Diskussion:Pseudovektor

Mögliche Ergänzung

Es gibt die Idee, axiale Vektoren mathematisch als Äquivalenzklassen von Paaren $(v,w)$ beschreiben, wobei $v$ ein Vektor und $w$ ein 3-Kovektor (für Dimension 3) ist. Zwei Paare $(v,w)$ und $(v',w')$ sind äquivalent, wenn $v=v'$ und $w$ dieselbe Orientierung wie $w'$ definiert oder wenn $v=-v'$ und $w$ die entgegengesetze Orientierung wie $w'$ definiert. Alternativ kann man auch Paare $(v,O)$ betrachten, wobei $O$ eine Orientierung des Raumes ist. Diese Definition ist unabhängig von der willkürlichen Fixierung einer Orientierung. In der traditionellen Darstellung arbeitet man mit einem Repräsentanten, bei dem $w$ die rechtshändige Orientierung definiert und bezeichnet $v$ als den axialen Vektor. Alain Bossavit beschreibt den Zugang über diese sogenannten twisted forms in Applied Differential Geometry (A compendium) und "On axial and polar vectors", ICS Newsletter, 6, 3 (1999), pp. 12-1. Siehe auch die Diskussion Intrinsic definitions of pseudovectors/&c. in sci.math.research. -- Theowoll 17:05, 1. Jul. 2009 (CEST)

Mathematisch sind Pseudovektoren Bivektoren, also Elemente des äußeren Produkts $\Lambda ^{2}V$ des Vektorraums V der gewöhnlichen (d.h. polaren) Vektoren, siehe Graßmann-Algebra. Ist V dreidimensional, so hat $\Lambda ^{2}V$ die Dimension ${\tbinom {3}{2}}$, was zufällig auch gleich 3 ist. Eine Basis von $\Lambda ^{2}V$ wird durch die Bivektoren $e_{1}\wedge e_{2}$, $e_{2}\wedge e_{3}$, $e_{3}\wedge e_{1}$ gebildet, wobei $e_{1},e_{2},e_{3}$ eine Basis von V ist. In der Physik identifiziert man in der Regel mit Hilfe der Rechte-Hand-Regel den Bivektor $e_{1}\wedge e_{2}$ mit dem Vektor $e_{3}$, usw. wodurch man einen Bivektor durch einen Vektor darstellen kann. Diese Identifizierung beruht aber auf der Wahl einer Orientierung des Raums und verhält sich deshalb nicht invariant unter orientierungsumkehrenden Abbildungen wie Ebenen-Spiegelungen oder Punktspiegelungen.

Bivektoren im dreidimensionalen Raum legen eine Ebene fest und eine Orientierung dieser Ebene, also einen Drehsinn. So beschreibt der Bivektor $v\wedge w$, mit $v,w\in V$, die Ebene, die von v und w aufgespannt wird, mit dem Drehsinn, der dadurch gegeben wird, dass v auf w gedreht wird.

In Anwesenheit eines Skalarprodukts (was in der Physik immer der Fall ist) kann man Bivektoren mit alternierenden 2-Formen (s. Differentialform) identifizieren und diese wieder mit schiefsymmetrischen Matrizen. -- Digamma 19:31, 28. Jan. 2011 (CET)

allgemeinverständliche Einleitung

Kopie:
Der Artikel axialer Vektor braucht dringend eine allgemeinverständliche Einleitung und Zusammenfassung des Expertenstreits. Zur Zeit ließt sich das wie: "Temperatur ist eine Größe bei der draußen weniger ist als drinnen", oder so. Die Neutralität scheint mir auch nicht gewahrt. Darum sollten sich die offiziellen Mathematiker und Physiker oder ein Experte auf dem Gebiet kümmern. -- Pewa 13:51, 25. Jan. 2011 (CET)

Wo siehst Du den zusammenzufassenden Expertenstreit? Wenn es einen gibt, hätte ich ihn finden müssen, hatte ich doch immer wieder nach Erklärungen gefragt. Einen Teil-Tip und erst kürzlich gab Digamma (... es hat damit zu tun, dass seine [des axialen Vektors] Orientierung keine Richtung im Raum beschreibt, sondern einen Drehsinn ...), den ich bei Drehmoment verarbeitet habe (der Tip erinnerte mich an die doppelte Pfeilspitze). Der dort gemachte Link auf axialer Vektor hilft m.E. nicht, er stellt nur eine mir vorher ferne Frage: Wo wird z.B. ein Drehmoment folgenlos punkt-gespiegelt?
Analemma 17:12, 25. Jan. 2011 (CET)

Ich meinte z.B. den Abschnitt "Aktive und passive Transformation", den Beitrag hier drüber oder diese Quelle [1]. Das hat aber alles mit Drehmoment nur sehr entfernt etwas zu tun. Ich habe auch nicht die Absicht mich näher damit zu befassen, würde es aber begrüßen, wenn jemand eine allgemeinverständliche und korrekte Einleitung schreibt. Jedenfalls finde ich es nicht gut, wenn man mit Google leichter verständliche Erklärungen findet als hier. -- Pewa 17:57, 25. Jan. 2011 (CET)

Also kein Expertenstreit?
Deine www-Quelle hatte ich schon gesehen, sie beantwortet nicht meine Frage (Wo wird z.B. ein Drehmoment folgenlos punkt-gespiegelt?) und ersetzt nicht den momentan unbrauchbaren einschlägigen Link auf axialer Vektor.
Analemma 11:04, 26. Jan. 2011 (CET)

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Die Frage "Was ist ein axialer Vektor?" wird sicher nicht durch den Hinweis auf den Drehsinn beantwortet. Der beantwortet vielmehr die Frage, was ein anschauliche Grund dafür ist, dass speziell das Drehmoment durch einen axialen Vektor beschrieben wird. Der Drehsinn ändert sich nämlich nicht, wenn man das untersuchte System spiegelt. Und das Verhalten bei einer Spiegelung definiert nun mal, was ein axialer Vektor ist. Darüber besteht in der Literatur Einigkeit. "Drehsinn" hat in diesem Zusammenhang übrigens nur eine schwammige intuitive Bedeutung. Das Drehmoment ist auch da, wenn sich gar nichts dreht, zum Beispiel wenn die Schraube zu fest sitzt. Der Drehsinn des bewegten Objektes kann sogar entgegengesetzt sein, wie beim Abbremsen eines Rades. Deswegen sollte man sich an die Definition halten und die besagt, dass der Drehmoment durch einen Vektor beschrieben werden kann, der wie jeder Vektor eine Richtung im Raum hat. Diese Richtung dient dazu, der Achse eine Orientierung zu geben. Diese Orientierung, zusammen mit der üblichen Festlegung auf die rechtshändigen Orientierung des Raumes, legt eine Orientierung der Ebene senkrecht zu Achse fest. Für das Drehmoment legt die Orientierung dieser Ebene fest, wie die Richtung die Kraft F in Bezug auf den Ortsvektor r im Angriffspunkt ist (nämlich so, dass r und F in dieser Reihenfolge positiv orientiert sind). Die Richtung eines axialen Vektors kann man auch am Beispiel eines Magnetfeldes anschaulich machen. Das ist die Richtung, in die sich magnetisierte Eisenspäne ausrichten. Was in diesem Zusammenhang der Drehsinn der axialen Vektorgröße "Magnetfeld" sein soll, ist schon weniger augenscheinlich.---Theowoll 00:53, 26. Jan. 2011 (CET)

