Diskussion:Potenz (Mathematik)/Archiv

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[[Diskussion:Potenz (Mathematik)/Archiv#Thema 1]]

oder als Weblink zur Verlinkung außerhalb der Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Potenz_(Mathematik)/Archiv#Thema_1

Lateinischer Name

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Mir fehlt hier der Lateinische Name dafür.

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Ich versuchte, im ersten Absatz eine Ergänzung für nichtganzzahlige Exponenten und komplexe Exponenten unterzubringen. Dabei wurde die Formel zerstört. Ich habe die vorherige Version regeneriert. -- Hutschi 13:05, 15. Mär 2004 (CET)

Du hast versehentlich deinen Satz in eine Formel hineingeschrieben. Ergänzungen zu nicht ganzzahligen Exponenten kannst du in den Abschnitten "nicht ganzahlige Exponenten" und "komplexe Zahlen" hinzufügen. --SirJective 21:41, 15. Mär 2004 (CET)

Danke sehr für die Erklärung, SirJective. Ich habe bei der Definition noch einen Kurzen Hinweis zu nicht ganzzahligen Exponenten untergebracht, die ja dann weiter hinten erklärt werden. -- Hutschi 13:10, 17. Mär 2004 (CET)

Und ich hab ihn noch mit einem Link versehen. Wobei ich mich frage, ob dieser Hinweis wirklich nötig ist, da ja gleich danach das Inhaltsverzeichnis steht. --SirJective 21:44, 17. Mär 2004 (CET)

Das Problem dabei: Es ist eine Kurzdefinition, und die sollte, obzwar kurz, doch vollständig sein. Das Inhaltsverzeichnis gehört bereits nicht mehr zur Definition. Die Alternative wäre, das Inhaltsverzeichnis vorn hin zu stellen, dann gehört der gesamte Text zur Definition. Wäre aber schlechterer Überblick -- Hutschi 09:04, 18. Mär 2004 (CET)

hyper4

wäre eventuell ein link auf diesen artikel sinnvoll? --Xenoborg 14:14, 16. Okt 2005 (CEST)

Frühestens, wenn die Fragen, die ich gerade eben dort gestellt habe, beantwortet sind...--Gunther 01:27, 17. Okt 2005 (CEST)

nochmal 0 hoch 0

Dass die Potenzregel

$a^{0}=a^{1-1}={\frac {a}{a}}$

für $a=0$ nicht anwendbar ist, stellt kein Hindernis dar; auch beispielsweise die Gleichung

$2={\frac {2a}{a}}$

verliert für $a=0$ ihre Gültigkeit, dennoch würde niemand auf die Idee kommen, deshalb die 2 als undefinierte Größe zu bezeichnen.--Gunther 01:48, 8. Nov 2005 (CET)

Ich will auch mal was zum Thema 0 hoch 0 sagen :D. Es ist ja bekannt, dass $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ und dass $e^{0}=1$ ist. Wäre $0^{0}\not =1$, so wäre auch $e^{0}\not =1$. Sagt man, $0^{0}$ ist nicht definiert, so würde ja auch folgen, dass exp an der Stelle 0 nicht definiert wäre. Was lernt man darauf? Immer schön $0^{0}=1$ setzen ;) --Dark-Immortal 09:48, 10 November 2005 (CET)

Änderung 13:44, 14. Jan 2006 Gunther

Wieso ist es Unfug zu verlangen, dass $2^{0}2^{0}=(2\cdot 2)^{0}$ auch modulo 4 gelten soll? --NeoUrfahraner 07:24, 16. Jan 2006 (CET)

Schließe in der Definition von $a^{0}$ nicht nur die Null, sondern beliebige Nullteiler aus, Problem gelöst. Die Frage, ob $4^{0}$ und $0^{0}$ modulo 4 dasselbe ergeben sollten, ist davon ja unabhängig. Allerdings ist so etwas i.w. für Polynome relevant, und da kann man sich ja immer mit $a_{0}+a_{1}x+\ldots$ herausreden (schließlich kann man Polynome auch über Ringen ohne 1 betrachten).--Gunther 12:15, 16. Jan 2006 (CET)

Mit anderen Worten, wenn man $0^{0}$ undefiniert lässt, muss man $a^{0}$ für jeden Nullteiler $a$ undefiniert lassen; das würde ich durchaus als Argument dafür gelten lassen, $0^{0}=1$ zu setzen. Wie dem auch sei, ich habe das Argument nur drinnen lassen, weil es schon da war; und da ich jetzt gesehen habe, dass es im Wesentlichen von Dir (Änderung 16:04, 4. Apr 2005) stammt, ist wohl niemand beleidigt, weil es jetzt weg ist. --NeoUrfahraner 13:31, 16. Jan 2006 (CET)

Deshalb hatte ich auch keine Bedenken, es als Unfug zu bezeichnen :-) Ich denke, wer $0^{0}$ undefiniert lassen will (und dafür ja einigen Aufwand betreiben muss, um die Formel für die geometrische Reihe usw. zu erklären), hat auch keine Probleme, das auf Nullteiler auszudehnen. Es sollte auch eher ein Argument gegen $0^{0}=0$ sein, aber das ist ja nicht die wesentliche Gegenposition, wie ich inzwischen gelernt habe.

Irgendwann kürzlich habe ich nochmal ein wenig darüber nachgedacht, wie das mit dem Potenzieren eigentlich genau funktioniert, und frage mich jetzt, ob man das nicht nochmal systematischer darstellen sollte:

• Für jedes Monoid gibt es Potenzen $x^{n}$ für $n\in \mathbb {N} _{0}$, und es gilt $(x^{n})^{m}=x^{nm}$ sowie $x^{n}x^{m}=x^{n+m}$. Für ein kommutatives Monoid gilt außerdem $x^{n}y^{n}=(xy)^{n}$.
• Für eine Gruppe (insbesondere die Gruppe der invertierbaren Elemente eines kommutativen Monoids) kann man das mit denselben Regeln auf $n\in \mathbb {Z}$ ausdehnen. Für abelsche Gruppen sind die Potenzgesetze nichts anderes als die Moduleigenschaften.
• Ist das Potenzieren mit Exponent $N$ eine Bijektion, so kann man die Potenzen auf Exponenten in $\mathbb {Z} [1/N]$ ausdehnen; insbesondere erhält man Potenzen reeller Zahlen ungleich 0 mit Exponenten in $\mathbb {Z} _{(2)}$.
• Schränkt man sich auf positive reelle Zahlen als Basis ein (eliminiert man also die 2-Torsion), erhält man Potenzen mit rationalen Exponenten.
• Nicht genau überlegt habe ich mir die minimalen Voraussetzungen dafür, dass man das auf reelle Exponenten ausdehnen kann.

Ist eine eher abstrakte Sichtweise, aber mit einer derartigen Übersicht sollte auch niemand mehr erschrecken, wenn irgendwo auf einmal Exponenten aus $\mathbb {Z} _{p}$ auftauchen. Man sieht aber auch gut das algebraische Problem, dass $0^{0}$ nur definiert ist, wenn die obere Null ein Element von $\mathbb {N} _{0}$ ist.--Gunther 13:59, 16. Jan 2006 (CET)

Der Artikel hier beschränkt sich in der Einleitung tatsächlich nur auf eine reelle Basis, die später lediglich auf eine komplexe Basis erweitert wird. Eine Überarbeitung bzw. Verallgemeinerung in die von Dir vorgeschlagene Richtung wäre durchaus denkbar (ich möchte mir die Mühe aber derzeit nicht machen). Für ganzzahlige Exponenten ist das ja mehr oder weniger Standard; für rationale und reelle (oder gar komplexe) Exponenten wird es aber wohl schwierig, interessante Beispiele außerhalb komplexer/reeller Basis zu finden. Außer diagonalisierbaren Matrizen fällt mir dazu nicht viel ein; da sollte das Potenzieren aber wohl im jeweiligen Artikel erwähnt werden und evtl. von Potenz nur dorthin verwiesen werden.

Was die "obere Null" betrifft: in http://www.cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node40.html#SECTION00530000000000000000 findet sich ja tatsächlich der Vorschlag As a rule of thumb, one can say that $0^{0}=1$ , but $0.0^{0.0}$ is undefined; da in der Mathematik aber die Null kein Mascherl hat, ob sie jetzt ganzzahlig oder reell ist, ist das nicht wirklich praktikabel. In der Informatik sorgt das aber durchaus für Diskussionen, insbesondere die Frage, was jetzt mit der komplexen Null sein soll, siehe z.B. http://gcc.gnu.org/ml/gcc/2005-03/msg00289.html --NeoUrfahraner 14:40, 16. Jan 2006 (CET)

Die verlinkte Diskussion wirkt aber nicht sonderlich fundiert... Zu anderen Basen: Es gibt z.B. einen kanonischen Isomorphismus ${\hat {\mathbb {Z} }}\to \mathrm {Gal} ({\bar {\mathbb {F} }}_{q}/\mathbb {F} _{q}),n\mapsto F^{n}$ (F = Frobenius). Übrigens ist mit der obigen Vorgehensweise $0^{0{,}1}$ undefiniert. Das mit der "oberen Null" ist auch weniger ein Argument pro/contra $0^{0}=1$, sondern eher eine Erklärung dafür, dass die ernstzunehmenderen Gegenargumente reelle Exponenten benötigen.--Gunther 15:10, 16. Jan 2006 (CET)

„… und dafür ja einigen Aufwand betreiben muss …“: $s_{n}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}$${}=a_{0}+\sum _{k=1}^{N}a_{0}\cdot q^{k}$
Und schon tritt auch kein leidiges $x^{0}$-Problem mehr auf – ob nun $a_{0}$ bekannter- oder unbekannterweise 0 ist.

Die verlinke Diskussion wurde ja hauptsächlich von Compilerbauern geführt, denen kann die Unwissenheit in diesem Punkt verziehen werden. Ich weiß jetzt gar nicht, worauf sie sich geeinigt haben, vielleicht sollte ich demnächst nachschauen, was der gcc jetzt liefert. Ich habe im Artikel Potenz (Mathematik) nachgelesen; rationale bzw. reelle Exponenten sind im ARtikel derzeit tatsächlich nur für positive Basen (also nicht für 0) definiert; das sollte wohl behoben werden. Ebenso berücksichtigen die Argumente pro/contra $0^{0}=1$ derzeit nur Exponenten von $\mathbb {N} _{0}$; reelle Exponenten werden laut http://www.cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node40.html#SECTION00530000000000000000 in Louis M. Rotando and Henry Korn. The Indeterminate Form $0^{0}$ (Mathematics Magazine,Vol. 50, No. 1 (January 1977), pp. 41-42) behandelt. Anscheinend bezieht sich auch Kahan auf diese Arbeit; ich habe sie aber leider nicht zur Verfügung und beim Zitat in http://www.cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node40.html#SECTION00530000000000000000 fehlen anscheinend irgendwelche Zusatzvoraussetzungen wie z.B. dass $f(x)\geq 0$. --NeoUrfahraner 15:52, 16. Jan 2006 (CET)

Gemeint sind da vermutlich positive Leitkoeffizienten, also $f(x)=x^{m}f_{1}(x)$ und $g(x)=x^{n}g_{1}(x)$ mit positiven ganzen $m,n$ und $f_{1}(0),g_{1}(0)>0$. Dann ist

$f(x)^{g(x)}=\exp(g(x)[m\log x+\log f_{1}(x)]),$

und das strebt relativ offensichtlich gegen 1 für $x\searrow 0$.--Gunther 16:06, 16. Jan 2006 (CET)

Potenzen sind rechtsassoziativ.

Mir fehlt in der Beschreibung, dass Potenzen rechtsassoziativ sind. Auf der Seite über Assoziativität steht als Beispiel für Rechtsassoziativität Potenz. Leider steht auf der Seite über Potenzen nichts über Rechtsassoziativität. :-(

Nun ja, das ist mMn doch sehr Ansichtssache. Ich finde, dass Potenzen eher "von oben" assoziativ sind als von rechts; z.B. würde ich ${}^{{}^{\sigma }\tau }x$ auch von oben klammern und nicht von rechts.

Wenn man das im Informatik-Zusammenhang für den Fortran-Operator ** sagen will, dann mag man das tun (falls es überhaupt stimmt, ich habe keine Ahnung von Fortran), aber die mathematische Notation ist kein gutes Beispiel.--Gunther 20:02, 25. Jan 2006 (CET)

Wo steht etwas von Rechtsassoziativität? Das einzige, was ich gefunden habe, ist Operatorassoziativität. Das Beispiel mit der Potenzierung in der Mathematik halte ich dort auch für schlecht gewählt (weil nicht unumstritten). Die Rechtsassoziativität ist jedenfalls keine beweisbare Eigenschaft der Operation, sondern lediglich eine Konvention, wie man fehlende Klammer setzen soll. --NeoUrfahraner 20:44, 25. Jan 2006 (CET)

Nun ja, auch wenn es keine beweisbare Eigenschaft ist und nur eine Konvention ist, so gehört diese doch zu den Potenzen. MMn gehört diese Konvention in den Text über Potenzen, da eine Konvention die Berechnung von derartigen Potenzen überhaupt erst eindeutig möglich macht und einfach eine Vorschrift ist, wie auch Punkt vor Strich.--AlGates 02:09, 28. Jan 2006 (CET)

Habe das ergänzt. Das Wort "Rechtsassoziativität" (um das es ursprünglich ging) ist hier aber mMn falsch.--Gunther 02:28, 28. Jan 2006 (CET)

Warnhinweis in Tabelle

Vgl. den Satz nach der Tabelle: Die Bedingungen sind eigentlich nur nette Dekoration, weil man die anderen Regeln anwenden darf, wann immer alle darin auftretenden Ausdrücke definiert sind. Die einzige Ausnahme ist eben die Regel $(a^{r})^{s}=a^{rs}$, und im Beispiel ist schon der im wesentlichen einzige Fall angegeben, in dem etwas schiefgehen kann. Es genügt also vollkommen, wenn man die erste Spalte und den Warnhinweis kennt.--Gunther 18:29, 5. Mär 2006 (CET)

Aber Bedingungen sind doch in einem Satz wie auch in der darunterliegenden Stufe einer Hierarchie von Regeln (Terminus dafür?) immer notwendiger Bestandteil der Regel, und nicht „eigentlich nur nette Dekoration“ - kann man das nicht ein bischen mehr ordnen? --Alfred Grudszus 18:38, 5. Mär 2006 (CET)

Die in der Tabelle angegebenen Bedingungen orientieren sich an dem folgenden Schema: Es gibt

• Potenzen mit beliebiger Basis und nichtnegativen ganzzahligen Exponenten
• Potenzen mit invertierbarer Basis und ganzzahligen Exponenten (oder allgemeiner rationalem Exponenten mit ungeradem Nenner)
• Potenzen mit positiver Basis und reellen Exponenten

Jeder dieser Begriffe funktioniert für sich genommen gut und erfüllt alle angegebenen Regeln ohne weitere Einschränkungen (ausgenommen natürlich Division durch 0). Erst wenn man die verschiedenen Konzepte mischt, gibt es Probleme.--Gunther 19:02, 5. Mär 2006 (CET)

Es tut mir leid, daraus geht jetzt immernoch nicht hervor, warum man „nette Dekoration“ stehen lassen muß. --Alfred Grudszus 23:54, 5. Mär 2006 (CET)

Das war auch nur die Antwort auf die Frage nach der Ordnung. Formal ist irgendwelche derartige Dekoration nötig, aber es handelt sich eben nur um typische Beispiele für Bedingungen, die die Gültigkeit sicherstellen. Um ein Gefühl für die Grenzen der Anwendbarkeit zu bekommen, sind charakteristische Gegenbeispiele mMn wesentlich hilfreicher.--Gunther 00:23, 6. Mär 2006 (CET)

Grammatik

[1], [2]. "Beliebig" ist kein Zahladjektiv.--Gunther 10:52, 6. Mär 2006 (CET)

Du beweist mal wieder, daß du nicht die leiseste Ahnung davon hast, wie Sprache funktioniert. Sprache muß nicht Regeln gehorchen, die Regeln gehorchen der Sprache. Ich entscheide nach Gefühl, wie ich formuliere, solange es keinen "unmittelbaren Zwang" gibt, eine Regel zu befolgen. Da du irgendwelche Quellen, die angelsächsischen Ursprungs sind, bemühst bzw. x-beliebige Diskussionsforen, gehe ich davon aus, daß es hier keine "zu befolgende" Duden-Regel gibt. Dein Revert war also unberechtigt, aber ich lasse ihn stehen. Du sollst auch mal deinen Willen haben... ;-) Gruß --Alfred Grudszus 11:19, 6. Mär 2006 (CET)

Änderung 14:33, 15. Mär 2006 212.79.173.253

"und die umfassende Korrektheit im Rahmen der Verwendung sicherzustellen" habe ich gestrichen. Umgekehrt müsste man ja, wenn man $0^{0}$ undefiniert lässt, ebenfalls "die umfassende Korrektheit im Rahmen der Verwendung sicherstellen", insbesondere also in allen Formeln, die $x^{n}$ enthalten, explizit die Sonderfälle x=0 und n=0 behandeln. Ich habe schon einige Skripten gesehen, wo das "vergessen" wurde. Den Rest der "Warnung" habe ich ein wenig umformuliert. --NeoUrfahraner 15:10, 15. Mär 2006 (CET)

@Alfred Grudszus: "Warum so vorsichtig?" Ich habe "ist es zweckmäßig" durch "kann es zweckmäßig sein" ersetzt, weil in der mir bekannten Literatur kaum jemand darauf hinweist, aber trotzdem $0^{0}=1$ verwendet. Ich habe gerade Abramowitz/Stegun durchgeschaut; dort habe ich keine Aussage zu $0^{0}$ gefunden, aber es taucht dort oft mehr oder weniger gut versteckt, z.B. in (4.3.119) auf und liefert mit $0^{0}=1$ das richtige Ergebnis. Ich möchte daher niemanden vorschreiben, die Definition explizit zu erwähnen, kann aber mit beiden Textvarianten leben. --NeoUrfahraner 15:56, 15. Mär 2006 (CET)

0 hoch 0 als leeres Produkt

Ich bin kein Mathematiker, aber nach meinem Verständnis handelt es sich bei "a hoch 0" um ein leeres Produkt, d. h. um ein Produkt ohne Faktoren. Das ist nunmal 1. In dem Buch "Die Geschichte der Null" gibt es sogar eine anschauliche Herleitung dafür. Es ist ja mitnichten eine willkürliche Festlegung. Das leere Produkt ist aber, wie der Name sagt, leer. Die Basis "a" von "a hoch 0" fließt also in das Produkt gar nicht mit ein. Deshalb kann es keine Rolle spielen, was der Wert von "a" ist. Ein leeres Produkt ist ein leeres Produkt. Es ist unerheblich wovon es leer ist. Das ist wie bei einer leeren Menge. Es gibt nur eine leere Menge und nicht eine leere Menge Birnen oder eine leere Menge Äpfel. Man kann deshalb auch nicht sagen, dass sich "a hoch 0 = 1" und "0 hoch x = 0" widersprechen und deshalb "0 hoch 0" nicht definiert sei. Der Punkt ist, dass "0 hoch x = 0" schlichtweg falsch ist. Es ist keine allgemeingültige Aussage. --subsonic68 10:44, 16. Mär 2006 (CET)

Ich bin auch keiner, dessen Beruf Mathematiker ist. Aber ich denke, "0 hoch x = 0" ist schon richtig. Auch und gerade, wenn man deiner Argumentation folgt, den da steht ja ein Faktor, nämlich die "0". Im übrigen wird bei deiner Argumentation vom "leeren Produkt" unterstellt, das doch ein Faktor da ist, nämlich die 1, die sozusagen sofort in's Leben tritt, wenn irgendwo eine Potenz oder ein x-Zeichen auftaucht. Das klingt nicht besonders folgerichtig. Alfred Grudszus 11:52, 16. Mär 2006 (CET)

$0^{x}=0$ gilt nur für $x>0$. Für $x<0$ ist $0^{x}$ undefiniert. Die Funktion $x\mapsto 0^{x}$ liefert daher keine zwingende Antwort auf die Frage, wie und ob $0^{0}$ definiert werden soll. --NeoUrfahraner 13:09, 16. Mär 2006 (CET)

Ich denke, all die Diskussionen wurden nun schon ein paar Jahrhunderte geführt und das Ergebnis war, das die Mathematiker sich nicht einigen konnten. Insofern bleibt es bei dem Rat, die Angelegenheit jeweils nach Zweckmäßigkeitsgesichtspunkten zu behandeln. 13:17, 16. Mär 2006 (CET)

Laut Wikipedia haben sich die Mathematiker eben schon geeinigt - und "da steht ja ein Faktor, nämlich die 0" : ja, der Faktor steht schon da, aber eben nullmal! Summa summarum kein Faktor. --84.154.76.76 13:18, 23. Mai 2008 (CEST)

Folgt man der ergänzenden Definition, so gibt es kein Plausibilitätsproblem. Dann bedeutet 0^0: Multipliziere die Zahl 1 (neutrales Element der Multiplukation) mit dem Faktor 0 keinmal. Im Ergebnis bleibt die 1 unmulitipliziert da stehen. Genauso wie bei a^0 für a >0 Djat 20:09, 5. Sep 2006 (CEST)

Dann bedeutet [wieso muß es etwas bedeuten?] 0^0: Multipliziere [wieso nicht: Bilde ein Produkt

mit 0 Faktoren aus 0?] die Zahl 1 [wieso 1?] (neutrales Element der Multiplukation [na und?])

mit dem Faktor 0 [wieso nicht hier mit dem Faktor 1, dem neutralen Element der Multiplikation?]

keinmal [warum keinmal und nicht 0 mal oder überhaupt nicht multiplizieren?].

Nimmt man hin, daß es eine Konvention ist und man sich mehr oder weniger genausogut auf x^0=0

oder x^0=unendlich oder x^0=n.def. einigen kann, dann wäre es doch interessant wie sich solche

leicht modifizierte Grundlagen der Mathematik auf die Urknalltheorie, auf Schätzungen bzw

Berechnungen für dunkle Materie und dunkle Energie, auf das Verhalten subatomarer Strukturen,

auf die GUT oder das Quantenvakuum auswirken?

Vielleicht beißen sich ja die Probleme modernsten naturwissenschaftlichen Weltbildes in den

Schwanz uralter - auch im Laufe der Wissenschaftsgeschichte akkumulierter - Konventionen,

kleiner, feiner, unmerklicher willkürlicher Festsetzungen, die sich nun in Ungereimtheiten auf

großer Skala rächen?

--87.178.211.238 23:12, 17. Feb. 2008 (CET)RoNeunzig

Auf welche Stelle des Artikels beziehst Du Dich? --NeoUrfahraner 23:34, 17. Feb. 2008 (CET)

Der Bronstein schließt den einführenden Teil zum Thema Potenzen mit „Man beachte besonders: a⁰=1 für a≠0.“ 84.151.238.224

Negative Basis

Gehört bei negativen Zahlen das Vorzeichen auch mit zur Basis z.b -8² = 64 oder nicht, z.B. -8² = -64 wie es wohl an deutschen Sekundarstufen unterrichtet wird. Dies wird im Artikel nicht 100% klar. Falls dies auf nur auf meinem Unverständnis beruhen bitte sagt mir wo es steht. --87.123.244.13 23:40, 11. Dez. 2006 (CET)

Nach den üblichen Regeln für die Berechnung von Termen hat das Potenzieren Vorrang vor dem Minuszeichen. -8² ist also dasselbe wie -(8^2). Soll das Vorzeichen zur Basis gehören, dann muss man (-8)² schreiben. Ich bin mir nicht sicher, ob der Artikel der richtig Ort ist, um das zu klären. Möglicherweise sollte man ein paar konkrete Beispiele einfügen.--Digamma 20:55, 12. Dez. 2006 (CET)

Siehe auch Operatorrangfolge --Digamma 20:10, 13. Dez. 2006 (CET)

Die Verwirrung kommt vielleicht daher, dass in vielen Programmiersprachen zwischen einem (einstelligen) "Vorzeichenminus" und einem zweistelligen "Differenzen-Minus" unterschieden wird. Während letzteres eine geringe Bindungskraft hat, bindet ein Vorzeichenminus stärker an seinen Operanden als der Potenzierungsoperator.

Diese Unterscheidung und die damit verbundene unterschiedliche Operatorrangfolge existiert in der Mathematik aber nicht. --RokerHRO 23:07, 17. Nov. 2007 (CET)

also ich finde auch, dass die negative Basis genauer erklärt werden sollte. Allerdings bin ich nicht mehr so im Bilde ob die Erklärung stimmt. Mit der vorgestellten Schreibweise 1*a*a*a müsste doch auch -1*a*a*a abgedeckt sein, sodass das Vorzeichen einfach nach der Potenzierung übernommen würde oder nicht ?

Was meinst du nun genau? --RokerHRO 23:07, 17. Nov. 2007 (CET)

Hochzahl vs. Exponent

Ist der deutsche Begriff "Hochzahl" nicht ein wenig veraltet und "Exponent" das weitaus geläufigere Wort dafür? --RokerHRO 15:01, 10. Aug. 2007 (CEST)

Naja, Google liefert 13.000 Treffer (allerdings nicht nur Mathematik). So richtig veraltet ist es also nicht. --NeoUrfahraner 20:35, 10. Aug. 2007 (CEST)

Potenzen Funktionen

Vielleicht sollte hier auch erwähnt werden, dass es auch für Funktionen eine Potenzschreibweise gibt. Unglücklicherweise mit verschiedenen Bedeutungen:

Multiplikation

In Ausdrücken wie $\sin ^{2}\ x$ ist meist $(\sin \ x)^{2}$ also $\sin(x)\cdot \sin(x)$ gemeint, etwa bei den Additionstheoremen für Winkelfunktionen.

Verkettung

Verkettung: $f^{n}(x)$ meint hierbei $f\left(f^{n-1}(x)\right)$, insbesondere ist $f^{-1}(x)$ eine übliche Kurzsschreibweise für die Umkehrfunktion von f. (Während im ersten Fall $f^{-1}(x)={\tfrac {1}{f(x)}}$ wäre.)

Was haltet ihr davon? --RokerHRO 20:38, 30. Aug. 2007 (CEST)

Ein berechtigter und guter Hinweis. Ich versuchs mal einzubauen. --Eckh 16:29, 3. Nov. 2007 (CET)

Danke. An der Formulierung hab ich noch ein wenig gefeilt, aber der Anfang ist gemacht. :-) Vielleicht sollte man noch nachtragen, in welchen Fachgebieten der Mathematik welche Definition gebräuchlicher ist oder so. Im Moment ist das ja noch sehr laienhaft geschrieben, finde ich. --RokerHRO 18:15, 3. Nov. 2007 (CET)

da hast du nicht nur dran gefeilt, sondern noch wesentlich verbessert, schien mir :-). ich finds schon nicht schlecht; was wo gebräuchlicher ist, wird kaum darstellbar sein, aber beispiele sind ja da. mir passt noch nicht, dass die formeln bei mir teilweise so klein sind... hmmm... kapier nicht, wann sie gross erscheinen und wann klein. --Eckh 11:09, 4. Nov. 2007 (CET)

Die "zu kleinen Formeln" sind wahrscheinlich die, die bei deinen Browsereinstellungen als HTML dargestellt werden statt als Bild. Du kannst bei deinen Wikipedia-Einstellungen das ändern, dass alle Formeln als Bild gerendert werden sollen. --RokerHRO 13:21, 4. Nov. 2007 (CET)

Rendern erzwingen?

