Pendel, dass die Erde rund ist. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 21:26, 18. Mär. 2018 (CET)

Sehr richtig. --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:41, 18. Mär. 2018 (CET)

... und was ist "Zenitalkomponente"? 7. Jul. 2018, 15:15‎

Die zenitale Richtung zeigt vom Topozentrum zum Zenit. Die Zenitalkomponente eines Vektors (hier der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation) ist die Projektion darauf.

Bei den Ansprüchen, welcher der Abschnitt Bewegungsgleichung des Pendels stellt, hielt ich diese Erklärung für entbehrlich. Man könnte sie in eine Fußnote schreiben. --Modalanalytiker (Diskussion) 20:07, 7. Jul. 2018 (CEST)

Abgesehen davon müsstest du diese Änderung hier mit den Experten besprechen. -- Jesi (Diskussion) 13:41, 8. Jul. 2018 (CEST)

Ich kenne den Wikipedia-Ansatz so, dass Autoren nach bestem Wissen Beiträge verfassen oder editieren. Wenn dann etwas daneben geht, melden sich die Experten, die den Artikel auf ihrer Beobachtungsliste haben, ganz von selbst. Hat sich da etwas geändert? --Modalanalytiker (Diskussion) 13:51, 8. Jul. 2018 (CEST)

Na ja, ich beobachten ja ebenfalls. Und ein weiter Grundsatz ist ja auch die Belegpflicht. Und wenn "umgekehrt proportional" ohne Angabe eines Beleges zu "gleich" "präzisiert" wird, kann ich das ja einfordern. Und gerade bei einem Artikel, zu dem es zahlreiche inhaltliche Diskussionen gibt (siehe diese DS) (und bei dem du in der Versionsgeschichte noch nicht auftauchst, ich dagegen 93 Mal), halte ich das für angebracht. -- Jesi (Diskussion) 15:22, 8. Jul. 2018 (CEST)

Ich ersetze nicht nur "umgekehrt proportional" durch "gleich", sondern tausche auch "Winkelgeschwindigkeit" gegen "Periodendauer" aus. Bitte überzeuge dich davon anhand der beiden hier wiederholten Sätze:

• Vor Edit: Die Periodendauer ist damit an jedem Ort umgekehrt proportional zur vertikalen Komponente der Winkelgeschwindigkeit der Erde.
• Nach Edit: Die Periodendauer ist damit an jedem Ort gleich der Periodendauer der Zenitalkomponente der Erdrotationswinkelgeschwindigkeit.

Wer im Artikel inhaltlich mitgearbeitet hat, wird bestätigen, dass die Edit-Aussage stimmt und sehr einfach zu gewinnen ist. Bitte überprüfe noch einmal, ob du den ersten Satz weiterhin bevorzugst. --Modalanalytiker (Diskussion) 22:40, 8. Jul. 2018 (CEST)

Die Herleitung wurde von Physikern geschrieben, darum versteht sie sonst keiner, aber das Wort Zenitalkomponente ist mir auch bisher unbekannt gewesen. Ich empfinde die erste Version jedoch besser lesbar und erheblich leichter verständlich, da mir viel weniger Komposita in Form von aneinandergereihten Genitivattributen entgegen geschleudert werden. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 22:55, 8. Jul. 2018 (CEST)

Ich will im Edit vor allem darauf hinweisen, dass die Periode der Schwingebenendrehung einer anderen (der Anschauung unmittelbar zugänglichen) Periode gleich ist. Die bisherige Erwähnung einer bestehenden umgekehrten Proportionalität bietet dem gegenüber weniger Information.

Ich berücksichtige, dass vertikal genau so richtig ist wie zenital und bemühe mich stärker um Leichte Sprache. Hier das Resultat:

• Die Periodendauer ist damit an jedem Ort gleich jener der vertikalen Komponente der Winkelgeschwindigkeit der Erde.

Stört noch etwas? --Modalanalytiker (Diskussion) 10:18, 9. Jul. 2018 (CEST)

Na ja, jetzt wird deutlicher aus dem ursprünglichen "umgekehrt proportional zur ..." ein "gleich der ...". Da kann doch eines von beiden nicht stimmen. -- Jesi (Diskussion) 11:23, 9. Jul. 2018 (CEST)

@Jesi: Lies bitte nochmal durch, wie die alternativen Sätze jeweils enden. Wenn das deine Bedenken nicht auflöst, kann ich dir auch nicht mehr helfen --Modalanalytiker (Diskussion) 17:17, 9. Jul. 2018 (CEST).

Du must ja nicht mir helfen. Wie schon oben gesagt, wurde der Artikel durch viele Experten in diesen Zustand gebracht, davon gehe ich erst einmal aus und denke, dass der Inhalt fachlich abgesichert ist. Änderungen müssen belegt werden. Wo ist die wissenschaftliche Grundlage für deine Veränderung? Und wenn die Rotationsgeschwindigkeit bisher "umgekehrt proportional zur vertikalen Komponente der Winkelgeschwindigkeit" war, kann sie doch sicher nicht jetzt "gleich gleich der Periodendauer der vertikalen Komponente der Winkelgeschwindigkeit" sein. Oder? Und wie gesagt: Wo ist das so nachzulesen? Nur darum geht es. Man sollte abwarten, bis sich weitere Experten zu Wort gemeldet haben. -- Jesi (Diskussion) 17:31, 9. Jul. 2018 (CEST)

Inhaltlich ist die Änderung durchaus korrekt intendiert, denn einmal steht da zur Winkelgeschwindigkeit, das andere der Periodendauer der Winkelgeschwindigkeit, aber sprachlich gefällt es mir immer noch nicht, da eine Winkelgeschwindigkeit an sich keine Periodendauer besitzen kann. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 18:21, 9. Jul. 2018 (CEST)

Danke Blaues-Monsterle, jetzt konvergiert es. Neue Version:

• Das Produkt im Nenner ist gleich der am Pendelort gültigen vertikalen Komponente der Winkelgeschwindigkeit der Erddrehung. Die Zeit für eine volle Umdrehung mit dieser Komponente erweist sich als wertgleich mit der angegebenen Periode $T$. Modalanalytiker (Diskussion) 20:17, 9. Jul. 2018 (CEST)Modalanalytiker (Diskussion) 08:44, 10. Jul. 2018 (CEST)

Da in Wikipedia lustvoll und schnell revertiert und falsifiziert wird, verifiziert dagegen garnicht, selten oder spät, habe ich den Satz in den Artikel gestellt. Modalanalytiker (Diskussion) 08:44, 10. Jul. 2018 (CEST)

Und wo ist der Beleg für diese Änderung? Oder ist das gar eigene Erkenntnis? Dann hat es hier nichts zu suchen. Ich pinge mal Bleckneuhaus an, der hier inhaltlich viel beigetragen hat und auf dessen Wissen man sicher bauen kann. -- Jesi (Diskussion) 12:51, 10. Jul. 2018 (CEST)

Irgendwann ists auch mal gut mit der Belegpflicht. Oder ist das gar eigene Erkenntnis?. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 13:11, 10. Jul. 2018 (CEST)

Was du mir mit diesem Beispiel sagen willst, kann ich nicht nachvollziehen. -- Jesi (Diskussion) 13:15, 10. Jul. 2018 (CEST)

Wenn Sachen trivial, allgemein bekannt oder absolut nebensächlich sind, fällt die explizite Belegpflicht weg. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 13:17, 10. Jul. 2018 (CEST) (PS: Bevor man mich hier auf das falsche festnageln will, hier greift das Kriterium "trivial")

Die Klassierung "trivial" trifft hier absolut zu, was die Schwierigkeit angeht, den Editinhalt fachlich nachzuvollziehen. Triviale Anmerkungen können einen Artikel gleichwohl bereichern. Glücklich der Autor, dem dabei kein weit über sein Verständnis hinaus extrapolierender und agierender Qualitätssicherer in den Weg tritt! Modalanalytiker (Diskussion) 14:22, 10. Jul. 2018 (CEST)

Den Versuch solcher persönlichen Diffamierungen halte ich für unerträglich. -- Jesi (Diskussion) 17:13, 10. Jul. 2018 (CEST)

Ich könnte auch sagen, dass ich mich degradiert fühle, dass noch eine VM statt nur einer DM hier eingeholt werden sollte, nur weil die DM nicht genehm ist. Hoffen wir, dass das die Sache nicht zu einer VM führt. Hach ja, diese Abk. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 17:20, 11. Jul. 2018 (CEST)

Analyse im Inertialsystem

Ich habe den folgenden Abschnitt entworfen, den ich in den Artikel als Abschnitt 3.3 einfügen möchte. Gleichzeitig würde ich dann das Bild mit dem Klapptext durch die bekanntere Form mit "Endspitzen" ersetzen. Dann kann man eine schmale Ellipse (statt nur eines senkrechten Strichs) dazuzeichnen, welche dieselbe Bewegung im Inertialsystem beschreibt. Ich bitte um Kommentare.

Das erdfeste Horizontsystem (Ost, Nord, Zenit) mit Ursprung am Pendelort dreht sich auf der Nordhalbkugel, wie oben erklärt, mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega _{z}=\Omega \sin \varphi$ im Gegenuhrzeigersinn um seine $z$-Achse gegenüber dem anfangsgleichen Horizont-Inertialsystem. Wenn man zunächst die Pendelbewegung ${\vec {R}}={\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}$ im Inertialsystem (Großbuchstaben) bestimmt, folgt daraus die Lösung im erdfesten System (Kleinbuchstaben) über die Transformation

${\vec {r}}=D_{z}{\vec {R}}\quad (*)$

mit der Drehmatrix $D_{z}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}$ und $\alpha =-\omega _{z}t$.

Die Bewegungsgleichung im Inertialsystem ${\begin{pmatrix}{\ddot {X}}\\{\ddot {Y}}\end{pmatrix}}=-\omega _{0}^{2}{\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}$ hat für die dort gemessenen Anfangswerte $X_{0}$, $Y_{0}$, ${\dot {X}}_{0}$ und ${\dot {Y}}_{0}$ die Lösung

${\vec {R}}={\begin{pmatrix}X_{0}\cos \omega _{0}t+({\dot {X}}_{0}/\omega _{0})\sin \omega _{0}t\\Y_{0}\cos \omega _{0}t+({\dot {Y}}_{0}/\omega _{0})\sin \omega _{0}t\end{pmatrix}}$.

Meistens werden die Anfangswerte nicht im Inertialsystem, sondern in erdfesten Koordinaten vorliegen. Es gelten die Umrechnungen $X_{0}=x_{0}$, $Y_{0}=y_{0}$, ${\dot {X}}_{0}={\dot {x}}_{0}-\omega _{z}y_{0}$ und ${\dot {Y}}_{0}={\dot {y}}_{0}+\omega _{z}x_{0}$. Sie folgen direkt aus der Anschauung oder der Auswertung der Transformation $(*)$ und deren zeitlicher Ableitung für $t=0$.

Nach Einsetzen dieser Werte in die Gleichung für ${\vec {R}}$ liefert die Transformationsgleichung $(*)$ die gesuchte Bahnkurve ${\vec {r}}$ des Pendels im erdfesten System.

Die Herleitung illustriert, dass die im erdfesten (Nicht-Inertial-)System kompliziert erscheinende Bahnkurve des Foucault'schen Pendels auf eine einfache harmonische Schwingung im Inertialsystem zurückgeht. Im Inertialsystem existiert keine Coriolis"kraft". Sie wird lediglich in der Bewegungsdifferenzialgleichung im rotierenden System als Transformationsterm benötigt. Modalanalytiker (Diskussion) 15:53, 15. Jul. 2018 (CEST)

Hallo Modalanalytiker, so trifft man sich wieder!
Ich hatte um die Jahreswende 2017/2018 eine Diskussion entfacht und suche noch Unterstützer für meine Meinung. Da wärst Du der Richtige!
MfG--Gueziv (Diskussion) 16:40, 17. Jul. 2018 (CEST)

Nicht der schon wieder. <*)))>< --Blaues-Monsterle (Diskussion) 17:31, 17. Jul. 2018 (CEST)

In der "hohen Wissenschaft" braucht es manchmal eine gewisse Hartnäckigkeit. Es hat schließlich auch Jahrhunderte gedauert, bis in den Lehrbüchern stand, dass sich die Erde um die Sonne dreht und nicht umgekehrt. --Gueziv (Diskussion) 10:43, 18. Jul. 2018 (CEST)

Fulton non sequitur. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 16:22, 18. Jul. 2018 (CEST)

@Gueziv: Kopiere bitte einen Datumsstempel oder den Abschnittstitel ein, damit ich nicht beantworte, was niemand gefragt hat. HG --Modalanalytiker (Diskussion) 18:54, 17. Jul. 2018 (CEST)

Es geht um den Abschnitt "Berechnung" und hier wiederum um die Aussage ...die Pendelfrequenz wird durch die Corioliskraft modifiziert ...
Wie Du in Deinem Beitrag vom 15. Juli 2018 15:53 schreibst, gibt es im Inertialsystem keine Corioliskraft. Eine Kraft, die es nicht gibt, kann normalerweise auch keine Pendelfrequenz modifizieren. Da gibt es nun zwei Möglichkeiten: Entweder die Aussage ist falsch oder wir haben im Inertialsystem eine andere Frequenz als im rotierenden System Erde. Da die Frequenz nur auf der Zeit basiert, müssten die Uhren im Inertialsystem anders ticken als auf der Erde ...
Falls die Herren doch noch zu der Auffassung gelangen sollten, dass die Aussage falsch ist, wäre natürlich auch der Ansatz, der zu dieser Aussage führt, falsch ... --Gueziv (Diskussion) 10:43, 18. Jul. 2018 (CEST)

Anders als im Inertialsystem haben die Koordinaten der Schwingung im erdfesten System nicht nur eine Frequenz. Beim Ausmultiplizieren von $D_{z}{\vec {R}}$ entstehen Terme mit $\omega _{0}\pm \omega _{z}$. Die Aussage "...wird modifiziert" suggeriert, dass es im erdfesten System auch nur eine Frequenz gibt, nur mit einem anderen Wert. Deshalb würde ich diese Formulierung nicht benutzen. Vielleicht hilft folgende Überlegung: Da sich die Positionsvektoren im erdfesten und Inertialsystem lediglich durch eine Drehtransformation unterscheiden, haben die Beträge der Vektoren in beiden Systemen denselben Zeitverlauf und damit auch dieselbe Periode. --Modalanalytiker (Diskussion) 11:47, 18. Jul. 2018 (CEST) --Modalanalytiker (Diskussion) 15:58, 18. Jul. 2018 (CEST)

Danke für Deine kryptischen Erklärungen. Ich verstehe zwar garnichts, Du scheinst aber auch von unterschiedlichen Frequenzen auszugehen, wenn auch irgendwie anders. Wir kommen der Lösung also wieder nicht näher. Ich gebe trotzdem noch nicht ganz auf. Mal sehen, was noch kommt. MfG --Gueziv (Diskussion) 13:38, 19. Jul. 2018 (CEST)

@Gueziv: Andere Antwort als Plausibilitätserklärung: Man kann das Pendel (z. B. durch eine geeignete Kombination von $y_{0}$ und ${\dot {x}}_{0}$) auch zu einer Kreisschwingung anregen. Diese Schwingung verlauft im erdfesten (h) und im drehenden System (H) kreisförmig, weil sich die Kurven vom einen in das andere System nur durch eine zeitabhängige Drehtransformation unterscheiden (Bezeichnungen h und H siehe neuen Abschnit unten). Ein Beobachter in h sieht das Pendel mit einer anderen Geschwindigkeit umlaufen als einer in H. Das kann man als Frequenzunterschied bezeichnen. Quantitativ bei Foucault-Pendeln völlig bedeutunglos! --Modalanalytiker (Diskussion) 15:37, 24. Jul. 2018 (CEST)

Darf ich kurz einwerfen, dass ich die hier angestellten Rechnungen für nicht korrekt ansehe? Begründung: Die hier angegebene Rotationsmatrix rotiert um die horizontale Richtung, ist also eine Kurzform für

$D(\alpha )={\begin{pmatrix}c\alpha &-s\alpha &\\s\alpha &c\alpha &\\&&1\end{pmatrix}}=D_{Z}(\alpha )$

wobei $Z$ die Horizontalrichtung ist. Dies ist aber nicht richtig, da das Koordinatensystem nicht um die Z-Achse, sondern um die Erdachse rotiert. Man muss daher zuerst das Koordinatensystem so drehen, dass $Z'$-Achse und $\Omega$-Achse übereinstimmen und dann zurücktransformieren. Das heißt, wir haben (mit den Bezeichnungen, wie sie im Artikel sehen)

${\vec {x}}=R_{Y''}^{-1}(-\pi /2+\phi )R_{Z'}(\Omega t)R_{Y}(-\pi /2+\phi ){\vec {X}}$

wenn ich mich nicht täusche, wobei das KS im Erdmittelpunkt befestigt ist. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 16:49, 18. Jul. 2018 (CEST)

@Blaues-Monsterle Kannst Du mal überprüfen, ob Deine Transformation am Äquator zu jedem Zeitpunkt ${\vec {x}}={\vec {X}}$ liefert - als notwendiges Kriterium für die Richtigkeit? --Modalanalytiker (Diskussion) 00:07, 19. Jul. 2018 (CEST)

Offensichtlich nicht, denn bei mir rotiert die y-Achse noch mit. Das ist aber kein Problem, sondern muss sogar so sein, wenn wir uns das System bildlich anschauen. Aber wir können nur die Differenz zwischen dem Aufhängepunkt und dem Pendelkörper messen, und der Aufhängepunkt dreht sich gleichmäßig mit. Es gilt mit meiner Trafo:

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}s\phi &&c\phi \\&1&\\-c\phi &&s\phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c\Omega t&s\Omega t&\\-s\Omega t&c\Omega t&\\&&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s\phi &&-c\phi \\&1&\\c\phi &&s\phi \end{pmatrix}}{\vec {X}}={\begin{pmatrix}c^{2}\phi +s^{2}\phi c\Omega t&s\phi s\Omega t&c\phi s\phi (1-c\Omega t)\\-s\phi s\Omega t&c\Omega t&c\phi s\Omega t\\c\phi s\phi (1-c\Omega t)&-c\phi s\Omega t&c^{2}\phi c\Omega t+s^{2}\phi \end{pmatrix}}{\vec {X}}$

Das hat folgende Eigenschaften

• Am Äquator gilt $x=X$ für alle $t$, denn alle $t$-abhängigen Einträge in der ersten Zeile haben den Vorfaktor $s\phi$
• Am Pol gilt $z=Z$ für alle $t$, denn alle $t$-abhängigen Einträge in der letzten Zeile haben den Vorfaktor $c\phi$

Ich möchte noch anmerken, dass man hier nicht mehr einfach auf die $x,y$-Ebene projizieren kann, da sich das Pendel zwar in dieser Ebene bewegt, der Aufhängepunkt aber darüber befindet. Insbesondere koppelt die Transformationsmatrix die $z$-Komponente des Aufhängepunkts mit der Rotation. Später gibt es (hoffentlich) weitere Rechnungen und Überlegungen dazu. Aber als Fazit kann man jetzt schon einmal mitnehmen: So einfach, wie es jetzt im Artikel steht, ist es nicht. Unabhängig davon, ob meine Rotationsmatrix oben korrekt ist oder nicht. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 02:49, 19. Jul. 2018 (CEST)

Für den "Äquatorcheck" braucht es keine lange Rechnung: Das Produkt Deiner drei Transformationsmatrizen muss gleich der Einheitsmatrix sein. Das verlangt, dass auch der mittlere Faktor gleich der Einheitsmatrix ist. Hier ist das nicht der Fall, was zur Falsifizierung genügt. --Modalanalytiker (Diskussion) 08:20, 19. Jul. 2018 (CEST)

Entschuldigung, am Äquator habe ich nach $\Omega t=\pi /4$ ganz sicherlich ${\vec {e}}_{y}=-{\vec {e}}_{Z},{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{Y}$, denn dann hat sich die Komponente entlang des Breitengrads in meinem mitwandernden KS so gedreht, dass sie bei einer Translation des Koordinatensystems auf die ursprüngliche Position zum Erdmittelpunkt zeigen würde und umgekehrt. Dass meine Transformationsmatrix nicht stimmt, dürfte vermutlich richtig sein. Deine tuts aber auch nicht, die gilt nämlich nur am Pol ;) --Blaues-Monsterle (Diskussion) 09:28, 19. Jul. 2018 (CEST)

"Meine" tut es überall. Du hast übersehen, dass im Argument "meiner" Matrix $-\omega _{z}t=-(\Omega \sin \varphi )t$ steht. Bitte füge den Abschnitt "Analyse im Inertialsystem" und die zugehörige Graphik wieder ein. Mir genügt(e) Folgendes als Verifikation: Das entfernte Bild ist durch numerische Integration der zwei gekoppelten gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung aus dem Artikel berechnet. Mit dem Ansatz des von Dir entfernten Abschnitts "Analyse im Inertialsystem" ergibt sich das exakt gleiche Bild. Der Anlass Deines Reverts ist m. E. jetzt entfallen. Modalanalytiker (Diskussion) 10:15, 19. Jul. 2018 (CEST)--Modalanalytiker (Diskussion) 10:19, 19. Jul. 2018 (CEST)

So einfach läuft das hier nicht. Wenn man deine Gleichungen ausmultipliziert, kommt nämlich unter anderem eine falsche Pendelfrequenz heraus. Das kann man einem Bild, das nur die Trajektorie nachzeichnet, nicht ansehen. Und nach meinem Kommentar von heute Morgen ist mir ein weiterer Fehler in deiner Herleitung aufgefallen: Im ortsfesten Koordinatensystem ist der Vektor der Gewichtskraft nicht konstant, sondern dreht sich (am Äquator) in der $y,z$-Ebene, sowie sich die Erde unter dem Koordinatensystem wegdreht. Ich denke, wir stimmen überein, dass $y=Y\ \forall t$ ein ziemlich bescheuertes Resultat für eine Koordinatentrafo am Äquator ist. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 10:58, 19. Jul. 2018 (CEST)

Bei F. Kuypers, Klassische Mechanik, 9. Aufl. steht auf S. 490: "Am Äquator mit $\omega _{z}=0$ findet man die üblichen Schwingungen eines Kugelpendels." Mit anderen Worten: Ein (erdfestes) Horizontsystem am Äquator ist für die Pendelbewegung ein (unbeschleunigtes, nicht rotierendes) Inertialsystem. Dass es sich um die Nord-Süd-Achse dreht, widerspricht dem nicht. --Modalanalytiker (Diskussion) 12:34, 19. Jul. 2018 (CEST)

Wir gehen hoffentlich – ohne Rückgriff auf Autoritätsargumente – damit überein, dass die Erdbeschleunigung im mitrotierten Bezugssystem eine konstante Richtung besitzt (nämlich in $-{\vec {e}}_{z}$-Richtung) und deshalb im Inertialsystem nicht gleichzeitig konstant sein kann. Damit bezweifle ich, dass im Inertialsystem die Lösung der Bewegungsgleichungen so einfach ${\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X_{0}\\Y_{0}\\0\end{pmatrix}}\cos \omega t+{\begin{pmatrix}{\dot {X}}_{0}\\{\dot {Y}}_{0}\\0\end{pmatrix}}\omega ^{-1}\sin \omega t+{\begin{pmatrix}0\\0\\R\end{pmatrix}}$ sein kann, wie von dir dargestellt. Insbesondere sollte im Inertialsystem (mit $R$ die Rotationsmatrix wie oben, oder falls oben inkorrekt, wie die korrekte) gelten:

${\ddot {\vec {X}}}=R^{-1}(\Omega t,\phi )g{\vec {e}}_{z}$

--Blaues-Monsterle (Diskussion) 15:10, 19. Jul. 2018 (CEST)

Ich verstehe Dich so, dass Du es durchaus für einen gangbaren Weg hältst, das Pendelmodel zunächst in einem geeigneten Inertialsystem zu behandeln und die Lösung dann in das erdfeste System zu transformieren. Du hältst die von mir angegebene Lösung, speziell die verwendete Transformationsmatrix, für falsch und hast deshalb meinen Beitrag "Lösung im Inertialsystem" samt Bild entfernt. Zur Absicherung meiner Überlegungen habe ich, wie oben schn erwähnt, auch die gekoppelten DGln (mit Coriolisterm) numerisch gelöst und Übereinstimmung mit der Transformationslösung gefunden. Dasselbe habe ich jetzt auch analytisch bestätigt, indem ich die analytische Transformationslösung in die DGln eingesetzt habe. Wenn Du die DGln im Artikel für richtig ansiehst, ist die Transformationslösung ebenso richtig. Mehr Überprüfung halte ich nicht für nötig.