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Danke für die Überarbeitung, das erscheint mir jetzt schon viel verständlicher. Einen Satz finde ich noch nicht verständlich: "Die Richtung eines axialen Vektors ist bezüglich einer Orientierung des Raumes ... definiert." Wenn die Richtung des axialen Vektors durch die Raumrichtung definiert ist, muss er doch sein Vorzeichen umkehren, wenn die Raumdimension ihr Vorzeichen ändert. Oder ist er unabhängig vom Vorzeichen der Raumdimension, weil er eben nicht durch eine Raumrichtung definiert ist, sondern nur mathematisch durch einen Drehsinn? Ist das vielleicht sogar der Kern der Erklärung dafür, dass der axiale Vektors seine "Richtung" nicht ändert, weil er gar keine "Richtung" in einer räumlichen Dimension hat, sondern nur in einer abstrakten mathematischen Dimension. Konkret: Wenn man den axialen Vektors durch eine unterschiedlich dicke Linie in den Farben rot oder blau darstellt, ist es unmittelbar erkennbar, dass sich die Farbe bei einer Spiegelung nicht ändert, weil Farbe keine räumliche Dimension ist. Wäre das vielleicht sogar eine gute oder zumindest anschauliche Erklärung? -- Pewa 16:11, 26. Jan. 2011 (CET)

Du benutzt einige sinnlose Formulierungen wie "durch die Raumrichtung definiert" und "Vorzeichen der Raumdimension". Der Satz, den du unverständlich findest, bedeutet jedenfalls, dass man zur Definition axialer Vektoren festlegen muss, auf welche Orientierung des Raumes man sich bezieht. Eine gewählte Orientierung legt fest, wann drei linear unabhängige Vektoren positiv oder negativ orientiert sind. Man hat zwei Orientierungen zur Auswahl, üblicherweise nimmt man die rechtshändige (dann sind alle rechtshändigen Systeme aus drei Vektoren per Definition positiv orientiert). Diese Wahl ist aus physikalischer Sicht willkürlich. Nähme man die linkshändige Orientierung, so würden alle axialen Vektoren in die entgegengesetzte Richtung zeigen. Beim Drehmoment z.B. legt man fest, dass Ortsvektor, Kraft und Drehmoment in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System bilden sollen (das Kreuzprodukt benutzt die Rechte-Hand-Regel). Hätte man das Kreuzprodukt mit der Linke-Hand-Regel definiert, so würde der Drehmomentvektor in die entgegengesetzte Richtung zeigen. Axiale Vektoren haben wie alle Vektoren eine Richtung. Diese Richtung legt eine Orientierung der Drehachse fest: Vektoren parallel zur Achse, die in die gleiche Richtung zeigen, sind dann per Definition positiv orientiert. Ein "Drehsinn" in der Ebene legt eine Orientierung dieser Ebene fest: Zwei linear unabhängige Vektoren sind dann positiv orientiert, wenn der orientierte spitze Winkel vom ersten zum zweiten Vektor mit dem gewählten Drehsinn übereinstimmt. Wir können also drei Orientierungen festlegen: die des Raumes, der Drehachse und der Drehebene. Nun ist es aber so, dass man nur zwei dieser Orientierungen anzugeben braucht, um auf folgende Weise die dritte Orientierung geschenkt zu bekommen:

• 2. Orientierung des Raumes und einer Ebene bestimmen die Orientierung der Geraden senkrecht zur Ebene: Ein Vektor parallel zur Geraden sei positiv orientiert, falls er ein positiv orientiertes System in der Ebene zu einem positiv orientierten System des Raumes ergänzt. Beispiel: Der Drehsinn um eine Achse legt eine Orientierung der Ebene senkrecht zur Achse fest. Zusammen mit der (üblicherweise rechtshändigen) Orientierung des Raumes wird eine Orientierung der Achse festgelegt, nämlich durch die Richtung, in welche der zum Drehsinn gehörende axiale Vektor zeigt.
• 2. Orientierung des Raumes und einer Geraden bestimmen die Orientierung der Ebene senkrecht zur Geraden: Zwei Vektoren in der Ebene seien positiv orientiert, falls sie durch einen positiv orientierten Vektor in der Geraden zu einem positiv orientierten System des Raumes ergänzt werden. Beispiel: Setzt man die rechtshändige Orientierung des Raumes voraus und legt die Richtung des axialen Vektors fest, dann bestimmt das einen Drehsinn.
• Der Vollständigkeit halber möchte ich noch erwähnen, wie die Orientierungen einer Ebene und der dazu senkrechte Geraden eine Orientierung des Raumes festlegen: Ein System aus drei linear unabhängigen Vektoren sei positiv orientiert, falls man es durch eine Drehung im Raum bewerkstelligen kann, dass die ersten beiden Vektoren in der Ebene liegen und positiv orientiert sind und die Projektion des dritten Vektors auf die Gerade ebenfalls positiv orientiert ist.

Ich hoffe es wird damit klar, dass es sinnlos ist, darüber zu argumentieren, ob axiale Vektoren eine Richtung haben oder einen Drehsinn. Natürlich haben sie eine Richtung wie jeder Vektor und sie bestimmen einen Drehsinn in der Ebene wie im zweiten Punkt beschrieben. Man kann rechnerisch auch ganz auf axiale Vektoren verzichten und stattdessen mit antisymmetrischen 2-Formen in der Ebene arbeiten. Dann würde man es nur mit einem Drehsinn in der Ebene zu tun haben und ohne Orientierung der Drehachse auskommen. Aber Physiker und Ingenieure sind das Rechnen mit Vektoren gewöhnt und finden axiale Vektoren daher praktischer. Die Richtung eines axialen Vektors kann man z.B. im Falle der Winkelgeschwindigkeit anschaulich mit der Blickrichtung identifizieren, in die man schauen muss, damit sich die Drehung im Uhrzeigersinn vollführt. -- Theowoll 18:51, 26. Jan. 2011 (CET)

Anmerkung: Nicht alle axialen Vektoren sind mit einem Drehsinn verknüpft. Beispielsweise dreht sich beim Elektron nichts -- weder linksrum, noch rechtsrum, noch sonst irgendwie. Dennoch hat es einen Spin, der als Dreimpuls eine vektorielle Größe mit den transformationseigenschaften axialer Vektoren ist.---<)kmk(>- 04:48, 28. Jan. 2011 (CET)

Der Begriff "Drehsinn" bedeutet nicht unbedingt, dass sich etwas dreht, sowenig wie "Vektor" (das von lat. vehere = fahren kommt) bedeutet, dass sich etwas bewegt. Mit "Drehsinn" ist einfach die Orientierung einer Ebene gemeint. Die übliche Orientierung des $\mathbb {R} ^{2}$ ist zum Beispiel durch die geordnete Basis $e_{1},e_{2}$ gegeben. Dies entspricht dem Drehsinn "gegen den Uhrzeiger", einer Drehung, die $e_{1}$ um 90° auf $e_{2}$ dreht. -- Digamma 19:22, 28. Jan. 2011 (CET)

Der Einstein-de-Haas-Versuch zeigt, dass sich vielleicht doch irgendwie irgendwas dreht. Aber über das wahre Wesen des Elektrons zu streiten, ist beim gegenwärtigen Wissensstand der Menschheit müßig. Oben habe ich auf das Magnetfeld hingewiesen, wo zuerst die Richtung des Feldes ins Auge fällt, falls man sich darauf geeinigt hat, was Norden und Süden sein soll. Oder auf die festsitzende Schraube, bei der sich trotz vorhandenen Drehmomentes nichts dreht. Aber ich vermute mal, dass man für jeden axialen Vektor einen Drehsinn ins Spiel bringen kann. Beim Magnetfeld z.B. die Drehrichtung von bewegten Elektronen. Bei der Schraube die Drehrichtung, die man bei einer lockeren Schraube beobachten würde. -- Theowoll 15:56, 28. Jan. 2011 (CET)