Eine Kleinigkeit: Die Mischung aus HTML und PNG sieht recht hässlich aus. Ist es ok, wenn ich allgemeines Rendern erzwinge? --KnightMove 13:43, 19. Sep. 2007 (CEST)

Üblicherweise wird empfohlen, das nicht im Text zu machen, sondern es über die Benutzereinstellungen/TeX/"Immer als PNG darstellen" je nach Geschmack zu aktivieren. --NeoUrfahraner 14:09, 19. Sep. 2007 (CEST)

Der Nur-Leser kommt nicht dazu, irgendwas an den Einstellungen zu ändern, und wenn eine Mischung von ansonsten gleichartigen Ausdrücken in einer Tabelle (Rechenregeln) herauskommt, ist das hässlich. --KnightMove 11:30, 20. Sep. 2007 (CEST)

Es ist trotzdem besser, es dem Leser der Seite zu überlassen, wie er die Formeln angezeigt haben möchte und es ihm nicht vorzuschreiben. Ansonsten hat diese Diskussion wenig mit dem Lemma zu tun und sollte eher dort geführt werden. Obwohl... nein, dort ist sie ja bereits geführt worden. --RokerHRO 12:41, 20. Sep. 2007 (CEST)

Potenzen addieren

Hallo Leute, ich suche eine Lösung (wenn es eine gibt) für folgendes Problem, leider hilft mir der Artikel nicht weiter: Ich habe eine Reihe der Form:

s =  x^1 + x^2+...+x^n

Bei gegeben n errechnet sich die Summe s:

s = (x^(n+1) - x) / (x-1)

z.B. für x=2; n=3

s = 2^1 + 2^2 + 2^3
s = 2 + 4 + 8
s = 14

oder

s = (2^4 - 2) / 1
s = 16 - 2
s = 14

Nun habe ich aber n und s gegeben und will s = (x^(n+1)-x) / (x-1) nach x umstellen, also

x= 

Geht das? Und wie? Bob Dylan 20:28, 22. Okt. 2007 (CEST)

Das geht nur wenn n=1,2,3 ist, denn dafür müsstest du Gleichungen (n+1). Grades lösen können, das geht im Allgemeinen nur bis Gleichungen 4. Grades, darüber hinaus existieren nur noch Näherungsformeln und nur für wenige Spezialfälle exakte Lösungsformeln. --RokerHRO 21:38, 22. Okt. 2007 (CEST)

Danke. Merkwürdig, sah so einfach aus :-( Bob Dylan 10:20, 23. Okt. 2007 (CEST)

Tja, einfach aussehende Probleme haben oftmals einfache aber falsche komplizierte Lösungen. ;-( --RokerHRO 15:23, 23. Okt. 2007 (CEST)

Rationale Exponenten mit negativer Basis

Hier sollte zusätzlich gefordert werden, dass der Bruch ${\frac {m}{n}}$ vollständig gekürzt ist. Ansonsten gilt z.B. $-1=(-1)^{\frac {1}{3}}\neq (-1)^{\frac {2}{6}}=1$ Da hier lediglich der Bruch erweitert wurde wird dieser Fall durch das Aussetzen der Potenzregel $(a^{r})^{s}=a^{rs}$ nicht abgefangen. Entweder definiert man $a^{r}$ gar nicht für negative Basen mit rationalen Exponenten, oder man setzt $a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$, falls m und n teilerfremd sind, wie es auch bei Taschenrechnern implementiert ist (und was IMHO daher sinnvoller wäre). --DonPromillo7 03:51, 5. Nov. 2007 (CET)

Meines Erachtens ist es sinnvoll und üblich, $a^{r}$ nur für nichtnegative Basen zu definieren. Dann entsteht das Problem nicht. Bei meinem Taschenrechnet ist die Potenz auch nur für nichtnegative Basen implementiert. --Digamma 14:03, 5. Nov. 2007 (CET)

Das Potenzieren negativer Basen mit ganzzahligen Exponenten stellt aber kein Problem dar und muss behandelt werden. Ob man die nur eingeschränkt verträgliche Verallgemeinerung auf rationale Exponenten weglassen sollte, ist eine andere Frage. Ich halte es der Vollständigkeit halber aber für angemessen, nur wenn, dann auch korrekt. --DonPromillo7 18:10, 5. Nov. 2007 (CET)

Ich wollte mich natürlich nur auf rationale Exponenten beziehen. Und ich möchte Dich keinesfalls daran hindern, den Absatz über Potenzen mit gebrochenen Exponenten bei negativer Basis korrekt umzuformulieren. --Digamma 18:24, 5. Nov. 2007 (CET)

Irgendwie scheine ich letzte Nacht überlesen zu haben, dass im Artikel explizit ein ungerader Nenner gefordert wird, was auch das Erweitern des Bruchs (um 2) mit einschließt... Ich nehme alles zurück^^ --DonPromillo7 21:56, 5. Nov. 2007 (CET)

also, ich muss schon sagen, gebrochene exponenten bei negativer basis ueberhaupt zuzulassen, scheint mir doch ziemlich krank zu sein. wenn man mit sowas rechnen will, sollte man besser die wurzelschreibweise benutzen. --Eckh 16:47, 6. Nov. 2007 (CET)

Ich würde vor allem sagen, dass obige Erweiterung des Exponenten nicht konform mit den Potenzgesetzen ist. Sonst wär ja auch -1 =(-1)^1= (eben nicht) (-1)^(2/2) = sqrt((-1)^2)=1 --χario 23:26, 6. Nov. 2007 (CET)

Das steht ja aber auch explizit dabei: Die Definition gilt nur für ungerade Nenner und die Potenzgesetze auch. Ich würde allerdings auch Eckh zustimmen, dass man in diesem Fall besser Wurzeln benutzen sollte. Aber da es schon mal drin ist im Text und so wie es da steht wohl auch richtig (Es stammt von Gunther, dem trau ich in dieser Hinsicht), würde ich es auch drin lassen. Vielleicht kann man es um einen Satz ergänzen, dass diese Erweiterung wenig hilfreich ist. --Digamma 09:18, 7. Nov. 2007 (CET)

soweit ich das sehe, hat gunther durchaus recht, keine frage. nur mit dieser erweiterung wird z.B. f(x):=(-1)^x zu einer ziemlich kranken funktion: zwischen je zwei rationalen stellen gibt es unendlich viele rationale x, auf denen f nicht definiert ist, unendlich viele rationale x, auf denen f(x)=-1 und unendlich viele rationale x mit f(x)=1. das ist schon nicht mehr einfach nur krank, das ist schon unheilbar krank ;-)

der physiker in mir findet sowas bekloppt und wills in die tonne treten, aber ach, zwei herzen wohnen in weiner brust, denn mathematiker bin ich ja auch, und grad die mathematiker widmen sich ja oft mit besonderer wonne den besonders kranken faellen.

also ists wohl interessant genug, um es drin zu lassen, aber vielleicht sollte man wirklich, wie digamma es vorschlaegt, verdeutlichen, dass diese erweiterung auf negative basen in der regel nicht gemacht wird und auch wenig hilfreich oder wenig sinnvoll ist. --Eckh 22:26, 7. Nov. 2007 (CET)

Nochmal 0^0

Nach welcher Definition, für welche Anwendung würde man $0^{0}$ einen anderen Wert zuweisen als 1?--Gunther 20:23, 29. Mär 2005 (CEST)

Bronstein und mit ihm alle Hardcore-Axiomatiker lassen $0^{0}$ explizit undefiniert (also nichtexistent). Das findet sich so auch in allen streng formalen Klassikern der Mathematik und Theoretischen Physik wie überhaupt in allen Ostblock-Lehrbüchern (die nicht umsonst im streng formalen/theoretischen Bereich nach wie vor unangefochtener Standard sind). Und das aus gutem Grund:

Potenzen sind induktiv aus der Multiplikation definiert. Dabei geben positive Exponenten an, wie of die Basis multipliziert wird (bzw. wie oft im Zähler des Potenzwertes), und negative Exponenten geben an, wie oft das Multiplikations-Inverse der Basis (bzw. die Basis im Nenner des Potenzwerts) multipliziert wird. 0, also weder posi noch nega, ist definiert als weder Basis (Zähler) noch Inverses (Nenner), sondern das Produkt aus beiden (=das neutrale Element der Multiplikation). Aber für die 0 gibt es bekanntlich bezüglich der Multiplikation weder ein Inverses noch ein Produkt aus der 0 und ihrem Inversen ... Im Übrigen gibt es nichts, wofür man $0^{0}=1$ brauchen würde, außer für die eigene Schreibfaulheit. --jhartmann 20:29, 17. Nov. 2007 (CET)

Ist es Schreibfaulheit, wenn man ein Poynom als $\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ schreiben will? Der erste Summand, der für das konstante Glied steht, lautet $a_{0}x^{0}$. Mit der Vereinbarung $x^{0}=1$ für alle $x$ ist das einfach $a_{0}$. Wenn man $0^{0}$ nicht definiert, dann ist das ganze an der Stelle 0 nicht definiert, und man muss umständliche Verrenkungen machen. --Digamma 21:30, 17. Nov. 2007 (CET)

Was ist an $a_{0}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}$ so schlimm? 0^x ist wegen des fehlenden Inversen ja für negative Exponenten (also für Nullen als Faktoren im Nenner) ohnehin nicht definiert, warum soll das ausnahmsweise für 0^0 anders sein? Wieso soll man nur für ein bischen weniger Geschreibe im Fall 0^0 etwas definieren, was mit der gesamten Systematik der Potenz-Syntax nichts zu tun hat? Und vor allem: Warum willst Du eine Ausnahme definieren, die wesentliche (Potenz-)Rechenregeln über den Haufen wirft? (Wie willst Du mit 0^0=1 das z.B. Distributivgesetz für Potenzen retten?) Letztlich wird der Aufwand dafurch sogar größer statt kleiner, denn Du musst nun lauter Ausnahme-Rechenregeln für 0^0 erfinden. --jhartmann

Siehe Abschnitt "Rechenregeln": welchen Regeln sind denn Deiner Meinung nach falsch? Welche Vereinfachungen ergäben sich, wenn man 0^0 undefniert liese? --NeoUrfahraner 09:28, 19. Nov. 2007 (CET)

PS: bei einem Polynom in einer Variablen ist der Unterschied noch vernachlässigbar, bei zwei Variablen wird's schon schlimmer:

$\sum _{i=0}^{m}\sum _{j=0}^{n}a_{i,j}x^{i}y^{j}$ oder

$a_{0,0}+\sum _{i=1}^{m}a_{i,0}x^{i}+\sum _{j=1}^{n}a_{0,j}y^{j}+\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x^{i}y^{j}$

Wie schaut es jetzt bei 3 Variablen aus? --NeoUrfahraner 11:34, 19. Nov. 2007 (CET)

Schreibfaulheit und willkürliche Definitionen

Natürlich ist es Schreibfaulheit, wenn man Sonderfälle geeignet "wegdefiniert", wenn sich dadurch Formeln vereinfachen. Wenn man so eben beispielsweise $0^{0}:=1$ definiert, spart man sich in vielen Formeln eine Menge Schreibarbeit für eben diesen Fall. Im Übrigen ist ja die gesamte Potenzschreibweise von Schreibfaulen "erfunden" worden, die nicht immer $\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{nmal}$ schreiben wollten, und sich darum eben eine Notation $a^{n}$ ausdachten. Multiplikation und selbst die Addition sind ja nur verkürzende Schreibweisen, die Inkrement-Operation würde völlig ausreichen. Allerdings würden die meisten Formeln bei ausschließlicher Verwendung der Inkrement-Operation, gewürzt mit verbalen Kommentaren, noch unübersichtlicher aussehen, als sie es selbst in der modernen mathematischen Formelsprache tun. Man schaue sich nur mal mittelalterliche Mathematik-Lehrbücher an, die eben ohne diese Formelsprache auskommen mussten.
Worauf ich hinaus will: Mathematische Formeln und Notationen sind stets Definitions- und Vereinbarungssache. Es gibt sinnvolle Definitionen und Vereinbarungen und weniger sinnvolle. Und bisweilen mag es sogar vom Themen- und Aufgabengebiet abhängig sein, ob und wenn ja welche Definition sinnvoll oder geeignet ist. Die Bedeutung einer Formel wie $0^{0}$ ist eben auch nur Definitionssache, es gibt da kein "richtig" oder "falsch", allenfalls ein "zweckmäßig" oder "unzweckmäßig". Und anscheinend hat sich in vielen Bereichen und für viele Formeln es sich als zweckmäßig herausgestellt, $0^{0}:=1$ zu definieren. Wer dieser Vereinbarung nicht folgen mag, weil er sie nicht für zweckmäßig hält, kann das gerne tun, und muss dann eben diesen Spezialfall in allen Formeln, wo er vorkommt, explizit behandeln. --RokerHRO 22:58, 17. Nov. 2007 (CET)

Mathematische Syntax/Axiome/Definitionen folgen aber normalerweise einer gewissen Logik bzw. schlüssiger Systematik. Das trifft auch für die Potenzschreibweise zu, die so definiert ist, dass sie induktiv aus der Multiplikation herleitbar ist und übliche, das Rechnen vereinfachende Axiome gelten können (wie (a^c)*(b^c)=(a*b)^c). Warum soll man das, nur um vor Summenformeln in Einzelfällen keinen extra Summanden schreiben zu müssen, mit 0^0=1 alles über den Haufen werfen? (a^c)*(b^c)=(a*b)^c => (a^b)/(b^c)=(a/b)^c => 1=1/1=(0^0)/(0^0)=(0/0)^0? --jhartmann 22:08, 18. Nov. 2007 (CET)

Hast Du den Abschnitt "Rechenregeln" gelesen? (letzte Spalte, letzte beide Zeilen der Tabelle) --NeoUrfahraner 09:21, 19. Nov. 2007 (CET)

Revert der Änderung vom 21:49, 21. Nov. 2007

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Potenz_%28Mathematik%29&diff=39229196&oldid=39229138 : Ich hab's revertiert. Was die "intuitive Definition der Potenz" sein soll, ist völlig unklar und wird im Folgenden nicht verwendet. Dafür widerspricht es irgendwie dem versteckten Absatz, dass es keine Frage von wahr oder falsch, sondern von zweckmäßig oder unzweckmäßig ist. --NeoUrfahraner 08:54, 22. Nov. 2007 (CET)

negative Wurzeln

Ich frage mich, inwiefern der Hinweis

$((-1)^{2})^{\frac {1}{2}}=1\neq -1=(-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}$

im Abschnitt "Rechenregeln" korrekt ist, da

$((-1)^{2})^{\frac {1}{2}}=+/-1$ (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 132.230.122.35 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner)

Wie kommst du denn auf das schmale Brett?

$(-1)^{2}=1$ und $1^{\frac {1}{2}}=1.$ und nicht ±1. --RokerHRO 12:48, 27. Nov. 2007 (CET)

Das Radizieren ist keine eindeutige Zuweisung. Wenn es als "Gegenteil" des Quadrierens betrachtet wird, so ist das Ergebnis des Radizierens die Zahl, die quadriert wieder die ursprüngliche Zahl ergibt.

$(-1)^{2}=1\vee (+1)^{2}=1$

$\Rightarrow 1^{\frac {1}{2}}=\pm 1.$

Ansonsten könnten für die Parabel $y=x^{2}-1$ niemals beide Nullstellen -1 und 1 berechnet werden. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 132.230.122.35 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner)

Du musst unterscheiden zwischen der Wurzelfunktion ${\sqrt {}}:\mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt {x}}$, die einen eindeutigen Wert liefert, und der Lösung der Gleichung $x^{2}=y$, die die beiden Lösungen $x=\pm {\sqrt {y}}$ hat. --NeoUrfahraner 13:40, 27. Nov. 2007 (CET)

Wenn ich mir aber die Erklärung des "Wurzelziehens" bei Wiki ansehe heißt es dort:

"In der Mathematik versteht man unter Wurzelziehen oder Radizieren die Bestimmung der Unbekannten x in der Potenz

$a=x^{n},\,$ [...]"

Und die Unbekannte x kann bei geradem n nunmal positiv und negativ sein. Außerdem wäre eine mathematische Definition, die für einige Zahlen nicht funktioniert, nicht sonderlich sinnvoll. In dem aufgeführten Beispiel handelt es sich auch nicht um eine theoretisch anwendbare Wurzelfunktion sondern um eine Gleichung (wenn diese zwei Dinge tatsächlich getrennt betrachtet werden sollen), wonach ja dann nach Deiner Aussage beide Ergebnisse zulässig sein sollten. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 132.230.122.35 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner 14:00, 27. Nov. 2007 (CET))

Eben nicht. Im angeführten Beispiel handelt es sich um die Potenzfunktion, und nicht um das Lösen einer Gleichung. --NeoUrfahraner 14:00, 27. Nov. 2007 (CET)

Ok, sagen wir, es handelt sich um eine Potenzfunktion. Wenn wir dann Neo's Definition ${\sqrt {}}:\mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt {x}}$ verwenden, gilt die Zuweisung lediglich im positiven reellen Raum (sowohl für x als auch für y). Damit dürfte die $-1$ garnicht eingesetzt werden, da die Funktion nicht für diesen Bereich definiert ist. Also ist entweder das Beispiel nicht zulässig für diese Definition oder die Definition nicht passend für dieses Beispiel. In beiden Fällen sollte der Artikel aber korrigiert werden. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 132.230.122.35 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner 17:56, 27. Nov. 2007 (CET))

Ja, genau das ist der Punkt bei dem Beispiel. Direkt oberhalb steht ja, dass bei reellen Exponenten die betreffende Rechenregel nur für eine positive Basis gilt. Die weiter unten stehende Faustregel "wann immer alle Ausdrücke definiert sind" gilt aber nicht mehr, da man meinen könnte, eine negative Basis wäre erlaubt, wenn diese zuerst mit einer ganzen Zahl im Exponenten auftritt, weil dieser Ausdruck ja "definiert" ist. Wie sollte man denn es Deiner Meinung nach formulieren, um dieses Falle deutlich zu machen? --NeoUrfahraner 17:56, 27. Nov. 2007 (CET)

Ich würde entweder die Anmerkung komplett streichen, da die Einschränkungen ja darüber aufgeführt sind, oder aber das Ganze als Beispiel bezeichnen und darauf hinweisen, dass hier zwei unterschiedliche Definitionsbereiche verwendet wurden, wodurch kein lösbarer Ausdruck zustande kommt. Vielleicht sollte die Tabelle auch die Spaltenüberschriften Rechenregel und Definitionsbereich oder Randbedingungen bekommen. Ist es noch sinnvoll, klarzustellen, dass die Definitionsbereiche alternativ sind, also nicht alle gleichzeitig gelten können? Und den Satz "Bis auf die Ausnahme $(a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}$ gelten die Regeln, „wann immer alle Ausdrücke definiert sind“;" würde ich durch "Die Regeln gelten, solange die jeweiligen Randbedingungen erfüllt sind" ersetzen. (nicht signierter Beitrag von 132.230.122.35 (Diskussion) 15:05, 28. Nov. 2007)

Das würde meiner Meinung nach den Artikel nicht verbessern. Wie sehen's andere? --NeoUrfahraner 14:47, 30. Nov. 2007 (CET)

Ich sehe das auch so.--Digamma 15:57, 30. Nov. 2007 (CET)

Ich hab allerdings mal die Formel unter "negative Exponenten" anders geschrieben, ich denke, dass die damit dem darüber stehenden Text besser angepasst ist. -- Jesi 19:19, 30. Nov. 2007 (CET)

Das betrifft eine andere Stelle; beide Varianten betrachte ich als gleichwertig. --NeoUrfahraner 07:55, 1. Dez. 2007 (CET)

Ja, da hast du natürlich zweimal Recht. -- Jesi 09:28, 1. Dez. 2007 (CET)

Revert

Was spricht gegen die mathe-Umgebungen in der Einleitung? Variablen sollten so gesetzt werden, deswegen habe ich das mal wieder revertiert. --χario 13:06, 18. Jan. 2008 (CET)

Ich hab mal versucht, einen Kompromiss zu machen. Durch die Änderungen von Jshimbi war gar keine Einleitung mehr da, in der vorherigen bzw. revertierten Fassung war sie etwas lang und im eigentlichen Artikel ging es etwas unschön mit "Abweichende Schreibweisen" los. Im Moment haben wir eine kleine Einleitung und am Artikelbeginn eine "Definition". -- Jesi 16:08, 18. Jan. 2008 (CET)

Was jetzt nicht mehr passt, ist, dass der Exponent in der Definition n heißt, in der Begriffserklärung aber b.--Digamma 16:34, 18. Jan. 2008 (CET)

Klar, habs korrigiert. Diese Änderung in der Definition hatte ja Jshimbi vorgenommen, und ich denke, das ist besser so, weil es üblicher ist. -- Jesi 17:27, 18. Jan. 2008 (CET)

ganz komplexe Potenzen berechnen

Wie berechnet man zB (a+bi)^(c+di) ?

(a+bi)^(c+di)

= (a+bi)^c * (a+bi)^(di)

= (m+ni) * ((a+bi)^d)^i [wobei m,n berechenbar]

= (m+ni) * (p+qi)^i [wobei p,q berechenbar]

Wie weiter? Was ist (p+qi)^i ?

(nicht signierter Beitrag von 217.248.84.131 (Diskussion) 08:00, 17. Mai 2008)

Für eine solche Berechnung kann man die Möglichkeit benutzt, die Formel $a^{b}$ so zu gestalten:

$a^{b}\;=\;\exp \;({b\cdot log\;{a}})$

wobei man beim Logarithmus den sogenannten Hauptwert nimmt. -- Jesi 12:16, 17. Mai 2008 (CEST)

Und wie findet man einen solchen Logarithmushauptwert? Dort steht dass diejenige Zahl w im Streifen ... für die gilt e^w=a der Hauptwert des nat. log. von a ist. Wie kann man dieses w finden? -- 217.248.84.131

Dazu musst Du die komplexe Zahl in Polarform darstellen. --NeoUrfahraner 08:48, 20. Mai 2008 (CEST)

... und als Service hier gleich weiter: Diese lautet $z=r\cdot e^{i\;\phi }$ und es ist dann $\log z=\log r+i\cdot \phi$. -- Jesi 14:27, 20. Mai 2008 (CEST)

D A N K E ! ! !

Kehrwert einer Potenz

Macht es Sinn neben $a^{r-s}={\frac {a^{r}}{a^{s}}}$ auch noch $={\frac {1}{a^{s-r}}}$ mit $a\neq 0$ zu erwähnen? Abstimmung?--Mordwinzew 22:16, 17. Dez. 2008 (CET)

Ist überflüssig, da ja allgemein a^-n = 1 / aⁿ vorhanden ist. -- Jesi 14:36, 9. Jan. 2009 (CET)

x^x, x^(x^x), usw.

Kann man x^x zu xo2 und x^(x^x) zu xo3 zusammenfassen? (o steht für die Rechenoperation) Und falls ja: Gibt es eine Bezeichnung für diese Operation? Man kann ja auch x*x zu x^2 und x*x*x zu x^3 vereinfachen. Byteridr 17:05, 3. Feb. 2009 (CET)

Siehe Potenzturm oder Hyper4. --RokerHRO 20:58, 20. Mai 2009 (CEST)

Wegmachen eines Doppelpunktes

Ich habe dei der Gleichung a^m:n = n. Wurzel aus a^m. Dort war ein Doppelpunkt, welcher die Gleichung unlogisch machte.

Grüße,

MQ (nicht signierter Beitrag von 84.163.128.17 (Diskussion | Beiträge) 20:37, 9. Apr. 2005 (CEST))

Das ist ein verbreitetes Symbol, um anzudeuten, dass die linke Seite über die rechte definiert wird. Wird in der WP aber genau aus dem Grund, dass es eben nicht jeder kennt, abgelehnt.-- Gunther 21:24, 9. Apr 2005 (CEST)

Potenzen komplexer Zahlen

Existiert eigentlich irgendeine anschauliche Erklärung, was es bedeutet einen komplexen Exponenten zu verwenden? Bei rationalen Exponenten, kann man den Bruch als eine n-te Wurzel einer m-ten Potenz darstellen. Ist der Exponent reel, so ist die Potenz ein Grenzwert einer unendlichen Folge von Potenzen mit rationalen Exponenten.

Danke TR (nicht signierter Beitrag von Taschenrechner (Diskussion | Beiträge) 12:11, 22. Apr. 2005 (CEST))

Hm, gute Frage. Wenn die Basis positiv reell ist, geht es noch halbwegs:

$a^{x+\mathrm {i} y}=a^{x}\cdot a^{\mathrm {i} y}$

$a^{x}$ kennt man, und $a^{\mathrm {i} y}$ ist eine komplexe Zahl vom Betrag 1, entspricht also einer Drehung. Geht man von $y=0$ aus und macht dann $y$ größer oder kleiner, bewegt sich $a^{x+\mathrm {i} y}$ auf dem Kreis um den Ursprung mit Radius $a^{x}.$

Für eine echt komplexe Basis wird das ganze wesentlich komplizierter, aber das kommt auch viel seltener vor. Dann gibt es keine stetige Potenzfunktion auf der ganzen komplexen Zahlenebene mehr, und man muss Wahlen treffen. Mit den "Hauptwerten" gilt

$\mathrm {i} ^{x+\mathrm {i} y}=\mathrm {e} ^{(x+\mathrm {i} y)\cdot \mathrm {i} \pi /2}=(\mathrm {e} ^{-\pi /2})^{y}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\pi /2},$

d.h. jetzt bestimmt $y$ den Betrag und $x$ die Richtung. Für Basen $a$, deren Real- und Imaginärteil beide nicht Null sind, wird es nochmal komplizierter.