IIch würde mich freuen, wenn Du eine alternative Lösung angeben kannst, die Du vorher denselben Prüfungen erfolgreich unterworfen hast. Modalanalytiker (Diskussion) 16:34, 19. Jul. 2018 (CEST)--Modalanalytiker (Diskussion) 16:40, 19. Jul. 2018 (CEST)

Ich werde nicht numerisch prüfen, sondern analytisch. Das ist mir erheblich sicherer. Einer analytischen Prüfung hält deine Lösung nicht stand, denn keine Transformatrix, die du angibst, schafft es, das $\omega _{0}={\sqrt {g/l}}\to \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}+\Omega ^{2}\sin ^{2}\phi }}$ umzuwandeln, wie wenn im mitrotierenden KS gerechnet wird. Selbstverständlich halte ich es für eine mögliche und physikalisch korrekte Methode, im IS zu rechnen und dann das Koordinatensystem rotieren zu lassen. Ich halte es nur für keine sinnvolle Methode, da die Rechnungen/Gleichungen durch den nichtkonstanten äußeren Kraftvektor erheblich komplizierter zu werden scheinen und man nicht mehr einfach auf zwei Dimensionen projizieren kann. Aber ich schaue mal, was sich da ausbrüten lässt. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 20:10, 19. Jul. 2018 (CEST)

Nach genauerer Untersuchung habe ich beschlossen: Ich gebe auf, einen positiven Gegenbeweis (mit Angabe einer eigenen Lösung) zu führen und beschränke mich in meiner Argumentation auf den negativen (zu zeigen, dass deine Lösung nicht richtig ist). Der Grund ist folgender: Neben der Umrechnung der Gewichtskraft in das Inertialsystem, was die einfachste Übung ist, nämlich

${\vec {F}}_{g}=R^{-1}{\vec {f}}_{g}=g{\begin{pmatrix}s\phi c\phi (1-c\Omega t)\\-c\phi s\Omega t\\c^{2}\phi c\Omega t+s^{2}\phi \end{pmatrix}}$

darf noch die Zwangskraft (das Pendel möge bitte seine Länge behalten)

${\vec {f}}_{Z}=\lambda {\vec {\nabla }}(x^{2}+y^{2}+(z-R-h)^{2}-l^{2})=2\lambda {\begin{pmatrix}x\\y\\z-R-h\end{pmatrix}}$

in das Inertialsystem überführt werden. Da dieses Kraftfeld nun selbst koordintenabhängig ist, gilt

${\vec {F}}_{Z}({\vec {X}})=R^{-1}f_{Z}(R^{-1}{\vec {x}})$

und da tue ich mir noch nicht einmal das Aufstellen, geschweige denn das Lösen an. Tut mir leid. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 23:36, 19. Jul. 2018 (CEST)

Du scheinst Deine Argumentation jetzt auch auf das Thema ω₀ - ω zu stützen. Das ist aber falsch. Fulton non sequitur. --Gueziv (Diskussion) 09:05, 20. Jul. 2018 (CEST)

@Gueziv: Wenn du genau liest, ist das lange nicht mein einziges Argument. Und man sollte wissen, was es bedeutet, wenn man irgendwas in einer Fremdsprache brabbelt. @Modalanalytiker: Mir ist noch etwas eingefallen, wie geprüft werden kann, welche Transformationsmatrix korrekt ist. Im Inertialsystem haben wir $m{\ddot {\vec {X}}}={\vec {F}}=R^{-1}{\vec {f}}(=mgR^{-1}{\vec {e}}_{z})$ und im erdfesten System ${\ddot {\vec {x}}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(R{\vec {X}})={\ddot {R}}{\vec {X}}+2{\dot {R}}{\dot {\vec {X}}}+R{\ddot {\vec {X}}}=\dots =(({\ddot {R}}R^{-1}-2({\dot {R}}R^{-1})^{2}){\vec {x}}+2{\dot {R}}R^{-1}{\dot {\vec {x}}}+{\vec {f}}/m$. Wenn man für R die Transformationsmatrix einsetzt, muss da Zentrifugal/Coriolisbeschleunigung rauskommen. Du kannst ja mal nachrechnen, ob das für deine auch so rauskäme. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 10:56, 20. Jul. 2018 (CEST)

Ich habe es für dich einmal ausgerechnet. Deine Corioliskraft ist - auf die xy-Ebene projiziert - korrekt, aber deine Zentrifugalkraft stimmt nicht (auch nicht auf die xy-Ebene projiziert). Das Ergebnis für dich: ${\vec {f}}_{ZF}=\Omega ^{2}s^{2}\phi (x{\vec {e}}_{x}+y{\vec {e}}_{y})$, das korrekte Ergebnis wäre: ${\vec {f}}_{ZF}=\Omega ^{2}s^{2}\phi (\dots )+\Omega ^{2}zs\phi c\phi {\vec {e}}_{y}$. Das zeigt noch einmal genau das, was ich oben gesagt habe - deine Gleichungen funktionieren nur am Pol, wo $c\phi =0$ ist. In $z$-Richtung stimmt weder Coriolis noch Zentrifugal, und das ist der Beitrag, der die Pendelfrequenz verändern würde. Davon merkt man in der numerischen Simulation nur nichts, weil für das FP die Zentrifugalkraft vernachlässigt wird (die Debatte haben wir schon einmal hier geführt). Es geht dir hier also im Endeffekt wie Paul Drude: Zwei Fehlerquellen heben sich geschickt weg (fehlerhafte Rotationsmatrix × fehlerhafte Lösung im IS ≈ richtiges Ergebnis). --Blaues-Monsterle (Diskussion) 15:31, 20. Jul. 2018 (CEST)

Einwurf von der Torauslinie: Ist dies Problem den Schweiß der Edlen wert? Warum wird es wohl in keinem Lehrbuch oder paper abgehandelt (mWn)? Falls doch, bitte mal einen Literaturhinweis; falls nicht: dann hat das in einer Enzyklopädie des (etablierten) Wissens auch nichts verloren. - Nfu, war ja nur mal so'n Einwurf, macht gerne weiter! --Bleckneuhaus (Diskussion) 16:17, 21. Jul. 2018 (CEST)

Wie war das: Man kann alle Koordinaten verwenden, aber wenn man die falschen nimmt, wird man es bereuen. Ich hoffe, ich konnte mit meinem letzten Argument Modalanalytiker endgültig überzeugen, dass seine Trafo daneben liegt, ansonsten wäre ich wohl gezwungen, die zweifelsohne komplizierteren Rechnungen an meiner zu wiederholen, um zu zeigen, dass das (hoffentlich ^^) die richtige ist Vorlage:Smiley/Wartung/:s  – aber gelöst wird nicht, das steht fest. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 01:07, 22. Jul. 2018 (CEST)

Pardon, dass meine falsche Rechnung hier den Schweiß so vieler Edler fließen lässt. Wie wäre es, ohne die Grundidee aufzugeben, richtig geworden? Zuerst mit der Drehtransformationsmatrix $T_{z}={\begin{pmatrix}\cos \omega _{z}t&\sin \omega _{z}t\\-\sin \omega _{z}t&\cos \omega _{z}t\end{pmatrix}}$ die DGl. (mit dem Coriolisterm) aus dem erdfesten Horizontsystem ins demgegenüber mit $\omega _{z}=\Omega \sin \varphi$ drehende I-System transformieren. Dann erscheint auch $\omega _{0}^{2}+\omega _{z}^{2}$ statt nur $\omega _{0}^{2}$. Die DGl. mit der jetzt richtigen und höheren Eigenkreisfrequenz lösen und das Ergebnis mit $T_{z}$ ins erdfeste System zurücktransformieren. Dann ist die Lösung identisch mit der im Artikel angegebenen. An diesem Weg reizt mich, dass eine quasi problemeigene und deshalb naheliegende Transformation benutzt wird und die Zwischenlösung im I-System physikalisch interpretierbar ist. Ich werde den misslungenen Abschnitt überarbeiten und hier nochmal vorlegen. --Modalanalytiker (Diskussion) 13:13, 23. Jul. 2018 (CEST)

Der korrekte Weg wäre folgender:

1. Eine Transformationsmatrix aufstellen, die korrekt vom IS ins erdfeste System transformiert. In dieser Trafo kommt auf gar keinen Fall ein Term $\cos /\sin(\Omega t\sin \phi )$ vor! Aber ich habe - nur zum Spaß - gestern Nacht meine Trafo durchgerechnet: sie ist auch falsch. Insbesondere ist eine Fehlerquelle, dass ich x- und y-Achse vertauscht habe... ob das das Problem heilt, bleibt abzuwarten.
2. Mit dem Inversen dieser Transformationsmatrix die im erdfesten System konstante Gewichtskraft in das Inertialsystem umrechnen.
3. Die Zwangskräfte im Inertialsystem aufstellen, sodass das Pendel seine Länge behält, alternativ aus dem erdfesten System umrechnen.
4. Gleichungen im Inertialsystem so sinnvoll approximieren, dass sie lösbar werden und diese Approximationen gut begründen (${\dot {Z}}=0$ ist keine vernünftige Annahme mehr).
5. Approximierte Gleichungen lösen.
6. Transformationsmatrix anwenden, um die Lösung ins erdfeste System zu überführen.

Es dürfte an Schritt 4/5 scheitern. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 13:26, 23. Jul. 2018 (CEST)

Was ich oben beschrieben habe, geht auf. Ich kritisiere nicht die DGl., die der Artikel vorgibt. Genau die will ich lösen, so wie das auch im Artikel geschieht, nur mit anderen Koordinaten. Es ist vielleicht besser, hier gar nicht von einem Inertialsystem zu sprechen, sondern nur von einem gegenüber dem erdfesten System drehenden. Ich habe das Ganze durchgerechnet. Die Lösung erfüllt die DGl. und alle vier Anfangswerte. Das genügt mir. Modalanalytiker (Diskussion) 13:39, 23. Jul. 2018 (CEST)

@Modalanalytiker: Sehe ich richtig, dass Du das erdfeste System allein durch die Drehung mit (Zitat) "$\omega _{z}=\Omega \sin \varphi$ im Gegenuhrzeigersinn um seine $z$-Achse" zu einem Horizont-Inertialsystem machen willst? Ich denke, das ist falsch, außer an den Polen. Wie begründest Du denn das Weglassen der beschleunigten Bewegung des Aufhängepunkts mit der Erddrehung? Nach meinem Eindruck folgt daraus, dass die Lösungen A und B gar nicht übereinstimmen dürfen, mit entsprechenden Konsequenzen für die ganze gehabte Debatte hier. --Bleckneuhaus (Diskussion) 11:40, 29. Jul. 2018 (CEST)

@Bleckneuhaus
"Ich denke, das ist falsch, außer an den Polen." Ich entnehme dem, dass es an den Polen richtig ist. Das genügt mit vorerst auch und halte vorsorglich in Erinnerung, dass A eine einheitliche Lösung für den ganzen Globus anbietet.
"...folgt daraus, dass die Lösungen A und B gar nicht übereinstimmen dürfen..." Einverstanden! Model A und B sind verschieden und die Lösungen dementsprechen auch. Die Lösung zu B ist gleich der von A, außer dass $\omega$ durch $\omega _{0}$ ersetzt ist.
"...Weglassen der beschleunigten Bewegung des Aufhängepunkts..." An den Polen darf man das auf jeden Fall, denn der Aufhängepunkt ist an den Polen sternenfest. Das genügt mir vorerst.
Wir sollten diese Diskussion im Abschnitt Zu fordernde Lösungseigenschaft fortsetzen. --Modalanalytiker (Diskussion) 14:33, 29. Jul. 2018 (CEST)--Modalanalytiker (Diskussion) 14:37, 29. Jul. 2018 (CEST)

Analyse im rotierenden Horizontsystem

Der folgende Text ist ein Entwurf einer gepanten Artikelergänzung (Nachfolger des entfernten Abschnitts "Analyse im Inertialsystem")

Bahnkurve eines Foucaultschen Pendels extremer Länge

Details

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Blaue Rosette: Kurve im erdfesten Ost-Nord-System (h-System)
Rote Ellipse: Kurve im rotierenden H-System. Bei $t=0$ sind beide Systeme deckungsgleich. Periode der Pendeleigenschwingung: 1 h entsprechend einer Pendellänge von 3220 km (!) Bei realistischer Pendellänge (<100 m) würden sich die Linien überdecken.
Pendelort: $\varphi =50^{\circ }$ Nord
Anfangszustand: 1 m in $y$-Richtung (Norden) ausgelenkt und ruhend
Periode des Schwingebenenumlaufs: $T_{z}=T_{\text{Sterntag}}/\sin \varphi \approx$ 31 h 15 min
Simulationszeitspanne: 8 h
Zwischem den Kurven vermittelt eine zeitabhängige Drehtransformation.

Die im Abschnitt Mathematisches Pendel auf der Erdoberfläche vorausgesetzte Differenzialgleichung ${\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}=2\Omega \sin \varphi {\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\-{\dot {x}}\end{pmatrix}}-\omega _{0}^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ wird oben gelöst, indem sie zunachst in konjugiert komplexe Koordinaten $u$ und $v$ transformiert wird. Die aus der transformierten, einfacheren und entkoppelten Dgl. gewonnene komplexwertige Lösung in $u$-$v$-Koordinaten wird danach in das anfängliche erdfeste Horizontsystem "h" zurücktransformiert.

In diesem Abschnitt wird ein ähnlicher Lösungsweg begangen, nur mit einer "problemeigenen" reellwertigen Transformation. Sie liefert dieselbe Lösung. Für die "problemeigene" Transformation bietet sich ein ursprungsgleiches Horizontsystem "H" an, das gegenüber dem Ausgangs-Horizontsystem "h" mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega _{z}=\Omega \sin \varphi$ (auf der Nordhalbkugel im Uhrzeigersinn) rotiert und sich bei $t=0$ mit dem "h"-System deckt. $\omega _{z}$ ist die $z$-Koordinate, die bei der Zerlegung des Winkelgeschwindigkeitsvektors ${\vec {\Omega }}$ der Erdrotation in zenitaler ($z$) und nördlicher ($y$) Richtung (vgl. Graphik oben) anfällt. Als Transformationsgleichung vom rotierenden H-System ins erdfeste h-System ergibt sich

${\vec {r}}=T_{z}{\vec {R}}\qquad (*)$.

Die Vektoren in der Horizontebene ${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ und ${\vec {R}}={\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}$ bezeichen den Pendelort im h- bzw. H-System und

$T_{z}={\begin{pmatrix}\cos \omega _{z}t&\sin \omega _{z}t\\-\sin \omega _{z}t&\cos \omega _{z}t\end{pmatrix}}$

die Drehtransformationsmatrix.

Die Transformation der Ausgangs-Dgl. von h- nach H-Koordinaten mit $T_{z}$ und einer geeigneten Linearkombination zur Entkopplung ergibt nach einer längeren Zwischenrechnung

${\ddot {\vec {R}}}=-\omega ^{2}{\vec {R}}$

mit

$\omega ^{2}=\omega _{0}^{2}+\omega _{z}^{2}$.

Diese Bewegungsgleichung im H-System hat für die dort gemessenen Anfangswerte $X_{0}$, $Y_{0}$, ${\dot {X}}_{0}$ und ${\dot {Y}}_{0}$ die Lösung ${\vec {R}}={\begin{pmatrix}X_{0}\cos \omega t+({\dot {X}}_{0}/\omega )\sin \omega t\\Y_{0}\cos \omega t+({\dot {Y}}_{0}/\omega )\sin \omega t\end{pmatrix}}$.

Meistens werden die Anfangswerte nicht im Inertialsystem, sondern in erdfesten Koordinaten vorliegen. Es gelten die Umrechnungen $X_{0}=x_{0}$, $Y_{0}=y_{0}$, ${\dot {X}}_{0}={\dot {x}}_{0}-\omega _{z}y_{0}$ und ${\dot {Y}}_{0}={\dot {y}}_{0}+\omega _{z}x_{0}$. Sie folgen direkt aus der Anschauung oder auch mit der Transformationsmatrix $T_{z}$ und deren zeitlicher Ableitung für $t=0$.

Nach Einsetzen dieser Werte in die Gleichung für ${\vec {R}}$ liefert die Transformationsgleichung $(*)$ die gesuchte Bahnkurve
${\vec {r}}=\left({\begin{array}{c}\cos \!\left(\omega _{z}t\right)\,\left(x_{0}\,\cos \!\left(\omega t\right)+{\frac {\sin \!\left(\omega t\right)\,\left({\dot {x}}_{0}-\omega _{z}\,y_{0}\right)}{\omega }}\right)+\sin \!\left(\omega _{z}t\right)\,\left(y_{0}\,\cos \!\left(\omega t\right)+{\frac {\sin \!\left(\omega t\right)\,\left({\dot {y}}_{0}+\omega _{z}\,x_{0}\right)}{\omega }}\right)\\\cos \!\left(\omega _{z}t\right)\,\left(y_{0}\,\cos \!\left(\omega t\right)+{\frac {\sin \!\left(\omega t\right)\,\left({\dot {y}}_{0}+\omega _{z}\,x_{0}\right)}{\omega }}\right)-\sin \!\left(\omega _{z}t\right)\,\left(x_{0}\,\cos \!\left(\omega t\right)+{\frac {\sin \!\left(\omega t\right)\,\left({\dot {x}}_{0}-\omega _{z}\,y_{0}\right)}{\omega }}\right)\end{array}}\right)$
des Pendels im erdfesten Horizontsystem.

Die Herleitung illustriert, dass die im erdfesten h-System kompliziert erscheinende Bahnkurve des Foucault'schen Pendels auf eine einfache harmonische Schwingung im rotierenden H-System zurückgeht. Dort existiert keine Coriolis"kraft". Sie wird lediglich in der Bewegungsdifferenzialgleichung im erfesten h-System als Transformationsterm benötigt. Modalanalytiker (Diskussion) 18:32, 23. Jul. 2018 (CEST)

Ich würde das, wenn es denn in den Artikel kommt, nicht gleich löschen, mich aber ernsthaft fragen, welche/n Leser/in der/die Autor/in hier im Auge gehabt hat. Den erklärenden Mehrwert kann ich nämlich nicht sehen, jedenfalls nicht über das ohnehin sichere Gefühl hinaus, dass die klassische Mechanik insoweit konsistent ist. (IMHO besteht das häufigste Verständnisproblem darin, einen Ort auf der Erde als rotierend um die Zenitrichtung zu sehen, und das mit einer Winkelgeschwindigkeit, die alle Werte von Null bis zur Drehung der Erde annehmen kann. Das wird aber hier am Anfang einfach so gesagt.) - Wie wäre es denn zur Abwechslung mit einer Lösung a la Lagrange? Mit nur 2 Koordinaten (natürlich im erdfesten System) und daher unschlagbar elegant? Nur: ich trau mir das nicht mehr zu. --Bleckneuhaus (Diskussion) 15:58, 24. Jul. 2018 (CEST)

@Bleckneuhaus: Zwangsbedingung $\delta z=0$ statt $x^{2}+y^{2}+(\delta z-l)^{2}=l^{2}$ (Ursprung im Erdmittelpunkt)? Dürfte auf auf exakt dieselben Gleichungen führen, wie sie derzeit im Artikel stehen, nur mit ein bisschen Vorarbeit, die derzeit grob unter "nähern wir alles weg" subsummiert werden kann. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 16:10, 24. Jul. 2018 (CEST)

"Das wird aber hier am Anfang einfach so gesagt." Die Zerlegung von ${\vec {\Omega }}$ wird schon im bestehenden Artikel erklärt und muss m. E. nicht wiederholt werden. Der Mehrwert der Lösungsvariante liegt für mich darin, dass der Zwischenschritt (Transformation der Dgl.) in ein reales, reelles System führt, statt ins Komplexwertige zu gehen. Die Lösung in H kann ich mir virstellen, die in u-v-Koordinaten nicht. Bei GEORG HAMEL Theoretische Mechanik gibt es eine Darstellung, die arbeitswochenfüllend ist ("räumlich in Kugelkoordinaten und ohne Vernachlässigungen"). Es wimmelt in den beiden Dgln. nur so von Kreisfunktionsprodukten. Da gehe ich auch nicht ran. --Modalanalytiker (Diskussion) 16:32, 24. Jul. 2018 (CEST)

Das hatte ich nicht mitbekommen, dass es Dir vorrangig um die Vermeidung des mathematischen Tricks mit den komplexen Zahlen geht. Ich dachte, es ginge um eine leichter zugängliche mechanisch anschauliche Darstellung. Was wäre denn, wenn man die Lösung der rellen DGL. mithilfe eines harmonischen Ansatzes findet? Hinter der Lösung der komplexen DGl steckt doch auch nichts anderes. - Zu Lagrange: meine Lieblingskoordianten wären zwei Winkel: der Auslenkwinkel und die Orientierung der Schwingungsebene. Dann sind weitere Zwansbedingungen doch nicht am Platze? Die ganze Arbeit würde darin stecken, die kinetische Energie (im Inertialsystem) auszudrücken, wobei die Position des Fußpunkts durch vorgegebene Funktionen eingeht. --Bleckneuhaus (Diskussion) 16:54, 24. Jul. 2018 (CEST)

Der Trick bei Modalanalytiker ist, durch seine Rotations des Systems die Differentialgleichungen zu entkoppeln. Das funktioniert, da die nur durch die Corioliskraft gekoppelt werden und seine Rotationsmatrix (siehe Kommentar oben zur Prüfung der Korrektheit) eine Koordinatentransformation induziert, die die Scheinkraft verschwinden lässt. Von daher ist sein Satzteil "und einer geeigneten Linearkombination zur Entkopplung" redundant, die geeignete Linearkombination ist nämlich die triviale. Vom mathematischen Standpunkt betrachtet ist seine Lösungsmöglichkeit erheblich komplizierter als die mit der komplexen Linearkombination, da sie auf dem Finden der geeigneten Rotationsmatrix beruht (Lösung der Gleichung $\textstyle {\dot {R}}R^{-1}{\vec {x}}={\dot {\vec {\Omega }}}\times {\vec {x}}$). Sie wird erst offensichtlich, wenn man die Lösung schon vorher kennt. Zu Lagrange schau ich mal. Eine geeignete Approximation wäre vermutlich, nicht senkrecht auf die xy-Ebene zu projizieren, sondern entlang des Fadens. Was bei genügend langem Faden keinen Unterschied macht. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 17:13, 24. Jul. 2018 (CEST)

"... ist seine Lösungsmöglichkeit erheblich komplizierter als die mit der komplexen Linearkombination, da sie auf dem Finden der geeigneten Rotationsmatrix beruht (Lösung der Gleichung $\textstyle {\dot {R}}R^{-1}{\vec {x}}={\dot {\vec {\Omega }}}\times {\vec {x}}$)."

