Diskussion:Stetige Funktion/Archiv

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[[Diskussion:Stetige Funktion/Archiv#Thema 1]]

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https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Stetige_Funktion/Archiv#Thema_1

Verschiebung nach "Stetigkeit"

Soll diese Seite nach Stetigkeit verschoben werden? Der Zusatz "(Mathematik)" macht ohne Begriffsklärungsseite keinen Sinn und mir fallen keine weiteren Bedeutungen von Stetigkeit ein, die einen Wikipedia-Artikel verdienen. --Caramdir 20:02, 3. Okt 2003 (CEST)

Ich bin dafür. Mir fällt keine andere Bedeutung ein (übrigens auch nicht für den von mir unter überflüssig langem Namen erstellten Artikel Körpererweiterung (Mathematik)). Falls eine weitere Bedeutung auftaucht, kann man es wieder umbenennen. --SirJective 14:35, 4. Okt 2003 (CEST)

Ok, hab die zwei Artikel verschoben. --Caramdir 11:20, 11. Okt 2003 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 11:03, 24. Sep. 2012 (CEST)

Folgenkriterium

Soweit ich mich erinnern kann, gilt die Äquivalenz zwischen Folgenstetigkeit (das ist das was im Kriterium steht) und der Stetigkeit nur wenn ein paar Zusatzbedingungen erfüllt sind. Stefanwege 18:48, 7. Jul 2004 (CEST)

Üblicherweise gilt die Äquivalenz im metrischen Raum, man kann das noch etwas erweitern, aber kommt dabei auf Begrifflichkeiten, die kaum in einer Grundvorlesung zur Analysis behandelt werden. Es sollte ein Hinweis im Abschnitt über allgemeine topologische Räume rein.--LutzL 08:53, 13. Jun 2005 (CEST)

x_0 sollte aber schon aus dem Definitionsbereich gewählt werden, denke ich. (nicht signierter Beitrag von 141.51.166.78 (Diskussion | Beiträge) 16:34, 27. Nov. 2006 (CET))

Kann es sein, dass es bei dem Folgenkriterium ein genau, dann wenn sein muss oder ist es wirklich nur ein wenn dann? Denn sonst könnte man es auch für den Umkehrschluss nutzen und sagen, dass $f(x_{n})$ konvergiert, wenn $x_{n}$ konvergiert und $f$ stetig ist.

Mein Vorschlag: Die Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ ist stetig in $x_{0}\in D$ genau dann, wenn für jede Folge $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ mit Elementen $x_{k}\in D$, die gegen $x_{0}$ konvergiert, auch $f(x_{k})$ gegen $f(x_{0})$ konvergiert. --White gecko 12:36, 16. Feb. 2011 (CET)

Da steht doch im Artikel direkt darüber, dass es sich um zwei äquivalente Definitionen handelt. Bei einer Definition ist ein genau dann nicht erforderlich. --188.100.230.79 17:09, 16. Feb. 2011 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 11:12, 24. Sep. 2012 (CEST)

Folgt von Stetigkeit Lipschitzstetigkeit?

Hallo

Ich habe eine Funktion von R nach R^n und die Funk. ist einmal stetig diff-bar,d.h. gehört zu C^1. Ist dann die Funktion Lipschitzstetig? (nicht signierter Beitrag von 84.128.161.127 (Diskussion | Beiträge) 23:14, 13. Jul. 2004 (CEST))

Die Überschrift scheint mir eine andere Frage zu beinhalten, als die Frage "stetig diffb. => Lipschitz.stet.". Wenn die Abb. von einer abgeschlossenen Teilmenge von R nach R^n geht, dann bin ich mir ziemlich sicher, dass die Funktion dann auf diesem Intervall auch Lipschitz-stetig ist, da man einfach das supremum |f'(x)| als Lipschitz-Konstante wählen kann. Bei offenen Intervallen wäre ich da sehr vorsichtig, z.B. sqrt(x) auf (0,1) ist stetig diffbar, aber meines Wissens nicht Lipschitz-stetig. -- mkrohn 10:39, 14. Jul 2004 (CEST)

als ergaenzung: aus f stetig differenzierbar folgt f lokal Lipschitz-stetig. --seth 22:51, 12. Aug 2004 (CEST)

Inzwischen sind dazu unter dem Abschnitt Stetigkeit#Andere_Stetigkeitsbegriffe ja einige Beispiele. --Martin Thoma 11:14, 24. Sep. 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Martin Thoma 11:14, 24. Sep. 2012 (CEST)

Epsilon-Delta/Lipschitz

Ich bitte darum, nicht gleich einen eigenen Artikel zum "Epsilon-Delta-Kriterium" zu schreiben, sondern es in diesem Artikel zu erklären - immerhin ist es die üblichste Definition der Stetigkeit, die man auch in der Schule lernt usw.

Etwas kurzes zur Lipschitz-Stetigkeit wäre natürlich auch toll ;-)

--zeno 15:03, 2. Mai 2003 (CEST)

Lipschitz-Stetigkeit: erledigt… MikeTheGuru 18:50, 24. Mai 2004 (CEST)

Inzwischen unter Lipschitz-Stetigkeit. --Martin Thoma 11:02, 24. Sep. 2012 (CEST)

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Peano Satz

Die Existenzsätze für Anfangswertprobleme verwenden als wichtigsten Bestandteil die gleichgradige Stetigkeit und nicht die gleichmäige, deshalb hab ich das eingefügt. Kompaktheit ist hier das wichtig. Oder? Unyxos 18:05, 1. Sep 2004 (CEST)

sehr salopp gesprochen: der existenzsatz von peano benoetigt (auch in der lok. version) nur stetigkeit. (siehe z.b. google)

der eindeutigkeitssatz von picard-lindeloef benoetigt stetigkeit der funktion, und lipschitz-stetigkeit bzgl. der letzten variablen.--seth 22:40, 1. Sep 2004 (CEST)

Zu den Voraussetzungen o.k., der Beweis jedoch benutzt den Satz von Arzela-Ascoli (Grenzwert in einer Familei von Polygonzügen), so dass die gleichgradige Stetigkeit schon in diesem Zusammenhang auftaucht.--LutzL 10:58, 22. Aug 2005 (CEST)

Das ist doch wohl besser im Artikel Satz von Peano oder Satz von Picard-Lindelöf aufgehoben, oder?

Unter Stetigkeit#Andere_Stetigkeitsbegriffe werden sie inzwischen erwähnt. Ist das damit erledigt? --Martin Thoma 11:17, 24. Sep. 2012 (CEST)

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stetigkeit der umkehrfunktion

warum wird der def.bereich der im abschnitt "Stetigkeit der Umkehrfunktion" momentan genannten funktion so gross (und damit die vorschrift so kompliziert) gewaehlt, wenn doch eh bloss die (un)stetigkeit in 0 interessiert? und nur mal so interesse halber: wie lautet denn die vorschrift der umkehrfkt. von $f$ (in einer umgebung um 0)? --seth 01:16, 2. Mär 2005 (CET)

1. Hm, das war halt die erste Funktion, die mir so in den Sinn kam. Ein bisschen Abstand von der 0 braucht man für die Unstetigkeit, und mit kleinerem Definitionsbereich wäre die Funktion nicht einfacher.

2. Uh, also:

g(1/k) = 1/k, g(0) = 0. (Das war einfach.)

auf (1/2k, 1/(2k − 1)): g(x) = 1/x

auf (1/(2k + 1), 1/2k): g(x) = 1/(1/x − k).

Benutzer:SirJective hat dankenswerterweise auf Benutzer_Diskussion:Gunther Bilder des Funktionsgraphen eingestellt.--Gunther 02:04, 2. Mär 2005 (CET)

ahh, danke! ich bin ja soo doof. hatte die funktion falsch interpretiert (vielmehr falsch gelesen). jetzt hab ich die idee verstanden und finde sie auch ganz toll. die bilder allerdings gefallen mir nicht so gut, da die unstetigkeitsstellen verbunden sind. --seth 22:51, 2. Mär 2005 (CET)

Ist natuerlich ein Manko der Bilder, dass sie nicht zur "Stift-Definition" passen. Aber sie sagen trotzdem mehr als tausend Formeln...--Gunther 11:38, 3. Mär 2005 (CET)

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"Spezialfälle" der Stetigkeit

Ich finde das Wort "Spezialfall" ungünstig gewählt, ich stelle mir darunter Beispiele vor, wie der Stetigkeitsbegriff in speziellen Fällen aussieht, nicht einen stärkeren Begriff. Wie wäre es mit "Andere Stetigkeitsbegriffe"?--Gunther 10:51, 2. Mär 2005 (CET)

Verschärfung des Stetigkeitsbegriffes, oder einfach nur ein Verweis zur gleichmäßigen-, Lipschitz-,und alpha-Hölderstetigkeit. (nicht signierter Beitrag von 82.83.244.105 (Diskussion | Beiträge) 18:52, 3. Jan. 2006 (CET))

und ich schlage noch sonderfaelle oder sonderfaelle der stetigkeit vor, wobei dagegen wohl immer noch Gunthers einwand spricht, oder? --seth 23:03, 3. Jan 2006 (CET)

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Definition

Es mag ja sein, dass die vandalierte Definition korrekt ist, aber verständlich ist sie nicht. Zumindest die Quantoren sollte man ausschreiben.--Gunther 22:40, 14. Mai 2005 (CEST)

Hast recht, - bin aber dafür, dass die Definition an sich erhalten bleibt und ein (d.h. eine Funktion ist stetig...) bekommt. Tom1200 23:22, 14. Mai 2005 (CEST)

Ich glaube mit den zusätzlichen Punkten kann man es nun so stehen lassen. Die erste Definition ist recht elegant wenn man verstanden hat wie der Limes von Funktionen definiert ist; leider habe ich aber in der Wikipedia keine saubere Definition gefunden (nur über Folgen). Tom1200 16:54, 15. Mai 2005 (CEST)

Zitat:"Es sagt in Worten etwa: Die Funktion f ist in einem Punkt p stetig, wenn es zu jeder Umgebung V seines Bildpunktes f(p) eine Umgebung U von p gibt, die durch f ganz in die Umgebung V abgebildet wird."

Ist hier nicht die Stelle p gemeint? Falls nicht, wie habe ich mir die Umgebeung eines Punktes vorzustellen? Ein Kreis?--Yoshee 02:58, 15. Sep. 2008 (CEST)

Im einfachsten Fall reeller Funktionen ($f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$) ist "Umgebung" ein "Intervall". z.B. $y=f(x)=2x$, $p=1$, $f(p)=2$. Eine Umgebung V von 2 ist z.B. das (offene) Intervall (1,8; 2,2). Nun sucht man eine Umgebung U von 1, dessen Bild ganz in V hineinpasst, also etwa das Intervall (0,95; 1.05). Gilt $0,95\leq x\leq 1,05$, so gilt $1,9\leq 2x\leq 2,1$, das Bild (1,9; 2,1) liegt also ganz innerhalb von V=(1,8; 2,2). Alles klar? --NeoUrfahraner 09:33, 15. Sep. 2008 (CEST)

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globale stetigkeit

bei den aenderungen von Tom1200 (die ich im grossen und ganzen gut finde), bin ich auf ein paar ungereimtheiten gestossen. eine davon ist die lokale/globale stetigkeit. auf seite 6 des scriptums http://www.ruhr-uni-bochum.de/ffm/Lehrstuehle/Lehrstuhl-VII/daten/ana12002/skript/ana10602.pdf kann man recht schoen nachlesen, was lokal bedeutet. ich habe deswegen die /\blokal(e[rns]?)?/ wieder geloescht.
die definition der globalen stetigkeit von Tom1200:
"Ist die Funktion $f:D\to \mathbb {R}$ an jeder Stelle $x$ im Intervall $\rbrack a;b\lbrack \in D$ stetig, so heißt die Funktion $f$ in diesem (offenen) Intervall global stetig."
habe ich vorerst mal auskommentiert, da sie imho naeherer erlaeuterung bedarf. (ausserdem soll es wohl $(a,b)\subseteq D$ heissen und nicht "\in").--seth 14:07, 16. Mai 2005 (CEST)

Zustimmung: Man sollte von "stetig in einem Punkt" und "stetig" sprechen. Lokal/global ist hier nicht sinnvoll.--Gunther 14:20, 16. Mai 2005 (CEST)

Auch hier Zustimmung, - anscheinend zwei Quellen etwas durcheinandergebracht. Nur eine Frage - ist es bei der Intervallschreibweise nicht besser die ]a,b[ anstatt die englische mit () zu verwenden - ich glaube Schüler tun sich mit der ersteren leichter. Tom1200 15:01, 16. Mai 2005 (CEST)

Edit: Nein, doch nicht geirrt, seht sinngemäß in der Quelle mit offenen Intervall, da die "Endpunkte" jeweils nicht differenzierbar sind. Andere Frage: Ist bei Bijektivität 'streng monoton' nötig? (nicht signierter Beitrag von Tom1200 (Diskussion | Beiträge) 15:16, 16. Mai 2005 (CEST))

zur intervall-schreibweise: beide schreibweisen werden sowohl in schulen als auch an den unis und in der fachliteratur benutzt. imho ist egal, was man davon verwendet. ich persoenlich finde die ()-variante huebscher.

den ersten satz des edits habe ich nicht verstanden. zur frage: ja. die umkehrfunktion einer reellen funktion ist anschaulich nur eine spiegelung an der hauptdiagonalen (f(x)=x). beim spiegeln des grafen einer monotonen, aber nicht streng monotonen funktion wuerde man nicht den grafen einer funktion erhalten. (verstoss gegen rechtseindeutigkeit)--seth 15:39, 16. Mai 2005 (CEST)

Z.B. ist $f(x)=1$ monoton, aber nicht streng monoton.--Gunther 15:44, 16. Mai 2005 (CEST)

Danke, das ist jetzt absolut klar. Nochmal zu meinen, - das Bild einer Funktion im Intervall [a,b] ist nicht zu verwechseln mit dem vom Zwischenwertsatz gelieferten Intervall [f(a),f(b)] (ich weiß ich habe es schlechter formuliert). Aber wenn es stimmt, dass das die Bildmenge nicht mit der Intervallmenge überein stimmen muss und das wollte ich klar machen. Zum Edit: es bezieht sich auf "das sollte noch in einer diskussion erlaetern werden:...".

Nochmal zur Intervall Schreibweise mit den runden Klammern. Auf Unis ist das schon klar, aber in der Schule ist sicher nicht üblich. Habe jetzt ein paar Leute gefragt und die kennen diese Schreibweise nicht. Und ich bin ehrlich gesagt auch nicht sonderlich glücklich darüber, da man es schnell verwechseln kann (nicht signierter Beitrag von Tom1200 (Diskussion | Beiträge) 17:40, 16. Mai 2005 (CEST))

• [verwechslung von def.- und wertebereich]

imho muss das im artikel nicht noch naeher ausgefuehrt werden. es steht ja schon jetzt zwei mal das gleiche da. aber ich moechte mich auch nicht kategorisch gegen einen gut formulierten zusatz stellen.

• [globale stetigkeit]

sorry, ich hab's immer noch nicht verstanden.

• [intervall-schreibweise]

"ein paar leute" gefragt. nun ja, vielleicht zu wenig. ;-) wir hatten in der schule beide schreibweisen kennengelernt, da wir lehrer hatten, welche die ()-variante, aber auch welche, die die ][-variante bevorzugten. beide varianten haben ihre vor- und nachteile (runde klammern sind ueberladen z.b. mit vektoren- und skalarproduktschreibweise; die ][-variante dagegen kann ein fliessendes lesen stoeren, da wir es gewohnt sind, klammern syntaktisch anders(herum) im kopf zu verarbeiten). ich finde, dass man es einem mathematik-interessierten schueler, der eine der beiden schreibweise noch nie gesehen hat, zumuten kann, dass er sich z.b. via google oder Intervall_(Mathematik) ueber deren bedeutung informiert; das wort "intervall" steht ja sogar fast immer dabei.--seth 10:49, 17. Mai 2005 (CEST)

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Bild einer unstetigen Funktion

Das Bild in seiner gegenwärtigen Form ist missverständlich. Wenn der Funktionswert an der "Sprungstelle" nicht definiert ist (was nicht eindeutig zu erkennen ist), dann ist sie an dort weder stetig noch unstetig. Damit wäre die Funktion in ihrem ganzen Definitionsbereich stetig (!).

Sinnvoller wäre es daher, durch Zeichnen eines dicken Punkts einen Funktionswert für die "Sprungstelle" darzustellen. 80.81.1.219 18:24, 17. Mai 2005 (CEST)

oh, oh! ein dicker ausgefuellter kreis auf der einen seite und ein (unausgefuellter) kreisring oder eine pfeilspitze auf der anderen? oder lieber die intervallklammern )[ bzw. ]( oder doch besser [[ bzw. ]]? scnr!

aber spass beiseite. ich gebe dir recht, jemand der sich grundsaetzlich ueber stetigkeit informieren will, wird durch die momentane grafik nicht auf die abhaengigkeit des definitionsbereichs aufmerksam gemacht. aendere das ruhig.--seth 17:50, 18. Mai 2005 (CEST)

Wir hatten wimre in der Schule Quadrate und Kreuze.--Gunther 18:18, 18. Mai 2005 (CEST)

Ja lässt du mir wohl meine Intervallklammern [ und ] in Frieden, seth , da hört sich ja alles auf ;) lol . Tom1200 19:11, 22. Mai 2005 (CEST)

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doppelpunkte zwischen quantoren

eine frage zu der lesbarkeits-aenderung von Gunther habe ich allerdings noch: warum doppelpunkte hinter quantisierten variablen, wenn danach wieder ein quantor folgt? das macht man doch sonst/normalerweise nicht, oder? falsch ist es selbstverstaendlich nicht, aber eben meiner erfahrung nach unueblich. --seth 19:57, 21. Jun 2005 (CEST)

Das ist das erste Mal, dass ich von dieser Konvention höre. Ich hätte jetzt behauptet, dass es üblich ist, nach jedem Quantor einen Doppelpunkt zu machen, das finde ich auch recht gut lesbar. Aber ich mache keine Logik oder so, deshalb sehe ich Quantoren nicht auf Papier, sondern nur an der Tafel, und da gibt es ohnehin keine festen Regeln.--Gunther 20:38, 21. Jun 2005 (CEST)

Antwort: Beides richtig. Die Doppelpunkte dienen im Allgemeinen dazu die Lesbarkeit zu erhöhen. --Squizzz 21:50, 21. Jun 2005 (CEST)

ob es mit dem oder ohne den (wohlgemerkt redundanten) doppelpunkt besser lesbar ist, ist gewoehnungssache. gerade bei laengeren zeilen mit doppelpunkt muss dann z.b. eher umgebrochen werden.

in der logik bei den philosophen habe ich solche doppelpunkte noch nie gesehen. dafuer aber oft punkte (aehnlich wie bei den "alten" leuten wie wittgenstein) oder eben einfach nix.

in der informatik und mathematik habe ich bisher fast nur die schreibweise ohne trennzeichen (oder mit leerzeichen als trennzeichen) gesehen. selten auch mal mit punkt und gaaaanz selten auch mal mit doppelpunkt. interessanterweise habe ich aber noch nie jemanden gesehen, der die doppelpunkte an der tafel verwendet. vielleicht gibt es ja regionale unterschiede. logische dialekte, huaaa da laeuft's einem ja eiskalt den ruecken herunter. ;-) aber ok, solange die dialekte noch reibungslos und ohne nachdenken zu muessen ineinander konvertiert werden koennen, brauchen wir uns ja nicht darum zu kloppen.

dennoch interessiert es mich jetzt, ob es da nicht eine iso-norm oder sowas zu gibt. weiss da jemand was zu? --seth 23:33, 22. Jun 2005 (CEST)

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punktweise stetig

der begriff "punktweise stetigkeit" taucht nun ueberhaupt nicht mehr auf, wird aber in der mathematik auch verwendet. bin dafuer, die beiden loeschungen rueckgangig zu machen. (da Gunther aber sicher nicht willkuerlich rumgeloescht hat, frage ich hier vorher mal nach) --seth 22:53, 22. Jun 2005 (CEST)

Das war vorher dastand, war: "Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist, heißt (punktweise) stetig", und daraus wird überhaupt nicht klar, was "punktweise stetig" heißen soll. Das zweite "punktweise" schien mir versehentlich da hineingeraten. Ich würde die punktweise Stetigkeit einfach "stetig in x" nennen, deshalb sah ich keine Notwendigkeit, den Begriff wieder einzuführen.--Gunther 09:52, 23. Jun 2005 (CEST)

die abbildungseigenschaft "punktweise stetig" heisst nicht "stetig in einem punkt", sondern "stetig in jedem punkt". deswegen war das wort "punktweise" auch in klammern gesetzt, da es oft weggelassen wird. je nach herangehensweise wird stetigkeit mal so und mal so definiert, aber am besten ich gebe einfach eine quelle an: [1] (vor allem seite 11). --seth 17:23, 23. Jun 2005 (CEST)

Wenn ich das auf die Schnelle richtig sehe, ist aber "punktweise stetig" dort kein eigener Begriff, sondern schlicht die Kombination aus "punktweise" (= "in jedem Punkt") und "stetig (in einem Punkt)", also "stetig in jedem Punkt", und sobald man weiß, dass das dasselbe ist wie "stetig", genügt letzteres. Findet sich die Wortkombination "punktweise stetig" irgendwo außer in dem Absatz vor dem Beweis von Satz 2.6?--Gunther 17:34, 23. Jun 2005 (CEST)

Mir ist die Bezeichnung punktweise stetig nur in dem Kontext begegnet, dass die gwöhnliche Stetigkeit gegenüber der gleichmäßigen Stetigkeit abgegrenzt werden solle.--MKI 17:43, 23. Jun 2005 (CEST)

den link gab ich vor allem deswegen an, um zu zeigen, was "punktweise stetigkeit" ist und dass je nach herangehensweise nicht mal sofort klar ist, dass "stetigkeit" dasselbe ist wie "punktweise stetigkeit". dass "punktweise stetig" auch als eigenstaendiger begriff genutzt wird, wird z.b. durch dokumente wie [2] bestaetigt.--seth 19:54, 23. Jun 2005 (CEST)

Sorry, aber Du willst mir doch nicht ernsthaft eine Ausarbeitung eines Proseminarvortrages als Beleg anbieten?

Wenn "punktweise stetig" als Unterscheidung zu "gleichmäßig stetig" üblich ist, dann sollte man das auch genau so im Artikel oder vielleicht sogar besser in Gleichmäßige Stetigkeit schreiben.--Gunther 23:21, 23. Jun 2005 (CEST)

auch proseminare sind wissenschaftliche arbeiten und nicht automatisch nonsense. naja, jedenfalls steht ja jetzt der begriff "punktweise" wieder drin und das ist imho die hauptsache. denn wenn sich wer ueber "punktweise stetigkeit" informieren will und zu diesem zwecke den wikipedia-eintrag zu stetigkeit durchsucht, wird er fuendig.

jetzt koennte man allerdings noch darueber diskutieren, ob die momentane formulierung vielleicht missverstanden werden koennte. die menge der gleichmaessig stetigen funktionen und die menge der punktweise stetigen funktionen sind nicht disjunkt (sondern erste ist teilmenge der zweiten). diesen eindruck jedoch koennten begriffe wie "abgrenzen" oder "unterscheidung" vermitteln, oder denke ich da zu pedantisch?--seth 16:06, 25. Jun 2005 (CEST)

Typischerweise kennen sich Proseminarteilnehmer in der Verwendung mathematischer Begriffe nicht wirklich gut aus (vgl. "separabeler").

Ich befürchte keine Missverständnisse, das Verhältnis der beiden Begriffe zueinander wird ja gerade im vorhergehenden Satz beschrieben.--Gunther 16:16, 25. Jun 2005 (CEST)

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Zwischenwerte

Eigentlich sind der Satz von Weierstraß und der von Bolzano im Artikel überflüssig, da beides Spezialfälle des Zwischenwertsatzes sind. Abgesehen davon bezweifle ich, dass die Sätze überhaupt unbedingt so bekannt sind - unter diesen Namen. --Haize 11:43, 23. Jun 2005 (CEST)

Die Bezeichnung "Nullstellensatz von Bolzano" oder so kommt mir schon bekannt vor, aber ein großer Unterschied zum Zwischenwertsatz besteht in der Tat nicht, da reicht ein gemeinsamer Abschnitt.

Der Satz von Weierstraß ist kein Spezialfall des Zwischenwertsatzes. Zu dieser Aussage habe ich gerade in Extremwert den folgenden Satz eingefügt: "Diese Aussage folgt aus dem Satz von Heine-Borel, wird aber oft auch nach K. Weierstraß oder B. Bolzano benannt." Das könnte man hier natürlich einfach kopieren.--Gunther 11:52, 23. Jun 2005 (CEST)

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weblinks

bezueglich des weblinks [3] moechte ich auf die diskussion (aeh, sorry, dass ich es schon so nenne, obwohl es bisher eher ein monolog ist) Wikipedia_Diskussion:Weblinks/Archiv2#extremisten-seiten aufmerksam machen. --seth 00:05, 4. Jan 2006 (CET)

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Beispiele

Mir fehlen trennende Bespiele (eine Gegenüberstellung) für:

• nicht-reelle stetige Funktion
• nicht-reelle unstetige Funktion
• reelle stetige Funktion
• reelle unstetige Funktion

und sehe mich außer Stande. Gruß --Chrisqwq 18:10, 12. Jun 2006 (CEST)

Mir ist nicht klar, was Du willst. Meinst Du mit "nicht-reelle Funktion" einfach irgendetwas, das halt nicht $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ist? Meinetwegen kannst Du das Signum auf $\mathbb {Q}$ einschränken, genügt das schon? Oder soll es eine "sinnvolle" Funktion sein?--Gunther 18:13, 12. Jun 2006 (CEST)

achja, war das so: Alle stetigen Funktionen sind reell! ? Dann suche ich also nur beipsiele für die rellen unstetigen Fuktionen. Die fehlen im Artikel --Chrisqwq 18:31, 12. Jun 2006 (CEST)

Die Signumfunktion ist drin. Eine Funktion, die überall unstetig ist, ist irgendwie nicht besonders spannend. --P. Birken 18:53, 12. Jun 2006 (CEST)

@Chris: das klingt nach einem Missverständnis. Nein, nicht jede stetige Funktion ist reell (und auch keine andere der Implikationen wäre richtig). Mir leuchtet nur die Unterteilung in reelle und "nicht-reelle" Funktionen nicht ein.--Gunther 10:54, 13. Jun 2006 (CEST)

Richtig, ich dachte vieleicht noch an ein Beispiel aus der Schulmathematik, y=1/x ? --Chrisqwq 19:01, 12. Jun 2006 (CEST)

Die ist doch als Beispiel angegeben? --P. Birken 19:42, 12. Jun 2006 (CEST)

Wir sollten uns auf reelle Funktionen beschränken. Ansonsten wäre die Funktion von {a,b,c} auf {x,y,z} versehen jeweils mit der diskreten Topologie, egal wie sie aussieht stetig, weil jede Funktion zweier diskreten Topologien stetig ist. Es reicht sogar, dass die Urbildmenge mit der diskreten Topologie versehen ist. Aber das ist wohl nicht das was wir wollen. Ansonsten habe ich weiter oben schon einige interessante Beispiele angegeben:

• $1_{\mathbb {Q} }(x):={\begin{cases}1&falls\;x\in \mathbb {Q} \\0&sonst\end{cases}}$ Ist an keiner Stelle stetig
• $f(x):={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&falls\;x={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} \setminus \{0\},\operatorname {ggT} (p,q)=1\\0&sonst\end{cases}}$ Ist an allen rationalen Stellen außer 0, unstetig, sonst überall stetig
• $g(x):={\begin{cases}x\sin({\frac {1}{x}})&falls\;x\neq 0\\0&sonst\end{cases}}$ ist überall stetig, auch in der 0, läßt sich aber in der Umgebung der 0 nicht mehr zeichnen, da es undendlich viele "Schwankungen" gibt
• $h(x):={\begin{cases}\sin({\frac {1}{x}})&falls\;x\neq 0\\C&sonst\end{cases}}$ ist stetig, bis auf die 0. Egal, wie C gesetzt wird, die Stelle ist nicht stetig zu machen.

@P.Birken: Richtig, die beiden oberen Funktionen sind für nichts nütze und weiter nicht zu gebrauchen. Aber sie zeigen auf, dass es auch Funktionen gibt, die nirgends stetig sind. Weiter oben haben ich dargelegt, dass sogar die meisten Funktionen so sind und dass sie überhaupt nicht definierbar sind. Als Beispiele taugen sie durchaus, wenn sie auch nicht so Omatauglich sind wie die Signumfunktion. Aber die will ja auch niemand aus den Beispielen streichen. @Gunther: Stimmt, das Verhalten der Funktion h(x) in der Umgebung der 0, kann man nicht als springen bezeichnen. Es gibt halt Funktionen, die man nicht mit einem Bleistift zeichnen kann, und deshalb, und nur deshalb, stimmt die naive Definiton nicht. --Schnitte 11:56, 22. Aug 2006 (CEST)

Also ich fände es gut, wenn die vier Beispiele in den Hauptartikel übernommen würden.--Vanda1 14:47, 11. Feb. 2008 (CET)

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Beweis "Äquivalenz der Stetigkeitsbegriffe"

ich finde die Äquivalenz der Stetigkeitsbegriffe würde hier noch schön dazu passen. Oder ist das zu offensichtlich? Wenn jemand mag kann er's ja schreiben :-) (nicht signierter Beitrag von 88.66.54.163 (Diskussion | Beiträge) 22:03, 3. Okt. 2007 (CEST))

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1/x

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Stetigkeit&diff=40901157&oldid=39321531 Die Behauptung in Schul-Formelsammlungen, die reelle Kehrwert-Funktion $f:x\mapsto 1/x$ sei im Punkt $x=0$ unstetig, ist falsch, da sie bei $x=0$ gar nicht definiert ist. Welche Schul-Formelsammlung behauptet das? --NeoUrfahraner 10:32, 8. Jan. 2008 (CET)

Und noch was: Das gilt ebenso für die stetige Funktion $f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x\mapsto 1/x^{2}$; nicht einmal durch $f(0):=\infty$ könnte diese so auf ganz $\mathbb {R}$ ausgeweitet werden, dass sie noch stetig, d.h. auch im Punkt $x=0$ des erweiterten Definitionsbereichs $\mathbb {R}$ stetig ist.. Also wenn man die erweiterten reellen Zahlen ${\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ als Bildmenge betrachtet, dann muss man wohl auf den topologischen Stetigkeitsbegriff übergehen, und im Sinne der üblichen Topologie der erweiterten reellen Zahlen ist dieses Beispiel sehr wohl stetig. --NeoUrfahraner 11:00, 8. Jan. 2008 (CET)

Ich hab's jetzt auf den unstrittigen Teil gekürzt. --NeoUrfahraner 14:45, 8. Jan. 2008 (CET)

In 1.1.4 ("Stetige Ergänzbarkeit") steht noch immer, dass f(x)=1/x an der Stelle x=0 "unstetig" sei ... --178.192.210.22 14:11, 9. Apr. 2013 (CEST)

Hi, dies ist Wikipedia. Solche wohlbegründbaren Probleme darf man auch selbst sofort beheben. Sollte jetzt besser aussehen.--LutzL (Diskussion) 17:12, 9. Apr. 2013 (CEST)

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Fehler in der Folgendefinition

Bei der Definition der Stetigkeit mit Folgen ist ein grober Fehler. Es fehlt der Zusatz, dass 2) für alle Folgen x_n auf D gelten muss. Sonst kann man z.B. mit dieser Definition ganz Leicht die Stetigkeit der Heavyside Fkt zeigen.. (nicht signierter Beitrag von 89.48.233.38 (Diskussion | Beiträge) 08:44, 19. Mai 2008 (CEST))

Danke für den Hinweis, ich habs korrigiert. --P. Birken 09:15, 19. Mai 2008 (CEST)

Hm, das gefällt mir so nicht. Es war vorher richtig. Es geht um den Grenzwert: $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$. Bei dieser Notation muss man nicht explizit betonnen, dass alle Folgen konvergieren müssen. Wenn man in der Folgenterminologie bleiben möchte, dann wäre die Notation für alle $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }:\ x_{n}\rightarrow x_{0}$ angebracht. Welche Variante gefällt euch besser? --Alexandar.R. 09:42, 19. Mai 2008 (CEST)

Man sollte vielleicht die Erläuterung noch ausführlicher machen, als sie jetzt nach meiner Änderung ist.--LutzL 10:00, 19. Mai 2008 (CEST)

Ist nicht sogar $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ eine allgemeine symbolische Notation für "Stetigkeit im Punkt $x_{0}$", die dann mittels eps-delta oder Folgen erklärt wird?--LutzL 10:08, 19. Mai 2008 (CEST)

Ja. Grenzwert (Funktion) und Stetigkeit sind eng miteinander verwandt. Ich habe es nochmals umformuliert, vielleicht wird's jetzt klarer. --NeoUrfahraner 21:50, 19. Mai 2008 (CEST)

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Beispiel aus dem Alltag

Abb. 1: Brutto- und Nettoinlandsprodukt in der Bundesrepublik Deutschland von 1970 bis 2007 (bis 1991 nur Westdeutschland, Angaben in Milliarden Euro)

Könnte man folgendes Bild als Beispiel aus dem Alltag anführen?
Ich finde, so wäre es für komplette Laien noch anschaulicher, weil klar ist, warum der Sprung drin ist.
-- Dominick Funk 12:12, 24. Mär. 2009 (CET)

Ich halte das Beispiel für etwas problematisch, weil der Plot vermutlich falsch ist:

1. Woher stammen die Daten? (Ja, Statistisches Bundesamt, aber woher genau? Das kann jeder behaupten und ist so unnötig schwer zu überprüfen)

2. (und wichtiger) Das BIP wird doch nur jährlich gemessen, oder? Dann dürfen da gar keine durchgezogenen Linien sein.

Grüße, --Martin Thoma 11:22, 24. Sep. 2012 (CEST)

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(-2)^z

Dass (-2)^z stetig sein soll, leuchtet mir nicht ein. z.B. (-2)^(1/4) ist komplex, dagegen (-2)^(1/5) reell, allgemeiner, wenn (-2)^(n/m) reell ist, dann ist (-2)^(n/(m+1)) komplex (wenn n ungerade), d.h. man sollte doch zu jedem reellen Wert einen komplexen finden können, für den das Argument beliebig nah dran liegt oder habe ich da was falsch verstanden? Bitte um Aufklärung! Nulli 19:03, 4. Jan. 2010 (CET)

Liegt es vielleicht daran, dass ich 1/4 auch als 2/8 schreiben kann und dann wäre das Ergebnis reell? Nulli 19:21, 4. Jan. 2010 (CET)

Es ist ja kein Widerspruch zur Stetigkeit, wenn es zu jedem Argument mit reellem Funktionswert eine dagegen konvergente Folge von Argumenten mit nichtreellem Funktionswert gibt. Man kann zu jeder reellen Zahl b eine gegen sie konvergente nichtreelle Folge finden, z.B. b+i/n.

Dein Verständnisproblem geht allerdings m.E. noch weiter. Die Exponentialfunktion im Komplexen ist nicht eindeutig definiert, so dass man nicht im üblichen Sinn von Stetigkeit reden kann. Man definiert dort nämlich a^z=e^{z log(a)}. Der Logarithmus ist aber nur bis auf Vielfache von 2 pi i eindeutig, so dass die Exponentialfunktion nur für ganze z stets eindeutig definiert ist. Wenn man den Logarithmus doch eindeutig machen will, nimmt man den Hauptwert Log(a), d.h. denjenigen Wert, dessen Argument einen Imaginärteil in [0,2pi) hat (also Log(-2)=ln(2)+i pi). Dann ist (-2)^z=e^{z(ln(2)+i pi)} stetig als Komposition stetiger Funktionen.--Grip99 07:58, 5. Jan. 2010 (CET)

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"Die Stetigkeit ist ein Konzept der Mathematik" - Wie bitte?????

Die Stetigkeit ist ein Konzept der Mathematik? Wer hat denn diesen Unfug hier verfasst???