Nicht alle Ingenieure sind das Rechnen mit Vektoren gewöhnt bzw. wenden es fleißig an. Aus diesem Grunde kann ich auch den obigen Ausführungen noch nicht folgen, obwohl sie die intensivsten und zusammenhängendsten Bemühungen bisher überhaupt sind. Eigentlich sind es erst die zweiten Äußerungen, die ein lange geäußertes dringendes Problem angehen, danke. Ich hoffe, an den Früchten der Diskussion, die hoffentlich auch von anderen weiter aufrecht erhalten wird, partizipieren zu können.
Einiges Wenige vorab, den Umständen entsprechend vermutlich etwas durcheinander gehend:

• Würdet Ihr bitte klar beachten, was Ihr sagen wollt bei Anwendung der Begriffe Richtung, Orientierung und Drehsinn. Mitunter habe ich den Eindruck, Richtung u. Orientierung seien synonym gebraucht. Dann gibt es aber wieder Stellen, wo ich stolpere, weil derselbe Begriff in einem erklärenden Satz zweimal vorkommt, er erklärt sich quasi selbst: Eine gewählte Orientierung legt fest, wann drei linear unabhängige Vektoren positiv oder negativ orientiert sind.
• Ich ging als Ingenieur bisher davon aus, dass ich das Materielle des Drehmomentes vergessen und mit seinem Vektor-Stellvertreter weiter arbeiten kann. Nun habe ich den Verdacht, dass wenigstens zum axialen Vektor Drehmoment die Vorgeschichte dazugehört. Warum heißt es: ... wenn man das untersuchte System spiegelt? Warum heißt es nicht: wenn man den Vektor spiegelt? Und ist das dann alles: Diese Richtung [des Drehmomenten-Vektors] dient dazu, der Achse eine Orientierung zu geben.? Wo bleibt die Codierung des Drehsinns, die doch vorhanden sein muss, um zu erkennen, dass sich der Drehsinn gegebenenfalls nicht ändert?
  Analemma 23:50, 26. Jan. 2011 (CET)

Orientierung: Im Prinzip sind Orientierung des Raumes und Orientierung des Vektors das gleiche. (Wieso sieh das gleiche sind, würde hier zuweit führen. Ich erkläre sie daher mal getrennt.)

• Orientierung des Vektors: Wenn du eine Gerade hast, deren Position im Raum bekannt ist, weißt du nicht, wo vorne und hinten ist. Daher besitzt eine Gerade normalerweise keine Richtung. Das gleiche gilt für eine Strecke: Welcher Punkt ist der Anfang und welcher ist das Ende? Da du das nicht weißt, hat auch die Strecke keine Orientierung. In dem Augenblick, wo du aber sagst: "Da ist vorne.", hat die Strecke eine Orientierung. Zu einem Vektorpfeil: Da weißt du ja, wo vorne und wo hinten ist. Wenn du ihn nun anfängst zu drehen, dann änderst du damit seine Richtung. Wenn du ihn jedoch nicht drehst, sondern einfach mit -1 multiplizierst, dann änderst du seine Orientierung. - Aber nicht seine Richtung: Der Pfeil ans ich ändert sich bei einer Multiplikation mit -1 ja überhaupt nicht: Nur Anfang und Ende vertauschen. Alles andere bleibt gleich.
  → her damit: Orientierung und Richtung “gehören zusammen”. Für die Orientierung gibt es zwei mögliche Richtungen. Was aber, wenn der Pfeil am Vektor den Sinn einer Drehung um eine Achse meint, auf der der Vektor liegt.? --Analemma 12:14, 28. Jan. 2011 (CET)

• Orientierung einer Ebene: Stell dir vor, die Erde wäre eine Scheibe. (Und dazu noch so dünn wie ein Blatt Papier.) Du stehst auf einer Seite des Blattes und ich stehe auf der anderen Seite. Abgesehen davon stehen wir aber an der gleichen Stelle. Wenn ich sage: "Der Baum ist 10 Meter entfernt.", dann stimmst du mir zu. Der Baum hat für uns beide die gleiche Entfernung. Wenn ich jedoch sage: "Der Baum ist rechts von mir.", dann wirst du mir widersprechen: Für dich ist der Baum links. Damit wir uns also auf der Scheibenwelt orientieren können, müssen wir uns einigen, welche Orientierung wir verwenden: Deine oder meine. Die Orientierung legt also fest, welche Seite links und welche Seite rechts ist.

Orientierung eines Raumes: Hier legt die Orientierung quasi fest: "Wo ist oben, wenn ich mich im Uhrzeigersinn drehe?" Was "im Uhrzeigersinn" bedeutet, ist zwar auch willkürlich, aber das ist physikalisch im 3dimensionalen relativ unwichtig. Ob ich nun Linksdrehung oder Rechtsdrehung als "im Uhrzeigersinn" definiere, spielt keine Rolle. Was aber relativ wichtig ist: "OK, ich habe ein Objekt, das sich dreht: Wo ist oben von diesem Objekt?" Hier gibt es auch wieder zwei mögliche Antworten, die beide absolut gleichberechtigt sind.

Man nennt diese beiden Regeln "Rechte-Hand-Regel" und "Linke-Hand-Regel". Warum, erläutere ich jetzt:

Halt deine rechte Hand von dir gestreckt und zeige die Zahl Drei. (Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger sind also gestreckt, Ring- und kleiner Finger sind gekrümmt.) Nun mache eine kreisende Bewegung mit deiner Hand derart, dass sich der Zeigefinger auf den Mittelfinger zubewegt: Die Richtung, in die dein Daumen dabei zeigt, wird als oben definiert. Daher nennt man dies auch "Rechtsorientierung" bzw. "Rechte-Hand-Regel".

Das gleiche kann man mit der linken Hand machen. Das ist dann die "Linksorientierung" bzw. die "Linke-Hand-Regel".

Spiegelung des Systems: Konkret müsste es heißen: "Spiegele alle Raumachsen und lasse die Zeitachse konstant." (In dem Augenblick, wo man die Zeitachse auch spiegelt, gibt es einige Probleme.) Wie du sofort siehst, ändern sich dabei Position, Geschwindigkeitsrichtung, Richtung der wirkenden Kräfte etc. Daher ändern sich auch die dazugehörigen Vektoren derart, das sich ihre Orientierung ändert. (Der Vektorpfeil bleibt also der gleiche, nur dass man die Pfeilspitze jetzt ans andere Ende setzt.)
→ her damit: Gespiegelt wird nur das beschreibende System (Koordinatensystem u.ä.), nicht das reale System, in dem z.B. eine Kraft nicht angetastet wird, im besonderen nicht ihre Wirkrichtung. --Analemma 12:14, 28. Jan. 2011 (CET)

Dann gibt es aber ein paar Sachen, die sich nicht ändern: Zum Beispiel die Drehrichtung. Folgerichtig ändert sich auch der Vektor, der die Drehrichtung beschreibt, nicht.
→ her damit:: Die Drehrichtung Der Drehsinn eines realen Drehmomentes ist ohnehin unabhängig vom beschreibenden System. Die Besonderheit ist, dass in einem solchen System nach seiner Spiegelung der beschreibende Vektor gleich aussieht. --Analemma 12:14, 28. Jan. 2011 (CET)
So, ich hoffe, ich konnte helfen. Falls noch Fragen sind (oder Ideen, wie man den Artikel verständlicher machen könnte), nur her damit. --Eulenspiegel1 21:03, 27. Jan. 2011 (CET)