Wenn ich zwischen zwei Sytemen transformieren will, von denen eines sich um eine gemeinsame Achse dreht, löse ich keine Gleichung, sonde schaue unter Rotationsmatrix in eine Formelsammlung. Meine Motivation war, einen anschaulicheren Lösungsweg anzubieten. Die Herleitung der Bewegungsgleichung bearbeite ich nicht. Die getroffenen Vernachlässigungen sind m. E. in Ordnung. Nur zur Erheiterung: Ich störe mich auch nicht daran, dass die Dämpfung des Pendels, die es spätestens nach ein paar Stunden stillsetzt, vernachlässigt wird. Modalanalytiker (Diskussion) 18:06, 24. Jul. 2018 (CEST)

Ja, aber dass die Lösung für $R$ eine Rotationsmatrix ist (okay, mit etwas Verstand eventuell schon) und um welchen Winkel rotiert wird, kannst du nicht a priori wissen. Beispiel gefällig, wie sehr das Wissen um die Lösung den Lösungsweg beeinflusst? Löse doch mal $y''-y'/x-2(y')^{2}\operatorname {tanh} y=2x^{2}\operatorname {sinh} 2y$ (die Lösung ist übrigens ein harmonischer Oszillator, also finde die korrekte Koordinatentransformation) ;). --Blaues-Monsterle (Diskussion) 18:59, 24. Jul. 2018 (CEST)

Wenn ich die Foucault-Dgl. im Mathematikbuch fände, ohne zu wissen, was sie beschreibt, wäre ich nicht auf diese Lösung gekommen. Da ist hier aber anders. "Put everything in you know at the very beginnung" hat jemand gesagt, den Du gut kennst. Bei etwas ernsthafteren Problemen weiß man die Lösung nicht. Man prüft vernünftige Ansätze. Die einzige plausible Vermutung, die mir hier einfällt ist: Das Pendel schwingt vielleicht in dem Koordinatensystem, das die Rotationskomponente von ${\vec {\Omega }}$ nicht mitmacht, wie ein freies Pendel im Inertialsystem. Das probiere ich aus, verrechne mich dabei x Mal, aber am Ende hat es gestimmt. Mir gefällt an der Sache, dass das H-System anschaulich ist, kein abstraktes mathematisches Konstrukt. Du hast auch sicher bemerkt, dass ich H nicht als Inertialsystem bezeichne. H kann nur für das Foucoult-Pendel als kontextabhängiges I-Sytem angesehen werden - so wie bei einer Abrissbirne zu Recht die Erde, ohne das man überhaupt einen Gedanken daran verwendet. --Modalanalytiker (Diskussion) 20:08, 24. Jul. 2018 (CEST)

Den ich gut kenne? Elmo, das rote Monsterle? :D --Blaues-Monsterle (Diskussion) 20:31, 24. Jul. 2018 (CEST)

Nee! Nicht so gute Ansätze!: Richard P. Feynman --Modalanalytiker (Diskussion) 20:45, 24. Jul. 2018 (CEST)

Zu fordernde Lösungseigenschaft

Mich beschäftigt der Sonderfall Foucault-Pendel am Nordpol. Dort ist die Bahnkurve (x,y) im erdfesten System nach Artikellösung leichter zu überblicken. Das erdfeste Horizontsystem h dreht sich dort gegenüber einem konzentrischen sternenfesten Horizontystem H mit der Winkelgeschwindigkeot $\Omega$ um die Zenitachse. H ist sicher ein Inertialsystem. Wenn man die Bahnkurve im h-System (wie im Artikel angegeben) mit $\Omega$ ins H-System drehransformiert: Erwartet Ihr, dass die Lösung im Inertialsystem noch von $\Omega$ abhängt? --Modalanalytiker (Diskussion) 13:18, 25. Jul. 2018 (CEST)

Am Pol bricht die gesamte Herleitung zusammen, weil dort – wen doch fasste nicht Wunder – ein Pol vorliegt. Am Pol macht es schwerlich Sinn, eine x-Achse nach Osten und eine y-Achse nach Norden zu definieren, denn: Wo am Nordpol ist "nach Norden"? Die Lösung gibt es nur als analytische Fortsetzung. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 14:41, 25. Jul. 2018 (CEST)

Am Pol verläuft jede Richtung südlich. Das stört nicht. Es bildet kein Hemmnis, dort den Ursprung eines erdfesten kartesischen Koordinatensystems einzurichten, mit der z-Achse zum Zenit und der x-Achse auf einem frei zu wählenden Meridian. In diesem System lässt sich die Pendelbahn eindeutig mit der im Artikel gegebenen Lösung beschreiben. Die Theorie bricht da keineswegs zusammen. Wenn jetzt noch jemand argumentiert, am Nordpol gäbe es nichts Erdfestes, sondern höchstens Eisfestes - und das bewege sich immer - dann sollte ich eigentlich aufgeben. ;-). Meine Anfrage ist nicht witzig gemeint. Sie könnte sogar essentiell sein. --Modalanalytiker (Diskussion) 15:50, 25. Jul. 2018 (CEST)

Die Frage ist gut. Ich glaube, Du bist langsam auf dem richtigen Weg! Überleg weiter! --Gueziv (Diskussion) 16:52, 25. Jul. 2018 (CEST)

Das Problem ist für Physiker offensichtlich unlösbar. Normalen Menschen ist ganz ohne Rechnung klar: Die Pendelschwingung wird nicht durch die Erdrotation beeinflusst. Weder am Nordpol noch anderswo. Wer etwas anderes berechnet, liegt falsch. Das ist hier der Fall.
Ich wünsche allen kühlen Rechnern ein heißes Wochenende! --Gueziv (Diskussion) 09:10, 28. Jul. 2018 (CEST)

Tja, das ist eben eine der vielen Situationen, in denen „normale Menschen“ mit ihrer Intuition falsch liegen. Dass die Schwingung des Pendels von der Erdrotation beeinflusst wird, lässt sich am Foucault’schen Experiment schließlich eindeutig sehen. --78.51.118.234 12:22, 28. Jul. 2018 (CEST)

Ich gebe die Hoffnung nicht auf, auch der Intuition von „normalen Menschen“ weiterzuhelfen: dass die intuitive(?) Einsicht falsch sein muss, die Erdrotation könne die Pendelschwingung nicht beeinflussen, sieht man bei einem Pendel am Äquator. Wenn die Erde sich 17mal schneller drehte, dann wäre die Schwere durch die Zentrifugalkraft gerade aufgehoben. Folglich schwingt es nicht mehr. --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:58, 28. Jul. 2018 (CEST)

Dieser Aspekt wurde ja schon ausführlich diskutiert und als nicht relevant befunden. Ich beziehe mich auf die DGL im Artikel und diese enthält ja keine Terme, die den von Dir genannten Aspekt reflektieren. Nochmal Klartext: Durch die Drehung des Pendels gegenüber der Erde entsteht eine Scheinfliehkraft, die in der DGL berücksichtigt werden muss. Dann erhält man auch die richtige Pendelfrequenz ω₀ und nicht ω. "Scheinfliehkraft" deshalb, weil sich das Pendel in Wirklichkeit ja nicht dreht. Es ist die Erde, die sich dreht. Normalerweise wird man deshalb die Pendelschwingung im ruhenden System formulieren. Die Bewegung im rotierenden System ergibt sich dann rein geometrisch (ohne Kräfte). Wenn ich es richtig sehe, hat das Modalanalytiker auch so versucht.
Wenn man im rotierenden System formuliert, muss man zunächst die Relativbewegung richtig formulieren (mit der Fliehkraft). Weil das dann nicht stimmt, muss man die Corioliskraft dazu nehmen. Das ist im entsprechenden Wikipedia-Artikel auch genau beschrieben. --Gueziv (Diskussion) 17:29, 28. Jul. 2018 (CEST)

@Modalanalytiker: Stimmt, du hast Recht, das Problem mit der Singularität wird automatisch dadurch gelöst, dass alle Terme, die x und y unterscheiden würden, verschwinden. Wie dem auch sei, als Antwort auf die ursprüngliche Frage: Nein, erwarten wir nicht. @Gueziv: (aktives Ignorieren) --Blaues-Monsterle (Diskussion) 18:32, 28. Jul. 2018 (CEST)

Danke Blaues-Monsterle, dass Du Dich zur Frage äußerst. Auch ich erwarte nicht, dass die in sternenfesten Koordinaten geschriebene Lösung von $\Omega$ abhängt. Die Lösung im Artikel (Lösung A) tut aber genau das, wovon man sich durch Drehtransformation überzeugen kann. Sie liefert trotzdem absolut brauchbare Zahlenwerte, was auch für die (entfernte) Lösung B zutrifft, die vom sternenfesten System ausgeht und dann ins erdfeste System transformiert wird. Zwei verschiedene Modelle, zwei verschiedene Lösungen, die sich numerisch für $\omega _{0}>>\Omega$ geringstfügig unterscheiden. A wohnt der oben beschriebene Widerspruch inne, für B kenne ich keine Quelle (außer den Grundlagenbüchern der Mechanik), was nichts heißen muss. Was sollen wir jetzt tun? Modalanalytiker (Diskussion) 19:14, 28. Jul. 2018 (CEST) Modalanalytiker (Diskussion) 19:18, 28. Jul. 2018 (CEST)

Jo, manchmal kommt halt was Unerwartetes/Unintuitives raus. Die Loesung im Artikel stimmt aber, und zwar nicht nur, weil sie in allen moeglichen Buechern so steht, sondern weil ich sie selbst noch einmal kleinauf nachvollzogen habe (vgl. hier im Archiv oder im Archiv der QS). Was wir jetzt tun sollen? Ich schlage vor, die Loesung, die in allen Buechern steht, so lange im Artikel zu lassen, bis jemand eine stichhaltige (d.h. auf Rechnung, nicht auf Intiuition basierende) Widerlegung geschrieben hat und den Loesungsweg, der nicht in allen Buechern steht, so lange nicht in den Artikel aufzunehmen, bis die Ergebnisse auch uebereinstimmen. --Blaues-Monsterle

(Diskussion) 21:21, 28. Jul. 2018 (CEST)

Die Lösung A (jene im Artikel) passt - zu der vorausgesetzten Modellgleichung. Die Lösung B (die im Inertialsysstem startet) stimmt auch - zu der vorausgesetzen anderen Modellgleichung. Das macht bis dahin keinen Unterschied. Betrachtet man die A-Lösung im Inertialsystem, erweist sie sich dort als falsch. B ist darin naturgemäß richtig. Wir haben es mit zwei verschiedenen Modellen zu tun. Ich würde A im Artikel stehenlassen und das Modell B hinzufügen, was wegen seiner Einfachheit mit wenig Text möglich ist. Aber vielleicht ist hier doch noch jemand, der zeigen kann, dass B ein Holzweg ist. Wenn das geht, sollte die Falsifizierung einfach sein, weil die Vorgehensweise in B auch einfach ist. Die Falsifizierung für den Nordpol würde mir schon ausreichen, den Ansatz zu verwerfen. Modalanalytiker (Diskussion) 22:28, 28. Jul. 2018 (CEST)--Modalanalytiker (Diskussion) 22:32, 28. Jul. 2018 (CEST) --Modalanalytiker (Diskussion) 15:40, 29. Jul. 2018 (CEST)

Geht es eigentlich immernoch darum, wie man für das Pendel am Nordpol im beschleunigten Bezugssystem die gleiche Frequenz wie im Inertialsystem herausbekommt? Ich dachte, das Problem wäre mit meinem letzten Beitrag zur QS Diskussion ausgeräumt. Den Einwand bezüglich des Koordinatensystems sehe ich nicht als Problem, weil x, y und z keine Polarkoordinaten sind. Desshalb kann man am Nordpol einfach eine beliebige Richtung (z.B. Richtung Nullmeridian) als Norden definieren.

Ansonsten fällt mir als möglicher Grund für Missverständnisse noch ein, dass man darauf achten muss, was man als Frequenz definiert, schließlich ist es im Allgemeinen keine periodische Bewegung und die Frequenz des Nulldurchgangs der x und y Koordinatenfunktionen einzeln betrachtet unterscheiden sich um die Frequenz der Pendeldrehung von der Frequenz mit der das Pendel die größte Annäherung an die Ruhelage hat - wie allgemein bei Schwebungen üblich.--Debenben (Diskussion) 18:44, 29. Jul. 2018 (CEST)

Eine Teillösung: Zentrifugalkraft um den richtigen Bezugspunkt

Insoweit sich die Debatte daran entzündet hat, dass die Pendelfrequenz an den Polen - den Artikelformeln nach - von der Erddrehung abhängen soll, kann ich glaub ich Aufklärung geben: Der Effekt ist natürlich falsch und kommt dadurch zustande, dass bei den Formeln im rotierenden System die Zentrifugalkraft (bezogen auf das rotierende Horizontsystem) weggelassen wurde. Statt

${\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}=2\Omega \sin \varphi {\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\-{\dot {x}}\end{pmatrix}}-\omega _{0}^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

muss es heißen:

${\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}=2\Omega \sin \varphi {\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\-{\dot {x}}\end{pmatrix}}-\omega _{0}^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}-(\Omega \sin \varphi )^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$.

Dann liefert der (komplex oder wie auch immer) durchgerechnete Ansatz für die Pendelfrequenz richtig den ursprünglichen Wert $\omega _{0}$ . Ich hoffe, Ihr könnt das bestätigen, damit der Artikel entsprechend berichtigt wird (mit Seitenhieb auf die in Lehrbüchern und zitierten Publikationen verbreiteten Fehler?). - Das Argument "...diese Korrektur wird hier in der Rechnung mit $g$ bzw. $\omega _{0}$ weitgehend berücksichtigt..." steht im Budo (S. 119) übrigens zum schiefen Wurf und freien Fall. Auf S. 123 beim Foucaultschen Pendel wird die Folge dieser Vernachlässigung dann nicht erklärt, sondern wie eine Tatsache dargestellt und wiederum "ruhig vernachlässigt". Die unverständliche Inkonsistenz, dass Hin- und Hertransformieren zwischen Inertial- und rotierendem System die Frequenz ändern sollte, ist damit aus der Welt. - Im März 2018 stand die Zentrifugalkraft übrigens schon mal in den Formeln, war aber auf den Erdmittelpunkt bezogen. --Bleckneuhaus (Diskussion) 18:02, 29. Jul. 2018 (CEST)

Ja, korrekt. Das ist genau das was ich in meinem letzten Beitrag zur QS Diskussion geschrieben hatte, oder nicht?!--Debenben (Diskussion) 18:49, 29. Jul. 2018 (CEST)

Wie finde ich dahin? Alle Archive einzeln zu scannen würde doch sehr mühsam sein.--Bleckneuhaus (Diskussion) 20:25, 29. Jul. 2018 (CEST)

WP:Redaktion_Physik/Qualitätssicherung/Archiv/2018/März#Foucaultsches_Pendel (ist auch im QS-Erledigt-Baustein oben auf der Diskussionsseite verlinkt)--Debenben (Diskussion) 21:09, 29. Jul. 2018 (CEST)

Danke. Mir war doch tatsächlich entfallen, wie oft die Zentrifugalkraft hier schon angesprochen wurde (und wie ich mich gegen ihre Einbeziehung exponiert hatte). Allerdings muss man wohl genauer hingucken, welche Zentrifugalkraft zur Wahl des Bezugssystem passt. Zum rotierenden erdfesten Horizontsystem passt jedenfalls nicht die Zentrifugalkraft mit Bezugspunkt auf der Erdachse (wie damals benutzt), sondern wie hier bezogen auf den Fußpunkt x=y=z=0. Andererseits wird bei diesem Horizontsystem (das ja nur um seine z-Achse rotiert) vernachlässigt, dass seine Translationsbewegung nicht geradlinig ist, sondern eine Kreisbewegung mit der Erddrehung. Jetzt dämmert mir, warum eine exakte(re) Lösung so schwierig ist. --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:28, 29. Jul. 2018 (CEST)

An Bleckneuhaus: Wenn ich die neue Dgl. ins "Inertial"system transformiere, kommt nicht die von mir erwartete einfache Schwingungsdgl. heraus. Das ist erst der Fall, wenn ich das rechte Minuszeichen umpole. Hast Du die neue Dgl. schon mit Kontrolle gelöst? --Modalanalytiker (Diskussion) 00:08, 30. Jul. 2018 (CEST)

Die Bahnkurve
${\vec {r}}=\left({\begin{array}{c}\cos \!\left(\omega _{z}t\right)\,\left(x_{0}\,\cos \!\left(\omega _{0}t\right)+{\frac {\sin \!\left(\omega _{0}t\right)\,\left({\dot {x}}_{0}-\omega _{z}\,y_{0}\right)}{\omega _{0}}}\right)+\sin \!\left(\omega _{z}t\right)\,\left(y_{0}\,\cos \!\left(\omega _{0}t\right)+{\frac {\sin \!\left(\omega _{0}t\right)\,\left({\dot {y}}_{0}+\omega _{z}\,x_{0}\right)}{\omega _{0}}}\right)\\\cos \!\left(\omega _{z}t\right)\,\left(y_{0}\,\cos \!\left(\omega _{0}t\right)+{\frac {\sin \!\left(\omega _{0}t\right)\,\left({\dot {y}}_{0}+\omega _{z}\,x_{0}\right)}{\omega _{0}}}\right)-\sin \!\left(\omega _{z}t\right)\,\left(x_{0}\,\cos \!\left(\omega t\right)+{\frac {\sin \!\left(\omega t\right)\,\left({\dot {x}}_{0}-\omega _{z}\,y_{0}\right)}{\omega _{0}}}\right)\end{array}}\right)$
erfüllt die neue DGl. (mit geändertem Vorzeichen) und stimmt mit der überein, die ich aus der im "Inertial"system beginnenden Analyse berechne. Ich bin rundum zufrieden. ----Modalanalytiker (Diskussion) 09:06, 30. Jul. 2018 (CEST)

Der Punkt geht an Dich, ich hatte die Vorzeichen nur oberflächlich kontrolliert. Jetzt sehe ich, dass das letzte Minus ein Plus sein muss, damit man $\{\omega _{0}^{2}-(\Omega \sin \varphi )^{2}\}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ ausklammern kann, so dass der Summand mit der ersten Ableitung dann richtig $+(\Omega \sin \varphi )^{2}$ zu $\omega ^{2}$ beisteuert. So weit der Aspekt mathematische Konsistenz. Vom physikalischen Ansatz her hätte ich ja auch sofort sehen müssen, dass ich die Zentri-petal-kraft eingesetzt hatte. Schieben wir es mal auf die Hitze. --Bleckneuhaus (Diskussion) 10:37, 30. Jul. 2018 (CEST)

Ich habe nun den Absatz im Artikel entsprechend umgebaut, auch an manchen Stellen vereinfacht. (muss noch Lit. und Anm. prüfen)--Bleckneuhaus (Diskussion) 16:14, 30. Jul. 2018 (CEST)

Ich würde auch den folgenden Abschnitt einfacher darstellen. Erstmal ist die Überschrift falsch, denn "Bewegungsgleichungen" sind das nicht. Zweitens fehlt die einfache Aussage, dass das pendel ganz ungestört mit konstanter Schwingungsebene schwingt, wenn man es in einem mit -\Omega_z rotierendes System betrachet. Die ganz kompliziert aussehende Ort-Zeit-Formel hat also ein leichte Interpretation. Aber erstmal sehen, wie die letzte Änderung ankommt.--Bleckneuhaus (Diskussion) 16:26, 30. Jul. 2018 (CEST)

Bei mir kommt sie gut an. Die Bahnkoordinaten sollten mit $\Omega _{z}$ formuliert werden. Das verbessert die Lesbarkeit. Auch der Einfluss der Anfangsgeschwindigkeit könnte mit aufgenommen werden, ohne dass die Formeln zu umfangreich werden. Am wichtigsten wäre mir die Aussage, dass sich dieselben Bahngleichungen ergeben, wenn man die Kinetik im mit $\Omega _{z}$ rotierenden Sytem durch die einfache Schwingungsdgl. abhandelt und das Ergebnis dann in die erdfesten Koordinaten transformiert. Dieser Ansatz war es schließlich auch, der hier den Umschwung in der Lösung gebracht hat. Ein Grund, das Foucaltpendel im beschleunigten System abzuhandeln, ist eigentlich nur, es als Übungsbeispiel für Pseudokräfte heranzuziehen. Verständlicher und einfacher wird es, wenn man die Analyse nicht im erdfesten, beschleunigten System beginnt. --Modalanalytiker (Diskussion) 18:03, 30. Jul. 2018 (CEST)

Lösung in Kugelkoordinaten mit Lagrange und Erhaltungssätzen

Hallo allesamt, wenn wir schon sportlich immer neue Lösungen präsentieren, kann ich auch mal eine in den Ring werfen, in der keine Koordinatentransformation durchgeführt werden muss. Ich hatte bei Bleckneuhaus auf der Benutzerdisk schon angefangen, aber mir ist auf halber Strecke aufgefallen, man sollte sich vielleicht nicht zu Tode nähern. Also auf ein Neues. Die Lagrangefunktion für ein Objekt in einem rotierenden Bezugssystem ist ${\mathcal {L}}=1/2mv^{2}+m{\vec {v}}\cdot ({\vec {\Omega }}\times {\vec {\rho }})-U+{\mathcal {O}}(\Omega ^{2})$ mit dem wahren Ortsvektor $\rho$, der von der Rotationsachse weg zeigt. Bezeichne $R$ den Erdradius, $l$ die Pendellänge und sei das Koordinatensystem so wie im Artikel. Dann stellen wir uns ein zusätzliches Koordinatensystem im Aufhängepunkt des Pendels vor, das genauso orientiert ist wie das Koordinatensystem im Erdmittelpunkt, aber einfach um $R+l$ auf der z-Achse verschoben. Das bekommt die üblichen Koordinaten $r,\theta ,\phi$. Dann gilt mit

${\begin{aligned}{\vec {v}}&=l{\dot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }+l\sin \theta {\dot {\phi }}{\vec {e}}_{\phi }\\{\vec {\rho }}&=(R+l){\vec {e}}_{z}+l{\vec {e}}_{r}\\&=\left(R\cos \theta +l(1+\cos \theta )\right){\vec {e}}_{r}-(R+l)\sin \theta {\vec {e}}_{\theta }\\{\vec {\Omega }}&=\Omega (\cos \varphi {\vec {e}}_{y}+\sin \varphi {\vec {e}}_{z}\\&=\Omega \left[(\cos \varphi \sin \theta \sin \phi +\sin \varphi \cos \theta ){\vec {e}}_{r}+(\cos \varphi \cos \theta \sin \phi -\sin \varphi \sin \theta ){\vec {e}}_{\theta }+\cos \varphi \cos \phi {\vec {e}}_{\phi }\right]\\U&=mgl\cos \theta \end{aligned}}$

für die Lagrangefunktion

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}&={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right)+m\Omega \left[(R+l)l\cos \varphi (-\cos \theta \cos \phi {\dot {\theta }}+\sin \theta \sin \phi {\dot {\phi }})+l^{2}\cos \varphi (-\cos \phi {\dot {\theta }}+\sin \theta \sin \phi {\dot {\phi }})-l^{2}\sin ^{2}\theta \sin \varphi {\dot {\phi }}\right]-mgl\cos \theta \\&={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right)+m\Omega \left[(R+l)l\cos \varphi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(-\sin \theta \cos \phi )+l^{2}\cos \varphi (-\cos \phi {\dot {\theta }}+\sin \theta \cos \theta \sin \phi {\dot {\phi }})-l^{2}\sin ^{2}\theta \sin \varphi {\dot {\phi }}\right]-mgl\cos \theta \end{aligned}}$

Als nächsten Schritt wird die Kleinwinkelnäherung von $\theta$ um $\pi$ durchgeführt, sodass $\theta \to \theta '=\pi -\theta ,\theta \ll \pi$ gilt. Der Einfachheit halber sei das Hochkomma im Folgenden weggelassen. Was sich jedoch insbesondere ändert ist ${\dot {\theta }}\to -{\dot {\theta }}'$. Dann entwickeln wir in $\theta$ bis zur zweiten Ordnung,