Kurz: $a^{z}$ für positive reelle $a$ funktioniert tadellos, $z^{n}$ für ganze $n$ auch, Wurzeln gehen gerade noch so halbwegs, Potenzen von zwei echt komplexen Zahlen kann man zwar definieren, es gibt aber einige Probleme.--Gunther 12:40, 22. Apr 2005 (CEST)

"Fachausdruck 'Fortsetzung'"

Irgendwie ist die mathematische Sprache eine ziemlich verarmte... --Alfred Grudszus 18:41, 5. Mär 2006 (CET) P.S.: Sicher kommt jetzt jemand auf die Idee, sie nicht verarmt, sondern "genial vereinfacht" zu nennen... ;-)

Was nun?

leider hat wikipedia auch kein eindeutiges ergebnis. als einfache lösung mit den kenntnissen für einen schüler am gymnasium ließe sich ein "Error" auf dem taschenrechner relativ leicht erklären. (ich weiß, schlechte mathematische schreibweise)

e^0=1 weil 0* ln(e)=ln(1)

damit ist: 0=0

0^0=1 ?

damit wäre: 0* ln(0)=ln(1)

und ln(0) gibt es im prinzip nicht, da sich der ln asymtotisch zur y- achse hinbewegt. (also im mathematischen)

lim ln(x->0) (x)= - unendlich

aber im artikel gibt es ja mehrere und auch viel ausführliche erklärungen dazu.

nachtrag

wenn man aber bei: lim(x->0) ln(x)= - unendlich

weitermacht, könnte es auch so aussehen:

0 * (-unendlich)= 0

oder auch irgendwas anderes...

weil man auch sagen kann: x/(-unendlich)=0 (x € R \ 0)

also könnte ja theoretisch auch sein: 0 * (-unendlich)=x (x € R \ 0)

Hinweis für Abschreibwillige: BITTE NICHT!!! ich habe kein mathematik studiert. ich gehe lediglich von meinem wissen aus und meinen bekannten mathematischen mitteln und erklärungsansätzen. es kann überall sein, dass mein ansatz FALSCH ist. Darum nur mit ÄUßERSTER vorsicht genießen!

st.ku --84.182.7.247 19:48, 8. Mai 2006 (CEST)

Was ist jetzt Deine Frage? --NeoUrfahraner 18:58, 9. Mai 2006 (CEST)

gebrochene Exponenten

Hier fehlen viele Informationen zu Potenzen mit gebrochenen Exponenten und den Konvertierungsmöglichkeiten in die Wurzelschreibweise. Könnt ihr vllt was adden, wenn ihr was wisst? (nicht signierter Beitrag von 80.131.130.184 (Diskussion)13:40, 24. Sep. 2006 (CEST) NeoUrfahraner)

Klar, weil Du den Abschnitt gelöscht hast. Ich habe den alten Zustand wieder hergestellt. --NeoUrfahraner 13:56, 24. Sep 2006 (CEST)

Beispiel unpassend ...

Meiner Meinung nach ist das Beispiel 2 aus "6.1 Anwendungsbeispiele von Zweierpotenzen" zu 99% ungeeignet: die Herangehensweise "ein Mensch - zwei leibliche Eltern - vier Großeltern..." ist zwar soweit richtig, wenn man aber den logarithmischen Zusammenhang der Fortpflanzung "weiterspinnt", ergibt sich für die heutige Weltbevölkerung eine Ahnenzahl von ca. (6,6) * (10^9) * (2^70). *grins*

Ich halte diese Vernachlässigung der diffusen Überkreuzung von Stammbäumen im Laufe der Geschichte sowie der Tatsache, dass zwei Eltern meistens (v.a. früher) mehr als ein Kind haben für ziemlich unsachgemäß.

Besser wäre da vielleicht ein Hinweis auf das allgemeine "exponentielle Bevölkerungswachstum", was allerdings nichts mit 2er-Potenzen zu tun hat. (außer evtl. die Angabe einer ungefähren Verdopplungszeit)

MfG, --2freaky4u 23:29, 31. Okt. 2006 (CET)

Kommazahlen

Wie Rechnet man eigentlich potenzen mit kommazahlen? Bsp: 5^0.5 (formel funktioniert nicht!) (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Benutzer:Firecool (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner) 13:38, 30. Apr. 2007 (CEST)

Siehe Absatz Potenz (Mathematik)#Reelle Exponenten. Zur Formel: "{" und "}"fehlen: $5^{0.5}$ --NeoUrfahraner 17:08, 30. Apr. 2007 (CEST)

Probleme

Ich habe eine Reihe von Problemen mit dem Artikel. Ich werde sie nacheinander besprechen. Zunächst:

Festlegung?

"Für $b=0$ wird $a^{0}=1$ festgelegt." Das halte ich so für nicht richtig. IMHO handelt es sich im Falle $a\neq 0$ nicht um eine Festlegung, sondern um eine zwingende Folgerung aus der Natur von $\mathbb {R}$ und der Potenzschreibweise - hier muss nichts festgelegt werden. Hingegen ist es im Falle $a=0$ nicht allgemein festgelegt. In manchen Bereichen der Mathematik ist es als Festlegung sinnvoll, in anderen muss man $0^{0}$ als undefiniert stehen lassen. --KnightMove 22:11, 18. Sep. 2007 (CEST)

Anfangs definiert man ja nur $a^{n}$ für natürliche Zahlen. Erst wenn man sieht, was das Potenzieren mit Brüchen macht, kann man negative Exponenten via $a^{-n}:={\frac {1}{a^{n}}}$ definieren und damit man $a^{n}a^{m}=a^{n+m}$ auch für negative n und m hinschreiben kann, muss man $a^{0}=1$ festlegen. Ich halte es für nicht so geschickt, gleich mit der $\exp(b\ln(a))$-Tür ins Haus zu fallen; da fiele natürlich obiges sofort raus, wenn man sich die Reihendarstellung der Exponentialfunktion anguckt.--R. Möws 00:16, 19. Sep. 2007 (CEST)

Mag sein, dass das ursprünglich "intuitiv", "heuristisch" so festgelegt worden ist. Heute ist es nach den gängigen Definitionen und Funktionen eine triviale Folgerung, keine zusätzliche Festlegung. Die Potenzschreibweise mit Exponenten in $\mathbb {N} ^{+}$macht für Basen in jeder Halbgruppe Sinn, für $\mathbb {N} _{0}$ in jeder Halbgruppe mit neutralem Element (=Monoid), und $a^{0}$ ist dann immer und ausnahmslos das neutrale Element. In $\mathbb {R}$ bezieht sich die Potenzschreibweise auf die Multiplikation in $\mathbb {R} \setminus 0$, deren neutrales Element ist 1, und damit ist $x^{0}$ gleich 1. Das erfordert keinerlei zusätzliche Definitionen. --KnightMove 13:18, 19. Sep. 2007 (CEST)

Kommt drauf an, wie man es aufbaut. Ich würde einfach induktiv sagen, $x^{0}$ ist das neutrale Element, $x^{n+1}=x^{n}\cdot x$. Damit ist $x^{0}$ aber Teil der Definition. Wie dem auch sein, welche Formulierung wäre Dir lieber? z.B. Für $b=0$ folgt $a^{0}=1$ Woraus folgt das? Klarerweise folgt es für $a\neq 0$ aus $a^{n}a^{m}=a^{n+m}$, aber ist $a^{n}a^{m}=a^{n+m}$ ein Axiom? Welchen axiomatischen Aufbau verwendest Du dabei? --NeoUrfahraner 14:19, 19. Sep. 2007 (CEST)

Den da. (man beachte meinen letzten Edit dort) --KnightMove 14:32, 19. Sep. 2007 (CEST)

Ja, dort ist $x^{0}$ als das neutrale Element definiert, und die Potenzgesetze folgen mit Induktion aus der Definition $x^{n+1}=x^{n}\cdot x$. Übrigens hast Du damit auch implizit $0^{0}=1$ festgelegt, da die reellen Zahlen bzgl. der Multiplikation bekanntlich ebenfalls ein Monoid sind. --NeoUrfahraner 14:57, 19. Sep. 2007 (CEST)

PS: Aus $x^{1}=x$ und der Fortsetzung von $x^{n+1}=x^{n}\cdot x$ auf $n=0$ erhält man $x^{0}=e$ (wobei $e$ das neutrale Element) lediglich für invertierbare Elemente $x$. Für die nicht-invertierbaren Elemente kann es noch andere Lösungen geben, $x^{0}=e$ ist dann eine mehr oder weniger willkürliche (aber sinnvolle) Festlegung. --NeoUrfahraner 17:08, 19. Sep. 2007 (CEST)

Du hast hier Recht, da lag ich falsch. Aber meine Ansicht stammt aus dem Artikel, was wiederum seine Fehlerhaftigkeit beweist. Bei Monoiden muss offenbar insbesondere das Problem von absorbierenden Elementen berücksichtigt werden. Vielleicht sollte man sie aus dem "Allgemein"-Abschnitt ganz herauslassen und diesen auf Gruppen und Halbgruppgen beschränken. --KnightMove 11:30, 20. Sep. 2007 (CEST)

Diese Problematik wird im Abschnitt Potenz (Mathematik)#„Null hoch null“ ausführlich und mit Quellenangaben diskutiert - reicht das nicht? --NeoUrfahraner 08:56, 19. Sep. 2007 (CEST)

Ich habe den Abschnitt gelesen und betrachte seine Schlussfolgerung als Theoriefindung bzw. im Widerspruch zu seinem eigenen Inhalt. Offenbar kann man in manchen Bereichen der Mathematik $0^{0}$ als 1 festlegen, in anderen nicht. Es gilt das abzugrenzen - als ganzes definiert ist $0^{0}$ nicht. Und selbst wenn es das wäre, ist das ein fundamentaler Unterschied zu $a^{0},a\neq 0$ !! --KnightMove 13:13, 19. Sep. 2007 (CEST)

Wie kann es Theoriefindung sein, wenn es durch Literatur (Knuth, Kahan) belegt ist? --NeoUrfahraner 14:06, 19. Sep. 2007 (CEST)

Knuth hat 1992 seine Analyse und These veröffentlicht. Gut. Dass sie zum Allgemeingut in der Mathematik geworden wäre, ist im Moment noch unbelegt. Ich habe im Studium noch etwas anderes gelernt... nach 1992. --KnightMove 14:35, 19. Sep. 2007 (CEST)

Ja, Allgemeingut in der Mathematik ist es anscheinend nicht, daher greift WP:NPOV Punkt 5: Klar zugeordnete Argumente für die eine oder andere Position dürfen angegeben werden. Unbelegte Standpunkte, die weder einer Person noch einer Gruppe zugeordnet werden können, sind möglicherweise unerwünschte Theoriefindung., und es handelt sich um klar zugeordnete Argumente und nicht um Theoriefindung. Klar zugeordnete Argumente (mit Literaturangaben) gegen die Festlegung $0^{0}=1$ kannst Du natürlich ergänzen. --NeoUrfahraner 14:57, 19. Sep. 2007 (CEST)

Ich sehe keine Beweislast auf meiner Seite. Der Abschnitt legt die verschiedenen Positionen dar, gut so. Dass die Einleitung aber $0^{0}=1$ festschreibt, ist nach Deinen eigenen Ausführungen POV. Außer, die Ansicht von Knuth hat sich als Allgemeingut in der Mathematik durchgesetzt und entsprechend auch in den neueren Auflagen der Mathematiklehrbücher. Das bliebe von denen, die die jetzige Darstellung wollen, zu belegen.

Ja, dass die Einleitung aber $0^{0}=1$ festschreibt, ist tatsächlich POV - man müsste strenggenommen z.B. ergänzen "Für den Spezialfall $0^{0}$ siehe aber Abschnitt Null hoch Null." Die Frage ist allerdings, ob die Einleitung dadurch nicht überladen wird. --NeoUrfahraner 12:45, 20. Sep. 2007 (CEST)

Ich stelle folgende Hypothese (!) in den Raum: $0^{0}$ lässt sich sinnvoll als 1 festlegen, wenn nur Exponenten in $\mathbb {N} _{0}$ oder $\mathbb {Z}$ vorkommen, aber nicht, wenn Exponenten in $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ erlaubt sind. --KnightMove 11:30, 20. Sep. 2007 (CEST)

Diese Variante taucht auch in http://www.cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/math-faq.html auf, dort wird dann auf Kahan verwiesen, der insbesondere für die numerische Mathematik auch die Festlegung $0.0^{0.0}$ empfiehlt. Wie gesagt, wenn Du Quellen hast, die das empfehlen (die sci.math FAQ ist da nur sehr bedingt geeignet), kann man sie ergänzen. Meiner persönlichen Meinung nach wird durch die Unterscheidung reeller/ganzzahliger Exponent nichts gewonnen und einiges komplizierter gemacht (welche 0 ist jetzt reell und welche ganzzahlig?). Kennst Du irgendeine mathematische Aussage, die durch die Konvention "$0.0^{0.0}$ ist undefiniert" einfacher bzw. erst korrekt wird? --NeoUrfahraner 12:45, 20. Sep. 2007 (CEST)

negative Basen, rationale/reelle Exponenten

Man sollte erwähnen, dass die Potenzierung einer negativen Basis mit einem nichtganzzahligen Exponenten ein komplexes (nichtreelles) Ergebnis liefert. --Röhrender Elch 22:30, 13. Okt. 2009 (CEST)

@Definition

Wie nennt man Funktionen mit a hoch 4 oder höher (Liste!). a hoch 4 wäre etwas mit quartär und weiter? a hoch 5? --77.189.60.97 13:42, 8. Feb. 2010 (CET)

0⁰

Nach welcher Definition, für welche Anwendung würde man $0^{0}$ einen anderen Wert zuweisen als 1?--Gunther 20:23, 29. Mär 2005 (CEST)

Ich habe in einem Buch nur die Andeutung gefunden, dass das etwa so ist, wenn man $f(x)=0^{x}$ stetig haben will anstatt $f(x)=x^{0}$. --Eldred 08:42, 30. Mär 2005 (CEST)

Wobei $0^{x}$ ja für $x<0$ ohnehin nicht definiert ist und $x^{y}$ egal mit welcher Definition an der Stelle $(0,0)$ nicht stetig ist. Gibt es irgendwelche Formeln, für die man Ausnahmen machen müsste, wenn $0^{0}=1$ ist? Gibt es irgendein Buch, irgendeine sonstige ernstzunehmende Referenz, die $0^{0}=0$ setzt?--Gunther 10:11, 30. Mär 2005 (CEST)

Was mir gerade aufgefallen ist, ist dass die Wurzel aus -27 nicht -3, sondern im bereich der Reellen Zahlen nicht definiert ist! (Abschnitt: nicht ganzzahlige Exponenten) Gruß Q (nicht signierter Beitrag von 84.145.80.111 (Diskussion | Beiträge) 13:44, 20. Okt. 2005 (CEST))

Es spricht wenig gegen die Definition ${\sqrt[{q}]{x}}=-{\sqrt[{q}]{|x|}}$ für negative x und ungerade q.--Gunther 13:52, 20. Okt 2005 (CEST)

Die Gleichung $-27=x^{3}$ ist sogar eindeutig lösbar in R, im Gegensatz zu $4=x^{2}$. --DFG 21:17, 12. Nov 2005 (CET)

Es ist keine gute Idee, ein Funktionsergebnis (mehr oder weniger) willkürlich festzulegen: läßt sich eine Gleichung, die keinen entsprechenden Ausdruck enthält, durch korrekte Umformungen so gestalten, daß ein solcher doch auftritt (oder umgekehrt), so liefert eine solche Funktion je nach Auslegung plötzlich unterschiedliche Ergebnisse! Vgl. „nochmal 0 hoch 0“ unten, an der Stelle mit ${\frac {\sin x}{\sin {2x}}}$

Die "willkürliche Festlegung" $0^{0}=1$ resultiert ganz einfach aus der Tatsache $\lim _{x\to +0}x^{x}=1$. -- Jesi 05:45, 20. Sep. 2007 (CEST)

Ein Beweis zu $\lim _{x\to 0}x^{x}=1$ kann etwa wie folgt geführt werden. Zunächst formt man um: $x^{x}=e^{\ln(x^{x})}=e^{x\cdot \ln(x)}$ für alle positiven reellen x. Nun benutzt man, dass $\lim _{x\to 0}x\cdot \ln(x)=0$ ist (wie man z. B. in dem exzellenten Buch von Günter Pickert: Einführung in die Differential- und Integralrechnung, Klett Studienbuch 98312, Stuttgart 1969, Seite 135 nachlesen kann). Damit erhält man sodann wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion $\lim _{x\to 0}x^{x}=\lim _{x\to 0}e^{x\cdot \ln(x)}=e^{\lim _{x\to 0}x\cdot \ln(x)}=e^{0}=1$. --Analyx 19:41, 19. Feb. 2010 (CET)

Kannst Du irgendeine Quelle angeben, die Deine Behauptung belegt? Genausogut könnte man ja auch sagen, dass $\lim _{x\to +0}0^{x}=0$ und daher $0^{0}=0$ sein muss. Grenzwertargumente sind jedenfalls untauglich, da $x^{y}$ an der Stelle $(0,0)$ unstetig ist und unstetig bleibt, egal, wie man $0^{0}$ definiert. Knuth argumentiert jedenfalls dahin, dass die Konvention $0^{0}=1$ viele Formeln vereinfacht, weil der Spezialfall 0 damit abgedeckt ist, der sonst extra behandelt werden müsste. Du kannst ja in der zitierten Arbeit die Argumente nachlesen (free download). Kahan argumentiert eher noch mit Grenzwerten und meint, dass bei den typischerweise in numerischen Anwendungen auftretenden Grenzwerten $0^{0}=1$ der richtige Limes ist. --NeoUrfahraner 08:49, 20. Sep. 2007 (CEST)

Eine konkrete Stelle habe ich jetzt auf Anhieb nicht gefunden, vielleicht finde ich ja mal noch eine. Dein letzter Satz unterstreicht ja meine Bemerkung (ich setze jetzt mal voraus, dass ich deine Frage auf das Problem der Festlegung und nicht auf die Tatsache lim_x->0 x^x = 1 bezieht). Aber es hat sich ja nun sowieso erledigt. -- Jesi 11:24, 20. Sep. 2007 (CEST)

Also meiner Ansicht nach ist $0^{0}$ nach folgenden Regeln und Definitionen nicht definiert: $a^{n}$ für alle natürlichen Zahlen $n$ ist klar definiert. $a^{-n}$ wird definiert als ${\frac {1}{a^{n}}}$. Nach den rechenregeln ist $a^{n}+a^{m}=a^{n+m}$. $a^{0}$ folgt nach diesen Regeln als $a^{n}*a^{-n}$ oder ${\frac {a^{n}}{a^{n}}}$ oder noch einfacher ${\frac {a}{a}}$ oder eben einfach $1$ (solange a ungleich null ist!). nach dieser Definition ergibt $0^{0}$ eine Division durch Null (${\frac {0^{1}}{0^{1}}}={\frac {0}{0}}$). Division durch Null ist nicht definiert (man kann Grenzwerte bilden, aber dass sind dann eben Grenzwerte von Funktionen und nicht "der Wert"). Im übrigen, deckungsgleich, mit dem was ich gesagt habe, steht in allen Tafelwerken, dass $0^{0}$ nicht definiert ist. Per Definition ist es das auch nicht. Man muss die Formulierung entsprechend ändern! --VegetableHarry 2008-06-05 15:01

Knuth, Donald Ervin. Two notes on notation. AMM 99 no. 5 (May 1992), 403–422. Preprint (als TeX-Quelltext) auf der Homepage von Knuth. --NeoUrfahraner 17:37, 5. Jun. 2008 (CEST)

Ich bin zwar keine mathematische Leuchte, aber $0^{0}=1$ leuchtet mir absolut nicht ein, denn, wie VegetableHarry oben erläuterte: $x^{n-1}={\frac {x^{n}}{x}}$ was für $x=0,n=0$ folgendes ergäbe: $0^{1-1}={\frac {0^{1}}{0}}$. Da eine Division durch 0 nicht definiert ist, kann doch ${\frac {0^{1}}{0}}$ nicht "einfach, weil's sich dann unter bestimmten umständen leichter rechnen lässt" plötzlich mit $1$ definiert sein. Wenn $0^{0}=1$ dann hieße das doch auch ${\frac {0}{0}}=1$. Bin ich zu naiv, oder wäre dann tatsächlich definiert: $x^{n-1}={\frac {x^{n}}{x}}$ gilt nur, wenn nicht (x=0 und n=0)? Vorsteven 01:26, 30. Jul. 2008 (CEST)

Wenn man den Blickwinkel nimmt, $a^{b}$ ist gleich der Anzahl von Abbildungen von $B\to A$ mit $|B|=b$ uws. Dann gibt es genau eine Abbildung, die die leere Menge auf die leere Menge abbildet aber keine einzige Abbildung die für $b>0$ die Menge $B\to \emptyset$ abbilden könnte. Die ganzen Grenzwert-Geschichten verwirren nur. Ich hatte mal angefangen leeres Produkt zu schreiben, aber der schimmelt noch son bisschen vor sich hin. --χario 02:28, 30. Jul. 2008 (CEST)

An Vorsteven: Formal hat man doch auch $0^{1}=0^{3-2}={\frac {0^{3}}{0^{2}}}$, nach Deiner Logik kann man also auch $0^{1}$ nicht definieren. Wenn Du den Abschnitt Potenz_(Mathematik)#Rechenregeln durchliest, siehst Du, dass die betreffende Rechenregel für Basis Null nicht gilt ist, unabhängig davon, ob und wie $0^{0}$ defininert ist. --NeoUrfahraner 07:09, 30. Jul. 2008 (CEST)

Null hoch Null

Ich verstehe nicht was der Vergleich mit e hoch 0 und Null hoch Null soll? Die Null hoch Null ist sobalt ich weiß nicht definiert -> Taschenrechner gibt Error aus. Außerdem ist e = 2,7... und somit ne Zahl ungleich Null, für die gilt e hoch Null = 1. Beweise mal das Null hoch Null = e hoch Null ist! (nicht signierter Beitrag von 145.254.185.186 (Diskussion | Beiträge) 23:19, 9. Jan. 2006 (CET))

Das Argument ist anders. Es gilt

$\mathrm {e} ^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},$

also insbesondere

$1=\mathrm {e} ^{0}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {0^{k}}{k!}}={\frac {0^{0}}{0!}}+{\frac {0^{1}}{1!}}+\ldots =0^{0}.$

Klar?--Gunther 23:24, 9. Jan 2006 (CET)

Nein, es gilt

$\mathrm {e} ^{x}=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},$

beweisen lässt sich so gar nichts. --mst 13:57, 18. Jan 2006 (CET)

Natürlich kann man nichts beweisen, es geht ja um eine Konvention. Aber nenne mir bitte ein ernstzunehmendes Buch, das die Gleichung in der von Dir angegebenen Form schreibt.--Gunther 13:59, 18. Jan 2006 (CET)

Bronstein schreibt sogar nur: $e^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\dots$, ganz ohne Summe. Ich wollte damit auch nur sagen, dass in dieser Form der Exponentialfunktion die Konvention natürlich schon enthalten ist (wird im Artikel ja auch ausdrücklich erwähnt). --mst 14:38, 18. Jan 2006 (CET)

Das ist wieder etwas anderes, bei explizit ausgeschriebenen Summanden schreibt natürlich normalerweise niemand $x^{0}/0!$. Aber $k=0$ aus der Summe abzuspalten erscheint mir extrem ungewöhnlich.--Gunther 14:49, 18. Jan 2006 (CET)

Klar, ich wollte ja auch nur darauf hinweisen, dass sich aus dieser Darstellung nichts beweisen lässt, da die Konvention natürlich schon hereingesteckt wird. --mst 14:59, 18. Jan 2006 (CET)

Man kann auch umgekehrt schauen, wo allein in der Wikipedia die Konvention $0^{0}=1$ in diesem Zusammenhang verwendet wird. Und da findet man nicht nur Exponentialfunktion, sondern auch en:Exponential_function, fi:Eksponenttifunktio, fr:Exponentielle, he:פונקציה מעריכית, io:Exponentala, ja:指数関数 etc. Das sagt zwar auch nichts über wahr oder falsch, aber doch einiges über die Verbreitung der Konvention aus. --NeoUrfahraner 14:19, 18. Jan 2006 (CET)

Zu „Null hoch Null“ hat Professor Günter Pickert (Univ. Gießen) in der Zeitschrift „Praxis der Mathematik“ 1982, Heft 7, Seite 213-214 eigentlich schon alles Notwendige erschöpfend gesagt, so dass sich jede weitere Diskussion in dieser Angelegenheit erübrigen sollte . 80.143.119.84 15:49, 28. Mär. 2009 (CET)

Ich hab es schon ganz oben eingetragen: Die Festlegung $0^{0}=1$ resultiert ganz einfach aus der Tatsachen $\lim _{x\to +0}x^{x}=1$. -- Jesi 05:45, 20. Sep. 2007 (CEST)

Siehe meine Antwort oben. --NeoUrfahraner 08:49, 20. Sep. 2007 (CEST)

Das Argument von Jesi, daß der Grenzwert $\lim _{x\to +0}x^{x}=1$ die Festlegung $0^{0}=1$ unterstützen würde, ist unzulässig. Der fragliche Ausdruck $0^{0}$ ist eine sogenannte unbestimmte Form: denn es ist nicht gesagt, daß in der Potenz $x^{z}$ die beiden Variablen x und z gleichmäßig gegen 0 konvergieren sollen. Unter dieser starken Zusatzannnahme ist dann der doppelte Grenzübergang zulässig und der Grenzwert $\lim _{x\to +0}x^{x}=1$ kann als Vergleich herangezogen werden. Man betrachte folgenden Grenzwert als Beispiel der unbestimmten Form $0^{0}$

$\lim _{x\to +0}x^{\frac {1}{\ln x}}=e=2,71828...$

Folgendes Gleichnis mag die Situation verdeutlichen:

„Professor Kaluza in Göttingen warnte seine Studenten oft vor den Gefahren des doppelten Grenzüberganges und ermahnte sie, damit vorsichtig umzugehen. Er machte dies an folgendem Beispiel klar: Ein Mann kommt mit Magenbeschwerden zum Arzt. Der Arzt untersucht ihn gründlich und sagt dann: Sie müssen öfter essen, aber dabei weniger! Der Mann wollte es besonders gut machen und führte einen doppelten Grenzübergang aus: Er ass von nun an immer nichts!“

– Überliefert durch Friedrich Wille in Humor in der Mathematik, 1992, S.74

--Skraemer 21:23, 19. Feb. 2010 (CET)

x^x

Hat die Funktion $f(x)=x^{x}$ einen eignen Namen? Irgendwie find ich dazu nix in der Wikipedia. (Ableitung, Stammfunktion (IMHO hat sie keine, die elementar ausgedrückt werden kann), Umkehrung usw.) Gibts da noch nix? Dann schnell rein damit! Aber unter welchem Lemma? --RokerHRO 22:02, 19. Feb. 2010 (CET)

Nachtrag: Habe meinen Funktionsplotter nochmal angeworfen und $x^{x}$ damit in der Gaußschen Zahlenebene farbig visualisiert. Das Ergebnis kann man hier bestaunen (x^x.png). Das sieht ja recht nett aus, finde ich. ;-)
Beim Angucken des Bildes kam mir gleich die Frage: Welchen Winkel haben die beiden "Äste" mit $\left|x^{x}\right|=1$ (Im Bild die regenbogenfarbenen Äste mit maximaler Farbsättigung)? Es sieht ja fast aus, als wären sie bei ±60°, aber bei genauem Hinschauen ist es wohl eher etwas mehr. Sie gehen auch nicht auf $x=1+0\mathrm {i}$ zu, vielleicht auf das Minimum von $x^{x}$ auf der reellen Achse? Hmmm... --RokerHRO 23:00, 19. Feb. 2010 (CET)