Es ist nicht zu fassen, auf welchem bodenlosen Wissenniveau dieser "Artikel" steht. Dieser Artikel ist nicht nur falsch, er lässt auch mindestens die Hälfte weg. Unglaublich! --79.212.188.157 03:13, 8. Jul. 2010 (CEST)

Konzept ist evtl. aus dem Englischen herübergerutscht und sollte besser Begriff heißen. Konzept wird im Deutschen eher im Sinne von Entwurf benutzt. Bitte lösche den Rest Deines Diskussionsbeitrages oder unterfüttere Deine Beleidigungen mit konkreten Fehlern bzw. Auslassungen des Artikels.--LutzL 11:53, 8. Jul. 2010 (CEST)

Falls der Autor des Diskussionsbeitrags darauf hinweisen will, dass "Stetigkeit" auch Außerhalb der Mathematik verwendet wird: Ich habe mal einen BKH mit einem Verweis auf Kontinuität angebracht. -- Digamma 13:23, 8. Jul. 2010 (CEST)

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"Stetige Ergänzung"

Ich kenne den Sachverhalt nur unter der Bezeichnungen "stetige Fortsetzung". So steht es z.B. bei Querenburg und bei Barner; Flohr Analysis I. --Digamma (Diskussion) 15:58, 15. Apr. 2012 (CEST)

Mir kommt "stetige Fortsetzbarkeit" auch gebräuchlicher vor. Das mit dem roten Buchstaben halte ich für gut gemeint, aber ungewöhnlich. Natürlich identifiziert man gelegentlich verschiedene Funktionen, z.B. wenn sie sich nur auf einer Menge vom Maß 0 unterscheiden. Aber im Zusammenhang mit der Definition der Fortsetzbarkeit schreibt man es normalerweise schon sauber auf (so z.B. auch die englischsprachigen Kollegen). Den Satz mit der Regel von de L'Hôpital würde ich rausnehmen, der ist m.E. POV. --Grip99 00:31, 16. Apr. 2012 (CEST)

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Sprünge in stetigen Funktionen

Gleich zu Beginn des Artikels wird darauf aufmerksam gemacht, dass Stetigkeit "insbesondere heißt, dass in den Funktionswerten keine Sprünge auftreten". Es gibt aber stetige Funktionen, die Sprünge aufweisen.
Beispiel:
f: Q -> R, f(x) = 1 (falls x > wurzel von 2), f(x) = 0 (sonst)
Dann kann man sich jeder reellen Zahl von beiden Seiten so nah nähern, dass die Näherung den selben Funktionswert hat. Nach Definition der Stetigkeit ist die Funktion dann stetig
lim x -> x0 f(x) = f(x0)
Diese Funktion hatte in der Mathevorlesung eine Diskussion ausgelöst. Die Lösung stammt mündlich von Prof. Dr. Rudolph (nicht signierter Beitrag von Ede1992 (Diskussion | Beiträge) 15:36, 2. Aug. 2012 (CEST))

Hi, diese Funktion ist eine oft gebrauchte Übungsaufgabe. Die Sprungstelle gehört gar nicht zum Definitionsbereich, genausogut könnte man die Signumfunktion auf IR/{0} betrachten, diese ist auch auf ihrem Definitionsbereich stetig. In der Einleitung/Motivation wird aber von Funktionen ausgegangen, die auf ganz IR oder einem Intervall darin definiert sind.--LutzL (Diskussion) 15:48, 2. Aug. 2012 (CEST) == PS: erstens wird auf genau diese Problematik im ersten Abschnitt direkt nach der Einleitung eingegangen, und zweitens kann man das "weist in den Funktionswerten keine Sprünge auf" auf die "hinreichend kleine Umgebung" im vorherigen Satz beziehen, damit wird dann diese kondensierte Version auch mathematisch ausreichend korrekt.--LutzL (Diskussion) 15:53, 2. Aug. 2012 (CEST)

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Bilder

Hallo zusammen,

ich habe gerade mal wieder ein Bild mit LaTeX erstellt, das in diesen Artikel passen könnte:

Ich weiß gerade nicht, wo das im Artikel gut passen würde. Falls ihr Verbesserungsvorschläge habt, sind diese wie immer willkommen.

Ach ja: Ihr könnt mir übrigens auch Bildwünsche schreiben: Benutzer:MartinThoma/Visualisierungen Vielleicht sollte ich das im Portal:Mathematik nochmals bekanntgeben.

Grüße, --Martin Thoma 10:19, 24. Sep. 2012 (CEST)

Das Bild gefällt mir. Leider finde ich im Artikel keinen Abschnitt, wo es passen könnte.

--Digamma (Diskussion) 16:50, 24. Sep. 2012 (CEST)

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Komponentenweise Stetigkeit

Unter "Wichtige Sätze über stetige Funktionen" wäre interessant, wann/ wie von komponentenweiser Stetigkeit auf Stetigkeit geschlossen werden kann. --Van Tuile (Diskussion) 11:35, 7. Jan. 2013 (CET)

Das steht jetzt bei Stetige Funktion#Stetigkeit für Funktionen mehrerer Variablen.—Godung Gwahag (Diskussion) 07:08, 31. Mär. 2019 (CEST)

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Stift-Beispiel

Die Idee der Stetigkeit kann wie folgt beschrieben werden: ... wenn der Graph der Funktion f ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Also ich habe dieses Beispiel noch nie gehört und streng genommen ist es zudem auch einfach irreführend. Als einfaches Beispiel f(x)=1/x, diese ist in 0 nicht unstetig, sondern nicht definiert, was im weiteren Text des Artikels ja auch erläutert wird. Die alltägliche Vorstellung von Stetigkeit stimmt mit der mathematischen halt nicht überein, das Stift-Beispiel sorgt meiner Meinung nach nur für mehr Verwirrung. Oder nicht? --91.7.207.44 23:33, 9. Nov. 2013 (CET)

Siehe oben, Diskussionen von April 2010 und Juni 2005. Das mit dem Stift funktioniert nur, genaugenommen, für Lipschitz-stetige Funktionen über einem Intervall. Es ist halt die einfachste, naive Anschauung, die auch eine intuitive Rechtfertigung des Zwischenwertsatzes liefert. Technische Spitzfindigkeiten gehören zur exakten, formalen Definition.--LutzL (Diskussion) 11:01, 10. Nov. 2013 (CET)

Und nach Kontrolle im Artikel steht und stand auch genau das da: Eine Funktion über einem Intervall, was Definitionslücken in diesem Intervall ausschließt.--LutzL (Diskussion) 11:04, 10. Nov. 2013 (CET)

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Einschränkung von Epsilon in Epsilon-Delta-Kriterium

Ich weiß nicht, ob das Epsilon-Delta-Kriterium die optimale Wahl für die Stetigkeitsbestimmung ist, jedoch ist es mir ein Dorn im Auge, dass man dieses für alle Epsilon beweisen muss, und nicht nur für alle α ≥ ε > 0 bzw. α > ε > 0 (wobei α>0 frei wählbar ist)

Aus mathematischer Sicht wäre das derart abgeschwächte Epsilon-Delta ja immer noch äquivalent zum normalen Epsilon-Delta. (nicht signierter Beitrag von 132.187.253.33 (Diskussion) 00:42, 26. Okt. 2016 (CEST))

Nun ja, da die beiden Versionen äquivalent sind, reicht es natürlich die anscheinend schwächere Version zu beweisen. Was gegen die "abgeschwächte" Version spricht, ist, dass ihre Formulierung komplizierter ist. --Digamma (Diskussion) 15:51, 26. Okt. 2016 (CEST)

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Wenn die Anschauung die Definitionen ersetzt, wirds falsch.

Der Ansatz, mit der Anschauung zu beginnen, ist an sich ja gut. Ersetzt man aber Definitionen durch die Anschauung, dann kommen Aussagen heraus, die bestenfalls nur einen Teil der Fälle abdecken und schlechtestenfalls falsch sind:

• Stetige Funktionen haben eine zusammenhängende Kurve als Graphen. Das dürfte auf einem abgeschlossenen Intervall richtig sein, ist aber insofern nicht so anschaulich, wie es klingt, als der Begriff einer zusammenhängenden Kurve auch definiert sein will, und die Definition ist deutlich schwieriger als die einer stetigen Funktion.
• Ihr Graph lässt sich ohne abzusetzen zeichnen. Zeichnen lassen sich aber nur rektifizierbare Kurven, sonst wird unendlich viel Bleistift verbraucht. Nicht jede stetige Funktion ist rektifizierbar.
• Der Graph verläuft an keiner x-Position absolut parallel zur y-Achse. Die dritte Wurzel ist ein Gegenbeispiel: sie verläuft bei x=0 absolut parallel zur y-Achse, die dort Tangente ist. Gemeint ist: an keiner x-Position ist ein Stück einer Länge >0 parallel zur y-Achse. Das hat aber mit Stetigkeit gar nichts zu tun: verliefe ein Stück parallel, so schlachtet das nicht nur die Stetigkeit, sondern auch die Eigenschaft, überhaupt eine Funktion zu sein (wird auch kurz darauf so erklärt).

Alle anschaulichen Erklärungen, die Unstetigkeitsstellen mit Sprüngen und Nicht-Differenzierbarkeitsstellen mit Knicken assoziieren, machen nur Sinn, wenn diese Stellen isoliert liegen, d.h. dass es in jedem Intervall nur endlich viele von ihnen gibt. Wenn die Sprünge aber dicht liegen, sieht man sie nicht mehr.

Die Definition unmittelbar unter der Überschrift „Stetigkeit einer Funktion“ ist Quatsch, selbst wenn sie so in den angeführten Büchern stehen sollte. Wenn x=a, dann ist für jede Funktion f(x) genau dann definiert, wenn f(a) definiert ist, und falls ja, ist f(x)=f(a). Also ist jede Funktion dort undefiniert oder stetig – das kanns nicht sein. Ein Grenzwert, von dem die Rede ist, kommt ja in der Definition überhaupt nicht vor.

Und nein, die „meisten“ Funktionen sind nicht stetig, wieso sollten sie? Die meisten Funktionen, die man als arithmetische Ausdrücke mit den Grundrechenarten, dem Absolutbetrag und den (meist fast überall stetigen) elementaren Funktionen zusammenbasteln kann, werden mindestens stückweise stetig sein, klar. Aber das sind nicht die meisten Funktionen. Hier hat vielleicht wieder die Anschauung einen Streich gespielt, indem als Funktion nur anerkannt wird, wovon sich der Graph zeichnen lässt und wofür es eine geschlossene Formel gibt. --Lantani (Diskussion) 23:45, 7. Mär. 2019 (CET)

Zu ergänzen wäre noch: Sprungstellen sind nicht die einzigen Arten von Unstetigkeitsstellen. --Digamma (Diskussion) 14:51, 11. Mär. 2019 (CET)

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Naive Definition

Gegenbeispiel

Ich habe das Gegenbeispiel (1/x) gegen die naive Definition entfernt, da es ihr nicht wiedersprach. Man muss zwar den Stift absetzten aber nicht innerhalb des Definitionsbereiches. Kennt jemand ein wirkliches Gegenbeispiel? Ich vermute nämlich das es keins gibt. Stefanwege 15:19, 18. Jun 2004 (CEST)

Ein Gegenbeispiel wäre $f(x)=x\sin({\frac {1}{x}})$ da kann man um den Punkt 0 überhaupt nichts mehr zeichnen, da die Amplitude der Schwingung zwar immer kleiner, aber die Frequenz immer größer wird. Trotzdem ist f(x) auch im Punkt 0 stetig. Ganz im Gegensatz übrigens zu der Funktion $\sin({\frac {1}{x}})$ die sich im Punkt 0 nicht stetig fortsetzen läßt, da es zu jeder Zahl aus [-1,1] eine Nullfolge $a_{n}$ gibt, bei der $\sin({\frac {1}{a_{n}}})$ gegen diese Zahl konvergiert. --Schnitte 11:15, 24. Okt 2004 (CEST)

bei der "naiven definition" ist der definitionsbereich ein intervall, also zusammenhaengend. stetige funktionen duerfen aber auch zerstueckelte definitionsbereiche besitzen, z.b.

$f:(0,1)\cup (2,3)\rightarrow \mathbb {R} ,~x\mapsto x$ ist stetig, man kann aber nicht den graphen zeichnen, ohne den stift abzusetzen. --seth 21:54, 12. Aug 2004 (CEST)

Irgendwie überzeugt mich das Gegenbeispiel nicht - du kannst doch das intervall [1 2] mit Klebeband abpicken :-). Ich bin übrigens gar nicht der Meinung, dass die naive Definition so schlecht wegkommen soll. Versuch mal der Oma von nebenan die epsilon-delta stetikeit zu erklären. Unyxos 01:06, 13. Aug 2004 (CEST)

angenommen, die oma von nebenan hat keine ahnung von mathe. soll dann wirklich, bloss weil sie das nicht versteht, die mathematik ueber den haufen geschmissen werden? imho nein.

die "naive" def. trifft nun mal nur zu, wenn der definitionsbereich ein intervall (bzw. allgemein: zusammenhaengend) ist. und die funktionen, die nicht-zusammenhaengende definitionsbereiche besitzen, sind viel mehr ;-)

nichtsdestotrotz wird ja im artikel die "naive" def. als erste gegeben. und der zusatz, dass sie nicht exakt ist, darf nicht geloescht werden. so wie es ist find ich es ok. --seth 10:08, 13. Aug 2004 (CEST)

Naive Definition: Abschnitt ersetzen

Ich schlage vor, diesen Abschnitt zu ersetzen durch:

Anschaulich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn der Graph der Funktion auf ihrem Definitionsbereich ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann, also keine Sprünge in den Funktionswerten auftreten. Die mathematische Präzisierung dieser "Definition" ist jedoch bestenfalls tautologisch (eine Funktion auf einem Intervall ist genau dann stetig, wenn ihr Graph wegzusammenhängend ist).

Oder kann mir jemand erklären, was das mit Lipschitzstetigkeit zu tun hat?--Gunther 19:41, 12. Jun 2005 (CEST)

Ich finde, dass in dem Abschnitt auf jeden Fall darauf hingewiesen werden sollte, dass die naive Definition zwar anschaulich ist aber nicht als Merksatz hinhalten sollte, weil es bei dem Begriff der Stetigkeit nicht wirklich um den Graphen geht. (nicht signierter Beitrag von Haize (Diskussion | Beiträge) 20:13, 12. Jun. 2005 (CEST))

Das verstehe ich nicht. Was meinst Du damit?--Gunther 20:23, 12. Jun 2005 (CEST)

Dass diese "Definition" nicht gleichbedeutend mit dem Begriff der Stetigkeit ist. Schließlich ist n->n^2 (n aus den natürlichen Zahlen) auch stetig und bei der Funktion kann man keine zwei Punkte verbinden. Und jemand, der wissen will was Stetigkeit bedeutet (z.B. im Mathestudium), könnte so etwas durcheinander geraten... Haize 23:09, 12. Jun 2005 (CEST)

Ok, ersetze "Funktion" durch "reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall".--Gunther 23:24, 12. Jun 2005 (CEST)

Hi, der Zusatz kam, weil diese naive Definition allenfalls eine naive Definition für lokal Lipschitz-stetig ist. Man versuche, den unendlich werdenden Anstieg der Quadratwurzelfunktion mit Papier und Bleistift so zu skizzieren, dass das gezeichnete im weitesten Sinne noch eine Funktion ist, d.h. mit etwas gutem Willen Eineindeutigkeit auszumachen ist. Und dieses ist nur ein Beispiel für Hölder-Stetigkeit mit Index 0.5 in einem Punkt. Nun versuche man, eine Funktion, die auf einen globalen Hölder-Index 0.1 aufweist, mit welchen Mitteln auch immer, einigermaßen treu und wegzusammenhängend zu skizzieren.--LutzL 09:06, 13. Jun 2005 (CEST)

Hm, also mit dicken Stiften würde ich nicht zeichnen. Mit meinem unendlich dünnen Stift kann ich alles zeichnen, das ein Weg ist :-) --Gunther 09:13, 13. Jun 2005 (CEST)

Dann solltest Du aber auch unendlich viel Tinte/Mine haben und eine unendlich große Zeichengeschwindigkeit, derart fraktale Kurven pflegen keine endliche Weglänge zu haben.;-)LutzL 13:23, 13. Jun 2005 (CEST)

Naja, ich weiß nicht, ob man es unbedingt so genau nehmen muss... Letztendlich gehts ja nur um die Frage, ob der aus der Hand gezeichnete Graph einer Funktion halt _ungefähr_ der Realität entspricht und diese somit (meistens) stetig ist. Ich erinnere auch an die Fkt. f(x)=sin(1/x),D(f)=R\{0}... --Haize 15:00, 15. Jun 2005 (CEST)

Ich habe den entsprechenden Absatz aus dem Artikel genommen, das ist doch eher eine Spielerei.--Gunther 00:48, 21. Jun 2005 (CEST)

Ich bin nun auch einmal über die naive Definition darübergegangen und habe manches verändert:

• Die Definition habe ich von vornherein auf Funktionen mit dem Definitionsbereich eines reellen Intervalls eingeschränkt. Es erschien mir etwas umständlich, zuerst nicht über den Definitionsbereich zu sprechen und dann die nicht-zusammenhängenden wieder auszunehmen.
• Den Nachsatz also keine Sprünge in den Funktionswerten auftreten habe ich weggenommen, da es streng genommen nicht genau das selbe ist wie ohne Absetzen in einem Zug zeichnen. Ein mögliches Gegenbeispiel steht schon weiter oben auf dieser Diskussionsseite, es ist die Funktion f(x)=1/x*sin(1/x) auf IR\{0} und f(0)=0, welche im Nullpunkt zwar stetig ist und dort auch keine Sprünge in den Funktionswerten hat, die aber im Nullpunkt nicht gezeichnet werden kann, und damit insbesondere auch nicht in nur einem Zug. Weitere Gegenbeispiele liefern überall stetige, aber nirgends differenzierbare Funktionen.

Ich hoffe die Änderung passt.--MKI 03:34, 12:03, 21. Jun 2005 (CEST)

Ich habe die Sprungstellen wieder rein, da diese Erklärung im Mathematikunterricht (zumindest bei mir und einigen meiner Bekannten) zur Erklärung verwendet wurde. Sprachlich wurde der Satz von mir dahingehend verfeinert, dass die Sprungstelle keine notwendige Bedingung ist. (nicht signierter Beitrag von Squizzz (Diskussion | Beiträge) 08:00, 21. Jun. 2005 (CEST))

Ich habe den zweiten Absatz wieder zurückgesetzt, weil Funktionen mit unzusammenhängendem Definitionsbereich häufig vorkommen (1/x) und die Definition für Funktionen auf Intervallen präzise ist, wenn man die "richtige" Präzisierung verwendet, siehe oben. Genau die Fragen, ob ein Stift nun nur rektifizierbare Kurven zeichnen kann usw., würde ich aber nicht berühren wollen.--Gunther 08:17, 21. Jun 2005 (CEST)

Ich erinnere mich auch daran, dass ich die Sache mit den Sprungstellen in der Schule gehört habe. So wie es jetzt drin steht passt es, es wird nicht mehr der Eindruck vermittelt, dass die Eigenschaft äquivalent zum Zeichnen in einem Zug wäre.

Nach euerer teilweisen Rückänderung ist nun die Sache mit dem Definitionsbereich unklar: Es steht noch meine auf ein Intervall eingeschränkte Definition da (der Definitionsbereich ist damit zusammenhängend), und weiter unten wird über nicht-zusammenhängende Definitionsbereiche gesprochen, was in der aktuellen Version ja gar nicht betrachtet wird.

In jedem Fall bin ich der Meinung, dass ein nicht-zusammenhängender Definitionsbereich nicht für eine Kritik an der naiven Definition verwendet werden sollte. Abgesehen von der Formulierung (was heißt "mit dem Stift zeichnen" überhaupt) liegt das eigentliche Problem dieser Definition meiner Meinung nach darin, dass sich manche Funktionen einfach nicht überall zeichnen lassen. Und, ja, es gibt auch Funktionen endlicher Bogenlänge, die sich nicht zeichnen lassen. Man muss es nur hinbekommen, dass in jedem noch so kleinen Intervall unendlich viele Stellen drin sind, wo die Funktion nicht differenzierbar ist. So etwas lässt sich - ähnlich der Koch-Kurve - durch den Grenzwert einer rekursiv definierten Funktionenfolge leicht konstruieren.

Für die Definition sehe ich damit 2 sinnvolle Varianten:

• Nur auf zusammenhängendem Definitionsbereich definieren
• Auf beliebigen Definitionsbereichen in IR defininieren (stetig, wenn über allen Zusammenhangskomponenten des Definitionsbereichs in einem Zug zu zeichnen)--MKI 12:03, 21. Jun 2005 (CEST)

• Eine Funktion, die auf jeder Zusammenhangskomponente stetig ist, ist noch lange nicht selbst stetig (z.B. Funktionen auf $\mathbb {Q}$).
• Du denkst offenbar an eine konkrete Präzisierung von "mit dem Stift zeichnen", die Du aber nicht verrätst. Meine Definition ist: Graph ist wegzusammenhängend; mit dieser Definition ist eine Funktion auf einem Intervall genau dann stetig, wenn man den Graphen zeichnen kann. Ich finde diese Definition natürlich und naheliegend, der Artikel sollte also nicht implizit eine andere voraussetzen, so natürlich sie Dir auch erscheinen mag. (Genausowenig sollte er meine voraussetzen, das ist klar.)

Ich sehe die derzeitige Fassung folgendermaßen: Für Intervalle wird eine schwammige Definition gegeben, und es wird darauf hingewiesen, dass sich diese Definition nicht auf allgemeinere Definitionsbereiche verallgemeinern lässt. Dieser Aufbau erscheint mir nicht unsinnig.--Gunther 12:31, 21. Jun 2005 (CEST)

Nein, eine mathematische Präzisierung von "mit dem Stift zeichnen" habe ich nicht parat. Es ist lediglich meine Intuition, die mir für etliche (höchstwahrscheinlich nicht alle) Fälle sagt, was mit dem Stift zeichenbar ist und was nicht. Meine Intuition sagt mir, dass aus "in einem Zug mit dem Stift zu zeichnen" Wegzusammenhang folgt, die Umkehrung gilt im Allgemeinen aber nicht. Außerdem denke ich, dass die stetige Fortsetzung von f(x) = x*sin(1/x) in x=0 nicht gezeichnet werden kann, genausowenig wie die im letzten Beitrag angedeutete Funktion endlicher Bogenlänge. Siehst du das auch so?

Momentan klingt es danach, dass die Definition deshalb nicht präzise ist, weil sie für Funktionen mit nicht-zusammenhängendem Definitionsbereich versagt. Das geht aber am Kern vorbei. Ich versuche das mal klarer zu machen.--MKI 14:11, 21. Jun 2005 (CEST)

Nein, das sehe ich nicht so. Natürlich kann ein realer Stift keinen Funktionsgraphen zeichnen, schon weil es nur endlich viele Atome gibt und sie eine endliche Ausdehnung haben. Deshalb ist eine gewisse Idealisierung nötig, und ich halte Wegzusammenhang für eine naheliegende und vertretbare Idealisierung. (Z.B. wird niemand leugnen wollen, dass man die Zahlengerade mit einem Stift nachzeichnen kann, auch wenn man dafür einen unendlich großen Stift braucht usw.)

Die Erwähnung von Zusammenhangskomponenten im Artikel scheint mir übertrieben. Man muss nicht alles erwähnen, das nicht funktioniert ;-) --Gunther 14:30, 21. Jun 2005 (CEST)

Trotzdem fühle ich einen fundamentalen Unterschied darin, die Funktion x^2 und die Funktion x*sin(1/x) auf dem Intervall [-1,1] zu zeichnen. Das eine geht (auch wenn mein Bleistiftstrich eine Breite hat und nicht immer ganz exakt den Funktionsverlauf verfolgt), das andere geht nicht. Ich kann mir nicht recht vorstellen, dass du die Möglichkeit des Zeichnens der beiden Funktionsgraphen als prinzipiell gleich empfindest.

Ich war mir nicht sicher, ob ich den Wegzusammenhang in dem Artikel erwähnen soll. Da aber -- ließe man den Satz weg -- etlichen Lesern die Definitionskorrektur auf allen Zusammenhangskomponenten jeweils in einem Zug zu zeichnen zumindest dem Inhalt nach auf der Zunge liegen dürfte, hab ich mich entschieden, das doch mit reinzunehmen. Nicht zuletzt bin ich vorher selbst darauf reingefallen.--MKI 14:41, 21. Jun 2005 (CEST)

Natürlich ist der Graph von $x^{2}$ "schöner", aber ich denke, dass ich selbst mit einem Bleistift den Graph von $x\sin(1/x)$ so genau zeichnen könnte, dass die wesentlichen Aspekte zu erkennen sind. Weitere Ansprüche habe ich an Bilder nicht.

Ich würde den Wegzusammenhang definitiv nicht erwähnen, denn mehr als eine Tautologie ist da nicht zu holen. Das mit den Zusammenhangskomponenten ist natürlich richtig, sobald der Definitionsbereich offen ist (und das kann man bestimmt auch noch irgendwie abschwächen).--Gunther 15:01, 21. Jun 2005 (CEST)

Ich habe jetzt das meiste rausgeschmissen. Anscheinend ist man vom Ziel abgekommen. Die Aussage mit dem Stift und den Sprungstellen kommt wie ich oben schon erwähnt habe vor und ist dienlich um einen schnellen Einstieg zu haben. Da ich jetzt noch darstelle, dass dies jedoch kein Kriterium ist, sondern nur eine Skizze, sollte nun alles dazu gesagt sein. Es geht ja nicht darum einen neue Definition von Stetigkeit basierend auf der Stift-Idee zu geben. --Squizzz 15:08, 21. Jun 2005 (CEST)

So wies jetzt ist find ichs auch gut... --Haize 15:14, 21. Jun 2005 (CEST)

Dem kann ich nur zustimmen. Die Bezugnahme auf den Einleitungssatz habe ich noch herausgenommen: Die Präzisierung dieser "Definition" folgt ja unmittelbar.--Gunther 15:17, 21. Jun 2005 (CEST)

ich finde auch, dass ihr das toll gemacht habt! --seth 19:57, 21. Jun 2005 (CEST)

Mir gefällt es jetzt auch ganz gut, der Spruch weniger ist mehr hat sich wieder einmal bewahrheitet. Den Absatz über nicht-zusammenhängende Definitionsbereiche nochmals komplett rauszuwerfen hatte ich mich nicht getraut, da Gunther ihn nach meiner ersten Änderung wieder hineingenommen hatte, mit dem Kommentar dass diese Situation erwähnt werden solle weil sie häufig auftritt.

Die wohl aussichtslose Diskussion darüber, was gezeichnet werden kann und was nicht, hat sich nun auch erübrigt.--MKI 20:19, 21. Jun 2005 (CEST)

:-) Ich hatte den Teil nur wieder reingenommen, weil er für mein Empfinden vom sinngemäßen "Kommt in der Praxis nie vor" nicht abgedeckt war.--Gunther 20:41, 21. Jun 2005 (CEST)

ok, alles klar. Das "kommt in der Praxis nicht vor" bezog ich auf diese pathologischen Beispiele wie x*sin(1/x)--MKI 20:57, 21. Jun 2005 (CEST)

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Neuaufbau

Dieser Artikel bedarf meiner Meinung nach einen Neuaufbau. Da kommt viel zu viel durcheinander. So wird auf Punktweise Stetigkeit, und Stetigkeit in einzelnen Punkten nicht wirklich eingegangen. So ist die Funktion $\operatorname {sgn}(x)$ die alle negative Zahlen auf -1, alle positiven Zahlen auf 1 und die 0 auf sich selbst abbildet unstetig, da sie in 0 unstetig ist. In allen anderen Punkten aber ist sie stetig. Eine Funktion kann nicht nur im Ganzen stetig oder unstetig sein, sondern auch in einzelnen Punkten.

Überhaupt scheint es den meisten nicht klar zu sein, daß die allermeisten Funktionen nirgendwo irgendwie stetig sind. Die Menge der stetigen reellen Funktionen sind genauso mächtig wie die Menge der reellen Zahlen, da es bei stetigen Funktionen reicht, die Funktionswerten der rationalen Zahlen zu kennen. Die Menge aller reellen Funktionen ist aber so mächtig wie die Potzenmenge der reellen Zahlen.

Ist auch klar, warum sollte der Funktionswert von $\pi$ irgendetwas mit dem Funktionswert von 3.14 oder mit dem Funktionswert 3.1415 zu tun haben? Jeder Zahl wird irgend einen Wert zugeordnet. Das kann man bei überabzählbar vielen Zahlen natürlich gar nicht machen, da muß man Regeln angeben. Aber die allermeisten Funktionen kann man so nicht beschreiben, und auch nicht irgendwie anders. Allein aus diesem Grund sind die allermeisten Funktionen die uns in der Mathematik begegnen, mehr oder weniger, stetige Funktionen.

Was aber geht, ist etwa die charakteristische Funktion der Rationalen Zahlen $1_{\mathbb {Q} }(x):={\begin{cases}1&fallsx\in \mathbb {Q} \\0&sonst\end{cases}}$ Diese Funktion ist nirgendwo stetig. Interessant ist die Funktion, die jedem rationalen Wert, der gekürzt als ${\frac {p}{q}}$ dargestellt wird, den Wert ${\frac {1}{q}}$ zuordnet und alle irrationalen Zahlen, sowie der 0 die 0. Diese Funktionen ist in allen irrationalen Punkten stetig, sonst unstetig.

Die Aussage f(x) = 1/x ist für x=0 nicht definiert ist eine für die Schule typische schlampige Aussage. Wenn man eine Funktion definiert, muß man als erstes angeben, was die Urbildmenge, und was die Bildmenge ist, und dann muß man jedem Element der Urbildmenge genau einen Wert der Bildmenge zuordnen. In der Schule ist immer klar, solange nichts anderes gesagt wird, sind Bild und Urbildmenge die reellen Zahlen. Klappt an einer Stelle die Zuordnungsvorschrift nicht, dann wird diese Stelle aus der Urbildmenge impliziet herausgenommen. Richtig hingegen ist: Die Funktion $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\},x\mapsto {\frac {1}{x}}$ ist überall stetig, die Funktion $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto {\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\mbox{falls }}x\neq 0\\C&sonst\end{cases}}$ ist im Punkt 0 unstetig, egal welchen Wert man für C nimmt.

Letztendlich ist die Stetigkeit ein Begriff der Topologie. Rein formal reicht es zu definieren, daß eien Funktion stetig heißt, wenn das Urbild offener Mengen offen ist. Die Stetigkeit reeller Funktionen und beliebiger Metriken ist dann gleich mitdefiniert. Allerdings wäre das für eine Darstellung hier reichlich gewagt, so vorzugehen.

Folgekonvergenz gilt nicht nur für reelle Zahlen und beliebige Metriken, sondern für beliebige Topologien.

Gleichmäßige Stetigkeit ist eine Eigenschaft von uniformen Räumen.

Ist f(x) stetig an der Stelle a, so ist die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ stetig an der Stelle f(a): Dafür muß es erst mal eine Umkehrfunktion geben.

So, nachdem mein Diskusionsbeitrag nun mindestens so chaotisch ist wie der Artikel, höre ich besser auf. Ich wollte es nur zur Diskusion stellen, da eine so umfangreiche Änderung nicht mal so eben gemacht werden kann. --Schnitte 10:54, 24. Okt 2004 (CEST)

"f(x) = 1/x ist für x = 0 nicht definiert" finde ich ok, es gibt mit Sicherheit eine Möglichekeit, den Begriff "maximaler Definitionsbereich" oder "maximaler Bereich, in dem ein Term definiert ist" formal zu fassen. Mich stört an dieser Stelle eher "In der Schulmathematik sagt man dann, f wäre in der 0 unstetig". Wenn an der Schule Unsinn erzählt wird, ist das keine Entschuldigung dafür, den Unsinn hier zu wiederholen. (Ich habe mir sagen lassen, dass an der Uni gelegentlich derselbe Unsinn erzählt wird.)

Ein paar Beispiele zu unstetigen Funktionen wären nicht schlecht.

Folgenstetigkeit in beliebigen topologischen Räumen ist nicht dasselbe wie Stetigkeit (erstes (?) Abzählbarkeitsaxiom).--Gunther 10:42, 2. Mär 2005 (CET)

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Einleitung

Genügt es, keine Sprünge zu haben? Kommt auf die Definition von "Sprung" an, und ich denke, dass viele sich unter einem Sprung vorstellen, dass $\lim _{x\searrow x_{0}}f(x)$ und $\lim _{x\nearrow x_{0}}f(x)$ existieren, aber verschieden sind (heißt sowas nicht sogar offiziell Sprungstelle?).

Die Vorversion war auch nicht perfekt, weil man ja nicht sagen kann, dass eine Funktion stetig ist, wenn die Funktionswerte so und so weit auseinanderliegen, falls die Argumente sich um ... unterscheiden. Aber meiner Meinung nach sollte der Einleitungssatz doch eher in der Richtung $x\approx y\Rightarrow f(x)\approx f(y)$ gehen.--Gunther 21:02, 21. Jun 2005 (CEST)

Ich meine mich zu erinnern, dass Sprungstelle in der Schule die offizielle Bezeichnung für eine Unstetigkeit war. Verstehe ich dich richtig, dass das Wort Sprungstelle für dich die Existenz der beiden genannten Limiten impliziert?

Meiner Meinung nach sollte die Einleitung ohne Formelzeichen auskommen, wenn nur irgendwie möglich.--MKI 21:18, 21. Jun 2005 (CEST)

Dem letzten Satz stimme ich uneingeschränkt zu, ich habe die Formeln nur zur Verdeutlichung hingeschrieben.

Zitat aus [4]: "x0 heisst eine Sprungstelle von f , wenn f in x0 unstetig ist, aber lim x!x+0 f (x) und limx!x-0 f (x) existieren und endlich sind." (Man entschuldige bitte den kaputten Formelsatz.) Jedenfalls würde ich nicht davon ausgehen, dass unsere Leser sich die richtige Vorstellung machen.--Gunther 21:27, 21. Jun 2005 (CEST)

ok, dann muss was anderes her. Wäre denn Eine Funktion heißt stetig, wenn in den Funktionswerten keine Sprünge auftreten' besser?--MKI 21:49, 21. Jun 2005 (CEST)

Ich "sehe" bei $f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)\\0\end{cases}}$ den Sprung bei $x=0$ halt nicht so richtig. Wohin springt der Funktionswert denn?--Gunther 22:14, 21. Jun 2005 (CEST)

Das macht nichts. Die Einleitung soll einem möglichst breiten Leserfeld eine Ahnung vermitteln können, worum es hier geht. Dass es dabei wieder Ausnahmefunktionen gibt, auf die die Beschreibung nicht so recht passt, ist einerseits wohl unvermeidlich, und andererseits kann man sich aufgrund der nicht ganz präzisen Formulierung wieder darauf hinausreden, dass auch bei dieser Sinusfunktion der Graph bei der Null ganz fürchterlich herumspringt und die Funktionswerte deshalb dort einen Sprung haben.

Solltest du jedoch eine bessere prägnante Formulierung parat haben, dann setze sie einfach rein.--MKI 22:52, 21. Jun 2005 (CEST)

Noch eine Nachbemerkung: Ich war nach dem ersten Beitrag dieser Diskussion der Meinung, ich hätte das Wort Sprungstelle explizit in der von mir neu geschriebenen Einleitung benutzt. Erst nachdem ich später geschrieben hatte "ok, dann muss was anderes her, Wäre denn Eine Funktion heißt stetig, wenn in den Funktionswerten keine Sprünge auftreten' besser?", fiel mir auf, dass ich genau diese Formulierung bereits von Anfang an im Artikel benutzt hatte. Ich hoffe, ich habe keine zu große Verwirrung mit meinen Antworten gestiftet.