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}&={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\theta ^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)+m\Omega \left[l^{2}\cos \varphi (\cos \phi {\dot {\theta }}-\theta \sin \phi {\dot {\phi }})-l^{2}\theta ^{2}\sin \varphi {\dot {\phi }}\right]+mgl(1-{\tfrac {\theta ^{2}}{2}})+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\dots )+{\mathcal {O}}(\Omega ^{2},\theta ^{3})\\&={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\theta ^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)+m\Omega \left[l^{2}\cos \varphi {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\theta \cos \phi )-l^{2}\theta ^{2}\sin \varphi {\dot {\phi }}\right]+mgl(1-{\tfrac {\theta ^{2}}{2}})+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\dots )+{\mathcal {O}}(\Omega ^{2},\theta ^{3})\end{aligned}}$

Wie nun offensichtlich wurde, ist in der Kleinwinkelnäherung $\phi$ zyklisch, da dessen letzter verbliebener Auftritt in eine absolute Zeitableitung absorbiert werden kann. Demnach existiert die Erhaltungsgröße

${\begin{aligned}{\tilde {L}}&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}=ml^{2}\theta ^{2}{\dot {\phi }}-ml^{2}\theta ^{2}\Omega \sin \varphi \\\Leftrightarrow {\dot {\phi }}&={\frac {\tilde {L}}{ml^{2}\theta ^{2}}}+\Omega \sin \varphi \end{aligned}}$

neben der Erhaltungsgröße

${\begin{aligned}{\mathcal {H}}&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}{\dot {\phi }}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}{\dot {\theta }}-{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\theta ^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-mgl(1-{\tfrac {\theta ^{2}}{2}})\\&={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {{\tilde {L}}^{2}}{ml^{2}}}\theta ^{2}+2{\tilde {L}}\Omega \sin \varphi +2ml^{2}\Omega ^{2}\sin ^{2}\varphi \theta ^{2}-mgl+{\frac {1}{2}}mgl\theta ^{2}\end{aligned}}$

Durch diese beiden Konstanten reduziert sich die Bewegungsgleichungen auf Gleichungen erster Ordnung und entkoppeln. Dann gilt, wobei der Term $2l\Omega ^{2}\sin ^{2}\varphi \ll g/2$ ist und daher wegfällt,

$\theta ^{2}\approx \left({\frac {\mathcal {H}}{mgl}}+1-{\frac {\tilde {L}}{ml^{2}}}{\frac {l}{g}}\Omega \sin \varphi -{\frac {l}{2g}}{\dot {\theta }}^{2}\right)\pm {\sqrt {\left({\frac {\mathcal {H}}{mgl}}+1-{\frac {\tilde {L}}{ml^{2}}}{\frac {l}{g}}\Omega \sin \varphi -{\frac {l}{2g}}{\dot {\theta }}^{2}\right)^{2}-{\frac {{\tilde {L}}^{2}}{m^{2}l^{4}}}{\frac {l}{g}}}}$

Die Frage, welches Vorzeichen die Wurzel erhält, ist nichttrivial. Sie soll das Vorzeichen bekommen, mit dem man a posteriori eine Schwingung erhält. Betrachten wir kurz den Fall eines ebenen Pendels, wenn die Erdrotation ausgeschaltet wurde, dann stünde da

$\theta ^{2}\approx \left({\frac {\mathcal {H}}{mgl}}+1-{\frac {l}{2g}}{\dot {\theta }}^{2}\right)\pm {\sqrt {\left({\frac {\mathcal {H}}{mgl}}+1-{\frac {l}{2g}}{\dot {\theta }}^{2}\right)^{2}}}{\stackrel {!}{=}}\dots -{\frac {l}{g}}{\dot {\theta }}^{2}$

Offensichtlich muss vor die Wurzel also ein $+\operatorname {sgn} (\dots )$.

Daher gilt:

$\theta ^{2}\approx \left({\frac {\mathcal {H}}{mgl}}+1-{\frac {\tilde {L}}{ml^{2}}}{\frac {l}{g}}\Omega \sin \varphi -{\frac {l}{2g}}{\dot {\theta }}^{2}\right)+\operatorname {sgn} \left({\frac {\mathcal {H}}{mgl}}+1-{\frac {\tilde {L}}{ml^{2}}}{\frac {l}{g}}\Omega \sin \varphi -{\frac {l}{2g}}{\dot {\theta }}^{2}\right){\sqrt {\left({\frac {\mathcal {H}}{mgl}}+1-{\frac {\tilde {L}}{ml^{2}}}{\frac {l}{g}}\Omega \sin \varphi -{\frac {l}{2g}}{\dot {\theta }}^{2}\right)^{2}-{\frac {{\tilde {L}}^{2}}{m^{2}l^{4}}}{\frac {l}{g}}}}$

In Anbetracht realistischer Anfangsbedingungen, das Foucaultsche Pendel möge bitte beim maximalen Ausschlag nicht zu sehr eiern, gilt

$0\approx {\dot {\phi }}(\theta _{\text{max}})\Rightarrow {\tilde {L}}\approx -ml^{2}\theta _{\text{max}}^{2}\Omega \sin \varphi \Rightarrow {\frac {{\tilde {L}}^{2}}{m^{2}l^{4}}}{\frac {l}{g}}\approx \Omega ^{2}\sin \varphi ^{2}\theta _{\text{max}}^{4}{\frac {l}{g}}\ll 1$

und somit

$\theta ^{2}\approx 2\left({\frac {\mathcal {H}}{mgl}}+1-{\frac {\tilde {L}}{ml^{2}}}{\frac {l}{g}}\Omega \sin \varphi -{\frac {l}{2g}}{\dot {\theta }}^{2}\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{{\frac {\mathcal {H}}{mgl}}+1-{\frac {\tilde {L}}{ml^{2}}}{\frac {l}{g}}\Omega \sin \varphi -{\frac {l}{2g}}{\dot {\theta }}^{2}}}{\frac {{\tilde {L}}^{2}}{m^{2}l^{4}}}{\frac {l}{g}}$

denn Signumfunktion und Betrag heben sich gegenseitig auf ($x=|x|\operatorname {sgn} (x)=|x|/\operatorname {sgn} (x)$). Eine Abschätzung für ${\mathcal {H}}$ liefert

${\frac {\mathcal {H}}{mgl}}+1\approx {\frac {\theta _{\text{max}}^{2}}{2}}$

denn am Extremum verschwindet ${\dot {\theta }}$ und den Term mit ${\dot {\phi }}$ wurde bereits vorhin mit $0$ abgeschätzt. Bis hierher ist also alles top abgesichert, keine absurden Annahmen wurden gemacht usw. Aber jetzt entwickeln wir den zweiten Term um ${\tfrac {l}{2g}}{\dot {\theta }}^{2}$, wobei dieser Term ganz sicher ${\mathcal {O}}(1)$ ist, während alle anderen Terme in diesem Bruch kleiner sind: Der Term proportional zu ${\tilde {L}}={\mathcal {O}}(\Omega ^{2}l/g)$, der Term ${\mathcal {H}}/(mgl)+1={\mathcal {O}}(\theta _{\text{max}}^{2})$. Wie auch immer, Unterstützung, dass dieser Fehler nicht allzu groß wird, bekommen wir dank des Vorfaktors ${\tilde {L}}^{2}$, der das Ganze im Vergleich zum ersten Term klein hält. Entwickeln und neu ordnen ergibt

$\theta ^{2}\approx 2\left({\frac {\mathcal {H}}{mgl}}+1-{\frac {\tilde {L}}{ml^{2}}}{\frac {l}{g}}\Omega \sin \varphi -{\frac {1}{4}}{\frac {{\tilde {L}}^{2}}{m^{2}l^{4}}}{\frac {l}{g}}{\frac {1}{{\frac {\mathcal {H}}{mgl}}+1-{\frac {\tilde {L}}{ml^{2}}}{\frac {l}{g}}\Omega \sin \varphi }}\right)-\underbrace {{\frac {l}{g}}\left(1-{\frac {1}{4}}{\frac {{\tilde {L}}^{2}}{m^{2}l^{4}}}{\frac {l}{g}}{\frac {1}{\left({\frac {\mathcal {H}}{mgl}}+1-{\frac {\tilde {L}}{ml^{2}}}{\frac {l}{g}}\Omega \sin \varphi \right)^{2}}}\right)} _{=\omega ^{-2}}{\dot {\theta }}^{2}$

Der vordere Term kann nach obiger Argumentation ganz radikal $\theta _{\text{max}}^{2}$ genähert werden. Entsprechendes gilt für den Nenner im zweiten Term. Dann verbleibt noch als Näherung für $\omega$:

$\omega ^{2}\approx {\frac {g}{l}}\left(1-{\frac {1}{4}}{\frac {l}{g}}\theta _{\text{max}}^{4}\Omega ^{2}\sin ^{2}\varphi {\frac {4}{\theta _{\text{max}}^{4}}}\right)^{-1}\approx {\frac {g}{l}}+\Omega ^{2}\sin ^{2}\varphi$

Zu guter letzt will die Differentialgleichung noch gelöst werden:

$\theta ^{2}=\theta _{\text{max}}^{2}-\omega ^{-2}{\dot {\theta }}^{2}\Rightarrow \theta ={\frac {1}{2}}\left(\theta _{\text{max}}^{2}e^{-\mathrm {i} \omega t-c}+e^{\mathrm {i} \omega t+c}\right)$

und mit der Anfangsbedingung ${\dot {\theta }}(t=0)=0$ ergibt sich die Integrationskonstante zu $c=\ln \theta _{\text{max}}$, sodass

$\theta (t)=\theta _{\text{max}}\cos(\omega t)$

wie von einem Pendel erwartet wird. Und zum Schluss brauchen wir noch eine Lösung für

${\begin{aligned}{\dot {\phi }}&\approx \Omega \sin \varphi \left(1-{\frac {\theta _{\text{max}}^{2}}{\theta ^{2}(t)}}\right)=\Omega \sin \varphi \left(1-{\frac {1}{\cos ^{2}(\omega t)}}\right)\\\phi &=\Omega \sin \varphi \ t-{\frac {\Omega \sin \varphi }{\omega }}\tan(\omega t)\end{aligned}}$

Da dreht es sich auch mit der richtigen Frequenz. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 15:50, 30. Jul. 2018 (CEST)

An Blaues-Monsterle: Die beiden letzten Gleichungen Deiner Lösung lassen es bei $\omega t=\pi /2$ richtig krachen. Bitte mehr von sowas! ----Modalanalytiker (Diskussion) 16:23, 30. Jul. 2018 (CEST)

Das ist ein Relikt der Näherung (zu Tode nähern): Entsprechendes passiert bei Nulldurchgängen von $\theta$, die aufgrund der ${\tilde {L}}$-Erhaltung ausgeschlossen sind. Wie dem auch sei, physikalisch ist das vollkommen irrelevant, denn bei $\omega t=\pi /2$ steht das Pendel parallel zur $z$-Achse, sodass $\phi$ nicht wohldefiniert ist. Also: Nicht an dieser Singularität hochziehen, sondern an der zu-Tode-Näherung der Pendelbewegung für $\theta$. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 16:32, 30. Jul. 2018 (CEST)

LitBeitrag : [2] Das Buch von Webster (1904) ist bei Noble (Ref. [5] im Artikel) angegeben. Das ist (S. 323, §105) mit Lagrangescher Methode (I) exakt formuliert und - so scheints mir - mit wenig Näherung durchgerechnet und sieht erstaunlich einfach aus. Bitte seht es Euch doch mal, ich bin ja nicht so der Theoretiker. --Bleckneuhaus (Diskussion) 16:58, 30. Jul. 2018 (CEST)

An Blaues-Monsterle: Danke für die Erläuterung! Ich hatte mich erst mal von den Nullen im Nenner erschrecken lassen.

Da Du tief im Stoff stehst, bitte ich Dich um eine - für Dich vermutlich kleine - Einhilfe. Ich möchte, ohne Auswirkungen auf den Artikel, nochmal den "Inertialweg" untersuchen. Dazu will ich von der Inertialsystem-Bewegungsgleichung der Pendelmasse in Kugelkoordinaten ausgehen. Darin soll als eingeprägte "Kraft" micht gleich die konstante Erdbeschleunigung vorkommen, sondern deren (später zu spezifizierenden) sphärischen Koordinaten $g_{\theta }$ und $g_{\alpha }$. Die Gleichung soll auch für große Winkel stimmen. Anders ausgedrückt: Ich suche nach der allgemeinen Bewegungsgleichung einer Punktmasse in sphärischen Koordinaten mit der Zwangsbedingung Radus = Konstant. Ich bin auf ${\ddot {\theta }}=g_{\theta }/L+\theta {\dot {\alpha }}^{2}$ und ${\ddot {\alpha }}=g_{\alpha }/L/\sin \theta -2{\dot {\theta }}{\dot {\alpha }}/\theta$ gekommen. Stimmt das? In kartesischen Koordinaten wäre es mir auch sehr recht, aber ich vermute, dass das noch verwickelter ist. --Modalanalytiker (Diskussion) 15:37, 4. Aug. 2018 (CEST)

Ich habe mich in der einen oder anderen langweiligen Stunde nochmal weiter mit meinem Lösungweg auseinandergesetzt: Das Problem ist, wie ich bereits oben angemerkt habe, der Schritt, bei dem in ${\dot {\theta }}$ entwickelt wird. Das ist selbstverständlich ausgeschlossen, wenn ${\dot {\theta }}$ groß wird – was passiert, wenn $\theta$ zu klein wird und die Drehimpulserhaltung das Pendel nach außen katapultieren würde. Was schließlich auch der Grund für die Singularität ist, da dort die Näherung zusammenbricht. Was man vermutlich wirklich machen müsste, ist $\theta$ nicht um Null herum zu entwickeln, sondern um $0<\theta _{0}\ll \pi$. Das führt dann dazu, dass in der Gleichung für ${\dot {\phi }}$ keine exakte Erhaltung steht, wenn bis in zweiter Ordnung in $\theta$ entwickelt wird, sondern nur bis auf einen Term – wenn ich mich recht entsinne – $d/dt{\tilde {L}}=1-\cos 2\theta _{0}$ (wobei ich die Zwei auch eine Eins sein kann). Dann müsste man die Inkonsistenz einführen, dass in der Bewegungsgleichung für $\phi$ der Parameter $\theta _{0}=0$ gesetzt wird, um Drehimpulserhaltung zu gewährleisten, wohingegen in der Bewegungsgleichung für $\theta$ der Parameter beibehalten wird und so bestimmt wird, dass das effektive Potential (das Drehimpulserhaltung benötigt) an der Stelle $\theta _{0}$ das Minimum besitzt. Entsprechend wird dann nicht nach $\theta$, sondern nach ${\dot {\theta }}$ aufgelöst und erneut in $\theta$ um $\theta _{0}$ entwickelt – was nun kein Problem mehr ist (${\tilde {L}}^{2}/\theta ^{2}$ um Null zu entwickeln, tut sich hingegen schwer).

Im Übrigen stehe ich nicht tief im Stoff, sondern hab nur den Lagrangeformalismus verinnerlicht. Der ist so mächtig, dass es nicht mehr interessiert, was für ein physikalisches Problem ich genau damit berechnen will. Allgemein in Kugelkoordinaten mit der Zwangsbedingung $r={\text{const}}=l$ gilt in einem Inertialsystem ${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}ml^{2}({\dot {\theta }}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }})-U$ mit dem zu spezifizierenden Potential $U=U(\theta ,\phi )$ nebst der Lagrangegleichung ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}$. Das führt, außer ich habe mich verrechnet, zu

${\begin{aligned}{\ddot {\theta }}&=\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1}{ml^{2}}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}\\{\ddot {\phi }}&=-2\operatorname {cotan} \theta {\dot {\phi }}{\dot {\theta }}-{\frac {1}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial U}{\partial \phi }}\end{aligned}}$

aber ich empfehle dir, dich auf die Suche nach guten Erhaltungssätzen zur Entkopplung zu machen statt vor allem die zweite Gleichung zu verwenden.

@Bleckneuhaus: Alte Quellen sind sehr schwer zu verstehen, mal schuaen, ob ich Zeit bekomme, mich da einzulesen. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 16:16, 4. Aug. 2018 (CEST)

Danke, Blaues-Monsterle! Da geht die Dimensionskontrolle nicht auf. Mein Korrekturversuch und jetzt Spezifizierung, dass sich die Masse im Erdschwerefeld bewegt, beschrieben durch sphärische g-Koordinaten:

${\begin{aligned}{\ddot {\theta }}&=\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}+{\frac {g_{\theta }}{l}}\\{\ddot {\phi }}&=-2\operatorname {cotan} \theta {\dot {\phi }}{\dot {\theta }}+{\frac {g_{\Phi }}{l\sin \theta }}\end{aligned}}$

Das ist mehr geraten als gerechnet. Könnte es trotzdem stimmen? --Modalanalytiker (Diskussion) 21:17, 4. Aug. 2018 (CEST)

Äh sorry, ja. Ich habe es oben korrigiert. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 21:20, 4. Aug. 2018 (CEST)

Die Dgln. habe ich zur Überprüfung des folgenden Ansatzes zur Bahnbestimmung des Pendels gebraucht: Zum Zeitpunkt null (Pendelstart) löse ich eine Kopie des erdfesten Horizontsystems von der Erde ab und arretiere sie sternenfest. Das neue System rotiert damit einmal pro Sterntag um die Polachse. In diesem Inertialsystem ist die Erdbeschleunigung nicht konstant und muss durch Drehtransformation um die Polachse errechnet werden. Die Pendelschwingung wird sphärisch (nicht mehr eben). Ich berechne die Pendelschwingung dementsprechend mit den obigen Dgln. und transformiere die Lösung zurück in das erdfeste System. Bei dieser Vorgehensweise ergibt sich das bekannte Verhalten des Pendes an Aufstellungsorten verschiedener geographischer Breite, ohne dass schon vorab im Modellansatz die Erdrotation auf die zenitale Komponente eingeengt wurde. Ich sehe das als Rechtfertigung für das in allen Lehrbüchern zu findende Vorgehen an. --Modalanalytiker (Diskussion) 12:36, 5. Aug. 2018 (CEST)

Große Vereinfachung in der math. Behandlung

Für den ganzen Rest des Abschnitts "Berechnung der Drehbewegung der Pendelebene" nach Somit lautet die Bewegungsgleichung der Pendelmasse projiziert auf die $(x,y)$-Ebene:

${\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}=-\omega _{0}^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+\Omega _{z}^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+2\Omega _{z}{\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\-{\dot {x}}\end{pmatrix}}$.

habe ich einen radikalen Vorschlag, der mE auch viel von der gehabten Diskussion berücksichtig:

Es könnte so weitergehen:

"Dieselbe Bewegungsgleichung mit linearer Rückstellkraft, Zentrifugalkraft und Corioliskraft gilt für einen 2-dimensionalen harmonischen Oszillator, der mit den Koordinaten eines rotierenden Bezugssystems beschrieben wird, wenn dieses Bezugssystem sich gegenüber einem Inertialsystem mit der Winkelgeschwindigkeit $\Omega _{z}$ dreht. Dieses rotierende System ist das erdfeste xy-System und man sieht, dass wir von da in ein Inertialsystem kommen, indem eine entgegengesetzte Rotation mit $-\Omega _{z}$ angewandt wird. In diesem Inertialsystem schwingt das Foucaultsche Pendel also wie ein gewöhnliches sphärisches Fadenpendel, d.h. entweder linear mit konstanter Schwingungsebene oder in einer festen elliptischen Kurve um den Fußpunkt. Im erdfesten System beobachtet dreht sich die Schwingungsebene bzw. die Lage der Schwingungsellipse also mit der Winkelgeschwindigkeit $-\Omega _{z}$. Damit ist das Foucaultshe Pendel vollständig beschrieben.

In der nördlichen Hemisphäre dreht sich das Foucaultsche Pendel somit im Uhrzeigersinn, in der südlichen Hemisphäre entgegen dem Uhrzeigersinn. Eine vollständige Drehung des focaultschen Pendels braucht die Zeit

$T={\frac {2\pi }{\Omega \,|\sin \varphi |}}$."

Und das wäre dann alles. Anm.:

• Bei südlichen Breiten müsste $\varphi$ negativ gerechnet werden, damit $\Omega _{z}$ die z-Komponente von ${\vec {\Omega }}$ wird.
• In Sphärisches Pendel muss die einfache harmonische Form überhaupt noch richtig eingebaut werden, oder steht der 2-dim. harmonische Oszillator irgendwo anders drin?

