Diskussion:Lösung (Mathematik)

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Numerische und graphische Lösung

Graphische Lösung

Ich weiß nicht genau, ob ich hier richtig bin (hatte nur 03 Punkte in Mathe), aber fehlt nicht eine Aufteilung der Lösung in numerische und graphische Lösung?

des Audrucks $f(x)={\frac {1}{x}}$

• Ach ja, wie kann ich eigentlich den Text „des Audrucks ...“ genau unter das "Bild" setzen? Matt1971 ♫♪ 15:00, 3. Feb 2006 (CET)

So:[[Bild:GraphKehrwertfunktion.png|miniatur|Graphische Lösung des Ausdrucks {{center|1=<math>f(x)=\frac{1}{x}</math>}}]]? -- Leif Czerny 20:35, 15. Jul. 2012 (CEST) :

Graphische Lösung des Ausdrucks

$f(x)={\frac {1}{x}}$

Einleitungssatz

Die Einleitung ist noch etwas durcheinander und zäumt das Pferd von hinten auf. Vielleicht erst mal die formalisierten Aussagen mit variablen als beschreibung der Aufgabe einführen, dann die Lösung alsihre Erfüllung durch Belegung und Substitution erklären? Was meint ihr? LG -- Leif Czerny 20:35, 15. Jul. 2012 (CEST)

Textvorschlag:

statt

lies

Als Lösung bezeichnet man in der Mathematik ein Objekt, zum Beispiel eine Zahl oder Funktion, das eine gestellte Aufgabe erfüllt. Formal gesehen, sucht man nach einer (oder allen) Belegung(en) von Variablen (aus wohldefinierten Definitionsbereichen), so daß die zugehörige formalisierte Menge von Aussagen, welche die Aufgabe eindeutig beschreibt, alle logisch wahr sind. Diese Variablenbelegung nennt man dann Lösung. Alle solche "gesuchten" Belegungen definieren die Lösungsmenge der Aufgabe.

Als Lösung bezeichnet man in der Mathematik ein Objekt, zum Beispiel einzelne Tupel von Zahlen, eine Zahl oder eine Funktion, oder ganze Mengen solcher Objekte, die zur Beantwortung eines wohldefinierten mathematischen Problems oder einer mathematischen Aufgabe gesucht werden müssen. Betrachtetet man Aufgabe als eine Menge formalisierter Aussagen, die freie Variablen enthalten, so ist eine Lösung eine Belegung der Variablen durch Elemente aus einem wohldefinierten Definitionsbereich, die alle Aussagen zugleich erfüllt: Ersetzt man die freien Vorkommnisse der Variablen durch die in der Belegung zugewiesenen Werte, so müssen alle diese Aussagen zugleich wahr sein. Die Menge aller solcher Belegungen ist die Lösungsmenge der Aufgabe.

Liebe Grüße -- Leif Czerny 21:39, 15. Jul. 2012 (CEST)

Der erste Satz ist noch etwas zu umständlich. Als Alternativvorschlag:

Als Lösung bezeichnet man in der Mathematik ein mathematisches Objekt, zum Beispiel eine Zahl oder eine Funktion, das die Vorgaben eines wohldefinierten mathematischen Problems, zum Beispiel einer Gleichung oder einer Ungleichung, erfüllt.

Siehe dazu übrigens auch die Diskussion in der Mathematik-QS. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:58, 15. Jul. 2012 (CEST)

Vielen Dank für den Vorschlag! Ich wusste gar nicht, dass die Disk noch läuft und bin auf Aufforderung von user talk:Achim1999 hier aktiv geworden. "Erfüllt" würde ich gerne im zweiten Satz verwenden und daher im ersten lieber etwas anderes wählen. Auch wird ja eigentlich die Gleichung oder Ungleichung, und nur indirekt dieser Vorgabe erfüllt. Wie wäre Folgendes:

Als Lösung bezeichnet man in der Mathematik ein mathematisches Objekt, zum Beispiel eine Zahl oder eine Funktion, das den Vorgaben eines korrekt gestellten Problems genügt. Betrachtetet man Aufgabe als eine Menge formalisierter Aussagen, zum Beispiel von Gleichungen oder Ungleichungen, die freie Variablen enthalten, so ist eine Lösung eine Belegung der Variablen durch Elemente aus einem wohldefinierten Definitionsbereich, die alle Aussagen zugleich erfüllt: Ersetzt man die freien Vorkommnisse der Variablen durch die in der Belegung zugewiesenen Werte, so müssen alle diese Aussagen zugleich wahr sein. Die Menge aller solcher Belegungen ist die Lösungsmenge der Aufgabe.