"a der n-ten"

In Österreich ist statt "a hoch n" auch "a der n-ten" oder "a zur n-ten" gebräuchlich. Das gehört meines Erachtens in den Artikel, so wie die Faktorielle (statt Fakultät). Ich finde allerdings keine zitierfähige Quelle für den Ausdruck. Teilt jemand mein Ansinnen und hat eine Idee? --KnightMove 15:31, 18. Mär. 2010 (CET)

"a zur dritten (Potenz)" etc. ist mir auch geläufig. Quelle habe ich leider auch keine; ob das speziell österreichisch ist, weiß ich auch nicht, aber erwähnenswert ist es meines Erachtens schon. --NeoUrfahraner 13:16, 29. Jun. 2010 (CEST)

PS: $16\,16\,r^{4}\,r^{3}\,r^{n}\,14o\,14o$

"Sechz'n Sechz'n er daviert'n, er datritt'n, er darennt'n, fiatsen o fiatsen o"

Kennt man das nur in Östrreich? --NeoUrfahraner 06:35, 30. Jun. 2010 (CEST)

Ich habe jetzt eine Quelle gefunden: Ludwig-Laub, Lehrbuch der Mathematik und Aufgabensammlung für die 3. und 4. Klasse der Mittelschulen, Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1967, S S 53: $4^{3}$ (sprich: 4 zur dritten)

Auf Google-Books habe ich einige ältere Quellen gefunden, z.B. W. von Freeden, Handbuch der Nautik und ihrer Hülfswissenschaften, Oldenburg 1864, S 19: Derselben Erklärung zufolge ist $3^{4}$ (drei hoch vier, auch drei zur vierten, nämlich Potenz) = ((3.3).3).3 = 81

Mir ist jetzt nicht klar, ob die Bezeichnung früher weiter verbreitet und nur in Österreich überlebend ist; im Artikel habe ich sie vorerst ohne genau Zuordnung gleichwertig ergänzt. --NeoUrfahraner 07:04, 1. Jul. 2010 (CEST)

a^0 = 1 ??

irgendwie fand ich es nicht logisch, daß beim Potenzieren (wiederholtes Multiplizieren) einer geraden Zahl eine ungerade Zahl entstehen kann. Deshalb habe ich mich ausführlich mit diesem Thema beschäftigt und dabei sozusagen als Nebenprodukt auch eine Lösung für 0^0, was bisher als nicht definiert gilt, gefunden habe. Das Ergebnis meiner Arbeit habe ich hier veröffentlicht. -- 217.84.33.180 09:27, 25. Jun. 2010 (CEST)

wenn, wie du behauptest, a^0=0 gilt, ist gemäß Potenzgesetzen auch a^1=0 und somit a^n=0 für alle n. Djat 22:55, 25. Jun. 2010 (CEST)

wie Du sicher gelesen hast, habe ich die Richtigkeit der Potenzgesetze bezweifelt, weil diese nur funktionieren, wenn man davon ausgeht, daß $a^{0}=1$ ist. Deshalb kann ich Deiner Schlußfolgerung nicht zustimmen und diese geht auch nicht aus meinen Ausführungen hervor.--217.84.23.164 18:54, 26. Jun. 2010 (CEST)

Potenzgesetze sind nützlich. Wenn ihr Anwendungsgebiet aufgrund schlecht gewählter Definitionen verkleinert wird, hat niemand etwas davon (Ja, auch du nicht. Vom Rechthaben kannst du dir so direkt nichts kaufen). Was auch verwunderlich ist: In deinem Dokument sind Zahlenfolgen wie 16,8,4,2,0 zu finden, und dir fällt überhaupt nicht auf, dass da etwas nicht stimmen kann. Scheinbar wolltest du auf biegen und brechen hinbekommen, dass alle Folgeglieder gerade sind. Dabei enthält "alle gerade" viel weniger nützliche Information als "$n_{i+1}=n_{i}/2$". Noch ein Tipp: Schau' dir mal die Binärdarstellung von 16,8,4,2,1 und 0.5 an. Oder die Logarithmen dieser Zahlen zu irgendeiner Basis. --Daniel5Ko 16:13, 1. Jul. 2010 (CEST)

In meinem Dokument habe ich als Beispiel die Basis 2 verwendet. Verwendet man statt dessen die Basis 3, dann erhält man die Zahlenfolge 27, 9, 3, 0. Was ist daran Deiner Meinung nach falsch? --217.84.33.95 08:18, 19. Jul. 2010 (CEST)

• Man gelangt zur nächsten Zahl in der Folge, indem man durch 3 dividiert. Ganz am Ende aber leider nicht. Das muss einem doch als seltsam auffallen! Des weiteren könnte man mit einer 1 an dieser Stelle die Folge schön und sinnvoll fortsetzen: 27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9 ...
• Potenzieren hat etwas mit Produkten zu tun, und in den reellen Zahlen ist ein Produkt nur 0, wenn ein Faktor mit dem Wert 0 vorkommt. $a^{0}$ hat aber keinen einzigen Faktor.
• Nimm mal die Logarithmen zur Basis 3 für jedes des Folgelieder: Bei deiner Folge wäre das 3,2,1,undefiniert. Würdest du die übliche Potenzdefinition benutzen, wäre das Ergebnis 3,2,1,0, was sich dann auch beliebig in die negativen Zahlen fortsetzen ließe. --Daniel5Ko 12:32, 19. Jul. 2010 (CEST)

@217.84.33.180 Ohje! Die Mathematische Strenge ist an dir völlig vorbeigegangen! Deine Überlegungen zum Potenzieren sind vollkommen nutzlos, da sie falsch sind! Um einzusehen wie schwierig Mathematik ist, reicht es aus, ein einfacheres Problem zu betrachten: Kannst Du streng aus den Gruppenaxiomen implizieren, dass $(-a)\cdot (-b)=a\cdot b$ für $a,b>0$ gilt? Also beispielsweise $(-3)\cdot (-4)=3\cdot 4=12$. Etwas schwieriger: warum ist $4^{1.5}=8$? Du siehst: so einfach ist es nicht mit dem wiederholten Multiplizieren.
Damit dir das Problem $2^{0}=1$ etwas klarer wird: zeichne mal mit dem Funktionsplotter www.mathe-fa.de den Graphen von $f(x)=2^{x}$ und gucke ganz genau bei $x=0$ hin. Wenn $2^{0}=0$ wäre, dann wäre die Funktion bei $x=0$ nicht stetig. --Skraemer 23:31, 25. Jun. 2010 (CEST)

Wenn der Programmierer in seinem Quellcode festgelegt hat, daß $a^{0}=1$ ist, kann der Funktionsplotter keine andere Ausgabe liefern. Ändere den Quellcode, dann bekommst Du ein anderes Ergebnis. Ich weiß nicht, weshalb hier Gruppenaxiome eingebracht werden müssen, bei der Potenzierung geht es um die mehrfache Multiplikation eines einzelnen Wertes. Der Exponent zeigt dabei an, wie oft diese Operation auszuführen ist. Eine Rechenoperation kann entweder ausgeführt werden oder nicht ausgeführt werden. Weniger als nicht ausgeführt werden geht nicht und eine Rechenoperation anderthalbmal ausführen geht auch nicht. Deshalb kann der Exponent keinen negativen Wert haben und nur 0 oder 1 bzw. ein ganzzahliges Vielfaches von 1 sein.
Zur Mathematischen Strenge kann man wohl geteilter Meinung sein. Es soll mitunter schon vorgekommen sein, daß auch große Philosophen sich mal geirrt haben. Wer entscheidet denn, was nutzlos und falsch oder was richtig ist? Rein rechnerisch gesehen enthält meine Beweisführung keine Fehler. Die Ursache liegt eigentlich nur darin, daß irgendwann mal irgendwer damit angefangen hat, die Potenzierung als eine eigenständige Rechenart zu behandeln und sich im Laufe der Zeit daraus die "hohe Kunst des Potenzierens" entwickelt hat. Heute glaubt alle Welt, man könne in die Exponentenschreibweise jeden beliebigen Wert und sogar Rechenoperationen eintragen und das Pferd sozusagen von hinten aufzäumen.--217.84.23.164 18:28, 26. Jun. 2010 (CEST)

Welchen Wert würde nach Deinen Überlegungen die Potenz $2^{-1}$ haben? --Skraemer 17:09, 27. Jun. 2010 (CEST)

Meine Antwort findest Du ein paar Zeilen höher. Wende doch die mathematische Strenge bereits auf die der Potenzierung zugrunde liegenden Multiplikation an. Du kannst eine ganzzahlige gerade Zahl mit jeder beliebigen anderen ganzzahligen Zahl multiplizieren, Du wirst niemals eine ungerade Zahl erhalten. $a^{0}=1$ ist eine rein willkürliche Festlegung ohne exakten mathematischen Beweis. Die Potenzgesetze sind nur Dank dieser Festlegung möglich geworden. Wo ist hier der zwingende Beweis und die klare logische Vorgehensweise, die unter mathematischer Strenge verstanden wird? --217.84.26.139 08:26, 29. Jun. 2010 (CEST)

Bitte nicht rumeiern: was ist $2^{-1}$? Du musst jetzt eine Zahl nennen. Ich bin gespannt. --Skraemer 14:54, 30. Jun. 2010 (CEST)

Ich glaube nicht, daß ich jetzt eine Zahl nennen muß, meinen Standpunkt zu negativen Exponenten habe ich weiter oben schon beschrieben.--217.84.26.222 08:27, 1. Jul. 2010 (CEST)

OK. Dann sage mir wie Deine Aufassung zu $(-3)\cdot (-4)$ ist. Ähnlich wie bei der Potenz $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$, wird bei dem Produkt $3\cdot 4=4+4+4$ auf die Addition zurückgeführt. Aber wie ist es, wenn beide Faktoren negativ sind? --Skraemer 07:13, 2. Jul. 2010 (CEST)

Das Multiplizieren mit negativen Faktoren war nicht Bestandteil meiner Beweisführung für $a^{0}=0$. In meiner Beweisführung wurde übrigens bisher kein Fehler nachgewiesen. --217.84.33.95 07:37, 19. Jul. 2010 (CEST)

Hier zwei von wahrscheinlich viel mehr Fehlern in deiner Beweisführung, welche gleich ganz am Anfang vorkommen: Aus "1. Werden zwei gerade Zahlen miteinander multipliziert, so ist das Ergebnis immer eine gerade Zahl." und "2. Werden eine gerade und eine ungerade Zahl miteinander multipliziert, so ist das Ergebnis immer eine gerade Zahl." schließt du für $2^{0}$: "1. Es ist eine gerade Zahl beteiligt, also kann das Ergebnis keine ungerade Zahl sein." Das Problem ist: der Faktor 2 ist eben nicht beteiligt. Aus "4. Wird eine beliebige Zahl mit 0 multipliziert, so ist das Ergebnis immer 0." schließt du für $2^{0}$: "2. Es ist eine 0 beteiligt, also kann das Ergebnis nicht 1 sein." Wo bitte ist hier eine 0 als Faktor beteiligt? --Daniel5Ko 12:53, 19. Jul. 2010 (CEST)

Dann sagen wir eben, dass sich die großen Philosophen geirrt haben und Du die wahre Theorie gefunden hat, die aber leider wegen WP:TF hier fehl am Platz ist. --NeoUrfahraner 13:19, 29. Jun. 2010 (CEST)

Vielen Dank für den Hinweis, das wußte ich nicht und Entschuldigung dafür, daß ich eine andere Meinung habe. Wozu braucht ihr überhaupt eine Diskussionsseite, wenn andere Meinungen von vornherein nicht zugelassen sind? Und der exakte mathematische Beweis, der seit ca. 300 Jahren fehlt, ist auch in Deinem Beitrag nicht enthalten.--217.84.36.107 05:43, 30. Jun. 2010 (CEST)

Wikipedia:Diskussionsseiten --NeoUrfahraner 06:20, 30. Jun. 2010 (CEST)

Schau mal genau hin, da steht geschrieben: "Hier kannst Du Fragen stellen, Aussagen im Artikel bzw. der entsprechenden Seite bezweifeln,...,und so weiter.".--217.84.36.107 11:25, 30. Jun. 2010 (CEST)

Welche Frage hast Du denn gestellt? --NeoUrfahraner 12:27, 30. Jun. 2010 (CEST)

Ich habe keine Frage gestellt, ich habe eine Aussage bezweifelt.--217.84.26.222 08:27, 1. Jul. 2010 (CEST)

Welche Aussage bezweifelst Du? --NeoUrfahraner 22:05, 1. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe bezweifelt, daß $a^{0}=1$ ist. --217.84.33.95 08:00, 19. Jul. 2010 (CEST)

Bezweifelst Du, dass $a^{n+1}=a^{n}\cdot a$? --NeoUrfahraner 10:14, 19. Jul. 2010 (CEST)

Ansonsten: Da Deine Erkenntnis für die Wikipedia zu genial ist, wende Dich am besten an Deine lokale Regierung; vielleicht bringst Du eine Art Indiana Pi Bill durch, dass künftig in den Schulen Deine Variante gelehrt wird. Wikipedia wird dann dieses Gesetz angemessen berücksichtigen. --NeoUrfahraner 06:25, 30. Jun. 2010 (CEST)

Also, ich die Ausführungen im Artikel Leeres Produkt sind eigentlich erschöpfend und ich finde sie auch nachvollziehbar. Vor allem beim Lesen (und Verstehen!) des Abschnitts über die leere Funktion erklärt, wieso für n>0 0^n=0 gilt, aber 0^0 sinnvollerweise mit 1 definiert wird, sollte dem Leser klar werden, wieso diese Definitionen in der Mathematik gemacht worden sind und wieso sie sinnvoll sind. --RokerHRO 22:46, 27. Jun. 2010 (CEST)

Rechenregel, geschachtelte Potenz

Da Potenzen weder kommutativ noch assoziativ sind, ist es einleuchtend, dass für den ungeklammerten Ausdruck $a^{b^{c}}$ festgelegt werden muss, in welcher Reihenfolge zu rechnen ist. Wer weiß seit wann das in der beschriebenen Weise: $a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}$ zu erfolgen hat? -- 217.87.248.131 17:58, 20. Mai 2009 (CEST)

Hinweis: Für Fragen, die nicht direkt etwas mit Wikipedia zu tun haben, gibt es die Wikipedia:Auskunft. --P.C. ✉ 18:04, 20. Mai 2009 (CEST)

Die Antwort auf die Frage könnte aber durchaus in den geschichtlichen Abschnitt des Artikels rein, finde ich. --RokerHRO 20:35, 20. Mai 2009 (CEST)

Genau deshalb hatte ich danach gefragt. Die Antwort sollte schon in den Artikel, aber ich kenne sie nicht. Erweiterung der Frage: Erfolgte die Festlegung für die "Klammerung von oben" mehr oder weniger willkürlich? -- 217.87.245.219 08:18, 21. Mai 2009 (CEST)

Die umgekehrte Klammerung wäre wenig sinnvoll, da sie einfacher ausgedrückt werden kann, nämlich durch Multiplikation der Exponenten. Beispielsweise ließe sich $(a^{b})^{c}$ als $a^{bc}$ schreiben. 79.206.210.65 21:13, 21. Mai 2009 (CEST)

Potenztürme sind immer von oben nach unten abzuarbeiten, siehe Potenzturm. --Jobu0101 10:59, 24. Aug. 2010 (CEST)

Reelle Exponenten - Definition

Also häufig wird a^x auch als $a^{x}:=\exp(x\cdot \log(a))$ definiert, wobei die Exponentialfunktion durch die entsprechende Potenzreihe definiert ist und der Logarithmus als deren Umkehrfunktion. --Jobu0101 10:51, 24. Aug. 2010 (CEST)

Kürzliche Änderungen von B. Averbukh, H. Guenther

Auf den ersten Blick schien die Änderung sehr positiv zu sein, aber nach genauerem Lesen und Beseitigen von kleineren Problemen fällt mir doch einiges Negatives auf:

• "beliebig" verliert beim Lesen völlig an Bedeutung, weil es viel zu häufig und stellenweise ohne Zweck benutzt wird.
• Zu viele bequeme Abkürzungen. Zum Beispiel: Wenn $\mathrm {Ln}$ eine Menge zurückgibt, wodurch ist $a^{z}:=e^{z\,\mathrm {Ln} \;a}$ dann wohldefiniert? "Das ist auch eine mehrdeutige Funktion" erscheint ein wenig faul.

Das müsste irgendwie mal ausgewalzt werden. --Daniel5Ko 00:51, 28. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe auch Probleme mit der Schreibweise. So wie ich es kenne, werden die Versionen mit Großbuchstaben ($\mathrm {Ln}$ bzw. $\mathrm {Arg}$) gerade für die Hauptwerte benutzt und nicht für die allgemeinen mehrwertigen Funktionen. Der englische Artikel en:Complex logarithm handhabt es zum Beispiel so. -- Digamma 15:27, 28. Jul. 2010 (CEST)

Erschwerend kommt hinzu, dass man ja nicht nur 2, sondern eigentlich mindestens 3 Varianten hat (eingeschränkt auf $\mathbb {C}$), nämlich: $\mathrm {ln} :\mathbb {C} \to \mathbb {C}$, $\mathrm {ln} :\mathbb {C} \to \wp (\mathbb {C} )$ und $\mathrm {ln} :\wp (\mathbb {C} )\to \wp (\mathbb {C} )$. Ich persönlich würde sagen, es ergibt nicht viel Sinn, allen einen eigenen Namen geben zu wollen. Vorschläge? --Daniel5Ko 00:59, 3. Aug. 2010 (CEST)

Ein Satz wie "Es hat sich historisch gebildet, dass man das Symbol $0^{0}$ in der Mathematik in zwei völlig unterschiedlichen Sinnen benutzt: als die Bezeichnung für eine Art der unbestimmten Ausdrücke und als die Aufzeichnung der Potenz, deren Basis und Exponent gleich 0 sind" ist sprachlich und inhaltlich schon arg missglückt. Ich habe, offen gestanden, den Eindruck, dass da jemand diesem Thema nicht gewachsen war. --91.32.90.218 00:14, 26. Aug. 2010 (CEST)

Sind sich jetzt also mindestens 3 Personen darüber einig, dass die genannte Änderung in Richtung Schrott geht? --Daniel5Ko 00:28, 26. Aug. 2010 (CEST)

Zumindest dieser Teil der Änderung gefällt mir eigentlich. Er erklärt die Verwirrung, die immer um 0 hoch 0 herrscht. Was nicht heißten soll, dass man die Formulierung nicht verbessern kann. -- Digamma 13:06, 30. Aug. 2010 (CEST)

Für mich ist dieser Satz auch mehr verwirrend als erklärend. Wenn ich $0^{0}$ benutze, dann meist versteckt (z.B. als $x^{n}$, wobei auch x und n gleich 0 sein dürfen), also als "Aufzeichnung der Potenz, deren Basis und Exponent gleich 0 sind". Wo wird $0^{0}$ "als die Bezeichnung für eine Art der unbestimmten Ausdrücke" benutzt? Wenn, dann wohl ausdrücklich in einer Liste unbestimmter Ausdrücke wie 0/0, aber sonst? --NeoUrfahraner 06:48, 31. Aug. 2010 (CEST)

Das ist sicher richtig. Aber ich denke, dass dies der Grund ist für die weitverbreitete Ansicht, dass $0^{0}$ nicht definiert sei. Und dies ist mir durch diesen Satz hier erst klar geworden. -- Digamma 11:35, 31. Aug. 2010 (CEST)

Ich weiß nicht, was Du mit "Grund ... für die weitverbreitete Ansicht, dass $0^{0}$ nicht definiert" meinst. Man kann per Definition $0^{0}$ einen Wert zuweisen oder es unbestimmt lassen, außerhalb davon ist das keine Frage von richtig oder falsch und somit auch kein sinnvoller Gegenstand einer "Ansicht". Das ist übrigens bei Ausdrücken wie $1+1$ nicht anders. Hingegen kann man eine begründete Ansicht darüber haben, welche Konvention unter welchen Umständen zweckmäßig, naheliegend oder gegenüber anderen ausgezeichnet ist. Der zitierte Satz "Es hat sich historisch gebildet ..." klärt da nichts, er ist meiner Ansicht nach im Gegenteil unverständlich und nicht einmal falsch (wie Wolfgang Pauli vielleicht gesagt hätte). --91.32.89.166 16:39, 1. Sep. 2010 (CEST)

Also ich wäre dafür, zumindest diesen 0^0-Abschnitt aus einer älteren Version wiederherzustellen, dabei aber vernünftiges neues mitzuführen (z.B. das Bild von RokerHRO und vielleicht den einen oder anderen Halbsatz von A&G). Wenn niemand anders das tut, und niemand protestiert, übernehme ich das auch selbst — sagen wir mal in 7 Tagen. Ich fand die vor-A&G-Version gut nachvollziehbar und unbelastet von unbegründetem Analysis-Bias. --Daniel5Ko 22:55, 14. Sep. 2010 (CEST)

Oops, das wäre ja schon längst überfällig. Hiermit Änderung von "in 7 Tagen" auf "irgendwann mal, wenn's mich stark genug stört". --Daniel5Ko 00:19, 3. Okt. 2010 (CEST)

noch einmal: 0 hoch 0

Gilt nicht wenigstens das hier? $\lim _{x\to 0(+)}x^{x}=\lim _{x\to 0(+)}e^{x\cdot \ln(x)}=\lim _{x\to 0(+)}(e^{x})^{\ln(x)}=(e^{0})^{-\infty }={\frac {1}{(e^{0})^{\infty }}}={\frac {1}{1^{\infty }}}=1$

Edit: Ich sehe gerade, dass $1^{\infty }$ auch undefiniert ist. Hm

--87.167.72.163 22:46, 16. Nov. 2010 (CET)

Das Problem besteht darin, überhaupt Limites benutzen zu wollen, um $0^{0}$ festzulegen. Der Begriff "unbestimmter Ausdruck" stammt aus diesem Millieu, und hat relativ wenig Ähnlichkeit mit z.B. der Undefinier{th/bark}eit der Division durch 0. Solange man diskret bleibt, ist $0^{x}=0$ (für $x\neq 0$), $1^{y}=1$ und $z^{0}=1$ in den allermeisten Fällen die richtige Wahl, bei den unterschiedlichsten Belegungen von 0, 1, ggf. gar unterschiedlich, je nachdem, ob in Basis oder Exponent, und der Potenzierungsoperation. (so allermeist, dass mir jetzt gar kein überzeugendes Gegenbeispiel einfällt). --Daniel5Ko 23:41, 16. Nov. 2010 (CET)

Zum x-ten Male, ein Bild sagt mehr als 1000 Worte. Wenn du den Grenzübergängen auf der nebenstehenden Grafik folgst, landest du – je nach dem, welche Linie du entlanggehst – auf einer anderen Höhe bei x=y=0, da der Plot hier in eine senkrechte Gerade übergeht. --RokerHRO 08:12, 17. Nov. 2010 (CET)

Ach, ich seh grad, das Bild bebildert den Artikel ja bereits. Ich dachte, damit sollten Diskussionen dieser Art ein für alle Male vorbei sein. Ich hab die Funktion auch hier mal aus verschiedenen Richtungen "fotografiert". --RokerHRO 08:14, 17. Nov. 2010 (CET)

Taylorreihe

Wäre es angesichts einer gewissen Grundlegendheit von Taylorreihen nicht sinnvoll, diese als Anwendung von 0⁰=1 anzugeben? Es ist da eben besonders praktisch… Passt es eher zu Mathematik oder Informatik? --Chricho ¹ 16:10, 10. Feb. 2011 (CET)

Steht schon dort:

Ebenso taucht die Potenz $0^{0}$ in Potenzreihen wie beispielsweise für die Exponentialfunktion ...

(Taylorreihen sind ja spezielle Potenzreihen) --NeoUrfahraner 18:01, 10. Feb. 2011 (CET)

Ah, das hatte ich übersehen. --Chricho ¹ 11:40, 11. Feb. 2011 (CET)

0 hoch 0 reloaded

In meinen Augen ist $0^{0}=1$ nichts als logisch, denn

$\lim _{x\to 0}x^{x}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {1}{x}}\right)^{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{x}]{x}}}={\frac {1}{1}}=1$

Erkennt jemand ein Problem bei diesem Beweis? Mir erscheint er richtig, denn dass

$\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=1$

ist ja unbezweifelt.

-- Titeuf24 14:20, 27. Aug. 2010 (CEST)

Grenzwertargumente funktionieren nicht so gut: $\lim _{x\to \infty }e^{-x}=0,\lim _{x\to \infty }1/x=0$, aber $(e^{-x})^{1/x}=e^{-1}=1/e$. Dieses Gegenbeispiel steht auch mehr oder weniger im Artikel (mit $\lim _{x\to 0}$ und 1/x statt x). --Daniel5Ko 22:54, 27. Aug. 2010 (CEST)

Ich habe unserem Titeuf auch schon auf Diskussion:Null#0 hoch 0 reloaded geantwortet, incl. Grafik. Ich denke, wir sollten es dabei belassen. Außer jemand baut das mal ausführlicher in den Artikel ein. --RokerHRO 19:57, 28. Aug. 2010 (CEST)

Das ewige "das ist eine Frage der Festlegung" führt nicht weiter, in der Mathematik ist alles zumindest innermathematisch eine Frage der Festlegung (will man die Axiome als wahr behaupten, muß man Philosophie betreiben). Fakt ist, daß 0^0 entsprechend der Definition der Potenz ein leeres Produkt ist; dem leeren Produkt irgendeinen anderen Wert als den des neutralen Elements der Multiplikation zuzuweisen (wie es für a != 0 ja geschieht; und ein annullierender Faktor 0 ist eben auch bei a == 0 nicht vorhanden, da a im Produkt genau nullmal auftaucht!) ist der Willkür des Definierenden zwar freigestellt, aber im übrigen Unsinn. Auch jede sinnvolle Anwendung, die nicht mit vielen "aber im ersten Glied machen wir das anders" hantieren muß, verlangt 0^0 = 1, wie ja im Artikel auch dargestellt. Von daher ist ein Insistieren auf der Gleichwertigkeit von diesen beiden vorgeschlagenen Definitionen, wie derzeit anscheinend im Artikel geschieht, nicht nötig. (Die fette Unstetigkeitsstelle in f(x) = 0^x muß in Kauf genommen werden, die ist aber schon auch das einzige Problem, das mir einfällt.)--93.133.235.37 14:37, 23. Apr. 2013 (CEST)

Ich wüsste auch kein tiefergehendes Argument, 0^0=0 zu setzen, während es für 0^0=1 sehr, sehr viele und überzeugende Gründe gibt. Die Formulierungen im Artikel sind zwar nicht ideal, aber alles in allem findet sich das doch auch in dem Artikel. Und dass der Ausdruck oft undefiniert gelassen wird, ist durchaus wahr und das ist tatsächlich rein eine Frage der Definition. Der Artikel darf auch nicht suggerieren, es müsste zwangsläufig 0^0=1 gewählt werden – obgleich das viele Mathematiker vermeiden. --Chricho ¹ ² ³ 14:53, 23. Apr. 2013 (CEST)

Potenzgesetze: Bedingungen für a und b

seit müssen a und b immer > 0 sein? das stimmt doch gar nicht, denn man kann durchaus negative zahlen einsetzen, und die potenzgesetze stimmen immer noch.--217.50.178.179 20:06, 20. Mär. 2011 (CET)

$1=1^{1/2}=((-1)\cdot (-1))^{1/2}{\color {red}\,=\,}(-1)^{1/2}\cdot (-1)^{1/2}=i\cdot i=-1$

Das rot markierte = ist die Anwendung eines der Potenzgesetze. Wie man sieht, kommt Unsinn 'raus.