--Bleckneuhaus (Diskussion) 12:24, 31. Jul. 2018 (CEST)

Den radikalen Ansatz finde ich ausbauwert. Aber er ist mir noch zu soft (und enthält m. E. einen Zirkelschluss): Die jetzt im Artikel stehende Dgl. mit Scheinbeschleunigungen kann man nur herleiten, wenn man sich vorher entschlossen hat, die mit $\Omega _{z}$ (mit der Orientierung des Sternenumlaufs) drehende Horizontalebene H für die Anordnung als Ebene eines Inertialsystems anzusehen. Jetzt hat man zwei Möglichkeiten. Man stellt die (einfache) Dgl. in H auf und transformiert die (auf einem einfachen Weg zu gewinnende) Lösung nach h. Oder (status quo) man stellt die Dgl. im beschleunigten System h auf und ermittelt deren Lösung unerachtet der dabei auftretenden größeren Schwierigkeiten. Kurzum: Mein Vorschlag ist, inertial zu starten und erst danach die Scheinbeschleunigungen ins Spiel zu bringen. Beide Dgln. sollten im Artikel stehen, die Gleichung der Bahnkurve ebenso. Der Herleitung der Lösung ist entbehrlich. --Modalanalytiker (Diskussion) 13:59, 31. Jul. 2018 (CEST)

Also: ich wäre dafür, den überall verbreiteten Zugang über die Trägheitskräfte in beschleunigten Bezugssystemen nicht zu verlassen (status quo). Ich halte ihn auch für begrifflich leichter mitgehbar, statt sich erst in ein fiktives H-System versetzen lassen zu müssen, auch wenn die dort gültige Lösung natürlich viel einfacher zu erhalten ist. Die begriffliche Schwierigkeit liegt mE darin, warum das H-System als Inertialsystem gelten darf, obwohl es sich doch irgendwie mit der Erde mitdreht (nämlich mit $\Omega _{y}$). Das lässt sich wohl (wie in meinem Text) auch nur mittels der bisherigen Zerlegung in $\Omega _{z,y}$ begründen, wobei die Schwierigkeit dann darin besteht, (1) eine Drehbewegung in Komponenten vorzustellen und (2) die Effekte von $\Omega _{y}$ wegzudiskutieren. Wenn man das einmal geschafft hat, sieht der Rest natürlich wie ein Zirkelschluss aus, das geb ich Dir zu. - Zu Punkt 1 weiß ich nichts Hilfreiches, zum 2. Punkt habe ich Verbesserungen vorzuschlagen: Der Effekt von $\Omega _{y}$ auf die Zentrifugalkraft ist von derselben Größenordnung wie der von $\Omega _{z}$, am Äquator (wo er genau so groß ist wie am Pol der von $\Omega _{z}$andere) würde er wohl die Frequenz in Ost-West-Richtung verringern (wie etwa $\Omega /\omega _{0})^{2}$), also vernachlässigbar. Der Effekt von $\Omega _{y}$ auf die Corioliskraft ist immer vertikal und damit für die ebene Bahn vernachlässigbar. Also erfordert auch die bei Deinem Plan nötige Begründung schon die vorhergehende Behandlung der Trägheitskräfte

Die Bahnkurven: ich halte die Formeln für reichlich überflüssig, nachdem alles ans sphärische Pendel angeschlossen ist. Aber seis drum- Enzyklopädie darf ja ruhig übervollständig sein, wenn alles übersichtlich gegliedert ist. Also würde ich die textliche Argumentation noch etwas weiter ausbauen, und wenn Du dahinter die ganzen Formeln bringen willst, kannst Du ja "meinen" Textteil als Rechtfertigung für die H-System-Argumentation nehmen. --Bleckneuhaus (Diskussion) 16:07, 31. Jul. 2018 (CEST)

"Zugang über die Trägheitskräfte in beschleunigten Bezugssystemen... Ich halte ihn auch für begrifflich leichter mitgehbar, ..." Genau da denke ich das Gegenteil. Mit einem gewissen Schmunzeln erinnere ich daran, dass sich hier Kenner der klassischen Mechanik monatelang abgemüht haben, um schließlich doch noch die Fliehpseudokraft mit in die Dgl. aufzunehmen. Warum das gerade jetzt doch noch gelungen ist, darüber erlaube ich mir kein Urteil. Nur soviel: Hättet ihr im H-System angefangen, wäre die ganze Konfusion ausgeblieben - und das Publikum würde es leichter verstehen. Und noch einmal: Wenn man eine Bewegungsgleichung im beschleunigten System h aufstellt, muss man zuerst wissen, gegen welches Bezugssystem H das System h in welcher Größe beschleunigt ist und ob H für die Anordnung als inertial angesehen werden kann. Das sind alles Vorüberlegungen zur Modellierung, keine Informationen, die man aus einer fertigen Gleichung abliest. --Modalanalytiker (Diskussion) 17:00, 31. Jul. 2018 (CEST)--Modalanalytiker (Diskussion) 17:49, 31. Jul. 2018 (CEST)

An der gehabten Diskussion hab ich mich ja erst beteiligt, nachdem mir aufgegangen war, dass die Formel für $\omega$ wirklich falsch sein muss. Dabei fällt der Fehler ja angesichts der weiteren Vernachlässigungen im Bereich $(\Omega /\omega _{0})^{2}$ gar nicht ins Gewicht. Die Berücksichtigung der xy-Zentrifugalkraft beseitigt in erster Linie diesen analytischen Schönheitsfehler, ist aber näherungstechnisch sonst gar nicht konsistent zu begründen. Vielleicht steht sie deshalb in keinem einzigen Lehrbuch (was mir einmal mehr das flaue Gefühl von TF bereitet). Die Vorüberlegungen, die Du ansprichst, muss man nicht bei der Modellierung von h- vs. H-System machen, sondern schon vorher, wenn die Effekte von $\Omega _{y}$ wegdiskutiert werden müssen. Denn das müsstest Du ja auch erreichen, bevor Du H als inertial annehmen darfst. - Aber immerhin ist diese Debatte nützlich, jetzt kann ich die betreffenden Textstellen etwas besser ausdrücken. --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:12, 31. Jul. 2018 (CEST)

Mit $\Omega _{y}$ bin ich auch noch nicht fertig. --Modalanalytiker (Diskussion) 21:55, 31. Jul. 2018 (CEST)

---

Fundstelle für ultimative Belege: Die Mechanik der einfachsten physikalischen Apparate und Versuchsanordnungen. Von PH. FURTWÄNGLER (Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen Bd. IV.2 1904). Darin zusammenfassend:

181) Siehe z. B. Routh, § 40. Man hat auch eine grosse Anzahl von elementaren Beweisen für das oben genannte Resultat [i.e. die simple Rotation mit $\Omega _{z}$] zu geben versucht, die meistens von speziellen unbewiesenen Hypothesen für die Bewegung der Schwingungsebene ausgehen. Da diese nur angenälıert richtig sind, so kann eine unrichtige Benutzung derselben auch zu falschen Resultaten führen (z. B. bei F. Schaub, Astr.Nachr. 35 (1852), p. 353; F. Meísel, Zeitschr. Math. Phys. 48 (1903), p. 465 u. a.).Bei fast allen elementaren Beweisen handelt es sich nur um die Ermittelung der Komponente einer gleichförmigen Drehung für eine bestimmte Richtung.Man vgl. noch S. Günther, Zeitschr. f. math. u. naturwiss. Unterricht 6 (1875),p 444 und 7 (1876), p. 187; O. Röthíg, Ztschr. Math. Phys. S24 (1879), p. 153.

Und aus der darin zitierten ausführlichen "Theorie der Pendelbewegung mit Rücksicht auf die Gestalt und Bewegung der Erde" von P. A. Hansen, Director der Sternwarte in Gotha (1853):

Aus den Gliedern der Gleichungen, welche von der Kugelgestalt der Erde überhaupt, von der Abplattung derselben und der Centrifugalkraft herrühren, hat sich keine merkliche Wirkung darstellen lassen wollen. Zwar geben die letzteren Glieder, vermöge welcher die Bewegung der Schwingungsebene von dem anfänglichen Azimuth derselben abhängig ist, aber ihr Betrag ist so klein, dass er wohl schwerlich wird bemerkt werden können. Auf die Schwingungsdauer des Pendels üben alle neu in Betracht gezogenen Umstände höchst unbedeutenden Einflufs aus.

Ebenso lernt man, dass die Bewegungsgleichungen mit Einschluss von Gliedern mit $\Omega ^{2}$ schon 1838 von Poisson angegeben wurden. Danach würde ich es jetzt aufgeben, nach einer strengeren Begründung für das einfache Bild zu suchen und daran gehen, aus dem hier schon gesagten einen gut lesbaren plausiblen Gedankengang zu formulieren. --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:22, 1. Aug. 2018 (CEST)

Eine vollständige Alternative zum Absatz "Berechnung..."

Berechnung der Drehung des Pendels

Für die Berechnung verwendetes Koordinatensystem.

Bahnkurve eines Foucault'schen Pendels bei 1000-fach schnellerer Erdrotation

Details

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Pendellänge: 50 m, Ort: $\varphi =50\,^{\circ }$ nördliche Breite, Erdrotation 1000 mal schneller als real. Beim realem Wert erschiene die Kurve als gefüllte Kreisfläche, weil sich die Schwingungslinien überdeckten.
Anfangsausschlag: $y_{0}=1$ m, Anfangsgeschwindigkeit ${\dot {x}}_{0}=\Omega _{z}y_{0}$. Dieser Wert lässt das Pendel den Ursprung passieren.
$\Omega$: Betrag der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation
$\Omega _{z}=\Omega \sin \varphi$: Normalkoordinate des Winkelgeschwindigkeitsvektors der Erdrotation am Pendelort
Zeitspanne der Darstellung: Viertelperiode der Schwingebenendrehung
Die Kurve bildet die Lösung der Differenzialgleichungen
${\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}=2\Omega _{z}{\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\-{\dot {x}}\end{pmatrix}}-\omega _{0}^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ab.
$\omega _{0}^{2}=g/L$:quadrierte Eigenkreisfrequenz des Pendels
$g$: Betrag der Erdbeschleunigung

Man betrachte ein mathematisches Pendel an einem Ort auf der Erdoberfläche mit der geographischen Breite $\varphi$. Ein erdfestes Koordinatensystem $x,\,y,\,z$ ist so ausgerichtet, dass am Fußpunkt des Pendels ${\hat {e}}_{x}$ in Richtung Osten, ${\hat {e}}_{y}$ in Richtung Norden und ${\hat {e}}_{z}$ zum Zenit zeigt. Die Länge $l$ dieses Pendels soll viel größer als seine Amplitude $A$ sein, sodass in guter Näherung für den Pendelkörper $z=0$ gilt. Damit bleibt der Pendelkörper in der x-y-Ebene und erfährt in harmonischer Näherung die rücktreibende Kraft

${\vec {F}}_{r}=-m\omega _{0}^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$.

Würde die x-y-Ebene ein Inertialsystem darstellen, dann würde das Pendel darin mit einer Frequenz von $\textstyle \omega _{0}={\sqrt {g/l}}$ (mit der Erdbeschleunigung $g$) ebene harmonische Schwingungen ausführen. Je nach Anfangsbedingung wäre dies eine lineare Schwingung durch den Fußpunkt oder eine Ellipse oder ein Kreis um den Fußpunkt herum, wobei die Bahnkurve sich auf der Schwingungsebene nicht verändert.

Das erdfeste Koordinatensystem ist aber kein Inertialsystem; die Erde rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\Omega }}$. Die Drehachse geht durch die Pole ($\varphi =+90^{\circ }$ an beiden Polen), der Betrag der Winkelgeschwindigkeit ist $\Omega =360^{\circ }/{\text{Sterntag}}=2\pi /{(86164\,\mathrm {s} )=7{,}3\cdot 10^{-5}s^{-1}}$. Um die Bewegung im mitrotierenden xyz-Bezugssystem zu berechnen, muss man daher zu der linearen Rückstellkraft noch die Zentrifugalkraft

${\vec {F}}_{Zf}=m\,{\vec {\Omega }}\times ({\vec {R}}\times {\vec {\Omega }})$

und die Corioliskraft

${\vec {F}}_{Cor}=2m\,{\vec {\Omega }}\times {\vec {v}}$

addieren. (${\vec {R}}$ ist der Ortsvektor des Punktes (x,y,z), wenn der Ursprung im Erdmittelpunkt liegt, ${\vec {v}}$ ist seine Geschwindigkeit im erdfesten xyz-Bezugssystem).

Als einzige praktisch beobachtbare Änderung resultiert daraus, dass die Orientierung der Bahnkurve in der Schwingungsebene sich mit der Winkelgeschwindigkeit $\Omega _{z}=\Omega \sin \varphi$ um die vertikale z-Achse dreht.

Um das verständlich zu machen, beachtet man, dass Winkelgeschwindigkeit ein Vektor ist und daher in Komponenten zerlegt werden kann:

${\vec {\Omega }}=\Omega _{z}\,{\hat {e}}_{z}+\Omega _{y}\,{\hat {e}}_{y}={\begin{pmatrix}0\\\Omega _{y}\\\Omega _{z}\end{pmatrix}}$

mit $\Omega _{z}=\pm \Omega \sin \varphi$ für Nord- bzw. Südhalbkugel und $\Omega _{y}=\Omega \cos \varphi$.

Für die Corioliskraft, die linear in ${\vec {\Omega }}$ ist, kann man die Wirkung beider Komponenten getrennt betrachten. Die Corioliskraft aufgrund der z-Komponente von ${\vec {\Omega }}$ wirkt parallel zur Schwingungsebene und verursacht die beobachtete Drehung der Orientierung der Bahnkurve. Die Corioliskraft aufgrund der y-Komponente hat nur vernachlässigbare Wirkung, denn sie zeigt vertikal aus der Schwingungsebene heraus, ist aber von der Größenordnung her mindestens um einen Faktor $\textstyle \Omega /\omega _{0}\cdot A/l\approx 10^{-6}$ kleiner als die ebenfalls vertikale Schwerkraft. (Dies ergibt sich aus der maximalen Geschwindigkeit $v_{max}=A\omega _{0}$ für die Verhältnisse bei existierenden Foucaultpendeln.)

Eine genaue Berechnung für die Zentrifugalkraft ist außerordentlich verwickelt, denn hier geht ${\vec {\Omega }}$ quadratisch in die Formel für die Kraft ein. Daher ist die Zentrifugalkraft im Vergleich mit der rücktreibenden Kraft aber auch mindestens um den Faktor $\textstyle \Omega ^{2}/\omega _{0}^{2}\approx 10^{-8}$ schwächer. Ihr Einfluss auf die Schwingungsdauer und auf die Bahnkurve ist daher vernachlässigbar. Nachdem dies im 19. Jahrhundert einmal durch genaue Berechnung bestätigt wurde, wird die Zentrifugalkraft in diesem Zusammenhang durchweg vernachlässigt.

---

Liebe Mitautoren, das ist das, was für mich als Ergebnis der Diskussion am Anfang des Kapitels Berechnung stehen sollte (und nun endlich auch keine Privattheorie mehr). Welche genaueren Formeln und Berechnungen noch folgen, würde ich Euch gerne überlassen. --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:08, 1. Aug. 2018 (CEST)

Das geht so. Ich vermute, dass ein paar Nutzer sich freuen würden, wenn sie die hübschen Rosetten plotten könnten. Ich würde deshalb die Bahngleichungen später nachtragen. --Modalanalytiker (Diskussion) 15:01, 4. Aug. 2018 (CEST)

"Das geht so" nehme ich mal als Zustimmung. Ich habe noch ein paar Argumente verfeinert und dann den ganzen Rest des Abschnitts angepasst und hoffentlich keinen Vorzeichenfehler eingebaut. Bei der Ersetzung $\Omega _{z}\leftarrow \Omega \sin \varphi$ in den Bahngleichungen fiel mir aus, dass im letzten Summanden beidemal $\Omega \varphi$ stand. War das etwa richtig? Außerdem hat mich das $\approx$ bei der Drehung pro Schwingungsperiode gestört, sieht so aus, als ob die Drehung mit $\Omega _{z}$ doch nur eine Näherung ist. Mir fehlt die Formel nicht. - Bitte checken! --Bleckneuhaus (Diskussion) 16:49, 4. Aug. 2018 (CEST)

"Im konkreten Fall rührt sie daher, die oben angegebene Zentrifugalkraft $\textstyle {\vec {F}}_{Zf}=\dots$ nicht mit in die Bewegungsgleichung aufgenommen wurde. " – dafür hätte ich gerne einen Beweis oder Beleg. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 19:20, 4. Aug. 2018 (CEST)

Dafür brauchst Du nur die Artikelversion vom 30.7. anzusehen. Da ist das so gerechnet. Auch steht es jetzt weiter oben, dass die F_Zf die Rückstellkraft um den Faktor $1-\Omega _{z}^{2}/\omega _{0}^{2}$ verringert. Es kann aber gerne deutlicher ausformuliert werden - nur zu! --Bleckneuhaus (Diskussion) 20:40, 4. Aug. 2018 (CEST)

M. E. sollte die Zentrifugalkraft in der Dgl. erscheinen und die Bahnkurve sollte dann dazu passen, d. h. kein $\omega$ ohne Index mehr enthalten. Um den Vorwurf der TF zu entgehen, kann dann der Hinweis kommen, dass die Literatur die ZF meistens weglässt, wobei die errechneten Zahlenwerte sich praktisch nicht unterscheiden. --Modalanalytiker (Diskussion) 21:31, 4. Aug. 2018 (CEST)

Ich würde ungern mit Formeln aufwarten, die so in keinem Buch stehen. Deshalb habe ich mich von der Darstellung vom 30.7. wieder verabschiedet. --Bleckneuhaus (Diskussion) 23:30, 4. Aug. 2018 (CEST)

Bezeichnungsunklarheit

Was unterscheidet im Abschnitt Berechnung der Bahngleichungen $\omega '$ von $\omega$? --Modalanalytiker (Diskussion) 20:04, 7. Aug. 2018 (CEST)

Ähh, überall, wo mal \omega stand, sollte \omega_0 hin. Weil die Änderung zu \omega' ja meinem Text nach ignoriert wird. Hab im Moment keine Zeit, das zu flicken. --Bleckneuhaus (Diskussion) 20:41, 7. Aug. 2018 (CEST)

Rechnung im sternenfesten System (Scilab-Skript)

Auf Anregung von Bleckneuhaus habe ich die Vektordgl. ${\ddot {\vec {r}}}={\vec {g}}-{\vec {e}}_{r}({\vec {g}}\cdot {\vec {e}}_{r})-{\vec {e}}_{r}{\frac {{\dot {\vec {r}}}^{2}}{L}}$ benutzt, um eine numerische Lösung im sternenfesten Inertialsystem (I) mit der Lösung im Quasi-Inertialsystem (Q) zu vergleichen. In I ist die Schwerebeschleunigung nicht konstant, sondern muss dorthin transformiert werden. Dieser Schritt entfällt bei Ansatz des mit dem Faktor $\sin \varphi$ langsamer rotierenden Q-Systems. Mit den Daten für ein 50 m langes Pendel, aufgestellt auf 30 ° nördlicher Breite, sind die Bahnkurven gleich (nach der Strenge einer numerischen Rechnung). Wenn man den Sternentag auf z. B. 150 s verkürzt, macht sich die von der Q-Rechnung nicht erfasste Fliehkraft der Erdrotation durch Verschiebung und Verzerrung der I-Rosette bemerkbar.

Simulation im sternenfesten System (Klappbox)

---

// Foucault-Pendel 24.09.2018, SKRIPTANFANG // Berechnung als Kugelpendel nach Newtonscher Mechanik // 1. im horizontalen quasi-inertialen System Q und 2. im (echten) sternenfesten Inertialsystem I //Aufhängepunkt im Ursprung //Stabile Ruhelage bei x=y=0, z=-L (oder in sph. Koordinaten Radius r=L, Polwinkel theta=pi,Azimut phi beliebig)

//Bezeichnung der verwendeten Koordinatensysteme //h: erdfestes Horizontsystem. Achsen: x nach Osten, y nach Norden, z zum Zenit (vertikal) //I: Sternenfestes Inertialsystem. Bei t=0 identisch mit h. Mit der Winkelgeschw. O der Erdrotation im UZS um die Polachse rotierend. //Q: Quasi-Inertialsystem. Bei t=0 identisch mit h. Mit Oz=O*sin(Beta) im UZS um die z-Achse von h rotierend.

//TEIL 1 integriert die DGl. im quasi-inertialen System Q. //TEIL 2 integriert die DGl. im Inertialsystem I. //Die numerischen Lösungen werden jeweils durch Drehtransformation auf das erdfeste System h umgerechnet. //O=2*pi/Sterntag. //Beta: geogr. Breite des Aufstellungsorts //In den Systemen I und Q Großbuchstaben, im System h Kleinbuchstaben! //SI-Einheiten //Caveat: Bitte 0 (null)) und O (ooh!) unterscheiden!

clc(),lines(0),clear,mode(0),format(7)//"Präambel" d2r=%pi/180;//degree to radian

//########## [ EINGABE ########################

//Parameter der Simulation

   L=50//Pendellänge
   Beta=30*d2r//geogr. Breite am Ort des Pendels
   tSim=6*3600. //Simulationszeitspanne
 //Anfangswerte im erdfesten h-System (in Kugelkoordinaten, damit verträglich mit Kugelpendel)
   th0=180*d2r//179*d2r //Polwinkel
   phi0=0*d2r //Azimut
   dth0=1*d2r //Polwinkelgeschw.
   dphi0=0*d2r //Azimutgeschw.

//########## ] EINGABE ########################

 TO=86164//Sterntag
 g0=9.81;//Betrag der Schwerebeschleunigung
 o0=sqrt(g0/L)//Pendeleigenkreisfrequenz bei kleinem Ausschlag     
 T0=2*%pi/o0 //Pendeleigenperiode bei kleinem Ausschlag       
 O=2*%pi/TO//Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation
 Oz=O*sin(Beta)//z-Koordinate (im h-System) von O am Ort des Pendels
 g=[0;0;-g0];//Schwerebeschl. im h-System
 deltat=T0/100//Zeitschritt der Ausgabe
 t=0:deltat:tSim;  
 //Umrechnung der Anfangswerte der Position im h-System in kart. Koordinaten
   zAnf(1:3)=L*[sin(th0)*cos(phi0);sin(th0)*sin(phi0) ;cos(th0)];//Anfangsposition in h
 //Umrechnung der Anfangswerte der Geschwindigkeit im h-System in kart. Koordinaten   
   eth0=[cos(th0)*cos(phi0);cos(th0)*sin(phi0);-sin(th0)]//3 x 1  Einheitsvektor
   ephi0=[-sin(phi0);cos(phi0);0]//3 x 1   Einheitsvektor
   zAnf(4:6)=dth0*eth0+dphi0*ephi0//in "h"//3 x 1   Anfangsgeschw. in h              
   

function w=RotAxMat(v,ax,alpha)//Drehung oder Drehtransformation eines Vektors

 //w: Der um eine feste Achse ax um den Winkel alpha gedrehte Vektor v  
 //   oder 
 //w: enthält die Koordinaten von v in einem um die Achse ax mit -alpha gedrehten System
 //v und w: Matrizen 3 x n
 //ax: Achsvektor 3 x 1
 //alpha: rechtsschraubender Drehwinkel/rad(!),  Matrix 1 x n 
 ax=ax/norm(ax)//Einheitsvektor der Achse
 ax1=ax(1);ax2=ax(2);ax3=ax(3);
 w=[..
   (ax1^2*(1-cos(alpha))+cos(alpha)).*v(1,:)+  (ax1*ax2*(1- cos(alpha))-ax3*sin(alpha)).*v(2,:)+  (ax1*ax3*(1-cos(alpha))+ax2*sin(alpha)).*v(3,:); 
   (ax2*ax1*(1-cos(alpha))+ax3*sin(alpha)).*v(1,:)+  (ax2^2*(1-cos(alpha))+cos(alpha)).*v(2,:)+   (ax2*ax3*(1-cos(alpha))-ax1*sin(alpha)).*v(3,:); 
   (ax3*ax1*(1-cos(alpha))-ax2*sin(alpha)).*v(1,:)+  (ax3*ax2*(1-cos(alpha))+ax1*sin(alpha)).*v(2,:)+  (ax3^2*(1- cos(alpha))+cos(alpha)).*v(3,:)]  

endfunction

function dZ=xyzPendel(t,Z)//Zustandsraummodell der Newtonschen Bewegungsgleichung des sphärischen Pendels

 //Gültig im Inertialsystem  
 //Zustand Z=[X;Y;Z;  dX;dY;dZ]  (6 x 1),   
 dZ(1:3)=Z(4:6)//Geschwindigkeit
 if 1
   L=norm(Z(1:3))//Pendellänge
 end  
 er=Z(1:3)/L//rad. Einheitsvektor des Massenorts, 3 x 1  
 g=RotAxMat(g,[ax1;ax2;ax3],omg*t)//nach I oder Q transformierte Erdbeschl. 3 x 1. Im Q-Fall bleibt g konstant 
 dZ(4:6)=g - er*(er'*g) - er*(Z(4:6)'*Z(4:6))/L  //Beschleunigung im I- oder Q-System
        // - radiale Komponente von g (entspr. Zwangskraft der Pendelstange)
                     // - Zentrifugalbeschleunigung (entspr. Zwangskraft der Pendelstange)

endfunction

function ZAnf=zAnf2ZAnf(omg, ax1,ax2,ax3, zAnf )//transformiert Anfangswerte von h nach I oder Q