Die Frage ist nun nach wie vor, ob sich die Formulierung Sprünge in den Funktionswerten ausreichend von dem mit einer anderen Bedeutung belegten Wort Sprungstelle unterscheidet. Meiner Meinung nach ja. Außerdem fällt mir keine bessere ähnlich prägnante Formulierung für die Einleitung ein.--MKI 11:20, 23. Jun 2005 (CEST)

Vorschlag: Wenn jemand die Einleitung überarbeitet, sollte man vielleicht relativ unmathematisch auf die Bedeutung der Stetigkeit eingehen: sie erhält bei einer Abbildung bestimmte Eigenschaften des Raumes. --Squizzz 21:46, 21. Jun 2005 (CEST)

Das gehört mMn nach Stetigkeit (Topologie). Mir ist auch nicht klar, welche präzise Aussage Du damit umschreiben willst. Das hört sich so an, als sei vor allem das Bild einer stetigen Funktion interessant, und dem würde ich keinesfalls zustimmen.--Gunther 22:14, 21. Jun 2005 (CEST)

Mh...das was im Artikel Stetigkeit (Topologie) im Mom. steht könnte, wie ich finde, auch gut in den Artikel hier rein. Mir ist der Grund für die Trennung nicht ganz klar... -- Haize 11:51, 23. Jun 2005 (CEST)

"Eine Funktion heißt stetig, wenn in ihren Funktionswerten keine Sprünge auftreten." Das hängt doch von der verwendeten Metrik ab. Unter der diskreten Metrik sind alle Funktionen stetig (u.a Prüfungsfrage im Vordiplom gewesen). Generell fehlt mir irgendwo der Einwurf, daß eine Funktion unter verschieden Metriken auch gleichzeitig steig (unter der einen Metrik) und aber auch nicht-stetig (unter einer anderen Metrik) sein kann. Pinoccio 15:50, 21. Aug 2005 (CEST)

Dass der zitierte Satz als Definition ohnehin unbrauchbar ist, steht ja schon oben in diesem Absatz. Im Regelfall kommen Räume mit einer natürlichen Metrik bzw. Topologie, und man betrachtet nur Stetigkeit bezüglich dieser Metriken bzw. Topologien. Ansonsten siehe Stetigkeit (Topologie)#Anmerkungen.--Gunther 16:01, 21. Aug 2005 (CEST)

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Fundamentalkritisches zum gesamten Seitenaufbau

Was mir an der Seite nicht gefällt: Die "Mutter aller Stetigkeitsbegriffe", nämlich "Urbilder offener Mengen sind offen", wird per Link weggezoomt nach Stetigkeit (Topologie), wie wenn dies eine etwas schmutzige Art, Stetigkeit zu betrachten wäre. Stattdessen stehen hier "Wichtige Sätze über stetige Funktionen" (von denen es noch ca. 1.000 mehr als die hier genannten gäbe), die ich in dieser Seite allenfalls als Link-Liste anlegen würde. Wie seht Ihr das?--JFKCom 22:11, 22. Aug 2005 (CEST)

Antwort: Ich halte die Ausgliederung der Stetigkeit in der Topologie für vernünftig. Der Artikel ist recht ausführlich und eignet sich deshalb für eine Augliederung. Auf den Zusammenhang wird ja in diesem Artikel eingegangen. Viele an Stetigkeit interessierte (Schüler, Nicht-Mathe-Studenten) suchen vor allem die Stetigkeit reeller Funktionen, deshalb finde ich es richtig, dass in diesem Artikel insbesondere darauf eingegangen wird. Man könnte jedoch in der Einleitung schon erwähnen, dass sich alle aufgeführten Stetigkeitsbegriffe auf die Topologie zurückführen lassen. --Squizzz 11:11, 24. Aug 2005 (CEST)

Ich fühle mich noch nicht verstanden. Dies ist das Lemma Stetigkeit, und hier drin gehört für mich der fundamentalste Stetigkeitsbegriff überhaupt in jedem Falle rein (dass der Schüler nicht mit Topologie geplagt werden soll, sehe ich ja auch so. Das ist aber eine Frage des Seitenaufbaus hier). "Wichtige Sätze über stetige Funktionen" gehören stattdessen per Link weggezoomt, da dies eine (relativ willkürliche) Auswahl von weiter vom Thema wegführenden Aspekten ist.--JFKCom 12:45, 24. Aug 2005 (CEST)

Wie wäre es mit Stetigkeit und Stetigkeit reeller Funktionen?--Gunther 15:11, 24. Aug 2005 (CEST)

Antwort: Ich wollte gerade auch den gleichen Vorschlag wie Gunther machen. Stetigkeit (Topologie) mach Stetigkeit verschieben, in der Einleitung die anderen Stetigkeiten aufzählen und dann noch ein spezieller Artikel Stetigkeit reeller Funktionen. --Squizzz 15:15, 24. Aug 2005 (CEST)

Hmm...aber der Artikel über die Stetigkeit reeller Funktionen würde dann ja fast aus den ganzen Sätzen bestehen. Ich mein so viele Sätze sinds ja eh nicht, ich fänds besser die einfach einzelne Artikel dazu zu machen, was ja teilweise schon der Fall ist. Allerdings sollten die Definitionen alle im Artikel Stetigkeit bleiben, da die topologische Defintion ja schon sehr abstrakt ist. Haize 18:07, 24. Aug 2005 (CEST)

Wie wär's mit folgendem Aufbau (Skizze, muss noch nicht vollständig sein):

• Intro: Die leicht verdauliche Einleitung f. "Oma"
• 1. Einstieg: Stetigkeit bei reellen Funktionen
• 1.1 Definitionen der Stetigkeit
• 1.1.1 eps/delta
• 1.1.2 Limes-Def
• 1.2 Anschauliche Interpretation (evtl.)
• 1.3 Eigenschaften (hier aber kurz erwähnen, da diese im Kap. 2 nochmals kommen; Beispiele: $f+g,\,f\cdot g,\,f\circ g,\dots$
• 1.4 Beispiele
• 2. Abstrakter Zugang: Stetigkeit in top. Räumen
• 2.1 Definition (das berühmte "Urbilder off. Mengen sind offen")
• 2.2 Erste Eigenschaften (z.B.: äquivalente Formulierungen zur Def wie "Urbilder abg. Mengen sind abgeschlossen", $f\circ g$ ist stetig)
• 3. Stetigkeitskriterien in speziellen Räumen (dabei jedes Unterkapitel evtl. mit Beispielen versehen)
• 3.1 (spez. top. Räume T_i, z.B. "Urbilder v. Umgebungen sind Umgebungen", "Bilder konvergenter Filter sind konvergente Filter" etc.)
• 3.2 Metrische u. normierte Räume, R^n (darin z.B.: Folgenkonvergenz, Stetigkeit von f+g)
• 3.3 Gruppen, Ringe, Körper, angeordnete Körper, R, C: Mit Hinweis, dass die in 1.1 gegebenen Definitionen eigtl. Folgerungen aus 2.1 darstellen
• 4. Wichtige Sätze über stetige Funktionen (dies mehr als lockere Link-Liste, in der jeder wichtige Satz hier so kurz wie möglich angerissen wird; Rest kann der Leser durch Linkverfolgung erreichen)
• 5. Andere Stetigkeitsbegriffe: Lipschitz-Stetigkeit etc., d.h. alles, was kein "klassischer", sondern ein andersartiger spezieller Stetigkeitsbegriff ist.
• 6. Weblinks etc.--JFKCom 18:56, 24. Aug 2005 (CEST)

gudn tach! ich persoenlich faend zwar die reihenfolge 2,3,1,4,5,6 "fliessender", aber im hinblick auf die vielen nicht-mathematiker, die sich wohl bei der von JFKCom vorgeschlagenen reihenfolge besser zurechtfinden wuerden, halte ich jenen vorschlag fuer sinnvoll. wenn der artikel dadurch aber gar zu lang wird, halte ich die schon vorgeschlagene aufteilung in mehrere artikel fuer noch vernuenftiger. also in etwa die teile 2 und 3 in Stetigkeit und der groesste teil des restes in Stetigkeit reeller Funktionen --seth 22:50, 24. Aug 2005 (CEST)

Antwort: Angesichts der Länge der beiden jetzt schon bestehenden Artikel plädiere ich auch für eine Aufteilung. --Squizzz 10:31, 25. Aug 2005 (CEST)

Bei der Aufteilung sehe ich ein Abgrenzungsproblem: Beispielsweise funktioniert der ε-δ-Begriff für lineare Operatoren zwischen normierten Räumen noch problemlos, für allgemeinere Räume jedoch nicht mehr. Die Aufteilung sollte möglichst klar definiert sein und später nicht mehr geändert werden: Ständig irgendwelche Links umzubiegen ist Zeitverschwendung. Vielleicht ist es deshalb wirklich besser, bei "ein Begriff = ein Artikel" zu bleiben und Spezialthemen konsequent auszulagern, um den Umfang des Artikels in vernünftigen Grenzen zu halten.--Gunther 10:45, 25. Aug 2005 (CEST)

da stimme (wohl nicht nur) ich dir voellig zu. allerdings bleibt noch zu klaeren, was "spezialthemen" sind. aus mathematischer sicht kann man die stetigkeit reeller funktionen durchaus als spezialthema bezeichnen, aber aus enzyklopaedischer (oder wie man es nennen mag) sicht koennte man die stetigkeit reeller funktionen vielleicht gerade als den hauptbestandteil der sache bezeichnen. (ich waehlte dieses beispiel absichtlich, da du diesen aufteilungsvorschlag selbst mal hervorbrachtest und ich ihn fuer sinnvoll erachte.)--seth 22:32, 3. Jan 2006 (CET)

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Stetig vs. diskret?

In der Statistik wird zwischen stetig (continuous) und diskret (discrete) unterschieden. Ist denn dann das Gegenteil von stetig (im Sinne von "ein Intervall enthält alle rationalen Zahlen") nicht auch diskret (im Sinne von "ein Intervall enthält nur ganzzählige Schritte. Ich meine mich dunkel zu erinnern an Dinge wie e = [0,1] heißt "e kann alles zwischen 0 und 1 sein" und e = {0,1} heißt "e ist entweder 0 oder 1". Oder so. (Aber ich bin kein Mathematiker, deswegen bin ich mit den Definitionen nicht so ganz vertraut.) Jedenfalls fehlt mir als VWLer und Ökonmetrieanfänger da noch irgendwie eine Abgrenzung Stetigkeit (Kontinuität) vs. Diskretheit an übersichtlicher Stelle. Oder verwechsel ich da jetzt was? --Grünes Fiet 13:07, 1. Aug. 2007 (CEST)

In der Maßtheorie und Statistik wird stetig im Sinne von absolut stetig verwendet; aus absolut stetig folgt stetig, aber es gibt Funktionen, die zwar stetig, aber nicht absolut stetig sind (stetige Funktionen eines beschränkten Intervalls, deren Graph unendliche Kurvenlänge hat). Nach dem Zerlegungssatz von Lebesgue (en:Lebesgue's decomposition theorem) kann man jedes Wahrscheinlichkeitsmaß bezüglich des Lebesguemaßes in ein absolut stetiges und ein singuläres (typischerweise diskretes) Maß zerlegen. In diesem Sinn unterscheidet man in der Statistik zwischen stetigen und diskreten Verteilungen, wobei es auch gemischte Verteilungen gibt, die aber in der Praxis weniger interessant sind. Ach ja, dann gibt es auch noch singuläre, aber nicht-diskrete Verteilungen. z. B. en:Cantor distribution --NeoUrfahraner 13:24, 1. Aug. 2007 (CEST)

PS: brauche wir eine Begriffsklärung?

Vielleicht lässt sich aber Deine Frage einfacher beantworten und Du suchst nur die Erklärung, die bereits in Diskretheit und diskrete Mathematik steht. --NeoUrfahraner 14:10, 1. Aug. 2007 (CEST)

In Signaltheorie und evtl. Statistik ist mit dem Gegensatz von continuous und discrete der zwischen zusammenhängenden Mengen und Mengen isolierter Punkte gemeint. Genauer ist die reelle Achse "continuous" und die ganzen Zahlen oder irgendeine arithmetische Folge in den reellen Zahlen ist "discrete". Für ein Signal ist das der Unterschied, ob es als reelle Funktion oder als (beidseitig) unendliche Zahlenfolge dargestellt werden kann. --LutzL 14:34, 1. Aug. 2007 (CEST)

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C(D)

1. der Abschnitt ist eher passend in einem Artikel 'differenzierbarkeit'
2. der Raum der stetigen Funktionen ist C^0(D) [5] -- dschreiber 00:21, 14. Jan. 2010 (CET)

C(D) bedeutet dasselbe wie $C^{0}(D)$, oft wird die 0 weggelassen. --Tolentino 07:44, 14. Jan. 2010 (CET)

Bei 1. würde ich dschreiber allerdings zustimmen.--Grip99 16:22, 14. Jan. 2010 (CET)

Zumindest wäre so ein Abschnitt zu "Räumen differenzierbarer Funktionen" in Differentialrechnung gut aufgehoben. Weglassen würde ich die Definition von C(D) und C^1(D) hier aber nicht. Bei C^\infty kann man sich dann streiten. --P. Birken 17:07, 16. Jan. 2010 (CET)

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Kardinalität

Es gilt ja $|\{f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} |f{\text{ stetig}}\}|=|\mathbb {R} |$ (jedenfalls wenn man CH für wahr hält), was ein wenig überraschend sein kann. (Ich persönlich hab' das erst vor ein paar Monaten mal bewusst wahrgenommen.) Sollte das vielleicht an prominenter Stelle erwähnt werden? Oder steht etwas in der Richtung schon irgendwo? Oder ist das langweilig?

(Interessant find' ich das auch deshalb, weil $|\{f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} |f{\text{ berechenbar}}\}|=|\mathbb {N} |$ und Scott-Topologie etwas mit Berechenbarkeit zu tun hat (wie genau, und selbst ob der Name Scott-Topologie überhaupt gerechtfertigt ist, habe ich noch nicht verstanden; müsste echt mal ein entspr. Buch im Detail durcharbeiten). Ob es da sinnvolle, also nicht nur formal-oberflächliche, Zusammenhänge gibt, würde mich interessieren. Dies gehört allerdings natürlich nicht in diesen Artikel. Meine Hauptfragen stehen vor dieser Klammer.) --Daniel5Ko 23:18, 19. Mai 2011 (CEST)

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Umgebungskriterium für Stetigkeit in metrischen/topologischen Räumen

$(X,T_{X})\,$ und $(Y,T_{Y})\,$ seien jeweils topologische Räume mit den zugehörigen Topologien, $f\colon D\rightarrow Y\,$ eine Funktion mit Definitionsbereich $D\subseteq X$. Nun wird im Artikel das Umgebungskriterium genannt und behauptet:

Umgebungskriterium

$f$ ist genau dann stetig in $x_{0}$, wenn es zu jeder Umgebung $V$ von $f(x_{0})$ eine Umgebung $U$ von $x_{0}$ gibt, deren Bild in $V$ enthalten ist, also $f(x)\in V$ für alle $x\in U$.

Was aber, wenn der Definitionsbereich $D\subset X$ eine echte Teilmenge des Raumes $X$ darstellt und insbesondere gar keine Umgebungen $U$ von $x_{0}$ enthält? Dann ist die angegebene Charakterisierung/Definition der Stetigkeit genau genommen nicht ganz korrekt. Als Beispiel möge die Funktion $f\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R}$ mit $f(x)=x$ dienen, also die Identität auf dem topologischen Raum $\mathbb {R}$ (ausgestattet mit der Standardtopologie), allerdings eingeschränkt auf die nichtnegativen reellen Zahlen. Diese Funktion wäre nach der angegebenen Definition im Punkt $x_{0}=0$ nicht stetig, da die Funktion auf keiner Umgebung dieses Punktes definiert ist. Dennoch gilt diese Funktion gemeinhin als stetig, und das ist sie auch gemäß den anderen Kriterien (für metrische Räume).

Seht ihr das auch so? Dieses Kriterium könnte wohl ein wenig mehr Präzisierung vertragen, allerdings fällt mir nichts Gutes ein, ohne dass die Lesbarkeit leidet. Man könnte fordern, dass der Definitionsbereich eine offene Menge (oder gar der gesamte Raum $X$) ist oder dass die Funktion auf einer Umgebung von $x_{0}$ definiert sein muss, aber das würde die Anwendbarkeit des Konzeptes einschränken. Irgendwelche Ideen? --Gzim75 (Diskussion) 17:49, 18. Aug. 2016 (CEST)

Persönlich würde ich auf den Definitionsbereich in der Definition verzichten (oder im Zweifel zur Spurtopologie übergehen) und die Filterkonvergenz klar ausschreiben und nicht wie hier verstecken. LG --NikelsenH (Diskussion) 18:05, 18. Aug. 2016 (CEST)

Es genügt, ganz am Ende der Bedingung "für alle $x\in U\cap D$" statt "für alle $x\in U$" zu schreiben. Topologisch gesprochen: Statt dem topologischen Raum $(X,T_{X})\,$ betrachtet man den Raum $D$ mit der induzierten Topologie (Spurtopologie). Eine Umgebung von $x_{0}$ in der induzierten Topologie hat gerade die Form $U\cap D$, wobei $U$ eine Umgebung von $x_{0}$ in $X$ ist.--Digamma (Diskussion) 21:33, 18. Aug. 2016 (CEST)

Das gefällt mir. Ich hätte jetzt noch eine etwas kürzere, äquivalente Formulierung mit Urbildern anzubieten:

Die Funktion $f$ ist genau dann stetig in $x_{0}$, wenn es zu jeder Umgebung $V$ von $f(x_{0})$ eine Umgebung $U$ von $x_{0}$ gibt mit $f^{-1}(V)=U\cap D$.

Eventuell wäre das eine Präzisierung für den Abschnitt Stetigkeit reeller Funktionen weiter oben, wo der Begriff Urbild bereits verwendet wird. LG --Gzim75 (Diskussion) 11:06, 19. Aug. 2016 (CEST)

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Vorschlag zu grundlegender Überarbeitung

In der Diskussion zum Lemma "Stetigkeit (Topologie)" habe ich die Meinung geäußert, dass jenes Lemma mit diesem Lemma verschmolzen werden sollte. Außerdem regte ich an, die Darstellung in diesem Lemma neu aufzubereiten. Ich wurde dazu ermutigt, dies nach dem Wikipedia-Prinzip zu tun. Ich habe jetzt einen neu gestalteten Artikel geschrieben. Bin aber Wikipedia-Neuling. Soll ich den hier einfach als neue Version einstellen oder gibt es für grundlegende Umarbeitungen einen anderen Review-Prozess? MfG Stephan2802

Hallo Stephan, das hängt ein bisschen davon ab, wie mutig du bist, und davon, ob dein neuer Artikel tatsächlich eine Verbesserung des bisherigen Artikels ist. Wenn jemand denkt, dass deine Version keine Verbesserung ist, dann wird das rückgängig gemacht werden. Also ist es als Wikipedia-Neuling vielleicht besser, wenn du deinen Artikel erst mal in deinen Benutzernamensraum (z. B. hier Benutzer:Stephan2802/Stetigkeit) einstellst und hier auf der Diskussionsseite darauf aufmerksam machst. Grüße -- HilberTraum (d, m) 20:39, 13. Apr. 2017 (CEST)

Vielen Dank. Ich habe meinen Vorschlag an der von dir vorgeschlagenen Stelle hinterlegt. Für Feedback bin ich dankbar. Grüße Stephan

Ich hab den Artikel noch nicht richtig gelesen (ist ja ein Riesending geworden), aber vom Drüberschauen sieht das schon mal ziemlich gut aus. Zur formalen Gestaltung: Eine solche „exzessive“ Nummerierung von Aussagen, wie im vorderen Teil, ist hier eigentlich nicht üblich, wenn du dir mal andere, vergleichbare Artikel anschaust. Daran könnte sich vielleicht der eine oder andere stören. Vielleicht könnte man das besser anders gestalten. -- HilberTraum (d, m) 16:17, 17. Apr. 2017 (CEST)

Die Nummerierung habe ich eingeführt, weil auf alle diese Punkte im Laufe des Artikels wieder verwiesen wird. Insbesondere wird für alle diese Punkte, die zunächst für den reellen Fall formuliert werden, später beschrieben, was sie im allgemeinen Fall topologischer Räume bedeuten.

Ich hoffte dadurch zu verdeutlichen, dass der allgemeine Fall tatsächlich eine natürliche Verallgemeinerung des aus der Schule bekannten reellen Falls ist. Ich bin aber natürlich offen für Vorschläge, wie man das anders (Wkipedia-konformer) darstellen kann. -- Stephan2802

Nachtrag: Sehe gerade, dass obiges für (18) und (19) nicht gilt. Die könnte man also wohl ohne weiteres durch einfache Bulletpoints ersetzen. -- Stephan2802

Ich habe jetzt den Vorschlag nochmal leicht überarbeitet. Wenn es keine weiteren Kommentare gibt, werde ich ihn in den nächsten Tagen hier als Änderung des Artikels einstellen. Stephan2802

Ich habe deine neue Version gesichtet (sorry für die Verspätung), allerdings ohne sie weiter anzuschauen. Die Sichtung besagt also nicht, dass die neue Version gut ist oder besser als die alte, sondern nur, dass es keinen Grund gibt, sie von Vornherein abzulehnen. Gruß, --Digamma (Diskussion) 10:31, 16. Mai 2017 (CEST)

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Darstellung im Abschnitt 'Verallgemeinerung auf metrische Räume'

Der Benutzer Jakob Stegemann hat diesen Abschnitt am 28.1.2018 überarbeitet und zwei separate Symbole für die Metriken auf den beiden Räumen eingeführt.
Das ist zwar inhaltlich korrekt und exakter als die vorherige (von mir geschriebene) Darstellung, entspricht aber meiner Meinung nach nicht der mathematischen Praxis.
In der mathematischen Literatur werden in den meisten Fällen Metriken unterschiedslos mit $d$ und Normen unterschiedslos mit $\|\cdot \|$ bezeichnet, auch wenn mehrere metrische oder normierte Räume betrachtet werden. Es wird einfach davon ausgegangen, dass der Leser aus dem Zusammenhang erkennt, welche Metrik bzw. welche Norm gerade gemeint ist.

Durch die Änderung wird der Artikel in meinen Augen inkonsistent, denn bereits im nächsten Kapitel wird ja wieder lax von topologischen Räumen $X$ und $Y$ gesprochen und die eigentlich notwendige Topologie unterschlagen.

Tatsächlich enthält der Artikel bereits einen Abschnitt, der auf diese Laxheit hinweist (Anmerkung zur Darstellung in diesem Kapitel). Wenn es gewünscht ist, kann dort gerne eine Bemerkung aufgenommen werden, dass diese Bemerkung sinngemäß auch für die Darstellung bei metrischen Räumen gilt.

Ich spreche mich dafür aus, dass die ursprüngliche Darstellung wieder hergestellt wird.
Streng genommen nimmt der in der ursprünglichen Version vorhandene Hinweis auf die beiden verschiedenen Metriken bereits die Überlegungen aus dem Kapitel 'Anmerkung zur Darstellung in diesem Kapitel' vorweg und ist daher dort fehl am Platz.
Ich empfinde diesen Hinweis als vernünftigen Kompromiss zwischen einer Darstellung, die der in mathematischen Lehrbüchern üblichen entspricht, und der unmittelbaren Beantwortung einer Frage, die sich dem mit dieser Praxis nicht so vertrauten Leser an diesem Punkt stellen mag.
Daher würde ich den Hinweis drin lassen. Wenn das aber als zu inkonsistent empfunden wird, wäre es für mich auch ok, den Hinweis in das Kapitel unten zu verschieben.

Gruß Stephan2802, 31.01.2018, 00:37 Uhr (nicht signierter Beitrag von Stephan2802 (Diskussion | Beiträge) 00:40, 31. Jan. 2018 (CET))

Hallo, Stephan2802,

ich habe die Änderung von Benutzer:Jacob Stegemann zwar gesichtet, habe aber gegen einen Revert auch nichts einzuwenden. Herzliche Grüße, --Digamma (Diskussion) 20:38, 31. Jan. 2018 (CET)

PS: Bitte Diskussionsbeiträge immer mit --~~~~ (bzw. dem Stift-Symobl in der Symbolleiste über dem Bearbeitungsfenster) signieren. Dann wird auch automatisch Datum und Uhrzeit und ein Link zu deiner Benutzerseite eingefügt. --Digamma (Diskussion) 20:38, 31. Jan. 2018 (CET)

Ich denke, man sollte hier in der Literatur zwischen Stellen unterscheiden, in denen die Stetigkeit definiert wird, und Stellen, in denen die Definition verwendet wird. Ich habe jetzt nur mal in die Analysis-Lehrbücher von Königsberger und von Deiser geschaut: Beide verwenden bei der Definition unterschiedliche Bezeichnungen für die beiden Metriken. Ich fände das eigentlich auch besser. Beide Metriken einfach nur $d$ zu nennen, finde ich in der Definition etwas verwirrend. -- HilberTraum (d, m) 20:57, 31. Jan. 2018 (CET)

Wenn zwei Analysis-Lehrbücher es so darstellen, dann spricht das natürlich dafür, es so zu belassen. Ich muss auch gestehen mehr aus der Erinnerung zitiert zu haben. Meine aktive mathematische Zeit liegt schon etwas zurück. Ich finde die Darstellung aus dem genannten Grund aber weiter inkonsistent.

Bei der Definition einer linearen Abbildung wird auch als Formel $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$ angegeben, obwohl man streng genommen zwei verschiedene Additionsverknüpfungen auf zwei unterschiedlichen Mengen betrachtet.--Stephan2802 (Diskussion) 20:22, 1. Feb. 2018 (CET)

Andererseits werden bei der Definition eines Vektorraums in der Regel die Vektorraumverknüpfungen anders dargestellt als die des Körpers. Und im Artikel Lipschitz-Stetigkeit werden im Teil über metrische Räume die beiden Metriken durchgängig unterschieden. --Digamma (Diskussion) 21:04, 1. Feb. 2018 (CET)

In der Tat, wobei der Artikel zur Lipschitz-Stetigkeit auch in sich inkonsistent ist. Mal wird die Notation $f\colon X\rightarrow Y$, mal die Notation $f\colon (X,d_{X})\rightarrow (Y,d_{Y})$ benutzt.

Vermutlich ist es bei einem Projekt wie der Wikipedia auch illusorisch eine durchgängige Konsistenz zu erwarten.

Ich finde die alte Darstellung weiterhin besser, weil die jetzige letztlich auch nicht exakt ist. Wie im letzten Abschnitt erklärt, ist es eigentlich falsch, davon zu sprechen, eine Funktion sei stetig. Richtigerweise kann man nur formulieren, sie sei stetig bezüglich eines vorgegebenen Paares von Metriken. Das lässt man aber im Allgemeinen weg, weil man annimmt, dass aus dem Kontext immer klar ist, welche Metriken zu verwenden sind. Unter der Annahme halte ich es aber auch für gerechtfertigt, für die Metriken auf Definitionsbereich und Zielmenge immer das selbe Symbol zu nehmen.

Ist aber letztlich Geschmackssache. Wer entscheidet in solchen Fällen darüber, welche Darstellung verwendet werden soll? --Stephan2802 (Diskussion) 23:33, 4. Feb. 2018 (CET)

Inzwischen hat es noch eine andere Änderung gegeben, die ich hinterfragen möchte: Bei den Permanenzeigenschaften wurde für die Stetigkeit der Funktion ${\tfrac {f}{g}}$ die Bedingung, dass $g$ keine Nullstellen haben darf, abgeschwächt dazu, dass sie keine in $\xi$ haben darf.
Besitzt $g$ irgendwo auf seinem Definitionsbereich eine Nullstelle, so ist die Funktion ${\tfrac {f}{g}}$ nicht auf ganz $X$ definiert. Die Änderung macht also nur Sinn, wenn man festlegt, dass die Funktion ${\tfrac {f}{g}}$ als Definitionsbereich die Nichtnullstellenmenge von $g$ erhält.
In dieser Form folgt die Aussage aber auch leicht aus der vorherigen Version, wenn man (8) berücksichtigt.
Da die oben genannte Festlegung meines Wissens nicht Allgemeingut ist, finde ich die ursprüngliche Version besser. Alternativ sollte man einen Hinweis auf diese implizite Festlegung aufnehmen. --Stephan2802 (Diskussion) 23:33, 4. Feb. 2018 (CET)

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Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Im Unterkapitel 'Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit' wurden kürzlich am Ende die folgenden Sätze aufgenommen:

Ein weiterer Grenzfall ist der Raum der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen (glatte Funktionen) auf einem reellen Intervall $X$. Dieser wird auch mit $C^{\infty }(X)$ bezeichnet. In der Theorie der verallgemeinerten Funktionen (Distributionentheorie) sind alle gewöhnlichen Funktionen (auch nicht stetige) sowie auch alle verallgemeinerten Funktionen einschließlich der Diracschen Deltadistribution in einem verallgemeinerten Sinn beliebig oft differenzierbar.

In meinen Augen steht der letzte dieser Sätze in keinem logischen Zusammenhang zum vorherigen Inhalt des Absatzes. Wenn überhaupt, dann müsste dieser letzte Satz also in einen eigenen Absatz. Allerdings stellt sich die Frage, was dieser Satz überhaupt in einem Lemma zum Thema 'Stetigkeit' zu suchen hat. Der Zusammenhang zur Stetigkeit ergibt sich ja nur dadurch, dass die vorher festgestellte Folgerung 'differenzierbar->steig' für einen bestimmten verallgemeinerten Differenzierbarkeitsbegriff nicht gilt. Diese Feststellung gehört aber in meinen Augen eher in den Artikel über Differenzierbarkeit als in den über Stetigkeit. Tatsächlich werden im Artikel über Differenzierbarkeit ja diverse Verallgemeinerungen des Differenzierbarkeitsbegriffs erörtert. Distributionen tauchen aber selbst da nur als Link im letzten Abschnitt auf. Ich halte es daher für verfehlt, in diesem Artikel mit mehr Information darauf einzugehen als im Artikel zu Differenzierbarkeit. Aus diesem Grund lösche ich den Satz. --Stephan2802 (Diskussion) 16:21, 2. Nov. 2018 (CET)

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Einleitung

Bitte, kann jemand die Einleitung, die schließlich zum Thema hinführen soll, in allgemein verständliches Deutsch umschreiben und die mathematische Exaktheit an eine Stelle im Hauptteil überführen, die dann auch Insider zufrieden stellen kann?

Wer hier schon im ersten Absatz durch „topologische Strukturen“ und diverse weitere Fachbegriffe verschreckt wird, kommt doch gar nicht so weit, dass es weiter hinten immerhin eine „Anschauliche Herleitung“ gibt. Ich erinnere mich an meinen sehr geschätzten Mathe-Prof., der den Begriff Stetigkeit so erklären konnte, dass ihn auch angehende Ingenieure und Physiker verstanden haben und zwar ohne den ganzen fachsprachlichen Formalismus, mit dem dieser Artikel überfrachtet ist; ich weiß also, dass es geht.

Oder könnte man einen Basis-Artikel »Stetige Funktion« schaffen, der sich auf die Bedürfnisse derjenigen beschränkt, die Funktionen in Technik und Naturwissenschaften verwenden? --der Saure 14:24, 13. Jan. 2019 (CET)

Eigentlich sind die Abschnitte 1-3 bereits so formuliert, dass sie weitgehend vom interessierten Laien verstanden werden können. Ich habe jetzt noch eine Änderung an der Einleitung vorgenommen, die diese für den Laien verständlich machen sollte.

Dass in der Einleitung weiterhin auf die Bedeutung der Stetigkeit in der höheren Mathematik verwiesen wird, halte ich für gerechtfertigt, ja sogar, angesichts der Bedeutung den der Begriff dort hat, für notwendig.

Ein fachfremder Laie kann ja nicht ernsthaft erwarten, dass ein mathematischer Fachbegriff keine über seinen Wissenshorizont hinausgehenden Aspekte beinhaltet. --Stephan2802 (Diskussion) 15:51, 3. Mär. 2019 (CET)

Du hast leider nicht richtig gelesen. Ich hatte ausdrücklich zur Einleitung gebeten, die schließlich zum Thema hinführen soll, dass sie in allgemein verständliches Deutsch umgeschrieben werden möge. Darauf gehst du mit keinem Wort ein. --der Saure 17:32, 4. Mär. 2019 (CET)

Was denn genau ist nicht allgemeinverständlich? --Digamma (Diskussion) 18:38, 4. Mär. 2019 (CET)

Danke für die Nachfrage. Wie ich heute gesehen habe, ist die Einleitung inzwischen mehrfach überarbeitet und aufgebläht worden. Die Formulierung von einer „Eigenschaft, die bestimmten Funktionen zwischen zwei topologischen Räumen zuerkannt wird“, ist inzwischen verschwunden, aber „eine Verbindung zwischen den topologischen Strukturen …“ ist auch nicht besser. Was eine „$\varepsilon$-$\delta$-Definition der Stetigkeit“ ist, weiß ich nur, weil ich mich damit gerade intensiv beschäftigt habe. Dass sich „für stetige Funktionen eine Reihe interessanter Ergebnisse“ beweisen lassen, – „exemplarisch seien der Zwischenwertsatz, der Satz vom Minimum und Maximum und der Fundamentalsatz der Analysis genannt“, – trifft das die Interessenlage eines ans Thema Heranzuleitenden? Dass „man sowohl im Definitionsbereich als auch in der Zielmenge einen Abstand zwischen den Elementen bestimmen kann“ lässt bei mir die Frage offen, von welchem Abstand hier die Rede sein mag. „Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ oder $\mathbb {C} ^{n}$“, „Funktionen zwischen topologischen Räumen“, „Funktionen zwischen metrischen Räumen“ und die Aussage, dass „stetige Funktionen also in Topologie und Analysis eine ähnliche Rolle wie Homomorphismen in der Algebra spielen“, soll das alles als allgemeinverständlich angesehen werden? Für mich kann ich nur sagen, dass ich mich nach einer solchen Einleitung mit Grausen von dem Artikel abwende. Mit einem nochmal ausdrücklichen Dank an Digamma grüßt der Saure 16:34, 5. Mär. 2019 (CET)

Wie ich auf der QS schon geschrieben habe: Evtl. könnte man die sogenannte Einleitung anpassen, um eine für alle Zielgruppen geeignete informale Erklärung zu erreichen. Ein Bild anschauliches Bild einer einfachen Stetigen Funktion im Verglieich zu einer Unstetigen fehlt.

In der reellen Analysis ist der Begriff der stetigen Funktion die formale Beschreibung der Tatsache, dass eine Funktion (bzw. ihr Graph) keine Sprünge macht.

Besser:

In der reellen Analysis ist eine stetigen Funktion formal definiert und korrespondiert mit der naiven Beschreibung, dass der Graph der Funktion sich ohne abzusetzen zeichnen lässt und keine Sprünge macht.

Denn:

1. Eine naive Beschreibung ist keine "Tatsache", wie es derzeit heißt
2. Eine naive Beschreibung kann man auf verschiedenen Wegen formalisieren, also nicht "die formale Beschreibung", sondern eher "eine formale Beschreibung"
3. "ohne abzusetzen zeichnen" wird in Lehrbüchern oft erwähnt und ist allgemeinverständlich

Die restlichen Sätze der Einleitung sollten ebenso gründlich überarbeitet oder gelöscht werden, vieles halte ich hier für zu ausführlich und überflüssig. Ich werde mich hier allerdings nicht weiter einmischen, ich habe neben Wikipedia besseres zu tun.

Vielen Dank --Bejahend (Diskussion) 18:44, 8. Mär. 2019 (CET)

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Neufassung

Hier der Entwurf für eine Neufassung des Artikels, die insbesondere die 2017 entfernten Teile zu stetigen reellen Funktionen wieder einbaut. Wenn es keinen Widerspruch gibt, werde ich das in einigen Tagen unter „Stetige Funktion“ einstellen und „Stetigkeit“ in eine Weiterleitung umwandeln.—Godung Gwahag (Diskussion) 09:04, 12. Mär. 2019 (CET)

Da auch die topologische Betrachtungsweise eine Rolle spielen soll, sollte man als Lemma vielleicht besser „Stetige Abbildung“ wählen.--Schojoha (Diskussion) 20:58, 12. Mär. 2019 (CET)

Ja, das stimmt wohl.—Godung Gwahag (Diskussion) 08:44, 13. Mär. 2019 (CET)

Wenn das im Wesentlichen eine Wiederherstellung einer alten Version von Stetigkeit ist, dann solltest du den Text von Stetigkeit durch den neuen Text ersetzen und den Artikel danach verschieben. Auf diese Art bleibt die Versionsgeschichte erhalten. --Digamma (Diskussion) 20:22, 13. Mär. 2019 (CET)

@Godung Gwahag:Ich habe im Vorschlag einen ersten Kommentar hinterlassen und hierfür die Kommentarfunktion genutzt. Anscheinend sieht man diesen Kommentar aber nur im Bearbeitungsmodus.

Daher meine Frage, ob dies der richtige Weg ist, dir Feedback zu geben, oder ob dies auf anderem Weg geschehen soll.

Es sollte auf jeden Fall irgendeine Möglichkeit geben, die Kommentare direkt in den Vorschlag hinein zu schreiben. Die Kommentare alle auf einer Diskussionsseite zu sammeln ist viel zu mühselig und unübersichtlich. --Stephan2802 (Diskussion) 19:28, 14. Mär. 2019 (CET)

Ich verstehe nicht das Problem. Natürlich kann man Korrekturen direkt im Entwurf vornehmen, aber Kommentare sollte man wie sonst auch immer auf der Diskussionsseite hinterlassen. Es ist wahrscheinlich nicht so gut, Diskussionen zum Artikel auf vielen verschiedenen Stellen zu sammeln. Sobald der Import durch ist (der die Versionsgeschichten vereinen soll, damit die Urheber erkennbar bleiben) werde ich den Artikel erstmal so unter „Stetige Abbildung“ einstellen und dann können alle weiteren Änderungen und/oder Diskussionen dort stattfinden.—Godung Gwahag (Diskussion) 21:12, 14. Mär. 2019 (CET)

Ich habe deinen Vorschlag ja an anderer Stelle als mögliche Diskussionsgrundlage bezeichnet. Aber in der jetzigen Form würde ich ihn noch als massive Verschlechterung gegenüber dem aktuellen Lemma ansehen. Bitte so nicht einstellen. --Stephan2802 (Diskussion) 21:44, 14. Mär. 2019 (CET)

Diese Meinung kannst Du natürlich auf dem Mathe-Portal zur Diskussion stellen. Meine Änderungen stellen aber zum großen Teil nur Abschnitte wieder ein, die viele Jahre im Artikel standen und deren Notwendigkeit auf der Diskussionsseite eigentlich auch nie bestritten wurbe—Godung Gwahag (Diskussion) 22:24, 14. Mär. 2019 (CET)

Meinst du wirklich, dass man einen sinnvollen Artikel dadurch erstellen kann, dass man einfach irgendwelche Teile, die zu irgendeiner Zeit mal im Artikel gestanden haben, ungeordnet hinein wirft?