Im Übrigen (bezogen auf deine Änderungen) ergibt ${\frac {\infty }{\infty }}$ nicht "natürlich eins". --Daniel5Ko 20:34, 20. Mär. 2011 (CET)

Natürlich gelten die Gesetze immer, wenn der Exponent eine natürliche Zahl ist (und für a, b ungleich 0 auch wenn der Exponent eine ganze Zahl ist). Irgendwie ist das bei den letzten Änderungen, die sich mit den Grenzen der Gültigkeit bei rationalen Exponenten befasst haben, verloren gegangen. -- Digamma 21:30, 20. Mär. 2011 (CET)

Na eben, ist mir gar nicht aufgefallen, dass das nun gar nicht mehr da ist. Auch daran ist B. Averbukh, H. Guenther schuld. :/ --Daniel5Ko 22:05, 20. Mär. 2011 (CET)

@Daniel5Ko: was soll es denn sonst ergeben: ${\frac {\infty }{\infty }}$ ist so wie 10:10 oder a:a, und das gibt nun einmal nichts anderes als 1!--Der Spion 22:56, 20. Mär. 2011 (CET)

Nein, ${\frac {\infty }{\infty }}$ ist nicht wie $10/10$. $\infty$ ist keine Zahl oder etwas ähnliches vernünftiges. --Daniel5Ko 23:34, 20. Mär. 2011 (CET)

dann sag mir bitte einmal, was stattdessen herauskommen soll!--Der Spion 12:50, 21. Mär. 2011 (CET)

Das kann man eben nicht sagen. Darum heißt das Ding ja unbestimmter Ausdruck.

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {x+1}{x}}=1$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {x+1}{x^{2}}}=0$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x+1}}{e^{x}}}=e$

...

In diesen Brüchen gehen alle Zähler und alle Nenner gegen unendlich. --Daniel5Ko 19:48, 21. Mär. 2011 (CET)

Siehe Unbestimmter Ausdruck (Mathematik). --RokerHRO 22:12, 21. Mär. 2011 (CET)

trotzdem muss man doch ${\frac {\infty }{\infty }}$ ansehen als division einer sache, ob nun variable, zahl oder sonst was eben, durch sich selber, und das gibt immer 1. ich frage ja letztlich: "wie oft passt die Menge Unendlich in die Menge Undendlich - einmal natürlich; nicht mehr und nicht weniger! wo ist das problem? das lernt man in jedem LK, und da gibt's nicht dran zu rütteln. jeder, der etwas anderes behauptet, hat unrecht. man stelle sich also Unendlich als eine Menge wie der der reelen Zahlen vor, die man dann durch sich selber teilt: da kommt immer 1 raus. keine diskussion!--Der Spion 13:55, 26. Mär. 2011 (CET)

Nein, da $\infty$ keine reelle Zahl ist, gelten auch nicht die Rechengesetze für reelle Zahlen. Wenn du magst, kannst du dich darüber gerne hier oder dort weiter über das Thema belesen. --RokerHRO 15:48, 26. Mär. 2011 (CET)

Ad Der Spion: Was hast Du denn im Leistungskurs gelernt, dass $\infty +\infty$ ist? --NeoUrfahraner 03:59, 27. Mär. 2011 (CEST)

"2$\infty$"=$\infty$

@Daniel5Ko:

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {x+1}{x}}=1$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {x+1}{x^{2}}}=0$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x+1}}{e^{x}}}=e$

das stimmt naürlich alles nicht... wieso soll z. B. $\lim _{x\to \infty }{\frac {x+1}{x}}=1$? man darf doch nicht summen mit zahlen/ variablen kürzen! vielleicht meinst du ja $\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x}}=1$--Der Spion 18:33, 31. Mär. 2011 (CEST)

Nein, meinte ich nicht. Siehe auch Regel von L'Hospital für mehr Kontext. --Daniel5Ko 19:30, 31. Mär. 2011 (CEST)

Ad Der Spion: Der 1+1=1 Beweis zum ersten April: Wenn

1. $2\infty =\infty$ und
2. ${\frac {\infty }{\infty }}=1$, dann
3. $1+1={\frac {\infty }{\infty }}+{\frac {\infty }{\infty }}={\frac {\infty +\infty }{\infty }}={\frac {2\infty }{\infty }}={\frac {\infty }{\infty }}=1$.

Irgendeine dieser Gleichungen musst Du ablehnen, wenn Du keinen Widerspruch erhalten willst. --NeoUrfahraner 00:54, 1. Apr. 2011 (CEST)

natürlich: Die erste Annahme sowie damit einhergehend die vorletzte Umformung sind nämlich nicht pauschal richtig. Auch hier kann man sich $\infty$ als eine Variable a denken. ${\frac {a}{a}}=1$ ist ja auch nimmer gleich ${\frac {2a}{a}}=2$. Natürlich gestehe ich ein, dass nicht 2 herauskommt, wenn man im letzteren Falle $\infty$ einsetzen würde, dennoch gilt: Es ist nicht das Gleiche wie ${\frac {\infty }{\infty }}=1$, da nicht $2\infty =\infty$! (Wenn ich zur Negierung ≠ einsetze, kommt eine Fehlermeldung! Wäre das behebbar?)--Der Spion 12:57, 12. Apr. 2011 (CEST)

Dann ist also

1. $2\infty >\infty$ und daher
2. ${\frac {1}{2\infty }}<{\frac {1}{\infty }}=0$, also
3. $2\infty <0$.

Das passt auch wieder nicht. --NeoUrfahraner 16:33, 12. Apr. 2011 (CEST)

Nein, es wäre ${\frac {1}{2\infty }}<0$, nicht $2\infty <0$! Denn ich teile ja - von der reinen Idee her - 1 durch etwas noch Größeres als $\infty$, weshalb es kleiner würde als ${\frac {1}{\infty }}$, was wiederum gleich Null ist. Du hast aber schon insofern Recht, als bei unbestimmten Ausdrücken die l'hospitalschen Regeln angwandt werden müssen, was wir jetzt gerade im LK besprochen haben!--Der Spion 19:39, 23. Apr. 2011 (CEST)

Änderungen vom 19. Nov. 2013

Ich habe die Änderungen zurückgesetzt. Begründung:

Die Frage, ob Potenzen mit rationalen Exponenten mit negativen Basen existieren ist eine andere, als die, ob gewissen Gleichungen Lösungen besitzen. Zwar hat die Gleichung $x^{2}=-1$ die komplexen Lösungen $i$ und $-i$. Man definiert dennoch nicht, $(-1)^{\tfrac {1}{2}}=i$ oder $(-1)^{\tfrac {1}{2}}=-i$, unter anderem deswegen, weil es eben mehrere Lösungen gibt, von denen keine bevorzugt ist. --Digamma (Diskussion) 17:05, 19. Nov. 2013 (CET)

0 hoch 0 – Argument von D. E. Knuth

Da steht:

„Wenn man den Wert 1 für die Potenz 0^0 nicht voraussetzt, verlangen viele mathematische Theoreme wie zum Beispiel der binomische Satz

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^ky^{n-k}

eine Sonderbehandlung für die Fälle x=0 oder y=0 oder gleichzeitig n=0 und x + y = 0.“

Der zweite Fall stört mich: Wenn x+y=0 und n=0 ist, dann ist die linke Seite nach obiger Konvention 1, die rechte aber eine leere Summe und damit 0. Das heißt, gerade hier würde mit der von Knuth vorgeschlagenen Konvention (0^0=1) eine Sonderbehandlung nötig. 2A02:8071:383:C500:BE5F:F4FF:FEA6:C2A9 20:37, 30. Jun. 2014 (CEST)

Da steht doch keine leere Summe: $\sum _{k=0}^{0}{\binom {0}{k}}x^{k}y^{0-k}={\binom {0}{0}}x^{0}y^{0}=1$. Passt doch. -- HilberTraum (Diskussion) 21:10, 30. Jun. 2014 (CEST)

Einleitung

Im letzten Satz des ersten Absatzes heißt es: Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird, ...: Was hat Multiplizieren mit Summand und Addieren zu tun? --Tscheini (Diskussion) 14:45, 25. Mai 2013 (CEST)

Ist vielleicht ein bisschen unklar ausgedrückt, aber gemeint ist die Analogie zwischen 3·5 = 5+5+5 und 5³ = 5·5·5. -- HilberTraum (Diskussion) 15:08, 25. Mai 2013 (CEST)

Das müsste meiner Meinung nach klarer formuliert werden, es ist wirklich missverständlich. Wie wäre es mit: So wie die Summe mehrerer gleicher Summanden der Multiplikation des Summanden mit der Anzahl der Summanden entspricht (5+5+5 = 3*5), so entspricht die Multiplikation mehrerer gleicher Faktoren der Potenzierung dieses Faktors mit der Anzahl der Faktoren (5*5*5 = 5^3). (nicht signierter Beitrag von 77.57.180.156 (Diskussion) 14:02, 22. Sep. 2014 (CEST))

Weiterleitung von **?

Ist es sinnvoll eine Weiterleitung von ** hierher einzurichten? --Friechtle (Diskussion) 17:03, 22. Jan. 2013 (CET)

Meiner Meinung nach nicht. "**" ist nur eine Hilfskonstruktion, die in einigen Programmiersprachen verendet wird. Ich glaube nicht, dass jemand gezielt nach "**" suchen wird, und innerhalb der Wikipedia können wir Exponenten sauber verwenden. --NeoUrfahraner (Diskussion) 16:53, 24. Jan. 2013 (CET)

Dito. ** ist für mich eine doppelte Zeigerdereferenzierung oder eine Multiplikation mit einem dereferenzierten Zeiger. :-)

Wenn manche Programmiersprachen ** als Exponentialoperator anbieten, dann eher aus der Not heraus, dass kein eigenes Zeichen mehr verfügbar ist (z.B. weil ^ schon belegt ist und man weiterhin nur ASCII-Zeichen verwenden will). --RokerHRO (Diskussion) 17:49, 24. Jan. 2013 (CET)

Ja, das es eine Hilfskonstruktion ist, ist mir mittlerweile auch bewusst. Aber das hab ich nicht durch Wikipedia erfahren, deswegen ja auch der Vorschlag. :-) Und etwas anderes als das was hier behandelt wird, wird mit dem Zeichen ** ja nicht gemeint oder? --Friechtle (Diskussion) 17:23, 25. Jan. 2013 (CET)

Zeiger auf einen Zeiger, Wörterbuch-Parameter in Python, die zweite Fußnote, die zweitschlechteste Bewertung, ... --84.130.162.148 19:21, 25. Jan. 2013 (CET)

In was für Programmiersprachen eigentlich? Meines Erachtens ist ^ für Potenz ebenso etabliert wie * für Multiplikation, also überall wo die eigentliche Schreibweise nicht zur Verfügung steht. Was für Ausnahmen gibt es da denn? --2001:A60:15DB:E101:9DAC:ED1D:AC38:132C 16:31, 15. Okt. 2014 (CEST)

siehe Potenz (Mathematik)#In Programmiersprachen --84.130.188.107 17:13, 15. Okt. 2014 (CEST)

Potenzschreibweise

Der Exponent 0 sagt aus, dass die Zahl 1 keinmal mit der Grundzahl multipliziert wird...

Bei der Lösung von Textaufgaben haben wir gelernt, das solche Zahlwörter wie kein, niemand, nichts usw. durch die Zahl 0 ersetzt werden. Deshalb ist der korrekte mathematische Ausdruck nicht kein mal 1 sondern 0 mal 1 und wir erhalten eine 0.

Potenzierung ist reine Multiplikation, d.h. es soll mit a multipliziert werden. Wenn man aber nicht weiß, wie groß a ist, dann kann man kein Ergebnis berechnen, mit Ausnahme der 0, nämlich dann, wenn a mit 0 multipliziert werden soll. Dazu muß man a nicht kennen, Multiplikation mit 0 ergibt immer 0. In allen anderen Fällen ist das Ergebnis abhängig von a, also im vorliegenden Fall nicht berechenbar.

Wenn man als Ergebnis einer Multiplikation (im Sinne von Potenzierung!) eine 1 erhalten hat, dann muß man zwingend 1 mal 1 gerechnet haben. Eine andere Möglichkeit gibt es nicht, nur 1 mal 1 ergibt 1.

46.114.56.13 15:38, 9. Sep. 2014 (CEST)

Es geht doch darum, wie oft die Zahl 1 mit a multipliziert wird. Wenn man z. B. dreimal mit a multipliziert, bekommt man 1·a·a·a, wenn man keinmal (also null mal) mit a multipliziert, dann bleibt die 1 so wie sie ist. Es wird ja nichts mit ihr gemacht. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 18:12, 9. Sep. 2014 (CEST)

Wenn man unter "keinmal" versteht, daß die Grundzahl nicht mit der Zahl 1 multipliziert wird, dann ist die 1 kein Ergebnis, sondern eine willkürliche Zuweisung. Denn Ergebnisse im mathematischen Sinne entstehen nur als Folge von mathematischen Berechnungen. -- 46.114.137.153 14:14, 11. Sep. 2014 (CEST)

Nein, vor allen Berechnungen gibt es u. a. Definitionen. Potenzen werden üblicherweise rekursiv definiert:

$a^{0}:=1$

und für alle positiven n:

$a^{n}:=a^{n-1}\cdot a,$

also der Reihe nach:

$a^{0}=1$

$a^{1}=a^{0}\cdot a=1\cdot a=a$

$a^{2}=a^{1}\cdot a=a\cdot a$

$a^{3}=a^{2}\cdot a=\left(a\cdot a\right)\cdot a$

… u. s. w.

--Franz 22:09, 11. Sep. 2014 (CEST)

Da bemüht man sich auf der Artikelseite krampfhaft, nach einer Multiplikation mit 1 eine 1 übrigzulassen, die vorher nicht da war und jetzt wird behauptet, es sei eine Definition.

Die Potenzschreibweise beinhaltet eine Aufgabenstellung, die durch Multiplikation zu lösen ist. Das Ergebnis kann also nicht vorher durch Definition oder auf andere Weise festgelegt werden, sondern es muß berechnet werden. Aber genau das kann ich nicht erkennen. Ich finde keine Stelle, an der gerechnet wurde. Ich kann nur erkennen, daß ohne jede Rechenanweisung einfach eine 1 hingeschrieben wird.

Wenn a = 2 ist, dann steht auf der linken Seite der Gleichung $2^{0}$. Durch welche konkrete Rechenanweisung verschwindet die 2 und durch welche Umkehroperation kann dieser Schritt rückgängig gemacht werden?

Mit welcher natürlichen Zahl muß eine 2 multipliziert werden, um eine 1 zu erhalten? --46.115.179.180 12:20, 21. Sep. 2014 (CEST)

Hallo Nr. 46.115.179.180!

Deine Vermutungen über die Potenzschreibweise sind nicht richtig, aber das geht ja schon aus dem bisher von uns Gesagten hervor. Mehr als dies will ich daher gar nicht dazu schreiben, auch weil die Diskussionsseiten nicht als Nachhilfeforum gedacht sind. Für Bestätigungen des von uns Behaupteten verweise ich auf die einschlägige Literatur, insbesondere auf Schulbücher (geeigneter Unterrichtsstufe) Deiner Wahl.

Darüber hinaus steht es Dir natürlich frei, den Artikel zu verbessern zu versuchen. Beachte dabei aber bitte die Belegpflicht und die Richtlinie zum Thema Theoriefindung! Außerdem empfehle ich angesichts des eher laienhaften Charakters Deiner bisherigen Anmerkungen, konkrete Änderungsvorschläge zunächst hier auf der Diskussionsseite zur Begutachtung durch Fachleute vorzulegen. Das verhindert wahrscheinlich unliebsame Zurücksetzungen.

Liebe Grüße, Franz 13:07, 21. Sep. 2014 (CEST)

Ich möchte noch hinzufügen, dass man a⁰ als "leeres Produkt" in Analogie zur leeren Summe" gerne als das neutrale Element der zu Grunde liegenden Verknüpfung definiert, und das ist bei der Multiplikation die 1. Letztlich ist es eine Frage der Konvention, aber wenn die Potenzgesetze auch für den Exponenten 0 gelten sollen, so muss $a=a^{1}=a^{1+0}=a^{1}\cdot a^{0}=a\cdot a^{0}$ sein, und es bleibt gar nichts anderes übrig, als a⁰=1 zu setzen. Damit sehe auch ich diese Deiskussion als beendet.--FerdiBf (Diskussion) 13:28, 21. Sep. 2014 (CEST)

Es gibt da noch zwei andere Definitionen. Die eine besagt, daß die Potenzschreibweise eine Kurzschreibweise für sich wiederholende Multiplikationen mit der gleichen Zahl ist. Für die Wiederholung benötigt man mindestens dreimal die gleiche Zahl. Die andere Definiton ist die für die Multiplikation und die lautet: Faktor mal Faktor ist gleich Produkt. Für eine Multiplikation braucht man also genau zwei Zahlen, nicht mehr und nicht weniger. Sind weniger als zwei Zahlen vorhanden, dann ist keine der vier Grundrechenoperationen ausführbar. Da es dann keine Multiplikation gibt, kann auch keine Kurzschreibweise für eine Multiplikation abgeleitet werden. Das sieht zwar aus, wie Potenzschreibweise, ist es aber nicht, denn es steckt keine mathematische Aufgabenstellung dahinter und eine Wiederholung gibt es auch nicht. Es gibt keine Multiplikation, aus der $a^{1}$ , $a^{0}$ oder $0^{0}$ abgeleitet werden kann. Zumindest in dem Fall, wo überhaupt keine Zahl vorhanden ist, kann man wohl zu Recht bezweifeln, ob das Ganze überhaupt noch etwas mit Mathematik zu tun hat. --46.114.19.144 12:10, 22. Sep. 2014 (CEST)

Das ist doch nur noch reines Getrolle, was du hier machst. Definitionen werden doch nicht getroffen, damit sie dir in den Kram passen, sondern so, wie sie für Anwendungen innerhalb und außerhalb der Mathematik am zweckmäßigsten sind. Hausaufgabe: Schau dir z.B. mal Exponentielles Wachstum an und finde mindestens drei Gründe, warum man Potenzen so definiert. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 12:53, 22. Sep. 2014 (CEST)

Es stehen genau 0 Zweier im Produkt, also ist das Ergebnis 1. Ich mag zwar den Begriff "zweckmäßig" in dem Zusammenhang nicht, weil ich schon darüberhinausgehend platonisierend sagen würde, daß das zwar eine Definition, aber die einzige von einem inneren Sinn, nicht bloß von der Willkür des Definierers getragene ist ... aber das läuft wohl auf das gleiche hinaus. - Und tja, 2^0 wird wirklich von niemandem anders denn als = 1 definiert, schon allein damit die Potenzregeln für (2^5 / 2^5 = 2^(5-5)) gültig bleiben. Der einzige leicht strittige Punkt ist 0^0, wo ich ebenfalls, aus denselben Gründen und auch gemäß etlichen naheliegenden - nicht allen denkbaren - Grenzwertberechnungen = 1 für die einzig richtige Festsetzung halte, wo aber zugestanden werden muß, daß dies in die Funktion 0^x eine markante Unstetigkeitsstelle hineinproduziert.--2001:A60:15DB:E101:9DAC:ED1D:AC38:132C 16:38, 15. Okt. 2014 (CEST)

0 hoch 0 - Vollständigkeit der einfachen Algebra

Man kann ganz einfach beweisen das der Grenzwert von f(x)=x^x für x->0 1 ist. (In logarithmische Funktion umwandeln (f(x) = e^lnx*x), x durch 1/e^n substituieren und auflösen, und im Exponenten n=>unendlich streben lassen woraus sich als Exponent 0 ergibt.)

Neben den genannten Vereinfachungen in den binomischen Formeln hätte eine Definition von 0^0=1 weitere Vorteile:

a) Es wird bewiesen woher die Natürliche Zahl 1 stammt.

b) Alle Terme einer Gleichung haben den neutralen Faktor 1. Ersetzt man den durch 0^0 erhält man eine Potenzschreibweise, die multipliziert man mit 0^1 oder 0^-1 kommutierbar bleibt. D.h. Multiplikation und Divison mit Null (0^1) sind jetzt definiert; die einfache Algebra wäre widerspruchsfrei. (nicht signierter Beitrag von 212.34.162.67 (Diskussion) 21:00, 12. Mär. 2015 (CET))

Grenzwertbetrachtungen sind ungeeignet, da man je nach Formel jeden beliebigen Grenzwert bekommen kann. Steht auch schon im Artikel.

Dass es für die meisten Bereiche in der Mathematik praktisch ist, 0⁰=1 zu definieren, steht auch schon im Artikel.

Multiplikation mit null ist klar definiert. Aber auch mit der Definition 0⁰=1 schaffst du es nicht, die Division durch null zu definieren.

--RokerHRO (Diskussion) 08:20, 13. Mär. 2015 (CET)

die meisten Bereiche, oder alle Bereiche? (gibt es Bereiche in denen es ist praktisch für die binomischen Satz falsch zu sein?) (nicht signierter Beitrag von 2601:5:D080:B99:D95D:66E9:B3DB:2736 (Diskussion | Beiträge) 22:58, 17. Mär. 2015 (CET))

Ich meine das schon so, wie ich es geschrieben habe. Es mag Bereiche in der Mathematik geben, wo die Festlegung $0^{0}=1$ ungeeignet oder unpraktisch wäre, wo ein anderer Wert praktischer wäre oder wo es besser ist, den Wert einfach undefiniert zu lassen.

--RokerHRO (Diskussion) 07:58, 18. Mär. 2015 (CET)

ungewöhnlich, ja, aber ungeeignet/unpraktisch, ich glaube nicht dass solche Bereiche existieren. MvH (nicht signierter Beitrag von 2601:5:D080:B99:7822:5FD6:17A9:5554 (Diskussion | Beiträge) 22:24, 19. Mär. 2015 (CET))

Dynamis bei Platon?

Laut Artikel soll gr. δύναμις (lat. potentia) spätestens seit Platon auch die Bedeutung „Quadrat“ gehabt haben. Das ist so nicht richtig, denn laut Platon (Theaitetos 147e) nennt Theaitet lediglich eine Zahl, τὸν μὲν δυνάμενον ἴσον ἰσάκις γίγνεσθαι („der das Vermögen bleibt, dass Gleiches gleich geworden (ist)“) τετράγωνόν („Quadrat“), wie nach ihm auch Euklid (z.B. in Elemente, Buch 8, Proposition 16) τετράγωνος ἀριθμὸς („Quadratzahl“). Außerdem verwendeten schon die Sumerer für das Quadrat die Bezeichnung „das gleich Gewordene“ (Kurt Vogel: Vorgriechische Mathematik II: Die Mathematik der Babylonier. Schroedel, Hannover und Schöningh, Paderborn 1959, S. 32)! Später erst nennt Diophantos von Alexandria, der auf der Tradition der Babylonier aufbaute (Vogel, S. 49), eine Quadratzahl als solche δύναμις („Vermögende“, „Potenz“; Helmuth Gericke: Mathematik in Antike und Orient. Springer, Berlin u. a. 1984, S. 143). --RPI (Diskussion) 13:17, 17. Mär. 2015 (CET)

Nochmals 0⁰

Geschätzte Hauptautoren und WikiAner, erlaubt mir zwei Bemerkungen zum Abschnitt Null hoch Null.

• Knuth's Artikel ist auf arxiv erhältlich. Euren Preprint-Link unter 5. konnte ich nicht öffnen (Typ GZIP), deshalb schlage ich vor ihn durch den arxiv-Link zu ersetzen.
• Ich will niemandem zu nahe treten, viele Leute machen hier gute Arbeit, aber dieser Abschnitt tut mir weh. So eine Lappalie wie 0⁰ kann man in ein paar kurzen Sätzen abhaken. Hier wird viel zu viel Text auf einem Nebenschauplatz verbraten. Dazu kommt, dass das meiste aus Knuth's Artikel abgeschrieben ist. Und mathematische Sätze hinzuschreiben mit der Bemerkung, es hat sich nachher als falsch herausgestellt - also nein, das bitte nicht.

Okay, das ist nur meine Meinung, bitte gebt Eure Meinung, dann können wir einen demokratischen Konsens finden. Freundliche Grüsse: Herbmuell (Diskussion) 03:47, 16. Mai 2015 (CEST)

Null hoch nulll war historisch ein Problem, und das stellt der Abschnitt klar heraus. Gerade für Nichtmathematiker mag es erstaunlich sein, dass hier in der algebraischen Behandlung eine Konvention vorliegt. Verwendet man die Definitionen der Mengenlehre, so ist die Sache eindeutig, denn hier ist eine Potenz bereits definiert. Kommt man aber von den Körperaxiomen oder Ringaxiomen her, so ist eine Potenzierung erst noch zu definieren. Man trifft hier eine Konvention, die gerade für induktive Definitionen und Beweise praktisch ist, wie die genannten Beispiele zeigen. Historisch hat man erfolglos versucht, die Sache mittels Analysis zu klären, was der Artikel doch gar nicht so schlecht behandelt. Vielleicht sollte man leicht umstrukturieren und dadurch die Dinge noch klarer herausstellen: Ich würde vorschlagen, (1) den letzten Teil des Unterabschnitts "Analysis" in einen Unterabschnitt "Algebra" auszulagern und darin klar machen, dass die Potenzierung hier definiert wird. Man könnte (2) auch "Algebra" vor "Analysis" setzen, die Analysis untersucht dann, die Eigenschaften dieser Definition und stellt schließlich fest, dass die algebraische Definition nicht stetig ist und es auch auch keine andere Definition gibt, die Stetigkeitsanforderungen genügt. Hierher gehören dann natürlich auch die historischen Probleme.--FerdiBf (Diskussion) 08:41, 16. Mai 2015 (CEST)

@Herbmuell: wenn du den Abschnitt auf "ein paar kurze Sätze" zusammenstreichen willst, mach doch mal – z.B. hier auf der Diskussionsseite – einen ersten Vorschlag, wie das dann aussehen soll. Dann haben wir etwas konkretes, worüber wir diskutieren können. :-) --RokerHRO (Diskussion) 10:34, 17. Mai 2015 (CEST)

Potenzieren für Professoren?!

