Diskussion:Vektorraum/Archiv

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Untervektorraum

Irgendwie steht da nirgends, dass Unterräume Vektorräume sind, und das Beispiel könnte eine Überarbeitung vertragen ("zum Quadrat").--Gunther 15:58, 3. Mär 2005 (CET)

So, steht da (ich hoffe, ich habe nicht gegen irgendwelche Regeln verstoßen, ich noob). Aber was stört dich am Beispiel? Dieses ist korrekt.

Korrekt schon, nur die ursprüngliche Formulierung war grausam. Man könnte in so einem einfachen Fall natürlich auch alle Unterräume auflisten.--Gunther 11:37, 16. Jun 2005 (CEST)

Ich verstehe nicht ganz, warum weder meine Aenderungen zu sehen sind, noch ein Hinweis vorhanden ist, dass dieser Artikel geaendert wurde. Woran kann dies liegen?

Ich sehe Deine Änderungen hier (Zeilen 2-6). Evtl. Browser-Cache leeren?--Gunther 17:24, 22. Jun 2005 (CEST)

Ich habe gerade gesehen, dass ein eigener Artikel Unterraum existiert, der jedoch weniger Inhalt hat, als der entsprechende Abschnitt in diesem Artikel. Es bieten sich nun zwei in meinen Augen sinnvolle Möglichkeiten an:

1. Den Artikel Unterraum auf Vektorraum umleiten
2. In Vektorraum nur noch den jetzt einleitenden Satz des Abschnitts, den Hinweis auf die zwei trivialen Unterräume und das Beispiel lassen. Alles andere in den Artikel Unterraum verschieben und dabei insbesondere den Beweis sauber ausführen, dass aus den drei Bedingungen folgt, dass ein Untervektorraum ein Vektorraum ist.

Ich selbst bevorzuge die zweite Möglichkeit und würde dann das Lemma auch noch in Untervektorraum umbenennen.--Squizzz 13:54, 17. Mär 2006 (CET)

Überarbeiten 24. 7. 2005

Das Beispiel für einen einfachen abstrakten Vektorraum sollte überarbeitet werden, die Bezeichnung "Geraden" ist irreführend, weil Geraden parallel zur y-Achse ausgeschlossen werden und Geraden üblicherweise nicht (bzw. nicht in dieser Weise) addiert werden. Alternativ könnte man auch ein anderes Beispiel erklären, z.B. der Raum der Zahlenfolgen, die die Fibonacci-Rekursion erfüllen, oder der Raum der Zahlentripel mit Summe 0. An letzterem kann man schön sehen, dass es oft keine kanonische Basis gibt.--Gunther 16:35, 24. Jul 2005 (CEST)

Wenn der Artikel überarbeitet wird, könnte dann auch jemand vom Fach so nett sein und ein paar Bilder einfügen, um den Artikel leichter verständlich zu machen? MovGP0 21:00, 2. Aug 2005 (CEST)

Ich bin nen großer Bilder-Fan in Sachen Wikipedia. Bei Vektorräumen muß man aber sicher aufpassen, da man schnell vor einem abstrakten Fall steht, dessen Dimension Bilder nicht ohne weiteres erklären kann. Man denke da mal an den Vektorraum der stetigen Funktionen z.B. ... - ImperatoM, 7.9.

Skalare griechisch oder lateinisch schreiben

Ich hätte in der hier gegebenen Definition die lateinischen Buchstaben $a,b$ für die Grundkörper-Skalare gegenüber den griechischen $\alpha ,\beta$ bevorzugt aus Gründen der besseren Lesbarkeit für Einsteiger. An anderen Stellen dagegen (Schreibweisen $\mathbf {v} ,{\vec {v}}$ für Vektoren) verlassen wir sogar die Notations-Konsistenz innerhalb der einzelnen Artikel, um Einsteigern entgegenzukommen (was ich in dem jetzigen Maße schon wieder für etwas übertrieben halte).--JFKCom 20:48, 11. Sep 2005 (CEST)

Innerhalb eines Abschnittes sollte es auf jeden Fall konsistent sein (das war es vor den Änderungen der IP nicht), ansonsten scheint mir das ziemlich egal.--Gunther 20:57, 11. Sep 2005 (CEST)

Verschlechterung der Definition des Vektorraums

Ich habe mir gerade den Artikel angesehen und muss sagen, dass ich schockiert bin. Ihr könnt die Änderungen (in der Def) um mindestens einen Monat zurücksetzten, da sie mittlerweile nichts mehr wert ist. Wer ist den bitte auf die Idee gekommen die auf drei Punkte zu reduzieren? IMHO ist der Artikel zur Zeit absolut wertlos - vor ein paar Monaten war das noch nicht der Fall. Mfg Tom1200 00:17, 18. Sep 2005 (CEST)

Über der Definition steht die Überschrift "Formale Definition", und ich finde, dass die jetzt gegebene echt gut ist. Wenn Du scharf auf eine "Schülerdefinition" bist, die den Begriff der Gruppe vermeidet und einfach alle benötigten Eigenschaften strukturlos aufzählt, dann schreib doch eine zusätzlich. Es kann aber auch fortbildenden Charakter haben und nicht schaden, wenn man entdeckt, dass ein Vektorraum nur eine (komm.Grp) + (Skalarmult.) + (Verträglichkeit der beiden) ist. Das reine Katalogisieren von Axiomen versperrt etwas den Blick für das wesentliche, denke ich.--JFKCom 00:32, 18. Sep 2005 (CEST)

So groß finde ich die Unterschiede nicht, es geht ja im wesentlichen darum, dass die Definition einer abelschen Gruppe durch einen Link ersetzt wurde. Wenn man derartige Begriffe vermeiden will, dann sollte man vielleicht auch gleich den Begriff "Körper" elimieren und durch eine Beispielliste ersetzen (z.B. sollte $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ für Physiker ausreichen, für die Informatiker kann man ja evtl. noch $\mathbb {F} _{p}$ hinzufügen).--Gunther 01:33, 18. Sep 2005 (CEST)

Dir ursp. Definition wurde ebenso als formal bezeichnet. Ich persönlich finde die Version vor der Aufräumaktion bei weitem besser - auch wenn man vielleicht das Tripel noch etwas ausführlicher beschreiben sollte (also dass $V$ eine Menge mit den Operationen + und * ist). Ich glaube nicht, dass jemand, der die Materie zum ersten Mal sieht, sich mit der aktuellen Beschreibung auskennt. Grüße, Tom1200 20:56, 18. Sep 2005 (CEST)

Wer die Materie zum erstenmal sieht, hat vermutlich auch Probleme mit dem Begriff "Körper", deshalb mein Vorschlag oben. Ansonsten hielte ich die folgende Definition für einen ersten Eindruck für geeigneter: Ein $n$-dimensionaler Vektorraum ist eine Menge $V$ mit Abbildungen + und ·, so dass es eine Bijektion $V\to K^{n}$ gibt, so dass + und · den "offensichtlichen" Operationen auf $K^{n}$ entsprechen. Das ist konzeptionell so falsch wie es nur geht, aber für ein erstes Gefühl viel hilfreicher als beide Varianten der Definition im Artikel.--Gunther 22:01, 18. Sep 2005 (CEST)

Hallo Tom, Du solltest bedenken, dass jeder, der tiefergehende Information braucht als über Vektoren in euklidischen Räumen, mit einer weniger formalen Definition auch nichts anfangen kann. Eine Definition, die auf jede einzelne Eigenschaft eingeht, ist tendenziell unübersichtlich, fehleranfällig und erlaubt keine Einordnung ein die Thematik. Ich war, ehrlich gesagt, positiv von diesem Artikel überrascht. --Smeyen Disk 16:05, 21. Sep 2005 (CEST)

Entschuldigt, dass ich erst so spät antworte - hab derzeit viel um die Ohren (und es wird nicht besser ;) ). Also tut mir leid, wenn ich etwas (etwas ist gut) überreagiert habe, aber ich bin einfach meine Uni-Definition gewöhnt, die eben ziemlich ausführlich ist. Ich persönlich finde die eine solche Liste nicht schlecht, weil man so die abelsche Gruppe $(V,+,0)$, die Regeln der Skalarmultiplikation und die Distributivgesetzte schön sieht. Ich bin eben der Meinung, dass man so die Grundlagen schnell überschauen kann. Ich finde ein Kompromiss aus neuer und alter Version wäre das Beste, wobei die alte Version einfach als zusätzliche Information angefügt werden sollte. So, das ist meine Meinung, falls ich jemanden beleidigt haben sollte, entschuldige ich mich hiermit - war wohl etwas müde zu jenem Zeitpunkt. Grüße Tom1200 23:44, 27. Sep 2005 (CEST)

Überarbeiten nötig

weil der mit wiki-Mitteln nicht aufklärbare Begriff "Halbkörper" benutzt wird ; oder hab' ich 'was übersehen? --888344

Dann muss man den Artikel halt schreiben, überarbeitungswürdig ist der Artikel hier deswegen nicht. --DaTroll 19:32, 28. Nov 2005 (CET)

Der Artikel versucht auf nicht-verständliche Weise einen "Halbvektorraum" zu definieren; insofern ist auch dieser Artikel überarbeitungsbedürftig. Natürlcih ist die bessere Lösung, Halbkörper zu schreiben. -888344

Es kann nicht Sinn der Sache sein, hier zu erklären, was ein Halbkörper ist (zumal der Begriff ziemlich unwichtig ist). Meinetwegen kann man den ganzen Satz löschen.--80.136.158.217 12:24, 1. Dez 2005 (CET)

Meinetwegen auch. Wenn der Halbvektorraum aber hier gebracht werden soll, muss er verstehbar erklärt sein. -888344

Eine Halbgruppe (auch "Monoide" genannt) besitzt fast alle Gruppengenschaften. Ihnen fehlt nur das inverse Element [z.B. (Potenzmenge(X), Schnittmenge)]. Davon kann man dann ableiten, was das der Halbkörper ist. Dem Halbkörper fehlt dann also auch das inverse Element. Das klingt etwas intuitiv, vielleicht hat jemand eine formale Definition :) --Genscher 14:34, 13. Dez 2005 (MET)

Ein Monoid ist mehr als eine Halbgruppe. --DFG 22:11, 13. Dez 2005 (CET)

Halbkörper ist jetzt definiert --Bo198214 10:07, 31. Mär. 2007 (CEST)

Begriff "Basis"

war zu allgemein gefasst.

Antwort: Jein *g*. Es handelt sich hier um die Einleitung in einen Artikel, der auch Mathematikinterssierte ohne universitäre Ausbildung ansprechen dürfte. Die Rolle der Basis in einem Vektorraum sollte also nur kurz umrissen und nicht beweissicher aufgeführt werden. Wer sich näher interessiert klickt auf Basis und erhält dann eine Fülle von Informationen. Ansonsten hast du den Begriff minimale Menge verwand, der auch nicht so selbstverständlich ist. Was mir auch nicht gefällt ist das Unterstreichen von einzelnen Worten. Damit werden diese im Text besonders betont. In diesem Fall hier hat das dazu geführt, dass das Wort „alle“ nach „Vektorraum“ zum zweitinterssantesten Wort des Abschnitts wurde. Zusätzlich sieht Unterstreichung immer irgendwie nach Link aus. Und nachdem ich alles losgeworden bin: trotzdem vielen Dank für deine Mitarbeit. --Squizzz 15:24, 2. Dez 2005 (CET)

Habe es etwas ausführlicher gemacht. Entweder man macht deutlich, dass es sich nicht um die ganze Definition handelt, oder man nennt tatsächlich alle Anforderungen.