Der Artikel hatte bis zu seiner grundlegenden Überarbeitung durch mich vor zwei Jahren keinen roten Faden und sprang wirr zwischen Dingen, die offenbar bewusst vereinfacht für Laien geschrieben waren, und abgehobenen Dingen wie Non-Standard-Analysis hin und her.

Ich habe meine Überarbeitung damals hier zur Diskussion gestellt und keiner hat sich beschwert. Und zwei Jahre ist der Artikel bis auf den Rundumschlag eines einzelnen Benutzers auch akzeptiert worden. Mit gleicher Berechtigung könnte ich also sofort nach deiner Änderung den vorherigen Zustand wiederherstellen. Das kann doch nicht der Sinn der Sache sein.

Ich habe jetzt mal Anmerkungen zu den ersten Abschnitten auf deine Diskussionsseite gestellt. Das gibt vielleicht einen Eindruck davon, wieso ich den jetzigen Zustand deines Vorschlags für ungeeignet halte und warum ich es vorziehen würde, eine Kommentierung im Text vorzunehmen. --Stephan2802 (Diskussion) 22:51, 14. Mär. 2019 (CET)

Es wäre wohl tatsächlich besser gewesen, die Änderungen damals erst auf dem Mathe-Portal zur Diskussion zu stellen, insbesondere die Löschungen der für die Schulmathematik relevanten Teile. Abgesehen davon stehen die von Dir geschriebenen Teile ja (fast) alle noch in der neuen Fassung (obwohl sie komplett unbelegt sind und teils subjektive Einschätzungen enthalten). Es geht im Wesentlichen darum, den Teil über reelle Funktionen so zu schreiben, dass er sich an Schüler oder bspw. Ingenieurstudenten richtet und nicht an den Mathematiker, der ja wohl kaum „Stetigkeit“ in der Wikipedia nachschlagen wird. (Jedenfalls nicht die für reelle Funktionen.) Das dabei manches noch verbessert werden kann, ist klar. Die Nichstandardanalysis hatte ich aus der früheren Version übernommen, sie kann meinethalben aber gerne raus, wenn es dafür Konsens gibt.—Godung Gwahag (Diskussion) 00:08, 15. Mär. 2019 (CET)

Die Geschichte meiner Mitarbeit am Thema "Stetigkeit" begann am 27. März 2017 als (noch anonymer) Kommentar zum Artikel "Stetigkeit (Topologie)" (siehe Kapitel "Ausbaufähig"). Sie setzte sich dann unter der Überschrift "Vorschlag zu grundlegender Überarbeitung" auf dieser Diskussionsseite fort. Ich bin dabei dem Weg gefolgt, den der anscheinend erfahrene Benutzer @HilberTraum:, den ich hiermit einlade, sich an der Diskussion zu beteiligen, vorgeschlagen hat. Jetzt nach 2 Jahren festzustellen, dass alles doch ganz anders hätte ablaufen sollen, halte ich nicht für angebracht.

Der Artikel "Stetigkeit" hat in seiner jetzigen Form eine klare Struktur, einen roten Faden und stellt sinnvoll Zusammenhänge her. Natürlich kann man immer was verbessern. Entsprechende Vorschläge sind gerne gesehen. Eine grundlegende Kritik an der Struktur kam bisher nur von dir. Auf Nachfrage, was dir an der Struktur nicht passt, hast du nicht geantwortet.

Ich sehe zur Zeit nur einen Grund, die Struktur des Artikels zu ändern: Die jetzige Version beginnt (im mathematischen Teil) von der ersten Zeile an mit einer für Mathematiker üblichen Sprache. Die mag den Einstieg für mathematische Laien erschweren. Man kann also unter Abschwächung der Anforderung an mathematische Genauigkeit die ersten Teile etwas "laienfreundlicher" formulieren.

Exemplarisch sieht man das an dem Satz "Sei $f$ eine Funktion, die jeder Zahl $x$ aus dem Definitionsbereich $D_{f}$ eindeutig eine Zahl $y$ zuordnet.". Die mathematisch genaue Formulierung hierfür lautet: "Sei $f\colon X\to \mathbb {R}$ mit $X\subseteq \mathbb {R}$ eine reelle Funktion." (oder ähnlich).

Die mathematisch exakte Formulierung mag für den mathematischen Laien etwas schwer verdaulich sein. Daher finde ich es ok, wenn man (nach noch leichter Umformulierung, siehe Diskussion) die ungenaue Formulierung benutzt.

Wenn man diesen Weg gehen will, dann macht es auch Sinn, die Teile des Artikels nach vorne zu holen, die man "leicht verdaulich" hinkriegt und andere entsprechend nach hinten zu schieben. Dazu reicht es nicht, einfach irgendwelche Bausteine, die sich schon mal im Artikel befunden haben, wieder einzufügen. Man muss vielmehr den ganzen Artikel sorgfältig durcharbeiten.

Zum konkret angesprochenen Fall kann man sich auch noch mal den Artikel Differenzierbarkeit anschauen, der vor dem gleich Problem steht und das besser hingekriegt hat.

Meine auf der Diskussionsseite hinterlegten Punkte sind ja nur die, die sich nach Überprüfung der ersten vier Abschnitte ergeben haben. Dass meine Kritik dann aufhört, liegt nicht daran, dass es danach besser wird. Es liegt vielmehr daran, dass auch ich nicht unbegrenzt Zeit in dieses Projekt stecken möchte.

Hinzu kommt, dass bei der Vorgehensweise einfach irgendwelche Fragmente vergangener Versionen oder anderer Artikel zu integrieren ja mindestens eine Überarbeitung erfolgen müsste bezüglich konsistenter Nomenklatur (siehe $x_{0}$ versus $\xi$) und korrekter Verlinkung (immer das erste Auftreten eines Fachbegriffs müsste verlinkt werden, siehe "Umgebung"). Auch das ist bisher offenbar nicht erfolgt.

Bezüglich der Frage, ob Stetigkeit über Epsilon-Delta, Funktionslimites oder Folgen definiert werden soll, haben wir bisher zwei Stimmen, die sich widersprechen. Hier ohne weitere Abstimmung Fakten zu schaffen, halte ich auch für unangebracht. Ich habe meine Argumente auf der Diskussionsseite zu deinem Vorschlag hinterlegt. --Stephan2802 (Diskussion) 13:09, 15. Mär. 2019 (CET)

Wegen des Pings: Hui, langer Artikel mit verschiedenen Versionen und lange Diskussionen dazu. Ich schau aber mal am Wochenende, ob ich dazu komme, mir das anzuschauen. Grüße -- HilberTraum (d, m) 19:54, 15. Mär. 2019 (CET)

Ich würde mich freuen, wenn du dich an der Diskussion, die im Augenblick im Wesentlichen ein Zwiegespräch ist, beteiligen würdest. Mein Ping erfolgte allerdings in erster Linie, weil du mir ja damals den Weg gewiesen hast, wie ich meine Verbesserungsvorschläge einbringen soll, und genau dieser Weg jetzt kritisiert wurde. --Stephan2802 (Diskussion) 02:23, 16. Mär. 2019 (CET)

Ich denke eigentlich schon, dass auch bei völligen Neufassungen eines Artikels eine Vorankündigung auf der Artikeldiskussion ausreicht. Leute, denen der Artikel „am Herzen liegt“, haben ihn ja normalerweise auf der Beobachtungsliste und sollten das mitbekommen. Einen Hinweis im Portal kann man schon machen, aber ich persönlich halte das für etwas übertrieben. -- HilberTraum (d, m) 19:50, 16. Mär. 2019 (CET)

Ganz allgemein gesprochen: das ist hier ein Enzyklopädieartikel, der die existierende Literatur wiedergeben und zusammenfassen sollte. Einigen müssen wir uns darüber, welche Literatur wir auswählen. Meiner Meinung nach sollten wir für den Teil über reelle Funktionen Schulbücher als Quellen wählen. (Das ist natürlich Ansichtssache und falls es da keinen Konsens gibt, müßten wir im Portal darüber abstimmen. Meine Begründung dafür ist einfach, dass ohnehin nur Schüler diesen Teil des Artikels anschauen werden. Kein Mathematiker wird die Stetigkeit reeller Funktionen in der Wikipedia nachschlagen. Deshalb macht es meiner Meinung nach keinen Sinn, diesen Artikelteil in der im Mathematikstudium verwendeten Sprache zu schreiben.) Wenn wir uns darauf einigen können, dann ist es - ob uns das gefällt oder nicht - so, dass in heutigen Schulbüchern keine formal-mathematischen Definitionen (wie die oben von dir formulierte) gegeben werden. Die "Definition", die ich jetzt in den Artikel geschrieben habe, und auch die Formulierung in der Einleitung, habe ich aus einem aktuellen Schulbuch abgeschrieben. Die Sprache der Mengenlehre "Sei $f\colon X\to \mathbb {R}$ mit $X\subseteq \mathbb {R}$ eine Funktion" wird dort nicht verwendet.

Ansonsten bestehe ich wie gesagt bei den Definitionen nicht auf meiner Version. Über die Reihenfolge wird man sich einigen können und die Nichtstandardanalysis (die ich aus der früheren Version übernommen hatte) würde ich auch wieder herauswerfen.

Was die Struktur des Artikels angeht, so habe ich ja an der zweiten Hälfte des Artikels so gut wie nichts geändert bis auf den Geschichtsteil. Auf einer grundsätzlichen Ebene könnte man da schon monieren, dass es sich um einen von Dir geschriebenen (und komplett belegfreien) Essay mit Deinen Bewertungen und von Dir hergestellten Zusammenhängen handelt, also anscheinend nicht um die Wiedergabe der existierenden Literatur. Aber solange sich da niemand beschwert, mag das ja so bleiben.--Godung Gwahag (Diskussion) 00:08, 16. Mär. 2019 (CET)

Ich habe bereits zugestimmt, dass der erste Teil möglichst "laienkompatibel" geschrieben werden soll. Allerdings halte ich die Fixierung auf den Schüler hier für falsch. Stetigkeit scheint in der Schule heutzutage bestenfalls beiläufig erwähnt zu werden (mag auch vom Bundesland abhängen). Mindestens genauso wichtig wie die Schüler sind daher für mich Studenten (oder auch Wissenschaftler) anderer Wissenschaften, die die Mathematik als Hilfswissenschaft benutzen. Vielen von denen dürfte das Prinzip der komplexen Zahl bekannt sein. Daher ist es bereits für dieses Zielpublikum ungenau "Zahl" zu schreiben, wenn man "reelle Zahl" meint.

Ich verweise übrigens noch einmal darauf, dass man sich hier am Artikel "Differenzierbarkeit" orientieren könnte. Das macht schon aus Gründen der Konsistenz Sinn. Das Zielpublikum dürfte ja ähnlich sein.

Wenn man diesen Weg der Laienkompatibilität geht, dann sollte man es aber konsequent machen. Und das ist eben im jetzigen Vorschlag nicht der Fall. Oszillation und Nicht-Standard-Analysis sind hier nur die ersten Beispiele, wo dieser Ansatz verletzt wurde. Wenn ich den Artikel weiter durchgehe, dann gebe ich auch noch weitere an.

Übrigens bin ich nicht der Meinung, dass diese Teile deshalb aus dem Artikel verschwinden müssen. Sie müssen nur verschoben werden. Ich fand es als Mathematiker, der sich bisher nicht mit Nichtstandard-Analysis beschäftigt hat, jedenfalls interessant, zu lesen, wie man Stetigkeit in dieser Sprache beschreibt.

Neben den Fällen, bei denen der Artikel das selbstgesteckte Ziel der Laienkompatibilität im ersten Teil verletzt, gibt es noch diverse weitere Diskussionspunkte (wie auch bei den schon vier Abschnitten, zu denen ich mich schon geäußert habe), die ich demnächst auf der Diskussionsseite zum Vorschlag hinterlegen möchte. --Stephan2802 (Diskussion) 02:12, 16. Mär. 2019 (CET)

@Godung Gwahag: Der Artikel sollte sich nicht nur an Schüler wenden. Hast du die Praktiker, die Ingenieure und Naturwissenschaftler vergessen, „die die Mathematik als Hilfswissenschaft benutzen“? Mir sind während meines (erfolgreich abgeschlossenen Universitäts-) Studiums Formalismen wie $f\colon [0,\infty [\to [0,\infty [$ nicht begegnet. Offenbar hat uns unser Mathe-Prof. andere Aspekte der Mathematik gelehrt, die für uns wichtiger waren.

Zu den Quellen: Im Artikel Stetige Funktion habe ich eine Reihe von Mathematik-Büchern herangezogen, die nicht den Status von Schulbüchern haben und dennoch "laienkompatibel" geschrieben sind. --der Saure 14:43, 16. Mär. 2019 (CET)

Ich dachte eigentlich, dass ich den Abschnitt Stetigkeit reeller Funktionen jetzt so geschrieben hätte, dass genau solche Formalismen vermieden werden. Was konkret möchtest Du denn anders haben?—Godung Gwahag (Diskussion) 15:07, 16. Mär. 2019 (CET)

Kurz zur weiteren Vorgehensweise: Ich warte jetzt zunächst auf den Versionsimport, durch den die alten Versionsgeschichten auf diesen Artikel übertragen werden. Danach kann man dann Änderungen direkt in diesem Entwurf vornehmen, nach Verschiebung des Artikels werden diese dann jeweils noch dem Urheber in der Versionsgeschichte zugeordnet. Ich werde dann Diskussionsabschnitte zu den einzelnen Abschnitten des Artikels auf der Diskussionsseite aufmachen, so dass man zielgerichtet über die Ausgestaltung der einzelnen Abschnitte reden kann.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:29, 16. Mär. 2019 (CET)

Ich verstehe das jetzt so, dass im Augenblick kein Feedback zum aktuellen Entwurf eingebracht werden soll. Du meldest dich an dieser Stelle, wenn die vorbereitenden Aktionen abgeschlossen sind.

Danach beginnt dann auf der Diskussionsseite zum Entwurf die weitere Diskussion. Ist das so korrekt? --Stephan2802 (Diskussion) 16:18, 16. Mär. 2019 (CET)

Das ist mein Vorschlag, ja.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:48, 16. Mär. 2019 (CET)

Alles klar --Stephan2802 (Diskussion) 17:00, 16. Mär. 2019 (CET)

@Godung Gwahag: Ich hatte eine Bemerkung zu deinem Diskussionsbeitrag abgegeben, nicht zu deinem Artikelentwurf, der mir nicht bekannt war. --der Saure 19:47, 16. Mär. 2019 (CET)

Ich habe den Import auf https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Importw%C3%BCnsche/Importupload#Import_von_de%3AStetigkeit_%3B_Stetigkeit_%28Topologie%29_%3B_Stetige_Funktion_nach_Benutzer%3AGodung_Gwahag%2FStetige_Funktion beantragt. Wie ich es verstehe, will man dort wohl lieber direkt in den ANR importieren. Das sollte aber kein so schlimmes Problem sein, da wir gewünschte Änderungen dann ja zeitnah dort diskutieren und umsetzen (und den Artikel Stetigkeit bis dahin noch stehenlassen) können.--Godung Gwahag (Diskussion) 19:56, 29. Mär. 2019 (CET)

@Godung Gwahag: Der Fall ist erledigt. Die Artikel sind nach Stetige Funktion zusammengeführt, Diskussionsseiten sind übertragen, Archiv wurde verschoben. Die Einzelnachweisfehler waren vorher schon da. Ich hab noch ein paar Kategorien gefunden, hoffentlich passen die. Liebe Grüße, – Doc Taxon • Disk. • Wikiliebe?! • 11:11, 30. Mär. 2019 (CET)

Danke —Godung Gwahag (Diskussion) 11:14, 30. Mär. 2019 (CET)

@Godung Gwahag:@Doc Taxon: Ich verstehe nicht, was jetzt hier passiert ist. Es war klar abgesprochen, dass der Diskussionsvorschlag von Godung Gwahag erst einmal auf einer Diskussionsseite durchdiskutiert wird, bevor er aktiv gesetzt wird. Dies wurde von mir am 16.3. nochmal explizit nachgefragt und eine halbe Stunde später so zugesagt.

Ich habe bereits deutlich meine Meinung zum Ausdruck gebracht, dass der Diskussionsvorschlag in seiner jetzigen Form eine deutliche Verschlechterung gegenüber der bis dahin aktiven Version des Artikels 'Stetigkeit' ist. Diese deutlich bessere Version ist dem Wikipedia-Leser nunmehr durch die Weiterleitung von 'Stetigkeit' auf 'stetige Funktion' entzogen worden.

Anscheinend hat es beim ursprünglich vereinbarten Plan Probleme gegeben. Das wurde dann am Abend des 29.3. hier dokumentiert und etwa 12 Stunden später wurde dann der Diskussionsvorschlag ohne weitere Absprache aktiv gesetzt und der wesentlich bessere Artikel kaltgestellt.

Ich bitte dringend darum, die vorherige Fassung des Artikels 'Stetigkeit' wieder zu aktivieren und den Diskussionsvorschlag, wieder dorthin zu verlegen, wo er hingehört, nämlich auf eine Diskussionsseite.

Gerne bin ich dann bereit mich dann an einer Diskussion zu beteiligen, wie man den Diskussionsvorschlag zu einer noch besseren Version des Artikels fortentwickeln kann. --Stephan2802 (Diskussion) 20:00, 31. Mär. 2019 (CEST)

Ich hatte auch nicht verstanden, warum ein Import in meinen BNR nicht möglich gewesen wäre. Ich sehe jetzt aber auch nicht das grundsätzliche Problem.

Falls Du eine grundsätzliche Diskussion über den Sinn und Nutzen der Änderung an sich führen willst, dann wäre m.E. das Mathe-Portal dafür der richtige Ort. Dort werden sich mehr Leute beteiligen als hier auf dieser Diskussionsseite.

Soweit es um Änderungen an einzelnen Abschnitten im Detail geht, würde ich vorschlagen, dass wir hier auf der Disk für jeden zu diskutierenden Abschnitt einen eigenen Absatz aufmachen, damit nicht alles durcheinandergeht.—Godung Gwahag (Diskussion) 22:06, 31. Mär. 2019 (CEST)

Mir geht es jetzt erst einmal darum, dass Absprachen eingehalten werden. Und es war ganz klare Absprache, dass die Diskussion zu deinem Vorschlag zunächst auf deiner Diskussionsseite weitergeführt wird. Wenn dies nicht geht, weil eine höhere Stelle das nicht will, dann hätten wir eine neue Absprache treffen können. Aber dann einfach im Hauruck-Verfahren einen Artikel, bei dem bereits dokumentiert wurde, dass massive Bedenken hinsichtlich der Qualität bestehen, einzustellen, geht in meinen Augen gar nicht.

Ich sehe auch nicht ein, dass ich weiterhin Energie in ein Projekt stecken soll, in dem ich jederzeit damit rechnen muss, dass klare Absprachen nicht eingehalten werden. Daher noch einmal meine Aufforderung den Zustand vorher wieder her zu stellen.

Eine Diskussion "über den Sinn und Nutzen der Änderung an sich" zu führen, ist für mich beim jetzigen Zustand des Vorschlags sinnlos. Da wurde einfach aus drei verschiedenen Artikeln (in einem Fall noch aus zwei grundverschiedenen Versionen) zusammenkopiert, ohne dass die grundlegenden Qualitätsprobleme der Originale angegangen wurden oder auf innere oder äußere (d.h. zu anderen Wikipedia-Artikeln) Konsistenz geachtet wurde.

Ich habe eine ungefähre Vorstellung, welches Ziel damit erreicht werden sollte. Ich bin auch gerne bereit an der genaueren Spezifikation und Erreichung dieses Ziels mitzuarbeiten. Und am Ende kann man dann entscheiden, ob der neue Artikel den vorherigen ersetzen kann.

Aber einen bereits guten Artikel durch einen schlechten zu ersetzen, weil die vage Hoffnung besteht, er könne durch massive Umarbeitung doch einmal ein noch besserer werden, halte ich für den falschen Weg. --Stephan2802 (Diskussion) 23:15, 31. Mär. 2019 (CEST)

Das ist hier der Artikel „Stetige Funktion“, dessen Löschung Du beantragt hattest. Ich nehme an, dass Du den Artikel Stetigkeit meinst und diesen wiederherstellen willst. Das müßte man dann Doc Taxon fragen, ich habe darauf keinen Einfluß. Ich hatte den Import dort so beantragt wie hier abgesprochen: [6]

Ich habe ja aber aus Deiner Version des Artikels auch fast nichts entfernt, sondern im wesentlichen nur neues hinzugefügt, was ich ja wohl auch ohne Deine Zustimmung hätte tun können. Wenn Du meine Ergänzungen (auf einer grundsätzlichen Ebene) als massive Verschlechterung ansiehst, dann solltest Du das konkret begründen, besser vielleicht nicht hier, sondern gleich auf dem Mathe-Portal. Dort dürften mehr Leute mitlesen.—Godung Gwahag (Diskussion) 23:33, 31. Mär. 2019 (CEST)

Ich hatte ja sowohl @Doc Taxon: als auch dich angepingt. Wenn Doc Taxon für diesen Missgriff verantwortlich ist, dann hoffe ich, dass er hier auch bald vorbeikommt, und den Fehler korrigiert. Ich nehme jetzt deinen Beitrag als Beleg dafür, dass auch du die Löschung (bzw. Umleitung) von "Stetigkeit" zum jetzigen Zeitpunkt nicht wolltest. Das überzeugt Doc Taxon dann hoffentlich endgültig davon, dies rückgängig zu machen.

Der Artikel "stetige Funktion" hatte vorher massive Qualitätsprobleme und hat es jetzt in anderer Form auch. Von daher ist es mir vergleichsweise egal, welche Version da jetzt rumsteht.

Ich hatte ja mal exemplarisch angefangen, eine Mängel/Diskussionsliste zu deinem Vorschlag zu erstellen. Die war länger als der Teil des Textes, auf den er sich bezog. Geh einfach davon aus, dass das mit den Folgeparagraphen so weiter geht. Eine derart umfangreiche Diskussion im Qualitätsportal zu führen, scheint mir wenig sinnvoll. Sinnvoller wäre es in meinen Augen, wenn du, wie abgesprochen, eine Diskussionsseite mit den einzelnen Unterkapiteln deines Vorschlags anlegst. Im Qualitätsportal könnte dann ja ein Link auf diese Diskussionsseite gesetzt werden. Wer sich wirklich für eine Diskussion über Stetigkeit interessiert, wird dem ja hoffentlich folgen.

Ich werde meine Bedenken zu den weiteren Abschnitten deiner Version dann an der vorgesehenen Stelle gerne dokumentieren, wenn ich das Vertrauen in eine vernünftige Diskussionskultur wieder gewonnen habe.

Im Augenblick habe ich den Eindruck, dass ein mit viel Mühe erstellter und in sich durchdachter Artikel einfach im Handstreich durch einen aus verschiedenen Fragmenten zusammenkopierten Text ersetzt werden kann. Und das obwohl die Zweifel an der Qualität der neuen Version ebenso dokumentiert waren wie die Bereitschaft, im Dialog gemeinsam zu einer für alle befriedigenden Lösung zu kommen. Wenn dies der Weg ist, wie in Wikipedia Fakten geschaffen werden, dann werde ich meine Mitarbeit wohl nicht fortsetzen. --Stephan2802 (Diskussion) 00:17, 1. Apr. 2019 (CEST)

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Neufassung (aus der anderen Disk)

Hier der Entwurf für eine Neufassung des Artikels, die insbesondere die 2017 entfernten Teile zu stetigen reellen Funktionen wieder einbaut. Wenn es keinen Widerspruch gibt, werde ich das in einigen Tagen unter „Stetige Funktion“ einstellen und „Stetigkeit“ in eine Weiterleitung umwandeln.—Godung Gwahag (Diskussion) 09:05, 12. Mär. 2019 (CET)

Wie ist das gedacht? Soll das dann im Ganzen gegen die jetzige Version von Stetigkeit gefahren werden, woraus sich eine große Änderung durch Godung Gwahag ergibt? Andernfalls fallen alle bisherigen Autoren von "Stetigkeit" unter den Tisch, deren Beiträge mitverwendet wurden (siehe Hilfe:Artikel zusammenführen). Ich frage deswegen: Wenn man Einzelheiten (mehr als Tippfehler, weniger als den gesamten Aufbau) verändern will, soll man dann hineinkorrigieren, oder stört das die Weiterverarbeitung? --Lantani (Diskussion) 11:10, 12. Mär. 2019 (CET)

Stetigkeit bleibt ja als Weiterleitung oder Begriffsklärung bestehen, so dass auch die Versionsgeschichte weiter einsehbar ist.—Godung Gwahag (Diskussion) 12:50, 12. Mär. 2019 (CET)

Mir kanns egal sein; ich bin WIMRE eh kein Autor dort. Aber es gehört dann auf jeden Fall ein guter Bearbeitungskommentar hin, wenn man die alten Autoren in der Versionsgeschichte eines Artikels begräbt, wo nichts von ihrem Text mehr zu sehen ist. Die Frage aber bleibt: wenn ich etwas ändere, dann in der alten Fassung in Stetigkeit oder in der Neufassung? Je nach dem hoffentlich abgestimmten weiteren Vorgehen ist da oder dort eine Änderung für die Katz. Also immer beide synchron ändern? --Lantani (Diskussion)

Wenn Einigkeit besteht, dass die Neufassung im Grundsatz gewünscht ist, dann könnte ich sie einfach einstellen und alle weiteren Änderungen undDiskussionen erfolgen dann bei der Neufassung. (Die übrigens über weite Strecken nur den Zustand des Artikels von 2017 wieder herstellt.)--Godung Gwahag (Diskussion) 15:41, 12. Mär. 2019 (CET)

Ich habe jetzt doch einen Versionsimport beantragt, so dass alle Versionsgeschichten erhalten bleiben.—Godung Gwahag (Diskussion) 21:43, 14. Mär. 2019 (CET)

Es ist wohl am Besten, jeweils zu jedem Abschnitt des Artikel (mit Diskussionsbedarf) einen Diskussionsabschnitt hier aufzumachen. Tippfehler können einfach direkt korrigiert werden statt sie hier einzutragen.—Godung Gwahag (Diskussion) 00:12, 15. Mär. 2019 (CET)

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Weitere Kritik bzw. offensichtliche Fehler zu dem Teil

Nach der Überschrift "Definition mittels Grenzwerten (Folgenkriterium)" würde man annehmen, dass der Inhalt des Kapitels das Folgenkriterium ist. Tatsächlich beschäftigt sich nur der zweite Teil mit dem Folgenkriterium.

Der Satz "Sei $f$ eine Funktion, die jeder Zahl $x$ aus dem Definitionsbereich $D_{f}$ eindeutig eine Zahl $y$ zuordnet." ist unmathematisch.

Etwas besser wäre "Sei $f$ eine Funktion, die jeder reellen Zahl $x$ aus dem Definitionsbereich $D_{f}\subset \mathbb {R}$ eindeutig eine reelle Zahl $y$ zuordnet." Allerdings ist die Verwendung der Variablennamen $x$ und $y$ hier offenbar völlig überflüssig. Und die Eindeutigkeit ergibt sich aus dem Funktionsbegriff. Sie hier nochmal anzugeben ist also ebenfalls überflüssig.
Noch etwas besser wäre wohl "Sei $f$ eine Funktion, die jeder reellen Zahl $x$ aus dem Definitionsbereich $D_{f}\subset \mathbb {R}$ eine reelle Zahl $y=f(x)$ zuordnet."
In einem Buch für Mathematikstudenten auch nur des ersten Semesters wäre aber jede dieser Formulierungen ein Missgriff.

Ich finde es überflüssig, an dieser Stelle auch noch auf links- und rechtsseitige Grenzwerte einzugehen. Das tut das Lemma Grenzwert (Funktion) bereits. Ganz unschön ist, dass hier sogar die Verlinkung auf das Kapitel mit den einseitigen Grenzwerten vor der Verlinkung auf das Lemma kommt.

Beim Übergang zum Folgenkriterium sollte man wenigstens einen Absatz spendieren.

Die Formulierung des Epsilon-Delta-Kriteriums kann sich nicht entscheiden, ob sie die Stetigkeit in $x_{0}$ oder in $\xi$ definieren will.

Die Definition der Stetigkeit über die Oszillation ist mir noch nie untergekommen. Ist das ein in der Literatur verbreiteter Ansatz?
Andernfalls sollte man das nach hinten verschieben.
Dies umso mehr, als das hier ja plötzlich mit so abstrakten Begriffen, wie der Menge aller Umgebungen (Umgebung müsste man verlinken) hantiert wird. Das ist ein völliger Bruch zur Formulierung des ersten Abschnitts, der eine eher unmathematische Sprache benutzt, die sich offenbar an den mathematischen Laien wendet.
Noch stärker gilt dies natürlich für den nächsten Punkt. "Nichtstandard-Analysis" ist ja selbst für die meisten Mathematik-Studenten eher unbekannt. Darauf einzugehen, bevor man auch nur das erste Beispiel gebracht hat, halte ich für völlig falsch. Der Teil gehört irgendwo ganz ans Ende. --Stephan2802 (Diskussion) 22:39, 14. Mär. 2019 (CET)

Ich wäre auch dafür, die Nichtstandardanalysis wieder herauszunehmen. Die Oszillationen würde ich durchaus drinlassen als alternative Definition, statt der abstrakten Umgebungen sollte man die Intervalle von x-delta bis x+delta betrachten. ich werde mal bei Gelegenheit schauen, wieweit diese Definition in Lehrbüchern vorkommt.—Godung Gwahag (Diskussion) 00:17, 15. Mär. 2019 (CET)

Was die Formulierungen angeht, bin ich natürlich offen für andere Meinungen. Allerdings richtet sich der Abschnitt über reelle Funktionen nicht an Mathematikstudenten, nicht einmal „nur des ersten Semesters“. Mathematiker oder Mathematikstudenten werden diese Definition nicht in der Wikipedia nachschlagen müssen. Die Zielgruppe dieses Artikelteils sind Schüler. Mathematisch exakte Formulierungen, die die Sprache der Mengenlehre benutzen, sind da weder notwendig noch sinnvoll. Und der richtige Mathematiker geht sowieso zu den Abschnitten weiter hinten im Artikel.—Godung Gwahag (Diskussion) 00:24, 15. Mär. 2019 (CET)

Zur Definition der Stetigkeit über die Oszillation: Stetigkeit darüber einzuführen, ist zwar nicht der übliche Weg. Der Sachverhalt an sich ist aber schon bekannt. Siehe Oszillation (Topologie)#Resultate. --Schojoha (Diskussion) 23:02, 1. Apr. 2019 (CEST)

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Ohne Absetzen

"Die Idee der Stetigkeit kann wie folgt beschrieben werden: Eine reellwertige Funktion f: I\to\mathbb{R} auf einem reellen Intervall I\subseteq\mathbb{R} ist stetig, wenn der Graph der Funktion f ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann."

Definitiv unwahr! Es gibt natürlich Funktionen, die ich mit Absetzen des Stiftes zeichnen kann (sogar muss), die aber trotzdem stetig sind. Sowas können sich nur Mathe-Lehrer ausgedacht haben ;-) Bitte streichen! 1.12.2008 by anonymous (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 217.190.244.226 (Diskussion • Beiträge) 20:16, 1. Dez. 2008)

Der Fall, "wenn mit Absetzen gezeichnet werden kann" wird ja gar nicht behandelt. --NeoUrfahraner 21:46, 1. Dez. 2008 (CET)

Tangens beispielsweise? Nulli 23:29, 2. Jan. 2010 (CET)

Ja, Tangens beispielsweise. Aber über diese Funktionen wird ja, wie schon vom NeoUrfahraner angemerkt, überhaupt nichts ausgesagt.--Grip99 01:12, 3. Jan. 2010 (CET)

Das wurde oben doch ellenlang diskutiert. Das sollte man lesen bevor man das hier zum 20.mal ankreidet. Es ist eine naive Einführung für Nicht-Mathematiker die für "fast alle" Fälle korrekt ist. (nicht signierter Beitrag von 82.83.79.127 (Diskussion | Beiträge) 19:48, 5. Apr. 2010 (CEST))

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Stetigkeit reeller Funktionen

Meines Erachtens sollte hier zunächst explizit gesagt werden, dass dieser Abschnitt sich an den mathematischen Laien wendet und daher nur die einfachen Aspekte des Stetigkeitsbegriffs behandelt. Andernfalls haben wir irgendwann wieder Teile drin, die die Non-Standard-Analysis oder ähnliches behandeln.

Ich habe unter Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Stetige_Funktion_2 einige Überlegungen zur Ausrichtung des Artikels hinterlegt. Zur Frage, wie man die Funktionen spezifiziert, die wir hier betrachten habe ich den folgenden Vorschlag angegeben:

Sei $f$ eine reelle Funktion, also eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$, deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R}$ ebenfalls aus reellen Zahlen besteht.

Die Funktion heißt in einem Punkt $x_{0}\in D$ stetig, wenn...

Danach sollte dann die Definition mittels Epsilon-Delta kommen. Die Gründe habe ich hier schon mal dargelegt. Ich bekräftige das noch einmal. Die zwei Schulbücher für den Mathematik-LK in NRW, die ich inzwischen einsehen konnte, behandeln keine Grenzwerte, weder für Folgen noch für Funktionen. Damit widerspricht es der expliziten Ausrichtung dieses Kapitels, wenn Stetigkeit mit Rückgriff auf Konvergenz eingeführt wird. --Stephan2802 (Diskussion) 21:40, 5. Apr. 2019 (CEST)

Ob wir für diesen Teil des Artikels schon die Sprache der Mengenlehre verwenden sollten, ist eine Ansichts- oder Glaubensfrage, auf die wir uns letztlich mit einer Mehrheitsentscheidung werden verständigen müssen. Ich hatte Benutzer:Saure so verstanden, dass das Motiv für seine Neuauflage gerade das Vermeiden solcher Formalitäten war.

Für die Einführung der Stetigkeit in Schulbüchern hätte ich jetzt zwei entgegengesetzte Beispiele. Das in Bayern gebräuchliche Schulbuch delta 11 vom C.C.Buchner-Verlag zeigt zunächst Bilder stetiger und unstetiger Geländer und bringt dann die Definition

Eine Funktion $f$ mit der Definitionsmenge $D_{f}$ heißt stetig an der Stelle $x_{0}\in D_{f}$, wenn der Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ existiert und mit dem Funktionswert $f(x_{0})$ übereinstimmt, wenn also gilt: $\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})$. Funktionen, die für jeden Wert von $x\in D_{f}$ stetig sind, nennt man stetige Funktionen.

Das in Nordrhein-Westfalen in den Nuller Jahren gebräuchliche Schulbuch Mathematik 11. Schuljahr vom Cornelsen Verlag führt Stetigkeit im Abschnitt über Zwischenwerte ein:

Bild 23/1 zeigt einen Funktionsgraphen; er ist an den Stellen 20, 50 und 500 nicht zusammenhängend, er hat dort Sprungstellen. Anschaulich erscheint es unmittelbar klar, was es bedeutet, dass ein Funktionsgraph zusammenhängend ist. In der Jahrtausende alten Geschichte der Mathematik hat es aber bis ins 18. Jahrhundert gedauert, bis man diesen Zusammenhang auch allgemein und unabhängig von der Anschauung beschreiben konnte. Seither nennt man Funktionen mit zusammenhängenden Graphen stetig. Unstetig sind also z.B. Funktionen, deren Graph eine oder mehrere Sprungstellen hat wie der Graph der Briefportofunktion an den Stellen 20, 50 und 500.

(In Wirklichkeit war es nicht das 18. Jahrhundert, sondern das 19.) Im darauf aufbauenden Analysis-Band für die Oberstufe kommt Stetigkeit dann gar nicht mehr vor, jedenfalls steht das Wort nicht im Stichwortverzeichnis.

Ich wäre für die bayerische Variante, die aber jedenfalls immer noch weniger formal ist als der von Dir vorgeschlagene Text.—Godung Gwahag (Diskussion) 14:00, 6. Apr. 2019 (CEST)

Mir gefällt die bayerische Variante auch besser, einfach weil sie den Ansprüchen an eine Definition genügt. Den links- und rechtsseitigen Limes würde ich aber aus zwei Gründen weglassen:

• Es ist überflüssig. Genau dann wenn der linke und rechte Limes miteinander und mit dem Funktionswert übereinstimmen, ist es auch der Limes der Funktion an der Stelle. Wenn mindestens einer der beiden einseitigen Limites nicht existiert oder nicht mit dem Funktionswert übereinstimmt, gibts keinen Limes der Funktion dort.
• Es beschränkt die Definition auf die Fälle, in denen es ein „links“ und „rechts“ gibt. Das ist nicht der Fall in einer Umgebung des Punktes im $\mathbb {R} ^{n}$, in $\mathbb {C}$ oder in nichtmetrischen Topologien. Wenn ich nicht auf dem Schlauch stehe (zu langs ists her), ist die Definition mit dem Limes dagegen passend für alle topologischen Räume, nicht nur für $\mathbb {R}$. Das wäre sogar ein Grund, sie der $\varepsilon$-$\delta$-Definition vorzuziehen, obwohl die den Vorteil hat, dort wo sie passt, ein nützliches Kriterium zu liefern.