In meinen Ausführungen habe ich den Begriff Orientierung einer Geraden, einer Ebene oder des Raumes wie im englischen Artikel verwendet: An orientation on V is an assignment of +1 to one equivalence class and −1 to the other. (Konkretes Beispiel: In der üblichen Festlegung für den Raum sind rechtshändige Basen positiv orientiert.) Aber was bitte soll Orientierung des Vektors bedeuten? Darüberhinaus widerspricht die folgende Aussage dem üblichen Gebrauch des Wortes Richtung: Wenn du ihn jedoch nicht drehst, sondern einfach mit -1 multiplizierst, dann änderst du seien Orientierung. - Aber nicht seine Richtung. Üblicherweise sagt man, der Vektor zeigt nach der Multiplikation mit -1 in die entgegengesetzte Richtung. Deine Ausführungen zur Orientierung der Ebene sind ebenfalls fragwürdig. Wenn du dich um 180° drehst, steht der Baum links von dir. Wie kann also "deine Orientierung" (wie du es nennst), festlegen, was links und rechts ist? Was soll eine solche Festlegung überhaupt bedeuten? Deine Beschreibung von Orientierung eines Raumes kann man durchgehen lassen, auch wenn ich sie teilweise für nicht sehr hilfreich halte. Deinen Aussagen zur Spiegelung indes muss ich heftig widersprechen. Wenn du die Raumachsen spiegelst, dann machst du eine Koordinatentransformation. Das wird weder die polare Vektoren wie Ort, Geschwindigkeit, noch axiale Vektoren wie die Winkelgeschwindigkeit umkehren (wohl aber deren Koordinaten). Wenn du axiale von polare Vektoren unterscheiden willst, dann musst du das Spiegelbild des untersuchten Systems betrachten. -- Theowoll 01:10, 28. Jan. 2011 (CET)

• OK, mit Richtung hast du Recht. Richtung setzt sich zusammen aus Lage und Orientierung eines Vektors.
• Klar sind Orientierungen Äquivalenzklassen. Die Frage ist halt, welche Äquivalenzklasse. Und das habe ich halt anschaulich beschrieben.
• Selbstverständlich ist der Baum nach einer 180° Drehung plötzlich rechts. - Aber du schaust ja auch in eine andere Richtung: Vorher hast du nach Norden geschaut und der Baum war links von dir. Jetzt schaust du nach Süden und der Baum ist rechts von dir: Das ist beides die gleiche Orientierung auf der Ebene. Erst, wenn du weiterhin nach Norden schaust und der Baum plötzlich rechts von dir ist, hast du die Orientierung gewechselt. (Kann dir zum Beispiel bei Flächen ohne Orientierung wie dem Möbiusband passieren.)
• Zum Spiegelbild: Du darfst eben nicht das Spiegelbild des gesamten Systems betrachten: Wenn du das komplette Spiegelbild im 4dimensionalen Raum betrachtest, dann läuft dein Versuch plötzlich rückwärts. Das heißt, auch der Drehsinn hat seine Richtung geändert. Das heißt, du darfst wirklich nur den Raum spiegeln und die Zeit muss erhalten bleiben. Ich empfehle den Artikel CPT-Theorem: Bei einer P-Transformation (Spiegelung der Raumkoordinaten) bleiben die axialen Vektoren erhalten und die polaren Vektoren ändern sich. Bei einer PT-Transformation (Spiegelung aller Raum- und Zeitkoordinaten) ändern sich einige axiale Vektoren (z.B. Drehsinn) dafür bleiben andere polare Vektoren gleich (z.B. Geschwindigkeitsvektor). (Ob du jeweils eine C-Transformation dazu packst oder nicht, ist egal.)

--Eulenspiegel1 12:44, 28. Jan. 2011 (CET)

Bei der Ebene hast du jetzt eine weitere Zutat ins Spiel gebracht: Du hast eine Bezugsrichtung (Norden) ausgezeichnet. Damit funktioniert dein Verfahren. Beim Spiegelbild untersuche ich natürlich nur eine räumliche Spiegelung (wie im Artikel beschrieben). Ich würde übrigens empfehlen, in den Artikeln die Formulierung "Spiegelung der Raumkoordinaten" zu vermeiden, falls nicht zweifelsfrei klar ist, was gemeint ist. Gemeint ist natürlich, dass wir bezüglich eines festen Koordinatensystems die Koordinaten der Spiegelbilder der Teilchen durch eine Spiegelung im Koordinatenraum erhalten. Es hat sich meiner Erfahrung nach als notwendig herausgestellt, in dieser Sache pedantisch sein. Denn zu oft muss man irgendwo lesen, dass man eine Koordinatentransformation (also ein Wechsel des Koordinatensystems betrachtet) und dass sich unter dieser Koordinatentransformation axiale und polare Vektoren unterschiedlich transformieren. Das ist natürlich Quark. Was die Leute dann tatsächlich meinen, ist ein Wechsel der Orientierung des Raumes, d.h. konkret der Wechsel von der rechtshändigen zu linkshändigen Orientierung, welche dann z.B. wegen deren Verwendung bei der Berechnung des Kreuzproduktes die Richtung axialer Vektoren umkehrt. (Eine C-Transformation ist nicht egal, denn sie ändert die Richtung von magnetischen und elektrischen Feldvektoren.) -- Theowoll 15:56, 28. Jan. 2011 (CET)

Zu den Fragen von Analemma: Zum Begriff "Richtung": Zwei Vektoren zeigen in dieselbe Richtung, wenn die zugehörigen normierten Vektoren übereinstimmen (man teilt dazu den Vektor durch seinen Betrag). Betrachtet man alle Vektoren in einer Geraden, so gibt es offensichtlich genau zwei (entgegengesetzte) Richtungen. Um eine Orientierung der Geraden festzulegen, wählt eine dieser Richtungen aus und erklärt sie zur positiven Richtung. Alle Vektoren, die in diese Richtung zeigen, nennt man dann positiv orientiert.
→ Orientierung und Richtung “gehören zusammen”. Für die Orientierung eines Vektors gibt es zwei mögliche Richtungen. --Analemma 13:42, 28. Jan. 2011 (CET)
Um eine Ebene zu orientieren, muss man erklären, wann eine Basis (also zwei linear unabhängige Vektoren) als positiv orientiert bezeichnet wird. Dazu muss man wie bei den Vektoren in der Geraden zunächst erklären, was es bedeutet, das zwei Basen gleich orientiert sind. Das kann man zum Beispiel so machen: Man dreht eine Basis so, dass der erste Vektor dieser Basis in die gleiche Richtung wie der ersten Vektor der anderen Basis zeigt. Dann gibt es zwei Möglichkeiten: Die zweiten Vektoren der beiden Basen liegen auf der selben Seite der Geraden durch die ersten Vektoren oder auf unterschiedlichen Seiten. Dementsprechend sagt man, die beiden Basen sind gleich oder entgegengesetzt orientiert. Man kann sich wieder davon überzeugen, dass es genau zwei Klassen von Basen gibt. Innerhalb jeder Klasse sind je zwei Basen gleich orientiert. Zwei Basen aus unterschiedlichen Klassen sind entgegengesetzt orientiert. Eine Orientierung der Ebene ist nun wieder die Auszeichnung einer Klasse von Basen als die positiv orientierten. Die anderen sollen dann negativ orientiert heißen. Zur Orientierung des Raumes macht man ganz analoge Betrachtungen. Eine Basis besteht in diesem Fall aus drei linear unabhängigen Vektoren. Hat man zwei Basen, so kann man immer durch eine Drehung der einen Basis erreichen, dass die ersten beiden Vektoren dieser Basis in der Ebene liegen, die von den ersten beiden Vektoren der anderen Basis aufgespannt wird, und zwar so dass die ersten beiden Vektoren beider Basen in dieser Ebene gleich orientiert sind. Dann gibt es wieder zwei Möglichkeiten für die relative Lage der dritten Vektoren bezüglich der besagten Ebene. Das liefert genau die Unterscheidung von rechtshändigen und linkshändigen Basen im Raum.
→ Müssen wir uns mit der Orientierung der Ebene bei Pseudovektor auseinandersetzen? --Analemma 13:42, 28. Jan. 2011 (CET)
Zum axialen Vektor-Stellvertreter und dem Drehsinn: Was du als Vorgeschichte bezeichnet ist die Wahl einer Orientierung des Raumes, die man für die Definition des Kreuzprodukts braucht. Nur mittels dieser Orientierung kann man dem Vektor einen Drehsinn zuordnen, wie ich oben im zweiten Punkt meiner Liste beschrieben habe.
→ Ich habe in Deiner obigen Liste zweimal ein 2. vorangestellt, zweimal ist von Drehsinn die Rede, aber ich verstehe beides nicht. Ich denke bei Drehsinn an die Drehung einer Welle, Schraube usw.. Mir scheint, dass Du ausschließlich einen formalen Drehsinn im beschreibenden System meinst. Weil ein Vektor mit Drehsinn auch nur die Pfeilspitze zu seiner Codierung verwendet, gibt es Verwechslungen mit Richtung (außer es sei klar, dass ja der Drehsinn im mathematisch/physikalischen System auch eine Art Richtung ist). Und weil der formale Drehsinn des Stellvertreter-Vektors auf die zu ihm senkrechte Ebene angewiesen ist, werden in den meisten Beiträgen zum Drehmoment andauernd der Abstandsvektor und der Kraftvektor mitgeschleppt. Letzteres erscheint technischen Lesern als höchst überflüssig. Der Pfeil des Stellvertreter-Vektors ist ein definiertes Symbol (Rechstschraube) für den Drehsinn, fertig. Und wann kommt in der Arbeit eines Technikers schon einmal eine Spiegelung des gewählten beschreibenden Systems vor?--Analemma 13:42, 28. Jan. 2011 (CET)
Zur Spiegelung: Wenn man einfach die Vektoren spiegelt, lernt man genau gar nichts über den Unterschied von axialen und polaren Vektoren. Es ist eine interessante Frage, ob das Spiegelbild eines physikalischen Systems realisierbar ist. Erst die Teilchenphysik hat gezeigt, dass so etwas wegen der Paritätsverletzung nicht immer geht. Und erst bei der Untersuchung des Spiegelbildes
→ des beschreibenden Systems ? --Analemma 13:42, 28. Jan. 2011 (CET)
stößt man auf die Unterscheidung von axialen und polaren Vektoren. -- Theowoll 01:10, 28. Jan. 2011 (CET)