Inhaltlich frage ich mich ohnehin, ob man nicht eher davon sprechen sollte, dass Basen dazu dienen, Isomorphismen mit $K^{d}$ herzustellen, d.h. Koordinatendarstellungen von Vektoren zu ermöglichen.--80.136.154.54 17:18, 2. Dez 2005 (CET)

Antwort: Dieser Artikel soll den Begriff des Vektorraums erklären, nicht den der Basis. Wie angeführt gibt es dazu einen speziellen Artikel. In diesen kannst du auch dein ganzes Wissen zum Thema Basen einfliessen lassen. (Vielleicht etwas weit hergeholt: Im Artikel zu Auto will ich nicht den Motor erklärt haben.) --Squizzz 18:19, 2. Dez 2005 (CET)

Um in Deinem Bild zu bleiben: Im Artikel Auto steht aber auch nicht: "Der Motor ist diejenige Komponente, die Geräusche macht." Das würde halt genauso auf Hupe und Radio zutreffen. Also entweder ausführlich, oder gezielt schwammig, so dass unmissverständlich klar ist, dass man auf den Link klicken muss, wenn man die genaue Definition erfahren will. Die Formulierung "eine bestimmte" hilft dabei nicht, das hört sich eher danach an, als gäbe es pro VR nur eine Basis.--Gunther 18:28, 2. Dez 2005 (CET)

Antwort: Hab's gekürzt. Bin aber noch nicht wirklich zufrieden. --Squizzz 18:53, 2. Dez 2005 (CET)

Klingt immer noch so, als gäbe es nur eine Basis. Und ich sehe wirklich keinen Grund, den Aspekt "Erzeugendensystem" hervorzuheben. Basen dienen dazu, die Struktur eines Vektorraums überschaubar zu machen, sie ermöglichen das Rechnen mit Koordinaten oder die Konstruktion linearer Abbildungen.--Gunther 19:06, 2. Dez 2005 (CET)

Hab's etwas umgeschrieben, so richtig glücklich bin ich damit aber auch nicht.--Gunther 00:02, 4. Dez 2005 (CET)

Maß für dessen Größe

"wird Dimension des Vektorraums genannt und ist ein Maß für dessen Größe." --- Kann mir unter der Größe eines Vektorraums nichts vorstellen. Ist das ein wesentlicher Begriff ? --888344

Antwort: Es ist kein wesentlicher Begriff. Dieser Satz soll nur andeuten, wofür der Begriff Dimension steht. Das hat nichts mit formaler Mathematik zu tun, sondern richtet sich an den mathematisch Unbedarften (vielleicht hilft's aber auch einem Erstsemester). --Squizzz 12:09, 31. Jan 2006 (CET)

Ich habe die Verlinkung von Maß und Größe wieder herausgenommen, die Wörter werden hier "naiv" verwendet.--Gunther 12:26, 31. Jan 2006 (CET)

Damit kann ich leben; sterben werde ich so wie so. Danke.- So, wie ich mir wahre Größe vorstelle, spielt die Art des Skalarenkörpers dabei auch eine Rolle. --888344

Wie wäre es mit einer Hervorhebung: "ein Maß für seine Größe"? ;-) --Gunther 12:44, 31. Jan 2006 (CET)

Antwort: Dagegen. Die Betonung von „ein“ führt dazu, dass der Leser sich dafür interessiert, warum dieses Wort hier betont wird. Darauf wird dann aber nicht eingegangen. Die Verwendung des unbestimmten Artikels sagt doch schon aus, dass es nicht das Maß ist. --Squizzz 13:06, 31. Jan 2006 (CET)

Hallo Leute! Ich habe die Bemerkung, die Dimension eines Vektorraumes sei ein Maß für seine Größe, gerade aus dem Artikel genommen. So eine Angabe kann nur verwirren, weil normalerweise eine Menge als „größer“ als eine andere bezeichnet wird, wenn sie mehr Elemente enthält. Ein dreidimensionaler Vektorraum über einem zweielementigen Körper hat acht Elemente, während ein zweidimensionaler Vektorraum über einem dreielementigen Körper neun Elemente hat. Des Weiteren hat jeder endlichdimensionale Vektorraum über den rationalen Zahlen nur abzählbar unendlich viele Elemente, während jeder Vektorraum über den reellen Zahlen überabzählbar viele Elemente hat. MfG Stefan Knauf 15:19, 19. Feb. 2007 (CET)

0*v = v ?

1 * v = v oder 0 * v = 0 ist Bestandteil der Definition, keine Folge. Insgesamt kann man die Definition sprachlich etwas kürzer fassen. Nankea 11:16, 31. Mär 2004 (CEST)

1*v=v muss man fordern, aber 0*v=0 kann man folgern:

0*v=(0+0)*v=0*v+0*v, subtrahiere 0*v, immerhin haben wir eine Gruppe. --Tian 18:23, 2. Mär 2005 (CET)

Vektoren mit oder ohne Pfeil?

Sollte man die ganzen Vektoren mit Pfeilen versehen? Aus v also ${\vec {v}}$ machen? -- KL47 14:40, 22. Jun 2004 (CEST)

Nein, denn dann müsste man von Wiki-Markup zu TeX wechseln, was Ladezeiten verlängert und die Symbole hässlich aus der Zeile stolpern lässt. -- Weialawaga 21:00, 22. Jun 2004 (CEST)

Zu TeX: TeX-Symbole sind schöner (besonders häßlich ist m.E. der * als Multiplikationszeichen, der springt nämlich aus der Linie. 217.231.160.183 16:59, 16. Feb 2005 (CET)

In Zwischenzeit wird TeX bevorzugt, siehe Portal Diskussion:Mathematik --Blubbalutsch 08:04, 3. Mär 2005 (CET)

Da Tex jetzt Standard ist, habe ich mir die konsequente Konvertierung erlaubt. Auf meinen System (SuSE 9.3 mit Firefox bzw. Konqueror ) ist die Darstellung hervorragend. Tex ist sicher sinnvoll in Hinblick auf die Zukunft, wenn MathML in allen Browsern realisiert wird. Tom1200 11:12, 24. Apr 2005 (CEST)

Danke an die Autoren!

... hallo! Tja, hab mir gerade den Artikel über Vektorräume durchgelesen und mir gedacht: "Wow! Da hat sich jemand wirklich Mühe gegeben!" Ich studiere Physik in Graz (Aut) und habe mir schon viele solcher Artikel angesehen, doch dieser ist bei weitem der Beste: Übersichtlich, verständlich und sehr schön mit Beispielen und Bemerkungen illustriert! Long story short: Vielen Dank den Autoren, ihr bringt die Leute weiter! Weiter so! ...

... mfg, michael ...

"Spezielle Vektorräume"

Abgesehen davon, dass die Überschrift besser "Vektorräume mit Zusatzstruktur" lauten würde, frage ich mich, welche der Begriffe wirklich sinnvoll sind: Beispielsweise fehlen lokalkonvexer Raum und Fréchet-Raum, die beide wohl wesentlich wichtiger sind als Vektorräume mit irgendeiner (möglicherweise noch nicht einmal translationsinvarianten) Metrik. Ich würde aber vorschlagen, die Liste eher in topologischer Vektorraum unterzubringen und hier wirklich nur die wichtigsten zu nennen: normiert, Banach, Hilbert.--Gunther 12:24, 7. Feb 2006 (CET)

Vielleicht wäre eine Gliederung nach Anwendungsgebieten sinnvoll? Persönlich fände ich einen Vererbungsgraf angemessen. Dann bräuchte ich allerdings eine Liste aller möglichen Vektorräume. Ich selbst besitze da nicht den Überblick. --Squizzz 14:17, 7. Feb 2006 (CET)

Diese vielen verschiedenen Begriffe sind Spezialitäten der Funktionalanalysis, die man mMn im Übersichtsartikel bedenkenlos weglassen kann; selbst in manchen einführenden Büchern zur FA werden topologische Vektorräume nur ganz am Rande erwähnt. Von den Hierarchie-Kästen halte ich wenig, weil sie eben nicht zwischen Spezialfällen und Zusatzstrukturen unterscheiden.--Gunther 14:52, 7. Feb 2006 (CET)

Ich würde es für sinnvoll halten, alle Artikel, die den Begriff euklidischen Raum verwenden zu überdenken. Hier wird die Definitheit des Skalarprodukts hervorgehoben, was für die Definition schlicht unwichtig ist, denn ein Skalarprodukt ist positiv definit. Dafür fehlen die wichtigen Kriterien endlichdimensional und reel. Nur durch den Zusatz endlichdimensional ist ein euklidischer Raum auch vollständig, was auch unbedingt nötig ist. Ich halte es noch für ratsam den Begriff pseudo-euklidisch gegenüberzustellen, da er auch in der SRT wichtig ist. Dies setzt sich auch bei Prähilbert- und unitären Räumen fort. Die Verwendung der Begriffe verwischt, wie ich gemerkt habe vorzugsweise in physikalischen Texten (ich habe aber kein mathematisches Buch gefunden, das nicht meiner Vorstellung gefolgt wäre). Mathematisch hätte eine Sonderstellung und damit die Rechtfertigung der Begriffe euklidisch und unitär auch keinen Sinn, wenn er in dem hier verwendeten Definition verstanden wird. Es gäbe nicht immer Gramsche Matrix, oder auch nur Orthogonalbasen. Siehe dazu auch Diskussion zum Euklidischen Raum und Prähilbertraum. Danke lg --Manu MM 00:24, 15. Jul. 2007 (CEST)

Moduln, nicht Module

Frage: heisst es tatsächlich in der Mathematik Moduln, oder ist das ein Rechtschreibfehler? --Kookaburra 10:28, 16. Feb 2006 (CET)

Wenn ich mich nicht total irre, neigt auch der Modul eines Zahnrades im Maschinenbau zur Pluralbildung mit End-n. --888344

Antwort: Die Moduln ist in der Mathematik der korrekte Plural. --Squizzz 10:50, 16. Feb 2006 (CET)

Siehe Modul.--Gunther 11:01, 16. Feb 2006 (CET)

Vektoralgebra

Heute wurde in der Einleitung der folgende Satz ergänzt:

Die Theorie der Vektorräume heißt lineare Algebra oder Vektoralgebra.

Ich habe diesen wieder gelöscht, da ich keine Hinweise kenne, die besagen, dass lineare Algebra und Vektoralgebra das Gleiche sind. Für mich stellt sich das so dar, dass die Vektoralgebra ein Teilgebiet der linearen Algebra ist. Im ersten Fall wäre eine Umleitung von Vektoralgebra auf lineare Algebra angebracht. Im zweiten Fall ein eigener Artikel, der erklärt, mit was sich die Vektoralgebra beschäftigt. --Squizzz 23:29, 1. Mär 2006 (CET)

Ich bin mir auch nicht so sicher, was Vektoralgebra eigentlich meint. Jedenfalls habe ich keine Definition gefunden, die es gegen die lineare Algebra abgrenzen lässt. Welches Teilgebiet soll es denn deiner Ansicht nach sein? Dagegen kenn ich Stellen, wo es synonym verwendet wird. Was du mit dem "zweiten Fall" meinst, ist mir nicht klar.

Übringens finde ich es angenehmer, es zu diskutieren und dann zu löschen. Dass der Redirect "Vektoralgebra" jetzt sozusagen in der Luft hängt, ist sicher nicht glücklich.

Und noch was: Das Verhältnis der Artikel "Vektorraum" und "lineare Algebra" zueinander ist völlig ungeklärt, sehr vieles ist da doppelt. Aber kann man deiner Ansicht nach wenigstens sagen, dass die lineare Algebra die Theorie der Vektorräume ist, oder muss das Verhältnis dieser Begriffe im Dunkeln bleiben? -- Peter Steinberg 23:55, 1. Mär 2006 (CET)

Das steht doch eigentlich schon da?--Gunther 23:58, 1. Mär 2006 (CET)

Antwort: Ich versuch jetzt mal alles aufgeworfene der Reihe nach zu beantworten.

Welches Teilgebiet soll es denn deiner Ansicht nach sein? – Keine Ahnung, ich habe den Begriff nicht in den Raum geworfen.

Was du mit dem "zweiten Fall" meinst, ist mir nicht klar. – Die Vektoralgebra ist ein Teilgebiet der linearen Algebra. Dann soll sie einen eigenen Artikel bekommen.

Übringens finde ich es angenehmer, es zu diskutieren und dann zu löschen. – Ich nicht. Dann würden immer irgendwelche ungeklärten Sachen im Artikel stehen bis die Diskussion zu Ende ist. Hier zum Beispiel, dass Vektoralgebra und lineare Algebra identisch sind.

... völlig ungeklärt – Jein. *g* Vektorraum behandelt Vektorräume und Lineare Algebra eben dieses Gebiet. Allerdings halte ich letzteren Artikel auch für stark verbesserungswürdig (es ist zu viel drin).

--Squizzz 00:54, 2. Mär 2006 (CET)

Könnte es sein, dass Vektoralgebra und Vektorrechnung identisch sind? Alles was mir in den letzten 30 Minuten untergekommen ist, deutet darauf hin. --Squizzz 01:35, 2. Mär 2006 (CET)

Also schön, ich habe den Begriff "in den Raum geworfen", meine Schuld .-). Ich habe ihn in zwei Artikeln verwendet, weil meine Quelle ihn benutzt, und habe mich dann gewundert, dass der Link rot wurde. Das habe ich versucht zu reparieren. Ehrlich gesagt bin ich gar nicht auf die Idee gekommen, dass etwas anderes als lineare Algebra gemeint sein kann; die Beschränkung auf (elementare) Vektorrechnung kann es nach dem Zusammenhang nicht sein. Mir liegt der Begriff nicht sehr am Herzen, wo ich ihn verwendet habe, ändere ich ihn. Bleibt das Redirect Vektoralgebra, das ich angelegt habe. Wenn sich der Begriff im Zielartikel auf die Schnelle nicht unterbringen lässt, sollte man es besser wieder löschen. Aber eine peinliche Lücke ist es schon, der Begriff "Vektoralgebra" ist so ungebräuchlich nicht...

@Gunther: Naja, "eigentlich" irgendwie schon, aber etwas dunkel. Ich versuch mal den Einleitungssatz etwas klarer zu formulieren. Möglicherweise wird er dadurch auch angreifbarer. -- Peter Steinberg 21:11, 2. Mär 2006 (CET)

Vektoralgebra wird jetzt auf Lineare Algebra umgeleitet. Ich finde das die Formulierung „Die Theorie der Vektorräume heißt Lineare Algebra“ für Nicht-Mathematiker auch nichts klarer macht, deshalb lautet der Teil jetzt „Eingehend betrachtet werden Vektorräume in der Linearen Algebra“. --Squizzz 21:39, 2. Mär 2006 (CET)

Definition Untervektorraum

Natürlich sind die beiden Definitionen äquivalent

• $0\in U$
• für alle $x,y\in U$ gilt $x+y\in U$
• für alle $x\in U$ und $a\in K$ gilt $a\cdot x\in U$

bzw.