--Lantani (Diskussion) 15:08, 6. Apr. 2019 (CEST)

Es geht ja aber hier auch nur um Funktionen in einerreellen Variablen.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:24, 6. Apr. 2019 (CEST)

@Godung Gwahag: Danke, dass du immer mal wieder daran erinnerst, dass dieser Abschnitt sich an den mathematischen Laien wendet und daher nur die einfachen Aspekte des Stetigkeitsbegriffs behandelt. Das Vermeiden von Formalitäten ist eine wesentliche Hilfe zum Verständnis! Leider gibt es mindestens einen Perfektionisten, der die volle Schönheit der Mathematik ausfahren will – ohne Rücksicht auf ihre Anwendbarkeit für Nicht-Mathematiker. --der Saure 18:55, 6. Apr. 2019 (CEST)

Trotzdem halte ich es aus didaktischer Sicht für schlecht, eine Beschreibung zu wählen, die suggeriert, die Ordnungsstruktur von $\mathbb {R}$ sei für die Definition der Stetigkeit wesentlich. Wer das einmal verinnerlicht hat, dem wird ja schon der Transfer auf die Stetigkeit von komplexen Funktionen erschwert. Und solche Funktionen sind mit Sicherheit auch für viele Ingenieure und Physiker relevant. --Stephan2802 (Diskussion) 21:36, 7. Apr. 2019 (CEST)

Ich verstehe den Einwand nicht. Meine Bemerkung war: macht es nicht komplizierter als es sein muss. Und da bekomme ich eins auf den Deckel mit dem Einwand, der mathematische Laie versteht es besser, wenn es kompliziert ist. Eine Funktion heißt im Punkt $x_{0}$ stetig, wenn $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ existiert. Fertig. Das bedeutet anschaulich: die Funktionswerte $f(x)$ gruppieren sich umso dichter um $f(x_{0})$, je dichter die $x$ an $x_{0}$ liegen. Das ist doch einfacher, als dass das von links gilt und von rechts gilt und außerdem für $x_{0}$ selbst auch noch gilt, und das insbesondere auch dann, wenn $x_{0}$ auf dem Rand des Definitionsbereichs liegt, z.B. $x_{0}=0$ für $f(x)={\sqrt {x}}$.

Das zitierte bayerische Schulbuch machts übrigens richtig: die links- und rechtsseitiges Extralimites stehen hinter einem „also“, sind mithin nicht ein Bestandteil, sondern eine zusätzliche Erläuterung der (einfacheren) Definition. Wenn solche Erläuterungen zum Verständnis etwas beitragen, kann man sie gerne dazuschreiben – damit habe ich kein Problem.

Nicht die größere Allgemeinheit (über die reellen Funktionen hinaus) war mein eigentliches Argument, sondern die größere Einfachheit, nämlich dass die Besonderheit der reellen Zahlen, nämliche ihre Anordnung von links nach rechts, gar nichts zur Definition beiträgt und also zur Vereinfachung weggelassen werden kann.

Warum wird aber diese einfachere Darstellung vom Laien als komplizierter empfunden? Mein erster Tipp: weil er dynamisch denkt. Wer auf $x_{0}$ zumarschiert, muss von links oder von rechts kommen, und wenn er $x_{0}$ erreicht, ist er am Ziel und legt den Tornister ab. Genau diese Dynamik hat der Limesbegriff aber nicht. Wo steht in irgendeiner Definition von Limes, dass da marschiert wird? Vielmehr ist der Limes ganz genau wie die $\varepsilon$-$\delta$-Stetigkeit statisch definiert: wer mit dem Argument nahe genug dran ist (nicht näher kommt!), ist es auch mit dem Funktionswert. Deswegen halte ich mittlerweise die $\varepsilon$-$\delta$-Definition für die einfachere: es steht direkt da, wie's definiert ist und man verlässt sich nicht darauf, dass ein anderer Begriff schon verstanden wurde, nämlich der des Limes. Offenbar wurde er das nicht. --Lantani (Diskussion) 20:59, 6. Apr. 2019 (CEST)

Ich lese gerade wenige Minuten danach im Artikel Grenzwert (Funktion) etwas von „punktierten“ Umgebungen. Ist das die übliche Definition von Limes, dass zu einer Umgebung eines Punktes der Punkt selbst nicht dazugehört? Nie zuvor gehört. Falls ja, muss man an obigen Ausführungen ein paar Sonderfälle ergänzen, was aber nichts am generellen Anliegen ändert. --Lantani (Diskussion) 21:12, 6. Apr. 2019 (CEST)

Bei der Definition über den Funktionslimes liegt der Teufel halt im Detail. Betrachtet man den Punkt selbst bei der Definition mit, so kann der Funktionslimes nur gleich dem Funktionswert sein. Die Funktion ist dann stetig genau dann wenn der Funktionslimes existiert (und dann automatisch gleich dem Funktionswert ist). Die Gleichung $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ ist dann zumindest befremdlich, da die Gleichung immer erfüllt ist, wenn der linke Term überhaupt existiert.

Alternativ kann man (klassisch) den Punkt selbst bei der Definition außen vor lassen. Da erhält man dann auch eine Definition für den Funktionslimes für Punkte am Rand des Definitionsbereichs, die gar nicht zu diesem gehören, was manchmal auch gewünscht ist. Allerdings muss man bei Stetigkeitsbetrachtungen dann wieder eine Sonderdefinition für etwaige isolierte Punkte im Definitionsbereich angeben.

Der Artikel zum Funktionslimes beschreibt diese Problematik (wenn auch wenig eingängig). Diese Komplexität ist auch der Grund, warum die Definition über den Funktionslimes für mich nur dritte Wahl ist. --Stephan2802 (Diskussion) 21:40, 6. Apr. 2019 (CEST)

Wenn ich es richtig sehe, dann haben wir hier zwei Diskussionen, die wir sauber trennen sollten:

• Welche "Sprache" verwenden wir bei der Beschreibung unseres Untersuchungsgegenstandes (reelle Funktionen)?
• Benutzen wir als führende Definition das Epsilon-Delta-Kriterium, das Folgenkriterium oder die Definition über den Funktionslimes?

Die zweiten Frage scheint mir eigentlich bereits entschieden durch die Tatsache, dass im einwohnerreichsten Bundesland NRW Konvergenz gar nicht mehr Unterrichtsgegenstand ist. Damit scheiden alle Definitionen, die sich auf einen Konvergenzbegriff stützen aus.

Zur ersten Frage: Die Formulierung "Eine Funktion $f$ mit der Definitionsmenge $D_{f}$ heißt stetig an der Stelle $x_{0}\in D_{f}$, wenn..." ist jedenfalls nicht ganz so schlimm, wie das, was jetzt im Artikel steht.

Zu bemängeln bleibt aber, dass hier der Begriff "Funktion" offenbar synonym für "reelle Funktion" verwendet wird. Das mag im Kontext dieses Schulbuchs (wie auch der Bücher aus NRW) richtig sein. Hier bewegen wir uns aber im Kontext der Wikipedia. Und da wird an allen Ecken und Enden der Funktionsbegriff anders benutzt. Wohin sollte denn das "Funktion" in dem Text verlinken? Das kann ja sinnvoller Weise nur Funktion (Mathematik) sein.

Übrigens benutzt der jetzige Vorschlag des Artikels im Kapitel "Beispiele" selbst immer wieder die "Sprache der Mengenlehre". Das ist eben die Sprache, in der man solche Aussagen am Besten formulieren kann. Es mag sein, dass einzelne Schulbücher dafür eine eigene Alternativsprache entwickelt haben, die für den Anspruch dieser Bücher einigermaßen ausreicht. Ich halte es aber für wenig sinnvoll, wenn in Wikipedia isoliert für ein Lemma eine solche Alternativsprache adaptiert wird.

Das Zitat aus dem Buch aus dem Cornelsen Verlag kann gerne als Anregung für eine Formulierung in der Einleitung oder im Motivationsteil genutzt werden. Wie es uns im mathematischen Teil weiterbringen soll, sehe ich nicht so recht. --Stephan2802 (Diskussion) 21:24, 6. Apr. 2019 (CEST)

Naja, wenn im NRW-Unterricht überhaupt keine formale Definition von Stetigkeit vorkommt, dann ist das jetzt kein wirklicher Grund, das eine Kriterium gegenüber dem anderen zu bevorzugen. Und wenn es jetzt wirklich um Bevölkerungszahlen gehen sollen, dann müßten wir schon die Bevölkerung aller Bundesländer (einschließlich Schweiz und Österreich) zählen, welche das eine oder das andere Kriterium verwenden.—Godung Gwahag (Diskussion) 21:55, 6. Apr. 2019 (CEST)

Dann müssten wir nochmal genauer festlegen, welchen "Schüler" wir denn meinen. Geht es um den Schüler, der einen Begriff in der Schule nicht verstanden hat, und der Wikipedia als Nachhilfelehrer-Ersatz benutzen möchte? Oder geht es um den Schüler, der seinen Horizont etwas über den Unterrichtsstoff hinaus erweitern möchte? Oder um den Schüler, der im Rahmen einer Facharbeit ein Thema bearbeiten soll, das eigentlich nicht zum Unterrichtskanon gehört? Die letzten beiden könnten aus NRW kommen, und ihnen wäre geholfen, wenn sie sich zur Einarbeitung in ein neues Thema nicht noch ein anderes ihnen unbekanntes aneignen müssten.

Die Auszählung nach Einwohnern halte ich für überflüssig, da ja das Epsilon-Delta-Kriterium von allen (Oberstufen-)schülern verstanden werden kann. Die Definition über Limites aber von einem relevanten Teil nicht. --Stephan2802 (Diskussion) 22:28, 6. Apr. 2019 (CEST)

Als Mathematiker formuliere ich Sachen natürlich auch in der Sprache der Mengenlehre. Es geht hier aber darum, die ersten Teile des Artikels zumindest bis zu den Beispielen so zu schreiben, dass sie die Leser nicht abschrecken. Ich stimme Dir (auch deswegen) zu, dass die Permanenzeigenschaften stetiger Eigenschaften stetiger Funktionen in einen eigenen Abschnitt erst nach den Beispielen verschoben werden sollen. (Und die Permannenzeigenschaften sollten so formuliert sein, dass der Leser sofort erkennt, worum es geht, ohne erst von den Diskussionen der Definitionsbereiche abgelenkt zu werden.) Ansonsten kommen die Beispiele ja erstmal ohne abstrakte Formulierungen aus mit Ausnahme der durch Fallunterscheidungen definierten Beispiele; aber die kommen ja auch erst am Ende des Abschnitts. (Vielleicht wäre es ohnehin besser, diese Beispiele in den Abshcnitt über Unstetige Funktionen zu verschieben?)—Godung Gwahag (Diskussion) 22:10, 6. Apr. 2019 (CEST)

Ich war bisher davon ausgegangen, dass der ganze Abschnitt "Stetigkeit reeller Funktionen" laienkompatibel geschrieben sein soll. Dass das jetzt nur für einen Teil (inklusive oder exklusive "Beispiele"?) gelten soll, ist neu. Ein "Sprachwechsel" mitten im laufenden Kapitel halte ich auch für wenig sinnvoll. --Stephan2802 (Diskussion) 22:28, 6. Apr. 2019 (CEST)

Was die Permanenzeigenschaften angeht, so wird da ja nur die Bezeichnung $D_{f}$ verwendet, wie sie im Abschnitt von Beginn an vorkommt. Etwas anderes ist es bei den Beispielen unstetiger Funktionen, die sollte man noch entsprechend umschreiben (und wie unten gesagt weiter nach hinten schieben).—Godung Gwahag (Diskussion) 22:56, 6. Apr. 2019 (CEST)

Die Schreibweise mit dem Pfeil (das meinen wir doch mit "Sprache der Mengenlehre, oder?) wird im Augenblick in allen Beispielen (hier sogar mit den Varianten $\to$ und $\mapsto$), angefangen beim Sinus, benutzt. Außerdem kommt der Pfeil bei der Formulierung der Permanenzeigenschaft (7) vor. --Stephan2802 (Diskussion) 23:22, 6. Apr. 2019 (CEST)

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Definition mittels Grenzwerten (Folgenkriterium)

Die Überschrift passt nicht zum Inhalt, da das Folgenkriterium hier nur als abgeleitetes Kriterium behandelt wird.

Meines Erachtens sollte man die beiden Varianten "Folgenkriterium" und "Funktionslimes" besser trennen. Die Definition über den Funktionslimes ist problematisch, da wir auch Definitionsbereiche mit isolierten Punkten zugelassen haben. Auch ist der Artikel Grenzwert (Funktion) eher schwer verdaulich.

Mein Vorschlag: Ein Abschnitt "Folgenkriterium", der dieses Kriterium als äquivalent zur vorher beschriebenen Epsilon-Delta-Definition einführt. Dann muss noch irgendwo die Information untergebracht werden, dass man das auch über den Funktionslimes beschreiben kann. Im einfachsten Fall käme ans Ende des Artikels "Folgenkriterium" noch ein Abschnitt: "Ist der Definitionsbereich $D$ ein Intervall, so kann das Folgenkriterium auch als Bedingung an den Funktionslimes formuliert werden:

$f$ ist stetig in $x_{0}\in D$, wenn gilt: $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

Den Verweis auf linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte sollte man weglassen. Bei abgeschlossenen beschränkten Intervallen stimmt das für die Intervallgrenzen nicht. --Stephan2802 (Diskussion) 10:07, 6. Apr. 2019 (CEST)

Das in Klammern gesetzte Folgenkriterium kann man aus der Überschrift natürlich herausnehmen. Das Folgenkriterium sollte aber schon vorkommen, schon weil man es gelegentlich als Verlinkungsziel brauchen könnte. Vielleicht sollte man das Folgenkriterium in einen separaten Abschnitt auslagern?—Godung Gwahag (Diskussion) 15:08, 6. Apr. 2019 (CEST)

Feinheiten wie isolierte Punkte oder Ränder von Intervallen sollte man m.M.n. in diesem Artikelteil nicht diskutieren, da sie den Nicht-Mathematiker eher verwirren und vom Wesentlichen ablenken. Aber dieser Punkt gehört eigentlich in die Grundsatzdiskussion über die Ausrichtung dieses Artikelteils, also wie formal man die Definitionen in diesem Teil halten will.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:08, 6. Apr. 2019 (CEST)

Ich will diese Feinheiten im Artikel auch gar nicht diskutieren. Ich möchte nur vermeiden, dass wir Definitionen angeben, die für diese Spezialfälle falsch sind. Und ja: Ich bin mir sicher, dass mir das als Schüler bereits aufgefallen wäre. --Stephan2802 (Diskussion) 22:31, 6. Apr. 2019 (CEST)

Neben dem zitierten bayrischen Schulbuch beginnen auch bspw. Heuser „Analysis I“ und Fischer-Kaul „Mathematik für Physiker I“ jeweils mit dem Folgenkriterium und bringen dann das epsilon-delta-Kriteirum als äquivalente Bedingung.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:27, 6. Apr. 2019 (CEST)

Diese Lehrbücher sind vermutlich so aufgebaut, dass sie sich zunächst ausführlich dem Thema Folgenkonvergenz widmen. Es ist nur legitim, dass sie dann im Kapitel zu Stetigkeit die Früchte dieser Vorbereitung ernten. Eine Enzyklopädie ist aber anders aufgebaut. Da kann man nicht erwarten, dass der Leser der durch ein Lehrbuch vorgegebenen Lernkurve folgt. Daher ist eine Definition, die sich nicht darauf verlassen muss, dass andere Konzepte bereits verstanden wurden, vorzuziehen. --Stephan2802 (Diskussion) 22:39, 6. Apr. 2019 (CEST)

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Epsilon-Delta-Kriterium

Wie bereits dargelegt, sollte dies das führende Kriterium sein. Ich schlage die folgende Formulierung vor:

Sei $f$ eine reelle Funktion, also eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$, deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich $D\subset \mathbb {R}$ ebenfalls aus reellen Zahlen besteht.

Die Funktion heißt stetig in $x_{0}\in D$, wenn zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x\in D$ mit $|x-x_{0}|<\delta$ gilt: $|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$.

An Stelle von Stetigkeit in $x_{0}$ spricht man oft auch von Stetigkeit im Punkt $x_{0}$ oder Stetigkeit an der Stelle $x_{0}$. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man $f$ unstetig in (im Punkt/an der Stelle) $x_{0}$, bzw, bezeichnet $x_{0}$ als Unstetigkeitsstelle von $f$.

Intuitiv bedeutet die Bedingung der Stetigkeit, dass zu jeder Änderung $\varepsilon$ des Funktionswertes, die man zu akzeptieren bereit ist, eine maximale Änderung $\delta$ im Argument gefunden werden kann, die diese Vorgabe sicherstellt. --Stephan2802 (Diskussion) 10:24, 6. Apr. 2019 (CEST)

@Stephan2802: Bitte immer nur einen Abschnitt (den engsten umfassenden) bearbeiten, nie den ganzen Artikel, damit der Abschnittsname im Bearbeitungskommentar landet. Ich habe lange suchen müssen, um die Stelle zu finden, wo du etwas geändert hast.

Ich stimme zu, dass das Epsilon-Delta-Kriterium die Definition sein sollte, nicht nur ein Kriterium für die Anwendbarkeit einer anderen – und bisher ganz fehlenden – Definition (werde ich gleich unter „Einleitung“ noch ausführen).

Wegen der Allgemeinverständlichkeit: Zufällig habe ich den Artikel Epsilontik gefunden, der die beste allgemeinverständliche Einführung enthält, die dann gleichermaßen auf Folgen, auf Stetigkeit und auf anderes anwendbar ist, so dass mann sie wiederverwenden kann, statt sie zu wiederholen. Den Gag der Sache, der von Cauchy und Weierstraß erfunden wurde, ist, dass man auf die Dynamik („x geht gegen a“, „wenn x hinreichend nahe an a kommt, ...“ vollständig verzichtet. Das würde ich gerne noch verbessern und den bislang sonst etwas schrägen Artikel Epsilontik geraderücken. --Lantani (Diskussion) 12:29, 6. Apr. 2019 (CEST)

@Lantani: Danke für den Tipp mit der Abschnittsbearbeitung. Zum Inhaltlichen: Mir ist nicht ganz klar, was du vom Lemma Epsilontik nun hältst. Zunächst attestierst du ihm, dass er "die beste allgemeinverständliche Einführung enthält...". Später nennst du ihn dann "etwas schräg". Letzteres entspricht auch eher meiner Einschätzung. Im Augenblick würde ich meinen obigen Vorschlag so erweitern, dass ich ans Ende des letzten Satzes noch ein ", siehe auch Epsilontik" anfügen würde. --Stephan2802 (Diskussion) 12:50, 6. Apr. 2019 (CEST)

steht jetzt in Diskussion:Epsilontik#Stärken und Schwächen des Artikels --Lantani (Diskussion) 16:03, 6. Apr. 2019 (CEST)

Dann würde ich es jetzt erst einmal bei der von mir beschriebenen Erwähnung des Lemmas lassen. Wenn sich das Lemma wie geplant weiter entwickelt hat, kann man ja nochmal schauen, ob man darauf auch in diesem Artikel reagieren sollte. --Stephan2802 (Diskussion) 21:27, 7. Apr. 2019 (CEST)

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Definition über die Oszillation an einem Punkt

Die Charakterisierung der Stetigkeit über die Oszillation ist in meinen Augen eher ungebräuchlich. Ich glaube auch nicht, dass der mathematische Laie einen geschachtelten Infimums-Supremums-Ausdruck besonders motivierend findet.

Meines Erachtens gehört der Abschnitt hier einfach entfernt. In einem späteren Abschnitt, wo man andere Stetigkeitsbegriffe und -kriterien sammelt, kann man diese Information ja aufnehmen. Dann für die allgemeine Situation (Definitionsbereich topologischer Raum, Zielmenge metrischer Raum).

Die Wiederholung der Definition der Oszillation an der Stelle halte ich für überflüssig. Dafür gibt es Verweise. --Stephan2802 (Diskussion) 13:02, 6. Apr. 2019 (CEST)

Es gibt ja schon einen Artikel Oszillation. Insofern können wir diesen Abschnitt vielleicht weglassen. Man könnte stattdessen am Ende des Abschnitts zum epsilon-delta-Kriterium in einem kurzen Satz erwähnen, dass dies äquivalent zu Oszillation = 0 ist. (Nur mit Verlinkung des Begriffs, ohne Erklärung, was Oszillation ist.)—Godung Gwahag (Diskussion) 15:11, 6. Apr. 2019 (CEST)

Bringt das den mathematischen Laien, an den wir uns hier ja richten, wirklich weiter? Wenn nicht, dann an dieser Stelle weglassen. --Stephan2802 (Diskussion) 21:44, 6. Apr. 2019 (CEST)

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Entwurf 1

Auf Basis der obigen Diskussion versuche ich dann mal einen Entwurf für diesen Abschnitt, der hoffentlich einen tragfähigen Kompromiss zwischen den hier geäußerten Kritiken darstellt.--Godung Gwahag (Diskussion) 19:22, 9. Mai 2019 (CEST)

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Stetigkeit reeller Funktionen

Veranschaulichung der $\epsilon -\delta -$Definition: für $\epsilon =0.5$ erfüllt $\delta =0.5$ die Stetigkeitsbedingung.

Epsilon-Delta-Kriterium

Sei $f$ eine reelle Funktion, also eine Funktion $f\colon D_{f}\to \mathbb {R}$, deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich $D_{f}\subset \mathbb {R}$ ebenfalls aus reellen Zahlen besteht.

Die Funktion $f$ ist stetig in $x_{0}$, wenn zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x\in D_{f}$ mit

$|x-x_{0}|<\delta$

gilt:

$|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$.

An Stelle von Stetigkeit in $x_{0}$ spricht man oft auch von Stetigkeit im Punkt $x_{0}$ oder Stetigkeit an der Stelle $x_{0}$. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man $f$ unstetig in (im Punkt/an der Stelle) $x_{0}$, bzw. bezeichnet $x_{0}$ als Unstetigkeitsstelle von $f$.

Intuitiv bedeutet die Bedingung der Stetigkeit, dass zu jeder Änderung $\varepsilon$ des Funktionswertes, die man zu akzeptieren bereit ist, eine maximale Änderung $\delta$ im Argument gefunden werden kann, die diese Vorgabe sicherstellt. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man $f$ unstetig in $x_{0}$.

Beispiel zum Folgenkriterium: Die Folge exp(1/n) konvergiert gegen exp(0)

Definition mittels Grenzwerten

Eine Funktion $f$ mit der Definitionsmenge $D_{f}$ heißt stetig an der Stelle $x_{0}\in D_{f}$, wenn der Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ existiert und mit dem Funktionswert $f(x_{0})$ übereinstimmt, wenn also gilt:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$.

Anders ausgedrückt: für jede gegen $x_{0}$ konvergente im Definitionsbereich liegende Folge $(a_{n})$ mit Elementen $a_{n}\in D_{f}$, konvergiert die Folge ${\bigl (}f(a_{n}){\bigr )}$ gegen $f(x_{0})$. Man kann also bei einer stetigen Funktion die Reihenfolge von Funktionsausführung und Grenzwertbildung vertauschen.

Man spricht von einer stetigen Funktion, wenn die Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Ende des Vorschlags für diesen Abschnitt.--Godung Gwahag (Diskussion) 19:22, 9. Mai 2019 (CEST)

Entwurf 2

Auf Basis von Entwurf 1 habe ich Entwurf 2 erstellt, da ich bei Entwurf 1 noch einige Schwächen sehe  --Stephan2802 (Diskussion) 21:12, 9. Mai 2019 (CEST)

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Stetigkeit reeller Funktionen

Definition

Sei $f$ eine reelle Funktion, also eine Funktion $f\colon D_{f}\to \mathbb {R}$, deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich $D_{f}\subset \mathbb {R}$ ebenfalls aus reellen Zahlen besteht.
In der reellen Analysis gibt es mehrere gleichwertige Möglichkeiten, die Stetigkeit von $f$ in einem ${\displaystyle x_{0}\in D_{f}}$ zu definieren. Die gebräuchlichsten sind das Epsilon-Delta-Kriterium und die Definition mittels Grenzwerten.

Veranschaulichung der $\epsilon -\delta -$Definition: für $\epsilon =0.5$ erfüllt $\delta =0.5$ die Stetigkeitsbedingung.

Definition mittels Epsilon-Delta-Kriterium

$f$ heißt stetig in $x_{0}$, wenn zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x\in D_{f}$ mit

$|x-x_{0}|<\delta$

gilt:

$|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$.

Intuitiv bedeutet die Bedingung der Stetigkeit, dass zu jeder Änderung $\varepsilon$ des Funktionswertes, die man zu akzeptieren bereit ist, eine maximale Änderung $\delta$ im Argument gefunden werden kann, die diese Vorgabe sicherstellt.

Beispiel zum Folgenkriterium: Die Folge exp(1/n) konvergiert gegen exp(0)

Definition mittels Grenzwerten

Bei dieser Definition fordert man die Vertauschbarkeit von Funktionsausführung und Grenzwertbildung. Hierbei kann man sich wahlweise auf den Grenzwertbegriff für Funktionen oder für Folgen stützen.
Im ersten Fall formuliert man: $f$ heißt stetig in $x_{0}$, wenn der Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ existiert und mit dem Funktionswert $f(x_{0})$ übereinstimmt, wenn also gilt:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$.

Im zweiten Fall formuliert man: $f$ heißt stetig in $x_{0}$, wenn für jede gegen $x_{0}$ konvergente Folge $(a_{n})$ mit Elementen $a_{n}\in D_{f}$, die Folge ${\bigl (}f(a_{n}){\bigr )}$ gegen $f(x_{0})$ konvergiert.
Die zweite Bedingung wird auch als Folgenkriterium bezeichnet.

Weitere Sprechweisen

Statt von Stetigkeit in $x_{0}$ spricht man oft auch von Stetigkeit im Punkt $x_{0}$ oder Stetigkeit an der Stelle $x_{0}$. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man $f$ unstetig in (im Punkt/an der Stelle) $x_{0}$, bzw. bezeichnet $x_{0}$ als Unstetigkeitsstelle von $f$.

Man spricht von einer stetigen Funktion, wenn die Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Ende von Entwurf 2 --Stephan2802 (Diskussion) 21:12, 9. Mai 2019 (CEST)

Nachtrag: Den letzten Satz habe ich aus Entwurf 1 übernommen. Etwas besser finde ich aber die folgende Formulierung:
Man nennt eine Funktion stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.
Alternativ:
Unter einer stetigen Funktion versteht man eine Funktion, die in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist. --Stephan2802 (Diskussion) 16:56, 10. Mai 2019 (CEST)

Soweit einverstanden. Ich finde es aber nicht so gut, die weiteren Sprechweisen durch einen eigenen Abschnitt auf dieselbe Ebene wie die beiden Kriterien zu heben und würde die „weiteren Schreibweisen“ mit in die Einleitung hineinnehmen, also

[...]In der reellen Analysis gibt es mehrere gleichwertige Möglichkeiten, die Stetigkeit von $f$ in einem ${\displaystyle x_{0}\in D_{f}}$ zu definieren. Die gebräuchlichsten sind das Epsilon-Delta-Kriterium und die Definition mittels Grenzwerten.  
Statt von Stetigkeit in $x_{0}$ spricht man oft auch von Stetigkeit im Punkt $x_{0}$ oder Stetigkeit an der Stelle $x_{0}$. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man $f$ unstetig in (im Punkt/an der Stelle) $x_{0}$, bzw. bezeichnet $x_{0}$ als Unstetigkeitsstelle von $f$.
Man spricht von einer stetigen Funktion, wenn die Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Und dann weiter mit den Abschnitten zu den Kriterien.—Godung Gwahag (Diskussion) 17:03, 10. Mai 2019 (CEST)

Das hatte ich auch überlegt. Ich halte es aber aus didaktischer Sicht für ungünstig, zunächst einmal eine Definition anzukündigen und dann, bevor sie tatsächlich kommt, erst einmal darüber zu reden, welche Begriffsvarianten es gibt, wie man ausdrückt, dass die Definition nicht erfüllt ist,...

Meines Erachtens ist es leserfreundlicher, die Baustelle, die man mit der Ankündigung eröffnet hat, zu schließen, bevor man sich der nächsten zuwendet. Der Leser sollte erst erfahren, was der Begriff bedeutet, bevor er diese ganzen Sprechweisen durchdekliniert bekommt. --Stephan2802 (Diskussion) 23:14, 10. Mai 2019 (CEST)

Ich finde es ungünstig, die weiteren Sprechweisen als eigenen Abschnitt sozusagen auf eine Stufe mit den beiden Kriterien zu stellen, denn es handelt sich ja nicht um weitere Kriterien, sondern um Ergänzungen zu beiden Kriterien.

Vielleicht kann man es so machen:

Definition

Sei $f$ eine reelle Funktion, also eine Funktion $f\colon D_{f}\to \mathbb {R}$, deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich $D_{f}\subset \mathbb {R}$ ebenfalls aus reellen Zahlen besteht.
In der reellen Analysis gibt es mehrere gleichwertige Möglichkeiten, die Stetigkeit von $f$ in einem ${\displaystyle x_{0}\in D_{f}}$ zu definieren. Die gebräuchlichsten sind das Epsilon-Delta-Kriterium und die Definition mittels Grenzwerten.

Veranschaulichung der $\epsilon -\delta -$Definition: für $\epsilon =0.5$ erfüllt $\delta =0.5$ die Stetigkeitsbedingung.

Definition mittels Epsilon-Delta-Kriterium. $f$ heißt stetig in $x_{0}$, wenn zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x\in D_{f}$ mit

$|x-x_{0}|<\delta$

gilt:

$|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$.

Intuitiv bedeutet die Bedingung der Stetigkeit, dass zu jeder Änderung $\varepsilon$ des Funktionswertes, die man zu akzeptieren bereit ist, eine maximale Änderung $\delta$ im Argument gefunden werden kann, die diese Vorgabe sicherstellt.

Beispiel zum Folgenkriterium: Die Folge exp(1/n) konvergiert gegen exp(0)

Definition mittels Grenzwerten. Bei dieser Definition fordert man die Vertauschbarkeit von Funktionsausführung und Grenzwertbildung. Hierbei kann man sich wahlweise auf den Grenzwertbegriff für Funktionen oder für Folgen stützen.
Im ersten Fall formuliert man: $f$ heißt stetig in $x_{0}$, wenn der Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ existiert und mit dem Funktionswert $f(x_{0})$ übereinstimmt, wenn also gilt:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$.

Im zweiten Fall formuliert man: $f$ heißt stetig in $x_{0}$, wenn für jede gegen $x_{0}$ konvergente Folge $(a_{n})$ mit Elementen $a_{n}\in D_{f}$, die Folge ${\bigl (}f(a_{n}){\bigr )}$ gegen $f(x_{0})$ konvergiert.
Die zweite Bedingung wird auch als Folgenkriterium bezeichnet.

Statt von Stetigkeit in $x_{0}$ spricht man oft auch von Stetigkeit im Punkt $x_{0}$ oder Stetigkeit an der Stelle $x_{0}$. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man $f$ unstetig in (im Punkt/an der Stelle) $x_{0}$, bzw. bezeichnet $x_{0}$ als Unstetigkeitsstelle von $f$.

Man spricht von einer stetigen Funktion, wenn die Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Ende Vorschlag —Godung Gwahag (Diskussion) 10:37, 11. Mai 2019 (CEST)

Ich kann deine Bedenken verstehen, würde sie aber nicht für so wesentlich halten. Die Überschrift des Kapitels heißt ja nicht "Liste alternativer Definitionsmöglichkeiten", sondern "Definition". Da könnten in meinen Augen also auch Unterkapitel verschiedenen Typs auftauchen. Der Vorteil wäre halt, dass man die beiden wichtigen Unterkapitel als mögliche Verlinkungsziele hat.

Letztlich bewegen wir uns aber auf der Ebene von Feinheiten. Als Kompromiss bin ich mit deinem Vorschlag einverstanden. Kopierst du ihn in den Artikel? --Stephan2802 (Diskussion) 11:07, 11. Mai 2019 (CEST)

Ist getan.—Godung Gwahag (Diskussion) 11:49, 11. Mai 2019 (CEST)

Sehr schön. Hier mein Vorschlag, wie es weitergehen könnte.

Beispiele stetiger Funktionen

Ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. Damit folgt insbesondere die Stetigkeit

• aller rationalen Funktionen (also etwa $x\mapsto x^{3}+4x^{2}-6x+9$ oder $x\mapsto {\frac {2x-1}{x+2}}$)
• der Exponentialfunktionen $x\mapsto a^{x}$, für festes $a>0$
• der trigonometrischen Funktionen (also Sinus, Kosinus, Tangens,...)
• der Logarithmusfunktionen

Hier würde ich inzwischen noch den Satz "Die Stetigkeit dieser Funktionen lässt sich auch ohne Rückgriff auf den Begriff der Differenzierbarkeit direkt beweisen." einfügen wollen. --Stephan2802 (Diskussion) 09:28, 18. Mai 2019 (CEST)

Die Betragsfunktion ist ebenfalls stetig, auch wenn sie im Punkt 0 nicht differenzierbar ist. Ebenfalls stetig sind alle Potenzfunktionen (etwa $x\mapsto x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}$), obwohl sie für einen Exponenten kleiner 1 im Punkt 0 ebenfalls nicht differenzierbar sind.

Tatsächlich sind alle elementaren Funktionen stetig (zum Beispiel $x\mapsto {\sqrt {1+cos^{2}(x-5)}}$).

Bei der Betrachtung der elementaren Funktionen ist allerdings zu beachten, dass einige elementare Funktionen als Definitionsbereich nur eine echte Teilmenge der reellen Zahlen haben. Bei der Quadratwurzelfunktion werden z.B. alle negativen Zahlen ausgelassen, bei der Tangensfunktion alle Nullstellen des Kosinus.

In diesen Fällen wird manchmal unpräzise formuliert, die Funktionen seien in den entsprechenden Definitionslücken unstetig. Dies ist allerdings nicht richtig, da sich die Frage nach der Stetigkeit nur für Punkte im Definitionsbereich stellt. Mathematisch sinnvoll ist allerdings die Frage nach einer stetigen Fortsetzung der Funktion an einer Definitionslücke.

Hier an dieser Stelle würde ich gerne wieder das Beispiel (2x-1)/(x+2) mit Bild (natürlich müssen die Asymptoten in der Bildunterschrift nicht erwähnt werden) und auch mit den jetzt im Artikel stehenden Erläuterungen einbauen. Auf diese Weise wird anschaulich klar, wie eine auf ihrem Definitionsbereich Stetige Funktion auch aussehen kann.—Godung Gwahag (Diskussion) 23:45, 17. Mai 2019 (CEST)

Im Prinzip kann ich mich dem anschließen. Allerdings würde der Satz "Es gibt keine auf ganz $\mathbb {R}$ definierte stetige Funktion, die auf $D_{f}$ mit $f$ übereinstimmt." ja etwas unmotiviert erscheinen, wenn der Leser nicht erkennt, dass er sich auf das "Mathematisch sinnvoll ist allerdings die Frage nach einer stetigen Fortsetzung der Funktion an einer Definitionslücke." aus dem vorherigen Absatz bezieht. Daher sollte man einen der beiden Sätze umformulieren. Zum Beispiel den ersten zitierten Satz in "Eine stetige Fortsetzung der Funktion an dieser Definitionslücke ist nicht möglich." --Stephan2802 (Diskussion) 09:28, 18. Mai 2019 (CEST)  In Ordnung, ich setze das dann so um.—Godung Gwahag (Diskussion) 09:59, 18. Mai 2019 (CEST)  Danke. Meinen zusätzlich vorgeschlagenen Satz "Die Stetigkeit dieser Funktionen lässt sich auch ohne Rückgriff auf den Begriff der Differenzierbarkeit direkt beweisen." hast du nicht eingefügt. Ich wollte damit vermeiden, dass der Eindruck entsteht, der Begriff der Differenzierbarkeit sei (auch) eingeführt worden, um Stetigkeitsfragen zu lösen. Gefällt er dir nicht oder hast du meinen Vorschlag nur übersehen? --Stephan2802 (Diskussion) 10:40, 18. Mai 2019 (CEST) Doch, der Satz steht am Ende des ersten Absatzes.—Godung Gwahag (Diskussion) 11:09, 18. Mai 2019 (CEST) An der Stelle finde ich ihn etwas unglücklich. Da hat man ja gerade vorher die Stetigkeit von Funktionen, die nicht (überall) differenzierbar sind, bemerkt. Dass man deren Stetigkeit nicht nur unter Rückgriff auf den Differenzierbarkeitsbegriff zeigen kann, ist klar. Der Satz könnte hier als explizite Formulierung dieser Tatsache verstanden werden. Mir ging es aber darum, für die Funktionen, bei denen die Stetigkeit vollständig aus der Differenzierbarkeit abgeleitet werden kann (also die aus der Aufzählung davor), klar zu stellen, dass man den Differenzierbarkeitsbegriff auch für die nicht eingeführt hat, um deren Stetigkeit zu klären. Wenn man sich sowieso für Differenzierbarkeit interessiert, dann ist die damit geklärte Stetigkeit halt nur ein Zusatzgeschenk, dass man gerne mitnimmt. --Stephan2802 (Diskussion) 11:34, 18. Mai 2019 (CEST). Ich habe den Satz jetzt verschoben. --Stephan2802 (Diskussion) 16:26, 19. Mai 2019 (CEST)

Die Vorzeichenfunktion $\operatorname {sgn}(x)$ ist nicht stetig an der Stelle 0.