 //omg: Winkelgeschw.
 //ax1,ax2,ax3: Koordinaten des Einheitsvektors der Drehachse
 //zAnf: Anfangswerte in h
 x0=zAnf(1),y0=zAnf(2),z0=zAnf(3),dx0=zAnf(4),dy0=zAnf(5),dz0=zAnf(6)
 ZAnf=[x0;
       y0;
       z0; 
       dx0 - ax3*omg*y0 + ax2*omg*z0;
       dy0 + ax3*omg*x0 - ax1*omg*z0;
       dz0 - ax2*omg*x0 + ax1*omg*y0]

endfunction

xdel(); if 1 //TEIL 1: Rechnung im horizontalen Quasi-Inertialsystem Q

 omg=+Oz//Winkelgeschw. 
 ax1=0; ax2=0; ax3=1;   //Koordinaten des Einheitsvektors der Drehachse  
 ZAnf=zAnf2ZAnf(omg,ax1,ax2,ax3,  zAnf)//Anfangswerte von h nach q transformieren   
 Z=ode(ZAnf, t(1), t, xyzPendel);// Schwingung im Q-System
 z=RotAxMat(Z(1:3,:),[ax1;ax2;ax3],-omg*t);//Schwingung im erdfesten h-System
   if 1 then 
   param3d(z(1,:),z(2,:),z(3,:))//im h-System
 else
   param3d(Z(1,:),Z(2,:),Z(3,:))//im I-System
 end        

end

if 1 //TEIL 2: Rechnung im sternenfesten Inertialsystem I

 omg=+O //Drehung um Polachse
 ax1=0; ax2=cos(Beta); ax3=sin(Beta);//Koordinaten des Einheitsvektors der Drehachse 
 ZAnf=zAnf2ZAnf(omg,ax1,ax2,ax3,  zAnf)//Anfangswerte von h nach I transformieren    
 Z=ode(ZAnf, t(1), t, xyzPendel);//Schwingung im I-System
 z=RotAxMat(Z(1:3,:),[ax1;ax2;ax3],-omg*t);//Schwingung im erdfesten h-System
 if 1 then 
   param3d(z(1,:),z(2,:),z(3,:))//im h-System
 else
   param3d(Z(1,:),Z(2,:),Z(3,:))//im I-System
 end
   ce=gce();  ce.foreground=5;//5: Linienfarbe rot

end

 param3d(zAnf(1),zAnf(2),zAnf(3))//Sternchen für Anfang
   ce=gce();ce.mark_mode="on"; ce.mark_style=10; ce.mark_size_unit = "point";
   ce.mark_size = 10; ce.mark_foreground = 5;
   ca=gca();  
 ca.rotation_angles = [0,270];   
   ca.isoview="on"; 
   xtitle('Vergrößerungswerkzeug zur Linientrennung mehrfach benutzen')

//Foucault-Pendel 24.09.2018, SKRIPTENDE

--Modalanalytiker (Diskussion) 16:06, 23. Sep. 2018 (CEST) --Modalanalytiker (Diskussion) 15:48, 24. Sep. 2018 (CEST)

Könnte man dieses Script benutzen, um eine animierte Grafik zu erstellen? Das im Moment im Artikel eingebundene GIF hat zwar einige vorbildliche Aspekte. Es hat aber auch Schwächen, wie etwa den frühen Abbruch und eine etwas kurz ausgefallene Periode. ---<)kmk(>- (Diskussion) 16:47, 23. Sep. 2018 (CEST)

Die im Skript verwendete Bewegungsgleichung und das Lösungsverfahren könnte man verwenden. --Modalanalytiker (Diskussion) 15:48, 24. Sep. 2018 (CEST)

Wenn ich mal an die Steinzeit und meinen damaligen Spaß am Programmieren anknüpfe, stelle ich mir das so vor: Das Skript mit steigender Endzeit wiederholt laufen lassen und alle Bilder so abspeichern, dass jemand jüngeres ein Video draus machen kann. Für den Artikel würde ich mir das wünschen, auch für Sphärisches Pendel. --Bleckneuhaus (Diskussion) 16:32, 24. Sep. 2018 (CEST)

Ich hätte Blender vorgeschlagen und dort vom Script erzeugte *.bvh-Dateien eingelesen. Das ist ein Dateiformat für Bewegungspfade und Orientierungen von Objekten. Es ist gedacht für Motion Capture, wo ein menschlicher Schauspieler gefilmt wird und die Bewegungen dann im Computer auf eine Comic-Figur übertragen werden. Ich dränge mich nicht danach, die Blender-Arbeit zu machen. Das ist ein echtes Software-Monster -- kann alles, ist aber seeeehr gewöhnungsbedürftig in der Dressur.---<)kmk(>- (Diskussion) 22:08, 24. Sep. 2018 (CEST)

Bevor jemand die Bewegungsgleichung nach Newtonscher Mechanik verfilmt, würde ich lieber weiterentwickeln, was man im Text beider Artikel daraus macht. Ich erinnere daran, dass mein erster Ansatz, Foucault im quasi-inertialen Horizontsystem zu behandeln, auf wenig Begeisterung stieß. Vielleicht ist das jetzt nicht mehr so. Ich werde mich aber zunächst zum Artikel über das sphärische Pendel äußern. Da ist noch Raum für Verbesserungen. --Modalanalytiker (Diskussion) 18:35, 24. Sep. 2018 (CEST)

Differenzialgleichung und Bahnkurve bitte überprüfen

Die im Artikel im Abschnitt Berechnung der Bahngleichungen angegebene Bahnkurve

${\begin{aligned}x(t)&=x_{0}\cos(\omega _{0}t)\cos(\Omega _{z}t)+x_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega t)\sin(\Omega _{z}t)+y_{0}\cos(\omega _{0}t)\sin(\Omega _{z}t)-y_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega t)\cos(\Omega _{z}t)\\y(t)&=-x_{0}\cos(\omega _{0}t)\sin(\Omega _{z}t)+x_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\cos(\Omega _{z}t)+y_{0}\cos(\omega _{0}t)\cos(\Omega _{z}t)+y_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\sin(\Omega _{z}t)\end{aligned}}$

erfüllt die zu Grunde gelegte Differenzialgleichung

${\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}=2\Omega _{z}{\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\-{\dot {x}}\end{pmatrix}}-\omega _{0}^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

nicht. Das sollte behoben werden. --Modalanalytiker (Diskussion) 14:30, 19. Okt. 2018 (CEST)

Falls Du den Fehler schon identifiziert hast und er sich leicht beheben lässt, könntest Du das zur Freude aller gleich selbst machen. SOnst müsste wohl @Blaues-Monsterle: ran, der das am 9.3.18 eingefügt hat. ;-)) --Bleckneuhaus (Diskussion) 14:49, 19. Okt. 2018 (CEST)

Vorzeichenfehler: die obere Zeile müsste $(+,+,-,+)$ sein, die untere $(-,+,+,+)$. Und alle $\omega _{0}$ natürlich $\omega$. Bitte gegenchecken. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 17:22, 19. Okt. 2018 (CEST)

Mit diesen Änderungen geht die Dgl. auch nicht auf, wobei es ein $\omega$ ohne Index nur in früheren Versionen des Artikels gab.
Bahn und Dgl. passen zusammen, wenn in der Bahn lediglich $\omega$ durch $\omega _{0}$ ersetzt wird und in der Dgl. $\omega _{0}^{2}$ durch $\omega _{0}^{2}-\Omega _{z}^{2}$. Diese Korrektur der Dgl. ist im rotierenden System nachvollziehbar. Zu genau derselben Dgl. gelangt man man auch, wenn man die einfachere Dgl., die im (Quasi-)-Inertialsystem gilt, in das erdfeste, rotierende System transformiert. --Modalanalytiker (Diskussion) 19:13, 19. Okt. 2018 (CEST)

Dann muss ich halt doch vortanzen und ihr dürft korrigieren:

$u=x+iy,v=x-iy\Rightarrow u=e^{-i\Omega t}\left(A\sin \omega t+B\cos \omega t\right),v=e^{i\Omega t}\left(C\sin \omega t+B\cos \omega t\right)$ mit $\omega ={\sqrt {\Omega ^{2}+\omega _{0}^{2}}}$

Bedingung $u(0)=u_{0}=x_{0}+iy_{0},{\dot {u}}(0)=0$ und mit $v$ analog ergibt

$u=(x_{0}-{\frac {1}{i}}y_{0})e^{-i\Omega t}\left(\cos \omega t-{\frac {\Omega }{i\omega }}\sin \omega t\right),v=(x_{0}+{\frac {1}{i}}y_{0})e^{i\Omega t}\left(\cos \omega t+{\frac {\Omega }{i\omega }}\sin \omega t\right)$

also

$x={\frac {u+v}{2}}=x_{0}\left(\cos \omega t{\frac {e^{-i\Omega t}+e^{i\Omega t}}{2}}+{\frac {\Omega }{\omega }}\sin \omega t{\frac {e^{i\Omega t}-e^{-i\Omega t}}{2i}}\right)+y_{0}\left(\cos \omega t{\frac {e^{i\Omega t}-e^{-i\Omega t}}{2i}}-{\frac {\Omega }{\omega }}\sin \omega t{\frac {e^{i\Omega t}+e^{-i\Omega t}}{2}}\right)$

womit wir bei dem sind, was Stand jetzt im Artikel ist. Also doch kein Vorzeichenfehler. Was ist jetzt das Problem? --Blaues-Monsterle (Diskussion) 18:21, 20. Okt. 2018 (CEST)

Die Lösung für $x$ oben steht nicht im Artikel, erfüllt aber, falls du mit $\Omega$ die Größe $\Omega _{z}$ meinst, die Dgl., die im Artikel steht. Trotzdem ist das Problem nicht gelöst. M. E. sollte die Dgl. um den Fliehkraftterm ergänzt werden. Erst dann liefert ihre Transformation in das nicht erdfeste System, das in der Herleitung wie ein Inertialsystem angesehen wird, die einfache scheinkraftfreie Dgl., die man dort erwart. --Modalanalytiker (Diskussion) 00:34, 21. Okt. 2018 (CEST)

Also jetzt verstehe ich überhaupt nichts mehr. Hab ich das falsche Datum auf dem Kalender? Kommt mir grad wie ein Aprilscherz vor. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 01:18, 21. Okt. 2018 (CEST)

Ich möchte übrigens noch einmal anmerken, dass die ganze Sache im Artikel nach wie vor eine falsche Zentrifugalkraft angibt. Die - nach meiner Rechnung - relevanten Anteile für die Zentrifugalkraft sind nämlich $x\Omega ^{2}{\vec {e}}_{x}+y\Omega _{z}^{2}{\vec {e}}_{y}$, wobei ich in dieser Zeile Wert auf den - oben vernachlässigten - Index lege. Wenn man aber auf sowas Wert legt, dann wird die Lösung des Gleichungssystems ... unschön. Daher ist mein Gegenvorschlag die Radikalkur: Wir sagen, alles, was in den Bewegungsgleichungen ${\mathcal {O}}(\Omega ^{2}/\omega ^{2})$ ist, fliegt. Dann ist die ganze Debatte beendet. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 01:53, 21. Okt. 2018 (CEST)

1. Kein Aprilscherz!
2. Zum physikalischen Modell: Wir sind uns einig, dass das gegenüber dem erdfesten System um dessen Vertikalachse mit ${\vec {\Omega }}_{z}$ rotierende System "H" nur an den Polen ein exaktes Inertialsystem ist. Alle Autoren sind sich einig, dass H für die Analyse des Foucaultpendels wie ein Inertialsystem behandelt werden kann. Das exakte Vorgehen, nämlich ${\vec {\Omega }}$ (ohne Index) zu berücksichtigen, verbaut eine analytische Behandlung. In numerischen Simulationen kann man das machen und sieht, dass die Beschränkung auf $\Omega _{z}$ berechtigt ist. Wenn auch wir uns hierin einig sind, liegt es nahe, in die Dgl. im erdfesten System alle Scheinkräfte des Modells - also auch die Fliehkraft - aufzunehmen. Die analytische Lösung wird dadurch nicht schwieriger.
3. Mit der Lösung, die du jetzt im Artikel angibst, bin ich einverstanden. Sie hat nur den Makel, dass sie die Dgl. im Artikel nicht erfüllt. Sie erfüllt die Dgl. mit Fliehkraft, wie sie z. B. Bleckneuhaus (Diskussion) 18:02, 29. Jul. 2018 (CEST) angegeben hat. Die sollte m. E. mit entsprechenden (einacher werdenden) Erläuterungen auch im Artikel stehen. --Modalanalytiker (Diskussion) 11:36, 21. Okt. 2018 (CEST)

Also ich kann Eurer Debatte gerade nicht so genau folgen. Zur Sicherheit sage ich noch mal, was mir vorhin aufgefallen ist: Trägheitskräfte braucht man genau dann, wenn man in einem beschleunigten Bezugssystem Newtonsche Mechanik anwenden will, um eine Bahnkurve zu berechnen, aber nicht zum Umrechnen von schon gefundenen Bahnkurven in andere Koordinaten. --Bleckneuhaus (Diskussion) 16:53, 21. Okt. 2018 (CEST)

Da kann ich dir nur zustimmen. Meine Umrechnungen in andere Koordinaten, die ich hier angesprochen habe, beziehen sich entweder auf Bahnkurven vom "Quasi"-Inertialsystem in das erdfeste System oder auf die Differenzialgleichungen zwischen den genannten Systemen. Im letzten Fall tauchen in der Ziel-Dgl. - je nach Umrechnungsrichtung -Scheinkräfte auf oder sie verschwinden. --Modalanalytiker (Diskussion) 12:46, 22. Okt. 2018 (CEST)

Da bist du nicht der einzige, der nicht folgen kann ... --Blaues-Monsterle (Diskussion) 16:59, 21. Okt. 2018 (CEST)

Also nochmal in leichter Sprache: Schaut euch den Artikel in der Fassung vom 21. Okt. 2018, 11:30 an. Dort findet ihr eine Bewegungsgleichung des Pendels. Dort findet ihr auch eine Bahnkurve. Die soll Lösung der Bewegungsgleichung sein. Das ist sie aber nicht. Das passt nicht zusammen. Vielleicht stört euch das garnicht. Mich stört es. --Modalanalytiker (Diskussion) 17:52, 21. Okt. 2018 (CEST)

Ja, weil du die Bahnkurve erstellt und hinzugefügt hast, die nicht den Anfangsbedingungen entsprach, die bereits vorher in der Lösung der DGL angegeben war. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 18:05, 21. Okt. 2018 (CEST)

An Blaues-Monsterle: Ich habe den Artikel insgesamt 5 Mal editiert (am 7./10./12./16./26.7. und am 26.8.2018). Wo soll ich da "die Bahnkurve erstellt und hinzugefügt" haben? Du musst ja zur Stützung deiner Behauptung die Version gefunden haben. Bitte nenne das Datum, damit deine Aussage nachvollziehbar wird oder korrigiere dich. Um dir Mühe zu ersparen: Die (richtige) Bahnkurve hat Bleckneuhaus am 4. Aug. 2018, 16:43 eingefügt. Nochmal: Diese Bahnkurve, die bis heute im Artikel steht, ist richtig; die Dgl. muss geändert werden, so dass sie zur Bahnkurve passt. Ich würde gern sachlich weiterarbeiten. --Modalanalytiker (Diskussion) 20:31, 21. Okt. 2018 (CEST)

https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Foucaultsches_Pendel&diff=prev&oldid=179082271. Langsam glaub ich, es ist wirklich April. Oder ich muss ins Sanatorium. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 20:43, 21. Okt. 2018 (CEST)

Dass ich für das Bild die bis heute im Artikel stehende Dgl. verwendet habe (zu der Zeit wusste ich (genauer: wussten wir) es nicht besser), hat sehr wenig mit der von mir aufgeworfenen Frage zu tun. Die Dgl. habe ich der numerischen Lösung zu Grunde gelegt. Hätte ich die Dgl. mit Zentrifugalbeschleunigung verwendet, sähe das Bild glücklicherweise nicht anders aus. Dein Hinweis lenkt von der Hauptsache ab. Die besteht in zwei Fragen:

1. Soll im Artikel weiter eine Bahnkurvenformel stehen, welche die angegebene Dgl. nicht erfüllt.
2. Wenn nein: Soll der Widerspruch durch Ändern der Dgl. oder der Bahnkurvengleichung beseitigt werden?

Dazu würde ich gern deine Meinung kennenlernen. --Modalanalytiker (Diskussion) 22:23, 21. Okt. 2018 (CEST)

Aber die Gleichung für die Bahnkurve erfüllt doch die DGL (bis zur Ordnung $\Omega ^{2}/\omega ^{2}$! Beweis steht oben und wurde mir von dir am 21. Oktober um 00:34 als Antwort auf meine Ausführungen bestätigt... --Blaues-Monsterle (Diskussion) 23:22, 21. Okt. 2018 (CEST)

Diese Bestätigung wiederhole ich gern. Da wir uns hier offensichtlich nicht aufs halbe Wort verstehen, fasse ich mein Anliegen hoffentlich unmissverständlich zusammen: Die z. Z. im Artikel stehende Bahnkurve

${\begin{aligned}x(t)&=x_{0}\cos(\omega _{0}t)\cos(\Omega _{z}t)+x_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\sin(\Omega _{z}t)+y_{0}\cos(\omega _{0}t)\sin(\Omega _{z}t)-y_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\cos(\Omega _{z}t)\\y(t)&=-x_{0}\cos(\omega _{0}t)\sin(\Omega _{z}t)+x_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\cos(\Omega _{z}t)+y_{0}\cos(\omega _{0}t)\cos(\Omega _{z}t)+y_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\sin(\Omega _{z}t)\end{aligned}}$

erfüllt nicht die z. Z. im Artikel weiter oben angegebene Dgl.

${\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}=2\Omega _{z}{\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\-{\dot {x}}\end{pmatrix}}-\omega _{0}^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$.

Zur Abhilfe sollte sie durch

${\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}=2\Omega _{z}{\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\-{\dot {x}}\end{pmatrix}}-\left(\omega _{0}^{2}-\Omega _{z}^{2}\right){\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

ersetzt werden. Die Fliehkraftbeschleunigung steht dann gleichberechtigt neben der Coriolisbeschleunigung. Diese Form richtet sich nach dem üblichen Vorgehen beim Aufstellen von Bewegungsgleichungen in rotierenden Systemen. --Modalanalytiker (Diskussion) 17:10, 22. Okt. 2018 (CEST)

Gut, dann noch einmal lang:

${\begin{aligned}{\vec {a}}_{ZF}={\vec {\Omega }}\times (({\vec {R}}+{\vec {x}})\times {\vec {\Omega }})&=\left[\Omega _{y}{\vec {e}}_{y}+\Omega _{z}{\vec {e}}_{z}\right]\times \left(\left[x{\vec {e}}_{x}+y{\vec {e}}_{y}+(R+z){\vec {e}}_{z}\right]\times \left[\Omega _{y}{\vec {e}}_{y}+\Omega _{z}{\vec {e}}_{z}\right]\right)\\&=\left[\Omega _{y}{\vec {e}}_{y}+\Omega _{z}{\vec {e}}_{z}\right]\times \left[x\Omega _{y}{\vec {e}}_{z}-x\Omega _{z}{\vec {e}}_{y}+y\Omega _{z}{\vec {e}}_{x}-(R+z)\Omega _{y}{\vec {e}}_{x}\right]\\&=x\Omega _{y}^{2}{\vec {e}}_{x}+x\Omega _{z}^{2}{\vec {e}}_{x}+y\Omega _{z}^{2}{\vec {e}}_{y}+\dots {\vec {e}}_{z}+{\text{konst. }}{\vec {e}}_{y}\end{aligned}}$

Wo ist bei dir der Term $x\Omega _{y}^{2}{\vec {e}}_{x}$ abgeblieben? Er ist sicherlich nicht gegenüber $x\Omega _{z}^{2}{\vec {e}}_{x}$ vernachlässigbar, denn das hängt vom Ort auf der Erde ab, an dem du dich befindest. Wenn du den Term mitnimmst, wird die DGL zu lösen auf jeden Fall sehr unschön. Also ist es üblich, alle Terme der Ordnung $\Omega ^{2}/\omega ^{2}$ unter den Tisch fallen zu lassen. Und zwar in der Differentialgleichung und in deren Lösung. Und wenn am Ende des Tages die Lösung bis auf die Ordnung $\Omega ^{2}/\omega ^{2}$ mit der DGL übereinstimmt, dann war die Lösung korrekt. vgl. zum Beispiel auch: IR-Regularisierung, wo darauf geachtet wird, dass die Variation in der Renormierungsskala $\mu _{R}$ nur in nächsthöherer Ordnung der Störungstheorie in $\alpha$ durchschlägt. Und darum ist die Differentialgleichung in dem Artikel richtig (nämlich alles $\Omega ^{2}/\omega ^{2}$ unter den Tisch fallen lassen) und die Lösung der Differentialgleichung in dem Artikel auch richtig (nämlich alles $\Omega ^{2}/\omega ^{2}$ unter den Tisch fallen lassen). Und die nicht zur Lösung DGL passende Bahnkurve hat überhaupt nichts damit zu tun, denn das ist nur eine Frage der Anfangsbedingungen. Hingegen ist die von dir angegebene Differentialgleichung eindeutig falsch, da sie rein willkürlich Terme vernachlässigt. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 18:08, 22. Okt. 2018 (CEST)

An Benutzer:Blaues-Monsterle Du schreibst: "Wo ist bei dir der Term $x\Omega _{y}^{2}{\vec {e}}_{x}$ abgeblieben? Er ist sicherlich nicht gegenüber $x\Omega _{z}^{2}{\vec {e}}_{x}$ vernachlässigbar ..." Der Betrag des Terms ist am Äquator tatsächlich unendlich Mal höher. Er wirkt sich aber auf die Pendeldrehung nicht aus und gehört nicht in das Modell. Noch eine Anmerkung zu "...die von dir angegebene Differentialgleichung eindeutig falsch ...": Im Kontext von Näherungen ist die Klassierung in "richtig" oder "falsch" unpassend. Es geht darum, ob die Näherung einen tolerierbaren Fehler nach sich zieht. Ich würde diese Disskussion jetzt gern beeden. Ich überlege mir noch einmal die Auswirkungen meines Ansatzes (die Fliehkraft in der Bewegungsgleichung nicht zu vernachlässigen) auf den kompletten Artikelabschnitt Herleitung der Drehbewegung der Pendelebene, und wenn ich den Ansatz dann immer noch für angemessen halte, melde ich mich wieder. Da man Vernachlässigungen, die man nicht trifft, auch nicht erklären muss, hoffe ich, dass der Abschnitt kürzer wird. --Modalanalytiker (Diskussion) 11:15, 23. Okt. 2018 (CEST)

Nenenene, die Debatte hatte ich letztens mit einer Riege Experimentalphysiker ... die haben mir ernsthaft einen Lagrangian ${\mathcal {L}}=g\phi W_{\mu \nu }^{+}W^{-\mu \nu }W_{\mu \nu }^{+}W^{-\mu \nu }+g\phi W_{\mu \nu }^{+}W^{-\mu \nu }Z_{\mu \nu }Z^{\mu \nu }$ (plus entsprechende Terme mit dualem Feldstärketensor) hingepinselt und Analysen dazu gezeigt. Und auf die Anmerkung, das sei ganz sicher nicht eichinvariant und daher für die Tonne, geantwortet: "Aber in unserem Modell haben wir die anderen Kopplungen einfach gleich Null gesetzt". Autsch. Man darf nicht einfach willkürlich Terme Null setzen, nur weil die nicht in das Modell passen! --Blaues-Monsterle (Diskussion) 11:35, 23. Okt. 2018 (CEST)

Herleitung der Drehbewegung der Pendelebene (Entwurf mit Fliehkraft)

Für die Berechnung verwendetes Koordinatensystem

Bahnkurve eines Foucault’schen Pendels bei 1000-fach schnellerer Erdrotation

Details

---

Pendellänge: 50 m, Ort: $\varphi =50^{\circ }$ nördliche Breite, Erdrotation 1000-mal schneller als real. Beim realem Wert erschiene die Kurve als gefüllte Kreisfläche, weil sich die Schwingungslinien überdeckten.
Anfangsausschlag: $y_{0}=1{\text{ m}}$, Anfangsgeschwindigkeit ${\dot {x}}_{0}=\Omega _{z}y_{0}$. Dieser Wert lässt das Pendel den Ursprung passieren.
$\Omega$: Betrag der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation
$\Omega _{z}=\Omega \sin(\varphi )$: Normalkoordinate des Winkelgeschwindigkeitsvektors der Erdrotation am Pendelort
Zeitspanne der Darstellung: Viertelperiode der Schwingebenendrehung
Die Kurve bildet die Lösung der Differenzialgleichungen
${\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}=2\Omega _{z}{\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\-{\dot {x}}\end{pmatrix}}-\omega _{0}^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ ab.
$\omega _{0}^{2}=g/L$: quadrierte Eigenkreisfrequenz des Pendels
$g$: Betrag der Erdbeschleunigung

Man betrachte ein mathematisches Pendel an einem Ort auf der Nordhalbkugel mit der geographischen Breite $\varphi$. Ein erdfestes Koordinatensystem $x,\,y,\,z$ ist so ausgerichtet, dass am Fußpunkt des Pendels ${\hat {e}}_{x}$ in Richtung Osten, ${\hat {e}}_{y}$ in Richtung Norden und ${\hat {e}}_{z}$ zum Zenit zeigt. Die Länge $l$ dieses Pendels soll viel größer als seine Amplitude $A$ sein, sodass in guter Näherung für den Pendelkörper $z=0$ gilt. Damit bleibt der Pendelkörper in der x-y-Ebene und erfährt (durch die Erdbeschleunigung $g$) in harmonischer Näherung die rücktreibende Kraft

${\vec {F}}_{r}=-m\,{\frac {g}{l}}{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$.