• U ist nichtleer
• für alle $x,y\in U$ gilt $x+y\in U$
• für alle $x\in U$ und $a\in K$ gilt $a\cdot x\in U$

die zweite Definition halte ich jedoch für leichter zu handhaben. Auch wenn man einwenden kann, dass sich die leere Menge (wenn man es darauf anlegt) beliebig kompliziert darstellen lässt, sollte in den meisten Fällen doch sofort klar sein ob U leer ist. Außerdem wird im "Beweislein" weiter unten von U nichtleer gefolgert 0 in U, dann sollte das auch oben so in der Definition stehen. Zumindest wenn der Beweis so bleiben soll.

Ich wäre sogar dafür die Definition noch knapper zu fassen:

Ist $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\neq \emptyset$ eine Teilmenge von von $V$. Dann nennt man $U$ einen Untervektorraum von V (über K), falls für alle $x,y\in U$ und für alle $a,b\in K$ gilt: $a\cdot x+b\cdot y\in U$

Wem dann der Begriff der Abgeschlossenheit von Skalarmultiplikation und Vektoraddition fehlt, der kann diese ja weiter oben bei den Anmerkungen zur formalen Definition von Vektorraum einfügen. Da gehört eine solche Erläuterung nämlich meiner Meinung nach hin.

--Skoepp 20:41, 22. Jan. 2007 (CET)

Das ist weder kürzer noch schöner. Nankea 20:46, 28. Jan. 2007 (CET)

Bis gerade stand da als Definition "Untervektorraum = Teilmenge, die Vektorraum ist" und dann folgte ein Beweis, dass jeder Untervektorraum ein Vektorraum ist. Das war so natürlich tautologisch (und war auch nicht das, was gezeigt wurde).--Hagman 18:08, 3. Jun. 2007 (CEST)

Definition

Vektoraddition/Addition; Multiplikation mit Skalar/Multiplikation

Im artikel steht ja, dass es nicht verwechselt werden dürfte... müsste es deshalb nicht statt

Assoziativität:

   α * (β * v) = (α * β) * v

Distributivgesetze:

   α * (u + v) = α * u + α * v
   (α + β) * v = α * v + β * v 

...eher heißen...

Assoziativität:

   α * (β * v) = (α mal β) * v

Distributivgesetze:

   α * (u + v) = α * u + α * v
   (α plus β) * v = α * v + β * v

?

Nein, da aus dem Kontext immer klar ist, was gemeint ist. --P. Birken 01:44, 15. Dez. 2007 (CET)

Der Satz, dass die beiden Multiplikationen bzw. die beiden Additionen nicht verwechselt werden dürfen, ist etwas missverständlich. Richtig ist, dass es sich jeweils um unterschiedliche Rechenoperationen handelt. Aber man kann sie kaum verwechseln, deshalb ist es auch nicht wichtig, sie im Schriftbild zu unterscheiden. --Digamma 13:29, 15. Dez. 2007 (CET)

Abschnitt „Weblinks“

Sehr geehrter Herr Birkner,

ich fügte dem Artikel Vektorraum einen Link hinzu, den Sie gestern wieder mit dem Kommentar "keine Verbesserung des Artikels" entfernten. Ich sehe hier als Student sehr wohl einen Gewinn: Die verlinkte Seite enthält im Gegensatz zum Artikel math. Beweise für alle angeführten Sätze. Auch führt sie weitere Beispiele und Gegenbeispiele für Vektorräume an. Nichtzuletzt gibt es Übungsaufgaben mit Musterlösungen. Ich hielt die Seite daher für eine Verlinkung geeignet, zumal der Artikel derzeit überhaupt keine Weblinks enthält. Könnten sie hierzu Stellung nehmen und aufgrund meiner Schilderung ggf. Ihre Meinung ändern?

Viele Grüße --134.76.10.66 02:21, 28. Jan. 2008 (CET)

Sehr geehrter Herr Birkner,

den Link löschten Sie innerhalb von 12 Stunden. Die von mir erbetene Stellungsnahme auf meine Erwiderung blieb bis heute leider aus. Ich möchte Sie daher nochmals bitten, sich meinen Argumenten gegenüber offen zu zeigen.

Sollte ich auch in den kommenden Tagen nichts von Ihnen hören, so werde ich den Link probeweise wieder hinzufügen und die hier dokumentierte Diskussion im Rahmen der thematischen Diskussion archivieren.

Viele Grüße --134.76.10.66 10:00, 3. Feb. 2008 (CET)

Die von ihnen verlinkte Seite ist wirklich schön. Allerdings enthält sie kaum zusätzliche Informationen zum Thema Vektorraum. (Wikipedia-Artikel sind vornehmlich Einträge in einer Enzyklopädie und kein Lehrbuchersatz.) --Stefan Birkner 11:10, 3. Feb. 2008 (CET)

Sehr geehrter Herr Birkner,

vielen Dank für Ihre Rückantwort. Ihrer Anmerkung, die Wikipedia stelle keinen Lehrbuchersatz dar, möchte ich zustimmen. Gerade aus diesem Grund wäre es im Allgemeinen nicht angebracht, die enzyklopädischen Artikel um ausführliche mathematische Beweise oder Übungsaufgaben zu ergänzen. Da diese aber sicherlich für einen nicht unerheblichen Teil der Leser von Artikel zu Themen wie Vektorräumen von Interesse sein dürften, bietet sich meines Erachtens nach an, diese in verlinkten externen Quellen nachzureichen. Ein Beispiel hierfür ist die gängige Verlinkung auf das Wikipedia-Schwesterprojekt Wikibooks (bspw. in den Artikeln Primzahl und Mengenlehre). Einer prinzipiellen Verlinkung von Lehrbuchliteratur ist daher nicht zu widersprechen, auch wenn diese zwangsweise wesentliche inhaltliche Aspekte des Wikipedia-Eintrags wiederholt, wenn sie daneben weitere Inhalte (typischerweise Beweise, Übungsaufgaben, Kontext, ...) bereitstellt.

Viele Grüße, --134.76.10.66 22:14, 3. Feb. 2008 (CET)

Sehr geehrter Herr Birkner,

darf ich nachfragen, ob Sie meinen Ausführungen folgen möchten und Sie einer entsprechenden Verlinkung nun zustimmen?

Viele Grüße --134.76.10.66 00:11, 13. Feb. 2008 (CET)

Ich bin immer noch der Meinung, dass die Links nicht in den Artikel sollen. Da das jedoch meine Ansicht ist, würde ich die Links hier gerne zur Diskussion stellen. An alle Wikipedia-Mathematikautoren: Wer will sich noch dazu äußern, damit hier mehr als zwei Meinungen vorhanden sind. --Stefan Birkner 08:23, 13. Feb. 2008 (CET)

Ich denke ebenfalls, dass Lehrmaterial hier eher fehl am Platz ist. Vielleicht wären die Links auf wikibooks [1] besser aufgehoben? --Drizzd 18:37, 13. Feb. 2008 (CET)

Zu Wikibooks im konkreten Fall: Die Links nach Wikibooks auszulagern würde es sinnvoll erscheinen lassen, dafür Wikibooks im Wikipedia-Artikel zu verlinken. Die von Ihnen genannte Seite "Mathematik: Lineare Algebra" befindet sich derzeit in einer Phase der Umstrukturierung: Es wird zwischen "Alte Seite" und "Neue Version" unterschieden (letzte Bearbeitung vor fast genau 4 Monaten am 18. Okt. 2007). Die Seiten bzgl. des Themas "Vektorraum" sind der "alten Seite" zugeordnet und besitzen keine Möglichkeit der Navigation zu übergeordneten Kapiteln, der vorherigen oder nächsten Seite (z.B. http://de.wikibooks.org/wiki/Lineare_Algebra:_Allgemeine_Vektorr%C3%A4ume:_Definition). Ich würde aufgrund des derzeitigen Erscheinungsbildes daher eine Verlinkung von Wikibooks bzgl. des Themas "Vektorraum" nicht empfehlen. Der externe Link würde in der derzeitigen Baustelle nur geringe Resonanz erfahren.

Zu Wikibooks im allgemeinen Fall: Nicht zu jedem math. Artikel der Wikipedia gibt es eine geeignete Entsprechung in Wikibooks und damit nicht den von Ihnen vorgeschlagenen Ort der Verlinkung von Lehrbuchliteratur.

Ich komme daher zu dem Schluss, dass der geeignete Ort der Verlinkung die Wikipedia selbst ist.

--134.76.10.66 16:34, 19. Feb. 2008 (CET)

Hallo Leute! Ich finde, dass in solchen Fällen Texte, die über den Artikel hinausgehende Sätze und Beweise zum Artikelgegenstand enthalten, weiterführende Information sind – egal ob diese Texte nun Lehrmaterial sind oder nicht. Solche Texte sollten meiner Meinung nach verlinkt werden dürfen, wenn sie den Artikelgegenstand an sich betrachten (also z.B. keine Texte im Vektorraumartikel verlinken, die ausschließlich in einen ℝ-Vektorraum eingebettete Mannigfaltigkeiten behandeln). MfG Stefan Knauf 16:34, 18. Feb. 2008 (CET)

Mh, also ich habe kein Problem mit Lehrmaterial als vertiefender link. Die Webseite um die es geht (https://www.lehrportal.de/get/text/813) ist doch auch ziemlich gut? --P. Birken 08:16, 20. Feb. 2008 (CET)

Vier Wochen sind seit Diskussionsbeginn verstrichen. Es scheinen sich nun keine weiteren Mathematik-Autoren mehr beteiligen zu wollen.

Es hat sich gezeigt, dass es durchaus Wikipedia-Aktive gibt (Stefan Knauf, P. Birken), die sich für eine Verlinkung aussprechen. Die Qualität der konkret zur Diskussion stehenden Seite wurde ebenfalls durch zwei Autoren (Stefan Birkner: "Die von ihnen verlinkte Seite ist wirklich schön.", P. Birken: "Die Webseite um die es geht (...) ist doch auch ziemlich gut?") hervorgehoben.

Aufgrund dessen werde ich den Link dem Artikel wieder hinzufügen.

Viele Grüße, --134.76.10.66 00:31, 25. Feb. 2008 (CET)

Bild

Ich denke, dass das Bild nichts bringt und der Text "skaliert" in seiner Legende in diesem Zusammenhang unglücklich ist. --888344 (Der vorstehende falsch signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 888344 (Diskussion • Beiträge) 9:04, 28. Aug. 2008 (CEST))

Ich stimme zu und habe es einfach mal entfernt. --P. Birken 19:16, 28. Aug. 2008 (CEST)

Navigationsbox: Vektorraum als algebraische Struktur

Leute, ich verstehe einfach nicht, warum Ihr Eure kostbare Zeit in eine so destruktive Aktion wie das wiederholte Löschen dieser Box stecken müsst. Stört die denn so schrecklich? Auf meine Argumente pro Beibehalten habt Ihr bis heute nicht geantwortet:

• Redundanz schadet nicht. Der eine liest Fließtext, der andere möchte lieber zappen.
• Diese Box steht in einem Kontext!! Solche Boxen stehen in einer ganzen Menge anderer Artikel, und haben sich da drei oder vier oder mehr Jahre lang bewährt. Es macht Spaß, mit Hilfe dieser Boxen die algebraischen Strukturen rauf und runter zu navigieren. Indem Ihr die Box für ein oder zwei zentrale Strukturen löscht, zerstört Ihr den Zusammenhang und damit eine erhebliche Vorarbeit, die sich, wie gesagt, jahrelang bewährt hat.

-- Frau Holle 23:04, 14. Nov. 2008 (CET)

Die Box verschandelt den Fliesstext und besonders verständlich finde ich sie nicht. In einem so grundlegenden Artikel sollte man gerade im erten Absatz auf Verständlichkeit gehen. --P. Birken 13:26, 16. Nov. 2008 (CET)

"Verschandelt den Fließtext" - wie hälst Du es dann überhaupt aus, an dem Projekt Wikipedia mitzuwirken? Artikel über Tier- und Pflanzenarten, über chemische Elemente und Verbindungen sind durchweg durch Navigationsboxen "verschandelt" - viel Spaß, wenn Du versuchen willst, den Konsens, der diesen Boxen zugrunde liegt, in Frage zu stellen.

"Besonders verständlich finde ich sie nicht" - wenn Du diese Kritik präzisieren würdest, könnte man überlegen, wie sich die Boxen verbessern lassen, vielleicht auch zum Vorteil der anderen Algebra-Artikel. -- Frau Holle 19:28, 16. Nov. 2008 (CET)

Ich hab zum glück mit der Bearbeitung von Wikipediaartikeln kein Problem kann das ja schon länger, für Neulinge ist so etwas abschreckend. Entsprechend muss dieser Nachteil durch einen Vorteil aufgewogen werden. Schauen wir uns mal die konkrete Box an: Die berührten Spezialgebiete sind schief, Vektorraum berührt quasi die komplette Mathematik. Ein Vektorraum ist eigentlich auch kein Spezialfall einer abelschen Gruppe, bzw. auch das liefert eine schiefe Einordnung. "Umfasst als Spezialfälle": Mit ist unklar, wem das nun helfen soll sich hier zurechtzufinden? Wer weiß was ein Hilbertraum ist braucht den Link wohl nicht so prominent. Wers nicht weiß, kann mit der Box nichts anfangen. --P. Birken 20:44, 19. Nov. 2008 (CET)

Während Du rein spekulative Annahmen über die Fähigkeiten von "Neulingen" triffst, spreche ich erst einmal für mich selbst: ich kann mit der Box etwas anfangen. -- Frau Holle 10:36, 20. Nov. 2008 (CET)

Wie kommst Du darauf, dass ich rein spekulativ argumentiere? Dass ich auf zwei Ebenen argumentiert habe, ist Dir aber schon aufgefallen? Warum so agressiv? --P. Birken 19:24, 20. Nov. 2008 (CET)

Wie kommst Du darauf, dass ich rein spekulativ argumentiere?