Einfache Beispiele unstetiger Funktionen sind:

• die Vorzeichenfunktion (unstetig nur in 0)
• die Dirichlet-Funktion (in jedem Punkt unstetig)
• die thomaesche Funktion (unstetig genau in allen rationalen Zahlen).

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Erledigte Teile

Einschränkung des Definitionsbereichs

Untersucht man, ob eine Funktion $f$ in einem Punkt $x_{0}$ stetig ist, so ist es manchmal sinnvoll, ihren Definitionsbereich $D_{f}$ in zwei (oder allgemeiner: endlich viele) Teilmengen aufzuteilen. Lässt sich nämlich $D_{f}$ als Vereinigung zweier Mengen $D_{1}$ und $D_{2}$, die beide $x_{0}$ enthalten, darstellen (in Formeln: $x_{0}\in D_{1}\cap D_{2}$, $D_{1}\cup D_{2}=D_{f}$), so ist $f$ genau dann stetig in $x_{0}$, wenn dies für die beiden Einschränkungen von $f$ auf $D_{1}$ und $D_{2}$ gilt.
Häufig betrachtet man die Mengen $D_{1}:=D_{f}\cap (-\infty ,x_{0}]$ und $D_{2}:=D_{f}\cap [x_{0},\infty )$, die die beschriebenen Voraussetzungen erfüllen. Man nennt $f$ linksseitig bzw. rechtsseitig stetig in $x_{0}$, wenn die Einschränkung von $f$ auf $D_{1}$ bzw. $D_{2}$ stetig in $x_{0}$ ist.
Nach obiger Überlegung ist eine Funktion also genau dann stetig in einem Punkt, wenn sie dort sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig ist. Anschaulich gesprochen hat man die Eigenschaft einer stetigen Funktion, 'keine Sprünge' zu machen, aufgeteilt in die Eigenschaften, keine Sprünge zu machen, wenn man sich dem betrachten Punkt von links bzw. von rechts nähert.
Man kann linksseitige und rechtsseitige Stetigkeit auch über eine Variante des Folgenkriteriums beschreiben: Die linksseitige bzw. rechtsseitige Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $x_{0}$ ist äquivalent zum Folgenkriterium, wenn man sich auf die Betrachtung monoton steigender bzw. fallender (gegen $x_{0}$ konvergierender) Folgen beschränkt.
Die Heaviside-Funktion ist ein Beispiel für eine Funktion, die überall rechtsseitig stetig und überall außer im Punkt 0 linksseitig stetig ist. Sie ist daher überall außer im Punkt 0 stetig. Die Vorzeichenfunktion ist dagegen im Punkt 0 weder linksseitig noch rechtsseitig stetig und daher dort natürlich auch unstetig.
Die obigen Überlegungen zeigen auch: Ist $D'$ eine Teilmenge von $D_{f}$, die $x_{0}$ enthält ($x_{0}\in D'\subset D_{f}$), dann folgt aus der Stetigkeit von $f$ in $x_{0}$ auch die Stetigkeit der Einschränkung von $f$ auf $D'$ in $x_{0}$. Die Umkehrung dieser Folgerung ist im Allgemeinen nicht richtig.
Die Umkehrung gilt allerdings, wenn $D'$ ein offenes Intervall (allgemeiner: der Durchschnitt von $D_{f}$ und einem offenen Intervall) ist. Dies bedeutet, dass man bei der Untersuchung der Stetigkeit von $f$ in $x_{0}$ nur einen beliebig kleinen Teil des Definitionsbereichs um $x_{0}$ herum betrachten muss (in der Mathematik spricht man von einer Umgebung von $x_{0}$ in $D_{f}$). Diese Tatsache wird auch dadurch beschrieben, dass man die Stetigkeit (in einem Punkt) als lokale Eigenschaft bezeichnet.

Diesen ganzen Absatz finde ich, schon wegen seiner Ausführlichkeit, an dieser Stelle deplaziert. Ich nehme an, er soll den späteren Abschnitt "Unstetigkeit" und insbesondere die Diskussion links- und rechtsseitiger Stetigkeit ersetzen. Wie unten schon gesagt, fände ich es besser, einen Artikel Linksseitige Stetigkeit anzulegen, auf diesen sowie die weiteren schon existierenden Artikel zu verschiedenen Unstetigkeitsstellen zu verweisen und die Diskussion hier im Artikel auf maximal 1-2 Sätze zu beschränken.--Godung Gwahag (Diskussion) 10:17, 18. Mai 2019 (CEST)
Jein. Mir ging es schon auch darum zu erklären, was bei Übergang zu einem kleineren Definitionsbereich passiert. Zum Beispiel als Vorbereitung auf den Satz "Passen die Definitionsbereiche der beteiligten Funktionen nicht wie gefordert zusammen, so kann man sich eventuell durch geeignete Einschränkungen der Definitionsbereiche weiter helfen." aus dem nächsten Abschnitt. Wenn ein eigener Artikel zu linksseitiger/rechtsseitiger Stetigkeit existiert kann man hier sicherlich kürzen. Trotzdem finde ich die folgenden Aussagen weiterhin erhaltenswert: Stetigkeit kann nachgewiesen werden, indem man den Definitionsbereich auf endlich viele Teilmengen aufteilt, Stetigkeit bleibt erhalten, wenn man die Funktion einschränkt, Umkehrung ist richtig, wenn Einschränkung auf eine Umgebung erfolgt. --Stephan2802 (Diskussion) 10:47, 18. Mai 2019 (CEST)
Zweiter Versuch:

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 17:49, 1. Jun. 2019 (CEST)

Einschränkung des Definitionsbereichs

Ist eine Funktion $f$ in einem Punkt $x_{0}$ stetig und ist $D$ eine Teilmenge von $D_{f}$, die $x_{0}$ enthält, so ist auch die Einschränkung von $f$ auf $D$ stetig in $x_{0}$.
Dass die Umkehrung im Allgemeinen nicht richtig ist, zeigt die Heaviside-Funktion. Deren Einschränkung auf $[0,\infty )$ ist konstant also stetig. Insbesondere gilt dies im Punkt 0. Die uneingeschränkte Heaviside-Funktion ist aber unstetig im Punkt 0.
Es gibt aber Situationen, in denen die Umkehrung doch gilt:

• Die Umkehrung gilt, wenn $D$ ein offenes Intervall (allgemeiner: der Durchschnitt von $D_{f}$ und einem offenen Intervall) ist. Dies bedeutet, dass man bei der Untersuchung der Stetigkeit von $f$ in $x_{0}$ nur einen beliebig kleinen Teil des Definitionsbereichs um $x_{0}$ herum betrachten muss (in der Mathematik spricht man von einer Umgebung von $x_{0}$ in $D_{f}$). Diese Tatsache wird auch dadurch beschrieben, dass man die Stetigkeit (in einem Punkt) als lokale Eigenschaft bezeichnet.
• Sind $D_{1}$ und $D_{2}$ zwei Mengen, die beide $x_{0}$ enthalten und deren Vereinigung $D_{f}$ ist, so ist $f$ genau dann stetig in $x_{0}$, wenn dies für die Einschränkungen von $f$ auf $D_{1}$ und $D_{2}$ gilt. Diese Tatsache wird zum Beispiel genutzt, um die Bedingung der Stetigkeit in eine linksseitige und eine rechtsseitige Stetigkeit aufzuteilen.

Ende: Zweiter Versuch --Stephan2802 (Diskussion) 16:45, 19. Mai 2019 (CEST)

Wird weiter unten bereits diskutiert, deshalb erledige ich hier.

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 17:49, 1. Jun. 2019 (CEST)

Anwendungen der Stetigkeit

Der entsprechende Abschnitt bei Fischer-Kaul heißt „Hauptsätze über stetige Funktionen“. Vielleicht ist das eine bessere Überschrift.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:29, 6. Apr. 2019 (CEST)

Klingt sinnvoll --Stephan2802 (Diskussion) 22:59, 6. Apr. 2019 (CEST)

Der Abschnitt ist inkonsistent geschrieben. Mal wird vom Intervall $\left[a,b\right]$, mal vom kompakten Intervall $[a,b]\subset \mathbb {R} \;(a\leq b)$, mal vom abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ gesprochen. Gemeint ist immer das Gleiche.

Da sowieso alle Aussagen dieses Kapitels die gleichen Voraussetzungen haben, sollten diese einmal formuliert werden. Ich spreche mich hierbei für eine Vermeidung des fortgeschrittenen Terminus "kompakt" aus. Eventuell kann man die gemeinsame Voraussetzung sogar in die Überschrift mit einfließen lassen, z.B. "Hauptsätze über stetige Funktionen auf abgeschlossenen und beschränkten Intervallen"

Die gleichmäßige Stetigkeit geht in meinen Augen über den Horizont unseres mathematischen Laien hinaus und sollte hier nicht thematisiert werden. Das gleiche gilt für das Lebesgue-Kriterium.

Unentschlossen bin ich noch bezüglich des Nullstellensatzes von Bolzano. Das ist eine so triviale Folgerung aus dem Zwischenwertsatz, dass die Erwähnung im Lemma Zwischenwertsatz vermutlich ausreicht. --Stephan2802 (Diskussion) 22:59, 6. Apr. 2019 (CEST)

Es ist ja durch die Verwendung des Symbols $\left[a,b\right]$ ohnehin klar, was gemeint ist. Man muß also nicht von kompakten Intervallen sprechen und ich habe das Wort jetzt schon mal überall herausgenommen.

Die gleichmäßige Stetigkeit als Anwendung der Stetigkeit habe ich ebenfalls herausgenommen. Das Lebesgue-Kriterium und den Nullstellensatz von Bolzano stelle ich mal auf der Portalseite zur Diskussion.--Godung Gwahag (Diskussion) 10:24, 18. Mai 2019 (CEST)

Das Lebesgue-Kriterium kam bei mir im ganzen Studium nicht vor. Ich habe es auch immer für ein Ergebnis der Art "Nett zu wissen, aber wirklich brauchen tut man es nicht" gehalten. Zum Zeitpunkt seines Beweises mag das noch anders gewesen sein. Gleichmäßige Stetigkeit finde ich da schon eher erwähnenswert. Die braucht man doch immer wieder. --Stephan2802 (Diskussion) 16:14, 18. Mai 2019 (CEST)

Hier ein Vorschlag von mir --Stephan2802 (Diskussion) 16:14, 18. Mai 2019 (CEST)

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Hauptsätze über stetige reelle Funktionen I

Es gibt eine Reihe wichtiger Sätze, die für stetige reelle Funktionen $f$ gelten. Diese lassen sich am einfachsten formulieren, wenn man annimmt, dass $D_{f}=[a,b]$ mit $a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall ist:

• Zwischenwertsatz: Die Funktion nimmt jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an. In Formeln: $[min(f(a),f(b)),max(f(a),f(b))]\subset f([a,b])$

• Nullstellensatz von Bolzano: Gilt $f(a)f(b)\leq 0$, so besitzt $f$ eine Nullstelle. Hierbei handelt es sich um eine triviale Folgerung aus dem Zwischenwertsatz.

• Satz vom Minimum und Maximum: $f$ ist beschränkt und Infimum und Supremum seiner Funktionswerte kommen auch als Funktionswert vor. Es handelt sich also tatsächlich um Minimum und Maximum. Dieser von Weierstraß bewiesene Satz, bisweilen auch Extremwertsatz genannt, liefert nur die Existenz dieser Extremwerte. Für ihr praktisches Auffinden sind häufig Aussagen aus der Differentialrechnung nützlich.

• Fundamentalsatz der Analysis: $f$ ist Riemann-integrierbar und die Integralfunktion

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,{\rm {d}}t$

ist eine Stammfunktion von $f$.

• Satz von Heine: $f$ erfüllt eine strengere Version des Epsilon-Delta-Kriteriums. Die entsprechende Eigenschaft wird gleichmäßige Stetigkeit genannt.

Aus Zwischenwertsatz und Satz vom Minimum und Maximum zusammen folgt, dass der Wertebereich von $f$ ebenfalls ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall ist. Dieses entartet allerdings im Fall einer konstanten Funktion $f$ zur einpunktigen Menge $[f(a),f(a)]=\{f(a)\}$.

Ende Vorschlag --Stephan2802 (Diskussion) 16:14, 18. Mai 2019 (CEST)

„... diese lassen sich am einfachsten formulieren...“ finde ich eine irreführende Formulierung, denn die Annahme der Kompaktheit ist schon eine essentielle Voraussetzung und nicht nur wegen der einfacheren Formulierbarkeit gewählt. Also lieber: „Diese Eigenschaften gelten für stetige Funktionen f, deren Definitionsbereich D_f ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall [a,b] ist.“

Ich finde die ersten beiden Formulierungen wieder zu „mathematisch“, würde also statt der Enthaltensrelation lieber die Ungleichung formulieren und die Bedingung f(a)f(b)<0 lieber ausformulieren, etwa so dass f(a) und f(b) unterschiedliches Vorzeichen haben. —Godung Gwahag (Diskussion) 09:03, 25. Mai 2019 (CEST)

Zum ersten Punkt: Ich habe diese Formulierung gewählt, weil der Satz von Minimum und Maximum und der Satz von Heine eben auch unter der schwächeren Voraussetzung, dass der Definitionsbereich kompakt ist, gilt. Abgeschlossene beschränkte Intervalle sind da ja nur die bekanntesten Beispiele. Da ich aber auf die Erklärung des topologischen Begriffs 'kompakt' (oder wenigstens 'abgeschlossen') an dieser Stelle verzichten wollte, erfolgt die Einschränkung auf den Fall.

Analog kann man den Zwischenwertsatz ja auch für beliebige Intervalle formulieren. Auch hier wurde also für die Einfachheit der Darstellung auf die allgemeinste Formulierung verzichtet. Das wollte ich eigentlich mit dem Satz ausdrücken. Bin aber natürlich offen für klarere Formulierungen.

Zum zweiten Punkt: Bezüglich des Zwischenwertsatzes bin ich mit der Formulierung auch nicht 100%ig zufrieden. Freue mich über jede griffigere Beschreibung des Sachverhalts. Der Satz von Bolzano ist in seiner anderen Formulierung für mich eine so offensichtliche Folgerung aus dem Zwischenwertsatz, dass ich ihn eher nicht bringen würde. Die von mir gewählte, wohl auch verbreitete, Version gibt dem ganzen noch mal einen anderen Anstrich. Das ist aber sicher Geschmackssache. --Stephan2802 (Diskussion) 10:15, 25. Mai 2019 (CEST)

Wie ich sehe diskutierst du jetzt bereits an anderen Abschnitten. Damit es nicht zu unübersichtlich wird, kopiere ich diesen Punkt schon mal in den Artikel. Wenn du noch Vorschläge zu Feinschliff hast, können wir die gerne diskutieren. --Stephan2802 (Diskussion) 21:41, 25. Mai 2019 (CEST)

Dieser Abschnitt wird unten unter Diskussion:Stetige Funktion#Hauptsätze über stetige reelle Funktionen diskutiert. Ich erledige deswegen hier mal.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:17, 1. Jun. 2019 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 16:17, 1. Jun. 2019 (CEST)

Differenzierbarkeit stetiger Funktionen

Diesen Abschnitt würde ich ganz an das Ende des Teils über reelle Funktionen (oder gleich in den Abschnitt Stetige Funktion#Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit) auslagern oder vielleicht sogar ganz weglassen und in einen anderen Artikel (Differenzierbare Funktion?) auslagern.—Godung Gwahag (Diskussion) 22:14, 6. Apr. 2019 (CEST)

Ich bin der Meinung, dass zumindest die Information, dass es auch stetige reelle Funktionen gibt, die nirgendwo differenzierbar sind, irgendwo im Abschnitt "Stetigkeit reeller Funktionen" zu finden sein sollte. Auch die Tatsache, dass diese Erkenntnis für die Mathematikwelt seiner Zeit überraschend war, finde ich für den Laien relevant. Sie zeigt ja noch einmal eindrucksvoll, wie gefährlich es ist, sich bei dieser Thematik alleine auf seine Intuition zu verlassen (die hat ja offenbar sogar Mathematik-Profis damals getäuscht).

Die explizite Definition der Weierstraß-Funktion würde ich dagegen nur im Spezialartikel sehen. Ich glaube nicht, dass die Angabe dieser Formel beim Leser (schon gar nicht beim hier adressierten Laien) einen Erkenntnisgewinn bringt.

Auch die graphische Darstellung der Weierstraß-Funktion würde ich rausnehmen. De facto kann man die Funktion gar nicht graphisch darstellen. Eine Graphik suggeriert das Gegenteil.

Unschlüssig bin ich, ob man an im laienkompatiblen Teil schon den Begriff der stetigen Differnzierbarkeit einführen sollte. So weit ich weiß, spielt der in der reellen Analysis schon an einigen Stellen eine Rolle, was dafür sprechen würde

Im Augenblick wird der Begriff erst in Stetige Funktion#Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit erwähnt. Dort hat das den Vorteil, dass man auch gleich den Unterschied zwischen reeller und komplexer Situation thematisieren kann sowie die Notation $C^{k}$ erläutern kann. Beides geht aber am hier noch adressierten Laien wohl eher vorbei. --Stephan2802 (Diskussion) 20:44, 7. Apr. 2019 (CEST)

Dann lassen wir den letzten Satz mit der Formel weg und behalten den Rest des Abschnitts bei? ::Stetige Differenzierbarkeit würde ich hier nicht erörtern, da sie eher ein Spezialfall der Differenzierbarkeit als ein Spezialfall der Stetigkeit ist.—Godung Gwahag (Diskussion) 20:23, 25. Mai 2019 (CEST)

Den Abschnitt habe ich jetzt herausgenommen, das seine wesentlichen Aussagen ja nun im Beispiele-Abschnitt stehen.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:15, 1. Jun. 2019 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 16:20, 1. Jun. 2019 (CEST)

Statusupdate 26.05

Die Überarbeitung des Kapitels "Stetigkeit reeller Funktionen" ist aus meiner Sicht gut vorangegangen. Allerdings wird die Diskussion langsam übersichtlich.

Meine Vorstellung ist, dass dieses Kapitel zuerst vollständig fertiggestellt wird. Danach würde ich gerne in mehreren Schritten zu allgemeineren Situationen vorstoßen und dabei immer die Durchgängigkeit des Prinzips betonen. Schließlich sind unser Zielpublikum nicht nur Schüler, deren Verständnishorizont bei reellen Funktionen aufhört, und Mathematiker, die es in aller Allgemeinheit wissen wollen, sondern auch Ingenieure, Physiker, Mathematikstudenten..., die irgendwo dazwischen stehen.

Da der Diskussionsteil zu den reellen Funktionen inzwischen ausgeufert ist und viele Beiträge dort inzwischen überholt sind (@Godung Gwahag: hast du die Möglichkeit da mal großzügig ins Archiv zu verschieben?) , liste ich hier mal aus, wie ich mir das Kapitel vorstelle.

Definition

kann so bleiben. Ich würde aber gerne am Ende noch den folgenden Absatz hinzufügen:
	

Bemerkung: Der Index $0$ bei der Variablen $x_{0}$ wird in der Literatur gerne hinzugefügt, um deutlich zu machen, dass dieser Punkt für die Stetigkeitsuntersuchung fest gewählt ist. Im Gegensatz dazu steht z.B. die Variable $x$ im Epsilon-Delta-Kriterium für einen Wert, der noch (im Rahmen bestimmter Grenzen) schwanken kann. Diese intuitive Schreibweise kollidiert allerdings manchmal mit Situationen, in denen man einen Index für andere Zwecke (z.B. als Folgenindex) benutzen will. Bei der Formulierung des Folgenkriteiums wäre es z.B. natürlich gewesen, von einer Folge $(x_{n})$ zu sprechen. Wegen möglicher Missverständnisse wurde die Folge aber $(a_{n})$ genannt.

Um dieser möglichen Mehrdeutigkeit aus dem Wege zu gehen, wird der Punkt, an dem die Stetigkeit untersucht wird, in der Literatur auch manchmal mit einem Zeichen aus einem anderen Alphabet, z.B. $\xi$ bezeichnet.

Ich bin auch grundsätzlich nicht so überzeugt davon, solche Fragen hier auszuführen. Aber davon abgesehen, handelt es sich hier schlicht um Theoriefindung (Wikipedia:Keine Theoriefindung), jedenfalls solange keine Quelle angegeben wird. Aber wie gesagt: selbst mit Quelle würde ich das hier nicht ausführen wollen.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:55, 1. Jun. 2019 (CEST)
Falls es eigentlich darum geht, ob man statt $x_{0}$ besser $\xi$ verwenden sollte: ich werde mir mal demnächst die einschlägige Lehrbuchliteratur anschauen, was dort häufiger vorkommt.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:26, 1. Jun. 2019 (CEST)
Ob wir den Punkt, an dem die Stetigkeit definiert wird, $x_{0}$ oder $\xi$ nennen, da bin ich relativ leidenschaftslos, solange es dann konsistent im ganzen Artikel durchgehalten wird.
Motivation dieses Vorschlags war, dem nicht so Mathematik-affinen Leser, an den wir uns hier ja auch wenden, etwas mehr Verständnis für die mathematische Sprache zu vermitteln. Dafür halt hier der Erklärbär.
Ist das schon Theoriefindung? Das Ziel dieses Artikels ist es doch, den Begriff der Stetigkeit (und nur den) für ein heterogenes Publikum vom mehr oder weniger interessierten Schüler über den Ingenieur- oder Physikstudenten bis hin zum Mathematiker, der in seinem Spezialgebiet mit topologischen Fragen bisher nichts am Hut hatte, zu erklären. Ein Fachbuch mit genau der Zielrichtung wird man nicht finden. Wenn man nun hergeht und einfach an jeder Stelle die Notation der Mehrheit der Fachbücher anpasst, die gerade das an der Stelle diskutierte Detail besprechen (vermutlich sowieso nicht sinnvoll messbar, was diese Mehrheit ist), dann kommt ein total inkonsistenter Artikel heraus. Die Tatsache, dass die Stetigkeit ein konsistentes Konzept ist, das sich von der Schulmathematik bis zur Topologie durchzieht, geht dann völlig unter.
Aus diesem Grund bin ich der Meinung, dass wir bei der Darstellung schon die Freiheit haben, die allgemein bekannten Tatsachen (hier gibt es ja nichts, das inhaltlich irgendwie umstritten wäre) in einer Sprache zu formulieren, die den speziellen Zielen einer Enzyklopädie angepasst ist.
Eine andere Frage ist natürlich, ob diese spezifische von mir vorgeschlagene Bemerkung genügend Verständnishilfe liefert, um den von ihr in Anspruch genommenen Platz zu rechtfertigen. --Stephan2802 (Diskussion) 17:13, 1. Jun. 2019 (CEST)

Literaturrecherche: Im Schulbuch „delta11“ heißt der Punkt x_0, im Skript für Ingenieure ebenfalls, im Buch für Physiker wird die Stelle a genannt, bei Bröcker p, bei Heuser xi, bei Dieudonné x_0.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:29, 2. Jun. 2019 (CEST)

Danke für deine Mühe. Es scheint sich eine Tendenz für x_0 zu ergeben, was mir von den genannten Möglichkeiten auch die sympathischste ist. Am wichtigsten finde ich aber, dass sich alle Lehrbücher entschieden haben, den Punkt nicht x zu nennen, obwohl x ja für einen Punkt auf der x-Achse die naheliegendste Bezeichnung wäre. Und warum dies so ist, wollte ich mit meiner Bemerkung erklären. Sie ist für mich aber auch verzichtbar, wenn der Mehrwert nicht gesehen wird. --Stephan2802 (Diskussion) 17:39, 2. Jun. 2019 (CEST)

Beispiele stetiger Funktionen

Ich schlage vier Änderungen vor

1. Änderung:
		

Der Abschnitt:

In diesen Fällen wird manchmal unpräzise formuliert, die Funktionen seien in den entsprechenden Definitionslücken unstetig. Dies ist allerdings nicht richtig, da sich die Frage nach der Stetigkeit nur für Punkte im Definitionsbereich stellt. Mathematisch sinnvoll ist allerdings die Frage nach einer stetigen Fortsetzung der Funktion an einer Definitionslücke.

ist in dem Kontext ungenau, da z.B. die negativen Zahlen keine Definitionslücken der Wurzelfunktion sind. Ich rege daher die folgende Ersetzung an:

In diesen Fällen wird manchmal unpräzise formuliert, die Funktionen seien in den entsprechenden Stellen unstetig. Dies ist allerdings nicht richtig, da sich die Frage nach der Stetigkeit nur für Punkte im Definitionsbereich stellt. Mathematisch sinnvoll ist allerdings die Frage nach einer stetigen Fortsetzung der Funktion an einer Definitionslücke.

2. Änderung:
		

Ersetze

Beispielsweise ist die Funktion

$f(x)={\frac {2x-1}{x+2}}$

durch

Beispielsweise ist die Funktion $x\mapsto {\frac {2x-1}{x+2}}$

Das ist konsistenter zur Notation der anderen Beispiele. Im weiteren Text sollte man dann einfach "Definitionsbereich $D_{f}$" duch "Definitionsbereich ersetzen. In der Graphik wird für die Funktion schon gar kein Name verwendet.

3. Änderung:
		

Vor "Einfache Beispiele unstetiger Funktionen sind:" würde ich den folgenden Absatz einbauen:

Die Betrags- und die Wurzelfunktion sind Beispiele stetiger Funktionen, die an einzelnen Stellen des Definitionsbereichs nicht differenzierbar sind. Die mathematische Fachwelt nahm noch Anfang des 19. Jahrhunderts an, dass eine stetige Funktion zumindest an "den meisten" Stellen differnzierbar sein müsse. Bernard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, die Bolzanofunktion. Er veröffentlichte sein Resultat allerdings nicht. Karl Weierstraß fand dann in den 1860er Jahren ebenfalls eine derartige, als Weierstraß-Funktion bekannte Funktion, womit er in der mathematischen Fachwelt Aufsehen erregte. Der Graph der Weierstraß-Funktion kann effektiv nicht gezeichnet werden. Dies zeigt, dass die intuitive Erklärung, eine stetige Funktion sei eine Funktion, deren Graph sich ohne Absetzen des Stiftes zeichnen lässt, in die Irre führen kann. Letztlich muss man bei der Untersuchung der Eigenschaften stetiger Funktionen immer auf die exakte Definition zurückgreifen.

Mit Methoden der Mathematik des 20. Jahrhunderts konnte sogar gezeigt werden, dass die Funktionen, die nirgends differenzierbar sind, in gewissem Sinne "häufig" unter den stetigen Funktionen sind.

4. Änderung
	

Der letzte Absatz passt formal nicht zur Überschrift "Beispiele stetiger Funktionen". Ein eigens Kapitel "Beispiele unstetiger Funktionen" auf gleicher Ebene fände ich aber übertrieben. Als Kompromiss schlage ich vor, hier ein Unterkapitel mit dieser Überschrift einzuführen. Das dient auch als Anker für Leser, denen die Ausführungen zur Weierstraß-Funktion zu abgehoben sind.

1. und 3. habe ich schon mal umgesetzt (und entsprechend den Abschnitt „Differenzierbarkeit stetiger Funktionen“ weiter unten herausgenommen). Bei 2. wäre es konsistent mit dem Definitionsabschnitt wenn wir überall x->... durch f(x)=... ersetzen. Ich nehme an, dass das auch in Schulbüchern so gemacht wird, aber das kann ich jetzt nicht prüfen, werde ich bei Gelegenheit in den nächsten Tagen mal nachschauen. Zu 4. schlage ich vor, den ganzen Abschnitt „Beispiele stetiger und unstetiger Funktionen“ zu nennen.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:05, 1. Jun. 2019 (CEST)
$x\mapsto$... ist mathematisch etwas genauer als $f(x)=$.... Unter der Annahme, dass beide Schreibweisen für unser Zielpublikum verständlich sind, ziehe ich daher die erste Schreibweise vor. Mit leichten Zahnschmerzen akzeptiere ich aber auch die zweite Schreibweise, die dann konsistent verwendet werden sollte.
Die Änderung der Kapitelüberschrift ist für mich auch ok. --Stephan2802 (Diskussion) 17:23, 1. Jun. 2019 (CEST)

Literaturrecherche: Bröcker verwendet die Schreibweise mit dem Pfeil, Heuser die mit f(x). Das Buch für Physiker verwendet mal die eine Schreibweise, mal die andere. Das Skript für Ingenieure und das Schulbuch verwenden die Schreibweise f(x).

Als nächstes (also vor "Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen") würde ich ein neues Kapitel aufnehmen:

Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen

kann so bleiben
		

Hauptsätze über stetige reelle Funktionen

kann so bleiben. Eventuell noch leichte Umformulierungen. Wäre das letzte Unterkapitel zu reellen Funktionen. Ich würde gerne ans Ende noch folgenden Abschnitt hinzufügen:
		

Bemerkung: Die Gültigkeit dieser Sätze ist eng verknüpft mit der Natur der reellen Zahlen. Man könnte den Begriff der Stetigkeit mit gleicher Definition auch für Funktionen auf $\mathbb {Q}$ einführen. Betrachtet man in diesem Kontext die durch $f(x)=x^{2}-2$ gegebene Funktion, so stellt man fest, dass $f(0)f(2)=-4<0$ gilt. $f$ besitzt aber in $\mathbb {Q}$ keine Nullstelle, da ${\sqrt {2}}$ irrational ist. Der Satz von Bolzano ist also in diesem Szenario nicht erfüllt. Analoges gilt für die anderen angegebenen Sätze. --Stephan2802 (Diskussion) 17:23, 26. Mai 2019 (CEST)

Auch hier denke ich nicht, dass wir solche technischen Aspekte so betonen sollten, zumal das ja wohl auch in keinem der gängigen Lehrbücher so getan wird.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:09, 1. Jun. 2019 (CEST)

Können wir auch weglassen, wenn es keine Mehrheit findet. Ich habe mich an meine Schulzeit erinnert, wo wir mit großem Aufwand (in der 8.ten oder 9.ten Klasse haben wir im Prinzip Dedekindsche Schnitte behandelt) von $\mathbb {Q}$ zu $\mathbb {R}$ gewechselt sind. Ich hätte damals eine Bemerkung, die mir hilft, zu verstehen, wozu man das braucht, sicher sehr instruktiv gefunden. --Stephan2802 (Diskussion) 17:50, 1. Jun. 2019 (CEST)

Wie gesagt finde ich die Formulierungen des Zwischenwertsatzes und seiner Folgerung unnötig kompliziert. Das f(a)f(b)<0 äquivalent zu entgegengesetzten Vorzeichen ist, das weiß natürlich jeder Mathematikinteressierte, aber nicht jeder Anwender. Ich werde in den nächsten Tagen mal schauen, wie das in den gebräuchlichen Lehrbüchern formuliert wird.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:13, 1. Jun. 2019 (CEST)

Danke für deine Mühe. Ich wurde übrigens durch dieses Lemma inspiriert. --Stephan2802 (Diskussion) 17:50, 1. Jun. 2019 (CEST)

Literaturrecherche: In den Schulbüchern kommen (erwartungsgemäß) keine dieser Sätze vor, ebenso wie im Skript für Ingenieure. Das Buch für Physiker hat einen Abschnitt „Die Hauptsätze über stetige Funktionen“ mit 7Unterabschnitten

• Der Satz von Bolzano-Weierstraß für kompakte Intervalle
• Beschränktheit stetiger Funktionen auf kompakten Intervallen
• Der Satz von Maximum
• Der Zwischenwertsatz
• Lösung der Gleichung f(x)=c durch Intervallhalbierung
• Eine Charakterisierung von Intervallen
• Stetige Bilder von Intervallen

(der erste und vorletzte Punkt hat nicht direkt mit Stetigkeit zu tun, sondern werden für die Beweise der anderen Punkte benötigt; beim letzten Punkt geht es darum, dass Bilder von (kompakten) Intervallen wieder (kompakte) Intervalle sind.) In den Lehrbüchern für Mathematikstudenten kommen die Sätze natürlich alle vor.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:47, 2. Jun. 2019 (CEST) Die Besonderheit der reellen Zahlen wird wohl in keinem der Bücher diskutiert. Zu den Formulierungen des Zwischenwertsatzes und Nullstellensatzes hier die einzelnen Formulierungen

Fischer-Kaul: Ist f stetig im Intervall I und sind $\alpha ,\beta \in I$, so nimmt f jeden Wert zwischen $f(\alpha )$ und $f(\beta )$ an. Ist insbesondere $f(\alpha )<0,f(\beta )>0$, so hat f zwischen $\alpha$ und $\beta$ eine Nullstelle.
Bröcker: Eine stetige Funktion f:[a,b]—>R nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.
Heuser: wörtlich wie Bröcker
Dieudonné: Es sei E ein Zusammenhängender Raum und f eine stetige Abbildung von E in die reelle Zahlengerade R; ferner seien a und b zwei Punkte aus f(E) mit a<b. Dann existiert zu jedem c mit a<c<b ein $x\in E$ derart, daß f(x)=c gilt.

Ich würde dann für den Zwischenwertsatz die Formulierung von Heuser bzw. Bröcker vorschlagen und für den Nullstellensatz (der bei Bröcker wohl nicht vorkommt und bei Heuser noch vor dem Zwischenwertsatz, dort aber relativ kompliziert formuliert wird) dann die Formulierung aus Fischer-Kaul.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:58, 2. Jun. 2019 (CEST)

Auch hier danke für deine Recherche. Man kann die aber auch so interpretieren, dass immerhin die Hälfte der Lehrbücher den Nullstellensatz für verzichtbar hielten. Ich würde mich jetzt dieser Sichtweise anschließen wollen. Bezüglich der Formulierung des Zwischenwertsatzes interpretiere ich deinen Vorschlag so, dass aus der jetzt aktiven Version der Passus "in Formeln...") entfernt wird. Das wäre für mich ok. Ebenfalls verzichte ich gerne auf die Bemerkung zur Natur der reellen Zahlen. --Stephan2802 (Diskussion) 17:48, 2. Jun. 2019 (CEST)

Habe ich jetzt so umgesetzt. Den Nullstellensatz und seine Anwendungen (z.B. Nullstellen für Polynome ungeraden Gerades) sollte man wohl tatsächlich besser im Artikel Zwischenwertsatz ausführen.

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 19:22, 2. Jun. 2019 (CEST)

Stetigkeit reeller Funktionen

Um eine Grundlage für eine zielführende Diskussion führe ich jetzt hier mal eine Liste von sieben Büchern auf, an denen wir uns für die Gestaltung des Artikels orientieren können. Andere Vorschlöge sind natürlich willkommen.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:23, 2. Jun. 2019 (CEST)

Als klassisches Lehrbuch im 70er Jahre-Stil:

• Dieudonné: Grundzüge der Analysis

Als die wahrscheinlich meistgebräuchlichen Lehrbücher in Analysis-Vorlesungen für Mathematikstudenten:

• Heuser: Lehrbuch der Analysis
• Bröcker: Analysis I

Als Lehrbuch der Mathematik für Naturwissenschaftler:

• Fischer-Kaul: Mathematik für Physiker

Als Lehrbuch der Mathematik für Ingenieure:

• Merz-Knabner: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler; darauf aufbauend dieses Skript

Und als Lenrbücher für die gymnasiale Oberstufe habe ich jetzt nur

• Schätz-Eisentraut: delta 11
• Jahnke: Mathematik 11. Schuljahr

Leider spielt Stetigkeit in den Schulbüchern keine große Rolle mehr und die beiden oben genannten sind da keine Ausnahme. Kennt vielleicht jemand ein Schulbuch, in dem bspw. auch Beispiele und Eigenschaften stetiger Funktionen behandelt werden?—Godung Gwahag (Diskussion) 16:23, 2. Jun. 2019 (CEST)

Unstetige Funktionen

Bei diesem Abschnitt wird besonders deutlich, dass er einfach durch Zusammenkopieren aus den vorangegangenen Artikeln entstanden ist. Wenn es dieses Abschnitts überhaupt bedarf, dann müsste er völlig neu geschrieben werden.

Ich kann nicht ausschließen, dass die hier gewählte Darstellung, dass Definitionslücken eine Funktion unstetig machen, in dem einen oder anderen Lehrbuch für Ingenieure so zu finden ist. Gebräuchlicher ist aber die Unterscheidung zwischen Unstetigkeitsstellen, die automatisch Bestandteil des Definitionsbereichs der Funktion sind, und Definitionslücken, die dies eben nicht sind. Bei Definitionslücken kann man dann prüfen, ob sie hebbar sind oder nicht. Ich habe das in meinem Vorschlag zu "Beispiele" ausgeführt.