Wikipedia ist wirklich ein Graus, wenn darum geht, Grundwissen für die Schule nachzuschlagen. Schüler können hier wirklich NICHTS lernen. Kann es ganz oben nicht einfach mal für Doofe erklärt werden, bevor weiter unten die wissenschaftlichen Abwandlungen kommen? Ich verstehe kein Wort. Außer natürlich auf der Diskussionsseite. Man bräuchte eigentlich für Wissen außer Wikipedia keine andere Plattform, wenn es tatsächlich "nur" ein Lexikon wäre. (nicht signierter Beitrag von 77.9.236.215 (Diskussion) 23:42, 1. Jul 2016 (CEST))

Eine Enzyklopädie ist etwas grundsätzlich anderes als ein Lehr- oder Übungsbuch. Was Du vermutlich suchst (Du äußerst Dich dazu ja gar nicht), solltest Du zum Beispiel leicht in Deinen Schulbüchern finden. Daß die Diskussionsseiten manchmal für eine kleine Nachhilfeeinheit verwendet werden, sollte Dich nicht glauben machen, daß das ihr (oder gar des Artikels) eigentlicher Zweck wäre.--Franz 00:16, 2. Jul. 2016 (CEST) P. S.: Bitte signiere Deine Diskussionsbeiträge künftig.

Ich habe den Teil über technische Schreibweisen aus dem ersten Absatz herausgenommen und nach weiter unten kopiert. Damit ist die Definition für natürliche Exponenten durchaus Schüler-tauglich, der Teil über die technischen Schreibweisen wirkte sicher störend und war hier auch ein Fremdkörper. Die einzige Ausnahme ist der Satz über Monoide. Das möge derjenige, der nicht weiß, was das ist, entweder überlesen oder mittels der Verlinkung in Erfahrung bringen (Vorsicht: das ist zwar nicht schwer aber wegen der Abtraktheit nicht für jeden Schüler tauglich). Deine Kritik über die Unverständlichkeit solltest Du etwas konkreter machen. Das "Ich verstehe kein Wort" glaube ich nicht. An welcher Stelle steigst Du aus?--FerdiBf (Diskussion) 17:52, 2. Jul. 2016 (CEST)

Argumente für 0^0=1

1. Es gilt auch $\lim _{x\to 0-}x^{x}=1$, wenn auch mit meistens komplexen Werten.
2. 0^0 ist das leere Produkt, und das ist 1. --Röhrender Elch (Diskussion) 21:33, 13. Okt. 2016 (CEST)

Der Grenzwert von $\lim _{x\to 0-}x^{x}=1$ steht bereits im Artikel. im Übrigen sind Grenzwerte als Argument ungeeignet, da sich für jeden gewünschten Grenzwert eine Formel finden lässt, so dass dieser Grenzwert erhalten wird. Steht aber auch schon im Artikel und ist sogar mit einer Grafik veranschaulicht. --RokerHRO (Diskussion) 07:38, 14. Okt. 2016 (CEST)

Im Artikel wird der Grenzwert von oben (0+) betrachtet, aber auch, wobei man komplexe Funktionswerte zulassen muss, der Grenzwert von unten (0−) ist 1, siehe http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^x. Das könnte in der vorhandenen Grafik nicht gut dargestellt werden. Auch das Argument mit dem leeren Produkt, also der Anschluss an eine andere Konvention, wird im Artikel nicht klar ausgeführt. --84.130.144.28 09:46, 14. Okt. 2016 (CEST)

1. Der $lim_{x\to 0-}x^{x}$ steht bisher nicht im Artikel.
2. Mit der Definition $0^{0}=1$ ist $x^{x}$ stetig. Insofern sind die Grenzwerte relevant. --Röhrender Elch (Diskussion) 22:52, 14. Okt. 2016 (CEST)

Ich kann nur die Ansicht vorn RokerHRO stützen. $0^{0}$ ist eine Konvention und keine Frage von wahr oder falsch, wie im Artikel auch erwähnt. Das Stetigkeitsargument ist keine Begründung, es ist eine Frage der Zweckmäßigkeit. Wie immer man $0^{0}$ definieren mag, die stetige Fortsetzbarkeit der Funktion $f:x\mapsto x^{x}$ ist davon nicht berührt, das muss klar sein. Die Definition $f(0)=1$ ist in jedem Fall eine stetige Fortsetzung. Die Funktion $\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto 0^{x}$ ist auch stetig (weil konstant = 0), demnach wäre $0^{0}=0$ die richtige Wahl. Argumente für und wider $0^{0}=1$ sind niemals mathematische Beweise sondern nur Argumente für oder wider die Zweckmäßigkeit einer solchen Festlegung. Nur aus diesem Grunde ist $0^{0}=1$ weit verbreitet. Selbst das mengentheoretische Argument funktioniert ja nur, wenn man die mengentheoretischen Definitionen wie angegeben vornimmt. Aber das müsste nicht so sein, auch wenn das in der Mengenlehre weit verbreitet ist.--FerdiBf (Diskussion) 09:30, 15. Okt. 2016 (CEST)

Niemand hat hier behauptet, dass es um wahr und falsch geht oder der Artikel einen Fehler enthält. Es geht vielmehr um eine mögliche und naheliegende Ergänzung der bereits im Artikel enthaltenen Diskussion der Zweckmäßigkeit von 0^0 = 1. --84.130.139.42 09:41, 15. Okt. 2016 (CEST)

Mir ist nicht klar, wie $x^{x}$ definiert sein soll für negative Werte. --Digamma (Diskussion) 09:55, 15. Okt. 2016 (CEST)

e^(x log x) mit Wahl eines Zweigs des komplexen Logarithmus, also e^(x ((2 k + 1) π i + log −x)) mit ganzer Zahl k. Wusstest Du natürlich. --84.130.139.42 10:12, 15. Okt. 2016 (CEST)

Wenn ich einen Zweig wählen muss, dann ist die Funktion m.E. nicht wohldefiniert. Und nein, ich bin in komplexer Analysis nicht so firm, um zu wissen, ob das funktioniert. --Digamma (Diskussion) 10:21, 15. Okt. 2016 (CEST)

Ist sie offensichtlich auch nicht (im Komplexen nie der Fall, auch für positive x), der Grenzwert ist es schon. Ob was funktioniert? --84.130.139.42 10:33, 15. Okt. 2016 (CEST)

@Digamma: Potenzen von negativen Basen sind von Ausnahmen abgesehen komplex.

@alle: Natürlich ist 0^0=1 eine Konvention. Die Tatsache, dass x^x an der Stelle 0 dadurch stetig wird, ist ein Argument für die Zweckmäßigkeit dieser Konvention. --Röhrender Elch (Diskussion) 21:04, 15. Okt. 2016 (CEST)

Falls es noch jemand ergänzen möchte: Grenzwert 1 bei (beliebiger) Wahl eines Zweigs k, siehe Rechnung oben, sonst nicht (für k→±∞). --84.130.129.191 18:09, 21. Okt. 2016 (CEST)

Ich halte das für viel zu kompliziert als Argument für die Konvention, dass 0^0 = 1 gesetzt werden soll. Und die komplexe Definition von x^x als Zweig der obigen Formel verträgt sich nicht mit der reellen Definition der Potenzen negativer Zahlen mit gebrochenen Exponenten. --Digamma (Diskussion) 18:35, 21. Okt. 2016 (CEST)

Es ist nur deswegen für viele komplizierter, weil Schülern die komplexen Zahlen vorenthalten werden. Das ist aber seit Jahrhunderten nicht mehr der Stand der Wissenschaft. Für den reellen Fall könnte man (−1/k)^(−1/k) → −1 für ungerade Zahlen k→∞ als Gegenargument anführen. Das für praktisch alle Anwendungen zutreffende Argument für 0^0=1 ist sowieso ein anderes, in diesem Zusammenhang wäre der gleichfalls vorgeschlagene Hinweis auf die Verträglichkeit mit der Konvention für das leere Produkt sinnvoll. --84.130.129.191 19:25, 21. Okt. 2016 (CEST)

Potenzen von negativen Basen

"Potenzen von negativen Basen sind von Ausnahmen abgesehen komplex." Ich bezweifle noch immer, dass eine sinnvolle Definition von Potenzen mit negativer Basis mit komplexen Werten möglich ist. Zunächst zumindest sind Potenzen mit negativer Basis und nicht ganzen Exponenten erstmal gar nicht definiert. Dass Wolfram Alpha irgendwelche Werte ausspuckt, ist noch kein Beweis für das Gegenteil. --Digamma (Diskussion) 20:14, 16. Okt. 2016 (CEST)

Potenzen mit negativen Basen und nichtganzzahligen Exponenten sind durchaus definiert, weil Potenzen komplexer Zahlen definiert sind und man Basis und Exponent als komplexe Zahlen mit dem Imaginärteil 0 auffassen kann. Sie sind nur nicht reell, so ist z.B. (-1)^0.5=i. Das spuckt nicht nur Wolfram Alpha aus sondern auch Google. --Röhrender Elch (Diskussion) 22:34, 16. Okt. 2016 (CEST)

Die Potenzfunktion ist im Komplexen, wie gesagt, mehrdeutig (außer bei ganzzahligen Exponenten), z.B. (−1)^0,5=±i. Computeralgebraprogramme wählen meist automatisch einen Zweig aus, ich habe Wolfram Alpha aber auch nicht als Beleg, sondern nur zur Veranschaulichung angegeben. Falls Digamma auf Nichtwissen und Zweifeln an meinen Angaben besteht, kann er dem vielleicht mit der Lektüre des umseitigen Abschnitts Potenz (Mathematik)#Potenzen komplexer Zahlen abhelfen. Die komplexe Potenzfunktion umfasst sauber und übersichtlich alle zuvor beschriebenen Sonderfälle für kleinere Zahlbereiche. Oder, anders ausgedrückt:

"Zuvörderst würde ich jemand, der eine neue Function in die Analyse einführen will, um eine Erklärung bitten, ob er sie schlechterdings bloss auf reelle Grössen (reelle Werthe des Arguments der Function) angewandt wissen will, und die imaginären Werthe des Arguments gleichsam nur als ein Überbein ansieht, oder ob er meinem Grundsatze beitrete, dass man in dem Reiche der Grössen die imaginären a+b√−1=a+bi als gleiche Rechte mit den reellen geniessend ansehen müsse. Es ist hier nicht von praktischem Nutzen die Rede, sondern die Analyse ist mir eine selbständige Wissenschaft, die durch Zurücksetzung jener fingirten Grössen ausserordentlich an Schönheit und Ründung verlieren und alle Augenblick Wahrheiten, die sonst allgemein gelten, höchst lästige Beschränkungen beizufügen genöthigt seyn würde."

--84.130.133.175 00:45, 17. Okt. 2016 (CEST)

Ändert alles nichts an der Tatsache, dass Potenzen von negativen Basen und nichtganzzahligen Exponenten definiert sind, aber i.d.R. nicht reell, sondern komplex.

Wenn Potenzen von negativen Basen nicht definiert wären, wie könnten dann Wolfram Alpha, Google etc. irgendetwas ausspucken, v.a. übereinstimmende Werte? Sie müssten dann doch "nicht definiert" schreiben! Alles andere wären dann doch Phantasiewerte! --Röhrender Elch (Diskussion) 23:31, 18. Okt. 2016 (CEST)

Stimmt nicht, für (−1)^(1/3) gibt Wolfram Alpha standardmäßig den Hauptwert 1/2 + √3/2 i aus, Google den reellen Wert −1. Spielt aber sowieso keine Rolle, sie könnten auch nichts, 1/2 − √3/2 i oder Unfug ausgeben. Man ist immer zunächst völlig frei, ob und wie man etwas definiert. Der Unterschied liegt dann in "Schönheit und Ründung" vs. "höchst lästige Beschränkungen" bei den zugehörigen Beweisen und Resultaten. --84.130.158.198 01:40, 19. Okt. 2016 (CEST)

Röhrender Elch: Diese Änderung passt nicht an dieser Stelle des Artikels. In diesem Abschnitt geht es nur um reelle Potenzen. Und in diesem Sinn kann man hier nur sagen, dass Potenzen mit negativer Basis und irrationalen Exponenten oder rationalen Exponenten, deren Nenner bei gekürzter Form gerade ist, nicht definiert sind. Komplexe Potenzen sind etwas anderes und sie sind ja auch nicht einfach eine Fortsetzung der reellen, da sie in der Regel mehrwertig sind. Allenfalls kann man an dieser Stelle erwähnen, dass man im Bereich der komplexen Zahlen Potenzen negativer Zahlen für alle Exponenten definieren kann, die aber i.A. nicht reell sind (aber i.A. auch nicht eindeutig) und auf den entsprechenden Abschnitt weiter unten verweisen. --Digamma (Diskussion) 18:51, 21. Okt. 2016 (CEST)

@Digamma: Deine Änderung ist o.k. mit der Erwähnung der komplexen Zahlen. --Röhrender Elch (Diskussion) 22:04, 21. Okt. 2016 (CEST)

Gibt es zu der Tabelle im Abschnitt "Potenzgesetze" Quellen? Ich hab das Beispiel (a*b)^r = a^r * b^r mal nachgerechnet und komme auf andere Bedingungen:
Es gilt, falls a,b,r reell sind und mindestens eine der Zahlen a,b positiv ist. In diesem Punkt mache ich also eine stärkere Aussage als der Artikel. Mathematica gibt mir an dieser Stelle recht: Assuming[a > 0 && Element[b, Reals] && Element[r, Reals], Simplify[a^r*b^r]] liefert (a*b)^r.
Falls nun a,b beide negativ sind, sehe ich nicht warum ein rationales r helfen sollte. Auch hier scheint Wolfram Alpha meiner Meinung zu sein: (-1)^(1/3) * (-1)^(1/3) - 1^(1/3) gibt dort nicht 0. --87.163.223.236 22:30, 13. Nov. 2017 (CET)

Schade, dass noch niemand geantwortet hat. Ich mach nochmal einen Versuch, bevor ich einfach was ändere. Nachdem ich nochmal drüber nachgedacht habe, scheint mir, dass sich der Artikel hier auf Potenzen beschränkt, die genau einen reellen Wert annehmen. Das wird hier aber nicht hinreichend klar. Sobald man eine negative Basis zulässt arbeitet man ja praktisch automatisch im Komplexen, eine Einschränkung sollte also explizit angemerkt werden. Außerdem gilt ja streng genommen immer noch keine Gleichheit. Man wählt halt links und recht verschiedene Zweige. "Gleichheit" bedeutet in diesem Zusammenhang dann wohl, dass der Schnitt der Wertemengen nicht leer ist? Das sollte ebenfalls angemerkt werden.(nicht signierter Beitrag von 89.204.154.2 (Diskussion) 17:28, 27. Nov. 2017 (CET))

Sorry, dein Beitrag war nicht so leicht nachzuvollziehen. Außerdem hättest du besser eine neue Diskussion eröffnet statt dich an die alte dranzuhängen.

Zur Aussage: $a^{r}$ ist nicht definiert, wenn a negativ und r irrational ist. Potenzen mit negativer Basis und rationalen Exponenten lassen sich definieren, wenn der Nenner des Exponenten in gekürzter Darstellung ungerade ist.

(-1)^(1/3) ist -1, also ist (-1)^(1/3) * (-1)^(1/3) = 1 = 1^(1/3). Mathematica rechnet möglicherweise mit komplexen Zahlen und erhält deshalb für (-1)^(1/3) den komplexen Hauptwert ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i$. --Digamma (Diskussion) 18:43, 27. Nov. 2017 (CET)

Ergänzung: Ich hatte jetzt nur deinen alten Beitrag gelesen, aber nicht den von heute. Ja, gemeint ist es im Artikel so, dass nur reell gerechnet wird. Es werden also reelle Wurzeln gezogen. Das ist bei negativen Basen möglich, wenn der Wurzelexponent ungerade ist. Es sind keine echt komplexen Wurzeln gemeint. --Digamma (Diskussion) 18:47, 27. Nov. 2017 (CET)

Einleitung

In der Einleitung fehlen noch die Begriffe Potenz, der das eigentlich Lemma ist, und Potenzrechnung, von welchem eine Weiterleitung existiert und der hier im Artikel erklärt wird. Ich denke, daß vor allem die lange Erklärung zur Historie des Begriffs Potenzieren aus der Einleitung in einen eigenen Abschnitt verlagert werden sollte.--Fit (Diskussion) 13:11, 4. Nov. 2016 (CET)

Hallo Fit! Den Großteil deiner Vorschläge habe ich soeben umgesetzt. Nur das Weiterleitungslemma Potenzrechnung habe ich nicht eingebracht. In der Einleitung braucht es meiner Meinung nach auch nicht zu stehen, möglich wäre vielleicht eine Erwähnung im Abschnitt Potenzgesetze. Das mag aber bei Bedarf jemand anderer übernehmen. Denn ich halte diese Weiterleitung für überflüssig (sie wurde schon 2004 angelegt, ohne daß das Lemma jemals Eingang in den Artikel gefunden hat) und würde sogar eine Löschung befürworten. Falls sich hier eine merkliche Unterstützung dafür finden sollte, stelle ich gerne selbst den offiziellen Löschantrag. Liebe Grüße, Franz 14:08, 4. Nov. 2016 (CET)

Einfaches Beispiel: Zwei hoch Drei hoch Vier

Es wäre doch schön, wenn anhand dieses einfachen Beispiels der Begriff an sich erklärt werden würde. Man kann das Ergebnis der Operation mit einem regulären Ausdruck ganz einfach als 1[0]{81} darstellen. Warum also diese unnützen Wortgeschwülste in diesem Artikel? (nicht signierter Beitrag von 79.220.14.48 (Diskussion) 04:36, 23. Nov. 2016 (CET))

Was meinst du? Welche "Wortgeschwülste"?

Übrigens: "Zwei hoch drei hoch vier", also $2^{3^{4}}=2^{\left(3^{4}\right)}=2^{81}=2417851639229258349412352$.

Falls du jedoch $\left(2^{3}\right)^{4}$ meintest, das wäre 4096.

Dein regulärer Ausdruck stellt dagegen eine 1, gefolgt von 81 Nullen dar. --RokerHRO (Diskussion) 09:29, 23. Nov. 2016 (CET)

Wieder 0^0

Zwei Fragen

1. "Als unter naheliegenden Umständen geeignete Werte kann man zum Beispiel 0 ... ansehen." - ich bezweifle, dass $0^{0}=0$ irgendwo sinnvoll festgelegt ist und dass das so im Artikel stehen sollte?! Kann jemand andernfalls ein Beispiel angeben? Oder eines für einen anderen Wert als $0^{0}=1$?
2. Unabhängig von Frage 1: "Es ist nur Konvention, ob $0^{0}$ undefiniert oder gleich 1 gesetzt wird", ist nun doch etwas unbefriedigend. Gibt es nicht vielleicht doch abgrenzende Kriterien, wann das eine und wann das andere der Fall ist? --KnightMove (Diskussion) 19:57, 19. Nov. 2017 (CET)

zu 1.: Wenn du eine bessere Formulierung findest, nur zu! Es gab leider in der Vergangenheit immer wieder Schlauberger in der Wikipedia, die voller Überzeugung meinten: Null hoch null ist doch ganz klar X, kann gar nicht anders ein, weil..." (mit jeweils verschiedenen Werten für X).

Anstatt nun den mathematischen Laien gleich völlig abzuschrecken, ist es IMHO durchaus sinnvoll, Beispiele anzugeben, die er noch nachvollziehen kann, bevor man ausführlicher begründet, wieso Grenzwert-Argumente bei Null hoch Null nicht zielführend sind. 0^q und a⁰ sind halt die bekanntesten Beispiele und geeignet, den Widerspruch aufzuzeigen.

zu 2.: wieso unbefriedigend? In manchen Bereichen der Mathematik (in vielen? den meisten?) hat es sich als günstig / praktisch erwiesen, 0⁰:=1 zu setzen / zu definieren, da das eben viele Gleichungen vereinfacht und weniger Sonderfälle für die 0 erfordert. In anderen Bereichen kommt man ohne so eine (an sich ja willkürliche) Festlegung aus, und dann tendieren die Leute, die in diesen Bereichen unterwegs sind, dazu, den Ausdruck 0⁰ undefiniert zu lassen, denn das macht ihr Regelwerk einfacher. --RokerHRO (Diskussion) 23:29, 19. Nov. 2017 (CET)

Aber Mathematik ist ja nicht unbedingt eine reine "Mir kommt vor..."-Wissenschaft. Außerdem ist ja durch die Ausführungen im Artikel ja noch keine stimmige Abgrenzung zu erkennen. "In heutigen Analysislehrbüchern ist auch die Konvention verbreitet, die Potenz $0^{0}$ undefiniert zu lassen." Verwenden diese Analysis-Lehrbücher also die geometrische Reihe und die Potenzreihe der Exponentialfunktion gar nicht, die hier als Gründe für die Festlegung $0^{0}=1$ gelistet werden? Es wird hier irgendwie absurd. -- KnightMove (Diskussion) 07:00, 20. Nov. 2017 (CET)

Belege fehlen

Ich habe mal {{Belege fehlen}} in den Artikel gesetzt. Vielleicht bekommen wir mit den geforderten Belegen dann ja eine Antwort auf die obigen Fragen von KnightMove. :-) --RokerHRO (Diskussion) 10:12, 20. Nov. 2017 (CET)

Ich habe einen Beleg für die Potenzbildung von Kardinalzahlen eingefügt (eigentlich unnötig, da das hier nicht das Thema ist). Ich sehe aktuell kein Problem mit fehlenden Belegen. Kannst Du bitte eine Aussage aus diesem Abschnitt benennen, die weder begründet noch belegt ist?--FerdiBf (Diskussion) 09:54, 1. Apr. 2018 (CEST)

Potenz vs. Potenzwert

Ich halte den Begriff "Potenzwert" für unsinnig (so wie das Ergebnis der Multiplikation ja das "Produkt" ist und kein "Produktwert" usw.) und war schon kurz davor, einfach den Revert-Knopf zu drücken. Aber vielleicht mögt ihr dazu vorher eure Meinung sagen... ~:-~~) ~--(nicht signierter Beitrag von RokerHRO (Diskussion | Beiträge) 20:59, 3. Mär. 2018 (CET))

Hallo RokerHRO, was war denn das für ein missglückter Versuch, zu signieren? Zu deiner Aussage: Zumindest in Schulbüchern ist mir schon "Wert der Potenz" begegnet, genauso wie "Wert der Summe" und "Wert des Produkts". Der Grund liegt wohl darin, dass "Potenz" nicht nur das Ergebnis der Rechenoperation, sondern auch die Rechenoperation selbst und den zugehörigen Term bezeichnet. --Digamma (Diskussion) 21:22, 3. Mär. 2018 (CET)

Potenzen, die nicht alle Ziffern enthalten

Die kleinste Zweierpotenz mit allen Dezimalziffern ist 2⁶⁸, und die größte bekannte Zweierpotenz, deren Dezimaldarstellung nicht alle zehn Ziffern enthält, ist 2¹⁶⁸. --92.216.164.225 21:16, 23. Okt. 2018 (CEST)

Ich glaube, außer dich interessieren solche Fragen niemanden. --Digamma (Diskussion) 21:22, 23. Okt. 2018 (CEST)

Naja, wenn es eine OEIS-Folge gibt, gibt es mindestens noch jemanden, der das "interessant" findet. ;-)

Ansonsten gibt es ja die Liste besonderer Zahlen. --RokerHRO (Diskussion) 12:38, 25. Okt. 2018 (CEST)

x^x und seine Umkehrfunktion

Gibt es für die Funktion x^x auch einen eigenen Namen? Und hat sie eine Umkehrfunktion? Wenn ja, wie heißt sie? Und wie ermittelt man z.B. x^x = 17 den Wert von x? --RokerHRO (Diskussion) 08:56, 6. Nov. 2018 (CET)

Meines Wissens hat die Funktion keinen Namen. Da sie streng monoton wachsend ist, besitzt sie auch eine Umkehrfunktion. Diese hat meines Wissens auch keinen Namen. Meines Wissens gibt es keine Möglichkeit, den Wert von x in der Gleichung x^x = 17 algebraisch zu bestimmen. Es kommen deshalb wohl nur numerische Näherungsverfahren in Betracht, wie sie auch für die Lösung anderer Gleichungen benutzt werden. Für die Gleichung x^x = 17 gibt der "Solver" meines Taschenrechners x = 2,7754491049442 aus. --Digamma (Diskussion) 18:45, 6. Nov. 2018 (CET)

x^x=17 hat die Lösung x=ln(17)/W(ln(17)) mit der Lambertschen W-Funktion W, die zum Beispiel bei Wolfram Research zu den elementaren Funktionen gezählt wird. Gruß, Wolny1 (Diskussion) 19:17, 6. Nov. 2018 (CET)

Weil’s mir gerade eben von YouTube vorgeschlagen wurde: [3] -- HilberTraum (d, m) 21:40, 8. Nov. 2018 (CET)

x^x ist nicht streng monoton, in der Nähe der 0 fällt sie erstmal.--LamaMaddam (Diskussion) 10:55, 7. Jan. 2020 (CET)

Ups, da habe ich einen Denkfehler gemacht. Danke für die Korrektur. --Digamma (Diskussion) 18:21, 7. Jan. 2020 (CET)

0 ^ 0 leicht beweisbar

Ich habe mir aus mehreren Gründen zur 0 ^ 0 = 1 Gedanken gemacht: - Weil ein Beweis fehlt. - Weil die Zahl 1 der natürlichen Zahlen dann aus 0 entstehen kann. - Weil man den neutralen Faktor 1 jeder Zahl dann mit x * 0 ^ 0 schreiben kann. Erlaubt man Exponenten, dann ist die Multiplikation und Division mit 0 (0 ^ 1) zulässig, und umkehrbar. Sprich die Widersprüche der natürlichen Zahlen wären aufgelöst.

Ich möchte einen einfachen Beweis vorbringen:

Die Frage lautet: 0 ^ 0 = 1 ? oder x ^ y = 1 ?

Nach dem Logarithmieren der obigen Gleichung:

y * log x = 0

Setzt man nun für y = 0 ein, dann gilt generell:

0 * log x = 0

Nein! Das gilt nur für x > 0, log(x) ist nur für x > 0 definiert. (nicht signierter Beitrag von Wolfgang Glas (Diskussion | Beiträge) 02:09, 12. Feb. 2021 (CET))

Das jeder Wert A mit 0 multipliziert wiederum 0 ergibt, ist ein allgemeiner Lehrsatz der Mathematik. Zwar ist log x für log 0 nicht definiert, aber der einfache Satz das 0 * A = 0 sein muss, wäre dann falsch.