Gibt es Anhaltspunkte dafür, dass Menschen, die etwas Inhaltliches zur Verbesserung dieses Artikels beitragen können, an Editierproblemchen scheitern?

Warum so agressiv?

Weil diese Debatte einfach nur nervt und ich mich über mich selbst ärgere, dass ich meine Zeit mit solchem Mist vergeude.

Dass ich auf zwei Ebenen argumentiert habe, ist Dir aber schon aufgefallen?

Ja. Kommen wir also zur inhaltlichen Ebene. Ich finde die Einordnungen nicht schief. Ein Vektorraum ist eine Abelsche Gruppe mit zusätzlichen Eigenschaften. Ergo ein Spezialfall. Nix schief. -- Frau Holle 19:47, 20. Nov. 2008 (CET)

In welchem konkreten Anwendungsfall soll die Box einem Leser dieses Artikels helfen? Wenn wir das wissen, können wir besser über den Sinn dieser Box diskutieren. --Stefan Birkner 22:31, 20. Nov. 2008 (CET)

Konkreter Anwendungsfall: ich begegne nach langer Zeit mal wieder einem Begriff wie topologischer Vektorraum, Modul (Mathematik), Lie-Algebra und möchte nachschlagen, welche Operationen auf dieser Struktur definiert sind und wo sie im Kontext anderer, mir besser bekannter Strukturen wie Vektorraum, Ring, Gruppe steht. Dann navigiere ich einmal die Boxen rauf und runter, und die Zusammenhänge sind mir wieder präsent. Oder ich stelle fest, dass zwischendrin bei einer besonders wichtigen Struktur die Box herausgelöscht worden ist, und dann ärgere ich mich über eine Aktion, deren Urheber den Gesamtzusammenhang nicht im Blick hatte. -- Frau Holle 09:25, 21. Nov. 2008 (CET)

Zur Verdeutlichung wiederhole ich hier noch einmal den Anwendungsfall, wie ich ihn aus deinem Kommentar herauslese:

ich begegne nach langer Zeit mal wieder einem Begriff wie topologischer Vektorraum, Modul (Mathematik), Lie-Algebra und möchte nachschlagen, welche Operationen auf dieser Struktur definiert sind und wo sie im Kontext anderer, mir besser bekannter Strukturen wie Vektorraum, Ring, Gruppe steht.

Im Fall des Artikels Vektorraum, wird dieser Anwendungsfall meines Erachtens sehr gut ohne Box erfüllt. Im Abschnitt „Formale Definition“ stehend die Operationen. Die Abschnitte „Spezielle Vektorräume“ und „Verallgemeinerung“ zeigen den Kontext zu anderen Strukturen mit zwei Operationen auf. Im Gegensatz zu den nackten Begriffen in der Box wird sogar kurz erklärt, worin die Unterschiede bestehen. Dieser Anwedungsfall ist deshalb für mich kein Argument für die Beibehaltung der Box. --Stefan Birkner 16:09, 23. Nov. 2008 (CET)

Ich schrieb: "navigiere rauf und runter" und nicht "lese kurze Erklärungen in verschiedenen Abschnitten". Subjekt war "ich" und nicht "Stefan Birkner". Dass Du lieber ganze Abschnitte liest, ist aller Ehren wert (aber beobachte Dein Surfverhalten mal genau: ist das wirklich so?). Die Frage ist, ob Du die Gelassenheit aufbringst, neben dem Fließtext eine andere, ergänzende, redundante, bewusst minimalistische, auch spielerisch nutzbare Darstellungsform zuzulassen, oder ob Du Deine Vorstellung, wie ein mathematischer Artikel idealerweise aussehen sollte, hier unter Vergraulung einer langjährigen Mitautorin mit der Kraft des längeren Atems durchdrücken wirst. -- Frau Holle 19:56, 24. Nov. 2008 (CET)

Meinst Du, dass Drohungen irgendwie nützlich sind? Beruhige dich doch bitte, ich verstehe wirklich nicht, wieso Du hier so auf die Palme gehst? Du findest die Box nützlich. Stefan und ich irgendwie nicht. Der Artikel ist ja nicht Dein Privatvergnügen, it's a wiki und deswegen muss man sich halt auch mal mit anderen Meinungen auseinandersetzen. Ich verstehe Dein Anliegen, denke aber nicht, dass dem durch eine Box in jedem dieser Artikel am Besten nachgegangen wird. Zum Beispiel gibt es den Artikel Hierarchie mathematischer Strukturen, in dem eine Grafik bestimmt viel nutzen könnte. --P. Birken 20:37, 24. Nov. 2008 (CET)

Falls das noch irgendwie relevant ist: Ich studiere Mathematik im ersten Semester und war unheimlich dankbar für diese Kästen, das was ein Teilnehmer weiter oben beschrieben hat, das mit dem rauf- und runternavigieren, kann ich nur bestätigen, ich wünsche mir eher dass es noch häufiger so eine Systematik in Wikipedia-Artikeln gäbe. Der Artikel "Hierarchie mathematischer Strukturen" ist in der Hinsicht auch sehr hilfreich gewesen, die Charakterisierungen anhand von abgekürzten Eigenschaften hab ich direkt übernommen, die könnte man in so einer symbolischen Form vielleicht sogar noch der Box hinzufügen (also dass man bei einer Gruppe zB das EANI liest). --92.224.11.120 18:46, 7. Dez. 2008 (CET)

Verwendung/Nichtverwendung der Begriffe Assoziativität und Distributivgesetze bei den Vektorraumaxiomen

Anscheinend aufgrund einer Diskussion hier wurden die Begriffe Assoziativität und Distributivgesetze bei den Vektorraumaxiomen entfernt. Als Begründung wird nicht korrekt und die Nichtverwendung in zwei Büchern genannt.

Ich halte diese Streichung für voreilig.

Auch wenn ich durchaus die Ansicht teile, dass der Begriff Assoziativität zu den Gruppenaxiomen, sowie Distributionsgesetze zu den Axiomen von Ringen und Körpern gehört, und dass eine Verwendung bei den Vektorraumaxiomen daher im strengen Sinne unsauber erscheint, so werden diese Begriffe z.B. von H.Grauert, H.C.Grunert Lineare Algebra und Analytische Geometrie, ISBN 3-486-24739-5, und H.-J. Kowalski, G.O. Michler Lineare Algebra durchaus in der Definition von Vektorraum verwendet. W.C.Brown Matrices and Vector Spaces verwendet die Axiome ohne diese Bezeichnungen, schreibt später auf zwei davon referenzierend „... are called distributive laws“. T.W.Hungerford, Algebra; R.Walter Lineare Algebra und Analytische Geometrie und H.Anton Lineare Algebra verwenden die Begriffe bei den Vektorraumaxiomen nicht; sie sagen aber auch nicht explizit, dass (bzw. warum) eine entsprechende Bezeichnung falsch wäre.

Die Analogie zwischen den entsprechenden Gesetzen bei Ringen und Körpern einerseits und den Vektorraumaxiomen andererseits verleitet also nicht nur dazu, die Begriffe umgangssprachlich doch so zu verwenden, sondern dies geschieht auch in der Literatur.

Ein Stichpunkt „In Analogie zu … werden die Axiome … manchmal auch Assoziativität und Distributivgesetze genannt. Dies ist aber nicht korrekt, weil …“ unter den Anmerkungen wäre nicht fehl am Platze (insbesondere, da der Begriff Distributivgesetz dort immer noch verwendet wird). So wie jetzt durchgeführt handelt es sich um eine Streichung ohne ausreichende Begründung. --Dogbert66 22:28, 15. Mär. 2009 (CET)

Ehrlich gesagt nervt Deine Art etwas. Du kennst doch die Diskussion die zur Streichung geführt hat, diese hat dich ja überhaupt erst auf den Artikel geführt. Dort gibt es eine ausführliche Begründung, wenn etwas in Büchern nicht erwähnt wird, ist es unbelegt und kann selbstverständlich gestrichen werden.

Inhaltlich denke ich, dass die Analogie erwähnt werden sollte. --P. Birken 09:14, 16. Mär. 2009 (CET)

Oben sind drei Bücher genannt, die die Begriffe im Zusammenhang mit den Vektorraumaxiomen verwenden. Damit sind die Begriffe belegt und hätten mit dieser Begründung nicht gestrichen werden dürfen. Bitte liefere eine andere Begründung oder revertiere Deine Änderung, so als wenn Du als Nachsichter auf diese Änderung gestossen wärst. --Dogbert66 10:04, 16. Mär. 2009 (CET)

Hallo Leute! Ich glaube, dass etwas nicht schon deshalb als unbelegt gelten muss, wenn es Bücher gibt, in denen es nicht erwähnt ist. Dogbert66 hat Beispiele genannt, in denen die entsprechenden Vektorraumaxiome als Assoziativität und Distributivität bezeichnet werden; seine Beispiele kann ich von zu Hause aus zwar nicht prüfen, aber in der deutschen Ausgabe des Buches „Algebra“ von Michael Artin heißt es in der Definition der Vektorräume:

„Die Skalarmultiplikation ist assoziativ mit der Multiplikation in K:

(ab)v = a(bv), für alle a,bϵK, vϵV. [...]

Es gelten zwei Distributivgesetze:

(a + b)v = av + bv und a(v + w) = av + aw

für alle a,bϵK und v,wϵV.“

Also gibt es offensichtlich auch mathematische Literatur, in der die Begriffe der Assoziativität und der Distributivität auf diese Vektorraumaxiome angewandt werden (zusammen mit Dogberts drei Beispielen sind es also schon vier Werke). Ich kann mir eigentlich auch nicht vorstellen, wo diese Begriffe zur Abgrenzung von inneren und äußeren Verknüpfungen benutzt werden. Gibt es irgendein Beispiel dafür, dass jemand durch Verwendung dieser Begriffe ausdrückt oder besonders unterstreicht, dass die Verknüpfung eine innere ist? Und gibt es eine Literaturquelle, die die Ansicht bezeugt, dass die Begriffe „assoziativ“ und „distributiv“ nur für innere Verknüpfungen benutzt werden dürfen? MfG Stefan Knauf 22:31, 16. Mär. 2009 (CET)

Ich wurde auf meiner Diskussionsseite drauf angesprochen, es wäre wohl falsch, habs in Büchern nachgeprüft, damit wars unbelegt, also habe ichs rausgenommen. Das ist ein ganz normaler Vorgang und es nervt, wenn es als etwas anderes dargestellt wird. Nun stellt sich raus, dass es doch in mehreren Büchern auftaucht, also kann mans wieder reinnehmen. Ich denke aber, dass eine Formulierung wie im Artin, die etwas differenzierter ist, sinnvoll wäre. --P. Birken 19:14, 19. Mär. 2009 (CET)

Ich war glaube ich der Diskussionsinitiator. Ich finde die jetzige Version weit besser. Im Prinzip kann man es so oder so schreiben, aber jeweils mit einer Bemerkung. Wobei im jetzigen Fall alles mathematisch korrekt ist (und so sollte es doch auch sein). Die Analogie scheint hilfreich, aber Vektorräume sind eben gerade keine Körper (und genau dafür sind doch Bemerkungen unter Definitionen da!).

Auch wenn es scheinbar Autoren gibt, die die Bezeichnungen "assoziativ" und "distributiv" verwenden, ist es streng genommen nicht richtig, denn dieses sind Begriffe von inneren Verknüpfungen, was hier ja scheinbar Konsens ist. Schaut man in die Standardwerke (Lorenz, Fischer, Jänich,...), so finden sich solche Formulierungen nicht. Gerne gebe ich eine Liste der Bücher an, die darauf verzichten. Und im Gegensatz zu einem obigen Kommentar bin ich mir sicher, dass den Autoren sehr wohl bewußt war, dass sie da eine Analogie haben und so ist auch eine Nicht-Erwähnung aussagereich. -- 94.217.99.74 19:54, 10. Apr. 2009 (CEST)

Veranschaulichung?

Also nach ein paar Mathe-Semestern kann man mit den Defs hier zwar was anfangen, aber alles darunter wird schwer. Wie wäre es denn, wenn man mal ein paar Beispiele visualisieren würde. Einfach sagen, ein Koordinatensystem könnte ein 2D-Vektorraum sein. 2 Vektoren spannen eine Ebene auf - 3 einen Raum? Niemand der nicht Lineare Algebra hatte (und auch weniger von denen :P) wissen gleich, was eine "algebr. Struktur" sein soll. Naja ich wollte auf jeden Fall erst fragen, bevor ich hier munter bebildere.