Ich halte es auch für wenig sinnvoll, an dieser Stelle plötzlich Beispiele aus der Ingenieurswissenschaft einzubringen. Das wurde ja im ganzen bisherigen Kapitel nicht gemacht. Plötzlich beim Thema Unstetigkeit damit anzufangen, ist ein Systembruch. Derartige Überlegungen kann man eventuell in ein eigenes Kapitel zum Thema "Stetige und unstetige Vorgänge in Natur und Technik" aufnehmen. @Lantani: hatte doch mal angeboten, dazu etwas zu schreiben.

Die mathematischen Beispiele wie die Vorzeichenfunktion hatten wir schon unter "Beispiele". Insgesamt bleibt also von dem Kapitel nichts übrig. Die beiden Unterkapitel passen eigentlich auch nicht unter dieses Thema. Daher plädiere ich dafür, die beiden Unterkapitel eine Ebene nach oben zu schieben und dieses Kapitel zu streichen (mit eventueller Übernahme von Teilen in das noch zu definierende Kapitel über die stetigen und unstetigen Vorgänge in Natur und Technik). --Stephan2802 (Diskussion) 21:24, 7. Apr. 2019 (CEST)

Es gibt bereits Artikel Unstetigkeitsstelle, Definitionslücke und Stetige Fortsetzung. Einen Artikel Linksseitige Stetigkeit gibt es noch nicht, aber den könnte man anlegen. Insofern könnte man den gesamten Absatz weglassen und stattdessen an geeigneter Stelle auf diese Artikel verweisen. —Godung Gwahag (Diskussion) 22:20, 7. Apr. 2019 (CEST)

Was die Beispiele angeht, so gibt es ähnliche Beispiele ja schon im Absatz Stetige Funktion#Motivation. Man sollte diese verschiedenen Teile irgendwie zusammenführen.—Godung Gwahag (Diskussion) 22:20, 7. Apr. 2019 (CEST)

Zum Beitrag: „Ich halte es auch für wenig sinnvoll, …“ Da ist es wieder, wie hier einer die Schönheit der Mathematik zelebrieren will, aber da, wo es um die Anwendbarkeit der Mathematik geht, wird diese als „Systembruch“ bezeichnet. (@Lantani: einen ähnlichen früheren Hinweis hast du als Angriff angesehen. Der war nicht beabsichtigt; da war die zeitliche Folge der Beiträge unglücklich.) --der Saure 12:16, 8. Apr. 2019 (CEST)

@Saure:Ich habs trotzdem nicht verstanden. Wer will womit „die Schönheit der Mathematik zelebrieren“? Schönheit ist doch kein Makel, außer wenn sie zu Schwierigkeiten bei der Anwendbarkeit führt, die man ohne sie nicht gehabt hätte. Wo ist das der Fall? Wenn irgendwo „unschöne“ Passagen besser verständlich sind, ist es die erste Wahl (wenns geht), die „schöne“ Erklärung durch „unschöne“ Zusätze verständlicher zu machen. Siehe auch den übernächsten Absatz hier.

Zu Godung Gwahags Beitrag: Unstetigkeitsstelle, Definitionslücke und Stetige Fortsetzung müssen auf jeden Fall hier vorkommen, sonst kann man überhaupt nicht über Funktionen reden, die nur auf einer Teilmenge von $\mathbb {R}$ definiert sind, angefangen bei $f(x)=1/x$. Und man muss klar machen, dass ein einzelnes Loch im Definitionsbereich keine Unstetigkeitsstelle ist, sonst definiert man alle Begriffe neu und anders (z.B. bilden die „punktierten Umgebungen“ keinen Umgebungsfilter) – was den Mathematik-Anwender freilich nicht stört, wohl aber den, der später mehr wissen will und dazu erst einmal alles gründlich verlernen, was er hier schon gelernt hat! Hier geht es nicht um Schönheit, sondern um Richtigkeit. Man kann sich bei der Betrachtung eines Spezialfalls wie hier der reellen Funktionen gerne auf die Gegebenheiten in diesem Spezialfall beschränken, sollte aber keine Begriffe verwenden, die im Rest der Mathematik eine zwar ähnliche, aber doch abweichende Bedeutung haben.

Also: das Wichtigste über Unstetigkeitsstellen, Definitionslücken und Stetige Fortsetzungen (und – ganz wichtig: – abschnittsweise definierte Funktionen) hier an einer Stelle so beschreiben, dass es dem Mathematiker, der es einfach mag, ebenso entgegenkommt wie dem Mathematik-Anwender, der wissen will, wie es für seinen Anwendungsfall aussieht. Beispiel: Ist eine Funktion abschnittsweise definiert und in jedem Abschnitt stetig, dann ist sie anschaulich dann stetig, wenn die Teile zusammenpassen. Was das genau heißt, kann man „schön“ mengentheoretisch beschreiben oder „anwendbar“. Die erste Beschreibung ist einfacher, die zweite anschaulicher und unmittelbarer anwendbar. Also beide in einer Form erklären, dass hoffentlich jeder mindestens eine davon versteht und derjenige, der beide versteht, einen zusätzlichen Erkenntnisgewinn hat und nicht mit der Frage „Und wie verträgt sich das mit dem richtungslos definierten Limes?“ oder „Und wie kann man das anwenden?“ zurückbleibt. Ja, das geht. --Lantani (Diskussion) 13:42, 8. Apr. 2019 (CEST)

Ich habe zu Unstetigkeitsstellen, Definitionslücken und stetiger Fortsetzbarkeit ja schon einen Satz in meinem Vorschlag für "Beispiele" eingebaut. Geht das in die Richtung, die du dir vorstellst? Zu abschnittsweise definierten Funktionen haben wir bisher in der Tat nichts. Da könnte man noch nachlegen.

Ausdrücklich unterstützen möchte ich übrigens deine Ausführungen bezüglich Vereinfachung und Richtigkeit. Ja, dieses Kapitel soll für unsere gedachte Zielgruppe so einfach wie möglich sein. Aber dass darf nicht auf Kosten der Richtigkeit gehen. Nehmen wir einen Schüler der eine Facharbeit zum Thema "stetige Funktionen" schreiben soll. Das ist vermutlich ein besonders an Mathematik interessierter Schüler. Potenziell also ein späterer Student der Mathematik oder eines nahe verwandten Faches. Wollen wir den hier in die Irre führen, so dass er später wieder umlernen muss? Ich bin ganz klar dagegen. --Stephan2802 (Diskussion) 13:58, 8. Apr. 2019 (CEST)

Offenbar hast du mich missverstanden. Es ging mir beim "Systembruch" nicht darum, die "Schönheit der Mathematik zu zelebrieren", sondern um die innere Konsistenz des Artikels. Der bringt in diesem ganzen Kapitel keine Beispiele aus Natur und Technik. Jetzt plötzlich bei diesem Unterkapitel, das sich mit dem Fall der Nicht-Stetigkeit beschäftigt, damit anzufangen, ist inkonsistent. Statt dessen hatte ich ja sogar vorgeschlagen, wohin man diese Beispiele (wenn man sie denn für gut hält) verlagern könnte. --Stephan2802 (Diskussion) 13:58, 8. Apr. 2019 (CEST)

Ich hatte ja schon mal geschrieben, ich würde wohl dazu etwas schreiben können. Da stehe ich auch dazu, finde aber manche der anderen hier diskutierten Aspekte wichtiger. Wenn Stetigkeit unpassend definiert wird, ist das ein Beinbruch, wenn aber bloß das Beispiel der diskreten Abtastung eines Signals irgendwelche Macken haben sollte, ist es keiner. (Ich arbeite noch an einem anderen Artikel abseits der Mathematik, und den möchte ich auch noch abschließen, bevor die Biblio ihre Bücher zurückhaben will.)

Noch was: Sind unstetige Funktionen einen Abschnitt wert? Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft. Daher gibt es überall stetige Funktionen (kurz stetige Funktionen genannt) und andere, die eine, endlich viele, unendlich viele isolierte oder unendlich viele dicht liegende Unstetigkeitsstellen haben. Die unstetigen bilden also keine geschlossenen Klasse wie die stetigen und sie haben keine Permanenzeigenschaften. Lieber hätte ich bei den Beispielen von vielen Funktionen diskutiert, wo sie ihre Unstetigkeitsstellen haben, falls sie welche haben. --Lantani (Diskussion) 15:51, 8. Apr. 2019 (CEST)

Ich habe den Eindruck, dass es ziemlicher Konsens ist, dass wir das Kapitel so nicht brauchen. Fraglich ist noch, was aus den bisherigen Unterkapiteln genau wird. --Stephan2802 (Diskussion) 17:03, 8. Apr. 2019 (CEST)

In der jetzigen Form brauchen wir es nicht; vielleicht das eine oder andere als Steinbruch genutzt. Die „Motivation“ und die „Grenzen der Anschauung“ sollte man inhaltlich einbauen, als eigene Kapitel oder Abschnitte braucht man sie auch nicht. --Lantani (Diskussion) 17:51, 8. Apr. 2019 (CEST)

Ich würde im Augenblick eine Trennung zwischen Kapiteln, die beschreiben, wozu man das Ganze überhaupt macht, und solchen, die erklären, wie man das in der Mathematik dann wirklich macht, bevorzugen. Die ersten Teile können ja auch für Leser interessant sein, die sich gar nicht mit mathematischen Details beschäftigen wollen.

Kann natürlich sein, dass jemand das so toll beschreiben kann, dass die mathematischen Beschreibungen und die Motivation nahtlos und ohne Verwirrung zu stiften (was ist jetzt Anschauung, was ist belastbare Formelsprache?) harmonieren. Aber bis ich das am lebenden Beispiel gesehen habe, bleibe ich da skeptisch. --Stephan2802 (Diskussion) 18:46, 8. Apr. 2019 (CEST)

Entwurf für einen kurzgefaßten Abschnitt über Unstetigkeit, der im Wesentlichen nur auf die bereits existierenden Artikel verlinkt.--Godung Gwahag (Diskussion) 17:03, 25. Mai 2019 (CEST)
	

Eine auf dem Intervall $\left[a,b\right]$ definierte Funktion heißt unstetig an der Stelle $x_{0}\in \left[a,b\right]$, falls sie dort nicht stetig ist.

Es werden verschiedene Arten von Unstetigkeitsstellen unterschieden. Falls der links- und rechtsseitige Grenzwert von $f$ in $x_{0}$ existieren, endlich sind und übereinstimmen, handelt es sich um eine hebbare Unstetigkeit. Falls die beiden Grenzwerte existieren, endlich sind und nicht übereinstimmen, hat man eine Sprungstelle. (Falls $f(x_{0})$ mit dem links- oder rechtsseitigen Grenzwert übereinstimmt, hat man dann aber links- oder rechtsseitige Stetigkeit.) Falls die beiden Grenzwerte zwar existieren, aber (einer oder beide) nur im uneigentlichen Sinne, spricht man von einer Polstelle. Schließlich gibt es noch die Möglichkeit, dass wenigstens einer der Grenzwerte weder eigentlich noch uneigentlich existiert.

Eine entsprechende Klassifikation hat man auch für Definitionslücken, also wenn einzelne Punkte aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen sind. In diesem Fall handelt es sich nicht um Unstetigkeitsstellen.

Ende Abschnitts-Vorschlag.--Godung Gwahag (Diskussion) 17:05, 25. Mai 2019 (CEST)
	
Mir scheinen hier die Begrifflichkeiten zu verwirren. Im dritten Satz wird von Unstetigkeitsstellen gesprochen aber nach Definitionslücke verlinkt. Meines Erachtens wird hier aber das Pferd sowieso etwas von hinten aufgezäumt. Die ganzen Begrifflichkeiten machen doch nur deshalb Sinn, weil die Bedingung der Stetigkeit es (im Normalfall) erlaubt, den Funktionswert an einer Stelle aus den Funktionswerten drum herum abzuleiten. Das sollte man meines Erachtens erst einmal klarstellen.
	
Bei der Klassifikation schlage ich die umgekehrte Reihenfolge vor (also Definitionslücke vor Unstetigkeitsstelle). Das führt zu folgendem Vorschlag, den man eventuell zu meinem obigen "zweiten Versuch" vom 19. Mai, 16:45 hinzufügen könnte. Das Kapitel hieße dann "Änderung des Definitionsbereichs" --Stephan2802 (Diskussion) 22:10, 25. Mai 2019 (CEST)

Beginn Vorschlag

Für die Frage der Stetigkeit einer Funktion $f$ im Punkt $x_{0}\in D_{f}$ spielt die Lage von $x_{0}$ in $D_{f}$ eine wichtige Rolle. Ist $x_{0}$ ein isolierter Punkt in $D_{f}$, so ist $f$ auf jeden Fall stetig in $x_{0}$. Dabei ist $x_{0}$ ein isolierter Punkt in $D_{f}$, wenn es ein offenes Intervall gibt, das mit $D_{f}$ nur den Punkt $x_{0}$ gemeinsam hat.

Ist $x_{0}$ kein isolierter Punkt in $D_{f}$, so gibt es eine Folge im Komplement $D_{f}\setminus \{x_{0}\}$, die gegen $x_{0}$ konvergiert. Ist $f$ stetig in $x_{0}$, so muss die zugehörige Bildfolge nach dem Folgenkriterium gegen den Funktionswert $f(x_{0})$ konvergieren. Der Wert der Funktion in $x_{0}$ ist also durch die anderen Funktionswerte bereits festgelegt.

Für eine stetige Funktion reicht es also die Funktionswerte für eine geeignete Teilmenge des Definitionsbereichs zu kennen. Die restlichen Funktionswerte ergeben sich dann automatisch. Geeignet ist eine Teilmenge dabei, wenn sie im Definitionsbereich dicht liegt (das heißt: Jedes offene Intervall, das Elemente aus dem Definitionsbereich enthält, enthält auch Elemente der betrachteten Teilmenge).

Zum Beispiel liegt die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ dicht in $\mathbb {R}$. Eine stetige Funktion auf ganz $\mathbb {R}$ ist also bereits durch ihre Werte auf $\mathbb {Q}$ eindeutig festgelegt.

Ein Punkt $x_{0}\not \in D_{f}$ wird Definitionslücke genannt, wenn er kein isolierter Punkt in $D:=D_{f}\cup \{x_{0}\}$ ist. In diesem Fall stellt sich die Frage, ob es möglich ist, eine in $x_{0}$ stetige reelle Funktion ${\bar {f}}$ mit dem erweiterten Definitionsbereich $D$ zu finden, deren Einschränkung auf $D_{f}$ mit $f$ übereinstimmt. Nach dem bisher gesagten kann es nämlich höchstens eine solche Funktion geben. Ist dies der Fall, so heißt die Definitionslücke hebbar. In diesem Fall führt man für die erweiternde Funktion ${\bar {f}}$ oft gar keinen neuen Begriff ein, da ihre Funktionswerte sich ja aus denen von $f$ eindeutig ergeben.

Nicht hebbare Definitionslücken können noch weiter klassifiziert werden.

Die Klassifizierung von Definitionslücken wird manchmal auch auf Unstetigkeitsstellen angewandt. Ist $x_{0}$ eine Unstetigkeitsstelle von $f$, so ist $x_{0}$ eine Definitionslücke der Einschränkung von $f$ auf $D_{f}\setminus \{x_{0}\}$. Ist diese hebbar, so wird das im Allgemeinen so interpretiert, dass man für $f$ an der Stelle $x_{0}$ den "falschen" Funktionswert gewählt hat. Andernfalls überträgt man die Klassifikation der Definitionslücke auf die Unstetigkeitsstelle.

Ende Vorschlag --Stephan2802 (Diskussion) 22:10, 25. Mai 2019 (CEST)

Linksseitige/rechtsseitige Stetigkeit

An der Darstellung missfällt mir, dass hier für die Konvergenz eine andere Notation verwendet wird als bei der Formulierung des Folgenkriteriums. Das sollte konsistent gemacht werden. Ich schlage aber sowieso eine Überarbeitung wie folgt vor. Der Vorschlag deckt dann auch noch einige andere Punkte (Einschränkung des Definitionsbereichs, Stetigkeit als lokale Eigenschaft) mit ab. Die Überschrift wäre also noch anzupassen:

Untersucht man, ob eine Funktion $f$ in einem Punkt $x_{0}$ stetig ist, so ist es manchmal sinnvoll, ihren Definitionsbereich $D$ in zwei (oder allgemeiner endlich viele) Teilmengen aufzuteilen. Lässt sich nämlich $D$ als Vereinigung zweier Mengen $D_{1}$ und $D_{2}$, die beide $x_{0}$ enthalten (in Formeln: $x_{0}\in D_{1}\cap D_{2}$, $D_{1}\cup D_{2}=D$) darstellen, so ist $f$ genau dann stetig in $x_{0}$, wenn die

Einschränkungen von $f$ auf $D_{1}$ und $D_{2}$ beide stetig in $x_{0}$ sind.

Häufig betrachtet man die Mengen $D_{1}:=D\cap (-\infty ,x_{0}]$ und $D_{2}:=D\cap [x_{0},\infty )$, die die beschriebenen Voraussetzungen erfüllen. Man nennt $f$ linksseitig bzw. rechtsseitig stetig in $x_{0}$, wenn die Einschränkung von $f$ auf $D_{1}$ bzw. $D_{2}$ stetig in $x_{0}$ ist.

Nach obiger Überlegung ist eine Funktion also genau dann stetig in einem Punkt, wenn sie dort sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig ist. Anschaulich gesprochen hat man die Eigenschaft einer stetigen Funktion, 'keine Sprünge' zu machen, aufgeteilt in die Eigenschaften, keine Sprünge zu machen, wenn man sich dem betrachten Punkt von links bzw. von rechts nähert.

Man kann linksseitige und rechtsseitige Stetigkeit auch über eine Variante des Folgenkriteriums beschreiben: Die linksseitige bzw. rechtsseitige Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $x_{0}$ ist äquivalent zum Folgenkriterium, wenn man sich auf die Betrachtung monoton steigender bzw. fallender (gegen $x_{0}$ konvergierender) Folgen beschränkt.

Die Heaviside-Funktion ist ein Beispiel für eine Funktion, die überall rechtsseitig stetig und überall außer im Punkt 0 linksseitig stetig ist. Sie ist daher überall außer im Punkt 0 stetig. Die Vorzeichenfunktion ist dagegen im Punkt 0 weder linksseitig noch rechtsseitig stetig und daher dort natürlich auch unstetig.

Die obigen Überlegungen zeigen auch: Ist $D'$ eine Teilmenge von $D$, die $x_{0}$ enthält ($x_{0}\in D'\subset D$), dann folgt aus der Stetigkeit von $f$ in $x_{0}$ auch die Stetigkeit der Einschränkung von $f$ auf $D'$ in $x_{0}$. Die Umkehrung dieser Folgerung ist im Allgemeinen nicht richtig.

Die Umkehrung gilt allerdings, wenn $D'$ ein offenes Intervall (allgemeiner der Durchschnitt von $D$ und einem offenen Intervall) ist. Dies bedeutet, dass man bei der Untersuchung der Stetigkeit von $f$ in $x_{0}$ nur einen beliebig kleinen Teil des Definitionsbereichs um $x_{0}$ herum betrachten muss (in der Mathematik spricht man von einer Umgebung von $x_{0}$ in $D$). Diese Tatsache wird auch dadurch beschrieben, dass man die Stetigkeit (in einem Punkt) als lokale Eigenschaft bezeichnet. --Stephan2802 (Diskussion) 17:02, 13. Apr. 2019 (CEST)

Das wäre dann mit dem einen Satz im oben vorgeschlagenen Abschnitt erledigt. Ich habe jetzt aber einen Artikel Links- und rechtsseitige Stetigkeit angelegt, der gerne noch ausgebaut werden kann.—Godung Gwahag (Diskussion) 20:18, 25. Mai 2019 (CEST)

Stetige Ergänzbarkeit

Spricht man hier nicht eher von stetiger Fortsetzbarkeit?—Godung Gwahag (Diskussion) 14:03, 6. Apr. 2019 (CEST)

Die Formulierung dieses Abschnitts (sofern wir ihn überhaupt brauchen) hängt davon ab, wie stark wir uns weiter oben auf den Begriff des Funktionslimes abstützen. Da das noch nicht abschließend geklärt ist, sollte die Diskussion über diesen Abschnitt zunächst zurückgestellt werden. --Stephan2802 (Diskussion) 11:03, 14. Apr. 2019 (CEST)

Auch das würde ich mit dem oben vorgeschlagenen Abschnitt als Erledigt ansehen. Es gibt bereits einen allgemeiner angelegten Artikel Stetige Fortsetzung.—Godung Gwahag (Diskussion) 20:19, 25. Mai 2019 (CEST)

Dazu etwas Anderes: Ich vermute in dem Kapitel einen ziemlichen Unsinn. Ich meine gelernt zu haben, dass man den Grenzübergang $\lim _{x\to 0}{\tfrac {\sin x}{x}}$ kennen muss, um den Sinus differenzieren zu können. Hier wird mit L’Hospital argumentiert, also wird hier differenziert und die Voraussetzung mit sich selbst bewiesen. Dieses im Text von Mathematikern wundert mich. --der Saure 16:16, 3. Jun. 2019 (CEST)

Du hast völlig recht. Aber dieser Abschnitt soll ja nach dem Vorschlag unten ohnehin wegfallen.—Godung Gwahag (Diskussion) 17:37, 3. Jun. 2019 (CEST)

Unstetige Funktionen bei Heuser

Literaturrecherche zum Thema „Unstetigkeit, Definitiinsbereiche“: In den Schulbüchern wird Unstetigkeit anschaulich diskutiert ohne auf unterschiedliche Arten von Unstetigkeit (oder Einschränkung oder Fortsetzbarkeit stetiger Funktionen) einzugehen. Im Skript für Ingenieure kommt das Beispiel der Heaviside-Funktion vor, aber auch keine Diskussion von Unstetigkeitsstellen. Im Fischer-Kaul kommen einige Beispiele unstetiger Funktionen vor (Dirichletfunktion, 1/x und sin(1/x)), aber auch keine Diskussion von Unstetigkeitsstellen. Ähnlich bei Bröcker: mehrere Beispiele (ganzzahlige Anteil, Sägezahnfunktion, und die Funktion, die auf [1/n,1/(n-1)] jeweils den Wert 1/n annimmt) aber keine Diskussion von Unstetigkeitsstellen. Dieudonné hat (erwartungsgemäß)überhaupt nichts zu Unstetigkeit. Heuser hat einen Paragraphen mit der Überschrift „Einseitige Grenzwerte“, wo er zunächst natürlich Links- und rechtsseitige Grenzwerte behandelt und dann einen Satz formuliert, demzufolge f in xi genau dann unstetig ist, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt: Die Grenzwerte f(xi-) und f(xi+)

existieren und stimmen überein, sind aber ungleich f(xi)

existieren und sind verschieden

wenigstens einer existiert nicht

In den ersten beiden Fällen nennt man xi eine Unstetigkeitsstelle erster Art oder Sprungstelle, im letzten Fall eine Unstetigkeitsstelle zweiter Art. Ist xi eine Sprungstelle und die Differenz der Grenzwerte nicht Null, so heißt sie der Sprung von f an der Stelle xi.—Godung Gwahag (Diskussion) 17:19, 2. Jun. 2019 (CEST)

@Lantani:,@Saure:,@Stephan2802:,@Bejahend:,@Kmhkmh:,@Claude J: Ich schlage also vor, den aktuell ziemlich langen Abschnitt Stetige Funktion#Unstetige Funktionen einzudampfen auf einen kurzen Abschnitt mit denselben Inhalten wie bei Heuser und dabei zu verlinken auf die bereits existierenden Artikel Unstetigkeitsstelle,Definitionslücke,Links- und rechtsseitige Stetigkeit,Polstelle, zu denen also hier nichts über den Inhalt des Heuser-Zitats hinausgehendes weiter geschrieben werden sollte, insbesondere auch keine weiteren Einzelheiten über Einschränkungen des Definitionsbereichs etc. Einverstanden? (Nicht sicher bin ich mir wegen der bei Heuser vorkommenden Bezeichnung Unstetigkeitsstellen erster und zweiter Art. Ist das eine heute noch gebräuchliche Bezeichnung?)--Godung Gwahag (Diskussion) 10:06, 3. Jun. 2019 (CEST)

Als erstes möchte ich bemerken, dass ich die Themen isolierte Punkte im Definitionsbereich, Eindeutigkeit und Einschränkung des Definitionsbereichs drin behalten möchte, unabhängig davon, wie wir mit dem Thema Definitionslücken/Unstetigkeitsstellen umgehen.

@Godung Gwahag:Du hast übrigens die Gliederungsebenen meines Vorschlags zum Thema "Definitionsbereich" etwas verändert, als du ihn verschoben hast. War das Absicht? Ich wollte da ein Kapitel mit mehreren Unterpunkten haben.

Zum Thema Definitionslücken/Unstetigkeitsstellen: Neben der Frage, was in der Literatur steht, finde ich noch wichtig, wie wir eine innere Konsistenz innerhalb der Wikipedia herstellen.

Zur Zeit gibt es sowohl zum Thema "Definitionslücke" als auch zum Thema "Unstetigkeitsstelle" ein eigenes Lemma und beide versuchen sich in einer Klassifikation der selben. Da aber bei der Klassifikation der Unstetigkeitsstellen der Funktionswert an der betrachteten Stelle gar nicht eingeht, handelt es sich da eigentlich auch um eine Klassifikation von Definitionslücken. Die Wikipedia beschreibt also im Augenblick mit großer Ausführlichkeit zwei Klassifikationssysteme von Definitionslücken.

Für den hebbaren Fall und für Polstellen ist die Definitionslücke eigentlich das natürlichere Szenario (z.B. sinx/x bzw. 1/x). Das Lemma "Unstetigkeitsstelle" muss sich da mit abschnittsweise definierten Funktionen verkünsteln und denen auch noch an der Unstetigkeitsstelle einen sinnlosen Funktionswert zuordnen, nur damit man keine Definitionslücke sondern eben eine Unstetigkeitsstelle hat.

Mein Vorschlag wäre, dass wir hier nur festhalten, dass es Klassifikationssysteme gibt, und zu einem gemeinsamen Artikel Unstetigkeitsstelle/Definitionslücke verlinken. Der wäre dann gründlich zu überarbeiten. Eventuell auch mit der Bemerkung, dass die Klassifikationssysteme in der Literatur sowieso uneinheitlich sind und dass es daher wenig Sinn macht, in der Wikipedia eines davon ausführlich zu erklären. --Stephan2802 (Diskussion) 18:24, 3. Jun. 2019 (CEST)

Mein Punkt war eigentlich gerade, dieses Thema hier eben nur sehr kurz abzuhandeln und auf die entsprechenden Hauptartikel zu verlinken. Eine Diskussion über die Inhalte der einzelnen Artikel zu Unstetigkeitsstelle, Definitionslücke usw. wäre dann dort zu führen, ggf. müßte man diese Artikel dann auf der Mathe-QS eintragen. Hier in diesem Artikel führt das aber zuweit weg. Was die isolierten Punkte und die Eindeutigkeit des Definitionsbereichs betrifft, so sind diese Abschnitte bisher völlig unbelegt und ich finde auch nicht, dass sie in diesen ohnehin schon ziemlich langen Artikel unbedingt noch hineinmüssen.—Godung Gwahag (Diskussion) 18:46, 3. Jun. 2019 (CEST) (Die Gliederungsebenen sind jetzt hoffentlich wieder richtig?)

Mir ist jetzt nicht klar, ob du das, was du aus dem Heuser referiert hast, im Artikel haben willst. Ich wäre dagegen. Meines Erachtens reicht die abstrakte Bemerkung, dass man Unstetigkeitsstellen und Definitionslücken noch weiter klassifiziert hier aus.

Bezüglich Belegen kann ich leider nicht groß weiterhelfen. Ich habe keine so große Sammlung mathematischer Werke im direkten Zugriff wie du und ich beabsichtige auch nicht größere Mengen Lebenszeit zu investieren in den Beleg von Dingen, die für mich fast so elementar sind wie die Tatsache, dass 2+2=4 ist.

Zu den isolierten Punkten kann ich immerhin z.B. folgende leicht zu googelnden Online-Quellen beisteuern: https://www.uni-due.de/~hn213me/sk/knoopa/p3.pdf (Bemerkung 3.20), da aber gleich für metrische Räume, oder http://www.staff.uni-oldenburg.de/daniel.grieser/wwwlehre/05WS.analysis_1/Uebungen/uebung8.pdf. Das (und andere Fundstellen) zeigt zumindest, dass diese Tatsache durchaus thematisiert wird. Die Tatsache an sich hast du ja vermutlich sowieso nicht angezweifelt.

Einige der Aspekte zum Definitionsbereich und "lokale Eigenschaft" fand offenbar auch der Autor von https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Stetigkeit_von_Funktionen erwähnenswert.

Zur Eindeutigkeit durch Bekanntheit auf dichten Teilmengen habe ich auf die Schnelle nur https://pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/iadm/Weidl/analysis/vorlesung-analysis/node130.html gefunden. Auch gleich für metrische Räume formuliert, aber dann auf ein reelles Beispiel und Q angewandt. --Stephan2802 (Diskussion) 23:07, 3. Jun. 2019 (CEST)

Da ich hier angepingt wurde, schreibe ich nun auch etwas dazu. Um von einem Unterabschnitt auf einen ausführlicheren Artikel zum selben Lemma zu verlinken gibt es die Vorlage:Hauptartikel, diese wird z. B. in Zahlbereich oft verwendet. Wie der Artikel am besten aussehen sollte und was eingedampft werden kann, da habe ich gerade keinen Plan.

Unstetigkeitsstelle und Definitionslücke sind genau genommen verschiedene Dinge, ein gemeinsamer Artikel erscheinen mir da nicht sinnvoll. Die Begriffe sollten in den jeweiligen Artikeln allerdings besser voneinander abgegrenzt werden, eine Abbildung einer stetig hebbaren Definitionslücke fehlt beispielsweise. Außerdem ist es wohl ungünstig, dass das Standardbeispiel bei der Unstetigkeitsstelle x_0 den y-Wert 0 bekommt – der verschwindet erstens in der y-Achse und zweitens sind im Allgemeinen auch andere Werte möglich. Vielleicht lohnt es sich hier, die Abbildung zu modifizieren: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Discontinuity_jump.eps.png

@Stephan2802: Wenn du irgendwelche Literatur benötigst, ich habe Zugriff auf eine recht gute Uni-Bibliothek und kann dir Scans recht einfach schicken (ansonsten hilft auch WP:BIBA).

VG --Bejahend (Diskussion) 00:10, 4. Jun. 2019 (CEST)

@Bejahend:Vielen Dank für das freundliche Angebot. Ich glaube aber nicht, dass uns das hier weiterbringt. Nehmen wir das Beispiel mit den isolierten Punkten. Dass die Aussage richtig ist, zweifelt vermutlich keiner an, der am Artikel mitarbeitet. Es ginge also nur noch darum, ein Buch zu finden, dass diese Tatsache auch explizit macht. Ich müsste also eine ganze Reihe von Büchern auf Verdacht anfragen um dann zu schauen, ob eines davon die Aussage belegt, an der sowieso niemand Zweifel hat. Dazu habe ich keine Lust und du vermutlich auch nicht.

Ich sehe die Aussage da eher in einer Reihe mit der von mir freihändig zusammengesetzten Funktion aus Wurzel und Kosinus oder der (nicht von mir angegebenen) Funktion (2x-1)/(x+2). Bei meiner bin ich sicher und bei der anderen vermute ich es auch (und anderes ist jedenfalls nicht belegt), dass sie vom jeweiligen Autor einfach ohne Literaturbezug ausgedacht und die Aussagen darüber getroffen wurden, weil jeder, der sich mit dem Thema auskennt, weiß, dass sie richtig sind.

Eine andere Motivation (da sehe ich mehr Sinn drin) könnte natürlich sein, an Hand der Erwähnung oder nicht Erwähnung zu schließen, ob die Aussage auch die Relevanz besitzt, in den Artikel aufgenommen zu werden. Dazu müsste man dann allerdings eine große Stichprobe bilden, aus der man fairer Weise die Bücher ausklammern muss, die als Definitionsbereich nur Intervalle oder Mengen, in denen jeder Punkt Häufungspunkt ist, zulassen. In denen gibt es nämlich keine isolierten Punkte. Den zweiten Fall müsste man eigentlich sogar eher als Punkt pro isolierte Punkte sehen, denn die Autoren waren ja offenbar auch der Meinung, dass isolierte Punkte ein Problem sind, und haben es dann nur anders gelöst.

Ich glaube nicht, dass du dir wirklich die Arbeit machen willst, eine solche Stichprobe zu erstellen und mir zuzuschicken.

Zum Thema Definitionslücke versus Unstetigkeitsstelle: Wenn man die Unstetigkeitsstelle aus dem Definitionsbereich raus nimmt, dann ist es eine Definitionslücke (hängt noch ein Bischen davon ab, ob man von "Definitionslücke" nur spricht, wenn noch links und rechts von der Stelle Punkte im Definitionsbereich liegen). Und da der konkrete Funktionswert an der Stelle bei der Klassifizierung gar keine Rolle spielt, gab es da auch keinen Informationsverlust. Umgekehrt kann man aus jeder Definitionslücke eine Unstetigkeitsstelle machen, indem man einen willkürlich gewählten Funktionswert (bei hebbaren Lücken halt nicht denn einen, der hebt) hinzufügt. Die beiden Begriffe sind also sehr nah bei einander und selbst die Fachliteratur scheint da auch gerne mal zu schlampen. Im Bronstein findet sich z.B. die Aussage "Die Funktion $f(x)={\frac {1}{x}}$ ist in $x_{0}=0$ unstetig." --Stephan2802 (Diskussion) 01:02, 4. Jun. 2019 (CEST)

Bronstein ist korrekt, die Funktion $f$ ist in $x_{0}=0$ unstetig, da der Grenzwert fehlt. Für die Funktion $g(x)=x\cdot f(x)$ existiert ein Grenzwert $\lim _{x\to 0}g(x)=1$. Ich nehme an, dass Bronstein $g$ in $x_{0}=0$ als stetig bezeichnen würde, obwohl $g(0)$ eine Definitionslücke ist. --Bejahend (Diskussion) 10:56, 4. Jun. 2019 (CEST)

Nein. Bronstein definiert eine halbe Seite vorher Stetigkeit für Punkte des Definitionsbereichs. Unstetigekeit wird nicht explizit definiert, kann also nur aus der Definition von Stetigkeit abgeleitet werden, ist also auch nur für Punkte des Definitionsbereichs definiert. 0 gehört aber weder zum Definitionsbereich von f noch von g. --Stephan2802 (Diskussion) 20:49, 4. Jun. 2019 (CEST)

Heuser scheint sich aus irgendeinem Grund besonders für Sprungstellen zu interessieren. Das sind ja auch tatsächlich typische Beispiele für Unstetigkeitsstellen. Da aber diese Fokussierung auf Sprungstellen auf den Heuser beschränkt zu sein scheint, würde ich für uns noch keine Verpflichtung daraus ableiten, die von dir vorgestellte Begriffsbildung in diesen Artikel einfließen zu lassen.

Spannend finde ich, dass bei Fischer-Kaul 1/x und sin(1/x) als Beispiele unstetiger Funktionen angegeben werden. Ist der genauso schlampig wie der Bronstein oder scheint das nur wegen der verkürzten Wiedergabe hier?

Für mich ist bei diesem Themenkreis das Thema hebbare oder nicht hebbare Definitionslücke eigentlich das wichtigste. Immerhin erlaubt eine hebbare Definitionslücke ja in natürlicher Weise die Definition einer erweiterten stetigen Funktion. Auch finde ich unseren bisherigen Artikel unvollständig, wenn wir zwar darauf hinweisen, dass es Definitionslücken gibt, die nicht hebbar sind (machen wir bei (2x-1)/(x+1)), aber den Fall einer hebbaren Definitionslücke gar nicht beleuchten.

Wenn man aber über hebbare Definitionslücken spricht, dann muss man in meinen Augen auch über Eindeutigkeit und über isolierte Punkte sprechen. Warum interessiert man sich dafür, ob ${\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}$ bei x=1 hebbar ist, während einen das bei x=-1 nicht interessiert? Die Antwort auf diese Frage führt automatisch zu diesen Themen. --Stephan2802 (Diskussion) 23:52, 8. Jun. 2019 (CEST)

Ich hatte bei Fischer-Kaul und den anderen Büchern nur kurz wiedergeben wollen, was dort inhaltlich gemacht wird, ohne deren gesamten Text abzuschreiben. Natürlich wird dort alles korrekt definiert, also der für x/=0 definierten Funktion sin(1/x) auch noch ein Wert bei Null zugewiesen, um eine auf ganz R definierte Funktion zu bekommen.

Wir haben ja bereits im Abschnitt „Beispiele stetiger und unstetiger Funktionen“ bereits Beispiele (und werden evtl auch welche im noch zu schreibenden Motivationsabschnitt diskutieren), so dass wir das hier in diesem Abschnitt nicht noch ein drittes Mal haben sollten.