Bei deiner Erklärung mit der Orientierung in der Fläche oder der Ebene,solltest du vielleicht noch erklären, was eine Basisdrehung ist. (Für jemanden, der regelmäßig mit Vektoren rechnet und weiß, was eine Determinante ist, ist das selbstverständlich. Für Leute, die eher wenig mit Vektoren zu tun haben und auch keine Determinante kennen, ist das evtl. nicht so klar.)

Deine Erklärung funktioniert so wunderbar für normale Vektorräume. Sobald man sich aber auf einer Mannigfaltigkeit befindet, sieht das ganze dann etwas komplizierter aus, falls man die Orientierung anhand von Basen erklärt. (Die Definition selber geht natürlich über Basen. Aber zur Veranschaulichung würde ich doch eher etwas anderes wählen.) --Eulenspiegel1 12:03, 28. Jan. 2011 (CET)

Meine Erklärung hat den angedeuteten Wissensstand des Fragestellers berücksichtigt. Deswegen habe ich mich auf den euklidischen Raum beschränkt. Ich denke, dann ist auch jedem anschaulich klar, was man sich unter einer Drehung einer Basis (d.h. eines Systems aus drei linear unabhängigen Vektoren) vorzustellen hat. Wenn jemand Vorbildung über lineare Algebra und Differentialgeometrie hat, kann man das Wesentliche natürlich allgemeiner und mit viel weniger Worten (bzw. Symbolen) erklären, aber aus didaktischen Gründen sollte man sich die Begriffe sowie mal im elementaren Falle des euklidischen Raumes veranschaulichen. -- Theowoll 15:56, 28. Jan. 2011 (CET)

Einleitung: Version vom 26.1.11

Verständnisfragen:

1. ... vektorielle Größe, welche ihre Richtung ... |---| Wird die Richtung mit Hilfe des Pfeils am Vektor angegeben?
2. ... , welche ihre Richtung beibehält, ... Zum Beispiel ... der Drehsinn ... nicht ändert |---| Drehsinn ↔ Richtung
3. ... die Bahngeschwindigkeit des Spiegelbildes ... |---| Die Bahngeschwindigkeit eines Körpers, wenn man sein Spiegelbild betrachtet?
4. ... Richtung eines axialen Vektors ist bezüglich einer Orientierung des Raumes, üblichweise der rechtshändigen, definiert.
   |--| Richtung eines (1) ... Vektors ↔ rechtshändig (Rechtssystem (Mathematik): 3 Vektoren | 1 ↔ 3

Analemma 20:28 26. Jan. 2011 (MEZ)

1. Ja.
2. Wie weiter oben schon mal erläutert, bestimmt die Richtung des axialen Vektors den Drehsinn (und umgekehrt) mittels der Rechte-Hand-Regel (bzw. der Festlegung der rechtshändigen Orientierung als die positive Orientierung).
3. Ja.
4. Wie weiter oben schon mal erläutert, hängt die Richtung des axialen Vektors von einer gewählten Orientierung ab. Würde man die Linke-Hand-Regel zur Berechnung des Kreuzproduktes verwenden, dann würde der Vektor in die entgegengesetzte Richtung zeigen.
   

Theowoll 01:10, 28. Jan. 2011 (CET)

1. erledigt
2. Es geht um die bestehende Einleitung, nicht um hier schon erwähntes. Von Richtung wird zu Drehsinn gesprungen. Beides sind doch wohl nicht Synonyme füreinander ?!
3. Textänderung erforderlich
4. Lässt sich der Link Orientierung spezifizieren, damit klarer wird, was damit gemeint ist? Befinden wir uns jetzt eigentlich noch in der Physik (Pseudovektor, in der Physik eine vektorielle Größe) ?

Analemma 14:21, 28. Jan. 2011 (CET)

Zur Einleitung: Axiale Vektoren bleiben nur bei Punktspiegelung erhalten. Bei einer Ebenenspiegelung kann sich ein axialer Vektor verändern. (Beispielsweise ändert sich der Drehsinn, falls die Spiegelebene parallel zur Rotationsachse steht.)

@ Analemma

• zu 2) Richtung und Drehsinn sind nicht 100% synonym. ABER: Der Drehsinn entspricht der Orientierung des Rotationsvektors. (Wenn du den Drehsinn änderst, änderst du damit automatisch die Orientierung der Rotationsvektors. Und wenn du die Orientierung des Rotationsvektors änderst, änderst du damit automatisch den Drehsinn.)
• zu 4) Ich fürchte, bevor wir den Link spezifizieren können, muss erstmal der Artikel Orientierung (Mathematik) vernünftig ausgebaut werden. Und Pseudovektor ist eine Schnittstelle zwischen Mathematik und Physik: Eigentlich ist es ein mathematisches Objekt. De facto wird es in der Physik aber häufiger verwendet als in der Mathematik selber.

--Eulenspiegel1 14:44, 28. Jan. 2011 (CET)

Das mit der Ebenenspiegelung habe ich korrigiert (peinlicher Fehler). Axiale Vektoren kommen aus der Physik. Mathematiker interessieren sich eigentlich herzlich wenig dafür. Schon der unglückliche Begriff "Pseudovektor" deutet auf Physiker hin, denn eine axialer Vektor ist ein echter Vektor im Sinne der linearen Algebra. -- Theowoll 15:56, 28. Jan. 2011 (CET)

Jetzt haben wir noch den Rotationsvektor. Ist das nicht ein bisschen fahrlässig, wo wir doch mit Hilfe ausdiskutierter, weniger Begriffe Klarheit in die Erklärung der die langen Bemühungen machenden Lemma-Begriffe schaffen wollen?
Nochmal zum Vektor, der Betrag und Drehsinn eines Drehmomentes angeben soll: Was haltet Ihr von der Tradition einiger Techniker, die ihn mit doppelter Pfeilspitze zeichnen?
Ja, der Artikel Orientierung (Mathematik) muss vernünftig ausgebaut werden. Ich halte es generell für ein besseres Vorgehen, Links auf ungenügende Artikel zurückzuhalten. Entweder , man muss sich gleich um deren "Ausbau" kümmern, oder man beschreibt anstatt eines Links an Ort und Stelle denjenigen Aspekt des Begriffs, den der Link erbringen müsste.
Analemma 19:32, 28. Jan. 2011 (CET)

Zur Schreibweise: Nichts. Hier in Wikipedia sollte die übliche Schreibweise zum Einsatz kommen, nicht die "einiger Techniker".