Was hält man davon? Grüße --WissensDürster 15:40, 4. Mai 2009 (CEST)

PS: Hab grad gesehn, dass en.wiki eine Hand voll Bilder hat w:en:Vector space --WissensDürster 15:42, 4. Mai 2009 (CEST)

So besser? Hab das Bild reingepackt und den Vektorraum als Abstraktion des euklidischen Raums direkt in die Einleitung gepackt. --P. Birken 20:27, 6. Mai 2009 (CEST)

Nun erstmal ist das gut zu sehn, dass Bilder nicht grundsätzlich verboten sind. Obwohl das Bild ja (auch Untertitel) nicht direkt ein Beispiel für einen Vektorraum angibt. ^^ Vielen dank für das Feedback. --WissensDürster 20:40, 6. Mai 2009 (CEST)

Formalismen, verständliche Abgrenzung und Struktur

Um eindeutig zu sein, wird Mathematik auf formalen Ausdrucksweisen aufgebaut, ganz klar. Nur verstehen tut man all das, wenn überhaupt, wohl leider erst nach mehreren Jahren des Mathematikstudiums. Die Fülle formaler Ausdrücke & Notationen erschlägt einen förmlich. Meist bleibt am Ende ein Geflecht schwer (bis garnicht) verständlicher Begriffe übrig, die sich wenn's geht noch in den Artikeln gegenseitig referenzieren. Verständnismäßig führt das selbst für halbwegs intelligente Lebensformen zu einer endlosen Kette (scheinbar) hochkomplexer Ausdrücke oder gar zu der Wahrnehmung von (lexikalischen) Zirkelbezügen ...und eine inhaltliche Metastruktur, die über den Artikeln steht, lässt sich nur schwer bis garnicht erkennen. Ein prima Beispiel ist folgender Satz: "Anders ausgedrückt ist ein K-Vektorraum ein unitärer K-Linksmodul, dessen Grundring K ein (kommutativer) Körper ist." Wieviele Semester wovon muss man studieren, um den zu verstehen? Wieso muss man bei einem Artikel über Vektorräume gleich das Gefühl haben, in den tiefen Abgründen des mathematischen Universums gelandet zu sein? Ich finde das sehr bedauerlich. Weekeepeer 13:42, 24. Jul. 2009 (CEST)

Ein Vektorraum ist eine formale Struktur, also muss natuerlich die korrekte formale Definition gegeben werden? Ansonsten ist die Kritik so viel zu wenig konkret, als dass man dadurch den Artikel verstaendlicher machen koennte. --P. Birken 03:40, 25. Jul. 2009 (CEST)

Hallo Weekeepeer! Der Satz „Anders ausgedrückt ist ein $K$-Vektorraum ein unitärer $K$-Linksmodul, dessen Grundring $K$ ein (kommutativer) Körper ist.“ heißt genau das, was drüber steht. Wobei ich mich auch frage, was das soll, da „Linksmodul“ statt einfach „Modul“ zu schreiben... MfG Stefan Knauf 21:08, 3. Aug. 2009 (CEST)

Abschnitt „Weblinks“ (2)

Eine an die archivierte Diskussion Abschnitt "Weblinks" anschließende Diskussion kann bei Bedarf hier geführt werden. --134.76.80.99 21:56, 24. Nov. 2008 (CET)

> wenig sinnvollen Link entfernt. Lehrportal.de ist aufgrund gefälschter SSL-Zertifikate als schwierig anzusehen.

> LP-Inhalte sind häufig eher falsch.

Das Hinzufügen des Links geschah nach einer Artikel-Diskussion. -> Bitte um Beachtung. Das SSL-Zertifikat ist ordnungsgemäß von der "Deutsche Telekom Root CA 2" signiert. Letzte Aussage bitte ggf. belegen und auf die verlinkten Inhalte konkretisieren. Die verlinkten Inhalte wurden von Frau Prof. Dr. Ina Kersten, Professorin für Mathematik an der Georg-August-Universität Göttingen, verfasst und mehrfach im Universitätsverlag veröffentlicht. Sie scheinen damit hinreichend vertrauenswürdig. Fehler konnte ich spontan keine entdecken.

Ich habe den Link wieder hinzugefügt (eine SSL-Verbindung ist auch nicht nötig...). --134.76.63.190 00:02, 24. Okt. 2009 (CEST)

Benutzer Christian1985 hat leider ohne Begründung in der Zusammenfassung und ohne Beteiligung an dieser Diskussion meine Änderung revertiert. Ich bitte um Wiederherstellung des Links und ggf. Beteiligung an dieser Diskussion. Vielen Dank und viele Grüße, --134.76.63.190 13:34, 25. Okt. 2009 (CET)

Ich habe nach einer Wartezeit den Artikel-Abschnitt Weblinks nun in seinem ursprünglichen Zustand vom 20. Okt. 2009 (19:44 Uhr), d.h. mit Link, wiederhergestellt. Eine Diskussion über Änderungen kann an dieser Stelle geführt werden. --134.76.63.190 11:58, 29. Okt. 2009 (CET)

Ich finde den Link gut. Ich denke, man müsste noch kommentieren, dass es sich um ein e-learning-Angbot handelt. Gibt es da WP-interne Konventionen, wie man das kennzeichnet? Mein Vorschlag: "Vektorraumtheorie (eLearning-Angebot inkl. Übungsaufgaben)". --R. Möws 18:42, 18. Nov. 2009 (CET)

Ich wüsste da von keinen genauen Richtlinien. Mach einfach :-) --P. Birken 19:23, 18. Nov. 2009 (CET)

Beispiel "Affine Funktionen"

Hallo, Ich bin kein Mathematiker, aber die Formulierung "Der Nullvektor ist die konstante Funktion 0 = 0x + 0, die alle Punkte auf die Null abbildet." erscheint mir etwas verwirrend. Meiner Meinung nach sind Punkte in diesem Kontext Elemente des R², aber die Funktion bildet ja Elemente des R auf die Null ab, oder? -- 77.183.228.8 (05:07, 25. Jun. 2010 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Was für Punkte? Die Elemente des Vektorraums, also die "Vektoren" sind Funktionen. Der Vektorraum ist zwar zweidimensional, er ist aber nicht der $R^{2}$. -- Digamma 08:10, 25. Jun. 2010 (CEST) Ich habe falsch gelesen. Kommentar ist gegenstandslos. -- Digamma 08:37, 25. Jun. 2010 (CEST)

lineare Funktion?

Ich bin ja kein Mathematiker, aber ist die als Beispiel genannte lineare Funktion f = ax +b nicht affin-linear? Unser Mathe Prof hat da immer recht streng unterschieden.

Antwort: Du hast Recht. Ich habe den Abschnitt entsprechend korregiert. --Squizzz 09:06, 9. Mär 2006 (CET)

Das sind zwar keine linearen Abbildungen im Sinne der linearen Algebra, aber sie heißen allgemein lineare Funktionen, auch im zugehörigen Wikipedia-Artikel. Ich habe das deshalb wieder geändert und den Link auf lineare Funktion umgebogen. -- Digamma 21:29, 3. Aug. 2010 (CEST)

Beispiele

Ich hatte gestern einige Standardbeispiele für Vektorräume ergänzt, die durchaus genannt werden sollten. Jedoch wurde die Version zurückgesetzt. Derzeit sind es nur drei Beispiele, von denen eines bereits in einem anderen mitinbegriffen ist. Dies halte ich nciht für sinnvoll, ich bitte um konstruktive Ergänzungen. --BR 111 15:26, 2. Jun. 2008 (CEST)

Es sind nun fünf Beispiele. Reicht dir das? --MartinThoma (Diskussion) 17:29, 11. Apr. 2012 (CEST)

Ich denke, der Artikel würde sicher noch einige Beispiele, vor allem typische Beispiele wie den $\mathbb {R} ^{n}$ als VR über $\mathbb {R}$ oder einen VR von stetigen Funktionen über einem Intervall vertragen. Dei Beispiele vom Raum der linearen Funktionen oder der Funktionen vom Grad $\leq 4$ wirken eher willkürlich. Die von damals eingebrachten Beispiele sind aber eher trivial. Aber natürlich haben auch triviale Beispiele ihren Platz, sollten dann aber als solche gekennzeichnet werden. --Digamma (Diskussion) 18:14, 11. Apr. 2012 (CEST)

Navigationsbox

Vektorraum

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Lineare Algebra Geometrie

ist Spezialfall von

Abelsche Gruppe Modul

umfasst als Spezialfälle

Körper (VR über sich selbst) topologischer Vektorraum normierter Raum Prähilbertraum Euklidischer Raum reelle Zahlen Unitärer Raum komplexe Zahlen Banachraum Hilbertraum Algebra (mit innerer Multiplikation) Assoziative Algebra Lie-Algebra

Diese Box erlaubt die Navigation zwischen verschiedenen algebraischen Strukturen; sie stand jahrelang im Artikel. Irgendwann wurde sie dann ohne nähere Begründung gelöscht. Sei sie wenigstens hier dokumentiert. -- Frau Holle 21:56, 22. Okt. 2009 (CEST)

Warum wurde sie denn entfernt? Hat jemand eine Begründung? --MartinThoma (Diskussion) 13:53, 6. Apr. 2012 (CEST)

So Naviboxen sind in der deWP generell nicht so erwünscht, weil WP:Themenring-gefahr. So auch hier: VR "berührt" z.B. sehr viel mehr Spezialgebiete als die Aufgelisteten und hat sehr viel mehr Spezialfälle. Alle Links tauchen im Artikeltext auf, also wofür braucht man das Ding? --χario 16:23, 15. Apr. 2012 (CEST)

Ich verstehe deine Argumente. Zu "wofür braucht man das Ding?": Ich finde diese Boxen super, um schnell einen Überblick zu bekommen. --MartinThoma (Diskussion) 17:01, 15. Apr. 2012 (CEST)

Ich versteh auch was du meinst, aber der Überblick ist fehlerhaft, sich z.B. zu merken, dass ein VP eine abelsche Gruppe ist, ist eben nur halb richtig. Solche Übersichten (oder Linkboxen) gaukeln nur vor, dass sie Sachverhalte strukturiert und vollständig darstellen können. --χario 17:53, 15. Apr. 2012 (CEST)

Überschneidung mit dem Artikel Unterraum

Sowohl in diesem Artikel als auch in dem Artikel Unterraum gibt es den Abschnitt "Untervektorraum".

In diesem Artikel ist der Abschnitt ausführlicher und um einen Beweis für die Unterraumbedingungen ergänzt.

In beiden Abschnitten werden drei Unterraumbedingugen genannt, allerdings ist die erste Bedingung in den beiden Artikeln unterschiedlich:

Unterraum:
 $0\in W$

Untervektorraum: 
 $U\neq \emptyset$

Nach meinem mathematischen Verständnis ist die aus Unterraum mächtiger und richtig, die aus Untervektorraum nicht ausreichend.

Da ich bisher wenig Erfahrung mit Artikel-Bearbeitung hab, weiß ich nicht genau, wo ich jetzt ansetzen soll. So wie es im Moment ist, haben wir aber zwei leicht unterschiedliche Abschnitte, die sich separat entwickeln. Einer davon sollte meiner Meinung nach leer sein und lediglich auf den anderen verweisen.

--DrGoscha 12:11, 9. Jul. 2011 (CEST)

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Hallo DrGoscha, ich glaube beide Aussagen sind äquivalent. Dazu mal folgende Gedanken:

$0\in W\implies W\neq \emptyset$

$(W\neq \emptyset )\land (\forall \lambda \in K\forall u\in W:\lambda \cdot u\in W)\implies 0\cdot w=0\in W$

Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob jeder Körper ein Null-Element mit der Eigenschaft, dass $\forall w\in W:0\cdot w=0$ haben muss.

Hier mal zur Quellenlage:

• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. 7. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-528-66508-1, S. 48. : Die Existenz eines Null-Vektors "0" wird für Vektorräume gefordert. Dieser muss folgende Eigenschaft haben: $v+0=v$.
• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. 7. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-528-66508-1, S. 57. : "Man nennt eine Teilmenge W von V, die (bezüglich der auf V definierten Verknüpfungen) selbst wieder einen K-Vektorraum bildet, einen Unterraum von V." Weiter oben auf der gleichen Seiten steht das Unterraumkriterium:
  • "Die Differenz zweier Elemente aus $<v_{1},v_{2},...>$ liegt wieder in $<v_{1},v_{2},...>$ (Abgeschlossenheit bezüglich der Subtraktion",
  • "das skalare Vielfache jedes Elements aus $<v_{1},v_{2},...>$ liegt wieder in $<v_{1},v_{2},...>$ (Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation)",
  • "der Nullvektor liegt in $<v_{1},v_{2},...>$"

Im Skript "LINEARE ALGEBRA" von Prof. Dr. Enrico Leuzinger steht noch folgendes: S. 66 - 67: Definition eines Vektorraumes:

Es sei $\mathbb {K}$ ein Körper. Eine Menge V mit einer Addition
  $+:V\times V\rightarrow V,(x,y)\mapsto x+y$
und einer skalaren Multiplikation, d.h. einer Abbildung 
  $\cdot :\mathbb {K} \times V\rightarrow V,(\lambda ,x)\mapsto \lambda \cdot x$
heißt $\mathbb {K}$-Vektorraum oder ein Vektorraum über $\mathbb {K}$, falls
V1 $(V,+)$ eine abelsche Gruppe ist und
V2 für alle $\lambda ,\mu \in \mathbb {K}$ und alle $x,y\in V$ gilt:
  (a) $1\cdot x=x$
  (b) $\lambda \cdot (\mu \cdot x)=(\lambda \cdot \mu )\cdot x$
  (c) $(\lambda +\mu )\cdot x=\lambda \cdot x+\mu \cdot x$
  (d) $\lambda \cdot (x+y)=\lambda \cdot x+\lambda \cdot y$

Die Elemente von V heißen Vektoren, die von $\mathbb {K}$ Skalare.