Grundsätzlich war der Sinn dieser Überarbeitung (des ganzen Artikels) ja der, eine Trennung des Artikels in zwei grundsätzlich unterschiedliche Teile zu bewerkstelligen: eine für Schüler und Anwender bestimmte Hälfte über konkrete Eigenschaften und Beispiele stetiger Funktionen (erst eindimensionale, dann R^n—->R^m, dann zwischen topologischen Räumen, letzteres natürlich schon eher für Fortgeschrittene Studenten) und die Hälfte mit der Überschrift „Bedeutung der Stetigkeit in der Mathematik“, wo halt alle Aspekte diskutiert werden, die nur den Mathematiker oder vielleicht noch den Studenten im Masterstudiengang interessieren. Während an der zweiten Hälfte bisher wohl noch keine Kritik kam, hatten ja verschiedene Leute hier in den letzten Monaten kritisiert, dass die erste Hälfte nicht ihren Erwartungen entspricht. Das sollten wir nicht ignorieren und deshalb denke ich, dass theoretische Diskussionen über Definitionsbereich, Definitionslücken usw. nicht in diese Hälfte gehören, sondern allenfalls in die zweite Hälfte. (Abgesehen davon halte ich manche der vorgeschlagenen Textteile auch in der Sache für nicht so sinnvoll. Beispiel: wir definieren Stetigkeit ja dadurch, dass die Funktion in allen Punkten des Definitionsbereich stetig ist. Mit dieser Definition ist es automatisch, dass man durch Einschränkung des Definitionsbereichs erst recht eine stetige Funktion bekommt. Eine solche Trivialität hier noch ausführlich darzustellen, ist für den unbedarften Leser nur verwirrend. Falls er diesen Fakt wirklich braucht, wird er ihn sich einfacher selbst überlegen können, als hier zu versuchen, den Text zu verstehen. Ähnlich ist es mit Diskussionen über Vereinigungen von Definiitonsbereichen, die in einem Artikel über Garbentheorie hilfreich sein könnten, hier aber den Leser nur verwirren und ihm nicht weiterhelfen. Ähnlich ist es mit den auf den rationalen Zahlen oder gar in isolierten Punkten definierten Funktionen. So etwas stellt man vielleicht mal als Übungsaufgabe im Mathematikstudium, es interessiert aber keinen Anwender und keinen Schüler.)

Falls es Unklarheiten oder unklare Abgrenzungen in den Artikeln über Unstetigkeitsstellen undDefinitionslücken gibt, sollte man die besser dort direkt diskutieren.

Für diesem Abschnitt denke ich schon, dass wir ihn im Prinzip so strukturieren sollten wie bei Heuser. Über Einzelheiten wäre zu diskutieren. Da das Thema in Schulbüchern oder Büchern für Anwender keine Rolle spielt, werden wir uns auf Analysisbücher für Mathematikstudenten beschränken und diesen Abschnitt hier möglichst kurz halten müssen. Der Heuser ist wohl schon das meistbenutzte Buch, aber ich werde mir mal in der Unibibliothek alle gebräuchlichen Lehrbücher ansehen, was es da sonst noch gibt außer den Zugängen bei Heuser und Bröcker.—Godung Gwahag (Diskussion) 12:39, 9. Jun. 2019 (CEST)

Ich war jetzt mal sechs Wochen weg -- zwar nicht ganz ohne Internet, wohl aber ohne die Möglichkeit oder die Absicht, aktiv bei WP mitzumachen. Zum Thema "Unstetigkeit": Ich finde Unstetigkeit überhaupt kein Thema. Eine Funktion ist stetig an einer Stelle in ihrem Definitionsbereich, wenn dort die Definition von Stetigkeit zutrifft, andernfalls ist sie dort unstetig. Ende. Mehr gibts nicht zu sagen. Man kann dann im Rahmen von Beispielen zeigen, was alles passiert sein kann, so dass Unstetigkeit vorliegt, aber nicht im Rahmen des Versuchs einer gesonderten Definition von Unstetigkeit. Es mag sein, dass es Autoren gibt, die sich Gedanken darüber machen, ob eine Funktion an einer Stelle stetig oder unstetig sein kann, an der sie gar nicht definirt ist; die mögen dann erst einmal eine Definition vorliegen, an welchen Stellen sie eigentlich hätte defniert sein müssen, so dass dort eine Definitionslücke ist, während sie an anderen Stellen auch nicht definiert ist, ohne dass man von einer Lücke spricht. Alles höllisch kompliziert und zu nichts gut. Ich kümmere mich um diesen Teil weiterhin nicht. --Lantani (Diskussion) 16:11, 9. Jun. 2019 (CEST)

Das ist ja jetzt nicht so weit weg von meinem Vorschlag: ein kurzer Abschnitt, der gerade lang genug ist, um die existierenden Artikel zu verschiedenen Unstetigkeitsstellen verlinken zu können.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:38, 9. Jun. 2019 (CEST)

Das, was du höllisch kompliziert findest, habe ich in meinem Vorschlag kurz und knackig beschrieben und auch noch begründet, warum man sich solche Stellen anschaut. Das genaue Hinschauen machen wir übrigens jetzt schon in Beispiele stetiger und unstetiger Funktionen.

Zusatzbemerkung: Nach einer Umorganisation der Diskussionsseite durch Godung Gwahag ist leider nicht mehr ersichtlich, dass das hier ein Vorschlag von mir für ein zusätzliches Kapitel ist, das ich zwischen "Beispiele stetiger und unstetiger Funktionen" und "Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen" einfügen wollte. Wenn du in die Diskussion über die Gestaltung des Artikels wieder einsteigen willst, dann wäre es sinnvoll, wenn du dir das mal insgesamt anschauen würdest und deine Meinung dazu äußern würdest, was du davon für relevant und was für irrelevant hältst. --Stephan2802 (Diskussion) 21:42, 9. Jun. 2019 (CEST)

Zunächst einmal möchte ich der These zum grundsätzlichen Ziel der Überarbeitung widersprechen. Wenn der Artikel tatsächlich in "zwei grundsätzlich unterschiedliche Teile" getrennt werden soll, dann wäre es besser, zwei Artikel zu schaffen, so wie man es bei der Kompaktheit gemacht hat (Kompaktheit (reelle Zahlen) und Kompakter Raum). Für mich ist weiterhin ein wesentliches Ziel, einen Artikel zu schaffen, der zeigt, dass Stetigkeit ein durchgängiges Konzept ist. Das kann man in meinen Augen, wenn man es richtig anfasst, schon damit verbinden, dass der erste Teil möglichst laienkompatibel geschrieben ist.

Bezüglich "Einschränkung des Definitionsbereichs" hast du offenbar meinen Vorschlag missverstanden. Es ging nicht darum aufzuzeigen, dass die globale Stetigkeit erhalten bleibt, wenn man den Definitionsbereich einschränkt, sondern, dass die punktweise Stetigkeit erhalten bleibt, wenn man den Definitionsbereich einschränkt (wobei der Punkt, in dem man die Stetigkeit untersucht natürlich auch im eingeschränkten Definitionsbereich liegen muss). Das ist natürlich auch trivial, weil z.B. im Folgenkriterium einfach weniger Folgen untersucht werden müssen. Die Autoren einer Vorversion des Artikels fanden es aber offenbar nicht so offensichtlich, sonst hätten sie nicht bei den zusammengesetzten Funktionen immer die Schnittmengen der Definitionsbereiche gebildet.

Zum Thema Unstetigkeit verweise ich z.B. auf diese Diskussion, ausgelöst von einer Studentin der Wirtschaftswissenschaft (gehört wohl zu unserer Zielgruppe). Die Teilnehmer der Diskussion haben auch die Fragen diskutiert, die hier anscheinen ausgeklammert werden sollen. Und sie beziehen sich in der Diskussion sogar auf die Wikipedia. Für mich ein ganz klares Zeichen, dass wir zu dem Thema was sagen sollten. Und zwar nicht nur versteckt in einem Artikel zu Unstetigkeitsstellen oder Definitionslücken.

Dass eine stetige Funktion durch ihre Werte auf Q eindeutig definiert ist, war mir als Schüler jedenfalls bekannt und für mich eine der interessantesten Aspekte der Stetigkeit. Natürlich war ich auch gut in Mathe, deswegen habe ich es ja auch studiert. Ich finde aber auch, dass unser Artikel für den guten Schüler interessante Informationen enthalten soll. Schließlich soll er ja nicht einfach den Nachhilfelehrer ersetzen.

Insgesamt krankt die Diskussion aber für mich auch daran, dass du bisher deine Vorstellungen nur abstrakt beschrieben hast. Von mir gibt es einen konkreten Vorschlag. Wie wäre es, wenn du ebenfalls einen konkreten Vorschlag machst? Dann lässt sich in meinen Augen wesentlich konstruktiver diskutieren. --Stephan2802 (Diskussion) 21:42, 9. Jun. 2019 (CEST)

Einen konkreten (inzwischen in der unübersichtlichen Diskussion zugegebenermaßen schwer aufzufindenden) Vorschlag hatte ich oben mit meinen Edits vom 25. Mai (17:03-17:05) gemacht, außerdem hatte ich ja Heuser zitiert und hatte angekündigt, mir morgen weitere Lehrbücher anzuschauen. Wie gesagt, sollten wir uns - gerade bei einem vielgelesenen Artikel zu einem zentralen Thema - an der Literatur orientieren. Wir werden zu keinem Ergebnis kommen, wenn jeder Autor jeweils einbringen will, was er persönlich bei dem Thema am Interessantesten findet. —Godung Gwahag (Diskussion) 22:38, 9. Jun. 2019 (CEST)

Dann äußere ich mich nochmal zu diesem Vorschlag, auch wenn noch nicht ganz klar ist, wie die Überschrift des Kapitels wäre und wo es anzusiedeln wäre.

Generell finde ich eine solche Aufzählung von Definitionen ohne Motivation und ohne Beispiel wenig hilfreich.

Mehr im Detail: Du beginnst mit dem hebbaren Fall. Auch ich halte diesen Fall für den wichtigsten. Es ist meiner Meinung nach aber falsch, diesen Fall an der Unstetigkeit festzumachen. Hebbare Unstetigkeitsstellen sind ein theoretisches Konstrukt ohne praktische Relevanz. Die einzige geschlossene Formel, die zu einer hebbaren Unstetigkeitsstelle führt und mir auf Anhieb einfällt, ist $0^{|x|}$ im Nullpunkt. Ansonsten kann man natürlich bewusst hebbare Unstetigkeitsstellen herstellen, indem man bei einer eigentlich stetigen Funktion einen Funktionswert verschiebt. Wenn man das in der Praxis macht (z.B. bei der charakteristischen Funktion einer einpunktigen Menge), dann hat das aber auch einen Grund. Die Hebbarkeit ist dann bestenfalls eine Randnotiz wert.

Sehr interessant ist das Thema der Hebbarkeit dagegen bei Definitionslücken. Hier zeigt sie einem nämlich z.B., dass man in 0/0-Situationen mit seiner Weisheit noch nicht am Ende ist. Eine Erkenntnis, die schließlich zum Begriff der Ableitung führt.

Tatsächlich hast du dann ja zum Thema Hebbarkeit auch ein Unterkapitel von "Definitionslücke" verlinkt. Dort, wo man über Unstetigkeitsstellen spricht, auf Definitionslücke zu verlinken, konterkariert unsere Bemühungen nach einer sauberen Begriffstrennung.

Beim Beispiel ${\frac {2x-1}{x+2}}$ schreiben wir "Eine stetige Fortsetzung der Funktion an dieser Definitionslücke ist nicht möglich." Damit referieren wir gerade auf das Problem der stetigen Hebbarkeit von Definitionslücken. Dieser Zusammenhang wird aber nicht erkennbar, wenn wir deinem Vorschlag folgen. Er wird erkennbar, wenn wir stetige Hebbarkeit über die Existenz einer stetigen Fortsetzung definieren.

Schließlich halte ich es für falsch, bei der Definition von Hebbarkeit über links- und rechtsseitige Grenzwerte zu sprechen. Nicht nur wird damit ein weiterer neuer Begriff eingeführt, der Leser wird auch in die Irre geführt. Es scheint nämlich, dass die Ordnungsstruktur von $\mathbb {R}$ etwas mit dem Begriff der stetigen Hebbarkeit zu tun hat. Das ist aber nicht der Fall, ${\frac {sin(x)}{x}}$ ist schließlich nicht nur als reelle Funktion sondern auch als komplexe Funktion in 0 stetig hebbar. --Stephan2802 (Diskussion) 14:45, 10. Jun. 2019 (CEST)

Die von Dir angesprochenen Aspekte sind natürlich alle sehr interessant und ich finde, dass Du sie auf jeden Fall in irgendeiner Form „zu Papier“ bringen solltest. Ich kann auch gerne dabei behilflich sein, eine geeignete Seite im Netz für einen Essay über alle diese Themen zu finden. Hier im Artikel werden wir das aber nicht alles unterbringen, schon allein weil das ohne Literatur ein Verstoß gegen WP:OR wäre.

Wie gesagt, wird das Thema in heutigen Lehrbüchern nur sehr kurz abgehandelt, in denen für Ingenieure kommt es überhaupt nicht vor. In älteren Lehrbüchern war das noch anders, ein Lehrbuch mit einem längeren Abschnitt zu unstetigen Funktionen ist von Mangoldt und Knopp, es war bis 1990 das meistbenutzte Lehrbuch (jedenfalls in der DDR), ist aber heute wohl aus der Mode gekommen. Dort werden zunächst Beipiele (der ganzzahlige Anteil, sin(pi/x) und drei ähnliche Funktionen) sehr ausführlich und anschaulich diskutiert, um damit das epsilon-Delta-Kriterium zu motivieren (was wir vielleicht für unseren Motivationsabschnitt verwenden könnten), es wird dann noch einseitige Stetigkeit diskutiert und schließlich kommt später noch ein Abschnitt „Darstellung unstetiger Funktionen“, wo zunächst ausführlich arctan(1/x) diskutiert wird, was auch bei Festlegung von Werten in kpi immer noch Sprungstellen hat, dann werden verschiedene Beispiele Rationaler Funktionen mit ihren Sprungstellen erklärt und es findet dann aber keine theoretischere Diskussion mehr statt.

Zu den heute gebräuchlichen Lehrbüchern: die Inhalte von Heuser und Bröcker (sowie Fischer-Kaul) hatte ich ja oben schon wiedergegeben.

Amann-Escher hat einen kurzen Abschnitt zu einseitiger Stetigkeit für Abbildungen aus R in einen metrischen Raum.

Barner-Flohr hat einen Abschnitt zu stetiger Fortsetzbarkeit, der allerdings den Zweck hat, den bis dahin noch nicht verwendeten Grenzwertbegriff für Funktionen einzuführen. (Sie definieren Stetigkeit mittels epsilon-delta und beweisen dann die Äquivalenz der stetigen Fortsetzbarkeit in einem Punkt zum Grenzwertkriterium.) Darüber hinaus kommt Unstetigkeit nicht vor.

Bei Blatter kommt Unstetigkeit nur in einem Beispiel vor.

Bei Forster kommt Unstetigkeit überhaupt nicht vor.

Grauert-Lieb hat einen Abschnitt über halbstetige Funktionen, wobei Stetigkeit dann erst im darauf folgenden Abschnitt definiert wird.

Bei Hildebrandt wird Unstetigkeit nicht diskutiert. (Bis auf die Diskussion stückweise stetiger Funktionen bei der Einführung des Lebesgue-Integrals.)

Bei Königsberger wird ähnlich wie bei Barner-Flohr das Fortsetzungsproblem betrachtet,um die Definition von Grenzwerten von Funktionen und das Grenzwertkriterium zu motivieren, und es werden in einem weiteren Abschnitt zunächst einseitige Grenzwerte und schließlich auch noch uneigentliche Grenzwerte eingeführt. Eine weitere Diskussion von Unstetigkeitsstellen findet nicht statt.

Walter hat zwar ein langes Kapitel über stetige Funktionen, aber nichts zu Unstetigkeit.

Zorich hat einen eigenen Abschnitt über Unstetigkeitsstellen, dort wird nach Umformulierung der epsilon-Delta-Definition und Beispielen zunächst der Begriff „hebbare Unstetigkeit“ definiert und am Beispiel sin(1/x) erläutert, dann „Unstetigkeit erster Art“ und „Unstetigkeit zweiter Art“ definiert und die Begriffe an den Beispielen Dirichlet-Funktion und Riemann-Funktion erläutert.

Auf Basis der Literatur sehe ich jetzt zwei Möglichkeiten. Entweder sagen wir, dass Heuser und vielleicht noch Bröcker, Königsberger, Zorich die meistgenutzten Lehrbücher sind und wir uns deshalb an einem von diesen orientieren. Oder wir sagen, dass in den meisten Lehrbüchern das Thema überhaupt nicht vorkommt (oder sich auf Beispiele beschränkt) und lassen deshalb wie von Lantani vorgeschlagen diesen Abschnitt jetzt ganz weg. (Stattdessen könnten wir eventuell die Beispiele unstetiger Funktionen im ersten Abschnitt noch weiter ausbauen.)—Godung Gwahag (Diskussion) 14:14, 11. Jun. 2019 (CEST)

Ich war jetzt einige Zeit anderweitig beschäftigt. Allerdings scheint sich die Diskussion in dieser Zeit nicht weiterbewegt zu haben. Um überhaupt voranzukommen schlage ich vor, das Kapitel 'Unstetige Funktionen' zunächst einmal rauszunehmen. Wir können da ja auch später nacharbeiten. --Stephan2802 (Diskussion) 18:43, 16. Jul. 2019 (CEST)

Andere Stetigkeitsbegriffe

Die Auswahl der hier besprochenen Stetigkeitsbegriffe erscheint willkürlich. Warum wird hier die geometrische Stetigkeit besprochen, während die ordnungstheoretische Stetigkeit an anderer Stelle vorkommt? Außerdem überschneidet sich das Kapitel stark mit dem Kapitel "Weitere Stetigkeitsbegriffe auf metrischen Räumen".

Die einfachste Lösung erscheint mir eine Streichung dieses Kapitels an dieser Stelle. --Stephan2802 (Diskussion) 11:09, 14. Apr. 2019 (CEST)

Vielleicht sollte man diesen Abschnitt in das Kapitel über metrische Räume verlagern, da seine Zielgruppe ja eher Studenten/Mathematiker als Schüler/Erstsemester sind? Dann könnte man auch auf das jetzige Kapitel 7 „Andere Stetigkeitsbegriffe“ verzichten. Ordnungstheoretische Stetigkeit muß mE nicht unbedingt in den Artikel.—Godung Gwahag (Diskussion) 20:16, 25. Mai 2019 (CEST)

Wenn kein Widerspruch kommt, nehme ich diesen Abschnitt hier erstmal heraus. Wir können dann diskutieren, ob er stattdessen in einem späteren Kapitel "Stetigkeit in metrischen Räumen" oder "Stetigkeit vektorwertiger Funktionen" vorkommen soll.--Godung Gwahag (Diskussion) 09:53, 3. Jun. 2019 (CEST)

Der Definitionsbereich einer stetigen Funktion

Isolierte Punkte im Definitionsbereich

Für die Frage der Stetigkeit einer Funktion $f$ im Punkt $x_{0}\in D_{f}$ spielt die Lage von $x_{0}$ in $D_{f}$ eine wichtige Rolle. Ist $x_{0}$ ein isolierter Punkt in $D_{f}$, so ist $f$ auf jeden Fall stetig in $x_{0}$. Dabei ist $x_{0}$ ein isolierter Punkt in $D_{f}$, wenn es ein offenes Intervall gibt, das mit $D_{f}$ nur den Punkt $x_{0}$ gemeinsam hat.

Zum Beispiel ist $0$ ein isolierter Punkt in $\{0\}\cup [1,2]$. In der Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ ist jeder Punkt isoliert. Reelle Funktionen mit Definitionsbereich $\mathbb {Z}$ sind also immer stetig (weswegen man sie im Normalfall auch nicht auf Stetigkeit untersucht).

"Eindeutigkeit" stetiger Funktionen

Ist $x_{0}$ kein isolierter Punkt in $D_{f}$, so gibt es eine Folge im Komplement $D_{f}\setminus \{x_{0}\}$, die gegen $x_{0}$ konvergiert. Ist $f$ stetig in $x_{0}$, so muss die zugehörige Bildfolge nach dem Folgenkriterium gegen den Funktionswert $f(x_{0})$ konvergieren. Der Wert der Funktion in $x_{0}$ ist also durch die anderen Funktionswerte bereits festgelegt.

Für eine stetige Funktion reicht es also die Funktionswerte für eine geeignete Teilmenge des Definitionsbereichs zu kennen. Die restlichen Funktionswerte ergeben sich dann automatisch. Geeignet ist eine Teilmenge dabei, wenn sie im Definitionsbereich dicht liegt (das heißt: Jedes offene Intervall, das Elemente aus dem Definitionsbereich enthält, enthält auch Elemente der betrachteten Teilmenge).

Zum Beispiel liegt die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ dicht in $\mathbb {R}$. Eine stetige Funktion auf ganz $\mathbb {R}$ ist also bereits durch ihre Werte auf $\mathbb {Q}$ eindeutig festgelegt.

Definitionslücken

→ Hauptartikel: Definitionslücke

Ein Punkt $x_{0}\not \in D_{f}$ wird Definitionslücke genannt, wenn er kein isolierter Punkt in $D:=D_{f}\cup \{x_{0}\}$ ist. In diesem Fall stellt sich die Frage, ob es möglich ist, eine in $x_{0}$ stetige reelle Funktion ${\tilde {f}}$ mit dem erweiterten Definitionsbereich $D$ zu finden, deren Einschränkung auf $D_{f}$ mit $f$ übereinstimmt. Nach dem bisher gesagten kann es nämlich höchstens eine solche Funktion geben. Ist dies der Fall, so heißt die Definitionslücke hebbar und ${\tilde {f}}$ (die) stetige Fortsetzung (von $f$ in $x_{0}$). Allerdings führt man für die stetige Fortsetzung oft gar kein neues Symbol ein, da ihre Funktionswerte sich ja aus denen von $f$ eindeutig ergeben.

Nicht hebbare Definitionslücken können noch weiter klassifiziert werden.

Die oben betrachte Funktion $x\mapsto {\frac {2x-1}{x+2}}$ hat zum Beispiel bei $x=-2$ eine nicht hebbare Definitionslücke, die sich bei genauerer Untersuchung als Polstelle erweist.

Die Klassifizierung von Definitionslücken wird manchmal auch auf Unstetigkeitsstellen angewandt. Ist $x_{0}$ eine Unstetigkeitsstelle von $f$, so ist $x_{0}$ eine Definitionslücke der Einschränkung von $f$ auf $D_{f}\setminus \{x_{0}\}$. Ist diese hebbar, so wird das im Allgemeinen so interpretiert, dass man für $f$ an der Stelle $x_{0}$ den "falschen" Funktionswert gewählt hat. Andernfalls überträgt man die Klassifikation der Definitionslücke auf die Unstetigkeitsstelle.

Einschränkung des Definitionsbereichs

Ist eine Funktion $f$ in einem Punkt $x_{0}$ stetig und ist $D$ eine Teilmenge von $D_{f}$, die $x_{0}$ enthält, so ist auch die Einschränkung von $f$ auf $D$ stetig in $x_{0}$.

Dass die Umkehrung im Allgemeinen nicht richtig ist, zeigt die Heaviside-Funktion. Deren Einschränkung auf $[0,\infty )$ ist konstant also stetig. Insbesondere gilt dies im Punkt 0. Die uneingeschränkte Heaviside-Funktion ist aber unstetig im Punkt 0.

Es gibt jedoch Situationen, in denen die Umkehrung doch gilt:

• Die Umkehrung gilt, wenn $D$ ein offenes Intervall (allgemeiner: der Durchschnitt von $D_{f}$ und einem offenen Intervall) ist. Dies bedeutet, dass man bei der Untersuchung der Stetigkeit von $f$ in $x_{0}$ nur einen beliebig kleinen Teil des Definitionsbereichs um $x_{0}$ herum betrachten muss (in der Mathematik spricht man von einer Umgebung von $x_{0}$ in $D_{f}$). Diese Tatsache wird auch dadurch beschrieben, dass man die Stetigkeit (in einem Punkt) als lokale Eigenschaft bezeichnet.

• Sind $D_{1}$ und $D_{2}$ zwei Mengen, die beide $x_{0}$ enthalten und deren Vereinigung $D_{f}$ ist, so ist $f$ genau dann stetig in $x_{0}$, wenn dies für die Einschränkungen von $f$ auf $D_{1}$ und $D_{2}$ gilt. Diese Tatsache wird zum Beispiel genutzt, um die Bedingung der Stetigkeit in eine linksseitige und eine rechtsseitige Stetigkeit aufzuteilen.

Ende: Neues Kapitel

Ich finde nicht, dass wir in diesem Artikel über Stetigkeit reeller Funktionen solche formalen Aspekte so betonen sollten. Ggf. müßten wir das auf dem Portal diskutieren und dann dort entscheiden.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:07, 1. Jun. 2019 (CEST)

Was genau findest du denn hier überflüssig? Da wir bei der Natur des Definitionsbereichs keine Einschränkungen gemacht haben, müssen wir in meinen Augen bezüglich isolierter Punkte mal Farbe bekennen.

Die Tatsache, dass Stetigkeit bedeutet, dass man die Funktion schon kennt, wenn man sie auf einer genügend großen Teilmenge des Definitionsbereichs kennt, finde ich eine ganz wichtige Eigenschaft der Stetigkeit. Das gleiche gilt für die Charakterisierung als lokale Eigenschaft.

Dass Stetigkeit erhalten bleibt, wenn man den Definitionsbereich verkleinert, rechtfertigt, dass wir im nächsten Kapitel einfach annehmen, dass die Definitionsbereiche übereinstimmen. Andere Versionen des Artikels haben da mit Schnittmengen von Definitionsbereichen gearbeitet, was ich deutlich unschöner fand.

Zu Definitionslücken und Unstetigkeitsstellen stand bisher in jeder Version des Artikels was drin und der neu von dir angelegte Artikel zu links/rechtsseitiger Stetigkeit sollte doch auch verlinkt werden.

Oder stört dich, dass ich Begriffe wie "isolierter Punkt", "dicht" und "Umgebung" hier nochmal definiert habe, anstatt auf die Verlinkung zu setzen? Der Grund war, dass jeder der verlinkten Artikel gleich sehr abstrakt daherkommt. Die Inline-Definition war daher als Service an den interessierten Laien gedacht.

Weitere Meinungen sind natürlich gerne willkommen. ich würde mich freuen, wenn es dir gelänge wieder mehr Teilnehmer für die Diskussion zu gewinnen. --Stephan2802 (Diskussion) 17:39, 1. Jun. 2019 (CEST)

Ich werde mir in den nächsten Tagen mal anschauen, ob und wie diese Themen in den gängigen Lehrbüchern besprochen werden. Ich persönlich glaube bspw. nicht, dass Leser diesen Artikel nachschlagen, um sich über Stetigkeit in isolierten Punkten zu informieren. Das mag gelegentlich in mathematischen Beweisen mal eine Rolle spielen können, für den Anwender ist diese Frage sicher uninteressant. Aber das ist nur meine persönliche Meinung, letztlich haben wir uns nach der Literatur zu richten.—Godung Gwahag (Diskussion) 17:53, 1. Jun. 2019 (CEST)

Dass jemand hier explizit nach dem Thema "Stetigkeit in isolierten Punkten" sucht, halte ich auch für unwahrscheinlich. Schließlich muss man ja erst einmal auf die Idee kommen, dass isolierte Punkte bei Stetigkeitsbetrachtungen eine Sonderrolle haben. Genau darauf soll doch dieser Abschnitt hinweisen. Daher kann ich mit diesem Argument wenig anfangen.

Nach welcher Literatur willst du dich denn richten? Topologische Fachbücher, Schulbücher, Mathematik für Ingenieure?

In den letzten beiden Fällen müsstest du ja zumindest erst einmal die Bücher auslassen, die implizit oder explizit nur Funktionen betrachten, deren Definitionsbereich ein Intervall oder eine endliche Vereinigung von Intervallen ist. Die werden sich dem Thema nicht widmen, weil es für sie nicht relevant ist. Wir haben uns aber entschieden, beliebige Teilmengen von $\mathbb {R}$ als Definitionsbereich zuzulassen. Die Diskussion darüber würde ich auch ungern wieder aufnehmen. Dann müssen wir in meinen Augen aber auch mit den Konsequenzen tragen, nämlich dass wir irgendwann mal (mit wenigen Sätzen!) das Thema "isolierte Punkte" erwähnen. --Stephan2802 (Diskussion) 18:23, 1. Jun. 2019 (CEST)

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Stetigkeit für Funktionen mehrerer Variablen

Da der Abschnitt nicht mehr Unterkapitel des Spezialkapitels über reelle Funktionen ist und die Überschrift auch keine Einschränkung macht, würde man erwarten, dass das Thema hier allgemein angegangen wird. Tatsächlich wird aber weiterhin nur der reelle Fall betrachtet.
Da viele Anwender der Mathematik sich auch für komplexe Funktionen oder Funktionen von $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R} ^{m}$ interessieren dürften, wäre ich für die Einführung eines Kapitels "Stetigkeit von Funktionen in $\mathbb {R} ^{n}$ und $\mathbb {C}$", in dem man noch weitere Informationen sammeln kann (z.B. auch das Beispiel mit der nicht stetig invertierbaren injektiven stetigen Funktion). Dieses Kapitel könnte dann als letztes Unterkapitel bei "Stetigkeit reeller Funktionen" aufgenommen werden oder aber ein eigenes Kapitel werden. Hängt auch vom Umfang ab. --Stephan2802 (Diskussion) 22:05, 14. Apr. 2019 (CEST)

Funktionen von C^n nach C^m sind ja genau dann stetig, wenn sie als Funktionen von R^2n nach R^2m stetig sind. Anders als bei der Differenzierbarkeit gibt es keine gesonderte Theorie von Stetigkeit für komplexe Funktionen. Allenfalls könnte man erwähnen, dass die Funktion stetig ist gdw. Real-und Imaginärteil komplex sind. Jedenfalls sollte man das sehr kurz halten.--21:25, 25. Mai 2019 (CEST)

Definition

Hier wird zunächst über mehrere Zeilen die argumentweise Stetigkeit eingeführt. Dann in einer Zeile die "richtige" Stetigkeit. Das erweckt den Eindruck, dass die argumentweise Stetigkeit wichtiger ist.
Die Reihenfolge sollte umgedreht werden und ein verbindender Satz sollte die richtige Einordung erklären. --Stephan2802 (Diskussion) 22:05, 14. Apr. 2019 (CEST)

Beispiele

Dieses Kapitel enthält eine allgemeine Aussage und ein Beispiel. Die Überschrift ist also falsch gewählt. Ich denke aber sowieso, dass wir besser ein Unterkapitel "Argumentweise Stetigkeit" haben sollten. --Stephan2802 (Diskussion) 22:05, 14. Apr. 2019 (CEST)

Ich habe diesen Abschnitt jetzt schon mal entsprechend obigen Kritikpunkten umgeschrieben.--Godung Gwahag (Diskussion) 21:36, 25. Mai 2019 (CEST)

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Bedeutung der Stetigkeit in der Mathematik

In diesem Abschnitt fehlen Belege und Verweise auf weiterführende Literatur.—Godung Gwahag (Diskussion) 21:21, 3. Apr. 2019 (CEST)

Ich finde auch die Überschrift irreführend, da die verschiedenen Themen dieses Abschnitts ja wenig mit der Bedeutung der Stetigkeit zu tun haben. Die Bedeutung der Stetigkeit sollte in der Einleitung oder im Motivationsabschnitt dargestellt werden.—Godung Gwahag (Diskussion) 01:02, 12. Okt. 2019 (CEST)

Ich würde vorschlagen, diese Überschrift aufzulösen, stattdessen noch einen Abschnitt über „Algebren stetiger Funktionen“ und einen über „Stetigkeit und Homomorphie“ (oder eine ähnliche Überschrift) anzulegen. Die anderen Abschnitte lassen sich (wie im Einzelnen unten diskutiert) besser und kürzer an anderen Stellen im Artikel unterbringen.—Godung Gwahag (Diskussion) 10:45, 12. Okt. 2019 (CEST)

Verknüpfung von algebraischen und topologischen Strukturen

Hier könnte man noch Hilberts fünftes Problem erwähnen und dass sich mit dem Auswahlaxiom unstetige Homomorphismen konstruieren lassen.—Godung Gwahag (Diskussion) 13:02, 11. Okt. 2019 (CEST)

Definition von Topologien

Das gehört m.E. nicht in diesen Artikel, sondern in die bereits existierenden Artikel Initialtopologie und Finaltopologie. Man könnte vielleicht an einer passenden Stelle einen Abschnitt über Familien stetiger Funktionen einstreuen und dort kurz erwähnen, dass man Stteigkeit zur Definition von Final- und Initialtopologien verwendet.—Godung Gwahag (Diskussion) 01:06, 12. Okt. 2019 (CEST)

Existenz und Fortsetzung von stetigen Funktionen

Das ist ein sehr spezielles Thema, welches besser in einem Spezialartikel (Punktetrennende Menge?) diskutiert werden sollte.—Godung Gwahag (Diskussion) 10:49, 12. Okt. 2019 (CEST)

Hinreichende Bedingungen für Stetigkeit

Diesen gesamten Abschnitt sollte man vielleicht eher in den Oberabschnitt „Stetigkeit in der Topologie“ (an sein Ende) einordnen.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:37, 6. Apr. 2019 (CEST)

Stetigkeit linearer Operatoren

es sollte ein Artikel Stetiger Operator angelegt und auf diesen als Hauptartikel für weiterführende Informatuonen verlinkt werden.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:37, 6. Apr. 2019 (CEST)

Stetige Fortsetzbarkeit

Das hätte in den Abschnitt über stetige und unstetige Funktionen gehört; dort hatten wir aber ausdrücklich beschloßen, es draußen zu lassen. Wir haben auch bereits einen Artikel Hebbare Definitionslücke, der sehr viel ausführlicher ist. (Ich wäre eigentlich immer noch dafür, die existierenden Artikel zu verschiedenen Unstetigkeitsstellen aus dem Artikel zu verlinken; das sollte aber besser aus dem Abschnitt über unstetige Funktionen geschehen.)—Godung Gwahag (Diskussion) 00:59, 12. Okt. 2019 (CEST)

Stetigkeit von Grenzwerten von Funktionenfolgen

Das würde ich eher schon früher in den Artikel einbauen, zumal der Begriff „lokal gleichmäßige Konvergenz“ wohl nur für metrische Räume definiert ist. (Oder?)—Godung Gwahag (Diskussion) 10:51, 12. Okt. 2019 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 13:04, 19. Nov. 2019 (CET)

Andere Stetigkeitsbegriffe

Ordnungstheoretischer Stetigkeitsbegriff

Das würde ich eher in einen Abschnitt nach https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation#Vollst%C3%A4ndige_Halbordnung (vor den Abschnitt über Homomorphismen) verschieben.—Godung Gwahag (Diskussion) 10:41, 12. Okt. 2019 (CEST)

Weitere Stetigkeitsbegriffe auf metrischen Räumen

Die Inhalte hier stehen schon im Abschnitt über reelle Funktionen und müssen m.E. nicht nich einmal für metrische Räume aufgeführt werden, da sie ja alle eigene Artikel haben. Und der Satz von Heine gehört nicht in diesen Artikel, sondern in den über gleichmäßige Stetigkeit.—Godung Gwahag (Diskussion) 00:44, 12. Okt. 2019 (CEST) Eine andere Möglichkeit wäre, diesen Abschnitt in den bisher sehr kurzen Abschnitt über metrische Räume zu übernehmen, und dann den Begriff der (lokalen) gleichmäßigen Konvergenz dort gleich zu verwenden, um die Konvergenz von Familien stetiger Funktionen gegen eine stetige Funktion zu diskutieren, also auch den Abschnitt „Stetigkeit von Grenzwerten von Funktionenfolgen“ dort unterzubringen.—Godung Gwahag (Diskussion) 10:55, 12. Okt. 2019 (CEST)

Weitere Stetigkeitskriterien

Die beiden Kriterien gehören in den Abschnitt über Funktionen auf R. Wenn wir sie dort nicht haben wollen, sollten wir sie ganz herauslassen.—Godung Gwahag (Diskussion) 08:59, 12. Okt. 2019 (CEST)

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Verschiedenes

Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Vielleicht sollte man diesen Abschnitt stark kürzen und in einem anderen Artikel einbauen?—Godung Gwahag (Diskussion) 22:16, 6. Apr. 2019 (CEST)

M.E. wäre das auch etwas für einen sieheauch-Link auf Differenzierbarkeit#Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:58, 12. Okt. 2019 (CEST)

Anmerkung zur Darstellung in diesem Artikel

Das sollte an den Beginn des Abschnitts https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Funktion#Definitionen_der_Stetigkeit (für die vorhergehenden Teile spielt es ja keine Rolle, da dort die Topologie durch die Metrik gegeben ist).—Godung Gwahag (Diskussion) 10:36, 12. Okt. 2019 (CEST)

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