Liebe Grüße -- Leif Czerny 22:18, 15. Jul. 2012 (CEST)

Besser, nur korrekt gestelltes Problem ist zu speziell. Eine Lösung muss nicht eindeutig sein, sie muss nur existieren. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:29, 15. Jul. 2012 (CEST)

war "wohldeinifiertes mathematisches Problem" so in Ordnung? Dann würde ich es bis auf weiteres gleich noch einmal rüberschieben. Liebe Grüße -- Leif Czerny 22:42, 15. Jul. 2012 (CEST)

Ja, ist in Ordnung. Und nicht vergessen, "Aufgabe" und "als" noch zu vertauschen ;-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:45, 15. Jul. 2012 (CEST)

Wird gemacht. Liebe Grüße -- Leif Czerny 23:17, 15. Jul. 2012 (CEST)

Editkommentar: in gängigen logiken kann man nicht variablen durch feste werte ersetzen

Was genau ist damit gemeint? Im gelöschtemn abschnit ging es ja nicht darum, alle Lösungen einzusetzen, sondern darum ja eine Variable durch einen Wert zu ersetzen, oder? -- Leif Czerny 09:46, 14. Sep. 2012 (CEST)

Ja, aber das gibt es etwa in der Prädikatenlogik, wie sie hier in alter Version zur Definition herangezogen worden war, nicht. Wenn ich $x$ durch $12345$ ersetze, ist das entweder so zu verstehen, dass $12345$ einfach wiederum eine Variable ist – das kann es wohl nicht sein, man müsste da schon auf Interpretationen eingehen –, oder das formale System legt schon ein $12345$ als Term fest, mit dem man dank gewisser Axiome auch etwas machen kann. In dem Fall dürfte man aber nicht von „erfüllt“ sprechen, sondern dann müsste die resultierende Formel bewiesen werden da man gar keine Interpretation zur Verfügung hat. --Chricho ¹ ² ³ 10:51, 14. Sep. 2012 (CEST)

mit ist nicht klar, ob du mit "$12345$" einen Individuennamen meinst oder eine Liste von Individuennamen. Eine PL-Formel mit ungebundenen Variablen ist doch garnicht wohlgeformt gar kein Satz? Und Erfüllbarkeit ist doch ein semantischer Begriff, kein syntaktischer? oder reden wir hier wieder aneinander vorbei?-- Leif Czerny 11:00, 14. Sep. 2012 (CEST)und 11:54, 14. Sep. 2012 (CEST)

Das Problem mit der Formulierung war, dass eben nicht klar war, was da jetzt Objekt- und was Metasprache ist. Wenn man etwas in eine Formel einsetzt, ist das eigentlich etwas rein syntaktisches, es sollte wieder eine Formel der Objektsprache rauskommen. Das „erfüllen“ dagegen ist ein semantischer Begriff. Man könnte das mit der Lösung verschieden auffassen (informell, ich setz jetzt objektsprachliches in Anführungszeichen):

• Sei $I$ eine Struktur mit einer Funktion und einer Konstante. Ein $c$ heißt genau dann Lösung der Gleichung „$f(x)=a$“, wenn $c$ Element des Universums von $I$ ist und $I$ ergänzt um die Zuordnung „x“↦c Modell von „$f(x)=a$“ ist.
• $I$ wie zuvor. $c$ heißt genau dann Lösung der Gleichung „$f(x)=a$“, wenn es Element des Universums von $I$ ist und I(„f“)(c)=I(„a“). (Das ist eine Art Ersetzung, allerdings wird dabei ein objektsprachlicher Satz durch einen metasprachlichen ersetzt)
• „c ist Lösung der Gleichung $f(x)=a$“ bedeutet nichts anderes als „$f(c)=a$“. (Lösung als objektsprachliche Umschreibung definiert, von Erfüllung kann nun keine Rede sein)

Ich hoffe, das ist deutlich. --Chricho ¹ ² ³ 11:28, 14. Sep. 2012 (CEST)

Das beantwortet meine Fragen eher indirekt, liefert aber doch eigentlich eine schöne Vorlage für eine Neufassung des getilgten Absatzes, oder? An sonsten verweise ich auch Prädikatenlogik_erster_Stufe#Substitutionen. Beginnt seltsamerweise mit "Häufig werden in der Mathematik Variablen durch Terme ersetzt.", das ist ja irgendwie unsinnig. -- Leif Czerny 11:50, 14. Sep. 2012 (CEST)

Geschlossene Lösung

Geschlossene Lösung linkt hier her, aber was ist denn die Definition einer Geschlossenen Lösung?--Sanandros (Diskussion) 21:27, 8. Mär. 2018 (CET)

Zitate

Was sollen diese langen Originalzitate hier? --Kulturkritik (Diskussion) 18:36, 12. Feb. 2022 (CET)

Das ist eine gute Frage. Meiner Meinung nach haben die hier nichts verloren. --Mathze (Diskussion) 21:12, 17. Dez. 2023 (CET)