Das neutrale Element in $(V,+)$ wird Nullvektor genannt und (zumindest im allgemeinen Kontext) 
mit $0=0_{V}$ bezeichnet und ist vom Nullelement $0=0_{\mathbb {K} }\in \mathbb {K}$ zu unterscheiden!

Herr Prof. Dr. Leuzinger greift nutzt also, dass Gruppen ein neutrales Element besitzen. Ich finde seine Definition sehr schön, da sie sehr übersichtlich ist. --MartinThoma (Diskussion) 17:22, 11. Apr. 2012 (CEST)

In jedem Vektorraum $V$ (über jedem beliebigen Körper) gilt $0\cdot v=v$ für alle $v\in V$. Das steht auch etwas verklausuliert in dem Artikel unter "Erste Eigenschaften". Die Begründung ist ganz einfach: Aus $0+0=0$ folgt $0\cdot v=0\cdot v+0\cdot v$. Subtrahiert man auf beiden Seiten der Gleichung $0\cdot v$, so erhält man $0_{V}=0\cdot v$. --Digamma (Diskussion) 18:23, 11. Apr. 2012 (CEST)

Stern

Ist es tatsächlich sinnvoll, die Multiplikation zwischen Skalar und Vektor mit einem $*$ zu bezeichnen statt mit einem Punkt? Die Addition von Vektoren wird ja durchaus mit dem selben Zeichen wie die Addition von Körperelementen bezeichnet. Ist wirklich sinnvoll, bei der Multiplikation den Unterschied zu markieren, zumal in der Realität die Skalare Multiplikation immer mit einem Punkt bezeichnet wird bzw. nur durch Nebeneinanderschreiben, ohne Verknüpfungszeichen. Insofern grenzt der Stern an Begriffsfindung.

Wenn man in den einleitenden Abschnitten (Definition und erste Eigenschaften) den Unterschied hervorheben möchte, dann kann man das ja auch durch Indizes ($+_{K}$ vs. $+_{V}$ und $\cdot _{K}$ vs. $\cdot _{V}$) machen. Die sind zwar schwerfällig, aber immerhin entspricht das eigentliche Zeichen dem üblichen Gebrauch, und es ist natürlicher, den Indes wegzulassen, als das Zeichen zu wechseln. --Digamma (Diskussion) 22:25, 11. Apr. 2012 (CEST)

Zustimm. Man hat bei 0, + und dem unären Minus auch praktisch gar keine Wahl: Wenn man bei ihnen auf andere Weise als durch Indizes unterscheiden will, muss man sich echt seltsame Symbole zusammensuchen. Allerdings würde ich die momentan angegebene Skalarmultiplikation nicht $\cdot _{V}$ nennen, sondern etwa ${}_{K}\cdot _{V}$. Dann hat man nämlich noch den Namen ${}_{V}\cdot _{K}$ frei für die Skalarmultiplikation mit vertauschten Argumenten (die man zwar für die Vektorraumdefinition nicht braucht, aber als Convenience-Funktion ist die manchmal nett). --Daniel5Ko (Diskussion) 02:20, 12. Apr. 2012 (CEST)

falscher Link?

Es heißt im Artikel: Ist $(V,+)$ eine abelsche Gruppe, so bildet die Menge $\operatorname {End} (V)$ der Endomorphismen von $V$ mit punktweiser Addition als Addition, der Komposition von Abbildungen als Multiplikation und der Identität als Einselement einen Ring

Aber es sollte doch mE auf Ring verlinkt werden, oder?--Frogfol (Diskussion) 06:52, 2. Aug. 2012 (CEST)

Hi, sowas offensichtliches kannst Du auch sofort korrigieren. Da ist wohl ein Link auf die Begriffsklärungsseite Ring falsch zu einem Direktlinkg aufgelöst worden.--LutzL (Diskussion) 10:43, 2. Aug. 2012 (CEST)

Neutrale Elemente

Fehlt bei der formalen Definition nicht noch die Forderung, dass die Eins und die Null verschieden sind? --84.133.105.185 17:48, 7. Mai 2013 (CEST)

Welche Eins? In einem Vektorraum gibt es keine Eins. --Chricho ¹ ² ³ 17:57, 7. Mai 2013 (CEST)

Beispiel zu den linearen Abbildungen

In der Form wie das Beispiel da steht, ist das sicherlich nicht richtig. Abbildungen von der Form f(x)=ax+b nennt man affin linear, nicht linear. Für affin lineare Abbildungen gilt offensichtlich nicht f(x+y)=f(x)+f(y), wie man sich an einem einfachen Beispiel, bei dem b nicht gerade 0 ist, vor Augen führen kann oder man beweist es schnell, da für jede lineare Abbildung g, für die ja per Definition gilt: g(a+b)=g(a)+g(b) (für alle a,b im Def.bereich von g) eben b=0 folgen muss, denn g(0)=g(0+0)=g(0)+g(0)=2g(0) <=> 0=g(0) => g kann nur von der Form g(x)=ax+b (mit a,b in der Menge der reellen Zahlen) sein, falls b=0. (nicht signierter Beitrag von 188.174.214.152 (Diskussion) 17:49, 22. Jul. 2013‎ (CEST))

In dem Beispiel geht es nicht darum, dass die Abbildung $f$ linear ist, sondern dass der Raum der affin-linearen Funktionen $F=\{f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \mid f~{\text{ist affin-linear}}\}$ linear ist. Das heißt die Summe zweier affin-linearer Funktionen ergibt wieder eine affin-lineare Funktion und ein Vielfaches einer affin-linearen Funktion ist ebenfalls wieder affin-linear. Wenn das Beispiel zu sehr verwirrt, kann man die affin-linearen Funktionen auch durch konstante Funktionen ersetzen, dann sollte es zumindest keine Verwechslungsgefahr mehr geben. Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:34, 22. Jul. 2013 (CEST)

Man könnte auch den Raum der quadratischen Funktionen nehmen. Dann erhält man halt einen dreidimensionalen Vektorraum.

@IP: In der Analysis nennt man Funktionen der Form $f(x)=ax+b$ lineare Funktionen (vermutlich weil der Graph eine Gerade ist). Damit wird nicht behauptet, dass es sich um lineare Abbildungen im Sinne der linearen Algebra handelt. Die Bezeichnung in der Analysis ist vermutlich älter als der Begriff der linearen Algebra. --Digamma (Diskussion) 20:28, 22. Jul. 2013 (CEST)

Ich habe nun einfach lineare durch quadratische Funktionen ersetzt, an sich ist das aber eher ein Beispiel für einen Untervektorraum. Vielleicht sollte man bei den Beispielen noch stärker zwischen allgemeinen und konkreten (Zahlen-)Beispielen unterscheiden. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:00, 23. Jul. 2013 (CEST)

Ein Problem, das mir vorgestern nicht aufgefallen ist: Die quadratischen Funktionen bilden nur dann einen Vektorraum, wenn man zu "höchstens quadratisch" abschwächt, d.h., man muss die linearen Funktionen (a = 0) mit dazunehmen. Vielleicht war die Idee doch nicht so gut.

Was meinst du mit "konkreten (Zahlen-)Beispielen"? Unterräume des $R^{n}$? Konkrete Beispiele sind doch meistens Unterräume von eher abstrakten Beispielen.

Naja, es gilt immerhin $0\in \mathbb {R}$, aber ich gebe dir recht, die Beschreibung als quadratische Funktion bzw. als Parabel passt dann nicht so ganz. Ich habe das Beispiel vorerst wieder zurückgerudert. Mit Zahlenbeispiel meinte ich, dass konkrete Zahlen (2,3,-1) auftreten und keine Variablen (a,b,c). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:45, 24. Jul. 2013 (CEST)

Basis eines Vektorraums

Hallo, kann das jemand, der sich berufen fühlt, etwas klarer ausdrücken. Auch mit Kommasetzung vor "also" funktioniert der Satz nicht richtig, oder stehe ich auf der Leitung? Nach einem Satz über Bijektion steht folgendes:

"Diese lässt sich leicht zu einer linearen über allen Linearkombinationen von Basiselementen also den ganzen Räumen fortsetzen, und man erhält einen Isomorphismus." Grüße von --BlaueWunder (Diskussion) 11:42, 1. Aug. 2013 (CEST)

Jetzt sollte der Satz vollständiger sein. Wobei die Frage ist, ob dieses Level von Detail, da immer noch sehr oberflächlich, wirklich notwendig ist. Es sollte reichen: "Die Bijektion der Basiselemente läßt sich linear zu einer Bijektion der Räume fortsetzen."--LutzL (Diskussion) 14:50, 1. Aug. 2013 (CEST)

Ich habe den Satz mal nach deinem Vorschlag umformuliert. Der ganze Abschnitt bedarf aber der Überarbeitung. --Digamma (Diskussion) 17:44, 2. Aug. 2013 (CEST)

Definition einer abelschen Gruppe

Die Definition einer abelschen Gruppe ist hier im Artikel überflüssig, denn für Leser, die diese nicht kennen, gibt's einen Link auf die entsprechende Wikipedia-Seite. Außerdem dürfte jemand, der diese Definition nicht kennt, erst recht die eines Körpers nicht kennen, also müsste man die dann auch noch hier im Artikel unterbringen. Das gehört aber beides nicht hierhin und kann ohne Probleme auf den entsprechenden Seiten nachgelesen werden. --RPI (Diskussion) 00:07, 9. Sep. 2013 (CEST)

In vielen Büchern werden Vektorräume mit 8 oder 9 Axiomen aufgeführt. Vielleicht muss man nicht alle Formeln bringen, aber zumindest kurz erklären was eine abelsche Gruppe (und ein Körper) ist, fände ich für die Allgemeinverständlichkeit bei einem solchen Grundlagenartikel sehr sinnvoll. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:13, 9. Sep. 2013 (CEST)

Ich kenne sogar mindestens ein Buch, in dem sämtliche Axiome – einschließlich denen des Körpers – angegeben werden: Dann hat man aber eine sehr lange Liste von Axiomen, die jeden Leser erst einmal in Schrecken versetzt!

Der Artikel soll ja von Vektorräumen handeln und nicht von abelschen Gruppen oder Körpern. Wenn man die Axiome der abelschen Gruppe bringen will, dann fände ich es aber anders herum besser: Man nimmt die Menge der Vektoren und nennt die zwei Verknüpfungen Vektoraddition und Skalarmultiplikation und bringt die Axiome der Addition (abelsche Gruppe) und der Multiplikation (wie gehabt). Anschließend erklärt man in einer Bemerkung oder packt diese gleich mit in die Defintion, dass die Additionsaxiome bedeuten, dass der Vektorraum bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe bildet und ein Körper auch eine additive abelsche Gruppe ist, die aber zusätzlich (ohne $0$) eine multiplikative abelsche Gruppe bildet und die Distributivgesetze erfüllt. Auf diese Weise wird der Begriff der abelschen Gruppe nicht ohne Erklärung gegeben und erst im Nachhinein erläutert, sondern zunächst alle relevanten Axiome gebracht und danach der der abelschen Gruppe, den der Leser aber nicht unbedingt benötigt. Wer Körper nicht kennt, bekommt in einer weiteren Bemerkung auch noch eine kurze Erklärung auf der Basis der abelschen Gruppe. Viele Grüße --RPI (Diskussion) 14:25, 9. Sep. 2013 (CEST)

Einen Aufbau der Art ein Vektorraum ist eine Menge von Objekten, genannt Vektoren, auf denen zwei Verknüpfungen Vektoraddition und Skalarmultiplikation definiert sind, fände ich in der Tat auch besser, da natürlicher. Die Gruppenaxiome hier kurz nochmal aufzuführen ist allein schon deswegen sinnvoll, weil momentan ein Klick auf abelsche Gruppe nur die Kommutativität verrät und die restlichen Axiome noch einen weiteren Klick entfernt sind. Stattdessen schrecken die Modul- und Endomorphismusdefinitionen den unbedarfteren Leser ab und sollten erst sehr viel später gebracht werden.

Nachdem ich gerade dabei bin, den Artikel Skalarmultiplikation zu überarbeiten, überlege ich gerade, ob nicht auch ein eigener Artikel Vektoraddition sinnvoll wäre. Tatsächlich besteht aber dann die Gefahr, dass sich Inhalte zu sehr doppeln. Das was momentan unter Skalarmultiplikation#Eigenschaften steht, könnte man genauso gut unter Vektoraddition#Eigenschaften oder Vektorraum#Erste Eigenschaften bringen. Eine zündende Idee hierzu fehlt mir hier aber noch.