Nein! 0 * was_nicht_definiert ist nicht gleich 0 ( ich verwende hier bewusst nicht das Gleichheitszeichen ). (nicht signierter Beitrag von Wolfgang Glas (Diskussion | Beiträge) 02:13, 12. Feb. 2021 (CET))

Es wird auch immer wieder die Funktion x^y ins Spiel gebracht, obwohl kein Argument angeführt wird, warum x und y unabhängig gegen Null gehen sollen. Betrachtet man den Grenzübergang von x^x gegen Null für x > 0 kommt dann halt 1 raus. Somit, 0^0=1, falls die Basis 0 reell und der Exponent reell. (nicht signierter Beitrag von Wolfgang Glas (Diskussion | Beiträge) 02:46, 12. Feb. 2021 (CET))

Im Text wird ziemlich deutlich darauf hingewiesen, dass der Wert von 0^0 eine Konventionsangelegenheit ist und dass 0^0=1 in vielen Fällen praktisch ist, weil es Fallunterscheidungen vermeidet. Entweder verwendet man eine Definition, die 0^0 bereits einschließt (siehe Mengenlehre-Definition), oder man muss den Wert, wie in der Algebra, festlegen. Du hast ja selbst schon festgestellt, dass man das Logarithmengesetz nicht auf 0^0 anwenden kann, so dass deine Überlegungen nicht weiterhelfen. Es handelt sich um eine Konvention, eine Definition, daher ist die Frage nach einem Beweis unsinnig.--FerdiBf (Diskussion) 19:58, 11. Okt. 2018 (CEST)

Was man tatsächlich beweisen kann, ist die Existenz des Grenzwerts

$\lim _{x\to 0}x^{x}=1$.—Godung Gwahag (Diskussion) 10:07, 13. Okt. 2018 (CEST)

Das ist so auch nicht korrekt. Korrekt ist das nur für x reell > 0. (nicht signierter Beitrag von Wolfgang Glas (Diskussion | Beiträge) 02:25, 12. Feb. 2021 (CET))

Man braucht keine Festlegung für 0 ^ 0

Es ist schon schlimm, was einem hier (im Artikel wie in der Diskussion) geboten wird. Da gibt es den Satz: "Also sind die Grenzwertargumente zur Festlegung des Wertes der Potenz 0⁰ ungeeignet." Und alles Stichhaltige, was aufgeführt wird, sind Grenzwertberachtungen. Die sich dann aber je nach gewählter Annäherungsfunktion unterscheiden. (Dazu direkt den Begriff Grenzwert aus dem einschlägigen Artikel Grenzwert (Funktion): wenn er nicht eindeutig ist, dann existiert er nicht. Aber die Sehnsucht nach einem eindeutigen Wert scheint so richtig übermächtig zu sein.)
Des Weiteren wird hier herumgeschwafelt mit Begriffen wie Konvention und Definition. Was ist die mathematische Definition von Konvention? Ist das das Gleiche? Was ist der Unterschied?
Gibt es in solchen Fällen (wie 0⁰ und 0/0) wirklich die Freiheit der Definition? Ist es nicht Ziel einer jeden wie immer gewählten Festlegung, dass sie sich in die sonstigen arithmetischen Gesetze widerspruchsfrei einbettet? Es sieht so aus, als ob das bei keiner Festlegung möglich ist, denn verschiedene Annäherungsversuche kommen auf verschiedene Ergebnisse.
Warum muss bei jeder mathematischen Formel immer etwas herauskommen? Warum bloß können wir es nicht dabei belassen: 0⁰ und 0/0 ist undefiniert? Nicht widerspruchsfrei definierbar! Nur durch eine passende der Fragestellung angemessene Grenzwertbetrachtung kann ggf. ein sinnvoller Wert gefunden werden!
Wie witzigerweise schon im Artikel steht: "Auch hier ist die Konvention "0⁰ = 1" sinnvoll" (und zwar – jetzt haltet euch fest – nachdem ein Grenzwert betrachtet wurde, bei dem 1 herauskam! Das ist doch großartig!) - Nomen4Omen (Diskussion) 18:41, 30. Mär. 2020 (CEST)

Mit „Konvention“ ist sicher kein mathematischer Begriff gemeint, sondern Konvention: Wenn viele Leute das Gleiche machen, z. B. die gleiche Definition verwenden, dann wird das zu einer Konvention. Wegen den Grenzwerten: Es gibt ja auch viele Teilgebiete der Mathematik, für die Grenzwerte kaum ein Rolle spielen (Algebra, Zahlentheorie, Kombinatorik, …) Dort wird man dann für geeignete Definitionen auch nicht unbedingt Grenzwertbetrachtungen verwenden. Grüße -- HilberTraum (d, m) 21:51, 30. Mär. 2020 (CEST)

Danke, das sehe ich genauso. Für Definitionen braucht man normalerweise nicht (= ganz extrem selten) Grenzwertbetrachtungen. Aber hier gibt es halt leider die Grenzwerte

$[0^{0}=]\quad \lim _{x\searrow 0}0^{x}=0\neq 1=\lim _{x\searrow 0}x^{0}\quad [=0^{0}]$,

die eine Festlegung (Definition?, Konvention?) von $0^{0}$, die sich mit dem Rest der Analysis (bspw. den genannten Grenzwerten) verträgt, unmöglich machen. - Nomen4Omen (Diskussion) 22:36, 30. Mär. 2020 (CEST)

Ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstehe: Das übliche Argument, dass $0^{0}=1$ festgelegt wird, ist keine Grenzwertbetrachtung, sondern algebraisch. Die Potenz $a^{0}$ hat den Wert 1, damit die Potenzgesetze gelten, damit die Potenzrechenregel $a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$ auch für $n=0$ gilt. Und das gilt erstmal unabhängig davon, welchen Wert $a$ hat. Und das ist keine Festlegung für einen exotischen Sonderfall, sondern wird immer benutzt, wenn man ein Polynom in der Form $\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ hinschreibt oder eine Potenzreihe in der Form $\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$. Sonst wäre der Term $a_{0}x^{0}$ nämlich für $x=0$ nicht definiert. --Digamma (Diskussion) 23:07, 30. Mär. 2020 (CEST)

Ich stimme dir zu: $X^{0}$ hat den Wert 1. Und zwar nicht damit die Potenzgesetze gelten, sondern es handelt sich um den Induktionsanfang der rekursiven Definition der Potenzgesetze selbst. Jetzt muss noch dazu gesagt werden, was $X$ sein darf. Da gibt es im Wesentlichen zwei Möglichkeiten: Erstens $X$ ist eine Unbestimmte. Dann ist alles gesagt und das $a_{0}X^{0}$ in $f(X):=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}:=a_{0}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}X^{i}$ ist das sog. Absolutglied, welches völlig unabhängig von $X$ immer $a_{0}$ ist. Dann gibt es nach meinem Wissen die zweite wichtige Möglichkeit, dass $f$ für eine Funktion steht, bspw. für eine komplexwertige. Dann muss ich ohnehin, um die Definitionsmenge festzustellen, den Konvergenzradius bestimmen (wobei im Fall von Laurent-Reihen $X=0$ sogar rausfallen kann). Und da ist die Grenzwertbetrachtung $\lim _{X\searrow 0}X^{0}=1$ doch geschenkt. Evtl. kann man auch direkter sofort vom ersten auf den zweiten Fall schließen, vllt. über den Einsetzungshomomorphismus. Über unterschiedliche Wege wäre der Term $a_{0}X^{0}$ auch im zweiten Fall für $X=0$ definiert, ohne dass man auf eine "Festlegung" für $0^{0}$ Bezug genommen hätte. Und jeder einzelne der Wege wäre wesentlich fundierter als eine solche "Festlegung". - Nomen4Omen (Diskussion) 13:37, 31. Mär. 2020 (CEST)

Aber dass die rekursive Definition der Potenzen bei 0 anfängt, ist doch auch schon eine Festlegung. Und ja, das ist genau das, was ich sage: $0^{0}=1$ ergibt sich aus der rekursiven Definition der Potenzen. Ich dachte, du wolltes $0^{0}$ undefiniert lassen. --Digamma (Diskussion) 22:57, 31. Mär. 2020 (CEST)

@Digamma:

1. Ich kann die rekursive Definition der Potenzen mit dem Exponenten 1 beginnen, aber auch mit dem Exponenten 0. (Ist es die 0, die dir nicht gefällt ?) In beiden Fällen habe ich eine Definition. Und ich glaube, sie kommen beide auf das Gleiche hinaus.
2. Wichtig ist allerdings IMHO, dass ich bei der Definition der Potenzen als Basis NICHT die 0 nehme, wie du es zu machen scheinst. Denn, wenn du bei der Definition der Potenzen die 0 als Basis nimmst und mit dem Exponenten 1 beginnst, dann kommst du unweigerlich auf den Wert $0^{2}=0^{1}=0$ und somit auf $0^{0}=0$.
3. Ganz klar will ich $0^{0}$ als solches undefiniert lassen. Kannst du mir bitte ganz deutlich zeigen, wo ich deiner Meinung nach $0^{0}$ definiert habe?

Allerbeste Grüße - Nomen4Omen (Diskussion) 23:22, 31. Mär. 2020 (CEST)

Wenn du $x^{0}=1$ definierst und dann zulässt, dass man 0 für $x$ einsetzt, dann definierst du $0^{0}=1$. (nicht signierter Beitrag von Digamma (Diskussion | Beiträge) 23:33, 31. Mär. 2020 (CEST))

@Digamma:

Bitte zitiere mich mit "", damit ich es mit der Suchfunktion finden kann, und zwar erstens für "$x^{0}=1$ definierst" und zweitens für "zulässt, dass man 0 für $x$ einsetzt". Vielen Dank im Voraus! - Nomen4Omen (Diskussion) 07:57, 1. Apr. 2020 (CEST)

Dann habe ich die falsch verstanden. Du schreibst "Ich stimme dir zu: $X^{0}$ hat den Wert 1" und " Evtl. kann man auch direkter sofort vom ersten auf den zweiten Fall schließen, vllt. über den Einsetzungshomomorphismus". --Digamma (Diskussion) 08:38, 1. Apr. 2020 (CEST)

@Digamma:

Ich hätte nicht für möglich gehalten, dass ich die Definitionen des Artikels, z.B.

$a^{0}=1$ für alle $a\neq 0$

hier wiederholen muss. Aber du scheinst mir ein Befürworter

der Hinzufügung der 0 unter die Gruppenelemente von $\mathbb {R} ^{\times }$ zu sein,

indem du schreibst:

"Und ja, das ist genau das, was ich sage:

$0^{0}=1$ ergibt sich aus der rekursiven Definition der Potenzen."

Ja, wenn das so ist?!! - Nomen4Omen (Diskussion) 09:36, 1. Apr. 2020 (CEST)

Der Artikel sagt:

Die Potenz $a^{n}$ wird für reelle oder komplexe Zahlen $a$ (allgemeiner Elemente eines beliebigen multiplikativen Monoids) und natürliche Zahlen $n$ durch

${\begin{matrix}a^{n}:=\underbrace {a\cdot a\cdot a\dotsm a} _{n\ \mathrm {Faktoren} }\end{matrix}}$

definiert.

Diese Definition gilt nur für $n=1,2,3,\dotsc$ Damit die aus ihr (ebenfalls nur für $n=1,2,3,\dotsc$) folgende Identität $a\cdot a^{n}=a^{n+1}$ auch noch für $n=0$ gilt, wird $a^{0}:=1$ festgelegt.

Wo siehst du hier $a\neq 0$? --Digamma (Diskussion) 09:56, 1. Apr. 2020 (CEST)

Ich lese $a\neq 0$ im Abschnitt Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze in der ersten Zeile der Tabelle. (Ich gebe zu: Ich habe dort nachgeschaut, weil du dich am 23:07, 30. Mär. 2020 auf die "Potenzgesetze" bezogen hattest.)

Die Festlegung, die du zitierst, passt für das Monoid $\mathbb {R}$ (und für vieles mehr), nicht aber bspw. für manche Grenzwertbildungen, die es in $\mathbb {R}$ eben auch gibt, z.B. $\lim _{x\searrow 0}0^{x}$. Eine "Festlegung" sollte aber den Anspruch haben, mit allen gültigen Rechenregeln von $\mathbb {R}$ sich zu vertragen.

Und dann halt meine Hauptthese: Man kommt über eine der Fragestellung angemessene Grenzwertbetrachtung allermeist zu einem wesentlich höher qualifizierten Ergebnis (s. $\lim _{x\searrow 0}0^{x}=0$). - Nomen4Omen (Diskussion) 10:48, 1. Apr. 2020 (CEST)

Jetzt sind wir, glaube ich, wieder am Anfang. Dass bei der Grenzwertbildung $\lim _{x\searrow 0}0^{x}$ etwas anderes herauskommt als bei $\lim _{x\searrow 0}x^{0}$ heißt nur, dass die Funktion $f(x,y)=x^{y}$ an der Stelle (0,0) nicht stetig ist. Das ist aber kein Grund, sie dort nicht zu definieren. --Digamma (Diskussion) 12:00, 1. Apr. 2020 (CEST)

Natürlich sind wir wieder am Anfang! Diese meine These ist im vollen Einklang mit den Lehrsätzen der reellen Zahlen. Und du hast mir nicht den Hauch eines Arguments geliefert, was daran falsch sein soll.

Du sagst: "Dass bei der Grenzwertbildung $\lim _{x\searrow 0}0^{x}$ etwas anderes herauskommt als bei $\lim _{x\searrow 0}x^{0}$ heißt nur, dass die Funktion $f(x,y)=x^{y}$ an der Stelle (0,0) nicht stetig ist." Das stimmt zwar auch (und du sagst "heißt nur"), aber es ist nicht alles – es ist zu wenig! Denn es bleiben bspw. die Fragen:

1. An was hast du gemerkt, dass an der Stelle (0,0) ein Problem ist ? Ist da überhaupt ein Problem für dich ? Oder keines ? Oder willst du das Problem vergessen machen ? Jedenfalls musst du es (muss es jeder!) explizit deutlich machen, dass du da etwas hindefinierst. (Im Gegensatz zu den anderen Argumentwerten $(x,y)\in (\mathbb {R} ^{+})^{2}$, bei denen die Formel $f(x,y)=x^{y}$ völlig ausreicht.)
2. Warum definierst du $0^{0}=1$ und nicht $0^{0}=0$ ? Wo doch sonst $0^{n}=0$ für alle zulässigen ganzzahligen Exponenten $n$ ? Könnte man auch $0^{0}={\tfrac {1}{2}}$ definieren ?
3. Ist die Mathematik unvollständig, wenn $(x,y)=(0,0)$ nicht in der Definitionsmenge von $f(x,y)=x^{y}$ ist.

Auf deine Antwort bin ich gespannt. - Nomen4Omen (Diskussion) 17:23, 1. Apr. 2020 (CEST)

Ich habe den Erledigt-Baustein wieder entfernt. Mit der aktuellen Situation bin ich sehr unzufrieden. Dazu später mehr.--FerdiBf (Diskussion) 16:47, 10. Feb. 2021 (CET)

a b = c^n

a b = c^n, ggT(a,b)=1 => a=r^n, b=s^n; a,b,c,n,r,s in N (Hilfssatz 2.12. in "elliptic_curve_1.pdf" vom Lemmermeier 1999) (nicht signierter Beitrag von 2.247.244.146 (Diskussion) 09:14, 10. Feb. 2021 (CET))

Ja, das ist richtig, wie man leicht aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung erhält. Zu welchem Zweck wurde dieser Kommentar angelegt?--FerdiBf (Diskussion) 12:24, 10. Feb. 2021 (CET)

Der Zweck ist eine geeignete Eintragung im Artikel, die ich nicht selbst vornehemn will (ich kann die Bedeutung dessen nicht einordnen). Danke --2.247.248.72 15:01, 12. Feb. 2021 (CET)

2^n=x^2+7y^2, x,y odd

Dies gilt nach Euler (unveröffentlicht), Beweis mittel der Brahmagupta-Identität in [F. Lemmermeyer, Math a la Carte, S.205]. => Klar, das ist etwas speziell. => Es scheint aber eine extra wiki-Seite zur Zweierpotenz per se zu fehlen. (nicht signierter Beitrag von 2.247.245.151 (Diskussion) 09:40, 8. Aug. 2021 (CEST))

0^0 als undefiniert zu betrachten, ist aus heutiger Sicht für weite Teile der Mathematik obsolet; wenn 0^0 und 1 existieren, ist 0^0=1 beweisbar

[diesen Abschnitt habe ich aus thematischen Gründen hier eingefügt]

Die moderne Mathematik wird heute üblicherweise auf der Mengenlehre oder der Kategorientheorie begründet. Aus diesen theoretischen Grundlagen lässt sich formal herleiten, in welchen Fällen $0^{0}=1$ valide ist.

Nach der von Neumannschen Definition der natürlichen Zahlen als Mengen

$0=\{\},1=\{\{\}\},...$,

der Definition des Potenzobjekts $A^{B}$ als das Objekt aller Morphismen von $B$ nach $A$, speziell der mengentheoretischen Aussage $0^{0}=1$, der Eindeutigkeit des neutralen Elements $0$ des additiven Monoids und des neutralen Elements $1$ der Multiplikation sowohl in $N_{0}$ als auch im Körper der reellen Zahlen $R$, sowie der (monomorphen) Einbettung sowohl des additiven als auch des multiplikativen Monoids von $N_{0}$ in $R$, einschließlich der damit verbundenen und isomorph eindeutigen Zuordnung der jeweiligen neutralen Elemente der Addition sowie der Multiplikation, gilt also speziell auch in $R$ die Aussage $0^{0}=1$.

Die Interpretation aus der Analysis des 18. und der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts muss aus moderner mathematischer Sicht als obsolet und als die Folge eines historisch begründeten Missverständnisses über die Aussagekraft von Grenzübergängen betrachtet werden.

Die Konstruktion lässt sich auf alle Ringe und Körper übertragen, in die $N_{0}$ in gleicher Weise gleichzeitig additiv und multiplikativ monomorph eingebettet werden kann.

Allgemein gilt: Mathematische Theorien, die sich als Kategorien mit einem initialen Objekt $0$, einem Potenzobjekt $0^{0}$, also der Identität auf $0$, sowie einem terminalen Objekt $1$ interpretieren lassen, wird $0^{0}$ nach Definition des terminalen Objekts isomorph auf $1$ abgebildet. Das terminale Objekt ist i.a. bis auf Isomorphie definiert.

Umgekehrt gilt für Theorien ohne ein initiales Objekt $0$ oder ohne ein Potenz-Objekt $0^{0}$ oder ohne ein terminales Objekt $1$, dass entweder schon die Objekte $0$ oder $1$ oder das Objekt $0^{0}$ nicht in der Theorie enthalten sind. In diesen Fällen ist $0^{0}$ daher entweder nicht definiert oder nicht isomporph zu einem terminalen Objekt $1$ (das nicht existiert).

Triviales Beispiel: Die leere Theorie. Sie enthält keine Objekte, also auch nicht die $0$. Der Ausdruck $0^{0}$ findet daher in der leeren Theorie keine Entsprechung.

Die leere Theorie selbst kann hingegen als initiales Objekt $0$ einer Bikategorie von Theorien verstanden werden, in der die Identität $0\rightarrow 0$ und das Potenzobjekt $0^{0}$ definiert sind. Gibt es in der betrachteten Bikategorie der mathematischen Theorien zusätzliche ein terminales Objekt $1$, so gilt auch in dieser Bikategorie wiederum, dass $0^{0}$ äquivalent zu $1$ ist. Beachte: In Bikategorien ist es "natürlich", den Begriff der Isomorphie weiter abzuschwächen auf den Begriff der Äquivalenz. In schwachen n-Kategorien wie insbesondere der Bikategorien werden die detaillierten Betrachtungen mit wachsendem $n$ zunehmend komplexer. Solange man sich aber innerhalb der mengentheoretisch begründbaren Kategorien befindet, kann man mit dem Isomorphie-Begriff arbeiten. Die "üblichen" mathematischen Theorien sind damit bereits weitestgehend inbegriffen.

Konstruiertes Beispiel: Eine Theorie erlaubt zwar den identischen Morphismus $0\rightarrow 0$, aber nicht die Bildung von Potenzobjekten, insbesondere nicht die Bildung des Objekts, das nur aus der Identität des initialen Objekts $0$ besteht.

Die Kategorientheorie erlaubt es, Aussagen insbesondere für alle algebraisch begründbaren Theorien zu treffen. Die Aussagen lassen sich aber mit den Mitteln der Kategorientheorie über die universelle Algebra hinaus verallgemeinern.

Die Kategorientheorie ist strenger typisiert als die Mengenlehre. Daher werden Objekte, in der Mengenlehre oft als gleich bezeichnet werden, in der Kategorientheorie nur als isomorph bezeichnet. Ob in der betrachteten Theorie also genau ein terminales Objekt $1$ oder weitere hierzu isomorphe terminale Objekte existieren, ist in dem hier besprochenen Kontext nicht maßgeblich. Es ist also nicht relevant, ob $0^{0}=1$ oder $0^{0}\cong 1$ gilt, wenn ich hier das Symbol $A\cong B$ für die Isomorphie von $A$ und $B$ verwende. Denn das gilt in gleicher Weise für andere Potenzobjekte der Theorie, in $R$ z.B. streng genommen $3^{4}\cong 12$.

Zu den kategerientheoretschen Grundlagen mathematischer Theorien, siehe insbesondere "Categories for the Working Mathematician", Saunders MacLane und Samuel Eilenberg (aka. CWM)

Zu den Ursprüngen der elementaren Details der Einbettung von $N_{0}$ in $R$, siehe z.B. Dedkind, Hilbert oder Edmund Landau, "Grundlagen der Analysis", 1930. Diese elementaren Grundlagen werden in zahllosen Analysis-Lehrbüchern mehr oder minder ausführlich dargestellt.

Die Begründung der natürlichen Zahlen wird sowohl in der Literatur über Mengenlehre als auch in der Literatur über Kategorientheorie ausgiebig behandelt, in der Kategorientheorie unter dem Stichwort "NNO" für "natural number object".

Sieha auch "cartesian closed category", CCC, für Kategorien mit Potenzobjekt.

Eine Wikipedia-konforme Ausarbeitung überlasse ich Autoren, die mit den Wikipedia-Konventionen besser vertraut sind als ich. --2003:CB:BF0C:62A2:E84A:F0BA:A396:D6E7 10:43, 18. Feb. 2022 (CET)

In vielen Punkten bin ich ähnlicher Meinung. Die Definition nach von Neumann habe ich in einem Unterabsatz Mengenlehre dargestellt und $0^{0}=1$ dort bewiesen. Das ist also schon da.

Mir gefällt der vorangehende Teil über 0 hoch 0 auch nicht. Klar sollte man darstellen, dass es historisch fehlgeschlagene Versuche einer stetigen Fortsetzung gab und dass über den Versuch einer stetigen Fortsetzung keine Festlegung gefunden werden kann. Aber dann muss es auch gut sein!

Alles andere ist natürlich eine Definitionssache. Auch in den NNOs fügen sich die Definitionen schön und naheliegend so zusammen, dass es passt. Es ist unstrittig, dass das alles sinnvoll ist. Mir gefällt im Haupttext ebenfalls nicht, dass ein Schul-Lehrbuch wie Lambacher-Schweizer hier überhaupt eine Rolle spielen sollte, auch den hinteren Teil des Absatzes Analysis halte ich für Geschwurbel. In allen mathematischen Teilgebieten wird 0 hoch 0 zu 1, entweder beweisbar, weil andere Axiome schön gewählt sind, oder kraft Definition (Polynome in der Algebra, Ordinalzahlenarithmetik, ...) und gut ist's. Es gibt keine andere sinnvolle Festlegung. Auch ich würde mich freuen, wenn das deutlicher herausgestellt würde, aber ich fürchte, für eine solche Änderung braucht es einen langen Atem, wie andere Diskussionen auf dieser Seite zeigen.--FerdiBf (Diskussion) 14:51, 18. Feb. 2022 (CET)

Vielen Dank für Ihr promptes Feedback und Ihr treffliches Beispiel aus der Mengenlehre, das Sie bereits in den Artikel eingearbeitet hatten! Das ist immerhin ein Anfang. Vielleicht würde es helfen, mehr Beispielmaterial aus der Literatur zu beschaffen. Leider wird da $0^{0}=1$ selten explizit erwähnt, einfach da es zu trivial ist. Aber man findet allgemeiner $x^{0}=1$ für alle $x$ und $0^{x}=0$ für $x\neq 0$.

Siehe etwa Seite 68, oben, als Übungsaufgabe zu bicartesischen Kategorien https://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2007/lambda_calculi.pdf

Auch in der Wikipedia ist das unter https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_closed_category#Bicartesian_closed_categories erwähnt.

Viel allgemeiner kann man die Frage nach dem Wert von $0^{0}$ eigentlich kaum sinnvoll stellen.

Vielleicht könnte man noch demonstrieren, dass der Grenzwert i.a. nichts über den Funktionswert an der Grenze aussagt, siehe z.B. Treppenfunktionen, sondern nur unter bestimmten Annahmen über die Differenzierbarkeit wie etwa bei holomorphen Funktionen, was ja eigentlich im Wikipedia-Artikel ebenfalls erwähnt ist.

Aber wenn Sie sich da als Wikipedia-"Insider" schon an den Beharrungskräften des 18. und 19. Jahrhunderts die Zähne ausbeißen, kann ich da wohl als Außenstehender auch nicht allzu viel ausrichten.

Trotzdem nochmals vielen Dank!

--2003:CB:BF0C:62A2:E84A:F0BA:A396:D6E7 15:44, 18. Feb. 2022 (CET)

"Eine Wikipedia-konforme Ausarbeitung überlasse ich Autoren, die mit den Wikipedia-Konventionen besser vertraut sind als ich"

  "Klar sollte man darstellen, dass es historisch fehlgeschlagene Versuche einer stetigen Fortsetzung gab und dass über den Versuch einer stetigen Fortsetzung keine Festlegung gefunden werden kann.\\
   Aber dann muss es auch gut sein!" 
  