Würde die x-y-Ebene ein Inertialsystem darstellen, dann würde das Pendel darin mit einer Frequenz von $\textstyle \omega _{0}={\sqrt {g/l}}$ ebene harmonische Schwingungen ausführen (siehe den betreffenden Abschnitt in Sphärisches Pendel). Je nach Anfangsbedingung wäre dies eine lineare Schwingung durch den Fußpunkt oder eine Ellipse oder ein Kreis um den Fußpunkt herum, wobei die Bahnkurve sich auf der x-y-Ebene nicht verändert.

Das erdfeste xyz-Koordinatensystem ist aber kein Inertialsystem; die Erde rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\Omega }}$. (Die Effekte aufgrund der Anziehung durch Mond und Sonne können völlig vernachlässigt werden.) Die Drehachse geht durch die Pole ($\varphi =+90^{\circ }$ an beiden Polen), der Betrag der Winkelgeschwindigkeit ist $\Omega =360^{\circ }/{\text{Siderischer Tag}}=2\pi /{(86164\,\mathrm {s} )\approx 7{,}3\cdot 10^{-5}\,\mathrm {s} ^{-1}}$. Um die Bewegung im mitrotierenden xyz-Bezugssystem zu berechnen, muss man daher zu der linearen Rückstellkraft noch die Zentrifugalkraft

${\vec {F}}_{\text{Zf}}=m\,{\vec {\Omega }}\times ({\vec {R}}\times {\vec {\Omega }})$

und die Corioliskraft

${\vec {F}}_{\text{Cor}}=2m\,{\vec {\Omega }}\times {\vec {v}}$

addieren. (${\vec {R}}$ ist der Ortsvektor des Punktes (x, y, z), wenn der Ursprung im Erdmittelpunkt liegt, ${\vec {v}}$ ist seine Geschwindigkeit im erdfesten xyz-Bezugssystem).

Als einzige praktisch beobachtbare Änderung resultiert daraus, dass die ganze Bahnkurve sich mit der Winkelgeschwindigkeit $-\Omega \sin(\varphi )$ in der Schwingungsebene um die vertikale z-Achse dreht. In einem Bezugssystem, das sich mit derselben Winkelgeschwindigkeit gegenüber dem erdfesten System dreht, behält das Pendel die Orientierung seiner Bahnkurve bei, d. h., es verhält sich wie in einem Inertialsystem. Daher kann man das erdfeste Koordinatensystem am gegebenen Ort in guter Näherung als ein Bezugssystem behandeln, das mit der Winkelgeschwindigkeit $+\Omega \sin(\varphi )$ um seine vertikale Achse rotiert. Das ist für ein Pendel, dessen Ruhelage der Nordpol ist, am leichtesten einzusehen. Dort dreht sich die Erde einfach (gegen den Uhrzeigersinn) unter dem Pendel weg, was ohne Einfluss auf die Pendelbewegung bleibt. (Am Südpol gilt das gleiche, hier allerdings mit Drehung im Uhrzeigersinn, denn man muss aufgrund der Nutzung der geographischen Breite als Variable für $\varphi$ auf der Südhalbkugel in allen Formeln $-\varphi$ einsetzen.)

Um das verständlich zu machen, beachtet man, dass Winkelgeschwindigkeit ein Vektor ist und daher in Komponenten zerlegt werden kann (siehe Abbildung):

${\vec {\Omega }}=\Omega _{z}\,{\hat {e}}_{z}+\Omega _{y}\,{\hat {e}}_{y}={\begin{pmatrix}0\\\Omega _{y}\\\Omega _{z}\end{pmatrix}}$

mit $\Omega _{z}=\Omega \sin(\varphi )$ und $\Omega _{y}=\Omega \cos(\varphi )$.

Das mathematische Modell des Pendels beruht zusammenfassend auf folgenden Annahmen und Näherungen:

1. Die Schwingungsausschläge sind klein gegenüber der Pendellänge
2. Der Ursprung des erdfesten Koordinatensystems $x,y,z$ bewegt sich beschleunigungsfrei.
3. Das erdfeste System wird - anders als z. B. bei der Bewegung einer Schaukel über wenige Schwingungen - nicht als Inertialsystem angesehen.
4. Als Näherung für ein Inertialsystem reicht hier ein Koordinatensystem aus, das zur Zeit $t=0$ identisch mit dem erdfesten System ist und in dem sich letzteres mit der Winkelgeschwindigkeit $\Omega _{z}\,{\hat {e}}_{z}$ um die gemeinsame $z$-Achse dreht.

Mit diesen Vorqaussetzungen kann die Bewegungsgleichung, wie bei rotierenden Bezugssystemen üblich, aufgestellt werden: Die Pseudokräfte Zentrifugal- und Corioliskraft erscheinen dann zusätzlich zur eingeprägten Schwerkraft.

Berechnung der Bahngleichungen

Unter den dargestellten Voraussetzungen lautet die Bewegungsgleichung der Pendelmasse in der $x$-$y$-Ebene:

${\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}=2\Omega _{z}{\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\-{\dot {x}}\end{pmatrix}}-(\omega _{0}^{2}-\Omega _{z}^{2}){\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

Das sind zwei gekoppelte gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Sie werden zwecks einfacher Lösung zu einer einzigen Differentialgleichung der komplexen Variable

$u(t)=x(t)+\mathrm {i} \,y(t)$

zusammengefasst:

${\ddot {u}}=-2\mathrm {i} \Omega _{z}{\dot {u}}-(\omega _{0}^{2}-\Omega _{z}^{2})u$

Dies hat die Form einer harmonischen Schwingungsgleichung mit imaginärem Dämpfungsglied und lässt sich mit den von dort bekannten Methoden direkt lösen. Hier ist es jedoch instruktiv, aufgrund der oben dargestellten Überlegungen die Bewegung in einem Koordinatensystem auszudrücken, das sich gegenüber dem $x$-$y$-System mit der Winkelgeschwindigkeit $-\Omega _{z}$ dreht. Das geschieht durch die Variablentransformation

$u(t)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \Omega _{z}t}U(t)$,

denn Real- und Imaginärteil von $U(t)=X(t)+\mathrm {i} \,Y(t)$ bilden ein $X$-$Y$-Koordinatensystem, das gegenüber dem $x$-$y$-Koordinatensystem mit der Winkelgeschwindigkeit $-\Omega _{z}$ in der Schwingungsebene rotiert. Einsetzen ergibt für $U(t)$ tatsächlich die einfachere Differentialgleichung

${\ddot {U}}=-\omega _{0}^{2}U$.

Das ist die Gleichung für eine stationäre ungedämpfte harmonische Schwingung in einem Inertialsystem. Demnach beschreiben die Koordinaten $X(t),\,Y(t)$ die Bewegung, die ein sphärisches Pendel im Inertialsystem ausführen würde (siehe Harmonischer Oszillator#Zweidimensionaler Oszillator).

Für einen anderen kurzen Lösungsweg in Polarkoordinaten siehe z. B. Noble.

In der Praxis wird die Anfangsbedingung im erdfesten xy-System häufig so festgelegt, dass das Pendel mit Anfangsgeschwindigkeit null an einer Startposition $x_{0},y_{0}$ losgelassen wird. Dann lauten die Lösungen für die Bewegung, wieder ausgedrückt in den erdfesten x-y-Koordinaten:

${\begin{aligned}x(t)&=x_{0}\cos(\omega _{0}t)\cos(\Omega _{z}t)+x_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\sin(\Omega _{z}t)+y_{0}\cos(\omega _{0}t)\sin(\Omega _{z}t)-y_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\cos(\Omega _{z}t)\\y(t)&=-x_{0}\cos(\omega _{0}t)\sin(\Omega _{z}t)+x_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\cos(\Omega _{z}t)+y_{0}\cos(\omega _{0}t)\cos(\Omega _{z}t)+y_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\sin(\Omega _{z}t)\end{aligned}}$

Um diese Bewegung des Pendelkörpers darzustellen, bietet sich die Schreibweise in ebenen Polarkoordinaten an. Es gilt dann für den Abstand $\rho$ von der Ruhelage

$\rho ^{2}(t)=x^{2}(t)+y^{2}(t)=\rho _{0}^{2}\left(\cos ^{2}(\omega _{0}t)+{\frac {\Omega _{z}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\sin ^{2}(\omega _{0}t)\right)$.

Darin werden zwei Eigenschaften deutlich: Für $\Omega _{z}=0$ ergibt sich die ursprüngliche harmonische Schwingung im Inertialsystem. Das trifft am Äquator zu. Zweitens zeigt sich, dass das von einem Anfangspunkt im Abstand $\rho _{0}$ losgelassene Foucaultsche Pendel eine Rosettenbahn durchführt. Die Bahn führt nicht exakt durch den Ursprung, nähert sich ihm aber bis auf den Bruchteil ${\tfrac {\rho _{\text{min}}}{\rho _{0}}}={\tfrac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}$ an. Dass in diesem Fall das Pendel nicht genau durch die Ruhelage geht, führt aufgrund der Anharmonizität des sphärischen Pendels zu einer Verfälschung der Rotation der Schwingungsebene um einen Bruchteil ${\tfrac {\Delta \Omega }{\Omega _{z}}}=-{\tfrac {3}{8}}{\tfrac {\rho _{0}^{2}}{l^{2}}}$, weshalb zu große Schwingungsweiten vermieden werden müssen.

Die Drehung der Apsidenlinie der Bahn pro Schwingung kann durch

$\Delta \phi =\arctan \left({\frac {y\left({\tfrac {2\pi }{\omega _{0}}}\right)}{x\left({\tfrac {2\pi }{\omega _{0}}}\right)}}\right)-\arctan \left({\frac {y_{0}}{x_{0}}}\right)=-2\pi {\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}$

berechnet werden. In der nördlichen Hemisphäre dreht sich das Focaultsche Pendel (eigentlich seine näherungsweise Schwingungsebene; von oberhalb betrachtet) somit im Uhrzeigersinn, in der südlichen Hemisphäre entgegen dem Uhrzeigersinn. Eine vollständige Drehung des Foucaultschen Pendels braucht die Zeit

$T={\frac {2\pi }{\Omega \,\sin(\varphi )}}$.

In Deutschland dreht sich die Schwingungsebene pro Stunde um etwa $11{,}5^{\circ }$.

Ende Entwurf

An dem Entwurf hat mich besonders gefreut, dass der im Artikel schon stehende Satz "Das ist die Gleichung für eine stationäre ungedämpfte harmonische Schwingung in einem Inertialsystem." jetzt zutrifft. --Modalanalytiker (Diskussion) 13:01, 23. Okt. 2018 (CEST)

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Abgelehnt. Nicht physikalisch. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 13:05, 23. Okt. 2018 (CEST)

Was genau ist der Ablehnungsgrund? Dass es außer der Zentifugalkraft weitere Kräfte ~(\Omega/\omega_0)^2 gibt, die überhaupt nicht (mehr) angesprochen werden? Würde dafür ein Hinweis auf die uralte Arbeit von Hansen, auf die Furtwängler 1904 sich stützt, nicht ausreichen?

Wie ich bereits vor ewigen Zeiten angesprochen habe, ist bereits die Annahme, wir hätten ein Bezugssystem, das um ${\vec {e}}_{z}$ rotiert, physikalisch nicht haltbar. Wie du selbst schreibst, ist diese Variablentransformation $u=e^{-i\Omega _{z}t}U$ nur ein mathematischer Trick. Entsprechend kann man nicht von Beginn an die Zentrifugalbeschleunigung als $a_{ZF}=\Omega _{z}{\vec {e}}_{z}\times \dots$ auffassen, sondern muss alle Terme mitnehmen. Wie ich weiter oben erläutere, existiert dann auch ein Term $\Omega _{y}^{2}{\vec {e}}_{x}$, der in der neuen Fassung einfach so gleich Null gesetzt wird. Einfach so Terme, die neben anderen Termen der gleichen Größenordnung stehen, gleich null zu setzen, nur weil sie nicht in das Modell passen, entbehrt jeder physikalischen Grundlage (vgl. oben meine Analogie zum ${\mathcal {O}}(9)$-Lagrangian). Insbesondere, wenn mann alle Terme der Ordnung $\Omega ^{2}/\omega ^{2}$ mitnimmt, also auch den $\Omega _{y}^{2}$-Term, ist die Lösung erheblich komplizierter. Nur diesen Term nicht mitzunehmen, ist Willkür. Daher sind entweder alle $\Omega ^{2}/\omega ^{2}$-Terme zu vernachlässigen oder keiner. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 23:22, 23. Okt. 2018 (CEST)

Strikt genommen, hast Du recht. Aber erinnern wir uns doch, dass die ganze Debatte um Zentrifugalkraft davon ausging, dass jemand danach fragte und keiner von uns diese strikt richtige Antwort parat hatte (weil seit Menschengedenken vernachlässigt). Dafür brauchte es dann etliche Zeit und hkB Diskstoff, und als Frucht davon sollte man die Information in den Artikel einbauen, die der damaligen Frage vorbeugt. Dann darf da auch gerne stehen, dass man zum gleichen Ergebnis kommt, wenn man mit der Freiheit eines Physikmenschen die physikalisch nicht haltbare Annahme von Modalanalytiker zugrunde legt. (Nota: richtige Schlüsse beweisen niemals die gemachten Annahmen.) --Bleckneuhaus (Diskussion) 23:39, 23. Okt. 2018 (CEST)

Entschuldigung, da gehe ich wirklich in Fundamentalopposition. Hinschreiben, dass man die Fliehkraft und alle anderen Terme einer gegebenen Ordnung vernachlässigt, ist in Ordnung. Alle Terme hinschreiben und danach schreiben, welche Terme man mit welchem guten Grund vernachlässigt, ist auch in Ordnung. Nur die Hälfte hinschreiben und so tun, als wäre das die ganze Wahrheit, nicht. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 23:59, 23. Okt. 2018 (CEST)

Eure letzten vier Beiträge nehme ich als Grundlage für eine Überarbeitung des Entwurfs. Die kritisierte Lückenhaftigkeit der Herleitung sollte sich beheben lassen, ohne das Ziel zu verfehlen, dass am Ende Bahnkurve und Dgl. zusammenpassen. .Modalanalytiker (Diskussion) 13:04, 24. Okt. 2018 (CEST)

Da bin ich gespannt, wie Du Die von BlauMonst formulierte Bedingung erfüllen wirst, ohne die seitenlangen Berechnungen aus dem 19. Jhdt. wiederzugeben (oben irgendwo zitiert: Furtwängler 1904, Kamerlingh-Onnes ~1880, Hansen ~1855). Ich wäre ja zufrieden, den einheitlichen Stand heutiger Lehrbücher wiederzugeben, angereichert mit Bemerkungen zum Beruhigen bei solchen Fragen wie der nach der Zentrifugalkraft. --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:01, 24. Okt. 2018 (CEST)

Herleitung der Drehbewegung der Pendelebene (Entwurf 2 mit Fliehkraft)

Für die Berechnung verwendetes Koordinatensystem

Bahnkurve eines Foucault’schen Pendels bei 1000-fach schnellerer Erdrotation

Details

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Pendellänge: 50 m, Ort: $\varphi =50^{\circ }$ nördliche Breite, Erdrotation 1000-mal schneller als real. Beim realem Wert erschiene die Kurve als gefüllte Kreisfläche, weil sich die Schwingungslinien überdeckten.
Anfangsausschlag: $y_{0}=1{\text{ m}}$, Anfangsgeschwindigkeit ${\dot {x}}_{0}=\Omega _{z}y_{0}$. Dieser Wert lässt das Pendel den Ursprung passieren.
$\Omega$: Betrag der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation
$\Omega _{z}=\Omega \sin \varphi$: Vertikalkoordinate des Winkelgeschwindigkeitsvektors der Erdrotation am Pendelort
Zeitspanne der Darstellung: Viertelperiode der Schwing­ebenen­drehung

Man betrachte ein mathematisches Pendel an einem Ort auf der Nordhalbkugel mit der geographischen Breite $\varphi$. Ein erdfestes Koordinatensystem $x,\,y,\,z$ ist so ausgerichtet, dass am Fußpunkt des Pendels ${\hat {e}}_{x}$ in Richtung Osten, ${\hat {e}}_{y}$ in Richtung Norden und ${\hat {e}}_{z}$ zum Zenit zeigt (Horizontsystem "h"). Die Länge $l$ dieses Pendels soll viel größer als seine Amplitude $A$ sein, sodass in guter Näherung für den Pendelkörper $z=0$ gilt. Damit bleibt der Pendelkörper in der $x$-$y$-Ebene und erfährt (durch die Erdbeschleunigung $g$) in harmonischer Näherung die rücktreibende Kraft

${\vec {F}}_{r}=-m\,{\frac {g}{l}}{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}$.

Würde die $x$-$y$-Ebene ein Inertialsystem darstellen, dann würde das Pendel darin ebene harmonische Schwingungen mit der Kreisrequenz $\textstyle \omega _{0}={\sqrt {g/l}}$ ausführen (siehe den betreffenden Abschnitt in Sphärisches Pendel). Je nach Anfangsbedingung wäre dies eine lineare Schwingung durch den Fußpunkt oder eine Ellipse oder ein Kreis um den Fußpunkt herum, wobei die Bahnkurve sich auf der $x$-$y$-Ebene nicht verändert.

Das erdfeste $x$-$y$-$z$-Koordinatensystem "h" ist aber kein Inertialsystem; die Erde rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\Omega }}$. (Die Effekte aufgrund der Anziehung durch Mond und Sonne können völlig vernachlässigt werden.) Die Drehachse geht durch die Pole ($\varphi =+90^{\circ }$ am Nordpol, $\varphi =-90^{\circ }$ am Südpol), der Betrag der Winkelgeschwindigkeit ist $\Omega =360^{\circ }/{\text{Siderischer Tag}}=2\pi /{(86164\,\mathrm {s} )\approx 7{,}3\cdot 10^{-5}\,\mathrm {s} ^{-1}}$. Um die Bewegung im mitrotierenden Bezugssystem "h" zu berechnen, muss man daher zu der linearen Rückstellkraft noch die Zentrifugalkraft

${\vec {F}}_{\text{Zf}}=m\,{\vec {\Omega }}\times ({\vec {R}}\times {\vec {\Omega }})$

und die Corioliskraft

${\vec {F}}_{\text{Cor}}=2m\,{\vec {v}}\times {\vec {\Omega }}$

addieren. (${\vec {R}}$ ist der Ortsvektor des Punktes ($x$, $y$, $z$), wenn der Ursprung im Erdmittelpunkt liegt, ${\vec {v}}$ ist seine Geschwindigkeit im erdfesten $x$-$y$-$z$-Bezugssystem "h").

Als einzige praktisch beobachtbare Änderung resultiert daraus, dass die ganze Bahnkurve sich mit der Winkelgeschwindigkeit $-\Omega \sin \varphi$ in der Schwingungsebene um die vertikale $z$-Achse dreht. In einem Bezugssystem, das sich mit derselben Winkelgeschwindigkeit gegenüber dem erdfesten System dreht, behält das Pendel die Orientierung seiner Bahnkurve bei, d. h., es verhält sich wie in einem Inertialsystem. Daher kann man das erdfeste Koordinatensystem "h" am gegebenen Ort in guter Näherung als ein Bezugssystem behandeln, das mit der Winkelgeschwindigkeit $+\Omega \sin \varphi$ um seine vertikale Achse rotiert. Das ist für ein Pendel, dessen Ruhelage der Nordpol ist, am leichtesten einzusehen. Dort dreht sich die Erde einfach (gegen den Uhrzeigersinn) unter dem Pendel weg, was ohne Einfluss auf die Pendelbewegung bleibt. (Am Südpol gilt das gleiche, hier allerdings wegen $\sin \varphi =-1$ im Uhrzeigersinn.

Um das verständlich zu machen, beachtet man, dass die Winkelgeschwindigkeit ein Vektor ist und daher in Komponenten zerlegt werden kann (siehe Abbildung):

${\vec {\Omega }}=\Omega _{z}\,{\hat {e}}_{z}+\Omega _{y}\,{\hat {e}}_{y}={\begin{pmatrix}0\\\Omega _{y}\\\Omega _{z}\end{pmatrix}}$

mit $\Omega _{z}=\Omega \sin \varphi$ und $\Omega _{y}=\Omega \cos \varphi$.

Bei Aufteilung des Ortsvektors ${\vec {R}}={\vec {R}}_{0}+{\vec {r}}$ in den Schrittvektor ${\vec {R}}_{0}$ vom Erdmittelpunkt zum Ursprung des ortsfesten $x$-$y$-$z$-Systems "h" und den Orsvektor ${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ erhält man für die Zentrifugalbeschleunigung ${\vec {a}}_{\mathrm {Zf} }={\vec {\Omega }}\times {\vec {R}}_{0}\times {\vec {\Omega }}+{\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}\times {\vec {\Omega }}$. Der erste Summand ist ein konstanter Vektor senkrecht zur Erdachse in der Größenordnung von Promille der Schwerebeschleunigung, der ihr zugeschlagen werden kann. Danach lässt sich die Zentrifugalbeschleunigung durch ${\vec {a}}_{\mathrm {Zf} }={\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}\times {\vec {\Omega }}={\begin{pmatrix}\Omega _{z}^{2}x+\Omega _{y}^{2}x\\\Omega _{z}^{2}y-\Omega _{y}\Omega _{z}z\\-\Omega _{y}\Omega _{z}y+\Omega _{y}^{2}z\end{pmatrix}}$ nähern. Die Coriolisbeschleunigung ergibt sich zu ${\vec {a}}_{\mathrm {Cor} }=2{\begin{pmatrix}-\Omega _{y}{\dot {z}}+\Omega _{z}{\dot {y}}\\-\Omega _{z}{\dot {x}}\\\Omega _{y}{\dot {x}}\end{pmatrix}}$.

Im Folgenden wird die Bewegungsgleichung, wie bei rotierenden Bezugssystemen üblich, aufgestellt: Die Pseudokräfte Zentrifugal- und Corioliskraft erscheinen dann zusätzlich zur eingeprägten Schwerkraft.

Berechnung der Bahngleichungen

Bei kleinen Pendelausschlägen erhält die Bewegungsgleichung der Pendelmasse mit $z={\dot {z}}=0$ die vorläufige Form

${\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}=2\Omega _{z}{\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\-{\dot {x}}\end{pmatrix}}-\omega _{0}^{2}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\Omega _{z}^{2}x+\Omega _{y}^{2}x\\\Omega _{z}^{2}y\end{pmatrix}}$.

Auf der rechten Seite stehen die Beschleunigungen, welche der Coriolis-, der Rückstell- und der Zentrifugalkraft entsprechen. Nur die durch die Schwerebeschleunigung erregte Rückstellkraft ist eingeprägt, die anderen beiden Kräfte sind Pseudokräfte, die das rotierende Bezugssystem mit sich bringt.