Ansonsten ist der Aufbau dieses Artikels zwar grundsätzlich in Ordnung, der ganze Artikel sollte aber noch etwas stromlinienförmiger geschrieben werden, insbesondere wo weiterführende Artikel vorhanden sind. Siehe auch den Abschnitt eins drüber. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:38, 9. Sep. 2013 (CEST)

Ich habe die Definition, wie vorher beschrieben, neu gefasst. Für weitere nennenswerte Überarbeitungen habe ich keine Zeit, das überlasse ich dir. Auf die alternative Definition könnte man wegen mir auch ganz verzichten: sie ist in der Literatur nicht üblich, in Büchern der Linearen Algebra habe ich so eine Definition zumindest noch nicht gesehen. Wahrscheinlich wurde die von einem Kategorientheoretiker dort angebracht, weil in der Kategorientheorie darüber wohl die Kategorie der Vektorräume definiert wird. Wenn man sie überhaupt im Artikel unterbringen will, dann irgendwo am Ende. Gruß --RPI (Diskussion) 11:41, 12. Sep. 2013 (CEST)

Ok, ich habe die alternative Definition und den Hinweis auf Moduln nun rausgeworfen und die Axiome etwas lesbarer formatiert. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:49, 12. Sep. 2013 (CEST)

Wichtiger, als für den Leser, der Körper nicht kennt, zu erklären, was ein Körper ist, wäre meiner Meinung nach, Beispiele zu nennen. Dann weiß jeder, der nur an reellen oder komplexen Vektorräumen interessiert ist, dass er für das ihm unbekannte "Körper" einfach "$\mathbb {R}$" oder "$\mathbb {C}$" einsetzen kann. --Digamma (Diskussion) 17:48, 13. Sep. 2013 (CEST)

Ich habe die Körperdefinition in den Anmerkungen mal kürzer formuliert und die wichtigen Beispiele ergänzt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:00, 13. Sep. 2013 (CEST)

Danke. Ich habe die Einleitung etwas umformuliert, so dass klarer werden sollte, dass mit "Körper" z.B. die Menge $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen gemeint ist. (Mich graust es immer ein bisschen, wenn "die reellen Zahlen" steht, wo "die Menge" oder "der Körper" der reellen Zahlen gemeint ist.)

Zur Neuformulierung der Axiome habe ich noch ein paar Anmerkungen:

1. Die Bezeichnung des Nullvektors ist nicht mehr konsistent. In der Definition heißt er $o$, weiter unten heißt er $0_{V}$.
2. Die Logik der Axiome V2 und V3 stimmt nicht so ganz. Es reicht nicht, "Existenz" in den Klammerzusatz zu schreiben. Die Quantoren sind Teil des Axioms, vgl. die Formulierung in Gruppe (Mathematik). (Alternativ kann man gleich zu Beginn zusätzlich zur Verknüpfung $\oplus$ die Konstante $o$ und die Funktion $v\mapsto -v$ vorgeben.)

--Digamma (Diskussion) 19:24, 13. Sep. 2013 (CEST)

Ok, ich habe die Formulierungen entsprechend verbessert und die Symbole angeglichen, wobei man auch gerne die andere Variante wählen kann. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:58, 13. Sep. 2013 (CEST)

Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler)

Die Seite gibt mir etliche Parserfehler in den Formeln, beispielsweise im ersten Satz im Abschnitt Definition: Es seien V eine Menge, (K, +, \cdot) ein Körper, Fehler beim Parsen (Unbekannter Fehler): \oplus\colon V \times V \to V Ich sehe das auf zwei verschiedenen Systemen, und Google sieht es auch (der Vektorraum-Artikel erscheint in den ersten 10 Treffern). Könnte das bitte jemand reparieren? --134.93.134.92 11:40, 13. Sep. 2013 (CEST)

Ich sehe diese Parserfehler von meinem System aus nicht, und der Latex-Code ist in Ordnung. Vermutlich hat der ein oder andere Wikipedia-Server gerade einen Schluckauf. Meistens hilft dann ein Leeredit oder ein Aufruf von https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vektorraum&action=purge. Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:51, 13. Sep. 2013 (CEST)

Reduzierbarkeit der Definition

Ich bin da etwas flapsig aber geht nicht auch die folgende Definition: "Ein Vektorraum ist ein Spannraum von Vektoren, die jeweils miteinander addierbar sind. Ein Vektor ist etwas, dem man eine Länge zurodnen kann." Falls nicht, so bitte ich um ein Gegenbeispiel oder die Nennung eines fehlenden Aspekts (aber dann bitte gut überlegen, ob er wirklich nicht inkludiert ist). (nicht signierter Beitrag von 94.221.82.100 (Diskussion) 14:15, 27. Dez. 2013 (CET))

Mal abgesehen davon, dass das keine mathematische Definition ist und zB wichtige Eigenschaften wie die skalare Multiplikation fehlen, verlangst du zu viel in deiner eher anschaulichen Def, denn eine Länge kann man in jedem VR einem Vektor zugeordnet werden.--Frogfol (Diskussion) 15:32, 27. Dez. 2013 (CET)

@Frogfol Ich glaube, du hast irgendwas verdreht.

@94.221.82.100 Der Begriff des Vektorraums legt keinen Längenbegriff fest. Ein Vektor im Sinne eines Elements eines Vektorraums hat daher zunächst auch keine Länge. --Chricho ¹ ² ³ 15:39, 27. Dez. 2013 (CET)

Ich hatte mich verschrieben,ich meinte natürlich: "...verlangst du zu viel in deiner eher anschaulichen Def, denn eine Länge kann nicht in jedem VR einem Vektor zugeordnet werden." Sry, und danke @Chricho für die Korrektur.--Frogfol (Diskussion) 18:10, 27. Dez. 2013 (CET)

Und was mit "Spannraum" gemeint sein soll, ist auch nicht wirklich klar. --Digamma (Diskussion) 19:51, 27. Dez. 2013 (CET)

Analog zum metrischen Raum könnte man sich unter einem „Spannraum“ eine Menge mit einer Pseudometrik, auch Spanne genannt, vorstellen. Allerdings ist eine Pseudometrik ein schwächerer Begriff als eine Metrik, also der Abstandsbegriff, und wenn jeder Vektor eine Länge haben soll, dann braucht man sogar eine Norm. Bekanntlich induziert aber jede Norm schon eine Metrik, d.h. der Begriff der Spanne macht hier nicht wirklich Sinn.

Mit „Spannraum“ dürfte daher eher gemeint sein, dass ein Vektorraum durch Vektoren (ein Erzeugendensystem bzw. eine Basis) im „Anschauungsraum“ geometrisch „aufgespannt“ wird. Abgesehen davon, dass es mit der Anschaulichkeit schnell vorbei ist, wenn man andere Vektorräume als $\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2}$ (einschließlich $\mathbb {C}$) oder $\mathbb {R} ^{3}$ betrachtet, braucht man für die Definition des Vektorraums weder den Begriff der Länge noch die anderen genannten topologischen Begriffe (diese kann man bei Bedarf bei entsprechenden Strukturen noch hinzunehmen). Auf die Skalarmultiplikation kann man dagegen nicht verzichten, denn sonst hätte man ja nur eine additiv geschriebene abelsche Gruppe, also deutlich weniger Struktur.

PS: Frohes neues Jahr! --RPI (Diskussion) 17:35, 31. Dez. 2013 (CET)

Die Skalarmultiplikation stellt z.B. für $n>1$ sicher, dass der $\mathbb {R}$-Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ höchstens durch $n$ linear unabhängige Basisvektoren $b_{1},\ldots ,b_{n}$ „aufgespannt“ werden kann, denn nur dann erzeugt jeder Basisvektor $b_{i}$ den eindimensionalen Untervektorraum aller Vektoren $\alpha b_{i},\alpha \in \mathbb {R} .$ --RPI (Diskussion) 09:27, 2. Jan. 2014 (CET)

Tensorprodukt

Hallo Quartl,

du schreibst:

$v\otimes w=\sum _{i\in I}\sum _{j\in J}a_{ij}(v_{i}\otimes w_{j})$

So kann man das meiner Meinung nach nicht schreiben. Die rechte Seite ist richtig, aber die linke ergibt keinen Sinn. Im Allgemeinen ist das, was rechts steht, nämlich nicht von der Form $v\otimes w$ mit $v\in V$, $w\in W$. Gruß, --Digamma (Diskussion) 12:12, 17. Mär. 2014 (CET)

Hm, so steht es aber bei uns im Artikel Tensorprodukt. Soll ich die linke Seite einfach weglassen? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:19, 17. Mär. 2014 (CET)

Wenn ich das richtig sehe, dann steht das dort nicht wirklich so. Dort steht, dass die Menge der Vektoren $v_{i}\otimes w_{j}$ eine Basis bildet. Darunter steht dann, dass man das Tensorprodukt zweier Vektoren $v=\sum _{i\in I_{0}}a_{i}e_{i}\in V$ und $w=\sum _{j\in J_{0}}b_{j}f_{j}\in W$ definieren kann durch $v\otimes w=\sum _{(i,j)\in I_{0}\times J_{0}}a_{i}b_{j}\;(e_{i}\otimes f_{j})$. Aber nicht jedes Element des Tensorprodukts der Vektorräume ist von dieser Form, so wie nicht jede Matrix $(a_{ij})$ von der Form $(a_{i}b_{j})$ ist. Es ist sicher sinnvoll, die linke Seite wegzulassen. --Digamma (Diskussion) 13:04, 17. Mär. 2014 (CET)

Ich habe mal den Text bei Tensorprodukt ergänzt. --Digamma (Diskussion) 13:14, 17. Mär. 2014 (CET)

Okay. Sollte man dann in Tensorprodukt nicht besser auch die linke Seite weglassen (in dem neuen Text)? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:43, 17. Mär. 2014 (CET)

Ja, natürlich. Das war ein Fehler beim Kopieren. Habe es nun entfernt. Gruß, --Digamma (Diskussion) 17:59, 17. Mär. 2014 (CET)

Offenbar ist der Edit verloren gegangen ;-). Ich habe nochmal über die Notation nachgedacht: $v\otimes w\in V\otimes W$ ist gar nicht so falsch, wenn man $v\otimes w$ nicht als Tensorprodukt der Vektoren $v\in V$ und $w\in W$ ansieht, sondern lediglich als formales Element von $V\otimes W$. Allerdings kollidiert die Notation dann mit dem tatsächlichen Tensorprodukt von $v$ und $w$, das auch mit $v\otimes w$ bezeichnet wird, insofern ist es schon besser, die linke Seite nicht anzugeben. Allerdings wäre es auch schön wenn es irgendeine Standardbezeichnung für einen Vektor aus dem Tensorproduktraum $V\otimes W$ gäbe. Ansonsten muss man sowas wie $u\in V\otimes W$ schreiben, was dann nicht mehr ganz so intuitiv lesbar ist. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:33, 17. Mär. 2014 (CET)

Ja, offenbar habe ich mal wieder nur auf "Vorschau zeigen" geklickt statt auf "Seite speichern". Zur Notation: $v\otimes w$ für ein allgemeines Element von $V\otimes W$ ist auf jeden Fall schlecht. Es ist etwas Besonderes, wenn ein Tensor so dargestellt werden können. Sowie es eine Besonderheit ist, wenn eine Matrix in der Form $uv^{T}$ dargestellt werden kann (Dyade, Rang-1-Matrix). Natürlich kann man für Elemente des Tensorprodukts (die ja Tensoren sind) eigene Symbole verwenden. Das wird ja oft getan, z.B. Großbuchstaben, oder doppelt unterstrichene Symbole (wenn man Vektorn einfach unterstreicht) oder durch einen Doppelpfeil über dem Symbol (wenn man Vektoren durch Pfeile kennzeichnet). --Digamma (Diskussion) 20:08, 17. Mär. 2014 (CET)

Vielen Dank für die Erklärungen, die sehr zum Verständnis des Tensorprodukts beitragen. Vielleicht kann man den ein oder anderen Punkt noch bei Tensorprodukt#Endlichdimensionaler Fall ergänzen? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:09, 18. Mär. 2014 (CET)

Vgl. auch Diskussion:Dyadisches_Produkt :-) --Digamma (Diskussion) 18:32, 18. Mär. 2014 (CET)

Ja, es ist schon ein Kreuz mit dem Tensorprodukt :-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:15, 19. Mär. 2014 (CET)

"gewissen" - in Abschnitt Lineare Abbildungen

Bitte dieses Alles-und-nichtssagende "gewissen" durch eine aussagekräftige Formulierung ersetzen. --217.230.47.17 18:35, 15. Nov. 2015 (CET)

Ich habe die Floskeln mal einfach entfernt. An dieser Stelle genauer zu erklären, was "strukturerhaltend" ist, würde zu weit führen, es sei denn, es findet jemand eine einfache und dennoch knappe Formulierung. --Digamma (Diskussion) 18:56, 15. Nov. 2015 (CET)

Alternative zum klassischen Vektorraum

Die Definition des klassischen Vektorraums halte ich für Pfusch und eine Bastelei. Ich schlage folge Alternative zum Vektorraum und zu Vektoren vor:

Für mich ist neu ein Vektor einfach ein Element von K hoch n (wobei K ein Körper ist und n die Potenz, resp. Dimension des neuen Vektorraums).

Additives Neutralelement ist das Element, bei dem alle Koeffizienten das additive Neutralelement von K sind.

Additives Inverses ist das Element, bei dem alle Koeffizienten punktweise das additive Neutralelement von K sind.

Multiplikatives Neutralelement ist das Element, bei dem alle Koeffizienten das multiplikative Neutralelement von K sind.

Ein multiplikatives Inverses gibt es nur für Elemente, bei denen kein Koeffizient das additive Neutralelement von K ist.