Es ist gut: Die Ausarbeitung ist ausgearbeitet - da braucht es keine weitere Ausarbeitung mehr. 0^0 ist und bleibt undefiniert - und das zu Recht, siehe Artikel. --erdimax 01:30, 21. Feb. 2022 (CET)

Wenn etwas undefiniert ist, hat man ja die Freiheit es zu definieren, und $0^{0}:=1$ ist eine sehr weit verbreitete Definition, deren Nutzen wohl außer Frage steht. Dass es einige (sehr wenige) Autoren, gibt, die $0^{0}$ nicht definieren, steht dem nicht entgegen und ist zudem eine verschwindende Minderheit. Ich teile die oben geäußerte Kritik an der bestehenden Ausarbeitung, in der meiner Meinung nach die in der Mathematik übliche Konvention nicht deutlich genug wird. Dagegen kann ich das Dogma "0^0 ist und bleibt undefiniert - und das zu Recht" nicht teilen, die mathematische Literatur unterstützt dieses Dogma nicht. Noch einmal zur Klarstellung: Die behauptete Beweisbarkeit teile ich nicht, obwohl es Kontexte gibt, in denen das so ist, siehe Unterabschnitt Mengenlehre. Es geht nicht um irgendwelche Beweise, sondern lediglich um eine sehr, sehr weite verbreitete Definition, und Definitionen kann man nicht beweisen.--FerdiBf (Diskussion) 07:53, 21. Feb. 2022 (CET)

Klar kann man in der Mathematik nur unter bestimmten Annahmen Theoreme beweisen. Diese Annahmen sind Definitionssache. Sobald man aber $x^{0}$ als leeres Produkt interpretiert (im Rahmen des Currying), gilt $x^{0}=1$ unter sehr allgemein gehaltenen Annahmen, die $0^{0}=1$ mit einschließen. Siehe dazu den Blog-Artikel "Why is an empty sum 0 and an empty product 1?" von John D. Cook. Diese Auffassung wird von den Autoren kategorientheoretischer Arbeiten durchgängig vertreten, siehe etwa Saunders Mac Lane et al. Die Kategorientheorie kann als Überbau und Vereinheitlichung mathematischer Theorien verstanden werden. Man kommt also mengentheoretisch und kategorientheoretisch zur gleichen Schlussfolgerung.

Man könnte hier viele Beispiele anführen, etwa $0!=1$ als leeeres Produkt (wie im gleichnamigen Wikipedia-Artikel) oder für kartesische Produkte oder andere Produkträume, etwa Vektorräume, $M^{0}\times M^{n}\cong M^{0+n}\cong M^{n}$, was nur mit $M^{0}\cong 1$ sinnvoll ist. Zudem kennt das leere Produkt seine Basis eigentlich gar nicht. Eine Fallunterscheidung nach der Basis macht keinen Sinn. Das Ergebnis ist das jeweilige neutrale Element 1 der Multiplikation oder noch allgemeiner formuliert, das terminale Objekt 1 der jeweiligen Kategorie, falls es existiert. Die Begründung ist dual zu der Begründung, dass die leere Summe (aka Coprodukt) gleich 0 sein muss.

Speziell für die reellen Zahlen lassen sich die natürlichen Zahlen kanonisch per additiven und multiplikativen Monoid-Monomorphismus in die reellen Zahlen einbetten. Die über die Mengenlehre definierten natürlichen Zahlen sind isomorph zu denjenigen natürlichen Zahlen, die als Teilmenge der reellen Zahlen interpretiert werden. Aus Konsistenzgründen sollte daher 0^0=1 auch für die reellen Zahlen gelten. Analoges gilt für alle algebraischen Strukturen, in die sich die natürlichen Zahlen einbetten lassen.

Der IEEE-Standard IEEE-754-2008, "IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic" legt unter "9.2.1 Special values" auf Seite 44 fest: "pown(x, 0) is 1 for any x (even a zero, quiet NaN, or infinity)", "pow(x, ±0) is 1 for any x (even a zero, quiet NaN, or infinity)". Nur für die als $e^{y\ln x}$ definierte Potenzierung schreibt der IEEE-Standard: "For the powr function (derived by considering only exp(y×log(x))): powr(±0, ±0) signals the invalid operation exception".

Zur praktischen Relevanz von IEEE-754-2008 schreibt das Intel-Paper "Intel and Floating-Point, Updating One of the Industry's Most Successful Standards" (floating point case study) "Had overflow merely obeyed the IEEE 754 default policy, the recalibration software would have raised a flag, delivered with an invalid result to be ignored by the motor guidance programs, and the Ariane 5 would have persued its intended trajectory." Was mit einer Fehlinterpretation eines Overeflows passieren kann, kann auch mit einer Fehlinterpretation von $0^{0}$ im Sinne des IEEE passieren.

Obgleich sich Technologieunternehmen bei kritischen Systemen nicht auf die Wikipedia verlassen werden, würde ich dennoch dafür plädieren, missverständliche Passagen in Wikipedia-Artikeln klarzusetellen.

Der Vollständigkeit halber könnte man erwähnen, dass in der Analysis die Aussage $0^{0}=1$ mit Mitteln der Grenzwertbetrachtungen nicht allgemein beweisbar ist.--2003:CB:BF08:8FE7:9D70:9EAF:817A:DA6B 15:00, 24. Feb. 2022 (CET)

Falsche Ausdrucksweise

Der Satz

"Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt zu sich selbst addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt mit sich selbst multipliziert."

ist falsch bzw. missverständlich formuliert. An einem einfachen Beispiel wird dies klar:

Wenn ich die Zahl 3 viermal zu sich selber addiere, so erhalte ich die Ergebnisse: 6 , 6 , 6 , 6 .

Wenn ich die Zahl 3 viermal mit sich selber multipliziere, so erhalte ich die Ergebnisse: 9 , 9 , 9 , 9 .

Um zur Potenz 3⁴ zu kommen, muss man das Produkt aus 4 identischen Faktoren 3 bilden: 3⁴ = 3 * 3 * 3 * 3 (wobei der Faktor 3 viermal auftritt). --Yakob (Diskussion) 13:12, 17. Jun. 2020 (CEST)

Ich habe den Satz umformuliert und das "zu sich selbst" entfernt. Damit habe ich das (unerwartete aber nicht ganz unbegründete) Missverständnid hoffentlich aus dem Weg geräumt.--FerdiBf (Diskussion) 12:22, 10. Feb. 2021 (CET)

Servus FerdiBf,

was spricht eigentlich gegen die folgende Formulierung?

• So wie das Multiplizieren eine Addition mit gleichen Summanden ist, ist das Potenzieren eine Multiplikation mit gleichen Faktoren.

der Satz

Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt multipliziert.

führt evtl. zu einem ähnlichen Missverständnis wie von Yakob gesehen:

Beispiel erster Summand nicht definiert: 4 + 3 + 3 ...

Beispiel erster Faktor nicht definiert: 4 • 3 • 3 ...

Mit Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 17:20, 10. Feb. 2021 (CET)

Es geht hier nur um sprachliche Befindlichkeiten, denn die nachfolgenden Definitionen lassen für die hier vorliegenden Missverständnisse keinen Spielraum. Der Beginn der iterierten Operation ist natürlich das jeweilige neutrale Element und nicht 4. Man könnte auch ohne Hinweis auf Summanden und Faktoren einfach formulieren:

• So wie die Mulpiplikation als iterierte Addition definiert ist, so wird das Potenzieren als iterierte Multiplikation eingeführt.

Die Formulierung "Wie beim Multipliziren..." missfällt mir ein wenig, weil niemand wirklich so multipliziert. Ich meine, dass man hier im Einleitungsteil nicht versuchen sollte, die spätere Definition verbal präzise zu treffen. Eine gute Andeutung, wohin die Reise geht, scheint mir besser, denn der Einleitungsteil sollte sehr leicht verständlich sein. Der Leser (ja, und natürlich auch die Leserin) wird dann ja sehr schnell mit den unmissverständlichen Definitionen bekannt gemacht und die im Einleitungsteil gemachte Andeutung wird mühelos wiedererkennbar.--FerdiBf (Diskussion) 20:04, 10. Feb. 2021 (CET)

Nun, es ist bedenklich, wenn du der Meinung bist: „Es geht hier nur um sprachliche Befindlichkeiten ...“ Viele Grüße und bleibe gesund!--Petrus3743 (Diskussion) 23:47, 10. Feb. 2021 (CET)

Exponenzieren, Potenzieren?

Müsste man nicht noch das Potenzieren (bei 2^3 wird die 2 mit 3 potenziert) vom Begriff "Exponenzieren" (bei 2^3 wird die 3 durch die 2 exponenziert) unterscheiden? In einem Lehrbuch haben wir auch den Begriff "exponieren" gefunden, den wir jedoch etwas unglücklich finden. Wie nennt ihr das denn, wenn ihr eine Gleichung auf beiden Seiten mit einer Basis ergänzt? a=b wird zu e^a = e^b ?? Ph. G. Freimann (Diskussion) 06:57, 6. Apr. 2022 (CEST)

Der Begriff "exponenzieren" wird jedenfalls hier und auch hier in Fachbüchern verwendet. Djat (Diskussion) 00:54, 21. Apr. 2022 (CEST)

Potenzwert

Ich bin hier gelandet, weil ich wissen wollte, wie man eigentlich eine Potenz ausrechnet, also den Zahlenwert y=r^s ermittelt. (Zuvor hatte ich Schiffbruch erlitten: Im Artikel über Wurzeln gibt es einen Abschnitt über deren iterative approximative numerische Bestimmung mittels des Newtonverfahrens, und dann dachte ich mir, das Verfahren ist ja schließlich nicht auf natürliche Wurzelexponenten beschränkt, damit kann man doch schließlich beliebige Potenzwerte bestimmen, und das Wurzelziehen ist nur ein Spezialfall davon. Nein, kann man nicht: i. a. treten in der Rekursionsformel nämlich nicht nur natürliche, sondern beliebige Potenzen auf, und um den Potenzwert zu ermitteln, muß man also erst einmal Potenzwerte ermitteln können, maW das funktioniert nicht.) Nun steht das hier aber nicht und auch nicht der durchaus angebrachte Warnhinweis, daß das eben mittels der vier Species mit geschlossenen Ausdrücken i. a. nicht geht. Es fehlt also offensichtlich ein Abschnitt "Potenzwerte", der vom Einfachen zum Schwierigen fortschreiten, also mal ganz simpel mit dem Ausmultiplizieren bei natürlichen Exponenten anfangen und dann zu rationalen Exponenten als Kombination von Ausmultiplizieren und Wurzelziehen Fortschreiten und irgendwann auch die maschinenüblichen Methoden mittels Aproximationen der e-Funktion über Reihenentwicklungen usw. behandeln sollte. Stattdessen schlägt dort unvermittelt der Abschnitt "Potenzwert mit Zirkel und Lineal" auf, der in der Überschrift aber gar nicht verrät, daß es sich lediglich um ein geometrisches Verfahren für ausschließlich natürliche Potenzen handelt; wenn, dann gehört das als Unterpunkt unter die Kapitelüberschrift "Ermittlung von Potenzwerten". --77.3.153.23 07:55, 19. Jun. 2022 (CEST)

Der Artikel erklärt doch zuerst, wie der "Potenzwert" für natürliche Exponenten berechnet wird. Dann folgen ganzzahlige, rationale und reelle Exponenten. Das baut sukzessive aufeinander auf. Man könnte höchstens noch elementarer mit der Mengenlehre anfangen. Dann wäre übrigens auch von vorneherein klar, dass 0^0=1 sein muss und man könnte sich den Kokolores darüber in der Analysis sparen. Für Mengen A und B besteht die Menge A^B aus allen Abbildungen von B nach A. Das überträgt sich auf die natürlichen Zahlen, indem man die Kardinalität (Anzahl der Elemente) der jeweiligen Menge betrachtet. --2003:CB:BF04:3AE6:50D7:EB55:1F26:DE60 01:48, 29. Jun. 2022 (CEST)

Abschnitt Null hoch Null identisch mit Division durch Null, mit Beweis

Nachdem der relevante mathematische Beweis kommentarlos revertiert wurde (dazu ausschlaggebend war die Ausnutzung der Wikipedia-Regeln, nicht der mathematische Beweis[4]):

Der Ausdruck „Null hoch Null“, also $0^{0}$, ist gleichbedeutend mit der „Division durch Null“, folglich gibt es für diesen Ausdruck keine Lösung (siehe dort, Abschnitt "Mathematischer Beweis", "2. Fall" - d.h. hier braucht nicht mehr spekuliert zu werden, die Beweisführung steht schon dort).

Klassischer mathematischer Beweis für $0^{0}={\frac {0}{0}}$ mittels einfacher Umformung:

$0^{0}=0^{(1-1)}=0^{1}0^{-1}={\frac {0^{1}}{0^{1}}}={\frac {0}{0}}$

Meine Bitte: Revertiert wurde wohl von jemandem, der das nicht versteht. Vielleicht gibt es hier jemanden, der nicht nur die Wikipedia-Regeln kennt, sondern sich mit Beweisen in der wissenschaftlichen Mathematik auskennt. In der Mathematik wird nicht einfach kommentarlos gelöscht, sondern bewiesen, ein Gegenbeweis geführt oder gezeigt, dass im Beweis ein Fehler wäre. Danke!

Zudem für den Abschnitt entscheidend: Lösungen zu $0^{0}$ sind in der Analysis daher nur für Grenzwert-Näherungen möglich, mit unterschiedlichem Ergebnis je nach Anwendungsfall, eben genauso wie bei ${\frac {0}{0}}$, da gilt: $0^{0}={\frac {0}{0}}$. --92.74.40.231 23:02, 23. Aug. 2022 (CEST)

Lieber Benutzer:92.74.40.231, bitte belege deine Einträge durch qualifizierte Quellen! --Nomen4Omen (Diskussion) 09:12, 24. Aug. 2022 (CEST)

Deine Folgerung ist falsch. Das Problem ist nicht $0^{0}$, sondern $0^{-1}$, was nicht definiert ist, da man nicht durch 0 teilen kann. Wäre deine Argumentation richtig, dann gäbe es gar keine Potenzen von 0, denn dann könnte man z. B. auch schreiben

$0^{2}=0^{(3-1)}=0^{3}0^{-1}={\frac {0^{3}}{0^{1}}}={\frac {0}{0}}$

Der Punkt ist, dass die Potenzregel $a^{r-s}=a^{r}a^{-s}$ nur dann gilt, wenn alle Bestandteile, insbesondere $a^{-s}$ auch definiert sind.

--Digamma (Diskussion) 11:49, 24. Aug. 2022 (CEST)

Lieber Benutzer:92.74.40.231, wie der Artikel herausarbeitet, bist du nicht in schlechter Gesellschaft. Ganz große Asse haben an dem Problem schon rumgedoktert. Aber ähnlich (wie soeben Digamma) arbeitet der Artikel heraus, dass es ziemlich unterschiedliche Rechnungen gibt (5 Beispiele bringt der Artikel), bei denen nach einer Art „Zwischenergebnis“ (nämlich, wenn man die Limites für Basis $x\to 0$ und Exponent $y\to 0$ ausgewertet hat) bei $x^{y}$ auf jedes Ergebnis im (abgeschlossenen) Intervall $[0,+\infty ]$ kommen kann.

Das muss einen doch stutzig machen, einen, der eine fixe reelle Zahl haben möchte – wie du. Zugegeben, deine Lösung ist außerordentlich sympathisch, und hat (wie im Artikel erwähnt) sehr viele Anhänger gehabt. Aber Sympathie hin oder her, sie ist keine mathematische Kategorie, insbesondere nicht, wenn man eine simple reelle Zahl haben möchte, aber mathematisch zu 100% korrekte Grenzwertbildungen derart viele unterschiedliche Resultate zeitigen.

Da ist es doch besser, (wie das Analysis-Lehrbuch Lambacher Schweizer) 0⁰ als nicht eindeutig definierbar aufzufassen, genauso wie man es bei der Division durch 0 machen musste. [Und anders als die Beispielgrenzwerte schrammt deine Rechnung an einer Division durch 0 vorbei (s.a. die Erläuterung von Digamma).]

--Nomen4Omen (Diskussion) 18:09, 24. Aug. 2022 (CEST)

Natürlich ist ${\frac {0}{0}}$ nicht lösbar, das ist exakt der Punkt, wie ich oben beschrieb.

Nochmal zur Erklärung die Umformung ausführlich, die auch das „oft pragmatische“ „Ergebnis“ „1“ ableitet, das wäre nämlich der Grenzwert der Umformung:

$\lim _{x\to 0}x^{0}=\lim _{x\to 0}x^{(1-1)}=\lim _{x\to 0}x^{1}x^{-1}=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{1}}{x^{1}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}$

Offensichtlich führte ein $x=0$ direkt zu $0^{0}={\frac {0}{0}}$ – was eben nicht lösbar ist: Für die „Division durch Null“ ${\frac {0}{0}}$ gibt es keine Lösung (siehe verlinktes Lemma, Abschnitt „Mathematischer Beweis“, „2. Fall“), somit natürlich auch nicht für $0^{0}$.

(ehemals 92.74.40.231) --M0lask (Diskussion) 10:06, 25. Aug. 2022 (CEST)

Hier dieselbe Umformung zum dritten Mal, in der präzisen Schreibweise auch innerhalb der Umformung (dafür für viele noch weniger verständlich):

$\forall \varepsilon >0$: $(0+\varepsilon )^{0}=(0+\varepsilon )^{(1-1)}=(0+\varepsilon )^{1}\cdot (0+\varepsilon )^{-1}={\frac {(0+\varepsilon )^{1}}{(0+\varepsilon )^{1}}}={\frac {0+\varepsilon }{0+\varepsilon }}$

--M0lask (Diskussion) 11:44, 25. Aug. 2022 (CEST)

Lieber M0lask, erstmal schön, dass du dich angemeldet hast.

Tatsächlich hatte ich dich falsch interpretiert, indem ich dir unterstellte, dass du $0^{0}$ als math Ausdruck retten wolltest. Jetzt endlich habe ich kapiert, dass du sagen wolltest

$0^{0}$ ist als math Ausdruck GENAUSO WITZLOS wie $0/0$.

Fraglos viel besser. Dennoch, was ich daran zu verstehen versuche, ist, dass du sagen willst: Ich habe hier einen unbrauchbaren math Ausdruck und ich kann daraus auf »mathematisch allersauberste Weise« einen anderen unbrauchbaren Ausdruck ableiten. Damit verbleiben bei mir 2 Probleme:

1. Was soll dieses Rumrechnen in math Sumpfgebieten?
2. Ich finde, dass die Unbestimmtheit von $0^{0}$ einen ganz anderen Charakter hat ist als die von $0/0$. (Die Grenzbetrachtungen für $\lim _{(x,y)\to (0,0)}x^{y}$ sind ganz andere als die bei $\lim _{(x,y)\to (0,0)}x/y$.
   Übrigens: Die Anzahl 2 der Variablen kann ich in deinen neuen Beispielen nicht erkennen.)

Obwohl ich dein Anliegen jetzt besser verstehe, finde ich diesen Beitrag nicht wirklich hilfreich.

[Desweiteren:

Es scheint bei allem dem vielen Leuten Schwierigkeiten zu machen, dass die Mathematiker sich dazu durchringen, etwas undefiniert zu lassen, wenn durch eine Definition jedweder Art andere Gesetze, die als wertvoll und brauchbar sich herausgestellt haben, in die Krise kommen.] --Nomen4Omen (Diskussion) 12:42, 25. Aug. 2022 (CEST)

Mir geht es um maximale Vereinfachung des Problems zu „$0/0$“, das bereits im anderen Wikiepdia-Lemma schön explizit aufgeführt ist.

Gehen wir Dein Beispiel mit $x$ und $y$ als Umformung in der mathematischen Notation allgemein durch (Du siehst, Deine beiden Grenzwert-Notationen sind tatsächlich nicht identisch):

$\forall \varepsilon >0,\delta \geq 0$: $(0+\varepsilon )^{(0+\delta )}=(0+\varepsilon )^{(\delta +0)}=(0+\varepsilon )^{(\delta +1-1)}=(0+\varepsilon )^{(\delta +1)}\cdot (0+\varepsilon )^{-1}={\frac {(0+\varepsilon )^{(\delta +1)}}{(0+\varepsilon )^{1}}}={\frac {(0+\varepsilon )^{(1+\delta )}}{(0+\varepsilon )^{1}}}={\frac {(0+\varepsilon )^{(1+\delta )}}{0+\varepsilon }}$

Wenn nun $\delta$ gegen Null geht, kann es auch direkt als „0“ eingesetzt werden, und wir sind beim vereinfachten Beispiel obiger Notation, mit dem auch die außerhalb der Mathematik oft übliche Verwendung des „Scheinergebnisses“ „1“ direkt erklärt werden kann:

$\forall \varepsilon >0$: $(0+\varepsilon )^{0}={\frac {0+\varepsilon }{0+\varepsilon }}$

Mir geht es darum, dass im Artikel die Unbestimmtheit des Ausdrucks „$0^{0}$“ zu wenig hervorgeht. Die Formulierung „Die Frage, ob und auf welche Weise dem Ausdruck…“ unterstellt, dass es da noch Unklarheiten gäbe. Doch die gibt es ebenso wenig wie bei „${\frac {0}{0}}$“, wie Cauchy schon vor 201 Jahren aufführte. Ein Satz wie „Donald E. Knuth erwähnte 1992 im American Mathematical Monthly die Geschichte der Kontroverse…“ suggeriert, hier gäbe es verschiedene Sichtweisen, dabei war er Informatiker, kein Mathematiker. Natürlich arbeiten Disziplinen wie Physik, Informatik, etc. mit vielen mathematisch gesehen unzulässigen „Abkürzungen“, die meist ihren Zweck erfüllen. Doch das ist keine wissenschaftlich fundierte Mathematik mehr, sondern nur noch deren pragmatische Anwendung. Tools wie die „Rechner“-App unter Windows etc. tragen ebenso zur Irreführung bei. --M0lask (Diskussion) 13:56, 25. Aug. 2022 (CEST)

Lieber M0lask, wie ich schon ausgeführt habe, bin ich entschieden GEGEN eine Zurückführung des Problems auf $0/0$. (Welches andere Wikipedia-Lemma meinst du, wo das schön explizit aufgeführt ist? Ich habe nur Division (Mathematik)#Eine arithmetische Division durch null ist nicht möglich gefunden, und dort geht es mMn NICHT um $0/0$, sondern um $x/0$. Für richtige Rummmmmacher ist das in KEINER WEISE dasselbe!)

Im Gegensatz zu dir finde ich, dass im Artikel die Unbestimmtheit des Ausdrucks $0^{0}$ gut genug hervorgeht: Es werden 5 Grenzwerte gezeigt, die alle 5 den Limes $\scriptstyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}x^{y}$ enthalten. Mit unterschiedlichen Abhängigkeiten zwischen $x$ und $y$ gemäß

Knuth differenziert jedoch und schreibt: “Cauchy had good reason to consider $0^{0}$ as an undefined limiting form” (deutsch etwa: Cauchy hatte guten Grund, $0^{0}$ als unbestimmten Limes-Ausdruck zu betrachten), wobei er unter der limiting form $0^{0}$ Grenzprozesse der Form $\lim x(t)^{y(t)}$ versteht, bei denen sich sowohl die Basis $x(t)$ wie der Exponent $y(t)$ für ein gewisses $t$ der 0 beliebig nähern.

Kann sein, dass es bessere Beispiele gibt; kann sein, dass man alles besser herausarbeiten oder kürzer sagen könnte. Aber den Weg über $0/0$ halte ich trotz deiner vielen Worte für keinen guten Weg. Weil nun mal in $0^{0}$ eine Division durch 0 überhaupt nicht wirklich vorkommt. Nimm nur $\forall y>0:0^{y}=0$ und $\forall x\neq 0:x^{0}=1$, siehst du da irgendwo eine Division durch 0??

--Nomen4Omen (Diskussion) 16:37, 25. Aug. 2022 (CEST)

Ich halte den Zusammenhang zwischen $0/0$ und $0^{0}$ ebenfalls für nicht schlüssig. Er kommt dadurch zustande, dass durch 0 geteilt wird. Mit einer Division durch 0 kann man bekanntlich viel Schabernack treiben. Die Unbestimmtheit von $0^{0}$ und übliche Definition (kein Beweis!) als 1 ist mehr als ausreichend im Artikel dargestellt. Und ja, ich habe den Argumentationsversuch, einen Zusammenhang zwischen der Unbestimmtheit von $0^{0}$ und $0/0$ herzustellen, vollständig verstanden und als fehlerhaft erkannt, eben weil durch 0 geteilt wird. Ich spreche mich daher ebenfalls gegen eine entsprechende Erweiterung des Abschnitts "Null hoch Null" des Artikels aus.--FerdiBf (Diskussion) 17:01, 25. Aug. 2022 (CEST)

@Nomen4Omen, @M0lask: $0^{0}$ ist von ganz anderer Qualität als $0/0$. M.E. stellt der Artikel das auch einigermaßen gut dar. Etwa mit dem Satz "Ein Ausdruck, der unter dem Zeichen des Grenzwertes steht und der sich nicht auf Grund von Grenzwertsätzen und Stetigkeitseigenschaften berechnen lässt, heißt unbestimmter Ausdruck." Essenz: $0^{0}=1$ erweist sich nicht ohne weiteres als widersprüchlich oder sonstwie problematisch. Wenn man Stetigkeit haben will, klar. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:16, 28. Aug. 2022 (CEST)

Erweiterte Definition des Begriffes Potenz

Ich muss noch nach der Quelle suchen, will aber keine Theoriefindung betreiben. Ich halte allerdings die folgende Definition für sehr hilfreich und ohne Widersprüche zu bestehenden Regeln und Begriffen: Die Schreibweise einer Zahl als Potenz a^b bedeutet: "Multipliiziere die Zahl 1 (neutrales Element bezüglich der Multiplikation) mit der Basis a, so oft, wie die Hochzahl b angibt." Dann wird bei 2^3 tatsächlich 3mal multipliziert. Auch ist a^0 kein Problem: Die Zahl 1 wird mit a multipliziert, allerdings 0mal. Also ist das Ergebnis 1. Einleuchtend ist auch die Paralellität zur Definition der Multiplikation: "b*a bedeutet: Zur Zahl 0 (neutrales Element bezüglich der Addition) wird die Zahl a addiert, so oft, wie die Zahl b angibt." --Djat (Diskussion) 20:45, 11. Sep. 2022 (CEST)

Genauso steht bereits im Artikeltext.--FerdiBf (Diskussion) 07:28, 12. Sep. 2022 (CEST)

Danke, FerdiBf. Und jetzt rate mal, wer das am 15.03.2006 um 14.13 Uhr eingefügt hat. 😖 Djat (Diskussion) 19:52, 12. Sep. 2022 (CEST)

Obige Formulierung klang eher wie ein Vorschlag, insbesondere wegen des Hinweises auf mögliche Theoriefindung. Ich war daher nicht davon ausgegangen, dass Du da das schon eingefügt hattest. --FerdiBf (Diskussion) 07:24, 13. Sep. 2022 (CEST)

Ich habe erstens nicht genau hingeschaut und zweitens vergessen, dass ich da schon mal was gemacht hatte. Eigene Blödheit; deshalb: 😖 und sorry. Ich werde mal nach der Quelle suchen, sehr wahrscheinlich aus der Schweiz. Djat (Diskussion) 23:30, 14. Sep. 2022 (CEST)

Natürlich wäre es fein, wenn Du eine Literaturstelle finden könntest. Aber für mein Verständnis ist der vom Leser zu tätigende Denkschritt so klein und so kurz, dass man ihn ihm auch ohne Beleg zumuten kann. Ich finde, dass man ihm das Denken beim Lesen nicht völlig abnehmen kann. Liege ich da falsch? --Nomen4Omen (Diskussion) 16:08, 15. Sep. 2022 (CEST)