Zur Verlinkung: Mangelnde Qualität kann kein Grund sein, eine vom Begriff her sinnvolle verlinkung zurück zu halten. Der dahinter stehende bevormundende Anspruch ist nicht angemessen. Zudem scheitert die Umsetzung Deines Grundsatzes an praktischen Aspekten. Willst Du den Artikel permanent beobachten und ihn dann verlinken, wenn er Deinen Qualitätsmaßstäben entspricht? Im übrigen wäre ich an Deiner Stelle sehr zurückhaltend bei der Beurteilung der Qualität mathematisch-physikalischer Artikel.

@Eulenspiegel: Mathematik ist die Sprache der Physik. Von daher ist jeder mathematische Begriff, der zur Beschreibung physikalischer Zusammenhänge verwendet wird, eine "Schnittstelle zwischen Mathematik und Physik". Irgendeine Sonderstellung nehmen axiale Vektoren dabei nicht ein.---<)kmk(>- 20:12, 28. Jan. 2011 (CET)

Richtung von polaren Vektoren

Im Beitrag steht "...während polare oder Schubvektoren in solchem Fall ihre Richtung umkehren". Polare Vektoren ändern bei Punktspiegelung laut exakter Definition aber ihre ORIENTIERUNG (= Richtungssinn), während die Richtung gleich bleibt. (Siehe auch: http://www.mathe-lexikon.at/algebra/vektoralgebra/vektor-grundlagen.html) (nicht signierter Beitrag von 178.189.151.52 (Diskussion) 10:00, 5. Feb. 2015 (CET))

Nach mathe-lexikon.at gibt es sowas wie Richtungsumkehr gar nicht, es kann also nur das gemeint sein, was mathe-lexikon.at als Umkehrung der Orientierung bezeichnen würde. Ich denke, die Terminologie von mathe-lexikon.at (welche ohne Quellenangabe ist) ist unzweckmäßig und auch nicht weit verbreitet. Die Begriffe "Betrag" und "Richtung" reichen völlig aus. Parallele Vektoren können dabei entweder in die selbe Richtung oder in entgegengesetze Richtung zeigen. Ich denke das ist auch die übliche Sprechweise. Ein Hinweis auf die Fragwürdikeit der mathe-lexikon.at-Begriffe ist Beispiel a) auf der oben verlinkten Seite: Der Vergleich von Orientierungen bei nicht-parallelen Vektoren ist sinnlos. Nach mathe-lexikon.at-Definition stellt sich die Frage nach der Orientierung (gleich oder entgegengesetzt) nur für parallele Vektoren.--Theowoll (Diskussion) 18:51, 9. Feb. 2015 (CET)

+1. Mir scheint, mathe-lexikon.at stiftet hier nur Verwirrung. Das stimmt doch hoffentlich auch in Österreich nicht mit der Lehre in Schulen und Hochschulen überein?--jbn (Diskussion) 16:28, 10. Feb. 2015 (CET)

Ich denke, in der Geometrie macht es Sinn, zwischen Richtung und Orientierung ("Sinn") zu unterscheiden, weil die üblichen geometrischen Objekte per se keine Orientierung besitzen. Eine Gerade besitzt dann eine Richtung. Einen "(Durchlauf-)Sinn" besitzt sie aber erst, wenn man aus ihr eine orientierte Gerade macht. Bei Vektoren ist es aber nicht sinnvoll, zwischen Richtung und Orientierung zu unterscheiden. --Digamma (Diskussion) 21:37, 10. Feb. 2015 (CET)

Missverständnis

Ich möchte den Versuch machen, die Didaktik von Feynman zu übertreffen, um ein Missverständnis auszuräumen. Ich selbst habe mehrere Wochen gebraucht, um es zu verstehen.

Ich schaue auf den Abschnitt http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_52.html#Ch52-S5 und da ist nicht die Rede von einer Punktspiegelung (wie im Wikipedia Artikel) sondern von einer Spiegelung. Wer hat also Recht? Feynman oder Wikipedia?

Bei einer Spiegelung wechselt die Chiralität oder die Orientierung. Wenn ich meine rechte Hand vor einen Spiegel halte, dann deckt sie sich mit meiner linken. Meine rechte Hand passt nicht mehr auf die gespiegelte Hand. Wenn ich meine rechte Hand punktspiegele (zwei Mal spiegele) dann ist sie gedreht, aber es ist immer noch meine rechte Hand. Ich muss die rechte Hand nur drehen, und sie passt auf die punktgespiegelte Hand. Die linke Hand passt nicht.

"Ehrliche" Vektoren ändern bei Spiegelung ihre Richtung. Pseudovektoren sind nicht "ehrlich". Wenn man sie spiegelt, ändern sie ihre Richtung nicht. Schaut man auf Fig. 52-3, dann wird man sofort protestieren und zu Recht sagen: Das ist doch nicht gespiegelt, Herr Feynman! Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit sieht im Spiegel genau anders herum aus. Das ist nicht "ehrlich"!

Gottseidank ist wenigstens Feynman ehrlich: Er hat uns gewarnt und hat gesagt, dass dieser Pseudovektor nicht ehrlich ist.

Um das Rätsel zu verstehen, habe ich die Zeichnung Fig. 52-3 abgewandelt. Zunächst habe ich die Drehrichtung des linken Rades geändert. Jetzt dreht es im Uhrzeigersinn. Dann habe ich Ziffern wie bei einer Uhr darauf geschrieben (zu meiner Orientierung, und damit ich sehe, was passiert). Den Vektor für die Winkelgeschwindigkeit habe ich zunächst weg gelassen. Jetzt habe ich die Ziffern auf das Rad auf der rechten Seite geschrieben und zwar so wie ich es im Spiegel sehen würde. Die Ziffern sind jetzt in Spiegelschrift, aber viel wichtiger ist die Feststellung, dass dadurch jetzt das gespiegelte Rad gegen den Uhrzeigersinn dreht.

Jetzt nehme ich ein Streichholz und halte es wie die Drehachse vor ein Ziffernblatt. (Das Streichholz zeigt nach rechts.) Das Ziffernblatt halte ich vor einen Spiegel. Streichhölzer sind ehrlich und das gespiegelte Streichholz wechselt seine Richtung. (Das Streichholz zeigt im Spiegel nach links.) Jetzt nehme ich meine rechte Hand. (Für diesen Zweck genügt die Korkenzieherregel.) Ich krümme die Finger in Richtung der Drehrichtung. Zunächst bei der linken Scheibe. Der Daumen zeigt auch nach links, weil ich ja die Rotationsrichtung von Herrn Feynman verdreht habe. Jetzt habe ich die Richtung für den Vektor der Winkelgeschwindigkeit gefunden. Sie zeigt zeigt entgegen der Richtung des Streichholzes.

Ich mache die Korkenzieherregel der rechten Hand für das Spiegelbild des drehenden Rades. Das gespiegelte Rad dreht gegen den Uhrzeigersinn. Und was macht mein Daumen? Mein Daumen zeigt in Richtung des gespiegelten Streichholzes, also auch nach links.