Multiplikatives Inverses ist das Element, bei dem alle Koeffizienten punktweise das multiplikative Inverse von K sind.

Addition ist die punktweise Addition aller Koeffizienten in K. Multiplikation ist die punktweise Multiplikation aller Koeffizientin in K.

Mein neuer alternativer Vektorraum ist ein Körper (bis auf die genannte Einschränkung des Multiplikativen Inversen).

Die Multiplikation mit einem Skalar entspricht hier der Multiplikation mit einem Vektor, bei dem alle Koeffizienten den Skalar als Wert haben. Alle Operationen des klassischen Vektorraums sind vorhanden. (nicht signierter Beitrag von ThvAq (Diskussion | Beiträge) 21:56, 27. Feb. 2020 (CET))

--ThvAq (Diskussion) 13:17, 28. Feb. 2020 (CET) So ist der neuartige Vektorraum sichtbar als (mihrfacher)Produktkörper über einem Körper. Im Wesentlichen wurde nur die Skalarmultiplikation durch die punktweise Multiplikation der Komponenten ersetzt. Jetzt hat man ein organisches ganzes statt einer künstlichen Bastelkonstruktion verschiedenartiger Gruppen.--ThvAq (Diskussion) 13:27, 28. Feb. 2020 (CET)

Du missverstehst, was Wikipedia ist. Wir erfinden hier keine neuen Begriffe, sondern stellen die etablierten Begriffe dar. --Digamma (Diskussion) 19:24, 28. Feb. 2020 (CET)

Ich denke du meinst damit einen Spezialfall des Hadamard-Produkts. Hat aber eigentlich nicht viel mit Vektorräumen zu tun. -- HilberTraum (d, m) 19:45, 28. Feb. 2020 (CET)

Zunächst einmal vielen Dank für die Beteiligung an der Diskussion über meinen Vorschlag, an beide Teilnehmer. Das Hadamarprodukt für eine Spalte oder Zeile stimmt mit meiner Multiplikation zweier Vektoren m.E. überein. Aber das Interessante ist, dass man indem man die Skalare Multiplikation durch diese (Hadamard?)-Multiplikation ersetzt einen Körper erhält (bis auf einige multiplikative Inversen). Jetzt hat man eine einfache vom zugrunde liegenden Körper geerbte algebraische Struktur und nicht mehr ein Flickwerk aus verschiedenartigen Gruppen. In diesem Produktkörper aus n K-Körpern, sind alle Operationen vorhanden, die es in einem Vektorraum gibt. Damit braucht man keinen klassischen Vektorraum mehr und hat saubere Strukturen.--ThvAq (Diskussion) 20:08, 28. Feb. 2020 (CET)

Warum sollte man die skalare Multiplikation durch die Hadamard-Multiplikation „ersetzen“? Man kann/sollte doch beides haben und bekommt dann einen Vektorraum, auf dem noch eine weitere Verknüpfung definiert ist. (Übrigens: „ein Körper bis auf …“ ist halt einfach kein Körper). -- HilberTraum (d, m) 20:21, 28. Feb. 2020 (CET)

(BK) Ein "Körper" ohne multiplikative Inversen ist kein Körper, sondern ein Ring. Im Prinzip beschreibst du das das direkte Produkt von Ringen. --Digamma (Diskussion) 20:24, 28. Feb. 2020 (CET)

Warum sollte man hinzufügen, was man ohnehin schon hat, um etwas Gebasteltes zu bekommen. Die Multiplikation mit einem Vektor bei dem alle Komponenten den Wert des Skalars haben entspricht der Multiplikation mit einem Skalar. In einem Körper gibt es bereits ein Element, das kein multiplikatives Inverses hat: das additive Nullelement. Ob eines oder 100 ist nicht so wichtig. Die Körperdefinition lässt sich leicht dahingehend erweitern.--ThvAq (Diskussion) 20:31, 28. Feb. 2020 (CET)

Nur die Elemente mit Nullen besitzen kein Inverses. Es handelt sich halt um das Produkt von Körpern, die alle eine nichtinvertierbares Element haben. Dadurch gibt es eben sehr viele.--ThvAq (Diskussion) 20:38, 28. Feb. 2020 (CET)

Man definiert Vektorräume nicht, damit man eine schöne mathematische Struktur hat, sondern weil sie nützlich sind. Das sind die von dir betrachteten Ringe nicht. Und es ist sehr wohl ein Unterschied, ob man nur durch die Null nicht dividieren kann, sondern durch ganz viele andere Ringelemente. --Digamma (Diskussion) 20:46, 28. Feb. 2020 (CET)

Ich sehe jetzt trotzdem ein Problem. Im Körper nimmt man die Null aus der multiplikativen Gruppe heraus. Ich kann aber nicht alle Vektoren mit einer Null in einer Komponente herausnehmen, weil ich sie dann nicht mehr strecken könnte. Ich melde mich wieder, wenn mir etwas eingefallen ist.--ThvAq (Diskussion) 20:56, 28. Feb. 2020 (CET)

Nun gut, wenn ich Elemente mit Komponenten, die eine Null haben, hinzunehme, muss ich mich auf einen Ring beschränken. Ich werde aber weiterhin von einem eingeschränkten Körper reden, weil die Mathematiker beim Körper der reellen und komplexen Zahlen dasselbe tun. Strenggenommen ist die (in der Mathematik so wichtige) Multiplikation mit Null nicht vorgesehen, denn sie ist ausdrücklich aus der multiplikativen Gruppe ausgeschlossen. So gesehen sind alle Beweise falsch, die eine Multiplikation mit Null verwenden, die es eigentlich nicht gibt. Aber wenn es um die Null geht behandeln die Mathematiker die multiplikative Gruppe wie einen Ring. Genau das mache ich auch mit allen Elementen, die eine Null in einer Komponente haben.--ThvAq (Diskussion) 12:30, 29. Feb. 2020 (CET)

Im Grunde sind die Koerperaxiome unsauber. Es reicht nicht zu sagen, dass die Menge ohne die Null eine multiplikative Gruppe bildet. Man muss auch sagen, dass die Menge mit der Null eine multiplikative Halbgruppe bildet, die mit der multiplikativen Gruppe kompatibel ist. ThvAq (Diskussion) 15:30, 29. Feb. 2020 (CET)

Nein, muss man nicht. Das folgt aus den restlichen Axiomen. Es gibt aber auch Formulierungen der Körperaxiome, bei der die Assoziativität und die Kommutativität der Multiplikation und dass die 1 neutrales Element der Multiplikation ist, für alle Körperelemente formuliert wird, und die Null nur bei der Existenz des multiplikativen Inversen ausgenommen wird. Ansonsten: Schau die lieber die Ringaxiome an. Was du definierst, hat die Struktur eines Rings, aber nicht die eines Körpers. --Digamma (Diskussion) 17:36, 29. Feb. 2020 (CET)

Da irren Sie sich. Die Null ist aus der multiplikativen Gruppe ausgeschlossen. Jede Multiplikation mit Null widerspraeche den Axiomen ist auch durch keine anderen Axiome erlaubt. ThvAq (Diskussion) 17:42, 29. Feb. 2020 (CET)

Doch, Sie haben Recht und ich habe mich geirrt. Das Distributivgesetz rechtfertigt eine Multiplikation mit Null. Das Distributivgesetz löst natürlich auch das von mir angesprochene Problem. Wie gesagt, alle Körperaxiome sind anwendbar. Einziger Unterschied: Nicht nur die Null, sondern alle Vektoren mit einer Null in einer Komponente sind von der multiplikativen Gruppe ausgenommen.--ThvAq (Diskussion) 19:48, 29. Feb. 2020 (CET)

Die Axiome S1 und S2 der Skalarmultiplikation werden ebenfalls als Distributivgesetze bezeichnet, Axiom S3 auch als Assoziativgesetz...

.... so steht es im Lemma... und auch in meinem Bronstein. mfg --Qwertzu111111 (Diskussion) 18:57, 30. Nov. 2021 (CET)

1. Nein: So steht es nicht im Lemma – weder bei Assoziativgesetz noch bei Distributivgesetz. Ich kann natürlich beim raschen Drüberlesen etwas übersehen haben. Zitiere also bitte die von Dir gemeinten Stellen in diesen beiden Artikeln, damit wir diesbezüglich sicher sein können.
2. Nein zu „Assoziativgesetz“ in meinem Bronstein (23. Aufl., 1987): Im Register finden sich nur zwei Verweise auf das Stichwort „Assoziativgesetz“ und dort (beides auf Seite 237) geht es nur um die Assoziativgesetze der Addition und der Multiplikation in R.
3. Ja zu „Distributivgesetze“ im Bronstein: Es gibt zwar im Register auch nur den für uns irrelevanten Verweis zur Seite 237 und R, aber auf Seite 140 (unter „Lineare Algebra. Vektorräume. Begriff des Vektorraumes“) findet man vor den unseren Eigenschaften S1 und S2 entsprechenden Identitäten das Wort „Distributivgesetze“. Und unmittelbar vor der unserer Eigenschaft S3 entsprechenden Identität findet sich die Bezeichnung „Assoziativität:“. Das ist natürlich schon etwas anderes als eine Bezeichnung „Assoziativgesetz“ es wäre, relativiert aber natürlich doch das oben unter Punkt 2 Geschriebene.

Ich habe jetzt noch schnell zwei LA-Lehrücher inspiziert, aber weder Cigler (Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie, Teil 2, 1977) noch Beutelspacher (Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen, 2001) verwenden die fraglichen Bezeichnungen. In Summe ist die Bronsteinstelle also wohl doch etwas dünn, auch wenn man damit rechnen muß, dass sie sich durch Abschreiben vervielfältigt haben wird, sodass man bei weiterer Suche noch auf weitere Stellen stoßen könnte. Von einer allgemein üblichen Verwendung kann aber keinesfalls die Rede sein. Möglich scheint mir (wenn das denn unbedingt gewünscht wird) höchstens eine Anmerkung über das sporadische Vorkommen in der Literatur, aber um die passende Wortwahl zu finden, müsste man sicherlich etwas umfangreichere Recherchen anstellen.

--Kim (Diskussion) 21:46, 30. Nov. 2021 (CET)

Hallo, danke für die schnelle Rückmeldung. Es geht um die Definition, was ein Vektorraum ist. Bronstein (S. 140) spricht von Assoziativgesetz und Distributivgesetz. Schau auch bitte auch mal hier: https://www.mathematik.de/algebra/187-erste-hilfe/algebra/vektorr%c3%a4ume/2420-der-vektorraum%C3%A4

Der Satz "Die Axiome S1 und S2 der Skalarmultiplikation werden ebenfalls als Distributivgesetze bezeichnet, Axiom S3 auch als Assoziativgesetz" steht im Lemma zu Vektorraum. mfg+danke --Qwertzu111111 (Diskussion) 11:26, 1. Dez. 2021 (CET)

1. Nein: Bronstein spricht auf Seite 140 nicht von „Assoziativgesetz“, sondern nur von „Assoziativität“ (aber damit wiederhole ich mich, siehe meinen gestrigen Beitrag hier).
2. Ich dachte, du meintest das Lemma „Assoziativgesetz“ (und/oder „Distributivgesetz“): Dass es im hiesigen Lemma „Vektorraum“ so stand, war ja klar (und dass es dort an noch anderer als an der von mir gelöschten Stelle steht, ist auch nicht weiter verwunderlich).

Wie auch immer: Es gibt offenbar einige Autoren, die das so bezeichnen – obwohl es den Definition an zahlreichen anderen Stellen widerspricht, so zum Beispiel auch den in unseren Lemmata „Assoziativgesetz“ und „Distributivgesetz“ vorgelegten. Ich habe jedoch in meinem doch schon recht langen Mathematikerleben noch nie (bewusst) davon gehört.

Es irritiert mich zwar stark, die „übliche“ Definition durch eine davon abweichende ersetzt zu sehen (vor allem, wenn ich mir die mutmaßlichen Gründe dafür vor Augen halte …), aber schließlich ist eine Definition nur eine Definiton und nicht mehr als eine Definition: Sie kann grundsätzlich nicht falsch sein, sondern höchstens ungeschickt gewählt, unangemessen oder (wie hier?) zu einer bereits existierenden Version widersprüchlich.

Wenn sich Letzteres aber schon seit vielen Jahrzehnten unwidersprochen teilweise etabliert hat, dann müssen wir es wohl als Faktum hinnehmen, dass es eben (wie in manch anderen Fällen auch!) mehrere inäquivalente Definitionen für einen Begriff gibt. Eine mögliche Lösung habe ich gestern schon angedeutet. Ich werde sie aber nicht selbst umsetzen, weil es mir im Innersten widerstrebt. Und vielleicht sollte man vorher weitere Meinungen dazu einholen und bis dahin noch etwas abwarten.

Gruß, --Kim (Diskussion) 19:00, 1. Dez. 2021 (CET)

wo ist denn für Dich der Unterschied zwischen „Assoziativgesetz“ und „Assoziativität“? --Qwertzu111111 (Diskussion) 22:00, 1. Dez. 2021 (CET)

Sorry, aber darauf will ich jetzt gar nicht mehr eingehen. Stattdessen lege ich, wie oben schon angedeutet, die weitere Verarbeitung des Themas im Artikel in deine Hände oder die anderer. Gruß, --Kim (Diskussion) 00:49, 3. Dez. 2021 (CET)