Die Koordinaten der Zentrifugalbeschleunigung hängen quadratisch von den Winkelgeschwindigkeitskoordinaten ab und sind damit wesentlich kleiner als jene der Coriolisbeschleunigung. Sie können bei den langen Foucaultschen Pendeln alle mit tolerierbarem Fehler vernachlässigt werden. Der Fehler bleibt ebenfalls tolerierbar, wenn nur eine Auswahl von Termen der Zentrifugalbeschleunigung, z. B. nur $\Omega _{y}^{2}x$, vernachlässigt wird. In diesem Fall kann man, wie bei vollständiger Vernachlässigung der Fliehkraft, die Bahnkurve algebraisch angeben, und in deren Schwingungen erscheinen nur die Frequenzen $\omega _{0}$ und $\Omega _{z}$, die auch Parameter der Bewegungsgleichung sind. Ferner erhält die Bewegungsgleichung mit dieser auf den ersten Blick fernliegenden Festlegung die bei rotierenden Bezugssystemen gewohnte Form mit allen Pseudokräften.

Damit nimmt die Bewegungsgleichung der Pendelmasse in der $x$-$y$-Ebene die hier endgültige Gestalt

${\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}=2\Omega _{z}{\begin{pmatrix}{\dot {y}}\\-{\dot {x}}\end{pmatrix}}-(\omega _{0}^{2}-\Omega _{z}^{2}){\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

an.

Das sind zwei gekoppelte gewöhnlichen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung. Sie werden zwecks einfacher Lösung zu einer einzigen Differenzialgleichung der komplexen Variablen

$u(t)=x(t)+\mathrm {i} \,y(t)$

zusammengefasst:

${\ddot {u}}=-2\mathrm {i} \Omega _{z}{\dot {u}}-(\omega _{0}^{2}-\Omega _{z}^{2})u$

Dies hat die Form einer harmonischen Schwingungsgleichung mit imaginärem Dämpfungsglied und lässt sich mit den von dort bekannten Methoden direkt lösen. Hier ist es jedoch instruktiv, aufgrund der oben dargestellten Überlegungen die Bewegung in einem Koordinatensystem auszudrücken, das sich gegenüber dem $x$-$y$-System mit der Winkelgeschwindigkeit $-\Omega _{z}$ dreht. Das geschieht durch die Variablentransformation

$u(t)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \Omega _{z}t}U(t)$,

denn Real- und Imaginärteil von $U(t)=X(t)+\mathrm {i} \,Y(t)$ bilden ein $X$-$Y$-Koordinatensystem, das gegenüber dem $x$-$y$-Koordinatensystem mit der Winkelgeschwindigkeit $-\Omega _{z}$ in der Schwingungsebene rotiert. Einsetzen ergibt für $U(t)$ tatsächlich die einfache Differenzialgleichung

${\ddot {U}}=-\omega _{0}^{2}U$.

Das ist die Gleichung für eine stationäre ungedämpfte harmonische Schwingung in einem Inertialsystem. Demnach beschreiben die Koordinaten $X(t),\,Y(t)$ die Bewegung, die ein sphärisches Pendel im Inertialsystem ausführen würde (siehe Harmonischer zweidimensionaler Oszillator). Vorsorglich wird nochmals betont, dass das um die $z$-Achse rotierende System kein exaktes Inertialsystem ist. Es muss vielmehr als Näherung dafür verstanden werden, die zur Analyse des Foucaultschen Pendels genügt.

Für einen anderen kurzen Lösungsweg in Polarkoordinaten siehe z. B. Noble.

In der Praxis wird die Anfangsbedingung im erdfesten xy-System häufig so festgelegt, dass das Pendel mit Anfangsgeschwindigkeit null an einer Startposition $x_{0},y_{0}$ losgelassen wird. Dann lauten die Lösungen für die Bewegung, wieder ausgedrückt in den erdfesten x-y-Koordinaten:

${\begin{aligned}x(t)&=x_{0}\cos(\omega _{0}t)\cos(\Omega _{z}t)+x_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\sin(\Omega _{z}t)+y_{0}\cos(\omega _{0}t)\sin(\Omega _{z}t)-y_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\cos(\Omega _{z}t)\\y(t)&=-x_{0}\cos(\omega _{0}t)\sin(\Omega _{z}t)+x_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\cos(\Omega _{z}t)+y_{0}\cos(\omega _{0}t)\cos(\Omega _{z}t)+y_{0}{\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)\sin(\Omega _{z}t).\end{aligned}}$

Um diese Bewegung des Pendelkörpers darzustellen, bietet sich die Schreibweise in ebenen Polarkoordinaten an. Es gilt dann für den Abstand $\rho$ von der Ruhelage

$\rho ^{2}(t)=x^{2}(t)+y^{2}(t)=\rho _{0}^{2}\left(\cos ^{2}(\omega _{0}t)+{\frac {\Omega _{z}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\sin ^{2}(\omega _{0}t)\right)$.

Darin werden zwei Eigenschaften deutlich: Für $\Omega _{z}=0$ ergibt sich die ursprüngliche harmonische Schwingung im Inertialsystem. Das trifft am Äquator zu. Zweitens zeigt sich, dass das von einem Anfangspunkt im Abstand $\rho _{0}$ losgelassene Foucaultsche Pendel eine Rosettenbahn durchführt. Die Bahn führt nicht exakt durch den Ursprung, nähert sich ihm aber bis auf den Bruchteil ${\tfrac {\rho _{\text{min}}}{\rho _{0}}}={\tfrac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}$ an. Dass in diesem Fall das Pendel nicht genau durch die Ruhelage geht, führt aufgrund der Anharmonizität des sphärischen Pendels zu einer Verfälschung der Rotation der Schwingungsebene um einen Bruchteil ${\tfrac {\Delta \Omega }{\Omega _{z}}}=-{\tfrac {3}{8}}{\tfrac {\rho _{0}^{2}}{l^{2}}}$, weshalb zu große Schwingungsweiten vermieden werden müssen.

Die Drehung der Apsidenlinie der Bahn pro Schwingung kann durch

$\Delta \phi =\arctan \left({\frac {y\left({\tfrac {2\pi }{\omega _{0}}}\right)}{x\left({\tfrac {2\pi }{\omega _{0}}}\right)}}\right)-\arctan \left({\frac {y_{0}}{x_{0}}}\right)=-2\pi {\frac {\Omega _{z}}{\omega _{0}}}$

berechnet werden. In der nördlichen Hemisphäre dreht sich das Focaultsche Pendel (eigentlich seine näherungsweise Schwingungsebene; von oberhalb betrachtet) somit im Uhrzeigersinn, in der südlichen Hemisphäre entgegen dem Uhrzeigersinn. Eine vollständige Drehung des Foucaultschen Pendels braucht die Zeit

$T={\frac {2\pi }{\Omega \,\sin \varphi }}$.

In Deutschland dreht sich die Schwingungsebene pro Stunde um etwa $11{,}5^{\circ }$.

Ende Entwurf
Hier die angekündige zweite Entwurfsversion! Die vieldiskutierte Frequenz $\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}+\Omega _{z}^{2}}}$ ist vermieden, und Dgl. und Bahnkurve passen zusammen. --Modalanalytiker (Diskussion) 21:33, 25. Okt. 2018 (CEST)

Abgelehnt. Willkürliches Rausstreichen von Termen, die in derselben Größenordnung sind und größer werden können als Terme, die stehen bleiben, ist und bleibt ein Ausschlusskriterium. Die Rechnung wird dadurch inkonsistent. Gebetsmühle: Alle $\Omega ^{2}/\omega ^{2}$ oder keiner. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 12:21, 26. Okt. 2018 (CEST)

Einspruch. Das selektive Berücksichtigen von Termen, die ohne Überschreitng einer Fehlertoleranz alle vernachlässigt werden könnten, zielt darauf, die Rolle des mit $\Omega _{z}$ rotierenden Systems als hier geignete Näherung für ein Inertialsystem zu betonen. Du kannst diese Gestaltungsabsicht angreifen, nicht die Konsistenz des Vorgehens. Ich vermute, auch du nimmst an, dass "meine" Näherung unter dem Gesichtspunkt des Größenwertfehlers nicht schlechter ist, als die pauschale Version, die du bevorzugst. --Modalanalytiker (Diskussion) 12:48, 26. Okt. 2018 (CEST)

Das Problem ist doch, dass das sehr sonderbare Ergebnis $\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}+\Omega _{z}^{2}}}$ keinen physikalischen Hintergrund hat und auch einer Plausibilitätskontrolle nicht standhält. Es ist ein "Artefakt", wie früher im Artikel zu lesen war. Wer das als physikalische Tatsache ausgibt, liegt falsch.
Wenn ein Apfel auf einem Tisch liegt und jemand berechnet, dass er sich beschleunigt nach oben bewegt, aber nur ganz langsam (z.B. 0,1 mm in 10 Tagen), dann ist das vielleicht innerhalb der Rechengenauigkeit korrekt, aber es ist trotzdem Unsinn.

Lieber Anonymus mit Stuttgarter IP: Es ist unstrittig, dass die Frequenz $\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}+\Omega _{z}^{2}}}$ ein Artefakt ist. Mit "meiner" Näherung hat sie nichts zu tun. Statt $\omega$ taucht bei "meiner" Näherung in der Bahnkurve $\omega _{0}$ auf. Aber auch diese Fequenz ist in dem Zusammenhang ein Artefakt, weil sie ebenso Folge einer Näherung ist, allerdings einer, die mir hier angebrachter erscheint. Grund s. o.. --Modalanalytiker (Diskussion) 20:13, 26. Okt. 2018 (CEST)

Ich bin gegen den Entwurf von Modalanalytiker. Der ganze Wirrwar kommt mE daher, dass das Fass mit der zutreffenden Feststellung

Als einzige praktisch beobachtbare Änderung resultiert daraus, dass die ganze Bahnkurve sich mit der Winkelgeschwindigkeit − Ω sin ⁡ φ {\displaystyle -\Omega \sin \varphi } {\displaystyle -\Omega \sin \varphi } in der Schwingungsebene um die vertikale z {\displaystyle z} z-Achse dreht.

zugemacht sein könnte, aber mit dem darauf folgenden Satz

Daher kann man das erdfeste Koordinatensystem "h" am gegebenen Ort in guter Näherung als ein Bezugssystem behandeln, das mit der Winkelgeschwindigkeit + Ω sin ⁡ φ {\displaystyle +\Omega \sin \varphi } {\displaystyle +\Omega \sin \varphi } um seine vertikale Achse rotiert.

wieder aufgemacht wird. Als Schlussfolgerung ist dieser Satz aber falsch, denn statt der rein geometrischen Koordinatentransformation ruft er wieder die Trägheitskräfte auf den Plan, die mit dem vorhergehenden Satz schon abgehakt sein sollten. Der falsche Satz ist wahrscheinlich von mir selber, und ich widerrufe ihn hiermit ausdrücklich. Wenn wir uns darauf einigen könnten, dass damit die Logik wiederhergestellt ist, können wir gerne an die Redaktion des weiteren Textes gehen. --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:41, 26. Okt. 2018 (CEST)

Dann schlage ich vor, dass du im Artikel das Falsche durch etwas Richtiges ersetzt. Vielleicht löst sich der Wirrwarr dann ganz von selbst in Wohlgefallen auf. --Modalanalytiker (Diskussion) 22:07, 26. Okt. 2018 (CEST)

Bewegungsgleichung im rotierenden System

Die Bewegungsgleichungen im erdfesten, um die Erdachse rotierenden $x$-$y$-$z$-System

${\ddot {x}}=-{\frac {-{\Omega }^{2}\,R^{2}\,x+{\Omega }^{2}\,x^{3}-{\Omega }^{2}\,x\,y^{2}\,{\cos \Phi }^{2}+{\Omega }^{2}\,x\,y^{2}-2\,\sin \Phi \,{\Omega }^{2}\,x\,y\,z\,\cos \Phi +{\Omega }^{2}\,x\,z^{2}\,{\cos \Phi }^{2}-2\,\sin \Phi \,{\Omega }\,R^{2}\,{\dot {y}}+2\,{\Omega }\,R^{2}\,{\dot {z}}\,\cos \Phi +2\,\sin \Phi \,{\Omega }\,x^{2}\,{\dot {y}}-2\,{\Omega }\,x^{2}\,{\dot {z}}\,\cos \Phi -2\,\sin \Phi \,{\Omega }\,x\,{\dot {x}}\,y+2\,{\Omega }\,x\,{\dot {x}}\,z\,\cos \Phi +x\,{\dot {x}}^{2}+x\,{\dot {y}}^{2}-g\,x\,z+x\,{\dot {z}}^{2}}{R^{2}}}$

${\ddot {y}}=-{\frac {{\Omega }^{2}\,R^{2}\,y\,{\cos \Phi }^{2}-{\Omega }^{2}\,R^{2}\,y+\sin \Phi \,{\Omega }^{2}\,R^{2}\,z\,\cos \Phi +{\Omega }^{2}\,x^{2}\,y-{\Omega }^{2}\,y^{3}\,{\cos \Phi }^{2}+{\Omega }^{2}\,y^{3}-2\,\sin \Phi \,{\Omega }^{2}\,y^{2}\,z\,\cos \Phi +{\Omega }^{2}\,y\,z^{2}\,{\cos \Phi }^{2}+2\,\sin \Phi \,{\Omega }\,R^{2}\,{\dot {x}}+2\,\sin \Phi \,{\Omega }\,x\,y\,{\dot {y}}-2\,{\Omega }\,x\,y\,{\dot {z}}\,\cos \Phi -2\,\sin \Phi \,{\Omega }\,{\dot {x}}\,y^{2}+2\,{\Omega }\,{\dot {x}}\,y\,z\,\cos \Phi +{\dot {x}}^{2}\,y+y\,{\dot {y}}^{2}-g\,y\,z+y\,{\dot {z}}^{2}}{R^{2}}}$

${\ddot {z}}=-{\frac {\sin \Phi \,{\Omega }^{2}\,R^{2}\,y\,\cos \Phi -{\Omega }^{2}\,R^{2}\,z\,{\cos \Phi }^{2}+{\Omega }^{2}\,x^{2}\,z-{\Omega }^{2}\,y^{2}\,z\,{\cos \Phi }^{2}+{\Omega }^{2}\,y^{2}\,z-2\,\sin \Phi \,{\Omega }^{2}\,y\,z^{2}\,\cos \Phi +{\Omega }^{2}\,z^{3}\,{\cos \Phi }^{2}-2\,{\Omega }\,R^{2}\,{\dot {x}}\,\cos \Phi +2\,\sin \Phi \,{\Omega }\,x\,{\dot {y}}\,z-2\,{\Omega }\,x\,z\,{\dot {z}}\,\cos \Phi -2\,\sin \Phi \,{\Omega }\,{\dot {x}}\,y\,z+2\,{\Omega }\,{\dot {x}}\,z^{2}\,\cos \Phi +g\,R^{2}+{\dot {x}}^{2}\,z+{\dot {y}}^{2}\,z-g\,z^{2}+z\,{\dot {z}}^{2}}{R^{2}}}$

vernachlässigen seine translatorische Beschleunigung und die Dämpfung. Das Pendel ist im Systemursprung aufgehängt. Die Schwerkraft wirkt in Richtung der negativen $z$-Achse. Die Gleichungen gelten auch für große Ausschläge. Sie können bei der Auswahl der Terme helfen, die den Foucaultschen Fall mit kleinen $x$-$y$-Ausschlägen oder in anderen Fällen nähern. Für diesen Zweck ergänze ich noch den Äquatorfall

${\ddot {x}}={\Omega }^{2}\,x-2\,{\Omega }\,{\dot {z}}-{\frac {x\,\left({\Omega }^{2}\,x^{2}+{\Omega }^{2}\,z^{2}-2\,{\Omega }\,x\,{\dot {z}}+2\,{\Omega }\,{\dot {x}}\,z+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}-g\,z+{\dot {z}}^{2}\right)}{R^{2}}}$

${\ddot {y}}=-{\frac {y\,\left({\Omega }^{2}\,x^{2}+{\Omega }^{2}\,z^{2}-2\,{\Omega }\,x\,{\dot {z}}+2\,{\Omega }\,{\dot {x}}\,z+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}-g\,z+{\dot {z}}^{2}\right)}{R^{2}}}$

${\ddot {z}}=2\,{\Omega }\,{\dot {x}}-g+{\Omega }^{2}\,z-{\frac {z\,\left({\Omega }^{2}\,x^{2}+{\Omega }^{2}\,z^{2}-2\,{\Omega }\,x\,{\dot {z}}+2\,{\Omega }\,{\dot {x}}\,z+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}-g\,z+{\dot {z}}^{2}\right)}{R^{2}}}$

--Modalanalytiker (Diskussion) 14:49, 30. Okt. 2018 (CET)--Modalanalytiker (Diskussion) 22:42, 2. Nov. 2018 (CET)

Ich werde da nicht mitmachen, außer den Artikel vor überbordenden Details zu schützen, die entweder Privattheorie sind oder mit Hinweis auf die einschlägigen Arbeiten zu erwähnen wären weil sie für allen vorstellbaren Gebrauch von Wikipedia mE irrelevant sind. @Modalanalytiker: was treibt Dich denn, dies Projekt mit soviel Einsatz zu verfolgen? --Bleckneuhaus (Diskussion) 16:17, 30. Okt. 2018 (CET)

Falls du annimmst, ich wollte solche Dgl.-Ungtüme irgendwie in den Artikel bringen, kann ich dich beruhigen. Die Ungetüme könnten aber für Näherungsentscheidungen helfen, was in welchen Fällen "weg kann" und was bleiben sollte. Immerhin sind die Gleichungen ja bis auf die genannten unstrittigen Vernachlässigungen exakt. Diese Information sind für die Diskussion gedacht. Was treibt mich an? Einfach Interesse an dem Objekt und die Möglichkeit, von der Kenntnis Anderer zu profitieren. Wo hat man sonst die Chance, auf Experten zu treffen, deren alltäglicher Gedankenfluss derart brilliert, dass nicht einmal die aneinandergereihten geistigen Sternstunden einer ganzen Experimentalphysikerriege heranreichen. --Modalanalytiker (Diskussion) 22:42, 2. Nov. 2018 (CET) --Modalanalytiker (Diskussion) 23:08, 2. Nov. 2018 (CET)

Animation

Foucaultsches Pendel am Nordpol

Ich bitte interessierte Autoren zu prüfen, ob die Animation für den Artikel taugt und sie in diesem Fall einzufügen. --Modalanalytiker (Diskussion) 15:30, 28. Nov. 2018 (CET)

Sieht hübsch aus, vor allem, weil der Aufhängepunkt tatsächlich überm N steht. Ich habe aber zwei Ideen: 1)Einen senkrechtenStrich vom N zum Aufhängepunkt. 2) Den Heiligenschein dazwischen weglassen. Und noch zwei: 3) Die Aufhängung nicht am ebenen Dreieck, sondern an irgendeiner 3-dim Figur (zB noch ein Dreieck senkrecht dazu), damit man die Drehung eher mitkriegt. 4) Eine gestrichelte Spur, die man auf der sich drehenden Erde entstehen sieht. --Bleckneuhaus (Diskussion) 16:40, 28. Nov. 2018 (CET)

Gestrichelte Rosette ist schlecht bei geringer Bildgröße--Modalanalytiker (Diskussion) 20:38, 28. Nov. 2018 (CET)

Aber im großen Bild ist es sehr gut.--Bleckneuhaus (Diskussion) 20:47, 28. Nov. 2018 (CET)

Kannst Du auch die Anfangsbedingung "Ruhe im Erdsystem"? Die ist wohl praktisch viel häufiger realisiert, das Pendel geht dann nicht durch den Ursprung und die Bahn hat am Umkehrpunkt eine Spitze. --Bleckneuhaus (Diskussion) 23:15, 28. Nov. 2018 (CET)

Siehe rechts! --Modalanalytiker (Diskussion) 12:48, 29. Nov. 2018 (CET)

Sehr schön, aber mach mal die Erddrehung langsamer, dann ist es näher am Phänomen.--Bleckneuhaus (Diskussion) 14:37, 29. Nov. 2018 (CET)

Siehe rechts! --Modalanalytiker (Diskussion) 17:35, 29. Nov. 2018 (CET)

Finde ich perfekt so. Bau es ein! --Bleckneuhaus (Diskussion) 18:28, 29. Nov. 2018 (CET)

Das mach du mal. Dann gibt es keine weiteren Änderungswünsche. --Modalanalytiker (Diskussion) 18:37, 29. Nov. 2018 (CET)

Wer weiß ...! Wenn ich das mache, macht mich Wikipedias Urhebermanagement noch berühmt für solch Animationskünste. Ich habe da neulich irgendwo eine Richtlinie gelesen, dass die Autorenschaft erkennbar bleiben soll. Aber wenn es Dir genauso unwichtig ist wie mir, kann ich das auch einpflegen. Aber morgen erst. --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:12, 29. Nov. 2018 (CET)

"Das mach du mal" war ganz ernst gemeint. Ich schaue morgen nach. --Modalanalytiker (Diskussion) 21:28, 29. Nov. 2018 (CET)

Sechs identische Foucaultsche Pendel während 6 Stunden. Zum Animieren klicken! Weitere Angaben

Hier noch eine angereicherte Version! Falls sich kein Protest erhebt, würde ich die an Stelle der beiden vorhandenen Animationen einbauen. --Modalanalytiker (Diskussion) 20:01, 26. Dez. 2018 (CET)

Das hast Du ja wunderbar hingekriegt. Es stellt m.E. aber an den Betrachter* so hohe kognitive Anforderungen, dass OMA zuliebe die einfache Version erhalten bleiben muss. --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:10, 26. Dez. 2018 (CET)

Meinst du mit "erhalten bleiben muss" zusätzlich oder wie bisher allein? --Modalanalytiker (Diskussion) 21:31, 26. Dez. 2018 (CET)

Ach, wenn ich das so genau wüsste! Ich neige hier zu "wer vieles bringt, wird manchem etwas bringen", also rein damit, aber nicht ganz oben, sondern wo die phi-Abhängigkeit drankommt. --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:30, 26. Dez. 2018 (CET)

Einleitender Satz - Ergänzung?

Sollte im einleitenden Satz nicht auch erwähnt werden, dass mit dem FP auch die Kugelgestalt der Erde nachgewiesen werden kann?unsigniert

Das ist sicher möglich, aber ist das irgendwo mal diskutiert und genauer beschrieben worden? Sonst wäre das nicht Wikipedia-fähig. Zu Foucaults Zeiten war das auch eigentlich wohl längst nicht mehr nötig, und die Flatearthler werden wir auch mit einem Hinweis hier nicht heilen können. --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:10, 11. Apr. 2019 (CEST)

Hallo, Danke für die schnelle Rückmeldung. Das sieht man doch schon sehr schön an der Animation mit verschiedenenen Aufstellungspunkten auf der Erdoberfläche. Je nach Lage schwingt das Pendel anders. Vom Nordpol bis zum Äquator (bzw. vom SP bis zum Ä) ändert sich das Schwingungsbild von einer Rosette hin zu einer Pendelbewegung in einer Ebene. Wäre es nicht sinnvoll, das in der Beschreibung der Animation zu ergänzen (und evtl. auch im einleitenden Satz). Auch wenn wir Flacherdler nicht überzeugen können, ich finde das einen sehr eindrucksvollen Beweise für die Kugelgestalt (der mir auch lange nicht bewusst war...) Beste Grüße (nicht signierter Beitrag von Beniwriter (Diskussion | Beiträge) 11:29, 23. Apr. 2019‎)

Wikipedia soll/will ausschließlich über Wissen berichten, das anderswo gefunden/erörtert wurde. Davon gibt es weiß Gott noch genug zum Artikelschreiben. Deine Idee ist hüsch, aber erfüllt dies Kriterium nicht. --Bleckneuhaus (Diskussion) 20:52, 23. Apr. 2019 (CEST)