Feynman hat recht. Nicht deswegen, weil er einen Nobelpreis bekommen hat und der Wikipedia Autor nicht, sondern weil es jeder vor dem Spiegel nachprüfen kann. (nicht signierter Beitrag von 37.24.211.35 (Diskussion) 12:44, 15. Jul. 2021 (CEST))

Eine Punktspiegelung im Raum ist nicht identisch mit zwei hintereinander ausgeführten (Ebenen-)Spiegelungen und einer Drehung, sondern mit einer einzigen Ebenenspiegelung und einer Drehung, ein Spezialfall der allgemeinen Aussage aus dem Artikel: "Denn jede Bewegung lässt sich durch eine Hintereinanderausführung von Translationen, Drehungen und Punktspiegelungen darstellen." (Manchmal kann man auch von Wikipedia-Autoren ohne Nobelpreis etwas lernen.) Insofern ist die Welt in Ordnung und Feynman steht nicht im Widerspruch zu Wikipedia oder den anderen Autoren, die axiale Vektoren mit Punktspiegelung definieren (entsprechende Verweise sind im Artikel bereits gegeben). --Theowoll (Diskussion) 15:21, 15. Jul. 2021 (CEST)

Die Abbildung im Wikipedia Artikel ist eine Doppelspiegelung in der Ebene. Nach einer Doppelspiegelung sind Pseudovektoren und ehrliche Vektoren nicht mehr zu unterscheiden. Vergleichen sie die Orientierung des gespiegelten Rades bei Wikipedia (beide Räder drehen gegen den Uhrzeigersinn) und bei Feynman (eines dreht im Uhrzeigersinn und eines dagegen). Dass das tatsächlich so ist, wurde für mich erst deutlich, als ich ein Uhrziffernblatt aufgetragen und gespiegelt habe. (nicht signierter Beitrag von 37.24.211.35 (Diskussion) 16:51, 15. Jul. 2021 (CEST))

Die Abb. (die in der Einleitung, richtig?) allein lässt völlig offen, ob an irgendwelchen Ebenen gespiegelt wurde. Dass man die Transformationen ${\vec {r}}\rightarrow -{\vec {r}}$ sowie ${\vec {p}}\rightarrow -{\vec {p}}$ auch durch zwei ebene Spiegelungen an zwei bestimmten Ebenen herbeiführen kann, wenn man die Ebenen geschickt wählt, tut nichts zur Sache. Der Text sagt eindeutig, dass diese Transfomationen hier als Ergebnis einer Punktspiegelung zu betrachten sind. Das "Missverständnis" liegt ausschließlich bei Deiner irrigen Über-Interpretation des Bildes. --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:53, 15. Jul. 2021 (CEST)

Ja genau die meine ich (https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Angular_momentum_as_pseudo-vector.png). Nachdem ich das Bild von Feynman nicht verstanden habe, habe ich mir den Wikipedia Artikel durchgelesen und dann dachte ich, ich habe es verstanden. Nicht Spiegelung wie bei Feynman, sondern Punktspiegelung, die die Orientierung erhält ist korrekt, hatte ich gehofft. Ein Übersetzungsfehler meiner deutschen Ausgabe, mehr nicht. Stand ja auch auf deutsch auf dem Titel: Nur eine Fingerübung. Aber der Originaltitel heißt: Six Not-so-easy Pieces. Und, wie ich schon bemerkte, der Mann meint, was er sagt

Die abgebildete Punktspiegelung ist selbstverständlich auch physikalisch vollständig korrekt. Aber die Pointe ist versaut. Unter Punktspiegelung gibt es keinen Unterschied zwischen einem Streichholz (einem ehrlichen Vektor) und einem Pseudovektor. Mathematisch gesprochen: die Determinante einer Spiegelung in der Ebene (bzw. ihrer orthogonalen Matrix) ist -1 und -1 x -1 = 1; d.h. nach einer Hintereinanderauführung von zwei Spiegelungen ist nichts passiert, denn das Streichholz zeigt nach oben und auch der Pseudovektor. Beide, vor und nach den Spiegelungen. Das Interessante passiert zwischendurch. Nach der ersten Spiegelung zeigt nämlich das Streichholz nach unten, die Orientierung der Drehrichtung wechselt von "gegen den Uhrzeigersinn" in "im Uhrzeigersinn". Nur den Pseudovektor L stört das nicht. Er zeigt auch nach der ersten Spiegelung weiter nach oben. Das ist keine Überinterpretation, das ist die Pointe. Deswegen finden sich im Lehrbuch von Feynman auch zwei Abbildungen von Spiegelungen und nicht von Punktspiegelungen. Einmal von einem ehrlichen Vektor (Fig. 52–2. A step in space and its mirror image.) und dann von einem Pseudovektor (Fig. 52–3.A rotating wheel and its mirror image. Note that the angular velocity “vector” is not reversed in direction). Die beiden abgebildeten Scheiben drehen in eine Richtung. Beide nach vorne. Also hat sich der Drehsinn doch nicht geändert? Doch hat er. Das sieht man, sobald man die Ziffern einer Uhr aufmalt. Die rechte Scheibe dreht sich im Uhrzeigersinn, die linke entgegen. Den Winkelgeschwindigkeitsvektor beeindruckt das nicht.

Ich nehme meinen eingangs behaupteten Anspruch zurück. Ich kann die Didaktik von Feynman nicht verbessern. Mathematisierung bringt auch keinen Erkenntnisgewinn. Deswegen ist es vielleicht gut, wenn die Wikipedia so stehen bleibt, wie sie ist. Nur an Widersprüchen kann man wirklich begreifen, warum man etwas verstanden hat oder nicht. Denn wenn in der Wikipedia die gleiche Abbildung wie bei Feynman gestanden hätte, hätte ich es bis heute nicht begriffen. (nicht signierter Beitrag von 37.24.211.35 (Diskussion) 23:26, 15. Jul. 2021 (CEST))

Unter der Abbildung im Artikel steht ganz klar, dass eine (orientierungsumkehrende) Punktspiegelung im Raum betrachtet wird, keine "Doppelspiegelung in der Ebene". "Im Uhrzeigersinn" hat keine Bedeutung, wenn man die Blickrichtung nicht mit angibt. Was sich von einer Seite betrachtet im Uhrzeigersinn dreht, dreht sich von der anderen Seite betrachtet entgegen dem Uhrzeigersinn. Auch bei Feynman drehen sich beide Räder im gleichen Sinn, wenn man sie von derselben Seite aus betrachtet. Wie im Artikel zeigen auch bei Feynman die Drehmomentvektoren beider Räder in dieselbe Richtung, darum geht es ja gerade bei axialen Vektoren. Feynman's Erklärungen sind völlig im Einklang mit dem Artikel. Der Artikel verwendet lediglich die in der Literatur übliche Definition. --Theowoll (Diskussion) 23:46, 17. Jul. 2021 (CEST)

Vorweg: Alle obigen Aussagen sind korrekt. Aber die Abb. https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Angular_momentum_as_pseudo-vector.png zeigt eine Achsenspiegelung https://de.wikipedia.org/wiki/Spiegelung_%28Geometrie%29#Achsenspiegelung und keine Punktspiegelung https://de.wikipedia.org/wiki/Spiegelung_%28Geometrie%29#Punktspiegelung im Raum.

Auch die Bemerkung zur Relativität der Drehrichtung ist korrekt. Ohne eine gerichtete Drehachse ist es sinnlos von "im oder gegen den Uhrzeigersinn" zu reden. Also man muss die Drehehachse schon durch einen Ortsvektor darstellen und die Drehrichtung auf diesen Ortsvektor beziehen.

"Auch bei Feynman drehen sich beide Räder im gleichen Sinn"? Nein, das tun sie imho nicht. Der gespiegelte Ortsvektor der Drehachse zeigt in die entgegengesetzte Richtung. Denkt man sich jetzt die rechte Hand (Korkenzieherregel - die Finger in Drehrichtung gekrümmt) dazu und betrachtet das Ganze nun samt drehendem Rad und Hand im Spiegel. "Verflixt", wird man sagen: das ist nicht meine rechte Hand da im Spiegel, das ist meine linke! Aber wir müssen die Rechte-Hand-Regel anwenden. Und deshalb dreht es jetzt anders herum.

Warum in Wikipedia von Punktspiegelung im Raum (einer 3-fachen Ebenenspiegelung) die Rede ist anstatt von einer einfachen Spiegelung und dann irritierender Weise eine Achsenspiegelung abgebildet wird, erschließt sich mir nicht. Und das war der Ausgangspunkt meiner Bedenken. (nicht signierter Beitrag von 37.24.211.35 (Diskussion) 22:25, 21. Jul. 2021 (CEST))

Sorry, das war nicht richtig. Es dreht anders herum, weil der gespiegelte Ortsvektor jetzt anders herum zeigt. Und der Pseudovektor geht jetzt in die andere Richtung, weil die gespiegelte Hand (eine linke) durch die rechte Hand ersetzt werden muss. (nicht signierter Beitrag von 37.24.211.35 (Diskussion) 13:01, 23. Jul. 2021 (CEST))

Wie die Beschreibung auf der Abbildungsseite kundtut, handelt es sich um eine Punktspiegelung, welche für eine idealisierte zweidimensionale Scheibe den gleichen Effekt wie eine Achsenspiegelung hätte, womit die Debatte über die Art der Spiegelung überflüssig würde. "Auch bei Feynman drehen sich beide Räder im gleichen Sinn" bedeutet nach Definition einfach, dass die Drehmomentvektoren in die gleiche Richtung zeigen. Nur das Verhalten des Drehmomentvektors ist von Interesse. Von welchem Standpunkt aus betrachtet sich was im Uhrzeigersinn oder dagegen dreht, ist eine unnötige Komplikation.

Es ist für die Definition von axialen Vektoren ein nutzloses Gedankenexperiment, aber wenn wir den Beobachter mitspiegeln wollen, dann ist die gespiegelte rechte Hand aus der Sicht des gespiegelten Beobachters immer noch die rechte Hand. Damit kommt man selbst mit Korkenzieherregel bezüglich eines gespiegelten Ortsvektors der Drehachse zu dem Ergebnis, dass sich Feynman's Räder gleichsinnig drehen. --Theowoll (Diskussion) 16:53, 26. Jul. 2021 (CEST)

Wie kommen wir aus der Nummer heraus? Zu der Behauptung "Eine Punktspiegelung (im Raum) hätte unter bestimmten Umständen den gleichen Effekt wie eine Achsenspiegelung" sage ich ohne Kompromisse nein. Eine Punktspiegelung im Raum hat niemals denselben Effekt wie eine Achsenspiegelung im Raum, denn sie kehrt die Orientierung um. Eine Achsenspiegelung im Raum entspricht einer Drehung um die Achse und verändert die Orientierung nicht. Eine Achsenspiegelung im Raum verhält sich also, ähnlich wie eine Punktspiegelung in der Ebene. Und die nutzlose Komplikation besteht in der Ersetzung der einfachen Spiegelung (Feynman) durch eine Punktspiegelung im Raum (Wikipedia). Beides ist für das Problem vollständig korrekt. Denn beide Abbildungen kehren die Orientierung um. Aber am Ende passiert Murks, wenn aus der Punktspiegelung im Raum, dann eine Achsenspiegelung wird. Was dem Wikipediaautor offensichtlich nicht einleuchtet, ist die Tatsache, dass es bei der Diskussion nur um Orientierung geht und das es nicht damit getan ist zu sagen, die Drehrichtung sei relativ, weil man ja von oben oder unten auf die Scheibe sehen kann. Hoffentlich äußert dazu irgendwann ein Physiker. (nicht signierter Beitrag von 37.24.211.35 (Diskussion) 23:29, 27. Jul. 2021 (CEST))

Eine Punktspiegelung hat auf die abgebildete Scheibe den gleichen Effekt wie eine Achsenspiegelung, falls die Scheibe als idealisiertes zweidimensionales Objekt aufgefasst wird. Das ist einfache Geometrie, da gibt es nichts zu debattieren. Diese Aussage dient lediglich als mögliche Erklärung, warum jemand eine Punktspiegelung mit einer Achsenspiegelung verwechseln würde. Für die Definition von axialen Vektoren ist Wikipedias Bezug auf Punktspiegelung (nirgendwo ist von Achsenspiegelung die Rede) keine Komplikation, es ist aus gutem Grund die Standarddefinition in der Literatur, die garantiert auch von Feynman verwendet wird, wenn er nicht gerade eine didaktische Einführung gibt. Wenn man an Äußerungen von Physikern interessiert ist, kann man einfach mal ein Physikbuch aufschlagen, welches axiale Vektoren formal definiert. Tatsächlich ist es Feynmans Ebenenspiegelung, die zu Komplikationen führt, wenn man versucht eine vollständige Definition daraus zu machen, denn nur die zur Ebene senkrechte Komponente eines polaren Vektoren wird gespiegelt, die parallele Komponente bleibt unverändert. Für axiale Vektoren ist es genau andersherum. --Theowoll (Diskussion) 16:09, 28. Jul. 2021 (CEST)

Lass es, mir scheint, der/die IP trollt nur. DFTT. --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:27, 28. Jul. 2021 (CEST)

Solche Bemerkungen finde ich unverschämt. Ich bitte um einvernehmliche Löschung. Die Sache scheint hinreichend ausdiskutiert und ich danke meinem Diskussionspartner für die Mühe, die er sich gemacht hat. Es ist für mich nicht schlimm, dass es unterschiedliche Standpunkte gibt. Ich habe meinen Standpunkt begründet und ebenso mein Diskussionspartner seinen. Wir sind darin übereingekommen, dass wir wechselseitig anderer Ansicht sind. (nicht signierter Beitrag von 37.24.211.35 (Diskussion) 21:36, 30. Jul. 2021 (CEST))

Tensorsymbol?

Im Kapitel “Zusammenhang mit Tensoren” steht was von Raum mit Dimension 3 und 4. Geschrieben ist es als R³ - also in Fettdruck, wie Tensoren. Gibt es einen Grund, warum nicht ℝ³ verwendet wird? — Wassermaus (Diskussion) 08:35, 24. Apr. 2023 (CEST)

Die Zahlenmengen $\mathbb {R}$ usw. mit Fettdruck zu schreiben ist zwar nicht so häufig, aber auch nicht durchaus unüblich. Es ist die ursprüngliche Form, diese Mengen auszuzeichnen; aus der sich das inzwischen "Black Board Bold" entwickelt hat. Man sollte hier aber, wie sonst in der Wikipedia üblich $\mathbb {R}$ verwenden. --Digamma (Diskussion) 14:10, 25. Apr. 2023 (CEST)

Danke, ich hab's geändert. Man sollte ja nicht zwei grundverschiedene Dinge (Tensor, Menge) auf dieselbe Art kennzeichnen - zumal im selben Absatz. -- Wassermaus (Diskussion) 22:27, 25. Apr. 2023 (CEST)

Offtopic: In der Mathematik gibt so viele verschiedene Arten von Objekten, dass die Mathematiker es längst aufgegeben haben, die Objektart besonders zu kennzeichnen. Die Doppelstriche bei den Zahlenmengen dienen auch nicht dazu, sie als Mengen zu kennzeichnen, sondern um sie als Eigennamen für ganz bestimmte Mengen zu kennzeichnen. --Digamma (Diskussion) 22:34, 26. Apr. 2023 (CEST)

Für Vektoren ist zumindest im Physik-Bereich der Wikipedia die Schreibweise mit Vektorpfeil bevorzugt (${\vec {R}}$). Siehe Wikipedia:Richtlinien_Physik#Vektoren. ---<)kmk(>- (Diskussion) 22:47, 26. Apr. 2023 (CEST)